Metoda CPM/PERTmariusz.makuchowski.staff.iiar.pwr.wroc.pl/.../cpmpert.pdfmodel AOA (ang. activity on arrow) wierzcho≥ki reprezentujπstany wykonania projektu, ≥uki reprezentujπoperacje

Metoda CPM/PERT

dr inø. Mariusz Makuchowski

CPM - wstÍp

CPMnazwa metody pochodzi od angielskiego Critical PathMethod,

jest technikπ bazujπcπ na grafowej reprezentacji projektu,

uøywana jest dla deterministycznych danych.

dr inø. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - modele grafowe projektu

Stosowane sπ dwa typy modeli grafowych:model AON (ang. activity on node)wierzcho≥ki reprezentujπ operacje (zadania) dowykonania,≥uki reprezentujπ zaleønoúci kolejnoúciowe pomiÍdzydanymi operacjami;

model AOA (ang. activity on arrow)wierzcho≥ki reprezentujπ stany wykonania projektu,≥uki reprezentujπ operacje do wykonania.


CPM - cele stosowania CPM

G≥ówne cele stosowania CPM to:

wyliczenie czasu zakoÒczenia projektu,

wyznaczenie operacji niekrytycznych, dla którychwyznacza siÍ dopuszczalne opóünienie, które nie bÍdzieskutkowa≥o opóünieniem ca≥ego projektu,

wyznaczenie operacji krytycznych, których kaøde nawetminimalne opóünienie spowoduje opóünienie projektu.


CPM - obliczenia w przód i wstecz

CPM dokonuje obliczeÒ w dwóch fazach:obliczenia w przód,najwczeúniejsze momenty rozpoczÍcia operacji,ES (ang. Early Start),najwczeúniejsze momenty zakoÒczenia operacji,EF (ang. Early Finish).

obliczenia wstecz.LS (ang. Late Start)najpóüniejsze momenty rozpoczÍcia operacji,LF (ang. Late Finish)najpóüniejsze momenty zakoÒczenia operacji.


CPM - ES, EF, LS, LF

nazwaczasES EF

LS LF

ES jest najwczeúniejszym moøliwym momentemrozpoczÍcia wykonywania operacji,

EF jest najwczeúniejszym moøliwym momentemzakoÒczenia wykonywania operacji,

LS jest najpóüniejszym moøliwym momentem rozpoczÍciawykonywania operacji, bez opóünienia ca≥ego projektu,

LF jest najpóüniejszym moøliwym momentem zakoÒczeniawykonywania operacji, bez opóünienia ca≥ego projektu.


CMP - przyk≥ad: dane

czynnoúÊ poprzednik czas trwaniaA - 2B - 5C A,B 1D B 6E C,D 4F D 2


CPM - obliczenia ES, EF

ES = najpóüniejszy z EF wszystkich poprzedników

EF = ES + czas trwania operacji.

A2

B5

C1

D6

E4

F2

start koniecstart0 0

A2

?

A20

?

A20 2

B5

? ?

B50 5

C1

? ?

C15 6

D6

? ?

D65 11

E4

? ?

E411 15

F2

? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15





A2

B5

C1

D6

E4

F2

start koniec

start0 0

A2

?

A20

?

A20 2

B5

? ?

B50 5

C1

? ?

C15 6

D6

? ?

D65 11

E4

? ?

E411 15

F2

? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15





A2

B5

C1

D6

E4

F2


A2

?

A20

?

A20 2

B5

? ?

B50 5

C1

? ?

C15 6

D6

? ?

D65 11

E4

? ?

E411 15

F2

? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15





A2

B5

C1

D6

E4

F2


A2

?

A20

?

A20 2

B5

? ?

B50 5

C1

? ?

C15 6

D6

? ?

D65 11

E4

? ?

E411 15

F2

? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15





A2

B5

C1

D6

E4

F2


A2

?

A20

?

A20 2

B5

? ?

B50 5

C1

? ?

C15 6

D6

? ?

D65 11

E4

? ?

E411 15

F2

? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15





A2

B5

C1

D6

E4

F2


A2

?

A20

?

A20 2

B5

? ?

B50 5

C1

? ?

C15 6

D6

? ?

D65 11

E4

? ?

E411 15

F2

? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15





A2

B5

C1

D6

E4

F2


A2

?

A20

?

A20 2

B5

? ?

B50 5

C1

? ?

C15 6

D6

? ?

D65 11

E4

? ?

E411 15

F2

? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15





A2

B5

C1

D6

E4

F2


A2

?

A20

?

A20 2

B5

? ?

B50 5

C1

? ?

C15 6

D6

? ?

D65 11

E4

? ?

E411 15

F2

? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15





A2

B5

C1

D6

E4

F2


A2

?

A20

?

A20 2

B5

? ?

B50 5

C1

? ?

C15 6

D6

? ?

D65 11

E4

? ?

E411 15

F2

? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15





A2

B5

C1

D6

E4

F2


A2

?

A20

?

A20 2

B5

? ?

B50 5

C1

? ?

C15 6

D6

? ?

D65 11

E4

? ?

E411 15

F2

? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15





A2

B5

C1

D6

E4

F2


A2

?

A20

?

A20 2

B5

? ?

B50 5

C1

? ?

C15 6

D6

? ?

D65 11

E4

? ?

E411 15

F2

? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15


CPM - obliczenia LS, LF

LF = najwczeúniejszy z LS wszystkich nastÍpników

LS = LF - czas trwania operacji.

start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

?

15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0





start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

?

15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0





start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

?

15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0





start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

?

15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0





start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

?

15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0





start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

?

15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0





start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

?

15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0





start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

?

15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0





start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

?

15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0


CPM - luz operacji

Co to jest ca≥kowity luz, TF (ang.Total Float).Luz jest wartoúciπ o jakπ moøna opóüniÊ rozpoczÍciewykonywania operacji albo wyd≥uøyÊ jej czas trwania, przyjednoczesnym zachowaniu terminu zakoÒczenia projektu.

Jak wyznaczyÊ TF?TF = LS-ES = LF-EF

Co moøna powiedzieÊ o operacji dla której TF=0?Operacja taka jest operacjπ krytycznπ, jakiekolwiekopóünienie tej operacji spowoduje wyd≥uøenie ca≥ego projektu.


CPM - úcieøka krytyczna: przyk≥ad

start0 0

0 0

A20 2

8 10

B50 5

0 5

C15 6

10 11

D65 11

5 11

E411 15

11 15

F211 13

13 15

koniec15 15

15 15

start0 0

0 00

A20 2

8 108

B50 5

0 50

C15 6

10 115

D65 11

5 110

E411 15

11 150

F211 13

13 152

koniec15 15

15 150



start0 0

0 0

A20 2

8 10

B50 5

0 5

C15 6

10 11

D65 11

5 11

E411 15

11 15

F211 13

13 15

koniec15 15

15 15

start0 0

0 00

A20 2

8 108

B50 5

0 50

C15 6

10 115

D65 11

5 110

E411 15

11 150

F211 13

13 152

koniec15 15

15 150



start0 0

0 0

A20 2

8 10

B50 5

0 5

C15 6

10 11

D65 11

5 11

E411 15

11 15

F211 13

13 15

koniec15 15

15 15

start0 0

0 00

A20 2

8 108

B50 5

0 50

C15 6

10 115

D65 11

5 110

E411 15

11 150

F211 13

13 152

koniec15 15

15 150


CPM - úcieøka krytyczna: w≥asnoúci

W≥asnoúci úcieøki krytycznej:

úcieøkÍ krytycznπ tworzπ operacje krytyczne (TF=0),

úcieøka krytyczna jest najd≥uøszπ úcieøkπ w grafie,

moøe istnieÊ wiele úcieøek krytycznych.


PERT - wstÍp

PERTnazwa metody PERT pochodzi od angielskiego ProgramEvaluation and Review Technique,

jest technikπ bazujπcπ na metodzie CPM,uøywana jest dla niedeterministycznych danych;pozwala wyznaczyÊ prawdopodobieÒstwo terminowegozakoÒczenia projektu,pozwala wyznaczyÊ z zadanym prawdopodobieÒstwemczas trwania projektu.


PERT - dane

Dane projektu:

dane sπ operacje wchodzπce w sk≥ad projektu,

dane sπ relacje kolejnoúciowe pomiÍdzy operacjamiprojektu,czas operacji podany jest jako trójka:a - optymistyczny,m - najbardziej prawdopodobny,b - pesymistyczny.


PERT - oczekiwany czas trwania operacji

Dla kaødej operacji wylicza siÍ oczekiwany czas jej trwaniaoraz jego wariancjÍ

t

oper

= a

oper

+4moper

+b

oper

6

,

‡2oper

= (boper≠aoper6

)2

.


PERT - uøycie CPM

Dla wyliczonych oczekiwanych czasów trwania operacjistosujemy metodÍ CPM otrzymujπc:

µ oczekiwany czas realizacji projektu,

‡2 wariancje czasu projektu, która jest sumπ wariancjioperacji ze úcieøki krytycznej,‡2 = ⌃

operœCriticalPath(‡2oper

).


PERT - prawdopodobieÒstwo zakoÒczenia projektu

WartoúÊ oczekiwana czasu projektu wynosi µ,a prawdopodobieÒstwo p(t < µ) zakoÒczenia projektu wczasie nie wiÍkszym niø µ wynosi 50%.

PrawdopodobieÒstwo p(t < x) zakoÒczenia projektu wterminie nie wiÍkszym niø x wynosi:

p(t < x) = �1x ≠ µ‡

2,

gdzie � jest dystrybuantπ standardowego rozk≥adunormalnego.


PERT - przyk≥ad

Jakie jest prawdopodobieÒstwo realizacji projektu wczasie nieprzekraczajπcym 17 dni?

Jaki czas przeznaczyÊ na wykonanie projektu abyprawdpodobieÒstwo realizacji projektu w terminiewynosi≥o 99%?


PERT - przyk≥ad: dane

czynnoúÊ poprzednik czas a czas m czas b czas t ‡2

A - 1 2 3B - 2 3 4C A 1 2 3D A 1 2 3E B 3 4 5F D, E 2 4 6G C 1 3 5H C 3 5 7I F, H 5 7 9


PERT - przyk≥ad: uøycie CPM

A

B

C

D

E F

G

H

I


PERT - przyk≥ad: czas t i ‡2

czynnoúÊ poprzednik czas a czas m czas b czas t ‡2

A - 1 2 3 2 0.11B - 2 3 4 3 0.11C A 1 2 3 2 0.11D A 1 2 3 2 0.11E B 3 4 5 4 0.11F D, E 2 4 6 4 0.44G C 1 3 5 3 0.44H C 3 5 7 5 0.44I F, H 5 7 9 7 0.44



A2

‡2 = 0.11

B3

‡2 = 0.11

C2

‡2 = 0.11

D2

‡2 = 0.11

E4

‡2 = 0.11

F4

‡2 = 0.44

G3

‡2 = 0.44

H5

‡2 = 0.44

I7

‡2 = 0.44

A20 2

‡2 = 0.11

B30 3

‡2 = 0.11

C22 4

‡2 = 0.11

D22 4

‡2 = 0.11

E43 7

‡2 = 0.11

F47 11

‡2 = 0.44

G34 7

‡2 = 0.44

H54 9

‡2 = 0.44

I711 18

‡2 = 0.44



A2

‡2 = 0.11

B3

‡2 = 0.11

C2

‡2 = 0.11

D2

‡2 = 0.11

E4

‡2 = 0.11

F4

‡2 = 0.44

G3

‡2 = 0.44

H5

‡2 = 0.44

I7

‡2 = 0.44

A20 2

‡2 = 0.11

B30 3

‡2 = 0.11

C22 4

‡2 = 0.11

D22 4

‡2 = 0.11

E43 7

‡2 = 0.11

F47 11

‡2 = 0.44

G34 7

‡2 = 0.44

H54 9

‡2 = 0.44

I711 18

‡2 = 0.44



A2

‡2 = 0.11

B3

‡2 = 0.11

C2

‡2 = 0.11

D2

‡2 = 0.11

E4

‡2 = 0.11

F4

‡2 = 0.44

G3

‡2 = 0.44

H5

‡2 = 0.44

I7

‡2 = 0.44

A20 2

‡2 = 0.11

B30 3

‡2 = 0.11

C22 4

‡2 = 0.11

D22 4

‡2 = 0.11

E43 7

‡2 = 0.11

F47 11

‡2 = 0.44

G34 7

‡2 = 0.44

H54 9

‡2 = 0.44

I711 18

‡2 = 0.44



Wyniku dzia≥ania metody CPM otrzymujemy:

úcieøkÍ krytycznπ, B æ E æ F æ I ,

µ = t

B

+ t

E

+ t

F

+ t

I

= 3+ 4+ 4+ 7 = 18,

‡2 = ‡2B

+‡2E

+‡2F

+‡2I

= 0.11+0.11+0.44+0.44 = 1.10,

‡ = 1.05.


PERT - przyk≥ad: rozwiπzanie

PrawdopodobieÒstwo zakoÒczenia projektu w ciπgu 17 dni:

p(t < 17) = �(17≠µ‡ ) = �( ≠11.05) = �(≠0.95) = 0.1711

wynosi 17%.

17 18

17%


PERT - przyk≥ad: rozwiπzanie

Projekt na 99% zakoÒczy siÍ:

t = µ+ ‡ · �≠1(0.99) = 18+ 1.05 · 2.33 = 20.45

nie póüniej niø w po≥owie 21 dnia.

20.4518

99%


DziÍkujÍ za uwagÍ


Documents

Metoda CPM/PERTmariusz.makuchowski.staff.iiar.pwr.wroc.pl/.../cpmpert.pdfmodel AOA (ang. activity on arrow) wierzcho≥ki reprezentujπstany wykonania projektu, ≥uki reprezentujπoperacje