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Università Commerciale Luigi Bocconi – Milano

Facoltà di Economia-Corso di Laurea in Economia delle Istituzioni e dei Mercati Finanziari

“METODI DI VALUTAZIONE DELLE OPZIONI”

Docente Tutor: Prof. Gabriele Gurioli

Lavoro Finale di: Assunta Perone

Matr.N°1044197

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INDICE

• INTRODUZIONE

• PROPRIETÀ FONDAMENTALI DELLE OPZIONI

o 1.1 PUT-CALL PARITY

o 1.2 OPZIONI AMERICANE

1.2.1 CALL AMERICANA

1.2.2 PUT AMERICANA

1.2.3 PUT-CALL PARITY

• 2. MODELLI DI PRICING

O 2.1 IL MODELLO BINOMIALE

2.1.1 OPZIONI AMERICANE

2.1.2 ALBERI BINOMIALI PER TITOLI CHE PAGANO DIVIDENDI

o 2.2 IL MODELLO DI BLACK E SCHOLES

2.2.1 APPROSSIMAZIONE DI BLACK

o 2.3 IL METODO MONTE CARLO

2.3.1 OPZIONI AMERICANE

• 3. FORMULE ANALITICHE PER LE OPZIONI AMERICANE

o 3.1 THE BARONE-ADESI AND WHALEY APPROXIMATION (1987)

O 3.2 THE BJRKSUND AND STENSLAND APPROXIMATION (1993)

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INTRODUZIONE

Il fine di questo lavoro è quello di studiare i modelli di pricing delle opzioni americane

con o senza dividendi. La caratteristica che rende difficile la valutazione è il

cosiddetto early exercise, cioè esercizio anticipato. La complessità del problema è

quella di decidere se esercitare il diritto insito all’acquisto di un’opzione in un istante

precedente la scadenza, oppure rimandare la decisione. Logicamente un diritto

addizionale comporta un maggior valore, ma anche maggiori problematiche di

valutazione. La trattazione del prezzo di un’opzione è oggetto di una vasta letteratura

matematica, all'interno della quale sono particolarmente affermati, nonostante alcuni

limiti intrinseci, i modelli di Cox-Ross-Rubistein (modello binomiale) e la Formula di

Black e Scholes.

Prima sono stati presentati e analizzati gli aspetti teorici relativi alle proprietà delle

opzioni europee e americane. In seguito sono stati illustrati in dettaglio i più rilevanti

modelli di pricing (presenti nella letteratura specializzata) tra cui la formula di Black e

Scholes, l’approssimazione di Black, la metodologia del modello binomiale e il

Metodo Monte Carlo.

Ognuno di questi modelli utilizza un approccio diverso: la formula di Black e Scholes

per le opzioni europee risolve esattamente l’equazione differenziale parziale (ma non

considera in alcun modo la possibilità di esercizio anticipato), l’approssimazione di

Black utilizza una procedura approssimata per valutare le calls americane su titoli

che pagano dividendi; l’approccio dell’albero binomiale utilizza un metodo numerico e

si basa sul concetto di risk-neutral valutation.

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1. PROPRIETÀ FONDAMENTALI DELLE OPZIONI Le opzioni sono strumenti derivati, ossia valori mobiliari derivati dalla contrattazione

dei titoli sottostanti.

Le opzioni furono quotate per la prima volta in un mercato ufficiale nel 1973 negli

Stati Uniti, ma le loro origini risalgono all’antica Grecia. Si narra infatti che Talete,

astrologo greco, fosse stato in grado di predire l’andamento del raccolto delle olive

consultando gli astri. Grazie a questa conoscenza, egli aveva acquistato dagli

agricoltori il diritto di utilizzare il prodotto del raccolto nella stagione successiva. Le

sue previsioni si rivelarono corrette ed egli poté quindi esercitare tale diritto,

rivendendo poi il raccolto agli agricoltori vicini, lucrando un profitto.

Anche se il concetto d’opzione era già noto da parecchio tempo, è solamente con

l’istituzione del Chicago Board of Options Exchange (CBOE) nell’ottobre del 1973 - il

primo mercato opzionario in assoluto al mondo - che avviene il vero e proprio

sviluppo delle contrattazioni di opzioni, grazie anche alla seguente crescita di

sicurezza che un mercato regolamentato poteva dare ai vari operatori e speculatori

finanziari. Le prime opzioni regolate al CBOE furono delle call su un paniere di 16

azioni del mercato azionario americano. In seguito furono introdotte anche opzioni su

attività sottostanti diverse da azioni.

In finanza con il termine “opzione” si intende quel particolare tipo di titolo derivato che

concede al possessore il diritto, ma non il dovere di comprare (opzioni call) o di

vendere (opzioni put) un determinato sottostante a una determinata scadenza

(opzione europea) o entro una data scadenza (opzione americana).

Quindi a differenza degli altri strumenti derivati il possessore non è obbligato ad

acquistare/vendere il sottostante, ma può farlo se esercitando l'opzione ne trae una

convenienza economica. Da ciò la conseguente definizione di titoli derivati

asimmetrici.

Gli elementi fondamentali che caratterizzano un’ opzione sono:

• Prezzo dell’attività sottostante (S): rappresenta il valore dell’oggetto del diritto

d’opzione. Le opzioni possono avere diversi tipi di sottostante: azioni, valute estere,

indici azionari, futures o una generica merce.

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• Strike price (K): è il prezzo al quale l’holder acquista o vende l’attività sottostante.

• La vita residua (T).

• Il tasso di rendimento a breve termine privo di rischio (r): Corrisponde al

rendimento nominale dei titoli di Stato

• La volatilità del prezzo dell’attività sottostante (σ). Scarto quadratico medio del

tasso annuo istantaneo del rendimento del sottostante.

• I dividendi attesi durante la vita dell’opzione (D)

A seconda delle modalità d’esercizio distinguiamo:

• Opzioni europee: possono essere esercitate solo nella data di scadenza.

• Opzioni americane: possono essere esercitate in qualsiasi momento prima della

data di scadenza.

• Opzioni bermuda: l'esercizio è consentito solo in determinate date o durante

specifici intervalli di tempo.

Sia all’interno che all’esterno degli Stati Uniti la maggior parte delle opzioni

standardizzate quotate in mercati regolamentari sono di tipo americano; opzioni

europee si trovano tipicamente in mercati OTC.

Con riferimento al rapporto esistente tra prezzo di esercizio e prezzo di mercato, le

opzioni possono essere definite:

• In the money quando il detentore avrebbe convenienza ad esercitare l’opzione se

fosse alla scadenza. Nel caso di una call, le opzioni sono definite IN THE MONEY in

presenza di uno strike price inferiore al prezzo di mercato (K<ST); nel caso di una

put, le opzioni sono definite IN THE MONEY in presenza di uno strike price superiore al

prezzo di mercato (K>ST) .

• At the money quando il detentore è in posizione di indifferenza in merito alla vendita

o all’acquisto del sottostante; ciò accade quando lo strike price coincide con il prezzo

di mercato (K=ST).

• Out of the money quando il detentore non avrebbe convenienza ad esercitare

l’opzione se fosse alla scadenza. Nel caso di una call, le opzioni sono definite OUT OF

THE MONEY in presenza di uno strike price superiore al prezzo di mercato (K>ST); nel

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caso di un’opzione put, le opzioni sono definite OUT OF THE MONEY in presenza di uno

strike price inferiore al prezzo di mercato (K<ST).

In ogni contratto d' opzione esistono due parti: l’ acquirente e il venditore. Da un lato

c’è l’acquirente di una call o di una put che entra in una posizione lunga (long

position) sull’opzione. In tal caso l’acquirente paga il premio al venditore e acquisisce

il diritto di comprare o vendere il sottostante. Di converso il soggetto che vende una

call o una put entra in una posizione corta (short position) sull’opzione. Il venditore ha

un introito iniziale, ma è obbligato a vendere o comprare il sottostante in caso di

eventuale esercizio. Per capire i meccanismi sottostanti al prezzo di un’opzione

esaminiamo innanzitutto le possibili transazioni e i risultanti payoffs alla scadenza

associati alle put e alle call.

Esistono quattro tipi di posizioni su opzioni:

1. posizione lunga su call payoff= max(ST-k; 0)

2. posizione corta su call payoff= - max(ST-k; 0)

CALL

ACQ CALLVEND CALL

3. posizione lunga su put payoff= max(K-ST; 0)

4. posizione corta su put payoff=-max(K-ST; 0)

K ST

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Da notare che non si realizza una perfetta simmetria nei payoffs di call e put in

quanto pur avendo entrambi un limite inferiore si differenziano a riguardo del

limite superiore.

probabilità

payoff

CALL

PUT

Payoff di put e call a confronto

PUT

ACQ PUTVEND PUT

K ST

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1.1 PUT-CALL PARITY Se le opzioni put e call sono sottoscritte sullo stesso titolo, hanno lo stesso prezzo di

esercizio e la stessa scadenza, esiste una relazione deterministica che lega i loro

prezzi.

Procediamo ora ad illustrare tale relazione costruendo due portafogli contenenti:

• portafoglio A: una call europea più un investimento di Ke-rT nel titolo risk-free

• portafoglio B: una put europea più l’azione sottostante

Il valore del portafoglio A al tempo T è dato da:

ST≤K ST >K

Call 0 ST -K

Risk-free asset K K

Totale K ST

Il valore del portafoglio B al tempo T è dato da:

ST≤K ST >K

Put K-ST 0

Azione ST ST

Totale K ST

Come si nota entrambi i portafoglio valgono alla scadenza delle opzioni

max(ST, K)

Le opzioni sono europee e quindi non possono essere esercitate prima della

scadenza . Se i portafogli hanno lo stesso payoff, devono anche avere lo stesso

costo per evitare l’arbitraggio. Ciò vuo dire che:

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c + Ke-rT = p + S0

Questa relazione è chiamata parità put-call. Se la relazione fosse violata

esisterebbero opportunità di arbitraggio.

Infatti se:

c > p - Ke-rT + S0

converrebbe vendere la call e lo Zero-Coupon ed acquistare la put e l’azione

sottostante.

D’altra parte se:

c < p - Ke-rT + S0

converrebbe acquistare la call e l’obbligazione e vendere la put insieme all’azione.

1.2 OPZIONI AMERICANE

A causa della possibilità di esercizio anticipato, non c’è una soluzione analitica

per valutare un’opzione americana. Ciò è dovuto al fatto che per valutare

l’opzione bisogna conoscere quando sia ottimale esercitarla, e per sapere se sia

ottimale esercitare l’opzione bisogna conoscere il suo valore. Così si crea un

circolo vizioso che non può essere superato analiticamente. Da un punto di vista

matematico le difficoltà connesse con la valutazione delle opzioni americane si

possono sintetizzare nel fatto che l’epoca ottima di esercizio si deve determinare congiuntamente con la soluzione. Malgrado i numerosi e intensi sforzi profusi negli

ultimi due decenni, si può affermare che il problema di valutazione delle opzioni

americane non ha ancora trovato una soluzione pienamente soddisfacente. Poiché

un’opzione americana offre maggiore flessibilità rispetto a una europea,

permettendo al suo proprietario di esercitare l’opzione in qualunque momento

prima della scadenza, un’opzione americana (C) scritta sullo stesso sottostante e

con uguale strike price di un’opzione europea (c) verrà venduta a un prezzo

maggiore o per lo meno allo stesso prezzo. Ciò è una semplice conseguenza che

diritti addizionale non possono avere un valore negativo

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C (ST, T, K) ≥ c(ST, T, K).

Le opzioni americane possono essere esercitate sempre prima della scadenza.

La domanda è se conviene farlo.

1.2.1 CALL AMERICANA

Dimostreremo, tramite un argomentazione d’arbitraggio che il diritto di esercitare

anticipatamente l’opzione quando il titolo sottostante non produce flussi di reddito

ha valore nullo (per una call americana scritta su un titolo che non paga dividendi

non è mai conveniente esercitare anticipatamente).

Useremo la seguente simbologia:

C: prezzo di una call americana per l’acquisto d un’azione

c: prezzo della corrispondente call europea

P: prezzo di una put americana per l’acquisto d un’azione

p: prezzo della corrispondente put europea

S: prezzo corrente dell’azione

K: strike price dell’opzione

T: scadenza dell’opzione

ST: prezzo dell’azione al tempo T

Consideriamo una call americana con scadenza T, e assumiamo che essa sia IN

THE MONEY al tempo t. Analizziamo due investimenti separati:

A. esercitare l’opzione al tempo t

B. detenere l’opzione fino alla scadenza T ed esercitarla.

Ipotizziamo che entrambi abbiano un valore positivo al tempo T. Per finanziare il

primo investimento, vendiamo un bond con scadenza T e usiamo il ricavo per

pagare lo strike price K. Così al tempo T avremo

ST-e r(T-t)K

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Dall’altro lato detenere l’opzione fino alla scadenza vale max (ST- K,0) .

Assumiamo r>0, poiché t<T allora abbiamo che e r(T-t)>1 quindi avremo sempre

ST-e r(T-t)K < max (ST- K,0)

Sia se ST >K sia nel caso contrario

Ne segue che una call americana scritta su un titolo che non paga dividendi non

dovrebbe mai essere esercitata prima della scadenza. Pertanto essa vale quanto

la corrispondente call europea:

C=c

Un motivo per cui la call non dovrebbe mai essere esercitata prima della

scadenza è legato all’assicurazione che essa offre. Infatti una call, quando viene

tenuta al posto dell’azione sottostante, protegge il detentore contro la caduta del

prezzo dell’azione al di sotto del prezzo d’esercizio. Una volta che l’opzione sia

stata esercitata ed il prezzo d’esercizio viene scambiato con l’azione

quest’assicurazione svanisce. Un altro motivo ha a che fare con il valore

temporale del denaro. Più tardi si paga il prezzo d’esercizio, meglio è.

Quando ci si attende che vengano distribuiti dividendi, non è più possibile

affermare che una call americana non verrà mai esercitata anticipatamente.

Talvolta è ottimale esercitare una call americana immediatamente prima di una

data di stacco dei dividendi. Lo stacco del dividendo farà diminuire il prezzo

dell’azione facendo così diminuire il prezzo dell’opzione. Non è mai conveniente

esercitare la call in altri momenti.

Se il bene sottostante l’opzione call americana paga, all’epoca t1 < T , un

dividendo discreto di ammontare D1, allora l’esercizio dell’opzione prima della

scadenza può risultare vantaggioso solo se

D1 > K(1-e-r(T-t1))

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In ogni caso, per ottenere il massimo profitto, l’esercizio deve avvenire subito

prima dello stacco del dividendo.

I problemi connessi con la valutazione delle opzioni call americane emesse su titoli

che pagano dividendi sono stati studiati in vari contributi; fra questi si possono

ricordare Roll (1977), Geske (1979) e Whaley (1981). Una formula analitica per la

valutazione di un’opzione call americana emessa su un titolo azionario che paga un

dividendo D1 all’epoca tЄ� (0,T) è

C=(S0- D1e-rt1) [Ф(b1) + Ф2(a1,-b1; -√t1/T)] -

Ke-rT [Ф(b2)e-r(T-t1) + Ф2(a2, -b2; -√t1/T)] + D1e-rt1 Ф(b2)

Con:

a1= log [(S0- D1e-rt1 )/K] + (r +σ2/2)T a2=a1- σ √T σ √T

b1= log [(S0- D1e-rt1 )/S*] + (r +σ/2)T b2=b1- σ √T

σ √T

dove :

• Ф2 (a,b,ρ) è la funzione di distribuzione normale bi-variata con estremi

superiori di integrazione a, b e con coefficienti di correlazione ρ,

• S* è il prezzo del bene sottostante, rilevato all’epoca di stacco del

dividendo, che risolve l’equazione

C(S*, T - t1, K) = S* + D1 – K

La determinazione del valore di S* richiede l’impiego di una tecnica numerica di tipo

iterativo.

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1.2.2 PUT AMERICANA

In letteratura l’analisi di opzioni put è relativamente poco sviluppata sia perché sono

opzioni meno diffuse delle call sia perché si ritiene che dato il prezzo della call e

dell’azione il prezzo della put sullo stesso titolo sia univocamente determinato.

Per quanto riguarda l’esercizio prima della scadenza delle opzioni put

americane, questo può risultare vantaggioso anche se il bene sottostante l’opzione

non paga dividendi. Una dimostrazione intuitiva di tale proprietà discende dal fatto

che la somma di denaro (K-St) , ottenuta con l’esercizio prima della scadenza, può

essere investita dando luogo a un montante maggiore di quanto sia possibile

realizzare continuando a mantenere il possesso dell’opzione. Quindi, a differenza

delle call, una put americana che, in qualsiasi momento della sua vita sia

sufficientemente DEEP IN THE MONEY (il suo prezzo di esercizio è diverso in senso

favorevole dal prezzo corrente del titolo al quale l'opzione si riferisce ), dovrebbe

sempre essere esercitata anticipatamente.

Per un’argomentazione più formale consideriamo i due seguenti portafogli:

• Portafoglio M: una put americana più un’azione

• Portafoglio N: un importo in denaro pari a Ke-rT

Se la put americana viene esercitata al tempo t<T, il portafoglio M vale K mentre il

portafoglio N vale Ke-r(T-t). Pertanto, il portafoglio M vale più del portafoglio N.

Se l’opzione viene tenuta fino alla scadenza, il portafoglio M vale Max (K, ST), mentre

il portafoglio N vale K. Pertanto, il portafoglio M vale sempre almeno quanto il

portafoglio N, e talvolta di più. In generale, l’esercizio anticipato di una put diventa più

conveniente al diminuire di S, all’aumentare di r e al diminuire di σ.

Si noti la differenza tra questa situazione e quella delle call. In questo caso non

possiamo sostenere che l’esercizio anticipato è indesiderabile dato che il portafoglio

M risulta sempre più conveniente del portafoglio N, indipendentemente dalla

decisione di esercizio anticipato.

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1.2.3 PUT-CALL PARITY La put-call parity è valida solo per le opzioni europee. È possibile comunque ricavare

alcune relazioni tra i prezzi delle call e put americane.

Se l’azione sottostante non paga dividendi :

S0- K ≤C-P ≤ S0- Ke-rT

Invece, nel caso in cui l’azione paghi un dividendo di importo D

S0- D- K ≤C-P ≤ S0- Ke-rT

Inoltre, se si suppone che la dinamica dei prezzi St sia regolata da un moto

browniano geometrico, possiamo dimostrare la seguente interessante relazione di

simmetria tra il prezzo di una call americana e di una put americana:

C(S;K; r; D; t) = P(S;K; D; r; t)

Tale relazione evidenzia che il prezzo di un’opzione put americana coincide con

quello di un’opzione call americana purchè si considerino gli scambi dei parametri:

XS → ; SX → ; Dr → ; rD → .

Si osservi che tale relazione consente di trasferire da un tipo di opzione all’altro

informazioni non solo sul valore “equo” delle opzioni ma anche sull’epoca ottima

d’esercizio. Ad esempio, sappiamo che in assenza di dividendi ( D = 0 ) non è

conveniente esercitare un’opzione call americana prima della scadenza; questo

risultato analizzato alla luce della precedente relazione di simmetria ci dice che se il

tasso di interesse è nullo ( r = 0 ) non `e mai conveniente l’esercizio di un’opzione put

americana prima della scadenza.

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2. MODELLI DI PRICING

2.1 IL MODELLO BINOMIALE Nel 1979 Cox, Ross e Rubinstein presentarono un modello discreto per la

valutazione delle opzioni finanziarie. Tale modello richiede soltanto conoscenze

matematiche elementari e si presta ad essere velocemente generalizzato in vari

modi. Sebbene le ipotesi alla base del modello siano facilmente criticabili in quanto

del tutto irrealistiche, la struttura semplice che ne deriva si rivela uno strumento molto

efficace e particolarmente utile e flessibile anche per la valutazione di opzioni

complesse. L’idea base è che sia possibile costruire un portafoglio, comprendente

una certa quantità del titolo sottostante e una somma investita in attività prive di

rischio, in grado di replicare perfettamente i payoff, alla fine di un periodo, di

un’opzione scritta sullo stesso titolo. Due attività finanziarie con lo stesso valore

finale devono avere lo stesso valore corrente per la legge del prezzo unico, di

conseguenza il portafoglio equivalente può essere utilizzato per determinare il valore

corrente dell’opzione.

Cox, Ross e Rubinstein, nel descrivere l’andamento dei prezzi del titolo sottostante,

suppongono che la quotazione del titolo avvenga ad intervalli discreti ed evolva nel

tempo secondo un processo binomiale moltiplicativo stazionario. Consideriamo:

• un titolo che eroga dividendi a tasso istantaneo δ, il cui prezzo al tempo t =0

sia St =S

• un’opzione call, scritta su questo titolo, il cui prezzo al tempo t=0 sia ct=c.

Supponiamo che l’opzione scada al tempo t=t+h=T e che durante la sua vita il prezzo

dell’azione possa salire a ST=Su o scendere a ST=Sd con d<1<u. Definiamo cu il

valore assunto dall’opzione in t quando ST=Su; cd quando ST=Sd; sia i il tasso di

interesse privo di rischio che garantisce intensità r=log(1+i). Pertanto:

cu =max[0, Su-K]

cd =max[0, Sd-K]

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S c

Si supponga di creare un portafoglio contenente Δ azioni e la somma B, investita in

titoli privi di rischio. Questo verrà a costare Δ·S +B. Manovrando le due quantità Δ e

B, l’investitore può chiedere che il portafoglio replichi a scadenza i payoff

dell’opzione, ottenendo così il sistema lineare nelle incognite Δ e B:

Δ eδh·uS+Berh= cu

Δ eδh·dS+Berh= cd

Risolvendo queste equazioni si ottiene:

Δ= e-δh cu - cd e B= ucd -dcu

S(u-d) (u-d) erh

In assenza di opportunità di arbitraggio prive di rischio, il valore corrente della call c,

non può essere minore del valore del portafoglio equivalente,

Δ·S +B, ma deve essere vero che c= Δ·S +B

c= cu - cd + ucd -dcu

u-d (u-d) erT

c= e-rh cu e(r-δ)h –d + cd u- e(r-δ)h

u-d u-d

L’ equazione precedente può essere semplificata definendo

∏= e(r-δ)h – d 1-∏= u- e(r-δ)h

u-d u-d

Su cd

Sd cd

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Il parametro ∏ identifica la probabilità risk-neutral, cioè una distribuzione di

probabilità rispetto alla quale gli agenti economici, avversi al rischio, si comportano

come se fossero indifferenti al rischio. Ciò non significa che le aspettative e le

preferenze degli agenti non entrino mai in gioco. Significa solo che tali aspettative

non devono entrare nel pricing dell’opzione, poiché hanno già contribuito alla

formazione del prezzo dell’attività sottostante.

Estendendo l’analisi al caso multiperiodale, considerando un periodo [t, T] suddiviso

in N sottoperiodi di uguale ampiezza h=(T-t)/N, otteniamo:

cij= e-rh [ ∏ c j i+1 +(1-∏) c i+1

j+1]

con:

j=indice che indica il numero di eventi down

i=indice temporale che individua il periodo

Un punto cruciale per l’applicazione del modello binomiale è la scelta dei parametri u

e d, che devono descrivere l’incertezza sul valore futuro del prezzo del sottostante.

Le variabili u e d dipendono dalla volatilità del prezzo dell’azione stessa, σ. Indicando

con h la lunghezza di un intervallo, le relative formule di calcolo sono:

u=e(r-δ)h+σ√h d=e(r-δ)h-σ√h

2.1.1 OPZIONI AMERICANE Il modello binomiale è certamente il metodo numerico più usato per valutare le

opzioni americane in quanto tratta facilmente il pricing di queste opzioni dove non

esiste alcuna soluzione in forma chiusa. Per la valutazione delle opzioni di tipo

Americano il modello binomiale richiede una modifica per tenere conto della

possibilità di esercizio anticipato. Nel procedimento di valutazione all'indietro è

necessario verificare in corrispondenza di ciascun nodo se risulta conveniente

l'esercizio anticipato. La procedura è quella di tornare indietro nell’albero binomiale

fino all’inizio e di verificare ad ogni nodo se l’esercizio anticipato è conveniente. Dopo

aver costruito l’albero binomiale come se l’opzione fosse di tipo europeo, si tratta di

calcolare in ogni nodo (i, j) il valore intrinseco ( max (0; Sji-K) della call e max (0; K-

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Sji) della put) e confrontarlo con il prezzo cj

i precedentemente calcolato; se il valore

intrinseco è superiore a cji, allora è ottimale esercitare anticipatamente l’opzione e il

valore cji nel nodo (i, j) sarà sostituito con esso.

Il valore cji (pj

i ) associato al nodo (i, j) è dato da:

Call Americana cji ( )( )[ ]1

11-rhj

i 1e K;-Smax +++ Π−+Π= j

ij

i cc

Put Americana pji ( )( )[ ]1

11-rhj

i 1e ; S-Kmax +++ Π−+Π= j

ij

i cc

2.1.2 ALBERI BINOMIALI PER TITOLI CHE PAGANO DIVIDENDI Il modello binomiale può essere usato, pur con qualche modifica, anche nel caso in

cui i titoli sottostanti paghino dividendi ad una certa data nota. Anche in questo caso

si deve intendere il dividendo come riduzione di prezzo dell’azione nelle date di

stacco. Esaminiamo I due casi di dividend yield noto e dividendo noto.

Dividend yields noti

Se si assume che venga pagato un solo dividendo e che sia noto il dividend yield (il

dividend yield non è continuo ma si realizza alla data di stacco), l’albero assume la

forma della figura sottostante:

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Se il tempo iΔt è antecedente la data dello stacco i nodi dell’albero corrispondono ai

prezzi:

S0 ujdi-j j=0, 1,…, i

Se iΔt è successivo allo stacco del dividendo, i nodi dell’albero corrispondono ai

prezzi:

S0 (1-δ) ujdi-j j=0, 1,…, i

Dove δ è il dividend yield. Il pagamento di diversi dividend yields noti, durante la vita

dell’opzione, può essere trattato in modo analogo. Se δi è il dividend yield

complessivo associato con le date di stacco comprese tra il tempo 0 e il tempo iΔt, i

nodi al tempo iΔt corrispondono ai prezzi :

S0 (1- δi) ujdi-j

Sd3(1-δ)

S d²u(1-δ)

Su3(1-δ)

Su²d(1-δ)

Sud(1-δ)

Su²(1-δ)

Sd²(1-δ)

Su

Sd

S

Su4(1-δ)

Sdu3(1-δ)

Sd² u² (1-δ)

Sd3u(1-δ)

Sd4(1-δ)

Data di stacco del dividendo

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Dividendi noti Ipotizziamo ora di conoscere l’importo del dividendo anzichè il dividend yield.

Assumendo che la volatilità del titolo σ sia costante, l’albero binomiale assume la

forma mostrata nella seguente figura:

L’albero non si ricombina e questo significa che il numero dei nodi da valutare

soprattutto se vengono staccati molti dividendi, è molto elevato.

Si supponga che venga staccato un solo dividendo alla data τ compresa tra k∆t e

(k+1) ∆t, di importo pari a D. Se i≤k, i nodi dell’albero al tempo i∆t corrispondono

come prima ai prezzi:

S0 ujdi-j j=0, 1,…, i

Quando i=k+1, i nodi dell’albero corrispondono ai prezzi

Sud-D

Su²-D

Sd²-D

Su

Sd

S

Data di stacco del dividendo

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S0 u jd i-j - D j=0, 1,…, i

Quando i=k+2, i nodi dell’albero corrispondono ai prezzi

(Sujdi-1-j - D)u e (Sujdi-1-j-D)d per j=0, 1, 2,…, i-1

Cosicchè vi sono 2i nodi anzicchè i+1. Quando i=k+m, vi sono m(k+2) nodi invece di

k+m+1.

Il problema può essere semplificato se si assume che il prezzo dell’azione abbia due

componenti: una parte incerta e una deterministica, pari al valore attuale di tutti i

futuri dividendi che saranno pagati durante la vita dell’opzione. Si supponga sempre

una sola data di stacco τ tale che k∆t≤ τ ≤(k+1) ∆t; il valore della componente incerta

S* al tempo i∆t è pari a

S*=S quando i∆t> τ

e

S*=S – De-r(τ-i∆t) quando i∆t≤ τ

dove D è il dividendo. Detta σ* la volatilità di S*, si assume che σ* sia costante. I

parametri u, d, in questo caso sono dati da:

u=e(r-δ)h+σ*√h d=e(r-δ)h-σ*√h

e l’albero può essere costruito nel modo consueto per S*.

Sommando al prezzo dell’azione, in ciascun nodo, il valore attuale dei futuri

dividendi, l’albero può essere convertito in un altro albero per S.

Sia S0* il valore di S* al tempo 0. Al tempo i∆t, i nodi di quest’albero corrispondono ai

prezzi:

S0* ujdi-j+D e-r( τ- i∆t) j=0, 1, …, i quando i∆t≤ τ

S0* ujdi-j j=0, 1, …, i quando i∆t> τ

Questo approccio consente di avere un albero che si ricombina, nel quale il numero

dei nodi al tempo i∆t è pari a i+1.

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2.2 IL MODELLO DI BLACK & SCHOLES Il modello di Black & Scholes, è uno dei modelli più conosciuti ed utilizzati in finanza

che permette di calcolare il prezzo in forma chiusa di un’opzione call europea

standard e, con l’utilizzo della relazione di parità put-call, anche di un’opzione put.

Il principio base su cui si basa la formula è spiegato dallo stesso Fischer Black:

“Suppose there is a formula that tells how the value of a [European] call option

depends on the price of the underlying stock, the volatility of the stock, the exercise

price and maturity, and the interest rate.

Such a formula will tell us…how much the option value will change when the stock

price changes by a small amount within a short time. Suppose that the option goes

up about $0.50 when the stock goes up $1.00, and down about $0.50 when the stock

goes down $1.00. Then you can create a hedged position by going short two option

contracts and long one round lot of stock. Such a position will be close to riskless.

For small moves in the stock in the short run, your losses on side will be mostly offset

by gains on other side…

As the hedged position will be closed to risk less, it should return an amount equal to

the short-term interest rate on close-to-riskless Securities. This one principle gives us

the option formula.” (How We Came Up with the Option Formula, Black 1989).

Sono possibili diverse derivazioni dell'equazione di Black-Scholes. Nel loro lavoro

originale del 1973, Black e Scholes, in modo analogo al modello binomiale,

costruiscono un portafoglio neutrale al rischio contenente opzioni e azioni. In

assenza di opportunità d’arbitraggio, il tasso di interesse del portafoglio deve essere

pari al tasso d’interesse privo di rischio, r. Questo è l’elemento chiave che ha

consentito a Black e Scholes di ottenere le loro formule di valutazione.

Il motivo per cui è possibile formare un portafoglio privo di rischio dipende dal fatto

che il prezzo dell’azione e quello dell’opzione sono influenzati entrambi dalla

variazione del prezzo dell’azione. In ogni breve intervallo di tempo il prezzo

dell’opzione è perfettamente correlato (in modo positivo per la call, negativo per la

put) con il prezzo del titolo sottostante, cosicchè, se si forma un appropriato

portafoglio di azioni e opzioni, il profitto o la perdita sulla posizione in titoli è sempre

23

compensata dalla perdita o dal profitto sulla posizione in opzioni e il valore

complessivo del portafoglio alla fine del breve intervallo di tempo risulta sempre noto

con certezza.

A differenza del modello binomiale, in Black-Scholes il portafoglio formato è privo di

rischio solo per un breve periodo di tempo, per questo deve essere ribilanciato

spesso.

Alla base del modello ci sono alcune ipotesi:

• L’opzione è di tipo europeo;

• Il prezzo del bene sottostante segue una distribuzione di probabilità di tipo

lognormale;

• È consentita la vendita allo scoperto del sottostante, come dello strumento

derivato;

• Non sono ammesse opportunità d'arbitraggio;

• Il sottostante e lo strumento derivato sono scambiati sul mercato in tempo

continuo;

• Non sussistono costi di transazione, tassazione, né frizioni di altri tipo nel

mercato. I titoli sono perfettamente divisibili;

• Il tasso d'interesse privo di rischio è costante, e uguale per tutte le scadenze;

• L’attività sottostante non paga né cedole né dividendi.

Il modello permette di valutare un’opzione sulla base della conoscenza di sei fattori:

1. St, prezzo del titolo sottostante

2. δ, tasso istantaneo di erogazione del dividendo del titolo azionario

3. K, strike price

4. r, tasso risk-free con la scadenza dell’opzione

5. T-t, vita residua dell’opzione

6. σ volatilità del titolo sottostante

Derivata l'equazione di Black-Scholes, la definizione di condizioni al contorno

alternative consente di caratterizzare i diversi strumenti derivati. La soluzione

dell'equazione di Black-Scholes può essere ottenuta sfruttando il metodo della

24

separazione delle variabili (utilizzato da Black e Scholes nel loro lavoro del 1973),

oppure tramite la formula di Feynman-Kac, che consente di esprimere la soluzione

come un valore atteso, aprendo così la via a soluzioni numeriche, ottenute tramite

simulazione Monte Carlo. Consideriamo uno strumento derivato il cui prezzo è

denotato da f(St, t), dove St è il prezzo del sottostante. Si ipotizza che il sottostante

segua un processo di moto browniano geometrico, descritto tramite l'equazione

differenziale stocastica:

dS=μ Sdt+σSdWt

L'equazione costituisce propriamente il modello di Black-Scholes-Merton per il

prezzo di un'attività finanziaria.

Quindi costruiamo un portafoglio fittizio:

Π= f- (∂f/∂S)S

Si osservi che il rapporto (∂f/∂S) è il Delta dello strumento derivato (il delta misura la

variazione del prezzo di un’opzione unitaria indotta da un aumento unitario del

prezzo spot St). Applicando il Lemma di Itô, determiniamo l'equazione differenziale

stocastica che Π deve soddisfare:

dΠ=df-(∂f/∂S)dS= [ (∂f/∂S) μS+(∂f/∂t)+ ½σ2S2(∂2f/∂S2)]dt +(∂f/∂S)σSdWt- (∂f/∂S)μSdt -

(∂f/∂S)σSd

Ora , imponiamo che il portafoglio Π sia privo di rischio su un intervallo di tempo

infinitesimo; sotto l'ipotesi di assenza di opportunità di arbitraggio, ciò equivale a

imporre:

dΠ=rΠdt= r[f-(∂f/∂S)S] dt

Eguagliando le due relazioni così ottenute, si ottiene l'equazione di BSE

rS (∂f/∂S)+ (∂f/∂t)+ ½σ2S2(∂2f/∂S2)-rf=0

25

Si tratta di un'equazione alle derivate parziali parabolica; tale relazione dovrà essere

soddisfatta, in assenza di opportunità d'arbitraggio, dal prezzo di un qualsiasi

strumento derivato.

Per determinare il prezzo di uno specifico derivato occorre risolvere la BSE

imponendo la condizione al contorno.

Nel caso di una call europea la principale condizione al contorno è:

f=max (S-K, 0)

Così otteniamo la formula di Black-Scholes per il prezzo ct di una call europea:

ct = St e– δ(T-t)N(d1) – Ke–r(T-t)N(d2)

d1 e d2 si calcolano nel seguente modo:

d1 = [ln(St /k)+(r-δ+σ2/2)(T-t)]/ [σ√(T-t)] d2= d1-σ√(T-t)

2.2.1 APPROSSIMAZIONE DI BLACK

Black ha suggerito una procedura approssimata per valutare le call americane scritte

su titoli che pagano dividendi. Prima calcoliamo il prezzo di due opzioni europee che

scadono al tempo T e al tempo t e poi consideriamo il prezzo dell’opzione americana

uguale al maggiore dei prezzi di queste due call europee. Questa procedura sembra

funzionare bene nella maggior parte dei casi

Consideriamo una call europea scritta su in titolo che paga un dividendo tra 2 mesi

(t1) e 5 mesi (t2) entrambi pari a 0,50 €. Il prezzo corrente dell’azione è di 40 €, il

prezzo d’esercizio (K) è di 40 €, la volatilità del prezzo dell’azione (σ) è del 30%

annuo, il tasso d’interesse risk-free (r) è 9% annuo e la vita residua dell’opzione è di

6 mesi (T=0,5).

Come abbiamo illustrato precedentemente l’esercizio della call prima della scadenza

può risultare vantaggioso solo se D > K(1-e-r(T-t)). Dato che

K(1-e-r(t2-t1))= 40(1-e-0,09x0,25)=0,89 >0,5

26

segue che l’opzione non dovrebbe mai essere esercitata immediatamente prima

della 1a data di stacco. Invece in t2

K(1-e-r(T-t2))= 40(1-e-0,09x0,0833)= 0,30<0,5

quindi se è sufficientemente DEEP IN THE MONEY, l’opzione dovrebbe essere esercitata

immediatamente prima della 2a data di stacco.

Possiamo calcolare Il valore della call, nel caso in cui essa scada immediatamente

prima della seconda data di stacco dei dividendi, con la formula di Black e Scholes:

ct = St e– δ(T-t)N(d1) – Ke–r(T-t)N(d2)= 3,52€

Secondo l’approssimazione di Black, il valore della call americana è pari al maggiore

tra questo valore e quello di una call europa che scade al tempo T=0,5. Applicando la

formula di Black e Scholes sappiamo che il valore di questa call europea è pari a

3,67€. Pertanto secondo l’approssimazione di Black, il valore della call americana è

di 3,67€.

27

2.3 IL METODO MONTE CARLO

Il metodo Monte Carlo fa parte della famiglia dei metodi statistici non parametrici.

È un metodo di simulazione che si basa sul fatto che la distribuzione dei valori

dell’attività dipende dal processo che genera i movimenti futuri. La simulazione MC è

un metodo molto vantaggioso da utilizzare nel calcolo del pricing delle opzioni in

quanto è sufficientemente semplice da attivare e molto flessibile. Quando viene

utilizzato per valutare le opzioni, questo metodo adotta il principio della valutazione

neutrale verso rischio. Con una procedura di campionamento, si calcola il valore

atteso dell’opzione in un mondo neutrale verso il rischio e lo si attualizza in base al

tasso di interesse privo di rischio. Questo metodo consiste essenzialmente nel

simulare l’andamento nel tempo dell’attività sottostante tramite l’utilizzo di un

elaboratore. Una volta effettuato un numero N di simulazioni, si dovrebbe generare

una funzione di distribuzione stimata del sottostante: ovviamente ad ogni percorso

viene anche stimato una funzione di payoff finale per l’opzione. Infine l’ultimo passo

consiste nell’esaminare la distribuzione dei possibili valori finali per l’opzione e la

media di questi valori rappresenterà il prezzo dell’opzione.

Supponiamo che il processo seguito dal sottostante sia:

dS=μS dt+ σS dz

con:

dz=processo di Wiener

μ= tasso di rendimento atteso in un mondo neutrale verso il rischio

σ= volatilità.

Per simulare il sentiero seguito da S, dividiamo la vita del derivato in N piccoli

intervalli, ciascuno di lunghezza Δt e riscriviamo l’opzione come :

S(t+Δt)- S(t)=μS(t) Δt+ σS(t)ε√Δt

Dove ε è un’estrazione casuale da una distribuzione normale standardizzata

Supponiamo che il tasso di rendimento atteso (μ) sia 15% annuo e che la deviazione

standard del tasso di rendimento (σ) sia pari al 30 % annuo. Supponiamo inoltre che

28

Δt=0,01, cioè osserviamo le variazioni di prezzo dell’azione in intervalli temporali di

lunghezza pari a 3,65 giorni. In base all’equazione sopra descritta:

ΔS=0,15*0,01*S+ 0,3* S*ε* √(0,01)

Per simulare la dinamica del prezzo dell’azione, si possono estarre ripetutamente dei

campioni casuali di ε da una distribuzione normale standardizzata e poi sostituirli

nell’equazione.

Uno dei vantaggi del Metodo MC è sicuramente la sua grande potenza di risultati e la

flessibilità. Inoltre molti progressi sono stai fatti dai ricercatori in merito alla

convergenza dei risultati: per accelerarne gli effetti sono state create diverse tecniche

di riduzione della varianza. Il Metodo MC ha però anche dei limiti e uno di questi è la

stima dell’errore. La percentuale di errore insito nel metodo è statistico e

proporzionale alla radice di N. I componenti del vettore campione sono stati creati

tramite un generatore di numeri casuali, ma questi non sono efficienti abbastanza per

riempire completamente lo spazio dei numeri naturali.

2.3.1 OPZIONI AMERICANE: Alcuni ricercatori hanno trovato un modo per valutare le opzioni americane con il

Metodo MC. Le proposte più interessanti sono l’approccio dei “Minimi Quadrati” e

l’approccio della Parametrizzazione dell’ Exercise Boundary.

L’APPROCCIO DEI MINIMI QUADRATI Per valutare le opzioni americane è necessario scegliere tra esercizio e non

esercizio. Mentre il valore dell’opzione da valutare è facile da determinare non si può

dire lo stesso per il valore dell’opzione non esercitata. I ricercatori Longstaff e

Schwartz, hanno suggerito una procedura per determinare tale valore. Il loro

approccio consiste nello stimare, con i minimi quadrati, la relazione tra il valore

dell’opzione non esercitata e il valore delle variabili rilevanti, in ogni istante in cui

l’esercizio anticipato è possibile.

29

L’APPROCCIO DELLA PARAMETRIZZAZIONE DELL’ EXERCISE BOUNDARY Altri ricercatori, tra cui Andersen, hanno proposto un diverso approccio, dove viene

parametrizzato l’early Exercise Boundary , ovvero il confine che separa la regione

d’accettazione da quella di non esercizio. I valori dei parametri sono determinati con

un metodo iterativo che procede all’indietro inizando dalla scadenza dell’opzione.

30

3. FORMULE ANALITICHE PER LE OPZIONI AMERICANE

Tranne rare eccezioni non è possible calcolare un’esatta formula per valutare le

opzioni Americane. Diversi ricercatori hanno comunque ottenuto eccellenti

approssiamazioni.

3.1 THE BARONE-ADESI AND WHALEY APPROXIMATION (1987) Il metodo dell’approssimazione quadratica di Barone-Adesi e Whaley può essere

usato per prezzare

opzioni Americane, call e put , scritte su un titolo che paga un dividend yield

continuo pari a δ. Si indichi con v la differenza tra il prezzo di un’opzione americana e

il prezzo della corrispondente opzione europea. Poiché i prezzi dell’opzione

americana e di quella europea devono soddisfare entrambi l’equazione differenziale

fondamentale di Black-Scholes-Merton, anche la differenza v deve soddisfarla. Di

conseguenza, si ha

∂v/ ∂t + (r-δ) S ( ∂v/∂S) + ½ σ2 S2 (∂2v/∂S2) = rv

Per comodità definiamo:

τ=T-t h(τ)=1- e-rt α= 2r/σ2 β=2(r-δ)/σ2

Inoltre, senza perdite di generalità, possiamo scrivere

v = h(τ ) g(S, h).

Con appropriate trasformazioni e sostituzioni di variabili, si ottiene

S2 (∂2g/∂S2)+ βS (∂g/∂S)- (α/h)g-(1-h) α(∂g/∂h)=0

Nell’approssimazione proposta si assume che l’ultimo termine alla sinistra del segno

di uguaglianza sia nullo, cosicché risulta:

S2 (∂2g/∂S2)+ βS (∂g/∂S)- (α/h)g=0

31

Il termine che viene trascurato, (1 – h)α∂g/∂h, è in genere piuttosto piccolo. Quando τ

è sufficientemente grande, 1 – h è prossimo a zero; quando τ è sufficientemente

piccolo, ∂g/∂h è prossima a zero.

L’equazione trovata può essere risolta usando tecniche standard. Imponendo le

condizioni al contorno, si trova che:

c( S t) + A2 (S/S*)y2 con S<S* C(S, t)=

S-K con S≥S*

Dove:

C(S, t)= prezzo della call americana

c(S, t)= prezzo della corrispondente call europea

S= prezzo dell’azione

S*= prezzo critico dell’azione al di sopra del quale l’esercizio anticipato

dell’opzione risulta conveniente. Il prezzo critico viene stimato risolvendo, con metodi

iterativi, l’equazione:

S* − K = c(S*, t) +{1-e-δ(T-t) N [d1(S*)] } (S*/y2)

Le altre variabili sono state così definite:

y2=½{-(β-1)+√[( β-1)2 + 4α/h]}

A2=(S*/y2){ 1-e-δ(T-t) N [d1(S*)] }

d1 = [ln(S /k)+(r-δ+σ2/2)(T-t)]/ [σ√(T-t)]

Nel caso delle puts, la formula di valutazione è

p( S, t) + A1 (S/S**)y1 con S>S**

P(S, t)=

K -S con S≤S*

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Dove:

P(S, t)= prezzo della put americana

p(S, t)= prezzo della corrispondente put europea

S**= prezzo critico dell’azione al di sotto del quale l’opzione dovrebbe essere

esercitata. Il prezzo critico viene stimato risolvendo, con metodi iterativi, l’equazione

K-S** = p(S**, t) +{ 1-e-δ(T-t) N [-d1(S**)] } (S**/y1)

Le altre variabili sono state così definite:

y1=½{-(β-1)-√[( β-1)2 + 4α/h]}

A1=(S**/y1){ 1-e-δ(T-t) N [-d1(S*)] }

Le opzioni scritte su indici, valute e futures sono simili alle opzioni scritte su titoli che

pagano un dividend yield continuo pari a δ. Pertanto, l’approccio

dell’approssimazione quadratica può essere facilmente esteso per valutare tutti

questi tipi di opzione.

3.2 THE BJRKSUND AND STENSLAND APPROXIMATION (1993)

L’appossimazione di Bjerksund e Stensland può essere utilizzata per

valutare opzioni americane su azioni, futures e valute. Il metodo è

analitico e estremamente computer-efficient.

Questo modello è più accurato, per le opzioni di lungo periodo, del

modello di Barone-Adesi e Whaley.

Il prezzo di una call americana è dato da:

C=αSβ-α Φ(S, T, β, I, I)+ Φ(S, T, 1, I, I)- Φ(S, T, 1, K, I)-

KΦ(S, T, 0, I, I)+ KΦ(S, T, 0, K, I)

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Con:

α=(I-K)I-β

β=(½-δ/σ2)+ √[ (δ/σ2 -½)2 + 2r/ σ2

La funzione Φ(S, T, γ, H, I) è data da:

Φ(S, T, γ, H, I)=eλS γ [N(d)-(I/S)κ N[d-2ln(I/S)/σ√T]

Con:

λ=[-r+ γ δ+½ γ(γ-1) σ2]T

d =- [ln(S /H)+(δ+ (γ-½)σ2)]T/ [σ√T]

κ= 2δ/σ2 +(2γ-1)

e il trigger price è definito come

I= B0+( B∞- B0)(1- e h(T))

h(T)=-( δT+ 2 σ√T)[B0/( B∞ - B0)]

B∞ = (β/ β-1)K

B0= max[ K, (r/r- δ)k]

Se S≥I, è ottimale esercitare l’opzione immediatamente, e il valore deve essere

uguale al valore intrinseco di S-K. Se invece δ≥r, non sarà mai ottimale esercitare la

call Americana prima della scadenza e il valore può essere trovato usando al formula

di Black e Scholes.

Il valore della corrispondente put Americana è data dalla Bjerksund and Stensland

put-call transformation:

P(S, K, T, r, δ, σ)= C(K, S, T, r- δ, - δ, σ)

Con l’uso di questa trasformazione non è necessario sviluppare una formula

separata per le put americane.

34

BIBLIOGRAFIA

Barone-Adesi, G. & Whaley, R. (1987), Efficient analytic approximation of American

option values, Journal of Finance 42(2), 301-320.

Bjerksund, P. & Stensland, G. (1993), Closed form approximation of American

options, Scandinavian Journal of Management 9, 87-99.

Bjerksund, P. & Stensland, G. (2002), Closed form valuation of American options.

Bjork, T. (1998), Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford University Press.

Black, F. & Scholes, M. (1973), The pricing of options and corporate liabilities,

Journal of Political Economy 73(May-June), 637-659.

Bos, M. & Vandermark, S. (2002), Finessing fixed dividends, Risk 15(9), 157-158.

Bradimarte P. (2002), Numerical Methods in Finance, John Wiley & Sons, Inc.

Chriss, N. (1997), Black- Scholes and beyond, IRWIN.

Cox, J., Ross, S. & Rubinstein, M. (1979), Option pricing: a simplified approach,

Journal of Financial Economics 7, 229-263.

Frishling, V. (2002), A discrete question, Risk January(1).

Germani A., La valutazione di opzioni nel mercato italiano.

Gradi M., I modelli di pricing delle opzioni americane su titoli azionari: un'analisi

empirica.

Guarino D., Alcuni metodi numerici per la valutazione delle opzioni americane.

Gurioli G. (2007), Strumenti Derivati.

Haug E.G. (2007), The Complete Guide To Option Pricing Formulas, McGraw-Hill.

35

Hull, J.C. (2003), Opzioni, Futures e Altri Derivati, Il Sole 24Ore Libri.

James P. (2003), Option Theory, John Wiley & Sons, Inc.

Manca P. (2005), Pricipi di Valutazione dei Titoli Derivati, Giappichelli Editore.

Mascher N.S.G. ,Teoria delle opzioni finanziarie : Problemi di valutazione e aspetti

strategici.

Prisman E.Z. (2000), Pricing derivative Securities, Academic Press.

Rotoli Giorgio (2003) Metodi numerici per la valutazione delle americane.

Ventriglia F (2005), La Strategia di Innovazione-Opzioni e Problematiche Valutative,

Giappichelli Editore.

Risorse elettroniche

caronte.dma.unive.it/~pianca/matfin/americane.pdf –

dse.univr.it/berardi/mvsd/mvsd.htm

http://it.wikipedia.org/wiki/Opzione_(finanza)

www.dma.unive.it/~basso/FinanzaMatematica1/BinomialeEsempioAmericane_2008.

www.economia.unimi.it/projects/finance/american.pdf

www.risk.net/public/showPage.html?page=479937

www.traderfoundation.it/strumenti/opzioni.pdf