Metodo de Vogel

7/16/2019 Metodo de Vogel

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Investigacion de Operaciones

4.3.1. Problema de transporte simple.

El problema de transporte simple es un caso especial de la programación lineal, pues la estructuramatemática que lo representa, resulta en un modelo cuyas restricciones tienen términos de coeficientes 1, lo

cual ha permitido el desarrollo del algoritmo de solución basado en el simplex pero simplificado, logrando

así mayor eficiencia en labor de cálculo. Es aplicable en la distribución de bienes de consumo, de servicios

eléctrico y de agua, en la asignación de equipo a la producción; también tiene aplicaciones de otra

naturaleza como es, el inventario industrial o la asignación uno a uno, de ahí la importancia del modelo.

Definición: Dada una red de nodos, parte de los cuales son m orígenes con oferta de algún producto, otra

parte de los nodos son n destinos con demanda b j del mismo bien. Se trata de satisfacer las demandas

aprovechando las ofertas para lo cual se tiene el respectivo costo unitario C i j de transporte, y el objetivo de

que la suma de costos sea mínimo. La distribución de bienes debe permitir el cumplimiento de cada

demanda con uno o más orígenes, vea Figura 4-5.

Figura 4-5. Red de transporte simple, envía unidades Xij, del origen i al destino j.

Oferta contra demanda.- Una situación normal que presenta el problema de transporte, es que la suma de

unidades por enviar desde los orígenes, no es igual a la suma de unidades pedidas en los lugares de destino.

La metodología de solución, requiere ajustar primero, para tener equilibrio entre oferta y demanda.

Solución al problema de transporte.- Se puede resolver con el método especial, pero también se puede

modelar el problema y aplicar el algoritmo Simplex.

Modelo de programación lineal del problema de transporte

Sea: X i j = Unidades enviadas del origen i ( i =1,2,...m), al destino j ( j = 1,2,...,n)

http://148.204.211.134/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/Investigacion_de_Operaciones_Careaga/Common/IO-modulo4-transpsimple.htm#Figure404




C i j = Costo unitario desde el nodo origen i hasta el nodo destino j.

= Oferta del origen i, ( i = 1, 2,...,m); b j = Demanda del destino j ( j = 1, 2,...,n)

El modelo de programación lineal aquí mostrado se presenta para un problema balanceado con las

restricciones de oferta y demanda en igualdad. Para el caso de un problema no balanceado (oferta y

demanda en desigualdad) es necesario el

Equilibrio: = b j; además, debe cumplirse que toda X i j >= 0

Figura 4-6. Tabla usual para el problema de transporte.

La tabla de transporte (Figura 4-6) contiene renglones i para los orígenes (oferta) y columnas j para los

destinos (demanda); el cruce de renglón y columna se conoce como celda (i, j) que contiene: a la derecha el

respectivo costo Cij, y a la izquierda se deja vacía para alojar (si existe), el valor que representa el envío de

unidades de un determinado producto desde el lugar i hasta el lugar j, o sea, X ij.

El siguiente ejemplo se resuelve aplicando la metodología de transporte que consiste de seis pasos, de los

cuales los últimos cuatro corresponden al algoritmo de transporte, también llamado de los multiplicadores

del simplex.

Ejemplo 4-2. Aplica algoritmo de transporte (TRANSBAL33).

Por favor refiérase a la Figura 4-6 usual de transporte anterior para identificar la información en la tabla

siguiente de costos Cij, ofertas , demandas bj, de los mismos bienes, para tres destinos j y tres orígenes i.

Determine la asignación óptima de unidades ofertadas que satisfaga la demanda con el menor costo. Las

variables Xij son los transportes por determinar, algunos de ellos deberán anularse (Xij =cero) porque su

costo unitario de envío es caro.

http://148.204.211.134/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/Investigacion_de_Operaciones_Careaga/Common/IO-modulo4-transpsimple.htm#Table402






Figura 4-7. Tabla inicial de transporte con datos del problema ejemplo TRANSBAL33.

a) Formule un modelo de programación lineal para este problema.

Se omite la restricción de equilibrio porque, en las de oferta y demanda, las restricciones se expresan

con desigualdad, lo cual obliga al equilibrio con variables de holgura y de superávit, que es

equivalente a oferta o demanda, ficticias.

b) Optimice utilizando el algoritmo de transporte:

Paso 1. Balancee el problema en cuanto a la oferta y la demanda total. Un problema de transporte

balanceado debe cumplir: = bj; para eso calcule:

Si: oferta > demanda bj, se crea una demanda ficticia = - b j

Si: oferta < demanda bj, se crea un origen ficticio = b j - i

En el ejemplo Transbal se tiene: Oferta= 40+50+30 = 120 = 25+35+60 = Demanda.

Significa que el problema está balanceado, pues oferta y demanda igualan en 120, por lo tanto no

hay necesidad de balancear con origen o demanda ficticios.

Paso 2. Obtenga una primera solución básica y factible.- Como en el simplex, es necesario

conseguir una primera solución que cumpla como básica y que, además, sea factible. Será básica si

tiene, a lo más, m + n - 1 asignaciones o envíos. En este ejemplo, m = 3, n = 3: m + n - 1 = 3 + 3 -

1 = 5 asignaciones.

Será factible si se cumple:



Para calcular una primera solución básica y factible, hay varios métodos, entre los cuales están los

siguientes: esquina noroeste (NO) y método de Vogel.

Primera solución básica factible calculada con el método de la esquina NO:

Se inicia en la esquina superior izquierda, celda (i, j) = (1, 1) de la tabla; asignando un valor a la

variable X ij = X11 reduciendo i = 1 y b j = b1, en el mismo valor y se denotan tales valores

reducidos con *i y b* j. Suponga el problema balanceado: X11 = mínimo ( 1, b1), reemplaza 1 por *1= 1-X11 y b1 por b*1=b1-X11, entonces: Si *1 > b*1, se pasa a la celda ( i, j ) = (1, 2) asignando X 12

= mínimo ( *1, b2) y se reemplaza *1 por *1 = *1 - X12 y b2 por b*2 = b2 - X12. Pero si *1 < b*1, se

pasa a la celda (2, 1) asignando X12 = mínimo ( 2, b*1) y se reemplaza 2 por *2 = 2 -X21 y b*1 por

b*1 = b*1 - X21. El caso en que *1 = b*1 produce la solución degenerada con menos de (m + n -1)

asignaciones o envíos, se expondrá después.

Para el ejemplo Transbal33 se hace un primer envío de unidades en la celda (i, j) = (1, 1)

(orientación NO), el mayor posible, que coincide con mínimo de la oferta 1=40 y la demanda

b1=25; en tal caso, lo más que se puede enviar es X11=25 que se anota en la celda (1,1). Así se

satisface la demanda b1, ahora la oferta es: 1=40-25=15, la cual se envía al destino 2 con demanda

b2=35, asignando X12=15, agotando la oferta 1 y pendientes 35 - 15 = 20 unidades para envío a b2 con otra oferta, en este caso con el origen 2 cuya oferta es 2=50, se asigna X22=20 completando la

demanda b2=35. Ahora la oferta 2 se reduce a 50-X22 =50-20 =30, la que se aprovecha para enviar

X23=30 al destino 3 que demanda b3=60; se agota la oferta 2 y ahora se considera la oferta 3 con

3=30, que iguala la demanda b3=30, por lo que se asigna el envío de X33=30 que agota 3 y satisface

b3 simultáneamente. La solución de esquina NO (Figura 4-8) siguiente contiene 5 asignaciones o

envíos en variables llamadas básicas: X11=25, X12=15, X22=20, X23 = 30, X33 = 30 y costo sumado de

615.

Las 4 variables restantes son no básicas y nulas: X13 = X21 = X31 = X32 = 0.

Figura 4-8. Envíos asignados con método esquina noroeste (NO), ejemplo TRANSBAL33.

La solución básica factible con método esquina noroeste, se grafica (Figura 4-9) a red en forma de

árbol de expansión (todos los nodos conectados sin circuitos):







Figura 4-9. Primera solución básica factible como árbol de expansión en ejemplo

TRANSBAL33.

Primera solución básica factible obtenida con el método de Vogel.- Este método y el anterior

(NO), sólo son soluciones de inicio y a veces, en problemas pequeños, pueden optimizar; pero en

general, el método de Vogel resulta una mejor aproximación en el proceso de asignar transporte al

ponderar y elegir costos.

Se inicia la asignación con el método de Vogel, calculando en todos los renglones y columnas de la

tabla, la diferencia entre los dos costos menores de cada uno de ellos. Así en renglón 1: 7-6=1, en el

2: 4-3=1, en el 3: 6-5=1, en la columna 1: 7-5=2, en la 2: 6-4=2, en la 3: 6-3=3. Ahora se decide

hacer el primer envío en el renglón o columna que tenga la mayor, entre todas las diferencias recién

calculadas; lo cual se cumple en columna 3, seleccionando entre las celdas de la misma, aquella que

tenga el costo mínimo entre (8, 3, 6)=3, la celda (2,3); con una oferta 2=50 y una demanda b3=60, se

puede asignar un envío de X23=50 lo cual agota la oferta 2 pero la demanda b3=60 no se completa.

Después de la asignación, se repite el procedimiento de calcular la diferencia entre los dos costos

menores de cada renglón y columna. Se omite el renglón 2, cuya oferta 2 se agotó, señalándolo con

marca x queda eliminado para elegir costos. Se inicia una nueva asignación con diferencias 1 y 1 en

respectivos renglones 1 y 3; 2, 2 y 2, en respectivas columnas 1, 2, y 3. El empate a 2 en lascolumnas, obliga a otro criterio: se comparan todos los costos en los renglones 1 y 3 para seleccionar

el mínimo (7, 5, 6, 8)=5 en celda (3, 1), asignando un envío de X31=25, dado que se pide b1=25 y se

oferta 3=30. Con esta asignación se satisface la demanda b1, se señala con x la columna 1 como no

elegible en lo sucesivo. Para el siguiente envío, se obtiene: 8-6 = 2 en los renglones 1 y 3; y lo

mismo 8-6 = 2 en las columnas 2 y 3; aquí se tiene una doble situación de empate, pues al comparar

costos, empatan las celdas (1, 2) y (3, 3) en un costo de 6; entonces es necesario otro criterio de

decisión, como es elegir la celda con el mayor envío posible, se prefiere X12=35 al comparar con

X33=5. Este envío satisface b2=35, marcando x para lo sucesivo, pero la oferta 1 queda en 40-35=5.

Ahora la única demanda no satisfecha es en columna 3; ya no hay dos costos para obtener ladiferencia en renglones, en tal caso se anota cero en renglones 1 y 3; en la columna 3, la diferencia

es: 8-6 = 2 que es la mayor y por lo tanto se asigna X33 = 5, con lo cual se agota la oferta 3 = 30,

señalando con x el renglón. Sólo queda por agotar la oferta del renglón 1, pues ya no hay diferencia

de costo, entonces se decide X13 = 5, agotando 1 = 40 y se completa a la vez la demanda b3 = 60.

Sigue la Figura 4-10 que muestra el transporte con el método de Vogel.

Figura 4-10. Envíos asignados en método de Vogel, primera solución, ejemplo TRANSBAL33.

Costo del método de Vogel = 6(35) + 8(5) + 3(50) + 5(25) + 6(5) = 555





Variables básicas: X12 = 35, X13 = 5, X23 = 50, X31 = 25, X33 = 5

Variables no básicas: X11 = X21 = X22 = X32 = 0

La solución básica factible obtenida aplicando el método de Vogel, también se puede representar

como red de distribución en forma de árbol de expansión (todos los nodos conectados sin circuito),

como en Figura 4-9 de esquina noroeste.

Paso 3. Determine una matriz de costos como la mostrada en donde:

Figura 4-11. Costos C* ij y valor de variables duales en solución Vogel, ejemplo

TRANSBAL33.

Paso 4.- Calcule el valor de las variables duales V j y U i mediante la aplicación de la fórmula:

C* i j - U i - V j = 0 . Se debe obtener tantas ecuaciones como costos C* i j de variables básicas ( m

+ n - 1) = (3+3-1= 5), con un total de n variables V j y m variables U i por resolver, (suman m + n

= 3+3 = 6); es decir, un sistema de 5 ecuaciones con 6 variables. El sistema tiene un grado de

libertad, se puede dar un valor arbitrario (por ejemplo cero) a una de las variables y resolver. Con V3

= 0:

Figura 4-12. Variables duales del ejemplo TRANSBAL33.

También se pueden calcular las variables duales, directamente sobre la tabla de transporte,

empezando con el valor cero en cualquiera de ellas, (se prefiere a la variable que participa más, ya

sea en renglón o bien en columna), puede hacerse anulando la que desee.

Considere el cálculo con U1 = 0 y sustituya en la fórmula C13 - U1 - V3 = 0

V3 = C13 - U1 = 8 - 0 = 8; también V2 = C12 - U1 = 6 - 0 = 6; luego: U2 = C23 - V3 = 3 - 8 = - 5; U3

= C33 - V3 = 6 - 8 = - 2;

V1 = C31 - U3 = 5 - ( - 2 ) = 7





Figura 4-13. Valor a variables duales, paso 4 en algoritmo de transporte, ejemplo

TRANSBAL33.

Esta es una más, de la infinidad de soluciones posibles al sistema de ecuaciones cuya solución

proporciona el valor de las variables duales, una para cada renglón y columna de la tabla de

transporte. Cualquiera de tales soluciones es igualmente útil para el siguiente paso del algoritmo de

transporte.

Paso 5. Calcular los parámetros Z i j - C i j = C i j - U i - V j para cada celda vacía (variable no

básica). La solución es óptima si Z i j - C i j >= 0 , de lo contrario, se declara como variable entrante

a la base, la que corresponda al valor de Z i j - C i j más negativo y se procede al cambio de base.

Cálculo de los parámetros con la primera solución ( V3 = 0 ) de variables duales:

Figura 4-14. Cálculo de parámetros Zij - Cij del ejemplo TRANSBAL33.

Cálculo de los parámetros con la segunda solución ( U1 = 0 ) de variables duales para que el lector

verifique el mismo resultado con ambas soluciones:

Figura 4-15. Cálculo de parámetros con la segunda solución de variables duales, ejemplo

TRANSBAL33.

En este primer problema de transporte simple, no es necesario aplicar el paso 6 para cambiar la base

buscando optimizar, pues la primera solución básica factible obtenida con método de Vogel, resultó

la mejor solución, lo cual no siempre se cumple. Los ejemplos siguientes, presentan la metodología

completa.

Ejemplo 4-3. Aplica algoritmo de transporte (TRANSNOBAL33).

Dado el siguiente problema no balanceado de distribución de unidades, en que M significa un costo muy

alto, formule y optimice los envíos aplicando el método con el algoritmo de transporte:



Figura 4-16. Tabla inicial de transporte con datos del problema ejemplo TRANSNOBAL33.

a)Formule el modelo de programación lineal correspondiente:

Sea: X i j = Unidades enviadas del nodo origen i ( i = 1,2) al destino j ( j = 1,2,3 ).

Función objetivo: Mínimo Z = 10 X11 + 5 X12 + 12 X13 + 8 X21 + M X22 + 11 X23

b) Optimice el transporte iniciando con la solución de esquina noroeste (NO).

Paso 1. Balancee el problema:

Oferta = = 40 + 55 = 95 < 100 = 25 +15 + 60 = bj = demanda

Si : demanda = bj = 100 > 95 = = oferta, entonces se balancea con un origen ficticio a 3 = bj

- = 100 - 95 = 5, con costos C3 j = cero

Figura 4-17. Tabla de transporte balanceado (paso 1) del problema ejemploTRANSNOBAL33.

Paso 2. Inicie calculando con método de la esquina NO, como primera solución básica factible en la

aplicación del algoritmo de transporte.

Figura 4-18. Envíos asignados de método esquina noroeste (NO), ejemplo TRANSNOBAL33.



Costo de solución esquina NO: Z = 10(25) + 5(15) + 11(55) + 0(5) = 930

Variables básicas a parentes: X11 = 25, X12 = 15, X23 = 55, X33 = 5.

Variables no básicas aparentes: X13 = X21 = X22 = X31 = X32 = 0

Es solución básica factible porque cuando mucho tiene, m + n - 1 = 3+3 -1 = 5 transportes, además

tiene factibilidad porque cumple Xi j = ; Xi j = bj.

Es un caso de solución degenerada pues sólo tiene 4 < 5 asignaciones.

Cuando el número de asignaciones de transporte resulta menor que m+n-1, se califica como una

solución degenerada. En contraste con la tabla simplex, en la tabla de transporte no se visualizan las

variables básicas igual a cero, pues al igual que en las no básicas la celda se presenta vacía, pero en

paso 6 del algoritmo de transporte se identifican las variables básicas, aún siendo nulas.

Paso 3. Determine una matriz de costos C* i j:

Figura 4-19. Costos C*ij, variables duales, con solución degenerada, en método esquina NO del

ejemplo TRANSNOBAL33.

Paso 4. Cálculo de las variables duales V j y U i. Con la solución degenerada se presenta la

primera dificultad para calcular el valor de las variables duales. Observe que la solución al sistemade ecuaciones presenta dos grados de libertad, pues al tener sólo 4 costos en la matriz C* i j, sólo se

pueden formar 4 ecuaciones para resolver un total, (3 variables U i más 3 variables V j) de 6

incógnitas duales. Esta dificultad se supera haciendo una asignación ficticia de valor

infinitamente pequeño, en la celda más adecuada para completar el cálculo de las variables duales.

Generalmente se coloca en una celda incluida en un renglón o columna, en que el envío satisface a

la vez oferta y demanda. Pero con la práctica, el alumno debe notar en la propia matriz, la asignación

faltante que complete la solución del sistema. En este ejemplo en particular, para resolver el sistema,

es igual colocar en cualquiera de las 5 celdas vacías, aunque aquí se optó por la celda (2, 1) para

completar el cálculo con U1 = 0.

Figura 4-20. Valores a variables duales, caso solución degenerada, ejemplo TRANSNOBAL33.

El sistema de 5 ecuaciones correspondientes a los 5 costos C*i j de la matriz es:



Figura 4-21. Sistema de 5 ecuaciones correspondiente a los costos C*ij del ejemplo

TRANSNOBAL33.

Con este conjunto de valores para V j y U i, se tiene una, de la infinidad de soluciones al sistema con

dos grados de libertad, obtenida con el método de la esquina NO. También se puede calcular sobre la

tabla de transporte la misma solución o bien otra cualquiera, mostrada en la siguiente tabla, con la

seguridad de ser igualmente útil en lo que sigue del algoritmo. Inicie la solución con V1 = 0.

Figura 4-22. Otro valor a variables duales, caso de solución degenerada, en el problema

ejemplo TRANSNOBAL33.

Paso 5. Calcule los parámetros Z i j - C i j = C i j - U i - V j para cada celda vacía.

Figura 4-23. Cálculo de los parámetros Zij del ejemplo TRANSNOBAL33.

Paso 6. Cuando uno o más parámetros Z i j - C i j, resulta negativo, significa que la solución actual

no es óptima y se procede al cambio de base, declarando como variable entrante VE, la que

corresponde al valor Z i j - C i j más negativo. Se inicia asignando una cantidad de unidades en la

celda de la variable entrante ( X13 = en el ejemplo). Esto provoca un desequilibrio en la cantidad de

unidades tanto en la oferta como en la demanda bj correspondientes a dicha celda; entonces se

procede a balancear nuevamente el problema, sumando y restando la misma cantidad en las celdas

llenas (básicas) de la tabla, que sean convenientes, formando un circuito de compensación que

equilibre los envíos y recupere la factibilidad perdida. El circuito de equilibrio que se forma es

único para cada problema y puede tener cualquiera de las siguientes formas, ya sea en dirección de

las manecillas de reloj o bien en dirección opuesta.

Figura 4-24. Forma posible en circuito de equilibrio al cambio solución básica.



El algoritmo de transporte, del paso 3 al 6, se repite hasta que los parámetros del paso 5 resulten no

negativos; esta es la señal de la optimización.

Figura 4-25. Cambio de base, inicia en celda (1, 3), balancea en circuito, ejemplo

TRANSNOBAL33.

=Mínimo {de todas las asignaciones, donde se resta }, = Mínimo {25, 55} = 25.

Sustituyendo el valor de = 25 en la tabla de transporte, se tiene la nueva solución:

Figura 4-26. Nueva solución al cambiar de base con =25 en circuito, ejemplo

TRANSNOBAL33.

Observe que la nueva solución ya no es degenerada, pues con el cambio de base se tiene ahora un

total de 5 asignaciones, que no requiere el uso de .

Valor de la nueva solución: Z = 5(15) + 12(25) + 8(25) + 11(30) + 0(5) = 905

También se calcula así: Z = Z anterior + ( Z ij - C ij ) = 930 - 1(25) = 905

Para verificar que Z es óptimo se aplica el algoritmo de transporte desde el paso 3 y se calculan los

parámetros ( Z i j - C i j ) a las celdas vacías:

Paso 3.- Matriz de costos C* i j .

Paso 4.- Cálculo de las variables duales V j y U i.

Figura 4-27. Valor a variables duales, caso solución no degenerada, ejemplo

TRANSNOBAL33.

Paso 5.- Determine los parámetros Z i j - C i j en cada celda vacía de la tabla.



Figura 4-28. Cálculo de los parámetros Zij - Cij del ejemplo TRANSNOBAL33.

óptimo: Z = 905; Variables básicas: X12=15, X13=25, X21=25, X23=30, X33 =5

Variables no básicas: X11=0, X22=0, X31=0, X32=0

Ejemplo 4-4. Aplica algoritmo de transporte (TRANSNOBAL34).

Dado el siguiente problema no balanceado de distribución de unidades, en que M significa un costo muy

alto. a) Formule el modelo de programación lineal. b) Calcule una primera solución básica factible con los

métodos esquina NO y Vogel. c) Optimice con algoritmo de transporte partiendo de la solución obtenida

aplicando método esquina NO.

Figura 4-29. Tabla inicial de transporte con datos del problema ejemplo TRANSNOBAL34.

a) Modelo de programación lineal. Función objetivo:

Mínimo Z = 7X11 + MX12 + 2X13 + 5X21 + 8X22 + 10X23 + 6X31 + 4X32 + 3X33

Paso 1. Balancee el problema entre oferta y demanda, aplica método de transporte

oferta = 300 > 250 = demanda Requiere balanceo con un destino b4 ficticio:

oferta - demanda bj = 300 - 250 = 50 = b4 ficticio; y costos C i 4 = cero.



Figura 4-30. Tabla de transporte balanceado (paso 1) del problema ejemplo

TRANSNOBAL34.

b) Primera solución básica y factible, aplica el método de transporte:

Paso 2.

Figura 4-31. Envíos asignados del método de Vogel en ejemplo TRANSNOBAL34.

Solución de Vogel : Z = 2(100) + 5(50) + 0(50) + 4(100) = 850.

Anote que la solución con método Vogel es degenerada, pues debe tener, a lo más, m +n-1=3+4-

1=6 transportes, pero sólo son 4 las variables básicas a la vista.

Paso 2.- b) Primera solución básica y factible, aplica el método de transporte:

Figura 4-32. Envíos asignados del método de esquina noroeste en ejemplo TRANSNOBAL34.

La solución con el método de la esquina noroeste es no degenerada, pues tiene: m + n - 1 = 3 + 4 -

1= 6 asignaciones que forman las variables básicas siguientes:

X11 =50, X12 =50, X22 =50, X23 =50, X33 =50, X34 =50.

Las variables no básicas son: X13 = X14 = X21 = X24 = X31 = X32 = cero

La solución NO es: Z=7(50) + M(50) + 8(50) + 10(50) + 3(50) + 0(50)= 1400 + 50M



Paso 3. Matriz de costos C* i j.

Paso 4. Calcule las variables duales V j y U i.

Figura 4-33. Valor a variables duales, caso solución no degenerada, ejemplo

TRANSNOBAL34.

Paso 5. Cálculo de los parámetros Z i j - C i j

Figura 4-34. Cálculo de parámetros Zij - Cij del ejemplo TRANSNOBAL34.

La presencia de valores negativos para los parámetros del paso 5, indica que la solución actual no es

óptima y se hace necesario un cambio de base.

Paso 6.- Se inicia por la elección de la variable entrante (VE) X13, debido a que presenta el

parámetro más negativo; en la celda (1, 3) se asigna un transporte de unidades y se procede a

equilibrar ofertas y demandas, formándose un circuito de compensaciones (equilibrio) como se

observa en la tabla siguiente:

Figura 4-35. Cambio de base, inicia en celda (1, 3), equilibra en circuito, ejemploTRANSNOBAL34.

En donde: =Mínimo (50, 50) = 50. Sustituyendo este valor, las asignaciones son:

Figura 4-36. Nueva solución al cambio de base con =50 en circuito, ejemploTRANSNOBAL34.



La nueva solución es degenerada pues ahora sólo tiene 5 asignaciones en comparación a los 6

transportes de la solución anterior; el nuevo valor de la función es:

Z = 7(50)+2(50)+8(100)+3(50)+0(50) = 1400

También: Z = Z anterior + ( Z i j - C i j ) = (1400+ 50M) + (-M) 50 = 1400

Pasos 3 y 4.- Debido a la degeneración se asigna (infinitamente pequeño) en una celda (3, 2), amanera de conseguir resolver las variables duales del sistema:

Figura 4-37. Valor a variables duales, caso solución degenerada, ejemplo TRANSNOBAL34.

Paso 5.- Cálculo de parámetros Zij-Cij en celdas vacías (variables no básicas):

Figura 4-38. Cálculo de parámetros Zij-Cij del ejemplo TRANSNOBAL34.

En paso 5 aún se tienen valores negativos, entonces la solución no es óptima.

Paso 6.- La celda no básica (2,1) resulta con el valor más negativo, el cual significa bajar en 7 el

costo actual, por cada unidad asignada en (2,1). Entonces la variable X 21 = unidades, causa

desequilibrio que se elimina con la suma y resta de en celdas básicas, formando un circuito.

Figura 4-39. Cambio de base, inicia en celda (2, 1), equilibra en circuito, ejemplo

TRANSNOBAL34.

= Mínimo {50, 100, 50} = 50, se sustituye el valor de en el circuito de la tabla:



Figura 4-40. Nueva solución al cambio de base con =50 en circuito, ejemplo

TRANSNOBAL34.

La solución es degenerada: Z = 2(100) + 5(50) + 8(50) + 4(50) + 0(50) = 1050;

También: Z = Z anterior + ( Z i j - C i j ) = 1400 + (-7) 50 = 1050

Pasos 3 y 4.- Ahora es necesario asignar en celda (1, 4) para la degeneración, aunque también podría ser en otra celda que logre el propósito de resolver el sistema:

Figura 4-41. Valores a variables duales, caso solución degenerada, ejemplo TRANSNOBAL34.

Paso 5.- Calcule los parámetros ( Z i j - C i j ) en celdas vacías ( no básicas) para verificar la mejoría

de la solución actual:

Figura 4-42. Cálculo de parámetros Zij-Cij del ejemplo TRANSNOBAL34.

Paso 6.- La solución aún no es óptima, el parámetro negativo indica que X24 debe entrar a la base,

pues por cada unidad que se asigne en la celda no básica ficticia (2,4), se abatirá 4 unidades el costo

de transporte. Con el envío de unidades en tal celda se inicia el circuito de balanceo, mostrado en

tabla con suma y resta de en celdas básicas.

Figura 4-43. Cambio de base, inicia en celda (2, 4), equilibra en circuito, ejemplo

TRANSNOBAL34.

= Mínimo ( 50, 50) = 50, valor sustituido en el circuito de la tabla anterior para tener la solución

mostrada enseguida:



Figura 4-44. Nueva solución al cambio de base con = 50 en circuito, ejemplo

TRANSNOBAL34.

La nueva solución coincide a la obtenida con el método de Vogel en un valor para

Z = Z anterior + ( Z i j - C i j ) = 1050 + (-4)50 = 850

La última solución sigue degenerada con las variables básicas ya anotadas en la solución de Vogel,

más la variable X14 = , que para fines prácticos debe ser interpretada como X14 = 0. Ahora la

aplicación del algoritmo de transporte obliga a utilizar el artificio de asignar 1 y 2, para resolver las

7 variables duales.

Paso 3 y 4.- Matriz de costos y cálculo de variables duales:

Figura 4-45. Valor a variables duales, solución degenerada con doble , ejemplo

TRANSNOBAL34.

Paso 5.- Verificar optimalidad con los parámetros Z i j - C i j en celdas vacías.

Figura 4-46. Verificación de optimalidad con los parámetros Zij-Cij del ejemplo

TRANSNOBAL34.

Todos los parámetros en paso 5 resultan no negativos, esto significa que la última solución es

óptima con un valor coincidente a la de Vogel, o sea:

Z óptima = 850; Variables básicas aparentes: X12 = 100, X21 = X24 = 50, X32 = 100

Variables básicas no aparentes: X14 = 0, X34 = 0 (localizadas en celda de )

Variables no básicas: X11 = X12 = X22 = X23 = X31 = X32 = 0

Ejemplo 4-5. Aplica algoritmo de transporte al inventario en plan de producción (TRANSPLAN).



En el área de producción debe haber planeación para coordinar la capacidad del proceso de producción con

la demanda del producto final. Un ejemplo de esta necesidad ocurre en productos de temporada que

frecuentemente deben mantenerse en inventario, ocasionando costos de inversión, almacén y deterioro.

Todos ellos se pueden expresar como porcentaje de costos de producción o como costos unitarios por cada

periodo en que se mantenga el inventario.

Esta situación se puede plantear como un problema de transportar la capacidad de producción a través del

tiempo, considerando las capacidades de producción por periodo de tiempo como si fueran ofertas, porotro lado los requerimientos de cada periodo se convierten en demandas.

La siguiente tabla tiene la información de un producto temporal para tres meses del año. Anote que la

capacidad de 300 y 100 unidades, trabajando tiempo normal y extra respectivamente, se mantiene constante,

mientras que la demanda aumenta a 600 unidades en navidad, la cual no se puede cumplir utilizando

exclusivamente la capacidad de producción de diciembre.

Figura 4-47. Información del producto temporal para 3 meses, ejemplo TRANSPLAN.

Aquí se hace necesario el uso de inventario que transporte la capacidad previa, hacia el futuro con objeto de

satisfacer la demanda de navidad.

Los costos unitarios de producción son 50 y 70 dólares en tiempo normal y extra, respectivamente; el costo

unitario del inventario es 5 dólares por mes. Los costos de producción y de inventario se combinan en la

siguiente tabla de transporte; por ejemplo, el costo para satisfacer parte de la demanda de diciembreutilizando producción en tiempo normal del mes de noviembre es 50 + 5 = 55 por cada unidad. Anote que se

asigna un costo M muy alto, a las celdas que representan satisfacer la demanda con atraso o capacidad

futura.

Paso 1.- Debido a que la oferta (capacidad), suma 1200 y la demanda, suma 1100, es necesario considerar

una demanda ficticia por la diferencia de 100 unidades, como se observa en la siguiente tabla de transporte.

Figura 4-48. Balance capacidad-demanda, costo de transporte al inventario para demanda futura de

temporada, ejemplo TRANSPLAN.

Paso 2.- Primera solución básica factible con método de Vogel, ejemplo TRANSPLAN.



Figura 4-49. Primera solución básica factible con método de Vogel, ejemplo TRANSPLAN.

La solución con el método de Vogel resulta en sólo 7 asignaciones, por lo cual se califica como degenerada,

pues son menos de: m + n - 1= 6+4-1= 9 celdas llenas.

Variables básicas: X11=200, X13=100, X23=100, X32=300, X43=100, X53=300, X64=100. En las celdas vacías

hay dos variables básicas confundidas con las variables no básicas, todas ellas con un valor cero.

Antes de probar esta solución para buscar la óptima, se calcula el costo de la producción que arroja el

método Vogel:

Costo Vogel = 50(200)+60(100)+80(100)+50(300)+75(100)+50(300)+0(100)

Costo Vogel = 10,000 + 6,000 + 8,000 + 15,000 + 7,500 + 15,000 = 61,500

Ahora es necesario un artificio de asignaciones infinitamente pequeñas 1 y 2 en celdas adecuadas para

calcular el conjunto de diez variables (U i + V j) duales.

Paso 3. Valor a variables duales, solución degenerada con doble .

Figura 4-50. Valor a variables duales, solución degenerada con doble , ejemplo TRANSPLAN.

Paso 5.- Cálculo de los parámetros Z i j - C i j para valorar las celdas vacías:



Figura 4-51. Cálculo de parámetros Zij-Cij para celdas vacías, ejemplo TRANSPLAN.

Según los valores del paso 5, la variable X24 debe entrar a la base.

Paso 6.- Cambio de base, al formar circuito señalado con otro color en la siguiente tabla:

= mínimo ( 100, 100 ) = 100, se sustituye en la tabla de transporte.

Con el nuevo costo = costo anterior + (Z24 - C24) = 61,500 + 100 ( -10) = 60,500

Figura 4-52. Cambio de base, inicia en celda (2,4), equilibra en circuito, ejemplo TRANSPLAN.

Se arregla la tabla y se valora la siguiente base con el algoritmo desde los pasos 3 y 4. Como la solución

básica factible actual continúa siendo degenerada con sólo 7 variables básicas que es menor a (m + n - 1) =

(6 + 4 - 1) = 9 asignaciones, se hace necesario utilizar nuevamente envíos infinitamente pequeños 1 y 2 enlas celdas convenientes. Se conserva 2 en la celda (1, 2), pero se cambia 1 a la (4, 4), pues la colocación en

el renglón 6 se eliminó en el cambio de base, pero la columna 4 ficticia es la alternativa para buscar la

variable básica nula.



Figura 4-53. Nueva solución al cambio de base con =100 en circuito, ejemplo TRANSPLAN.

Paso 5.- Cálculo de los parámetros Z i j - C i j en celdas vacías.

Figura 4-54. Cálculo de parámetros Zij-Cij para celdas vacías, ejemplo TRANSPLAN.

Paso 6.- No necesario pues en paso 5 no hay valores negativos, es óptimo.

El problema de planeación de la producción para surtir la demanda de temporada ya anotada, optimiza con

las siguientes variables básicas:

X11=200, así la capacidad normal de octubre satisface la demanda de octubre.

X13=100, significa guardar 100 unidades complemento de la capacidad normal de octubre (300), parasatisfacer parte de la demanda de diciembre.

X32=300, la capacidad normal de noviembre satisface la demanda de noviembre.

X43=100, guardar 100 de capacidad extra de noviembre, para satisfacer diciembre.

X53=300, la capacidad normal de diciembre, se destina al mismo mes.

X63=100, la capacidad extra de diciembre es para completar las 600 de diciembre.

X24=100, la capacidad extra de octubre no se usa, es para la demanda ficticia.



X12 = 2 = cero, X44 = 1 = cero, así deben interpretarse para fines prácticos como variables básicas nulas,

que completan la solución óptima degenerada, con sólo siete asignaciones de valor estrictamente positivo,

vea Figura 4-55:

Figura 4-55. Tabla óptima del problema de planeación en producción de ejmplo TRANSPLAN.

El costo de la producción y del inventario necesario para asegurar que la demanda del último trimestre sea

satisfecha, es de 60,500 dólares, calculado antes.



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Metodo de Vogel