Mişcări efluenteTimp de golireCurgerea prin orificii mari

Problema V.1.Să se determine timpul de golire al unui rezervor cilindric cu dimensiunile D=1,5

m şi înălţimea L=3 m în două poziţiia) aşezat verticalb) aşezat orizontal

Orificiul de golire are a=0,50 dm2

a) în poziţie verticală secţiunea transversală a rezervorului este constantă

b) În poziţie orizontală, secţiunea transversală este variabilă după cum se vede în figură, adică S=S(z)

Încercăm determinarea funcţiei S(z)

unde, prin teorema lui Pitagora

Cu această explicitare, integrala devine

prin substituţie de variabilă limitele devin

Revenind la relaţia finală a timpului de golire

În final, putem conchide că, acelaşi rezervor, în poziţie verticală se goleşte mai rapid.

Problema V.2.

Un rezervor sferic cu raza R=1,5 m se goleşte printr-un orificiu de secţiune a=0,1 m2, prin orificiul superior făcându-se aerisirea şi se evită formarea pernei vidate.Care este timpul de golire completă a rezervorului ?

Reformulăm

şi prin separarea variabilelor

După cum rezultă din figură,

A avut loc, pe cale geometrică, o schimbare de variabilă, noua noastră necunoscută este α. După înlocuire, problema devine o problemă de calcul trigonometric.

integrăm pe intervalul [0, π]

ne concentrăm asupra integralei

Variabila devine cos

deci, integrala devine

Problema V.3.

Un vas cilindric de diametrul D=2 m şi greutate G, pluteşte la suprafaţa apei, având pescajul h=0,5 m. Prin deschiderea orificiului de admisie de la partea inferioară , acesta începe să se scufunde.

Să se determine timpul de scufundare T scurs din momentul deschiderii orificiului până când pescajul devine H=1,5 m. Orificiul de fund are diametrul d=0,05 m şi coeficientul de debit μ=0,63. Grosimea peretelui este neglijabilă.

Iniţial,

În final,

Înlocuind pe G

Observaţie: Diferenţa iniţială de nivel este egală cu diferenţa de nivel între interior şi exterior.

Această observaţie permite calculul debitului de invadare şi stabileşte că acesta este constant în timp.

În aceasă situaţie, timpul se calculează uşor

Unde - volumul de apă care a intrat în cilindru până în final.

Problema V.4.

Să se determine timpul necesar ca nivelul suprafeţei libere din partea dreaptă să crească cu 0,8 m, rezervorul din stânga fiind nealimentat.Se cunosc ariile transversale ale celor două rezervoare S1=1,6 m2, S2=1,8 m2, iar diametrul orificiului din peretele ce desparte cele două rezervoare este 100 mm. (coeficientul de debit μ=0,7)

Rezervorul din stânga se goleşte

în timp ce rezervorul din dreapta se umple

explicitând timpul

Hinitial=2 mHfinal=?

Evident, volumul schimbat între cele două rezervoare se conservă, adică:

Diferenţa finală de nivel este

Au fost stabilite deci limitele de integrare

Problema V.5.

În peretele vertical al unui rezervor cu lichid, umplut până la cota H=4 m, se practică două orificii de secţiuni egale A1=A2, cel de jos (μ1=0,7) fiind situat la h1=30 cm (faţă de sol).

La ce cotă trebuie plasat al doilea orificiu (μ2=0,64) pentru ca jeturile lor să atingă solul în acelaşi punct ?Pentru orificiul inferior, ecuaţiile parametrice de mişcare devin

Ştim că prin eliminarea timpului între cele două ecuaţii obţinem ecuaţia traiectoriei (parabolă)

contactul cu solul se realizează pentru z=0, când x=L

Analog se construieşte sistemul pentru orificiul de sus

De unde rezultă

necunoscuta este h2

Ecuaţia de gradul II admite două soluţii :

Problema V.6.

Să se determine debitul evacuat printr-un orificiu mare, tringhiular, (triunghi isoscel), având datele în figura alăturată, respectiv următoarele valori numerice H=1m, b=0,5 m, μ=0,7.

Problema orificiului mare provine din cea a orificiului mic, în sensul că putem diviza acest orificiu mare într-un număr de fante orizontale, infinit subţiri, care respectă condiţia orificiului mic.Prin fiecare din aceste fante va trece debitul

Pregătim datele prin câteva observaţii geometrice

(Teorema lui Pitagora, unde b este înălţimea triunghiului)

(laturile egale ale triunghiului isoscel)

şi izolăm variabilele de integrare (z)

Debitul total al orificiului este suma debitelor dQ prin toate fantele dz “practicate” între vârful şi baza triunghiului.

se separă în două integrale

restul depinde de o corectă operare în paranteza acoladă în final, sub formă literară expresia devenind

şi după înlocuirea cu datele Q=0,2308 m3/sec.

Problema V.7.

Un rezervor cu nivel constant A ce conţine apă până la nivelul h=1,5 m, alimentează un bazin de mari dimensiuni B aflat undeva dedesubt, cu suprafaţa liberă la H=1 m sub fundul rezervorului A.Să se calculeze debitul de alimentare în trei situaţii.

a) debitul iese din A printr-un orificiu de fund cu diametrul d=50 mm şi coeficientul de debit μ=0,62

b) orificiul este înlocuit de o conductă verticală de lungime L până la nivelul apei din B (nu intră în apă în B)

c) orificiul este înlocuit de o conductă verticală de lungime L până la nivelul apei din B (conducta intră în apă în B).

Rezolvarea în cazul punctului a) este imediată

Reţinem valoarea debituluiÎn cazurile b şi c

iar pierderile de sarcină între 1-> 2 sunt exprimabile sub forma

unde este coeficientul de pierdere locală la intrarea în conductă (din rezervor) =0,5

- relaţia de calcul a pierderii conform teoremei Borda-Carnot (salt

brusc de secţiune), al treilea termen fiind pierderea liniară pe lungimea L.Factorizând pe

Revenim la relaţia energetică iniţială, făcând şi particularizările care se impun

de unde

sau coeficientul de viteză devine identic cu coeficientul de debit. Cu această relaţie se discută cazurile următoare.

b)

c) L>H (puţin mai mare)diferenţele apar la coeficientul de debit

Observaţie. Cele două debite cu conductă (acţionând ca un ajutaj, adică conductă scurtă), diferă neesenţial, dar structura coeficientului de debit este diferită.Ceea ce contează este însă lungimea conductei care vedem că măreşte debitul ( faţă de orificiu, evident).Lungimea conductei multiplică însă pierderile liniare, deci s-ar putea ca la un moment dat debitul să scadă, ajungând la valoarea determinată la orificiu (cazul a).

Putem pune întrebarea: Care este lungimea conductei pentru care

Relaţie la care explicităm L

conducta este scufundată departe

Problema V.8.

Pe un canal de ventilaţie sunt practicate orificii laterale pentru refularea aerului, având diametrul d=0,04 m şi coeficientul de debit μ=0,59.Să se determine :

a) presiunea statică în canal, în dreptul orificiului, necesară asigurării unui debit refulat prin orificiu de 20 m3/h.

b) Variaţia de presiune admisă între două orificii consecutive pe lungimea canalului, astfel ca debitele de aer refulate prin acestea să nu difere cu mai mult de 5%.

ρ=1,23 kg/m3 şi aerul, în această problemă este considerat incompresibil.

Rezolvarea) Expresia de calcul a debitului de aer prin orificiu păstrează forma cunoscută

deci, pentru asigurarea debitului impus, suprapresiunea din interior, în dreptul fiecărui orificiu, trebuie să fie

b) Atunci când prin orificiul 1 se refulează Q1 , iar prin orificiul 2, Q2 şi

implicit, exprimând debite în maniera cunoscută

aplicând proprietăţi ale şirului de rapoarte egale,

Pentru variaţiile impuse de debit, variaţia admisă de presiune între cele două puncte este 9,75%. Această discuţie poate deschide o importantă problemă practică : distribuţia debitelor de ventilaţie, având în vedere pierderile distribuite pe conducta principală şi modificarea permanentă de debit evacuat cu fiecare lungime parcursă.

Problema V.9.

Să se calculeze suprapresiunea p a pernei de aer de la partea superioară a recipientului din figură, care ar determina golirea lui de două ori mai repede decât atunci când suprafaţa liberă ar fi la presiunea atmosferică.Presiunea p (indicată de manometrul M) rămâne constantă în timpul golirii.În pregătirea relaţiei de calcul a timpului de golire, încercăm să formulăm expresia debitului în cele două situaţii.

I . suprafaţa la presiunea atmosferică p1=pat

Reproducând raţionamentul, în situaţia rezervorului sub presiune

Pornind pe această cale însă, prin substituţii succesive, rezolvarea integralei se complică, aşa că este preferabil să o rezolvăm în variabilele originale.

necunoscuta devine

Suprapresiunea în unităţi SI

Problema V.10.

Reluăm calculul orificiilor mari pe o problemă „unificatoare”, care permite compararea debitelor între diferite secţiuni de orificii şi particularizarea acestui calcul în cazul deversoarelor.

Să se calculeze debitele de lichid prin patru categorii de orificii mari (conform figurii) şi să se compare debitele între ele, în următoarele condiţii:

- toate orificiile au aceeaşi arie (A) şi aceeaşi înălţime I=2R;- distanţa H de la suprafaţa liberă la marginea superioară este aceeaşi, şi

egală cu H=4R.

În cadrul problemei V.6. am determinat expresia generică a debitului printr-un orificiu mare.

Particularizăm pentru cele patru tipuri de orificii:I. Orificiul circular

II. Orificiul dreptunghiular I=2Rşi latura b(z)=L=const

III. Orificiul triunghiular cu latura B (superioară) şi înălţimea I=2R

IV. Orificiul triunghiular cu baza B (inferioară) şi înălţimea I

Compararea debitelor nu se poate face decât compactând relaţiile anterioare prin indicaţiile din enunţ (egalitatea ariilor, I=2R)

B (baza orificiului triunghiular)

Având în vedere totodată că H=4R se obţine pentru

I. orificiu circular

II. orificiu dreptungiular

III. orificiu triunghiular cu baza sus

IV. orificiu triunghiular cu baza jos

Concluzie. Debitul creşte dacă în aceste condiţii orificiul are cele mai mari valori ale lui b(z) la partea inferioară.Dacă orificiul triunghiular cu vârful în jos este ales etalon, (100%) celelalte vor avea următoarele debite relative :

- orificiul circular 103,5%- orificiul dreptunghiular 103,5%- orificiul triunghiurilor cu baza în jos 106,9%

Observaţii:Integrala debitului în cazul orificiului circular este mai dificilă, dar se poate rezolva prin substituţia trigonometrică

În integrala de forma

Se dezvoltă în serie

Problema V.11.

Să se calculeze debitul teoretic de lichid prin orificiul trapezoidal din peretele înclinat al vasului (vezi figura).Particularizaţi rezultatul pentru :

a) orificiul triunghiular cu vârful în josb) orificiul triunghiular cu vârful în susc) orificiul dreptunghiular şi peretele verticald) deversorul trapezoidal în peretele vertical

Elementul de arie este

Integrală fără dificultăţi (sumă de integrale)

condiţia de particularizare pentru a)

b=0

condiţia de particularizare pentru b)

B=0

condiţia de particularizare pentru c)

b=B şi

condiţia de particularizare pentru d)

Bibliografie

ANTON, Liviu; BALINT, Daniel; BAYA, Alexandru; BĂDĂRĂU, Rodica; BĂLĂŞOIU, Victor; BEJ, Adrian; MILOŞ, Teodor; MUNTEANU, Sebastian; RESIGA, Romeo, STUPARU, Adrian. Mecanica Fluidelor, Maşini Hidraulice şi Acţionări. Aplicaţii de calcul. Editura orizonturi Universitare, Timişoara, 2004

IAMANDI, C.; PETRESCU, V.; SANDU, L.; DAMIAN, R.; ANTON, A. ; DEGERATU, M. Hidraulica Instalaţiilor. Elemente de calcul şi aplicaţii. Editura Tehnică, Bucureşti, 1985.

ANCUŞA, Victor  - Culegere de probleme de Mecanica Fluidelor şi Maşini Hidraulice, ediţia a II-a, revizuită şi completată, Universitatea Tehnică Timişoara, 1993

FLOREA, Julieta  ; ZIDARU, Gheorghe ; PANAITESCU, Valeriu – Mecanica Fluidelor - Probleme, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1976