Univerzitet u BeograduGrađevinski fakultet

Katedra za tehničku mehaniku i teoriju konstrukcija

METOD KONAČNIH ELEMENATA

V. PROF. DR MARIJA NEFOVSKA‐DANILOVIĆ

Uvod

Šta je MKE?Numerička metoda za rešavanje diferencijalnihjednačina kojim se opisuju fizički fenomeni urazličitim oblastima inženjerstva (mašinstvo,građevinarstvo, elektrotehnika, ...)Sistem diferencijalnih jednačina sa odgovarajućim graničnim uslovima čine GRANIČNI PROBLEM

METOD KONAČNIH ELEMENATA 2

Uvod

Osnove MKEFizička diskretizacijaKonačni elementi (KE) međusobno povezani u čvorovimaOsnovne nepoznate veličine definisane u čvorovima KEMetoda deformacijeMetoda silaMešovita (hibridna) metodaInterpolacione funkcije

METOD KONAČNIH ELEMENATA 3

Uvod

Razlika između MKE i drugih numeričkih metoda (metoda konačnih razlika‐MKR)?U MKR vrši se aproksimacija izvoda nepoznatefunkcije, koji se pojavljuju u diferencijalnojjednačini.U MKE vrši se aproksimacija nepoznate funkcije,tj. polja pomeranja svakog konačnog elementapomoću interpolacionih funkcija

METOD KONAČNIH ELEMENATA 4

Uvod

Prednosti MKE u odnosu na ostale numeričke metode:Nema ograničenja u geometriji, opterećenju, graničnim uslovima, materijaluKombinovanje različitih tipova KETačnost rešenja se može povećati povećanjem broja KE...

METOD KONAČNIH ELEMENATA 5

Uvod

Primeri primene MKE

METOD KONAČNIH ELEMENATA 6

Formiranje matematičkog modela

METOD KONAČNIH ELEMENATA 7

Fizički model (realna konstrukcija)

Matematički modelDiferencijalne jednačine

+ granični uslovi

Idealizacija Geometrija Materijal Opterećenje Granični uslovi Kinematika

Pitanja Koji su najvažniji fizički fenomeni? Da li problem zavisi od vremena? Da li je problem linearan ili nelinearan? Koje rezultate želimo da dobijemo? Tačnost rezultata?

Da li možemo da rešimo matematički model analitički?

Primer formiranja matematičkog modela

METOD KONAČNIH ELEMENATA 8

E=210 GPa=0.3h=10 cmd= 0.2 cml=60 cma=35 cmB=20 cm2c=6cmp=0.5 kN/cm²

Cilj analize:

1. Naponi u preseku-

2. Maksimalni ugib na delu dužine l

Primer formiranja matematičkog modela

Izbor matematičkog modela zavisi od: Fenomena koji nas u konkretnom primeru zanima i koje želimo da analiziramo Geometrije Opterećenja Graničnih uslovaMaterijalnih karakteristika Koje rezultate želimo da dobijemo i koja je zahtevana tačnost 

METOD KONAČNIH ELEMENATA 9

1D (linijski) matematički model

METOD KONAČNIH ELEMENATA 10

Cilj analize:

1. M =?

2. T=?

3. vA = ?

Pretpostavka: Euller-Bernoulli-eva greda

Diferencijalna jednačina?

Granični uslovi?

Da li matematički model možemo rešiti analitički?

1D (linijski) matematički model

Pitanja:Pouzdanost? Efikasnost? Koncentracije napona? Uticaji u ostalim delovima?Odgovor: Složeniji matematički model – 2D

METOD KONAČNIH ELEMENATA 11

2D matematički model

METOD KONAČNIH ELEMENATA 12

u = v = 0

00

nt

n

00

nt

n

0

nt

n p

Numerički model‐MKE

METOD KONAČNIH ELEMENATA 13

Da li možemo da rešimo ovaj matematički model analitički?

TEŠKO!

NUMERIČKI POSTUPAKMKE

Fizički model (realna konstrukcija)

Matematički model(Diferencijalne jednačine

+Granični uslovi)

Numerički model

(MKE)

Numerički model ‐ MKE

METOD KONAČNIH ELEMENATA 14

Geometrijski model Numerički model – MKE

Algoritamski koncept MKE

METOD KONAČNIH ELEMENATA 15

1. Korak – DiskretizacijaMatematički (geometrijski model) se pomoćuzamišljenih linija (površi) deli na podddomene –KONAČNE ELEMENTE koji su međusobno povezani uČVOROVIMA

K. e.

čvor

Greške diskretizacije?

Preprocesing

Algoritamski koncept MKE

METOD KONAČNIH ELEMENATA 16

2. Korak – Opis ponašanja svakog konačnog elementa Definisanje polja pomeranja – Interpolacione funkcije

Osnovna relacija u MKE:

3. Korak – Opis ponašanja sistema “Assembling”:

e e eK q Q

Kq Q

Algoritamski koncept MKE

METOD KONAČNIH ELEMENATA 17

4. Korak – Rešavanje sistema jednačina (određivanje nepoznatih u čvorovima)5. Korak ‐ Određivanje uticaja u elementima (pomeranja, naponi, deformacije, ...) – postprocessing6. Korak – Analiza, verifikacija, kritički osvrt

Da se vratimo na primer ...

METOD KONAČNIH ELEMENATA 18

Pomeranja

Da se vratimo na primer ...

METOD KONAČNIH ELEMENATA 19

x

Da se vratimo na primer ...

METOD KONAČNIH ELEMENATA 20

y xy

Analiza rezultata

1D MATEMATIČKI MODEL

Maksimalni ugib

Normalni napon 

2D MATEMATIČKI MODEL

Maksimalni ugib

Normalni napon

METOD KONAČNIH ELEMENATA 21

11.34 /

0.1706

11.10 /

Zaključak: Efikasnost 1D modela ogleda se u njegovoj jednostavnosti, tj. dopouzdanih rezultata se dolazi na jednostavan način, bez primenenumeričkog postupka i računara.

0.1429

Da rezimiramo....

Izbor matematičkog modela izmeđuostalog zavisi i od toga šta želimo dadobijemo kao rezultat analize. Najefikasniji je matematički model kojidaje pouzdane rezultate uz najmanji utrošakresursa, vremena i napora. Rešenje numeričkog modela je tačnoonoliko koliko je tačan matematički model.

METOD KONAČNIH ELEMENATA 22

Umesto zaključka...

METOD KONAČNIH ELEMENATA 23

Fizički model

Matematički model

Numerički model

Progušćenje mreže, promena tipa k.e., ...

Kraj!Da

Ne

Promena fizičkog modela

Zadovoljni dobijenim rezultatima? Promena

matematičkog modela