METODOSNUMERICOSUna exploracion basadaen SchemeEnrique Comer Barragan24 de marzo, 2009 Edicion Preliminar 0.23 Instituto Tecnologico de Tijuanaiic _Licenciadeuso: EstaobrasepublicabajounalicenciadeCreativeCommons (ver: http://creativecommons.org/licences/by-nc-nd/2.5/). Basi-camente,ustedpuededistribuirycomunicarp ublicamentelaobra,siemprequesecumplacon(1)darcreditoalautordelaobra,(2)nolautiliceparanes comerciales y (3) no la altere, transforme o genere una obra derivada deella.Ademas,alutilizarodistribuirlaobra,debeespecicarclaramentelosterminosdeestalicencia.Estascondicionespuedenmodicarseconpermisoescritodelautor.Edicionpreliminar0.2324demarzo,2009IndicegeneralPrefacio VII1. Teoradeerrores 11.1. Importanciadelosmetodosnumericos . . . . . . . . . . . . . 11.2. Conceptosbasicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1. Cifrassignicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2. Precisionyexactitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3. Incertidumbreysesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Tiposdeerrores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1. Errorabsolutoyrelativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2. Errorporredondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3. Errorportruncamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.4. Errornumericototal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4. Softwaredecomputonumerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.1. Softwaredeaccesolibre . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.2. Softwarecomercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.3. Bibliotecasdefunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5. Metodositerativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202. Metodosdesoluciondeecuaciones 252.1. Metodosbasadosenintervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2. Metododebiseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3. Metododeaproximacionessucesivas . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.1. CondiciondeLipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.2. Iteracionyconvergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4. Metodosbasadoseninterpolacion . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.1. MetododeNewton-Raphson. . . . . . . . . . . . . . . 352.4.2. Metododelasecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37iiiivINDICEGENERAL2.4.3. MetododeAitken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5. MetododeBairstow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433. Metodosparasistemasdeecuaciones 453.1. Metodositerativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.1. MetododeJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.2. MetododeGauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2. Sistemasdeecuacionesnolineales . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.1. Metodoiterativosecuencial . . . . . . . . . . . . . . . 473.3. Iteracionyconvergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.1. MetododeNewton-Raphson. . . . . . . . . . . . . . . 493.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514. Diferenciacioneintegracionnumerica 534.1. Diferenciacionnumerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.1. Formulasdediferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.2. Formuladetrespuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.3. Formuladecincopuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2. Integracionnumerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.1. Metododeltrapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.2. MetodosdeSimpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.3. IntegraciondeRomberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.4. Metododecuadraturagaussiana . . . . . . . . . . . . 644.3. Integracionm ultiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675. Soluciondeecuacionesdiferenciales 695.1. Metodosdeunpaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.1.1. MetododeEuleryformasmejorada . . . . . . . . . . . 695.1.2. MetodosdeRunge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2. Metodosdepasosm ultiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2.1. MetododeAdams-Bashforth . . . . . . . . . . . . . . . 745.2.2. MetododeAdams-Moulton . . . . . . . . . . . . . . . 765.3. Sistemasdeecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Bibliografa 79INDICEGENERAL vIndicedealgoritmos 83IndicedecodigoScheme 85Indicedeguras 87Indicedetablas 89Indicealfabetico 91viINDICEGENERALPrefacioThe purpose of computing isinsight, not numbers.R. W. Hamming. Autor deNumerical Methods for Scientistand EngineersEl contenidodeestaobraseconformadeacuerdoal cursodeMetodosNumericos en el plan de estudios actual de Ingeniera en Sistemas Computa-cionales del Instituto Tecnologico de Tijuana. Se hace enfasis tanto en los as-pectos matematicos conceptuales como algortmicos. Para la implementaciondeestos ultimosseutilizaellenguajedeprogramacionScheme[25].LaediciondeestelibroserealizoconTeXnicCenter(ambienteparaLa-TeX/MiKTeX)ysoftwareauxiliarcomoWinGCLCyAsymptote.AgradezcoalaAcademiadeSistemasyComputacionporlarevisionyobservacionesparamejorarestaobra,ascomoalaDGESTporelperodosabatico2007-2008,graciasalcualseharealizadoesteproyecto.ECBcomer@cemati.comviiviii PREFACIOCaptulo1Teoradeerrores1.1. ImportanciadelosmetodosnumericosLa simulacion y el modeladomatematico, moveran el sigloXXI, as como el vapor movio elsiglo XIX.William H. Press. Autor deNumerical RecipesGranpartedelatecnologaactual dependedelasoluciondemodelosmatematicos, desde la programacion empotrada de una calculadora cient-cayelcalculoestructuraldeunediciomultinivelconestructurasdeacero,hastael dise noysimulaciondeaeronavesyvuelosespaciales. Lasoluciondeunmodelomatematicorelativamentesencillopuedeobtenersedemaneraanaltica. Sin embargo, para la gran mayora de los modelos matematicos delmundo real, las soluciones analticas pueden no existir o ser extremadamentecomplejas,porlocualserecurreametodosnumericosqueaproximenlassolucionesdentrodeciertosmargenesdetolerancia.El analisisdelosmetodosnumericosnospermiterealizarestimacionestantodelaecienciaocomplejidaddelosalgoritmosasociados,ascomodela conabilidad de los resultados numericos obtenidos durante su aplicacion.Entrelasdisciplinasquehacenusointensivodelosmetodosnumericospodemosmencionar:AnalisisEstadstico12 CAPITULO1. TEORIADEERRORESMatematicasnancierasAnalisisdeelementonitoAnalisisestructuralQumicacomputacionalInvestigaciondeoperacionesElectromagnetismocomputacionalMecanicacomputacionalProcesamientodeimagenesProcesamientodese nalesSimulacionporcomputadoraComputacionmulti-escalaMetereologaDebidoalagranvariedaddeaplicacionesyespecialidadesatendidasporlosmetodosnumericos, podemosencontrarenlaliteraturaterminosasociadoscomolossiguientes:MatematicasnumericasAlgoritmosnumericosComputacioncientcaAnalisisnumericoMatematicasalgortmicasMatematicascomputacionalesTeoradelaaproximacion11Esta disciplina matematica, forma la base teorica de gran parte de los metodos numeri-cos1.2. CONCEPTOSBASICOS 31.2. ConceptosbasicosEl estudio y aplicacion de los metodos numericos se basa en forma esencialenlarepresentacionymanipulaciondelosn umerosrealesenunacomputa-dora digital. Ya que la memoria de una computadora es nita, esta solo puederepresentar n umeros racionales. La estrategia para hacer funcional y ecientela aproximacion de los n umeros reales por n umeros de maquina en binario sepresentaenelestandarIEEE754[13]Losterminosasociadosenestaseccionincluyen:ConabilidadEstabilidadyconvergenciaPropagaciondelerrorAnalisisasintoticoNotacioncientcaFormadecimalnormalizadaN umerosdemaquinadecimalesconkdgitosN umerosdepuntootante(EstandarIEEE754)1.2.1. CifrassignicativasLa nocion intuitiva de cifras signicativas de un n umero esta directamenterelacionadaconlaprecisiondelosins-trumentosoprocesosquelogeneran.Denicion1.2.1(Cifrassignicativas). El n umerodecifrassignicati-vasdeunn umeroxcorrespondeal n umerodecifrasenlamantisadesurepresentacionennotacioncientca.Ejemplo 1.2.1.Ya que 0.00123 = 1.23 103, decimos que 0.00123 tiene trescifrassignicativas.Ejemplo1.2.2. Eln umero3210=3.210103poseecuatrocifrassignica-tivas.4 CAPITULO1. TEORIADEERRORESNotequeenel ejemploanterior, hemosmantenidoel 0delasunidades.Si el origendel n umeronogarantizarael valor desus unidades, entoncesdeberamos escribir directamente 3.21 103lo que indicara que contamos consolotrescifrassignicativas.Denicion 1.2.2 (Aproximacion con t cifras signicativas).Sean xvy xc losvaloresverdaderoycalculadodeunaciertacantidad,conxv ,= xc.Decimosquexcaproximaaxvcontcifrassignicativassiteselmayorenterononegativoparaelcualxvxcxv 5 10t(1.1)Paraelcasoxv= xc,xcaproximaxvconlascifrassignicativaspropias.Como se observa en [8, pag. 53] esta denicion dada para decimales puedeextenderseparacualquierbasedada.2Ejemplo1.2.3. El n umero3.1416aproximaa3.1415926en6cifrassigni-cativas,yaque[3.1415926 3.1416[[3.1415926[= 2.3554932 106 5 106Comoseobserva,noesnecesarioquecoincidanlosdgitosdelascifrassig-nicativas.Ejercicio 1.2.1. Calcular el n umerode cifras signicativas conque 9.99aproximaa10Ejercicio1.2.2. Calcular el n umerodecifras signicativas conque1005aproximaa10001.2.2. PrecisionyexactitudEl estudioeimplementacionencomputadoradelosmetodosnumericosrequiere de un cuidado especial en el manejo de los n umeros, de forma que los2Esimportantenotarqueenladesigualdad(1.1)seutilizaalgunasveces 16383emin126 1022 1022 16382ebits 8 11 11 15fbits 23 31 52 63totalbits 32 43 64 79Yaque2231.19107y2522.221016,elformatosencillotieneunafraccionconprecisionde7decimalesyel formatodoble, unaprecisionde15decimales.Las operaciones con n umeros reales tanto en MATLAB7como en DrScheme8serealizanendobleprecision.Ejemplo1.2.5. UtilizandolafuncionenScheme9, real->ieee-doble, enlagura (1.1), podemos obtener la representacion en formato de doble precisionmedianteparalosn umeros0.3y646Los formatos extendidos en la tabla 1.1, ofrecen exibilidad de dise no para los distintosfabricantes de computadoras. Por ejemplo, para el formato doble extendido, las computa-dorasSPARCyPowerPCofrecenlossiguientescampos(enbits): e=15, f=112. Encambio INTEL ofrece:e = 15 yf= 63 con un bit extra para manejo explcito del dgitomas signicativo de la fraccion.7MATLAB (MATrix LABoratory) es uno de los sistemas de software numerico mas ex-itosos en la actualidad. Para una introduccion sobresaliente, orientada a metodos numeri-cos, se le invita a consultar el libro de Cleve Moler [18]8Una de las implementaciones mas completas del lenguaje de programacion Scheme, elcual emplearemos a lo largo del texto para ilustrar e implementar los metodos numericos.Para una excelente introduccion se recomienda el tutorial de Dorai Sitaram [25]9Estafuncionas comoel restodelasutilizadasenestelibro, podranserobtenidas(eventualmente) visitando http://cemati.com/math/areas/scheme/, o bien el sitio de dis-tribucionPLaneTPackageRepository en [21]. Se recomienda instalarPLT-Scheme version4.1 (o superior) disponible en http://www.plt-scheme.org, y por el momento, sencillamentecopiar el archivoslab.ss (que complementa este libro) al folder PLT de su instalacion.1.2. CONCEPTOSBASICOS 7>( r eal >i eee dobl e 0. 3)(0 011111111010011001100110011001100110011001100110011001100110011)>( r eal >i eee dobl e 64)(0 100000001010000000000000000000000000000000000000000000000000000)>Yaque(0.3)10=(0.10011)2nuncapodrarepresentarsedeformaexactaenunsistemabinarionito.Comoseobservaenel ejemplo1.2.5hayn umerosreales(dehechounacantidadinnita)quenopodranserrepresentadosenformaexactaenunsistema numerico de base ja. Note ademas que el exponente e

en el formatoIEEE 754 obedece (en el caso de doble precision) a la ecuacion e = e

1023.Ejercicio 1.2.3. Conrme los resultados del ejemplo1.2.5, utilizandolaecuacion1.3.Ejercicio 1.2.4.Determine las representaciones en binario de punto otantenormalizado (en formato de doble precision) de los siguientes n umeros en base10a) 0.1b) 1024c) 1.1920928955078125e 007Problema1.2.1. Yaquelarectadelosotantes nocubrelarectareal,calcularladistanciaqueexisteentrelossiguientesn umerosrealesysusdosn umerosotantesvecinos10bajoel formatodedobleprecisiondel estandarIEEE754:a) 2008.091077b) 64.3c) 444.7102710Esto sera equivalente a encontrar para un n umero realx, funciones piso x| y techox| pero en el ediciode los n umeros otantes.8 CAPITULO1. TEORIADEERRORESProblema1.2.2. Generalice el resultado del problema 1.2.1 y descubra unaexpresionomodelomatematicoparadeterminarladistanciaentren umerosotantes consecutivos enintervalos de laforma[2k, 2k+1], donde k es unenteroenelrangopermitido.En contraste con el concepto de precision que se asocia a la representaciondeunn umeroenparticular (p. ej. bajoel formatodedobleprecisiondelestandar IEEE 754), la exactitud de un n umero hace referencia a una cantidadobjetivo, ybuscael maximoacercamientoposibleadichoobjetivo11, enelsentidodeladenicion1.2.2.Obtener resultados rigurosos y conables, con la precision y exactitud ade-cuadasparacadaaplicacionesunodelospropositosprincipalesdeldise no,analisiseimplementaciondelosmetodosnumericos.Conceptoscomoconvergenciayacotaciondel errormedianteel analisisasintotico, son claves y se consideraran en diferentes partes de nuestro texto.CodigoScheme1.1:Funcionreal->ieee-doble; r e a l a i e e e de 64bi t2 ; numero r e a l > l i s t a de s t r i ng s; entrada : r4 ; s a l i da : ( s e f ); donde : s cont i ene e l bi t del s i gno6 ; : e t a l que e=e 1023 , r e pr e s e nt a e l exponente; : f cont i ene l a f r a c c i o n8 ( define ( r eal >i eee dobl e r )( i eee8 >i eee dobl e10 (map f i l l byte(map (lambda( n) ( number>s t r i ng n 2) )12 ( bytes>l i s t( r eal >f l o a t i ng poi ntbytes r 8 #t ) ) ) ) ) )1.2.3. IncertidumbreysesgoEn el analisis de datos numericos generalmente podemos tener errores quetienenqueverconlafaltayaseadeprecisionodeexactitud.11Peque no Larousse Ilustrado: exactitud: Cualidad de ser medido, calculado o expresadocon todo rigor: hora exacta.1.3. TIPOSDEERRORES 9Denicion 1.2.6 (incertidumbre y sesgo).Llamamos incertidumbre o impre-cisionalafaltadeprecision,ysesgooinexactitud,alafaltasistematicadeexactitud,yaseapordebajoobienporarribadelacantidadexacta.El manejodelaincertidumbreoimprecisionpuederealizarsemediantedistribuciones de probabilidad, entantoque el manejode lainexactitud,medianterangosointervalos.Ejemplo 1.2.6.Supongamos que un profesor debe iniciar siempre sus clasesalas7:00am.Siexisteincertidumbre,podrainiciarconunadistribucionnormal con media de 7 : 05 y desviacion estandar de 1 minuto, lo cual indicaqueel 99.7 %delasvecesiniciaraenel intervalo[7: 02, 7: 08]. Porotrolado,siexiste(solamente)sesgo,entoncesempezarasistematicamente(porejemplo)alas7 : 07.Ejemplo1.2.7. Siespecicamosqueelvalordeunaresistenciaelectricaesde 1005 % , estamos indicando que su valor real debe estar en el intervalo[95, 105].Existe actualmente una nueva generacion de metodos numericos basadosen intervalos, rectangulos, cajas e hipercajas (para espacios mayores que 3D),cuyo proposito es obtener soluciones numericas precisas y exactas. Para may-orinformacionpuedeconsultareltextodeAberth[2]yelcursodeWarwickTuckeren[27].1.3. TiposdeerroresEn esta seccion veremos los tipos esenciales de errores presentes (en mayoromenorgrado)enlaaplicaciondelosmetodosnumericos.Ademasdeestoserrores, podemosconsiderar: el errorhumano, observacionesinexactaspro-pios del equipo experimental y errores de modelado. Ver el texto de FriedmanyKolman[8,pp.54-55]paraejemplos.1.3.1. ErrorabsolutoyrelativoDenicion1.3.1 (Error absoluto yrelativo). Sea xvunvalor numericoverdaderoyseaxcel valorcalculadoqueaproximael verdadero, entoncesdenimosalerrorer(xc)yalerrorrelativorel(xc),ascomosuscorrespon-dientesenvaloresabsolutos,comosigue:10 CAPITULO1. TEORIADEERRORESer(xc) = xvxc(1.4)era(xc) = [xvxc[ (1.5)rel(xc) =xvxcxv(1.6)rela(xc) =xvxcxv(1.7)Asumiendoclaro,queenlasecuaciones(1.6)y(1.7)secumplexv ,= 0.Ejemplo 1.3.1.Calculemos los errores en la denicion (1.3.1) para el caso deaproximar el valor de11 con 3.31. Consideraremos que el valor verdadero de11estaredondeado12asietedecimales,esdecirxv= 3.3166248,entonces:er(3.31) = 3.3166248 3.31= 0.0066248era(3.31) = [0.0066248[ = 0.0066248rel(3.31) =3.3166248 3.313.3166248= 0.0019975rela(3.31) = [0.0019975[ = 0.0019975Loserroresrelativostambienpuedenserexpresadosen %.Ennuestrocaso,rel(3.31) 0.20 %.Ejercicio 1.3.1.Calcule los cuatro errores de la denicion (1.3.1) para el ca-so de aproximar el valor verdadero de /2 con 11/7. Para iniciar sus calculos,favordeutilizarredondeoasietedecimales.Problema1.3.1. Extienda la denicion (1.3.1) especicando como manejarelcasoxv= 0.12La operacion de redondeoaqu es distinta a la que veremos en la seccion 1.3.21.3. TIPOSDEERRORES 111.3.2. ErrorporredondeoAdiferenciadelerrorexternoqueprovocamoscuandoredondeamosacierto n umero de decimales (p. ej. 9.9 a 10), el error por redondeo que interesaen calculo numerico es el que ocurre en la computadora o calculadora debidoalas limitaciones propias delarepresentaciondel n umero(digamos enelsistemade puntootante de precisionsencillaode doble precisionenelestandarIEEE754)Denicion 1.3.2 (Error por redondeo).Dado un n umero real x y un sistemaderepresentaciondepuntootantequealmacenaxcomofl(x), el errorporredondeoeserfl(x) = x fl(x) (1.8)El error por redondeoacumuladoerflops(x, y) es el que resultadespues derealizar unaseriedeoperaciones aritmeticas depuntootante(oops13),dondecadaoperacioncontribuyesucuotadeerrorporredondeo. Estasoperacionesaritmeticaspodemosdenirlascomo:x y= fl(fl(x) + fl(y))x y= fl(fl(x) fl(y))x y= fl(fl(x) fl(y))x y= fl(fl(x) / fl(y))(1.9)Paracalcularerflops(x, y)esnecesariorealizarensecuenciacadaunadelasops yencadaetapa(comoloindicanlasecuacionesen(1.9))calcularelerrorporredondeoresultante.Ejemplo1.3.2(Moler[17]). Calculemoslosresultadosdelasiguientese-cuencia:a = 4/3b = a 1c = b + b + be = 1 cUnaimplementacionenSchemeresultaenelcodigoysuejecucionindicadoenlagura1.1.13ops: (del ingles) oating point operations. Algunos sistemas (como MATLAB) tienenla capacidad de contar las opsrealizadas durante una serie de calculos.12 CAPITULO1. TEORIADEERRORESFigura1.1:EjemplodeerrorporredondeoCodigo = Resultado(denea(/4.3)) a=1.3333333333333333(deneb(-a1)) b=0.33333333333333326(denec(+bbb)) c=0.9999999999999998(denee(-1c)) e=2.220446049250313e-016e 2.220446049250313e-016Note que la primera linea del codigo anterior utiliza (dene a (/ 4. 3)) paraindicar (con el punto) que 4 es un n umero real, simplemente quitando el puntoobtenemoselresultadoindicado14enlagura1.2,dondesehaeliminadoelerror, debidoaqueenel lenguajeScheme, lasoperacionesaritmeticasconenterosyracionalessonexactas.Haydoserroresderedondeoespeciales: errordeunderow(obajoujo,)cuandox(,= 0)esmaspeque noqueelmenor(enmagnitud)delosn umerosdepuntootantedisponiblesyel sistemalorepresentacomocero(obiengeneraunaexcepcionduranteelcalculo).Por otraparte, segeneraunerror deoverow(osobreujo,) cuandoxexcedeelmaximo(enmagnitud)delosn umerosrepresentablescomopuntootanteyelsistemalorepresentacomo+inf o-inf seg unseaelcaso.Ejercicio1.3.2. Exploreydescubracuales sonlos n umeros quegeneranunderowo bien overowbajo diferentes sistemas (p. ej. en MATLAB y PLTScheme).Para medir el error por redondeo utilizamos ya sea el error relativoo bienlas ulps15. En general (como lo indica Goldberg en [10]) si el n umero de punto14Los resultados entre llaves, indican que no hay resultado en pantalla; solo se actualizala tabla de asociaciones entre variables y valores.15ulps: units of the last place, unidades de la ultima posicion.1.3. TIPOSDEERRORES 13Figura 1.2: Ejemplo de eliminacion del error por redondeo, al utilizar n umerosracionalesCodigo = Resultado(denea(/43)) a = 113(deneb(-a1)) b =13(denec(+bbb)) c = 1(denee(-1c)) e = 0e 0otante d0.d1 dp1ese utiliza para representar x, entonces se tendra unerrorenulpsde:erfl(x) = [d0.d1 dp1(x/e)[ p1(1.10)Ejercicio1.3.3. Utilizandolaecuacion(1.10)calculeelerrorporredondeoenulpsparaelcasodeaproximar0.0123456con1.23 102.Proyecto 1.1.Dise ne e implemente un programa en Scheme (o en el lenguajede su preferencia) que ofrezca la funcionalidad de denir un sistema de puntootante parametrizado, y permita realizar experimentos y calculo de errores,ensecuenciasdeoperacionesaritmeticas.1.3.3. ErrorportruncamientoDeformasimilaralcasodelerrorporredondeo,hayquedistinguirentreel error externoqueprovocamos cuandotruncamos unn umeroaciertacantidad de decimales (p. ej. 9.99 a 9.9) y el error de truncamiento que interesafundamentalmenteenelanalisisnumerico.Este ultimotienequeverconlafamosaseriedeTaylor16ylapropiedaddequetodafuncionanalticapuedeseraproximadamediantepolinomios.16Brook Taylor (1685-1731). Analista, geometra y losofo ingles. Publico libros de pers-pectiva y diferencias nitas.14 CAPITULO1. TEORIADEERRORESTeorema1.3.1(TeoremadeTaylor). Seaf(x) unafuncionenlosrealesdenidaenel intervalo[a, b]yquesatisface1. f(x) Cn[a, b]2. fn+1(x)existeparax (a, b)Entonces,paracualesquierx0,xen[a, b],f(x) =n

k=0f(k)(x0)k!(x x0)k+ Rn(x) (1.11)dondeRn(x)=f(n+1)(cx)(n+1)!(x x0)n+1(paracxentrex0yxinclusive)sede-nominaresiduoyalasumatoriallamamos polinomiodeTaylor17deordenn,denotadoporPn(x).Cuandojamosx0,laecuacion(1.11)sedenominaexpansiondeTaylordeordenndef(x)alrededordex0. Ademassi hacemosh=x x0podemos expresar el ordendecrecimiento18del residuocomoRn(x) = O(hn+1) 3Demostracion. (Adaptada de Banach [3] pp. 114-116) Consideremos la ecuacion:f(x) = f(x0) +x x01!f

(x0) +(x x0)22!f

(x0) ++(x x0)nn!f(n)(x0) + w(x x0)n+1Si la ecuacion anterior ha de cumplirse, encontraremos que w debera ser igualaf(n+1)()(n+1)!(que corresponde al factor correspondiente en Rn(x)) para un valordeentrex0yx.Denamos(t)comosigue:(t) = f(x) f(t) x t1!f

(t) (x t)22!f

(t) (x t)nn!f(n)(t) w(x t)n+117Cuandox0= 0 el nombre de la serie cambia aseriedeMacLaurin, en honor a ColinMacLaurin (1698-1746) matematico y fsico escoces.18La notacion basica para orden de crecimiento es (usando nuestra variable h) O(g(h))(pron. Ograndedeg(h))ynosproporcionaunaestimaciondel error. Si escribimosf(h) = O(g(h)) (para todah) esto signica que existe una constanteCtal que se cumple[f(h)[ C[g(h)[ (para todah). Para un excelente tratamiento de este tema y del analisisasintotico se recomienda el libro de Graham, Knuth y Patashnik [11, pp. 443-463].1.3. TIPOSDEERRORES 15Observamosquesecumple(x0)=(x)=0. Si ahoraderivamos(t)conrespectoatobtenemos:

(t) = f

(t) _x t1!f

(t) f

(t)__(x t)22!f(3)(t) x t1!f

(t)__(x t)nn!f(n+1)(t) (x t)(n1)(n 1)!f(n)(t)_+ w(n + 1)(x t)nSimplicando la ecuacion anterior (cancelando terminos iguales) obtenemos:

(t) = (x t)nn!f(n+1)(t) + w(n + 1)(x t)nAplicandoahorael teoremadeRolle19, sabemosqueexisteunaentrexyx0talque

() = 0,portanto:w(n + 1)(x t)n=(x t)nn!f(n+1)(t)dedondeobtenemoselresultadodeseado:w =f(n+1)()(n+1)!,conentrexyx0.Nota: Laformulaparael residuoenel teoremaanterior garantizaque[Rn(x)[ [Rn(x)[,donde:Rn(x) =Mx(n + 1)!(x x0)n+1(1.12)dondeMx= maxf(n+1)(cx)talquecxestaentrex0yxinclusive.Deestaforma, [Rn(x)[nosproporcionaunacotasuperiorefectivaparalamagnituddelresiduo.19MichelRolle(1652-1719).Matematicofrances,especialistaenanalisis,algebrayge-ometra. El teoremadeRollenosdicequesi unacurvacontinuacruzael ejexendospuntos y tiene una tangente en todos sus puntos intermedios, entonces tiene al menos unatangente paralela al ejex.16 CAPITULO1. TEORIADEERRORESEjemplo1.3.3. Calculemos P3(x) alrededor de x0= 0 para la funcion ex, yestimemosR3(x).P3(x) =e00!x0+e01!x1+e02!x2+e03!x3= 1 + x +12x2+16x3R3(x) =ecx4!x4R3(x) =Mx24 x4donde,debidoaquelafuncionexescreciente,tenemos:Mx=_1 x 0exx > 0Ejercicio1.3.4. CalculeP3(x),elpolinomiodeaproximaciondeTaylordeorden3, alrededor dex0=0, as comoel residuoRe(x), paralafunci onf(x) = cos(x/2),Denicion1.3.3(Error por truncamiento).Decimos que existe un error portruncamiento, cuandonopodemoscalcularunvalorverdaderoyvdeformaexplcitaytenemos que reemplazarlopor uncalculoaproximado yc, ylodenotamos por ertr(yv) = yvyc. Normalmente, la aproximacion yc se obtienemediante la suma de los primeros terminos de una serie innita convergente.Ejemplo1.3.4. Utilizandoel resultadodel ejemplo(1.3.3), calculemosloserroresdetruncamiento,cuando:a) AproximamoseconP3(1)b) Aproximamose1conP3(1)Parael caso(a), tenemosyv=eyyc=P3(1), porlocual, utilizandosietedecimalesobtenemos:yv= 2.7182818,yyc= 1 + 1 +12(1)2+16(1)3= 2 + 1/2 + 1/6= 8/31.4. SOFTWAREDECOMPUTONUMERICO 17Yaque8/3 = 2.6666667(redondeandoasietedecimales,)entoncesertr(2.7182818) = 2.7182818 2.6666667 = 0.0516151.Paraelcaso(b)tenemosyv= e1yyc= P3(1),porlocual,utilizandosietedecimalesobtenemos:yv= 0.3678794,yyc= 1 + (1) +12(1)2+16(1)3= 0 + 1/2 1/6= 1/3Yaque1/3 = 0.3333333(redondeandoasietedecimales,)entoncesertr(0.3678794) = 0.3678794 0.3333333 = 0.0345461.Ejercicio1.3.5.Verique que los errores de truncamiento encontrados en elejemplo(1.3.4),estanpordebajodelosR3(x)correspondientesencontradosenelejemplo(1.3.3).1.3.4. ErrornumericototalPor lo visto hasta este punto, los metodos numericos requieren un cuida-dosoreconocimientoyestudiodeloserroresinvolucrados.Denicion1.3.4(Errornumericototal). Elerrornumericototaleslasumadeloserroresporredondeoyloserroresportruncamiento.Loserroresporredondeoyportruncamientoguardanunarelacionmuyinteresantequese nalaChaprayCanale[6, pp. 97-99] ydenominanprinci-piodeincertidumbrenumerica, yaqueconformeaumentael incrementoh(p. ej. (x x0) enlaexpansiondeTaylor) tambienaumentael error portruncamiento, y para reducirlo es necesario aumentar el n umero de terminosen la sumatoria, pero al hacerlo aumenta el n umero de operaciones de puntootante, lo que aumenta el error por redondeo. Se trata entonces de encontrarunpuntodeequilibrioapartirdelcual,setienenrendimientosdecrecientes.1.4. SoftwaredecomputonumericoEl softwarenumericoactual20ofreceunpanoramamuyprometedor, yaque ademas de la calidad en los programas y la b usqueda de conectividad en-20Que incluye con frecuencia funcionalidad propia de los CAS (Computer Algebra Sys-tems).18 CAPITULO1. TEORIADEERROREStre los diferentes sistemas, tambien se busca estandarizar algunos aspectos delasemantica(verp.ej.lainiciativadelNumerical MathematicsConsortium[20]).1.4.1. SoftwaredeaccesolibreEntre los sistemas de acceso libre orientados al software numerico se pode-mosincluir:Axiom:sistemadealgebracomputacional(conMathAction)Calc3D: softwareparacalculoygracacionorientadoageometrayestadsticaEULER:poderosolaboratoriodecomputacionnumerica(conYacas)FreeMat:ColecciondefuncionesbasicasparamatematicasGnuPlot:Excelentegracadordedominiop ublico(noGNU)Jacal:SistemadealgebracomputacionalbasadoenSchemeMathscribe:herramientasparamentescientcasNonEuclid:softwareinteractivoenJavaparageometrahiperbolicaOctave:excelentesistemaanaMATLABPyLab: una coleccion de funciones para calculo numerico y visualizacion.BasadoenPythonRLab:laboratorioparacomputacionnumericaSage: SistemaintegradordegranpotenciayversatilidadqueincluyeotrospaquetesmatematicosOpenSourcedealtacalidad.http://www.sagemath.orgScilab:unodelospaquetesdecomputacionnumericaycientcamasimportantesyexitosos(desarrolladoenelinstitutofrancesINRIA)Singular: unsistemadealgebracomputacional paracomputacionconpolinomios1.4. SOFTWAREDECOMPUTONUMERICO 19Surf:softwareparavisualizaciondegeometraalgebraicarealWinplot: un programa sencillo pero muy versatil para gracar funcionesmatematicaswxMaxima: unpaquete clasicoparamatematicas numericas ycom-putacionsimbolica.SistemabasadoenLisp1.4.2. SoftwarecomercialEntrelossistemasmasrelevantestenemos:Derive:Sistemasharewareparacomputonumericoysimbolico.LabView: Plataforma de computo numerico y simulacion con enfasis ensistemaselectronicosempotrados,degranimportanciaenlaindustriaMAPLE:Sistemapreferidoenambientesacademicosycuyon ucleodeprocesamientosimbolicoseincorporaenotrossistemascomercialesMathCAD:EditordedocumentosqueintegravaliosascapacidadesdecomputonumericoydevisualizacionMathematica:Sosticadoymuyexitososistemadecomputonumericoysimbolico,congrandescapacidadesdevisualizacionMATLAB: AbreviaciondeMATrixLABoratory, esteesel sistemaestandarenaplicacionesdeingenieraScienticWorkplace: ExcelenteeditorcientcodegranexibilidadyqueintegraMAPLEcomosun ucleodecomputacionsimbolica1.4.3. BibliotecasdefuncionesOrientadasprincipalmentealaecienciaenlasoluciondesistemaslin-eales de dimension muy grande, estas bibliotecas son esenciales para el desar-rollo de aplicaciones en la industria, as como en laboratorios de investigacion.Entrelasmasrecomendadaspodemosmencionar:IMSLJavaNumerics20 CAPITULO1. TEORIADEERRORESLAPACK/BLASEISPACKLINPACKNAGEn las proximas revisiones se presentaran referencias y una breve descrip-ciondeestosimportantessistemasdeapoyoalacomputacionnumerica.1.5. MetodositerativosAdiferenciadelosmetodosdirectosdondelasolucionaunaecuacionosistemadeecuacionesselograsiemprealprimerintentosiguiendopasoapasounprocedimientodeterminado21, losmetodositerativosobtienenlasolucioncomoresultadodeunaseriedeaproximacionesgeneradassucesi-vamenteapartirdeunaaproximacioninicialalasolucion.Denicion1.5.1(Metodoiterativo). LlamamosMetodoiterativo(uni-variable)aunprocedimientoqueacepta:a) f(x),lafuncionaiterar22,talqueran(f) dom(f)yademascumpleciertocriteriodeconvergencia23b) x0 dom(f),laaproximacioninicialalasolucionc) ,latoleranciadelerroryencuentra,medianteunn umeronitodeiteraciones,unasolucionaproxi-madax(conerror ),paralaecuacionx = f(x).Llamamospuntojoalvalorxquecumplex = f(x).Normalmente, laimplementaciondeunmetodoiterativoincluyecomoparametroadicional, el n umeromaximodeiteracionespermitidas, parael21Como ejemplo podemos mencionar el procedimiento para calcular la derivada de unafuncion que veremos en la seccion 4.122Iterarunafuncionsignicaaqu, aplicarlarepetidamente, p. ej. x3:=f(f(f(x0)))asigna ax3el valor de la tercera iteracion defaplicada ax023P. ej. la condicion de Lipschitz, que veremos en la seccion 2.3.11.5. METODOSITERATIVOS 21casoenqueseutiliceunafuncionquenocumplaconel criteriodeconver-gencia.Enlagura1.2presentamosel codigoSchemeparaunamaquinaitera-tivabasica, queutilizandoel enfoquedeprogramacionorientadaaobjetos,implementaelmetodoiterativounivariabledeladenicion1.5.1anterior.Ejemplo1.5.1. Resolvamoslaecuacionx=cos(x +14) conayudadelafuncioncrea-mit.>( define mit ( creamit g (lambda( x)(+ ( cos x) 1/4) )0. 01 15) )>( mit i t e r a 0. 7)(0 : 0. 7)(1 : 1. 0148421872844886)(2 : 0. 7777539838103506)(3 : 0. 9624913205131414)(4 : 0. 8214773395993339)(5 : 0. 9311403125086086)(6 : 0. 8469194965541674)(7 : 0. 9122943326484682)(8 : 0. 8619327515053936)(9 : 0. 900971529122722)(10 : 0. 8708486501259518)(11 : 0. 8941776672648917)(12 : 0. 8761601962888252)(13 : 0. 8901059258316943)( 0. 7convergea0. 8793297110716177en14i t e r a c i o n e s )>22 CAPITULO1. TEORIADEERRORESCodigo Scheme 1.2: Funcion crea-mit para crear una maquina iterativa basica; ; f unci on creamit ( rev . 02 , 20080527; en mit . scm)2 ; ; pr opos i t o: : c r e ar una Maquina I Ter at i va (MIT) bas i ca; ; at r i but os: : i d f : s t r i ng ; i d de l a f unci on4 ; ; f : pr ocedi mi ent o ; f unci on a i t e r a r; ; e ps i : r e a l ; t o l e r a nc i a6 ; ; n : ent er o po s i t i vo ; max de i t e r a c i o n e s; ; metodos : : show >pr es ent a l o s at r i but os8 ; ; i t e r a > i t e r a empezando con ; ; f un > r e de f i ne l a f unci on f10 ; ; i d f > r e de f i ne nombre f unci on; ;12 ( define ( creamit i d f f e ps i n)( l et ( ( i mi t i d f ) ( f mi t f ) ( emi t e ps i ) ( nmit n) )14 (lambda( mensaje . param)( cas e mensaje16 ( ( i t e r a )( di s pl ay ( 0 : , ( car param) ) ) ( newl i ne )18 (do ( ( k 1 (+k 1) )( xp ( car param) ( f mi t xp ) )20 ( x ( f mi t ( car param) ) ( f mi t x ) ) )( ( or (=k nmit ) )( i f ( 0 como la tolerancia, decimos que hemos utilizadounmetododeintervaloometodocerrado.ElmetododeintervaloclasicoeselmetododebisecciondeBolzano,queveremosenlaseccionsiguiente(2.2).Comosemencionoenlaseccion1.2.2,recientementesehandesarrolladometodos basados en intervalos (en general hiper-cajas) que van encerrandolasolucionenregionescadavezmaspeque nas,lograndoconelloloqueac-tualmente se conoce como computacion conable (en ingl. reliable computing).Paramayoresdetallessobreestosnuevosmetodosserecomiendaconsultar[27].2526 CAPITULO2. METODOSDESOLUCIONDEECUACIONES2.2. MetododebiseccionElmetododebiseccionsebasaenelsiguienteteoremadeBolzano1Teorema2.2.1(TeoremadeBolzano). Unafuncionf: R Rescerodeal menosunvalordexentreaybsi f escontinuaenel intervalocerrado[a, b]yf(a)yf(b)tienensignosopuestos.La estrategia de este metodo, es partir de un intervalo [a, b] que cumple lacondicionf(a)f(b) < 0yencada iteracionbisectarloparaobtenerunnuevointervalo[a1, b1]quetambiencumpleconf(a1)f(b1) 0 (2.3)para algunos n umeros jos , K, entonces es el orden de convergencia paraxn,yKeslaconstanteasintoticaofactordeconvergencia.En base a la denicion anterior, destacamos los casos para cuando = 1,y=2quecorrespondenaconvergencialineal, yconvergenciacuadraticarespectivamente.Elalgoritmo2.2describeelmetodo.32 CAPITULO2. METODOSDESOLUCIONDEECUACIONESAlgoritmo2.2MetododepuntojoDado: f: funcion asociada a la ecuacion f(x) = x a resolver, x0: valor inicialdelasolucion,:toleranciadelerror,m:n umeromaximodeiteracionespermitidas.Entrega: s: la solucion aproximada a la ecuacion f(x) = x con un error ,obienelmensaje:sinconvergenciaenmiteracionessilasolucionnoconvergeenlasiteracionesylaprecisiondeseada.Punto-Fijo(f, x0, , m)2: if f(x0) = x0then casoexcepcionalreturnx04: elsen 06: repeatxn+1 f(xn)8: n n + 1until [xnxn1[ on > m10: if [xnxn1[ thenreturnxn12: elsereturnsinconvergenciaenmiteraciones14: endifendif16: endPresentamosenellistado2.3,unaimplementacionbasicadelmetodo.2.3. METODODEAPROXIMACIONESSUCESIVAS 33CodigoScheme2.3:Funcionpunto-joasociadaalalgoritmo2.2; ; implementa e l metodo de punto f i j o2 ( define ( puntof i j o f x0 eps m)( i f (=( ( f x0 ) x0 ) 0) ; f ( x0)=x0?4 x0 ; ent r ega x0( l et c i c l o ( ( k 1) ( x ( f x0 ) ) ) ; x1=f ( x0 )6 (cond((m?10 ( s t r i ng append s i n conver genci a en ( number>s t r i ng m)12 i t e r a c i o n e s ) ) ; mensaje( el se ; eoc14 ( c i c l o (+k 1) ( f x ) ) ) ) ) ) ) ; x( k+1)=f [ x( k ) ]Una variante de la funcion punto-jo que nos da informacion adicional sepresentaenellistado2.4.34 CAPITULO2. METODOSDESOLUCIONDEECUACIONESCodigoScheme2.4:Funcionpunto-jo-dataasociadaalalgoritmo2.2; ; implementa e l metodo de punto f i j o2 ; ; ent r ega ( ( s ol uc i on [ mensaje ) e r r or data ); ; donde : data = i f [ x( i ) ] 4 ( define ( puntof i j o data f x0 eps mdecs )( l et ( ( f t ( makef ormaterrounddecs decs ) )6 ( data ( l i s t ( l i s t 0 x0 ) ) ) )( i f (=( ( f x0 ) x0 ) 0)8 ( cons x0 ( cons 0 data ) )( l et c i c l o ( ( k 1) ( x ( f x0 ) ) )10 ( s e t ! data ( cons ( l i s t k ( f t x ) )data ) )12 (cond ((=k m)( cons18 ( s t r i ng append s i n conver genci a en 20 ( number>s t r i ng m) i t e r a c i o n e s )22 ( cons ( ( f x) x)( r e ve r s e data ) ) ) )24 ( el se( c i c l o (+k 1) ( f x ) ) ) ) ) ) ) )2.4. METODOSBASADOSENINTERPOLACION 352.4. Metodosbasadoseninterpolacion2.4.1. MetododeNewton-RaphsonEntrelosmetodosmaspopularesenmatematicascomputacionalesten-emosalcreadoporIsaacNewton2yJosephRaphson3.El atractivodeestemetodoes surapidezcuadraticadeconvergencia,comoveremosmasadelante. Unadesventajaesqueparalaaplicaciondelmetodo se requiere tener tanto la funcion f(x) que quiere resolverse, as comosuderivada.Dadaunafuncionf(x)denidaenunintervalo[a, b],talquef(x) C2[a, b]yexisteunas [a, b]talquef(s) = 0entoncessiescojemosun valor inicial de x cercano a s, podemos utilizar un polinomio interpoladordeTaylorparaaproximarlafuncionf(x)por:f(s) = f(x0) +f

(x0)1!(s x0) +f

(c)2!(s x0)2Haciendof(s) =0yasumiendoqueel terminodesegundogradoesmuypeque no,setiene:0 f(x0) +f

(x0)1!(s x0)Ahorapodemosdespejarsparaobtener:s x0f(x0)f(x0)Si lo expresamos en terminos del metodo iterativo univariable, la funcionaiterares:xn+1= xnf(xn)f

(xn)(2.4)El pseudocodigo para el metodo de Newton-Raphson estandar se presentaenelalgoritmo2.32SirIsaacNewton(1642-1727),reconocidomatematico,fsicoyastronomoingles,suobra maestra PhilosophaeNaturalisPrincipiaMathematicaesconsiderada como uno delos libros cientcos mas importantes de todos los tiempos. Destaca junto con (GottfriedWilhelm von) Leibniz (1646-1716), por su invencion independiente del Calculo.3Joseph Raphson (1648-1715), matematico ingles36 CAPITULO2. METODOSDESOLUCIONDEECUACIONESAlgoritmo2.3MetododeNewton-RaphsonestandarDado: f: funcion asociada a la ecuacion f(x) = 0 a resolver, f

: derivada def(x),x0:aproximacioninicialalasolucion,:toleranciadelerror,ym:n umeromaximodeiteracionesEntrega: s:lasolucionaproximadaalaecuacionf(x)=0,obienelmen-sajesinsolucionaceptableenmiteraciones,obienf

(xn)=0enlaiteracionnNewton-Raphson(f, f

, x0, , m)2: n 0repeat4: if f

(xn) = 0thenreturnf

(xn) = 0enlaiteracionnelse6: xn+1= xnf(xn)/f

(xn)n n + 18: endifuntil [xnxn1[ on > m10: if [xnxn1[ thenreturnxnelse returnsinsolucionaceptableenmiteraciones12: endifend2.4. METODOSBASADOSENINTERPOLACION 37PresentamosacontinuacionunaimplementacionenScheme:C odigoScheme2.5:FuncionparaelmetododeNewton-Raphson( define ( newtonraphson f df x0 eps m)2 ( di s pl ay ( x( , 0)= , x0 ) ) ( newl i ne )( l et c i c l o ( ( xp x0 ) ( df p ( df x0 ) ) ( k 1) )4 ( i f (= df p 0) ( l o s i e nt o : l a der i vada de f en , x06 es 0 en l a , k i t e r a c i o n )( l et ( ( x (xp (/ ( f xp) df p ) ) ) )8 (cond(( k m) ( s i n s ol uc i on en14 ,( k 1) i t e r a c i o n e s ) )( el se ( di s pl ay ( x ( , k)= , x de l t a=16 , ( abs (x xp ) ) ) )( newl i ne )18 ( c i c l o x ( df x) (+k 1 ) ) ) ) ) ) ) )Ejercicio 2.4.1.Aplique el metodo de Newton-Raphson para encontrar unaraizdelaecuacionx3+ x 2 = 0.Utilicex0= 2y = 105.Compruebelasolucionencontrada.2.4.2. MetododelasecanteEstemetodosebasaenlautilizaciondedospuntosx0yx1comoapro-xi-maciones iniciales a la solucion de la ecuacion f(x) = 0, y calcula el tercerpunto x2, resolviendo la siguiente ecuacion de la secante, para y= 0 y x2= x:y f(x1) =f(x1) f(x0)x1x0(x x1) (2.5)paraobtener:x2= x1(x1x0)f(x1)f(x1) f(x0)38 CAPITULO2. METODOSDESOLUCIONDEECUACIONESsi renombramos ahora x2, x1 y x0 por xn+1, xn y xn1 respectivamente, obten-emoslaecuacionrecursivaquecaracterizaalmetododelasecante4:xn+1= xn(xnxn1)f(xn)f(xn) f(xn1)(2.6)Algoritmo2.4MetododelasecanteDado: f: funcionasociadaalaecuacionf(x)=0aresolver, x0yx1: dosaproximaciones iniciales a la solucion, : tolerancia del error, y m: n umeromaximodeiteracionesEntrega: s: la solucion aproximada a la ecuacion f(x) = 0, o bien el mensajesinsolucionaceptableenmiteracionesMetodo-Secante(f, x0, x1, , m)2: n 1repeat4: if f(xn) = f(xn1)thenreturn Sinsolucion:secantehorizontal6: elsexn+1 xn(xnxn1)f(xn)/[f(xn) f(xn1)]8: n n + 1endif10: until [xnxn1[ on > mif [xnxn1[ then12: return xnelse14: return sinsolucionenmiteracionesendif16: end2.4.3. MetododeAitkenEste metodo, tambienconocidocomometodode aceleracionde AitkenoMetodo2deAitken, permiteacelerar laconvergenciadeunasucesi onconvergente.4Note que esta ecuacion es semejante a la utilizada por el metodo de Newton-Raphson,considerando la aproximaci onf

(xn1) f(xn1)f(xn2)xn1xn2.2.5. METODODEBAIRSTOW 39Algoritmo2.5MetododeAitkenDado: f: funcionasociadaalasucesionconvergente xnn=0conxn+1=f(xn), x0: aproximacion inicial a la solucion, : tolerancia del error, y m:n umeromaximodeiteracionesEntrega: x:la solucionaproximada ala ecuacionf(x) = 0, o bien elmen-sajesinsolucionaceptableenmiteracionesMetodo-Aitken(f, x0, , m)2: x1 f(x0)x2 f(x1)4: n 0repeat6: xn+3 f(xn+2)x

n xn(xn+1xn)2/(xn+22xn+1 + xn)8: x

n+1 xn+1(xn+2xn+1)2/(xn+32xn+2 + xn+1)n n + 110: untilx

nx

n1 on > mifx

nx

n1 then12: return x

nelse14: return sinsolucionenmiteracionesendif16: end2.5. MetododeBairstowEnestaseccionveremosunmetodopararesolverelcasocuandof(x) =p(x), esdecirf(x)esunpolinomioenunavariable. As, nosinteresarare-solver laecuacionp(z) =0. Note que hemos cambiadoel smbolode lavariable de x a zpara indicar que trabajaremos en el conjunto de los n umerocomplejosC.Denotaremosnuestropolinomiodegradon > 2porpn(z)delaforma:pn(z) = anzn+ an1zn1+ + a1z + a0(2.7)Engeneral, este metodoconsiste enencontrar iterativamente factorescuadraticos delaforma(Az2+ Bz+ C) parapn(z), reduciendocadavezendosel gradodel polinomio, esdecir, encadaiteracionencontramosun40 CAPITULO2. METODOSDESOLUCIONDEECUACIONESpolinomio pn2(z) de grado n2. Como las races complejas se presentan enparesconjugados,tenemosque:[z (a + ib)][z (a ib)] = z2+ 2az + (a2+ b2) = z2+ Bz + CEnlosucesivousaremosB= ryC= s,enconformidadconlanotacionpropiadelmetodo.Asbuscaremosunpn2(z)quecumpla:pn(z) = (z2rz s)pn2(z) (2.8)Repetiremosel procesoanteriorhastallegaral casocuandoel gradokdelpolinomioreducidopk(z), cumplaconk2que se resuelve de maneradirecta.Paraencontrar los valores de r ysque cumplanconlaecuacion2.8,empezaremosconvaloresinicialesr0ys0.Sirealizamosladivisiondepn(z)entreelfactorcuadraticoz2r0z s0,obtenemoselpolinomio:qn2(z) = bnzn2+ bn1zn3+ + b3z + b2demaneraque:pn(z) = (z2r0z s0)qn2(z) + Rdondeenresiduoestadeterminadopor:R = b1(z r0) + b0(2.9)y los coecientes bin0se calculan recursivamente con las formulas siguientes,considerandok = 0:bn= anbn1= an1 + rkbnbi= ai + rkbi+1 + skbi+2, parai = n 2, n 3, . . . , 0(2.10)Si resultaqueR=0, hemos encontradoel factor cuadraticodeseadoconr =r0ys =s0, encasocontrario, utilizamos el metodode Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones (ver seccion 3.3.1) hasta encontrar losvalores rky skque logren que R = 0, para alg un k > 0. En cuyo caso r = rk,s = skycomoR = 0,entoncespn2(z) = qn2(z)eselsiguientepolinomioaiterar.2.5. METODODEBAIRSTOW 41Para lograr R = 0 en la ecuacion 2.9, y como b0y b1dependen de rky sk,buscaremosloscambiosrysquelogrenhacerceroelsiguientesistemadeecuaciones5:b0(rk + r, sk + s) = b0 +b0rkr +b0sks (2.11)b1(rk + r, sk + s) = b1 +b1rkr +b1sks (2.12)Portanto,sedebecumplir:b0rkr +b0sks = b0b1rkr +b1sks = b1(2.13)El trabajo de Bairstow demostro que podemos obtener las derivadas parcialesdelaecuacion2.13apartir delos coecientes biconel siguientesistemarecursivo:cn= bncn1= bn1 + rkcnci= bi + rkci+1 + skci+2, parai = n 2, n 3, . . . , 0(2.14)dondelasprimerastrescicorrespondenalasderivadasparcialesbuscadas,esdecir:b0rk=c1,b0sk=b1rk=c2yb1sk=c3. Deestaforma, resolviendoelsistema:c1r + c2s = b0c2r + c3s = b1(2.15)estaremosmejorandolasaproximacionesderkyskconlosajustes:rk+1= rk + rsk+1= sk + s(2.16)hastaquesuserroresrelativosestendentrodelatoleranciapermitida.Elalgoritmosiguienteysuauxiliar,describenelmetododeBairstow:5Hemos simplicado aqu la notaci on, ya que estrctamente, utilizaramos rky sk.42 CAPITULO2. METODOSDESOLUCIONDEECUACIONESAlgoritmo2.6MetododeBairstow(requiere:algoritmo2.7)Dado: p: polinomioenunavariableasociadalaecuacionp(z) =0yre-presentadopor(an, an1, . . . , a0); r0ys0: aproximacionesinicialesalosfactorescuadraticos, rel: errorrelativoenporcentajeparalosfactorescuadraticos,m:n umeromaximodeiteracionesEntrega: raices: conjuntodelassolucionesap(z)=0, obienel mensajesinsolucionaceptableenmiteracionesMetodo-Bairstow(p, r0, s0, rel, m)2: raices n gradodelpolinomiop(z)4: whilen > 2do(q, r, s, mje) Factor-Bairstow(p, r0, s0, rel, m)6: if mje ,=thenreturn mje errorencalculodefactor8: elseraices raices cerosdelfactorcuadraticoz2rz s10: p qn gradodelpolinomiop12: endifendwhile14: if n = 2thenraices raices cerosdelpolinomiop16: else raices raices s/rendif18: end2.6. APLICACIONES 43Algoritmo2.7FactorcuadraticoparaBairstow(algoritmo2.6)Dado: p:polinomioenunavariable,representadopor(an, an1, . . . , a0);r0ys0: aproximacionesinicialesalosfactorescuadraticos, rel: errorrela-tivoenporcentajeparalosfactorescuadraticos,m:n umeromaximodeiteracionesEntrega: (q(z), r, s, mje): valores que cumplenlaecuacionp(z) =(z2rz s)q(z) (donde, q estarepresentadopor sus coecientes enordendescendente) ymje=, obienel mje=sinsolucionaceptableenmiteracionesFactor-Bairstow(f, r0, s0, rel, m)2: k 0repeat4: Calculalasbiutilizandolaecuacion2.10Calculalasciutilizandolaecuacion2.146: Determinarkyskresolviendoelsistema2.15Calcularkyskaplicandolasecuaciones2.168: k k + 1until(k > m)10: if k > mthenreturn Sinsolucionenmiteraciones12: elseq(z)estarepresentadoporlas bi14: return (q, r, s,)endif16: end2.6. AplicacionesAplicacion2.1(Modelospoblacionales).Aplicacion2.2(Determinaciondevalorescaractersticos).44 CAPITULO2. METODOSDESOLUCIONDEECUACIONESCaptulo3Metodosdesoluciondesistemasdeecuaciones3.1. Metodos iterativos para sistemas linealesCuandoeln umerodevariablesdelossistemasaresolvereselevado(porejemplo, arribade100) los metodos directos resultanimpracticos yrecu-rrimosalosmetodositerativos, enestaseccionpresentaremosdosmetodosclasicosfundamentales.3.1.1. MetododeJacobiDadounsistemalineal:n

j=1aijxj= bi, 1 i n (3.1)podemos despejar lavariablexiparaobtener unaexpresionquerelacionex(k+1)iconx(k)i:x(k+1)i= n

j=1j=i_aijaiix(k)j_+biaii, 1 i n, aii ,= 0 (3.2)El metodo de Jacobi consiste basicamente en aplicar la ecuacion 3.2 para cadaunadelasvariables,empezandoconlosvaloresinicialescorrespondientes.4546 CAPITULO3. METODOSPARASISTEMASDEECUACIONESLaformamatricial sederivadeformasimilar. PartimosdelaecuacionAx = byelhechodequepodemosdescomponerlamatrizAcomoA = D+L +U, es decir ensus matrices diagonal principal, triangular inferior ytriangularsuperior,respectivamente.Portanto:Ax = (D+L +U)x = b (3.3)yentoncespodemosdespejarelterminoDxparaobtener:Dx = (L +U)x +b (3.4)ycomoaii ,= 0para1 i n,podemosdespejarxenDxparaobtener:x = D1(L +U)x +D1b (3.5)Utilizando este ecuacion, obtenemos la ecuacion para un paso del metodo deJacobi,enformamatricial:x(k+1)= D1(L +U)x(k)+D1b (3.6)dondex(k)representael valordelasvariablesenlak-esimaiteracion, em-pezandoconel vector x0. El procesosedetendracuandoladistanciaeu-clideana__x(k+1)x(k)__ m10: if |xnxn1| thenreturnxn12: elsereturnsinconvergenciaenmiteraciones14: endifend3.4. APLICACIONES 513.4. AplicacionesAplicacion 3.1 (Manipulador robotico de dos eslabones).Considere un ma-nipuladorroboticodedoseslabonesconparametrosL1, L2, 1, 2quedeter-minanunpunto(x, y)enelplano.Resolverlossiguienteproblemas:1. (Cinematicadirecta)DadosL1, L2, 1, 2,encontrar(x, y)2. (Cinematicainversa)DadosL1, L2, x, yencontrar1, 23. (Planeaciondelatrayectoria)Dadountiempot =T, determinarlatrayectoriadelamanodelrobotparamoversede(x0, y0)a(x1, y1)Aplicacion3.2(ModeloeconomicodeLeontief).Aplicacion3.3(CadenasdeMarkov).Aplicacion3.4(Sistemaspolinomialesmultivariables).52 CAPITULO3. METODOSPARASISTEMASDEECUACIONESCaptulo4Diferenciacioneintegracionnumerica4.1. DiferenciacionnumericaDe nuestros cursos de Calculo, recordamos el uso de lmites para calcularladerivadadeunafunciondiferenciable:f

(x) =lmh0f(x + h) f(x)hLoquenossugierequepodemosaproximarf

(x)conlaecuacion:f

(x) f(x + h) f(x)h(4.1)utilizandovalorespeque nosdeh. Paradeterminarel errordedichaaprox-imacion, podemosauxiliarnosconel TeoremadeTaylor(1.3.1). Si aproxi-mamos f(x +h) por su polinomio de Taylor de primer orden alrededor de x,tenemos:f(x + h) = f(x) + f

(x)h +f

()2h2(4.2)dondeesunvalorentrexyx + h.Despejandof

(x)obtenemoslaaprox-imaciondadapor laformula4.1, lacual sabemos ahora(por laecuacionanterior)quetieneunerrordelordenO(h)yaquef

()2h2= O(h).f

(x) =f(x + h) f(x)h+ O(h) (4.3)5354 CAPITULO4. DIFERENCIACIONEINTEGRACIONNUMERICA0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2123456-1hf(x+h)-f(x)x x+hFigura4.1:Estimacionbasicadeunaderivada4.1. DIFERENCIACIONNUMERICA 55Ejemplo4.1.1. Lasiguientetabla(4.1)presentaladerivadadecot(x)enx =2, obtenida aplicando la ecuacion4.1 para diferentes valores de h.Ademasincluimoselerror,yaqueenestecasosabemosquecot

(x) =1cos2(x)y por tanto cot

(2) = 1.2094504 a siete decimales. Para nes comparativos,hemos agregadoenlas ultimas dos columnas los valores correspon-dientesal utilizarlaformuladediferenciascentradasdeordenO(h4)quepre-sentaremosmasadelante.Tabla4.1:Ejemplocomparativoparaladerivadadecot(x)h cot

(2) errorO(h) cot

(2) errorO(h4)0.1 -1.2719025 0.062452083929 -1.2092561 -0.0001942982690.05 -1.238831 0.029380549229 -1.2094386 -1.1801389e-0050.01 -1.2150517 0.005601277957 -1.2094504 -1.8713e-0080.005 -1.2122345 0.002784043309 -1.2094504 -1.169e-0090.001 -1.2100046 0.000554171084 -1.2094504 -2e-012Ejemplo4.1.2. Presentamosenlatabla(4.2)laderivadadeexenx=1,obtenidaaplicandolaecuacion4.1paradiferentes valores deh. Comoenel ejemploanterior, incluimos el error, yaque eneste casosabemos que(ex)

= exy por tanto (ex)

(1) = 2.7182818 a siete decimales. Para nes com-parativos, hemos agregado en las ultimas dos columnas los valores correspon-dientesal utilizarlaformuladediferencias centradasdeordenO(h4)comoenelejemploprevio.Ejercicio4.1.1. Calcular las primeras tres columnas de la tabla 4.1 para laderivadadelafunciontan(x)evaluadaenx = /5.Problema4.1.1. Investiguelarazonporlacual, enla ultimacolumnadelatabla4.2,seincrementaelerrorconformesereduceelvalordeh.Problema4.1.2. Investigue la existencia de una formula para f

(x) con unerrordelordenO(h).Conel propositodeencontrarmejoresformulasparaderivaciondefun-ciones,aplicaremosenlasiguienteseccion,elmetododesustituirlafuncionf(x)porunpolinomiointerpolante.Paraestoutilizaremoslospolinomios56 CAPITULO4. DIFERENCIACIONEINTEGRACIONNUMERICATabla4.2:Ejemplocomparativoparaladerivadadef(x) = exh e

(2) errorO(h) e

(2) errorO(h4)0.1 2.858842 -0.140560126415 2.7182728 9.071733e-0060.01 2.7319187 -0.013636827328 2.7182818 9.06e-0100.001 2.7196414 -0.001359594074 2.7182818 0.00.0001 2.7184177 -0.000135918624 2.7182818 -1e-0121e-005 2.7182954 -1.3591498e-005 2.7182818 -2.2e-0111e-006 2.7182832 -1.358972e-006 2.7182818 2e-0101e-007 2.718282 -1.39947e-007 2.7182818 -1.169e-009deLagrange,yaquenospermitentambiencalcularladerivadaenelcasodenotenerunaformulamatematica, sinosolounn umeronitodepuntos(xi, yi).parai = 1, 2, ..., n.4.1.1. FormulasdediferenciaprogresivayregresivaBasicamente, la idea para obtener estas formulas, es sustituir la funcion aderivar f(x) por su polinomio interpolante de Lagrange pn(x) obtenido a partirde(n + 1)puntosxi, n0 i n n0, paradespuesaproximarf

(x)conp

n(x). Considerandopuntos equidistantes separados unadistanciah, paraexpresarlasformulasdef

(x0),utilizaremoslanotacionsiguiente:fi= f(xi), donde xi= x0 + ih, i = n0, . . . , n n0(4.4)Tenemos entonces los siguientes tres casos de formulas de diferencias, en basealosvaloresden0:1. Diferenciasregresivas,cuandon n0= 02. Diferenciasprogresivas,cuandon0= 03. Diferenciascentradas,cuandon0= n/24.1.2. FormuladetrespuntosUtilizando n = 2 y n0= 1 obtenemos la formula de diferencias centradasparaf

(x0),queapareceenlatabla4.3(adaptadade[16])4.1. DIFERENCIACIONNUMERICA 57Tabla4.3:FormulasdediferenciascentradasdeordenO(h2)paraderivadasf

(x0) =f1f12hf

(x0) =f12f0 + f1h2(4.5)Tabla4.4:FormulasdediferenciascentradasdeordenO(h4)paraderivadasf

(x0) = f2 + 8f18f1 + f212hf

(x0) = f2 + 16f130f0 + 16f1f212h2(4.6)Problema4.1.3.Vericar experimentalmente las siguientes formulas de or-denO(h2)paralaterceraycuartaderivadas:f(3)(x0) =f2f1 + 2f1f22h3f(4)(x0) =f24f1 + 6f04f1f2h4yjusticarlaspasoapasomediantelaaplicaciondelospolinomiosdeLa-grange.4.1.3. FormuladecincopuntosUtilizando n = 4 y n0= 2 obtenemos la formula de diferencias centradasparaf

(x0),queapareceenlatabla4.4(adaptadade[16])UnaimplementacionenSchemeparaelcalculodef

(x0)anteriorsepre-sentaenellistado4.1:58 CAPITULO4. DIFERENCIACIONEINTEGRACIONNUMERICACodigoScheme4.1:Funcionparacalcularf

(x0)seg unecuacion4.4; ; der i vada nume r i c a con h2 ; ; [ por d i f e r e n c i a s cent r adas O( h 4) ]( define ( deri vaconh f x h)4 (/ (+( ( f (+x h h ) ) ) ( 8 ( f (+x h ) ) )( 8 ( f (x h ) ) ) ( f (x h h ) ) )6 ( 12 h ) ) )Problema4.1.4.Vericar experimentalmente las siguientes formulas de or-denO(h4)paralaterceraycuartaderivadas:f(3)(x0) = f3 + 8f213f1 + 13f18f2 + f38h3f(4)(x0) = f3 + 12f239f1 + 56f039f1 + 12f2f36h4yjusticarlaspasoapasomediantelaaplicaciondelospolinomiosdeLa-grange.4.2. IntegracionnumericaEnlas siguientes dos secciones veremos dos de las llamadas formulasdecuadraturadeNewton-Cotes, lascualesaproximanunaintegral denida_baf(x)dxsubdividiendoelintervalo[a, b]ensubintervalosigualmenteespa-ciados.4.2.1. MetododeltrapecioDado el problema de aproximar la integral_baf(x)dx, el metodo del trapeciodivide el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi, xi+1], donde cada xi esta deni-dapor:xi= a + ih, para, h =b an, i = 0, 1, . . . , n (4.7)y se integra cada subitervalo aproximando el area bajo la funcion por el areadeltrapeciocuyabaseeshysualturapromedioes[f(xi) + f(xi+1)]/2.Por4.2. INTEGRACIONNUMERICA 59lotantolaaproximaciondenuestraintegrales:_f(x)dx 12n

i=1[f(xi1) + f(xi)]hh2n

i=1[f(xi1) + f(xi)]h2[f(a) + f(b)] + hn1

i=1f(xi)(4.8)de donde resulta nuestra formula principal de la regla compuesta del trapecio:_f(x)dx =h2_f(a) + f(b) + 2n1

i=1f(xi)_+ Rn(4.9)El errorRndel metododel trapecio, sederivamediantelaintegraciondelpolinomiointerpoladorlineal deLagrangeparaf(x)yasumelaexistenciadef

(x):Rn= h2(b a)12f

(c) (4.10)paraalgunacentreayb.4.2.2. MetodosdeSimpsonExistenvariasreglasometodosdeSimpsonparaintegracion, acontin-uacionpresentamoslallamadareglacompuestadeSimpson.A diferencia del metodo trapezoidal, que utiliza un polinomio interpoladorlineal, el metodo de Simpson sustituye f(x) por un interpolador de Lagrangede segundogradop2(x), lograndoconellounareduccionenel error portruncamiento.Enestecasointegramos cadatres puntos (i.e. cadados subintervalos)obteniendo:_xi+1xi1p2(x)dx =h3[f(xi1) + 4f(xi) + f(xi+1)] (4.11)porloquelaformularesultantees:_baf(x)dx =b a3n[f(x) + f(b) + 4A + 2B] + O(h4) (4.12)donde60 CAPITULO4. DIFERENCIACIONEINTEGRACIONNUMERICAnesunn umeroparh = (b a)/nA =

n/2i=1 f[a + (2i 1)h]B=

(n/2)1i=1f(a + 2ih)O(h4)representaelordendelerrorPresentamosenellistado4.2unaimplementacionenSchemedelareglacompuestadeSimpson:4.2. INTEGRACIONNUMERICA 61CodigoScheme4.2:FuncionparalareglacompuestadeSimpson; aproxima una i nt e g r a l de f i ni da2 ; ut i l i z a ndo l a r e gl a compuesta de Simpson( define ( si mpson f a b h)4 ( l et ( (m( c e i l i n g (/ (b a )( 2 h ) ) ) )6 ( n ( 2 m) ) )( (/ (b a )8 ( 3 n) )(+ ( f a )10 ( f b)( 4 ( sumatori a12 (lambda( i )( f (+a ( 2 i h)14 (h ) ) ) )1 (/ n 2) ) )16 ( 2 ( sumatori a(lambda( i )18 ( f (+a ( 2 i h ) ) ) )1 ( (/ n 2)20 1 ) ) ) ) ) ) )Ejemplo4.2.1. Lasiguienteinteraccionpresentacomocalcularnumerica-mentelaintegral_104sen(3x)dxparah = 103.>( si mpson (lambda( x)( 4 ( s i n ( 3 x ) ) ) )0 1 0. 001)2. 65332332880178974.2.3. IntegraciondeRombergLosdosmetodosdeintegracionprevios, requierencomoparametro, yaseahonpararealizar los calculos, enel metodode Romberg, se utiliza(latoleranciadel error)yel procedimientovasubdividiendoel intervaloinicial [a, b] recursivamente, en tantos subintervalos como sea necesario. Esto62 CAPITULO4. DIFERENCIACIONEINTEGRACIONNUMERICAselogracombinandoel metododel trapecio, conel metododeextrapolaciondeRichardson.Denimos primeramente la sucesion de particiones P1, P2, . . . , Pken basealassiguientesecuacionesrecursivas:n1= 1nk= 2nk1, k 2h1= b ahk=hk12, k 2Pk: xi= a + (i 1)hk, 0 i nkLaaplicaciondelmetododeltrapecioalasucesiondeparticiones,nosllevaalassiguientesecuacionesdeRomberg:R1,1=h2[f(a) + f(b)]Rk,1=12_Rk1,1 + hk1nk1

i=1f_a + (i 12)hk1__(4.13)AplicandoahoraelmetododeextrapolaciondeRichardson,obtenemos:_baf(x)dx =4Rk,1Rk1,13+ O(h4k), k 2 (4.14)Paraacelerarlaconvergenciaasociadaalaecuacion4.14, aplicamoslaex-trapolaciondeRichardsonalasucesion Rk,1,paraobtener:Rk,i=4i1Rk,i1Rk1,i14i11, k 2, 2 i k (4.15)ConlocualpodemosexpresarelmetododeRomberg,como:_baf(x)dx = Rk,i + O(h2ik ), k 2, 2 i k (4.16)Unamaneradedenirel algoritmodeRomberg, esutilizarlasucesiondevalores Ri,i generados por la ecuacion 4.16 y detener el proceso en la iteracioniquecumpla [Ri,iRi1,i1[ < paraundado.4.2. INTEGRACIONNUMERICA 63CodigoScheme4.3:FuncionparaelmetododeRomberg( define ( romberg f a b eps )2 ( define ( hk k) ; h del kesi mo s ubi nt e r val o(/ (b a ) ( expt 2 (k 1 ) ) ) )4 ( define ( romb1 k) ; caso R( k , 1 )( i f (=k 1)6 ( (/ ( hk 1) 2)(+ ( f a ) ( f b ) ) )8 ( 1/2 (+ ( romb1 (k 1) )( ( hk (k 1) )10 ( sumatori a(lambda( i )12 ( f (+a( ( ( 2 i ) 1)14 ( hk k ) ) ) ) )1 ( expt 2 (k 2 ) ) ) ) ) ) ) )16 ( define ( romb i j ) ; caso R( i , j )( i f (= j 1)18 ( romb1 i )(+ ( romb i ( j 1) )20 (/ ( ( romb i ( j 1) )( romb ( i 1) ( j 1) ) )22 ( ( expt 4 ( j 1) ) 1 ) ) ) ) ); c i c l o pr i nc i pa l24 (do ( ( k 1 (+k 1) )(R( romb1 1) ( romb (+k 1) (+k 1) ) )26 ( Rs ( romb 2 2) ( romb (+k 2) (+k 2 ) ) ) )((< ( abs (Rs R) ) eps ) Rs )28 ( di s pl ay ( r ( , k : , k) , ( romb k k ) ) ) ; opci onal( newl i ne ) ; opci onal30 ) )Ejemplo4.2.2. EvaluemoslasiguienteintegralqueaproximalaconstantedeEuler:=_10_11 t+1ln t_dtYa que en t = 0 y en t = 1 la funcion a integrar esta indeterminada, utilizare-mos para la aproximacion los lmites a = 106y b = 1 106. Consideremos64 CAPITULO4. DIFERENCIACIONEINTEGRACIONNUMERICAunatoleranciade104. LasiguienteinteraccionenSchemenosmuestralasolucionporelmetododeRomberg.>( romberg (lambda( t )(+ (/ 1 (1 t ) ) (/ 1 ( l og t ) ) ) )10e6 (1 10e6) 0. 0001)( r (1 : 1) 0. 7065618370052935)( r (2 : 2) 0. 6070498210096675)( r (3 : 3) 0. 5880919525304922)( r (4 : 4) 0. 5814810778664038)( r (5 : 5) 0. 5789083665486172)( r (6 : 6) 0. 5778819093890034)( r (7 : 7) 0. 5774707636230789)0. 5772417545073438>Elvalordeestafamosaconstantea10decimaleses0.5772156649Ejercicio 4.2.1. Eval ue por el metodode Romberglasiguiente integralconsiderando = 106_10ln(1 + x)1 + x2dxCalculeelerrorrelativodesusolucion,sabiendoqueelvalorexactoes ln 284.2.4. MetododecuadraturagaussianaAntes de resolver la integracion de el intervalo general [a, b], resolveremoselproblemamassencillo:_11f(x)dx (4.17)esto es necesario, debido a que utilizaremos funciones ortogonales en el inter-valo[1, 1],enparticularutilizaremoslospolinomiosdeLegendredegradon,quedenotaremosPn(x)paraaproximarlaintegralbuscada,esdecir:_11f(x)dx _11Pn(x)dx (4.18)Enlugar de utilizar puntos equidistantes paraparticionar el intervalode integracion[1, 1] (comofue el casoenlos metodos anteriores) ahora4.2. INTEGRACIONNUMERICA 65consideramos los nodos xiy los pesos wicomo parametros para optimizar laaproximacion,esdecir:_11f(x)dx n

i=1wif(xi), 1 xi 1, 1 i n. (4.19)Los valores delos nodos xicorrespondenalos ceros delos polinomios deLegendrePn(x)ylospesoswisepuedencalcularconlaecuacion:wi=_11n

i=1j=ix xjxixjdx (4.20)Yaquelosvaloresdexiywinormalmenteseutilizanparanrelativamentepeque na,estossepresentanenformatabular,comoenlatabla4.5(verporejemplo[8]p.270):Tabla4.5:Nodosypesosparacuadraturagaussianan xiwi1 0 22 0.5773502692 13 0.7745966692 0.55555555560 0.88888888894 0.8611363116 0.3478548451 0.3399810436 0.65214515495 0.9061798459 0.2369268851 0.5384693101 0.47862867050 0.5688888889Para poder resolver el problema en el intervalo general [a, b], es necesarioajustar los valores de xiy wia x

iy w

irespectivamente, mediante un cambiodevariable,esdecir_baf(x)dx n

i=1w

if(x

i), a xi b, 1 i n. (4.21)dondex

i=a + b2+b a2xi, w

i=b a2wi(4.22)66 CAPITULO4. DIFERENCIACIONEINTEGRACIONNUMERICAdedondeobtenemosnuestraformulaprincipalparaelmetododecuadraturagaussiana:1_baf(x)dx b a2n

i=1wif(a + b2+b a2xi) (4.23)paraa xi b, 1 i nProyecto4.1. Construya un programa en Scheme o en alg un otro lenguaje,paraobtenerlosdatosdelatabla4.5correspondienteaunenteron > 14.3. Integracionm ultiplePara evaluar integrales m ultiples en regiones rectangulares, podemos aplicarlosmetodosdelasseccionespreviasdeunamanerasimilaralacomposici ondefunciones.Porejemploparaelcasobidimensionaltenemos:__Rf(x, y)dA =_ba__dcf(x, y)dy_dx (4.24)dondeR = (x, y)[a x b, c y d,paraciertasvaloresa, b, c, d RParaestecaso, unmetododesolucionesaplicarprimerolareglacom-puestadeSimpson(ecuacion4.12)paraaproximar_dcf(x, y)dy (4.25)dondeasumimosxicomoconstante.Subdividiendo[c, d]enunn umeroparmdesubintervalos,conk= (d c)/m,entoncesyj= c + jkpara0 j m,ypodemosescribir:_dcf(x, y)dy k3 [f(x, y0) + 4Ax + 2Bx + f(x, ym)] (4.26)dondeAx=

m/2j=1f(x, y2j1)1EstemetodoseconocetambiencomometododeGauss-Legendre, el cual nodebeconfundirse con el llamado algoritmo de Gauss-Legendre, utilizado para aproximar el valorde.4.4. APLICACIONES 67Bx=

(m/2)1j=1f(x, y2j)Podemosahoraescribirnuestraintegraldoblecomo:_ba_dcf(x, y)dydx k3__baf(x, y0)dx + 4_baAxdx+ 2_baBxdx +_baf(x, ym)dx(4.27)Ahora aplicamos de nuevo la regla compuesta de Simpson, a cada una de lasintegralesdelladoderecho,dondecadaunadeellastienelaformasiguienteyseaplicanparayjcon0 j m_baf(x, yj)dx h3 [f(x0, yj) + 4A + 2B + f(xn, yj)] (4.28)dondeA =

n/2i=1 f)(x2i1, yj)B=

(n/2)1i=1f(x2i, yj)dondexi= a + ihpara0 i n.4.4. AplicacionesAplicacion4.1(Generaciondevariablesaleatorias).Aplicacion4.2(Generaciondetablasdedistribucionesdeprobabilidad).Aplicacion4.3(Cinematicadeunrobotdedoseslabones). Dadaunafun-cionpolinomialquedescribelatrayectoriadelamanodeunrobotdedoseslabones,calcularsuvelocidadyaceleracion(continuaciondelaaplicacion3.1).Aplicacion4.4(Centrosdegravedad).68 CAPITULO4. DIFERENCIACIONEINTEGRACIONNUMERICACaptulo5Soluciondeecuacionesdiferenciales[Un teorema fundamental delanalisis numerico:]consistencia+estabilidad =convergenciaGermund Dahlquist[28]5.1. MetodosdeunpasoDenicion5.1.1(Metododeunpaso). Llamamosmetododeunpasopararesolverelproblemadevalorinicialy

= f(x, y), y(x0) = y0, x0 x b (5.1)aunprocedimientodeintegraciondadoporyn+1= ayn + h[bf(xn, yn)] (5.2)dondeh = (b x0)/N,yn = 0, 1, . . . , N 15.1.1. MetododeEuleryformasmejoradaEl metododeEulerutilizaa=1, b=1enlaecuacion5.2, porlocualemplea:yn+1= yn + hf(xn, yn) (5.3)6970 CAPITULO5. SOLUCIONDEECUACIONESDIFERENCIALESEste se obtiene de considerar una aproximacion lineal a la para la solucion ex-acta Y (x) del problema de valor inicial (ecuacion 5.1. Es decir, consideramosqueY (x0) = y0y:Y (x) = f[x, Y (x)], x0 x b (5.4)LaaproximacionlinealdeY (x)serepresentacomo:Y (x) Y (x + h) Y (x)h(5.5)dedonde,despejandoY (x + h)obtenemos:Y (x + h) Y (x) + hY (x) Y (x) + hf[x, y(x)]Denotando Y (x+h) como yn+1 y f[x, y(x)] por f(xn, yn) obtenemos la formu-ladelmetododeEuler(ecuacion5.3)El metodo de Euler es uno de los mas basicos, por lo que es solo un puntodepartidaennuestroestudio.Veamosdosmetodos1quedemaneradirectamejoranelmetododeEuler:Metodo de Heun. Mejora el calculo de la pendiente, utilizando dos pun-tos(inicialynaldecadaintervalo)paraluegoobtenerunpromedio,esdecir:2y0i+1= yi + hf(xi, yi)yi+1= yi + hf(xi, yi) + f(xi+1, y0i+1)2(5.6)Metododel puntomedio. Enestecasosemejoralaestimaciondelapendiente, utilizandoel puntomedioentre xiyxi+1. Por tanto, laformuladeiteracionpuedeescribirsecomo:yi+1= yi + hf(xi+1/2, yi+1/2) (5.7)1Dehecho, estosmetodosseconsiderantambienentrelosmetodosdeRunge-Kutta,que veremos en la seccion 5.1.2 (ver [5] pp. 272-276)2Existen varias formas de representar estas ecuaciones.5.1. METODOSDEUNPASO 71CodigoScheme5.1:Funcioneulerparaaproximarlasolucionay

= f(x, y); ; m etodo de Eul er para y=f ( x , y) con y( a)=ya2 ( define ( e ul e r f a b ya n)( l et ( ( h (/ (b a ) n ) ) )4 (do ( ( k 0 (+k 1) )( x a (+x h) )6 ( y ya(+y ( h ( f x y ) ) ) ) ; un paso8 ( data ( )( cons ( l i s t k ( f t 7 x) ( f t 7 y ) )10 data ) ) )((> k n) ( r e ve r s e data ) ) ) ) )Ejemplo5.1.1.Apliquemos el metodo de Euler para determinar la solucionnumericadelaecuaciony

= y2xexy(5.8)para 0 x 1 y condicion inicial y(0) = 1. Utilice n = 10. Las interaccionesconlafuncioneulersonlassiguientes:>( e ul e r (lambda( x y)( ( expt y 2) x (exp (x y ) ) ) )0 1. 1 10)( ( 0 0 1)(1 0. 1 1)(2 0. 2 1. 0040657)(3 0. 3 1. 0130887)(4 0. 4 1. 02818)(5 0. 5 1. 0507423)(6 0. 6 1. 082568)(7 0. 7 1. 1259675)(8 0. 8 1. 183931)(9 0. 9 1. 2603152)(10 1. 0 1. 3600205) )>72 CAPITULO5. SOLUCIONDEECUACIONESDIFERENCIALES5.1.2. MetodosdeRunge-KuttaLos metodos de Runge-Kutta extienden la formula general de los metodosdeunpaso(ecuacion5.2),utilizandoelsiguienteesquema(verporejemplo[6]pp.734-735)yi+1= yi + h(xi, yi, h) (5.9)donde(xi, yi, h)sedenominafuncionincrementoyrepresentaunaaproxi-macion de la pendiente del intervalo [xi, xi+1]. Dicha aproximacion se calculacomounacombinacionlinealdelaspendientesenpuntosespeccosdelin-tervalo.MetododeRunge-KuttadecuartoordenEsteesunodelosmetodosmasutilizados, yaqueresuelveel problemadevalorinicialconunerrordelordenO(h4)yi+1= yi +h6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) (5.10)dondek1= f(xi, yi)k2= f(xi +h2, yi +h2k1)k3= f(xi +h2, yi +h2k2)k4= f(xi + h, yi + hk3)Podemosimplementarel metododeRunge-Kuttadeorden4, medianteelcodigoindicadoen5.2:5.2. METODOSDEPASOSMULTIPLES 73CodigoScheme5.2: Funcionrunge-kutta-4paraaproximarlasolucionay

= f(x, y); ; M etodo de RungeKutta de orden 4 para y=f ( x , y)2 ( define ( rungekutta 4 f x0 xn y0 h)( l et ( (m(/ h 2) )4 ( pasork4(lambda( x y)6 ( l et ( ( k1 ( f x y ) )( k2 ( f (+x m) (+y ( mk1 ) ) ) )8 ( k3 ( f (+x m) (+y ( mk2 ) ) ) )( k4 ( f (+x h) (+y ( h k3 ) ) ) ) )10 (+y ( (/ h 6)(+ k1 ( 2 k2 ) ( 2 k3 ) k4 ) ) ) ) ) ) )12 ( l et c i c l o ( ( x x0 ) ( y y0 ) ( data ( l i s t ( l i s t x0 y0 ) ) ) )(cond ((>=(+x h) xn) ( r e ve r s e data ) )14 ( el se( c i c l o (+x h)16 ( pasork4 x y)( cons ( l i s t ( f t 7 (+x h) )18 ( f t 7 ( pasork4 x y ) ) )data ) ) ) ) ) ) )Problema5.1.1. ApliqueelmetododeEuleryelmetododeRunge-Kuttapara resolver la ecuacion y

= 2x +cos(y) con y(0) = 0. Experimente y com-pare con diferentes parametros y graque sus resultados de manera similar alagura5.1.5.2. Metodosdepasosm ultiplesDenicion5.2.1(Metododepasosm ultiples,adaptadode[8]). Llamamosmetododepasosm ultiplesometodomultipasopararesolverel problemadevalorinicial(verecuacion5.1)aunprocedimientodeintegraciondadoporyn+1= hcf(xn+1, yn+1) +m1

i=0[aiyni + hbif(xni, yni)] (5.11)74 CAPITULO5. SOLUCIONDEECUACIONESDIFERENCIALESFigura5.1: Campodireccional paray

=2x+cos(y) ytrayectoriaparay(0) = 0,en[3, 3] [3, 3]dondem>1,h=(b x0)yn=m 1, m, . . . , N 1.Esunmetododempasossiemprequea2m1 + b2m1> 0.Sic = 0elmetodoesexplcitooabierto,encasocontrario,elmetodoesimplcitoocerrado.5.2.1. MetododeAdams-BashforthEsteesunmetodoabiertoyaqueyn+1sedeterminaexplcitamente.Elproblemadevalorinicialaresolveres:y

= f(x, y), paray(x0) = y0, x0 x < b (5.12)Considerando que estamos en la iteracion n y que hemos obtenido la solucionexactaYn= y(xn),podemosintegrarlaecuacionanteriordesdexnaxn+1:_xn+1xny

dx =_xn+1xnf[x, Y (x)]dx (5.13)5.2. METODOSDEPASOSMULTIPLES 75dedondeencontramos:Yn+1= Yn +_xn+1xnf[x, Y (x)]dx (5.14)Para estimar la integral de la ecuacion anterior, utilizaremos un polinomiointerpoladordeLagrangepn(x)determinadoporlospuntos(x0, F0), . . . , (xn, Fn)dondeFi= F(xi),0 i n,cumpleconFi= Y (xi) = f[xi, Y (xi)].DesarrollandolasdiferenciasdivididasenterminosdeFnobtenemoslaformuladediferenciasregresivasdeNewtonsiguiente:pn(x) =n

k=0(1)k(sk ) (kFn) (5.15)Laf ormulageneralparaelmetododeAdams-Bashforthdeordenm:yn+1= yn + h_y

n +12(y

n) +512(2y

n) + + cm1(m1y

n)_(5.16)dondecm1= (1)m1_01_ sm1_dsProyecto 5.1.Construir un programa de computadora para calcular el valordelaintegral_01_sk_ds, yaplqueloparadeterminar las formulas paraelmetododeAdams-Bashforthdeorden6y7.DosdosmetodosdeAdams-Bashforthmasutilizados,sonlosdeorden3y4,loscualescorrespondenalasformulassiguientes:MetodoAdams-Bashforthdeorden3:yn+1= yn +h12[23f(xn, yn) 16f(xn1, yn1) +5f(xn2, yn2)] (5.17)conerrorportruncamientodelordenO(h4)MetodoAdams-Bashforthdeorden4:yn+1= yn +h24[55f(xn, yn) 59f(xn1, yn1)+ 37f(xn2, yn2) 9f(xn3, yn3)](5.18)conerrorportruncamientodelordenO(h5)76 CAPITULO5. SOLUCIONDEECUACIONESDIFERENCIALES5.2.2. MetododeAdams-MoultonEsteesunmetodocerrado,yaqueyn+1sedeterminaimplcitamente.LatecnicaparaobtenerlasformulasessimilaralcasodeAdams-Bashforth.Presentamos las formulas asociadas alos metodos de Adams-Moultonorden3y4:MetodoAdams-Moultondeorden3:yn+1= yn +h24[9f(xn+1, yn+1) + 19f(xn, yn)5f(xn1, yn1) + 2f(xn2, yn2)](5.19)conerrorportruncamientodelordenO(h5)MetodoAdams-Moultondeorden4:yn+1= yn +h720[251f(xn+1, yn+1) + 646f(xn, yn)264f(xn1, yn1) + 106f(xn2, yn2)19f(xn3, yn3)](5.20)conerrorportruncamientodelordenO(h6)5.3. Sistemasdeecuacionesdiferencialesor-dinariasLosmetodosdescritosenlasseccionespreviaspararesolverelproblemade valor inicial (ecuacion 5.1) se generalizan de forma directa para resolver elproblemadevalorinicialgeneralizado,paraunsistemadeecuacionesdifer-encialesdeprimerorden.Denicion5.3.1(Problemadevalorinicialgeneralizado).y

i= fi(x, y1, y2, . . . , yn), yi(x0) = yi,0, x0 x b (5.21)Parademostrarlaexistenciayunicidaddelasolucionalproblemaante-rior,esnecesarioquelasfuncionesficumplanconlacondiciondeLipschitzparafuncionesdevariasvariables(ver[5]pp.313-314)5.4. APLICACIONES 77Consideremosel casodeunsistemadedosecuaciones, aresolverporelmetododeEuler:y1,n+1= y1,n + hf1(xn, y1,n, y2,n), n 0y2,n+1= y2,n + hf2(xn, y2,n, y2,n), n 0(5.22)El proceso de realiza de forma simultanea, con las condiciones iniciales y1(x0) =y1,0yy2(x0) = y2,0.Demanerasimilar podemosdesarrollar lasecuacionesparael casodelmetododeRunge-Kuttadeorden4.Proyecto 5.2 (Convergencia vs errores).Considere las diferencias en enfasisentre los ordenes en la velocidad de convergencia de los metodos, y el orden deloserroresportruncamiento,ambosconrespectoalvalordeh.Sugerencia:ConsulteelexcelenteensayodeLloydN.Trefethen[26,p.11].5.4. AplicacionesAplicacion5.1(Redesdecircuitoselectricos).Aplicacion5.2(Simulaciondeunpendulo).Aplicacion5.3(EcuacionesdeLorenz:unmodelodeconveccion).78 CAPITULO5. SOLUCIONDEECUACIONESDIFERENCIALESBibliografa[1] H. Abelson, G. J. Sussman, conJ. Sussman. StructureandInterpre-tationof ComputerPrograms, 2/e. MITPress, 1996. Disponibleelec-tronicamenteenhttp://mitpress.mit.edu/sicp/[2] X. Aberth. Introduction to Precise Numerical Methods. Academic Press,2008[3] S. Banach. Calculodiferencialeintegral. Coleccion de Textos Politecni-cos. Serie Matematicas. Editorial Limusa, 1996 (original en polaco, 1929)[4] L. Blum, F. Cucker, M. Shub, S. Smale. ComplexityandReal Compu-tation.Springer-Verlag,NewYork,1998[5] R. L. Burden, J. D. Faires. Analisisnumerico. 7ma. edicion. ThomsonLearning.2002[6] S. C. Chapra, R. P. Canale. Metodos numericos paraingenieros: conprogramasdeaplicacion,4/eMcGraw-HillInteramericana,2003[7] B. P. Demidovich, I. A. Maron. ComputationalMathematics. MIR Pub-lishers,Mosc u,1973[8] M. Friedman, A. Kandel. FundamentalsofComputerNumericalAnaly-sis.CRCPress,Inc.1994[9] N. Gershenfeld. TheNatureofMathematicalModeling. Cambridge Uni-versityPress,1999[10] D.Goldberg.Whateverycomputerscientistshouldknowaboutoatingpointarithmetic.ComputingReviews,ACM,march19917980 BIBLIOGRAFIA[11] R. L. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnik. ConcreteMathematics: Afoundationforcomputerscience,2/e.Addison-WesleyPubl.Co.,1994[12] R. W. Hamming. NumericalMethodsforScientistsandEngineers,2/e.Dover,1986[13] IEEEComputer Society. IEEEStandard for Binary Floating PointArithmetic.IEEEStd754-1985[14] JamesyJames.MathematicsDictionary,5/e.VanNostrandReinhold,N.Y.1992[15] D. E. Knuth. TheArt of ComputerProgramming, Volume2: Seminu-merical Algorithms,2/e.Addison-WesleyPubl.Co.,1981[16] JohnH.Mathews,KurtisD.Fink. MetodosNumericosconMATLAB,3/e.Prentice-Hall,2000[17] C. Moler. Floating points:IEEE Standard unies arithmetic model.ClevesCorner.Disponibleenhttp://www.mathworks.com/company/newsletters/newsnotes/pdf/Fall96Cleve.pdf[18] C. Moler. Numerical Computing with MATLAB. Disponible en:http://www.mathworks.com/moler/index.html[19] NumericalAnalysisDigesthttp://www.netlib.org/na-net[20] NumericalMathematicsConsortiumhttp://www.nmconsortium.org[21] PLaneTPackageRepository.Disponibleen:planet.plt-scheme.org.[22] A.Ralston,P.Rabinowitz.AFirstCourseinNumerical Mathematics,2/e.Dover,2001[23] A.Stanoyevitch.IntroductiontoMATLABwithNumericalPreliminar-ies.JohnWiley&Sons,Inc.,2005[24] Sun Microsystems Numerical computation guide. Disponible en:http://docs.sun.com/app/docs/doc/802-5692/.Consultado2008.02.22BIBLIOGRAFIA 81[25] D. Sitaram. Teachyourself Schemeinxnumdays. 1998-2001. Docu-mentodisponibleen:http://www.ccs.neu.edu/home/dorai/t-y-scheme/t-y-scheme.html[26] Lloyd N. Trefethen. Numerical Analysis. A ser inclu-ido en: W. T. Gowers, ed., Princeton Companion toMathematics, Princeton U. Press. 2008. Disponible en:http://www.comlab.ox.ac.uk/people/nick.trefethen/publication/PDF/2006117.pdf.Consultado2008.08.07[27] W.Tucker.Auto-validatingnumerical methods.Cursodeverano,2004.Disponibleen:http://www.math.uu.se/warwick/summer04/info.html[28] Gerhard Wanner Germund Dahlquists Classical Papers on StabilityTheory.Disponibleen:http://www.unige.ch/wanner/DQsem.pdf82 BIBLIOGRAFIAIndicedeAlgoritmos2.1. Metododebiseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2. Metododepuntojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3. MetododeNewton-Raphsonestandar. . . . . . . . . . . . . . 362.4. Metododelasecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5. MetododeAitken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6. MetododeBairstow(requiere:algoritmo2.7) . . . . . . . . . . 422.7. FactorcuadraticoparaBairstow(algoritmo2.6) . . . . . . . . 433.1. Metododepuntojoparasistemas . . . . . . . . . . . . . . . 493.2. MetododeNewton-Raphsonparasistemas . . . . . . . . . . . 508384INDICEDEALGORITMOSIndicedecodigoScheme1.1. Funcionreal->ieee-doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. Funcioncrea-mitparacrearunamaquinaiterativabasica . . . 222.1. Funcionbiseccionasociadaalalgoritmo2.1 . . . . . . . . . . 272.2. Funcionbiseccion-dataasociadaalalgoritmo2.1. . . . . . . 282.3. Funcionpunto-joasociadaalalgoritmo2.2 . . . . . . . . . 332.4. Funcionpunto-jo-dataasociadaalalgoritmo2.2 . . . . . . 342.5. FuncionparaelmetododeNewton-Raphson . . . . . . . . . . 374.1. Funcionparacalcularf

(x0)seg unecuacion4.4 . . . . . . . . 584.2. FuncionparalareglacompuestadeSimpson. . . . . . . . . . 614.3. FuncionparaelmetododeRomberg . . . . . . . . . . . . . . 635.1. Funcioneulerparaaproximarlasolucionay

= f(x, y). . . . 715.2. Funcionrunge-kutta-4paraaproximar lasolucionay

=f(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738586INDICEDECODIGOSCHEMEIndicedeguras1.1. Ejemplodeerrorporredondeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Ejemplo de eliminacion del error por redondeo, al utilizarn umerosracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1. Biseccionesparaelejemplo2.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1. Estimacionbasicadeunaderivada . . . . . . . . . . . . . . . 545.1. Campodireccional paray

=2x + cos(y)ytrayectoriaparay(0) = 0,en[3, 3] [3, 3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748788INDICEDEFIGURASIndicedetablas1.1. PrecisionenFormatosIEEE754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.1. Ejemplocomparativoparaladerivadadecot(x) . . . . . . . . 554.2. Ejemplocomparativoparaladerivadadef(x) = ex. . . . . . 564.3. Formulas de diferencias centradas de orden O(h2) para derivadas 574.4. Formulas de diferencias centradas de orden O(h4) para derivadas 574.5. Nodosypesosparacuadraturagaussiana. . . . . . . . . . . . 658990INDICEDETABLASIndicealfabeticocifrassignicativas,3computacionconable,25convergenciacriteriode,20factorde,31ordende,31derivacionformulasdeordenO(h2),57formulasdeordenO(h4),57diferenciacionnumerica,53diferenciasformuladecincopuntos,57formuladetrespuntos,56DrScheme,6errorabsoluto,9numericototal,17porredondeo,11portruncamiento,13relativo,9incertidumbre,9intervalos,9iteraciondeNewton-Raphsonunivariable,35MATLAB,6metodoBairstow,39cerrado,25decuadraturagaussiana,64deintervalo,25depuntojo,30deRomberg,61deRunge-Kutta,72de Runge-Kutta de cuarto orden,72deSimpson,59deltrapecio,58directo,20iterativo,20iterativoestandar,30n umerosbinarios de punto otante normal-izado,5puntootante,5puntootantenormalizado,5precision,6puntojo,20Scheme,6sesgo,9software,17accesolibre,18bibliotecas de funciones (Libraries),19comercial,199192INDICEALFABETICOteoremadeBolzano,26deTaylor,14