Instituto Politcnico NacionalEscuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica Unidad Zacatenco Ingeniera en Comunicaciones y Electrnica

ASIGNATURA:ANALISIS NUMERICOS

NOMBRE DEL TRABAJO:TRABAJO DE INVESTIGACION SEGUNDO DEPARTAMENTAL

NOMBRE DEL PROFESOR:ING. JOSE ANTONIO BERNAL MENDOZA

INTEGRANTES:AVILA MACIAS JESUS EDUARDO GONZALEZ LOPEZ FERNANDO GUARNEROS DE LA TORRE HECTOR GUTIERREZ VICTOR RAUL MICHEL JULIAN ALEJANDRO

GRUPO: 4CV7

10/ NOVIEMBRE/ 2001

INDICE

INTRODUCCION ................................................................................................................................... 3 OBJETIVOS4 MARCO TEORICO4

METODO DE LU ............................................................................................................. 5PROBLEMAS ................................................................................................................................ 7 CODIGO FUENETE...................................................................................................................... 15

METODO DE CHOLESKY .......................................................................................... 16CODIGO FUENTE........................................................................................................................ 22

METODO DE CHEBYSHEV ........................................................................................ 26PROBLEMAS..27 CODIGO FUENTE..30

METODO DE HERMITE ............................................................................................. 32PROBLEMAS .............................................................................................................................. 36

INTERPOLACION DE NEWTON...38PROBLEMAS39. CODIGO FUENTE41

CONCLUSIONES ........................................................................................................... 60 GLOSARIO ..................................................................................................................... 60 BOBLIOGRAFIA ........................................................................................................... 62

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INTRODUCCIN Muchas veces en el campo de la ingeniera, ciencia y vida diaria, se encuentran diversos problemas, los cuales deben ser analizados desde el enfoque que los mtodos numricos pueden dar, ms aun, si dicho mtodo numrico, es enfrentado a polinomios, de difcil trato. Sabemos que para resolver una ecuacin, existen diferentes mtodos, algunos de ellos ya los hemos utilizado en repetidas ocasiones, estos mtodos son Mtodo de sustitucin 1 Se d espeja una incgnita en una de las ecuaciones. 2 Se sustituye la expresin de esta incgnita en la otra ecuacin, obteniendo un ecuacin con una sola incgnita. 3 Se resuelve la ecuacin. 4 El valor obtenido se sustituye en la ecuacin en la que apareca la incgnita despejada. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema. Mtodo de igualacin 1 Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones. 2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuacin con una incgnita. 3 Se resuelve la ecuacin. 4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que apareca despejada la otra incgnita. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema. Mtodo de reduccin 1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicndolas por los nmeros que convenga. 2 La restamos, y desaparece una de las incgnitas.

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3 Se resuelve la ecuacin resultante. 4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema. En este trabajo se llevo a cabo la investigacin de nuevos mtodos matemticos, para poder resolver ecuaciones de cualquier tipo. Era lgico esperar un grado mayor de razonamiento, para poder aplicar estos mtodos, ya que conforme avanzamos, encontraremos cada vez un nivel mayor de dificultad para resolver este tipo de problemas, sin embargo con los conocimientos previos que tenemos, ser ms que suficiente para poder aplicar estos mtodos y no tener problema alguno. Recordamos que los mtodos que se aplicaron en esta investigacin son: El mtodo de LU Cholesky Chebyshev Hermite Y la interpolacion de Newton para 2 ecuaciones

Los cuales fueron detalladamente explicados de tal forma que fueran claros para nuestros lectores. OBJETIVOS -GENERAL Este trabajo busca ensear la implementacin de distintos mtodos para la resolucin de sistemas de ecuaciones tales como Lu, Cholesky, Chebyshev y Hermite; adems del estudio de mtodos de interpolacin, tales como el mtodo de Newton. -PARTICULAR El objetivo particular de este trabajo tiene como principal meta, el lograr explicar en base a un marco terico, desarrollo de mtodo, problemas de ejemplo y una implementacin en el compilador Turbo o C o DevC++, para cada uno de los mtodos que ms adelante se explicaran. MARCO TEORICO Muchas veces, de una funcin slo conocemos un conjunto de valores. Esto puede suceder, por ejemplo, porque son los resultados de un experimento gobernado por una ley que desconocemos. Si queremos calcular el valor de la funcin para una abscisa diferente de las conocidas, debemos utilizar otra funcin que la aproxime y, naturalmente, el valor que obtengamos ser una aproximacin del valor real. Tambin puede suceder que sepamos la expresin analtica de laPgina 4

funcin, pero sea lo suficientemente complicada como para calcular aproximaciones a los valores de la funcin a partir de otros ya conocidos. Existen varias formas de hacer esto, pero la ms sencilla y una de las ms utilizadas es la interpolacin1, que consiste en construir una funcin que pase por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar sta como aproximacin de la funcin primitiva. Si se utilizan polinomios como funciones de aproximacin, hablamos de interpolacin polinmica. DESARROLLO METODO DE LU

Su nombre se deriva de las palabras inglesas Lower" y Upper, que en espaol se traducen como Inferior y Superior. Estudiando el proceso que se sigue en la descomposicin LU es posible comprender el por qu de este nombre, analizando cmo una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior. La descomposicin LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de la matriz [A], proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa o resolver sistemas de lgebra lineal. Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U]. [L] es una matriz diagonal inferior con nmeros 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber nmeros 1. El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la matriz triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U].

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PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR (MATRIZ [U] 1. Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1. 2. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a cero los valores abajo del pivote. 3. Dicho factor es igual al nmero que se desea convertir en cero entre el nmero pivote. 4. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le suma el valor que se encuentra en la posicin a cambiar (el valor en la posicin que se convertir en cero). Esto es: - factor * pivote + posicin a cambiar PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR NFERIOR (MATRIZ [L]) Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de cada pivote, as como tambin convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el mismo concepto de factor explicado anteriormente y se ubican todos los factores debajo de la diagonal segn corresponda en cada uno. Esquemticamente se busca lo siguiente:

Originalmente se tena:

Debido a que [A] = [L][U], al encontrar [L] y [U] a partir de [A] no se altera en nada la ecuacin y se tiene lo siguiente

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Por lo tanto, si Ax = b, entonces LUx = b, de manera que Ax = LUx = b. PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MTODO DE DESCOMPOSICIN L 1. Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U. 2. Resolver Ly = b (para encontrar y). 3. El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre y. 4. Realizar Ux = y (para encontrar x). 5. El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada x, la cual brinda los valores correspondientes a las incgnitas de la ecuacin.

PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:

NOTA: Recurdese que si la matriz es 2x2 se har 1 iteracin; si es 3x3, 2 iteraciones; si es 4x4, 3 iteraciones; y as sucesivamente. SOLUCIN: 4 -2 -1 9

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[A] = 5 1

1 2

-1 -4

[B] =

7 12

ITERACIN 1 factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25 factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25 Encontrando [U] fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2) fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3) a11 = a11 a12 = a12 a13 = a13 a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0 a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5 a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25 a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0 a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5 a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75 4 [U] = 0 0 -2 3.5 2.5 -1 0.25 - 0.75

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Encontrando [L] 1 [L] = 0 0 0 0

1.25 0 0.25 0

ITERACIN 2 factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 = 0.7142857143 Encontrando [U] fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3) a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0 a32 = - (2.5 / 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0 a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = - 0.9285714286 4 [U] = 0 0 Encontrando [L] -2 3.5 0 -1 0.25 - 0.9285714286

1 [L] =

0

0 0

1.25 1

0.25 0.7142857143 1

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Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:

Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:

El ltimo paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3:

La solucin del sistema es:

Este es finalmente el valor de x1, x2 y x3; es decir, la respuesta del ejercicio utilizando la descomposicin LU.

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2.- Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:

SOLUCIN: 11 [A] = 5 4 -3 -2 -7 -2 -8 2 [B] = 18 13 2

ITERACIN 1 factor 1 = (a21 / a11) = 5/11 = 0.4545454545 factor 2 = (a31 / a11) = 4/11 = 0.3636363636 Encontrando [U] fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2) fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3) a11 = a11 a12 = a12 a13 = a13 a21 = - (0.4545454545) * (11) + (5) = 0 a22 = - (0.4545454545) * (- 3) + (- 2) = - 0.6363636365 a23 = - (0.4545454545) + (- 2) + (- 8) = - 7.0909090919 a31 = - (0.3636363636) * (11) + (4) = 0Pgina 11

a32 = - (0.3636363636) * (- 3) + (- 7) = - 5.909090909 a33 = - (0.3636363636) * (- 2) + (2) = 2.7272727272

11 [U] = 0 0

-3 - 0.6363636365 - 5.909090909

-2 - 7.0909090919 2.7272727272

Encontrando [L] 1 [L] = 0 0 0 0

0.45454545 0 0.36363636 0

ITERACIN 2 factor 3 = (u32/u22) = - 5.909090909 / - 0.6363636365 = 9.285714284 Encontrando [U] fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3) a31 = - (9.285714284) * (0) + (0) = 0 a32 = - (9.285714284) * (- 0.6363636365) + (- 5.909090909) = 0 a33 = - (9.285714284) * (- 7.0909090919) + (2.7272727272) = 68.57142857

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11 [U] = 0 0

-3 - 0.6363636365 0

-2 - 7.0909090919 68.57142857

Encontrando [L] 1 [L] = 0 0 0

0.4545454545 1

0.3636363636 9.285714284 1

Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:

Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:

El ltimo paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3:Pgina 13

La solucin del sistema es:

Este es finalmente el valor de x1, x2 y x3; es decir, la respuesta del ejercicio utilizando la descomposicin LU.

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PROGRAMA DE LU CODIGO FUENTE #include #include #include //Librera gsl para calcular lo que queremos using namespace std; //Instruccin para no tener que escribir std::cin int main (int argc, char **argv) { size_t i,j,m; int s; coutm; gsl_matrix * A = gsl_matrix_alloc(m,m); gsl_permutation * p = gsl_permutation_alloc(m); gsl_matrix *invA = gsl_matrix_alloc(m,m); cout