Mis fórmulas de poliedros - Aula Abierta de Matemáticas · Sólidos de Catalan: Sus caras son polígonos irregulares iguales. Son poliedros duales de los arquimedianos. Existen

1

Mis fórmulas de poliedros Con tres fórmulas para poliedros

Dos de las fórmulas son axiomas y acompañan al teorema de Euler, y la otra es inédita

Hernán

Domínguez

Monreal

2

ÍNDICE PRÓLOGO ............................................................................................................................................. 3

INTRODUCCIÓN A LOS POLIEDROS ...................................................................................................... 4

1ª FÓRMULA ........................................................................................................................................ 6

SÓLIDOS PLATÓNICOS ...................................................................................................................... 7

SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS .............................................................................................................. 9

SÓLIDOS DE CATALÁN .................................................................................................................... 16

SÓLIDOS DE JOHNSON .................................................................................................................... 21

PRISMAS ......................................................................................................................................... 67

ANTIPRISMAS ................................................................................................................................. 69

SÓLIDOS DE KEPLER-POINSOT ........................................................................................................ 71

2ª FÓRMULA ...................................................................................................................................... 73

SÓLIDOS PLATÓNICOS .................................................................................................................... 74

SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS ............................................................................................................ 76

SÓLIDOS DE JOHNSON .................................................................................................................... 83

PRISMAS ......................................................................................................................................... 96

ANTIPRISMAS ................................................................................................................................. 99

3ª FÓRMULA .................................................................................................................................... 102

SÓLIDOS PLATÓNICOS .................................................................................................................. 103

SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS .......................................................................................................... 105

SÓLIDOS DE JOHNSON .................................................................................................................. 112

PRISMAS ....................................................................................................................................... 116

ANTIPRISMAS ............................................................................................................................... 118

3

PRÓLOGO La primera fórmula se me ocurrió la noche del 12 de diciembre de 2012, cuando

estaba pensando en los poliedros regulares. El poliedro con el que la pensé fue el

tetraedro regular. Más tarde la comprobé para otros poliedros que fui aprendiendo.

Esta fórmula acompaña al teorema de Euler (C + V = A + 2) y es axioma, es decir que

no necesita demostración.

La segunda fórmula se me ocurrió el día 21 de diciembre por la tarde. El poliedro

con el que se la pensé fue el tetraedro regular. Comprobé que para algunos grupos

de poliedros no valía. Como la primera fórmula, acompaña al teorema de Euler y

también es axioma.

La tercera fórmula la descubrí el 10 de enero de 2013. Estaba investigando en mis

poliedros favoritos: los sólidos arquimedianos. El poliedro con el que la pensé fue el

tetraedro truncado. Con dos de los sólidos arquimedianos tiene una variación. Esta

fórmula es inédita.

4

INTRODUCCIÓN A LOS POLIEDROS Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son planas.

Hay dos tipos de poliedros, convexos y cóncavos:

Un poliedro es convexo cuando está contenido en uno de los semiespacios que

delimitan los planos de sus caras, considerando la totalidad de las caras; en estos

poliedros el segmento que une dos puntos suyos cualesquiera está contenido en el

poliedro.

Un poliedro es no convexo cuando, considerando los planos de todas sus caras, par-

te de él se encuentra en uno de los semiespacios y la otra parte de él se encuentra

en el otro semiespacio; en estos poliedros alguno de los segmentos que unen dos

puntos suyos cualesquiera sale del poliedro.

Entre los poliedros convexos están las siguientes familias:

Sólidos platónicos: Son los únicos poliedros regulares convexos. Existen 5 sólidos

platónicos.

Sólidos arquimedianos: Sus caras son polígonos regulares de dos o más tipos y

tienen sus vértices uniformes. La mayoría se ellos se obtienen truncando los sólidos

platónicos. Existen 13 sólidos arquimedianos.

Sólidos de Catalan: Sus caras son polígonos irregulares iguales. Son poliedros duales

de los arquimedianos. Existen 13 sólidos de Catalan.

Sólidos de Johnson: Sus caras son polígonos regulares. No hace falta que todas sus

caras sean iguales o que sus aristas o vértices sean uniformes. Existen 92 sólidos de

Johnson.

Prismas: Tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y caras laterales que

son paralelogramos. Tienen sus vértices uniformes. Existen infinitos prismas.

Antiprismas: Tienen dos bases, pero estas están giradas y las caras laterales son

triángulos. Tienen sus vértices uniformes. Existen infinitos antiprismas.

Entre los poliedros no convexos están los sólidos de Kepler-Poinsot.

Sólidos de Kepler-Poinsot: Son los únicos poliedros regulares no convexos. Existen 4

sólidos de Kepler-Poinsot.

5

Estos son los elementos que aparecen en un polígono:

Lados: Son las segmentos que forman la línea poligonal. Su abreviatura es l.

Vértices: Son los puntos donde se unen los lados. Su abreviatura es v.

Ángulos: Son los ángulos que forman los lados. Su abreviatura es a.

Estos son los elementos que aparecen en los poliedros:

Caras: Son los polígonos que limitan un poliedro. Su abreviatura es C.

Aristas: Son las uniones de dos caras por uno de sus lados. Su abreviatura es A.

Vértices: Son las uniones de tres o más caras por uno de sus vértices. Su abreviatura

es V.

Caras concurrentes en un vértice: Son las caras que tienen un vértice en común. Yo

uso la abreviatura CV.

Configuración de los vértices: Es el número de lados de cada una de las caras concu-

rrentes en un vértice. Yo utilizo la abreviatura Vl.

6

1ª FÓRMULA

Esta fórmula vale para cualquier poliedro convexo o no convexo sin excepción. En el

libro la compruebo con los sólidos platónicos, con los sólidos arquimedianos, con los

sólidos de Catalan, con los sólidos de Johnson, con los prismas, con los antiprismas y

con los sólidos de Kepler-Poinsot.

Vale para todos los poliedros porque siempre concurren dos caras en cada arista.

Cuando se multiplican el número de caras por el de lados de cada cara, el producto

es el doble del número de aristas porque cada lado aparece dos veces.

7

SÓLIDOS PLATÓNICOS

1. Tetraedro regular

Características Comprobación de la fórmula

4 caras de 3 lados

6 aristas

4 vértices

2. Cubo


6 caras de 4 lados

12 aristas

8 vértices

3. Octaedro regular


8 caras de 3 lados

12 aristas

6 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tetrahedron.jpg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hexahedron.jpg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Octahedron.jpg

8

4. Dodecaedro regular


2 caras de 5 lados

30 aristas

20 vértices

5. Icosaedro regular


20 caras de 3 lados

30 aristas

12 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dodecahedron.jpg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Icosahedron.jpg

9

SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS

1. Tetraedro truncado


8 caras: 4 de 6 lados

4 de 3 lados

18 aristas

12 vértices

2. Cuboctaedro



8 de 3 lados

24 aristas

12 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Truncatedtetrahedron.jpg

http://www.google.es/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Plano_del_Tetraedro_truncado.jpg/250px-Plano_del_Tetraedro_truncado.jpg&imgrefurl=http://es.wikipedia.org/wiki/Tetraedro_truncado&h=224&w=250&sz=5&tbnid=NdPnxGwsWtLl6M:&tbnh=107&tbnw=119&prev=/search?q=tetraedro+truncado&tbm=isch&tbo=u&zoom=1&q=tetraedro+truncado&usg=__3Vtwxc-kKUTc-A52XFmatISo-H0=&docid=pFL8jMZ03S9ChM&hl=es&sa=X&ei=Z8wDUZ2mJMPQ0QWe9IGoDg&sqi=2&ved=0CD4Q9QEwAw&dur=340

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cuboctahedron.jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2e/Cuboctahedron_flat.svg

10

3. Cubo truncado



8 de 3 lados

36 aristas

24 vértices

4. Octaedro truncado



6 de 4 lados

36 aristas

24 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Truncatedhexahedron.jpg

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Truncated_hexahedron_flat.svg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Truncatedoctahedron.jpg

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Truncated_octahedron_flat.png

11

5. Rombicuboctaedro



8 de 3 lados

48 aristas

24 vértices

6. Cuboctaedro truncado



8 de 6 lados

12 de 4 lados

72 aristas

48 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rhombicuboctahedron.jpg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rhombicuboctahedron_flat.png

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Truncatedcuboctahedron.jpg

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Truncated_cuboctahedron_flat.svg

12

7. Cubo romo



32 de 3 lados

60 aristas

24 vértices

8. Icosidodecaedro



20 de 3 lados

60 aristas

30 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Snubhexahedronccw.jpg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Snubhexahedroncw.jpg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Plano_del_cubo_snub.jpg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Icosidodecahedron.jpg

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Icosidodecahedron_flat.svg

13

9. Dodecaedro truncado



20 de 3 lados

90 aristas

60 vértices

10. Icosaedro truncado



12 de 5 lados

90 aristas

60 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Truncateddodecahedron.jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Truncated_dodecahedron_flat.png

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Truncatedicosahedron.jpg

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Truncated_icosahedron_flat.svg

14

11. Rombicosidodecaedro



30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices

12. Icosidodecaedro truncado



20 de 6 lados

30 de 4 lados

180 aristas

120 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rhombicosidodecahedron.jpg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rhombicosidodecahedron_flat.png

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Truncatedicosidodecahedron.jpg

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Truncated_icosidodecahedron_flat.svg

15

13. Dodecaedro romo



80 de 3 lados

150 aristas

60 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Snubdodecahedronccw.jpg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Snubdodecahedroncw.jpg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Snub_dodecahedron_flat.svg

16

SÓLIDOS DE CATALÁN

1. Triaquistetraedro


12 caras de 3 lados

18 aristas

8 vértices

2. Rombododecaedro


12 caras de 4 lados

24 aristas

14 vértices

3. Triaquisoctaedro


24 caras de 3 lados

36 aristas

14 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triakistetrahedron.jpg

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tetraedro_triakis_flat.png

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Rhombicdodecahedron.gif

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Rhombic_dodecahedron_flat.svg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triakisoctahedron.jpg

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triakis_octahedron_flat.svg

17

4. Tetraquishexaedro


24 caras de 3 lados

36 aristas

14 vértices

5. Icositetraedro deltoidal


24 caras de 4 lados

48 aristas

26 vértices

6. Hexaquisoctaedro


48 caras de 3 lados

72 aristas

26 vértices

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tetrakishexahedron.jpg

http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Tetrakishexahedron_net.png

http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Deltoidalicositetrahedron.gif

http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Deltoidalicositetrahedron_net.png

http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Disdyakisdodecahedron.gif

http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Disdyakisdodecahedron_net.png

18

7. Triacontaedro rómbico


30 caras de 4 lados

60 aristas

32 vértices

8. Triaquisicosaedro


60 caras de 3 lados

90 aristas

32 vértices

9. Pentaquisdodecaedro


60 caras de 3 lados

90 aristas

32 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rhombictriacontahedron.svg

http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Rhombictriacontahedron_net.png

http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Triakisicosahedron.gif

http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Triakisicosahedron_net.png

http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Triakisicosahedron.gif

http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Pentakisdodecahedron_net.png

19

10. Hexecontaedro deltoidal


60 caras de 4 lados

120 aristas

62 vértices

11. Hexaquisicosaedro


120 caras de 3 lados

180 aristas

62 vértices

12. Icositetraedro pentagonal


24 caras de 5 lados

60 aristas

38 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Deltoidalhexecontahedron.jpg

http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Deltoidalhexecontahedron_net.png

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Disdyakistriacontahedron.jpg

http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Disdyakistriacontahedron_net.png

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Pentagonalicositetrahedroncw.gif

http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Pentagonalicositetrahedronccw.gif

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Plano_del_icositetraedro_pentagonal.jpg

20

13. Hexecontaedro

pentagonal


60 caras de 5 lados

150 aristas

92 vértices

http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Pentagonalhexecontahedronccw.gif

http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Pentagonalhexecontahedroncw.gif

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Plano_del_hexecontaedro_pentagonal.jpg

21

SÓLIDOS DE JOHNSON

1. Pirámide cuadrada



4 de 3 lados

8 aristas

5 vértices

2. Pirámide pentagonal



5 de 3 lados

10 aristas

6 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Square_pyramid.png

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Johnson_solid_1_net.png

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pentagonal_pyramid.png


22

3. Cúpula triangular



3 de 4 lados

4 de 3 lados

15 aristas

9 vértices

4. Cúpula cuadrada



5 de 4 lados

4 de 3 lados

20 aristas

12 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triangular_cupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Square_cupola.png


23

5. Cúpula pentagonal



1 de 5 lados

5 de 4 lados

5 de 3 lados

25 aristas

15 vértices

6. Rotonda pentagonal



6 de 5 lados

10 de 3 lados

35 aristas

20 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pentagonal_cupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pentagonal_rotunda.png


24

7. Pirámide triangular elongada



4 de 3 lados

12 aristas

7 vértices

8. Pirámide cuadrada elongada



4 de 3 lados

16 aristas

9 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_triangular_pyramid.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_square_pyramid.png


25

9. Pirámide pentagonal elongada



5 de 4 lados

5 de 3 lados

20 aristas

11 vértices

10. Pirámide cuadrada giroelongada



12 de 3 lados

20 aristas

9 vértices

11. Pirámide pentagonal giroelongada



15 de 3 lados

25 aristas

11 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_pentagonal_pyramid.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gyroelongated_square_pyramid.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gyroelongated_pentagonal_pyramid.png


26

12. Bipirámide triangular


6 caras de 3 lados

9 aristas

5 vértices

13. Bipirámide pentagonal


10 caras de 3 lados

15 aristas

7 vértices

14. Bipirámide triangular elongada



6 de 3 lados

15 aristas

8 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triangular_dipyramid.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pentagonal_dipyramid.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_triangular_dipyramid.png


27

15. Bipirámide cuadrada elongada



8 de 3 lados

20 aristas

10 vértices

16. Bipirámide pentagonal elongada



10 de 3 lados

25 aristas

12 vértices

17. Bipirámide cuadrada giroelongada


16 caras de 3 lados

24 aristas

10 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_square_dipyramid.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_pentagonal_dipyramid.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gyroelongated_square_dipyramid.png


28

18. Cúpula triangular elongada



9 de 4 lados

4 de 3 lados

27 aristas

15 vértices

19. Cúpula cuadrada elongada



13 de 4 lados

4 de 3 lados

36 aristas

20 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_triangular_cupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_square_cupola.png


29

20. Cúpula pentagonal elongada



1 de 5 lados

15 de 4 lados

5 de 3 lados

45 aristas

25 vértices

21. Rotonda pentagonal elongada



6 de 5 lados

10 de 4 lados

55 aristas

30 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_pentagonal_cupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_pentagonal_rotunda.png


30

22. Cúpula triangular giroelongada



3 de 4 lados

16 de 3 lados

33 aristas

15 vértices

23. Cúpula cuadrada giroelongada



5 de 4 lados

20 de 3 lados

44 aristas

20 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gyroelongated_triangular_cupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gyroelongated_square_cupola.png


31

24. Cúpula pentagonal giroelongada



1 de 5 lados

5 de 4 lados

25 de 3 lados

55 aristas

25 vértices

25. Rotonda pentagonal

giroelongada



6 de 5 lados

30 de 3 lados

65 aristas

30 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gyroelongated_pentagonal_cupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gyroelongated_pentagonal_rotunda.png


32

26. Girobifastigium



4 de 3 lados

14 aristas

8 vértices

27. Ortobicúpula triangular



8 de 3 lados

24 aristas

12 vértices

28. Ortobicúpula cuadrada



8 de 3 lados

32 aristas

16 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gyrobifastigium.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triangular_orthobicupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Square_orthobicupola.png


33

29. Girobicúpula cuadrada



8 de 3 lados

32 aristas

16 vértices

30. Ortobicúpula pentagonal



10 de 4 lados

10 de 3 lados

40 aristas

20 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Square_gyrobicupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pentagonal_orthobicupola.png


34

31. Girobicúpula pentagonal



10 de 4 lados

10 de 3 lados

40 aristas

20 vértices

32. Ortocupularrotonda pentagonal



5 de 4 lados

15 de 3 lados

50 aristas

25 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pentagonal_gyrobicupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pentagonal_orthocupolarotunda.png


35

33. Girocupularrotonda pentagonal



5 de 4 lados

15 de 3 lados

50 aristas

25 vértices

34. Ortobirrotonda pentagonal



20 de 3 lados

60 aristas

30 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pentagonal_gyrocupolarotunda.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pentagonal_orthobirotunda.png


36

35. Ortobicúpula triangular elongada



8 de 3 lados

36 aristas

18 vértices

36. Girobicúpula triangular elongada



8 de 3 lados

36 aristas

18 vértices

37. Girobicúpula cuadrada elongada



8 de 3 lados

48 aristas

24 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_triangular_orthobicupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_triangular_gyrobicupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_square_gyrobicupola.png


37

38. Ortobicúpula pentagonal elongada



20 de 4 lados

10 de 3 lados

60 aristas

30 vértices

39. Girobicúpula pentagonal elongada


32 caras: 2 de 5 lado

20 de 4 lados

10 de 3 lados

60 aristas

30 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_pentagonal_orthobicupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_pentagonal_gyrobicupola.png


38


elongada



15 de 4 lados

15 de 3 lados

70 aristas

35 vértices


elongada



15 de 4 lados

15 de 3 lados

70 aristas

35 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_pentagonal_orthocupolarotunda.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_pentagonal_gyrocupolarotunda.png


39

42. Ortobirrotonda pentagonal elongada



10 de 4 lados

20 de 3 lados

80 aristas

40 vértices

43. Girobirrotonda pentagonal elongada



10 de 4 lados

20 de 3 lados

80 aristas

40 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_pentagonal_orthobirotunda.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_pentagonal_gyrobirotunda.png


40

44. Bicúpula triangular giroelongada



20 de 3 lados

42 aristas

18 vértices

45. Bicúpula cuadrada giroelongada



24 de 3 lados

56 aristas

24 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gyroelongated_triangular_bicupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gyroelongated_square_bicupola.png


41

46. Bicúpula pentagonal giroelongada



10 de 4 lados

30 de 3 lados

70 aristas

30 vértices

47. Cupularrotonda pentagonal

giroelongada



5 de 4 lados

35 de 3 lados

80 aristas

35 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gyroelongated_pentagonal_bicupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gyroelongated_pentagonal_cupolarotunda.png


42

48. Birrotonda pentagonal giroelongada



40 de 3 lados

90 aristas

40 vértices

49. Prisma triangular aumentado



6 de 3 lados

13 aristas

7 vértices

50. Prisma triangular biaumentado



10 de 3 lados

17 aristas

8 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gyroelongated_pentagonal_birotunda.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Augmented_triangular_prism.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Biaugmented_triangular_prism.png


43

51. Prisma triangular triaumentado


14 caras de 3 lados

21 aristas

9 vértices

52. Prisma pentagonal aumentado



4 de 4 lados

4 de 3 lados

19 aristas

11 vértices

53. Prisma pentagonal biaumentado



3 de 4 lados

8 de 3 lados

23 aristas

12 aristas

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triaugmented_triangular_prism.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Augmented_pentagonal_prism.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Biaugmented_pentagonal_prism.png


44

54. Prisma hexagonal aumentado



5 de 4 lados

4 de 3 lados

22 aristas

13 aristas

55. Prisma hexagonal

parabiaumentado



4 de 4 lados

8 de 3 lados

26 aristas

14 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Augmented_hexagonal_prism.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Parabiaugmented_hexagonal_prism.png


45

56. Prisma hexagonal metabiaumentado



4 de 4 lados

8 de 3 lados

26 aristas

14 vértices

57. Prisma hexagonal triaumentado



3 de 4 lados

12 de 3 lados

30 aristas

15 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Metabiaugmented_hexagonal_prism.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triaugmented_hexagonal_prism.png


46

58. Dodecaedro aumentado



5 de 3 lados

35 aristas

21 vértices

59. Dodecaedro parabiaumentado



10 de 3 lados

40 aristas

22 vértices

60. Dodecaedro metabiaumentado



10 de 3 lados

40 aristas

22 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Augmented_dodecahedron.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Parabiaugmented_dodecahedron.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Metabiaugmented_dodecahedron.png


47

61. Dodecaedro triaumentado



15 de 3 lados

45 aristas

23 vértices

62. Icosaedro metabidisminuido



10 de 3 lados

20 aristas

10 vértices

63. Icosaedro tridisminuido



5 de 3 lados

15 aristas

9 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triaugmented_dodecahedron.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Metabidiminished_icosahedron.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tridiminished_icosahedron.png


48

64. Icosaedro tridisminuido aumentado



7 de 3 lados

18 aristas

10 vértices

65. Tetraedro truncado aumentado



3 de 4 lados

8 de 3 lados

27 aristas

15 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Augmented_tridiminished_icosahedron.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Augmented_truncated_tetrahedron.png


49

66. Cubo truncado aumentado



5 de 4 lados

12 de 3 lados

48 aristas

28 vértices

67. Cubo truncado biaumentado



10 de 4 lados

16 de 3 lados

60 aristas

32 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Augmented_truncated_cube.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Biaugmented_truncated_cube.png


50

68. Dodecaedro truncado aumentado



1 de 5 lados

5 de 4 lados

25 de 3 lados

105 aristas

65 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Augmented_truncated_dodecahedron.png


51


parabiaumentado



2 de 5 lados

10 de 4 lados

30 de 3 lados

120 aristas

70 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Parabiaugmented_truncated_dodecahedron.png


52


metabiaumentado



2 de 5 lados

10 de 4 lados

30 de 3 lados

120 aristas

70 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Metabiaugmented_truncated_dodecahedron.png


53


triaumentado



3 de 5 lados

15 de 4 lados

35 de 3 lados

135 aristas

75 vértices

72. Rombicosidodecaedro giroide



30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triaugmented_truncated_dodecahedron.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gyrate_rhombicosidodecahedron.png


54

73. Rombicosidodecaedro parabigiroide



30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices

74. Rombicosidodecaedro metabigiroide



30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Parabigyrate_rhombicosidodecahedron.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Metabigyrate_rhombicosidodecahedron.png


55

75. Rombicosidodecaedro trigiroide



30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices

76. Rombicosidodecaedro disminuido


52 caras: 1 de 10 caras

11 de 5 lados

25 de 4 lados

15 de 3 lados

105 aristas

55 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trigyrate_rhombicosidodecahedron.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diminished_rhombicosidodecahedron.png


56

77. Rombicosidodecaedro paragiroide

disminuido



11 de 5 lados

25 de 4 lados

15 de 3 lados

105 aristas

55 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Paragyrate_diminished_rhombicosidodecahedron.png


57

78. Rombicosidodecaedro metagiroide

disminuido



11 de 5 lados

25 de 4 lados

15 de 3 lados

105 aristas

55 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Metagyrate_diminished_rhombicosidodecahedron.png


58

79. Rombicosidodecaedro bigiroide

disminuido



11 de 5 lados

25 de 4 lados

15 de 3 lados

105 aristas

55 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bigyrate_diminished_rhombicosidodecahedron.png


59


parabidisminuido



10 de 5 lados

20 de 4 lados

10 de 3 lados

90 aristas

50 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Parabidiminished_rhombicosidodecahedron.png


60


metabidisminuido



10 de 5 lados

20 de 4 lados

10 de 3 lados

90 aristas

50 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Metabidiminished_rhombicosidodecahedron.png


61


bidisminuido



10 de 5 lados

20 de 4 lados

10 de 3 lados

90 aristas

45 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gyrate_bidiminished_rhombicosidodecahedron.png


62

83. Rombicosidodecaedro tridisminuido



9 de 5 lados

15 de 4 lados

5 de 3 lados

75 aristas

45 vértices

84. Biesfenoide romo


12 caras de 3 lados

18 aristas

8 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tridiminished_rhombicosidodecahedron.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Snub_disphenoid.png


63

85. Antiprisma cuadrado romo



24 de 3 lados

40 aristas

18 vértices

86. Esfenocorona



12 de 3 lados

22 aristas

10 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Snub_square_antiprism.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sphenocorona.png


64

87. Esfenocorona aumentada



16 de 3 lados

26 aristas

11 vértices

88. Esfenomegacorona



16 de 3 lados

28 aristas

12 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Augmented_sphenocorona.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sphenomegacorona.png


65

89. Hebesfenomegacorona



18 de 3 lados

33 aristas

14 vértices

90. Biesfenocíngulo



20 de 3 lados

38 aristas

16 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hebesphenomegacorona.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Disphenocingulum.png


66

91. Bilunabirrotonda



2 de 4 lados

8 de 3 lados

26 aristas

14 vértices

92. Hebesfenorrotonda triangular



3 de 5 lados

3 de 4 lados

13 de 3 lados

36 aristas

18 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bilunabirotunda.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triangular_hebesphenorotunda.png


67

PRISMAS

1. Prisma triangular



2 de 3 lados

9 aristas

6 vértices

2. Prisma pentagonal



5 de 4 lados

15 aristas

10 vértices

3. Prisma hexagonal



6 de 4 lados

18 aristas

12 vértices

http://www.kalipedia.com/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/geometria/20070926klpmatgeo_398.Ges.SCO.png

http://3.bp.blogspot.com/-cYxUz1HtJwc/TZcDV66uc7I/AAAAAAAAAAM/kCF9IsOXTvg/s1600/prisma_triangular.gif

http://1.bp.blogspot.com/_FXH6kxw-fxQ/S6oEXURDJYI/AAAAAAAAAAU/b5INv26OAIM/s1600/prisma_pentagonal.png

http://www.salesianoslaalmunia.es/octavio/wp-content/uploads/2012/09/pris-6.png

68

4. Prisma octogonal



8 de 4 lados

24 aristas

16 vértices

5. Prisma decagonal



10 de 4 lados

30 aristas

20 vértices

69

ANTIPRISMAS

1. Antiprisma cuadrado



8 de 3 lados

16 aristas

8 vértices

2. Antiprisma pentagonal



10 de 3 lados

20 aristas

10 vértices

3. Antiprisma hexagonal



12 de 3 lados

24 aristas

12 vértices

70

4. Antiprisma octogonal



16 de 3 lados

32 aristas

16 vértices

5. Antiprisma decagonal



20 de 3 lados

40 aristas

20 vértices

71

SÓLIDOS DE KEPLER-POINSOT

1. Pequeño dodecaedro estrellado


12 caras de 5 lados

30 aristas

12 vértices

2. Gran dodecaedro estrellado


12 caras de 5 lados

30 aristas

12 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:SmallStellatedDodecahedron.jpg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:GreatStellatedDodecahedron.jpg

72

3. Gran icosaedro


20 caras de 3 lados

30 aristas

12 vértices

4. Gran dodecaedro


12 caras de 5 lados

30 aristas

12 vértices

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:GreatIcosahedron.jpg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:GreatDodecahedron.jpg

73

2ª FÓRMULA

Esta fórmula vale para todos los poliedros que cumplan que el número de caras

concurrentes en los vértices sea siempre el mismo, por que si no, no se podría

calcular la fórmula. Son los sólidos platónicos, los sólidos arquimedianos, los pris-

mas, los antiprismas y los 25 siguientes sólidos de Johnson: 15, 27, 28, 29, 30, 31, 32,

33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 57, 72, 73, 74, 75, 85 y 92.

Vale para estos poliedros porque cuando se multiplica el número de caras por el de

lados siempre sale el número de vértices multiplicado por el de las caras concurren-

tes en un vértice.

74




4 caras de 3 lados

6 aristas

4 vértices

3 caras concurrentes en cada vértice

2. Cubo


6 caras de 4 lados

12 aristas

8 vértices



https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hexahedron.jpg

75

3. Octaedro regular


8 caras de 3 lados

12 aristas

6 vértices




12 caras de 5 lados

30 aristas

20 vértices




20 caras de 3 lados

30 aristas

12 vértices


https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Octahedron.jpg

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dodecahedron.jpg

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Icosahedron.jpg

76





4 de 3 lados

18 aristas

12 vértices


2. Cuboctaedro

Características Comprobación de lan fórmula


8 de 3 lados

24 aristas

12 vértices



http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Plano_del_Tetraedro_truncado.jpg


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cuboctahedron_flat.svg

77

3. Cubo truncado



8 de 3 lados

36 aristas

24 vértices





6 de 4 lados

36 aristas

24 vértices






78

5. Rombicuboctaedro



8 de 3 lados

48 aristas

24 vértices





8 de 6 lados

12 de 4 lados

72 aristas

48 vértices






79

7. Cubo romo



32 de 3 lados

60 aristas

24 vértices


8. Icosidodecaedro



20 de 3 lados

60 aristas

30 vértices







80




20 de 3 lados

90 aristas

60 vértices





12 de 5 lados

90 aristas

60 vértices



http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Truncated_dodecahedron_flat.png



81




30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices

4 caras concurremtes en cada vértice




20 de 6 lados

30 de 4 lados

180 aristas

120 vértices






82

13. Dodecaedro romo



80 de 3 lados

150 aristas

60 vértices





83

SÓLIDOS DE JOHNSON

15. Bipirámide cuadrada elongada



8 de 3 lados

20 aristas

10 vértices





8 de 3 lados

24 aristas

12 vértices


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_square_dipyramid.png




84

28. Ortobicúpula cuadrada



8 de 3 lados

32 aristas

16 vértices

4 caras concurrentes en un vértice

29. Girobicúpula cuadrada



8 de 3 lados

32 aristas

16 vértices


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Square_orthobicupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Square_gyrobicupola.png


85

30. Ortobicúpula pentagonal



10 de 4 lados

10 de 3 lados

40 aristas

20 vértices


31. Girobicúpula pentagonal



10 de 4 lados

10 de 3 lados

40 aristas

20 vértices


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pentagonal_orthobicupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pentagonal_gyrobicupola.png


86




5 de 4 lados

15 de 3 lados

50 aristas

25 vértices





5 de 4 lados

15 de 3 lados

50 aristas

25 vértices


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pentagonal_orthocupolarotunda.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pentagonal_gyrocupolarotunda.png


87




20 de 3 lados

60 aristas

30 vértices


35. Ortobicúpula triangular elongada



8 de 3 lados

36 aristas

18 vértices




http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_triangular_orthobicupola.png


88

36. Girobicúpula triangular elongada



8 de 3 lados

36 aristas

18 vértices

4 caras concurrentes en un vértice




8 de 3 lados

48 aristas

24 vértices


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_triangular_gyrobicupola.png




89

38. Ortobicúpula pentagonal elongada



20 de 4 lados

10 de 3 lados

60 aristas

30 vértices


39. Girobicúpula pentagonal elongada



20 de 4 lados

10 de 3 lados

60 aristas

30 vértices


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_pentagonal_orthobicupola.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_pentagonal_gyrobicupola.png


90


elongada



15 de 4 lados

15 de 3 lados

70 aristas

35 vértices



elongada



15 de 4 lados

15 de 3 lados

70 aristas

35 vértices


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_pentagonal_orthocupolarotunda.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_pentagonal_gyrocupolarotunda.png


91

42. Ortobirrotonda pentagonal elongada



10 de 4 lados

20 de 3 lados

80 aristas

40 vértices


43. Girobirrotonda pentagonal elongada



10 de 4 lados

20 de 3 lados

80 aristas

40 vértices


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_pentagonal_orthobirotunda.png


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elongated_pentagonal_gyrobirotunda.png


92

57. Prisma hexagonal triaumentado



3 de 4 lados

12 de 3 lados

30 aristas

15 vértices





30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triaugmented_hexagonal_prism.png




93




30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices





30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices






94




30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices


85. Antiprisma cuadrado romo



24 de 3 lados

40 aristas

16 vértices




http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Snub_square_antiprism.png


95

92. Hebesfenorrotonda triangular



3 de 5 lados

3 de 4 lados

13 de 3 lados

36 aristas

18 vértices


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triangular_hebesphenorotunda.png


96

PRISMAS




2 de 3 caras

9 aristas

6 vértices





5 de 4 caras

15 aristas

10 vértices





97

3. Prisma hexagonal



6 de 4 caras

18 aristas

12 vértices


4. Prisma octogonal



8 de 4 lados

24 aristas

16 vértices



98

5. Prisma decagonal



10 de 4 caras

30 aristas

20 vértices


99

ANTIPRISMAS




8 de 3 lados

16 aristas

8 vértices





10 de 3 lados

20 aristas

10 vértices


100




12 de 3 lados

24 aristas

12 vértices





16 de 3 lados

32 aristas

16 vértices


101




20 de 3 lados

40 aristas

20 vértices


102

3ª FÓRMULA

Esta fórmula vale para los poliedros que cumplan que la configuración de los

vértices sea la misma en todos ellos, porque si no, no se podría calcular la fórmula.

Son los sólidos platónicos, los sólidos arquimedianos, los prismas, los antiprismas y

los 7 siguientes sólidos de Johnson: 27, 34, 37, 72, 73, 74 y 75.

Cuando en la configuración de los vértices todos los números están al menos dos

veces, el m. c. d. hay que dividirlo entre 2; cuando están al menos tres veces hay que

dividir el m. c. d. entre 3, y así sucesivamente.

Casos en que hay que dividir el m. c. d. entre 2: Los sólidos arquimedianos 2 y 8; y

los sólidos de Johnson 27 y 34.

Casos en que hay que dividir el m. c. d. entre 3: Los sólidos platónicos 1, 2 y 4.

Casos en que hay que dividir el m. c. d. entre 4: El sólido platónico 3.

Casos en que hay que dividir el m. c. d. entre 5: El sólido platónico 5.

103




4 caras de 3 lados 4 x 3 = 12

6 aristas m. c. d. de 12 = 12 12 : 3 = 4

4 vértices 12 : 4 = 3

Configuración de los vértices: 3, 3, 3 Configuración de los vértices: 3, 3, 3

2. Cubo



12 aristas m. c. d. de 24 = 24 24 : 3 = 8

8 vértices 24 : 8 = 3



https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hexahedron.jpg

104

3. Octaedro regular



12 aristas m. c. d. de 24 = 24 24 : 4 = 6

6 vértices 24 : 6 = 4

Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3 Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3




30 aristas m. c. d. de 60 = 60 60 : 3 = 20

20 vértices 60 : 20 = 3





30 aristas m. c. d. de 60 = 60 60 : 5 = 12

12 vértices 60 : 12 = 5

Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3, 3 Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3, 3

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Octahedron.jpg

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dodecahedron.jpg

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Icosahedron.jpg

105




8 caras: 4 de 6 lados 4 x 6 = 24 4 x 3 = 12

4 de 3 lados m. c. d. de 24 y 12 = 12

18 arista 24 : 12 = 2 12 : 12 = 1

12 vértices Configuración de los vértices: 3, 6, 6

Configuración de los vértices: 3, 6, 6

2. Cuboctaedro


14 caras: 6 de 4 lados 4 x 6 = 24 8 x 3 = 24

8 de 3 lados m. c. d. de 24 y 24 = 24 24 : 2 = 12

24 aristas 24 : 12 = 2 24 : 12 = 2

12 vértices Configuración de los vértices: 3, 4, 3, 4

Configuración de los vértices: 3, 4, 3, 4


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Plano_del_Tetraedro_truncado.jpg


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cuboctahedron_flat.svg

106

3. Cubo truncado


14 caras: 6 de 8 lados 6 x 8 = 48 8 x 3 = 24

8 de 3 lados m. c. d. de 48 y 24 = 24

36 aristas 48 : 24 = 2 24 : 24 = 1





14 caras: 8 de 6 lados 8 x 6 = 48 6 x 4 = 24

6 de 4 lados m. c. d. de 48 y 24 = 24

36 aristas 48 : 24 = 2 24 : 24 = 1

24 vértice Configuración de los vértices: 4, 6, 6






107

5. Rombicuboctaedro


26 caras: 18 de 4 lados 18 x 4 = 72 8 x 3 = 24

8 de 3 lados m. c. d. de 72 y 24 = 24

48 aristas 72 : 24 = 3 24 : 24 = 1





26 caras: 6 de 8 lados 6 x 8 = 48 8 x 6 = 48 12 x 4 = 48

8 de 6 lados m. c. d. de 48, 48 y 48 = 48

12 de 4 lados 48 : 48 = 1 48 : 48 = 1 48 : 48 = 1

72 aristas Configuración de los vértices: 4, 6, 8

48 vértices






108

7. Cubo romo


38 caras: 6 de 4 lados 6 x 4 = 24 32 x 3 = 96

32 de 3 lados m. c. d. de 24 y 96 = 24

60 aristas 24 : 24 = 1 96 : 24 = 4

24 vértices Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3, 4

Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3, 4

8. Icosidodecaedro


32 caras: 12 de 5 lados 12 x 5 = 60 20 x 3 = 60

20 de 3 lados m. c. d. de 60 y 60 = 60 60 : 2 = 30

60 aristas 60 : 30 = 2 60 : 30 = 2








109



32 caras: 12 de 10 lados 12 x 10 = 120 20 x 3 = 60

20 de 3 lados m. c. d. de 120 y 60 = 60

90 aristas 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1





32 caras: 20 de 6 lados 20 x 6 = 120 12 x 5 = 60

12 de 5 lados m. c. d. de 120 y 60 = 60

90 aristas 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1


Configuración de la fórmula: 5, 6, 6


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Truncated_dodecahedron_flat.png



110




30 de 4 lados m. c. d. de 60, 120 y 60 = 60

20 de 3 lados 60 : 60 = 1 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1

120 aristas Configuración de los vértices: 3, 4, 5, 4

60 vértices





20 de 6 lados m. c. d. de 120, 120 y 120 = 120

30 de 4 lados 120 : 120 = 1 120 : 120 = 1 120 : 120 = 1

180 aristas Configuración de los vértices: 4, 6, 10

120 vértices






111

13. Dodecaedro romo


92 caras: 12 de 5 lados 12 x 5 = 60 80 x 3 = 240

80 de 3 lados m. c. d. de 60 y 240 = 60

150 aristas 60 : 60 = 1 240 : 60 = 4

60 vértices Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3, 5

Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3, 5




112

SÓLIDOS DE JOHNSON



14 caras: 6 de 4 lados 6 x 4 = 24 8 x 3 = 24

8 de 3 lados m. c. d. de 24 y 24 = 24 24 : 2 = 12

24 aristas 24 : 12 = 2 24 : 12 = 2





32 caras: 12 de 5 lados 12 x 5 = 60 20 x 3 = 60

20 de 3 lados m. c. d. de 60 y 60 = 60 60 : 2 = 30

60 aristas 60 : 30 = 2 60 : 30 = 2







113



26 caras: 18 de 4 lados 18 x 4 = 72 8 x 3 = 24

8 de 3 lados m. c. d. de 72 y 24 = 24

48 aristas 72 : 24 = 3 24 : 24 = 1






30 de 4 lados m. c. d. de 60, 120 y 60 = 60

20 de 3 lados 60 : 60 = 1 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1


60 vértices






114




30 de 4 lados m. c. d. de 60, 120 y 60 = 60

20 de 3 lados 60 : 60 = 1 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1


60 vértices





30 de 4 lados m. c. d. de 60, 120 y 60 = 60

20 de 3 lados 60 : 60 = 1 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1


60 vértices






115




30 de 4 lados m. c. d. de 60, 120 y 60 = 60

20 de 3 lados 60 : 60 = 1 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1


60 vértices




116

PRISMAS



5 caras: 3 de 4 lados 3 x 4 = 12 2 x 3 = 6

2 de 3 lados m. c. d. de 12 y 6 = 6

9 aristas 12 : 6 = 2 6 : 6 = 1





7 caras: 2 de 5 lados 2 x 5 = 10 5 x 4 = 20

5 de 4 lados m. c. d. de 10 y 20 = 10

15 aristas 10 : 10 = 1 20 : 10 = 2






117

3. Prisma hexagonal


8 caras: 2 de 6 lados 2 x 6 = 12 6 x 4 = 24

6 de 4 lados m. c. d. de 12 y 24 = 12

18 aristas 12 : 12 = 1 24 : 12 = 2



4. Prisma octogonal


10 caras: 2 de 8 lados 2 x 8 = 16 8 x 4 = 32

8 de 4 lados m. c. d. de 16 y 32 = 16

24 aristas 16 : 16 = 1 32 : 16 = 2



5. Prisma decagonal


12 caras: 2 de 10 lados 2 x 10 = 20 10 x 4 = 40

10 de 4 lados m. c. d. de 20 y 40 = 20

30 aristas 20 : 20 = 1 40 : 20 = 2




118

ANTIPRISMAS



10 caras: 2 de 4 lados 2 x 4 = 8 8 x 3 = 24

8 de 3 lados m. c. d. de 8 y 24 = 8

16 aristas 8 : 8 = 1 24 : 8 = 3





12 caras: 2 de 5 lados 2 x 5 = 10 10 x 3 = 30

10 de 3 lados m. c. d. de 10 y 30 = 10

20 aristas 10 : 10 = 1 30 : 10 = 3


Configuración de loss vértices: 3, 3, 3, 5

119



14 caras: 2 de 6 lados 2 x 6 = 12 12 x 3 = 36

12 de 3 lados m. c. d. de 12 y 36 = 12

24 aristas 12 : 12 = 1 36 : 12 = 3





18 caras: 2 de 8 lados 2 x 8 = 16 16 x 3 = 48

16 de 3 lados m. c. d. de 16 y 48 = 16

32 aristas 16 : 16 = 1 48 : 16 = 3





22 caras: 2 de 10 lados 2 x 10 = 20 20 x 3 = 60

20 de 3 lados m. c. d. de 20 y 60 = 20

40 aristas 20 : 20 =1 60 : 20 = 3



Documents

Mis fórmulas de poliedros - Aula Abierta de Matemáticas · Sólidos de Catalan: Sus caras son polígonos irregulares iguales. Son poliedros duales de los arquimedianos. Existen