Metodo de Los Elementos Finitos Para Analisis Estructural2

8/16/2019 Metodo de Los Elementos Finitos Para Analisis Estructural2

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En los problemas de elasticidad estudiados hasta ahora no se ha introducido ningunasimplificación relativa al estado de deformaciones unitarias ε del sólido: éste es

Figura 7.1 Placa plana a flexión

de problemaunamaterial en su plano, y por lo tanto su tratamiento correspondeelasticidad en dos dimensiones, ya estudiado.

flexión y deformación transversal. En sentido estricto, no se consideran en la flexiónde placas las fuerzas contenidas en el plano de la placa, las cuales haran traba!ar al

el "ue act#an unas cargas exteriores "ue pueden ser fuerzas plano de la placa, o bien momentos contenidos en dicho planocargas son absorbidas por el sólido por medio de un efecto de

dominio, y sobre perpendiculares al$figura %.&'. Estas

(as placas son estructuras continuas, formadas por un dominio material plano, deespesor constante o variable h mucho menor "ue las dimensiones transversales del

I NTRODUCCIÓN 7.1.

Flexión de placas planas

7


2/61

En consecuencia, la deformación de la placa "ueda perfectamente definida conociendo#nicamente el valor de la deformación w en dirección z transversal a ella, "ue es unafunción w(x,y).

)omo se ver* m*s adelante, esta suposición respecto a la deformación e"uivale adespreciar la deformación de cortadura "ue existe transversalmente en la placa y por lotanto a despreciar la energa debida al esfuerzo cortante. Este planteamiento es#nicamente v*lido cuando el espesor de la placa es muy pe"ue+o, de tal manera "uerealmente pueda despreciarse la energa debida a las deformaciones de cortadura.

Este planteamiento se corresponde con la teora cl*sica de flexión de vigas, pues dehecho la hipótesis de deformación efectuada se corresponde con la hipótesis de avier.

d x y x

$%.&'θ θ = = −∂w

∂ y

(a teora cl*sica de flexión de placas se basa en la suposición de "ue las seccionesrectas perpendiculares al plano medio de la placa permanecen rectas y perpendicularesa dicho plano medio en el estado deformado de la placa. (a teora completa de laflexión de placas usando esta hipótesis fue enunciada por -. . /irchhoff en &012,aun"ue deben mencionarse asimismo otros traba!os previos como los de 3ophie-ermain $&0&4', avier $&056', (agrange $&050' o Poisson $&057'.

)omo consecuencia de la hipótesis de deformación efectuada, el giro "ue sufre unasección recta perpendicular al plano medio de la placa es igual a la pendiente de dicho

plano medio. )on el sistema de e!es adoptado, esto implica las siguientes relacionesentre los dos giros de la sección recta y las derivadas parciales de la flecha w $figura%.5':

T EORÍA CLÁSICA DE FLEXIÓN DE PLACAS 7.2.

introducido de forma exacta en la formulación, y #nicamente se introduce la hipótesisde discretización del campo de desplazamientos, inherente al 8E9. 3in embargo en lateora de flexión de placas se introducen ciertas hipótesis para simplificar el problema,y reducirlo a dos dimensiones. Estas simplificaciones son:

: (as tensiones en la dirección perpendicular a la placa son nulas, es decir ; z


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w

Figura 7.3 =eformaciones interiores en una placa

>n punto situado en el plano medio de la placa $ z=0', sólo tiene una deformacióntransversal w en dirección z . 3in embargo, los puntos "ue est*n fuera del plano mediosufren adem*s deformaciones laterales u, v en las direcciones x, y, "ue son debidas al

giro de la normal a la placa $figura %.6'.

Estado de deformación7.2.1

Figura 7.2 =eformaciones en el plano medio de una placa

X

Y

Flexión de placas planas122


4/61

⎪⎩⎪⎪

∂ 5w⎪

$%.1'⎬ =−

∂ y 5⎬ =ε = ⎨

∂ x⎪ ε ∂x

5 ⎪⎪

−

3e observa "ue no aparecen distorsiones de cortante en dirección vertical, comoconsecuencia de la hipótesis de deformación "ue se ha efectuado de "ue los giros

coinciden con las derivadas de la flecha. (as tres #nicas deformaciones unitarias nonulas tienen una distribución lineal en el espesor de la placa, y se pueden poner agrupadas en forma de vector:

⎧⎪

∂x ∂ x∂x ∂ z zx = 2=γ

∂ w+

∂ u= −

∂ w+

∂y ∂ y∂z ∂ y yz

= 2=γ∂ v

+∂ w

= −∂ w

+

∂ x =+∂y ∂ x=γ xy∂v∂u ∂

∂ z $%.?'= 2ε z =

∂ y

∂w

∂ y 5

ε y = =

∂ x

∂v

∂x5

∂

ε x

= =∂u ∂

(as deformaciones unitarias en el punto P son:

Deformaciones unitarias7.2.2

$%.6'v =u =∂w

∂ y

∂w

dx

derivadas de la flecha w, respecto a x e y. Por lo tanto las deformaciones u, v del puntoP son:

giros de la sección recta son iguales a las

$%.5'v = − z

a una distancia z del plano medio lasPara un punto cual"uiera P, situadodeformaciones son:

u = z θ y

En base a la hipótesis de /irchhoff los

123Flexión de placas planas


5/61

⎪τ xy ⎪

τ zx$%.%'σ =

⎬⎧

facilitar el estudio posterior, estas tensiones se agrupan en dos vectores diferentes$figura %.1': el vector ; contiene las tres tensiones contenidas en el plano de la placa, yel vector @ contiene las dos tensiones cortantes perpendiculares a ella.

⎧⎪ σ x

Paraτ zx .τ xy τ y z El estado de tensiones en la placa tiene cinco componentes: σ x σ y

Estado de tensiones7.2.3

Figura 7.4 =eformaciones unitarias en una placa. Aeora cl*sica

donde se identifica al operador B "ue en este caso es de orden 5.

⎣ ∂ x ⎥⎢−

⎥⎪γ xy

$%.4'w = z ∂−∂ y

5⎨ ε y ⎬5 x

∂x5−

5⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎡⎢

⎫⎪

poner laconvienesuperficie media de la placa. Para los desarrollos posterioresexpresión anterior en la forma siguiente:

En esta expresión se ha definido el vector de curvaturas b, habitual en la teora de placas, "ue contiene las tres derivadas parciales segundas de la superficie deformadade la placa. Este vector de curvaturas no depende de z , sino sólo de la posición en la



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2$%.&&'⎬ =⎨

τ⎬ =

⎫⎪⎧⎪τ yz

(as tensiones cortantes verticales τ son proporcionales a las deformaciones unitariascorrespondientes γ, "ue seg#n la hipótesis de deformación efectuada son ambas nulas:

lineal a lo largo del espesor de la placa.situado en el plano x,y, "ue vara de formaτ x yσ yestado plano de tensiones σ x

⎪

⎪Cl ser la variación de las deformaciones unitarias lineal en el espesor, también las

2

$%.&2'=αT

ε2T

2

est* originado por una variación de temperatura T este vector tiene el valor siguiente:

⎧

3iendo D la matriz el*stica y ε el vector de deformaciones unitarias iniciales. )uando

2$%.7'σ = D$ε − ε

5 ⎦⎣2 ⎪

γ2 xy & − ν ⎥ ⎪

τ xy ⎥ ⎪2 y& − ν ⎢⎢

⎢2

y y

⎪$%.0'⎬ −2 ⎨σ = ⎨ σ ⎥⎜ ⎪ ⎪

E 2 x⎢⎪ x x ⎥ ⎪ ⎪⎟⎢

⎢ν

2ν

&

⎧⎪ ε⎧ ⎫⎤⎡

⎫⎪

=ado "ue ; z


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⎪Q z

⎪

⎨ $%.&1'τ dz Q =⎬⎬⎪ zx zx

+h D 5

∫−h/ 2

+h D5

∫−h/2

τ

tensiones cortantes transversales a lalasdela resultante

⎪ M xy ⎪

Esfuerzos cortates. 3on

placa $figura %.%'.⎧Q ⎫

⎪τ xy⎪−h/2

$%.&?'σ z d z ! =⎨ σ y ⎬

⎨ M y ∫

+h D 5

∫−h/2

+h D 5⎪

Estos tres momentos se suelen agrupar en un vector de momentos !:

M

−h D5

$%.&6'τ xy

z d z = M xy

∫

!o"eto torsor. Es el momento est*tico de las tensiones cortantes situadas en el plano de la placa, respecto al plano medio de la misma, y por unidad de anchura$figura %.%'.

+h D5

$%.&5'σ y

z d z M y=σ

x z d z

x

+h D5

∫−h D5

+h D5

∫−h D5

En lugar de las tensiones, se suelen utilizar en el estudio de las placas los esfuerzosinternos $fuerzas y momentos' correspondientes a dichas tensiones, "ue son susintegrales a lo largo del espesor h de la placa.

!o"etos f#ectores. 3on el momento est*tico de las tensiones respecto al plano

medio de la placa, por unidad de anchura de la misma $figura %.4'.

Esfuerzos internos7.2.4

Pero en realidad deben existir tensiones cortantes verticales @, para "ue pueda existir esfuerzo cortante vertical. Esta incoherencia se resuelve considerando "ue el módulode elasticidad de cortadura G es infinito, es decir "ue la placa no se deforma ante lacortadura vertical, aun"ue existan tensiones en dicha dirección. 8*s adelante seobtendr* una expresión de las tensiones cortantes verticales, bas*ndose en criterios dee"uilibrio en lugar de en la ecuación constitutiva.



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2$%.&4'∫ 2∫∫∫! = σ zdz = D$ε − ε ' zdz =Db z

5dz − D ε

3ustituyendo la expresión de σ en la definición de los esfuerzos internos !, y acontinuación la expresión de las deformaciones unitarias en función de las curvaturasse obtiene:

Relación fuerza deformación7.2.5

Figura 7.7 Esfuerzos cortantes y de torsión en una placa

Esfuerzos de flexión en una placaFigura 7.$

MYMY

XMX

Y

ZMX

X

Y



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siendo T g

= 5T D h el gradiente de temperatura a lo largo del espesor h.(as

$%.5&'T =

3e supone un campo de temperatura lineal en el espesor de la placa, variando entre unvalor T S en la cara superior y uno FT S en la cara inferior. En un punto cual"uierasituado a una distancia z del plano medio, la temperatura vale:

Deformaciones unitarias de origen térmico7.2.6

(a ecuación $%.&7' relaciona los momentos interiores de flexión y torsión ! en la placa, con sus deformaciones, a través de las curvaturas b: es el e"uivalente para placas de la ecuación de la el*stica de las vigas con cargas térmicas. El segundotérmino de dicha ecuación corresponde a los momentos "ue se originan en la placadebido a las curvaturas iniciales producidas por la variación de temperatura.

&5$& − ν 5$%.52' D

=

Eh6

siendo D la rigidez e"uivalente de la placa:

⎪⎩ ⎪⎪− D$& −

∂ ⎪ ⎪ M ⎪ M xy⎪ ⎪

⎪⎪2 y y

⎪ ⎝ ∂x5 $%.&7'

⎪⎪ w ⎟⎪⎬ +w

! = ⎪⎨ M ⎪⎬ =55 ⎪ ⎛ ⎪⎪⎪

⎪ M ⎪ M ⎫⎪⎪⎪ ⎝ ∂ y

5+⎪−

∂ ∂ 5

w

=esarrollando esta ecuación se obtiene:

&5 2$%.&0'! = Db +

compactam*sPor lo tanto la expresión de los momentos puede ponerse de formacomo:

6

22 $%.&%'∫

deformaciones placa, y la segunda corresponde a los momentos producidos por lasiniciales, "ue se definen como:

! =− D ε zd z

(a primera integral proporciona el momento de inercia por unidad de anchura de la



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+∂ M

y

∂ x

∂ M

3implificando se obtiene:

∂ x∂ y xy xy y y yz

: El e"uilibrio de momentos respecto del e!e G implica "ue:

∂ M ∂ M Q dxdy + M dx − M dx − dydx + M dy − M dy − dxdy = 2

Figura 7.%. E"uilibrio de un elemento diferencial de placa

∂ x xy M ∂ x

xz ∂ M +

Q + ∂Q xz

x ∂ y xy ∂ y M

xy M +∂ M

x d xQ

yz+∂ M

∂Q yz

M y

∂ y y

M xy

Q yz

M x

xz M xy

Q

Para obtener las ecuaciones de e"uilibrio de una placa se considera el e"uilibrioest*tico de un trozo diferencial de placa sobre el "ue act#an los esfuerzos internos deflexión y cortadura y la carga exterior en dirección z $figura %.0'.

Ecuaciones de euili!rio7.2.7

⎪⎭ M ⎪⎪ &5 $& − ν'

2 y⎪

2$%.5?'⎨! = ⎨ M ⎬

⎪ g E h 6α

2 x⎪

)uyas componentes son:

⎪

$%.56'D &

!2 = −D∫ ε2 zdz =h

(os momentos iniciales debidos a esta temperatura son:⎪

2⎪

⎪

⎪

⎪

$%.55'ε2 = αT g z =⎪⎪⎪⎪

⎪⎧

12"Flexión de placas planas


11/61

(a relación entre los esfuerzos cortantes y la deformación puede obtenerse a base de

sustituir la expresión de los momentos $%.&7' en las ecuaciones $%.54' y $%.50':

D$%.66' ∇5 ( ∇5w ) =

"ue es la ecuación diferencial "ue controla el problema de la flexión de placas en lateora cl*sica, en ausencia de temperaturas. Hbsérvese la similitud con la ecuacióndiferencial de la flexión de una viga, pero extendida a un problema de dosdimensiones. 3e trata de la ecuación biFarmónica, "ue puede ponerse en la formacompacta siguiente empleando el operador laplaciano ∇5 :

∂x5∂ y

5∂y

?∂x

? $%.65'= q

z ∂ w

+ 5∂ w

+∂???

3ustituyendo los valores de los momentos en función de la deformación w dados por $%.&7' $no incluyendo el término debido a la temperatura', se obtiene una #nicaecuación:

∂x ∂ y ∂y5

∂x5 z $%.6&'= 2

x + 5 xy

+ y

+∂

5

M ∂ 5

M ∂ 5

M

=onde q z es la fuerza distribuida por unidad de superficie de la placa.

3ustituyendo los valores de los esfuerzos cortantes dados por las ecuaciones $%.50' y

$%.54' en la $%.57' se obtiene una ecuación "ue relaciona sólo a los tres momentos:

∂ y∂ x z $%.62'+ q =+

∂Q zx ∂Q zy


∂ y∂ x z $%.57'

: El e"uilibrio en la dirección z es:

∂Q zx dxdy + ∂Q zy

dydx + q dxdy =

∂ y∂ x$%.50'=+

∂M x

∂M x y


∂ y∂ x$%.5%'dydx = 2dxdy +−Q xz dydx

∂M x y∂M x

: El e"uilibrio de momentos respecto del e!e I implica "ue :

∂ x∂ y yz $%.54'=+

∂ M y

∂ M x y

Flexión de placas planas13#


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∂ y∂ z 6

6

xz ⎝ ⎠⎜ ⎟ +=−

& 5 zQ

∂τ xz ∂ M x y& 5 z ∂ M

y la expresión delEmpleando las expresiones de las tensiones dadas por $%.6%'esfuerzo cortante dada por $%.50' se obtiene:

∂ z ∂ y∂ x$%.60'

en función de lasecuaciones de e"uilibrio del elemento diferencial expresadastensiones. Cs la ecuación de e"uilibrio en la dirección x es:

∂ σ x +

∂τ xy

+∂ τ xz = 2

: Para obtener la expresión de las tensiones cortantes resulta venta!oso emplear las

la sección recta de la placa, por En la "ue se identifica el momento de inercia deunidad de anchura.

(h 6 D x y(h 6 D y(h 6 D x$%.6%'σ =σ =σ =

z M x y

z M y

z M x

6

$%.64'!

3ustituyendo las expresiones detalladas de !2 y de ε2 , se anulan los dos #ltimossumandos debidos a las temperaturas, y se obtiene la expresión:

σ =

6

6

! − !2 −σ =&5 z &5 z

Por otra parte la expresión de las tensiones en función de las curvaturas es:

σ = D$ε − ε2 ' = z Db − Dε2

3ustituyendo el valor de las curvaturas se obtiene:

6

2 $%.61'

Para obtener una relación entre las tensiones y los momentos en la placa, resultaconveniente despe!ar el valor de las curvaturas b en función de los momentos de laexpresión $%.&0'

b =&5

D−& (! − !

Relación entre tensiones $ esfuerzos7.2.8

∂ x xz

∂x ⎝ ∂x 5 ∂ y

⎜ ∇ w⎟ =+Q =− 5( D∂55 ∂ w

D∂ ∂

∂ y yz

∂y ⎝ ∂x 5 ∂ y

⎜ $%.6?'⎟ +Q =−5 ∇ w )( D

∂55 ∂ w D

∂ ∂



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&5 $& −T

⎝ ∂x5 =−

∫+

∂ w g ∂w

55 ⎞⎛ E h 6 αT

⎪⎜⎝ &5 $&

$%.?1'⎟d = bT ∫ gT E h

6⎪ ⎞⎪

donde se ha denominado T al segundo sumando, "ue corresponde a la energa debidaa las deformaciones unitarias iniciales. 3i éstas se deben a una distribución lineal detemperatura, su valor es:

⎧

⎠5T ⎝ ∂ x ∂y⎜ ∂x 5 ⎠⎟

(⎟ $%.??'⎟d!+ 5 & − νν5+ = ∫ ⎜ D ∂

5 w ∂5 w

⎛ ∂ 5w ⎛ ∂ 5 w⎛ ∂

=esarrollando el valor de las curvaturas en el primer sumando se obtiene:

5 &5 2$%.?6' = ∫ T bA D b d! + ∫ !

& 6

En el primer término se puede integrar en la coordenada z , y en el segundo seidentifica el valor de los momentos debidos a las deformaciones unitarias iniciales:

2$%.?5'& = ∫5 ∫ z b

TD ε dzb

TD b z

5dz d!

: Energa el*stica en función de las deformaciones

3ustituyendo las deformaciones unitarias en función de las curvaturas se obtiene:

2$%.?&'& = ∫5 ∫ ε

TD εε

TD ε dv

(a energa el*stica acumulada en toda la placa es:

Energ%a el&stica de deformación7.2."

5h 6 $%.?2'Q yz =τ yz

Jue corresponde a una distribución parabólica, igual "ue la existente en una secciónrectangular de canto h y anchura unidad.

=e la misma forma, la otra tensión cortante es:

6h 5− &5 z

5h 6$%.67'Q

xz

=τ xz

Kntegrando esta ecuación en z e imponiendo la condición de "ue la tensión cortante enla cara superior $ z=hD5' es nula se obtiene:

6h 5− &5 z



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x ∂∂∂ y x55

⎝

q "w d! =d!

+

++⎜ M ∫ !

∫ !

⎜ ∂5 " w ∂

5 " w ∂5"w⎛

3ustituyendo los valores y agrupando las dos integrales se obtiene:

! !

∫∫ q "w d! = !T"b

Kntegrado en la variable z , se identifican los momentos en la placa:

# !∫∫ q "w d! = σ

T "b z

3ustituyendo el valor de las deformaciones unitarias en función de las curvaturas:

Figura 7.& Placa rectangular

$ % E& $%.?0'∫∫

!

7.2.1# 'ondiciones de contorno

Para profundizar en el estudio de las condiciones de contorno sin complicar excesivamente el desarrollo algebraico, se considera una placa rectangular de

dimensiones $' L ', sometida a una carga uniforme. Cplicando el principio del traba!ovirtual se obtienen las ecuaciones de e"uilibrio y las condiciones de contornoasociadas a ellas.

" = q "w d! = " = σT"ε d v

22 $%.?%' =5∫

h 6 D

−&! )d !&

&5(!T D−&! −

2h

6

$%.?4')b =&5

(D−&

! −

: Energa el*stica en función de los esfuerzos internos.

El valor de las curvaturas en función de los momentos es:



15/61

Kntercambiando la derivada y la variación en las integrales 5M y 6M se obtiene:

⎣ ⎣ ⎥⎥= 2+ ⎢( M x y "w+ ⎢( M xy

⎡⎡ ' ⎤(

2

⎤'

2 ⎦

! ⎦ ⎣⎣ ∂ x ⎠⎝ ∂⎝ yz xz ⎥⎢ ⎟ d xdy −− ∫

!

∫ ⎥⎥ ⎢⎢∂∂ ⎞⎛⎞⎛ M ⎤

+⎡Q

M ⎤+

'

! 22∂ y⎣ ∂ x∂ x ∂ y ∂ y

5∂ x

5

⎡Q

⎝ ⎣⎠ y x⎜ ⎥ dx⎢ M ++ 5

x ⎥⎦

dy + ∫ !

+ q ⎟ "w d! +∫ !

y xy ⎡ ⎡⎢ M ∂"w⎤'∂5 M ∂5 M ∂"w ⎤ b

Cgrupando:

⎛ ∂5 M

! 2⎦ ⎥ = 2⎢

⎣ −∫ "w ⎥ dy + ⎢( M xy

⎡ ' ⎤(

2

⎤∂ M ' ! ! 2

2 2 ⎦ 2 ⎦ ⎣ ⎥⎢dy − ∫ ⎣Q y z "w ⎦ dx −[Q xz "w−∫

!

xy ⎡ "w ⎥ dx + ⎢( M x y ' ⎤( ⎤⎡⎤

(

! ! 22∂ y∂ x ∂ y ⎣∂ y

5∂ x

5⎝ ⎠ y⎣ x⎜ ⎥∂ x ⎦⎥

dx⎢ M + 5+ x ⎥⎦

dy + ∫+ q ⎟ "w d! +∫ !

xy y ⎡ ⎡⎢ M ∂"w ⎤

'∂

5 M ∂

5 M ⎛∂5 M ∂"w ⎤ b

(as dos #ltimas integrales se pueden volver a integrar por partes:

! ! ! ! 222 ∂ y∂ x ⎥⎦2

xy xy yz xz dy = 2⎥ dx ⎥∫∫∫∫− [Q "w ] dy − ⎣Q "w ⎦ dx +⎡' ⎤( ∂" w ⎤⎡ ∂" w ⎤⎡⎢ M

'

! ! 22∂ y∂ x∂ x ∂ y∂ y

5∂ x

5 y x⎜ dx⎢ M ⎢⎣+ 5+ x ⎥⎥ dy ++ q ⎟ "w d! +∫

!

x y y ⎡ ⎡⎢ M ∂"w⎤'∂5 M ∂5 M ⎛∂5 M ∂"w ⎤ b

En las integrales ?N y 1N se identifican los esfuerzos cortantes:

! ! y∂ x ⎦⎣ ⎣

dy = 2⎢ M xy ⎥⎦⎢ M xy⎥ dx ++∫ ⎡⎡

∂"w ⎤

(

∂"w⎤a

! ⎦ ⎣⎦ ! ⎣ ∂ x∂ y∂ y⎝ ⎠ ⎠ ⎢ ⎟⎟

d x++ dy − ∫−∫ ⎥⎥∂ M

xy ⎟ ∂ M xy ⎟ '

! ! 22∂ y∂ x∂ x ∂ y∂ y

5∂ x

5⎠⎟

⎡⎛

y x⎜ dx⎢ M ⎢⎣+ 5+ x ⎥⎥ dy ++ q ⎟ "w d! +∫

!

x y y ⎡ ⎡⎢ M ∂"w⎤'∂5 M ∂5 M ⎛∂5 M ∂"w ⎤ b

Kntegrando por partes la integral de la iz"uierda se obtiene:

! ∂ y∂ y y∂ x∂ 55 q "w d! =d!++++

⎜ M

∫ !∫⎜ ∂

5 " w

∂ x ∂

∂5 " w ∂

5 " w ∂5"w⎛

de la iz"uierda se puede descomponer en dosintegrandodelEl tercer sumandosumandos:



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d. "w = 2 → w =

∂ x y o bien= 2c. Q

∂ M +

⎝ ⎟⎜ =→ b.

∂w

∂ y

o biena. M y = 2

⎛ ∂w ⎞⎟" = 2

: (ados paralelos al e!e G $ y=0 y y=(':

d. "w = 2 → w =

∂ y x o bien= 2c. Q

∂ M +

⎝ ⎟⎜=→ b.

∂w

∂ x

o biena. M x

= 2

⎛ ∂w ⎞ =

deser puedenOstaslados.?losencondiciones de contorno "ue deben cumplirsedistintos tipos:

: (ados paralelos al e!e I $ x=0 y x='':

Cdem*s, la anulación de los integrandos de las restantes integrales proporcionan las

∂ x ∂ y ∂ y 5

∂ x 5

= 25 55

Esta ecuación debe satisfacerse para cual"uier variación arbitraria de la flecha "w , y por lo tanto deben ser nulos todos los factores "ue afectan a la "w o a su derivada.

(a anulación del integrando de la primera integral proporciona la ecuación dee"uilibrio, ya obtenida anteriormente por otro método:

∂ M x + 5

∂ M xy

+∂ M

y+

⎣ 2 ⎦⎥= 2+ ⎢( M xy

⎤+ ( M xy'⎡ ⎤

'

2 ⎦

! ⎦ ⎣⎦ ⎣ ∂ y ⎠⎝ ∂⎝ y z xz ⎥⎟ d xdy −− ∫

!

∫ ⎥⎥ ⎢⎢∂∂ ⎞⎛⎞⎛ M ⎤

+⎡Q

M ⎤+

⎡Q

'

! 2 $%.?7'⎦ ! ⎣⎣ ∂ ⎦ ⎝⎠⎢ ⎜ y x

y⎢ x ⎟ d xdy ++ ∫∫ ⎢ M " ⎜ w

" ⎜ w⎡ ⎡⎞⎤ ⎞⎤

∂ x ∂ y ∂ y 5⎝ ⎠

⎜ + q ⎟ "w++ 5 x∫

!

y xy ∂5 M ∂

5 M ⎛ ∂5 M



17/61

q P =

M xy

En la frontera -./ entre ambos elementos diferenciales, la fuerza neta resultante esvertical en la dirección z y de valor M

xy+ $∂ M

xyD ∂ x 'dx −

M xy

.

Cs pues, con este artificio se ha sustituido el momento torsor en el lado M x por unfuerza transversal distribuida sobre dicho lado de valor ∂ M

xD ∂ x . (a fuerza latera

total se denomina fuerza cortante 1+2v' # , y es la suma de la fuerza e"uivalente al

torsor, m*s el esfuerzo cortante en el lado Q . Esta fuerza efectiva total es la "ue deb

M xy + $∂ M xy D ∂ x 'dx separadas la distancia por un par de fuerzas iguales de valor

⎣ M xy + $∂ M xy D ∂ x 'dx ⎦ dx . Este momento se puede a su vez considerar como⎤⎡

M xy + $∂ M xy

D

∂ x 'dx , y su resultante sobre todo el elementomomento en él es

el valor del)onsiderando ahora otro elemento diferencial contiguo al anterior,

Figura 7.1' Esfuerzos sobre el lado de una placa.

∂ x yz

∂ x∂ x ⎠⎝ xy xy M

xyd x

∂ M M M + xy∂⎛

módulo M xy,contrario desentidodeye"uivalente por un par de fuerzas igualesseparadas una distancia dx.

(as condiciones de apoyo encontradas habitualmente en la pr*ctica se consiguenmediante combinación de dos de estas condiciones de contorno, una del tipo $a' o $b' yla otra del tipo $c' o $d'. Cs un empotramiento implica las condiciones $b' y $d'Q unapoyo simple consiste en las condiciones $a' y $d' y un lado libre corresponde a lascondiciones $a' y $c'.

esulta a veces sorprendente la condición de tipo $c' "ue corresponde en realidad a unlado libre de tensiones cortantes en él, como es el caso de un lado libre $a+adiendo por otra parte la condición $a' de momento flector nulo'.

>na explicación m*s intuitiva a esta condición fue presentada por Ahomson y Aait,analizando para ello un lado de la placa paralelo al e!e G, sobre el "ue act#a elmomento torsor M xy. )onsiderando un elemento diferencial dx, el momento totalactuante sobre él vale M xy dx. Este momento se puede sustituir de forma est*ticamente


M xy

∂


18/61

virtuales introducen las condiciones en las cuatro es"uinas de la placa. Aodas estascondiciones son de la forma: 5 M

xy"w Para "ue se satisfagan ante cual"uier variación

de w, debe cumplirse bien "ue w=1+ es decir "ue la es"uina esté apoyada o bien "ue

el momento torsor sea nulo.En cual"uier caso estos términos 5 M

xy"w representan el traba!o virtual efectuado por

una fuerza de valor 3 M xy cuando la es"uina se mueve un valor "w, con lo "ue puedeconcluirse "ue realmente existe una fuerza en la es"uina de valor M xy. =e hecho estasfuerzas en las es"uinas son la consecuencia de la transformación del momento torsor del lado en la fuerza efectiva cortante e"uivalente: en los extremos del lado las fuerzasdebidas a los distintos pares de fuerzas no se cancelan entre s y producen la fuerza enla es"uina.

de los traba!os 4u5z'6 / 7'6 6qu2/'6. (os dos #ltimos términos de la ecuación

Figura 7.11 ormal y tangente a un lado curvo

d. "w = 2 → w =

∂ 6// o bien= 2c. # +

∂ M/6

⎝ ⎟⎜=→ b.

∂w

∂/

o biena. M /

= 2

⎛ ∂w ⎞ =

Aodo este desarrollo se ha efectuado para una placa rectangular, a fin de simplificar la

formulación, pero de la misma manera puede hacerse para un lado curvo, obteniéndoseexpresiones similares. 3i se denominan / y 6 a la normal y tangente al ladorespectivamente, las condiciones resultan ser:

∂ x y y = 2#

∂ M +



19/61

Figura 7.14 -rados de libertad del elemento rectangular

x 6 y 6 x 5 y 5 x & y $%.12'θ θ θ θ θ θ θ θ 5 6 ?,

x ? y ?( =

T

3e utilizan como par*metros nodales la flecha y los dos giros en cada uno de suscuatro nudos, lo cual da un total de doce grados de libertad para el elemento.

'am(o de des(lazamientos7.3.1

Figura 7.13 Elemento placa rectangular

2b

14

X

Y23

Z

)omo e!emplo de un elemento finito basado en la teora cl*sica de placas se estudia acontinuación un elemento rectangular de cuatro nudos, "ue fue uno de los primeroselementos placa desarrollados $8elosh, &746, RienSieTicz, )heung, &74?'. 3e supone"ue el elemento es rectangular, con lados 5' y 5 $figura %.&6'.

E LEMENTO PLACA RECTANGULAR DE CUATRO7.3.

Figura 7.12 9uerzas en las es"uinas debidas al momento torsor.



20/61


21/61

(a expresión general para la matriz de rigidez de un elemento finito es:

)atriz de rigidez7.3.3

En ella se observa "ue se puede alcanzar un estado de ε constante si U % a U&5 son cerocon lo "ue desaparecen todos los términos en x,y.

22⎥

−4 y 5⎢⎢2

−5 x

2

−? x

−5 22

−5

2

2

2

2

2

2

−4 xy ⎥⎥2−4 x y

2

−4 x5

2

−4 y

2

2 2 −5 2 2 −4 x −5 y⎢2

⎢ = =

⎤⎥

donde la matriz Q puede calcularse explcitamente, y vale

⎡

$%.4&'

Aambién se puede poner como:

- = z ∂ ) = z ∂ * +−&

= z Q

∂ x ∂ x ∂ x ∂ x ∂y⎥⎢ 5

?⎢5 & ∂

5)∂

5)

⎥⎢ ∂ y 5

∂ y 5

∂ 5)

5 6 ∂ y

5

∂ 5)

5 5 ∂ y

5

⎢⎢

$%.42' ? 6 5 &

∂x5

∂ 5)

∂x5

∂ 5)

∂x5

∂ 5)

∂x5

∂ 5)

? 6 5 & ∂ 5)∂

5)∂

5∂

5) ⎤⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎡⎢⎢⎢⎢

- = − z

"ue est* compuesta por ? submatrices y cuyo valor es:

$%.17'= -ε = z ∂ w = z ∂ ) ( = z -

3ustituyendo el valor de w en la expresión de las deformaciones unitarias se obtiene lamatriz -:

Deformaciones unitarias7.3.2

222 2222 2$%.10'... '8 $8 8 + &'5 $8 8 − &'$9 9 + &' ' 9 $8 8 + &'$9 9 + &'5 $9 9

5 2222 ⎣ ) = $8 8 + &'$9 9 + &'$5 + 8 8 + 9 9 − 8 5 − 95

El valor de las funciones de interpolación del nudo 2 es:

& ⎡

'

$%.1%'9 =8 = −−

e!es V,W, local al elemento y situado en su centro $cuyas coordenadas son x1 , y1' de talmanera "ue las coordenadas locales varan entre X& y &. Por lo tanto:

Flexión de placas planas14#


22/61

&5 $%.4%'w =

Particularizando en el nudo 5 $ y=0':

x y $ x &575 1⎝ ⎟

=θ

= −α − α y − α y 5∂ w

x

x $ x &246⎝⎜ $%.44'⎟ = α + 5α y +θ

∂ w

&24& 6 x w = α + α y + α y

5+

El elemento rectangular de placa delgada desarrollado satisface los dos primeroscriterios de convergencia, pero no cumple el tercero, es decir "ue es incompatible. 3inembargo este elemento se comporta bastante bien y fue muy utilizado en la pr*ctica.

Para poner de manifiesto la incompatibilidad de deformaciones, considérese lasituación mostrada en la figura %.&1, en la "ue dos elementos C y Y comparten un lado5F6. Para mayor sencillez, se supone "ue este lado es la recta x=2. (a flecha y los girosen este lado son:

R EQUERIMIENTOS DE CONVERGENCIA7.4.

cuyo valor puede ser asimismo evaluado analticamente y en el "ue se observa laexistencia de componentes tanto seg#n w como seg#n los giros.

6 6

6 $%.41'∫∫ * Tq dxdy= = )

T q

El vector de fuerzas nodales e"uivalentes para una carga distribuida por unidad desuperficie q normal a la placa es:

*ector de fuerzas nodales eui+alentes7.3.4

Aras laboriosos c*lculos, es posible obtener expresiones explcitas de esta matriz derigidez, "ue est*n publicadas en la literatura especializada.

&5/ = ⎢⎣

T D Q dx dy ⎤ +−&⎡h 6

$%.4?'&5D - dx d yD - dx dy dz =/ = ∫ T 5

h ∫

6

3ustituyendo - mediante $%.4&' y sacando fuera de la integral los términos "ue no

dependen de x,y se obtiene:

v

$%.46'/ = ∫ D - dx dyT



23/61

Para definir el giro Z y en el lado 5F6 se necesitan los cuatro par*metros U3 , U: , U; , U


24/61

>na primera solución a este problema es adoptar otro polinomio interpolante diferente,"ue garantice la compatibilidad del giro normal. En esta lnea, 8elosh presentó otroelemento en el "ue, utilizando como grados de libertad la flecha y los dos giros, el

polinomio interpolante garantiza la compatibilidad del giro normal al lado. 3inembargo, dicho polinomio no tiene el término $ xy ), por lo "ue no es capaz derepresentar estados de curvatura de torsión constante $"ue es proporcional a la

derivada segunda cruzada', y por lo tanto no satisface los criterios & y 5 deconvergencia.

Figura 7.17 )ontinuidad de giros en la frontera entre dos elementos placa

Esta conclusión ha sido deducida para una situación particular, pero el fenómeno puesto de manifiesto es general en elementos placa "ue empleen la formulación a"udescrita: existen discontinuidades entre elementos en el giro normal al lado, sea cualsea su orientación $figura %.&%'. C los elementos "ue muestran este comportamiento seles denomina no conformes.

Figura 7.1$ Kncompatibilidad del giro normal a la frontera entre 5 elementos placa

X

2

B

Y2

Y

1B

Y

A3

A

Y

Y3

Y4



25/61

Para tratar de resolver el problema de los elementos incompatibles se han desarrollado

otros, "ue se llaman conformes, y "ue b*sicamente lo "ue hacen es a+adir nuevostérminos a las funciones de interpolación, de tal manera "ue se satisfagan a la vez la

E LEMENTOS CONFORMES 7.6.

7.5. E LEMENTOS TRIANGULARES INCOMPATILES

=e la misma forma "ue el elemento rectangular ya explicado, se han desarrollado

muchos elementos placa de tres lados. El principal problema para su desarrollo est* enel hecho de "ue si se emplean como grados de libertad la flecha y los giros en los tresnudos, se dispone de 7 par*metros para definir la función de interpolación de la flecha,lo cual no permite emplear un polinomio completo de grado 6, "ue re"uiere un total de&2 par*metros. En función de cual sea el término del polinomio no incluido en lafunción de interpolación, pueden formularse diversos elementos, aun"ue muchos deellos no tienen la calidad suficiente para su empleo pr*ctico.

>n elemento triangular "ue s muestra un comportamiento aceptable es el desarrollado por )heung, /ing y RienSieTicz en &740. Emplea un polinomio c#bico incompleto,

"ue le permite representar campos de curvatura constante $es decir momentos flectoresy torsor' de valor arbitrario. Es incompatible, pues no garantiza la continuidad del giroseg#n la normal a las fronteras, pero sin embargo garantiza la convergencia. Cdem*sse han efectuado sobre su formulación inicial varias modificaciones, a+adiendotérminos de grados m*s elevados, lo cual ha permitido me!orar la calidad de losresultados obtenidos con él.

)omo e!emplo de un elemento incompatible curioso debe citarse el propuesto por 8orley en &7%&. Este elemento emplea como grados de libertad la flecha lateral encada uno de los tres nudos $sin los giros', y el giro normal en el centro de cada uno de

sus lados. Estos 4 grados de libertad permiten emplear un polinomio completo degrado 5, el cual permite representar cual"uier estado de curvatura constante dentro delelemento. 3in embargo el elemento no permite una variación c#bica de la flecha en suslados, con lo "ue no se garantiza la continuidad de los giros en los mismos,incumpliendo el tercer criterio. C pesar de ello, el elemento converge.

En realidad se puede demostrar "ue es imposible definir, mediante polinomiossencillos, unas funciones de interpolación "ue aseguren la compatibilidad completa,cuando sólo se usan como par*metros nodales, la flecha w y sus derivadas primeras. H

bien se incumple la compatibilidad del giro normal, o bien el elemento es incapaz derepresentar alg#n estado de tensión constante.

>na solución m*s adecuada al problema consiste en adoptar otros par*metros, adem*sde la flecha y el giro, como grados de libertad en los nudos. =e esta manera se puedengenerar elementos compatibles, como se describe a continuación.



26/61

En lo "ue respecta a los elementos triangulares compatibles, se han desarrollado variosde ellos, con distintos tipos de grados de libertad. (a figura %.&7 muestra algunos deellos.

Figura 7.1% Elemento rectangular hermtico

⎪⎩

⎪⎪2⎪ ∂5w⎪⎪

(2 =

⎪⎪θ x2

⎪⎪⎪

⎪⎧

compatibilidad de giros en los bordes del elemento, y se representen estados dedeformación unitaria constante.

Para poder a+adir estos nuevos términos a las funciones de interpolación, se re"uiere

introducir grados de libertad adicionales en el elemento. Entre ellos se suelen incluir los giros seg#n la tangente al punto medio de los lados, o incluso derivadas segundasde la flecha. Estos elementos pueden tener distinto n#mero de grados de libertad encada nudo, y se han desarrollado gran cantidad de ellos. (os resultados obtenidos encasos comparativos entre distintos tipos de ellos son bastante dispares y no puededecirse cu*l es el me!or de todos, incluyendo en la comparación elementos conformesy no conformes.

Entre los elementos conformes de cuatro lados, debe mencionarse el elementohermtico de &4 grados de libertad desarrollado por Yogner, 9ox y 3chmidt en &74%.

Aiene cuatro variables en cada nudo: la flecha, los dos giros x e y y la derivadasegunda cruzada de la flecha $figura %.&0'. El elemento utiliza como funcióninterpolante de la flecha w un producto de dos polinomios de [ermite de grado 6, unoen cada dirección. Este elemento cumple los tres criterios de convergencia, y resultaser m*s preciso "ue el de 8elosh, debido a "ue utiliza un polinomio interpolante demayor grado. En todo caso, no es posible generalizarlo a formas no rectangulares, locual limita su aplicación.



27/61

Figura 7.1& Elementos triangulares compatibles

∂ x ∂ y⎪⎩ ∂ y 5

∂ x 5 ⎬⎨

∂w

∂ y

∂w ∂5w ∂5w ∂5w

⎪⎩∂/∂/ ⎪⎪

⎬⎨θ x⎪⎪θ

y"∂w!"

⎪ ∂w



28/61

!.2. E STADO DE DEFORMACIÓN

En un punto del plano medio de la placa, las deformaciones son la flecha w y los dosgiros θ x

y θ y. Estas deformaciones se agrupan en el vector de deformaciones 0, "ue esfunción de la situación del punto $ x,y' dentro de la placa:

)uando la energa debida al esfuerzo cortante no es despreciable, debe emplearse unateora adecuada "ue la tenga en cuenta. Esto ocurre en placas cuyo espesor no estotalmente despreciable frente a sus dimensiones transversales, aun"ue si debe seguir siendo lo suficientemente pe"ue+o para "ue la tensión en la dirección z seadespreciable.

(os primeros desarrollos de la teora de flexión de placas incluyendo la energa deesfuerzo cortante son debidos a eissner $&7?1' y 8indlin $&712'. En esta teora no seemplea la hipótesis de /irchhoff, por lo "ue las secciones rectas normales al planomedio de la placa no se mantienen normales a dicho plano medio en el estadodeformado. Es decir "ue el *ngulo "ue gira una sección plana cual"uiera no tiene por "ué coincidir con la tangente a la deformada.

)omo consecuencia de la diferencia entre giro y tangente a la deformada aparece en elmaterial una deformación de cortadura "ue, asociada a las tensiones cortantes

verticales existentes, hace "ue se acumule energa de cortadura.

I NTRODUCCIÓN !.1.

Flexión de placas con energíade esfuerzo cortante

8


29/61

∂x ∂z ∂ x y zx +==γ

∂ w+

∂ u

∂ x∂y ∂ x xy $0.6'−==γ

∂θ x

∂ u+

∂θ y

∂ y

∂ y y = =− z

ε∂θ x ∂v

x = = z

ε ∂ u∂θ

y

∂ x

(as deformaciones unitarias producidas por estas deformaciones son:

Figura %.1 Estado de deformación interior en placas 8indlin

sección#nicamente por la flecha w, sino "ue intervienen también los giros de cadarecta, "ue ya no coinciden con las derivadas de w.

)on este planteamiento el estado de deformación de la placa ya no "ueda definido

w⎪w⎪ ⎪⎪

u = ⎨− z θ x ⎬⎨

⎪

⎪θ

y

⎪

(as deformaciones de un punto cual"uiera de la placa, situado a una altura z respecto

$0.&'0 =θ x

Flexión de placas con energía de esfer!o cor"an"e148


30/61


31/61

donde G es el módulo de elasticidad en cortadura.

G ⎪τ yx⎬⎨ $0.7'τ = G⎨

⎫⎪⎧

"ue es la misma "ue se emplea en la teora cl*sica. Cdem*s, las dos tensiones cortantesverticales se relacionan con las correspondientes deformaciones de cortadura, a travésde la parte correspondiente de la ecuación constitutiva:

$0.0'σ 4 =

5

− ε2 '

⎦⎣2 ⎪

γ2 xy ⎪τ x y & − ν−

5 ⎢⎢

2

$0.%'σ 4 = σ y 2 ⎜⎨ ε y ⎬ ⎢ν ⎜⎪ E ⎢

x x 2 x2ν

&

⎪ ε ⎫⎫⎪

en dirección z es nula. 3uponiendo unestado plano de tensiones, ya "ue la tensiónmaterial isótropo dicha relación es:

⎡

(a relación entre las tensiones y las deformaciones unitarias es la correspondiente al

R ELACIÓN TENSIÓN DEFORMACIÓN !.3.

3e observa "ue estas deformaciones son constantes en todo el espesor de la placa,mientras "ue en la solución real varan de forma parabólica. Esto es debido a "ue lahipótesis de deformación efectuada no es perfecta, ya "ue en la realidad las seccionesrectas perpendiculares al plano medio no se mantienen rectas en el estado deformado,sino "ue se distorsionan debido a la deformación de cortadura.

⎦

⎢ ⎪ ⎥ x⎪ −&− ⎪⎪⎪ ?

⎢ yz 5∂⎬γ ⎢ $0.4'= ∂γ =

⎪xz ⎪ =⎫ ⎪⎪⎧ ⎢ & 2

+ θ y

⎤⎪

# (as deformaciones de cortadura valen:

∂ x ∂y⎥−

∂∂ ⎪⎢⎢

⎢⎢2

$0.1'−∂ y

2⎨

θ x ⎬

= z⎪⎪

∂x ⎥⎢⎢⎢

ε 4

= z =

2

⎥⎢ ⎤⎡

2

Flexión de placas con energía de esfer!o cor"an"e15#


32/61

∂x ⎝ ∂y y

5 ∂y ⎝⎜ ∂y ∂x ⎠⎟ ⎜⎟⎜⎜ +−

⎟⎟ +

& − ν ⎞∂θ xν

∂θ x∂θG + ⎛

3ustituyendo en ellas los valores de los momentos y los cortantes en función de las tresdeformaciones, mediante $0.&&' y $0.&5', se obtiene:

∂ x z + q =+

∂Q zy

∂ y

yz $0.&6'=+∂ M y

∂ y

∂ M xy

∂ x

∂ Q zx

∂ y∂ x=+

(a obtención de las ecuaciones de e"uilibrio en esta teora sigue los mismos pasos "ueen la teora cl*sica, con lo "ue obtienen las mismas ecuaciones de e"uilibrioexpresadas en función de los esfuerzos internos:

∂M x

∂M x y

E CUACIONES DE EQUILIRIO !.5.

$0.&5'τ dz = h GQ = ∫−h/2

(os esfuerzos cortantes son la resultante de las tensiones cortantes verticales:+h D5

5 ⎝ ∂y ∂x⎪⎪

y x −∂θ ∂θ ⎪ ⎩ ⎛⎩ ⎪ D$& − ⎪

M ⎪ M xy ⎠⎝⎜ ∂x ∂y ⎟

2 y y $0.&&'⎪+! = − ∂θ x D ⎜ν ⎞⎛

2 x

⎪⎪

x ⎪⎪

⎪ ⎝ ∂y⎟ ⎪⎪

⎜ −ν∂θ

x⎛∂θ

⎧⎪

3ustituyendo las curvaturas se obtiene:

$0.&2' + !2D&5! =

en z , sedeformaciones unitarias y éstas en función de las curvaturas e integrandoobtiene, para los momentos de flexión y torsión:

6

(a definición de los esfuerzos internos en la placa en función de las tensiones es lamisma "ue en la teora cl*sica. 3ustituyendo las tensiones en función de las

E SFUER"OS INTERNOS !.4.

151Flexión de placas con energía de esfer!o cor"an"e


33/61

En esta ecuación se ha incluido, en el término del cortante, un factor @ denominadofactor de corrección de la energa de cortante. 3u misión es corregir el valor de laenerga calculada con la distribución uniforme de tensiones cortantes e igualarla alvalor real de la energa, "ue est* producida por una distribución parabólica de lastensiones cortantes.

55 &5 2$0.&0' = ∫ T T bA D b d! + ∫ ! d! + ∫ G @ + γ

&& 6

En el primer término se puede integrar en la coordenada z , y en el segundo seidentifican los momentos debidos a las deformaciones unitarias iniciales:

2& = 5 ∫∫5 ∫ T z b

TD ε dz d! + & G γ dzb

TD b z

5dz d!

3ustituyendo las deformaciones unitarias ε9 en función de las curvaturas se obtiene:

$0.&%'&& = ε 4 D ε 4 dv − ∫ ε 4 D ε2 dv + 5 ∫ G γ γ5 ∫T T T

55

(a energa el*stica acumulada en toda la placa es:

$0.&4' 2 = ε 4 D ε 4 − ε2 D ε 4 + G γT T T &&

2'2

τ d γ ε 4 Dd ε 4 − ∫ ε2 Dd ε 4 + ∫ G γ d γ∫'

2 = σ 4 d ε 4 +T T T T T

εε

∫'

ε γγ

(a densidad de energa el*stica acumulada en un punto de la placa incluye dossumandos: uno debido a las tres tensiones incluidas en el vector σ y otro debido a lasdos tensiones cortantes τ.

E XPRESIÓN DE LA ENERGÍA ELÁSTICA!.6.

3e trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, "ue son lasdeformaciones del plano medio de la placa. Este sistema de ecuaciones es de orden 5,en comparación con el orden ? obtenido en la teora cl*sica. Para resolverlo por e8E9 ser* necesario emplear funciones de interpolación con continuidad )2, en lugade las funciones de tipo )& necesarias en la teora cl*sica.

G + ∂ y ⎝ x∂x ⎝ y⎜ − θ ⎟ ++ θ ⎟ q

z

⎞∂

D5∂ x∂ y ⎝ ∂x ⎝⎜

∂ y

⎝ x∂x ⎟⎜⎜⎜ $0.&?'−− ⎟⎟ +

& − ν ∂θ xν

∂θy∂ G + ⎛



34/61

Figura %.3 -rados de libertad del elemento placa rectangular

$0.55'... /θ θ x 5 y 5 5θ θ x y

, θ x/ θ y/( =T

donde es el vector de todas las deformaciones nodales del elemento $figura 0.6':

$0.5&'

Jue puede ponerse en la forma matricial habitual:

0 = ) (,

⎪θ x/⎪

⎪& ⎦ ⎪⎩22⎪θ ⎢ / ⎥

⎪ & /

⎥ ⎨ $0.52'2

2

θ ⎪ ⎪

⎢⎢⎢

⎪2

2

2

%

% /

2

2

... ...

... ...

... ...

2

2

%

2

%

⎢ % &w ⎥ ⎪θ

y

⎪ ⎪ x &⎪⎪⎪

⎪&⎪

(as tres leyes de interpolación se pueden agrupar como:

$0.&7'θ y = $ % 2θ x = $ % 2w = $ % 2

Para resolver por el 8E9 un problema de flexión de placas empleando la teora de8indlinFeissner se puede usar cual"uier tipo de función de interpolación "ue tengacontinuidad )2. En particular todas las utilizadas para los problemas de elasticidad

plana son aplicables, tanto en formulación de (agrange como 3erendipity.

Estas funciones de interpolación se usan para interpolar las tres incógnitas del problema, "ue son la flecha w y los dos giros:

,unciones de inter(olación8.7.1

E LEMENTOS FINITOS PARA PLACAS CON ENERGÍA DE!.7.



35/61

El vector agrupa a las coordenadas $ x,y' de todos los nudos del elemento. Esta ley

permite obtener elementos con lados curvos en el plano de la placa.

e

$0.5?' = )

⎩⎪...5

5& ⎦⎣ y ⎪⎥...2 % 2⎢ $0.56'⎨ y ⎥

5&⎢2 % 2⎧

⎡ % &...⎤ ⎪⎪

⎪&⎫

Para definir la forma del elemento en el plano GI se emplea la interpolación decoordenadas habitual en el 8E9. Pueden emplearse elementos iso, sub o super

paramétricos, tal y como se ha explicado para el problema plano. =e hecho la forma deun elemento placa y de un elemento para elasticidad plana es la misma. Por lo tanto laley de interpolación es del tipo:

-nter(olación de coordenadas.8.7.2

Figura %.4 )oordenadas locales para elementos placa

(as funciones de interpolación se definen habitualmente en un sistema de coordenadaslocal al elemento. C este efecto se emplean los mismos sistemas usados para loselementos de elasticidad plana: para elementos de cuatro lados se emplean lascoordenadas ξ ,η normalizadas tal "ue el elemento es un cuadrado de lado 5 $figura0.?' y para tri*ngulos de emplean las tres coordenadas de *rea A2 .



36/61


37/61

siendo B el determinante de la matriz !acobiana 3.

−&&5&5 4 4 4 4

$0.64'D - B d 8 d D - dx dy/ = 4 ∫

h-

T h-

T 66 +&

∫

Kntegrando en primer lugar la coordenada z , y pasando a las coordenadas locales delelemento, esta matriz puede ponerse en la forma:

4 4 $0.61'D - d v/ =

4 ∫ 5

(a matriz de rigidez tiene dos sumandos. El primero de ellos es debido a las tensiones

σ , y se denomina habitualmente rigidez debida a la flexión. 3u valor es:

)atriz de rigidez8.7.5

donde se identifica la matriz de rigidez, y los vectores de fuerzas nodales e"uivalentesa la temperatura y a las cargas distribuidas.

T * 4 6$0.6?'= +)(/ +

"ue puede ponerse en la forma compacta habitual:

* * 4 4 6$0.66' d 6D - ∫∫ 4 2∫∫ T dv = z -

TD ε dvG -

T-dv (

+ 5

[aciendo este potencial estacionario con respecto a las deformaciones nodales seobtiene la siguiente ecuación de e"uilibrio del elemento:

δe

* 6$0.65' d 6dv −

* + 5 ∫ G - T ,T & ,T

4 2 4 z D ε dvdv −

4 D - z % = ∫

∫

∫ T ,T & T 5 T

donde s son las fuerzas exteriores actuantes sobre la superficie del elemento, seg#ncada uno de los tres grados de libertad existentes en el plano medio de la placa. En laexpresión anterior no se ha incluido el potencial de las fuerzas de conexión entre loselementos, "ue desaparecen al ensamblar los elementos.

3ustituyendo las deformaciones unitarias en función de las matrices - y lasdeformaciones 0 en función de la matriz ) se obtiene:

&&% = +# ε 4

D ε 4

dv − ∫ ε 4 D ε2dv + 5 ∫ G γ γ dv − ∫ 0 6 d65 ∫T T T T

Para obtener la ecuación de e"uilibrio de un elemento se parte de la expresión del potencial total acumulado en él, "ue es la suma de la energa el*stica acumulada y del

potencial de las fuerzas exteriores:

Ecuación de euili!rio8.7.4



38/61


39/61


40/61

A A $0.12' = )

)omo es habitual, se supone "ue las fuerzas de lnea se representan mediante unainterpolación de sus valores nodales, empleando las funciones de interpolación:

Figura %.7 9uerzas de lado en placas

q ⎪ A Aθx

= ⎬ Az⎪

Cl igual "ue para las fuerzas de superficie, las fuerzas de lnea tienen tres componentesen la dirección de los tres grados de libertad de la placa. =e ellos la componente z es lade mayor interés, ya "ue las otras dos corresponden a momentos distribuidos sobre laarista, en la dirección de los dos giros x e y, de los cuales sólo el paralelo a la arista es

de interés $figura 0.%'.⎧

A$0.?0'

A ∫

Estos elementos admiten la aplicación de fuerzas distribuidas de forma lineal sobre susaristas A, cuyo vector de fuerzas nodales e"uivalentes es:

= )T

Fuerzas e #ea%.7.$.2

C⎣ 2 % % 2

−& ⎢⎥⎥

⎢$0.?%'2 ⎥ B d 8 d ! 6 =∫

2C ⎥⎢⎢2 C

2+& ⎢ 22

% % 2 C

% ⎤⎥⎡ %

Est* compuesta por submatrices del tipo:

6⎣ / ⎦ ... !// ⎥⎢

!/ &⎢

)T ⎥

& ⎥⎢ / ⎦⎣ 6 ⎥$0.?4'... ...... ) dx dy =! = ⎢∫) d6 = ...∫ T ⎤⎡

⎥⎥

⎢ ... !

6⎥⎢) ⎥

&&& &/ ⎤⎡ T

15"Flexión de placas con energía de esfer!o cor"an"e


41/61

=ada la estructura de la matriz -9, el vector de fuerzas nodales e"uivalentes es:

⎪⎪⎪&5$& −&5

4 ⎪

4 T $0.14'-- D ∫ = ∫

T T g g E h

6αT h

6

(a integral correspondiente a la temperatura media resulta ser nula: un aumento detemperatura uniforme en la placa no produce ning#n efecto en la flexión. 3e obtiene:

⎫⎪ ⎧⎪&⎫⎪

2⎪⎪2⎪

4 4 T ⎪⎪

g - g - ⎥⎢⎪

D ∫∫∫ $ z αT + α z 5T 'dz d!T = z -

TD ⎨αT + αzT⎪⎪ ⎥

⎪⎪ g- ⎤⎪ ⎪⎪αT +

3e supone una variación de la temperatura lineal en el espesor de la placa, con valor medio T - y gradiente T g .

2 4 T $0.1?'∫ = z -T

D ε

El vector de fuerzas nodales e"uivalentes a las deformaciones unitarias iniciales es:

Defor"acioes iicia#es coocias%.7.$.3

para losEl c*lculo del diferencial de longitud se efect#a como se ha indicado problemas de elasticidad plana.

C⎣ 2 % % 2

−& ⎢⎥⎥

⎢ 2 C ⎥ $0.16'2d7 = A ∫2C ⎥⎢⎢

2 C

2

+& ⎢ 22

% %

% ⎤⎥⎡ %

Est* compuesta por submatrices del tipo:

A⎣ / ⎦ ... !// ⎥⎢

!/ &⎢

)T ⎥

A ⎥ / ⎦ ⎣ $0.15'... ...! = ⎢∫) d7 = ... ) ... ) d7 =∫ T ⎤⎡

A A⎢& ⎥⎢⎥⎥⎥

... !) && &/⎤⎡

donde se ha introducido la matriz !( cuya estructura es:⎡

T⎤

A A A A$0.1&') d7 = = ∫ T

Asiendo los valores nodales de las fuerzas de superficie. )on esto "ueda:



42/61


43/61

>n método sencillo para obtener la condición de singularidad de / ) es efectuar unaintegración incompleta de la misma. =e hecho si se integra la matriz / ) del elementode ? nudos con un solo punto de integración se garantiza su singularidad y se resuelveel problema del blo"ueo.

(a tabla siguiente muestra los órdenes de integración necesarios para la integración delas dos matrices de rigidez, en distintos tipos de integración.

E LEMENTO DE 4 NUDOS CON I NTEGRACIÓN!.#.

y las deformaciones tienden a cero y no a la solución de /irchhoff, produciéndose el blo"ueo de la solución por efecto de la rigidez a cortante.

(a #nica forma de obtener en la ecuación anterior una solución distinta de la solución blo"ueada ( 8 ' es "ue la matriz de rigidez a cortante sea singular. Esta condición desingularidad de la / ) proporciona as pues una condición necesaria $pero nosuficiente' para poder obtener una solución correcta en el lmite, para placas de

pe"ue+o espesor.

/ *

( = $0.45'

)laramente a medida "ue la placa se hace m*s delgada, el factor α se hace mucho m*s

grande con lo "ue la ecuación de e"uilibrio se transforma en:

/ *

( =αF $0.4&'

&

deformaciones "ue se desean obtener. Por lo tanto es necesario "ue la matriz de rigidezesté acotada a fin de "ue la solución por el 8E9 tienda a la solución de /irchhoff.Estudiando esta matriz de rigidez se observa "ue cuando h → 2 el factor α → & y

por lo tanto el término debido a / ) se hace dominante, pudiéndose despreciar eltérmino de la rigidez a flexión, y obteniéndose unas deformaciones:

(a solución de la teora de /irchhoff cuando el espesor tiende a cero es proporcionalal factor &5 $& − ν 5 ' D Eh 6 , por lo tanto el nuevo vector de cargas F es del orden de

Eh5)on α =

&5$& − ν 5 '

Eh 6F = F+ α / * )((/ 4

&5$& − ν 5Pasando el factor D al término independiente:

⎝&5$& − * 4 ⎜/ + Gh /

⎟ ( = $0.42'

Eh 6

(a matriz de rigidez a flexión es proporcional a D = Eh 6 D$&5 $& − ν 5 '' y la matrizde



44/61

& x && x &educida

& x &5 x 53electiva

5 x 55 x 5)ompleta

/ )/ 9

El segundo modo de energa nula corresponde a una deformación lateral bilineal, singiros.

w = xy θ x

= 2 θ y

=

2

Este mecanismo si "ue puede propagarse en una malla, dependiendo de cuales sean lascondiciones de apoyo de la misma $p.e. en una malla apoyada'. En todo caso se handesarrollado técnicas especficas para estabilizar este modo de energa nula,

Figura %.% 8odos de energa nula espurios

El problema de la integración reducida o selectiva es "ue introduce en el elementonuevos modos de deformación de sólido rgido $con energa nula', adem*s de los 6modos de sólido rgido "ue un elemento placa tiene siempre.

Cs por e!emplo la integración reducida de este elemento produce en él % modos deenerga nula, 6 de ellos de sólido rgido y otros ? m*s de deformación espuria, por lo"ue este tipo de integración reducida no puede emplearse con este elemento.

3i se emplea la integración selectiva, el elemento posee 1 modos de energa nula, 6 desólido rgido y dos m*s espurios. =e entre estos dos, uno de ellos corresponde a unadeformación de torsión en el plano del elemento, con ambas caras girando en su planoen sentidos opuestos:

w = 2 θ x

= x θ y

=

− y

Este modo de energa nula no puede propagarse en la malla pues dos elementos



45/61

γ xz

a esta deformación se le permite sólo una variación en la coordenada 9, es decir seeliminan los términos 6N y ?N "ue contienen la coordenada, se podr* cumplir lacondición de "ue la deformación cortante sea nula en el lmite. En el caso de la otradeformación γ

yz, se le debera permitir sólo una variación en la coordenada 8 .

En base a esta idea, se puede desarrollar un elemento en el "ue el campo dedeformación cortante esté impuesto y siga la variación "ue se acaba de describir. Este

campo de deformación cortante se impone en las coordenadas locales normalizadas del

γ yz

conseguir "ue se anule, debe evaluarse en la lnea 9na solución parasatisfacer el elemento, pues obligan a una solución absurda

(os dos primeros términos se anulan f*cilmente pues imponen relaciones entre lasflechas y los giros de los nudos. 3in embargo los términos 6N y ?N no los puede

?? ⎠⎠⎠ xz ⎝⎝⎝⎝ y2 y2 y2θ ++

?γ + $+ $ ⎜2⎟ + $ ⎜ ?'

= $ ⎜ ?'

θ ⎟ 898

2 928 2& θ ⎛ 8

2

eagrupando:

2 y222 2 2

+γ $?

xz $?

&$& + 88 '(& + 99

&

&(& + 99 )

3ustituyendo las funciones de interpolación bilineales del elemento:

∂8 ∂ x∂ x xz

+ %γ = + θ $0.46'2 $ 2 y2 y $∂ %

2∂8 ∂w

γ xz

>na solución para eliminar el problema del blo"ueo por cortante consiste en introducir

en la formulación del elemento un campo de deformación unitaria de cortante "uesatisfaga en el lmite la condición de anularse cuando el espesor de la placa tienda acero. Para ello se estudia cu*l es la variación de la deformación unitaria cortante en elinterior del elemento, y las condiciones para "ue esta deformación cortante sea nula.Para simplificar el desarrollo, consideramos un elemento cuadrado de lado 5'. Para elcaso de la deformación esta variación es:

!.1$. E LEMENTO DE 4 NUDOS CON CAMPO DE DEFORMACIÓN CORTANTE IMPUESTO



46/61

A "ue3e ha introducido, por conveniencia para el desarrollo posterior, el vector contiene todas las deformaciones cortantes en los ? puntos de apoyo CF=.

γ A

= )γγ A

D

⎪

⎪⎪

8 γ

9γ*

⎣

8

5 ⎢ 2 2 2 $& + 8 ' 2 2 2 $& − 8 '⎥ $0.40'⎪

⎢⎪γ & $& −⎪ ⎪

2 2 2 $& + 9' 2 2 2

8 ⎪γ ⎪ 9

γ ⎪8 ⎪

Estas dos ecuaciones se pueden agrupar en forma matricial, definiendo la matriz defunciones de interpolación de la deformación unitaria cortante:

⎧⎪γ !

55 999$0.4%'

El campo γ9

es variable en la dirección ' y se a!usta con los valores en los puntos Y y=.

γ =& $& + 8 'γ + & $& −

55 8 8 8 $0.44'

El campo de γ8

es variable linealmente en la dirección 9 y por lo tanto se puedea!ustar con los valores de dicha tensión en los puntos C $9


47/61

* γ$0.%6' γ = −&

)on lo "ue el campo de deformación cortante impuesto en coordenadas generales es:

A$0.%5'γ = −&

Este campo impuesto se debe referir al sistema general, empleando para ello la !acobiana:

γ A

= )γ

-*

( $0.%&' , D

Cgrupando todas las expresiones anteriores se puede expresar el campo dedeformaciones cortantes $en el sistema local' en función de las deformaciones nodales:

γG

= -*

, D

γ ⎪ xz

γ

* ⎦⎣ yz ⎪γ*

⎢⎥

⎪ xz * ⎥⎢γ

* -

* ⎨ ( $0.%2',⎬ =⎪

yz ⎢ *γ ⎢- ⎥⎪

xz

⎪

* ⎥⎢⎪γ ⎡- ! ⎤

⎪ yzγ

⎪ xz

γ A

= γG

(as deformaciones cortantes en los ? puntos se obtienen en función del campo dedesplazamientos interpolado, mediante la expresión habitual, con la matriz -):

⎧

⎪⎩9

⎪⎭⎪⎩ yz γ γ

⎪ xz8 γ γ

⎪ ⎣ 9

D

γ* ⎪

⎪ xz8* γ

* ⎢⎢⎢⎢

⎬⎨ $0.47'⎬⎪ 9 ⎪ ⎢

γ ⎪γ ⎪

xz ⎪

8 ⎪

⎪γ !⎪γ ⎡⎢⎢

⎤ ⎪ yz⎪ 9

γ γ ⎪⎪

xz8 ⎪

(as deformaciones cortantes en los puntos CF= en el sistema local se relacionan conlas correspondientes en el sistema general mediante la !acobiana de la transformación:

⎧⎪γ !⎫⎪



48/61

El determinante es lineal, y vale:

∂9⎣ ⎦

9 %

$a5 + a6⎣2

% $a5 + a6

T T y⎥⎢

x ∂ ⎥ ⎥⎢$0.%7' = ⎥⎥ =

∂8 ⎥T T 9 %

$a& + a62 % $a& + a6⎥⎢

∂ y ⎤

# 8atriz ^acobiana

(a matriz !acobiana de la transformación de coordenadas es:

% v % v$0.%0'= 9T= T

(a forma del elemento se define mediante la transformación isoparamétrica habitual:

$0.%%' y?9 % = " y& y5 x ? % = " x& x 5T T

)v

= a 2 + a& 8 + a5 9 + a 6 8 9

(os vectores "ue contienen las coordenadas x e y de los ? nudos son:

⎪ % ⎪−⎪−&⎪&⎪

? &⎪ % 6⎪ ? ⎪&⎪ ?$0.%4'

⎪9⎪8= &&& ⎪&⎪ &⎪ %

⎪⎪⎪⎪

2 = (& + 8 8 2)(& + 9 92)D ? , "ue se pueden agrupar en unhabituales bilinealeslassoninterpolacióndefunciones(as

8.1#.1 Relaciones anal%ticas

(a interpolación bilineal empleada para el elemento de ? nudos permite simplificar lasecuaciones anteriores y obtener expresiones analticas.

# Aransformación geométrica.

$0.%1'/ * = ∫ G -* -*T

Por lo tanto la matriz de rigidez debida a la deformación de cortante es:

* γ* $0.%?' D - = −&

denominadaEsta expresión define la nueva matriz -) propia de esta formulación,matriz de deformación de cortante sustitutiva:



49/61


50/61

Figura %.& Elemento placa hbrido de ? nudos

? 222(as funciones de interpolación son las bilineales habituales: % =

&(& + 8 8 )(& + 9

$0.72'θ y = $ % 2θ x = $ % 2θ

x2

w = $ % 2

!.11. E LEMENTO PLACA %ÍRIDO DE 4 NUDOS

3e considera un elemento placa de ? nudos, en formulación 8indlinFeissner. Elcampo de deformaciones en el plano medio de la placa se interpola seg#n la leyhabitual:

⎦2,9 2 ,92,9⎣9 % % 9⎢ % A$2 ' A$2 ' $ 2,9 2 ,9$*2

⎥⎢- $0.07'2,8 ⎥

= .−&

% 8 % 8 − M $2 '

2,8 2 ,8 $ 2,8 2 ,8 $ x M $2 '⎡ %

El ndice A es ahora: A(2)=F*, *, !, !.(as dos expresiones anteriores permiten poner la matriz de deformación de cortantesustitutiva en la forma explcita:

92

92

γ9

$0.00' A$2 ' A$2 ' ,9 θ x2 + $ % 2,9 x ,9= $ % 2,9 2 − $ %

En esta expresión el ndice M depende del ndice 2, seg#n: M(2)=F, D, D, .

Cn*logamente se obtiene en la otra dirección:

8 8 2

γ8

M $2 ' M $2 ' ,8 θ x2 + $ % 2,8 2 x,8= $ % 2,8 2 − $ %

eordenando términos y agrupando seg#n los distintos grados de libertad se obtiene:⎠⎝ 55 5

,8

⎜,8

⎟ ⎠ ⎜ ⎟⎟ +

& 5+&

&+* ⎜ θ & x θ 5 x+9'⎜ x* ⎜

θ & y θ 5 ⎞⎛$0.0%'

⎠⎝ 5555 ⎠⎝8 ,8⎜ ,8⎟ ⎠⎠ ⎜ − ? 6+⎛⎛ +γ =

&$& − 9'⎜ x

! ⎜ θ 6 y θ ? y ⎟ − y ! ⎜ θ 6 x ⎞⎛

16"Flexión de placas con energía de esfer!o cor"an"e


51/61

⎪Q

yz

Q xz ⎪

$0.76'=" =⎪⎪ M y

%.11.1.1 Esfuerzos

(os dos momentos flectores, el momento torsor y los dos esfuerzos cortantes seagrupan en el vector de esfuerzos resultantes de las tensiones " :

x−

y⎪⎭

⎪⎪

⎪

+⎪γ ⎪∂w

∂ x

∂w

∂ y

⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪ xz⎪ ⎪ ⎪ ∂ y

x−ε = ⎨γ⎬ = ⎨ $0.75' y ⎪⎪⎪

⎪⎪ y ⎪⎧ ⎪⎪⎪ ∂ y

∂θ

⎪ ⎫⎪⎧

⎪⎪⎪⎪

⎪∂ x

− ∂ θ

x

⎪⎪

⎪⎪

3e define el vector de deformaciones unitarias de la placa ε como la parte de ε "ue nodepende de z :

⎧⎪

⎪ ⎪ε = ⎬

8.11.1 Deformaciones unitarias

(as deformaciones unitarias en un punto cual"uiera situado a una distancia z del planomedio vienen dadas por la ecuación $0.6'. (os tres primeros términos de dichas

deformaciones unitarias son lineales en z y est*n producidos por las curvaturas deflexión y alabeo, "ue se agrupan en un vector κ. (os dos #ltimos términoscorresponden a las deformaciones transversales de cortante, "ue son constantes y se

agrupan en un vector γ. =e esta manera las deformaciones unitarias de un punto

cual"uiera son:

⎧



52/61

* M ∈_C,Y,),=` "ue-), seg#n la ecuación $0.%2'. (a expresión de las matrices

aparece en ella es: M

(as 0 deformaciones cortantes en el sistema local en los puntos C, Y, ), = serelacionan con las correspondientes en el sistema general mediante la !acobiana de latransformación, seg#n la ecuación $0.47'.

C su vez, las deformaciones cortantes en los ? puntos se obtienen en función delcampo de desplazamientos interpolado, mediante la expresión habitual, con la matriz

γ A

= )γγ A

$0.7%' D

El campo de γ8

es variable linealmente en la dirección 9 y se puede a!ustar con losvalores de dicha deformación en los puntos C $9


53/61

9 ⎦ ⎣ ⎣ M M ⎥⎢ M ⎥⎢ M $0.&2?'

2⎢⎢ 89 ⎥8 xy = $2 x ⎤ M⎤ M

Este campo de momentos en coordenadas locales se transforma a las coordenadasgenerales por medio de la matriz !acobiana de la transformación isoparamétrica:

⎪⎩ ⎥⎦ 2 & 8 ⎪ M 9 ⎢2

⎪ ⎢9 2 2 2⎥ ⎨ M 9 ⎬

$0.&26'⎪ ⎢

&⎢ 2 2 29 2 2

2 & 8

2 2 2

8

2

2

2⎤⎡

&

puede expresarse en función de unosen las coordenadas locales del elemento, "ue par*metros de a!uste α en la forma:

%.11.3.1 ;ter6o#aci


54/61

Este campo de momentos ha demostrado ser muy eficiente para el desarrollo deelementos finitos, tanto si se emplean campos de deformaciones incompatibles comoen caso contrario, y es empleado en numerosas ocasiones.

&5 5& 55 ⎦ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎣ 2 & B2 B

29⎪ M B

2 B

28

⎢2

⎪⎪ ⎢55&5 y

⎪$0.&27'⎨ M ⎬ $ B

2 '5 9 $ B 2 '5 8 ⎪ ⎢⎪

5&&& x ⎪2

2

2

&

$ B 2 '5 9 $ B 2 '5 8 ⎧⎫⎪

=onde a su vez el operador ∂ 4 relaciona las curvaturas con las deformaciones.

El cumplimiento de la ecuación de restricción anterior es sencillo, sin m*s "ueeliminar de la expresión de interpolación de momentos los términos afectados por loscoeficientes α4 a α7 , de!ando sólo un término en 8 y otro en 9 para cada momento, enla forma:

02/

2/

= ∂ $0.&20'

valor es:las curvaturas producidas por las deformaciones incompatibles 0in, cuyo1 2/3iendo

! 2/

d! = 2 $0.&2%'∫T

El campo de momentos interpolado debe satisfacer la ecuación de e"uilibrio, ensentido débil, con ob!eto de evitar el shear locSing. Esto se cumple si se impone lacondición de "ue el campo de momentos no acumule energa con cual"uier estado dedeformación no contenida en la interpolación de deformaciones supuesta, denominadadeformación incompatible $eissman y Aaylor, &772, &775'. =icha condición es:

combinación lineal de los coeficientes iniciales α2 y de los términos de y son por lotanto independientes.

2

α2

del a!uste en el sistema cartesiano son3iendo ! B = B && B 55 + B &5 B 5& . (os2 22 2

B 5& 55&5 555& 55&5 B ⎦ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎣ ! 9 B

2 B

29 ! 8 2 & B 2 B 2 9⎪ M

⎢2

⎪⎪ ⎢&5 55&5 5555&5

B2 B

28

55

B2 B

28

&5 y

⎪⎨ M ⎬ $ B

2 '5 9 5 B 2 B 2 8 5 B 2 B 2 9 ⎨... ⎬⎪ ⎢⎪

&& 5&&& 5&5&&&

$ B 2 '5 8

5&

$ B 2 '5 8

&&

2 $ B 2 '5 9

⎥ x ⎪2

&

$ B 2 '5$ B 2 '52 $ B 2 '5 9⎪

$ B 2 '5 9 5 B 2 B 2 8 5 B 2 B 2 9 ⎧⎪⎫

El campo de momentos en el sistema cartesiano "ue se obtiene es:

5& 55 ⎦⎣⎦ 8 ⎣ B 2

B2⎢ x,9 y,9 ⎥ ⎥=3 $0.&21'⎥=

2 ,8 && &5 ⎥⎢,8 ⎤⎡ y x B

2 B

2

(a transformación se efect#a mediante una !acobiana constate 2, evaluada en el centrodel elemento, con ob!eto de garantizar el cumplimiento del patch test.



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α1

eliminar de la expresión de interpolación de cortantes los términos afectados por loscoeficientes y α4 , de!ando sólo un término en 8 y otro en 9 para cada cortante,en la forma:

de restricción anterior es sencillo, sin m*s "ueEl cumplimiento de la ecuación

02/

γ2/

= ∂*

$0.&&?'

incompatibles 0in, y cuyo valor deformaciones:

cortantes producidas por las deformaciones

se obtiene aplicando el operador ∂* sobre las

las deformacionesγ2/3iendo

Q γ2/

d! = 2 $0.&&6'∫ T

El campo de cortantes interpolado debe satisfacer la ecuación de e"uilibrio, en sentidodébil, con ob!eto de evitar el shear locSing. Esto se cumple si se impone la condiciónde "ue el campo de cortantes no acumule energa con cual"uier estado de deformaciónincompatible, no contenida en la interpolación de deformaciones supuesta. =ichacondición es:

α2coeficientes iniciales y de los términos de y son por lo tanto independientes.2

α2(os coeficientes del a!uste en el sistema cartesiano son combinación lineal de los

⎪α⎪&5 55 &5 55 y ⎦ 2 & B29 B

28 B

28

B

29

⎥ =⎪ $0.&&5'&& 5& && 5& x⎪ ⎪⎢

⎢⎣

Q 2 B 2 9 B 2 8 B 2 8 ⎡& B 2 9 ⎤

El campo de cortantes en el sistema cartesiano "ue se obtiene es:

⎧⎪

$0.&&&'T

⎢⎥ = $

2

⎢

Q8

Q x

Este campo de cortantes en coordenadas locales se transforma a las coordenadasgenerales por medio de la matriz !acobiana, evaluada en el centro del elemento, conob!eto de garantizar el cumplimiento del patch test:

⎪α⎪

9⎥ ⎪⎢2 2 2 &⎪Q

⎢ ⎥ $0.&&2'

⎪Q8 ⎪ & 8 9 ⎪α

%.11.3.2 ;ter6o#aci


56/61

2−&−& 6 C ! ! 5&2

59 = ∫&& +& +& C

9 = 9 9 = 9 C C C 9 9&

!

2−&−& 6 C ! ! 52 &

&8 = ∫&& +& +& C

= 9 = C C C 9 9&

!

El valor de las constantes es:

−&−& = ∫ d! = ∫ B d 8 d 9 = ∫ $ C2 + C&8 + C5 9'd 8 d 9

+&+&

El *rea del elemento se obtiene empleando la expresión habitual del determinante de la !acobiana:

9 B d 8d 9 d!9 =8 B d 8d 8 d!8 = $0.&&0'∫∫∫∫&

!

&

!

&

!

&

!

matrices desacopladas y representanelemento:

la ley de interpolación con ob!eto de obtener las coordenadas del centro de gravedad del

(as constantes 8 , 9 se introducen en

centro del elemento. 3u presencia es debida a la transformación de los esfuerzos desdeel sistema local del elemento al sistema general. El empleo de una !acobiana constante,evaluada en el centro del elemento, permite el cumplimiento del patch test $-ruttmanny agner, 522?'.

2C son los valores de la matriz !acobiana evaluada en elEn esta expresión los términos B2

⎦55&5⎣⎢ B

2 $8 − 8 ' B 2 $9 − 9⎥

5&&& ⎥⎢⎢2

2

2

2

2

B2 $8 − 8 '

⎥5& 55&& &5⎢

⎢⎢2

$0.&&%'2 B 2 B 2 $8 − 8 B 2 B 2 $9 − 9 ⎥⎥⎢

= =⎢2

55 55&5 &5⎢ 2 ⎥⎥ B

2 B

2 $8 − 8 B 2 B 2 $9 − 9⎥

5& 5&&& &&⎢⎢2

22

2

2

B2 $9 − 9

2

2

2

2

&

2

2

2

&

2

2

2

&

2

2

2

&

2

2

2

B2 B

2 $8 − 8 B 2 B 2 $9 − 9 ⎤⎥⎡&

3iendo = una matriz de tama+o 1 x 7 y > un vector con los 7 par*metros del a!uste.

" = = $0.&&4'

interpolaciones de momentos y cortantes anteriores, de acuerdo con la ley linealsiguiente:

8.11.4 -nter(olación de los esfuerzos interiores

El campo de esfuerzos en el interior del elemento " se interpola agrupando las dos

⎪α

⎪&5 55⎣⎩

⎢2 ⎪& B29 B

28 ⎥ Q

⎨ ⎥ ⎨

⎬ $0.&&1'&& 5& x⎪ ⎪⎢Q 2 B29⎡& B 2 8 ⎤



57/61

$0.&5?'? = ∫ @T

=efiniendo las matrices:

A =

∫=

A+

&=

⎣ A ⎥∫

S

∫ !

⎢∫ > B )T4 d!@

T,T )

T dS =

⎤⎡⎢

⎦ ⎣ IJ ⎥⎢ > + T ∫

!

=T

+−&

=∫"% =⎤

@d! (

⎡

Cgrupando los términos correspondientes a los coeficientes > y los correspondientes alas deformaciones de los nudos se obtiene:

S !

A− ∫∫ )

T dS =,T )

T4 d!,T

$0.&55' IJ

"% ∫ !

= − ">T =T +−&= > + "(,T @T = > C ">T =T @ (

esfuerzosdeformaciones unitarias y3ustituyendo las expresiones de los campos deinterpolados y de sus variaciones, se obtiene:

S ! !

A IJ $0.&5&'∫∫ ⎢⎣ ⎥⎦ "uT

dS = 2"uT

4 d!"% = − ""T

+−&

" + "εT

" C ""T

ε

(a condición estacionaria de la funcional anterior es:

5 ⎦⎣2⎢2

& − ν⎥⎦ ⎣ 2 + ⎥&5$& − ν 5 * 4 2⎥⎢

$0.&52'+ =+ = ⎢ν ⎥+ = @Gh⎥⎢ Eh

6 &2 ⎤⎡+ 4 ⎢⎢

2

2

ν

&

⎤⎥⎥⎥⎥

⎡⎢&

(a matriz + es la matriz constitutiva del estado el*stico lineal, cuya inversa

proporciona las deformaciones unitarias producidas por los esfuerzos interiores " .

m(Gson las fuerzas actuantes sobre el lado de la placa: 4 A


58/61

8.12.1 /atc0 test

3e analiza una placa rectangular de dimensiones ?2 x 52 y espesor h, se debe cumplir:

−A > + ? (=

deformacionesPara "ue esta condición se cumpla ante cual"uier variación de las

A IJ ⎣ ⎦ ⎣ $0.&54'> − − =⎡?T "% = ">T −A > + ? ( +

la condición estacionaria se puede poner en forma compacta:

S !

A Aq $0.&51'∫∫ = )T

= )T4

y los vectores de fuerzas nodales e"uivalentes:



59/61

8.12.2 -nfluencia del es(esor de la (laca

3e analiza una placa cuadrada apoyada en su contorno, de espesor uniforme, sometida

a una carga puntual en el centro. 3e discretiza con un mallado regular de 0 x 0elementos cuadrados de ? nudos, y se emplean ? formulaciones distintas:

9ormulación de 8indlinFeissner est*ndar, con integración de 5 x 5 puntos.

Kdem, con integración de la rigidez a cortante reducida a & punto.

Elemento con campo de cortante impuesto.

Elemento hbrido.

En todos los casos se hace variar el espesor de la placa desde una relación hKA


60/61

8.12.3 /laca a(o$ada con carga uniforme

En este e!emplo, extrado de la bibliografa $-ruttmann y agner, 522?', se analizauna placa cuadrada de lado (


61/61

2.2720?62.&5516&3olución exacta

2.2042%?2.&&0455[brido

2.20412&2.&&0770)ampo de cortante impuesto

2.26&5??2.2%66558indlinF eissner, integración reducida

2.2501?02.26&7&%8indlinF eissner, integración 5 x 5

9lecha en elcentro del lado

9lecha en el centrode la placa

9ormulación

,-./012345 6,/732189=:;<

35>835 (?57,@A

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Metodo de Los Elementos Finitos Para Analisis Estructural2