Microeconoma I (250) Ctedra: Lic. CP Andrs Di Pelino

Profesor Adjunto: Lic. Joel Vaisman Facultad de Ciencias Econmicas, Universidad de Buenos Aires

GUIA PRCTICA TEORIA NEOCLSICA DEL CONSUMIDOR

1) Suponga un individuo que tiene que elegir entre consumir dos bienes, x1 y x2. Los precios de los bienes 1 y 2 son $3 y $6,5 respectivamente, y tiene un ingreso de m pesos.

a) Escriba y grafique la restriccin presupuestaria. b) Suponga que el consumidor tiene una dotacin del bien 1. Grafique la

restriccin presupuestaria. c) Ahora agregue el supuesto de que el consumidor no puede consumir una cantidad

mayor a w (w> ) del bien 1. Grafique la nueva restriccin presupuestaria.

2) Un individuo tiene un ingreso monetario de m. En el supermercado se encuentran los siguientes precios de diversos productos:

Producto Precio

Alfajor Carlitos (x) $2 Mayonesa Lolmanns (y) $10

Dentfrico Tirate (z) $6 Pan Bombo (u) $5

Galletitas Macumba (w) $11

Escriba distintas restricciones presupuestarias si en la lista de compras est escrito: -Comprar alfajores y pan. -Comprar dentfrico y pan. -Comprar galletitas, pan y alfajores. -Comprar todos los productos.

3) El consumidor representativo, que trata de alcanzar su nivel de utilidad ms alto sujeto a una restriccin presupuestaria, encuentra la canasta ptima de consumo cuando:

a) Iguala las utilidades marginales de cada uno de los bienes. b) Iguala las utilidades totales de cada uno de los bienes. c) Iguala las utilidades marginales por peso gastado en cada uno de los bienes. d) Iguala los precios de cada uno de los bienes. 4) El seor Compradorcompulsivus (Mr. C) es fantico de los DVD y de los chupetines. Tiene la siguiente funcin de utilidad:

U(x1,x2 ) = x1.x2

Donde el bien 1 representa a los DVD, y el bien 2 a los chupetines. Encuentre las utilidades marginales de cada bien, haga un cociente entre ellas, y explique su significado analtico y grfico. 5) Suponga una restriccin presupuestaria. Si los precios de los bienes suben un 20%,

y el ingreso del individuo un 10%. Grficamente, Qu suceder con la recta presupuestaria?

a) Rota hacia su interseccin con el eje del bien 1. b) Rota hacia su interseccin con el eje del bien 2. c) Permanece intacta. d) Se mueve paralelamente hacia el origen de coordenadas. e) Se mueve paralelamente en direccin noreste del origen de coordenadas 6) Si la funcin de Utilidad viene representada de la siguiente forma:

A partir de qu punto pasar a ser negativa la Utilidad Marginal?

a) En X4 b) En X2 c) En X3 d) Ninguna de las anteriores

7) -Cmo son las funciones de utilidad para bienes complementarios? (slo una es

correcta) a) Los bienes deben utilizarse en combinaciones constantes b) Los bienes deben utilizarse en trminos proporcionales

c) Cada bien establece un mnimo a la cantidad utilizada de todos ellos d) Cada bien establece un mnimo a la cantidad utilizada para algunos de ellos

Respuesta: a. En ello consiste la complementariedad. B no significa nada en este contexto. C y d son absurdas.

8) Cmo son las funciones de utilidad para bienes complementarios perfectos?

a) U = Min(a.x1, b.x2) b) U = Min(x1, x2) c) U = Max(x1, x2) d) Ninguna de las anteriores

9) Cul de todas las siguientes funciones no podra representar que uno de los

bienes es un mal?

a) = 21

b) = 2 1 c) U= 1

1 + x2

d) Ninguna de las anteriores

Respuesta: d.

10) Seale la respuesta incorrecta: en las curvas de indiferencia para dos bienes sustitutos

a) Al consumidor le es completamente indiferente consumir cantidades iguales de los dos bienes

b) Est dispuesto a sustituir un bien por otro a tasa constante c) Lo nico que importa es la cantidad total, y no la composicin numrica del total d) Son lneas rectas crecientes

11) Seale la respuesta incorrecta. Cmo son las funciones de utilidad para bienes

sustitutos perfectos? a) Funciones aditivas y separables. b) U=min(x1, x2) c) En ellas los bienes son idnticos en valoracin para el consumidor d) Para una U constante, si aumenta el consumo de uno debe disminuir el otro en la misma

cantidad exactamente

12) El precio prohibitivo es : a) Aquel que maximiza la cantidad demandada b) Aquel que minimiza la cantidad demandada c) Aquel que hace nula la cantidad demandada d) Ninguna de las anteriores 13) El precio prohibitivo en p = 5 - 1

2x es:

a) P=5 b) P=3 c) P=4

d) Ninguna de las anteriores

14) Considere la siguiente informacin de una economa domstica, por unidad de

tiempo, donde las UMgi son las utilidades marginales

X1 UMg1 X2 UMg2 1 20 1 10 2 15 2 7 3 10 3 2 4 5 4 1

Para que el consumidor est en equilibrio (maximice la utilidad), el cociente de precios debe ser igual a: a) 2 b) 5,5 c) 2,2 d) 1

15) Si se da la siguiente situacin:

Bien Cantidad Precio Utilidad Marginal 1 30 36 12 2 20 90 ?

Suponiendo que el consumidor maximiza la utilidad respecto a ambos bienes, la utilidad marginal del bien 2 es:

a) 10 b) 20 c) 30 d) 60

16) Suponga un consumidor con una restriccin presupuestaria. Grafique aproximadamente la RP para los casos:

-El precio del bien 1 es ms barato. -El precio del bien 2 es ms barato. -Existe una restriccin de consumo para el bien 1. -Existe un impuesto para el consumo del bien 2. -Existe un impuesto al ingreso del individuo.

17) Para cada set de bienes, grafique dos curvas de indiferencia, U1 y U2, siendo U2 > U1, segn los siguientes casos: -Panchos y Hamburguesas (al consumidor le gustan ambos, y tiene una TMS de panchos para la mayonesa).

-Azcar y edulcorante (al consumidor le gustan ambos, y acepta una cucharada de uno o de otro). -Choripn y chimichurri (al consumidor le gustan ambos, y consume por cada choripn dos cucharadas de chimichurri). -Manzanas (producto que el consumidor disfruta) y remolacha (que el consumidor detesta).

18) Los precios de dos productos, 1 y 2, son de $5 y $4 respectivamente. El ingreso monetario es de $40. Se pide: a) Grafique la restriccin presupuestaria. b) Analice si las siguientes canastas son posibles de ser asequibles. Si lo son, responda si son potencialmente ptimas o no. Entre cules podra estar indiferente? A= (1, 1) B= (10, 0) C= (0, 10) D= (4; 5) 19) Un consumidor tiene un ingreso de $600 y lo destina en su totalidad a la compra de los bienes A y B. Enfrenta al siguiente vector de precios:

P = (30, 40) a) Encuentre la expresin de la restriccin presupuestaria, y grafquela. b) Ahora suponga que el ingreso es de $2520, y que lo destina a comprar bienes A,

B y C. El vector de precios es:

P = (12, 18 ,24). Arme la nueva restriccin presupuestaria.

20) Suponga que un consumidor debe decidir entre adquirir manzanas y naranjas. El precio de las manzanas, en el mercado, es de $5, mientras que las naranjas cuestan $6. El consumidor, como mximo, puede gastar $50.

Se pide: a) Escriba la restriccin presupuestaria del consumidor. b) Si la funcin de utilidad que representa las preferencias del consumidor es

U(x1, x2)= x1.x2

Plantee el problema de optimizacin del consumidor. c) Encuentre las funciones de demandas marshallianas en funcin de los precios de

mercado y el ingreso del consumidor. Cul ser la canasta ptima de consumo? d) Reemplace las respuestas del punto c en la funcin de utilidad. Qu nivel de

utilidad obtiene el consumidor?

21) Dada la siguiente funcin de utilidad:

U(x1, x2)= 4.x1.x2 a) Plantee el problema de maximizacin de la Utilidad, dado un ingreso de m

unidades monetarias. Obtener las funciones de demandas marshallianas para ambos bienes.

b) Encuentre la funcin de Utilidad Indirecta. c) Plantee el problema de minimizacin del gasto, dado el nivel de Utilidad U0.

Obtenga las funciones de demandas compensadas (hicksianas) para ambos bienes. d) Encuentre la funcin de Gasto Mnimo. e) Obtener las elasticidades precio e ingreso de ambos bienes. f) Clasificar los bienes de acuerdo a lo obtenido en el punto anterior. g) Suponga que el precio del bien 1 es de $2, y el del bien 2 es $1. El ingreso del que

dispone el consumidor es de $10. Compruebe que las demandas marshallianas y las hicksianas calculadas son (aproximadamente) iguales cuando se computan usando esos datos.

22) Dada la siguiente funcin de utilidad:

U(v,w) = v1,5.w Considerando que los precios para v y w son 5 y 10 respectivamente, se pide: a) Las funciones de demandas compensadas de cada uno de los bienes b) La canasta ptima de consumo y el gasto mnimo necesario para alcanzar

U0=555000 c) Calcular las elasticidades precios de v y w respecto a sus propios precios,

indicando para cada caso la metodologa de clculo y el signo de las pendientes de sus respectivas demandas compensadas.

23) Un consumidor puede elegir entre adquirir dos bienes, X e Y. Su funcin de utilidad es:

U(x, y) = 2x2y Sabiendo que su ingreso mensual es de $180, y que los precios son de $3 para el bien X, y de $2 para el bien Y, se pide: a) Escriba la restriccin presupuestaria del consumidor. b) Plantee el problema del consumidor. c) Encuentre las demandas marshallianas, la canasta de consumo ptima y el nivel

de Utilidad. d) Suponga que el precio del bien X sube a $6. Cul ser la nueva canasta de

consumo ptima? Qu nivel de utilidad obtendr el consumidor? e) Utilizando los precios originales, ahora asuma que el consumidor tiene un ingreso

el doble del inicial. Calcule la canasta ptima y el nivel de utilidad.

24) Sea un consumidor cuya funcin de Utilidad viene descrita por:

U(x1, x2)= x11/2.x2 1/2 Y se enfrenta a los siguientes precios:

p1= 3, p2=4. Tiene, adems, un ingreso de 90 unidades monetarias. a) Plantee el problema que debe resolver el consumidor. b) Encuentre las cantidades ptimas a ser consumidas.

25) Dada la siguiente funcin de utilidad:

U = Min ( x1; x2) siendo y parmetros positivos, se pide: a) Plantee el problema del consumidor b) Encontrar las funciones de demandas marshallianas, sabiendo que el consumidor enfrenta

los precios p1, p2 y tiene un ingreso de m unidades monetarias.

26) (Adaptado de la gua de la profesora Silvana Mateu) Un consumidor compra solamente dos bienes: hamburguesas a $2 por unidad y tallarines a $4 el kilogramo. Su ingreso es de $24. Su funcin de utilidad es:

U(H, T) = H1/2 T1/2 a) Arme la restriccin presupuestaria. b) Plantee el problema que enfrenta el consumidor. c) Encuentre las demandas marshallianas.

27) Suponga la siguiente funcin de utilidad:

U(x1, x2) = a.x1 + b.x2 Grafique las curvas de indiferencia y la restriccin presupuestaria en un eje cartesiano. Plantee los siguientes casos:

ba

21

pp

ba =

21

pp

Puede haber infinitas soluciones, dentro de un intervalo, en alguno de estas situaciones?

28) Un consumidor tiene la siguiente funcin de utilidad:

U = ln x1 + ln x2 El precio del bien 1 es de $4, y el del bien 2 es de $5. Tiene actualmente un ingreso de $40 para gastar. a) Encuentre las funciones de demandas marshallianas, y las cantidades de consumo ptimas. b) Encuentre la funcin de Utilidad Indirecta, y el nivel de Utilidad obtenido. c) Encuentre las funciones de demanda hicksianas. d) Responda: Un cambio en el precio del bien 1, afectara las cantidades demandadas del bien 2? e) Si el precio del bien uno cambia a $3, encuentre las nuevas cantidades del bien 1 y 2, Cul es la variacin total del efecto precio? Obtngalas haciendo la diferencia entre las cantidades con el precio 1 final con la del precio 1 inicial. f) Suponga que todos los consumidores tienen la mismas funciones de demandas marshallianas. Encuentre la demanda de mercado, sabiendo que existen 100 consumidores en ambos mercados. 29) Suponga una funcin de demanda de la familia Cobb-Douglas de Utilidad.

x1* = 21

Suponga que la renta es de 100, y que p1 es 5. a) Encuentre la cantidad que se est demandando con esos datos. b) Ahora suponga que el precio pasa a ser 2. Cul ser la nueva cantidad? c) Descomponga el punto anterior en efecto total y efecto sustitucin.

30) El seor Gerardo Sofoclovich quiere s o s poder adquirir canastas que le permitan alcanzar el nivel de utilidad U0=10, ya que con esa cantidad de bienes podr tener xito con las chicas. Sofoclovich obtiene utilidad de cajas de bombones y de las rosas rojas, que utiliza para regalar a las mujeres a las que desea seducir. Su funcin de utilidad es:

U(b, r) = b.r Donde b indica la cantidad de bombones, y r las rosas. Los precios de cada uno son de 5 y 6 respectivamente. a) Si Sofoclovich s o s quiere alcanzar esas canastas que le permitan alcanzar ese

nivel de satisfaccin (lo hace sentir, por lo menos, seguro), plantee el problema de minimizacin de gasto para alcanzar dicho nivel.

b) Encuentre las funciones de demandas hicksianas de Gerardo Sofoclovich. Qu cantidad ptima decide comprar para poder regalarle a las chicas? Cunto ser lo mnimo que deber gastar?

31) Responda V o F y justifique: Si la funcin de utilidad de un consumidor tiene curvas de nivel que son rectas, entonces las soluciones son puntos de esquina o infinitas canastas, dependiendo el valor de la TMS y de la restriccin presupuestaria. 32) Suponga la siguiente funcin de demanda marshalliana:

x1= 100 + 0,5m - 3p1 4p2

Sabiendo que el ingreso m es de $60, el precio del bien 1 es $5 y el del bien 2 de $2, calcule las elasticidades precio, ingreso y cruzada de la demanda, y clasifique al bien 1. Rta: Bien tpico, normal, complementario. 33) Suponga la siguiente funcin de demanda marshalliana:

x1= 100 + 0,5m + 3p1 + 4p2 Usando los mismos precios e ingreso del ejercicio anterior, calcule las elasticidades precio, ingreso y cruzada de la demanda, y clasifique al bien 1. Rta: Bien Giffen, inferior, sustituto. 34) Dada la siguiente funcin de utilidad de Alejandro Pachorra:

U(x1, x2)= 2 x10,25x20,25 Se pide calcular: a) Las demandas marshallianas para los bienes 1 y 2. b) Las cantidades ptimas demandadas de cada uno de los bienes, y el mximo nivel de utilidad alcanzado, sabiendo que puede gastar $1000, y en el mercado los precios son $10 y $20 para los bienes 1 y 2 respectivamente. c) Calcule las elasticidades para la demanda del bien 1 con respecto a su propio precio y al ingreso. Es un bien normal o inferior?

35) Las preferencias de Juan, el famoso camionero de Juan B. Justo, estn representadas por la funcin:

U = 2x11/2 x22 .

Enfrenta en un kiosko donde para habitualmente los precios del bien 1, p1 y del bien 2, p2. Percibe un ingreso de m pesos. Encuentre la demanda marshalliana del bien 1.

a) Arme la restriccin presupuestaria del consumidor b) Plantee el problema que debe resolver Juan. c) Encuentre la demanda marshalliana. Depende del precio del bien 2?

36) Suponga que Alejandro Van Der Brula tiene la siguiente funcin de utilidad:

U(q1 , q2) =4q1 0,4q2 0,1

Sabiendo que el ingreso disponible es de $20000, y los precios son

p1 = 30

p2 = 20 Se pide: a) Encuentre la funcin de demanda ordinaria (marshalliana) para ambos bienes. b) Encuentre la canasta ptima de consumo y el mximo nivel de utilidad

alcanzado por el consumidor. c) Las elasticidades precio de la demanda, e ingreso de la demanda para ambos

bienes. d) A partir de los resultados del punto anterior, clasifique los bienes. 37) Demanda de mercado. Suponga la demanda de tres individuos:

X1 = Px2

500 X2 = Px4

250 X3 = Px300

Construya la demanda de mercado. Obtenga P(Q= X ) Cmo ser la pendiente de la funcin de demanda? 38) Elasticidad. Suponga que la demanda de un individuo es:

x(px, py, m) = Px

mPy2

3

Calcule las elasticidades precio, ingreso y cruzada.

39) Modelo con dotaciones: Un consumidor se enfrenta a la difcil decisin de consumir entre harina (x1), y chicles Bobaloo (x2). Cuenta con dotaciones iniciales de ambos bienes: 4 kg de harina y 6 chicles. Los precios en el mercado son, actualmente, de $5 cada kg de harina, y de $3 cada chicle (una golosina muy cara). La funcin de utilidad es:

U(x1, x2)= x1.x2

a) Escriba la restriccin presupuestaria del consumidor. Cul es el valor monetario

de la canasta que posee? b) Escriba el problema del consumidor. c) Suponiendo que los productos son infinitamente divisibles (esto es, puedo

comprar cantidades en decimales), encuentre las funciones de demandas

marshallianas u ordinarias derivadas del problema de optimizacin, y la canasta ptima de consumo.

d) Responda: es el consumidor demandante neto o vendedor neto del bien 1? e) Encuentre el nivel de utilidad ptimo. En base a su respuesta en d), grafique las

curva de indiferencia, la canasta con dotaciones y la canasta ptima. f) Suponga ahora que, por escasez en la produccin de chicles, el precio del bien 2

hubiera sido de $7. Cul es el nuevo valor monetario de la canasta de dotacin inicial? Qu har el consumidor con los chicles? Ser demandante o vendedor neto?

40) Modelo de Consumo Intertemporal: Un individuo tiene que elegir entre varias combinaciones de consumir hoy (C1) o consumir maana (C2). Su funcin de utilidad intertemporal es:

U(C1, C2) = C1 C2

El individuo tiene una renta de m1 hoy, y de m2 en el futuro. La tasa de inters en el mercado es de r. a) Escriba la restriccin presupuestaria en trminos presentes (es decir, expresando en trminos de valor actual). b) Plantee el problema de optimizacin intertemporal del consumidor. c) Encuentre las cantidades de consumo ptimas. d) Suponga que tanto hoy como maana recibir $5 como ingreso fijo, y que la tasa de inters del mercado es de 5%. Los parmetros alfa y beta son iguales a 1. Encuentre el valor actual de la riqueza (W). e) Responda: el individuo decidi ahorrar o endeudarse? 41) Modelo de Teora de la Cartera (1 risk free, 1 riesgoso): Con el objetivo de diversificar sus inversiones, el seor Peperone quiere formar una cartera combinando un activo riesgoso (una accin) con un activo risk-free (un bono del tesoro norteamericano). La rentabilidad esperada de la accin es de 13,49%, y el desvo estndar es de 15,55%. El bono norteamericano rinde 5%.

La funcin de utilidad del inversor es:

U = r1 0,005.A. 21 Recuerde: la funcin de utilidad est preparada para trabajar con nmeros en porcentajes. Se pide: a) Demuestre que la funcin de utilidad satisface la no saciedad en rendimiento. b) Demuestre que la funcin de utilidad cumple con el supuesto de aversin al riesgo. c) El porcentaje de cada activo a invertir para encontrar el rendimiento de la cartera

ptima. Nota: recuerde que la suma de las ponderaciones siempre es 1 o 100%. d) El rendimiento de la cartera ptima. e) El nivel de utilidad alcanzado. f) Escriba la ecuacin de la Capital Allocation Line (CAL) obtenida. g) Haga un grfico aproximado.

42) Modelo de Teora de la Cartera (1 risk free, 1 riesgoso) Suponga un inversor con la siguiente funcin de utilidad:

U = rc 0,005.A. 2c El inversor tiene $10000 que quiere invertir en una cartera de ttulos, y para eso le consulta a usted para que lo asesore en dicha situacin. En el mercado, hay una accin que tiene una rentabilidad esperada del 10%, con un desvo estndar del 15%. Al mismo tiempo, otro activo, que es una rplica del ndice MERVAL (una ponderacin de las rentabilidades de las principales empresas que cotizan en bolsa), tiene una rentabilidad esperada del 7%, con un desvo del 4%. Los bonos del Tesoro de los EEUU rinden 5%. Tras una serie de preguntas, usted asigna al inversor un grado de aversin al riesgo de 3. a) Obtenga la rentabilidad esperada de la cartera ptima y la utilidad esperada si el inversor decide poner todo su dinero en acciones. b) Obtenga la rentabilidad esperada de la cartera ptima y la utilidad esperada si el inversor decide comprar con todo su capital bonos del tesoro. c) Demustrele al inversor los beneficios de la diversificacin. Suponga que puede solo combinar el activo sin riesgo con la accin. Encuentre la rentabilidad esperada y el desvo estndar de la cartera ptima, el porcentaje de su capital que invertir en acciones y en bonos, y la ecuacin de la CAL. Cmo es la utilidad obtenida en comparacin con los puntos anteriores? d) Ahora suponga que slo puede combinar el activo sin riesgo con el ndice MERVAL. Repita lo exigido en el punto anterior, y encuentre la ecuacin de la Capital Market Line (CML), que es la denominacin que adopta la CAL cuando el activo riesgoso representa al mercado. Qu nivel de utilidad obtiene? e) Qu representa el ratio de Sharpe? Cul de las dos es mayor, la de la CAL o la de la CML? f) Responda: Cul de todas las carteras debera recomendarle al inversor? Justifique su respuesta. 43) Un consumidor tiene la siguiente funcin de utilidad:

U = ln x1 + ln x2 El precio del bien 1 es de $4, y el del bien 2 es de $5. Tiene actualmente un ingreso de $40 para gastar. g) Encuentre las funciones de demandas marshallianas, y las cantidades de consumo ptimas. h) Encuentre la funcin de Utilidad Indirecta, y el nivel de Utilidad obtenido. i) Encuentre las funciones de demanda hicksianas. j) Responda: Un cambio en el precio del bien 1, afectara las cantidades demandadas del bien 2? k) Si el precio del bien uno cambia a $3, encuentre las nuevas cantidades del bien 1 y 2, Cul es la variacin total del efecto precio? Obtngalas haciendo la diferencia entre las cantidades con el precio 1 final con la del precio 1 inicial.

l) Suponga que todos los consumidores tienen la mismas funciones de demandas marshallianas. Encuentre la demanda de mercado, sabiendo que existen 100 consumidores en ambos mercados. 44) Ejercicio con mayor complejidad algebraica (Adaptado de la gua del doctor Enrique Kawamura) En la columna del Suplemento Econmico del Diario Clarn del Domingo 3 de Setiembre de 2000 el Licenciado Bernardo Kosakoff de la CEPAL dice: Las actividades tursticas, incluyendo sus ms diversas manifestaciones como congresos cientficos y convenciones empresariales, turismo de aventura, uso de los centros urbanos y eventos deportivos entre otros, tiene una gran posibilidad de expansin. Para su dinamismo se requiere facilitar en calidad y precio el transporte, el desarrollo de numerosos servicios de apoyo como gastronoma, alojamiento, traducciones, guas turisticas, museos, espectculos y dems, que tienen un importante efecto en la generacion de empleo y divisas. (Pag 44) Entonces, de acuerdo a Kosakoff, el turismo parecera ser un importante motor para crecer. El problema siguiente intenta responder la pregunta relacionada acerca de los efectos sobre los gastos en viajes de un cambio en los precios y en la calidad. Supongamos un turista americano cuyas preferencias pueden representarse por la funcin de utilidad

U(x1; x2) = 2 (x1)1/2 + x2 Donde x1 denota la cantidad total de tiempo (medido en horas y en fracciones de horas) dedicadas a viajes a Argentina, y x2 es el total de lo gastado y consumido en otros bienes. Aqu el precio del bien 2 es p2 = 1. Sea el precio del bien 1 igual a p: El parmetro > 0 cuantifica la calidad de los viajes (tursticos) a Argentina. El ingreso del consumidor es m > 0. a) Plantee el problema de optimizacin del turista americano. b) Obtenga las condiciones de primer orden y obtenga el punto crtico. c) Dado el valor de ; compute la elasticidad de la demanda de x1 con respecto a p. 45) Un consumidor se enfrenta a una funcin de utilidad dada por:

U(x1,x2 )= 21 ln x1 + 41 lnx2 Su ingreso es de 1000 pesos, y los precios de los bienes $4 y $6 respectivamente. Con la informacin suministrada determine: a) La restriccin presupuestaria. b) Plantee el problema de optimizacin que enfrenta el consumidor c) Encuentre las utilidades marginales de ambos bienes d) Encuentre la canasta ptima, el nivel de utilidad y las funciones de demanda

marshallianas. e) Las elasticidades precio e ingreso para cada uno de los bienes y la clasificacin

de los mismos.

f) Si hay 100 consumidores, todos con el mismo tipo de preferencias, cmo sern las demandas de mercado para ambos bienes? 46) Elasticidad. La demanda de mercado del bien A es:

Qd (pa, pb, m) = 500 - 10pa + 2pb +0,7m

Donde: pa = precio del bien a pb = precio del bien b m = ingreso Sabiendo que pa =10 y pb =5, y que el ingreso es 100, responda: a) Cul es la elasticidad precio de la demanda? b) Cul es la elasticidad cruzada de la demanda? c) Cul es la elasticidad ingreso de la demanda? 47) Si sabemos que la elasticidad precio cruzada de un bien es 2,5 y el precio de bien 2 desciende en un 2%, en sus respectivas unidades, cul ser la variacin porcentual prevista en la cantidad del bien 1? a) -0,5 b) -0,25 c) 1,25 d) 5

48) (Adaptado de la gua de la profesora Silvana Mateu) El siguiente problema trata de analizar la conducta de los hogares frente al consumo de agua potable, X1 y el resto de otros bienes. El consumo de agua es completamente inelstico al nivel de ingreso mientras que el resto de otros bienes depende tanto de los precios como del ingreso. Si el ingreso del hogar es menor al precio por unidad del resto de otros bienes, solo se demanda agua. Si P1 representa la tarifa por metro cbico consumido y P2 es el precio del resto de otros bienes, encuentre una funcin de utilidad que modele las preferencias. Determine las demandas de mercado y la funcin de utilidad indirecta. Si P2 es 20 y P1 es 20 y el ingreso disponible del hogar es de $ 200, determine el ptimo del consumidor. 49) La funcin de Utilidad de Clarita es de la forma:

U = X11/2 X2 y su nivel de ingreso y precio de los bienes son: m; P1 y P2 . a) Construya la restriccin presupuestaria. Plantee el problema que debe resolver el consumidor y determine las demandas marshallianas para los dos bienes. Qu sucede con el costo de oportunidad de X2 si P2 se incrementa en un 20%? Cmo cambian las cantidades demandadas? b) Determine la curva precio consumo de X2. Depende de la cantidad consumida de X 1?

c) Si a Clarita le vienen incrementando el ingreso consecutivamente. Cmo cambian sus demandas ordinarias sobre los bienes? Cul ser su curva ingreso-consumo? d) Qu nos dice la curva de Engel de Clarita sobre el bien X1? e) Supongamos que Clarita se fija una dieta rigurosa sobre X1 y X2 tal que modifica totalmente su funcin de utilidad, que se convierte en U = Min{X2 + 2X1; X1 + 2X2} Cules seran sus demandas ordinarias sobre los bienes? Cul ser la curva precio consumo y la curva ingreso consumo? Cmo es su curva de Engel para el bien X1? 50) Herminio tiene una funcin de utilidad de la forma:

U(x1,x2 )= x1 + ln(x2) Puede gastar hasta 8 unidades monetarias, y paga por ambos productos el mismo precio, 4. a) Plantee el problema que debe resolver el consumidor. b) Encuentre la demanda marshalliana del bien 1 y las cantidades que consume. c) Encuentre el nivel de Utilidad. d) Si en lugar de pagar $4 por el bien 2 pagara p2. Cmo quedara la funcin de demanda marshalliana para este bien? e) Variacin Compensatoria: Cunto consumira del bien 2 si el precio se reduce de 4 a 2? Con esa informacin, tambin calcule como quedara la cantidad demandada del bien 1, suponiendo que el consumidor quiere mantener el mismo nivel de Utilidad. Cul sera el nivel de renta m necesario para alcanzar esa canasta?

Algunas respuestas y demostraciones:

5) Respuesta: d) Dado que los precios crecen en la misma proporcin, y ms que el ingreso del individuo, a nivel real el conjunto factible de consumo se reduce. 6) Respuesta: b) La UMg se hace negativa cuando la utilidad total se hace decreciente. 8) Respuesta: a) La b es un caso particular de a 10) Respuesta: d) No son crecientes sino decrecientes 11) Respuesta: b) Las otras tres implican los mismo y son correctas. 12) Respuesta: c) 13) Respuesta: a). x=0 cuando p=5 14) Respuesta: a). En la primera fila, el cociente es 20/10 = 2, como debe ser igual al cociente de precios, esa es la respuesta correcta. 15) Respuesta: c) En el equilibrio se debe cumplir que el cociente de precios debe ser igual al de utilidades marginales. 19) Respuesta. a) la ordenada al origen deber ser 15, mientras la abscisa al origen debera ser 20. 20) a) 5 x1 + 6 x2 = 50 b) Max U(x1, x2)= x1.x2 sujeto a 5 x1 + 6 x2 = 50

x1, x2 c) (5; 4,16) d) U= 20,8 21) a)

Max U(x1, x2)= 4.x1.x2 sujeto a m= p1. x1 + p2.x2 x1, x2

Planteamos la funcin de Lagrange: L= 4.x1.x2 + (m- p1. x1 - p2.x2) CPO:

1 = 4. 2 + (1) = 0

2 = 4. 1 + (2) = 0

= 11 22 = 0

Resolviendo el sistema:

x1* = 21

x2* = 22

b) La funcin de Utilidad Indirecta la obtenemos reemplazando las demandas marshallianas en la funcin de Utilidad:

V(p1, p2, m) = 4. 21

22

Dependiendo as el nivel de Utilidad de las variables precio y cantidad. c) Min p1.x1 + p2.x2 sujeto a U0 = 4.x1.x2 x1 x2 Planteamos la funcin de Lagrange:

L= p1.x1 + p2.x2 + (U0 - 4.x1.x2) CPO:

1 = 1 (0 4. 2) = 0

2 = 2 (0 4. 1) = 0

= 0 4. 1. 2 = 0

De las primeras dos ecuaciones, encontramos que:

1

2 = 2

1

Despejando y reemplazando en el nivel de Utilidad:

h1= ( 41 .U. 12

pp )1/2

h2= ( 41 .U. 12

pp )1/2 .

21

pp

d) La funcin de Gasto Mnimo se obtiene de reemplazar las demandas hicksianas en la funcin de gasto:

e(x1, x2) =2.p1. ( 41 .U. 1

2pp )1/2

23)

a) 180 = 3. x1 + 2.x2 b) Max U(x, y) = 2x2y sujeto a 180 = 3. x1 + 2.x2 x, y

c) (x, y) = (40, 60) d) (x, y) = (20, 30) 24) a)

Max U(x1, x2)= x11/2.x2 1/2 sujeto a m= p1. x1 + p2.x2 x1, x2

b) De las Condiciones de Primer Orden, tenemos que resolver el siguiente sistema:

TMS = Cociente de precios Ingreso del consumidor = Gasto del consumidor

Dado que TMS = UMg1/UMg2, debemos primero obtener las Utilidades Marginales:

(1) UMg1=(1/2) x1-1/2.x2 1/2

(2) UMg2=(1/2) x11/2.x2- 1/2

Con lo cual, tenemos que resolver:

(1)/(2) = p1/p2 Dado que necesitamos despejar una de las variables de control (las cantidades), elegimos, por ejemplo, x2:

x2 = x1.12

Pero an nos falta satisfacer la restriccin presupuestaria. Reemplazamos lo obtenido anteriormente en sta:

p1. x1 + p2. x1.12

= m Entonces, resolviendo, obtenemos la cantidad ptima del bien 1 en funcin de los precios y el ingreso del consumidor:

x1* = 12 1

x2* = 12 2

Reemplazando por los datos del problema, obtenemos que:

x1*= 15

x2*= 22,5 25) El problema se plantea de la misma forma que en el caso normal. Max U(x1, x2) = Min ( x1; x2) sujeto a p1 x1 + p2 x2 = m

x1, x2 Dado que la funcin no es derivable (representa bienes complementarios perfectos), recordamos que el nico candidato a ptimo es el vrtice. Con lo cual el sistema que tenemos que resolver es: (1) x1 = x2

(2) p1 x1 + p2 x2 = m

Resolviendo el sistema, se debe llegar a:

x1* =

21 ppm+

x2* = 21 pp

m

+

29) a) Con los valores iniciales, la demanda es simplemente

X= 1002.5 = 10

b) Cuando cae el precio a 2, la demanda se reajusta a:

X= 1002.2 = 25

c) El efecto total de la variacin en el precio es simplemente:

X X = 25 10 = 15

El ingreso ajustado para compensar el efecto de la cada en el precio:

= . = 10(2 5) = 30 Por lo que la renta ajustada es la inicial menos la compensacin:

m = m 30 = 70 y la demanda correspondiente a esa renta y al nuevo precio es:

x= 2. = 70/(2.2) = 17,5

El efecto sustitucin se calcula, por tanto, como la diferencia entre la cantidad demandada renta-compensada y la inicial:

x*= x x = 17,5 10 = 7,5 35)

La demanda marshalliana del bien 1 para Pablito es 1

15

*PmX =

La grfica de esta funcin es del tipo de hiprbola rectangular. La demanda del bien 1 no depende del precio del bien 2. Y se puede apreciar tambin que el gasto en el

bien 1 es constante e igual al 20% del ingreso del consumidor 1

15

*PmX =

5*11 mXP =

39) a) 5 x1 + 3 x2 = 5.4 + 6.3 (es decir, nuestro ingreso es el valor de la dotacin de bienes que tenemos) b) Max U(x1, x2)= x1.x2 sujeto a 5 x1 + 3 x2 = 38

x1, x2 c) (x1, x2)=(3,8; 6,33) d) Vendedor neto e) U= 24,05 f) m= 62. Vendedor Neto 40) a) C1 + C2.

1

1+= m1 + m2 .

1

1+

b) Max U(C1, C2) = C1 C2 sujeto a C1 + C2.1

1+= W

C1, C2

Donde W = m1 + m2 .

1

1+

c) C1 =ba

a+

W C2 = ba

b+

(1+r)W con W=m1 + m2. r+11

d) W= 9,76 e) El individuo decide ahorrar. Se puede observar que consume menos hoy de lo que le ingresa, y lo destina para consumir ms maana. 41) a) Satisface la no saciedad en rendimiento dado que:

> 0

b) Nuevamente, la funcin cumple, dado que:

< 0

Es decir, la utilidad es decreciente conforme aumenta el porcentaje de riesgo asumido. c) w1 = 1,75; wf = -0,75 d) rc = 19,85% e) U = 19,57 f) CAL: rc = 0,05 + 0,55. c 44) a) Max 2 (x1)1/2 + x2 sujeto a px1 + x2 = m

x1; x2

b) En lugar de utilizar el lagrangiano, de la restriccin

px1 + x2 = m con lo cual el problema de maximizacin es Max 2 (x1)1/2 + m px1 x1 con respecto a x1: Entonces la nica variable de decisin es x1: La CPO es:

(x1)-1/2 p = 0 Despejando la cantidad 1:

x 1 * = (

)2

45)

a) 6x1 + 4x2 = 1000 b) Max U(x1, x2)= U(x1,x2 )= 21 ln x1 + 41 lnx2 sujeto a 6x1 + 4x2 = 1000 x1, x2 c) UMg1 = 21 .(1/x1) UMg2= 41 . (1/x2)

d) x1*=1.3

.2pm x2*=

23pm

e) Demanda bien 1: elasticidad unitaria, bien normal; Idem bien 2 47) Dado que (1/1)/(2/2)=2,5, como (2/2)=2, la respuesta es 5, sin necesitar clculos adicionales. 48) Como el consumo de agua es completamente inelstico al nivel del ingreso y el consumo del resto de otros bienes depende del precio y del ingreso, una funcin de utilidad que modela estas preferencias, es la funcin de utilidad cuasilineal, como por ejemplo: U = X1 1/2+X2 Se trata de una funcin cuyas curvas de indiferencia son convexas y donde la cantidad demandada del bien 1 no depende del ingreso del consumidor. En la combinacin ptima, la pendiente de la curva de indiferencia debe ser igual a la pendiente de la recta de presupuesto. Es decir:

211/21

21

2

1 X21

PP

PP

XUXU

==

Y de aqu se puede obtener la demanda del agua, en funcin de su precio y del precio del resto de bienes.

X1*=P22 / 4P12 Se aprecia que la demanda de agua no depende del ingreso del consumidor; es decir es completamente inelstico frente al ingreso. Y tendiendo la demanda de agua se puede hallar la demanda del resto de bienes mediante la restriccin de presupuesto. El consumidor comprar el resto de bienes hasta agotar el ingreso dado el gasto que ha realizado en agua. El gasto en agua es: X1 P1 =P22 / 4 P1 La demanda del resto de otros bienes es igual al ingreso residual luego de consumir agua, entre el precio del resto de otros bienes:

X2* = m-(P22 / 4P1) / P2 Y ahora que tenemos las demandas de los bienes, se puede obtener la funcin de utilidad indirecta. Para encontrar la funcin de utilidad indirecta, aplicamos las demandas obtenidas de los bienes a la funcin de utilidad que hemos propuesto. La funcin de utilidad propuesta es: U = X1 1/2+X2 Entonces la funcin de utilidad indirecta, V, es V = (P22 / 4P12)1/2+ (m-(P22 / 4P1)) / P2 Ahora vamos a estimar la mejor eleccin del consumidor si su ingreso es 100 y el precio del agua es 20 y el del resto de otros bienes es 20.

X1*=P22 / 4P12 = 0,25. X2* = m-(P22 / 4P1) / P2 = 4,75 Y la combinacin ptima es (0,25 ; 4,75). 49) a) La restriccin es: m= P1 X1 + P2 X2 El problema se plantea, como siempre: Max U(X1,X2) = X11/2 X2 sujeto a m= P1 X1 + P2 X2 X1,X2 La demanda de cada uno de los bienes, queda determinada por:

11

)(*

PamX

+=

22

)(*

PmX

+

=

En consecuencia, con los datos del problema

11

11 3*)12

1(2

1* P

mXP

mX =+

= y

22

22 3

2*)12

1(1* P

mXP

mX =+

=

b) Cualquiera que sea el cambio en el precio del bien 2, la curva precio consumo est definida por las combinaciones (X1,X2) donde la cantidad del bien 1 es constante y la cantidad del bien 2 est determinada por: X2= 2m/3 P2. Su representacin grfica es una vertical que parte de X1. c) Si el ingreso de Clarita empieza a incrementarse de manera continua, entonces la demanda de los bienes 1 y 2 se incrementar tambin de manera continua. Y esto va a ocurrir porque la demanda de Clarita est directamente relacionada con el ingreso. La curva ingreso consumo es la funcin de las combinaciones ptimas de los bienes 1 y 2 cuando cambia el ingreso del consumidor. En el caso de Sarita, como su demanda por el bien 1 es

X1= m/3P1 y su demanda por el bien 2 es

X2= 2/3 m/P2 Entonces

m= 3 P1X1=3P2X2/2 x2= 2P1/P2X1 ,

que representa la curva ingreso consumo. Como los precios de los bienes son parmetros cuando el ingreso est cambiando, la curva ingreso consumo viene a ser una funcin lineal de pendiente positiva. d) A partir de la funcin de demanda del bien 1, X1* = m / 3P1, podemos obtener la funcin de Engel, m = 3P1X1*, que es una funcin lineal de pendiente positiva. Dado el precio del bien 1, existe una relacin positiva entre cambios en el ingreso y cambios en la demanda del bien 1 y el bien 1 es un bien normal para Clarita. e) La demanda del bien 1 y del bien 2 es: X1*=m/P1+P2=X2* la funcin X1 = X2 es la curva precio consumo del bien 1. la funcin X1 = X 2 es la curva precio consumo del bien 2. la funcin X1 = X 2 es la curva ingreso consumo. Dada la demanda del bien 1,

X1* = m / P1+P2

la curva de Engel es,

m = ( P1+P2) X1* ,

que es una funcin lineal de pendiente positiva. 50) a) Max U(x1, x2)= x1 + ln(x2) sujeto a 8= 4.x1 + 4.x2 x1, x2 b) UMg1 = 1 UMg2 = 1/x2 Entonces, la TMS no es otra que x2.

Igualando al cociente de precios:

x2.=4/4=1 Reemplazando en la RP:

8 = 4.x1 + 4.1 Con lo cual,

x1 *= 1 c) Reemplazamos simplemente los valores obtenidos en la funcin de Utilidad. Entonces: U(1, 1) = 1 d) Simplemente, nos quedara:

x2* = 42

b) La cantidad ptima del bien 2, con un precio ms bajo sera:

x2** = 4 2=2

Ahora tenemos que encontrar la nueva cantidad del bien 1, suponiendo que el nivel de Utilidad se mantiene constante. Reemplazamos:

U = 1 = x1 + ln(x2**)

U = 1 = x1 + ln(2) Despejamos x1**

x1** = 0,307 Que es la cantidad del bien 1 que se consumira al haberse reducido el precio del bien 2, suponiendo que nos mantenemos en el mismo nivel de Utilidad. Para calcular el nivel de renta necesario para poder comprar esta canasta (0,307; 2), usamos la restriccin presupuestaria, con m como

m= 4.x1** + p2.x2** m= 4.x1** + 2.x2**

m= 4.0,307 + 2.2 = 5,228 La Variacin Compensatoria, es decir, la cantidad de dinero adicional que el consumidor requiere para mantener constante su nivel de utilidad tras un aumento de precios, entonces, queda como la diferencia entre m y m:

5,228 8 = -2,77