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Curso de Ps-Graduao Lato Sensu ESPECIALIZAO EM PROJETO DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL DA UFSC Disciplina: EE 08 UTILIZAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM PROJETOS DE ESTRUTURAS Prof.a Henriette Lebre La Rovere Ano: 2002 Realizao: ECV / GRUPEX / FEESC Apoio: AltoQI / USIMINAS / CISA EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas SUMRIO 1INTRODUO 1.1 Definio 1.2 Objetivo 1.3 Histrico 1.4 Aplicaes na Engenharia Civil 1.5 Enfoque Fsico do MEF 2PRINCPIOS DE ENERGIA E MTODO DE RAYLEIGH-RITZ 2.1 Noes de Clculo Variacional 2.2 Princpio da Energia Potencial Mnima 2.3 Princpio dos Trabalhos Virtuais 2.4 Mtodo de Rayleigh-Ritz 3FORMULAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 3.1 Modificao do Mtodo de Rayleigh-Ritz 3.2 Equaes de Equilbrio Condies de Convergncia 3.3 Elemento de Trelia 3.4 Elemento Plano 3.5 Elemento Slido 3.6 - Elemento de Viga 3.7 - Vetor de Cargas Consistente 3.8 Formulao Isoparamtrica - Coordenadas Naturais Mapeamento 3.9 Integrao Numrica Regras de Gauss 3.10- Clculo das Tenses EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 4MODELAGEM ESTRUTURAL 4.1 Escolha da Malha e de Elementos Apropriados4.2 Concentrao de Tenses e Transio de Malhas 5APLICAES EM PROJETOS ESTRUTURAIS 5.1 Vigas-Parede 5.2 Lajes-Cogumelo 5.3 Consolos 5.4 Coberturas 5.5 - Edifcios REFERNCIAS EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais1 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 1 INTRODUO 1.1 - Definio O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) um mtodo aproximado, um mtodo numrico,emEngenharia.Aplica-seemgeralaproblemasemquenopossvel obtersoluessatisfatriaspormtodosanalticos.OMEFpodeserdefinidosob diferentes enfoques: Enfoquematemtico-Omtodopodeserinterpretadocomoummtodo aproximadoparasoluodeequaesdiferenciaisparciaisouProblemasde Valor de Contorno (PVC), assim como o Mtodo das Diferenas Finitas. Mais recentementeoMEFfoiexplicadomatematicamentecomosendoaforma fraca de um Problema de Valor de Contorno [1]. Enfoquefsico-Omtodopodesercaracterizadocomoummtodode discretizao, ou seja, transforma um sistema contnuo, com uma infinidade de pontos, em um sistema discreto com um nmero finito de pontos. Enfoque variacional - O mtodo uma modificao do Mtodo Variacional de Rayleigh-Ritz, em que o domnio de integrao do funcional subdividido em regies. O Mtodo dos Elementos Finitos consiste em dividir o domnio de integrao doproblemaemumnmerodiscretoderegiespequenasdedimensesfinitas denominadas elementos finitos. A este conjunto de regies d-se o nome de malha de elementosfinitos.Afiguraaseguirmostraumasuperfciedeformagenrica discretizada por uma malha de elementos finitos planos triangulares. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais2 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Oselementospodemterasmaisdiversasformasgeomtricas,oquepermite uma melhor representao do problema, conforme ilustrado a seguir. Elementos unidimensionais - Barras de eixo reto (elementos de trelia, viga) ou curvo Elementosbidimensionais-Elementosplanos:triangulares,retangulares, quadrilteros com lados retos ou curvos. Elementos tridimensionais - Elementos slidos : tetradricos, hexadricos, com lados retos ou curvos. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais3 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Elementoslaminares-ElementosdePlaca(superfcieplana)eCasca(superfcie curva). Elementosaxi-simtricos-Elementostipotoridecomsimetriaderevoluo, gerados por elementos triangulares ou retangulares [2]. Os elementos so ligados entre si por pontos nodais denominados de ns. Cada elementotemumnmerodeterminadodens,quepodemserexternos,osque materializam a ligao com os demais elementos, ou internos. A localizao dos ns nos lados e dentro do elemento pode variar, por exemplo: Elemento de trelia: Elemento bidimensional ou elemento de placa: EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais4 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Aoinvsdeprocurar-sesoluesaproximadastratando-seoproblema globalmente,comofeitopormtodosaproximadostaiscomooMtodode Rayleigh-Ritz e o de Galerkin, considera-se cada regio ou elemento isoladamente, o que possibilita a escolha de funes mais simples para representar o comportamento aproximado local nesta regio. As incgnitas do problema so expressas em funo de valores nodais que so relacionadasatravsdefunesdeinterpolao(polinmiosnocasodoMEF)vlidas para cada regio ou elemento. Estes polinmios podem ser do 1o grau ou de ordemsuperior(quadrticos,cbicos),oqueforneceumamaiorflexibilidadeao mtodo. O Mtodo dos Elementos Finitos teve origem na Mecnica das Estruturas mas posteriormentefoigeneralizadoeatualmenteaplicadoadiversosproblemasem Engenharia,taiscomotransmissodecalor,escoamentodefluidos,dispersode poluentes, mecnica dos solos, campo magntico, campo eltrico, biomecnica, etc. NaMecnicadasEstruturasasincgnitassoemgeraldeslocamentosou tenses,masemoutrosproblemasdeEngenhariapodemsertemperaturas, velocidades, presses, corrente eltrica, ... OMtododosElementosFinitosutilizadoemprojetosdeedifcios,pontes, coberturas, barragens, motores eltricos, navios, avies, naves espaciais, etc. Sejaporexemploumachapaengastadaemumbordocomumfuro,como mostraafigura[2]aseguir.EsteumproblemadeEstadoPlanodeTenses,um problema contnuo em que as incgnitas so o campo de deslocamentos no plano da EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais5 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas chapa,u(x,y)ev(x,y).Devidocomplexidadedageometriadachapa,noseria possvel para este problema obter-se uma soluo exata, analtica. Aplicando-seoMtododosElementosFinitosaoproblema,achapa discretizada em ne elementos com um total de N ns. Obtm-se assim um total de 2N incgnitas, uma vez que cada n tem 2 graus de liberdade (n i :deslocamentos ui e vi). Transforma-se assim o sistema de equaes diferenciais que rege o problema em umsistemadeequaesalgbricas2N2N,noqualasincgnitassoos deslocamentos nodais. Matricialmente, este sistema de equaes pode ser escrito na forma: [ ]{ } { } F U K = onde[K] a matriz de rigidez da estrutura (chapa); {U} o vetor de deslocamentos nodais e {F} o vetor de foras nodais. Resolvendo-seestesistemadeequaesobtm-seasincgnitas,os deslocamentos nodais{U}.Aresoluo desistemasdeequaes para sistemascom muitos graus de liberdade s possvel com o auxlio de computadores digitais. Foi graas ao avano tecnolgico dos computadores e dos programas computacionais que o MEF pde ser desenvolvido. furo presso p EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais6 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Obtidos os deslocamentos nodais, obtm-se, em qualquer ponto dentro de cada elemento, os deslocamentos u (x, y) e v(x, y), utilizando-se as funes de interpolao do elemento. A partir destes deslocamentos obtm-se as deformaes especficas e as tenses em qualquer ponto dentro do elemento. Deve-seressaltarqueasoluoobtidaparaoproblemaumasoluo aproximada.Atendidascertascondies,conformeservistomaisadiante, refinando-seamalha,ouseja,aumentando-seonmerodeelementos,asoluo aproximada tende para a soluo exata, ou seja, o mtodo dito convergente. 1.2 Objetivo AscondiesdeconvergnciaeaprecisodasoluodoMtododos ElementosFinitosdependemnoapenasdaformulaodoselementosmastambm daescolhadamalhaedotipodeelementoutilizadonadiscretizaodoproblema. Emoutraspalavras,nobastautilizar-seprogramasbemdesenvolvidos,combons algoritmos numricos, necessrio tambm que a modelagem seja adequada. Quem fornece a malha de elementos finitos e quem escolhe o tipo de elemento a ser utilizado o usurio dos programas. Nem sempre verificado pelo programa se as coordenadas dos ns ou a conetividade dos elementos est coerente. Pode ser que umtipodeelementosejaadequadoparaumcertotipodeproblemamasnopara outro.Cabeaousurioterconhecimentosobreoselementosfornecidos,suas formulaes e a compatibilidade entre elementos adjacentes. Segundo Cook, Malkus &Plesha[3],"althoughthefiniteelementmethodcanmakeagoodengineer better, it can make a poor engineer more dangerous". Na verdade mesmo um bom engenheiro, mas que no conhea a teoria do Mtodo dos Elementos Finitos, pode ser perigoso ao aplicar o MEF a problemas usuais da Engenharia. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais7 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Cadavezmais,noentanto,osprogramasdeelementosfinitosestose aperfeioando,utilizandopr-processadoresparageraodemalhascomsadas grficasparavisualizaodasmalhaseverificaodageometria,oquevema facilitar ao usurio. Alguns programas mais modernos dispem de pr-processadores parageraoautomtica demalhas,lanandomalhas sucessivamente ataobteno deumamalhaconsideradaadequada,verificando-separaistoadescontinuidadede tenses entre elementos. Estadisciplinatemcomoobjetivofornecerosconhecimentosnecessrios modelagemconsistentedeestruturaspeloMtododosElementosFinitose utilizaodeprogramascomputacionaisdeElementosFinitosemProjetos Estruturais. AdisciplinaserrestritaaplicaodoMEFMecnicadasEstruturas.S seroconsideradasestruturascomcomportamentolinear,ousejaestruturascujos deslocamentosedeformaesespecficassopequenosequesejamconstitudasde material elstico-linear.SeradotadaaformulaodoMEFemtermosde deslocamentos,oquecorrespondeaoMtododosDeslocamentosdaAnlise Estrutural. 1.3 Histrico [3] Pode-se dizer que o Mtodo dosElementosFinitos surgiuintuitivamentees muito tempo depois, devido ao estudo de mtodos energticos e tcnicas variacionais, que o mtodo foi comprovado matematicamente. Desde1906ospesquisadoresprocuramestenderosmtodosdeanlise matricialparaestruturasreticuladas(barras)paraproblemascontnuosbietri-dimensionais. O esquema apresentado seguia o que pode-se chamar de enfoque fsico EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais8 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas do MEF. A dificuldade estava em calcular a matriz de rigidez de elementos bi e tri-dimensionais de forma arbitrria. AparentementeCourantfoioprimeiroaproporoMEFnaformaque conhecemoshoje.Em1941eleutilizouoPrincpiodaEnergiaPotencialMnimae subdividiuaseotransversaldeumabarraemelementostriangulares,assumindo funesdeinterpolaolineares,aoestudaroproblemadetorodeSaint-Venant. Posteriormente, Prager e Synge generalizaram o esquema de Courant chamando-o de Mtodo hipercrculo, aplicando-o a problemas matemticos. Napocano foi dadamuitaatenoao fato poisnoexistiamcomputadores pararesolvergrandessistemasdeequaesalgbricas.OdesenvolvimentodoMEF estligadoaodesenvolvimentodecomputadoresdigitaiselinguagensde programao.Em1953osengenheirosjescreviamasequaesdeequilbrioem forma matricial usando matrizes de rigidez das estruturas e resolviam os sistemas de equaesemcomputadores(napocaumproblemagrandetinha100grausde liberdade). Nesta poca Turner sugeriu que elementos triangulares fossem utilizados para discretizar uma asa de avio. OnomeMtodo dosElementosFinitosfoi dadopor Clough em1960.Novos elementosparaanlisedetensesforamdesenvolvidosdesdeentoporTurner, Clough, Martin e Topp. Adini, Melosh e Tocher aplicaram o mtodo para anlise de flexo de placas. Ainda considerava-se o mtodo como uma extenso dos mtodos de anlisematricialdeestruturasreticuladasparaproblemascontnuos.Foiapenasem 1963queomtodopassouaserrespeitado,quandoseufundamentotericofoi descoberto:omtodopodeserinterpretadocomoasoluodeumproblema variacional, no qual minimiza-se um funcional. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais9 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Nofinaldosanos60ecomeodosanos70comearamasurgirgrandes programasdeamplaaplicaodeelementosfinitos,taiscomooANSYS,ASKA, ICES, SAP, ... Mais recentemente, pr-processadores para gerao de malhas e dados deentradaeps-processadoresparaavaliaoevisualizaodosresultadosforam includosnosprogramas,graasaodesenvolvimentodospacotesgrficose aplicativoscomwindows.Atualmenteedifciosinteirossoanalisadospelomtodo dos elementos finitos em questo de minutos. Em 1961 dez trabalhos foram publicados sobre o MEF, 134 em 1966 e 844 em 1971. O total de trabalhos publicados at 1976 era de mais de 7000 e o total at 1986 eraemtornode20000.Aproduodetrabalhosnocontinuoucrescendoneste mesmoritmonestaltimadcada,masnovasaplicaesdoMEFforamsurgindo, principalmentenaanliseno-lineardeestruturasetambmemoutrasreasda Engenharia. 1.4 Aplicaes na Engenharia Civil AlgunsexemplosdeaplicaodoMEFnaEngenhariaCivil,analisadospelo programa SAP2000 [4], esto mostrados no que se segue: Pontes elementos finitos de barra 3D (prtico espacial, grelha) EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais10 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Coberturas elementos finitos de casca Reservatrios elementos finitos de casca Casca cilndrica Casca esfrica EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais11 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Edifcios de Alvenaria Estrutural elementos finitos de casca Edifcios de Concreto Armado lajes : elementos finitos de placa ou casca pilares e vigas: elementos de barra 3D (vigas no esto mostradas) EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais12 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Barragens elementos finitos planos (estado plano de deformao) Valos de Decantao elementos finitos de casca e barras 3D EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais13 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 1.5 Enfoque Fsico do MEF Assim como na Engenharia, de uma maneira geral, existem sistemas contnuos e discretos, na Mecnica das Estruturas pode-se classificar os sistemas estruturais em contnuosediscretos.Pode-seaindadiscretizarumsistemacontnuotornando-o discreto,atravsdemtodosdediscretizao,taiscomooMtododosElementos Finitos e o Mtodo das Diferenas Finitas. 1.5.1 Sistemas Contnuos Umsistemacontnuocompostoporumainfinidadedepontosepossui portantoumnmeroinfinitodegrausdeliberdade.Naanlisedeumaestrutura contnua,aestruturadivididaemelementosinfinitesimais,sendoassimpossvel exprimirmatematicamente,deumamaneirasimples,asrelaes"tenso-deformao" para cada elemento. As equaes de equilbrio so equaes diferenciais ordinrias ou um sistema de equaes diferenciais parciais, em que as incgnitas so emgeralosdeslocamentosouocampodedeslocamentosdaestrutura.Paraalguns casos simples possvel obter-se a soluo exata destes problemas atravs do mtodo de integrao direta, como o exemplo mostrado a seguir. Exemplo 1: Barra prismtica submetida a esforo uniaxial Sejaabarraprismtica(eixoretoeseotransversalconstante)edematerial homogneo,mostradanafiguraacima,cujaextremidadeesquerdafixaenaqual aplica-se uma carga axial P, na extremidade direita.A barra tem comprimento igual a l , rea da seo transversal igual a A e mdulo de elasticidade constante igual a E. lP A dx EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais14 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Neste problema existe apenas a possibilidade de deslocamento axial, tratando-se portanto de um problema uni-dimensional (1D). As incgnitas do problema so os deslocamentos axiais que variam ao longo do eixo da barra : u (x) . Areaodeapoioobtidaporequilbrioesttico,tendomesmomduloe sentido contrrio carga aplicada. O diagrama de esforo normal ou axial portanto constanteeiguala+Paolongodabarra,ouseja,abarraestsubmetidatrao pura.Dividindo-seabarraemelementosinfinitesimaisdx,cadaelementoest submetido ento a uma tenso normal positiva:
APx= (1.1) queserconstanteparatodoselementos,umavezqueaseotransversaldabarra tambm constante e igual a A. Admite-se que a barra composta de material elstico-linear, que segue a Lei de Hooke: x xE =(1.2) ondex a deformao especfica axial do elemento infinitesimal dx. Sendo conhecida a relao deformao especfica deslocamento: dxdux= (1.3) ondeduavariaodecomprimentodoelementoinfinitesimaldx,comomostraa figura,obtm-seaequaodeequilbriodoelementoinfinitesimal,substituindo-se (1.1) e (1.2) em (1.3): dxdu EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais15 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas EAPE dxdux= = (1.4) que uma equao diferencial de 1a ordem. Para resolver esta equao necessrio conhecer-seumacondiodecontorno.Nesteexemploconhecidaacondiode contornonaextremidadeesquerdadabarra,quefixa:parax=0tem-seque u(0) = 0. Osproblemasregidosporequaesdiferenciascomcondiesdecontorno conhecidassodenominadosdeproblemasdevalordecontorno(PVC).Oexemplo desta barra portanto o exemplo de um problema de valor de contorno: == 0 (0)0uEAPdxduPVC (1.5) A maioria dos problemas em Mecnica dos Slidos, incluindo a Mecnica das Estruturas, pode ser descrita por um Problema de Valor de Contorno. Asoluodaequaodiferencialdabarradesteexemplopodeserobtidapor integrao direta: c xEAP) x ( u + = (1.6) Aplicando-seacondiodecontorno u(0)=0,obtm-seovalordaconstante de integrao: c = 0. A soluo do problema fica ento: xEAPx u = ) ( (1.7) EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais16 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Observa-sequeodeslocamentoaxialvarialinearmenteemx,sendomximo na extremidade direita da barra, quando x=l : lEAPx u = ) (. Nemsempretosimplesaresoluodeumaequaodiferencialoudeum sistemadeequaesdiferenciaisparciaisdesistemascontnuos,poristode fundamental importncia o conhecimento dos mtodos de discretizao. 1.5.2 Sistemas discretos Sistemasdiscretossoaquelesquepossuemumnmerofinitodepontos materiaiseportantoumnmerofinitodegrausdeliberdade.Exemplosclssicos utilizadosnaMecnicadasEstruturassoosdepontosmateriaisligadospormolas elsticas. Exemplo 2: Ponto material ligado mola elstica e linear Sejaumpontomaterialligadoextremidadedireitadeumamolaelsticae linear,derigidezkeconsideradainextensvel,fixanaextremidadeesquerda,como mostra a figura acima. k P u u(x) EAPlu(x) xl EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais17 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Aplicando-seumaforahorizontalPaopontomaterial,estesofrerum deslocamentohorizontalu,queserdiretamenteproporcionalforaaplicadae inversamente proporcional constante elstica da mola : kPu = (1.8) Esteproblemapossuiumnicograudeliberdade,odeslocamentou,ea equao de equilbrio que rege o problema uma equao algbrica: P u . k =(1.9) 1.5.3 Discretizao Alguns tipos de estruturas contnuas, tais como estruturas compostas de barras (reticuladas),edifciosformadosporlajesrgidasapoiadasemcolunasflexveis submetidos a cargas laterais, ..., so estruturas usualmente tratadas como discretas em AnliseEstrutural.comomodelarumaestruturaporumaassociaodepontos materiaisemolaselsticas.Naverdadeaplicam-semtodosdediscretizaopara transformarasestruturascontnuas emdiscretas,comumnmero finito degraus de liberdade.Asequaesdiferenciaisqueregemoproblemasoassimtransformadas emequaesalgbricas.Nocasodeestruturasreticuladasosmtodosde discretizao conduzem a solues exatas, enquanto que, para estruturas laminares e tridimensionais, as solues sero, em geral, aproximadas. Exemplo 3: Discretizao de uma barra contnua de material homogneo e seo constante PlA1 2u1 EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais18 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Seja a barra contnua vista anteriormente no item 1.5.1, discretizada agora por umelementounidimensional, quecoincidecomoeixo longitudinal da barra, com2 nsnaextremidade.Asrelaesforadeslocamentosoagoraconsideradasnos ns,1e2,ecomoabarrafixaesquerda,odeslocamentohorizontaldon2 nulo,u2=0.Osistemaficareduzidoportantoaumsistemacomapenas1graude liberdade (GL), o deslocamento horizontal do n 1,u1 . O sistema contnuo, com um nmeroinfinitodeGL,ficaassimreduzidoaumsistemadiscretocomumnmero finito de GL. Emanalogiaaumamolaelstica,deve-seterqueaforaaplicadaP proporcionalaodeslocamentou1,sendoestaproporcionalidadedadapelarigidez axial da barra, ou do elemento; pode-se ento escrever a equao de equilbrio (1.9) para o n 1: P u k =1 (1.9) Supondoconhecidaarigidezaxialdabarra,queoinversodaflexibilidade, sendoestaobtidaporexemploapartirdoPrincpiodosTrabalhosVirtuaisoupor outro mtodo da Mecnica das Estruturas: lEAk= (1.10) pode-se obter ento a soluo da equao de equilbrio: EAPlkPu = =1 (1.11) Aequaodiferencialdoproblemacontnuofoiassimtransformadaemuma equaoalgbricacom1incgnitanosistemadiscreto.Observa-sequeo deslocamentou1obtidocoincidecomovalorobtidoanteriormente,paraa EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais19 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas extremidadedabarracontnua(x=l),ouseja,obteve-seasoluoexataparao problema.Adesvantagemdesteprocedimentoseriaaimpossibilidadedeobter-seo deslocamento em um ponto qualquer da barra, apenas nos ns. Entretanto, os esforos nasbarras,demaiorinteresseparaosprojetistas,dependemapenasdos deslocamentos dos ns nas extremidades dos elementos. Utilizando-se o Mtodo dos ElementosFinitoscomomtododediscretizao,tambmpossvelobter-seos deslocamentosemqualquerpontodentrodoelemento.Paraestruturasreticuladas possivelobter-searigidezdoselementosdiretamenteusandoosmtodosda MecnicadasEstruturas.Jparaestruturaslaminaresetridimensionaisser necessrio utilizar a formulao matemtica do Mtodo dos Elementos Finitos. Exemplo 4: Discretizao de uma barra contnua composta de 2 hastes l lP1 2u u1 2
11 11lA Ek = 22 22lA Ek = Sejaagoraesteexemploemqueabarracompostadeduashastes,de materiais, comprimentos e sees diferentes, conforme mostra a figura. Esta estrutura podeseridealizadapelaassociaodedoiselementosunidimensionaisderigidez diferentes, k1 e k2 , interligadas por ns, o que corresponde a um sistema discreto de trs pontos materiais ligados por duasmolas elsticas diferentes, conformemostra a figura a seguir: l1 l2 u=0 EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais20 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Como a extremidade esquerda fixa, trata-se de um problema de 2 graus de liberdade,u1 e u2;adiscretizaodestabarraconduzirassimaumsistemade2 incgnitas e 2 equaes algbricas de equilbrio de foras em torno dos ns, que pode ser escrito sob a forma: = += +P u K u Ku K u K2 22 1 212 12 1 110 (1.12) ou ento, sob a forma matricial: )`=)`((
P0uuK KK K2122 2112 11 ;[ ]{ } { } F U K =(1.13) onde {U} o vetor de deslocamentos nodais, {F} o vetor de foras nodais e[K] a matriz de rigidez da barra que pode ser obtida da seguinte maneira: i) Impem-se os deslocamentosu1 = 1 e
u2 = 0barra: obtendo-se assim os coeficientes K11 =
k1 + k2 e K21 = - k2 . ii) Impem-se os deslocamentosu1 = 0 e
u2 = 1barra: k1k2 P u1 u2 k1k2 u1 =1 k2 k1 K11K21 k2 u2 =1 k2 K12K22 EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais21 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas obtendo-se assim os coeficientes K12 =
- k2 e K22 =k2 . Resolvendo-seosistemadeequaes(1.12)obtm-seasincgnitasdo problema,u1 e u2. Paraestruturascompostasdemuitasbarras,emvezdetratar-seaestrutura globalmente,comonesteexemplo,divide-seaestruturaemelementos.Asmatrizes derigidezdecadaelementosocalculadasentoisoladamentee,apartirdestas, obtm-seamatrizderigidezdaestrutura,somando-seoscoeficientes correspondentesaosmesmosgrausdeliberdade.EstesprocedimentosdaAnlise Matricial de Estruturas podero ser aplicados a estruturas laminares e tridimensionais discretizadaspeloMtododosElementosFinitos,umavezconhecidaamatrizde rigidez dos elementos finitos. Exemplo 5: Discretizao de uma barra contnua de material homogneo e seo varivel A=10 P A=1 l = 100 EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais22 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Seja agora uma barra de material homogneo mas de seo varivel, conforme mostraafiguraacima,engastadanaextremidadeesquerdaecomumacargaaxial P aplicada na extremidade direita. A rea da seo transversal varia ao longo do eixo x : A(x)=10- 0,09x,e sodados tambm,emunidadesconsistentes, acargaaxialP = 20 e o mdulo de elasticidade do material da barra, E = 20 000. Inicialmenteserobtidaasoluoexatadoproblema,tratandoabarracomo contnua.Dividindo-seabarraemelementosinfinitesimaisdx,cadaelementoest submetido a uma tenso normal positiva, que agora varivel ao longo de x: x x APxx09 , 0 1020) () (= = (1.14) LevandoemconsideraoaleideHooke,(1.2)earelaodeformao especfica deslocamento (1.3), chega-se equao diferencial que rege o problema: ( )( ) x EAPExdxdux= =(1.15) Estaequaodiferencial,juntamentecomacondiodecontornodadapela extremidadefixa,quandox=0u(0)=0,definemoProblemadeValorde Contorno para este exemplo. A soluo da equao diferencial (1.15) pode ser obtida por integrao direta: ( )cxdxEPx u c dxx EAPx u += + = 09 , 0 10) ( ) ((1.16) ( ) c x x u + = 09 , 0 10 ln09 , 010) (3 (1.17) Aplicando-se a condio de contorno, obtm-se a constante de integrao c: EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais23 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 9010 ln0 10 ln901= = + c c (1.18) aqual, substituda naequao(1.17),forneceasoluo deste ProblemadeValorde Contorno: ) 009 , 0 1 ln(901) ( x x u =(1.19) Na extremidade direita da barra, para x = 100, obtm-se o deslocamento axial u(100) = 0,0256. Nesteexemplo,apesardemaiscomplicadodoqueoprimeiro,aindafoi possvelobter-seanaliticamenteasoluoexatadoproblema.Noentanto,medida queageometria,ocarregamentoeascondiesdecontornotornam-semais complexos, nem sempre ser possvel obter-se a soluo exata, devendo-se recorrer a mtodos aproximados para buscar-se uma soluo aproximada para o problema. OsmtodosaproximadosemEngenharia,taiscomooMtododeRayleigh-Ritz,MtododeGalerkin...,utilizamfunes,emgeralpolinmiosoufunes trigonomtricas,paraasoluoaproximada.Emumproblemaunidimensionalde Mecnica dos Slidos, teria-se por exemplo: ... ) (3322 1+ + + + = x x x x uo (1.20) emqueasincgnitas,i,sodeterminadasaplicando-secertasrestriesdeacordo comomtodo,sendoqueocorposlido,ouaestrutura,tratadoglobalmente,ou seja, considera-se o domnio inteiro de integrao do problema. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais24 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Parafinsdeilustraodesoluesaproximadas,pode-seexpandirasoluo exata deste exemplo 5 em srie de Taylor: 1 ; .. .3 2) 1 ln(3 2< = zz zz z (1.21) Comoparaesteproblemax 0 x0 x0+x x x0x0+x x EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais30 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Analogamente,sef fornegativoentoxoummximorelativo,pois qualquer que seja o valor dex ,) ( x x fo +ser sempre menor do que) (ox f . Comox muitopequeno, 2x serbemmenordoquex e 3x bem menordoque 2x ,eassimsucessivamente,ouseja,aprimeiraparceladaeq.(2.2) predominasobreasdemaiseosinaldef serigualaodaprimeiraparcela. Observa-se que, se 0 oxdxdfno ser possvel definir o sinal def , pois o mesmo ir depender do sinal dex . Portanto, para obter-se um valor extremo de f (mximo ou mnimo relativo) em xo necessrio que: 0 =oxdxdf (2.3) Os pontos que satisfazem esta condio so denominados estacionrios e esta condio denominada estacionariedade. Almdisso,como 2x semprepositivo,ocarterdopontoestacionrio ficar definido pelo sinal de oxdxf d22. Se > > 0 022fdxf dox xo um mnimo relativo Se < < 0 022fdxf dox xo um mximo relativo (2.4) EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais31 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Se = 022oxdxf d xoumpontoneutroedeve-seinvestigarasderivadasde ordem superior. Estaanlisepodeserestendidaparafunesdeduasoumaisvariveis.Ser introduzida agora a seguinte notao variacional: K +|||
\|+|||
\|+||
\|= + =333222) (! 31) (! 21) ( ) ( xdxf dxdxf dxdxdfx f x x f fo ooo o (2.5) onde x o incremento ou variao da varivel x; xdxdffo ||
\|= o incremento de 1a ordem de f ou 1a variao de f; 2222) ( xdxf dfo |||
\|= o incremento de 2a ordem de f ou 2a variao de f ...e f o incremento total de f ou a variao total de f. Usando-se a notao acima, pode-se reescrever a eq. (2.5): K + + + = f f f f3 2! 31! 21 (2.6) E a condio de estacionariedade pode tambm ser reescrita: 0 0 ; 0 =||
\| =||
\|=o odxdfx xdxdff (2.7) EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais32 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 2.1.2 Funcionais Em clculo variacional, ao invs de trabalhar-se com funes, trabalha-se com funcionais. Funcional uma quantidade cujo valor depende de uma ou mais funes erepresenta-senaforma:F=F(f(x))ousimplesmenteF=F(f).NestecasoF depende apenas de uma funo f que depende apenas de uma varivel, x. No caso geral F pode depender de vrias funes, as quais podem depender de uma ou mais variveis: ) , ( ou )) , ( ), , ( ( g f F F y x g y x f F F = = (2.8) NaMecnicadosSlidos,sodemaiorinteresseosfuncionaiscujovalor depende da integral de uma ou mais funes sobre uma certa regio ou domnio, por exemplo: dx f f f f FxxxxxBA) 8 3 2 ( ) ( + =(2.9) que pode ser escrito na forma genrica: 22e onde) , , , ( ) (dxf dfdxdffdx x f f f I f Fxx xxxxxxBA= == (2.10) Se F depender de f e g, que por sua vez dependem de x e y, tem-se: dxdy y x g g g g f f f f g f I g f Fyy y xx x yy y xxAx) , , , , , , , , , , , ( ) , (=(2.11) Adotando-sefunesdiferentesparaf,obtm-sevaloresdiferentesparaFem (2.10),assimcomoadotando-sefunesdiferentesparafeg,obtm-sevalores diferentes para F em (2.11). EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais33 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas OproblemadoClculoVariacionalconsisteemencontrarafuno(ou funes) que torna (ou tornam) o funcional F estacionrio. Na Mecnica dos Slidos, osproblemassoemgeralformuladosemtermosdeumfuncional,utilizando-seos princpios energticos: a soluo do problema corresponde a uma funo estacionria do funcional (geralmente que torna o funcional mnimo). Sejaumfuncionalsimplesquedependeapenasdeumafunoedesua derivada: B Axxxx x x dx x f f I f FBA =; ) , , ( ) ((2.12) em que so conhecidas as condies de contorno: B B A Af x f f x f = = ) ( e ) ( (2.13) OconjuntodefunesadmissveisparaqueofuncionalFem(2.12)seja definidonointervalo[xA,xB]soasfunesquesatisfazemascondiesde contornoequesocontnuasdentrodointervalo[xA,xB].Paraumfuncional genricoquecontenhaderivadasataordemmdef,asfunesadmissveisparaf devemsercontnuasesuasderivadasataordem(m-1)tambmdevemser contnuas. Dentro deste conjunto de funes admissveis para f, deve-se encontrar aquela que torna o funcional F estacionrio. Para isto deve-se estudar o comportamento de F parapequenasvariaesemtornodafunof,analogamenteaoestudodafunof em torno de xo , conforme visto anteriormente. Define-se assim a funo h = f +f , comomostraafiguraaseguir,sendoquehdevetambmrespeitarascondiesde contorno : h (xA ) = fA e h (xB) = fB, para que seja uma funo admissvel ao funcional. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais34 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Desenvolvendo-se o funcional F em srie de Taylor em torno de ftem-se: K + + + = + = F F F f F f f F F3 2! 31! 21) ( ) ( (2.14) onde F a variao total de F; F a 1a variao de F; F2 a 2a variao de F ...e assim por diante. A condio de estacionariedade do funcional F dada por: 0 = F (2.15) Analogamente ao que foi visto anteriormente para funes: Se > > 0 02F f Fter um mnimo relativo Se < < 0 02F f Fter um mximo relativoSe = 02f Fter um ponto neutro. Partindodaeq.(2.12)esabendoque,paraumafunodeduasvariveis, g=g(x,y), a primeira variao da funo se escreve:yygxxgg |||
\|+|||
\|= , pode-se escrever a 1a variao do funcional F: f, h f xA xBx fB fA EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais35 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas dx ffIffIdx f f I FBABAxxxxxxx |||
\|+ = = ) , ( (2.16) Integrando por partes o 2o termo entre parnteses de (2.16), vem: BABAxxxxxxffIdxfIdxdf ffIF((
+((
|||
\| = (2.17) Observa-seque:0 ) ( e 0 ) ( logo , = = =B Ax f x f f h f (verfigura anterior, pg. 34),portanto o ltimo termo da eq. (2.17) se cancela. Aplicando agora a condio de estacionariedade: 0 . 0 =((
|||
\| =dx ffIdxdfIFBAxxx(2.18) Comof arbitrrio, para que a eq. (2.18) seja satisfeita para qualquer valor de f , o termo entre colchetes no integrando desta equao deve-se anular:0 =|||
\|xfIdxdfI (2.19) o que resulta numa equao diferencial, no caso de 2a ordem, denominada equao de EULER-LAGRANGE. Portanto, a funo fque torna o funcional F estacionrio aquela que satisfaz equao diferencial de Euler-Lagrange, (2.19), e s condies de contorno (2.13). Exemplo: Sejaofuncionaldx xf f fx||
\|+ +102 24 221emque asfunes f devematender scondiesdecontorno:f(0)=f(1)=0.EncontreafunofquetorneF estacionrio. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais36 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas xf f f I dx x f f I Fx x4 221; ) , , (2 210+ + = = xxffIx ffI= + =; 4 4 A equao de Euler-Lagrange para este exemplo torna-se ento: 0 ) ( 4 4 0 = + =|||
\|xxfdxdx ffIdxdfI que uma equao diferencial de 2a ordem. Logo a funo f que torna o funcional F estacionrio e satisfaz s condies de contorno a soluo do Problema de Valor de Contorno: = =+ =0 ) 1 ( ) 0 (4 4f fx f fxx A soluo deste problema :xe ee efx x=2 22 2 ObterafunofquetornaFestacionrioesatisfazsduascondiesde contornof(0)=f(1)=0equivaleportantoaencontrarasoluodaequao diferencialacima,de2aordem,submetidasduascondiesdecontornodadas,ou seja, encontrar a soluo de um Problema de Valor de Contorno (P.V.C.). Seja agora um funcional que depende apenas de uma funo, como o definido em (2.12), devendo porm a funo f satisfazer apenas a uma condio de contorno: A Af x f = ) ( (2.20) EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais37 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 0 logo , 00 logo , 0 == = ===BAx xBx xAf f h x xf f h x x Paraque afuno f torne ofuncionalFdefinidoem(2.20) estacionrio,a 1a variao de F deve se anular. Substituindo-se as condies de contorno acima na eq. (2.17), tem-se agora que: 0 =((
((
+((
|||
\| =A BBAxxxxxxxffIffIdx ffIdxdfIF (2.21) Para que a equao acima seja satisfeita, comof arbitrrio, o integrando contidono1otermodeve-seanular,resultandonamesmaeq.deEuler-Lagrange, (2.19),encontradaanteriormente.Devidocondiodecontorno(2.20)oltimo termode(2.21)secancela,mascomoagoranopontoBf nomaisconhecido, ser tambm um valor arbitrrio e portanto para que o 2o termo se anule e (2.21) seja satisfeita, deve-se ter que:0 =BxxfI. Esta condio conhecida como condio de contorno natural (ou livre), enquanto que a condio de contorno (2.20) conhecida comocondiodecontornoessencial(ouforada).Resumindoento,paraquea funoftorneofuncionalFestacionrio,asseguintescondiesdevemser atendidas: xAxB x f fB fA f, h EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais38 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas essencial contorno de condio ) (natural contorno de condio 0Lagrange - Euler de eq. 0===|||
\|A Axxxf x ffIfIdxdfIB(2.22) Oproblema(2.22)(ouaeq.(2.21)+condiodecontorno(2.20)) conhecido como aforma fraca (ou forma variacional) de um Problema de Valor de Contorno. Deumamaneirageral,paraqueftorneofuncionaldx x f f I f FBAxxx) , , ( ) (=estacionrio,f deve satisfazer eq. de Euler-Lagrange (2.19) e tambm s condies: 0 ou ) (0 ou ) (= == =BAxxB BxxA AfIf x ffIf x f(2.23) Paraesteproblema(equaodiferencialde2aordeme2condiesde contorno),deve-seteremcadapontodocontornoumacondiodecontorno, essencial ounatural, no se pode ter as duas condies no mesmo ponto e nehuma no outro ponto do contorno, pois a condio de estacionariedade no seria atendida e no seria possvel a resoluo do problema. Estendendoagoraoestudoparafuncionaisqueincluemderivadasdeordem superior: EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais39 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas ; ) , , , ( ) ( dx x f f f I f FxxxxxBA= f e fx so funes contnuas (2.24) A primeira variao de F torna-se: dx ffIffIffIFBAxxxxxxxx|||
\|+ + = (2.25) Integrando por partes o 2o e 3o termos da eq. acima, vem: dxfIdxdf ffIdx ffIBABABAxxxxxxxxxx |||
\|((
=|||
\| dxfIdxdf ffIdxdffIdxfIdxdf ffIdx ffIBABABABABABAxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx |||
\|+((
|||
\|((
=|||
\|((
=|||
\| 22 Substituindo-se os termos acima em (2.25), obtm-se: BABABAxxxx xxxxxxxxxx xffIdxdfIffIdx ffIdxdfIdxdfIF(((
|||
\||||
\| +((
+((
|||
\|+|||
\| =22(2.26) Se fossem dadas as condies de contorno: = == =' ) ( ; ) (' ) ( ; ) (B B x B BA A x A Af x f f x ff x f f x f, os 2o e3otermosdaeq.(2.26)seanulariame,comof arbitrrio,paraqueF seja nulo deve-se ter: 022=|||
\|+|||
\|xx xfIdxdfIdxdfI(2.27) EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais40 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas que a equao de Euler-Lagrange do problema, neste caso uma equao diferencial de 4a ordem. De uma maneira geral, no sendo dadas as condies de contorno acima, deve-se sempre ter: (2.28) is c.c.natura0 ou ' ) (0 ou ' ) (0 ou ) (0 ou ) (essenciais c.c.)`= == ==((
|||
\| ==((
|||
\| =BABAxxxB B xxxxA A xxxx xB Bxxx xA AfIf x ffIf x ffIdxdfIf x ffIdxdfIf x f
Conformevistoanteriormente,emcadapontodocontornooutem-seuma condio de contorno ( no caso, da funo e de sua derivada) essencial ou natural, os dois tipos no podem ocorrer no mesmo ponto. Semaordemmaisaltadasderivadasdentrodofuncional,aequaode Euler-Lagrangeumaequaodiferencialdeordem2m,ehaver2mcondiesde contorno, de 0 at 2m-1, lembrando que as funes f admissveis ao funcional devem ser contnuas e suas derivadas at a ordem m-1 tambm. Exemplo: Seja o seguinte funcional: dx p EIlxx z p||
\| = 02v ) (v21 em que a funo v deve atender s condies de contorno:0 (0)v e0 v(0)x= =. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais41 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas EncontreaequaodeEuler-Lagrangeeascondiesdecontornonaturais deste problema. p representaaenergiapotencialtotaldeumavigaderigidezflexo,EIz, constante, submetida a uma carga uniformemente distribuda, p. Para as condies de contorno dadas (essenciais), trata-se de uma viga engastada em x = 0 e livre em x = l: v ) (v21; ) , v v, (20p EI I dx x I Fxx z xxl = = xx zxx xEII IpIvv; 0v;v= = = A equao de Euler-Lagrange , (2.19), para este exemplo torna-se ento: 0 ) v ( 0 02222= + =|||
\|+|||
\|xx zxx xEIdxdpfIdxdfIdxdfI ou zxxxx zEIpdxdp EI = =44vou ) v ( queumaequaodiferencialde4aordem,aconhecidaequaodeequilbriode uma viga submetida flexo. plxvEE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais42 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas As condies decontorno do problema soobtidas a partir de (2.28): 0 M ou 0 v 0v)0 v 0 ) 0 ( v )0 V ou 0 v 0v v)0 v 0 ) 0 ( v )xx0xxxx0)`= = == = == = =((
|||
\|= = == ==== ===l x l xzl xxxxxl x l xzl xxx xxEIIivx iiiEIIdxd Iiix i sendoqueascondiesi)eiii)socondiesessenciais,impostas,decorrentesdo engastedaviganaextremidadeesquerda,emx=0,eascondiesii)eiv)so condies naturaisque devem ser atendidasuma vez que o valor do deslocamento v edarotaovxnaextremidadedireita,emx=l,nosoconhecidos.Ascondies naturais implicam portanto que se anulem na extremidade direitadaviga o momento fletor,M,eoesforocortante,V,oqueestcorreto,umavezquenoexistenenhuma carga nem nenhum binrio aplicado na extremidade livre. A soluo desteProblema de Valor de Contorno (forma fraca) em que m = 2 a soluo da equao diferencialde Euler-Lagrange, de 4a ordem, encontrada acima, que atende s 4 condies decontorno. Esta soluo aconfigurao de equilbrio daviga,pois,entretodasasconfiguraesadmissveisaofuncional,apenasesta torna ofuncional p ,deenergiapotencialtotal,estacionrio,conformeestabeleceoPrincpiodeEnergiaPotencialEstacionria, a servistomaisadiante.Almdisso, comoestaconfiguraoresultaemumvalormnimodofuncional(umavezquea rigidezflexopositiva),trata-sedeumaconfiguraodeequilbrioestvel.Nos problemasemqueofuncionalaenergiapotencialtotaleasfunesso deslocamentos,ascondiesdecontornoessenciaisenvolvemsemprederivadasdeordem 0 a m-1 , sendo asssim denominadasde condio decontorno geomtricas, enquanto que as condiesdecontorno naturais envolvem derivadas deordemm a 2m-1, sendo denominadas condies de contorno do tipo fora. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 43 2.2 Princpio da Energia Potencial Mnima [3] Seja o sistema da figura abaixo: em que define-se: Sistema corpo slido (ou estrutura) mais o conjunto de cargas aplicadas neste; Configuraodeumsistemaconjuntodeposiesdetodasaspartculasdo corpo slido; CR configurao indeformada ou de referncia do sistema; CD configurao deformada do sistema; SistemaConservativoquandootrabalhorealizadopelasforasinternase externas do sistema independem do caminho percorrido entre CR e CD (no h perda de energia). Paraumcorpoelstico,otrabalhorealizadopelasforasinternasigualem magnitudevariaodaenergiadedeformaointerna,U.Umsistemamecnico conservativotemumaenergiapotencial,isto,pode-seexpressaraquantidadede energiadosistemaemtermosdasuaconfigurao(semprecisarconhecera histria das configuraes anteriores). A energia potencial total do sistema consiste daenergiadedeformaointerna,elstica,(U)edopotencialdetodasascargas externas(V),ouseja,acapacidadedestasrealizaremtrabalhoquandodeslocadasda configurao atual deformada para a configurao de referncia, indeformada. V UP+ = (2.29) F2 F1 u3 u1 F321 Configurao deformada3 u2 Configurao indeformada EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 44 Todo corpo, ao se deformar, armazena energia de deformao interna, portanto emqualquerconfiguraoCD,Usersemprepositiva.Opotencialdasforas externasrealizaremtrabalho,V,entreCDeCRseriguala(We),sendoWeo trabalho que estas foras realizaram entre CR e CD. O Princpio de Energia Potencial Estacionria diz que: Entre todas as configuraes admissveis de um sistema conservativo, aquelas que satisfazem as equaes de equilbrio tornam a energia potencial estacionria. Este Princpio vale tanto para sistemas lineares como para no-lineares (desde queelsticos).Almdissoseacondiodeestacionaridadecorrespondeaum mnimo o equilbrio ser estvel (se for mximo equilbrio instvel, se for neutro equilbrio indiferente) ParainvestigarcomovariaPparapequenasvariaesdedeslocamentos, desenvolve-seP em srie de Taylor e a condio de estacionaridade dada por: 0 = P 1a variao deP nula (2.30) O carter do ponto estacionrio ficar determinado pelo sinal da 2a variao deP. a) Sistemas discretos (conservativos) i)Sistema simples 1 mola linear 1 grau de liberdade (GL) indeformada deformada EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 45 Independentementedocaminhopercorrido(A,B,C)aenergiadedeformao do sistema na configurao deformada : 2.21u k U= E o potencial das cargas externas : u P W Ve. = = A energia potencial total (2.29) dada por: ( ) u u P u k V UP P = = + = . .212 A configurao de equilbrio, ueq encontrada aplicando-se (2.30): 0 .00 = = = = P u kdudududeqP PP(2.31) kPueq= (equao de equilbrio) Aequao(kueq-P).u=0representaoPrincpiodosTrabalhosVirtuais conforme ser visto mais adiante. Pode-se tambm observar da figura abaixo que, na configurao de equilbrio,P um mnimo relativo logo o equilbrio ser estvel.
De fato, 0 e22> =k kdudp EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 46 ii)Sistema de vrios GL (n) Pode-se citar como exemplo uma estrutura reticulada composta de barras, com um total de n graus de liberdade. A energia potencial total do sistema : P = P (u1, u2, u3, ..., un) E a 1a variao da energia potencial total : nnP P PPuuuuuu+ + + = .....2211 A condio de estacionaridade (2.30),0 = P, implica em: 0. . . 0;02 1===nP P Pu u u ou n a iuip10==(2.32) que representam um sistema (n n) de equaes (algbricas) de equilbrio . Introduzindo-seaseguintenotao:umtil(~)sobumaletrapararepresentar tanto um vetor como uma matriz, pode-se reescrever (2.32) matricialmente: Pu~~= 0 Exemplo: Molas em srie sistema de 3 GL EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 47 Osistemapossui3grausdeliberdadequesoosdeslocamentoshorizontais dos 3 pontos materiais, representados matricialmente pelo vetor de deslocamentos: )`=321~uuuu Eosistemaestsubmetidoaumacargahorizontalemcadapontomaterial, representadas pelo vetor: )`=321~PPPF A energia de deformao interna U depende dos deslocamentos relativos sofridos por cada mola: Deslocamento relativo na mola 1 u1 Deslocamento relativo na mola 2 u2 - u1 Deslocamento relativo na mola 3 u3 - u2 Logo:( ) ( )3 3 2 2 1 122 3 321 2 221 1212121u P u P u P u u k u u k u kP + + = As equaes (2.32),0 =iPuresultam em: ( )( ) ( )( )= = = 0003 2 3 32 2 3 3 1 2 21 1 2 2 1 1P u u kP u u k u u kP u u k u k(equaes de equilbrio) ou, matricialmente: EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 48 )`=)`((((
+ +3213213 33 3 2 22 2 100PPPuuuk kk k k kk k k ou seja: ~ ~ ~. F u K =(2.33) queumsistema(3x3)deequaesalgbricas,sendo ~K amatrizderigidezdo sistema. Cadaumadasequaes(2.32)correspondeequaodeequilbrionodal (Pii euF F = = 0 ,asomadasforas internas=somadasforasexternas no n i). A2a variao de P ser positiva, uma vez que: P PuK u FuK~~ ~ ~~~. = =e22 (2.34) eamatriz ~K positivo-definida(osistemarestringidoamovimentosdecorpo rgido,nohiposttico,earigidezdasmolaspositiva).Portantoasoluo ~ucorresponde a um mnimo relativo para a energia potencial total, P, sendo assim uma configurao de equilbrio estvel. O Princpio da Energia Potencial Mnima diz que: Aconfiguraodeequilbrio(oucampodedeslocamentosquesatisfazas equaesdeequilbrio)deumsistemalinear,elstico,aquetornaaenergia potencial total do sistema mnima. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 49 b)Sistemas Contnuos (conservativos) Sejaumcorpo slidodeformaarbitrria,submetidoaforas no seuinterior, denominadasforasdevolume) (~b ,enoseucontornosubmetidoaforasde superfcie) (~p ecertascondiesdecontorno(deslocamentosprescritos, ~u ), conforme mostra a figura abaixo: sendo ppppxyz~=`);bbbbxyz~=`); e no contorno S: S - parte do contorno com foras de superfcie prescritas: ~pSu - parte do contorno com deslocamentos prescritos: ~u OobjetivodaMecnicadosSlidosobteraconfiguraodeformadadocorpo, ouseja,ovetordedeslocamentosdecadapartculadocorpo:uuvw~=`).Esta configurao a configurao de equilbrio do corpo, que ser obtida utilizando-se o Princpio da Energia Potencial Mnima, sendo conhecidas:EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 50 i)Equaes de compatibilidade: que so as relaesDeformao Especfica Deslocamentos;consideram-sepequenasdeformaesespecficas,portantoestas relaes so lineares. )`+ = =+ = =+ = =ywzvzwxwzuyvxvyuxuyz zyx
xzxy (2.35) ii)EquaesConstitutivas:querelacionamastensescomasdeformaes especficas,quedependemdotipodematerial.Omaterialdocorposlido considerado isotrpico e elstico-linear, portanto estas equaes so lineares. Apesar de serem grandezas tensoriais, as tenses e deformaes so aqui representadas como vetores: )`(((((((((((
+=)`xzyzxyzyxxzyzxyzyxE .22 10 0 0 0 0022 10 0 0 00 022 10 0 00 0 0 10 0 0 10 0 0 1.) 2 1 ).( 1 ( (2.36) ou,matricialmente: ~ ~ ~. D = ;onde ~Damatrizconstitutivadomaterial;Eo mdulo de elastcidade e o coeficiente de Poisson do material. Define-se agora: Uo energia de deformao por unidade de volume do corpo, que igual em magnitude ao trabalho realizado pelas tenses sobre as deformaes. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 51 Seja, por exemplo em um problemaunidimensional: (material elstico-linear: . E = ) d E d Uo. . .0 0 = = .21.21
2= = E Uo(rea sob a curva do grfico) Em um corpo slido tem-se que: [ ]zy zy xz xz xy xy z z y y x x oU + + + + + = .21 (2.37) ou, matricialmente: ~ ~ ~ ~ 21
21 = =ToU(onde representa um produto escalar) Aenergiadedeformaointernatotaldocorpoobtidaintegrando-seUoao longo de todo o volume do corpo: =VTVTVodV D dV dV U U21 = .21 =~ ~ ~ ~ ~ (2.38) O potencial das foras externas para o corpo slido, V = - We , : =V ST TdA p u dV b u V. - . -~~ ~ ~ (2.39) lembrandoque ~ ~ ~ ~b u u b w b v b u bTz y x = = + + e ~~ ~~p u u p w p v p u pTz y x = = + + e supondo que os apoios sejam fixos, ~ ~0 = u , ou seja, as reaes no produzem trabalho. A energia potencial total do corpo slido fica sendo ento: EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 52 =V ST T TVPdA p u dV b u dV D . - . -21~~ ~ ~ ~ ~ ~ (2.40) Como) , (~ ~up p = , a 1a variao da energia potencial total : ~~~~uuP PP + = Minimizando agora o potencial de energia total do corpo, vem:0 . - . -~~ ~ ~ ~ ~ ~= = V ST T TVPdA p u dV b u dV D (2.41) (lembrando da regra da derivada do produto: ( )~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~2 . + . D D D DT T= = ou ( )~ ~ ~ ~ ~ ~~2 . = + = D) Manipulando-seaeq.(2.41),esabendo-seque Tu~ arbitrrio,paraque pseja nulo deve-se ter: )`=)`+)`+ ++ ++ +000zyxzyzxzzy yxzzxyxxbbbz y xz y xz y xquesoasequaesdeequilbriodocorpo, (equaes de Euler-Lagrange) e tambm: )`=)`((((
zyxzyxz zy zxyz y yzxz xy xpppnnn. que a conhecida equao de Cauchy, (condio de contorno natural),sendon~ o vetor normal superfcie de contorno. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 53 2.3 Princpio dos Trabalhos Virtuais A partir da equao (2.29), pode-se escrever: 0 = + = V Up (2.42) Comparando-se agora as equaes(2.41) e (2.42), pode-se concluir que: = =ViTW dV U .~ ~,onde iW podeserdefinidocomootrabalhovirtualdas forasinternas,e = =V SeT TW dA p u dV b u V ~~ ~ ~. . . ,onde eW podeser definido como o trabalho virtual das foras externas. Substituindo-se U e Vna eq. (2.42), demonstra-se o Princpio dos Trabalhos Virtuais: e i e i PW W W W = = = 0 (2.43) Este Princpio pode ser enunciado da seguinte forma: Sejaumcorposlido,submetidoacertascargas(devolume,desuperfcie)e deslocamentosprescritosnoseucontorno.Ocorposedeformaratingindouma configuraodeformadaCD(~u emcadapartcula)naqualastensesinternasesto em equilbrio com as foras externas. Adicionando-se configurao deformada um campodedeslocamentosvirtuais(~u emcadapartcula)*,ouseja,umapequena variao em torno da configurao deformada, obtm-se uma nova configurao CV. Comoocorpoestavaemequilbrio,otrabalhovirtualdesenvolvidopelasforas internasserigualaotrabalhovirtualdesenvolvidopelasforasexternasaose deslocarem entre CD e CV . * Obs.: ~ ~u u +continua satisfazendo s condies de contorno:0~= u em Su. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 54 Exemplos: 1) Barra com carga axial uniformemente distribuda. ( ) = = = =LVLx xVodx x u p V dx Au EU dV E dV U U0 02 2) ( .2 2 Logo, =L Lx pdx x u p dx uEA0 02) (2 = =L Lx x pdx u p dx u u EA0 00 0 =LxxLx x xdx u u u u dx u u0 0 ( ) [ ] [ ] 0 .00= + + =LxLxx pu u EA dx u p u EA Condio de contorno essencial:0 0 ) 0 (0= = u u Condiodecontornonatural:A E uxx L. .== 0(nohcargaconcentradana extremidade x=L). Equao de Euler-Lagrange: 0 ) ( = + p u EAxx Obs: No caso de existir deformao inicial oe tenso inicial o :
o ooEddU + = . . .2
2o o oE E U + = (2.44) EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 55 2) Viga engastada com carga transversal varivel ao longo de x Condies de contorno essenciais: 0 ) 0 ( v ) 0 ( v = =x A energia de deformao interna da viga : = =VxVodV E dV U U2.2 Lembrando que xx xydxdydxdudxdy y u v .v.v. .22 = = = = = Logo: ( ) ( ) ( ) = = =LxxzALxxAxxLdxEIU dA y dxEU dx dA yEU02 202 20v2 . v2v .2 O potencial das foras externas que atuam na viga : =Ldx x x q V0) ( v ) ( A energia potencial total fica sendo ento: ( ) =L Lxxzpdx x x q dxEI0 02) ( v ). ( v2 Fazendo-se0 =p chega-seequaodeEuler-Lagrange,queaequaode equilbriodaviga,escondiesdecontornonaturaisconformefoivisto anteriormente (ver pg. 41 a 42). L EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 56 2.4 Mtodo de Rayleigh-Ritz[3], [5] Conforme j foi visto, a maioria dos problemas de Mecnica dos Slidos pode serexpressaporumProblemadeValordeContorno,sejaformulado variacionalmente(formafraca)oupelasuaformaforte(equaodiferencial+todas as condies de contorno). A no ser para problemas muito simples, no ser possvel obterasoluoexatadestesproblemas(P.V.C.),devendo-seprocurarumasoluo aproximada. Os mtodos aproximados em Engenharia buscam solues aproximadas quetransformamosistemacontnuoemumsistemadiscretocomumnmerofinito degrausdeliberdade(transformandoumsistemadeequaesdiferenciaisde equilbrio em um sistema de equaes algbricas de equilbrio). Os mtodos aproximados variacionais so aqueles que s podem ser aplicados aproblemasqueadmitemumaformulaovariacional.Omaisconhecidodestes mtodosoMtododeRayleigh-Ritz,propostoinicialmenteem1870porLord RayleighaoestudarproblemasdevibraoegeneralizadoposteriormenteporRitz. Este mtodo consiste em operar apenas com um subconjunto das funes admissveis aofuncionaleminimizarofuncionalemrelaoaelas.Aescolhadasfunes importanteeaumentando-seonmerodetermosdafunomelhora-sea aproximao. Seja encontrar a funo f que torna estacionrio o funcional: B Axxxx x x dx x f f I f FBA =; ) , , ( ) ( (2.45) em que so dadas as condies de contorno:0 ) ( e 0 ) ( = =B Ax f x f(2.46) sendoquefumafunocontnua.Entreasfunesfadmissveisaofuncional,a soluo exata do problema a que satisfaz a condio de estacionariedade:0 = F . EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 57 OMtododeRayleigh-Ritzconsisteemdefinir,entreestasfunes admissveis, um subconjunto da forma: f fn n + + + + = K3 3 2 2 1 1(2.47) emqueasfunes i solinearmente independentes; almdisto,asfunes i so contnuas e satisfazem s condies de contorno:0 ) ( ) ( = =B i A ix x . Os parmetros i sochamadosdecoordenadasgeneralizadas(nopossuemnecessariamenteum significado fsico). Substituindo-seaeq.(2.47)naeq.(2.45),obtm-seumaaproximaoparao funcionalF,F ,quefunodosparmetros i jqueasfunes i so conhecidas: ) , , , , (3 2 1 nF F K = sendo n o nmero de coordenadas generalizadas que so as incgnitas do problema. Aplicando-se a condio de estacionariedade, vem: 02211= + + + =nnF F FF L (2.48) Como as variaes iso arbitrrias, a eq. (2.48) s ser satisfeita se: n iFi, 2, 1, =para 0 K = (2.49) quedefinemumsistemadeequaesalgbricascujasoluo fornece os valores dos parmetros i , transformando-se assim um sistema contnuo em um sistema discreto. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 58 Se as funesfcumprem as condies de convergncia do mtodo, aumentando-se o nmero de termos, ou seja, n, as solues aproximadas ( f ) tenden para a exata (f). As condies de convergncia deste mtodo so: 1)Asfunesidevemseradmissveis,ouseja,devemsatisfazerscondiesde contornoessenciaisdoproblemaetantoestasfunescomosuasderivadasata ordem m-1 devem ser contnuas, onde m a ordem da derivada mxima que aparece no funcional. 2)Asequnciadefunesdevesercompleta,ouseja,nolimite,quandon ,o erro quadrtico mdio deve ser anular: 0 lim21=|||
\|= dx fBAxxnii in (2.50) Parasaberseasoluoestconvergindo,deve-seprocederportentativas, aumentando-sesucessivamenteonmerodetermosecomparando-sealtima soluocomadatentativaprecedente,atchegar-sea umadiferenaentre solues menor do que a tolerncia desejada: 1a tentativa:1) 1 (1) 1 ( = f2a tentativa:2(2)2 1(2)1(2) + = f(2.51)isima tentativa: iiii iif ) (2) (2 1) (1) (+ + + = K ) 1 ( ) ( i if fconvergncia. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 59 Em geral as funesi so polinmios ou funes trigonomtricas. Se o ponto estacionrio do funcional corresponde a um mnimo, ento ao substituir-se as funes aproximadas, (2.73), na expresso do funcional, (2.67), obtm-se: F F F F( ) (2) (3) (i) 1 L ou seja, a sequncia monotnica e os funcionais aproximados so maiores do que o real.Nocasodofuncionalrepresentaraenergiapotencialdeumsistema(p ),os funcionaisaproximadossoento"maisrgidos"doqueorealeseasfunes aproximadas forem deslocamentos, sero em geral menores do que os reais: Portanto p umlimitesuperiorpara p .Aumentando-seonmerode termos na soluo aproximada (n), o sistema aproximado torna-se mais flexvel, logo mais prximo do sistema real. Obs.: Se a base de funes de aproximao contiver a soluo exata do problema, ento encontra-se a soluo exata ao utilizar-se o Mtodo de Rayleigh-Ritz. Asfunesaproximadasnonecessitamatenderscondiesdecontorno naturais,apenasasessenciaisdoproblema(nocasodopontoestacionriodo funcionalcorresponderaummnimonoimporta,pois,aoaplicar-seacondio de estacionariedade, minimiza-se o erro nas condies de contorno naturais). uuexato n EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 60 Exemplos: 1)Sejaencontrarumasoluoaproximada, ,paratornarestacionriooseguinte funcional: [ ]dx x Fx+ + =102 22 ) ( em que a funo deve atender s condies de contorno:0 (1) ) 0 ( = = . Para este problema, bastante simples, poderia-se obter a soluo exata, , resolvendo-se a equao de Euler-Lagrange obtida minimizando-se o funcional F: xsenx senxxx = = + +10 Estasoluoexataserutilizadaparacomparaocomassolues aproximadas fornecidas pelo Mtodo de Rayleigh-Ritz. Escolhem-se como funes aproximadas, funes do tipo: ) ( . ). 1 (2 1L + + = x x x que satisfazem s condies de contorno do problema (no possvel partir-se de um polinmiolinearpoisresultaemsoluotrivial,poristodevepartir-sedeum polinmio quadrtico). i) 1a aproximao: 1 1) 1 (). 2 1 ( . ). 1 () 1 ( x x xx = = Substituindo-se no funcional F, vem: [ ]dx x x x x x x F + =10212 2 212 21) 1 () ( 2 + ) ( ) 2 - 1 ( EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 61 121) 1 (122103 + = F Minimizando o funcional em relao a 1vem: ) 1 (18518501221060) 1 ( ) 1 (11111x xF FF = = = + = = = ii) 2a aproximao:) + ( ). 1 ( .(2) (2)2 1(2)x x x =Substituindo-se no funcional F, integrando e minimizando em relao a 1e 2vem: = += +20110513203121203103) 2 (2) 2 (1) 2 (2) 2 (1 ;que um sistema de 2 equaes a 2 incgnitas, cuja soluo : 417;36971) 2 (2) 2 (1= = A soluo aproximada fica sendo ento:((
+ = x x x41736971) 1 () 2 ( COMPARAO COM A SOLUO EXATA X (exata)(1)(2) 0,250,0440140,05210,0440 0,500,0697470,06940,0698 0,750,0600560,05210,0600 Observa-sequeasoluoconvergerapidamenteparaasoluoexatausando-se o Mtodo de Rayleigh-Ritz, j obtendo-se bons resultados na segunda tentativa. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 62 2) Seja uma viga bi-apoiada submetida a uma carga uniformemente distribuda p: Tomando como primeira soluo aproximada para o deslocamento vertical do eixo: 22 1) 1 (x x vo + + = Impondo-se as condies de contorno essenciais da viga em x = 0 e x = l, obtm-se: l l v v2 1 o0 ) ( ; 0 0 ) 0 ( = = = = A 1a soluo aproximada fica sendo ento:) (22) 1 (lx x v = O funcional de energia potencial total da viga :( ) =l lxx pdx x v p dx vEI0 02) ( .2 Substituindo-se a soluo aproximada no funcional acima obtm-se: ( ) =l lpdx lx x p dx EI0 02222) ( . 2 Aplicando-se a condio de estacionariedade ao funcional acima: 0 ) .( 40 0222= = l lpdx lx x p dx EI Integrando-se e resolvendo-se a equao acima obtm-se: EIpl2422 = e a soluo aproximada fica sendo ento: ) (2422) 1 (lx xEIplv =. p x v(x) EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 63 Nomeiodovo(x=l/2),aflecha(mxima) EIplEIpl96 38444 4= eomomentofletor 122pl , enquanto que o esforo cortante no apoio direita V(0) = 0. Na segunda aproximao adiciona-se mais um termo: 3 ) 2 (32 ) 2 (2) 2 (1) 2 ( ) 2 (x x x vo + + + = Impondo-se as condies de contorno essenciais da viga em x = 0 e x = l, obtm-se: ) ( ) (2 3 ) 2 (32 ) 2 (2) 2 (x l x lx x v + = Substituindo-se ) 2 (vno funcional de energia potencial total e aplicando-se a condio de estacionariedade:0 ) .( ) . 36 . 12 (0 ) .( ) . 12 4 (0 02 3 2 ) 2 (3) 2 (230 02 ) 2 (3) 2 (22= + == + = l lpl lpdx x l x p dx x x EIdx lx x p dx x EI Resolvendo-se agora este sistema de equaes (2 2) obtm-se: EIpl242) 2 (2 = e 0) 2 (3= , ou seja a mesma soluo anterior. Adicionando-se mais um termo, obtm-se a terceira aproximao: 4 ) 3 (43 ) 3 (32 ) 3 (2) 3 (1) 3 ( ) 3 (x x x x vo + + + + = E,procedendo-seanalogamente,encontra-seosvaloresdosi.Verifica-sequeesta 3aaproximaocorrespondesoluoexata: ((
+ =lxlxlxEIplv 2 4483344 4) 3 (,sendo a flecha mxima, v (l/2) = EIpl38454; e os esforos, M(l/2) = - 82ple V(0) = 2pl. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 64 REFERNCIAS [1] Hughes, T.J.R. The Finite Element Method Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis, Ed. Prentice-Hall, Inc., 1987. [2]Cook,R.D.FiniteElementModelingforStressAnalysis,Ed.JohnWiley& Sons, Inc., 1995. [3]Cook,R.D.,Malkus,D.S.,Plesha,M.E.ConceptsandApplicationsofFinite Element Analysis, Ed. John Wiley & Sons, Inc., third edition, 1989. [4]ComputersandStructures,Inc.SAP2000Plus-IntegratedStructuralAnalysis and Design Software Analysis Reference, Vol. I e Vol. II,1996. [5]U.F.R.G.S.TheFiniteElementTechnique,EditadoporC.A.BrebbiaeA.J. Ferrante, Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 1975. BIBLIOGRAFIA ADICIONAL Assan,A.E.MtododosElementosFinitosPrimeirosPassos,Editorada Universidade Estadual de Campinas, 1999. Assan,A.E.MtodosEnergticoseAnliseEstrutural,EditoradaUniversidade Estadual de Campinas, 1996. Buchanan,G.R.-SCHAUMSOutlinesFiniteElementAnalysisTheoryand Problems, Ed. McGraw-Hill, 1995. Bathe,K.J.-FiniteElementProcedures,Prentice-Hall,Inc.,EnglewoodCliff,New Jersey, 1996. Bathe, K.J. - Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliff, New Jersey, 1982. Hinton, E. e Owen, D.R.J. - Finite Element Programming, London: Academic Press, 1977. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais65Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 3 FORMULAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 3.1 Modificao do Mtodo de Rayleigh-RitzO Mtodo dos Elementos Finitos pode ser definido como uma modificao do MtododeRayleigh-Ritz,emqueodomniodeintegraodofuncional subdivididoemregies.Asfunesdeaproximaosofunesdeinterpolao definidasempequenosintervalosqueinterpolamvaloresnodais.Ascoordenadas generalizadas ou parmetros ajustveis so portanto valores nodais, e, na formulao do MEF em termos de deslocamentos, os valores nodais so deslocamentos nodais. Seja por exemplo uma barra unidimensional submetida a uma carga axial que varia linearmente emx, q (x) = c.x: i)Domnio total: 1a aproximao: x u1) 1 ( = 2a aproximao:22 1) 2 (x x u + = 3a aproximao:3322 1) 3 (x x x u + + = Calcula-se o funcional para todo o domnio:) (i p p = eaplica-se a condio de estacionaridade,0 =ip para i = 1, np, sendo np o nmero de parmetros. Neste problema a 3a aproximao coincidir com a soluo exata: x, u L 2a aprox. 0Lx u 3a aprox. exata 1a aprox.EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais66Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas ii)Domnio subdividido em3 subregies: Adimitindo-se funes de aproximao lineares em cada subregio ou intervalo: 2 2 10 ; x x x a a u + =3 2 4 3; x x x x a a u + =4 3 6 5; x x x x a a u + = PeloMtododeRayleigh-Ritz,paraqueumafunoaproximadaseja admissveleladeveatenderascondiesessenciais,portantodeve-seter0 = uquandox=0,almdistou devesercontnuaemtodoodomniodeintegrao,o que implica emse impor a continuidade entre os elementos: parau u x x = =2(= u2) eparau u x x = =3 (= u3) As equaes acima ficam ento: 2 20 ; x x x a u =3 2 2 4 2 2; ) ( x x x x x a x a u + =4 3 3 6 2 3 4 2 2; ) ( ) ( x x x x x a x x a x a u + + = que podem ser representadas graficamente: 1 2 3 1 2 23 1 23 4 x, u x1x2 x3 x4 12 3 1 2 3 x1=0x2 x3 x4 x u u4 u3 u2 u1=0 12 3 EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais67Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas O funcional calculado como a soma dos funcionais em cada intervalo: p p p p + + = Asequaesdeequilbriosoobtidasfazendo-se0 =p ,sendo ) , , (6 4 2a a ap p = .Atendidasascondiesdeadmissibilidadedasfunes aproximadas:asfunesesuasderivadasataordem(m-1)devemsercontnuas (sendomaordemdaderivadamaisaltaqueaparecenofuncional),emtodoo domniodeintegrao,tambmpode-seconsideraroequilbriodecadaelemento isoladamente:0 =ep . Na verdade pode-se escrever que: = = ==|||
\| =neeVeeVneeneeep pdV dV1 1 1) ( L L 3.2 Equaes de Equilbrio Condies de ConvergnciaSeja um problema bidimensional mostrado na figura abaixo: Odomniodeintegraodoproblemadivididoemneregiesouelementos retangulares, de lados2a por2b com 4 ns cada, conforme mostra a figura abaixo. Cadanitem2grausdeliberdade(GL),umdeslocamentohorizontaluieum vertical vi, portanto cada elemento fica com um total de 8 GL.P X Y fn e 123 EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais68Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Cadaelementoeestsubmetidoaforasdevolume )`=yxbbb~,forasdesuperfcie )`=yxppp~nocontornoS,deslocamentosprescritosnocontornoSu(deslocamentos nulos no caso de apoios fixos) e foras aplicadas diretamente nos ns )`=yxyxnfffff4211~M. Aenergiapotencialdosistemaconsideradacomoasomadaenergia potencial de cada elemento e (admitindo-se continuidade entre elementos): ==neeep p1 (3.1) Em cada elemento a energia potencial substituda por um valor aproximado, emqueocampodedeslocamentossubstitudoporumcampoaproximado:para cada ponto (x,y) tem-se)`=) , () , (~y x vy x uue, vetor de deslocamentos dentro do elemento, em que: ==kk kjj jy x y x vy x y x u ) , ( ) , () , ( ) , ( 22 3 1 4 x u1 u4 u3 u2 aa b b v3 v4 v1 v2y EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais69Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Emgeraladotam-se para ueparavasmesmasfunesj=k,,sendoestas funes conhecidasemxey,ej,ksoparmetrosdesconhecidos,incgnitasdo problema.Aprecisodoelementoirdependerdonmerodeparmetrosno elemento(np),quantomaiorestenmero,melhorapreciso.Tomando-se4termos para aproximaros deslocamentos horizontais u e 4 para os verticais v (no total tem-se np = 8), e escolhendo-sepolinmios para , tem-se as seguintes expresses: xy y x y x vxy y x y x u8 7 6 54 3 2 1) , () , ( + + + =+ + + = que podem ser reescritas matricialmente: )`((
=)`=87654321~.1 0 0 0 00 0 0 0 1) , () , (xy y xxy y xy x vy x uue ou~ ~ ~. A ue=(3.2) onde ~A uma matriz (2 np) formada pelas funes conhecidas e ~ um vetor(np 1) formado pelos parmetros desconhecidos . Para cada elemento e, escreve-se a eq. (3.2) para cada n i: ~ 1 ~1 ~. A ue= , sendo 1 ~Acalculada fazendo-sex=x1 e y=y1; ~ 2 ~2 ~. A ue= , sendo 2 ~Acalculada fazendo-sex=x2 e y=y2 ; ~ 3 ~3 ~. A ue= , sendo 3 ~Acalculada fazendo-sex=x3 e y=y3; ~ 4 ~4 ~. A ue= , sendo 4 ~Acalculada fazendo-sex=x4 e y=y4; EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais70Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas estas expresses podem ser reescritas matricialmente: 1 ~ 8 ~8~ 4 ~~ 3 ~~ 2 ~~ 1 ~1 84 ~3 ~2 ~1 ~1 844332211~..... =)`=)`=)`=np npnpeeeeCAAAAuuuuvuvuvuvuu (3.3) onde~u o vetor de deslocamentos nodais do elemento. Se a matriz ~C for quadrada, ou seja se o no de GL do elemento for igual ao no deparmetrosnp,paraestecasotem-seno GL=8enp=8,eseasfunesforem linearmente independentes, como ocorre no caso dos polinmios escolhidos, a matriz ~C ser inversvel, obtendo-se portanto, a partir da eq. (3.3): ~1~ ~u C= (3.4) Substituindo-se agora a eq. (3.4) em (3.2), vem: ~1~ ~ ~ ~ ~. . . u C A A ue = = ou~ ~ ~.u N ue=(3.5) A partir da eq. (3.5) obtm-se eu~, ou sejaos deslocamentos u , v, em qualquer ponto (x,y) dentro do elemento, em funo dos deslocamentos nodais ~u , que passam aserasincgnitasdoproblemaAmatriz ~N denominadadematrizdefunesde interpolaooufunesdeforma,sendoatualmenteobtidadiretamente,nosendo necessrioutilizar-seaeq.(3.2)nem ~ comovetordeincgnitas.Servistomais EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais71Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas adiantequeestasfunessolinearesnoplanoxyparaocasodeelementos retangularesde4nseamatriz ~Ntem a seguinte forma: ((
=4 3 2 14 3 2 1~0 0 0 00 0 0 0N N N NN N N NN(3.6) Paraproblemasbidimensionais,sejadeestadoplanodetensooude deformao, as deformaes e tenses podem ser representadas pelos vetores: )`=xyyx~e )`=xyyx~ Apartirdasrelaesdeformaoespecficadeslocamento(2.35)vistas anteriormente, pode-se escrever: )`(((((((
=)`) , () , (. 00y x vy x ux yyxxyyx ou eu~ ~ ~. = (3.7) Substituindo-se a eq. (3.5) em (3.7) obtm-se: ~ ~ ~ ~ ~ ~. u B u N = = (3.8) sendo ~B denominada matriz de deformao especfica deslocamentos nodais. As equaes constitutivas que relacionam as tenses com as deformaes so: ~ ~ ~ D =(3.9) sendo que ~D ser diferente para estado plano de tenso ou de deformao. EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais72Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Pode-seescreveragoraovaloraproximadodaenergiapotencialtotal(vereq. (2.40)) de cada elemento e: ~~~,~ ~,~ ~ ~ ~. - . -21nTV ST e T e e TVepf u dA p u dV b u dV De e e = (3.10) sendo que o ltimo termo representa o potencial de realizao de trabalho das foras aplicadas diretamente nos ns sobre os deslocamentos nodais. A primeira variao do funcional de energia potencial total :
~~~,~ ~,~ ~ ~ ~. . - . -nTV Se T e e T e e TVepf u dA p u dV b u dV De e e =(3.11) Usando agora as eqs. (3.5) e (3.8) : T T T e e eN u u u N u u N u~ ~,~ ~ ~ ~ ~ ~ ~. . = = =T T TB u u B u B~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~. . = = = e substituindo-asna eq. (3.11) obtm-se: ~~~T~ ~ ~T~ ~ ~ ~ ~T~ ~. . - . -nTV Se T e T e TVepf u dA p N u dV b N u dV u B D B ue e e = (3.12) Comoosvetoresdedeslocamentosnodaisnovariamcomxey,elespodem ser colocados fora das integrais: [ ]~~~T~ ~ ~T~ ~ ~ ~ ~T~ ~. . - . -nTV Se T e T eVT epf u dA p N u dV b N u u dV B D B ue e e = Aplicando-seacondiodeestacionaridadeecolocando-seovetor Tu~ em evidncia obtm-se: [ ] 0 . . - . - 0~ ~T~ ~T~ ~ ~ ~T~ ~=)` = nV Se e eVT epf dA p N dV b N u dV B D B ue e e (3.13) EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais73Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Como Tu~ arbitrrio, para que a eq. (3.13) seja satisfeita deve-se ter: [ ] 0 . . - . -~ ~T~ ~T~ ~ ~ ~T~=)` nV Se e eVf dA p N dV b N u dV B D Be e e (3.14) querepresenta a equao de equilbrio do elemento e. Chamando de eVedV B D B ke ~ ~T~ ~=(3.15)a matriz de rigidez do elemento e + =e eV Se e edA p N dV b N f . .~T~ ~T~~(3.16) o vetor de cargas consistente do elemento,que representa as foras nodais equivalentes a cargas aplicadas dentro e na superfcie do elemento (corresponde ao vetordeaesnodaisdeengastamentoperfeito= esforosdeengastamentoperfeito),pode-sereescreveraequaodeequilbrio(3.14) do elemento e: ~ ~~ ~~ ~~ ~0ne ene ef f u k f f u k + = = (3.17) quetemamesmaformaconhecidadomtododosdeslocamentoscomformulao matricial,utilizadaparaelementosdeestruturasreticuladas.AtravsdoMEF discretizou-secadaelemento(sistemacontnuo)nosseusns,transformando-se assim as equaes diferenciais de equilbrio num sistema de equaes algbricas (no caso do elemento plano com 4 ns e 8 GL, num sistema de equaes 8 8) A soluo da estrutura global requer que: 01= = =neeep p ou seja,[ ] = = =((
+ = =((
neeneneeeneene ef f u k f f u k1~ ~1~ ~1~ ~~ ~0(3.18) que pode ser reescrita da seguinte forma: EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais74Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas ~ ~ ~F U K = (3.19) onde ~K a matriz de rigidez da estrutura; ~U o vetor de deslocamentos nodais da estrutura e ~F o vetor de foras nodais da estrutura, que inclui foras aplicadas diretamente nos ns e foras equivalentes a cargas atuando nos elementos. Na verdade, obtidos a matriz de rigidez e o vetor de cargas consistente de cada elementopelaseqs.(3.15)e(3.16),pode-seaplicarosmtodosusuaisdeanlise matricial de estruturas paraformar a matriz de rigidez e o vetor de foras nodais da estrutura,somando-seacontribuiodetodososelementos.Aplicando-seas condiesdecontornoem(3.19),ousejarestringindo-seaestrutura,resolve-seo sistema de equaes resultante e obtm-se os deslocamentos nodais ~U ; a partir destes calcula-se o vetor eu~de deslocamentos u, v dentro de cada elemento usando-se a eq. (3.5) e as deformaes especficas e tenses em cada ponto (x,y) do elemento atravs das eqs. (3.8) e (3.9). AvantagemdoMEFqueaformulaogenrica,todasasequaesvistas aquiparaumproblemabidimensionalcomelementosretangularespodemser generalizadasparaqualquertipodeproblemaequalquertipodeelemento,com quaisquernodens:asequaessoasmesmas,apenasasmatrizesevetoresiro variardeacordocomcadaproblemaespecfico,eaeq.(3.5)irvariartambmde acordo com o tipo e no de ns no elemento. Alguns tipos de problema da Teoria da Elasticidade com as matrizes e vetores correspondentes so apresentados no que se segue:EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais75Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Problema unidimensional barra prismtica submetida a esforo axial (trelia) ) (~x u ue= x =~ x =~E D =~ Problema bidimensional estado plano de tenso )`=) , () , (~y x vy x uue
)`=xyyx~ )`=xyyx~ .210 00 10 112~(((((
=ED Problema bidimensional estado plano de deformao )`=) , () , (~y x vy x uue )`=xyyx~
)`=xyyx~ .) 1 ( 22 10 00 11011) 2 1 ).( 1 () 1 .(~(((((((
+= EDfuro elemento infinitesimal x y xy x y xy z EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais76Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Problema axisimtrico carregamento e estrutura simtricos
)`=) , () , (~y x vy x uue
)`=zxyyx~
)`=zxyyx~
(((((((((
+=1 01 10) 1 ( 22 10 010 111011) 2 1 ).( 1 () 1 .(~ ED Problema de flexo de placas Placa fina, Teoria de Kirchhoff ) , (~y x w ue=
)` =)`=y xwywxwxyyx22222~2 )`=xyyxMMM~.210 00 10 1) 1 ( 12.23~(((((
=h ED (deformaes especficas e tenses generalizadas) x z y yx x xy y yz xz superfcie mdia EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais77Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Condies de convergncia AscondiesdeconvergnciadoMtododosElementosFinitossoas mesmas do que as do Mtodo de Rayleigh-Ritz:1)Asfunesidevemseradmissveis,ouseja,tantoasfunescomosuas derivadasataordemm-1devemsercontnuas,ondemaordemdaderivada mximaqueaparecenofuncional,etambmdevemsatisfazerscondiesde contorno essenciais do problema 2) A sequncia de funes deve ser completa, ou seja, deve incluir todos os termos de baixa ordem, de forma que quando o no de termos tender a infinito, o erro quadrtico mdio se anule. Para o MEF, como o domnio de integrao subdividido em elementos, estas condies de convergncia devem ser alteradas: 1)As funes de interpolao Ni devem ser admissveis, ou seja dentro de cada elementoelasdevemsercontnuasesuasderivadasataordemm-1tambm (maordemdaderivadamximaqueaparecenofuncional);devehaver continuidade de deslocamentos e de suas derivadas at a ordem m-1 entre os elementos (de forma que os deslocamentos aproximados sejam admissveis emtodoodomniodeintegraodoproblema)eosdeslocamentostambm devem atender s condies de contorno essenciais do problema. 2)As funes de interpolao Ni devem ser completas, ou seja, os polinmios devemincluirostermosdebaixaordem;emoutrapalavras,oselementos devemapresentartodososmovimentosdecorporgidoeestadode deformao especfica constante. A condio de convergncia (1) conhecida como condio de compatibilidade e a condio (2) conhecida como condio de completude. Os elementos finitos que atendem s duas condies so denominados elementos conformes.EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais78Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas Ummodeloou umamalhadeelementos conformessersempreconvergente,ou seja,refinando-seamalha(aumentando-segradativamenteono deelementos),a soluoaproximadatenderparaasoluoexataeaconvergnciasersempre monotnica. Acondio(2)decompletudedevesempreseratendida,imprescindvel,mas modelos com elementos incompatveis, que no satisfazem condio (1), podem ser convergentes, no entanto no h mais garantia da convergncia ser monotnica. Paraatendercondiodecompatibilidade(1),nocasodefuncionaiscomm=1 deve-se ter que as funes de forma N devem ser contnuas(m-1 = 0); esta funes so denominadas de funes de formade continuidade C o (N C o)enocasodem=2asfunesNesuasderivadasde1aordemdevemsercontnuas(m-1=1), sendodenominadasfunesdeformadecontinuidadeC 1 (NC 1).Estasfunes esto ilustradas abaixo: Funes de forma de continuidade C o Funes de forma de continuidade C 1 ( C o) ( C 1) Deumamaneirageral,quandoaordemdaderivadamaisaltaqueapareceno funcional de energia potencial total for m, deve-se ter que N C m-1 . x , , x EE08 Utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais79 Disciplina do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC) Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC) GRUPEX Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas 3.3 Elemento de barra unidimensional com 2 ns - treliaSeja um elemento de barra prismtica, de seo transversal A, comprimento L e materialhomogneocommdulodeelasticidadeE.Oelementotem2nseest submetido a uma carga axial uniforme p conforme mostra a figura abaixo. O sistema local do elemento representado pelos eixos x,y e o sistema global por X,Y. Este um problema unidimensional em que a nica direo de deslocamento axial, u(x). Portanto o vetor de deslocamentos no elemento, o veto
