Du trading de volatilité au trading de corrélation et de dispersion

Boussard, WilliamMémoire dirigé par

Kalife, AymericHead of Structuring, Hedging and Modelling at Axa Group.

Professor at Paris-Dauphine University.

Mémoire soutenu dans le cadre duMaster 104 Finance, Université Paris-Dauphine

http://www.Master104Finance.com

A ma mère, mes grands-parents,

AbstractIn the recent years, banks have sold structured products such as worst-of/best-of options, Symphony and Palladium, resulting usually in a short correlation exposure. They have hence become interested in offsetting part of this exposure, namely buying or selling back correlation. Two ways have been proposed for such a strategy : either pure correlation swaps or dispersion trades, taking position in an index option and the opposite position in the components options. These dispersion trades have been set up using calls, puts, straddles, variance swaps as well as third generation volatility products. When considering a dispersion trade using variance swaps, one immediately sees that it gives a correlation exposure. Empirical analysis have showed that this implied correlation was not equal to the strike of a correlation swap with the same maturity.

In this article we are going to try to explain such a spread. In fact, we prove that the P&L of a dispersion trade is equal to the sum of the spread between implied and realised correlation – multiplied by an average variance of the components - and a volatility part. Furthermore, this volatility part is of second order, and, more precisely, is of vomma order (sensitivity to the volatility of volatility). Thus the observed correlation spread can be totally explained by the vomma of the dispersion trade. This result is to be reviewed when considering different weighting schemes for the dispersion trade.

Ces dernières années, les banques ont vendu de nombreux produits structurés tels que les options sur « worst of » ou « best of », les Symphony ou encore les Palladium ayant entre autre une exposition négative en général à la corrélation. Elles ont donc recherché à couvrir partiellement ce risque en rachetant ou en revendant de la corrélation. Deux voix ont été possible pour cela : de pures correlation swaps ou des trades de dispersion en prenant une position sur un indice et la position opposée sur ses membres. Ces trades de dispersion ont été mis en place par l’intermédiaire de calls, puts, straddles, variance swaps ainsi qu’avec des produits de troisième génération. Traiter la dispersion par l’intermédiaire de variance swaps fait apparaitre de façon assez évidente une exposition à la corrélation. Les études empiriques ont néanmoins montré que la corrélation implicite n’était pas égale au strike d’un correlation swap de même maturité.

Dans ce mémoire, nous allons essayer d’expliquer l’origine d’un tel spread. En réalité, nous prouvons que le P&L d’un trade de dispersion est égale à la somme des écarts entre corrélation implicite et réalisée – multipliée par la variance moyenne des membres de l’indice – et à un terme lié à la volatilité. Ce terme lié à la volatilité est plus précisément un terme de second ordre, plus communément appelé vomma (sensibilité à la volatilité de la volatilité). L’écart de corrélation est donc totallement expliqué par le vomma d’un trade de dispersion. Ce résultat dépend également du type de pondération choisi pour traiter la dispersion.

RemerciementsJe tiens à remercier tout d’abord mon directeur de mémoire, Aymeric Kalife pour avoir accepter de m’encadrer et avoir fait en sorte de me guider du mieux possible sur ce sujet. Les nombreux articles que vous m’avez envoyés m’ont grandement inspiré

Je tiens également à remercier Edith Ginglinger, directrice du Master 104, ainsi que l’ensemble des professeurs du master pour la qualité de l’enseignement dispensé. Merci également à Véronique de Balincourt pour sa bonne humeur contagieuse, son soutien logistique et administratif !

Je remercie mes différents maitres de stages ainsi que mes collègues pour m’avoir donné ma chance et permis de voir la côté concret et pratique de la finance. Il ne s’agit donc pas que de formules, d’articles et de livres ?

Merci, tout particulièrement ma famille pour leur soutien à tous les niveaux durant toutes ces années. Ne vous inquiétez pas, c’est enfin fini, c’est promis !

Enfin, je remercierai mes amis qu’ils m’aient aidé à réaliser ce mémoire, à réviser ou tout simplement qu’ils aient partagé ma vie d’étudiant. Nous y sommes arrivés !

Table des matièresAbstract..................................................................................................................................................3

Remerciements......................................................................................................................................4

Introduction...........................................................................................................................................6

Variance Swaps......................................................................................................................................7

Analyse du vega pour les options vanilles..........................................................................................7

Valorisation du portfolio...................................................................................................................11

Replicating portfolio and results.......................................................................................................12

Construction of the portfolio and results.........................................................................................15

Extension aux volatility swaps..............................................................................................................17

Biais de convexité.............................................................................................................................17

Comparaison entre variance et volatility swaps...............................................................................18

Skew linéaire en fonction du strike..................................................................................................19

Skew linéaire en fonction du delta...................................................................................................21

Introduction des sauts dans la dynamique du sous-jacent...............................................................22

Correlation trading...............................................................................................................................24

Correlation Implicite.........................................................................................................................24

Correlation Swaps............................................................................................................................24

Dispersion Trading................................................................................................................................26

P&L d’un portfolio delta-hedgé avec une volatilité constante.........................................................26

P&L d’un portfolio delta-hedgé, avec une volatilité dépendant du temps.......................................26

Dispersion trades delta-hedgés avec dσ = 0.....................................................................................27

Différents schémas de pondération.................................................................................................28

Correlation Swaps vs Dispersion Trades...............................................................................................30

Formule analytique du spread..........................................................................................................30

Gamma P&L d’un trade de dispersion..............................................................................................31

P&L total d’un trade de dispersion...................................................................................................32

P&L avec différentes pondérations..................................................................................................33

Vega flat Strategy.........................................................................................................................33

Vega weighted flat strategy..........................................................................................................34

Theta/Gamma flat Strategy..........................................................................................................34

Conclusion............................................................................................................................................36

Bibliographie........................................................................................................................................37

IntroductionDepuis plusieurs années maintenant la volatilité est devenu un actif traitable et traité avec de la liquidité aussi bien sur les actions que sur les indices. La croissance de ce marché est telle que des produits dérivés sur cette volatilité ont été créé et sont traités tous les jours en très grande quantité.

Effectivement, de nos jours les variance swaps sont parfaitement liquide pour de très nombreux sous-jacents, et les options sur volatilité ou variance font le sujet de nombreuses recherches, à la fois du milieu académique que de l’industrie bancaire.

De plus, ces produits ont donnés naissance à des expositions à la corrélation qui doit donc être couverte. C’est donc la raison pour laquelle des produits tels que les correlation swaps sont apparus pour proposer une réponse à ce besoin.

Le sujet de ce mémoire est de présenter ces produits de corrélation, après avoir passé en revue les variance swaps, et de comparer le strike d’un correlation swap (i.e. sa fair value) avec la corrélation implicite d’un trade de dispersion. En effet, un trade de dispersion peut être construit à partir de variance swaps, créant une pure exposition à la corrélation indépendante du niveau du sous-jacent.

Enfin, nous expliquerons l’écart observé entre ces deux corrélations à partir des termes de second ordre par rapport à la volatilité, nous amenant à dire que les mouvements de volatilité, aussi bien sur l’indice que sur ces membres, ont un impact non négligeable sur la corrélation implicite traitée dans un trade de dispersion.

Variance SwapsL’idée de l’article de Demeterfi, Derman et al. est de construire un portfolio répliquant le payoff final d’un variance swap. Dans un premier temps nous allons montrer construire un portfolio sensible uniquement à la volatilité et non pas au sous-jacent. Ensuite on montrera que ce portfolio peut-être utilisé pour couvrir un variance swap et donc pour calculer le cout de réplication d’un variance swap.

Analyse du vega pour les options vanillesTout d’abord rappelons les hypothèses de Black & Scholes [BS]:

– Le prix du sous-jacent suit une dynamique tel que dSt = µSt dt + σSt dWt , avec µ et σ des constantes.

– Il n’y a pas de couts de transactions ni de taxes.

– Il n’y a pas de dividendes durant la vie de l’option.

– Il n’y a pas d’opportunités d’arbitrage.

– La cotation et le trading est continue.

– Le taux sans risque est continu durant la vie de l’option.

Dans ce cadre, à la date t, un call Ct et un put Ct de maturité, sur un sous-jacent S, avec un strike K valent :

Avec :

On définit la sensibilité à la variance, notée V, de ce type d’option ainsi :

Où O peut être aussi bien la valeur d’un call ou d’un put (comme démontré par [BS]) car leur sensibilité à la variance est la même.

D’où :

Sur la figure ci-dessous on peut voir la dépendance du vega au sous-jacent et au strike de l’option. La sensibilité de l’option à la variance est très dépendante du sous-jacent et plus précisemment de la distance du sous-jacent par rapport au strike de l’option.On peut y voir la sensibilité de deux types de portfolios d’options de même maturité et sur le même sous-jacent, l’un pondéré de manière équivalente quelque soit le strike de l’option et l’autre pondéré en 1/K² (On se référera a [GS] pour plus de détails sur le choix de cette pondération).

Intuitivement on peut voir que le vega est maximum à la monnaie et ce tout particulièrement pour les strikes les plus élevés. A partir de là on comprend facilement que la pondération des options du portfolio doit être une fonction positivement décroissante en fonction du strike si l’on souhaite obtenir un portfolio dont le vega ne dépend pas du sous-jacent, tout du moins entre les strikes minimum et maximum des options constituant le portfolio.

F IG . 1 – Influence du sous-jacent sur le vega d’une option et sur un portfolio pondéré d’options.

F IG . 5 – Comparaison entre un portfolio également pondéré et un portfolio inversement pondéré.

La gamme dans lequel le vega du portfolio ci-dessus est constant est définie par la gamme de strike dans le portfolio. 3 questions apparaissent donc :

- Quel type d’options européennes doit-on inclure dans le portfolio ?- Quel doit être l’intervalle entre les strikes des options ?- Quelle gamme de strikes doit-on choisir ?

Concernant la première question [BS] ont montré que le vega des calls et des puts européens sont identiques. Il nous est donc permit de construire ce portfolio indifféremment à partir de calls et/ou de puts. Néanmoins comme cet exercice n’est pas purement théorique nous devons prendre en compte les caractéristiques des marchés et notamment la liquidité. C’est pourquoi nous choisirons des options en dehors de la monnaie, pour lesquels la liquidité est la meilleure (ie. Où le « bid-offer » spread est le plus resserré et où les tailles traités sont les plus importantes)

Nous allons donc introduire un seuil S* de liquidité à partir duquel nous allons choisir des calls ou des puts. Notre portfolio sera donc défini ainsi :

où ρ (K) représente le poids de chaque option, établie ici égale à 1/K², dans le portfolio et τ = T −t.

Dans la démonstration qui suit on définit le taux sans risque r égale à 0 pour simplifier les formules. Considérant le portfolio définit en (1), nous allons chercher à déterminer ρ(K) tel que la sensibilité du portfolio à la variance totale ne dépendent pas du sous-jacent S.

On considère une option O écrite sur S, avec une volatilité σ, de strike K et de maturité T évaluée à la date t, tel que τ = T – t, on a donc :

Avec

Soit v = σ² τ la variance totale, nous avons donc :

Mais :

Et donc par conséquent :

En substituant dans (3) on obtient donc :

Le premier terme entre parenthèse est nul, on a donc :

Par conséquent :

Basé sur ce résultat, nous faisons le changement de variable suivant : x = K/S qui induit donc que dK = Sdx. Ainsi nous obtenons :

Par conséquent nous obtenons :

Soit l’équation (4) égale à 0, on a donc :

Qui peut être simplifiée en :

Et cette simple équation différentielle a donc comme solution :

Valorisation du portfolioOn peut re-écrire le portfolio Π défini en (1) à maturité :

Lorsque l’on sépare les different cas :

– si ST < S∗ alors :

Et donc :

– si ST > S∗ alors :

Et donc :

Donc dans tous les cas à maturité :

En utilisant la même méthode on en déduit donc qu’à chaque date t :

Replicating portfolio and resultsNous allons maintenant calculer le prix exact d’un variance swap dont le payoff final est de la forme suivante :

Où :

– V est la variance totale réalisée sur l’intervalle [0 ; T]

– K est le strike du variance swap

– N le montant nominal du swap

Comme d’habitude nous allons nous placer dans le monde risque-neutre dans lequel la valeur présente d’une option est la valeur actualisée du payoff final. De plus, le strike K est défini comme la

valeur attendue de la variance réalisée future. Il s’agit donc de la valeur pour laquelle à la date t = 0 est nulle : K = E [V /F0 ].

Dans les conditions de Black&Shcholes, nous avons :

Qui est équivalent, en appliquant Ito :

En soustrayant (7) et (8) :

Et donc :

Qui peut être re-écrit comme :

En séparant la formule précédente on obtient :

Sous la mesure de probabilité conditionnel, nous avons :

Et donc on obtient :

Où :

Puis :

Et donc :

Comme montré en (9) la valeur attendue de la variance réalisée future peut être considérée en deux fois : la première partie consiste en un log contrat qui a été étudié plus en détail dans [Neu] et qui est en réalité approximé par le portfolio de réplication Π et une position longue constament rebalancée de 1/St sur le stock.

D’un point de vue trading , ces log-contrats ne sont pas encore tradés et donc ils ont besoin d’être synthétiquement reconstitué comme démontrée dans le portfolio de réplication statique Π.

Ci-dessous nous allons présenter les résultats que nous avons obtenu en implémentant ce modèle avec les valeurs données par [GS].

Construction of the portfolio and resultsLe portfolio mis au point ici à pour but de répliquer la même courbe (look at the figure number 3. Ce que nous faisons en divisant en segment la courbe et d’attribuer à chacun un call ou un put au regard de cette pente. Plus nous disposons de strikes, plus seront petits les intervalles. La qualité de la précision s’en réduira d’autant.

Avec aussi T = 0,25, S = 100, S∗ = 100, r = 0,05.

Et finalement nous avons trouvé pour ce strike.

Extension aux volatility swaps

Dans cette section nous allons étudier l’influence de différents paramètres de marché, tout en restant dans le même cadre définit précédemment. Nous étudierons d’abord le biais de convexité entre variance swaps et volatilité swaps, puis nous nous centrerons sur l’importance du skew.

Etant donné que le skew a une influence sur le prix des calls et des puts, cela doit d’autant plus être pris en compte dans le calcul des variance et volatility swaps.

Nous étudierons l’influence de trois aspects : un skew linéaire en fonction du strike, un skew linéaire en fonction du delta et finalement une fonction plus générale du skew.

Biais de convexitéUn volatility swaps est très similaire à un variance swap. Son payoff est Nvol (√V−Kvol)

Pour commencer nous utiliserons l’approximation suivante : E [√ x ]≈√ E [x ]

De plus nous pouvons répliquer un volatility swaps (Kvol ,Nvol) en utilisant un variance swaps

(Kvar,Nvar), où Nvol est exprimé en devises par point de volatilité et Nvar est exprimé en devise par point de variance. We must take care that :

La seconde égalité s’explique ainsi :

En réalité il y a un biais de convexité entre volatility et variance swaps du à la non linéarité de la fonction racine carrée. As explained by Brockhaus et Long [BL], nous pouvons obtenir une meilleur approximation d’un volatility swaps en utilisant les résultats obtenus à partir des variances swaps.

Etant donnée la fonction racine carrée F : x→√ x, le développement de Taylor au second ordre autour de x0 nous donne :

En remplacant dans la formule x = v et x0 = E[v] et prenant l’espérance, on a :

Cette formule nous donne donc une approximation de la valeur du biais de convexité :

.

Comparaison entre variance et volatility swapsNous allons calculer et tracer les graphes de Kvar et Kvol, respectivement définis comme les strikes des variance swaps et des volatility swaps. Les 2 graphesci-dessous montrent une caractéristiques importante que nous avons analytiquement prouvé : le strike défini pour un variance swap est beaucoup plus convexe que celui défini pour un volatility swap.

Les pratitiens essayent souvent d’obtenir le plus de convexité dans le but d’avoir des gains plus important que les pertes en valeur absolue.

Nous allons maintenant voir l’explication de la principale différence entre variance et volatility swaps. Comme nous l’avons montré précédemment, il existe une réplication statique pour chaque variance swaps utilisant des puts et des calls sur l’actif sous-jacent avec la même maturité que le swap et une gamme de strike prédéfini.

De plus, comme expliqué par [CM], ce hedge ne dépend d’aucun modèle à volatilité stochastique, il n’est donc pas affecté par le moindre risque de modèle.

Concernant les volatility swaps, nous avons présenté une méthode pour les évaluer en utilisant un ajustement de convexité. Plus précisément, l’évaluation du biais de convexité nécessite soit d’un modèle concernant la dynamique de la volatilité soit d’une estimation sur le niveau de la volatilité et de la variance forward.

En terme de réplication il n’y a pas de hedge statique. Néanmoins, comme dans le cadre traditionnel de Black&Scholes nous pouvons mettre en place une couverture dynamique pour les volatility swaps en utilisant des variance swaps tout au long de la vie du swap ce qui rend la couverture indépendante des variations de la volatilité.

Mathématiquement nous cherchons à trouver (α ,β ) qui minimise la fonction Ф défini tel que :

Par différenciation suivant chaque terme nous obtenons :

Ce qui donne finalement :

Ces deux égalités nécessitent donc les niveaux de volatilité et de variance forward. Ceci explique pourquoi de nos jours les variance swaps sont beaucoup plus liquides que les volatility swaps. De plus, en dépit du fait que l’on puisse calculer un mark-to-market pour un volatility swaps sans spécifier un modèle de volatilité stochastique, Morokoff, Akesson et Zhou ont établi dans [MOR] l’existence de bornes inférieures et supérieures pour ce type de produits à partir du principe d’arbitrage.

Carr et Lee [CLEE] ont eux aussi trouvé des résultats intéressant : les volatility swaps admettent une super-réplication faisant appel à des variance swaps et ont une borne inférieur égale à la volatilité implicite à la monnaie (ATMIV). Ils ont également fournit une approximation utilisant la ATMIV et la variance totale :

où a0 représente la volatilité implicite à la monnaie à la date 0.

D’une manière similaire aux variance swaps, la couverture des volatility swaps n’est pas statique mais nécessite un réajustement dynamique en log-contrats. Cependant, le grand nombre d’options requis pour créer synthétiquement ce hedge rend la transaction trop couteuse.

Skew linéaire en fonction du strikeDans cette partie, comme dans les suivantes, nous allons en grande partie nous inspirer du travail de Demeterfi et al. Dans [GS].

Nous considérons tout d’abord un skew linéaire en fonction du strike de la forme suivante.

⅀0 est la volatilité implicité à la monnaie forward et b la pente de cette courbe. Dans tous les cas

nous devons avoir ≤SF (1+⅀0

b) , et donc que la volatilité implicite ne peut être négative. Comme

démontré dans [GS] cette expression du skew nous amène à l’approximation suivante :

Le skew linéaire en fonction du strike augmente la valeur attendue du variance swap. En réalité cette augmentation est proportionnelle à la maturité T. A partir des graphes et tableaux ci-dessous nous pouvons voir l’influence du skew sur le strike du variance swap.

Figure 1 : Comparaison de la variance attendue calculé numériquement et calculée analytiquement à partir de l’équation précédente. Avec comme volatilité implicite ATMF : 30%, S = 100, et avec une gamme d’options espacées de 1 point de 10 a 200 pour répliquer le log-contrat.

En gras Kvar déterminé par la formule ci-dessus, avec les carrés Kvar déterminé numériquement

Skew linéaire en fonction du deltaNous nous concentrons désormais sur un autre type de skew, appelé skew linéaire en fonction du delta tel que :

où ∆ correspond au delta d’un put au sens de Black&Scholes.

Comme précédemment Demeterfi et al. ont montré induit une approximation pour le strike du variance swap :

Contrairement à précédemment nous avons ici un terme du premier ordre dépendant de b.

On peut voir ci-dessous les résultats et l’influence d’un tel skew sur le pricing de variance swap.

Introduction des sauts dans la dynamique du sous-jacentNous suivons désormais l’idée de [GS] pour analyser l’impact de sauts dans la dynamique du sous-jacent. Nous considérons ici une version discrète du variance swap :

où ∆Si = Si−Si−1. Considérons un saut d’une taille J dans la dynamique du sous-jacent tel qu’il y un J pour chaque Sj = Sj+1 (J). Nous voulons donc estimer l’impact d’un tel saut sur la stratégie de réplication du variance swap.

Premièrement, rappelons que la variance réalisée, en temps discret, peut-être évaluée ainsi :

Nous avons donc :

Ce qui représente l’impact d’un saut sur la variance réalisée. Nous rappelons aussi que la stratégie de réplication parfaite est :

D’où l’impact d’un saut sur cette stratégie :

Nous pouvons désormais conclure analytiquement de l’influence d’un saut sur le prix d’un variance swap. Du point de vue du vendeur de variance swap (et donc acheteur de la stratégie de réplication), l’impact sur son P&L sera donc :

Correlation trading

Correlation ImpliciteConsidérons un indice (ou un panier) compose de n sous-jacents. σi représente la volatilité du ième sous-jacent, wi sont poids dans le panier et ρi la corrélation entre les sous-jacents i et j. Si nous répliquons l’indice, nous créons un panier avec la volatilité suivante :

Nous pouvons donc définir la corrélation implicite de ce portfolio, appelée corrélation moyenne, tel que :

Ou σI représente la volatilité de l’indice. Nous pouvons réécrire la formule ainsi :

Dans [BO], Bossu admet que, sous des conditions raisonnables, est proche de 0 et on peut donc qu’un bon proxy de la corrélation implicite serait:

Correlation SwapsUn corrélation swaps est un instrument similaire à un variance swap qui paye à maturité un nominal multiplié par la différence entre la corrélation réalisée et un strike. Mathématiquement le payoff de ce type d’option est :

Comme la corrélation implicite, la corrélation réalisée ρ ci-dessus peut être approximée comme :

où (σI , σ1 , . . . , σn ) sont les volatilités réalisées. Pour plus de détails sur cette approximation on se réferera à [BO]. On peut donc voir la corrélation réalisées comme le ratio de deux produits tel qu’un variance swaps sur l’indice et la somme de variance swaps sur les composants. En se basant sur cette approximation Bossu prouve qu’un correlation swap peut être dynamiquement répliqué par un variance dispersion trade et dont le P&L est :

Où ρ représente la corrélation réalisée.

Même si ce résultat est très accommodant, quelques problèmes doivent être pointés du doigt : Premièrement, la liquidité n’est pas suffisante sur tous les marchés. De plus ce modèle ne tient pas compte des spécificités des volatilités et notamment leurs propres volatilités, appelées volatilités de volatilités.

Dispersion Trading

P&L d’un portfolio delta-hedgé avec une volatilité constanteNous considérons ici une options Vt, valorisée à la date t ≥ 0 écrite sur un sous-jacent S. Le portfolio delta-hedgé consiste en une position courte sur une option et long δ unités du sous-jacent. La variation du P&L est donc :

Le premier terme correspond à la variation du prix de l’option, le second correspond à la variation du sous-jacent, dont on possède δ unités et enfin le troisième terme correspond rendement au taux sans risque du montant qui donne une valeur nulle au portfolio. Le développement de Taylor de l’option donne donc :

où θt := ∂t Vt et Γt := ∂²SS Vt , d’où :

De plus, comme le prix de l’option suit l’équation différentielle de Black&Scholes : θt + rSt δt + 0.5 σ² St² Γt = rVt , nous obtenons finalement le P&L sur l’intervalle (t, t + dt) pour le portfolio :

P&L d’un portfolio delta-hedgé, avec une volatilité dépendant du tempsNous considérons ici un portfolio avec une option delta-hedgé. Comme nous souhaitons analyser le risque de volatilité, nous restons dans ce marché incomplet contrairement au cadre de la volatilité stochastique. La dynamique du prix est maintenant dSt /St = µdt + σt dWt , with µ ∈ R. Pour la dynamique de la volatilité, nous admettons le processus suivant : dσt = µ(σ,t) dt + ξσ(t) dW(t,σ) , with σ0 , ξ > 0, µσ ∈ R and d < W, Wσ >t = ρdt. Comme précédemment, le P&L sur l’intervalle (t, t+dt) est :

Nous utilisons désormais le développement de Taylor ∆V par rapport au temps, au sous-jacent et à volatilité.

Maintenant, nous pouvons remplacer le terme rVt dt par sa valeur donnée par l’équation différentielle de Black&Scholes, calculée avec la volatilité implicite. Effectivement, c’est la volatilité qui doit être prise en compte pour déterminer le montant de cash nécessaire pour clore la position. On obtient donc :

où σt représente la volatilité implicite de l’option. On peut donc réécrire cette équation tel que :

Qui peut être également exprimé ainsi :

où Vega = ∂σV , Volga = ∂σσV , Vanna = ∂Sσ V , ρ représente la corrélation entre les sous-jacents et la volatilité et ξ est la volatilité de la volatilité.

Dispersion trades delta-hedgés avec d = 0σ

Considérons un trade de dispersion comme étant short d’une option sur un indice et long des options sur les sous-jacents. Nous considérons également ce portfolio comme delta-hedgé. Le P&L d’une option delta-hedgée dans le cadre de Black&Scholes est :

Le terme n=∂StSσt √dt représente les variations standardisées du sous-jacent sur la période

considérée. Considérons à présent un indice I composé de n stocks Si pour i de 1 à n. Premièrement nous développons le P&L d’une position longue sur l’indice en fonction de ses constituants, puis on le décompose en risque idiosyncratique et systémique.

Notons ¿=∂ Si

Siσi√dt la variation standardisée sur le ith stock, ¿=∂SI

SIσI √dt la variation standardisée

de l’indice, pi le nombre d’unité du sous-jacent i dans l’indice, wi le poids du sous-jacent i dans l’indice I, σi la volatilité du sous-jacent i, σI la volatilité de l’indice, ρij la corrélation entre les sous-jacents i et j, θi le théta de l’option sur le sous-jacent i, θI le théta de l’option sur l’indice.

Où nous utilisons le fait que :

Et

D’où le P&L du trade de dispersion :

Différents schémas de pondération

Dans l’exemple ci-dessus nous n’avons pas précisé ce que doivent être les poids associés aux sous-jacents. Quand on construit un trade de dispersion, nous faisons face à 2 problèmes : premièrement, quel stock choisir ? Ensuite, comment les pondérer ? En effet, il peut y avoir un manque de liquidité sur certains sous-jacents, nous ne pourrons alors pas prendre en compte tous les membres de l’indice. Ensuite, il va devoir choisir la méthode de pondération :

- Pondération en fonction du vega : le portfolio sera construit tel que le vega sur l’indice soit égale à la somme des vegas sur les membres. Ainsi, le portfolio sera immunisé contre une variation de la volatilité.

- Pondération en fonction de gamma : le portfolio sera construit tel que le gamma sur l’indice soit égale à la somme des gammas sur les membres. Ainsi, le portfolio sera immunisé contre des variations du sous-jacents, mais contre des variations des sous-jacents.

- Pondération en fonction du theta : le portfolio sera construit tel que le theta sur l’indice soit égale à la somme des thetas sur les membres. Ainsi, le portfolio sera immunisé contre le passage du temps, mais pas contre des variations des sous-jacents ou de la volatilité.

Correlation Swaps vs Dispersion Trades

Nous nous concentrons désormais sur la différence entre le strike d’un correlation swap et la corrélation implicite obtenue au travers d’un trade de dispersion. Les preuves empiriques montrent que l’on observe approximativement un écart de 10 points de base entre le strike d’un correlation swap et la corrélation implicite d’un trade de dispersion. Nous commencerons par écrire la relation entre un trade de dispersion au travers de variance swaps et un correlation swap. A partir de cette relation, nous analyserons l’influence de la dynamique de la volatilité sur ce spread. Dans toute cette section nous considérerons le nominal du variance swap sur indice égale à 1.

Formule analytique du spread

Nous garderons les même notations que précédemment, l’indice sera appelé I, sa volatilité implicite σI, sa volatilité réalisée σ̂ I , et ses n composants dont les caractéristiques sont (σi, σ̂ i, wi) pour i allant de 1 à n.

La corrélation implicite et réalisée sont obtenues comme précédemment :

Si nous soustrayons ces deux égalités nous obtenons donc :

Et donc :

D’un point de vue financier, l’équation ci-dessus revient à évaluer le P&L d’une position long sur un trade de dispersion (i.e. long des variance swaps sur les membres de l’indice et short du variance

swap sur l’indice) et d’une position short sur un correlation swap. Le membre de droite est le P&L ainsi que le spread que nous considérons.

Gamma P&L d’un trade de dispersion

Nous considérons uniquement ici la partie gamma du P&L d’un variance swap sur indice :

Détaillons cette formule. Comme précédemment, nous considérons que les corrélations ρij entre les membres sont toutes égales à une moyenne ρ. De plus, comme cette corrélation est celle qui fait que la variance implicite de l’indice est égale à la somme pondérée des variances implicites des membres, cela confirme bien qu’il s’agit de la corrélation implicite. Ensuite dSi dSj / (Si Sj ) représente la covariance réalisée instantanée entre les sous-jacents Si et Sj, et d’où dSi dSj / (Si Sj σi σj ) représente précisément la corrélation réalisée instantanée entre ces deux sous-jacents. Encore une fois nous considérons que cette corrélation est équivalente pour toutes les paires, on la notera donc ρ. Nous pouvons également remplacer wi par (pi Si) / I comme vu précédemment.

On obtient donc :

Considérons une positions dans un trade de dispersion où αi représente la proportion de variance swaps pour le ith sous-jacent. Le gamma P&L est donc :

Le P&L d’un trade de dispersion est donc égale à la somme des écarts entre la corrélation implicite et réalisée sur une période (t, t+dt) et à une exposition à la volatilité.

Reformulons désormais le gamma d’un variance swap de maturité T : Γ = 2/ (TS²). Nous pouvons donc réécrire le P&L Gamma du variance swap sur indice ainsi :

Ce qui implique :

D’où :

La somme qui est multiplié à l’écart de corrélation ne doit pas dépendre de la corrélation mais uniquement de wi, wj, σi et σj. Nous pouvons définir :

Et donc aboutir à :

Si nous prenons αi = wi, nous obtenons donc que le P&L gamma du trade de dispersion est exactement l’écart entre la corrélation implicite et la corrélation réalisée multiplié par β qui correspond à la somme pondérée des variances.

En réalité, comme nous le verrons plus tard, cette pondération n’est pas utilisée. Cependant cette approximation (considérant que le gamma P&L est une exposition pure à la corrélation) reste assez juste cependant et nous verrons plus tard l’erreur induite par cette approximation.

P&L total d’un trade de dispersionDans la section précédente, nous avons montré que le gamma P&L d’un trade de dispersion est uniquement lié à la corrélation. La différence entre la corrélation d’un trade de dispersion et le strike d’un correlation swap est du aux termes de volatilité, plus précisément les effets combinés du vega, vomma et vanna. A partir des deux sections précédentes nous pouvons écrire :

Où P&LΓ contient l’exposition à la corrélation et où P&LVol contient les effets liés aux vegas, vommas et vannas. Plus précisément :

Lorsque l’on remplace les grecs par leur valeur pour un variance swap, nous obtenons (le vanna étant nul) :

P&L avec différentes pondérations

Dans la section suivante nous allons voir différents schémas de pondération. Nous considérerons que le P&L gamma est une pure exposition à la corrélation. Concernant les notations, αi est toujours la proportion de variance swaps du ième sous-jacent (αi = Ni/NI) et nous considérerons NI = 1, wi est le poids du sous-jacent i dans l’indice et Ni le notionnel du ième variance swap. Nous n’écrirons pas les signes des grecs, ceux-ci dépendant de la position sur le produit.

Vega flat StrategyDans cette stratégie, le vega notionnel du variance swap sur l’indice est égale à la somme des vegas notionnels des composants : Ni Υ(σ,i) = NI Υ(σ,I) wi , et αi = σI wi /σi. Les vegas du P&L disparaissent donc et il nous reste alors :

Avec les approximations mentionnées dans les sections précédentes nous obtenons :

Maintenant, l’erreur du à l’approximation du P&L gamma est :

Concentrons-nous sur (αi – wi). Nous avons donc :

Qui est très proche de 0. D’un point de vue théorique, cette formule nous dit que la différence observée entre le strike d’un correlation swap et la corrélation implicite d’un trade de dispersion aux travers de variance swaps peut être expliquée simplement par le vomma du trade de dispersion, d’où, en d’autres termes, par la volatilité de la volatilité.

Vega weighted flat strategyDans cette stratégie nous avons :

Et

Nous avons donc :

Comme précédemment, avec les approximations vues plus haut nous obtenons :

L’erreur due à l’approximation du P&L gamma est donc :

Ce qui est toujours aussi proche de 0. De la même manière cela nous montre que l’écart est du à la sensibilité à la volatilité de la volatilité (vomma).

Theta/Gamma flat StrategySupposons maintenant que nous voulions nous débarrasser du P&L gamma du trade de dispersion.

Nous avons donc besoin de définir :

Et en remplacant Γi et ΓI par leur valeur, nous avons :

Sur une très courte période, nous avons quasiment (dS/S)² = 0 et donc il s’agit aussi d’une stratégie theta neutre (en l’absence de taux d’intérêt. En réalité, la différence entre les stratégies gamma neutre et theta neutre relève de la différence entre le taux sans risque et la rentabilité du sous-jacent sur la période considérée). De plus, le trade de dispersion est totalement exposé aux changements de volatilité au travers des vegas et des vannas des variance swaps.

Conclusion

Nous avons traité du sujet du trading de dispersion et du P&L lié à une telle stratégie au travers de variance swaps. La particularité intéressante dans cette stratégie vient des grecs qui nous permettent d’avoir une vision claire de notre exposition. Un des points important de ce mémoire et la mise en évidence de l’origine de l’écart entre la corrélation implicite des trades de dispersion et le strike des correlation swaps. En effet nous avons vu que cet écart provient de la volatilité de la volatilité.

Nous avons également développé différents types de pondération et leurs effets pour des trades de dispersion. Ces différentes stratégies sont également un moyen d’estimer la volatilité de la volatilité à partir des prix des variances et correlation swaps.

La suite de ce mémoire pourrait être l’analyse des produits de troisième génération tel que les corridor variance swaps, les up ou down variance swaps, les capped variance swaps, etc… qui permettent aux investisseurs de prendre des positions sur la volatilité à moindre cout mais dont les formules deviennent moins facile d’accès et surtout moins neutre face aux mouvements du sous-jacents.

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