METODE PENGHALUSAN EKSPONENSIAL HOLT-WINTERS DAN …digilib.unila.ac.id/56257/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · DATA DERET BERKALA MUSIMAN Oleh ANISA RISKA ANDI SAPUTRI Tujuan

METODE PENGHALUSAN EKSPONENSIAL HOLT-WINTERS DANMETODE SEASONAL AUTOREGRESSIVE INTEGRATED

MOVING AVERAGE (SARIMA) PADA PERAMALANDATA DERET BERKALA MUSIMAN

(Skripsi)

Oleh

ANISA RISKA ANDI SAPUTRI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2019

ABSTRACT

HOLT-WINTERS MULTIPLICATIVE EXPONENTIAL SMOOTHINGMETHOD AND SEASONAL AUTOREGRESSIVE INTEGRATEDMOVING AVERAGE (SARIMA) METHOD IN FORECASTING

SEASONAL TIME SERIES DATA

By


The aim of this study is to examine Holt-Winters Multiplicative ExponentialSmoothing Method and Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average(SARIMA) Method and to compare this two methods in forecasting data on thenumber of train passengers in Indonesia. Based on the results of the study, it wasfound that the Holt-Winters Multiplicative Exponential Smoothing Method wasmore feasible than the SARIMA Method in predicting the number of trainpassengers in Indonesia in the future period.

Keywords: Holt-Winters, Multiplicative, SARIMA, MSE.

ABSTRAK



Oleh


Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengkaji Metode PenghalusanEksponensial Holt-Winters Multiplikatif dan Metode Seasonal AutoregressiveIntegrated Moving Average (SARIMA) serta membandingkan kedua metodetersebut pada peramalan data jumlah penumpang Kereta Api di Indonesia.Berdasarkan hasil penelitian diperoleh bahwa Metode Penghalusan EksponensialHolt-Winters Multiplikatif lebih layak digunakan dibandingkan Metode SARIMAdalam meramalkan jumlah penumpang kereta api di Indonesia periode kedepan.

Kata kunci: Holt-Winters, Multiplikatif, SARIMA, MSE.



Oleh


Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelarSARJANA SAINS

pada

Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2019

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama lengkap Anisa Riska Andi Saputri, anak pertama dari empat

bersaudara yang dilahirkan di Bandar lampung pada tanggal 12 April 1997 oleh

pasangan Bapak Rusdan RM dan Ibu Ira Andina.

Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SD Al-Azhar 1 Bandar

Lampung pada tahun 2009. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP

Negeri 21 Bandar Lampung pada tahun 2012. Pendidikan di sekolah menengah

atas di SMA Negeri 15 Bandar Lampung pada tahun 2015.

Pada tahun 2015 penulis terdaftar sebagai mahasiswi S1 Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui

Jalur SNMPTN undangan. Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif berorganisasi

yaitu menjadi anggota Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA). Pada

tahun 2018, sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu di dunia kerja, penulis telah

melaksanakan Kerja Praktik (KP) selama 40 hari di Badan Pengelola Pajak dan

Retribusi Daerah (BPPRD) Kota Bandar Lampung. Pada tahun yang sama,

sebagai bentuk pengabdian kepada masyarakat, penulis telah melaksanakan

Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 32 hari di Desa Bujung Sari Marga,

Kecamatan Pagar Dewa, Kabupaten Tulang Bawang Barat.

PERSEMBAHAN

Bismillahirrohmaanirrohim

Segala puji dan syukur tiada hentinya terpanjatkan kepada Allah SWT. Taburan cinta dan kasih

sayang-Mu telah memberikanku kekuatan, membekaliku dengan ilmu serta

memperkenalkanku dengan cinta.

Ku persembahkan karya kecil ini untuk cahaya hidup yang senantiasa ada saat suka maupun duka dan

selalu setia mendampingiku. Kedua orang tuaku, Bapak dan Ibu. Ketiga saudaraku, Rahman, Andre,

dan Zaki, terimakasih untuk semua doa, cinta kasih, canda dan tawa yang tidak akan

terbayarkan oleh apapun.

Dosen-dosen Pembimbing dan Pembahas yang sangat berjasa dan selalu memberikan

motivasi kepada penulis.

Seseorang terkasih yang senantiasa menemai sampai saat ini, terimakasih atas kasih sayang, perhatian,

dan kesabaranmu yang menjadi semangat bagiku.

Sahabat tercinta, terimakasih atas kebersamaan, keceriaan, doa dan semangat yang telah diberikan.

Almamater kebanggaan, Universitas Lampung.

KATA INSPIRASI

“Cukuplah Allah menjadi Penolong kami dan Allah adalah

sebaik-baiknya Pelindung”

(QS. Ali ‘Imran: 173)

“Rahasia dari kesuksesan kita adalah bahwa kita

tidak pernah menyerah”

(Ilma Mankiller)

“Hidup tidak akan hidup jika anda tidak

membuat kesalahan”

(Joan Collins)

“Kalau hidup sekedar hidup, babi di hutan juga hidup.

Kalau bekerja sekedar bekerja, kera juga bekerja”

(Hamka)

SANWACANA

Segala puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT yang Maha

Pengasih lagi Maha Penyayang atas izin serta ridho-Nya dalam menyelesaikan

skripsi yang berjudul “Metode Penghalusan Eksponensial Holt-Winters dan

Metode Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average (SARIMA) pada

Peramalan Data Deret Berkala Musiman”. Penulis menyadari bahwa dalam

penulisan skripsi ini tidak terlepas dari bimbingan, bantuan, dan kerjasama dari

berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan

terimakasih kepada:

1. Bapak Drs. Nusyirwan, M.Si. selaku Dosen Pembimbing I, yang

senantiasa selalu membimbing dan memberikan arahan kepada penulis

dalam menyelesaikan skripsi ini ditengah-tengah waktu kesibukannya.

2. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing II, yang

telah memberikan bimbingan serta saran yang membantu penulis dalam

menyelesaikan skripsi ini.

3. Bapak Prof. Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D selaku Dosen Pembahas

dan Pembimbing Akademik, terima kasih atas kesediaannya untuk

membahas, memberikan saran dan kritik yang membangun dalam

penyelesaian skripsi ini, serta terimakasih atas bimbingan dan

pembelajarannya dalam menjalani perkuliahan.

4. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

5. Bapak Prof. Sutopo Hadi, M.Sc., Ph.D., selaku Plt. Dekan Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6. Seluruh Dosen dan Karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7. Bapak dan Ibu tercinta yang tak pernah berhenti memberi semangat, doa,

dorongan, nasihat dan kasih sayang serta pengorbanan yang tak

tergantikan hingga penulis selalu kuat menjalani setiap rintangan yang ada

di depan.

8. Adik-adikku: Rahman, Andre, dan Zaki yang selalu berbagi canda dan

tawa serta selalu menyemangati hingga terselesaikannya skripsi ini.

9. Rizki Dwi Yulianto, lelaki penyayang dan penyabar, yang senantiasa

menemani dan memberikan perhatian serta menjadi tempat berkeluh

kesah.

10. Sahabat-sahabat seperjuangan: Purwanti, Rizca Muthia, Salma, Aulia

Rahman, Aulia Putri, Ade, Della, Bagus, yang selalu menemani hari-hari

penulis selama menjalani masa perkuliahan.

11. Sahabat-sahabat sejak SMP: Yudha Aulia, Wilda, Eka, Nadya, Dwi, Devi,

Ajeng, Faila, Rizka, Christine yang selalu memberi semangat kepada

penulis.

12. Sahabat-sahabat sejak SMA: Bariyus, Rio, Chandra, Adam, Dico, Bagas,

Wisnu, Maya, Aprizon, Suharto yang selalu berbagi canda dan tawa serta

memberi semangat.

13. Minat dan Bakat 2016 serta Minat dan Bakat 2017 yang senantiasa berbagi

canda, tawa dan menemani penulis disaat waktu tersulit dalam

berorganisasi.

14. Teman-temanku Matematika 2015, terimakasih telah memberikan warna

dan keceriaan kepada penulis selama menjadi mahasiswi.

15. Almamater tercinta Universitas Lampung.

16. Seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu

persatu.

Bandar Lampung, 20 Februari 2019

Penulis,

Anisa Riska Andi Saputri

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL .............................................................................. i

DAFTAR GAMBAR ......................................................................... ii

I. PENDAHULUAN1.1 Latar Belakang dan Masalah .................................................. 11.2 Tujuan Penelitian ................................................................... 31.3 Manfaat Penelitian ................................................................. 3

II. TINJAUAN PUSTAKA2.1 Peramalan .............................................................................. 42.2 Analisis Data Berkala ............................................................. 42.3 Komponen Data Berkala ........................................................ 5

2.3.1 Gerakan Trend Jangka Panjang ..................................... 52.3.2 Gerakan/Variasi Siklis .................................................. 52.3.3 Gerakan/Variasi Musiman ............................................ 52.3.4 Gerakan/Variasi yang Tidak Teratur ............................. 6

2.4 Stasioneritas ........................................................................... 62.5 Uji Akar Unit ......................................................................... 92.6 Indeks Musiman ..................................................................... 112.7 Metode Penghalusan Eksponensial ......................................... 122.8 Metode Penghalusan Eksponensial Tunggal ........................... 122.9 Metode Penghalusan Eksponensial Ganda .............................. 132.10 Metode Penghalusan Eksponensial Holt-Winters ................... 152.11 Nilai Awal ............................................................................ 182.12 Metode Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average

(SARIMA) ............................................................................. 192.12.1 Model Autoregressive (AR) ........................................ 192.12.2 Model Moving Average (MA) ..................................... 202.12.3 Model Autoregressive Moving Average (ARMA) ......... 212.12.4 Model Autoregressive Integrated Moving

Average (ARIMA) ....................................................... 212.12.5 Model Seasonal Autoregressive Integrated Moving

Average (SARIMA) ..................................................... 222.13 Asumsi White Noise .............................................................. 24

2.13.1 Residu Bersifat Acak .................................................. 24

2.13.2 Residu Bersifat Normal .............................................. 252.14 Kriteria Kebaikan Model ....................................................... 25

III. METODOLOGI PENELITIAN3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ................................................. 283.2 Data Penelitian ....................................................................... 283.3 Metode Penelitian .................................................................. 29

3.3.1 Metode Penghalusan Eksponensial Holt-Winters .......... 293.3.2 Metode Seasonal Autoregressive Integrated

Moving Average (SARIMA) .......................................... 313.3.3 Pembandingan Metode Penghalusan Eksponensial

Holt-Winters dan Metode SARIMA ............................... 33

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN4.1 Metode Penghalusan Eksponensial Holt-Winters pada Data

Jumlah Penumpang Kereta Api di Indonesia Tahun2009-2018 .............................................................................. 354.1.1 Plot Data ...................................................................... 354.1.2 Uji Stasioner ................................................................ 364.1.3 Uji Musiman ................................................................ 374.1.4 Nilai Awal .................................................................... 394.1.5 Estimasi dan Penentuan Parameter , ,

Model Multiplikatif ...................................................... 414.1.6 Model Penghalusan Eksponensial Holt-Winters

Multiplikatif .................................................................. 434.2 Metode SARIMA pada Data Jumlah Penumpang Kereta Api

di Indonesia Tahun 2009-2018 ................................................... 454.2.1 Uji Kestasioneran ............................................................... 454.2.2 Indentifikasi Model ............................................................ 504.2.3 Diagnosis Model ................................................................ 534.2.4 Pemilihan Model SARIMA Terbaik ................................... 66

4.3 Pembandingan Metode Penghalusan Eksponensial Holt-WintersMultiplikatif dan SARIMA ...................................................... 68

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Data Jumlah Penumpang Kereta Api di Indonesia Tahun2009-2018 .................................................................................... 28

2. Pola ACF dan PACF Non Musiman .............................................. 31

3. Pola ACF dan PACF Musiman ..................................................... 32

4. Unit Root Test Data Jumlah Penumpang Kereta Api di IndonesiaTahun 2009-2018 .......................................................................... 37

5. Perhitungan Nilai Indeks Musiman ............................................... 38

6. Nilai MSE Parameter , , ................................................... 42

7. Peramalan Jumlah Penumpang Kereta Api di Indonesia denganMetode Holt-Winters Multiplikatif ............................................... 44

8. Unit Root Test Hasil Differencing Pertama Non Musiman danMusiman Data Jumlah Penumpang Kereta Api di Indonesia ......... 49

9. Model ARIMA ( , , )( , , ) yang Mungkin ............................ 52

10. Hasil Pengujian Signifikansi Dugaan Model ARIMA( , , )( , , ) …………………………………………………... 53

11. Nilai Q Box-Pierce (LJung-Box) ARIMA (0, 1, 1)(0, 1, 1) ………. 55

12. Nilai Q Box-Pierce (LJung-Box) ARIMA (0, 1, 1)(1, 1, 0) .......... 56

13. Nilai Q Box-Pierce (LJung-Box) ARIMA (1, 1, 0)(0, 1, 1) ......... 56









22. Nilai MSE Model ARIMA ( , , )( , , ) .............................. 65

23. Rangkuman Diagnosis Model ARIMA ( , , )( , , ) ............ 66

24. Penaksiran Parameter ARIMA (2, 1, 2)(0, 1, 1) .......................... 66

25. Peramalan Jumlah Penumpang Kereta Api di Indonesia denganMetode SARIMA ........................................................................... 67

26. Perbandingan Penghalusan Eksponensial Holt-Winters Multiplikatifdan SARIMA ................................................................................. 68

27. Peramalan Jumlah Penumpang Kereta Api di Indonesia ................ 69

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Contoh Plot Data Stasioner dalam Rata-rata dan Varians .............. 6

2. Contoh Plot Data Nonstasioner dalam Rata-rata ........................... 7

3. Contoh Plot Data Stasioner dalam Varians .................................... 7

4. Plot Data Jumlah Penumpang Kereta Api di Indonesia Tahun2009-2018 .................................................................................... 35

5. Plot ACF Jumlah Penumpang Kereta Api di Indonesia Tahun2009-2018 .................................................................................... 36

6. Plot Probabilitas Residual Parameter Penghalusan Eksponensial= 0,66, = 0,001, = 0,01 .............................................. 42

7. Grafik Transformasi Box-Cox Jumlah Penumpang Kereta Apidi Indonesia Tahun 2009-2018 ...................................................... 46

8. Grafik Hasil Transformasi Log ..................................................... 46

9. Grafik Hasil Transformasi .......................................................... 47

10. Grafik hasil Differencing Pertama Non Musiman dan Musiman ……. 48

11. Plot ACF Hasil Differencing Pertama Non Musiman dan Musiman … 48

12. Plot ACF Hasil Differencing Pertama Non Musiman dan Musiman … 50

13. Plot PACF Hasil Differencing Pertama Non Musiman danMusiman ……………………………………………………………… 51

14. Plot Probabilitas Residual ARIMA (0, 1, 1)(0, 1, 1) ................... 55











25. Grafik Peramalan Jumlah Penumpang Kereta Api di IndonesiaBulan Oktober 2018 sampai Desember 2019 ................................. 69

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Data deret berkala merupakan data yang dikumpulkan, dicatat, atau diamati

berdasarkan urutan waktu. Data deret berkala tersebut dapat digunakan untuk

membuat peramalan dan nantinya hasil peramalan dapat digunakan sebagai bahan

pertimbangan dalam pengambilan kebijakan perusahan. Peramalan itu sendiri

merupakan suatu kegiatan yang berguna untuk mengetahui peristiwa atau kejadian

di masa yang akan datang dengan menggunakan data-data yang tersedia di masa

lampau.

Dalam menentukan metode peramalan pada data deret berkala perlu diketahui

pola dari data tersebut sehingga peramalan dengan metode yang sesuai dengan

pola data dapat dilakukan. Pola data dapat dibedakan menjadi empat jenis, yaitu

pola trend, siklis, musiman, dan irregular (Supranto, 2000).

Untuk mengurangi terjadinya kesalahan dalam peramalan yang diinginkan maka

diperlukan metode yang sesuai. Pada data stasioner maupun nonstasioner namun

tidak mengandung pola musiman maka dapat dilakukan peramalan dengan

menggunakan metode rata-rata bergerak dan metode penghalusan eksponensial

tunggal dan ganda. Tetapi apabila data mengandung pola musiman metode

2

penghalusan eksponensial Holt-Winters dan metode Seasonal Autoregressive

Integrated Moving Average (SARIMA) merupakan metode yang tepat untuk

meramalkan data yang mengandung pola musiman.

Pada penelitian ini akan dibahas mengenai peramalan jumlah penumpang kereta

api di Indonesia pada periode yang akan datang menggunakan analisis data deret

berkala. Metode peramalan ini didasarkan atas konsep bahwa hasil penelitian saat

ini dipengaruhi oleh hasil penelitian masa lalu dan hasil penelitian yang akan

datang dipengaruhi hasil penelitian saat ini. Oleh karena data jumlah penumpang

kereta api di Indonesia bersifat musiman, maka metode yang cocok untuk

digunakan adalah metode penghalusan eksponensial Holt-Winters dan metode

Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average (SARIMA).

Metode penghalusan eksponensial Holt-Winters digunakan ketika data

menunjukkan pola trend dan musiman. Sedangkan metode Seasonal

Autoregressive Integrated Moving Average (SARIMA) digunakan apabila data

menunjukkan pola musiman. Berdasarkan uraian di atas maka penulis akan

membahas mengenai peramalan data jumlah penumpang kereta api di Indonesia

pada tahun 2009-2018 dengan menggunakan metode penghalusan eksponensial

Holt-Winters dan metode Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average

(SARIMA).

3

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah :

1. Mengkaji metode penghalusan eksponensial Holt-Winters multiplikatif.

2. Mengkaji metode Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average

(SARIMA).

3. Membandingkan metode penghalusan eskponensial Holt-Winters

multiplikatif dan metode Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average

(SARIMA) pada peramalan data deret berkala musiman.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini yaitu dapat menjadi referensi bagi pembaca apabila ingin

melakukan penelitian mengenai peramalan data dengan pola musiman.

4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Peramalan

Definisi dari peramalan adalah memperkirakan besarnya atau jumlah sesuatu pada

waktu yang akan datang berdasarkan data pada masa lampau yang dianalisis

secara alamiah khususnya menggunakan metode statistika (Sudjana, 1986).

Peramalan biasanya dilakukan untuk mengurangi ketidakpastian terhadap sesuatu

yang akan terjadi di masa yang akan datang. Suatu usaha untuk mengurangi

ketidakpastian tersebut dilakukan dengan menggunakan metode peramalan.

2.2 Analisis Data Berkala

Data berkala (time series data) adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke

waktu untuk menggambarkan perkembangan suatu kegiatan (perkembangan

produksi, harga, hasil penjualan, jumlah personil, penduduk, jumlah kecelakaan,

jumlah kejahatan, jumlah peserta KB, dan lain sebagainya). Analisis data berkala

memungkinkan kita untuk mengetahui perkembangan suatu atau beberapa

kejadian serta hubungan/pengaruhnya terhadap kejadian lainnya. (Supranto,

2000).

5

2.3 Komponen Data Berkala

Komponen-komponen data berkala menurut (Supranto, 2000) adalah sebagai

berikut :

2.3.1 Gerakan Trend Jangka Panjang

Gerakan trend jangka panjang (long term movemnet or secular trend) yaitu suatu

gerakan yang menunjukkan arah perkembangan secara umum (kecenderungan

menaik/menurun).

2.3.2 Gerakan/Variasi Siklis

Gerakan/variasi siklis (cyclical movements) adalah gerakan/variasi jangka

panjang di sekitar garis trend (berlaku untuk data tahunan). Gerakan siklis ini bisa

terulang setelah jangka waktu tertentu (setiap 3 tahun, 5 tahun, atau lebih) dan

bisa juga terulang dalam jangka waktu yang sama.

2.3.3 Gerakan/Variasi Musiman

Gerakan/variasi musiman (seasonal movements) adalah gerakan yang mempunyai

pola tetap dari waktu ke waktu, misalnya menaiknya harga pohon cemara

menjelang Natal, meningkatnya harga-harga bahan makanan dan pakaian

menjelang hari raya Idul Fitri, menurunnya harga beras pada waktu panen, dan

lain sebagainya.

6

2.3.4 Gerakan/Variasi yang Tidak Teratur

Gerakan/variasi yang tidak teratur (irregular or random movements) adalah

gerakan/variasi yang sifatnya sporadis, misalnya naik-turunnya produksi akibat

banjir yang datangnya tidak teratur.

2.4 Stasioneritas

Stasioneritas berarti bahwa tidak terdapat perubahan yang drastis pada data.

Fluktuasi data berada disekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung

pada waktu dan varians dari fluktuasi tersebut (Makridakis, 1999). Bentuk visual

dari plot data time series sering kali cukup meyakinkan para forecaster bahwa

data tersebut stasioner atau non stasioner.

Data time series dikatakan stasioner dalam rata-rata jika rata-ratanya tetap (tidak

terdapat pola trend). Data time series dikatakan stasioner dalam varians jika

fluktuasi datanya tetap atau konstan (horizontal sepanjang sumbu waktu).

Gambar 1. Contoh Plot Data Stasioner dalam Rata-rata dan Varians

7

Gambar 2. Contoh Plot Data Nonstasioner dalam Rata-rata

Gambar 3. Contoh Plot Data Stasioner dalam Varians

Sebelum melakukan analisis data, jika data tidak stasioner maka data harus

distasionerkan terlebih dahulu menggunakan metode yang sesuai. Untuk

menstasionerkan data nonstasioner dalam varian dapat dilakukan transformasi.

Banyak transformasi yang dapat digunakan, tetapi transformasi log dan

transformsi akar yang seringkali digunakan dalam berbagai praktek. Transformasi

log dan transformasi akar adalah bagian dari anggota Transformasi Box-Cox.

Dengan transformasi ini kita definisikan rumus sebagai berikut :

= (2.1)

8

dimana λ adalah bilangan real. Perlu diingat tidak boleh negatif. Jika beberapa

nilai dari negatif, maka tambahkan konstan positif sehingga dipastikan

bahwa semua nilai menjadi positif (Usman, 2017).

Untuk menstasionerkan data nonstasioner dalam rata-rata dapat dilakukan proses

differencing (pembedaan). Operator shift mundur (backward shift) sangat tepat

untuk menggambarkan proses differencing (Makridakis, 1999). Penggunaan

backward shift adalah sebagai berikut :

= (2.2)

Dengan :

= nilai variable Z pada waktu t

= nilai variable Z pada waktu t-1

B = backward shift

Notasi B yang dipasang pada Z mempunyai pengaruh menggeser data satu waktu

belakang. Sebagai contoh, jika suatu data time series nonstasioner maka data

tersebut dapat dibuat mendekati stasioner dengan melakukan differencing orde

pertama dari data. Rumus untuk differencing orde pertama yaitu :

= − (2.3)

dengan = nilai variable Z pada waktu t setelah differencing

dengan menggunakan backward shift, persamaan (2.3) dapat ditulis menjadi= − (2.4)

atau= (1 − ) . (2.5)

Differencing pertama pada persamaan (2.5) dinyatakan (1-B).

9

Differencing orde kedua, yaitu differencing pertama dari differencing pertama

sebelumnya. Jika differencing orde kedua harus dihitung, maka

= −= ( − ) − ( − )= − 2 += (1 − 2 + )= (1 − ) (2.6)

Differencing orde kedua pada persamaan (2.6) dinotasikan oleh (1 − ) . Secara

umum jika terdapat differencing orde ke-d untuk mencapai stasioneritas, maka

dapat dinotasikan dengan

(1 − ) , d ≥ 1. (2.7)

2.5 Uji Akar Unit

Uji akar unit sering kali digunakan dalam melakukan pengecekan kestasioneran

data. Langkah pertama dalam proses uji akar unit yaitu menghitung nilai dari

model persamaan berikut:= + (-1 < < 1) (2.8)

Dimana adalah nilai galat.

Dapat kita ketahui jika = 1, maka deret tersebut mengandung akar unit (tidak

stasioner). Sedangkan apabila < 1, maka deret tersebut tidak mengandung akar

unit (stasioner).

10

Namun, kita tidak bisa memperkirakan persamaan (2.8) oleh Ordinary Least

Square (OLS) dan menguji hipotesis bahwa = 1 dengan uji t biasanya karena uji

tersebut sangat bias dalam kasus akar unit. Oleh karena itu kita memanipulasi

persamaan (2.8) dengan mengurangkan setiap sisi persamaan dengan ,

sehingga persamaan menjadi:− = − + (2.9)∆ = ( − 1) + (2.10)∆ = + (2.11)

Dimana, ∆ adalah selisih antara Yt dan ∆ = − serta = − 1.Dalam menguji kestasioneran dapat dilakukan dengan mengestimasi persamaaan

(2.8) sebelumnya dan menguji apakah = 1 atau sama dengan mengestimasi

persamaan (2.10) dan menguji apakah = 0. Dickey fuller menujukkan bahwa

nilai koefisien akan mengikuti distribusi statistik τ (tau) dan menyusun statistik

τ sebagai titik kritis pengujian. Hal ini menyebabkan pengujian dengan estimasi

persamaan (2.10) dikenal sebagai uji Dickey Fuller. Distribusi statistik τ

kemudian dikembangkan lebih jauh oleh Mackinnon dan dikenal sebagai

distribusi statistik Mackinnon.

Selanjutnya, Dickey Fuller membuat pengujian baru yang disebut uji Augmented

Dickey Fuller (ADF). ADF dapat diterapkan dengan mengestimasi model berikut:∆ = + + + ∑ ∆ + (2.12)

Dimana adalah nilai galat dan dimana ∆ = ( − ), ∆ =( − ), dst.

11

Dalam pengujian Augmented Dickey Fuller kita tetap menguji apakah =0 dan

juga mengikuti distribusi statistik τ (tau). Hipotesis yang digunakan untuk

menentukan apakah data deret mengandung akar unit, yaitu:

: = 0 (Mengandung akar unit atau tidak stasioner)

: ≠ 0 (tidak mengandung akar unit atau stasioner)

Apabila | τ | < | τ |, maka diterima, yang artinya data deret tidak

stasioner (Gujarati and Porter, 2009).

2. 6 Indeks Musiman

Indeks musiman dapat digunakan untuk menguraikan perkiraan/ ramalan

penjualan tahunan menjadi perkiraan penjualan perbulan pada tahun mendatang.

Untuk mencari indeks musiman dapat menggunakan metode rata-rata sederhana,

yaitu dengan rumus

Indeks musiman =̅̅ 100% 12 (2.13)

Dimana, ̅ merupakan rata-rata data bulan ke-i tiap tahun (i = 1,2,..,12) dan ̅merupakan rata-rata data tiap bulan pada tahun ke-j (j = 1,2,…,n).

Indeks musiman adalah suatu angka yang bervariasi terhadap nilai dasar 100. Jika

suatu periode musiman mempunyai nilai indeks 100 maka ini menujukkan bahwa

data tersebut tidak dipengaruhi oleh pengaruh musiman (Yulianto, 2012).

12

2.7 Metode Penghalusan Eksponensial

Penghalusan eksponensial merupakan suatu model peramalan rata-rata bergerak

yang melakukan pembobotan terhadap data masa lalu dengan cara eksponensial

sehingga data paling akhir mempunyai bobot atau timbangan lebih besar dalam

rata-rata bergerak. Metode penghalusan eksponensial telah digunakan selama

beberapa tahun sebagai suatu metode yang sangat berguna pada begitu banyak

situasi peramalan.

Pada tahun 1957 C. C. Holt mengusulkan metode penghalusan eksponensial yang

berlaku untuk data deret waktu yang tidak memiliki unsur kecenderungan dan

musiman. Kemudian pada tahun 1957 diusulkan suatu prosedur penghalusan

eksponensial untuk data deret waktu yang mengandung pola kecenderungan yang

kemudian biasa disebut metode penghalusan eksponensial ganda dua parameter

dari Holt. Pada tahun 1965 Winters mengembangkan metode dua parameter dari

Holt tersebut untuk kasus yang memiliki unsur musiman. Winters menambahkan

operasi penghalusan ketiga dan parameter ketiga untuk unsur musiman. Metode

penghalusan eksponensial tripel dari Winters lebih dikenal sebagai metode Holt-

Winters (Makridakis, dkk., 1999).

2.8 Metode Penghalusan Eksponensial Tunggal

Penghalusan eksponensial tunggal dikenal sebagai penghalusan eksponensial

sederhana yang digunakan pada peramalan jangka pendek. Model mengasumsikan

13

bahwa data berfluktuasi disekitar nilai mean yang tetap, tanpa kecenderungan atau

pola pertumbuhan konsisten (Makridakis, dkk., 1999).

Rumus untuk penghalusan eksponensial sederhana adalah sebagai berikut := ( − ) += ( − ) += − += + (1 − ) (2.14)

Dimana

= penghalusan eksponensial pada tahun ke-t

= data ke-t

= konstanta pembobot penghalusan ekponensial (0 < < 1)

Nilai disebut penghalusan konstan, dalam model penghalusan eksponensial

tunggal, nilai bisa ditentukan secara bebas, artinya tidak ada suatu cara yang

pasti untuk mendapatkan nilai . Pemilihan nilai dapat dilakukan dengan coba-

coba, akan tetapi untuk mencari nilai yang optimal dapat dilakukan dengan

bantuan software (Brockwell, 2002).

2.9 Metode Penghalusan Eksponensial Ganda

Pada metode penghalusan eksponensial tunggal tidak dapat digunakan untuk data

yang mengandung trend, sehingga Holt (1957) mengembangkan metode ini

dengan memasukkan unsur trend pada persamaan tersebut. Oleh karena itu, Holt

menambahkan unsur trend pada persamaan (2.14). Sehingga persamaan baru

tersebut dapat ditulis:

14

= ( − − ) + += ( − − ) + += − + − += + (1 − ) + (1 − )= + (1 − )( + ) (2.15)

Dimana :


= data ke-t

= penghalusan trend

= konstanta pembobot penghalusan ekponensial (0 < < 1)

Persamaan (2.15) tersebut kemudian yang dikenal dengan metode penghalusan

eksponensial ganda. Metode ini juga biasa dikenal Holt’s Linear. Untuk

menghitung penghalusan trend nya digunakan persamaan sebagai berikut:= ( − ) + (1 − )= ( − ) + (1 − )⋮= ( − ) + (1 − ) (2.16)

Dimana :

= konstanta pembobot penghalusan untuk trend (0 < < 1)


= penghalusan trend

= penghalusan trend pada tahun ke t-1− = selisih antara penghalusan eksponensial

15

Karena menggunakan dua parameter penghalusan dan , maka dari itu metode

tersebut dikenal dengan metode penghalusan eksponensial ganda (Makridakis,

dkk., 1999).

2.10 Metode Penghalusan Eksponensial Holt-Winters

Pada metode penghalusan eksponensial ganda hanya dapat digunakan untuk data

yang mengandung unsur trend tapi tidak digunakan untuk data yang mengandung

musiman. Metode Holt-Winters merupakan gabungan dari metode Holt dan

Winters, dimana nilai trend pada metode Holt digabungkan dengan nilai musiman

pada metode Winters, sehingga metode Holt-Winters dapat menangani faktor

musiman dan trend yang muncul secara sekaligus pada sebuah data time series.

Metode Holt-Winters dapat digunakan untuk data nonstasioner (kalekar, 2004).

Metode penghalusan eksponensial Holt-Winters didasarkan atas tiga unsur yaitu

unsur stasioner, trend, dan musiman untuk setiap periode dan memberikan tiga

pembobotan dalam prediksinya, yaitu , , . Besarnya koefisien , , ,

memiliki jarak diantara 0 dan 1 yang ditentukan secara subjektif atau dengan

meminimalkan kesalahan dari estimasi tersebut (Mulyana, 2004).

Terdapat dua model Holt-Winters yang dapat digunakan, yaitu Holt-Winters

model aditif dan Holt-Winters model multiplikatif (kalekar, 2004).

Model aditif cocok untuk prediksi deret berkala dengan amplitudo atau ketinggian

pola musiman yang tidak tergantung pada rata-rata level atau ukuran data

16

sehingga bersifat konstan (Montgomery, 2008). Persamaan yang digunakan pada

model aditif adalah sebagai berikut :

1. Penghalusan eksponensial= ( − ) + (1 − )( + ) (2.17)

2. Penghalusan trend= ( − ) + (1 − ) (2.18)

3. Penghalusan musiman model aditif= ( − ) + (1 − ) (2.19)

4. Peramalan penghalusan eksponensial Holt-Winters model aditif= + + (2.20)

Dimana :

= Penghalusan eksponensial pada tahun ke t

= Penghalusan eksponensial pada tahun ke t-1

= Penghalusan unsur trend pada tahun ke t

= Penghalusan unsur trend pada tahun ke t-1

= Data ke t

= Nilai yang ingin diramalkan

= Parameter penghalusan untuk data (0< <1)

= Parameter penghalusan untuk trend (0< <1)

= Parameter penghalusan untuk musiman (0< <1)

= Penghalusan faktor musiman

= Periode waktu yang akan diramalkan

= Panjang musiman (L=3, L=4, L=6 atau L=12)

17

Sedangkan model musiman multiplikatif cocok untuk prediksi deret berkala yang

dimana amplitudo atau ketinggian dari pola musimannya proposional dengan rata-

rata level atau tingkatan dari deret data (Montgomery, 2008). Dengan kata lain,

pola musiman membesar seiring meningkatnya ukuran data. Pada kenyataan di

lapangan, model multiplikatif lebih banyak dan lebih efektif dipakai. Persamaan

yang digunakan pada model multiplikatif adalah sebagai berikut :

1. Penghalusan eksponensial= + (1 − )( + ) (2.21)

2. Penghalusan trend= ( − ) + (1 − ) (2.22)

3. Penghalusan musiman model multiplikatif= + (1 − ) (2.23)

4. Peramalan penghalusan eksponensial Holt-Winters model multiplikatif= ( + ) (2.24)

Dimana :

= Penghalusan eksponensial pada tahun ke t

= Penghalusan eksponensial pada tahun ke t-1

= Penghalusan unsur trend pada tahun ke t

= Penghalusan unsur trend pada tahun ke t-1

= Data ke t

= Nilai yang ingin diramalkan

= Parameter penghalusan untuk data (0< <1)

= Parameter penghalusan untuk trend (0< <1)

= Parameter penghalusan untuk musiman (0< <1)

18

= Penghalusan faktor musiman

= Periode waktu yang akan diramalkan

= Panjang musiman (L=3, L=4, L=6 atau L=12)

(Makridakis, dkk., 1999).

2.11 Nilai Awal

Dalam menginisialisasi metode peramalan Holt-Winters, diperlukan nilai awal

untuk penghalusan , trend dan indeks musiman I . Untuk mendapatkan

estimasi nilai awal dari indeks musiman, diperlukan setidaknya data lengkap

selama satu musim. Dengan demikian, nilai trend dan penghalusan diinisialisasi

pada periode L. Nilai awal konstanta penghalusan didapatkan dengan

menggunakan rata-rata musim pertama, sehingga := ( + +⋯+ ) (2.25)

Perlu dilihat bahwa persamaan (2.25) merupakan rata-rata bergerak berorde L

yang akan mengeliminasi unsur musiman pada data. Untuk menginisialisasi trend,

lebih baik menggunakan data lengkap selama dua musim (2 periode) sebagai

berikut : = + +⋯+ (2.26)

Kemudian didapatkan nilai inisialisasi musiman dengan menggunakan rasio dari

data dengan rata-rata data tahun kedua pada model multiplikatif sehingga := , = ,⋯ , = (2.27)

Sedangkan untuk nilai awal pada model aditif sebagai berikut := − (2.28)

19

Dimana :

= data ke-k

= nilai awal penghalusan faktor musiman ke-k

= nilai awal penghalusan Holt-Winters

= nilai awal penghalusan trend

= 1,2,…,L dan L adalah panjang musiman

(Makridakis, dkk., 1999).

2.12 Metode Seasonal Autorgressive Integratde Moving Average (SARIMA)

Metode Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average (SARIMA)

merupakan metode ARIMA yang digunakan untuk menyelesaikan time series

musiman. Metode ini terdiri dari dua bagian, yaitu bagian tidak musiman dan

bagian musiman. Bagian tidak musiman dari metode ini adalah model ARIMA.

Model ARIMA terdiri dari model autoregressive dan model moving average.

2.12.1 Model Autoregressive (AR)

Model AR adalah model yang menggambarkan bahwa variable dependent

dipengaruhi oleh variable dependent itu sendiri pada periode sebelumnya.

Menurut (Wei, 2006) model AR orde ke-p atau AR(p) secara umum dapat

dituliskan sebagai berikut := +⋯+ + (2.29)

20

Dimana :

= nilai variabel dependent pada waktu t, ⋯ , = nilai variabel dependent pada time-lag t-1,…,t-p, ⋯ , = koefisien autoregressive

= nilai residu pada waktu t

Orde dalam model AR sering digunakan dalam analisis time series adalah p = 1

atau p = 2 (Pankratz, 1991).

2.12.2 Model Moving Average (MA)

Secara umum model MA orde ke-q atau MA(q) dapat ditulis sebagi berikut := − −⋯− (2.30)

Dimana :

= nilai variabel dependent pada waktu t, , ⋯ , = nilai residu pada waktu t, t-1,…, t-q, ⋯ , = koefisien Moving Average.

Terlihat bahwa merupakan rata-rata tertimbang kesalahan sebanyak q periode

ke belakang. Banyakya kesalahan yang digunakan q pada peramaan ini menandai

tingkat dari model moving average.

21

2.12.3 Model Autoregressive Moving Average (ARMA)

Model ARMA(p,q) merupakan kombinasi dari model AR (p) dan MA (q) yaitu= +⋯+ + − −⋯− , (2.31)

Dimana :

= nilai variabel dependent pada waktu t, ⋯ , = nilai variabel dependent pada time-lag t-1,…,t-p, , ⋯ , = nilai residu pada waktu t, t-1,…, t-q, ⋯ , = koefisien autoregressive, ⋯ , = koefisien Moving Average.

Persamaan (2.31) dapat ditulis dalam bentuk

(1 − − −⋯− ) = (1 − − −⋯− ) (2.32)

atau( ) = ( ) . (2.33)

Karena proses ARMA merupakan kasus khusus dari proses MA. Maka fungsi

autokorelasi parsialnya juga merupakan pemulusan eksponensial dan/atau

gelombang sinus tergantung dari akar-akar 1 − − −⋯− = 0.2.12.4 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Model ARIMA dilakukan pada data stasioner atau data yang didifferencing

sehingga data telah stasioner. Secara umum, model ARIMA dinotasikan sebagai

berikut:

ARIMA(p,d,q)

22

dengan p = orde model autoregressive

q = orde model moving average

d = banyaknya differencing

model ini merupakan gabungan dari model ARMA(p,q) dan proses differencing,

yaitu ( )(1 − ) = + ( ) , (2.34)

dengan ( ) = 1 − − −⋯−dan ( ) = 1 − − −⋯−Parameter mempunyai peran yang berbeda untuk d = 0 dan > 0. Untuk d =

0, data asli telah stasioner, bahwa merupakan rata-rata proses, yaitu = (1 −− −⋯− ) . sedangkan untuk ≥ 1, data asli nonstasioner dan

merupakan istilah trend deterministik yang biasanya dihilangkan.

2.12.5 Model Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average (SARIMA)

Secara umum, model Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average

(SARIMA) dinotasikan sebagai berikut:

ARIMA(p,d,q)( , , )dengan (p,d,q) = bagian tidak musiman dari model

(P,D,Q) = bagian musiman dari model

P = orde musiman untuk AR

Q = orde musiman untuk MA

D = banyaknya seasonal differencing

23

S = jumlah periode per musim

Suatu deret { } tidak diketahui periode variasi musiman dan tidak musiman,

bentuk model ARIMA untuk deret itu adalah( )(1 − ) = ( ) . (2.35)

Jika terdapat { } tidak white noise dengan korelasi antara periode musiman,

maka fungsi autokorelasi untuk { } adalah

( ) = ( ), j = 1, 2, 3,… (2.36)

Untuk lebih mudah melihat korelasi antar periode, dapat direpresentasikan sebagai

model ARIMA berikut:Φ ( )(1 − ) = Θ ( ) (2.37)

dengan Φ ( ) = 1 − Φ −Φ −⋯−Φdan Θ ( ) = 1 − Θ − Θ −⋯− Θadalah persamaan polinomial dalam . Jika akar-akar dari polinomial-polinomial

tersebut berada di luar lingkungan unit dan { } = 0, maka proses tersebut adalah

proses white noise .

dengan mengkombinasikan persamaan (2.35) dan persamaan (2.37) diperoleh

model SARIMA, yaitu( )Φ ( )(1 − ) (1 − ) = ( )Θ ( ) (2.38)

Dengan − , d = 0 atau D = 0

, lainnya( ) = faktor AR tidak musiman( ) = faktor MA tidak musimanΦ ( ) = faktor AR musiman

=

24

Θ ( ) = faktor MA musiman

= rata-rata .

2.13 Asumsi White Noise

Suatu model yang baik akan memiliki sifat white noise, yaitu memenuhi asumsi

residual yang bersifat acak dan berdistribusi normal.

2.13.1 Residu Bersifat Acak

Keacakan sekumpulan barisan residu dapat diperiksa dengan memperhatikan

fungsi autokorelasi dari barisan residu tersebut. Barisan residu dikatakan acak

apabila tidak terdapat autokorelasi yang signifikan untuk setiap lag yang

ditentukan. Untuk lebih formal, keacakan residu dari suatu model dapat diuji

menggunakan uji statistik Q Box-Pierce (Ljung-Box) dengan hipotesis sebagai

berikut :: = = ⋯ = = 0 (residu bersifat acak): ≠ = 0 (residu tidak bersifat acak)

Dengan = 0,05 dan statistik uji :

= ( + 2)∑ ~ ( , ) (2.39)

Serta kriteria uji:

Terima jika nilai Q > ( , ) atau p-value > . Artinya secara keseluruhan,

autokorelasi dari barisan residu yang diuji tidak berbeda dari nol, atau dengan kata

lain residu bersifat acak.

25

2.13.2 Residu Bersifat Normal

Untuk memeriksa apakah residu bersifat normal atau tidak, dapat dilakukan uji

normalitas Kolmogorov-Smirnov dengan hipotesis sebagai berikut :

: residu berdistribusi normal

: residu tidak berdistribusi normal

Dengan = 0,05 dan statistik uji := | ( ) − ( )| (2.40)

Serta kriteria uji :

Terima jika < atau p-value > . Artinya residu bersifat normal.

2.14 Kriteria Kebaikan Model

Penggunaan metode peramalan tergantung pada pola data yang akan dianalisis.

Jika metode yang digunakan sudah dianggap benar untuk melakukan peramalan,

maka penelitian metode peramalan terbaik didasarkan pada tingkat kesalahan

prediksi (Santoso, 2009). Seperti diketahui tidak ada metode peramalan yang

dapat dengan tepat meramalkan keadaan data di masa yang akan datang. Oleh

karena itu, setiap metode peramalan pasti menghasilkan kesalahan. Jika galat yang

dihasilkan semakin kecil, maka hasil peramalan akan semakin mendekati tepat.

Besarnya galat tersebut dapat dihitung melalui ukuran galat peramalan sebagai

berikut :

26

a. Mean Absolute Deviation (MAD)

simpangan rata-rata MAD mengukur akurasi peramalan dengan meratakan nilai

absolut galat peramalan. Nilai galat ukur dalam unit yang sama seperti pada data

aslinya = ∑ − (2.41)

Dimana :

n = banyaknya data yang diamati

= peramalan ke-t

= data ke-t

b. Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

persentase galat rata-rata mutlak (MAPE) memberikan prtunjuk seberapa besar

galat peramalan dibandingkan dengan nilai sebenarnya= ∑ 100 (2.42)

Dimana :


= peramalan ke-t

= data ke-t

Dimana suatu model data akan memiliki kinerja yang sangat baik apabila nilai

MAPE dibawah 10%.

c. Mean Squared Deviation (MSD) atau Mean Squared Error (MSE)

Pada metode ini hamper mirip dengan metode MAD, rumus MSE adalah= ∑ − (2.43)

27

Dimana :


= peramalan ke-t

= data ke-t

28

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2018/2019 bertempat di

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung.

3.2 Data Penelitian

Penelitian ini menggunakan data jumlah penumpang kereta api di Indonesia pada

tahun 2009-2018. Data tersebut merupakan data sekunder yang diperoleh dari

Badan Pusat Statistik (BPS). Data tesebut adalah sebagai berikut :

Tabel 1. Data Jumlah Penumpang Kereta Api di Indonesia Tahun 2009-2018

Bulan 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016Januari 14494 17424 16891 16283 14900 21092 24676 28358Februari 13869 15207 14890 15490 14594 19998 22790 26510Maret 17132 16992 16978 17090 15826 22836 27267 28617April 16775 16832 16441 16746 16000 21908 26565 28435Mei 17824 16988 17522 17771 16113 22988 27910 30703Juni 18143 17259 17265 18062 17301 23840 27562 29159Juli 18385 17680 18132 18309 20245 22500 27612 28831Agustus 17527 16477 14846 17056 19423 23199 27796 29588September 17281 17301 16921 16368 19738 23593 27549 29516Oktober 17281 16908 16461 17127 20534 24923 28718 30263November 16778 16469 16179 15773 19919 24356 27669 29690Desember 17581 17733 16811 16104 21417 26275 29831 32150

29

Tabel 1. Lanjutan

Bulan 2017 2018Januari 30949 34717Februari 27342 31278Maret 32170 35875April 31502 35754Mei 33745 35482Juni 30723 33030Juli 34310 36800Agustus 33791 35190September 32498 34504Oktober 35070November 34361Desember 36807

3.3 Metode Penelitian

3.3.1 Metode Penghalusan Eksponensial Holt-Winters

1. Membuat plot data deret waktu

2. Uji stasioner

1) Mengidentifikasi dengan grafik fungsi autokorelasi (ACF).

2) Menggunakan uji akar unit dengan metode uji statistik Augmented

Dickey-Fuller.

3. Uji musiman

1) Menyajikan grafik deret waktu

2) Uji data musiman menggunakan indeks musiman yang dapat dihitung

dengan metode rata-rata sederhana.

30

4. Menghitung nilai awal

A. Nilai awal untuk penghalusan eksponensial= ∑B. Nilai awal untuk penghalusan trend= + +⋯+C. Nilai awal untuk penghalusan musiman model multiplikatif=

5. Pendugaan parameter , , dan dengan kisaran nilai pada interval (0,1),

memilih parameter model , , dan model multiplikatif menggunakan

trial and error.

6. Menghitung nilai penghalusan eksponensial Holt-Winters multiplikatif

sebagai berikut :

A. Penghalusan eksponensial= + (1 − )( + )B. Penghalusan trend = ( − ) + (1 − )C. Penghalusan musiman= + (1 − )D. Peramalan penghalusan eksponensial Holt-Winters= ( + )

31

3.3.2 Metode Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average (SARIMA)

1. Uji kestasioneran data

Tahap awal dalam uji kestasioneran data time series adalah dengan membuat plot

time series, grafik fungsi autokorelasi (ACF). Dari plot time series dan grafik

fungsi autokorelasi (ACF) dapat diselidiki kestasioneran data. Untuk menguji

kestasioneran data yang lebih spesifik digunakan uji Augmented Dickey-Fuller.

Data yang belum stasioner dalam variansi dapat dilakukan transformasi Box-Cox

agar data menjadi stasioner. Apabila data belum stasioner dalam mean dapat

dilakukan pembedaan (differencing) agar data menjadi stasioner.

2. Identifikasi model

Setelah data stasioner dalam variansi dan mean maka dilakukan proses pemilihan

model yang tepat dengan mendidentifikasi orde AR dan MA pada grafik ACF dan

PACF. Model SARIMA akan dipilih dengan kriteria sebagai berikut:

Tabel 2. Pola ACF dan PACF Non Musiman

No Model ACF PACF

1 AR(p)Dies down (menurunsecara eksponensial)

Cut off (terputus) setelahlag p

2 MA(q)Cut off (terputus) setelahlag q

Dies down (menurunsecara eksponensial)

3 ARMA(p,q)Dies down (menurunsecara eksponensial)setelah lag (q-p)

Dies down (menurunsecara eksponensial)setelah lag (p-q)

32

Tabel 3. Pola ACF dan PACF Musiman

No Model ACF PACF

1 AR(p)Dies down (menurunsecara eksponensial)pada lag musiman

Cut off (terputus) setelahlag Ps

2 MA(q)Cut off (terputus) setelahlag Qs

Dies down (menurunsecara eksponensial)pada lag musiman

3 ARMA(p,q)Dies down (menurunsecara eksponensial)setelah lag musiman

Dies down (menurunsecara eksponensial)setelah lag musiman

3. Diagnosis Model

Langkah selanjutnya ialah menguji apakah model tersebut sesuai atau tidak.

Beberapa pengujian yang harus dilakukan adalah sebagai berikut :

a. Keberartian koefisien

Hipotesis dan kriteria uji keberartian koefisien adalah sebagai berikut :

: koefisien tidak berarti

: koefisien berarti

Dengan = 0,05Kriteria uji :

Tolak jika p-value < 0,05 artinya koefisien telah berarti (koefisien

signifikan).

b. Memenuhi asumsi White Noise

Yakni suatu asumsi yang menyatakan bahwa residu bersifat acak dan normal.

Hipotesis dan kriteria uji keacakan residu adalah sebagai berikut:: = = ⋯ = = 0 (residu bersifat acak): ≠ = 0 (residu tidak bersifat acak)

33

Kriteria uji:

Terima jika nilai Q > ( , ) atau p-value > .

Sedangkan hipotesis dan kriteria uji kenormalan residu adalah sebagai

berikut :

: residu berdistribusi normal

: residu tidak berdistribusi normal

Kriteria uji :

Terima jika < atau p-value > .

4. Pemilihan model terbaik

Model yang memenuhi asumsi keberartian koefisien, asumsi White Noise dan

memiliki nilai MSE terkecil adalah model terbaik yang akan dipilih.

3.3.3. Pembandingan Metode Penghalusan Ekspoensial Holt-Winters danMetode SARIMA

Hasil pemilihan model yang diperoleh dari metode Holt Winters kemudian

dibandingkan dengan hasil yang diperoleh dari metode SARIMA. Pembandingan

dilakukan dengan mempertimbangkan nilai MSE.

34

Secara garis besar langkah-langkah penelitian sebagai berikut:

Mulai

Plot Data

Data TerdapatTrend danMusiman

Menghitung Nilai Awal modelmultiplikatif

Menentukan , ,Melakukan Penghalusan

Eksponensial Holt-Wintersdengan model Multiplikatif

Tidak

Ya

Identifikasi model

Uji Diagnosis(apakah modelsudah sesuai?

Melihat Nilai MSE

Melihat Nilai MSE

Pemilihan Metode Terbaik dengan melihat nilai MSE terkecil

Selesai

Tidak

Ya

Pemilihan Model SARIMATerbaik

TransformasiDifferencing

Metode timeseries lain

Data

Plot Data

Model lain

71

V. KESIMPULAN

Beradasarkan hasil analisis yang telah dipaparkan dapat diambil kesimpulan,

yaitu:

1. Metode penghalusan eksponensial Holt-Winters Multiplikatif dan metode

SARIMA dapat digunakan untuk meramalkan jumlah penumpang kereta

api di Indonesia.

2. Model penghalusan eksponensial Holt-Winters multiplikatif yang paling

layak digunakan yaitu model dengan parameter penghalusan =0,66 , = 0,001, = 0,01.

3. Model SARIMA yang paling layak digunakan yaitu model ARIMA(2, 1, 2)(0, 1, 1) dengan nilai MSE = 867832. Model ini dapat ditulis := + (1,9915) − (1,3976) + (0,4061)−(1,9915) + (1,3976) − (0,4061)−(1,4953) + (0,8991) − (0,6058)+(1,4953)(0,6058) − (0,8991)(0,6058) +4. Metode penghalusan eksponensial Holt-Winters multiplikatif lebih layak

digunakan dibandingkan metode SARIMA dalam meramalkan jumlah

penumpang kereta api di Indonesia periode kedepan.

DAFTAR PUSTAKA

Brockwell, J. P., dan Davis, A., R. 2002. Introduction to Time Series andForecasting. Springer, New York.

Gujarati, D. N., dan Porter, D. C. 2009. Basic Econometrics. McGraw-Hill, NewYork.

Kalekar, P., S. 2004. Time Series Forecasting Using Holt-Winters ExponentialSmoothing. Kanwal Rekhi School of Information Technology, India.

Kharis, N., M. 2014. Analisis Peramalan Pendaftaran Siswa Baru MenggunakanMetode Seasonal Arima dan Metode Dekomposisi. Skripsi. FakultasSains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah, Jakarta.

Makridakis, S., Wheelwright, S. C., dan McGee, V. E. 1992. Metode danAplikasi Peramalan Edisi Kedua. Terjemahan Untung Sus Andriyanto.Erlangga, Jakarta

Makridakis, S., Spyros., dan Wheelwright, S. C. 1999. Forcasting Methods andapplication. Erlangga, Jakarta.

Montgomery, D., C. 2008. Introduction to Time Series Analysis and Forecasting.John Wiley & Sons. Inc., New Jersey.

Mulyana. 2004. Analisis Data Time Series. Universitas Padjajaran, Bandung.

Munawaroh, A., N. 2010. Peramalan Jumlah Penumpang Pada PT. Angkasa PuraI (PERSERO) Kantor Cabang Bandar Udara Internasional AdisutjiptoYogyakarta dengan Metode Winter’s Eksponensial Smoothing dan SeasonalArima. Skripsi. FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta, Yogyakarta.

Pankratz, A. 1991. Forecating with Dynamic Regression Models. WilleyIntersciences Publication, Canada.

Santoso, S. 2009. Business Forecasting: Metode Peramalan Bisnis Masa Kinidengan MINITAB dan SPSS. PT. Elex Media Komputindo, Jakarta.

Sudjana. 1986. Metode Statistika Edisi ke 5. Tarsito, Bandung.

Supranto, J. 2000. Statistik: Teori dan Aplikasi Edisi Keenam. Erlangga,Jakarta.

Usman, M., Fadhilah, D., Barusman, M. Y. S., Elfaki, F. A. M., dan Widiarti.2017. Application of Vector Error Correction Model (VECM) and ImpulseResponse Function for Analysis Data Index of Farmers’ Terms of Trade.Indian Journal of Science and Technology. 10(19), 3.

Wei, W. W. S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate MethodsSecond Edition. Pearson Education Inc, Canada.

Yulianto, M.A. 2012. Analisa Time Series. https://digensia.wordpress.com.Diakses 11 Oktober 2018.

Documents

METODE PENGHALUSAN EKSPONENSIAL HOLT-WINTERS DAN …digilib.unila.ac.id/56257/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · DATA DERET BERKALA MUSIMAN Oleh ANISA RISKA ANDI SAPUTRI Tujuan