Methodische Lösungswege zu

Methodische Lösungswege zu

Mathematik fürElektroniker/in fürAutomatisierungstechnikLehr- und Übungsbuch derMathematik und des Fachrechnensfür Berufe der Geräte- und SystemtechnikAutomatisierungstechnik

Gültig ab der 15. Auflage des Lehrbuchs

Bearbeitet von Lehrern und Ingenieuren an beruflichen Schulen und Seminaren (siehe Rückseite)

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Die Autoren und der Verlag Europa-Lehrmittel

VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten

Europa-Nr.: 36713

EUROPA-FACHBUCHREIHE

für elektrotechnische und elektronische Berufe

https://www.europa-lehrmittel.de

Autoren von „Mathematik für Elektroniker/in für Automatisierungstechnik“

Günther Buchholz Dipl.-Ing. (FH), Oberstudienrat StuttgartMonika Burgmaier Oberstudiendirektorin OffenburgPatricia Burgmaier Dipl.-Ing. (BA) MelsungenElmar Dehler Studiendirektor UlmBernhard Grimm Oberstudienrat Sindelfingen, LeonbergJörg A. Oestreich Dipl.-Ing. Schwäbisch HallWerner Philipp Dipl.-Ing., Oberstudienrat HeilbronnBernd Schiemann Dipl.-Ing. Durbach

Bildbearbeitung:Wissenschaftliche PublikationsTechnik Kernstock, 73230 Kirchheim/TeckZeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel GmbH & Co. KG, Ostfildern

Leitung des Arbeitskreises und Lektorat:Dipl.-Ing. Schiemann, Durbach

ISBN 978-3-8085-3677-3

Diesem Buch wurden die neuesten Ausgaben der DIN-Blätter und der VDE-Bestimmungen zugrunde gelegt. Ver-bindlich sind jedoch nur die DIN-Blätter und VDE-Bestimmungen selbst.

Die DIN-Blätter können von der Beuth-Verlag GmbH, Burggrafenstraße 4–7, 10787 Berlin, und Kamekestraße 2–8, 50672 Köln, bezogen werden. Die VDE-Bestimmungen sind bei der VDE-Verlag GmbH, Bismarckstraße 33, 10625 Berlin, erhältlich.

15. Auflage 2018

Druck 5 4 3 2 1

Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinan-der unverändert sind.

Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich ge-regelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.

© 2018 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten

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Satz: Wissenschaftliche PublikationsTechnik Kernstock, 73230 Kirchheim/Teck

Umschlag: braunwerbeagentur, 42477 Radevormwald

Umschlagidee: Bernd Schiemann

http://www.kernstock.com

Kapitelübersicht

1 Rechnen mit Zahlen 9 12 3 +–

4123

4 +– 1

2 Rechnen mit Größen 15 A VmA kVA VmA kV 2

3 Rechnen mit Formeln 17 x y5x y5 3

4 Elektrotechnische Grundlagen 22¡2¡2

R2R2ØØ 4

5 Wechselstromtechnik 43G_ 5

6 Elektronische Schaltungen 64 6

7 Digitaltechnik 87 &010010

110110010010 7

8 Sequenzielle Digitaltechnik 111 8

9 Informationstechnische Systeme 121 9

10 Elektrische Anlagen 132 10

11 Steuerungen und Antriebe 143 11

12 Sensorik (Messwertaufnehmer) 183 12

13 Regelungstechnik 189PDPD

PIDPID

PP

PIPI 13

14 Prüfungsaufgaben 209 ?? TestTest✓✓ 14

15 Aufgaben zur Mechanik 224 FF 15

16 Arbeiten mit Datenblättern 227 Datenblätter 16

17 Ergänzendes Fachwissen Mathematik 229 y 5 x2y 5 x2 17

4

Didaktische Hinweise für den Unterricht

Das Buch „Mathematik für Elektroniker/in für Automatisierungstechnik“ ist Bestandteil eines offenen Lehrsystems und unterstützt den personalen Unterricht in hervorragender Weise. Es bietet einen um-fangreichen Aufgabenfundus, der zur Erfolgskontrolle und der Vorbereitung von Klassenarbeiten dient.

Darbietung des Lehrstoffs. Fachkundliche Informationen und fachmathematische Inhalte werden im handlungsorientierten Unterricht parallel vermittelt. Damit ist das Buch besonders gut geeignet als Arbeits buch für den Lernfeldunterricht. Anhand der fachkundlichen Informationen und der fach-mathematischen Aufarbeitung lassen sich gezielt Teilaufgaben für Lernsituationen bearbeiten. Wegen der Gleichheit der Formelzeichen und der Bilder empfiehlt sich daher die Verwendung der Bücher „Fach-kunde für Industrieelektroniker und Informationstechnik“, „Fachkunde für Büro- und Informations-technik mit Radio-, Fernseh- und Medientechnik“ und „Informations- und Telekommunikations technik“ der EUROPA -Fachbuchreihe.

Vertiefung des Lehrstoffs. Die Aufgaben sind für die Übungsphase bestimmt. Sie sind mit zunehmen-dem Schwierigkeitsgrad angeordnet, und zwar meist paarweise, sodass sich folgende Übungsvariante anbietet: Im Klassenverband oder in Gruppenarbeit werden nur die Aufgaben 1, 3, 5, ... bearbeitet. Die Aufgaben 2, 4, 6, ... sind der Selbsttätigkeit, der Hausarbeit und der Klassenarbeit vorbehalten.

Für Klassenarbeiten und Prüfungen sind die Formeln und Rechenanweisungen des Mathematikbuchs „Mathematik für Elektroniker/in für Automatisierungstechnik“ in den Formelsammlungen „Formeln für Elektroniker und IT“ oder „Formeln Informations- und Systemtechnik“ übersichtlich zusammengefasst.

Vorwort zur 15. Auflage

Die Neubearbeitung des Buches „Mathematik für Elektroniker/in für Automatisierungstechnik“ machte auch eine Neuauflage der „Methodischen Lösungswege“ erforderlich.

Der gestiegene Schwierigkeitsgrad vieler Aufgaben bedingt einen erheblichen Aufwand für das Buch „Methodische Lösungswege“. Verlag und Arbeitskreis belassen es bei dem aufwendigen Aufzeigen des Lösungsweges, weil bei der Komplexität der Aufgaben es auch dem versierten Fachmann nur mit großem Zeitaufwand möglich ist, alle Aufgaben ohne Hilfsmittel zu lösen. So sollen die „Methodischen Lösungswege“ dem Lehrenden helfen, den Zeitaufwand für die Unterrichtsvorbereitung und für Korrek-turen in Grenzen zu halten, damit er sich umso mehr den Lernenden widmen kann.

Wenn es der Lehrende für richtig hält, können bei entsprechender Reife auch die Lernenden aus dem Buch Nutzen ziehen, weil sie dann bei gelösten Aufgaben die Richtigkeit ihrer eigenen Lösung überprü-fen können. Zur Verhinderung von Missbrauch kann allerdings das Buch an minderjährige Lernende nur mit Einverständnis der Schule abgegeben werden.

Verlag und Verfasser danken für die hilfreichen Hinweise der Benutzer und freuen sich auch künftig über konstruktive Verbesserungsvorschläge.

Januar 2018 Verlag und Autoren

5

1 Rechnen mit Zahlen

1.1 Grundgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.1 Vertauschungsgesetz,

Verbindungsgesetz, Verteilungsgesetz . . . 91.1.2 Bruchrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Zehnerpotenzen . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1.1 Werte der Zehnerpotenzen . . . . . . . . . 101.2.1.2 Rechnen mit Zehnerpotenzen . . . . . . . 111.2.2 Sonstige Potenzen mit ganzen Exponenten 111.3 Rechnen mit Wurzeln . . . . . . . . . . . . 121.4 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.1 Rechenregeln, natürlicher und binärer

Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.2 Zehnerlogarithmen . . . . . . . . . . . . . 131.4.3 Logarithmische Darstellung, Linearisieren 141.5 Kehrwert, Prozentrechnen . . . . . . . . . 14

2 Rechnen mit Größen

2.1 Begriffe beim Rechnen mit Größen . . . . 152.2 Umrechnen der Einheiten . . . . . . . . . 152.3 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . 152.4 Multiplikation und Division . . . . . . . . . 16

3 Rechnen mit Formeln

3.1 Umstellen von Formeln . . . . . . . . . . . 173.2 Formel als Größengleichung . . . . . . . . 203.2.1 Längen und Flächen . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . 213.2.3 Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . 21

4 Elektrotechnische Grundlagen

4.1 Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2.1 Widerstand und Leitwert . . . . . . . . . . 224.2.2 Widerstand und Temperatur . . . . . . . . 234.2.3 Leiterwiderstand . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Das Ohm'sche Gesetz . . . . . . . . . . . . 234.4 Messen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4.1 Anzeigefehler bei Zeigermessgeräten . . 244.4.2 Digitales Messen mit DMM . . . . . . . . . 244.4.3 Digitales Multimeter DMM . . . . . . . . . 254.5 Rechnen mit Bezugspfeilen . . . . . . . . 254.6 Elektrische Leistung bei Gleichspannung . 264.7 Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . 274.7.1 Elektrische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . 274.7.2 Mechanische Arbeit und Leistung . . . . . 274.7.3 Wirkungsgrad und Arbeitsgrad . . . . . . 28

4.8 Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . 294.8.1 Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . 294.8.2 Parallelschaltung . . . . . . . . . . . . . . 294.8.3 Gemischte Schaltungen . . . . . . . . . . 304.8.4 Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . 324.9 Brückenschaltungen . . . . . . . . . . . . 334.10 Erzeuger-Ersatzschaltungen . . . . . . . . 344.10.1 Spannungserzeuger . . . . . . . . . . . . . 344.10.2 Spannungserzeugung mit Fotovoltaik . . 344.10.3 Sekundärelemente (der

Energieelektronik) aufladen . . . . . . . . 354.10.4 Überlagerung bei linearen Netzwerken . . 364.10.5 Ersatzspannungsquelle . . . . . . . . . . . 374.10.6 Ersatzstromquelle . . . . . . . . . . . . . . 374.10.7 Anpassungsarten . . . . . . . . . . . . . . 384.11 Schaltungen simulieren mit PSpice . . . . 394.12 Temperatur und Wärme . . . . . . . . . . 414.12.1 Wärme und Wärmekapazität . . . . . . . . 414.12.2 Wärmewiderstand . . . . . . . . . . . . . . 414.12.3 Ermittlung von Kühlflächen . . . . . . . . 41

5 Wechselstromtechnik

5.1 Wechselgrößen . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.1 Periode, Frequenz, Kreisfrequenz,

Wellenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.2 Maximalwert, Spitze-Tal-Wert,

Effektivwert . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.3 Impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2 Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.1 Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.2 Ladung und Kapazität . . . . . . . . . . . . 455.2.3 Kraftwirkung und Energie des

elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . 455.2.4 Elektrische Flussdichte . . . . . . . . . . . 465.2.5 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2.6 Schaltungen von Kondensatoren . . . . . 475.2.7 RC-Schaltung an Gleichspannung und

Rechteckspannung . . . . . . . . . . . . . 475.2.8 Kapazitiver Blindwiderstand . . . . . . . . 475.3 Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3.1 Elektromagnetismus . . . . . . . . . . . . 485.3.1.1 Magnetische Grundgrößen . . . . . . . . . 485.3.1.2 Strom im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . 495.3.2 Induktion und Induktivität . . . . . . . . . 495.3.3 Energie und Energiedichte des

magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . 505.3.4 RL-Schaltungen an Gleichspannung und

Rechteckspannung . . . . . . . . . . . . . 505.3.5 Induktiver Blindwiderstand . . . . . . . . 515.4 Schaltungen mit Blindwiderständen . . . 525.4.1 RC-Schaltungen und

RL-Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . 525.4.1.1 Reihenschaltung von Wirkwiderstand

und Blindwiderstand . . . . . . . . . . . . 525.4.1.2 Verluste der Spule . . . . . . . . . . . . . . 535.4.1.3 Parallelschaltung von Wirkwiderstand

und Blindwiderstand . . . . . . . . . . . . 54

12 3 +–

4123

4 +–

A VmA kVA VmA kV

x y5x y5

¡2¡2

R2R2ØØ

G_

Inhaltsverzeichnis

6

Inhaltsverzeichnis

5.4.1.4 Verluste des Kondensators . . . . . . . . . 555.4.1.5 Grenzfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4.1.6 Ersatz-Reihenschaltung und Ersatz-

Parallelschaltung . . . . . . . . . . . . . . 565.4.2 Schwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4.3 Güte und Bandbreite bei Schwingkreisen 595.4.4 Einfache RC-Siebschaltungen . . . . . . . 605.5 Wechselstromleistungen bei

Einphasenwechselstrom . . . . . . . . . . 615.6 Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . 625.6.1 Transformatorhauptgleichung . . . . . . . 625.6.2 Spannungsübersetzung,

Stromübersetzung und Kurzschlussspannung . . . . . . . . . . . . 63

6 Elektronische Schaltungen

6.1 Schaltungen mit nicht linearen Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.1.1 Differenzieller Widerstand . . . . . . . . . 646.1.2 Impedanzen im Arbeitspunkt . . . . . . . 646.1.3 Zeichnerische Lösung der

Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . 646.1.4 Messschaltungen mit Pt100-

Widerstandssensoren . . . . . . . . . . . 656.2 Schaltungen mit Dioden . . . . . . . . . . 656.2.1 Festlegung des Arbeitspunktes . . . . . . 656.2.1.1 Vorwiderstand von Dioden . . . . . . . . . 656.2.1.2 Zeichnerische Bestimmung des

Arbeitspunktes . . . . . . . . . . . . . . . 666.2.2 Gleichrichterschaltungen . . . . . . . . . . 666.2.2.1 Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.2.2.2 Glättung und Siebung . . . . . . . . . . . 676.2.2.3 Siebung mit RC und LC . . . . . . . . . . . 676.2.3 Spannungsstabilisierung mit Z-Dioden . . 676.2.3.1 Vorwiderstand für die

Spannungsstabilisierung mit Z-Diode . . . 676.2.3.2 Eigenschaften von

Stabilisierungsschaltungen . . . . . . . . 686.3 Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.4 Schaltungen mit fotoelektronischen

Bauelementen . . . . . . . . . . . . . . . . 696.5 Verstärker mit bipolaren Transistoren . . . 706.5.1 Arbeitspunkt in der Emitterschaltung . . . 706.5.1.1 Gleichstromgrößen in Emitterschaltung . 706.5.1.2 Basisspannungsteiler und Stabilisierung

des Arbeitspunktes . . . . . . . . . . . . . 716.5.1.3 Arbeitsgerade für Gleichstrom . . . . . . 726.6 Verstärker mit Feldeffekttransistoren . . . 726.6.1 Gleichstromgrößen von FET in

Sourceschaltung . . . . . . . . . . . . . . 726.6.2 Wechselstromgrößen von FET in

Sourceschaltung . . . . . . . . . . . . . . 736.6.3 IGBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.7 Thyristoren als elektronische Schalter . . 746.8 Gesteuerte Stromrichter . . . . . . . . . . 756.9 Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . 756.9.1 Verstärkung ohne Gegenkopplung . . . . 756.9.2 Invertierender Verstärker . . . . . . . . . . 766.9.3 Summierverstärker . . . . . . . . . . . . . 76

6.9.4 Nicht invertierender Verstärker und Impedanzwandler . . . . . . . . . . . . . . 76

6.9.5 Subtrahierverstärker . . . . . . . . . . . . 776.9.6 Instrumentenverstärker (INV) . . . . . . . 776.9.7 Differenzier-Invertierer . . . . . . . . . . . 776.9.8 Integrier-Invertierer . . . . . . . . . . . . . 786.10 Kippschaltungen . . . . . . . . . . . . . . 786.10.1 Transistoren als elektronische Schalter . . 786.10.1.1 Grundschaltungen elektronischer Schalter 786.10.1.2 Bipolarer Schalttransistor . . . . . . . . . 796.10.2 Schalten bei Ohm'scher, induktiver und

kapazitiver Last . . . . . . . . . . . . . . . 806.10.3 Astabile Kippschaltung . . . . . . . . . . . 806.10.4 Monostabile Kippschaltung . . . . . . . . 816.10.5 Schwellwertschalter (Schmitt-Trigger) . . 826.11 Stabilisierungsschaltungen . . . . . . . . 826.11.1 Spannung stabilisieren . . . . . . . . . . . 826.11.2 Strom stabilisieren . . . . . . . . . . . . . 836.11.3 Spannung regeln mit IC . . . . . . . . . . . 836.11.4 Schaltnetzteile (SNT) . . . . . . . . . . . . 846.11.4.1 Energiefluss in Schaltnetzteilen . . . . . . 846.11.4.2 Durchflusswandler . . . . . . . . . . . . . 856.11.4.3 Sperrwandler . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7 Digitaltechnik

7.1 Aufbau der Zahlensysteme . . . . . . . . . 877.2 Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2.1 Umwandlung von Dualzahlen in

Dezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2.2 Umwandlung von Dezimalzahlen in

Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2.3 Addition und Subtraktion von Dualzahlen 917.2.4 Multiplikation und Division von

Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.2.5 Subtraktion durch Komplementaddition . 947.3 BCD-Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.4 Hexadezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . 987.4.1 Hexadezimalzahlen und Dualzahlen . . . . 987.4.2 Addition und Subtraktion von

Hexadezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . 987.4.3 Hexadezimalzahlen und Dezimalzahlen . . 997.5 Kombinatorische Digitaltechnik

(Schaltnetze) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.5.1 Schaltalgebraische Begriffe . . . . . . . . 1017.5.2 Kommutativgesetz der Schaltalgebra . . . 1027.5.3 Assoziativgesetz der Schaltalgebra . . . . 1027.5.4 Distributivgesetze der Schaltalgebra . . . 1037.5.5 Schaltalgebraische Funktionen . . . . . . 1047.5.5.1 Umkehrgesetze für eine Variable . . . . . 1047.5.5.2 Umkehrgesetze für mehrere Variablen . . 1047.5.6 Logische Verknüpfungen von Zahlen . . . 1067.6 Minimieren und Realisieren von

Schaltfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 1077.6.1 Algebraisches Minimieren . . . . . . . . . 1077.6.2 Realisieren mit NAND-Elementen . . . . . 1087.6.3 Aufstellen des KV-Diagramms . . . . . . . 1097.6.4 Minimieren mit dem

KV-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.7 Lastfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

&010010

110110010010

7

Inhaltsverzeichnis

8 Sequenzielle Digitaltechnik und programmierbare Logik

8.1 JK-Kippschaltungen . . . . . . . . . . . . . 1118.2 Wertetabelle und Zeitablauf diagramm

aus der Schaltung . . . . . . . . . . . . . . 1118.3 Schaltfunktion aus Wertetabelle . . . . . . 1118.4 Schaltung aus Schaltfunktion . . . . . . . 1128.5 Synchrone Zähler mit T-Kippgliedern . . . 1148.6 Frequenzteiler . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.7 PAL-Schaltkreise anwenden . . . . . . . . 1188.7.1 Schaltkreis PAL 10H8 . . . . . . . . . . . . 1188.7.2 Schaltkreis PAL 16RP8 . . . . . . . . . . . . 1198.8 Programmieren mit VHDL . . . . . . . . . 119

9 Informationstechnische Systeme

9.1 PC-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.1.1 Speicherkapazität . . . . . . . . . . . . . . 1219.1.2 Bildauflösung und Speicherkapazität . . . 1219.2 Signalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . 1229.2.1 Signalabtastung . . . . . . . . . . . . . . . 1229.2.2 Signalumsetzer . . . . . . . . . . . . . . . 1229.2.3 Geschwindigkeit der Datenübertragung . 1239.2.4 Pegel und Dämpfung von Datenleitungen 1249.2.5 Wellenwiderstand und

Ausbreitungsgeschwindigkeit . . . . . . . 1259.2.6 Übertragung mit Glasfasern . . . . . . . . 1269.3 Netzwerktechnik . . . . . . . . . . . . . . . 1279.3.1 Lokale Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.3.1.1 Signallaufzeiten auf Bussystemen . . . . . 1279.3.1.2 Signalgeschwindigkeit bei

Sternverkabelung . . . . . . . . . . . . . . 1279.3.1.3 Errichten lokaler Netzwerke . . . . . . . . 1299.3.1.4 Messen und Fehlersuche . . . . . . . . . . 1299.3.1.5 Gebäudeverkabelung . . . . . . . . . . . . 1299.3.2 Internetadressierung und

Subnetzmasken . . . . . . . . . . . . . . . 1309.3.3 Subnetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.3.4 Internetadressierung nach IPv6 . . . . . . 131

10 Elektrische Anlagen

10.1 Drehstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13210.1.1 Sternschaltung . . . . . . . . . . . . . . . 13210.1.1.1 Symmetrische, gleichartige Belastung . . 13210.1.1.2 Unsymmetrische, gleichartige Belastung 13210.1.2 Dreieckschaltung . . . . . . . . . . . . . . 13310.1.2.1 Symmetrische, gleichartige Last . . . . . 13310.1.2.2 Unsymmetrische, gleichartige Last . . . . 13310.1.3 Leistungen bei Drehstrom . . . . . . . . . 13410.2 Kompensation . . . . . . . . . . . . . . . . 13410.3 Leitungsberechnung . . . . . . . . . . . . 13610.3.1 Mindestquerschnitt und

Strombelastbarkeit . . . . . . . . . . . . . 13610.3.2 Strombelastbarkeit von Leitungen bei

Umgebungs temperatur ñu = 30 °C . . . . . 13610.3.3 Spannungsfall nach VDE . . . . . . . . . . 136

10.3.4 Verzweigte Leitungen . . . . . . . . . . . . 13710.4 Bemessung elektrischer Anlagen . . . . . 13910.4.1 Berechnung des Schutzleiterwiderstands 13910.4.2 Widerstände in Schutzleitersystemen . . 14010.4.3 Schmelzsicherungen und

Leitungsschutzschalter LS . . . . . . . . . 14110.5 Schutzmaßnahmen . . . . . . . . . . . . . 141

11 Steuerungen und Antriebe

11.1 SPS-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . 14311.1.1 SPS-Anweisungsliste (AWL) ohne

Speicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14311.1.2 Zusammengesetzte logische

Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . 14411.1.3 Speicherfunktionen . . . . . . . . . . . . . 14811.1.4 Flankenauswertung . . . . . . . . . . . . . 14911.1.5 SPS-Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . 15011.1.6 SPS-Zählfunktionen . . . . . . . . . . . . . 15311.1.7 SPS-Datentypen und Umwandlungen . . 15511.1.8 Erweiterter Operationsvorrat von SPS . . 15611.1.9 Analoge Ein- und Ausgänge . . . . . . . . 15811.1.10 Normierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.1.11 Entwurf eines GRAFCET

(Schrittkettenteil) . . . . . . . . . . . . . . 16211.1.12 Aktionen bei GRAFCET . . . . . . . . . . . 16511.1.13 Aktionen nach EN 61131-3 . . . . . . . . . 16711.2 Antriebstechnik . . . . . . . . . . . . . . . 16911.2.1 Leistungsbedarf ohne Rücksicht auf den

Anlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.2.2 Antrieb mechanischer Systeme . . . . . . 17011.2.3 Leistung beim Anfahren . . . . . . . . . . 17011.2.4 Antrieb mit Gleichstrommotoren . . . . . 17011.2.5 Ein-Quadranten-Steller

(1Q-Steller) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17111.2.6 H-Brücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.2.7 Antrieb mit Drehfeldmotoren . . . . . . . 17411.2.8 Drehstromasynchronmotor (DASM) . . . 17411.2.9 Kennwerte von Asynchronmotoren . . . . 17611.2.10 Asynchronmaschinen am

Frequenzumrichter . . . . . . . . . . . . . 17611.2.11 Projektierung einer Servoachse . . . . . . 17711.3 Schrittmotoren . . . . . . . . . . . . . . . 17811.3.1 Schrittwinkel und Drehzahl . . . . . . . . . 17811.3.2 Schrittmotoren ansteuern . . . . . . . . . 178

12 Sensorik (Messwertaufnehmer)

12.1 Ultraschallsensor (US-Sensor) . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

12.2 Schaltabstand Näherungsschalter . . . . 18412.3 Messen mit Dehnungsmessstreifen . . . . 18412.4 Temperaturerfassung mit

Widerstandsthermometer . . . . . . . . . 18512.5 Lichtabhängige Widerstände . . . . . . . 188

8

Inhaltsverzeichnis

13 Regelungstechnik

13.1 Unstetige Regler . . . . . . . . . . . . . . . 18913.2 Stetige Regler . . . . . . . . . . . . . . . . 19013.2.1 P-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19013.2.2 PÛ-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19113.2.3 PDT1-Regler und PD-Regler . . . . . . . . 19213.2.4 PÛD-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19313.2.5 Regler einstellen(Ziegler/Nichols) . . . . . 19413.3 Regelstrecken . . . . . . . . . . . . . . . . 19413.3.1 Analyse von Regelstrecken . . . . . . . . . 19413.3.2 Regelkreis mit P-Regler . . . . . . . . . . . 19713.3.3 Frequenzgang (Bode-Diagramm) . . . . . 19813.3.4 Reglerentwurf im Frequenzbereich . . . . 19813.3.5 Auswahl der Reglerkennwerte . . . . . . . 19813.3.5.1 Reglerkennwerte für Regelstrecken mit

Ausgleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19813.3.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Reglerkennwerte für Regelstrecken ohne Ausgleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

13.4 Digitale Regelungstechnik . . . . . . . . . 20213.4.1 Digitalisierung und Signalabtastung . . . 20213.4.2 PID-Digitalregler mit

Stellungsalgorithmus . . . . . . . . . . . 20313.4.3 Digitalregler . . . . . . . . . . . . . . . . 20413.5 Direkte digitale Synthese DDS . . . . . . 208

14 Prüfungsaufgaben

14.1 Aufgaben der Analogtechnik . . . . . . . 20914.2 Aufgaben der Digitaltechnik . . . . . . . . 21214.3 Prüfungsaufgaben der Digitaltechnik . . . 21514.3.1 Elektronisches Verkehrsschild . . . . . . . 21514.3.2 Säulenanzeige mit Leuchtdioden . . . . . 21714.3.3 Schaltungen mit monostabilen

Elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21814.3.4 Transportbandsteuerung

(Projektaufgabe) . . . . . . . . . . . . . . . 21914.3.5 Codeprüfung (Projektaufgabe) . . . . . . 22014.4 Prüfungsaufgaben

Automatisierungstechnik . . . . . . . . . . 22114.4.1 Abfülleinrichtung für Schmierstoffe . . . 22114.4.2 Füllstandsregelung Wasserhochbehälter 222

15 Aufgaben zur Mechanik

15.1 Rauminhalte und Massen . . . . . . . . . . 22415.2 Übersetzungen . . . . . . . . . . . . . . . 22415.3 Kraft und Kraftmoment . . . . . . . . . . . 22515.4 Kräfte und Bewegungslehre . . . . . . . . 226

16 Arbeiten mit Datenblättern

16.1 Einführung in den Datenblattgebrauch . . 22716.1.1 Allgemeine Angaben . . . . . . . . . . . . 227

16.1.2 Technische Kenngrößen in Datenblättern 22716.1.3 Umgang mit Datenblättern von

Spannungsreglern und Timer-Bausteinen 22716.2 Überstromschutzein rich tun gen . . . . . . 22716.3 Kleintransformatoren . . . . . . . . . . . . 22716.4 Schütze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

17 Ergänzendes Fachwissen Mathematik

17.1 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 22917.1.1 Lineare Gleichungen mit einer

Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . 22917.1.2 Lineares Gleichungssystem mit zwei

Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . 22917.1.3 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . 23117.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23217.2.1 Beschreibungsformen bei Funktionen . . 23217.2.2 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . 23217.2.3 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . 23317.2.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . 23317.2.4.1 Sinusfunktion und Kosinusfunktion . . . 23317.2.4.2 Graphen der Sinusfunktion und der

Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . 23417.2.4.3 Tangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . 23417.2.4.4 Sinussatz und Kosinussatz . . . . . . . . 23517.2.5 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . 23617.2.6 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . 23717.3 Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . 23817.3.1 Differenzenquotient und

Differenzialquotient . . . . . . . . . . . . 23817.3.2 Ableitungen von Funktionen . . . . . . . 23817.3.3 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . 23917.4 Integrieren . . . . . . . . . . . . . . . . . 24017.4.1 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . 24017.4.2 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . 24217.4.3 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24217.5 Funktionen mit komplexen Größen . . . 24417.5.1 Zahlen in der komplexen Zahlenebene . 24417.5.2 Grundrechenarten mit komplexen Zahlen 24617.5.3 Widerstand und Leitwert in der

komplexen Ebene . . . . . . . . . . . . . . 24717.5.4 Komplexe Berechnung von

Wechselstromschaltungen . . . . . . . . 24817.5.5 Leistungsberechnung in

Wechselstromschaltungen . . . . . . . . 24917.6 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25217.6.1 Arithmetische Reihe . . . . . . . . . . . . . 25217.6.2 Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . 252

PDPD

PIDPID

PP

PIPI

?? TestTest✓✓

FF

Datenblätter

y 5 x2y 5 x2

1S. 11

9

12 3 +–

4123

4 +–

Rec

hn

en m

it Z

ahle

n


1.1 Grundgesetze

1.1.1 Vertauschungsgesetz, Verbindungsgesetz, Verteilungsgesetz

Seite 10

1 a) 3 – 5 + 8 – 1 = 3 + 8 – 5 – 1 = 11 – 6 = 5

b) 6 + 12 – 10 – 3 = 12 + 6 – 3 – 10 = 18 – 13 = 5

c) 2 – 4 + 5 – 9 = 2 + 5 – 4 – 9 = 7 – 13 = –6

d) 8 – 7 + 5 = 8 + 5 – 7 = 13 – 7 = 6

2 a) 7 – 3 – 2 + 8 = 7 + 8 – 3 – 2 = 15 – 5 = 10

b) 5 – 2 + 3 – 1 = 5 + 3 – 2 – 1 = 8 – 3 = 5

c) 9 – 2 + 7 = 9 + 7 – 2 = 16 – 2 = 14

d) 3 – 1 – 5 + 23 = 3 + 23 – 1 – 5 = 26 – 6 = 20

3 a) (–3) · 2 · 2 = 2 · (–3) · 2 = 2 · 2 · (–3) = 4 · (–3) = –12

b) 2 · (–5) · (–3) = (–3) · (–5) · 2 = 15 · 2 = 30

c) 2 · 3 · (–7) = (–7) · 3 · 2 = (–7) · 6 = –42

d) 3 · (–2) · 9 = (–2) · 3 · 9 = (–2) · 27 = –54

4 a) (–8) · 4 · 2 = (–8) · 8 = –64

b) 3 · (–5) · (–3) = (–5) · (–3) · 3 = 15 · 3 = 45

c) 2 · 5 · (–2) = (–2) · 2 · 5 = (–2) · 10 = –20

d) 6 · (–1) · 1 = –6

5 a) 6 + 2 + 4 = 6 + (2 + 4) = 6 + 6 = 12

b) –3 + 2 – 5 = (–3 – 5) + 2 = –8 + 2 = –6

c) 3 – 8 + 11 = (3 + 11) – 8 = 14 – 8 = 6

d) 8 + 2 – 4 = (8 + 2) – 4 = 10 – 4 = 6

6 a) 5 + 4 + 3 = (5 + 3) + 4 = 8 + 4 = 12

b) 4 + 2 – 3 = (4 + 2) – 3 = 6 – 3 = 3

c) 3 – 9 + 6 = (3 + 6) – 9 = 9 – 9 = 0

d) 8 + 2 – 4 = (8 + 2) – 4 = 10 – 4 = 6

7 a) 3 · 5 · 4 = 3 · (5 · 4) = 3(5 · 4) = 3 · 20 = 60

b) (–3) · 5 · 2 = (5 · 2)(–3) = 10(–3) = –30

8 a) 6 · 4 · 2 = 6(4 · 2) = 6 · 8 = 48

b) (–2) · 4 · 3 = (4 · 3)(–2) = 12(–2) = –24

9 a) 3(5 + 2) = 3 · 7 = 21

b) 5(7 – 4) = 5 · 3 = 15

10 a) 4(8 + 3) = 4 · 11 = 44

b) 3(5 – 2) = 3 · 3 = 9

11 a) (–2)(7 + 5) = (–2)12 = –24

b) 3(7 – 6 + 1) = 3 · 2 = 6

c) (–6)(8 – 3) = (–6) · 5 = –30

d) (–5)(6 – 14) = (–5)(–8) = 40

12 a) (–7)(8 – 6) = (–7)2 = –14

b) 5(9 – 5 – 4) = 5 · 0 = 0

c) (–4)(6 – 2) = (–4) · 4 = –16

d) (–9)(8 – 12) = (–9)(–4) = 36

1.1.2 Bruchrechnen

Seite 11

1 a) 65 } 13

= 5 b) 144 } 16

= 9

c) –96 } 4

= –24 d) 48 } –3

= –16

e) –27 } –9

= 3 f) 169 } –13

= –13

g) –144 } –12

= 12

2 a) 88 } –11

= –8 b) 136 } 17

= 8

c) 64 } –16

= –4 d) 156 } –12

= –13

e) –81 } –9

= 9 f) 171 } –19

= –9

g) –232 } –8

= 29

3 a) 1 } 4

+ 2 } 5

+ 5 } 6

= 15 + 24 + 50 } 60

= 89 } 60

= 1 29 } 60

b) 3 } 5

– 2 } 15

+ 7 } 30

= 18 – 4 + 7 } 30

= 21 } 30

= 7 } 10

c) 7 } 24

– 11 } 30

– 8 } 15

+ 3 } 8

= 35 – 44 – 64 + 45 } 120

= –28 } 120

= – 7 } 30


10

12 3 +–

4123

4 +–4 a) 1 }

2 + 3 }

4 + 1 }

6 = 6 + 9 + 2 }

12 = 17 }

12 = 1 5 }

12

b) 5 } 8

– 5 } 24

+ 5 } 48

= 30 – 10 + 5 } 48

= 25 } 48

c) 17 } 18

– 7 } 9

+ 11 } 12

– 1 } 4

= 34 – 28 + 33 – 9 } 36

= 30 } 36

= 5 } 6

5 a) 2 } 53

· 8 = 2 · 8 } 53

= 16 } 53

b) 5 } 7

: 3 } 4

= 5 · 4 } 7 · 3

= 20 } 21

c) 8 } 21

· 1 2 } 5

= 8 · 7 } 21 · 5

= 8 } 15

d) 5 } 31

: 2 } 13

= 5 · 13 } 31 · 2

= 65 } 62

e) 8 5 } 7

: 3 3 } 5

= 61 } 7

: 18 } 5

= 61 · 5 } 7 · 18

= 305 } 126

= 2 53 } 126

6 a) 5 } 37

· 7 = 5 · 7 } 37

= 35 } 37

b) 3 } 11

/ 5 } 9

= 3 · 9 } 11 · 5

= 27 } 55

c) 2 } 15

· 2 3 } 7

= 2 } 15

· 17 } 7

= 34 } 105

d) 7 } 75

/ 8 } 5

= 7 · 5 } 75 · 8

= 35 } 600

= 7 } 120

e) 4 } 9

/ 7 5 } 13

= 4 } 9

/ 96 } 13

= 4 · 13 } 9 · 96

= 13 } 9 · 24

= 13 } 216

7 a) 3 } 5

= 0,6 b) 4 } 15

= 0,2 __

6 ≈ 0,267

c) 12 } 125

= 0,096 d) 35 } 55

= 0, ___

63 ≈ 0,636

e) 154 } 224

= 0,6875

8 a) 0,25 = 25 } 100

= 1 } 4

b) 0,875 = 875 } 1000

= 7 } 8

c) 1,23 = 1 23 } 100

d) 2,05 = 2 5 } 100

= 2 1 } 20

e) 0,0075 = 75 } 10 000

= 3 } 400

9 a) 1 5 } 6

– 5 } 9

2 1 2 2 } 5

– 5 } 4

2 = 15 – 10 } 18

· 48 – 25 } 20

= 5 } 18

· 23 } 20

= 23 } 18 · 4

= 23 } 72

b) 1 4 4 } 5

– 3 1 } 4

2 · 1 2 1 } 5

+ 1 5 } 6

2 = 96 – 65 } 20

· 66 + 55 } 30

= 31 · 121 } 20 · 30

= 3751 } 600

= 6 151 } 600

10 a) 1 8 7 } 5

– 6 5 } 8

2 / 1 3 8 } 9

+ 2 2 } 5

2 = 376 – 265 } 40

/ 175 + 108 } 45

= 111 · 45 } 40 · 283

= 999 } 2264

b) ( 4 5 __ 8

– 6 3 __ 4

+ 3 1 __ 2

) · ( 6 1 __ 3

– 2 4 __ 5

– 1 1 __ 8

) = 37 – 54 + 28 ___________

8 · 760 – 336 – 135 ______________

120

= 11 · 120 _______ 8 · 289

= 11 · 15 ______ 289

= 165 ____ 289

1.2 Potenzen

1.2.1 Zehnerpotenzen

1.2.1.1 Werte der Zehnerpotenzen

Seite 12

1 a) 10+4 = 10 · 10 · 10 · 10

b) 10–1 = 1 } 10

c) 10+3 = 10 · 10 · 10

d) 10–6 = 1 } 10 · 1 } 10 ·

1 } 10 ·

1 } 10 ·

1 } 10 ·

1 } 10

2 a) 10–2 = 1 } 10 · 1 } 10

b) 10+5 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10

c) 10–7 = 1 } 10 · 1 } 10 ·

1 } 10 ·

1 } 10 ·

1 } 10 ·

1 } 10 ·

1 } 10

d) 10+8 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10

3 a) 106 = 1 000 000 b) 10–3 = 0,001

c) 10–2 = 0,01 d) 10–9 = 0,000 000 001

4 a) 10–1 = 0,1 b) 100 = 1

c) 10–6 = 0,000 001 d) 108 = 100 000 000

5 a) 1 } 10–6

= 106 b) 1 } 107

= 10–7

c) 1 } 109

= 10–9 d) 1 } 10–12

= 1012

6 a) 1 } 10–3

= 103 b) 1 } 100

= 100

c) 1 } 103

= 10–3 d) 1 } 101

= 10–1

7 a) 1 } 100

= 1 b) 1 } 101

= 0,1

c) 1 } 10–3

= 1000 d) 1 } 104

= 0,0001

1S. 14

1.2 Potenzen

11

12 3 +–

4123

4 +–

Rec

hn

en m

it Z

ahle

n

8 a) 1 } 10–6

= 1 000 000 b) 1 } 10–4

= 10 000

c) 1 } 102

= 0,01 d) 1 } 10–5

= 100 000

9 a) 24 000 = 24 · 103

b) 0,0023 = 2,3 · 10–3

c) 700 000 = 0,7 · 106

(Es gibt auch andere richtige Lösungen.)

10 a) 12 000 = 12 · 103

b) 0,000 12 = 1,2 · 10–4

c) 340 000 = 0,34 · 106

(Es gibt auch andere richtige Lösungen.)

1.2.1.2 Rechnen mit Zehnerpotenzen

Seite 13

1 a) 106 + 102 – 100 = 1 000 000 + 100 – 1 = 1 000 099

b) 10–3 + 101 – 102 = 0,001 + 10 – 100 = –89,999

c) 106 + 103 + 103 = 106 + 2 · 103 = 1 002 000

2 a) 102 – 101 – 10–2 = 100 – 10 – 0,01 = 89,99

b) 10–6 + 10–7 + 100 = 0,000 001 + 0,000 000 1 + 1 = 1,000 001 1

c) 10–3 + 10–3 – 10–6 = 2 · 10–3 – 10–6 = 0,001 999

3 a) 1013 : 109 = 104

b) 106 · 105 = 1011

c) 1012 : 10–6 = 1012 · 106 = 1018

4 a) 109 : 106 = 103

b) 1027 : 1014 = 1013

c) 10–3 · 10–6 = 10–9

5 a) 10–12 · 1012 = 100

b) 103 · 10–6 = 10–3

c) 108 · 100 · 10–6 = 102

6 a) 100 : 1012 = 10–12

b) 101 · 10–6 = 10–5

c) 10–3 · 109 = 106

7 a) 10 · 106 }

10–3 · 106 = 101

} 10–3

= 101 · 103 = 104 = 10 000

b) 1 } 106 · 10–3

= 10–6 · 103 = 10–3 = 0,001

c) 103 · (10–6)2 }

10–9 · 10–2 = 103 · 10–12

} 10–11

= 102 = 100

8 a) 102 · 10–4 }

10–12 · 109 = 10–2

} 10–3

= 101 = 10

b) 10–3 · 106 }

10–4 · 105 = 102 = 100

c) 10–2 · (106)2 }

103 · 104 = 10–2 · 1012

} 107

= 103 = 1000

9 a) 42 000 · 500 } 0,06

= 42 · 103 · 5 · 102 }

6 · 10–2 = 35 · 107

b) 46 000 · 0,5 } 50 000

= 46 · 103 · 5 · 10–1 }

5 · 104 = 46 · 10–2 = 0,46

c) 0,0065 · 0,025 } 13 000 · 0,0005

= 65 · 10–4 · 25 · 10–3 }

13 · 103 · 5 · 10–4 = 25 · 10–6

d) 4200 · 0,007 } 35 000

= 42 · 102 · 7 · 10–3 }

35 · 103 = 8,4 · 10–4

10 a) 0,0035 · 620 } 310 · 0,07

= 35 · 10–4 · 62 · 101 }

31 · 101 · 7 · 10–2 = 10 · 10–2 = 0,1

b) 0,007 · 630 } 0,0009

= 7 · 10–3 · 63 · 101 }

9 · 10–4 = 49 · 102 = 4900

c) 28 000 · 0,4 } 7000 · 400

= 28 · 103 · 4 · 10–1 }

7 · 103 · 4 · 102 = 4 · 10–3 = 0,004

d) 22 · 0,0004 } 880

= 22 · 4 · 10–4 }

88 · 101 = 1 · 10–5 = 0,000 01

11 (28 · 102 – 2,6 · 103) · 4,47 · 7,6 · 10–6 · 43 · 107 }}

12,7 · 10–3 · 122 · 10–3

= 1,89 · 109

12 (22,7 · 105 – 2,8 · 104) · 343 · 10–6 · 66 · 10–7 }}

21,9 · 10–2 ·12,2 · 10–4

= 19,0

1.2.2 Sonstige Potenzen mit ganzen Exponenten

Seite 14

1 a) 22 = 4 b) 21 = 2

c) 20 = 1 d) 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

2 a) 82 = 64 b) 81 = 8

c) 80 = 1 d) 83 = 8 · 8 · 8 = 512

3 a) 82 + 62 = 64 + 36 = 100 b) 82 · 83 = 85 = 32 768

c) 82 · 42 = 322 = 1024 d) 84 }

24 = 1 8 }

2 2

4 = 44 = 256

4 a) 162/82 = 22 = 4 b) 42 · 43 = 45 = 1024

c) 43/44 = 4–1 = 0,25 d) (42)3 = 46 = 4096


12

12 3 +–

4123

4 +–5 a) 3

2 · 63 }

34 · 64 = 3–2 · 6–1 = 1 }

9 · 1 }

6 = 1 }

54

b) 102 · 63 }

3–1 · 64 = 102 · 6–1

} 3–1

= 300 } 6

= 50

c) 28 · 2–5

} 2–3 · 24

= 23 }

21 = 22 = 4

6 a) 42 · 63

} 33 · 82

= 1 4 } 8

2 2 · 1 6 }

3 2

3 = 1 1 }

2 2

2 · 1 2 }

1 2

3 = 1 1 }

2 2

–1 = 2

b) 34 }

1,54 + 38 · 3–6 = 24 + 32 = 16 + 9 = 25

c) 3–2 }

3–4 = 32 = 9

7 a) (84)3/643 = (84)3 }

(82)3 = (82)3 = 643 = 262 144

b) 3–6/(3 · 3 · 3)–2 = 3–6/(33)–2 = 3–6/3–6 = 30 = 1

8 a) 1 28 · 2–3 }

4 · 2–4 2

2 = (7 · 21)2 = 72 · 22 = 49 · 4 = 196

b) 1 73 – 3,52

} 73 · 22

2 –1

= 73 · 22 }

73 – 3,52 = 73 · 22

} 23 3,53 – 3,52

= 73 · 22 }

3,52(23 · 3,5 – 1) = 23 · 3,53 · 22

} 3,52(23 · 3,5 – 1)

= 25 · 3,5 } 23 · 3,5 – 1

= 32 · 3,5 } 8 · 3,5 – 1

= 112 } 27

9 28 = 256

10 z = 27 = 128 R Zahlen 0 bis 127

11 220 : 22 = 218 = 262 144 Adressen sind wählbar; z = 218 · 23 = 221 = 2 097 152

1.3 Rechnen mit Wurzeln

Seite 15

1 a) Ï}

49 = 7 b) Ï}

2500 = 50

c) Ï}

144 = 12 d) Ï}

1600 = 40

2 a) Ï}

64 = 8 b) Ï}

3600 = 60

c) Ï}

81 = 9 d) Ï}

900 = 30

3 a) Ï}

4240 = 65,12 b) Ï}

68 775 = 262,2

c) Ï}

455 870 = 675,2 d) Ï}

30 428 = 174,4

4 a) Ï}

6540 = 80,87 b) Ï}

41 433 = 203,6

c) Ï}

867 654 = 931,5 d) Ï}

3422 = 58,49

5 a) Ï}

32 + 52 = Ï}

9 + 25 = Ï}

34 = 5,831

b) Ï}

3,52 + 4,22 = Ï}

12,25 + 17,64 = Ï}

29,89 = 5,468

c) Ï}

22 + 2,52 = Ï}

4 + 6,25 = Ï}

10,25 = 3,202

6 a) Ï}

52 + 22 = Ï}

25 + 4 = Ï}

29 = 5,385

b) Ï}

4,22 + 5,32 = Ï}

17,64 + 28,09 = Ï}

45,73 = 6,763

c) Ï}

2,52 + 32 = Ï}

6,25 + 9 = Ï}

15,25 = 3,905

7 a) Ï}

3 · Ï}

5 = Ï}

3 · 5 = Ï}

15 = 3,873

b) 3 Ï}

6 · 3 Ï}

17 = 3 Ï}

102 = 4,672

c) Ï}

16 : Ï}

4 = Ï}

16 : 4 = Ï}

4 = 2

d) 3 Ï}

35 : 3 Ï}

5 = 3 Ï}

35 : 5 = 3 Ï}

7 = 1,913

e) 1 Ï}

5 2 3 = 1 5 1 } 2 2

3 = 5

3 } 2 = Ï}

53 = Ï}

125 = 11,18

f) 3 Ï}

Ï}

64 = 1 64 1 } 2 2

1 } 3 = 64 1 } 6 =

6 Ï}

64 = 6 Ï}

26 = 2

8 a) Ï}

5 · Ï}

7 = Ï}

5 · 7 = Ï}

35 = 5,916

b) 3 Ï}

8 · 3 Ï}

32 = 3 Ï}

8 · 32 = 3 Ï}

256 = 6,35

c) Ï}

25 : Ï}

5 = Ï}

25/5 = Ï}

5 = 2,236

d) 3 Ï}

64 : 3 Ï}

8 = 3 Ï}

64 : 8 = 3 Ï}

8 = 2

e) 1 Ï}

7 2 3 = 1 7 1 } 2 2

3 = 7

3 } 2 = Ï}

73 = Ï}

343 = 18,52

f) 4 Ï}

Ï}

256 = 1 256 1 } 2 2

1 } 4 = 256 1 } 8 =

8 Ï}

256 = 8 Ï}

28 = 2

1.4 Logarithmen

1.4.1 Rechenregeln, natürlicher und binärer Logarithmus

Seite 16

1 a) ln 12 = 2,4849 b) ln 24 = 3,1781

c) ln 47 = 3,8501 d) ln 86 = 4,4543

e) ln 96 = 4,5643

2 a) ln 35 = 3,5553 b) ln 21 = 3,0445

c) ln 56 = 4,0254 d) ln 75 = 4,3175

e) ln 89 = 4,4886

3 a) lb 12 = 3,3219 · 1,0792 = 3,5849

b) lb 35 = 3,3219 · 1,5441 = 5,1292

c) lb 2 = 1, da 21 = 2

1S. 17

1.4 Logarithmen

13

12 3 +–

4123

4 +–

Rec

hn

en m

it Z

ahle

n

d) lb 8 = 3,3219 · 0,9031 = 3 (oder: lb 8 = 3, da 23 = 8)

e) lb 65 = 3,3219 · 1,8129 = 6,0223

4 a) lb 5 = 3,3219 · 0,6990 = 2,3219

b) lb 33 = 3,3219 · 1,5185 = 5,0444

c) lb 7 = 3,3219 · 0,8451 = 2,8073

d) lb 69 = 3,3219 · 1,8388 = 6,1085

e) lb 6 = 3,3219 · 0,7782 = 2,5849

5 a) ln x = 2,3026 · 0,3577 = 0,8236

b) ln x = 2,3026 · 2,4689 = 5,6849

c) ln x = 2,3026 · 1,6643 = 3,8322

d) ln x = 2,3026 · 3,7712 = 8,6836

6 a) ln x = 2,3026 · 0,9934 = 2,2874

b) ln x = 2,3026 · 1,7832 = 4,1060

c) ln x = 2,3026 · 4,2231 = 9,7241

d) ln x = 2,3026 · 0,2121 = 0,4884

7 a) lg x = 0,4343 · 3,4012 = 1,4771

b) lg x = 0,4343 · 1,45 = 0,6297

c) lg x = 0,4343 · 4,7274 = 2,0531

d) lg x = 0,4343 · 1,7918 = 0,7782

8 a) lg x = 0,4343 · 0,3478 = 0,1510

b) lg x = 0,4343 · 1,6094 = 0,6990

c) lg x = 0,4343 · 6,0162 = 2,6128

d) lg x = 0,4343 · 3,4012 = 1,4771

9 a) lb x = 3,3219 · 1,6551 = 5,4981

b) lb x = 3,3219 · 2,7681 = 9,1954

c) lb x = 3,3219 · 0,3324 = 1,1042

d) lb x = 3,3219 · 0,7455 = 2,4765

10 a) lb x = 3,3219 · 0,0917 = 0,3046

b) lb x = 3,3219 · 2,6287 = 8,7323

c) lb x = 3,3219 · 1,3424 = 4,4593

d) lb x = 3,3219 · 0,6800 = 2,2589

1.4.2 Zehnerlogarithmen

Seite 17

1 a) lg 15 = 1,1761 b) lg 23 = 1,3617

c) lg 41 = 1,6128 d) lg 86 = 1,9345

e) lg 87 = 1,9395

2 a) lg 26 = 1,4149 b) lg 68 = 1,8325

c) lg 77 = 1,8865 d) lg 96 = 1,9823

e) lg 240 = 2,3802

3 a) lg 0,5 = 0,6990 – 1 oder 9,6990 – 10

b) lg 3,5 = 0,5441

c) lg 6,8 = 0,8325

d) lg 0,043 = 0,6335 – 2 oder 8,6335 – 10

4 a) lg 0,7 = 0,8451 – 1 oder 9,8451 – 10

b) lg 8,7 = 0,9395

c) lg 5,925 = 0,7727

d) lg 0,0084 = 0,9243 – 3 oder 7,9243 – 10

5

6

7 ¢x = ¢10 · lg x } xA

= 8 cm · lg 50 } 10

= 8 cm · 0,698 97 = 5,59 cm

8 ¢x = ¢10 · lg x } xA

= 10 cm · lg 0,04 } 0,01

= 10 cm · 0,602 06 = 6,02 cm

9 ¢ = ¢10 · lg xE } xA

R ¢10 = ¢/lg xE } xA

= 9,54 cm/lg 0,3 } 0,01

= 6,49 cm

10 ¢x = ¢10 · lg x } xA R lg x } xA

= ¢x } ¢10

R lg x = ¢x } ¢10

+ lg xA = 6,23 cm } 8 cm

+ lg 0,05

= 0,7788 + (0,6990 – 2) = 1,4778 – 2 = 0,4778 – 1

R x = 0,3

101 102100 = 1 103 104

101 102 103 104 105100 = 1


14

12 3 +–

4123

4 +–1.4.3 Logarithmische Darstellung,

Linearisieren

Seite 18 links

1 a) E = 300 lx; Û = 200 µA

b) E = 40 lx; Û = 5 µA

2 a) E = 100 lx; Û = 8 µA

b) E = 2000 lx; Û = 80 µA

3 a) f = 1000 Hz; 22 V

b) f = 500 Hz; 16 V

4 a) U = 30 V; f = 2500 Hz

b) U = 5 V; f = 25 Hz

1.5 Kehrwert, Prozentrechnen

Seite 18 rechts

1 a) 23,07 b) 55

2 a) 5 b) 11,857 143

c) 2,614 285 7 d) 9,392 857 1

e) –6,171 428 6 f) 0,110 457 1

3 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512

4 a) 4,05 2 b) 9,45 2

c) 12,15 2 d) 17,55 2

e) 24,30 2 f) 31,05 2

5 a) 235,35 $ b) 596,22 $

c) 39,22 $ d) 658,98 $

e) 1961,25 $

6 a) 1,96 ¢ b) 17,64 ¢

c) 6,37 ¢ d) 27,93 ¢

e) 145,04 ¢

7 a) 0,027 778 b) 0,0 678 571 c) 0,125

8 a) 0,093 75 b) –0,075 c) 0,766 666 7

9 a) 64,12 b) 622,08 2

10 a) 18,24 N b) 125,8 m2

2S. 21

15

A VmA kVA VmA kV

Rec

hn

en m

it G

röß

en


2.1 Begriffe beim Rechnen mit Größen

Seite 19

1 a) Spannung b) Stromstärke

c) Zeit d) Länge

e) Widerstand

2 a) Volt b) Ampere

c) Kilogramm d) Ohm

e) Sekunden

3 a) An einer Diode liegt eine Spannung von 1,5 V.

b) Durch einen Schichtwiderstand fließt ein Strom von 0,6 A

4 a) An einem Kondensator liegt eine Spannung von 120 V.

b) Durch eine Diode fließt ein Strom von 0,2 A.

2.2 Umrechnen der Einheiten

Seite 20 links

1 a) 44 200 mV = 44,2 V b) 0,002 A = 2 mA

c) 220 µV = 0,000 22 V d) 88 000 µV = 88 mV

2 a) 7,05 kV = 7050 V

b) 880 mØ = 0,88 Ø

c) 840 µA = 0,84 mA

d) 825 ns = 0,825 µs = 0,000 825 ms = 0,000 000 825 s

3 1010 Ø = 10 000 MØ

4 820 · 106 Ø = 820 000 · 103 Ø = 820 000 kØ

5 8020 A = 8,02 kA

6 18 · 10–4 VA = 18 · 10–4 W = 18 · 10–1 mW = 1,8 mW

2.3 Addition und Subtraktion

Seite 20 rechts

1 a) 223 V + 1,1 kV = 0,223 kV + 1,1 kV = 1,323 kV

b) 0,38 A + 400 mA = 0,78 A

c) 144 Ø + 0,12 kØ = 264 Ø

2 a) 2330 mA + 1,2 A = 3,53 A

b) 220 mV + 0,3 A = 220 mV + 0,3 A (Zusammenfassung ist nicht möglich!)

c) 27 cm + 1220 mm = 270 mm + 1220 mm = 1490 mm

Seite 21 oben

3 a) 220 V – 4800 mV = 220 V – 4,8 V = 215,2 V

b) 0,22 A – 120 mA = 0,1 A

c) 320 kØ– 1500 Ø = 318,5 kØ

4 a) 220 V – 1500 mV = 218,5 V

b) 23 mV – 2350 µV = 20,65 mV

c) 1500 ms – 0,7 s = 800 ms

5 a) 25 V + 18 V – 23 A + 25 A – 17 V – 24 A – 24 V = 25 V + 18 V – 17 V – 24 V + 25 A – 23 A – 24 A = 25 V – 24 V + 18 V – 17 V + 25 A – 24 A – 23 A = 2 V – 22 A

b) 660 mV – 2,3 A + 44 V + 2,2 A – 560 mV = 660 mV – 560 mV + 44 V + 2,2 A – 2,3 A = 100 mV + 44 V – 0,1 A = 44,1 V – 0,1 A

6 a) 7 ms – 8 mm + 540 A – 320 V – 6 ms + 0,7 cm – 40 A + 20 V = 7 ms – 6 ms + 540 A – 40 A – 320 V + 20 V + 0,7 cm – 8 mm = 1 ms + 500 A – 300 V – 1 mm

b) 22 mV – 3 kØ + 2,2 A – 25 mV + 2500 Ø – 200 mA = 22 mV – 25 mV – 3 kØ+ 2,5 kØ + 2,2 A – 0,2 A = –3 mV – 0,5 kØ + 2 A


16

A VmA kVA VmA kV

2.4 Multiplikation und Division

Seite 21 rechts

1 a) 6 V · 7 A = 42 VA = 42 W

b) 6 mV · 7 A = 42 mVA = 42 mW

c) 12 mA · 2 mV = 24 mV · mA = 24 µVA = 24 µW

d) 18 kV · 2 mA = 36 VA = 36 W

2 a) 7 mA · 6 V = 42 mVA = 42 mW

b) 3 kA · 2 mV = 6 VA = 6 W

c) 8 kV · 2 µA = 16 k · µVA = 16 mVA = 16 mW

d) 3,5 mV · 12 µA = 42 m · µVA = 42 · 10–9 W = 42 nW

3 a) 3 mVA } 1,2 mA · 0,5 A

= 3 } 0,6

mVA } mA2

= 5 V } A

= 5 Ø

b) 6 µVA }

2 mV · 2 mA = 1,5

µVA }

µVA = 1,5

4 a) 42 VA } 7 mV · 3 kA

= 42 VA } 21 VA

= 2

b) 36 Ø2 }

6 Ø    = 6 kØ

5 a) 22 pAs

} 11 mA

= 22 · 10–12 As } 11 · 10–3 A

= 2 · 10–9 s = 2 ns

b) 12 mVA } 6 kV

= 2 · 10–3 }

103 A = 2 · 10–6 A = 2 µA

c) 24 µVA

} 12 mA

= 24 · 10–6 V } 12 · 10–3

= 2 · 10–3 V = 2 mV

d) 28 mm } 4 ms

= 7 m _ s

6 a) 18 m } s }

9 mm = 2 m _

s · mm = 2 1 _

ms = 2000 1 _

s

b) 3 mA } 2 mAs

= 1,5 1 _ s

c) 30 kVA } 2 mA

= 15 MV

d) 12 m } 1,2 µs

= 10 m _ µs

= 10 Mm _ s = 10 000 km _

s

3S. 22

17

x y5x y5

Rec

hn

en m

it F

orm

eln


3.1 Umstellen von Formeln

Seite 22

1 a) b)

c) d)

2 a)

b)

c)

d)

3 a)

b)

c)

d)

4 a)

b)

c)

d)

5 A = (d + e)h } 2

| · 2

2A = (d + e)h | : (d + e)

h = 2A } d + e

6 V = (F – G)h } 3

| · 3

3V = (F – G)h | : (F – G)

h = 3V } F – G

7 a) V = d 2π ¢ } 4

| · 4

4V = d 2π ¢ | : π ¢

4V } π ¢

    = d 2 | Ï}

d = Ï}

4V } π ¢

      

b) V = d 3π } 12

| · 12

12V = d 3π | : π

12V } π    = d 3 | 3. Wurzel

d = 3

Ï}

12V } π      

8 a) U = 2π N A Bƒf } Ï

} 2 | · Ï

} 2

Ï}

2 U = 2π N A Bƒf | : 2π A Bƒf

N = Ï}

2 U } 2π A Bƒf

b) R = 4DNœ

 } d 2

| · d 2

Rd 2 = 4DNœ | : 4Dœ

N = Rd 2 }

4Dœ  

V = a 2h } 3

| · 2

2V = 2a 2h } 3

V = a 2h } 3

| · 3

3V =a 2h

V = a 2h } 3

| · (–6)

–6V = – 2a 2h

V = a 2h } 3

| · (–1)

–V = –a 2h } 3

R1 + R2 = U } Û    | + R3

R1 + R2 + R3 = U } Û    + R3

R1 + R2 = U } Û    | + R1

2R1 + R2 = U } Û    + R1

R1 + R2 = U } Û    | – R2

R1 = U } Û    – R2

R1 + R2 = U } Û    | +

U3 } Û   

R1 + R2 + U3 } Û    = U }

Û    +

U3 } Û   

R1 + R2 + U3 } Û    =

U + U3 } Û   

1 } x = a – b | Kehrwert

x = 1 } a – b

x 2 = a 2 + 2ab + b 2

x 2 = (a + b)2 | Quadratwurzel x1 = a + b; x2 = –(a + b)

x – 2y = D } 2

| – 2y

x = D } 2

+ 2y

2U = 3x + 6y | – 6y 2U – 6y = 3x | : 3

x = 2U – 6y

} 3

y + 2x = 2a } 5

| – 2x

y = 2a } 5

– 2x

y – A } x = 7d | + A } x

y = 7d + A } x

x } y = 5a } 3b

| Kehrwert

y

} x = 3b } 5a

| · x

y = 3bx } 5a

b = a + 3y | – a

b – a = 3y | : 3

y = b – a } 3


18

x y5x y5

9 a) R1 } R2

= R3 } R4

| · R2

R1 = R2 · R3 }

R4

b) R1 } R2

= R3 } R4

| Kehrwert

R2 } R1

= R4 } R3

| · R1

R2 = R1 · R4 }

R3

c) R1 } R2

= R3 } R4

| · R4

R3 = R1 · R4 }

R2

d) R1 } R2

= R3 } R4

| Kehrwert

R2 } R1

= R4 } R3

| · R3

R4 = R2 · R3 }

R1

Seite 23

10 a)     ¢1 } ¢2

= A2 } A1

| · ¢2

  ¢1 = A2 · ¢2 }

A1

b)     ¢1 } ¢2

= A2 } A1

| Kehrwert

    ¢2 } ¢1

= A1 } A2

| · ¢1

  ¢2 = A1 · ¢1 }

A2

c)     ¢1 } ¢2

= A2 } A1

| · A1

A2 = ¢1 · A1 } ¢2

d)     ¢1 } ¢2

= A2 } A1

| · A1

    ¢1 · A1 } ¢2

= A2 | : ¢1 } ¢2

A1 = A2 · ¢2 } ¢1

11 a) G = (m – n)h } 3

| · 3

3G = (m – n)h | : (m – n)

h = 3G } m – n

b) G = (m – n)h } 3

| · 3

3G = mh – nh | –mh

3G – mh = –nh | :–h

n = 3G – mh } –h

n = mh – 3G } h

12 a) A = h } 3

(¢ + m + n) | : (¢ + m + n)

A } ¢ + m + n

= h } 3

| · 3

h = 3A } ¢ + m + n

b) A = h } 3

(¢ + m + n) | : h } 3

3A _ h

= ¢ + m + n | – (¢ + n)

3A } h

– (¢ + n) = m

m = 3A } h

– ¢ – n

13 1 } R

= 1 } R1

+ 1 } R2

| – 1 } R2

1 } R

– 1 } R2

= 1 } R1

| Kehrwert

R1 = 1 } 1 } R – 1 } R2

R1 = 1 } R2 – R

} R · R2

R1 = R · R2 } R2 – R

14 1 } C

= 1 } C1

+ 1 } C2

| – 1 } C1

1 } C

– 1 } C1

= 1 } C2

| Kehrwert

C2 = 1 } 1 } C – 1 } C1

C2 = 1 } C1 – C

} C · C1

C2 = C · C1 } C1 – C

15 Û = U }

œ ¢ }

A

  Û = UA } œ ¢

    | · ¢

  Û ¢ = UA } œ    | : Û

  ¢ = UA } œÛ

   

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Methodische Lösungswege zu