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Análisis Numérico
El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma
rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que
nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con
una precisión determinada.
Algoritmo
En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solución
aproximada de un problema mediante un número finito de pasos que pueden ejecutarse de manera lógica. En
su Definición Formal Un Algoritmo se Define como: Es procedimiento que describe sin ambigüedades una serie
finitas de pasos a realizar en un orden específico. El objetivo del algoritmo es poner en práctica un
procedimiento para resolver un problema o aproximarse a una solución.
Características de los Algoritmos:
Las características fundamentales que debe cumplir todo algoritmo son:
Un algoritmo debe ser preciso e indicar el orden de realización de cada paso.
Un algoritmo debe estar definido. Si se sigue un algoritmo dos veces, se debe obtener el mismo resultado cada vez.
Un algoritmo debe ser finito. Si se sigue un algoritmo se debe terminar en algún momento; o sea, debe tener un numero finito de pasos.
Partes del Algoritmo
La definición de un algoritmo debe definir tres partes: Entrada, Proceso y Salida. En el algoritmo de una
receta de cocina se tendrá:
Entrada: ingrediente y utensilios empleados. Proceso: elaboración de la receta en la cocina. Salida: terminación del plato (por ejemplo, cordero).
Método Numérico
Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la
solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas
elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo proposicional, etc.).
Tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de
operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que producen o bien una aproximación de la solución del
problema (solución numérica) o bien un mensaje.
La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del
algoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores).
En general, al emplear estos instrumentos de cálculo se introducen errores llamados de redondeo.
Cifras Significativas
Cuando se expresa un número debe evitarse siempre la utilización de cifras no significativas, puesto que puede
suponer una fuente de confusión. Los números deben redondearse de forma que contengan sólo cifras
significativas. Se llama redondeo al proceso de eliminación de cifras no significativas de un número.
Definición de Error
En términos generales, el error de un método numérico es la diferencia que existe entre el verdadero valor
que se busca y la aproximación obtenida a través de una técnica numérica. El error se clasifica en dos
categorías, error de redondeo y error de truncamiento.
Error de redondeo
Se origina por el hecho de que una computadora sólo puede representar un número finito de términos. Para
expresar una cantidad con un desarrollo decimal infinito, se tiene que prescindir de la mayoría de ellos. Por
ejemplo, el número π = 3.14159265...., tiene un desarrollo decimal infinito no periódico. Por lo tanto, para
fines de cálculo, sólo se toman algunos de sus dígitos.
Esto se realiza a través de dos estrategias:
Redondeo. Prescinde de cierto número de cifras significativas y realiza un ajuste, sobre la última cifra no
descartada: π ≈ 3.1416 .
Corte o poda: Prescinde de cierto número de cifras significativas sin realizar un ajuste sobre la última cifra no
descartada π ≈ 3.1415 .
En aplicaciones actuariales, ciencias e ingeniería, se recomienda el redondeo, ya que el corte o
Errores Absoluto y Relativo
Una vez que se ha establecido la clasificación del error (es decir, las dos fuentes de error en los métodos
numéricos), se procede a definir los conceptos de error absoluto verdadero, error absoluto relativo, error
absoluto aproximado y error relativo aproximado, todos ellos como una suma o consecuencia de los errores de
redondeo y truncamiento.
Los siguientes conceptos de error pueden emplearse como criterios de paro y medidas de precisión de los
métodos numéricos.
Error Absoluto Verdadero
Supóngase que ̅ es una aproximación a p. El error absoluto verdadero se define con la siguiente expresión:
| ̅|
Esta definición de error, lo cuantifica en términos brutos. No obstante, una medida que puede describir con
mayor detalle o proporción el error, es aquella que lo expresa en términos porcentuales.
Error Relativo Verdadero
Supóngase que ̅ es una aproximación a p. El error relativo verdadero se calcula con la siguiente expresión:
| ̅|
| | . El resultado suele expresarse en términos porcentuales.
METODO DE BISECCION
Lo que nos interesa es encontrar la raíz de una ecuación, o sea, su intersección con el eje de las “X” o su solución, por lo que se debe tener en cuenta que no todas las ecuaciones tienen una sola solución, y que no todas tienen solución, así que se debe tener una idea de la forma de la curva de la ecuación antes de comenzar a aplicar el método.
Esta técnica se basa en el teorema del valor intermedio y parte del supuesto que af y bf tienen signos
opuestos. Aunque el procedimiento funciona bien para el caso en el que existe más de una solución en el
intervalo ba , , se considera por simplicidad que es única la raíz en dicho intervalo. Básicamente, el método
consiste en dividir a la mitad repetidamente los subintervalos de ba , y en cada paso, localizar la mitad que
contiene a la solución p .
Procedimiento: Primero hay que saber que lo que hace el método de bisección es, como su nombre lo dice, ir partiendo en dos la distancia entre 2 puntos para obtener un punto central, se hace de la siguiente manera: Se tiran 2 puntos cualesquiera que sean sobre el eje de las X, y entre los cuales se piense que puede estar la raíz, y si no está, el mismo método lo señalara. Después de poner esos 2 puntos que llamaremos A y B se saca un tercero llamado P, P es el promedio de la distancia entre A y B, por lo que P=(A+B)/2.
Una vez que se tienen los 3 valores se procede a acomodarlos en 3 columnas llamadas A, B y P, que servirán más adelante. Luego se sustituyen los valores en la ecuación original, como se ve en la tabla siguiente, cada punto tiene su función A tiene f(A), B tiene f(B) y P tiene f(P), y se anota el resultado de la sustitución de cada cantidad en otras 3 columnas llamadas precisamente f(A), f(B), y f(P).
.Supongamos que se tiene la siguiente ecuación: 826 23 xxx , y que los dos puntos iniciales que se dan,
o sea ba , son 5,13
A B P f(A) f(B) f(P)
-13 5 -4 -1201 293 32
Después, ya con todos los valores acomodados en su respectiva columna se pone atención a las 3 columnas
con las f(x) , si 0* pfaf , af y Pf tiene el mismo signo, esto quiere decir que la raíz esta entre
el intervalo de BP , , ahora si 0* pfaf hay un cambio de signo entre af y Pf esto quiere decir
que la raíz esta entre el intervalo de PA , o sea para este caso estaría entre 4,13
A B C f(A) f(B) f(C)
-13 5 -4 -1201 293 32
-13 -4 -17/2 -1201 32 ¿?
Como se puede ver en esta nueva tabla, es necesario repetir el proceso que ya se realizo, para el valor de P se
vuelve a utilizar la formula P=(A+C)/2 y luego se sustituye ese valor en la ecuación original para obtener f(P), y
después se vuelve a ver dónde hay cambio de signo. El proceso se repetiría idealmente hasta que el valor
absoluto en la columna de f(P) quede un 0, pero realmente eso nunca pasa, por lo que antes de empezar el
proceso se puede fijar un valor al que se desea llegar o bien llamado Error cercano a 0, como por ejemplo un
0.001, para esto se agrega otra columna llamada “Error” para cual se calcula con la siguiente formula: E=(B-
A)/2, ahora cuando quede un número igual o menor a 0.001 utilizando la formula anterior se termina el proceso
y la raíz que se estaba buscando es ultimo valor que quede en la columna de P.
ALGORITMO DE BISECCION:
Paso 1 : ( ) y ( ) de signos opuestos
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
f(A) f(B)
f(P)
Paso 2: Calcular la aproximación a la raíz ( )
Paso 3: Calcular el cambio del intervalo
• Si ( ) ( ) cambia el valor de “a” por el de “p” ENLA SIGUIENTE ITERACION [ ]
• SI ( ) ( ) cambia el valor de “b” por el de “p” EN LA SIGUIENTE ITERACION [ ]
Paso 4: Calcular el Error del método ( )
Paso 5: Calcular
• Si , se encontró la raíz con el numero de cifras consecutivas
especificada.
• Si , Regresar al paso 3 para cambiar el intervalo y luego iniciar otra
iteracion hasta que
Ejemplo: Encontrar la raíz de 104 23 xxxf , en el intervalo 5.1,1 con una Tolerancia menor de
210*1
ITERACION 1 (n=1) 5.1,1 :
Paso 1) Evaluar a=1 y b=1.5 en xf , 510141123
f y
375.2105.145.15.123
f hay Cambio de signo, quiere decir que hay una raíz entre 1 y 1.5
Paso 2) calcular la raíz
25.12
5.11
2
baP
Evaluar P en xf , 79688.11025.1425.125.123
fPf
Paso 3) Efectuar 7969.15* pfaf , esto nos da +8.9845, esto es mayor que
Cero, quiere decir que cambia el valor de “A” por el valor de “P”,
Ahora el nuevo intervalo para la siguiente iteración será
5.1,25.1 .
Paso 4 y 5) Calcular el error
25.02
15.1
2
ABE , como este valor
No es menor que el error requerido por el problema 210*125.0 TolE ,
Se tiene que hacer otra vez todo el procedimiento Anterior, y se
termina cuando el Error sea menor que la Tolerancia TolE .
ITERACION 2 (n=2) 5.1,25.1 :
Paso 1) Evaluar a=1.25 y b=1.5 en xf , 7969.125.1 f y
375.25.1 f Hay cambio de signo, quiere decir que hay una
Raíz entre 1.25 y 1.5
Paso 2) calcular la raíz
375.12
5.125.1
2
baP
Evaluar P en xf , 1621.010375.14375.1375.123
fPf
Paso 3) Efectuar 1621.07969.1* pfaf , esto nos da -0.29129, esto es menor que
Cero, quiere decir que cambia el valor de “B” por el valor de “P”,
Ahora el nuevo intervalo para la siguiente iteración será
375.1,25.1 .
Paso 4 y 5) Calcular el error
125.02
25.15.1
2
ABE , como este valor
No es menor que el error requerido por el problema 210*1125.0 TolE ,
Se tiene que hacer otra vez todo el procedimiento Anterior, y se
termina cuando el Error sea menor que la Tolerancia TolE .
Hay que seguir haciendo este procedimiento hasta que se cumpla para este caso que 2
10*1
Error
210*1007813.0 , entonces la solución para la ecuación es P=1.367188 (ver la siguiente tabla)
n a b p f(a) f(b) f(p) f(a)*f(p) Error
1 1.0000 1.5000 1.2500 -5.0000 2.3750 -1.7969 8.9844 0.2500
2 1.2500 1.5000 1.3750 -1.7969 2.3750 0.1621 -0.2913 0.1250
3 1.2500 1.3750 1.3125 -1.7969 0.1621 -0.8484 1.5244 0.0625
4 1.3125 1.3750 1.3438 -0.8484 0.1621 -0.3510 0.2978 0.0313
5 1.3438 1.3750 1.3594 -0.3510 0.1621 -0.0964 0.0338 0.0156
6 1.3594 1.3750 1.3672 -0.0964 0.1621 0.0324 -0.0031 0.0078
La raíz se encontró en la 6 iteración, con un valor de 1.3672
Ejemplo 2:
Encontrar la raíz de xxxf 2 por le Método de Bisección en el intervalo 1,0 con un Error o
Tolerancia menor de 310*1
Solución:
Como la tolerancia contiene 3 decimales (310*1
=0.001), trabajaremos el método agregando 2 decimales
más, esto se hace para ver el comportamiento del error con el fin que en algún momento pf no llegue a ser
cero directamente ya que eso es casi imposible que suceda, por lo tanto todos los cálculos los haremos con 5
decimales, pero el método para el criterio de paro si se toma en cuenta 310*1
para el error.
Ahora Realizando los pasos para el Método de Bisección anteriormente descritos tenemos:
ITERACION 1 paso a paso ( n=1) 1,0 :
1) Evaluar a=0 y b=1 en xf , 1200 0 f y 5.0211 1 f hay Cambio de signo,
quiere decir que hay una raíz entre 0 y 1
2) Calcular la raíz 5.0
2
10
2 baP , evaluar p en xf ,
20711.025.05.0 5.0 fpf
3) Efectuar pfaf * , esto nos da 20711.020711.0*1* pfaf , esto es mayor que
Cero, quiere decir que cambia el valor de “A” por el valor de “P” para la siguiente iteración bp ,
, el intervalo queda 1,5.0 .
4) Calcular el error 5.0
2
01
2 ABE , ahora hay que calcular este valor: ToleranciaError ,
esto queda 310*15.0 , no es menor que el error requerido (tolerancia) por el problema que es de
310*1 , entonces se tiene que hacer otra vez toda esta iteración o todo el procedimiento anterior,
y se terminar cuando el Error sea menor que la Tolerancia ToleranciaError . Por el momento la
tabla de bisección quedaría de la siguiente forma:
n A B P F(A) F(P) F(A)*F(P) ERROR
1 0 1 0.5 -1 -0.20711 0.20711 0.5
ITERACION 2 paso a paso con el intervalo para el análisis es 1,5.0 :
1) Evaluar a=0.5 y b=1 en xf , 20711.025.05.0 5.0 faf y
5.0211 1 f , Hay cambio de signo, quiere decir que hay una Raíz entre 0.5 y 1
2) calcular la raíz 75.0
2
15.0
2 baP , Evaluar P en xf ,
15540.0275.075.0 75.0 fpf
3) Efectuar -0.0321815540.0*20711.0* pfaf , esto es menor que Cero, quiere decir que
cambia el valor de “b” por el valor de “p” para la siguiente iteración pa , , el intervalo queda
75.0,5.0 .
4) Calcular el error 25.0
2
5.01
2 ABE , ahora hay que calcular este valor:
ToleranciaError , esto queda 310*125.0 no es menor que el error requerido (tolerancia) por
el problema que es de 210*1 , entonces se tiene que hacer otra vez toda esta iteración o todo el
procedimiento anterior, y se terminar cuando el Error sea menor que la Tolerancia
ToleranciaError
5) Por el momento la tabla de bisección quedaría de la siguiente forma:
n A B P F(A) F(P) F(A)*F(P) ERROR
1 0 1 0.5 -1 -0.20711 0.20711 0.5
2 0.5 1 0.75 -0.20711 0.15540 -0.03218 0.25
ITERACION 3 el nuevo intervalo para el análisis es 75.0,5.0 :
Por lo tanto habría que hacer toda una iteración completa o los 4 pasos vistos en la iteración 1 y 2.
Hay que seguir haciendo este procedimiento hasta que se cumpla ToleranciaError , para este caso
cuando 3
10*1
Error se cumple en la iteración 10 (n=10) donde 210*10.00098 , entonces la
aproximación a la solución para la ecuación es P=0.64160 (ver la siguiente tabla)
n a b p f(a) f(b) f(p) f(a)*f(p) Error
1 0 1 0.50000 -1.00000 0.50000 -0.20711 0.20711 0.50000
2 0.50000 1.00000 0.75000 -0.20711 0.50000 0.15540 -0.03218 0.25000
3 0.50000 0.75000 0.62500 -0.20711 0.15540 -0.02342 0.00485 0.12500
4 0.62500 0.75000 0.68750 -0.02342 0.15540 0.06657 -0.00156 0.06250
5 0.62500 0.68750 0.65625 -0.02342 0.06657 0.02172 -0.00051 0.03125
6 0.62500 0.65625 0.64063 -0.02342 0.02172 -0.00081 0.00002 0.01563
7 0.64063 0.65625 0.64844 -0.00081 0.02172 0.01047 -0.00001 0.00781
8 0.64063 0.64844 0.64453 -0.00081 0.01047 0.00483 -3*10-6
0.00391
9 0.64063 0.64453 0.64258 -0.00081 0.00483 0.00201 -1*10-6
0.00195
10 0.64063 0.64258 0.64160 -0.00081 0.00201 0.00060 -4*10-7
0.00098
Por lo tanto la solución de la función xxxf 2 en el intervalo 1,0 es 64160.0x
METODO DE NEWTON
El Método de Newton (o método de Newton-Raphson o método de las tangentes) es de las técnicas
numéricas para resolver un problema de búsqueda de raíces 0xf más poderosa y conocidas.
Hay muchas formas de introducirlo. La más Común consiste en considerarlo gráficamente. Otra
posibilidad consiste en derivarlo como una técnica que permite lograr una convergencia más rápida
que la que ofrece otros tipos de iteración funcional.
Este Método se basa tomando un punto cercano a la raíz y el corte del eje de las “ x ” de las rectas
tangentes sucesivas (esto se hace hasta llegar a la aproximación a la raíz).
Entonces suponiendo que se tiene una función cualquiera xf y un punto cualquiera 0x , por lo
tanto con el punto 00 , xfx y la pendiente que se puede obtener sacando xf / , entonces
calculamos la primera recta tangente en ese punto.
Lo que nos interesa es el corte con el eje de las “x” de la recta tangente, dicho corte es el que nos
aproxima a la raíz. Conociendo ese corte del eje de las “x” de la primera recta tangente que le
llamamos “1x ”, volvemos a sacar otra recta tangente con el punto 11 , xfx y la pendiente que
sabemos que es xf / tenemos
Lo que nos vuelve interesar es el corte con el eje de las “x” de la recta tangente, dicho corte es el
que nos aproxima a la raíz. Conociendo ese corte del eje de las “x” de la segunda recta tangente
que le llamamos “2x ”, volvemos a sacar otra recta tangente con el punto 22 , xfx y la pendiente
que sabes que es xf / tenemos:
Como podemos ver con la tercera recta tangente casi se aproximó a la raíz. Entonces de esta forma
trabaja el método.
Ahora Para calcular el punto nx que es el corte del eje de las “x” de las sucesivas rectas tangentes,
calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente con el punto
nn xfx , :
nxfm /
Sustituyendo el punto nn xfx , y nxf /, por lo tanto la ecuación de la recta tangente nos
queda:
nnn xxxfxfy /
Ahora para poder encontrar el corte del eje de las “x” tenemos que hacer 0y , por lo tanto
tenemos:
nnn xxxfxf /0
Para poder encontrar ese corte del eje de las “ x ” que nos dará la aproximación a la raíz tenemos
que despejar la x de la ecuación anterior, despejando tenemos lo siguiente:
n
nn
xf
xfxx
/
Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:
0; /
/1 n
n
nnn xfsi
xf
xfxx
Si tolxx nn 1 entonces nx es una raíz.
Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que
encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha
raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice
que el método diverge.
Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo
cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.
El método de Newton a menudo se usan para refinar las repuestas conseguidas con otra técnica,
como el Método Bisección, dado que el Método de Newton requiere de una buena aproximación
inicial, pero por lo general da una convergencia rápida, sirve perfectamente para el propósito antes
mencionado.
También observe que en el caso de que 0/ nxf , el método no se puede aplicar. De hecho,
vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no
interseca al eje “x” en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso nx mismo es una
raíz de nxf .
Sin embargo, algunas veces el método de Newton no converge, sino que se encicla. Esto puede
ocurrir, por ejemplo, si no hay raíz real, si la raíz es un punto de inflexión o si la aproximación inicial
está muy lejos de la raíz buscada y el proceso de aproximación cae en un ciclo. Estas situaciones se
ilustran a continuación:
Oscilaciones para una función sin raíz real Oscilaciones para una función con punto de inflexión.
Oscilaciones para una función con dos raíces reales.
Observaciones:
i. Hay casos en los cuales el procedimiento efectuado no proporciona una raíz que se acerca a la
raíz buscada. Este hecho se reconoce al notar que la sucesión de valores nx no se estabiliza por más
que se aumente el número de iteraciones.
ii. Una manera práctica de utilizar el algoritmo o método de Newton consiste en repetir el
procedimiento hasta que ciertos dígitos del resultado se estabilicen. Así, si se desean dos cifras
decimales exactas, se repite el procedimiento hasta que la tercera cifra decimal se empiece a
repetir y las dos primeras estén completamente estabilizadas.
ALGORITMO DEL METODO DE NEWTON-RAPHSON
Paso 1 : Tener un punto inicial cercano a la raíz
Paso 2: Calcular ( ) Paso 3: Calcular la aproximación a la raíz por el corte con el eje de las “ x” de la
recta tangente
( )
( )
Paso 4: Calcular el Error del método | | Paso 5: Calcular
Si , se encontró la raíz con el número de cifras
consecutivas especificada.
Si , Regresar al paso 3 para cambiar punto y
luego iniciar otra iteración hasta que
EJEMPLO1
1) Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de xexf x ln
comenzando con 10 x con una 510*1 tol
Solución:
Como la tolerancia contiene 2 decimales (510*1
=0.00001), trabajaremos el método agregando 2 ó
3 decimales más, esto se hace para ver el comportamiento del error con el fin que en algún
momento no llegue a ser cero directamente ya que eso es casi imposible que suceda, por lo tanto
todos los cálculos los haremos con 7 u 8 decimales, pero el método para el criterio de paro si se toma
en cuenta 510*1
para el error.
En este caso para aplicar el Método de Newton, tenemos que encontrar la primera derivada:
x
exf x 1/
1era. Iteración (n=1):
De aquí tenemos que:
n
x
n
x
nn
xe
xexx
n
n
1
ln1
Comenzamos con un valor nx que se ve en la formula, para este caso ese valor es 10 x y
obtenemos:
26894142.1
1
1
1ln1 2
1
1
11
x
e
ex y el error 26894142.026894142.111 nn xxE
No es menor que la 510*1
, como no se cumple que tolxx nn 1
510*126894142.0 se hace
otra iteración.
Por el momento si escribimos en una tabla los datos que obtuvimos tenemos:
n nx 1nx tolerror
1 1 1.26894142 0.26894142
2da. Iteración (n=2):
De aquí tenemos que para esta iteración tenemos que comenzar con un valor nx que se ve en la
formula, para esta iteración ese valor es 2x que se encontró en la iteración anterior (ese valor de 2x
es el segundo corte con el eje de las “x” de la recta tangente), 26894142.12 x y obtenemos:
30910840.1
26894142.1
1
26894142.1ln26894142.1 3
26894142.1
26894142.1
12
x
e
ex y
04016698.030910840.126894142.11 nn xxE
No es menor que la 510*1
, como no se cumple que tolxx nn 1
510*14016698.0.0 se
hace otra iteración.
Por el momento si escribimos en una tabla los datos que obtuvimos tenemos:
n nx 1nx tolerror
1 1 1.26894142 0.26894142
2 1.26894142 1.3091084 0.04016698
3era. Iteración (n=3):
De aquí tenemos que para esta iteración tenemos que comenzar con un valor nx que se ve en la
formula, para esta iteración ese valor es 3x que se encontró en la iteración anterior (ese valor de 3x
es el tercer corte con el eje de las “x” de la recta tangente), 30910840.13 x y obtenemos:
30979939.1
3091084.1
1
3091084.1ln3091084.1 4
3091084.1
3091084.1
13
x
e
ex y
00069099.030979939.13091084.11 nn xxE
No es menor que la 510*1
, como no se cumple que tolxx nn 1
510*100069099.0 se hace
otra iteración.
Por el momento si escribimos en una tabla los datos que obtuvimos tenemos:
n nx 1nx tolerror
1 1 1.26894142 0.26894142
2 1.26894142 1.3091084 0.04016698
3 1.3091084 1.30979939 0.00069099
Se sigue haciendo estos pasos hasta que tolxx nn 1 , para esta función En la 4ta iteración se
cumple que tolxx nn 1 (ver la siguiente tabla)
n nx 1nx tolerror
1 1 1.26894142 0.26894142
2 1.26894142 1.3091084 0.04016698
3 1.3091084 1.30979939 0.00069099
4 1.30979939 1.30979959 1.9714E-07
Por lo tanto la raíz es 1nx de esa iteración, la solución es x=1.30979959
EJEMPLO2
Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de 5.0sin2 xxxf comenzando
con 2.10 x con una 410*1 tol
Solución:
En este caso, tenemos que xxxf cossin21/
1era. Iteración (n=1):
De aquí tenemos que: xx
xxxx nn
cossin21
5.0sin2
1
Comenzamos con 2.10 x y obtenemos:
719808.12.1cos2.1sin21
5.02.1sin2.12.1
2
11
x y 519808.0719808.12.11 nn xxE no es
menor que la 510*1
, como no se cumple que tolxx nn 1se hace otra iteración.
2da. Iteración (n=2):
De aquí tenemos que: Comenzamos con 719808.10 x y obtenemos:
532855.1719808.1cos719808.1sin21
5.0719808.1sin719808.1719808.1
2
12
x y
186953.0532855.1719808.11 nn xxE no es menor que 410*1
, como no se cumple que
tolxx nn 1se hace otra iteración.
3era. Iteración (n=3):
De aquí tenemos que: Comenzamos con 532855.10 x y obtenemos:
495749.1532855.1cos532855.1sin21
5.0532855.1sin532855.1532855.1
2
13
x y
037107.0495748.1532855.11 nn xxE no es menor que la 410*1
, como no se cumple que
tolxx nn 1se hace otra iteración, y se sigue así sucesivamente hasta que se cumpla que
tolxx nn 1
n Xn Xn+1 Error
1 1.2 1.719808 0.519808
2 1.719808 1.532855 0.186953
3 1.532855 1.495748 0.037107
4 1.495748 1.494137 0.001611
5 1.494137 1.494134 0.000003
En la 5ta iteración se cumple que tolxx nn 1 lo tanto la raíz es 1nx de esa iteración, la solución es
x=1.494134
