Meklēšanas algoritmi, izmantojot kvantu klejošanuMeklēšanas algoritmi, izmantojot kvantu klejošanu 2012.gada 10.maijā

Meklēšanas algoritmi,

izmantojot kvantu klejošanu

2012.gada 10.maijā

Eiropas Sociālā fonda projekts

“Datorzinātnes pielietojumi un tās saiknes ar kvantu fiziku”

Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

A.Ambainis, A.Bačkurs, N.Nahimovs, R.Ozols, A.Rivošs

Gadījumu klejošana (pavisam īss ieskats)



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

Gadījuma klejošana taisnē

Klasiskā gadījumu klejošana taisnē

Sākam punktā x=0

Katrā solī:

ar varbūtību 1/2 – pārvietojamies pa labi *)

ar varbūtību 1/2 – pārvietosimies pa kreisi

0

x

1 -1 n -n ... ...

½ ½

*) Laiks un telpa – diskrētie

0

x

1 -1 n -n ... ...

½ ½

x

t

Gadījuma klejošanas piemērs


0

x

1 -1 n -n ... ...

½ ½

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Varbūtība atrasties noteiktajā pozīcijā


0

x

1 -1 n -n ... ...

½ ½

Varbūtība atrasties pozīcijā i pēc T soļiem, veicot gadījuma

klejošanu uz taisnes (ja sākam pozīcijā 0).


Kvantu klejošana



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

Vēsture

Y. Aharonov, L. Davidovich and N. Zagury

“Quantum random walks”

Phys. Rev. A, 48(2):1687–1690, 1993

D.Aharonov, A.Ambainis, J.Kempe, U.Vazirani.

“Quantum walks on graphs”. ACM, 2001.

arXiv:qunat-ph/0012090

J.Kempe. “Quantum walks on graphs”. 2003.

“Quantum random walks - an introductory overview”

Definējam kvantu klejošanu vienā dimensijā

11 ncnbnan

|a| = 1, b = c = 0;

|b| = 1, a = c = 0;

|c| = 1, a = b = 0;

Tikai triviālas unitāras

transformācijas

a c

b

1 n2

“Monētas mešanas” transformācija C

.,,,

,,,,

rightndleftncrightnC

rightnbleftnaleftnC

C

1 n2

left

right

2

1

2

12

1

2

1

Hdc

ba

dc

baunitāra matrica

Hadamard transformācija Piemēram:

Nobīdes transformācija S

leftnleftnS ,1,

rightnrightnS ,1,

S

unitāra transformācija

1 n2

left

right

Nobīdes transformācija S

leftnileftiS ,mod)1(,

rightnirightiS ,mod)1(,

S

unitāra transformācija

0 1n1

left

right

i

Definējam kvantu klejošanu uz taisnes

leftnleftnS ,1,

rightnrightnS ,1,

S

1 n2

left

right

2

1

2

12

1

2

1

Hdc

ba

.,,,

,,,,


rightnbleftnaleftnC

C

1 n2

left

right

unitary matrix

“Monētas mešanas” transformācija

Nobīdes transformācija

Kvantu klejošana uz taisnes

leftnleftnS ,1,

rightnrightnS ,1,

S

left

right

2

1

2

12

1

2

1

Hdc

ba

.,,,

,,,,


rightnbleftnaleftnC

C

left

right

“Monētas mešanas” transformācija:

Nobīdes transformācija: atk

ārt

ot

n0 11

n0 11

Varbūtība atrasties pozīcijā i pēc T

soļiem, veicot kvantu klejošanu uz

taisnes ar sākumstāvokli:

leftinit ,0

Šis sadalījums sāk

atšķirties no

klasiskā gadījuma

jau pie T = 3

Šī kvantu klejošana dod

asimetrisku sadalījumu


leftnleftnS ,1,

rightnrightnS ,1,

S

left

right

2

1

2

12

1

2

1

Hdc

ba

.,,,

,,,,


rightnbleftnaleftnC

C

left

right



ārt

ot

n0 11

n0 11

Varbūtība atrasties pozīcijā i pēc 50



leftinit ,0

Sadalījums šai kvantu

klejošanai ir asimetrisks


leftnleftnS ,1,

rightnrightnS ,1,

S

left

right

2

1

2

12

1

2

1

Hdc

ba

.,,,

,,,,


rightnbleftnaleftnC

C

left

right



ārt

ot

n0 11

n0 11

Varbūtība atrasties pozīcijā i pēc 50



leftinit ,0

Salīdzinājums ar

klasisko gadījuma

klejošanu

Šī kvantu klejošana dod

asimetrisku sadalījumu


leftnleftnS ,1,

rightnrightnS ,1,

S

left

right

1

1

2

1

i

iY

dc

ba

.,,,

,,,,


rightnbleftnaleftnC



ārt

ot

C

left

right

n0 11

n0 11

The probability distribution obtained from a

computer simulation of the quantum walk with a

symmetric “coin flip” transformation (Y).

The number of steps in the walk was taken to be 100.

Only the probability at the even points is plotted.

… nu un?

Varbūtība atrasties i-ajā pozīcijā pēc 50

kvantu klejošanas soļiem uz taisnes

Varbūtība atrasties i-ajā pozīcijā pēc 50

klasiskās gadījumu klejošanas uz taisnes

Daži secinājumi

Grovera meklēšanas

algoritms



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

Grovera meklēšanas algoritms

Vaicājuma transformācija (Q)

? xj

Q j j

(–1)

Difūzijas transformācija (D)

Nosacītais fāzes pagrieziens

D =

–1+ – 2 n – 2

n …

… – 2 n

–1+ – 2 n

QD QD … QD QD

)(O nAtkārtojam reizes

1.

2. Veicam mērījumu

Kvantu klejošana kā

meklēšanas algoritms



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

Kvantu klejošana kā meklēšanas algoritms

0

x

1 -1 n -n ... ...

Ieviesīsim dažus

izņēmumu punktus

leftnleftnS ,1,

rightnrightnS ,1,

1

1

2

1

i

iY

dc

ba

.,,,

,,,,


rightnbleftnaleftnC


Nobīdes transformācijas:

atk

ārt

ot

visos “neizņēmumu” punktos: visos “izņēmumu” punktos:

10

01I

dc

ba

mm

mm


leftnleftnS ,1,

rightnrightnS ,1,

1

1

2

1

i

iY

dc

ba

.,,,

,,,,


rightnbleftnaleftnC


Nobīdes transformācija:

atk

ārt

ot

visos “neizņēmuma” punktos: visos “izņēmumu” punktos:

10

01I

dc

ba

mm

mm

C

left

right

n0 11

Grovera meklēšanas algoritms

Grovera algorimtu arī var

uzskatīt par kvantu klejošanu

n-virsotņu pilnajā grafā.

Pārejam

no taisnes uz plakni



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

Gadījumu klejošana plaknē

Klasiskā gadījumu klejošana plaknē

Sākas pozīcijā (0; 0)

Ar varbūtību 1/4 seko

vienam no četriem virzieniem

Gadījumu klejošana - pielietojumi

Klasiskā gadījumu klejošana plaknē

Definējam kvantu klejošanu plaknē

N

N

Kvantu klejošana 2D: “monētas mešanas” transformācija

1111

1111

1111

1111

2

1D

“monētas mešanas” transformācija

S : yxyx ,1,

yxyx ,1,

1,, yxyx

1,, yxyx

Nobīdes transformācija

Kvantu klejošana 2D: nobīdes transformācija

Kvantu meklēšana plaknē

N

N

Kvantu meklēšana plaknē

1111

1111

1111

1111

2

1D

Pielietot difūzijas

transformāciju

neatzīmētām pozīcijām

Pielietot identitātes

transformāciju atzīmētajām

pozīcijām

1000

0100

0010

0001

I

Visās pozīcijās pielietot

nobīdes transformāciju

Atk

ārto

t O(N

) times yxyx ,1,

yxyx ,1,

1,, yxyx

1,, yxyx

Sff :

“M

on

ēta

s

mešan

as”

tra

ns

form

ācija

No

bīd

es

tra

ns

form

ācija

Skalārais reizinājums

(0, 1, … , n) – sākumstāvoklis

(0, 1, … , n) – tekošais stāvoklis

n

i

ii

0

,

overlap

-1,50E+00

-1,00E+00

-5,00E-01

0,00E+00

5,00E-01

1,00E+00

1,50E+00

1 182 363 544 725 906 1087 1268 1449 1630 1811 1992step

s

+1

-1

0

N

N

probability to measure a marked location

0,00E+00

2,00E-02

4,00E-02

6,00E-02

8,00E-02

1,00E-01

1,20E-01

1,40E-01

1,60E-01

1,80E-01

1 68 135 202 269 336 403 470 537 604 671 738 805 872 939

Grid size: 101 x 101.

Number of steps: 1000.

overlap

-1,50E+00

-1,00E+00

-5,00E-01

0,00E+00

5,00E-01

1,00E+00

1,50E+00

1 115 229 343 457 571 685 799 913

Kvantu klejošana uz plaknes: viens atrisinājums

Process ir jūtīgs pret transformāciju izvēli

Dažādas “Nobīdes” transformācijas

S move: yxyx ,1,

yxyx ,1,

1,, yxyx

1,, yxyx

yxyx ,1,

yxyx ,1,

1,, yxyx

1,, yxyx

S flipflop:

Oriģinālajam algoritmam kvantu meklēšanai plaknē bija

nepieciešama amplitūdas amplifikācija, lai atrisinājumu

atrast ar lielu varbūtību.

Mēs atklājām, ka ar lielu varbūtību tiks nomērīts stāvoklis,

kas atrodas ne vairāk kā √N attālumā no atrisinājuma,

tādēļ var iztikt bez amplitūdas amplifikācijas.

Mēs parādījām to ar skaitliskiem eksperimentiem.

Mēs to pierādījām! (arXiv: 1112.3337,

referēsim TQC 2012)

Kādu uzlabojumu mēs piedāvājam?

Priekšstatu evolūcija

“Kvantiski” meklēt atrisinājumu plaknē ir tik pat lēni kā

klasiski

Nomainot transformāciju, var atrast laikā O( N log N )

ar varbūtību O(1/log N).

Pielietojot amplitūtas amplifikāciju var atrast

atrisinājumu laikā O( N log N )

Var iztikt bez amplitūdas amplifikācijas,

t.i. atrast atrisinājumu laikā O ( N )


Stāvoklis klejošanas sākumā un “beigās”

Atrisinājuma apkārtne

Varbūtība nomērīt stāvoki √N attālumā no atrisinājuma

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

0,5400000000

0,5600000000

0,5800000000

0,6000000000

0,6200000000

0,6400000000

0,6600000000

0,6800000000

0,7000000000

0,7200000000

0,7400000000

Paldies par uzmanību!

Jautājumi?

Kāpēc tas ir interesanti?



Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

Motivācija 1: ziņas no fiziķu kaujas lauka

• O(N 2/3) quantum algorithm for element distinctness problem

• An O(N 1.3) quantum algorithm for the triangle problem

• Matrix multiplication test − O(N 5/3)

Magniez, F., Santha, M., Szegedy, M.: An O(n1.3) quantum algorithm for the

triangle problem. In: Proceedings of SODA 2005, pp. 1109–1117 (2005), SIAM J.

Comput. 37(2), 413–424 (2007)

Buhrman, H., Špalek, R.: Quantum Verification of Matrix Products. In: SODA

2006. Proceedings of 17th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms,

Miami, Florida, pp. 880–889 (2006)

Ambainis, A.: Quantum walk algorithm for element distinctness.

SIAM J. Comput. 37(1), 210–239 (2007)

A. Ambainis, A. Childs, B. Reichardt, R. Špalek, S. Zhang, "Any AND-OR Formula of Size

N can be Evaluated in time n1/2+o(1) on a Quantum Computer", Proceedings of

FOCS'2007, pp. 363-372 (2007).

• NAND formula evaluation

Motivācija 2: kvantu klejošanai atradās pielietojumi!

Paldies par uzmanību!

Documents

Meklēšanas algoritmi, izmantojot kvantu klejošanuMeklēšanas algoritmi, izmantojot kvantu klejošanu 2012.gada 10.maijā