MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E TÉCNICAS DE … · Em regime linear, o chamado problema dos reservatórios em regime de flexão, formulado em termos de deslocamentos axiais e radiais,

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 47, p. 17-51, 2008

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E TÉCNICAS DE ENRIQUECIMENTO DA APROXIMAÇÃO

APLICADOS À ANÁLISE DE TUBOS CILÍNDRICOS E CASCAS ESFÉRICAS

Gustavo Cabrelli Nirschl1 & Sergio Persival Baroncini Proença2

R e s u m o

Sabe-se que o Método dos Elementos Finitos (MEF) em sua forma convencional é uma ferramenta poderosa no cálculo estrutural moderno. Porém, se o problema apresenta singularidades, como os efeitos de borda tipicamente introduzidos pelos vínculos nas estruturas em casca, a análise pode exigir grande refinamento da malha. Procurando resolver mais eficientemente esse tipo de problema, e restringindo o estudo às estruturas em casca com simetria de revolução como os tubos cilíndricos e as cúpulas esféricas, sugere-se neste trabalho o emprego de formas não-convencionais do Método dos Elementos Finitos. Dadas às simetrias de forma e carregamento, a abordagem pode ser feita em campo unidimensional. Inicialmente resumem-se as respostas analíticas, em termos de deslocamentos e esforços, para as estruturas citadas, partindo-se de suas equações diferenciais governantes. Em seguida, soluções aproximativas para as formas fracas correspondentes são propostas, aplicando-se o Método dos Elementos Finitos e incorporando-se alguns tipos de enriquecimento que caracterizam uma abordagem não-convencional para este método. Por fim, mediante exemplos de aplicação, confrontam-se os resultados aproximados entre si, tendo-se por base soluções analíticas, comprovando o bom desempenho e grande potencial das alternativas sugeridas. Palavras-chave: tubo cilíndrico; casca esférica; método dos elementos finitos; técnicas de enriquecimento.

1 INTRODUÇÃO

O Método dos Elementos Finitos é, sem dúvida, uma ferramenta bastante poderosa e eficiente para a solução numérica de problemas no âmbito da análise estrutural. Qualidade e representatividade da solução são garantidas na medida em que a solução exata é suficientemente “suave”, MELENK e BABUŠKA (1996). Boas propriedades de aproximação das soluções polinomiais geradas por elementos finitos decorrem ainda do emprego de técnicas de refinamento, como os refinamentos h 1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Gustavo Cabrelli Nirschl & Sergio Persival Baroncini Proença


18

(grau fixo do polinômio e refinamento progressivo da malha) e p (malha fixa e aumento progressivo do grau polinomial). Porém, dependendo da tipologia da estrutura e de particularidades relacionadas à sua geometria e carregamento, a boa qualidade dos resultados fornecidos pelo MEF pode exigir um refinamento considerável da malha, ou a utilização de polinômios de alta ordem, encarecendo os custos computacionais da análise. Nesse contexto, as técnicas não-convencionais de enriquecimento da aproximação construída com o MEF objetivam obter soluções satisfatórias, mesmo empregando-se malhas pouco refinadas e enriquecimentos da aproximação inicial definida por funções de forma polinomiais de baixo grau. O enriquecimento mediante funções especiais, por exemplo, constitui-se em alternativa que pode ser explorada com vantagens em problemas cuja solução exata tenha variações fortemente localizadas. Neste trabalho, esta e outras possibilidades são empregadas na análise de cascas cilíndricas e esféricas (fig. 1.1), particularmente porque essas estruturas apresentam efeitos de flexão que se concentram nas regiões de vinculação imposta e são de difícil reprodução numérica.

Figura 1.1 - Estruturas estudadas.

2 CASCAS DE REVOLUÇÃO

A teoria linear das cascas delgadas, ou finas, GRAVINA (1957), tem por base as seguintes hipóteses fundamentais: 1 – O material da estrutura é homogêneo, isótropo e obedece à Lei de Hooke. 2 – A espessura é pequena em relação às outras dimensões. 3 – As tensões normais à superfície média são desprezíveis em relação às demais componentes de tensão. 4 – Os pontos pertencentes, antes da deformação, a retas normais à superfície média, encontram-se sobre retas perpendiculares à superfície média deformada. 5 - Os deslocamentos são muito pequenos em relação à espessura. Observa-se que, no caso de estrutura de superfície com espessura muito pequena, a hipótese 5 perde validade, sendo necessário considerar uma abordagem

Método dos elementos finitos e técnicas de enriquecimento da aproximação aplicados à...


19

geometricamente não-linear. Este trabalho se restringe à abordagem linear, que preserva, em particular, a sobreposição de efeitos.

2.1 Casca ou tubo cilíndrico

A formulação analítica para o tubo cilíndrico em regime linear submetido a solicitação externa com simetria de revolução é clássica e encontra-se descrita em vários livros, entre eles: BELLUZZI (1967) e BILLINGTON (1965). Observa-se que o tubo cilíndrico submetido internamente à pressão linearmente distribuída, (fig. 2.1), recebe neste texto a denominação: reservatório cilíndrico.

Figura 2.1 - Reservatório cilíndrico.

Adotam-se, portanto, as hipóteses gerais de simetria axial em geometria e carregamento, além de espessura delgada. Essa última hipótese é garantida se a relação entre a espessura da parede e o raio do reservatório for menor ou igual a 1/20. Em regime linear, o chamado problema dos reservatórios em regime de flexão, formulado em termos de deslocamentos axiais e radiais, resulta desacoplado, uma vez que as equações diferenciais que envolvem tais componentes são independentes. A equação que envolve os deslocamentos radiais é claramente aquela de maior interesse. Tendo-se em vista os comentários anteriores, pode-se mostrar que a combinação das relações de equilíbrio, compatibilidade e constitutiva leva à seguinte equação diferencial, BILLINGTON (1965):

)y(p)y(w*r

)y(h*E)y(dy

wd*)y(Ddyd

22

2

2

2=+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (2.1)

em que: y é uma coordenada de posição vertical, com origem na base do reservatório;



20

w(y) é a função que descreve o deslocamento horizontal ao longo da parede do reservatório, com valores positivos apontando para o centro da casca;

D(y) é a rigidez à flexão da casca, igual a: )1(*12

)y(h*E2

3

ν−;

r é o raio médio do reservatório;

ν é o coeficiente de Poisson; h(y) é a espessura da parede do reservatório na posição y; E é o módulo de elasticidade; p(y) é a função que descreve a solicitação externa, na forma de pressão interna linearmente distribuída. Acrescentam-se ainda os seguintes dados:

γP é o peso específico do material da parede do reservatório; e H é a altura total do tubo. Para o caso particular de espessura constante (h(y)=h), a eq. (2.1) passa a ser escrita como:

D)y(p)y(w**4)y(

dywd 44

4=β+ (2.2)

O coeficiente β que aparece na relação anterior tem, por definição:

422

2

h*r)1(*3 ν−

=β (2.3)

Tem-se, em geral, para a solução da forma homogênea da eq. (2.2):

))y*(sen*C)y*cos(*C(*e

))y*(sen*C)y*cos(*C(*e)y(w

43)y*(

21)y*(

h

β+β+

+β+β=β−

β

(2.4)

sendo C1 a C4 constantes a determinar. Para o caso de pressão interna linearmente distribuída, tem-se a seguinte solução particular:

h*Er*)y(p)y(w

2

p = (2.5)

Deve-se observar que a solução dada pela eq. (2.5) tem por correspondência o “regime de membrana” do reservatório, uma vez que dela decorrem esforços de flexão nulos. A solução geral para os deslocamentos horizontais da parede do reservatório compõe-se da soma das eqs. (2.4) e (2.5) – solução da homogênea mais solução particular. Em boa parte dos textos clássicos no tema, as constantes C1 e C2 são impostas como nulas para efeitos de simplificação dos cálculos. Desde que o



21

reservatório seja longo, essa simplificação reproduz bem o fato de que efeitos de flexão de uma borda não se propagam até a outra borda. Neste trabalho, entretanto, pretende-se resolver o problema sem recorrer à tal simplificação. As constantes C1 a C4 dependem, portanto, dos vínculos adotados em cada caso considerado. De modo mais freqüente estão as condições de contorno para reservatórios de base engastada ou articulada fixa, com topo livre. Por outro lado, independente das condições de contorno consideradas, os esforços solicitantes (esforço normal tangencial Nθ, momentos fletores My e Mθ e esforço cortante Qy) relacionam-se com os deslocamentos radiais mediante as seguintes equações:

)y(w*r

h*E)y(N −=θ (2.6)

)y(dy

wd*D)y(M 2

2

y −= (2.7)

yM*)y(M ν=θ (2.8)

)y(dy

wd*D)y(Q 3

3

y −= (2.9)

Na fig. 2.2, pode-se visualizar a convenção de sinais positivos para os esforços indicados nas eqs. (2.6) a (2.9).

NM

Q

w(y) w(y)

y

N

M

y

θ

θN

Ny

y

yQ

y

My

θθM

Figura 2.2 - Convenções de sinal para esforços em reservatório cilíndrico.

A relação para o esforço Ny(y) resulta de uma análise de equilíbrio independente. Quando se considera o peso próprio da parede, a relação resultante é a seguinte:



22

h*)yH(*)y(N py −γ−= (2.10)

2.2 Casca esférica

Uma casca esférica (ou, cúpula esférica) é uma estrutura laminar de dupla curvatura (ver fig. 1.1) usualmente empregada como cobertura. Os aspectos principais da teoria clássica, GRAVINA (1957), para formulação e resolução do problema da cúpula com carregamento de revolução são resumidos a seguir. Inicialmente, considera-se uma casca esférica sujeita ao peso próprio, conforme ilustra a fig. 2.3. Entre os elementos que lá aparecem indicados estão: g: a função representativa do peso próprio da cúpula (por unidade de área); t: a espessura (constante) da cúpula; R: o raio cúpula;

ωC : o ângulo central de abertura da cúpula.

Figura 2.3 - Casca esférica sujeita a peso próprio.

Explorando as simetrias de revolução em forma e carregamento, segundo um sistema de coordenadas esféricas, os esforços internos solicitantes e suas variações podem ser representados como indicado na fig. 2.4.

Figura 2.4 - Esforços atuantes na casca esférica.



23

Combinando-se as relações de equilíbrio, de compatibilidade entre deslocamentos e deformações e constitutiva, é possível reduzir o conjunto de variáveis incógnitas à apenas duas, Qφ e Φ, e exprimir o equilíbrio mediante as seguintes relações:

)2(*)(sen*g*R)(*t*E

)(*)(gcot*)()(gcot*)(d

d)(

d

d

CC

C2

2

2

ν−ω+ωΦ−

=ων+ωω−ωωω

+ωω

φφφφ QQ

QQ (2.11)

)(*DR )(*)(gcot*)()(gcot*)(

dd)(

dd

C

2

C2

2

2ω=ωΦν+ωωΦ−ωω

ωΦ

+ωωΦ

φQ (2.12)

em que:

ω é a posição angular medida a partir do topo da cúpula esférica (fig. 2.5);

Φ(ω) é o giro sofrido pela tangente em ω ao meridiano, após a deformação da cúpula, como ilustrado na fig. 2.5;

DC é a rigidez à flexão da cúpula, igual a: )1(*12

t*E2

C

3C

ν−;

EC é o módulo de elasticidade do material da cúpula; e

νC é o coeficiente de Poisson do material da cúpula.

ω

Φ(ω)

antes da deformação

após a deformação

ξ(ω)

ω

Figura 2.5 - Deslocamento horizontal ξ e giro Φ, em função do ângulo ω, para casca esférica.

As equações diferenciais (2.11) e (2.12) possuem solução geral composta pelas parcelas de solução homogênea e particular. Aqui, como no caso da casca cilíndrica, a solução de membrana constitui boa aproximação para a solução particular do sistema, desde que, BELLUZZI (1967), a espessura da casca seja suficientemente pequena em relação ao raio.

Para o regime de membrana (em que Qφ = Mφ = Mθ = 0), reproduzem-se em seguida as relações representativas do deslocamento horizontal⎯ ξ e do giro Φ , além

dos esforços φN e θN , todos em função do ângulo ω (ver figs. 2.4 e 2.5).



24

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω−

ω+ν+

ω=ωξ )cos()cos(1

1*)(sen*t*E

R*g)( C

C

2

(2.13)

)(sen*)2(*t*E

R*g)( CC

ων+=ωΦ (2.14)

))cos(1(R*g)(

ω+−=ωΝφ (2.15)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω−

ω+=ωΝθ )cos(

)cos(11*R*g)( (2.16)

O problema de flexão reúne os efeitos dos vínculos nas bordas ou ainda, de forma equivalente, os efeitos da aplicação externa de uma força horizontal HC e momento externo MC distribuídos na borda da cúpula esférica (fig. 2.6).

Figura 2.6 - Cúpula esférica sujeita a força horizontal HC e momento MC distribuído na borda.

A solução rigorosa do problema de flexão é detalhada na literatura, envolvendo séries hipergeométricas, mas apresenta-se muito trabalhosa, especialmente nos casos de estruturas delgadas, ou seja, com valores elevados da constante λ (eq. (2.20)). Além disso, nesses casos, a convergência das séries se dá com razão muito pequena, BELLUZZI (1967).

Uma solução analítica simplificada, válida para coeficientes λ mais elevados, que explora o amortecimento dos efeitos das singularidades de borda, como ocorre nos tubos, é fornecida pelo Método de Geckeler, GRAVINA (1957). A solução de Geckeler é válida também para cascas abatidas (ωC pequeno), desde que a relação R/t seja grande. Admitindo-se situações em que as hipóteses do Método de Geckeler sejam satisfeitas, os termos de ordem de derivação mais baixa da parte homogênea do sistema (2.11) e (2.12) podem ser desprezados em relação aos termos de ordens mais altas, obtendo-se:



25

)(*t*E )(d

dFC2

2

ωΦ−=ωω

φQ (2.17)

)(*DR)(

dd

C

2

2F

2ω=ω

ω

ΦφQ (2.18)

em que ΦF é a parcela de flexão de Φ.

Combinando-se (2.18) e (2.17), de modo a eliminar o giro ΦF, tem-se finalmente a equação diferencial que representa o regime de flexão da casca esférica:

0)(**4)(d

d 44

4

=ωλ+ωω

φφ Q

Q (2.19)

em que:

42

2C t

R*)1(*3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ν−=λ (2.20)

A solução da eq. (2.19) é semelhante àquela apresentada para a flexão do tubo cilíndrico (eq. (2.5)). Sendo assim:

))*(sen*L)*cos(*L(*e

))*(sen*L)*cos(*L(*e)(

43)*(

21)*(

ωλ+ωλ+

+ωλ+ωλ=ω

ωλ−

ωλφQ

(2.21)

em que:

ω−ω=ω C (ver fig. 2.5); e

L1 a L4 são constantes a determinar. A imposição das condições de contorno em cada caso permite identificar os valores das constantes L1 a L4. Em função da solução acima, os esforços solicitantes e as variáveis cinemáticas, para o regime de flexão, podem ser determinadas pelas seguintes equações:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω−ωων+ω

ωω−ω

=ωξ φφ )(gcot*)(*)(

dd

*t*E

)(sen*R)( CCC

CF Q

Q (2.22)

)(d

dt*E

1)( 2

2

Cω

ω=ωΦ φQ

*F (2.23)

)(gcot*)()( CF ω−ωω−=ω φφ QN (2.24)



26

)(d

d)(F ω

ω=ω φ

θQ

N (2.25)

)(d

dt*E*R

D)( 3

3

C

C ωω

=ω φφ

Q*M (2.26)

)(*)( C ων=ω φθ MM (2.27)

3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF)

3.1 MEF aplicado a cascas cilíndricas

De início, a equação diferencial da casca cilíndrica (eq. (2.1)) é reescrita de modo a permitir levar em conta, convenientemente, a possibilidade de variação da espessura. Nesse sentido, considere-se que a espessura do reservatório seja determinada por:

)y(f*h)y(h 0= (3.1)

em que h0 é a espessura na base do reservatório. Para o caso de variação linear da espessura ao longo da altura, pode-se definir f(y) como:

y*H

)1(1)y(f ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ γ−

−= (3.2)

em que γ é um coeficiente adimensional definido pela razão entre a espessura no topo e a espessura na base do reservatório. Deste modo, a eq. (2.1) passa a apresentar a seguinte forma:

0

402

23

2

2

D)y(p)y(w*)y(f**4)y(

dywd*)y(f

dyd

=β+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (3.3)

em que:

)1(*12h*ED 2

30

0ν−

= (3.4)

40

20

0 D*r*4h*E

=β (3.5)



27

Considerando-se uma função aproximativa )y(w~ , com boas propriedades de representatividade da solução, pode-se escrever, inicialmente, a seguinte forma em resíduos ponderados:

∫ =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−β+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛H

0 0

402

23

2

20dy*

D)y(p)y(w~*)y(f**4)y(

dyw~d*)y(f

dyd*)y(v (3.6)

em que: v(y) é uma função de ponderação; e

)y(w~ deve apresentar, pelo menos, continuidade até a ordem 3.

Adota-se, em seguida, uma discretização para o domínio da solução mediante um conjunto de nós e elementos. Neste trabalho, cada elemento contém 2 nós nas suas extremidades. Na fig. 3.1, os graus de liberdade associados à cada nó são indicados sobre um elemento genérico.

ELEMENTO N

ELEMENTO 2

ELEMENTO 1

DISCRETIZAÇÃO EM ELEMENTOS

FINITOS

ELEMENTOGENÉRICO

p(y)

we1

2ew

we4

3ew

ye

y

RESERVATÓRIOCILÍNDRICO

~~

~ ~

hep(y)

Figura 3.1 - Discretização de um reservatório cilíndrico para aplicação do MEF.

Considerando a divisão do domínio, a integral que aparece na eq. (3.6) passa a ser composta pela soma das integrais sobre os elementos. Pode-se então representar a forma fraca para um elemento genérico derivando-se duas vezes por partes a primeira parcela da eq. (3.6):

∫

∫∫+

++

++

=

=++

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1ey

ey 0

1ey

ey4

01ey

ey 2

2

2

23

1ey

ey2

23

1ey

ey2

23

dy*)y(v*D

y)(p

dy*)y(v*(y)w~*)y(f**β4dy*)y(dy

vd*)y(dy

w~d*)y(f

)y(dydv*)y(

dyw~d*)y(f)y(v*)y(

dyw~d*)y(f

dyd

(3.7)



28

em que ye e ye+1 são, respectivamente, as coordenadas dos nós inicial e final do elemento “e”.

Note-se que na eq. (3.7) as derivadas sobre v(y) e )y(w~ são da mesma ordem, proporcionando simetria à formulação. De modo a garantir a existência de solução dentro dos limites do elemento, as integrais envolvendo as funções aproximativa e ponderadora (‘formas bilineares’) somadas devem apresentar valor finito; nesse sentido, adota-se uma função aproximativa polinomial de grau 3, que é o menor grau que garante aquela condição. Nessas condições, a aproximação passa a ser representada por:

)y(*w~)y(w~4

1j

ej

ej

e ∑=

φ= (3.8)

em que ejw~ são os graus de liberdade primários (deslocamento e giro nos nós de

coordenadas locais 0 e he). As quatro funções de forma do elemento, indicadas em (3.8), são dadas por:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=φ

e

2

e

e4

3

e

2

e

e3

2

e

e2

3

e

2

e

e1

hy

hy*y)y(

hy*2

hy*3)y(

hy1*y)y(

hy*2

hy*31)y(

(3.9)

As funções de forma (3.9) constituem uma base aproximativa hermitiana cúbica para o MEF. Outra base de interesse é a linear, indicada abaixo:

hy)y(N

hy1)y(N

e

e2

e

e1

=

−=

(3.10)

Utilizando-se a mesma base de aproximação para v(y) e )y(w~ (‘Galerkin’), a sua substituição na eq. (3.7) leva ao seguinte conjunto de equações para o elemento finito genérico:

[ ] ) 1,...,4 i ( 0Fw~*K ei

4

1j

ej

ej,i ==−∑

= (3.11)

em que:



29

223 4

02 204, ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) *e

eeh je e ei

i j e e i j

ddK f y y y y * β f y y * ( y ) y d yd y d y

φφ φ φ= + + +∫ (3.12)

00

( * ( ) *ehe e eei i i

p y y )F y d y QD

φ+= +∫ (3.13)

Os termos (3.12) compõem os componentes da chamada matriz de rigidez do elemento que, neste caso, é simétrica; já a eq. (3.13) fornece os componentes do chamado vetor de forças nodais do elemento “e”, isto é: as forças nodais correspondentes às forças diretamente aplicadas e às forças nodais prescritas nas extremidades do elemento. A geração em forma matricial do sistema global resolvente a partir das contribuições dos elementos é indicada na fig. 3.2, sendo N o número de elementos. Observa-se que, na ausência de forças nodais concentradas, os termos e

iQ (ver eq. (3.13)) anulam-se na sobreposição.

Figura 3.2 - Matriz de rigidez (K ) e vetor de forças nodais (F ) obtidos na formulação do MEF.

Na simbologia adotada para a matriz global K , indicada na fig. 3.2, cada quadrado preenchido representa a matriz de rigidez de um elemento, cujos valores são calculados pela eq. (3.12). No vetor global F , cada retângulo preenchido representa o vetor de forças nodais de um elemento, com seus valores calculados pela eq. (3.13).



30

A estrutura da matriz de rigidez global (K ) tem uma forma em banda, porque os nós do problema estão, por hipótese, numerados seqüencialmente no sentido crescente de y, e, além disso, é simétrica. As condições de contorno essenciais devem ser impostas diretamente no sistema global representado na fig. 3.2. Para o conjunto de problemas analisados, considera-se que o contorno superior é livre e o inferior pode ser engastado ou articulado fixo. Uma vez encontrado o vetor incógnito, é possível novamente considerar o arranjo de elementos e encontrar a distribuição de esforços ao longo de cada elemento finito:

)y(w~*r

)yy(h*E)y(N~ eee +−=θ (3.14)

)y(yd

d*w~*)yy(f*D)y(M~

4

1j2

ej

2ej

3e0

ey ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ φ+−= ∑

= (3.15)

)y(yd

M~d)y(Q~

eye

y = (3.16)

)y(M~*)y(M~ ey

e ν=θ (3.17)

3.2 MEF aplicado a cascas esféricas

A resolução numérica do problema da casca esférica mediante aplicação do MEF, poderia partir analogamente ao caso dos tubos, da ponderação do sistema de equações diferenciais descrito pelas (2.11) e (2.12). Entretanto, trata-se de um sistema misto envolvendo duas variáveis distintas a serem aproximadas. Tal procedimento será aqui simplificado, considerando-se apenas os efeitos de uma força horizontal HC e de um momento externo MC distribuídos ao longo da borda da casca esférica (fig.3.3). Desse modo, pode-se reduzir o sistema a uma única equação na variável representativa do esforço cortante, além do que são para estes casos que existe solução analítica de confronto.



31

ELEMENTOSFINITOS

CASCA ESFÉRICA

ω

ELEMENTOGENÉRICO

ω

ωE

1Q~ e

2Qe~~ eQ3

Q~

4e

c

ω

eω

ELEMENTO N

ELEMENTO 1

Hc

Mc

Figura 3.3 - Discretização de uma casca esférica para aplicação do MEF.

Uma vez obtida a forma fraca de (2.19), considerando-se uma solução aproximada )(~ ωφQ e adotada uma discretização formada por elementos finitos

definidos em função do ângulo de abertura da casca, fig. 3.3, a relação para um elemento resulta:

0d*)(v*)(~**4d*)(d

vd*)(d

~d

)(ddv*)(

d

~d)(v*)(

d

~d

1e

e

41e

e 2

2

2

2

1e

e2

21e

e3

3

=ωωωλ+ωωω

ωω

+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ω

ωω

ω−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ωω

ω

∫∫+ω

ω φ+ω

ω

φ

+ω

ω

φ+ω

ω

φ

QQ

QQ

(3.18)

em que:

v(ω) é uma função de ponderação; e

ωe e ωe+1 são as coordenadas angulares do nó inicial e final do elemento “e”. Adotando-se uma função aproximadora polinomial de grau máximo 3, como feito para os tubos, em coordenadas esféricas locais do elemento os parâmetros nodais assumem os seguintes significados:

)(d

~d~ )(~~

)0(d

~d~ )0(~~

E

ee4E

ee3

ee2

ee1

ωω

=ω=

ω==

φφ

φφ

QQQQ

QQQQ

(3.19)

Resulta, para o elemento finito genérico a seguinte aproximação:

)(*~)(~ 4

1j

ej

ej

e ∑=

φ ωφ=ω QQ (3.20)



32

sendo as funções de forma dadas por:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ωω

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ωω

ω=ωφ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ωω

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ωω

=ωφ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ωω

−ω=ωφ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ωω

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ωω

−=ωφ

E

2

E

e4

3

E

2

E

e3

2

E

e2

3

E

2

E

e1

*)(

*2*3)(

1*)(

*2*31)(

(3.21)

Nas relações anteriores:

ωE é o ângulo de abertura do elemento “E”; e

ω é a coordenada angular local, indicada na fig. 3.3.

Substituindo-se (3.20) em (3.18) e considerando-se para v(ω) uma aproximação dada pelas mesmas funções de forma de )(~ ωφQ , resulta:

[ ] 0~*K4

1j

ej

ej,i =∑

=

Q (3.22)

em que:

224

2 204, ( ) * ( ) * ( ) *E

eee eje ii ji j

ddK * * ( ) dd d

ω φφ ω ω λ φ ω φ ω ωω ω

= +∫ (3.23)

As contribuições das matrizes de rigidez e dos vetores de forças nodais dos elementos geram um sistema global que segue sistemática idêntica àquela apresentada para casca cilíndrica indicada na fig. 3.2. As condições de contorno que devem ser impostas diretamente ao sistema global correspondem à força HC e momento MC aplicados na borda inferior da casca. Depois de encontrado o vetor incógnito, é possível voltar ao arranjo de elementos e encontrar as outras variáveis de interesse (deslocamento horizontal e~ξ ,

giro e~Φ , esforço normal e~φN ,esforço tangencial e~

θN e momentos e~φM e e~

θM , de

acordo com as figs. 2.4 e 2.5):

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ω+ωων+ω

ω−

ω+ω=ωξ φ

φ )(gcot*)(~*)(d

~d*

t*E)(sen*R)(~

ee

C

e

C

ee QQ

(3.24)



33

)(d

~dt*E

1)(~2

e2

C

e ωω

=ωΦ φQ* (3.25)

)(gcot*)(~)(~e

ee ω+ωω−=ω φφ QN (3.26)

)(d

~d)(~

ee ω

ω−=ω φ

θQ

N (3.27)

)(d

~dt*E*R

D)(~3

e3

C

Ce ωω

−=ω φφ

Q*M (3.28)

)(~*)(~ eC

e ων=ω φθ MM (3.29)

4 ENRIQUECIMENTO DAS APROXIMAÇÕES DO MEF

4.1 Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG)

O Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG), DUARTE, BABUŠKA e ODEN (2000), TORRES (2003), incorpora na estrutura básica do MEF técnicas e recursos dos chamados Métodos sem Malha, com o propósito de melhorar a aproximação no domínio do problema. O MEFG tem como principal característica o enriquecimento sobre aproximações que se caracterizam como “partição da unidade”, (PU), ou conjunto de funções cujo somatório dos valores num ponto do domínio é igual à unidade. No MEF clássico, embora seja possível construir espaços de funções não-polinomiais que fornecem boas propriedades de aproximação local, tal procedimento não garante a continuidade entre elementos da função de aproximação global, MELENK e BABUŠKA (1996). Já o MEFG, ao explorar a PU, garante a construção de espaços de aproximação conformes, mesmo utilizando funções não-polinomiais. No MEFG, o número de funções de forma é composto pelas funções de forma originais do MEF, que constituem uma PU, mais uma combinação delas com outras funções, chamadas “enriquecedoras”. Porém, se forem enriquecidas também outras funções da base aproximativa que não constituam uma PU, o enriquecimento não é, a rigor, um MEFG, e sim um MEF hierárquico. Genericamente, a função aproximativa do MEFG para um campo u, num domínio governado pela variável x, tem a seguinte forma:

b*)x(FE)x(u*)x()x(u)j(I

1jj

n

1jjj

n

1jj ∑∑∑

=α

αα

==

ϕ+ϕ= (4.1)

em que αjb são parâmetros nodais acrescentados pelo enriquecimento.



34

Acrescenta-se que o enriquecimento pode ser seletivo, isto é, feito apenas em uma região específica do domínio, sendo a parte restante aproximada sem enriquecimento e com a estrutura convencional do MEF. Como exemplo do procedimento de enriquecimento, considere-se uma base aproximativa do MEF dada por 4 funções de forma, e

1ϕ , e2ϕ , e

3ϕ e e4ϕ , e seja FE uma

função enriquecedora. Admita-se que, dessa base, apenas e1ϕ e e

3ϕ formem uma PU.

De acordo com o MEFG, para a região enriquecida, haverá 6 funções de forma: e1ϕ ,

e2ϕ , e

3ϕ , e4ϕ , e

1ϕ *FE e e3ϕ *FE. Na fig. 4.1 está representado o sistema correspondente

ao exemplo, para o caso de 2 elementos, com os três nós enriquecidos.

u

1 2

111u u 2 u 1

3 u 14

2u 2u

u23

24b 1 2b

2b

3b

2

u 1

u 23

4

u 3^ 1 u 1

^ 2

u1

u 1

1

1b

b2 b2

b3

42u

enriquecimento

22u

K = F =

Figura 4.1 - Esquema de enriquecimento pelo MEFG.

4.2 Alternativas de enriquecimento

O procedimento chamado aqui de MEFH caracteriza-se por conter funções na base aproximativa que apesar de não formarem uma PU podem ser multiplicadas por funções de enriquecimento. Na fig. 4.2 está indicado um sistema genérico montado de acordo com o MEFH, para 2 elementos e 1 função enriquecedora adicionada à mesma base polinomial descrita no item 4.1. No procedimento denominado enriquecimento por base expandida, MEFBA, a base inicial é ampliada mediante adição de funções de forma especiais de interesse. Obviamente, à cada função adicionada se associa um grau de liberdade primário, não-atrelado à nó e sem qualquer significado físico. Neste caso, o sistema global terá um aumento em sua ordem igual ao número de funções enriquecedoras. Encontra-se na fig. 4.3 uma visualização de um sistema genérico do MEFBA com 2 elementos e 1 função enriquecedora adicionada à mesma base polinomial descrita no item 4.1. A função aproximadora de um campo u, num domínio governado pela variável x global, no caso do MEFBA, tem a seguinte forma:



35

( ) b*)x(FEu*)x()x(u)j(I

1j

n

1jj ∑∑

=ααα

=

+ϕ= (4.2)

5b24u

u

u

u1^ 1

1b u 2^ 1

b u 22

u3b31

1

^3

5bu 342^1

2

4u 2

b

bb3

41

23u

u3

1

1

13

2

u

u

12u

11u

b 2 b 4

b 4

b 6

2b

4b

6b

22

b4

u

K = F = enriquecimento

Figura 4.2 - Esquema de enriquecimento MEFH.

24u

u

u

u1^ 1

1bu 2^ 1

u 22

u31

1

^ u 342^1

2

4u 2

41

23u

u

1

13

2

u

u

12u

11u

u 22

1b

^K = F = enriquecimento

Figura 4.3 - Esquema de enriquecimento MEFBA.

4.3 Enriquecimentos do MEF aplicados aos tubos

No caso dos tubos, empregam-se nas alternativas de enriquecimento comentadas no item anterior, funções que fazem parte da solução analítica para espessura constante. Assim, adotam-se:

)y*cos(*e)y(f y*3 β= β− (4.3)

)y*(sen*e)y(f y*4 β= β− (4.4)



36

As possibilidades de emprego do MEF testadas, que incluem as alternativas de enriquecimento, estão descritas abaixo com as siglas a elas associadas. 1) RMEFL: Caso particular do MEF utilizando as funções de forma lineares dadas em (3.10). Aplica-se essa aproximação exclusivamente para análise do regime de membrana (base deslizante) do reservatório com espessura constante. 2) RMEF: Caso particular do MEF convencional sem enriquecimento utilizando como base aproximativa as funções de forma dadas em (3.9). 3) RMEFH: MEFH utilizando as funções (4.3) e (4.4) para enriquecer todas as funções da base (3.9). 4) RMEFG: MEFG utilizando as funções (4.3) e (4.4) para enriquecer as funções da base (3.9) que constituem uma PU. 5) RMEFBA: MEFBA utilizando como base aproximativa as funções de forma dadas em (3.9), sendo realizado enriquecimento com as funções (4.3) e (4.4).

5 PROGRAMA

Elaborou-se um programa em linguagem FORTRAN, cuja apresentação encontra-se descrita no que segue. 1) Uma janela de apresentação (fig. 5.1) aparece quando o aplicativo é executado.

Figura 5.1 - Janela de apresentação do aplicativo.

2) Acionando-se o botão “INICIAR”, aparece a janela para as escolhas da estrutura a ser calculada e da base aproximativa de funções do MEF (fig. 5.2). Nota-se que, independentemente da escolha do método aproximado, os gráficos de respostas exibem sempre a solução analítica da estrutura.



37

O reservatório cilíndrico pode ser analisado somente com forças linearmente distribuídas na parede e a cúpula admite análise dos efeitos de peso próprio (solução analítica) ou de forças e momentos distribuídos uniformemente em sua extremidade.

Figura 5.2 - Janela para escolha da estrutura e método de cálculo aproximado.

3) Aciona-se o botão “AVANÇAR” e, dependendo da escolha estrutural, uma janela aparece para a entrada de dados referentes à geometria, às forças externas e ao método de enriquecimento (se desejado). Na fig. 5.3 é mostrada a janela de entrada de dados para reservatório cilíndrico e, na fig. 5.4, a janela de entrada de dados para cúpula esférica sujeita a força horizontal (Hc) e momento concentrado na extremidade (Mc).



38

Figura 5.3 - Janela de entrada de dados referente a reservatório cilíndrico.

Figura 5.4 - Janela de entrada de dados referente a cúpula esférica sujeita a Hc e Mc.



39

Os dados referentes ao número de elementos finitos, seguindo a convenção dada na figura que aparece na janela de entrada de dados, devem ser preenchidos no grupo “DADOS SOBRE O MEF”. Para se utilizar elementos de comprimentos iguais em todo o domínio, deve-se informar o número de elementos na caixa de edição do grupo “TODOS OS ELEMENTOS COM O MESMO COMPRIMENTO” e acionar, em seguida, o botão “INCLUIR ELEMENTOS”. Fazendo isso, os comprimentos dos elementos são exibidos na lista do grupo “COMPRIMENTO DOS ELEMENTOS”, bem como são exibidos o somatório dos comprimentos dos elementos e o número de elementos nas caixas estáticas do canto inferior direito do grupo “DADOS SOBRE O MEF”. Para se utilizar comprimentos diferentes dos elementos, seus valores devem ser cadastrados um a um, na caixa de edição do grupo “ELEMENTOS COM COMPRIMENTOS DIFERENTES”, acionando-se o botão “INCLUIR ELEMENTO” para incluir um elemento na lista do grupo “COMPRIMENTO DOS ELEMENTOS”. Cadastrados os elementos, devem ser fornecidos os dados sobre o enriquecimento, no grupo “DADOS SOBRE O ENRIQUECIMENTO”. Deve-se escolher o tipo de enriquecimento por meio da caixa de lista no grupo “ESCOLHA O TIPO DE ENRIQUECIMENTO”, sendo que as funções enriquecedoras podem ser visualizadas acionando-se o botão “VER FUNÇÕES DISPONÍVEIS”. Feito isso, incluem-se os nós a serem enriquecidos por meio dos botões no grupo “NÓS A SEREM ENRIQUECIDOS”. Tais nós podem ser cadastrados um a um, no grupo “INCLUSÃO INDIVIDUAL”, ou todos de uma vez, pelo botão “TODOS”. Na lista “NÓS ENRIQUECIDOS” aparecem os nós a serem enriquecidos. Na fig. 5.5 aparece a janela de entrada de dados para cúpula esférica sujeita a peso próprio, em que apenas é possível a análise da solução analítica.

Figura 5.5 - Janela de entrada de dados referente a cúpula esférica sujeita a peso próprio.



40

4) Preenchidos os dados de entrada, pode-se conferir visualmente os dados fornecidos, para os casos representados nas figs. 5.3 e 5.4, acionando-se o botão “VERIFICAR DADOS”. Aparece uma janela gráfica independente, como a das figs. 5.6 (reservatório cilíndrico) e 5.7 (cúpula esférica), cujos desenhos são apenas para verificação, não apresentando uma escala definida.

Figura 5.6 - Janela de verificação gráfica dos dados de entrada - reservatório cilíndrico.

5) Preenchidos e verificados os dados de entrada, nas janelas das figs. 5.3, 5.4 ou 5.5, aciona-se o botão “CALCULAR”, aparecendo uma janela de confirmação (fig. 5.8) depois de concluído o processamento.

Figura 5.7 - Janela de verificação gráfica dos dados de entrada para cúpula esférica sujeita a

força horizontal e momento concentrado na base.



41

Figura 5.8 - Janela de confirmação do sucesso dos cálculos.

Acionando-se o botão “CONTINUAR” na janela da fig. 5.8, aparece a janela referente aos resultados. Nas figs. 5.9, 5.10 e 5.11 são mostradas as janelas de resultados para os três casos representados nas figs. 5.3, 5.4 e 5.5, respectivamente.

Figura 5.9 - Janela de resultados referente a reservatório cilíndrico.



42

Figura 5.10 - Janela de resultados referente a cúpula esférica sujeita a Hc e Mc.

Figura 5.11 - Janela de resultados referente a cúpula esférica sujeita a peso próprio.

Nas janelas das figs. 5.9, 5.10 e 5.11, aparece uma figura referente à convenção para os sentidos positivos dos parâmetros de saída. Tal ilustração também não oferece interatividade nem obedece a uma escala geométrica. Os dados de saída têm seus valores impressos em listas organizadas segundo os valores nodais (caso haja método de cálculo aproximado) após pós-



43

processamento (coluna esquerda) e segundo 200 pontos igualmente espaçados sobre o domínio (coluna direita). Além das janelas dos dados de saída no programa, os dados numéricos de saída são impressos no arquivo RESULTADOS.TXT. Nas janelas das figs. 5.9, 5.10 e 5.11, existem ainda botões na parte superior que, depois de acionados, exibem, em uma janela gráfica independente, os gráficos correspondentes aos parâmetros ao longo do domínio. Na fig. 5.12 é exibido um exemplo de gráfico de saída de deslocamento para reservatório cilíndrico. Uma última consideração é que a aplicação criada não é restrita a um sistema fixo de unidades. Estão indicadas, ao lado das caixas de edição de entrada de dados e ao lado dos valores de saída, as dimensões de cada variável, sendo elas: L (dimensão de comprimento) e F (dimensão de força).

Figura 5.12 - Exemplo de janela de gráfico de deslocamento referente a reservatório cilíndrico.

6 EXEMPLOS NUMÉRICOS

6.1 Resultados para reservatório cilíndrico

A tabela 6.1 apresenta os dados de entrada escolhidos para o exemplo numérico de reservatório cilíndrico.



44

Tabela 6.1 - Dados de entrada utilizados para o cálculo de reservatório cilíndrico. PARÂMETRO VALOR

Altura (m) 10,00 Raio (m) 8,00

Espessura constante (m) 0,05 Coeficiente de Poisson 0,30

Módulo de elasticidade (kN/m2) 2,10*109

Peso específico do líquido de preenchimento (kN/m3) 1000,00

Colocam-se em confronto os valores de deslocamento horizontal w, esforço cortante Qy e momento fletor My, com suas convenções de sinal e direção visualizadas nas fig. 2.2. Os valores de Nθ e Mθ não são aqui exibidos, já que são proporcionais a w e My, respectivamente (ver eq. (3.14) e (3.17)). O primeiro resultado refere-se ao regime de membrana do reservatório (base deslizante), cujo único procedimento aproximado aplicado foi o RMEFL. No gráfico 6.1 são apresentadas as soluções aproximada e analítica dos deslocamentos para 10 elementos igualmente espaçados. Naturalmente, o esforço cortante Qy e o momento fletor My são nulos, de acordo com as hipóteses do regime de membrana.

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

-7.00E-03 -6.00E-03 -5.00E-03 -4.00E-03 -3.00E-03 -2.00E-03 -1.00E-03 0.00E+00

deslocamento horizontal w (m) - base deslizante

altu

ra d

o re

serv

atór

io (m

)

Solução analítica RMEFL Posições dos nós Gráfico 6.1 - Curva de deslocamento w para o caso RMEFL.

Acrescenta-se que com apenas um elemento os deslocamentos obtidos com o procedimento RMEFL são exatos, pois a solução analítica é regida por uma função linear. Para uma comparação entre os procedimentos descritos no caso de base articulada fixa, considera-se uma discretização como a mostrada na fig. 6.1. Lembra-se que, no caso RMEFBA, o enriquecimento não é mais seletivo.



45

Figura 6.1 - Discretização adotada para reservatório cilíndrico com base articulada fixa.

Nos gráficos 6.2 a 6.4 mostram-se curvas obtidas para deslocamento horizontal w, momento fletor My e esforço cortante Qy, pelos procedimentos RMEF, RMEFH, RMEFG e RMEFBA, além da solução analítica.

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

-7.00E-03 -6.00E-03 -5.00E-03 -4.00E-03 -3.00E-03 -2.00E-03 -1.00E-03 0.00E+00

deslocamento horizontal w (m) - base articulada fixa

altu

ra d

o re

serv

atór

io (m

)

Solução analítica RMEF RMEFH RMEFGRMEFBA Nós enriquecidos Nós não enriquecidos Gráfico 6.2 - Deslocamento horizontal - base articulada fixa.



46

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

-450 -350 -250 -150 -50 50

momento fletor My (kN*m/m) - base articulada fixa

altu

ra d

o re

serv

atór

io (m

)

Solução analítica RMEF RMEFH RMEFGRMEFBA Nós enriquecidos Nós não enriquecidos

Gráfico 6.3 - Momento fletor - base articulada fixa.

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

-2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500

esforço cortante Qy (kN/m) - base articulada fixa

altu

ra d

o re

serv

atór

io (m

)

Solução analítica RMEF RMEFH RMEFGRMEFBA Nós enriquecidos Nós não enriquecidos

Gráfico 6.4 - Esforço cortante - base articulada fixa.

As diferenças entre o RMEF e os procedimentos enriquecidos são mais marcantes quando se analisam os esforços (gráficos 6.3 e 6.4), já que nos procedimentos enriquecidos as derivadas das funções enriquecedoras exponenciais resultam ainda em funções exponenciais, o que não acontece no RMEF. Pode-se afirmar que o RMEFH e o RMEFBA apresentam os melhores resultados. Observa-se que o RMEFH tem custo computacional bem maior do que o RMEF ou o RMEFBA. Este fato, que é desprezível para o caso unidimensional, pode vir a ser importante num equacionamento em duas ou três dimensões. Acrescenta-se que o RMEFBA, com apenas 1 elemento, apresenta soluções exatas para deslocamento e esforços. Para reservatório com base engastada é necessário um número maior de elementos para aproximar bem os resultados, em comparação com a base articulada



47

fixa. Os resultados comparativos são, entretanto, qualitativamente iguais aos apresentados para essa última base.

6.2 Resultados para cúpula esférica

Neste exemplo, os resultados numéricos obtidos com o MEF, aplicado segundo o procedimento descrito no item 3.2, para o problema da cúpula esférica são comparados com as respostas analíticas. Os dados da cúpula estão indicados na tabela 6.2 e a discretização adotada representada na fig. 6.2. Tabela 6.2 - Dados de entrada utilizados para a análise da cúpula esférica.

PARÂMETRO VALOR Ângulo de abertura (graus) 60

Raio (m) 8,00 Espessura constante (m) 0,05 Coeficiente de Poisson 0,30

Módulo de elasticidade (kN/m2) 2,10*109 Hc (kN/m) 1,00

Mc (KN*m/m) 1,00

Figura 6.2 - Discretização adotada para cúpula esférica.

Nos gráficos 6.5 a 6.9 estão as curvas para esforço cortante Qφ, momento fletor Mφ, esforço tangencial Nθ, giro Φ e deslocamento horizontal ξ, obtidos com o MEF e confrontados com a solução analítica.



48

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

-1.1 -0.6 -0.1 0.4 0.9 1.4

esforço cortante Qφ (kN/m)

ângu

lo -

base

par

a to

po (g

raus

)

Solução analítica CMEF Posições dos nós Gráfico 6.5 - Curva de esforço cortante Qφ para o caso MEF.

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

-0.2 0.1 0.4 0.7 1

momento Mφ (kN*m/m)

ângu

lo -

base

par

a to

po (g

raus

)

Solução analítica CMEF Posições dos nós Gráfico 6.6 - Curva de momento fletor Mφ para o caso MEF.



49

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

-25 -5 15 35 55 75 95

esforço tangencial Nθ (kN/m)

ângu

lo -

base

par

a to

po (g

raus

)

Solução analítica CMEF Posições dos nós Gráfico 6.7 - Curva de esforço tangencial Nθ para o caso MEF.

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

-6.00E-06 4.00E-06 1.40E-05 2.40E-05

giro Φ (radianos)

ângu

lo -

base

par

a to

po (g

raus

)

Solução analítica CMEF Posições dos nós Gráfico 6.8 - Curva de giro Φ para o caso MEF.



50

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

-1.70E-06 3.00E-07 2.30E-06 4.30E-06 6.30E-06

deslocamento ξ (m)

ângu

lo -

base

par

a to

po (g

raus

)

Solução analítica CMEF Posições dos nós Gráfico 6.9 - Curva de deslocamento horizontal ξ para o caso MEF.

Os valores de Nφ e Mθ não estão aqui exibidos porque são proporcionais a Qφ e Mφ, respectivamente (ver eqs. (3.26) e (3.29)).

Nota-se que as respostas, exceto momento fletor Mφ (gráfico 6.6), são bem próximas das exatas. Para Mφ a função aproximativa resulta uma composição de polinômios lineares (terceira derivada do esforço cortante), o que explica a menor precisão e a necessidade por uma discretização mais refinada.

7 CONCLUSÕES

Nota-se o grande potencial do enriquecimento com funções especiais para a solução numérica do problema do reservatório cilíndrico, principalmente em relação à descrição dos esforços. A aplicação convencional do MEF, que emprega base aproximativa hermitiana é limitada, particularmente no que se refere à descrição dos esforços internos generalizados. De fato, os gráficos dos esforços apresentam descontinuidades entre os elementos, em razão da menor ordem de continuidade das derivadas da base aproximativa, diretamente empregadas na descrição do momento fletor e da força cortante. As descontinuidades nos esforços são reduzidas com os procedimentos de enriquecimento propostos, quase desaparecendo para o RMEFH e para o RMEFBA. Cabe observar, entretanto, que a continuidade entre elementos da base aproximativa determina também a continuidade da aproximação enriquecida, independente do grau de enriquecimento atingido no interior do elemento. Portanto, a eficácia dos procedimentos de enriquecimento depende fortemente da continuidade da base aproximativa utilizada. De fato, considerando-se bases muito simples, apesar dos esforços serem mais bem representados pelos procedimentos enriquecidos em comparação com o MEF convencional, a continuidade entre os elementos, para as derivadas, não é necessariamente garantida. Nesse aspecto o enriquecimento por base estendida mostra-se mais eficiente, permitindo contornar a questão de



51

continuidade, dispensando a alternativa de um aumento do grau de continuidade da aproximação base. Em relação às cúpulas esféricas, a variável aproximada pelas funções base foi diretamente um esforço solicitante, de modo que a forma convencional do MEF, recorrendo apenas ao refinamento da malha mostrou-se eficiente.

8 AGRADECIMENTOS

Agradecemos a CAPES, pelo apoio financeiro, e aos funcionários do Departamento de Estruturas da USP de São Carlos, que forneceram toda a estrutura necessária para a realização das pesquisas.

9 REFERÊNCIAS

BARROS, F. B. (2002). Métodos sem Malha e Método dos Elementos Finitos Generalizados em Análise Não-Linear de Estruturas. 222p. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.

BELLUZZI, O. (1967). Ciência de la Contruccion. v. 3. Madrid: Aguilar.

BILLINGTON, D. P. (1965). Thin shell concrete structures. McGraw Hill Book Company, Inc.

DUARTE, C. A.; BABUŠKA, I.; ODEN, J. (2000). Generalized finite element methods for three-dimensional structural mechanics problems. Computers & Structures, v. 77, n. 2, p. 215–232.

GRAVINA, P. B. J. (1957). Teoria e cálculo das cascas. São Paulo.

MELENK, J. M.; BABUŠKA, I. (1996). The partition of unity finite element method: Basic theory and applications. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, v. 39, p. 289–314.

NIRSCHL, G. C. (2005). Método dos elementos finitos e técnicas de enriquecimento da aproximação aplicados à análise de tubos cilíndricos e cascas esféricas. São Carlos. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.

REDDY, J. N. (1993). An introduction to the Finite Element Method. New York. McGraw-Hill.

TORRES, I. F. R. (2003). Desenvolvimento e aplicação do método dos elementos finitos Generalizados em análise tridimensional não-linear de sólidos. São Carlos. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.

ZIENKIEWICZ, O. C. (1986). The Finite element method. London; New-York. McGraw-Hill.

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MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E TÉCNICAS DE … · Em regime linear, o chamado problema dos reservatórios em regime de flexão, formulado em termos de deslocamentos axiais e radiais,