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Produccion Comportamiento empresa Costes
Microeconomia Avanzada 1
Sjaak Hurkens
2011
Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 1/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Teorıa de la Empresa
produccion
costes
conducta de la empresa
Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 2/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Definicion (Plan de produccion)
Un plan de produccion para la empresa j, es un vectorl-dimensional yj = (yj1, ..., yjl) ∈ IRl donde yjk > 0 denota unoutput para la empresa j, yjk < 0 denota un input, y yjk = 0representa que la mercancıa k no forma parte del proceso deproduccion de la empresa j.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Definicion (Conjunto de prosibilidades de produccion)
El conjunto de posibilidades de produccion de la empresa j, quedenotamos como Yj ⊂ IRl , es el conjunto de todos los planes deproduccion tecnicamente viables.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
output
input0
Yj
yj
Figure: El conjunto de posibilidades de produccion
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Definicion (Tecnologıa)
Una tecnologıa para una empresa es un proceso que permitetransformar unas mercancıas (inputs) en otras (outputs).
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: supuestos propiedades de Yj
(i) Yj es no vacıo y cerrado.
(ii) Sin input no hay output (no free lunch).
(iii) Posibilidad de suspender la actividad.
(iv) “Free disposal”.
(v) Irreversibilidad de la produccion.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: supuestos propiedades de Yj
(i) Yj es no vacıo y cerrado.
(ii) Sin input no hay output (no free lunch).
(iii) Posibilidad de suspender la actividad.
(iv) “Free disposal”.
(v) Irreversibilidad de la produccion.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: supuestos propiedades de Yj
(i) Yj es no vacıo y cerrado.
(ii) Sin input no hay output (no free lunch).No es posible producir algo a partir de nada. Formalmente, siyj ∈ Yj tal que ∀k , yjk ≥ 0, entonces, yj = 0.
(iii) Posibilidad de suspender la actividad.
(iv) “Free disposal”.
(v) Irreversibilidad de la produccion.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: supuestos propiedades de Yj
(i) Yj es no vacıo y cerrado.
(ii) Sin input no hay output (no free lunch).
(iii) Posibilidad de suspender la actividad.
(iv) “Free disposal”.
(v) Irreversibilidad de la produccion.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: supuestos propiedades de Yj
(i) Yj es no vacıo y cerrado.
(ii) Sin input no hay output (no free lunch).
(iii) Posibilidad de suspender la actividad.Esta propiedad dice 0 ∈ Yj .
(iv) “Free disposal”.
(v) Irreversibilidad de la produccion.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: supuestos propiedades de Yj
(i) Yj es no vacıo y cerrado.
(ii) Sin input no hay output (no free lunch).
(iii) Posibilidad de suspender la actividad.
(iv) “Free disposal”.
(v) Irreversibilidad de la produccion.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: supuestos propiedades de Yj
(i) Yj es no vacıo y cerrado.
(ii) Sin input no hay output (no free lunch).
(iii) Posibilidad de suspender la actividad.
(iv) “Free disposal”.Esta propiedad nos dice que la empresa puede eliminar sincoste las mercancıas (inputs o outputs) que tiene en exceso.Formalmente, si y 1
j ∈ Yj y y 2j es tal que
y 2jk ≤ y 1
jk , k = 1, 2, . . . , l , entonces y 2j ∈ Yj .
(v) Irreversibilidad de la produccion.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: supuestos propiedades de Yj
(i) Yj es no vacıo y cerrado.
(ii) Sin input no hay output (no free lunch).
(iii) Posibilidad de suspender la actividad.
(iv) “Free disposal”.
(v) Irreversibilidad de la produccion.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: supuestos propiedades de Yj
(i) Yj es no vacıo y cerrado.
(ii) Sin input no hay output (no free lunch).
(iii) Posibilidad de suspender la actividad.
(iv) “Free disposal”.
(v) Irreversibilidad de la produccion.Esta propiedad dice que no es posible cambiar el papel de losinputs y de los outputs en el proceso de produccion, exceptoen el caso trivial de la inactividad. Formalmente, siyj = (yj1, yj2, . . . , yjl) es un plan de produccion, el plan deproduccion −yj = (−yj1,−yj2, . . . ,−yjl) que obtenemoscambiando los inputs por outputs y viceversa no es factible.
Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 7/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: posibles propiedades
(vi) rendimientos no crecientes a escala:
yj ∈ Yj , λ ∈ [0, 1]⇒ λyj ∈ Yj
(a) (b)0
output
input0
Yj
output
input
Yj
yj
!yj!yj
yj
Figure: Rendimientos no crecientes a escala.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: posibles propiedades
(vi) rendimientos no crecientes a escala:
yj ∈ Yj , λ ∈ [0, 1]⇒ λyj ∈ Yj
(a) (b)0
output
input0
Yj
output
input
Yj
yj
!yj!yj
yj
Figure: Rendimientos no crecientes a escala.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: posibles propiedades
(vii) rendimientos no decrecientes a escala:
yj ∈ Yj , λ ≥ 1⇒ λyj ∈ Yj
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: posibles propiedades
(viii) rendimientos constantes a escala:
yj ∈ Yj , λ ≥ 0⇒ λyj ∈ Yj
0
output
input
Yj
yj
!yj
Figure: Rendimientos constantes a escala.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: posibles propiedades
(viii) rendimientos constantes a escala:
yj ∈ Yj , λ ≥ 0⇒ λyj ∈ Yj
0
output
input
Yj
yj
!yj
Figure: Rendimientos constantes a escala.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 10/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: posibles propiedades
(ix) aditividad:
y 1j , y
2j ∈ Yj ⇒ y 1
j + y 2j ∈ Yj
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: posibles propiedades
(x) convexidad:
y 1j , y
2j ∈ Yj , λ ∈ [0, 1]⇒ λy 1
j + (1− λ)y 2j ∈ Yj
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: posibles propiedades
(x) convexidad:
y 1j , y
2j ∈ Yj , λ ∈ [0, 1]⇒ λy 1
j + (1− λ)y 2j ∈ Yj
La convexidad combina varias ideas:- La perfecta divisibilidad de los planes de produccion- Los rendimientos no crecientes ( si 0 ∈ Yj)- Si consideramos dos planes de produccion que generan el mismooutput pero utilizan diferentes combinaciones de inputs, podemosconstruir un nuevo plan de produccion utilizando una mediaponderada de los inputs de los dos planes de produccion anterioresy el output resultante sera como mınimo tan grande como elcorrespondiente a los planes de produccion iniciales.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion: posibles propiedades
(x) convexidad:
0
output
input
Yj
y1jy2
j
Figure: ConvexidadSjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 12/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Distingir inputs (z) y outputs (y):
yj = (zj1, zj2, . . . , zjν ; yjν+1, yjν+2, . . . , yjl) = (zj , yj),
donde zj ∈ Zj ⊂ IRν y yj ∈ Yj ⊂ IRl−ν . Dada la convencion deinputs negativos, zjk ≤ 0, k = 1, 2, . . . , ν yyjk ≥ 0, k = ν + 1, ν + 2, . . . , l .
Definicion (Conjunto de necesidades de inputs)
Dado un vector de outputs yj ∈ Yj , el conjunto de necesidades deinputs asociado es
Vj(yj) = {zj : (zj , yj) ∈ Yj}.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Distingir inputs (z) y outputs (y):
yj = (zj1, zj2, . . . , zjν ; yjν+1, yjν+2, . . . , yjl) = (zj , yj),
donde zj ∈ Zj ⊂ IRν y yj ∈ Yj ⊂ IRl−ν . Dada la convencion deinputs negativos, zjk ≤ 0, k = 1, 2, . . . , ν yyjk ≥ 0, k = ν + 1, ν + 2, . . . , l .
Definicion (Conjunto de necesidades de inputs)
Dado un vector de outputs yj ∈ Yj , el conjunto de necesidades deinputs asociado es
Vj(yj) = {zj : (zj , yj) ∈ Yj}.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Sobre el conjunto Vj(yj) vamos a introducir dos propiedades:
(i) Vj(yj) es comprensivo.Formalmente, ante dos vectores de inputs z1
j y z2j si
z1j ∈ Vj(yj) y z2
j ≤z1j , entonces z2
j ∈ Vj(yj).
(ii) Vj(yj) es convexo.
(iii) nesting: Si y 1j ≥ y 2
j , entonces Vj(y 1j ) ⊆ Vj(y 2
j ).
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Sobre el conjunto Vj(yj) vamos a introducir dos propiedades:
(i) Vj(yj) es comprensivo.Formalmente, ante dos vectores de inputs z1
j y z2j si
z1j ∈ Vj(yj) y z2
j ≤z1j , entonces z2
j ∈ Vj(yj).
(ii) Vj(yj) es convexo.
(iii) nesting: Si y 1j ≥ y 2
j , entonces Vj(y 1j ) ⊆ Vj(y 2
j ).
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Sobre el conjunto Vj(yj) vamos a introducir dos propiedades:
(i) Vj(yj) es comprensivo.Formalmente, ante dos vectores de inputs z1
j y z2j si
z1j ∈ Vj(yj) y z2
j ≤z1j , entonces z2
j ∈ Vj(yj).
(ii) Vj(yj) es convexo.
(iii) nesting: Si y 1j ≥ y 2
j , entonces Vj(y 1j ) ⊆ Vj(y 2
j ).
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Qj(yj)
z1j
z2j
0 z1j
z2j
0
Vj(yj)
Vj(y2j )
Vj(y1j )
(a) (b)
Figure: Conjunto de necesidades de inputs
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Definicion (Isocuanta)
Dado un vector de outputs yj , definimos la isocuanta asociadacomo la frontera de su conjunto de necesidades de inputs.Formalmente,
Qj(yj) = {zj : (zj , yj) ∈ Yj ,
(zj , y′j ) 6∈ Yj , para cualquier y
′j ≥ yj , y
′j 6= yj
}.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Definicion (La funcion de transformacion)
Fj : IRl → IR tal que
Yj = {yj ∈ IRl : Fj(yj) ≤ 0}.
input0
outputyj
{yj : Fj(yj) = 0}
Yj = {yj : Fj(yj) ! 0}
Figure: La funcion de transformacion.
Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 17/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Definicion (La funcion de transformacion)
Fj : IRl → IR tal que
Yj = {yj ∈ IRl : Fj(yj) ≤ 0}.
input0
outputyj
{yj : Fj(yj) = 0}
Yj = {yj : Fj(yj) ! 0}
Figure: La funcion de transformacion.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 17/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Definicion (tasa marginal de transformacion)
TMThk(y j) = −
∂Fj(y j)
∂yjh
∂Fj(y j)
∂yjk
.
TMT es la pendiente de la frontera de transformacion.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Caso especial: un unico output
Definicion (funcion de produccion)
fj : IRl−1 → IR
input0
output
Yj
y = fj(z)
Figure: La funcion de produccion.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Definicion (relacion tecnica de de sustitucion)
RTS = TMT
RTShk(y) = −
∂fj(zj)
∂zjh
∂fj(zj)
∂zjk
.
RTS es la pendiente de la isocuanta correspondiente al nivel deproduccion y .
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Ejemplo (La tecnologıa Cobb-Douglas)
Conjunto de produccion
Y = {(−z1,−z2, y) ∈ IR2−×IR/y ≤ zα1 zβ2 }, α, β ∈ IR+
Cuando α + β > 1 la tecnologıa exhibe rendimientoscrecientes; si α + β = 1 los rendimientos sonconstantes; si α + β < 1 tenemos rendimientosdecrecientes.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Ejemplo (La tecnologıa Cobb-Douglas)
Conjunto de necesidades de inputs
V (y) = {(−z1,−z2) ∈ IR2−/y ≤ zα1 zβ2 }
Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 21/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Ejemplo (La tecnologıa Cobb-Douglas)
IsocuantasQ(y) = {(−z1,−z2) ∈ IR2
−/y = zα1 zβ2 }
Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 21/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Ejemplo (La tecnologıa Cobb-Douglas)
Funcion de produccionf (z1, z2) = zα1 zβ2
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Ejemplo (La tecnologıa Leontieff)
Conjunto de produccion
Y = {(−z1,−z2, y) ∈ IR2− × IR/y ≤ min{az1, bz2}}
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Ejemplo (La tecnologıa Leontieff)
Conjunto de necesidades de inputs
V (y) = {(−z1,−z2) ∈ IR2−/y ≤ min{az1, bz2}}
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Ejemplo (La tecnologıa Leontieff)
Isocuantas
Q(y) = {(−z1,−z2) ∈ IR2−/y = min{az1, bz2}}
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Ejemplo (La tecnologıa Leontieff)
Funcion de produccion
f (z1, z2) = min{az1, bz2}
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
0(b)
z1
z2
0(a)
Q(y1)
Q(y2)
V (y2)
z1
z2
Q(y1)
Q(y2)
V (y2)
Figure: Las tecnologıas Cobb-Douglas y Leontieff.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Propiedades de la funcion de produccion
(i) fj es no decreciente. (free disposal)
(ii) fj es cuasiconcava. (convexidad conj. nec. de inputs)
(iii) fj exhibe rendimientos no decrecientes a escala si
∀α > 1, fj(αzj) ≥ αfj(zj).
(iv) fj exhibe rendimientos no crecientes a escala si
∀α > 1, fj(αzj) ≤ αfj(zj).
(v) fj exhibe rendimientos constantes a escala si
∀α > 0, fj(αzj) = αfj(zj).
Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 24/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Propiedades de la funcion de produccion
(i) fj es no decreciente. (free disposal)
(ii) fj es cuasiconcava. (convexidad conj. nec. de inputs)
(iii) fj exhibe rendimientos no decrecientes a escala si
∀α > 1, fj(αzj) ≥ αfj(zj).
(iv) fj exhibe rendimientos no crecientes a escala si
∀α > 1, fj(αzj) ≤ αfj(zj).
(v) fj exhibe rendimientos constantes a escala si
∀α > 0, fj(αzj) = αfj(zj).
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Propiedades de la funcion de produccion
(i) fj es no decreciente. (free disposal)
(ii) fj es cuasiconcava. (convexidad conj. nec. de inputs)
(iii) fj exhibe rendimientos no decrecientes a escala si
∀α > 1, fj(αzj) ≥ αfj(zj).
(iv) fj exhibe rendimientos no crecientes a escala si
∀α > 1, fj(αzj) ≤ αfj(zj).
(v) fj exhibe rendimientos constantes a escala si
∀α > 0, fj(αzj) = αfj(zj).
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Propiedades de la funcion de produccion
(i) fj es no decreciente. (free disposal)
(ii) fj es cuasiconcava. (convexidad conj. nec. de inputs)
(iii) fj exhibe rendimientos no decrecientes a escala si
∀α > 1, fj(αzj) ≥ αfj(zj).
(iv) fj exhibe rendimientos no crecientes a escala si
∀α > 1, fj(αzj) ≤ αfj(zj).
(v) fj exhibe rendimientos constantes a escala si
∀α > 0, fj(αzj) = αfj(zj).
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Propiedades de la funcion de produccion
(i) fj es no decreciente. (free disposal)
(ii) fj es cuasiconcava. (convexidad conj. nec. de inputs)
(iii) fj exhibe rendimientos no decrecientes a escala si
∀α > 1, fj(αzj) ≥ αfj(zj).
(iv) fj exhibe rendimientos no crecientes a escala si
∀α > 1, fj(αzj) ≤ αfj(zj).
(v) fj exhibe rendimientos constantes a escala si
∀α > 0, fj(αzj) = αfj(zj).
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
La elasticidad de sustitucion mide la variacion porcentual delcociente entre dos inputs h y k con respecto a la variacionporcentual de la RTS asociada en un punto y . Formalmente,
Definicion (elasticidad de sustitucion)
σhk =
∂(zjk/zjh)
(zjk/zjh)
∂RTShk
RTShk
∣∣∣y
=∂(zjk/zjh)
∂RTShk
RTShk
(zjk/zjh)
∣∣∣y.
Ejemplo CES: f (z1, z2) = (zρ1 + zρ2 )1/ρ (ρ < 1, ρ 6= 0)
σ =1
1− ρ
Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 25/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
La elasticidad de sustitucion mide la variacion porcentual delcociente entre dos inputs h y k con respecto a la variacionporcentual de la RTS asociada en un punto y . Formalmente,
Definicion (elasticidad de sustitucion)
σhk =
∂(zjk/zjh)
(zjk/zjh)
∂RTShk
RTShk
∣∣∣y
=∂(zjk/zjh)
∂RTShk
RTShk
(zjk/zjh)
∣∣∣y.
Ejemplo CES: f (z1, z2) = (zρ1 + zρ2 )1/ρ (ρ < 1, ρ 6= 0)
σ =1
1− ρ
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
0(a)
z1
z2
(b)
y1
0 z1
z2
y2
! = 0 ! =!
y2
y1
Figure: Convexidad y substituibilidad.
Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 26/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
La elasticidad de escala mide el aumento porcentual queexperimenta el nivel de produccion cuando se aumentan todos losfactores en la misma proporcion. El interes de esta medida vienedado porque una funcion de produccion puede presentarrendimientos crecientes a escala para ciertos niveles de los factoresy rendimientos decrecientes a escala para otros. Ello genera lanecesidad de definir una medida local de los rendimientos a escala.
Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 27/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Definicion (La elasticidad de escala)
e(zj) =
∂fj(αzj)
fj(αzj)
∂α
α
∣∣∣∣∣α=1
=∂fj(αzj)
∂α
α
fj(αzj)
∣∣∣α=1
=
∑nk=1
∂fj∂zjk
zjk
fj(zj)
e(zj) > 1: rendimientos crecientes localmentee(zj) = 1: rendimientos constantes localmentee(zj) < 1: rendimientos decrecientes localmente
Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 28/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Produccion
Observacion: elasticidad de produccion del input k
∂fj∂zjk
zjk
fj(zj)=
PMargk
PMedk= ek(zj)
Ejemplo: f (z1, z2) = A(1 + z−α1 z−β2 )−1 (α, β > 0)
Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 29/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento de la empresa
Suponemos que la empresa esta intersada en maximizar beneficios:
maxyj∈YJ
Πj(p, yj) = maxyj∈YJ
l∑
k=1
pkyjk
o, equivalente,
maxyj
l∑
k=1
pkyjk s.a. Fj(yj) ≤ 0
No siempre existe una solucion!
Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 30/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento de la empresa
Suponemos que la empresa esta intersada en maximizar beneficios:
maxyj∈YJ
Πj(p, yj) = maxyj∈YJ
l∑
k=1
pkyjk
o, equivalente,
maxyj
l∑
k=1
pkyjk s.a. Fj(yj) ≤ 0
No siempre existe una solucion!
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento empresa
!
zj
yj
Yj
0 !
zj
yj
Yj
0
!
!
tg! = "
tg# = !p1
p2
(a) (b)
Figure: Equilibrio y RCE.
si α >p1
p2no hay equilibrio puesto que la empresa puede
escoger yj arbitrariamente grande y obtener beneficiosarbitrariamente grandes.
Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 31/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento empresa
!
zj
yj
Yj
0 !
zj
yj
Yj
0
!
!
tg! = "
tg# = !p1
p2
(a) (b)
Figure: Equilibrio y RCE.
si α =p1
p2cualquier plan de produccion es una solucion al
problema del productor. En todos estos equilibrios, sinembargo el beneficio de la empresa es nulo.
Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 31/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento empresa
!
zj
yj
Yj
0 !
zj
yj
Yj
0
!
!
tg! = "
tg# = !p1
p2
(a) (b)
Figure: Equilibrio y RCE.
si α <p1
p2hay un unico equilibrio en el que la empresa obtiene
beneficios nulos.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento empresa
Si la funcion de transformacion es diferenciable, podemoscaracterizar la solucion del problema del productor a partir de lascondiciones de primer orden,
∂Πj(yj)
∂yjk= pk − λ
∂Fj(yj)
∂yjk= 0, k = 1, 2, . . . , l .
TambienTMThk(yj) = −ph
pk.
correspondencia de oferta
ηj(p) = {yj ∈ Yj :l∑
k=1
pkyjk es maximo}.
Si este conjunto tiene un unico elemento lo denotamos y∗j (p) y lodenominamos la funcion de oferta.
Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 32/53
Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento empresa
Si la funcion de transformacion es diferenciable, podemoscaracterizar la solucion del problema del productor a partir de lascondiciones de primer orden,
∂Πj(yj)
∂yjk= pk − λ
∂Fj(yj)
∂yjk= 0, k = 1, 2, . . . , l .
TambienTMThk(yj) = −ph
pk.
correspondencia de oferta
ηj(p) = {yj ∈ Yj :l∑
k=1
pkyjk es maximo}.
Si este conjunto tiene un unico elemento lo denotamos y∗j (p) y lodenominamos la funcion de oferta.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento empresa
El caso de un output:
maxzj≥0
pfj(zj)−l−1∑
k=1
wk · zjk .
Las condiciones de primer orden son (para inputs activos (zjk > 0))
p∂fj(zj)
∂zjk− wk = 0, k = 1, 2, . . . , l − 1
El producto marginal de cada input activo k es igual a (wk/p).(ingreso marginal = coste marginal)La relacion tecnica de sustitucion entre dos inputs es igual al ratiode sus precios,
RTShk = −wh/wk
.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento empresa
El caso de un output:
maxzj≥0
pfj(zj)−l−1∑
k=1
wk · zjk .
Las condiciones de primer orden son (para inputs activos (zjk > 0))
p∂fj(zj)
∂zjk− wk = 0, k = 1, 2, . . . , l − 1
El producto marginal de cada input activo k es igual a (wk/p).(ingreso marginal = coste marginal)
La relacion tecnica de sustitucion entre dos inputs es igual al ratiode sus precios,
RTShk = −wh/wk
.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento empresa
El caso de un output:
maxzj≥0
pfj(zj)−l−1∑
k=1
wk · zjk .
Las condiciones de primer orden son (para inputs activos (zjk > 0))
p∂fj(zj)
∂zjk− wk = 0, k = 1, 2, . . . , l − 1
El producto marginal de cada input activo k es igual a (wk/p).(ingreso marginal = coste marginal)La relacion tecnica de sustitucion entre dos inputs es igual al ratiode sus precios,
RTShk = −wh/wk
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento empresa
zj
yj
p
Yj
!F (yj(p))
yj(p)
tg! = !p1/p2
!
{yj :!
k
pkyjk = !}
{yj :!
k
pkyjk = "!}
Figure: La maximizacion del beneficio.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento empresa
Propiedades de la funcion de beneficios Πj(p)
i) Πj(p) es homogenea de grado uno;
ii) Πj(p) es convexa;iii) Πj(p) es continua;iv) Si Yj es convexo, entonces
Yj = {yj ∈ IRl :∑
k pkyjk ≤ Πj(p) ∀p � 0};v) ηj(p) es homogenea de grado cero;vi) Si Yj es convexo (estrictamente convexo), entonces ηj(p) es
un conjunto convexo (una funcion) para todo p. ;vii) (Lema de Hotelling) Si ηj(p) = {(y∗j1, . . . , y
∗jl )}, entonces
∂Πj
∂pk
∣∣∣p
= y∗jk , k = 1, 2, . . . , l ;
viii) Si ηj(p)es una funcion diferenciable en p, entoncesDηj(p) = D2Πj(p) es una matriz simetrica y semidefinidapositiva con Dηj(p)p = 0.
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Comportamiento empresa
Propiedades de la funcion de beneficios Πj(p)
i) Πj(p) es homogenea de grado uno;ii) Πj(p) es convexa;
iii) Πj(p) es continua;iv) Si Yj es convexo, entonces
Yj = {yj ∈ IRl :∑
k pkyjk ≤ Πj(p) ∀p � 0};v) ηj(p) es homogenea de grado cero;vi) Si Yj es convexo (estrictamente convexo), entonces ηj(p) es
un conjunto convexo (una funcion) para todo p. ;vii) (Lema de Hotelling) Si ηj(p) = {(y∗j1, . . . , y
∗jl )}, entonces
∂Πj
∂pk
∣∣∣p
= y∗jk , k = 1, 2, . . . , l ;
viii) Si ηj(p)es una funcion diferenciable en p, entoncesDηj(p) = D2Πj(p) es una matriz simetrica y semidefinidapositiva con Dηj(p)p = 0.
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Comportamiento empresa
Propiedades de la funcion de beneficios Πj(p)
i) Πj(p) es homogenea de grado uno;ii) Πj(p) es convexa;iii) Πj(p) es continua;
iv) Si Yj es convexo, entoncesYj = {yj ∈ IRl :
∑k pkyjk ≤ Πj(p) ∀p � 0};
v) ηj(p) es homogenea de grado cero;vi) Si Yj es convexo (estrictamente convexo), entonces ηj(p) es
un conjunto convexo (una funcion) para todo p. ;vii) (Lema de Hotelling) Si ηj(p) = {(y∗j1, . . . , y
∗jl )}, entonces
∂Πj
∂pk
∣∣∣p
= y∗jk , k = 1, 2, . . . , l ;
viii) Si ηj(p)es una funcion diferenciable en p, entoncesDηj(p) = D2Πj(p) es una matriz simetrica y semidefinidapositiva con Dηj(p)p = 0.
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Comportamiento empresa
Propiedades de la funcion de beneficios Πj(p)
i) Πj(p) es homogenea de grado uno;ii) Πj(p) es convexa;iii) Πj(p) es continua;iv) Si Yj es convexo, entonces
Yj = {yj ∈ IRl :∑
k pkyjk ≤ Πj(p) ∀p � 0};
v) ηj(p) es homogenea de grado cero;vi) Si Yj es convexo (estrictamente convexo), entonces ηj(p) es
un conjunto convexo (una funcion) para todo p. ;vii) (Lema de Hotelling) Si ηj(p) = {(y∗j1, . . . , y
∗jl )}, entonces
∂Πj
∂pk
∣∣∣p
= y∗jk , k = 1, 2, . . . , l ;
viii) Si ηj(p)es una funcion diferenciable en p, entoncesDηj(p) = D2Πj(p) es una matriz simetrica y semidefinidapositiva con Dηj(p)p = 0.
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Comportamiento empresa
Propiedades de la funcion de beneficios Πj(p)
i) Πj(p) es homogenea de grado uno;ii) Πj(p) es convexa;iii) Πj(p) es continua;iv) Si Yj es convexo, entonces
Yj = {yj ∈ IRl :∑
k pkyjk ≤ Πj(p) ∀p � 0};v) ηj(p) es homogenea de grado cero;
vi) Si Yj es convexo (estrictamente convexo), entonces ηj(p) esun conjunto convexo (una funcion) para todo p. ;
vii) (Lema de Hotelling) Si ηj(p) = {(y∗j1, . . . , y∗jl )}, entonces
∂Πj
∂pk
∣∣∣p
= y∗jk , k = 1, 2, . . . , l ;
viii) Si ηj(p)es una funcion diferenciable en p, entoncesDηj(p) = D2Πj(p) es una matriz simetrica y semidefinidapositiva con Dηj(p)p = 0.
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Comportamiento empresa
Propiedades de la funcion de beneficios Πj(p)
i) Πj(p) es homogenea de grado uno;ii) Πj(p) es convexa;iii) Πj(p) es continua;iv) Si Yj es convexo, entonces
Yj = {yj ∈ IRl :∑
k pkyjk ≤ Πj(p) ∀p � 0};v) ηj(p) es homogenea de grado cero;vi) Si Yj es convexo (estrictamente convexo), entonces ηj(p) es
un conjunto convexo (una funcion) para todo p. ;
vii) (Lema de Hotelling) Si ηj(p) = {(y∗j1, . . . , y∗jl )}, entonces
∂Πj
∂pk
∣∣∣p
= y∗jk , k = 1, 2, . . . , l ;
viii) Si ηj(p)es una funcion diferenciable en p, entoncesDηj(p) = D2Πj(p) es una matriz simetrica y semidefinidapositiva con Dηj(p)p = 0.
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Comportamiento empresa
Propiedades de la funcion de beneficios Πj(p)
i) Πj(p) es homogenea de grado uno;ii) Πj(p) es convexa;iii) Πj(p) es continua;iv) Si Yj es convexo, entonces
Yj = {yj ∈ IRl :∑
k pkyjk ≤ Πj(p) ∀p � 0};v) ηj(p) es homogenea de grado cero;vi) Si Yj es convexo (estrictamente convexo), entonces ηj(p) es
un conjunto convexo (una funcion) para todo p. ;vii) (Lema de Hotelling) Si ηj(p) = {(y∗j1, . . . , y
∗jl )}, entonces
∂Πj
∂pk
∣∣∣p
= y∗jk , k = 1, 2, . . . , l ;
viii) Si ηj(p)es una funcion diferenciable en p, entoncesDηj(p) = D2Πj(p) es una matriz simetrica y semidefinidapositiva con Dηj(p)p = 0.
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Propiedades de la funcion de beneficios Πj(p)
i) Πj(p) es homogenea de grado uno;ii) Πj(p) es convexa;iii) Πj(p) es continua;iv) Si Yj es convexo, entonces
Yj = {yj ∈ IRl :∑
k pkyjk ≤ Πj(p) ∀p � 0};v) ηj(p) es homogenea de grado cero;vi) Si Yj es convexo (estrictamente convexo), entonces ηj(p) es
un conjunto convexo (una funcion) para todo p. ;vii) (Lema de Hotelling) Si ηj(p) = {(y∗j1, . . . , y
∗jl )}, entonces
∂Πj
∂pk
∣∣∣p
= y∗jk , k = 1, 2, . . . , l ;
viii) Si ηj(p)es una funcion diferenciable en p, entoncesDηj(p) = D2Πj(p) es una matriz simetrica y semidefinidapositiva con Dηj(p)p = 0.
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Comportamiento empresa
Demostracion Lema de HotellingSea ηj(p∗) una solucion del problema del productor a los preciosp∗. Da beneficios Πj(p∗) = p∗ηj(p∗).
Fijemos ahora todos los precios excepto el de la mercancıa k .Supongamos ahora que para cualquier pk la empresa continuautilizando ηj(p∗).
pk
p!k
pky!jk +
!
h "=k
p!hy!jh
!j(p!1, . . . , p
!k"1, p
!k, p
!k+1, . . . , p
!l )
Figure: El lema de Hotelling.
Dado que las dos funciones son tangentes en el punto p∗k , lasderivadas de ambas funciones deben ser iguales, y la derivada de lafuncion lineal es y∗jk .
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Comportamiento empresa
Demostracion Lema de HotellingSea ηj(p∗) una solucion del problema del productor a los preciosp∗. Da beneficios Πj(p∗) = p∗ηj(p∗).Fijemos ahora todos los precios excepto el de la mercancıa k .Supongamos ahora que para cualquier pk la empresa continuautilizando ηj(p∗).
pk
p!k
pky!jk +
!
h "=k
p!hy!jh
!j(p!1, . . . , p
!k"1, p
!k, p
!k+1, . . . , p
!l )
Figure: El lema de Hotelling.
Dado que las dos funciones son tangentes en el punto p∗k , lasderivadas de ambas funciones deben ser iguales, y la derivada de lafuncion lineal es y∗jk .
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Comportamiento empresa
Demostracion Lema de HotellingSea ηj(p∗) una solucion del problema del productor a los preciosp∗. Da beneficios Πj(p∗) = p∗ηj(p∗).Fijemos ahora todos los precios excepto el de la mercancıa k .Supongamos ahora que para cualquier pk la empresa continuautilizando ηj(p∗).
pk
p!k
pky!jk +
!
h "=k
p!hy!jh
!j(p!1, . . . , p
!k"1, p
!k, p
!k+1, . . . , p
!l )
Figure: El lema de Hotelling.
Dado que las dos funciones son tangentes en el punto p∗k , lasderivadas de ambas funciones deben ser iguales, y la derivada de lafuncion lineal es y∗jk .
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento empresa
Ejemplo: Cobb-Douglasf (z1, ..., zn) =
∏ni=1 zαi
i donde αi > 0 y∑αi < 1.
Calcularla funcion de oferta,la funcion de beneficios.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento empresa
La oferta agregadaSea yj la oferta (plan de produccion) de la empresa j .Entonces y =
∑j yj es la oferta agregada.
El conjunto de produccion total esY =
⊎j Yj := {y1 + ...+ yN : yj ∈ Yj}.
Entonces
0 ∈ Y ,
−IRl+ ⊂ Y ,
Y es convexo,
Y ∩ (−Y ) ⊂ {0}. (este es un supuesto!)
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento empresa
La oferta agregadaSea yj la oferta (plan de produccion) de la empresa j .Entonces y =
∑j yj es la oferta agregada.
El conjunto de produccion total esY =
⊎j Yj := {y1 + ...+ yN : yj ∈ Yj}.
Entonces
0 ∈ Y ,
−IRl+ ⊂ Y ,
Y es convexo,
Y ∩ (−Y ) ⊂ {0}. (este es un supuesto!)
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento empresa
Definimos la correspondencia de oferta agregada, η(p) comoη : IRl
+ ⇒ Y ,
η(p) =⊎
j
ηj(p).
Las propiedades de la correspondencia de oferta agregada
1 η(p) es homogenea de grado cero en p;
2 η(p) es cerrado y convexo para todo p ∈ IRl+;
3 Para cualquier p ∈ IRl+ tal que η(p) sea no vacıo, η(p) es
hemicontinua superior en p.
4 Para cualquier p ∈ IRl+ tal que η(p) sea no vacıo, los
beneficios agregados se maximizan si y solo si cada empresamaximiza sus beneficios individualmente, cuando las empresastoman el sistema de precios p como dado.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Comportamiento empresa
Definimos la correspondencia de oferta agregada, η(p) comoη : IRl
+ ⇒ Y ,
η(p) =⊎
j
ηj(p).
Las propiedades de la correspondencia de oferta agregada
1 η(p) es homogenea de grado cero en p;
2 η(p) es cerrado y convexo para todo p ∈ IRl+;
3 Para cualquier p ∈ IRl+ tal que η(p) sea no vacıo, η(p) es
hemicontinua superior en p.
4 Para cualquier p ∈ IRl+ tal que η(p) sea no vacıo, los
beneficios agregados se maximizan si y solo si cada empresamaximiza sus beneficios individualmente, cuando las empresastoman el sistema de precios p como dado.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
El problema de la empresa de minimizar costes de produccion estamuy relacionado con su problema de maximizar beneficios.Ademas, minimizar costes es siempre posible, incluso cuandoexisten rendimientos crecientes de escala o cuando el mercado deoutputs no es competitivo.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
minimizar costes
minzj
wzj sujeto a zj ∈ Vj(yj)
La solucion z∗j (w , yj) la denominamos funcion de demandacondicionada de los factores.
El valor de la combinacion de inputs solucion de esteproblema (wz∗j (w , y)) es una funcion cj(w , yj) que denominamosfuncion de coste.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
minimizar costes
minzj
wzj sujeto a zj ∈ Vj(yj)
La solucion z∗j (w , yj) la denominamos funcion de demandacondicionada de los factores.
El valor de la combinacion de inputs solucion de esteproblema (wz∗j (w , y)) es una funcion cj(w , yj) que denominamosfuncion de coste.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
minimizar costes
minzj
wzj sujeto a zj ∈ Vj(yj)
La solucion z∗j (w , yj) la denominamos funcion de demandacondicionada de los factores.
El valor de la combinacion de inputs solucion de esteproblema (wz∗j (w , y)) es una funcion cj(w , yj) que denominamosfuncion de coste.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
La figura representa la solucion del problema de minimizacion decoste para el caso de dos inputs. En esta figura representamos lafuncion de costes a partir del mapa de lıneas isocoste y el conjuntode requerimientos de inputs asociado al vector de produccion yj .
Vj(yj)
z!j1
z!j2 zj2
zj1
0
Figure: La minimizacion del coste.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
Las propiedades de la funcion de coste cj(w , yj) son las siguientes:
i) La funcion de coste es homogenea de grado uno en w ;
ii) La funcion de coste es no decreciente en yj ;
iii) La funcion de coste es concava en w ;
iv) La funcion de coste es continua en w .
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
Cj(w!1, . . . , w
!k"1, w
!k, w
!k+1, . . . , w
!l )
w!k wk
wkz!jk +
!
h "=k
w!hz
!jh
Figure: La concavidad de la funcion de coste.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
La funcion de demanda condicionada de factores z∗j (w , yj)satisface las propiedades siguientes:
i) z∗j es homogenea de grado cero en w . Es decir, si z∗jsoluciona el problema de la minimizacion de coste para(w , yj), entonces tambien es una solucion minimizadora decoste para (αw , yj), α > 0.
ii) Si Vj(yj) es convexo, el conjunto {z∗j } de soluciones delproblema de minimizacion del coste para (w , yj) es convexo;
iii) (Lema de Shephard) Entonces,
z∗jk =∂cj(w , yj)
∂wk
∣∣∣(w∗,yj )
, k = 1, 2, . . . , n.
iv) Si z∗j (w) es una funcion diferenciable en w , entonces
Dzj(w , yj) = D2cj(w , yj) es una matriz simetrica ysemidefinida negativa con Dz∗j (w , yj)w = 0.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
La funcion de demanda condicionada de factores z∗j (w , yj)satisface las propiedades siguientes:
i) z∗j es homogenea de grado cero en w .
ii) Si Vj(yj) es convexo, el conjunto {z∗j } de soluciones delproblema de minimizacion del coste para (w , yj) es convexo;Si Vj(yj) es estrictamente convexo, la solucion es unica.
iii) (Lema de Shephard) Entonces,
z∗jk =∂cj(w , yj)
∂wk
∣∣∣(w∗,yj )
, k = 1, 2, . . . , n.
iv) Si z∗j (w) es una funcion diferenciable en w , entonces
Dzj(w , yj) = D2cj(w , yj) es una matriz simetrica ysemidefinida negativa con Dz∗j (w , yj)w = 0.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
La funcion de demanda condicionada de factores z∗j (w , yj)satisface las propiedades siguientes:
i) z∗j es homogenea de grado cero en w .ii) Si Vj(yj) es convexo, el conjunto {z∗j } de soluciones del
problema de minimizacion del coste para (w , yj) es convexo;iii) (Lema de Shephard) Supongamos que cj(w , yj) es
continuamente diferenciable en w (para un yj dado) al vectorde precios w∗. Sea z∗j una solucion del problema deminimizacion del coste para (w∗, yj). Entonces,
z∗jk =∂cj(w , yj)
∂wk
∣∣∣(w∗,yj )
, k = 1, 2, . . . , n.
iv) Si z∗j (w) es una funcion diferenciable en w , entonces
Dzj(w , yj) = D2cj(w , yj) es una matriz simetrica ysemidefinida negativa con Dz∗j (w , yj)w = 0.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
La funcion de demanda condicionada de factores z∗j (w , yj)satisface las propiedades siguientes:
i) z∗j es homogenea de grado cero en w .
ii) Si Vj(yj) es convexo, el conjunto {z∗j } de soluciones delproblema de minimizacion del coste para (w , yj) es convexo;
iii) (Lema de Shephard) Entonces,
z∗jk =∂cj(w , yj)
∂wk
∣∣∣(w∗,yj )
, k = 1, 2, . . . , n.
iv) Si z∗j (w) es una funcion diferenciable en w , entonces
Dzj(w , yj) = D2cj(w , yj) es una matriz simetrica ysemidefinida negativa con Dz∗j (w , yj)w = 0.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes: dualidad costes y produccion
Ejemplo: calcular funcion de demanda condicionada de factores yfuncion de coste en el caso de f (z1, z2) = Azα1 zβ2 .
minz1,z2
w1z1 + w2z2 s.a. f (z1, z2) = y
z2 =βw1
αw2z1
y = Azα1 zβ2 = Azα1
(βw1
αw2z1
)β= A
(βw1
αw2
)βzα+β
1
z1 = z1(w , y) =
(yA−1
(βw1
αw2
)−β) 1α+β
z2 = z2(w , y) =
(yA−1
(αw2
βw1
)−α) 1α+β
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes: dualidad costes y produccion
Ejemplo: calcular funcion de demanda condicionada de factores yfuncion de coste en el caso de f (z1, z2) = Azα1 zβ2 .
minz1,z2
w1z1 + w2z2 s.a. f (z1, z2) = y
RTS12 = −w1/w2
z2 =βw1
αw2z1
y = Azα1 zβ2 = Azα1
(βw1
αw2z1
)β= A
(βw1
αw2
)βzα+β
1
z1 = z1(w , y) =
(yA−1
(βw1
αw2
)−β) 1α+β
z2 = z2(w , y) =
(yA−1
(αw2
βw1
)−α) 1α+β
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes: dualidad costes y produccion
Ejemplo: calcular funcion de demanda condicionada de factores yfuncion de coste en el caso de f (z1, z2) = Azα1 zβ2 .
minz1,z2
w1z1 + w2z2 s.a. f (z1, z2) = y
RTS12 = −w1/w2
−Aαzα−11 zβ2
Aβzα1 zβ−12
= −w1
w2
z2 =βw1
αw2z1
y = Azα1 zβ2 = Azα1
(βw1
αw2z1
)β= A
(βw1
αw2
)βzα+β
1
z1 = z1(w , y) =
(yA−1
(βw1
αw2
)−β) 1α+β
z2 = z2(w , y) =
(yA−1
(αw2
βw1
)−α) 1α+β
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes: dualidad costes y produccion
Ejemplo: calcular funcion de demanda condicionada de factores yfuncion de coste en el caso de f (z1, z2) = Azα1 zβ2 .
minz1,z2
w1z1 + w2z2 s.a. f (z1, z2) = y
−Aαzα−11 zβ2
Aβzα1 zβ−12
= −w1
w2
αz2
βz1=
w1
w2
z2 =βw1
αw2z1
y = Azα1 zβ2 = Azα1
(βw1
αw2z1
)β= A
(βw1
αw2
)βzα+β
1
z1 = z1(w , y) =
(yA−1
(βw1
αw2
)−β) 1α+β
z2 = z2(w , y) =
(yA−1
(αw2
βw1
)−α) 1α+β
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes: dualidad costes y produccion
Ejemplo: calcular funcion de demanda condicionada de factores yfuncion de coste en el caso de f (z1, z2) = Azα1 zβ2 .
minz1,z2
w1z1 + w2z2 s.a. f (z1, z2) = y
αz2
βz1=
w1
w2
z2 =βw1
αw2z1
y = Azα1 zβ2 = Azα1
(βw1
αw2z1
)β= A
(βw1
αw2
)βzα+β
1
z1 = z1(w , y) =
(yA−1
(βw1
αw2
)−β) 1α+β
z2 = z2(w , y) =
(yA−1
(αw2
βw1
)−α) 1α+β
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes: dualidad costes y produccion
Ejemplo: calcular funcion de demanda condicionada de factores yfuncion de coste en el caso de f (z1, z2) = Azα1 zβ2 .
minz1,z2
w1z1 + w2z2 s.a. f (z1, z2) = y
z2 =βw1
αw2z1
y = Azα1 zβ2 = Azα1
(βw1
αw2z1
)β= A
(βw1
αw2
)βzα+β
1
z1 = z1(w , y) =
(yA−1
(βw1
αw2
)−β) 1α+β
z2 = z2(w , y) =
(yA−1
(αw2
βw1
)−α) 1α+β
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes: dualidad costes y produccion
Ejemplo: calcular funcion de demanda condicionada de factores yfuncion de coste en el caso de f (z1, z2) = Azα1 zβ2 .
minz1,z2
w1z1 + w2z2 s.a. f (z1, z2) = y
z2 =βw1
αw2z1
y = Azα1 zβ2 = Azα1
(βw1
αw2z1
)β= A
(βw1
αw2
)βzα+β
1
z1 = z1(w , y) =
(yA−1
(βw1
αw2
)−β) 1α+β
z2 = z2(w , y) =
(yA−1
(αw2
βw1
)−α) 1α+β
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes: dualidad costes y produccion
minz1,z2
w1z1 + w2z2 s.a. f (z1, z2) = y
z2 =βw1
αw2z1
y = Azα1 zβ2 = Azα1
(βw1
αw2z1
)β= A
(βw1
αw2
)βzα+β
1
z1 = z1(w , y) =
(yA−1
(βw1
αw2
)−β) 1α+β
z2 = z2(w , y) =
(yA−1
(αw2
βw1
)−α) 1α+β
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
Ejemplo (cont.) Funcion de coste:
c(w , y) = w1z1(w , y) + w2z2(w , y)
= y1
α+β A−1
α+β
[(β
α
) −βα+β
wα
α+β
1 wβ
α+β
2 +
(α
β
) −αα+β
wβ
α+β
2 wα
α+β
1
]
= y1
α+β A−1
α+β
[(αβ
) βα+β
+(αβ
)− αα+β]w
αα+β
1 wβ
α+β
2
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes: dualidad costes y produccion
Sea
c(w , y) = w2y − w 22
4w1
la funcion de coste de una empresa. ¿Cual es la tecnologıasubyacente?
Entoncesy = z2 +
w2
2w1(1)
yw2
2w1= z
12
1 (2)
Finalmente, obtenemos la funcion de produccion:
f (z) = y = z12
1 + z2.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes: dualidad costes y produccion
Sea
c(w , y) = w2y − w 22
4w1
la funcion de coste de una empresa. ¿Cual es la tecnologıasubyacente?El lema de Shephard nos da la demanda condicionada de factores:
z∗1 (w , y) =∂c
∂w1=
w 22
4w 21
(1)
z∗2 (w , y) =∂c
∂w2= y − w2
2w1(2)
Entoncesy = z2 +
w2
2w1(3)
yw2
2w1= z
12
1 (4)
Finalmente, obtenemos la funcion de produccion:
f (z) = y = z12
1 + z2.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes: dualidad costes y produccion
Sea
c(w , y) = w2y − w 22
4w1
la funcion de coste de una empresa. ¿Cual es la tecnologıasubyacente?El lema de Shephard nos da la demanda condicionada de factores:
z∗1 (w , y) =∂c
∂w1=
w 22
4w 21
(1)
z∗2 (w , y) =∂c
∂w2= y − w2
2w1(2)
Entoncesy = z2 +
w2
2w1(3)
yw2
2w1= z
12
1 (4)
Finalmente, obtenemos la funcion de produccion:
f (z) = y = z12
1 + z2.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes: dualidad costes y produccion
Sea
c(w , y) = w2y − w 22
4w1
la funcion de coste de una empresa. ¿Cual es la tecnologıasubyacente?Entonces
y = z2 +w2
2w1(1)
yw2
2w1= z
12
1 (2)
Finalmente, obtenemos la funcion de produccion:
f (z) = y = z12
1 + z2.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
En general, podemos recuperar la tecnologıa o funcion deproduccion a partir de la funcion de costes cj(w , y):
fj(zj1, . . . , zjl−1) = max{y :l−1∑
k=1
wkzjk ≥ cj(w , y),w ∈ IRl−1+ }.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
En el caso de una funcion de produccion continua, estrictamentecreciente y estrictamente cuasi-concava y, que ademas eshomotetica, calcular funcion de coste y demandas condicionadas defactores es mas facil.
0(a)
z1
z2
0(b)
z1
z2
z1 z1
z2z2
!z2
!z1!z1
!z2
f(!z) = !y f(!z) != !y
f(z) = yf(z) = y
Figure: Homogeneidad y homoteticidad.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
En el caso de una funcion de produccion continua, estrictamentecreciente y estrictamente cuasi-concava y, que ademas eshomotetica, calcular funcion de coste y demandas condicionadas defactores es mas facil.
Definicion (Homoteticidad)
Una funcion fj es homotetica si
∀(z1j , z
2j ) ∈ Zj tal que fj(z1
j ) = fj(z2j ) yα ∈ IR+
entonces fj(αz1j ) = fj(αz2
j ).
0(a)
z1
z2
0(b)
z1
z2
z1 z1
z2z2
!z2
!z1!z1
!z2
f(!z) = !y f(!z) != !y
f(z) = yf(z) = y
Figure: Homogeneidad y homoteticidad.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
En el caso de una funcion de produccion continua, estrictamentecreciente y estrictamente cuasi-concava y, que ademas eshomotetica, calcular funcion de coste y demandas condicionadas defactores es mas facil.
0(a)
z1
z2
0(b)
z1
z2
z1 z1
z2z2
!z2
!z1!z1
!z2
f(!z) = !y f(!z) != !y
f(z) = yf(z) = y
Figure: Homogeneidad y homoteticidad.
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
Teorema
Si la funcion de produccion es continua, estrictamente creciente,estrictamente cuasi-concava y homotetica, entonces
1 c(w , y) = h(y)c(w , 1) donde h(y) es estrictamente creciente
2 z(w , y) = h(y)z(w , 1) donde h(y) es estrictamente creciente
Si la funcion de produccion es homogenea de grado r > 0
1 c(w , y) = y 1/r c(w , 1)
2 z(w , y) = y 1/r z(w , 1)
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
Teorema
Si la funcion de produccion es continua, estrictamente creciente,estrictamente cuasi-concava y homotetica, entonces
1 c(w , y) = h(y)c(w , 1) donde h(y) es estrictamente creciente
2 z(w , y) = h(y)z(w , 1) donde h(y) es estrictamente creciente
Si la funcion de produccion es homogenea de grado r > 0
1 c(w , y) = y 1/r c(w , 1)
2 z(w , y) = y 1/r z(w , 1)
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
y
z
y
z
y
z
(a)
(d)
(g)
Y
Y
Y
y
C
C
C
y
y
y
y
y
y
y
y
C(y)
C(y)
C(y)
!
tg(!) = CMe(y)tg(!) = CMg(y)
!
(b)
(e)
(h)
C, p
C, p
C, p
y(p)
y(p)
CMe(y)
CMe(y)
CMg(y)
CMg(y)
CMe(y) = CMg(y)
y
y(p)
(c)
(f)
(i)
Figure: Tecnologıa y coste (1).
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Produccion Comportamiento empresa Costes
Costes
y
z
y
z
y
z
(a)
(d)
(g)
Y
Y
Y
y
C
C
C
y
y
y
y
y
y
y
y
C(y)
C(y)
C(y)
(b)
(e)
(h)
C, p
C, p
C, p
y(p)
y(p)
CMe(y)
CMe(y)
CMg(y)
CMg(y)
y
y(p)
(c)
(f)
(i)
y
y
K
K
K
CMe(y)
CV Mg(y)
CV Mg(y)
Figure: Tecnologıa y coste (2).
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