Univerzitet u BeograduGrađevinski fakultet

Katedra za tehničku mehaniku i teoriju konstrukcija

METOD KONAČNIH ELEMENATA

V. PROF. DR MARIJA NEFOVSKA‐DANILOVIĆ

Konstantno stanje napona i deformacija  U analizama elemenata izloženih savijanju mreža konačnih elemenata je daje konstrukciju kruću od realne Ponašanje pri ravnom stanju deformacije

METOD KONAČNIH ELEMENATA 2

Nedostaci CST konačnog elementa

METOD KONAČNIH ELEMENATA 3

Nedostaci CST konačnog elementa

METOD KONAČNIH ELEMENATA 4

Nedostaci CST konačnog elementa

Ravno stanje deformacije

METOD KONAČNIH ELEMENATA 5

Deformacija

Nedostaci CST konačnog elementa

= 0.2 = 0.499

METOD KONAČNIH ELEMENATA 6

Nedostaci CST konačnog elementa

= 0.2

xy

= 0.499

METOD KONAČNIH ELEMENATA 7

x

Nedostaci CST konačnog elementa

= 0.2 = 0.2

y

METOD KONAČNIH ELEMENATA 8

Nedostaci CST konačnog elementa

= 0.499

y

= 0.499

x

Nedostaci konačnog elementa Q4

METOD KONAČNIH ELEMENATA 9

Q4 konačni element nije u stanju da opišenaponsko‐deformacijsko stanje pri čistomsavijanju “Shear locking”

Stvarna deformacija Deformacija konačnog elementa

Stvarno naponsko‐deformacijsko stanje pri čistom savijanju

METOD KONAČNIH ELEMENATA 10

3

32 2

0

b b bx

y xy

M My y E yb t I a

2

2

12

x

b

vu yx

vy yx

a

2

20

bx

by x

xy

ya

ya

2

31 1 22 2 3 2

bb x x y y xy xy x x

V V

b b b

A dV dV Et aba

W M

Polje pomeranja Q4 elementa

METOD KONAČNIH ELEMENATA 11

Pomeranje kao krutog tela

1u 5v 3 5

5 3

u y v x

Stanje konstantne deformacije

2u x 7v y 3 5u y v x

Savijanje

4u xy 8v xy

Deformacija konačnog elementa

METOD KONAČNIH ELEMENATA 12

,2

, 0

elu x y x ya

v x y

20

2

elx

y

elxy

ya

xa

2

2

1 2

1 2

2 1 2

elx

ely

elxy

E ya

E ya

E xa

2 23

2

1 1 2 112 2 1 2 3 2

elel x x y y xy xy x x xy xy

V V

el el el

Et ab aA dV dVa b

W M

“Shear locking”

METOD KONAČNIH ELEMENATA 13

2 2

2

2

2

1 11 2 1

1 11 2 1

el el el el el

b b b b b

el el

b b

A a W MA b W M

M aM b

2

21 1 1

1 2 1el

el b el bb

M a M MM b

2

21 1112

elel b el b

b

M Mab

Primer

METOD KONAČNIH ELEMENATA 14

4 x 1.0

1.0

M = 1

1D matematički modelM

METOD KONAČNIH ELEMENATA 15

F = 1

F = 1

Primer

2D matematički model

4 x 1.0

1.0

M = 1

Rezultati – 2D model (4x1)

METOD KONAČNIH ELEMENATA 16

6max 3,081 10v m

2max 44 /x kN m

Rezultati – 2D model (4x1)

METOD KONAČNIH ELEMENATA 17

2max 15,6 /xy kN m

2max 13,3 /y kN m

Analiza i zaključak – 2D model (4x1)

METOD KONAČNIH ELEMENATA 18

Da li smo zadovoljni rezultatima numeričkeanalize? Kako se rezultati mogu popraviti? Progušćenjem mreže konačnih elemenataPromenom tipa konačnog elementa Promenom matematičkog modela

2D model – progušćenje mreže konačnih elemenata (16x4)

METOD KONAČNIH ELEMENATA 19

6max 4,0431 10v m

2max 59,7 /x kN m

METOD KONAČNIH ELEMENATA 20

2max 5,6 /xy kN m

2max 4,8 /y kN m

2D model – progušćenje mreže konačnih elemenata (16x4)

METOD KONAČNIH ELEMENATA 21

2D model – progušćenje mreže konačnih elemenata (32x8)

6max 4,516 10v m

2max 60,3 /x kN m

METOD KONAČNIH ELEMENATA 22

2D model – progušćenje mreže konačnih elemenata (32x8)

2max 2,9 /xy kN m

2max 2,5 /y kN m

Elementi sa kvadratnom aproksimacijom

LST – Linear Strain Triangle Q8 – Serendipity Q9 – Lagrange‐ov Q6 – Incompatible modes

METOD KONAČNIH ELEMENATA 23

METOD KONAČNIH ELEMENATA 24

LST konačni element

1

2

3

4

56 v2

v5

u2

u5

u3v3

u6v6

u4v4

u1

v1

LST – Linear Strain Triangle Element sa kvadratnom interpolacijompolja pomeranja i linearnom aproksimacijompolja deformacija

METOD KONAČNIH ELEMENATA 25

LST konačni element Interpolacione funkcije

Q8 konačni element (Serendipity)

METOD KONAČNIH ELEMENATA 26

Q9 konačni element (Lagrange‐ov)

METOD KONAČNIH ELEMENATA 27

Q6 nekompatibilni konačni element 

METOD KONAČNIH ELEMENATA 28

su dodatni (unutrašnji) parametri pomeranja Polje pomeranja sadrži 6 interpolacionih funkcija Pored osnovnih modova elementa Q4, ovaj elementsadrži modove koji opisuju stanje konstantne krivine

41 gg

METOD KONAČNIH ELEMENATA 29

Q6 nekompatibilni konačni element 

Element je nekompatibilan

Za neke slučajeve opterećenja neće biti ispunjenkontinuitet na granici između konačnih elemenata

METOD KONAČNIH ELEMENATA 30

2D model–model sa Q6 elementima

6max 4,571 10v m

F = 1

F = 1

METOD KONAČNIH ELEMENATA 31

2D model–model sa Q6 elementima2max 60 /x kN m

2max 0 /xy kN m 2max 0 /y kN m