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MEMORIAS DEL XVII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM
21 al 23 DE SEPTIEMBRE, 2011 SAN LUIS POTOSÍ, MÉXICO
Derechos Reservados © 2011, SOMIM
ANÁLISIS ELASTOPLÁSTICO DE UNA ESFERA DE PARED GRUESA BAJO PRESIÓN
Plascencia Mora Héctor1, Salazar Garibay Alonso
1, Diosdado De La Peña José Ángel
1,
Durán Reséndiz Pedro1, Reveles Arredondo Juan Francisco
1, Pérez Soto Gerardo Israel
1
1Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de Guanajuato, Carretera Salamanca–Valle de Santiago
km. 3.5 + 1.8 km, Comunidad de Palo Blanco, Salamanca, Gto., México Teléfono: 01 464 64 79940 ext. 2421
[email protected], [email protected], [email protected], [email protected],
[email protected], [email protected]
RESUMEN
En este trabajo se presenta la deducción de las
expresiones para los esfuerzos y desplazamientos
en una esfera de pared gruesa de material
perfectamente plástico sometida a presión externa
e interna. El problema se resuelve por una
simulación de elemento finito utilizando ANSYS.
Finalmente, se reporta un comparativo de los
resultados analíticos y numéricos.
Palabras claves: Esfera de pared gruesa,
elastoplástico, presión.
ABSTRACT
In this work the deduction of the expressions for
the stress and displacements in a thick-walled
sphere subjected to external and internal pressure
is presented. The problem is solved by a finite
element simulation using ANSYS. Finally, a
comparison of numerical and analytical results is
reported.
Keywords: thick-walled sphere, elastoplastic,
pressure.
Nomenclatura
a Radio interior [m]
b Radio exterior [m]
Po Presión externa [Pa]
Pi Presión interna [Pa]
r Radio de la esfera [m]
Esfuerzo radial [Pa]
Esfuerzo circunferencial [Pa]
Esfuerzo tangencial [Pa]
Deformación unitaria circunferencial
Deformación unitaria tangencial
Deformación unitaria radial
Esfuerzo de fluencia [Pa]
INTRODUCCIÓN
El estudio de esferas bajo una carga de presión ha
sido un campo de estudio desde los años 1950’s.
A continuación se enlistan algunos de estos:
Haddow y Faulkner [1] proponen un método para
el análisis de la expansión simétrica finita de una
esfera de pared gruesa sometida a presión interna
de material hiperelástico compresible. Con este
método se puede obtener la solución para
cualquier energía de deformación admisible.
Durban y Baruch [2] estudiaron el
comportamiento no lineal de una esfera de pared
gruesa bajo presión interna y externa. Asumen el
material como elastoplástico incremental. No
restringen la magnitud de la deformación. Para
presión interna, obtienen una solución en términos
de integrales cerradas. Muestran que la solución
tridimensional se reduce al caso de membrana
cuando el espesor del cascaron se vuelve muy
pequeño.
Kim [3] obtuvo ecuaciones de respuesta para
esferas huecas de material elástico perfectamente
plástico bajo carga hidrostática, descarga, carga
invertida y recarga. Para esferas con paredes
suficientemente gruesas, la cedencia invertida
ocurre en la descarga, donde se presenta la
porosidad crítica inicial. La precompactación
disminuye la magnitud de la presión máxima y
retrasa la presencia la inestabilidad.
Gao [4,5] presentó las soluciones analíticas para
los campos de desplazamiento, deformaciones y
esfuerzos de cilindros y esferas de pared gruesa de
material elástico con endurecimiento por
deformación plástica. Utiliza una teoría de
ISBN: 978-607-95309-5-2 << pag. 50 >>
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21 al 23 DE SEPTIEMBRE, 2011 SAN LUIS POTOSÍ, MÉXICO
Derechos Reservados © 2011, SOMIM
dr
dr
r
u
u + du
dr
a
b
d d
plasticidad con gradiente de deformación para
describir el comportamiento constitutivo del
material bajo deformaciones plásticas, mientras
que la ley de Hook generalizada es aplicada para
la respuesta del material en la región elástica. Al
incluir el radio interior en una identidad
dimensional propia, las soluciones pueden incluir
el efecto del tamaño. También, identifica que las
soluciones clásicas basadas en plasticidad de estos
problemas son casos especiales de las soluciones
que presenta.
TEORÍA
Se examina un problema elastoplástico para una
esfera de pared gruesa. La esfera tiene un radio
interior y exterior de a y b, respectivamente. Esta
está sujeta a una presión externa de Po e interna de
Pi, las cuáles pueden incrementar mono
tónicamente. El material se considera isotrópico y
linealmente elástico, perfectamente plástico. En
los puntos de la esfera donde el estado de
esfuerzos está debajo del requerido para la
fluencia, la deformación se obtiene de la ley de
Hooke isotrópica y compresible. En los puntos
donde ocurre la fluencia, la deformación es la
suma de una componente elástica y una
componente perfectamente plástica.
Para la esfera de radio interior a y de radio
exterior b, se considera un elemento infinitesimal
localizado a una distancia r del centro de la esfera
con un ángulo dθ en el centro, como se muestra en
la Figura 1.
a b Figura 1. a) Deformación de una elemento de una esfera de
pared gruesa. b) Elemento de una esfera de pared gruesa.
De la Figura 1, la deformación radial y la
deformación circunferencial son
(1)
(2)
Los esfuerzos de un elemento infinitesimal de una
esfera de pared gruesa son y . Ver la Figura
1b. La ecuación de equilibrio de los esfuerzos es
(3)
Comportamiento Lineal elástico
La geometría y carga para una esfera de pared
gruesa bajo una presión externa Po y una presión
interna Pi se muestran en la Figura 2.
Las relaciones elásticas lineales de esfuerzo y
deformación para una simetría esférica,
son.
(4.a)
(4.b)
Sustituyendo (1) y (2) en (4), para posteriormente
en (3); se obtiene la ecuación de equilibrio del
desplazamiento.
(5)
A la que se aplican las condiciones de frontera a
una sección de la esfera:
a
(6)
Resolviendo para los esfuerzos elásticos, estos son
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(7)
Los desplazamientos relacionados y los campos
de deformación son
(8.a)
(8.b)
(8.c)
PRESIÓN DE COLAPSO
La condición para el colapso es que la fluencia
ocurre en cualquier lugar del cascarón cuando
en
(9)
Sustituyendo el criterio de fluencia, (9), en la
ecuación diferencial de equilibrio para el esfuerzo,
(3), con las condiciones de frontera para las
presiones internas y externas de los esfuerzos se
llega a
b
rP yo ln21 (10)
COMPORTAMIENTO ENTRE CEDENCIA
Y COLAPSO
En esta sección se estudia como el cascarón
esférico se comporta después de la cedencia, pero
antes del colapso. Una región plástica existe desde
la superficie interna hacia una frontera esférica en
, como se muestra en la Figura 2, con una
región elástica que rodea y se extiende hacia la
superficie exterior de la capa.
Figura 2. Geometría de la capa elástica-plástica de la esfera.
Las condiciones de frontera para los esfuerzos en
las dos regiones son descritas en (6), además:
crenyr (11)
Aplicando las condiciones de frontera a los
esfuerzos elásticos, se obtienen los esfuerzos en
dicha región
yorr
b
b
cP
3
3
3
3
13
2
yor
b
b
cP
3
3
3
3
21
3
2
(12)
Para las deformaciones, de las relaciones de
desplazamiento de la deformación, (1) y (2), y la
ecuación de desplazamiento, (5), se obtiene
oyy P
b
c
E
r
Er
cu
3
3
2
3
3
2)21(
3
)1(
(13.a)
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3
3
3
3 )1(
3
2
3
2)21(
rc
EP
b
c
E
yoyr
oyy P
b
c
EEr
c
3
33
3
2)21(
3
)1(
(13.b)
Los esfuerzos en la región plástica se obtienen
aplicando la segunda condición de frontera de los
esfuerzos (11) al esfuerzo plástico :
oyr Pb
c
r
c
3
3
1ln33
2
oy Pb
c
r
c
3
3
2
1ln3
3
2
(14)
La presión interna se determina de la primer
condición de frontera (11), junto con el esfuerzo
radial (14), como
oyi Pb
c
a
cP
3
3
1ln33
2 (15)
SIMULACIÓN POR ELEMENTO FINITO
Se aplica el método de elemento finito con el uso
del software ANSYS para realizar la simulación.
Por su geometría, se toma únicamente un octavo
de esfera como dominio. Esta se considera de
radio interno de 5 in (0.127 m) y de radio externo
de 6 in (0.1524m).
En la ¡Error! No se encuentra el origen de la
referencia. se enlistan las propiedades mecánicas
del material que se considera en este trabajo [6].
En la Figura 3 se presenta la curva
correspondiente.
Tabla 1. Propiedades Mecánicas del Material de
Aleación de Aluminio.
Propiedad Valor
Módulo de elasticidad 1.0298×10
7 psi
(71 GPa)
Coeficiente de Poisson
0.33
Resistencia a la cedencia
40611 psi (280 MPa)
Módulo tangente 72519 psi (500 MPa)
Figura 3. Curva perfectamente plástica de esfuerzo vs deformación para la aleación de Aluminio.
El tipo de elemento que se utiliza para discretizar
la esfera es un sólido estructural de 20 nodos
denominado SOLID95. Este elemento tiene tres
grados de libertad por nodo: translaciones en las
direcciones x, y y z [7]. También, soporta
plasticidad, creep, grandes deformaciones, entre
otras. Por lo cual este tipo de elemento es
adecuado para el propósito del análisis plástico
que se desea realizar.
Las áreas de corte del octavo de esfera se
restringieron de desplazarse en su dirección
normal y se aplicó presión en la superficie externa
tal como se muestra en la Figura 4.
Para el análisis con presión interna se usaron las
mismas restricciones pero ahora la presión se
aplicó en la superficie interna como se muestra en
la Figura 5.
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Figura 4. Esfera con presión externa.
Figura 5. Esfera con presión interna.
COMPARACIÓN DE RESULTADOS
NUMÉRICOS-ANALÍTICOS.
A. Presión externa
En la siguiente sección se graficaron las
ecuaciones del desplazamiento radial, esfuerzo
radial y esfuerzo circunferencial para diferentes
presiones, además en cada una de ellas se
superpusieron los resultados obtenidos por la
simulación en ANSYS.
Para Po = 13500 psi (93.08 MPa) y Pi = 0 psi, las
Figuras 6 a la 8, muestran los esfuerzos radial y
circunferencial y el desplazamiento radial,
respectivamente, para el caso cuando la mitad de
la pared de la esfera ya ha sido deformada
plásticamente y la otra mitad está aún en estado
elástico.
Figura 6: Gráfica del desplazamiento Radial. Para Po =
13500 psi y Pi = 0 psi.
Figura 7: Gráfica del esfuerzo Circunferencial. Para Po =
13500 psi y Pi = 0 psi.
Figura 8: Gráfica del esfuerzo Radial. Para Po = 13500 psi y
Pi = 0 psi.
B. Presión interna
Las Figuras 9, 10 y 11, muestran los resultados
obtenidos para el mismo caso expuesto en el
inciso anterior pero ahora con Pi=13960psi
(96.261MPa) y Po=0psi.
En la Figura 9, se muestran los resultados
analíticos y mediante el programa ANSYS para el
esfuerzo en la dirección radial, r.
0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15 0.155-4.2
-4.1
-4
-3.9
-3.8
-3.7
-3.6
-3.5
-3.4x 10
-4
Radio de la esfera [m]
De
sp
laza
mie
nto
ra
dia
l [m
]
Analítico
ANSYS
0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15 0.155-3.3
-3.2
-3.1
-3
-2.9
-2.8
-2.7x 10
8
Radio de la esfera [m]
Esfu
erz
o C
ircu
nfe
ren
cia
l [P
a]
Analítico
ANSYS
0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15 0.155-10
-8
-6
-4
-2
0
2x 10
7
Radio de la esfera [m]
Esfu
erz
o r
ad
ial [P
a]
Analítico
ANSYS
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Figura 9: Gráfica del desplazamiento Radial. Para Po = 0 psi
y Pi = 13960 psi.
La Figura10, muestra los resultados para el
esfuerzo en la dirección angular, , y la Figura
11 muestra los resultados de los desplazamientos
en la dirección radial, ur.
Figura 10: Gráfica del esfuerzo Circunferencial. Para Po = 0
psi y Pi = 13960 psi.
Figura 11 Gráfica del esfuerzo Radial. Para Po=0 psi y Pi =
13960 psi.
Las Figuras 6 a 11 presentan comportamientos y
valores similares entre los resultados analíticos y
numéricos.
CONCLUSIONES
En este trabajo se logran deducir las expresiones
para el desplazamiento radial y los esfuerzos
radiales y circunferenciales, tanto para la parte
elástica como para la parte plástica en una esfera
de pared gruesa sometida a cargas de presión
interna y externa.
Los resultados que se obtuvieron de las
simulaciones por elemento finito para este
problema se apegaron a los resultados analíticos.
Se tiene una diferencia entre los resultados
analíticos y numéricos menor al 3%.
No es posible lograr un estado totalmente plástico
en la esfera cuando se usa un modelo
perfectamente plástico. Esto se debe, a que la
solución numérica diverge cuando todo el material
alcanza la cedencia, provocando que la esfera se
deforme infinitamente, por lo que no se pudo
simular.
REFERENCIAS
(1) Haddow J.B. & Faulkner M.G. (1974) Finite
expansion of a thick compressible spherical
elastics shell. International Journal of
Mechanical Sciences 16, 63-73.
(2) Durban D. & Baruch M. (1977) Analysis of
an elasto-plastic thick walled sphere loaded
by internal and external pressure.
International Journal of Non-Linear
Mechanics 12:, 9-21.
(3) Kim K. T. (1987) Elastic-plastic deformation
of hollow sphere. Acta Mechanica 66, 161-
176.
(4) Gao X. L. (2003) Strain gradient plasticity
solution for an internally pressurized thick-
walled spherical shell of an elasic-plastic
material. Mechanics Research
Communications 30, 411-420.
(5) Gao X. L. (2003) Elasto-plastic analysis of an
internally pressurized thick-walled cylinder
using a strain gradient plasticity theory.
International Journal of Solids and Structures
40, 6445-6455.
(6) ANSYS Inc. (2009) Engineering Data.
(7) ANSYS Inc. (2009) Element Reference.
0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15 0.155-10
-8
-6
-4
-2
0
2x 10
7
Radio de la esfera [m]
Esfu
erz
o r
ad
ial [P
a]
Analítico
ANSYS
0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15 0.1551.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4x 10
8
Radio de la esfera [m]
Esfu
erz
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l [P
a]
Analítico
ANSYS
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3.2
3.4
3.6
3.8
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De
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l [m
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