Solucion de ecuaciones no linealesEl metodo de Newton

Lic. Luis Roca

Universidad Nacional Tenologica del Cono Sur de Lima

28/11/2012

Lic. Luis Roca (UNTECS) Solucion de ecuaciones no lineales 28/11/2012 1 / 6

Motivacion I

Cual sera el rectangulo de area maxima de vertices (0, 0), (x , 0),(x cos x), (0, cos x) cuando 0 6 x 6 pi/2?.

Lic. Luis Roca (UNTECS) Solucion de ecuaciones no lineales 28/11/2012 2 / 6

Motivacion II

Podemos formular el area del rectangulo como una funcion de la variablex , area = f (x) = x cos x , de modo que nuestro problema es

Encontrar x tal quef (x) = max{f (x) : 0 6 x 6 pi/2}

para ello buscamos los puntos crticos de f :

f (x) =d

dx(x cos x) = 0

es decir buscamos resolver la ecuacion

cos x x sin x = 0

Lic. Luis Roca (UNTECS) Solucion de ecuaciones no lineales 28/11/2012 3 / 6

Motivacion III

aparentemente la solucion es x =

Lic. Luis Roca (UNTECS) Solucion de ecuaciones no lineales 28/11/2012 4 / 6

Ecuaciones no lineales

El problema que queremos resolver es de la forma

Encontrar x tal quef (x) = 0

pero este problema no siempre tiene solucion unica:

sen(1

x) = 0

1

x= 0

Lic. Luis Roca (UNTECS) Solucion de ecuaciones no lineales 28/11/2012 5 / 6

El metodo de NewtonSupongamos que x es la solucion exacta y que xk es una solucionaproximada, h = x xk sera el error cometido en la iteracion actual demodo que

x = xk + h

usando aproximaciones

f (x) = f (xk + h) f (xk) + f (xk)h

como x es la solucion exacta entonces f (x) = 0 y podemos encontrar h

h = f (xk)f (xk)

con ello podemos mejorar nuestra aproximacion

xk+1 = xk + h = xk f (xk)f (xk)

(Metodo de Newton)

Lic. Luis Roca (UNTECS) Solucion de ecuaciones no lineales 28/11/2012 6 / 6