Danijel Kocijan, Andrea Grozdek, Daria

Grozdek

Miquelov teorem

Teorem 1. (Miquel) Dan je trokut ABC, te točke P 1,

P2,P3 na stranicama

Kružnice k1, k2, k3 opisane trokutima P1P2C, P1P3B i

P2P3A sijeku se u jednoj točki P.

Točku P nazivamo Miquelovom točkom, a trokut P1P2P3

Miquelovim trokutom.

.,, ABACBC

Teorem 2. Neka je P Miquelova točka i P1P2P3 Miquelov

trokut u trokutu ABC. Pravci PP1, PP2 i PP3 zatvaraju

jednake odgovarajuće kutove sa stranicama trokuta ABC.

Teorem 3. (Miquelova jednakost) Neka je P Miquelova

točka i P1P2P3 Miquelov trokut u trokutu ABC. Vrijedi

sljedeća jednakost:

BPC = BAC + P3P1P2 .

Teorem 4. Za fiksnu točku P u trokutu ABC moguće je

odrediti beskonačno mnogo Miquelovih trokuta.

Definicija. Miquelova kružnica je kružnica koja prolazi kroz

jedan vrh zadanog trokuta i dva vrha Miquelovog trokuta.

Slučaj kada su točke P1, P2, P3 kolinearne

Kružnice opisane trokutima ABC, AP3P2, P3BP1 i CP1P2 sijeku

se u jednoj točki.

Definicija. Neka su ABC i DEF slični trokuti te neka su G, H

i I sjecišta pravaca na kojima leže odgovarajuće stranice

trokuta. Kružnice kroz točke {C,G,F}, {A,D,H} te {B,I,E} (kao

na slici) sijeku se u točki S.

Točku S nazivamo centrom sličnosti trokuta ABC i DEF.

Definicija. Kažemo da su dva trokuta direktno slična ako

postoji preslikavanje među njima koje je kompozicija

homotetije i rotacije.

Teorem 5. Svi Miquelovi trokuti zadane Miquelove točke

P su direktno slični i P je centar njihove sličnosti.

Korolar. Vrijede slijedeće tvrdnje:

a) Središta bilo kojeg skupa Miquelovih kružnica su vrhovi

trokuta sličnog danom trokutu.

b) Direktno slični trokuti čiji odgovarajući vrhovi se nalaze

na odgovarajućim stranicama imaju istu Miquelovu

točku koja je i centar njihove sličnosti.

c) Ako su odgovarajući vrhovi nekoliko sličnih trokuta

kolinearni oni imaju zajednički centar sličnosti.

d) Ako se tri kružnice sijeku u jednoj točki, moguće je

početi konstruirati trokut u bilo kojoj točki bilo koje

kružnice čiji vrhovi leže na kružnicama, a stranice

prolaze sjecištima kružnica. Svi takvi trokuti su slični.

Nožišni trokut

Definicija. Neka je dan trokut ABC i fiksna točka P te neka su

P1,P2,P3 redom sjecišta okomica kroz točku P na pravce AB, BC,

AC. Trokut P1P2P3 zovemo nožišni trokut trokuta ABC obzirom

na točku P.

Teorem 6. Neka je P1P2P3 nožišni trokut trokuta ABC

obzirom na točku P. Vrijedi:

pri čemu je γ kut pri vrhu C, a R polumjer kružnice opisane

trokutu ABC.

R

ABCPCPPP

2sin

32

Korolar. Središte P opisane kružnice trokuta ABC je jedina

točka za koju vrijedi da je Miqelov trokut obzirom na P

sličan danom trokutu ABC.

Simsonov pravac

Definicija. Neka je ABC trokut, k kružnica opisana tom

trokutu i P neka točka na kružnici k. Pravac koji prolazi

nožištima okomica na stranice trokuta ABC iz točke P naziva

se Simsonov pravac.

Teorem 8. Nožišta okomica iz Miquelove točke na stranice

trokuta su kolinearna ako i samo ako se Miquelova točka

nalazi na trokutu opisanoj kružnici.

Teorem 9. Ako je P1P2P3 Simsonov pravac i P točka na

kružnici opisanoj trokutu ABC, onda su trokuti PP2P3 i PCB

direktno slični.