M+ëTODOS CUANTITATIVOS I

UNIVERSIDAD MARIANO GLVEZ

MTODOS CUANTITATIVOS IEspacio Muestral, S. Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. La cantidad de elementos del espacio muestral S, se denota n(S).Evento, E. Un evento E, es cualquier subconjunto del espacio muestral S. La cantidad de elementos de un evento E, se denota n(E). Para determinar un evento se indica la propiedad o condicin que deben satisfacer los elementos del espacio muestral para pertenecer a ese evento.Probabilidad de ocurrencia de un evento E

La probabilidad de ocurrencia de un evento E se denota P(E)Para calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento E, se aplica P(E) = n(E) / n(S)

La probabilidad de ocurrencia P(E), de un evento E, es un nmero entre 0 y 1 inclusives, es decir, 0 P(E) 1P(E) = 1 cuando es seguro de que el evento E ocurre.

P(E) = 0 cuando es seguro de que el evento E no ocurre.Ejemplo: Sea el experimento lanzar un dado. Determine el espacio muestral S, los siguientes eventos y la probabilidad de ocurrencia de cada evento.a) S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n(S) = 6b) El evento E: El resultado es un nmero par E = { 2, 4, 6 } n(E) = 3

P(E) = 3 / 6 = 0.50c) El evento E1: El resultado es menor que 5. La expresin menor que 5, no incluye al 5. E1 = { 1, 2, 3, 4 } n(E1) = 4 P(E1) = 4 / 6 = 0.6667Nota: Los valores de probabilidad se dan con 4 decimales generalmented) El evento E2 : El resultado es mltiplo de 3

E2 = { 3, 6 } n(E2) = 2 P(E2) = 2 / 6 = 0.3333

Ejemplo: Sea el experimento lanzar dos dados. Determine el espacio muestral S, los siguientes eventos y la probabilidad de ocurrencia de cada evento.

S = { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1, 6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) } n(S) = 36

b) El evento A : La suma de los resultados es 7

A = { (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) }

n(A) = 6 P(A) = 6 / 36 = 0.1667

c) El evento B : El producto de los resultados es divisible por 4

B = { (1,4) (2,2) (2,4) (2,6) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,4) (6,2) (6,4) (6,6) }

n(B) = 15

P(B) = 15 / 36 = 0.4167d) El evento C: El resultado de restar el segundo elemento del par al primero, es un nmero positivo impar C = { (2,1) (3,2) (4,1) (4,3) (5,2) (5,4) (6,1) (6,3) (6,5)} n(C) = 9 P(C) = 9 / 36 = 0.25 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTESDos eventos A y B son mutuamente excluyentes entre s, cuando al ocurrir uno de ellos se anula la posibilidad de ocurrencia del otro.Ejemplos: Son eventos mutuamente excluyentes entre s los siguientes: ganarperder, verdadero - falso, aceptarrechazar, bueno malo, etc.Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes entre s, la interseccin entre ellos es el conjunto vaco. Es decir, que si los eventos A y B son mutuamente excluyentes entre s, entonces A B = Regla de adicin para eventos mutuamente excluyentes Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces:P(A o B) = P(AUB) = P(A) + P(B) Regla de adicin para eventos no excluyentes

Si los eventos A y B no son excluyentes entre s, existe interseccin entre ellos.

Entonces:

P(A o B) = P(A) + P(B) P(A B) Probabilidad del complemento del evento ASi A es un evento, el complemento de A se denota por A o Ac

A o Ac es el evento cuyos elementos pertenecen al espacio muestral S pero no pertenecen al evento A.

P(Ac) = 1 P(A) EjemploEn una empresa, 65 personas han solicitado trabajo, de las cuales 40 tienen experiencia (E), 30 tienen ttulo universitario (T) y 10 tienen experiencia y ttulo. Si se selecciona aleatoriamente una solicitud, calcular la probabilidad de que la persona: a) Tenga experiencia o ttulo. b) Tenga experiencia o ttulo pero no ambos. c) No tenga experiencia ni ttulo. d) Tenga slo experiencia. e) Tenga slo ttulo. P(E) = 40/65 = P(T) = 30/65 =

P(ET)= 10/65 EVENTOS INDEPENDIENTESDos eventos A y B son independientes si la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

Regla de multiplicacin para eventos independientesSi los eventos A y B son independientes, entonces

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B)

Regla de multiplicacin para eventos dependientes.

Si los eventos A y B son dependientes, se aplica el concepto de probabilidad condicional que se denota P(A|B) que se lee: probabilidad de que ocurra A dado que ya ocurri B. La lnea vertical se lee dado que.

P(A|B) = P(A B) / P(B)

P(B|A) = P(B A) / P(A)

EjemploSe tienen dos eventos A y B, estadsticamente dependientes. Si P(A) = 0.39, P(B) = 0.21 y P(A o B) = 0.47, calcule la probabilidad de que:

a) No ocurra ni A ni B.

b) Ocurra B dado que A ya ha ocurrido.

c) Ocurra A dado que B ya ha ocurrido.

Solucin: Existe interseccin porque P(A o B) = P(A) + P(B) = 0.39 + 0.21 = 0.60 que no es el valor de 0.47 que se da en e l problema. Por lo que:

P(A o B) = P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) 0.47 = 0.39 + 0.21 P(A B) De donde P(A B) = 0.60 0.47 = 0.13a) P(Ni A, ni B) = 1 P(A o B) = 1 0.47 = 0.53

b) P(B|A) = P(B A) / P(A) = 0.13 / 0.39 = 0.3333

c) P(A|B) = P(A B) / P(B) = 0.13 / 0.21 = 0.6190Ejemplo

Dado que P(A) = 3/4, P(B) = 1/6, P(C) = 1/3, P(A y C) = 1/7, y P(B|C) = 5 /21 calcule: a) P(A|C), b) P(C|A), c) P(B y C), d) P(C|B)a) P(A|C) = P(A C) / P(C) = (1/7) / (1/3) = 3/7 = 0.4286b) P(C|A) = (1/7) / (3/4) = 4/21 = 0.1905c) P(B y C) = P(B C) = P(B|C)P(C) = (5/21)(1/3) = 5/63 = 0.0794 PROBABILIDADES CONJUNTAS Y MARGINALES

Probabilidades marginales son las probabilidades de ocurrencia de un solo evento.Probabilidades conjuntas son las probabilidades de dos o ms eventos que ocurren simultneamente.

Ejemplo. Los diputados de tres partidos A, B y C han votado a favor, en contra o indiferente con relacin a un proyecto de desarrollo social como se indica a continuacin. Calcule la probabilidad de que un diputado aleatoriamente seleccionado:a) Est a favor dado que es del partido A. b) Sea del partido B dado que est en contra.

c) Est en contra dado que es del partido C.

d) Sea del partido A dado que est a favor.

Tabla de datos observados

PartidoA favorEn contraIndiferenteTotal

A1810735

B158326

C125421

Total45231482

Tabla de probabilidades

PartidoA favorEn contraIndiferenteTotal

A18/82= 10/82=7/82=35/82=

B15/82=8/82=3/82=26/82=

C12/82=5/82=4/82=21/82=

Total45/82=23/82=14/82=82/82=

LABORATORIO

TEOREMA DE BAYESSe aplica cuando conociendo la probabilidad de lo ltimo que ocurri, se quiere conocer la probabilidad de un evento que ocurri al inicio.

Ejemplo. Un fabricante de cmaras de video utiliza un microchip en el ensamble de cada cmara que produce. Los microchips son comprados a los proveedores A, B y C y son tomados al azar para ser ensamblados en cada cmara. El 20% de los microchips provienen del proveedor A, el 35% proviene de B y el resto proviene de C. Con base en la experiencia, el fabricante cree que la probabilidad de que un microchip defectuoso provenga de A es de 0.03, la probabilidad de que provenga de B es 0.02 y de que provenga de C es 0.01. De la produccin de un da, una cmara es seleccionada al azar y su microchip est defectuoso. Calcule la probabilidad de que el microchip defectuoso haya sido suministrado por: a) El proveedor A. b) El proveedor B. c) Por el proveedor C. d) De qu proveedor es ms probable que provenga el microchip defectuoso?Ejemplo:

En una empresa, la produccin se realiza con tres mquinas: M1, M2, M3. La mquina M1 produce 90% de unidades buenas, la mquina M2 produce 5% de unidades defectuosas y la mquina M3 produce 80% de unidades buenas. De la produccin de un da se toma una unidad y resulta: a) que es buena. Calcular la probabilidad de que provenga de M2. b) Si la unidad resulta defectuosa, calcular la probabilidad de que provenga de M3.Nota: No se da cunto de la produccin es hecha por cada mquina, por lo que se asume 1/3 de la produccin para cada una de ellas.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Una distribucin de probabilidad es el listado de las probabilidades de los resultados que podran obtenerse si se realizara un experimento.Las distribuciones de probabilidad pueden ser discretas o continuas. Una distribucin de probabilidad es discreta cuando la variable slo toma valores enteros. La distribucin es continua cuando la variable toma valores enteros y fraccionarios.Las distribuciones discretas a estudiar son la distribucin binomial y la distribucin de Poisson.

Distribuciones continuas son la distribucin Normal, la distribucin t de student, la distribucin F, la exponencial, etc.

Guatemala, 02 de febrero del 2013DISTRIBUCIN NORMAL

Caractersticas:

1. Su grfica tiene forma de campana.

2. La media, la moda y la mediana son iguales.

3. Es simtrica con relacin a la media.

4. Sus extremos son asntotas con el eje X.

5. La probabilidad bajo la curva de la distribucin normal es igual a 1.

6. Sus parmetros son la media (mu o miu ) y la desviacin estndar (sigma).

7. Es mesocrtica.

8. Se tienen 4Z respecto a la media.

9. Es continua.

En una distribucin Normal para transformar datos reales en valores Z, se aplica la frmula de estandarizacin

Z = (X - ) / Donde X = valor realEjemplo

En una clase de estadstica, la media de las calificaciones es de 72 con una desviacin estndar de 12. Si se selecciona aleatoriamente un estudiante, calcular la probabilidad de que la calificacin sea:

a) Mayor o igual que 90. Resp.0.0668b) Menor que 85. Resp. 0.8607c) Mayor que 60. Resp. 0.8413d) Menor que 55. Resp. 0.0783e) Sea mayor que 50 y menor o igual que 95

f) Est entre 80 y 95

g) Sea mayor o igual que 45 y menor que 60.

.Si X (el valor real) es mayor que la media, el valor de Z es positivo.

Si X es menor que la media, el valor de Z es negativo.

Observacin.

1. Las probabilidades son siempre positivas.

2. El valor de Z se da siempre con dos decimales por lo que se debe redondear correctamente este valor.3. Un valor de Z negativo solamente indica que el valor real es menor que la media.4. Las probabilidades se dan siempre con 4 decimales.

5. Los valores de probabilidad que da la tabla corresponden a intervalos entre la media y el valor real X.6. A cada valor de Z le corresponde un valor de probabilidad en un intervalo entre la media y el valor de X.

LABORATORIO (APLICARLO A LA EMPRESA)En una empresa, el salario semanal promedio de los trabajadores es de Q680 con una desviacin estndar de Q75. Si se selecciona aleatoriamente un trabajador, calcular la probabilidad de que su salario sea:

a) Menor o igual que Q600

b) Menor o igual que Q650 y mayor o igual que Q575

c) Mayor que Q750

d) Menor que Q800

e) Mayor o igual que Q500

f) Est entre Q850 y Q720

g) Mayor que Q480 y menor o igual que Q740

DISTRIBUCIN BINOMIAL

Es una distribucin discreta que se aplica cuando un evento tiene slo dos posibles resultados. Ejemplos: bueno-malo, verdadero-falso, xito-fracaso, cara-escudo, ganar-perder, etc.

Los parmetros de una distribucin binomial son la probabilidad de xito p y el tamao de la muestra n.Para calcular probabilidades binomiales, se aplica la frmula siguiente:

P(xn, p) = nCx pxqn xDonde x = Nmero deseado de xitos.

n = Tamao de la muestra.

p = Probabilidad de xito.

q = 1 p = probabilidad de no xito.

Ejemplo: Un vendedor debe visitar 10 clientes en un da. La probabilidad de que un cliente compre es de 0.40. Calcule la probabilidad de que:

a) A lo ms siete clientes compren.

b) Al menos cinco clientes compren.

c) Entre tres y ocho clientes compren.

d) Si debe visitar 45 clientes en un mes, cul es la probabilidad de que a lo ms 22 compren.

e) Al menos 25 clientes compren.

f) Al menos 13 clientes compren.f.1) Mas de 13 clientes compreng) A lo ms 10 clientes compren.

h) Entre 12 y 24 clientes compren.

DISTRIBUCIN DE POISSONEs una distribucin discreta que se utiliza en problemas de colas. Su parmetro es (lambda). = Promedio de ocurrencias en la unidad de tiempo.

Para calcular probabilidades Poisson se aplica P( x ) = X e- / x!

Ejemplo. A un celular entran en promedio 15 llamadas en una hora. Calcular la probabilidad de que se reciban:

a) 10 llamadas en una hora.

b) Al menos 6 llamadas en una hora.

c) A lo ms 8 llamadas en una hora.d) 5 llamadas en media hora.

e) A lo ms 5 llamadas en media hora.

f) Al menos 8 llamadas en media hora.

g) 3 llamadas en 15 minutos.h) Entre 12 y 18 llamadas en una hora

i) 20 llamadas en una hora

CADENAS DE MARKOV

Una cadena de Markov es una sucesin de ensayos de un experimento en el que los resultados posibles de ensayo a ensayo dependen solamente del resultado del ensayo anterior.

Conceptos bsicosMatriz de transicin T. Es una matriz cuadrada que indica las probabilidades de transicin de un estado a otro, esto es, de un periodo de observacin al siguiente. Los elementos de una matriz de transicin son valores de probabilidad que satisfacen las siguientes propiedades:

1. La suma de las probabilidades en cada fila, debe ser igual a 1.

2. Todos los elementos de la matriz de transicin son positivos porque son valores de probabilidad.Vector de estado inicial, Vo. Es un vector fila o matriz fila con las probabilidades antes de iniciar los ensayos de un experimento o antes de iniciar las observaciones de un fenmeno.Vector de estado, Vn. Es un vector fila que da las probabilidades del sistema despus de n observaciones.

V1 = VoTV2 = V1 T = (VoT) T = VoT2

V3 = V2 T = (VoT2 )T = VoT3

. . . . . . . .

Vn = VoTn

Vector de estado estable, o matriz estacionaria Q. Es un vector fila con las probabilidades del sistema en el largo plazo. Cuando el sistema alcanza el estado estable, las probabilidades permanecen constantes para ensayos sucesivos. La matriz estacionaria satisface la propiedad QT= QEl Vector Q o matriz estacionaria Q es una matriz fila con la misma cantidad de columnas que la matriz T.

Ejemplo. Un departamento est dividido en tres regiones demogrficas R1, R2 y R3. Cada ao, el 16% de los residentes en la regin 1 se mueve a la regin 2 y el 10% se mueve a la regin 3, los dems permanecen en la regin 1. De los residentes en la regin 2, el 15% se traslada a la regin 1 y el 12% a la regin 3. De los residentes en la regin 3 el 8% se cambia a la regin 1 y el 14% se cambia a la regin 2. a) Determine la matriz de transicin T.

b) Calcule la probabilidad de que un residente en la regin 1 este ao, sea residente de esa regin el prximo ao, y despus de dos aos.

c) Si este ao el 35% de la poblacin del departamento vive en la regin 1, 40% vive en la regin 2 y el resto vive en la regin 3, determine el porcentaje de los habitantes del departamento que sern residentes de las regiones 1, 2 y 3 despus de tres aos.

d) Si la poblacin del departamento es de 120 000 habitantes, cuntos estarn viviendo en cada una de las regiones despus de tres aos? e) De los 120 000 habitantes del departamento, cuntos sern residentes de las regiones 1, 2 y 3 en el largo plazo?

a) R1 R2 R3

R1 0.74 0.16 0.10

T = R2 0.15 0.73 0.12

R3 0.08 0.14 0.78

b) La probabilidad de que un residente en la regin 1 ahora, siga siendo residente en la regin 1 el prximo ao es 0.74.

Cuando no se da el vector de estado inicial Vo, entonces Vn = Tn De manera que para calcular la probabilidad de que un residente de la regin 1 ahora, sea residente de la regin 1 despus de 2 aos, se debe calcular T2

0.5796 0.2492 0.1712

T2 = 0.2301 0.5737 0.1962

0.1426 0.2242 0.6332

Respuesta: La probabilidad de que un residente de la regin 1 ahora, siga siendo residente de esta regin despus de 2 aos es 0.5796

c) Vo = ( 0.35 0.40 0.25 )

0.4799 0.2986 0.2214

V3 = Vo T3 = Vo 0.2720 0.4831 0.2449

0.1898 0.2751 0.5351

V3 = (0.3243 0.3665 0.3092)

Resp. El porcentaje de habitantes que residen en R1, R2, y R3 despus de tres aos, son respectivamente 32.43%, 36.66% y 30.92%.

d) Resp.

Despus de tres aos estarn residiendo en

R1 = 120,000 (0.3243) = 38911R2 = 120,000 (0.3665) = 43984R3 = 120,000 (0.3092) = 37105La matriz estacionaria Q es una matriz fila con la misma cantidad de columnas que la matriz T.

Para calcular las probabilidades de largo plazo, se aplica QT = Q

e) Resp. EN EL LARGO PLAZO

Q = (0.3087 0.3565 0.3348)

En el largo plazo, estarn viviendo en R1, R2 y R3

R1 = 120,000 (0.3087) = 37,044

R2 = 120,000 (0.3565) = 42,780

R3 = 120,000(0.3348) = 40,176

Cadenas de Markov con estados absorbentes.

Un estado K es absorbente si un elemento de la diagonal principal es 1. Un estado es absorbente cuando una vez que se llega a ese estado, se permanece en l indefinidamente. Son estados absorbentes: graduarse en un colegio o en una universidad; cancelar una deuda, retirarse y no regresar.

Ejemplo.Una tienda tiene un total de Q 150,000 en cuentas por cobrar, de las cuales Q50 000 se encuentran de 0 a 30 das, y Q100 000 de 31 a 90 das. La empresa desea estimar cunto de los Q150,000 sern pagados y cunto sern considerados incobrables. A continuacin, se da la matriz de transicin T.

E1= Cuenta pagada

E2= Cuenta incobrable 1 0 0 0

E3= Cuenta de 0 30 das T = 0 1 0 0

E4= Cuenta de 31 90 das 0.4 0 0.3 0.3

0.4 0.2 0.3 0.1 1. Se divide la matriz de transicin en cuatro submatrices:

1 0 0.4 0 0.3 0.3

I = 0 1 R = 0.4 0.2 S = 0.3 0.1

2. Se determina la matriz fundamental F = ( I S )-1 I S = 1 0 --- 0.3 0.3 = 0.7 - 0.3 0 1 0.3 0.1 - 0.3 0.9 F = 1.6667 0.5556 0.5556 1.2963Ejemplo:

En una investigacin de mercado, se reuni informacin de consumidores durante varias semanas. De los datos se obtuvo que de los que compraron en la tienda A en una semana dada, 90% regres a A en la semana siguiente, en tanto que 10% se cambi a la tienda B. Para clientes que compraron en B en una semana dada, 80% regres a B en la semana siguiente y el 20% se cambi a A. a) Determine la matriz de transicin T. b) Cuntos estarn comprando en cada una de las tiendas en el largo plazo de una poblacin total de 8 000 habitantes.

c) El gerente de B est considerando la posibilidad de una campaa publicitaria para atraer ms clientes de A hacia B. El gerente de B piensa que esta estrategia incrementar de 0.10 a 0.15 la probabilidad de que un cliente de A se cambie a B. El costo de la campaa publicitaria es de Q6,000. La utilidad semanal por persona es de Q10. Se debe hacer la campaa publicitaria?

NOTA:

1) Las probabilidades 0.90 y 0.80 se interpretan como medidas de lealtad o de fidelidad hacia las tiendas, ya que indican la probabilidad de una visita repetida a una misma tienda.

2) Las probabilidades de estado estable o de largo plazo, se pueden interpretar como la penetracin en el mercado de cada una de las tiendas.

EjemploEn un colegio se tienen 50 estudiantes en tercer ao, 40 estudiantes en cuarto y 30 en quinto ao. La probabilidad que un estudiante de tercero promueva a cuarto es de 0.90, de que se retire y no regrese al colegio es de 0.06 y que repita el curso es de 0.04. De los estudiantes de cuarto ao, el 5% repite, el 7% se retira y el resto promueve al siguiente ao. De los de quinto ao, el 2% se retira y el 3% repite, el resto se grada. a) Determine la matriz de transicin T. b) Al final, cuntos se graduarn y cuntos se habrn retirado en total y por ao.

TEORA DE DECISIN

Conceptos

Accin o acto. Es cada una de las diferentes alternativas de que se dispone para tomar una decisin. Un acto o una accin depende de las personas.

Evento o estado de naturaleza, es un suceso que ocurre de manera aleatoria, que afecta el resultado de una accin y sobre el cual el tomador de decisiones no tiene ningn control.

Pago. Es el resultado generalmente econmico que se obtiene de la interaccin entre un acto y un evento.

Tabla de pagos. Es una tabla con todos los pagos posibles que resultan de la interrelacin entre actos y eventos.

CRITERIOS DE DECISION MS USUALES

1. Criterio Maximn. Significa mximo de los mnimos. Con este criterio, la mejor accin est dada por el mayor de los pagos mnimos.

2. Criterio Maximax. Significa mximo de los mximos. La mejor accin est dada por el mayor de los pagos mayores.

3. Minimax. Llamado tambin criterio de prdida de oportunidad. La mejor accin es aquella que tiene la menor perdida de oportunidad.

4. Criterio de Bayes o criterio de pago en el largo plazo. Es un criterio probabilstico.

Ejemplo

Para la temporada de graduaciones, el gerente de una tienda de ropa debe hacer un pedido de 100, 150, 200 o 250 trajes. El costo de cada traje para la tienda es de Q450 y el precio de venta al consumidor es de Q700. Si el pedido de la tienda es mayor que 150 trajes, se har un descuento por unidad de 12%. Para promover el negocio, se regalan 15 trajes, que sern entregados al inicio de la temporada de graduaciones, a los 15 mejores estudiantes del interior. La probabilidad de que se vendan 100, 150, 200 o 250 trajes es de 0.10, 0.40, 0.35, 0.15 respectivamente. Al final de la temporada, las unidades que no se hayan vendido sern puestas en oferta y vendidas en un 60% del precio de venta al consumidor. a) Elabore tabla de pagos. b) Determine la mejor accin de acuerdo con el criterio maximn, maximax, minimax y de Bayes. c) Cunto es lo mximo a pagar por informacin perfecta?Tabla de pagosProb.A1: Pedir 100 unid.A2: Pedir 150 unid. A3: Pedir 200 unid.A4: Pedir 250 unid.

E1: Demanda sea 100 unid.0.1014,50017,20026,50027,700

E2: Demanda sea 150 Unid.0.4014,50027,00040,50041,700

E3: Demanda sea 200 unid.0.3514,50027,00050,30055,700

E4: De.

manda sea 250 unid.0.1514,50027,00050,30065,500

C. Maximn14,50017,20026,50027,700

C. Maximax14,50027,00050,30065,500

Costo unitario para la tienda por pedidos mayores que 150= 450 -- 0.12(450) = Q396

Precio de oferta = (0.60)700 = Q 420

Pago = Utilidad = Ingresos - costosPago en celda A1E1 = +

85(700) 100(450) = Q14,500

Pago en celda A1E2 = Q14,500

Pago en celda A2E1 = 100(700) 150(450) + 35(0.6(700)) = Q17,200

Pago en celda A2E2 = 135(700) 150(450) = Q27,000

Pago en celda A3E1 = 100(700) 200(396) + 85(420) = 26,500

De acuerdo con el criterio maximn, la mejor accin es A4: pedir 250 trajes con un pago de Q27,700.

De acuerdo con el criterio maximax, la mejor accin es A4 : pedir 250 trajes con un pago de Q 65,500

Criterio Minimax o de prdida de oportunidadUna prdida de oportunidad ocurre cuando se toma una accin que no es la mejor.

Para calcular las prdidas de oportunidad, al mejor pago de la mejor accin, en cada fila, se le resta el pago en cada celda.

Tabla de prdidas de oportunidad

Prob.A1: Pedir 100 unid.A2: Pedir 150 unid. A3: Pedir 200 unid.A4: Pedir 250 unid.

E1: Demanda sea 100 unid.0.1027700 - 14500

= 13200 27700 - 17,200

= 1050027700 - 26,500

= 120027,700 27700

= 0

E2: Demanda sea 150 Unid0.4041700 -14,500

= 2720041700 - 27,000

= 1470041700 - 40,500

= 120041,700 41700

= 0

E3: Demanda sea 200 unid.0.3555700 -14,500

= 4120055700 - 27,000

= 2870055700 - 50,300

= 540055,700 55700

= 0

E4: Demanda sea 250 unid.0.1565500- 14500

= 5100065500 - 27,000

= 3850065500 - 50,300

= 1520065,500 65500

= 0

Mayor prdida 51000 38500 15200 0

Con el criterio mnimax, la mejor accin es la que tiene menor prdida.

De acuerdo con el criterio mnimax, la mejor accin es A4: pedir 250 unidades con una prdida de oportunidad de 0.

Criterio de Bayes o de pagos en el largo plazo.El pago en cada celda se obtiene multiplicando la probabilidad de que el evento ocurra por el pago de cada accin.Tabla de pagos en el largo plazo


E1: Demanda sea 100 unid.0.1014,500X0.10

= 145017,200X0.1

=172026,500X0.1

=265027,700X0.10

=2770

E2: Demanda sea 150 Unid.0.4014,500X0.40

=580027,000X0.4

=1080040,500X0.4

=1620041,700X0.40

= 16680


=507527,000X0.35

=945050,300X0.35

=1760555,700X0.35

=19495


=217527,000X0.15

=405050,300X0.15

=754565,500X0.15

=9825

Suma de

pagos14500260204400048770

La mejor accin con el criterio de Bayes es aquella que tenga la mayor suma de pagos.

De acuerdo con el criterio de Bayes, la mejor accin es A4: pedir 250 trajes con un pago en el largo plazo de Q48770

Pago por informacin perfecta

EventoProbabMejor accinMejor pago(Probab)( Mejor pago)

E1: D=1000.10A4277002770

E2: D=1500.40A44170016680

E3: D=2000.35A45570019495

E4: D=2500.15A4655009825

Pago con informacin perfecta= 48770

Mximo pago por informacin perfecta =

Pago con informacin perfecta -- pago con criterio de Bayes =

48770 48770 = 0

Ejemplo

Para la temporada de verano, un distribuidor de aparatos de aire acondicionado debe hacer un pedido en cantidades de 5, 10, 15 o 20 unidades. El costo de cada unidad para el distribuidor es de $1000 y el precio de venta al consumidor es de $1200. La probabilidad de que la demanda sea de 5, 10, 15 o 20 unidades es de 0.20, 0.40, 0.30 y 0.10 respectivamente. Al final de la temporada, las unidades que no se hayan vendido, sern regresadas al fabricante quien har un reembolso de $850 por cada unidad devuelta. a) Elabore tabla de pagos. b) Determine la mejor accin para el distribuidor de aparatos de aire acondicionado de acuerdo con los criterios maximn, maximax, minimax y de Bayes. C) Mximo a pagar por informacin perfecta.

Tabla de pagos


E1: Demanda sea 5 unid.0.20$1000$250-- $500-- $1250

E2: Demanda sea 10 Unid.0.40100020001250500

E3: Demanda sea 15 unid.0.301000200030002250


C. Maximn1000250-- 500-- 1250

C. Maximax1000200030004000

Pago en celda:

A1E1 = 1200(5) 1000(5) = $1000

A2E1 = 5(1200) 10(1000) + 5(850) = $250

A2E2 = 10(1200) 10(1000) = 2000

A3E1 = 5(1200) 15(1000) + 10(850) = -- 500

A3E2 = 10(1200) 15(1000) + 5(850) = 1250

A3E3 = 15(1200) 15(1000) = 3000

De acuerdo con el criterio Maximn, la mejor accin es A1, pedir 5 unidades con un pago de $1000.

De acuerdo con el criterio Maximax, la mejor accin es A4, pedir 20 unidades con un pago de $4000.

Criterio Minimax



E1: Demanda sea 5 unid.0.201000 1000

= 01000 250

= 7501000 -(-500)

= 15001000 (-1250)=

2250

E2: Demanda sea 10 Unid.0.402000 1000

= 10002000 2000

= 02000-1250

= 7501500



Mayor prdida 3000200015002250

De acuerdo con el criterio Minimax, la mejor accin es A3, pedir 15 unidades con una prdida de oportunidad de $1500.

Criterio de Bayes

Tabla de pagos en el largo plazo


E1: Demanda sea 5 unid.0.20$1000 x 0.2

= 200$250 x 0.2

= 50-- $500 x0.2

= -- 100-- 250

E2: Demanda sea 10 Unid.0.40 400 800 500 200



Suma de pagos1000165016001025

De De acuerdo con el criterio de Bayes, la mejor accin es A2, pedir 10 unidades con un pago en el largo plazo de $1650.

Pago con informacin perfecta

EventoProbabMejor accinMejor pagoProbab. X mejor pago

E1: D=50.20A11000200

E2: D=100.40A22000800

E3: D=150.30A33000900

E4: D=200.10A44000400

Pago con informacin perfecta= $2300

Mximo pago por informacin perfecta =

Pago con informacin perfecta -- pago con criterio de Bayes =

= $2300 - $1650 = $650

Ejemplo

Un terrateniente cree que en sus tierras hay petrleo y debe decidir si perfora por su cuenta o alquila sus tierras a otra empresa. La probabilidad de encontrar un pozo de 500,000 barriles es de 0.05, de encontrar pozo de 300,000 barriles es de 0.10, de hallar pozo de 200,000 barriles es 0.20, de encontrar pozo de 100,000 barriles es 0.15 y de encontrar pozo seco es 0.50. El costo de perforar un pozo con petrleo es de $100,000 y de perforar pozo seco es de $75,000. Si el terrateniente perfora por su cuenta, el ingreso por barril es de $1.50. Si alquila sin condiciones recibir un pago fijo de $40,000 independientemente de los resultados. Si alquila con condiciones, recibir $0.50 por cada barril si el pozo es de 500,000 o de 300,000 barriles, de otra manera no recibir nada. a) Elabore tabla de pagos. B) Determine la mejor accin para el terrateniente de acuerdo con el criterio maximn, maximax, mnimax y de Bayes. C) Mximo pago por informacin perfecta.

TABLA DE PAGOS

Prob.A1: Perforar por su cuentaA2: Alquilar sin condicionesA3:Alquilar con condiciones

E1: Pozo de 500,000 bar0.05$650,000$40,000$250,000

E2: Pozo de 300,000 bar0.10350,000$40,000$150,000

E3: Pozo de 200,000 bar0.20200,000$40,0000

E4: Pozo de 100,000 bar0.1550,000$40,0000

E5: Pozo seco0.50-- 75,000$40,0000

C. Maximn-- 75,00040,0000

C. Maximax650,00040,000250,000

De acuerdo con el criterio maximn, la mejor accin es A2: Alquilar sin condiciones con un pago de $40,000.

De acuerdo con el criterio maximax, la mejor accin es A1: Perforar por su cuenta, con un pago de $650,000.

Criterio Minimax



E1: Pozo de 500,000 bar0.050$610,000$400,000

E2: Pozo de 300,000 bar0.100$310,000$200,000

E3: Pozo de 200,000 bar0.200$160,000$200,000

E4: Pozo de 100,000 bar0.150$10,000$50,000

E5: Pozo seco00.50115,0000$40,000

Mayor prdida115,000610,000400,000

De acuerdo con el criterio minimax, la mejor accin es A1: perforar por su cuenta con una prdida de oportunidad de $115,000.

Criterio de Bayes

Tabla de pagos en el largo plazo


E1: Pozo de 500,000 bar0.0532,500$2,000$12,500

E2: Pozo de 300,000 bar0.1035,000$4,000$15,000

E3: Pozo de 200,000 bar0.2040,000$8,0000

E4: Pozo de 100,000 bar0.157,500$6,0000

E5: Pozo seco0.50-- 37,500$20,0000

Si los eventos A y B son independientes

P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)

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M+ëTODOS CUANTITATIVOS I