mitactoro 2

! A

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L

*

T O M C O S

M C A L C U L O

V O L . H

ÍNTEGRAL INDEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA

j COORDENADAS POLARES

RECTAS Y PLANOS

SUPERFICIES

MAXIMO MITACC MEZA LUIS TORO MOTA

4

T O P ! C O S D E C A L C U L O

V O L. t!

MAXiMO MiTACC - LU!S TORO MOTA

IMPRESO EN EL PERU PRINTED IN PERU

Prohibida !a reproducción totat o parcia) por todos

tos medios gráficos.

tmpreso en !os TaHeres Gráficos de !a [mprenta: !MPOFFOT

P R O L O G O

Este es el VOLUMEN II de nuestra serie TOPICOS DE CALCULO. El objetivo del presente, <es introducir las ideas básicas del cálculo integral para funciones reales de una variable real y la geometría analítica

en el espacio? usando un lenguaje simple pero riguro-so.

De manera similar que en el VOLUMEN I, SE TRATA que el contenido de este libro se adecúe a los pla-nes de <2studios de 1 os estudiantes de Matemática, In-geniería, Física, Química, Economía, Estadística, etc

El contenido del libro se ha dividido en siete ca-pítulos que pueden ser agrupados en tre^ partes:

PARTE I: INTEGRACION, del capítulo 1 al 4, comprende: Int eg ra 1 i nde f i n ida, i n t <2 g ra 1 de f ini da, i nt e gr a 1 i m-propia y aplicaciones de la integral. En estas apli-caciones se pone enfasis a 1 a so1ución de problemas ci <3 á rea s, vo 1 úmene s, long i t ud cita a reo, á reas de s u-perficies de revolución, centros de masa de regiones ¡31 a na s y a 1 guna s ap 1 ic ¿a ci one s en ec onomí a.

Hemo s v i s t o la c o nve n i ene i a de de sa r ir o 11 a r pr i me ro la integral indefinida con el propósito de familiari-zar al estudiante con las técnicas y/o artificios de int eg rae ion <3 ti e lúe go s er án us a do s en lo s c ap ít ti lo s siguientes (integral definida, integral impropia y apiicaciones).

PARTE II. COORDENADAS POLARES Y SUS APLICACIONES, (Ca-pítulo 5).

PARTE !H. GEOMETRÍA ANAL!T!CA EN EL ESPAC!0 TR!D!MEW S!ONAL (CepíaJoe 4 y iaicie coa te iatroduccióa breve de íoe vector ea e! f^îf) tFMfHWMf ítaa! y eecoaüaúe coa rectae, pteaoe, MperCc e y ee eoaduye coa !ee gwdeeadea eHadhcae y eeHhcee

Nucíüv pwpó<#a ee, que eeíe Ubro ao eage enwee, pero ana un exiome que oda Hbww de xMtnmáUca preeeane errofee, por te! moüvo, coMideremoe que eeta t&t* ae eee te excepción ao obeteate t* ewnefo y !a dedkadóa puesta pa** d)Hctay!oe y conegiftoe eaee de aqweeíóa Ba te! :catido, íoe aaMwee tMepMÜmoe ta reepoaeabiMed de aávaoe, adarando que dichos ewvee bea aüíe cownetidoe aotameate por uao de toe autores

FMbacaêxpreean^ nuestro agradecávüen^ sones que directa o íadhactamente coathbuycroa e ta tteMzacióa de e$te Ubm

Leg AeÉewte.

INDICE P6g.

M P I U M 1 IMEGMMb INEEPINlDh

Antáderivada $ Integral Indefinida .. . .............. 1 Bcqpladadea de la Integral Indefinida . 5 Integrales Inmediatas í BStodoe de Integración 13

Integración por Sustitución o QmMo de variable 14 MStcdo de Integración par Partea ....... 26

Artiíiclce de Integración ^ / 37 Integrales de Algunas Funciones que contienen un TSdncnda Cha -drado 37 Integrales de Algunas Funciones Ttigooocétricas e Rip^bÓltcas 41 Integración por Sustitución Ttlgünom&rica .. *. , 58 Integración de íUncione* Racicna3es ... .. 71 Integración de Algunas Punciones Irracionales $7

integrales del Tipo J ^

Integrales de la 3Kmma j . ^, n# W 90 (x - + qpt + Jr

integrales de la F t a á ^ + hK 4 c)dx M

Integrales de la TtaaM^ (a

Integración de Punciones NMicnales Mgcnonétrâs 10$

CAPITULO 2 BnBGRM. EEPIMIDA

SUMtorias 119 calculo del área de txn región Plana por Senatorias 127 Sucas Superiores y Sumas Inferiores 137 Integrales Inferiores y Sqperiox*s 141

j

Integral de Kémam ..,,. 142 Rrcpieáades de la Integral Definida 146

Fundamentales del CAluulo Integral 148 Cambio de Variable en una Integral Definida 158 Integración por Partes en una Integral Definida 164 Integración de Funciones Discontinuas 165 (Alalia Aproximado de las Integrales Definidme 176

l!pr&ádmae3áR pcar í ectán uLoe * , 3.7 ¿ ^üd-* acA in por Trapalca - 177 prmdjB cidn por Ttapectoe (JFÓomjla de Si pecn) 178

CM>nuL& 3

IMBGRMS MKyÂS Integrales Bqprnpiaa con limites Infinitos 134 Int&gralaB Impropias oon lámttes Mnitoa 187 Integrales spccpias con Integrandoe no Negativos 195

WIirLÔ 4 M CCASOíES SE IA INTEGRAL nBTMDR

Areá de Regiones Planas 201 Wal anen da un Sólido en Fünrián de laa Areas de sus arciones TYansvertalas ... 217 Plumeo Je un Sdlidp de RsvoluciCn . — — 232

tgtodo del Disco CLrcular y del Anillo Circular 222 Método de la Corteza Cilindrica 229

Longitud de Arco 241 Area de una Superficie de Rawolucidn 248 Mamantee y Centres de Masa (o Cantaros de Gravedad) 256 Osntro de Gravedad de una Región Plana 258 aplicaciones de la Integral en la A rtinistracián y la Economía 273

*

&toadente del (Bnsumidar 272 BMedente del Productor 272 Otras Jplicactcnea 275

CAPITULO 5

CCCRHEXMRS PCMRES MLadcnas entre las Oxrtdenadas Polares y las Coordenadas Rectangulares 283

Distancia entre dos Puntos en Coordenadas Polares * 284 Ecuación Polar de una Pacta 285 Ecuación Polar de una Circunferencia 287 Discusión y Gráfica da una Ecuación Polar 288 Intersección de Curvea en Cbapdanadas Polares 294 Derivadas y !&ctas Tangentes en Coordenadas Bolaxes 297 ángulo entre dos Curvas en Coordenadas Polares . 301 Areas en Coordenadas Polares 309 Lcngitud de Arco en Coordenadas Polares 314 Volunai de un Sólido de Revolución en Coordenadas Polares 31$ i

CAPITULO 6

KK2BS Y PUMOS BW EL ESPACIO TKEKMBtSICNM, Espacio Vagtorial de Dünensión Tres 321 Vorrtores en el Espacio Tridinsnsion^ * 321

Paralelismo de Vectores ... 324 M5dulo o Lcwigitud de un Vector * 324 Producto Interno o Escalar da Vectores, propiedades 325 Qrtogonalidad o Perpendicularidad de Vectores 32$ ángulo entre dos Vectores . 327 El Producto Vectorial? 327 Jplicacicnas de los Vectores: Area de un ParaLelogramo, de un TMángulo, Volumen de un paralelepípedo, de un tetraedro, Distancia entre dos Puntos, División de un Segmento SegUn una !6zán Dada 329

Rectas en el Espacio 333 ángulos. Cosenos y NGmeros Directores de w a Recta 333 Ecuaciones de una Recta 335 !&ctaa Paralelas 337 ángulo entre des rectas-rectas perpendiculares 338 Distancia de un Punto a una Recta 339

Planos 345

Ecuaciones da un planea WBetcrial y Paraa ttica 345 Ecuación General de un Plano ^ Planoa Paralelca a IntaraecciCn da Planoa 349 Matancia da un Punto a un Plano 354 l&gulo entra dea Planea 359 Proyección Octogonal da una Racta aohre w Plano 360 Angulo entra Pacta y Plano * 362 Distancia MXniaa antea resta* 365

C A P I M D 7

384 * *

atac%ai6n y Orifica da la Beuaetán da una Supearíicie 1. 309 *

Cilindros .... 394 Superficies da Revolución 399 Superficies Ciádricaa 404

Elipsoide +05 Hiperboloide ZUptico (o Cir miar) de una Hoja ............ 495 Hiperboloide Elíptico (o Circular) de dea Hoja* 406 Paraboloide Elíptico (o Circular) 403 Paraboloide Hiperbólico 409

*

Cono Elíptico (o Circular) 410 Coordana3aa OUÍndrlcaa 412 OExzdenadaa Baféricaa 414 J plicacicnaa 416

1 H I N T E G R A L I N D E F I N I D A

A

1.1 INTRODUCCION El verbo integrar es usado en el cálculo cano uno de los significados

matemáticos siguientes:

i) "Dada una funrion f, definida en un intervalo I, determinar una función F cuya deriv ada sea igual a la función f, es decir

F' (x) = f (x), V-xe I"

ii) "Dada una función f, definida en un intervalo I, calcular el límite de sumas de determinado tipo, construicias para f en el referido intervalo"

la operación en cualquiera de los dos casos se denomina integración. El sentido matemático del segundo caso es ampliamente ilustrado por el cálcu lo de áreas limitadas por curvas, volúmenes de sólidos, longitud de una cur-va, trabajo de una fuerza y muchas otras aplicaciones. los dos tipos de in tegración son llamados, respectivamente, integral indefinida e integral defi nida.

, *

1.2 ANITDERIVADA E INTEGRAL INDEFINIDA

1. Sea I un intervalo f: I !H una función. Una función

F: I" tal que F'(x) = f(x), V x ^ I se dencmina primitiva o antiderivada de f en I y se escribe

F(x) = Antíf (x)) en I

-2-

f/í7nrp/o j. Sea f (x) = 4x , x<=: <R y g (x) = <a*, x<s CR.

Las funciones F (x) = x** y C (x) - e* * x <== !R, son respectivamente antiderivadas de f y g en R, es decir *

x" = Ant (4x*) en tR, pues (x")' = 4x , V x<S CR

e^ = Ant(e^) en ¡R, pues (e )' = e*, V x e R

Otras antiderivadas de f (x) = 4x son, par ejemplo

F (x) = x" + F^ íx) = x" + In F (x) = x** + L ,

pues sus derivadas son iguales a f (x) = 4x*. x Análogamente, otras antiderivadas de g (x) = e son, por ejenplo

G (x) = e^ - 1 , G (x ) = e^ - e^ , G (x) e^ + , G (x) = e^ + a

donde ¿ es cualquier constante real.

Si F(x) = Ant (f (x)) en I, entonces F(x) + C, donde C es una constante real es también antiderivada de f en I.

Esta servación es evidente? pues si

F(x) = Ant(f (x)) en I,entoices F' (x) = f (x), V x<5 I.

Tanbién (F(x) + C)' = F' (x) = f (x), V x ^ I, entonces F(x) + C = Ant(f (x)) en I. Una pregunta natural tas;: Si I?(x) = Ant(f (x)) en el intervalo I. JCualquier otra antiderivada de f en I, difiere de F en a lo más una cons -tanta?, es decir, si F^ (x) = Ant(f (x)) en I, entonces

*

F (x) = F (x) + C, V- x 6? JE. La respuesta es afirmativa y se deduce ele! la siguiente proposición. Proposición í. Sea f: I !R, I ua Intervalo y F: I -+tR una antiderivada o

primitiva de f. Si F : I !R es tanbién una antideriva-da da f, entonces

F (x) = F(x) + C para alguna constante C. Dgwcs&acidn. Definimos la función H por H (x) = F (x) - F (x) ,

intOMXíS H' (X) - PJ (X) - P* M . V XW I

- f(x) - f(x) , í

- o V x * I

luego

t aquí dadadatoe que H(x) - C , V x at constante (ver CCMiaarAo I pAg. 249 TOPICOS tB CAinnD VCL. I). Ea decir F (x) - F{x) - C A A (x) F(x) + C V x€C I, para alguna constante C. significado gecwétrico da esta prcposicián ea que ai F(x) - Ant(ffx)) en intervalo I, cualquier otra antiderivada de f en I ea usa curva

m gráfico de y - P(x) (Pi?. 1.1).

Fi?. 1.2 Depnlcfdna Si y{x) es una antiderivada de f (X) en I, la integral indefi

nida de f (x) ea el conjunto de lea antiderivadaa de f (X) en

îcô intervalo y ea denotado poar f (x)dx ^ ea decir

i f (x)dx -lP(x) 4 c c a !R} donde C ea wa ocnstant* que

a nne cualquier valor real. C ea llamado constante de integración En lo que sigue eacribinanoa

Jlt(x)6t - F(x) + C

donde F' íx) " f (x). &i este caso f (x) ae denomina integrando f (x)dx se liama elonento de integración, el símbolo ! sp denbnina símbolo de la in tegr¿ü y x ea la variable de integración. A S f (x)dx tanbién se lee "Int jral indefinida de f (x) diferencial x".

2. De la definición 2 ee deduce las siguientes propiedades: r r i) :j¿(x)dx) - (j f(x)dx)' - ÍF(x) + C)' F'(x) - f(x),

es decir "ta derivada da la integral indefinida es igual al inte grando", 6

(Tf(x)dx)' - f(x)

- < f ii) d() f(x)dx) - (! i(x)dx)'dx - f (x)dx ,

es decir "La diferencial de la integral indefinida es igual al ele mentó de integración" 6

d (! f(x)dx) - f(x)dx

iii) Si f es una füncióh derivable en I, entonces una primitiva de f' es í, luego:

íf'(x)dx - f(x) + C

iv) Coso d(3(x)) - f (x)dx, de (iii) se deduce

Jd(f(x)) - f(x) + C De (ii) y (iv), la integral indefinida, también puede ser interpretada cono una operación inversa de la diferenciación, teniendo en cuenta que cuando actúa a la integral indefinida en la diferencial d(f(x)) repro duce la función f (x) mSs la constante de integración.

JEpempáo Z Del ej arpio 1, ae deduce

e*dx - e* + C

ii) ^4x'dx - x" + C

En la figura 1.2, se nuestra el gráfico da las antiderivadas de f (x)-e*. ,-c decir de F(x) - e* + C donde C es una constante real. Si C > 0 el fótico de y = e^ se desplaza hacia arriba C unidades y si C < 0 se <

< pplaza parelelacente hacia abajo - C unidades.

coro d(x lnx-x)*lnxdx déla obs 2-iv, se deduce

J^d(x ln x - x) - J^ln x d x ^ x l n x - x + C

f dx 1 J 7 1 V ?

4. t - y arctg y + C ,

! 3 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

Aposición 2. Si f y g son funciones que admiten antiderivadas en entcn ees lo misno sucede con f i g, k f donde k es constante y

ne tiene:

a) y&íx) ig(xndx-yf(x)dx*yg(x)dx

b) Ek f (x)]dx - k j f (x)dx, k - constante

i mostración.

a) Cono (j [f{x) i g(x)]dx)' - f (x) i g(x)

6-

(^f(x)dx ± g(x)dx)' * (j*f{x)dx)' i ( jg(x)dx)' - f(x) i g(x) ,

pur tanto j (f(x) i g(x)jdx y fx)dx i sen las inte-

indefinidas de f(x) i g(x),es decir el oonjwto de las antideri-

vada& f (x) i g(x) ? por tanto

¡t!x) i g(x)]dx-j"f(x)dx i g(x)dx

ib) La demostración queda como ejercico para el lector. De la parte (a) ae deduce que la integral indefinida de una suma al ge br Jíca de varias funciones es igual a la surra algebraica de sus ie^.

Fje^^ ^ f (e* - 4x + In x)dx = fe^dx - j*4x^dx + j* 3ji x dx

i (e + C ) - (x + C ) + (x ln x - x + c )

<* e* - x" + x in x - x + C donde C C - C + C

En esta ejemplo, hamos usado los resultados obtenidos en los ejemplos 1, 2 y 3. En lo que sigue solamente usaremos una constante de integración para la auna de 2 <5 irás funciones.

1.4 INTEGRALES MMHMATAS

Si conooanos f' (x) , por la observación 2 - iü, se deduce que

(x)dx = f(x) + C 6 S d(f(x)) *= f(x) + C

Esta integral asi obtenida se denemina integral inmediata. Por ejemplo una

integ; rdL inmediata es j dx = x + C. En seguida, vamos a dar una tabla de

integrales inmediatas, que contiene, además de las integrales cié; fureianes

-7-

. kmoriíaíes, otras que serán de mucha utilidad. Par comodidad, en lugar de a * variable x usamos "la letra u, más adelante veremos que tí puede ser una ft unción es decir u = u (x).

FORMULAS ELEMENTALES DB B m E G R A O O M

du - u + C ln¡v] + C

^ ^ u du - HLÜ- + c , R / -1 4. f e^ du - e^ + C n + 1 J

du - eos u + C C 6. ^ sen v

coa u du * sen u + C 8. ^ tg u du - ln)cec u) + C

ctgû du = ln¡sen u] + C 10. J* sec u dü -= lnjsec u + tg u) +C

n. J*csc u du - ln)csc u - ctg u] + C

sec u du - tg u + C 13. cac u du - - ctg u + C

. J* sec u tg u du - aec u + C 15. ese u ctg u du - cac u C

16. j^senh u du - coah u 4 C 17. coáh u du - senh u + C

í8. ^ t ^ u du - lnjcosh u] + C ^ u du - tgh u + C

JO. csch*u du - - ctgh u + C 21. ^ seeh u tgh u du - - sech u + C

B-

¡ csch (3 ctgh ti Jh3¡ ** - csch u + C

f du ¿ a —— i & u - arctg -- + C, (a > 0) a

r i : - a

jáu & - u 2T ^

26. QU -á* /T

- + C, (a > 0) a

2?. j" du ^ i a'

lnju ^ i + c

28 f du A J / f " " * *

M . + C, ía > Q) &

29 ' jâ* - u* du * - u^ + a* arcsen R j + C ; (a > 0)

30 . ^^ + a* du - y [u /u l a a^ + ^ + a*) + C

31. - a* d¿ - í [ u ^ - a' - a' H]u + - a' ) + C

Cada una de estas f&milas se pueden verificar mediante la derivación (res pacto a la variable ti), Por ejemplo, en el caso de la fórmula 24, se tiene:

i-r jL L j . — i -Xa[u - a u + aj ^ _ a

En el caso de la fórmula 18, ae tiene

sehh u ^ ( ^ ^ S h u t ) . S ^ - t q h U

de donde J^tgh u du lnjcosh u¡ + C

fjempt¿> d CñlaUay J (6x* - x* + 3)&t

-i--6 ! x dx - S x'dx + 3 dx

6 ^ x ^ x - y- + 3x + C (aplicando laa fdaoaulas 1 y 3)

C mpío 7 Calcular - *dx Solución CCmo f2- x)dx

át) 'dx - 2 j^dx - x^dx + xdx

2x - 2.2 + y- + c

-10-

^wpô & Calcular 3x* - 6x* + dx

Dividierx3o tácnino a término y aplicando les propiedades de la integral se tiene

3x* - + dx - 3 J \ ' d x - 6 dx

x' - 6 ln x

isa los ejemplos anteriores, el en tratar de desccnponer el integrando

y

hallar las integrales consistió * . coso la suma algebraica de varias fun anunciadas en la proposición 2!. Este ciones y luego aplicar las propiedades

método es llamado taStodo de integración por desccnposición". En funciones, "desccnponer la función tari snaas parciales" no es tarea fácil, de penda de la experiencia y habilidad del que calcula.

A Calcular f dx J serh*x oosh*x

Como cosh x - ser x senh x coc^^x senh x oodi x

x - x ,

r , J senh'x aash*

csch x dx -j^sech^ x dx

- ct i x - tgh x + C

Qwwpío J0. Calcular &?¿*MH<tn

r + ^

J x (x + 4) dx

Se dDserva que: x^ + 2 - x* + (x + 4 - x^) - [(x* + 4) 4 x*]

-11-

2 . ¿ 1 f x' + (x* + 4) ^ 1 f <3x 1 fdx

aretg T t + § [j^] + C

V'. / wpío ií Calcular 1 * 1 dx J - 9)

x' - 5 - x' íx - 9 - X*) - ^-(x* - 9) + ix*

r i x'+^(x'-9) 4 r áx 5 fdx

^ ^ iJ2L+3) ^ 4. r

2 ^ t x + 3 ) 5 x -3* 4 C

JE/**np<bi2 C&lcular I f 3 dx x^ (x* + 5)

SohícMa 3 - (x' + 5 - x*) - + 5) - x' ,

-12-

Sea f s - <R una función contigua en tales que

f(0) - ? y f' *

Oatearminar f.

f' (X

1 , 1 . X

Bi - * < X < C

ai 0 < x < 1 , si x > 1

, ai x C < - i > , x 0

, ai x > 1

f(x) -x + C^ ai x 4 0 x + C^, si 0<x^l X + C , ai x > 1 !

4 Por continuidad fíO) - f (0 ) - f(0 ) 2 - C

ytanblén f(ll - dcnde 1 + C, e + C^ '

C - a - 3

06semccMw 3 Una identidad útil en el proceso de integración

i . ^ L L - + I — y 5T[a - u a + uj a - u

^ p b 14 Calcular

dx x - 9

^ e

" Wf ¡5 Cdlcvlmr ! ? I dx r x' 13

dx

+ 9 dx + 4 '

+ 9 + 17 3n(x + + 9)j + C

! S METODOS DE BHBGRAC!ON

Antes de dar los nétodos <3*3 integración: Por sustitución o cambio de ^ table y por partes, es necesario hacer notar una diferencia esencial entre ' .; foraciones de derivación y de integración indefinida. Dada una función

<!* ntal (función <313*3 se obtiene mediante un número finito de qperacicnes H cíón, sustracción, nultiplicación, división y composición cié* funciones* :< . ..<

v ^ funciones: constantes, potencia (y- - x ), exponencial (y - a ), io-

i f ífuca (y = log x), trigona^tricas y trigoncmÉtricas inversas), su deri - ' < itintiene esta propiedad, es decir, tanbién se expresa corno una función - < -t R al, mientras que en la integral indefinida, esto solamente sucede en *tiriones muy especiales. De hecho es posible escribir integrales relativa f simples como

j A + x dx , y sen(x^)dx. j*ccs(x')dx

dx

11 -nales no pueden ser expresadas tari términos de "confinaciones finitas" ' i** xies elementales. Del punto de vista práctico, la integración se pre

14

sonta co!ao 'una operación mis complicada que la derivad en cuazito se tic--ne reglas generales de derii ación? para la intí-jgr.n -i6n es posible hacer artificios que son validos para clisos p. irLíci J o i,leños r^s -trictas de funciones. Cada caso particular rns.Ay ^ ui,a tentativa t pcr lo que reoc%nerAdamcs práctica, más práctica y ) y.r tí^,

DVÍEGRA-CÍON P O R SUSTinJCÍON O CAM'.á^ O E V-'TJUÁRLE

Este método esta basado en la regla de JerJ*".-íói- <Jr i.! íjj'ción ccxn s--ta. Coda la función f: I -+ fR, queremos calcular f (x)íi*.

Supongamos que se hace un cambio de variable en el el<nn nu > integración.. haciendo x - ít)

ccxi : J I una fur ción oon . v ' (') / t-s: J. Si la función g(t) = f (- (t) ' (t), t er J

a&nite una prii-.iil'.iva G <211 J, esto es

G (t) = g(t) = (t), V t^ .

se tiene J f(x)dx (1)

=yg(t)dt

= G(t) + c = (x)) C

Dôs&ccicft Para denostrar es necesario que las derivadas respecto a x, ce ios dos nu.em-bros de (1) sean iguales.

En efecto: ^ (J"f(x)dx) - f(x)

Por o ro lado, o to ít) 0 . V te: J, tenenos oi3e (t) tiene solamente un signo tari J. Luego <p es función monótona estricta en J y admite inversa

t - * (x) ; l> ': I ^ J y T- -QX dt

Por la regla de la cadena ae tiene ^ - -gX- - / por tanto

dt

Las otras igualdades son evidentes.

0¿?sarP4K3<%M. Para reMRir loa resultados obtenidos ai en la integral

f (x)dx, ae reenplaza x - (t) y 6ano dx - y' (t)dt, ae verifica

f(x)dx- f( (t)) '(t)dt .... (2)

vvyií se sobreentiende que la función tp tiene las condiciones indicadas ante-r to33ix=an!:e que después de la integración la variable t será reenplazada por ^ expresión en función de x, teniendo en cuenta <3116* x *= s? (t). la elección * la función x i? (t) debe hacerse de modo que se pueda calcular la inte-gral indefinida que figura en el segundo miembro de igualdad (2).

fJ&AaTMOtdw. En ciertos casos es preferible elegir la sustituci&n de la va-riable en la forma t = (x) y dt = (x)dx.

Calcular ^ (x* l)*3x*dx

SoÍMCldA si t = x* + 1, entonces dt 3x^dx, y potr tanto

-26-

^x* +1) .y t'dt. ^

7 7. Calcular la integral ! * - dx

Si t - x^ f 1 , aa tiene dt - 5x"dx t

X. ^ calcular la integral ' ** r

X X Si u * e , ae tiene, du * e dx, luego

t

5 arcsen u + <2 * 5 are sen (e*) + C

/y. calcular I - f -SSÉUL59gLJL & J (1 + aenh*x) \

SohicMn llamando ti * 1 + aehh''x se tiene du * 2 senh x oosh x dx

f ? ir-* i u"' + c 1 - , + c

6(1 + senh'x)

êmpío 20. Calcular I -Í ^Tdx

en^Tdx r arcsent Tdx \

-17-

h/tciimdo u - arcaanû as tiene du 1 dx /L - x

luego — í 2u du - u* + C

- [árcaen c] + C

Oínfwddn. Bn ciertos oaaoa, aa naoaaario realizar algunaa cperacionea en al Integrando de tal manara que el canhio de variable aea mía fácil.

21 Calcular I J^ ^ + + á + 2 ooa(5 c 4) . x^dx

Por identidad trigcocnétrica coa

coa(5 c*+ 4)j x*^ dx

2

Si U S*St + 4 8

e

5 ae tiené du - x dx

E tmpb r^lnüar I f x dx J e^(l - x)

Soiiiádn

I = r y ^ . r

-M-

ai u - e* - xe*, entonces ¿b - - xe*dx, luego

i - - ! c - ^ c 3? - x)

(x + 1) .4* + 1

X X X

Si u - x + i , entonces du - (1 - d x y u* - x' + — + 2 ,

f ^ -^-arcsec-^L+C

^T i5)x]

_ r x + 2

(x- 2)" ipHHpbZ* C^lcâr I - ) " " dx

u - x - 2, as tiene du - dx, luego

I -i

u 4 3x 4 2 - — - y u + C = - - + C 2 ^ 6(x - 2)*

E/empb 23 Calcular I = ¡ ^ ^ ^ + x' + ^ T T W

-19-

I - ! 'T ^ Y' ^ y llamando +

; X dx ** - * du - '

í /r 2 ^ C - 2*4 + *%* + 1 + C

%pe;pio 26. Calcular I *

i aciendo u *= + 4, se tiene u - x 4 y dx 2u du, y

y (u - 4)u 2u du (2u - 8u )du - + C

B F B R c : c : o s

. 3)dx A.

Tíx + i)dx R. y ^ ^ c

,3. ! ^ . n. 4 arasen C - x

4 . j ÉE 1 lat-JEl-t c ^ x (x - 8) ^ x^ - 8

r 7x* + 16 J x" + 4x*

dx

r M dx J

I—-i X + 1 ^ C

7. r ^ ^ J x^ + 4x -

R. yin x - 1 x + 5 + C

6 dx 4x - 2Qx - 9

9. J /- 4x - 12x - 5 dx

R. 2 arcaen —r^-- + C

R. 4 3) - 12x - 5 +

,31 4 4 arcsen — - i + C

25 ^ iñ V - ^

11.

12.

p senh x dx (1 + aoshx)'

r $L ^ cos'a - 4x)

R. -2(1 + oosh x)

4 C

R. - tg(l - 4x) + C

13) { cos(7x + 4)dx R. y aen(7x + 4) + C

14. ! e^-^dx

(ln x + l)e*^*dx R. x + C

i6. r - ^ L J x in x

-21-

; , R. - } (etg x - + sen*x yebo x - 1 C

j l 5 ? ^ R. i . ^ ' * *

coa x

a t — 3 — á x R. -RÍ3—-L.+

! — R + A + x*) + C ^ x*)ln(x + /i + x*)

,3. , x x m x ' + 1) + 1 ^ . " c t g x ^ l ^ , ^ ^ 1 + x* *

aarctg x +C

J 1 - ae x . ^ aan^x

dbs ^ 1 lOx R. -yg-tg 5x 4 C

^ — 3 * ^x + i - ^T

27. J <3* R- - y (X - 1) 4 c

22

29 j x (la ^ R. ^ C

+ x* - -

r ^

- dx

^ yíí - 1 +

R* arcaen 2 *

c

A. Y [jx + 1)*?' - (x - 1)^*] ^ c

31. f - ^ í J ^ + ^ ea x R. te? x - aec x + C

r v j

36 -1 4x

dx R. ^ 4 - * (2x) C

. 2 ia* x) i r

f dx 3

A- ^ ^ ))} c

33. J ¿x r ^ - 1

R. 2 axctg 1 + c

36. sen x

R sen x

37. dx 4 5 33S*X

SU ^ arctg (L^-r) + C

38 # dx ^ 4 + 5 sen x

a. - i 6 ^ c

39. dx J

R. - ^ lA(l + 4 C

-23-

-in. ín 3x ax x JLri 5x R. In g- in]ln 5x¡ + In x + C

Q + ^ + 1) " t /iníx + ^ 1 +

dx x

R {Liíx + + i)]^ + C

4 sen x dx R. - 2A - sen x + c

ib eos x dx R* 2¿í - eos x + C

r dx i *x J e + e

R. arctg (e ) + C

r dx

^ //x -i- ^ R. - 4(¿r+ 1)^ + c

arctg^T ^ ^ + + X

di; R. aíctn^} + C

(x - 2)dx xi¿x - 1 r: ^ - X + 1

R. ¿ aresen t r ) + C x

Sug. Hacer u = t 'x - X 1- I

.' t' x (sen x + x cós x ín x)dx R. + C

11 r s dx e^" ^ ¿íñ x + ¿Lri x + *... + te - x

R. An x + fin 3: + . c* C

(, t oos 6x + 6 eos 4x + 15 eos 2x + 10 . oos 5x + 5 eos 3x + 10 eos x

R. 2 sen x + C

r -24-

r J 3en(3x)áx 3) + aen4x

R ^ C

52 1) sen x oo& x)

R. - i + tg x + C

53 f /¿ácJL^ÍSLX ^ V V ^ X tg X R. Injaec x + txj x¡ - (aec x) + C

54 x dx . - y^csc x ctg x 4 in jcsc x - ctg + C

55. J sac* x dx ájrílnt ] aec x * tg x[ 4 sec x tg xt + C

$6 ^ A ^ (

dx R. - - + + C

dx x'- 1

R. e ^ + í + x^) arct^ x + C

58

59

! x dx J -1) ^

f ^ ^ 5 T X . - X - 4e

dx

R. - + C

R. ln C

60 ln x dx (ln x - 1)*

R. - 1 (ln x - 1)

+ C

61 4 dx eos x/1- sen 2x 4- 2 cos*x

R 4 ln] (tg x - 1) Ág^x-2tgx + 3¡ +C

. y - ....

j (4 - 3 ln x)-'á(ln x) R. - y- (4 - 3 x) -f- C

4 arct? ^ + C

64

e^ + 6

s ^ ^ R. íin]csc2x-cte2x]+tgx + C

66. una función í: tR -+ R, tas; continua en !R y satisface:

f (0) - - I y f (x) - iJljLÍL.. Hallar f (x) ^ x^ + 1

x - , si x 4 1 R. f íx) =

ln(x" + 1) - arctg x - In 2 , si x > 1

(57. Hallar la ecuación de la curva para el cual y" y que <333 tangen-

te a la recta 2x + y - 5 en el punto (1,3).

68. Hallar Iba ecuación de la curva cuya tangente en el punto (0,2) es zantal y tiene punto de inflexión tari (-1, ig- ) y y"' = <4

R. y = y x * + 2 x * * 2

X +Vi + X 69. Encuentre la antiderivada de f (x) = — , de modo que dicha an-

H T H T 709 tiderivada pase por P(0, ^^^ ).

R.

13J M E T O D O D E D Í T E G R A O O N P O R PARTES

Sean u y v dos Por la regís de la

definidas y darivabLes en el intervalo I del producto ae tiene

d(uv) - udv 4 vdu , de dende udv - d (uv) - v du

integrando mienbro a misnbro se tiene

udv * uv vdu

Esta fóomüa es conocida cono "Fórmula de integración par partes". E práctica, esta fórmula es muy útil y oonsiste en easparesar el elananto tegración cono él producto da 2 factores, de una función u y de la dif ciad de wa función v (dv), de tal manara que se determina la Acción partir da la diferencial dv, y el cálculo de la nueva integral v dt constituyan ) en conjunto un problema mas simple que el cálculo de 1

n dv. Para descomponer el elemento de integración dado en dos res u y dv, normalmente se elige como la función u aquellos que se i ca con la derivación, por ejemplo xf* (n <5 N), In x, arcasn x, arctg senhf**x, csdi**x, etc. Esto no es una regla general, en la práctica, hilidad y la experiencia del que calcula es la mejor herramienta. OÍMeywacM&t Cuando se determina la función v, a partir de su diferencial

dv, no es necesario considerar la constante de integración, púas si en lugar de v se considera v + C, C conatente, entonces

u dv - u(v 4 ^ Oda - uv v da

Beto significa que la constante C considerada no figura en el resul final.

27

^/empio 27. ln x dx

u = ln x du = dx x

dv = dx v = x (no considéranos la constante)

Por la fórmula de integración per partes

ln x dx = x ln x _ ( x dx J x

= x l n x - x + C

Calcular 31 ^ + 3x - l)e^dx

u = x + 3x - 1 du = (2x + 3)dx

dv = e dx

luego I = y (X* + 3x - - r (x + e^* dx

En la ültinw integral (es más simple que la original) aplícanos nuevaawen e la integración par partes, así escogemos

u = x + i d^ = dx

dv L t e dx v^ = ir- e 1 2x 2 y tenemos

2x =r (x + 2x - 2) + C

-38-

JEyempAs 29. Calcular J e eos bx dx

u = e ax T du = ae dx

dv = eos bx ex v = r- sen bx b

J = g e s a ax . -- s — e sen bx dx

El integrando del segundo mienbro presenta la misma dificultad que la gral original, asi usamos una vez más la inaegraci^ por partes.

a ax

dv = sen bx<bc i

- a ax^ ¿u ^ r— e dx t b v = - i eos bx y se

1 ax . jê ,sen bx e cosbx + e eos bx dx!.

^ 1 ax a ax bac + — e b^

bx - — J b*

1 + — ! J âx ,sen bx . i* eos bx . e (' , + — _ )

J = S (b sen bx + a oos bx) + c

fyiRMpb 39. Calcular I = sec x dx SO&CM&t

u * x du - 3 sec* x tg x dx

dv - sec x dx v = tg x

I = tg x sec* x - j 3 sec* x tg^x dx

I = tg x sec 3 sec*x(sec*x - l)dx

-29-

I = tg x sec x - í

sec x dx + 3 sec x dx

I = tg x sec^x - 31 + 3 í + tg^x sec^x dx

41 = tg x sec x + y(sec x tg x + ln j sec x + tg x[) + C

sec x + -(sec x tg x + ln}sec x + tg x)) ] + C

31. dril milar arctg x dx

Integrando por partes, hagamos

u = arctg x du = dx 1 + x

dv = x dx v =

luego x je arctg x dx = . arctg x í T-JE^É dx 2

X 1 y- arctg x - y (x - arctg x) C

(x + 1) í x + C

E/ampio 32. Calcular I x + x sen x - 1 (sen x - x) *

dx

( eos X + X J /

sen x - sen^x - cos^x dx = (sen x - x)

-! " eos x (eos x - 1) - sen x(sen x - x) (sen x - x)'

dx

- COS X(<33S X - 1) (sen x - x)

dx - sen x dx (sen x - x)

- J 9 -

P&ra lA iíTtiyp*al J, h^Müos

- eos x ^ d*j sen x dn

j dv . <<** ^ v ^ L (SBRX-X)' { ^ X - X }

-i- + T "en x dx_ ^ f

" * (¡Han x - x) -

T - 4. ! aen X ax ) sen x dx san x - x ) !

(sen x - x)

7 — - - + C aen x - x

JE wpíc í? ChlcuLur X -J^ í ^ x ^ a j ^ ^

I ^ + T eîn x dx

u ^ l n x du = Para la integral J, hagamos

[dv =

x

êx ^ v = e^

Asi.

I J"^- , finalnenhe

¿ In x + C

fpwtpb 34. Catcuiar I ! — — dx f x ^

X i ti -+ gu ^

Tosai* ârctg x

1 + x^

-31-

a* tiene I aretg x

+ x i f gtrctg x

* J l T T P ^ dx

1* integral J oona dar aoe

^ dü - - x dx (1 + x')*

e l^x'

dx * V . ^MCtg X

y 9e tiene I -arctg x

A ^ x

L^ctg x fx x dx

y r tanto , 1 * y*

earctg X

^ X

Bu este ejecplo, raoonandaMoa Al lector efectuar en yariaar lu ar, un oea

¿ de variable t arctg x y la integral ae tranafcoaa en ¡ t * dt

M . Calcula? I r aenh x dx J (x coah x - ¡ aenh x)

multiplicando y dividiendo entre x ae tiene:

t

ten hx x aenh x dx (x coah x - aanh x)

scogaaoa u aenh x x ^ du * *-<**h x aenh x ^

dv x aenh x (x coah x - aenh x)*

dx v ^ - 1 x coah x - aenh x

-42-

atstonoes X - -, aenhx Pdx xíaanh x - x coah x) j $ x

y „ aenh x i x aenh x - x aoah x) * x

Odcular I -J ^ ^ ooa'x - acn x) dx coa x

coa^x dx

& y haciando j u - x ^ du - dx

dv - *cos x dx ^ v - a ^ ^

^ J I - X J e*** dx

Bs I , haeiando - z u - a du - a coa x dx

dv-^L*. ^ ^ v . - i ooa'x ^

aan x f

Por tanto, I - xa*""* - 4 c

-33-

E ! E R C ! C ! O S

Calcular las siguientes integrales indefinidas

1. x*ln x dx R. (3 In x - 1) + c

. J" (7 x - 3x* , -x . )e dx R. + 5x - 1)*** + C

. ^ X B6C*X dx

I arcsen(2x)dx

J^JBJL ^

. J^ln(x + ¿L + x* dx

R x tg x + ln)cos x) + C

R. x arcaen 2x + - ^ . + c

4x*

R. x ln(x + + x*) - A + x^ + C

oos(ln x)dx

8 i

i

sen(ln x)dx

x arctg x dx

R. -y[(x* + l)arctg^ x - 2x arctg x + !n{x* + í)] + C

R. y [seníln x) + cos(ln x)j + C

R, y [sen(ln x) - cos(bi x)) 4 C

10. ! arcaen x dx R. x arcaen x + 2/1 - x arcaen x 2x > C

16

19. J^ csc'x dx

34

11. J " ^ dx R. b ! x ) l n ( l n x ) - l ) 4 C

(* o * x ^ ^ n x t x J x - ^ n x i - ^ ^ C

y (x*+ 14. ) ** R. - + c

(x + 1)

* *- * r r v c

x arctg^ - 1 dx R. y xâretg^ - 1 - y - 1 - 1 + C

17. f ^ ^ dx ^ . ^ E s g L x + i m t ^ t + c

IB.J^'t?* dx R. - S ^ J Í + i n x - l n ^ + x + C

R. cac*x ctg x - (csc x ctg x 4 lnjcsc x + ctg x)l + C

20

x ^ ^dx R. A - x^ ln ^ 2 arcaan x + C

21. ! e^*cos(e*)6x R. eâante^) + coa(a^) + C

?? ] epatan ha dx R. — - [a aen ba - b ooe b ^ ^ C a'4 b'

^ arctg(^& + IMh ¡L (x + 2)arctg^ + 1 - A 4 1 4 C

4 j ln(^p4 m & d x R. (x4^lní^4 ^TVl) - y 4 C

ean* Un x)dx

R. x aen*{ln x) - y {x een(2 Jn a) - 2x coa(2 In aQ 4 c

^ coa'x

R. a"*" * - y jaec a tg x 4 ln¡aac x 4 tg x)j 4 c

f (x^ - aen"x)da J x - aen x coa x 4 x < coa x - aen x

R. x(cec x - ctg x) 4 C

^ ! (aroooa x - In x)dx R* x arcooa x - - x* - x(ln x - 1)4 c

^ Si f(x) - - a f (x) y g'(x) - b g(x), donde a y b aon oonatantaa encontrar la integral

"M ; 4x*arcaen(i)dx R. xârcaen^) 4 - 1 4 c

)! < rmjglvX dx

j>3. ! — — ex

-s-, f x^secjKdx ! -(tg x - x sec :

)T aresen A 39. J — d x

41. J^ arctg/x - 1 dx

43. t senh 1 - x dx

45 ( 1) 2 X x e

47 x eos x - sen x + 1 (x + eos x)

dx

^ r a in(x + a + ^ + 2ax) . 49- ) : ox ^ (x + a)

46

34 . f 2 X eos x e ax

36. J lx e*cos x dx

38 . Jjlx - 1 dx

40 cosh x dx (x senh x - cosh x)

42 fin (2 + dx

44 Líx sen x + eos x) (x* j 2 2 x eos x

- CCS x) dx

46. J cosh 3x eos 2x dx

46 ; x^ i ,1 + - ! . Lnh ^ A - x^ ^ ^

50. T — - [1 (1 + x)^ - ln(l - x)^tdx

. - - i . . . . . . . . . . . . ' - < - . - - -< * * t U l ^ M t L t f * ' * " * ' " * ' ' - - . . - . . . . . '

1.6 AKiTFKHOS DE CíTEGRACtON < * * *

í .6.1 INTEGRALES D E A L G U N A S FUNCIONES Q U E CONTIENEN U N TRINOMIO C U A D R A D O

áx dx i. — ^ — 11. r px + qx r ^ .

.111 + j - - - -- — — — 1 (ax + b)dx / px + qx -- r j Ji ypx qx -t- r

J3r. los cjnos (I) y (II), es sutici.ente- ccxqpletar cvacLrtáos asi el trinoaio yaplíc3jr las fóniralas corritspondienLes: (¿3), ÍM), (25) 6 (26). En Jos casns (111) y 'IV) usar sigílente artificio

^ ^ ^ px + q)

Tja expresión 2px + q <?¿s ía ásri is&a del trinoido cuadc-ado. Entúí ces

/ (a : + b)dx a f (2px + cr)dx , ,, ac, T ., - -r-j- (b * ( J px + cp: - r ^ 7 130-:" qx r ^ .J ÍS'r -1- *3X 4 ;

a . , ^

-J-L.gr o oro ÍPdo

f (ax + b)dx a f + aa f dn ' i -' -7- {,& — -TKT-*-; 5, * — / - * * - — . * , h p . ^ . . .

^x" + + r - J x' + ex r ^ gx r

= 4- qx + r (b --g) J

Jas integrales (I) y (J) son ice casos I y respectivaraem;f:.

r

-48-

^ ^ ít íj y las tíguiantes intégrala*.

r b ) f dx

c)

..- + - í ^ r" - + tC

f ^ J j ^ 4) f ^ j 6x + 1$ J ^-x - Bx - M

a) ( — - — - y ! y l^ vrr' J ^

b) f ^ f *L i + c J x - 2x 10 J (X - ir + $ **

r 2 r ^ 7 ^ + 6x + 18 J /(X f 3)^ + 9

2 lJt[x + 3 ^ + 6x + 18] + C

d) f * * * 3 f - ^ - - 5 a r ^ e n ^ i ) + c

J /ü^ - Ox - 12 J ¿í^lxVi)*

Caler d ar siguientes int gíales

a) (ix - 5)dx ., f (1 - 4x)dx J v x t 6x - 3 " í

C) ^ 3 - X d) f-^ ^ ^ ! ^ ^ ^ J x(x + 3) J A* . 10x + 21

al - 3 - y(2x 4 6)- 9 - S * ^ (2x + í) - 14 r

^ (3x ^ 5)dx . 3 f (2x 4 6)dx _ f Ac

J x^ 4 6x 4 1$ ^ jf x^ 4 6% 4 1$ J (x 4 3)^ 4 $

^ ln(x* + 6x + 18) - arctg(2-í-2) + c 4 3

b) 1 - 4x - - +6) + 1 + y - - i (lBx + 6) + y , lu&go

(1 -

- 3 3 V (IBx 4 $3&t ^ 7 1 r 3 dx y — y — -

- y ^ 4 6x - 34 ln[3x + 1 4 ^ 4 6x - 3} 4 C

c) 2 - x - - y í i x 4 1 0 ) 4 2 4 5 - - 4 10) 4 7,

f (2 - x)dx _ 1 r (2x + 10)dx / At ) y — r * r + 7 f , -7 4 lOx 4 21 7 <4* 4 lOx 4 n J /(x 4 5)* - 1

- 4 lCx + 21 + 7 Infx 4 5 + A* 10x 4 21} 4 C

d) f ^ ^ J X(X 4

Calcular las siguientes integral^

a) .. ^ (senh x 4 3 cosh x)dx b) — j cosh x (6 senh x + senh 2x 4 5)

-40-

i í* ^ - ^ f (3a* -í X ^ ^ ^ / x ;

f J^ÍZ^ — - * ^

* * * * ! ! ,

3 Jí - t^ - 3 / A - (t -

^ - - t - ? arca RÍt - v C

b) J ^ t janh x + 3 ooah x)4x eo^ xííaenh x + aaa^ 2x^5)

í isenír; x 3 ocah x)dx

J c&h aanh x + 2 sehh x o&sh x + 3)

di di-yide Maaarador y daaMMüsaá sr a ^ w coHh'x eo tâna

J ^ f ^ x + J 6 +

3) eech x dx tc h x + 5 aech x

(tgh x + 3)*K3i x dx j 6 t^*^ ? tgh x 4 - tgh*x)

rs -t xh* t x, ate

/ (t 4 J t' + ^ s ' J t ^ +

- ^ ln)tgí/x 4 3 tgh x + + arctg(^--^Ll) ^ C

L&-2 WTEGRAtJES DK A C U N A S ÍFUMCSONES TRáCOMOA-MíiCAS

al lector debe M r f and liar gi^îe^t^s iA&vtidadaa.

1. s e n + coa*u * 1

3!. cac*u - ct¡g*u - 1 4. sec u - tg u 1

1 + 2u 15. aoah*u - aerh u * 1

7. sech*u + tgh*u - 1 d 1 oosh 2u - 1 swanf?- t* <" ^ 10.

Estas identidades son muy inyortüsntes en los artdíídolos para ^solver ciar tos tipos de integrales de funcioiraes trigoncmé tricas e hipexbálioas.

L MOBCPALES M LA FORMA cce**x dx y jf eniil* 3osS¡"x dx

¿36! consideran 2 caaos: !?r*o de loa exponentes es impar positivo, y ayrhoe exponentes aun panes * 0.

CASO !L. p?tp da loa eaqppwnt** ¿ n un gntgyv lÍMpar pea^ttva.

i) Si m es inpar pceitivo ae f actorixa sen x dx (6 senh x dx) y se sa loe senos Í6 senos hipetMlicoe) restantes en función de cosenos ( o cosenos hiperb61ioos) usando la identidad

sen^x - 1 - cos*x (Ó senh x - cosh\ - 1)

Calcular las integrales

a) ^sen^x oos"x dx senh xwwsh x dx

i? ¡t j! - x x n- f san x eos xísisn x ¿x

f 2 ^ ^ J (1 - ees ^ ae X dx

(cesase - ees x) aen x cb:) ? (si M * sos?: x, * - aten x dx)

s y s ^ . 4 ^ c - (5 ees x - 7) + t

B ^ h) j se íh x dx

* x - eos x ** : 7 ^ 35

jjii3CBSth*x " 3 3 *ooah *x (sesrsh x ¿3x)

- ! (cos^ x - 2 coah^x + coah^x) (eenh x dx)

cc^'^x - cosh^x + § ooah' x + C

ii) 5i n es lnpax positivo se procede de maneta similar es decir, se facto-uriata or^ x dx (6 oosh x dx) y se jq reaa los cosenos (o coeenoa hiperbó-licos) nestanbies en funciói de senos (o senos hiperbólicos) usando la i-dentidad.

^ l - aen x (ó aosh\ 1* senh*x)

CASO1. Am&cs m % H gpx <?n&eros par*.? 3/ wcypywa c t<?Ma2#a

En este ik3.sa usan las

a 1 - oop 2x , ^ 1, 1 gas 2x saan x y t3os x *

-43-

. i cosh 2x - 1 2 cosh 2x -4- 1 . (o senh x =¡ y coan x )

^ i efectuar las operaciones se obtienen términos que contienen potencias pa i tí impares <3e eos 2x. los términos que tienen las potencias júnpares, se

'llegaran tendiendo en cuenta el caso 1). los términos que tienen las potenc-ias pares, se reducen da nuevo, usando sucesivamente las fórmulas indica -Lis.

jt?nrp¿o 41. Calcular las integrales

senh"* (3x)dx b) Îsen^x cos^x dx

dx = í - 2 cosh 6x+ l)dx

= 1 ^cosh(12x) + 1 _ l)dx

j jf (cosh 12x - 4 cosh 6x 3)dx

M^y senh 12x - y senh 6x + 3xj + (2

b) /sen'x ccs-x dx = / ( Í J r J ^ L ^ ( L í ^ ^ ) ^

1 f a = g- y íl -4- eos 2x - eos"2x - eos 2x)dx

- M -

i s* eos 2x A + cw _ 1 ^ ^ (coa 2x dx)

eos 2x - y aos 4x;dx J a - aen*2x) (3 eos 2x dx)

1 íc . 1 se^ t - y san j 16 sen 2x - ir aan 1 3 4- c

i ! (X - aen 4x . sazfat

4 + + C

R K ^ G R A I E S ^ ^ P O R M A : Jt^x sec x Jct^x cac x dx,

tgh^x n n x dx y j ct i x csch x dx

Se consideran 2 casos: si ra es impar positivo, y si A es par positiva

CASO i. Ft m es un intcrc áMpar pestttMp* Se iactariza tac? x sec x dx (6 ctg x^sc x ¿Ext; 15 tgh x aech x dx,

ó ctg i x ese x dx) y se expresa las tangentes (ó cotangentes 6 tangentes hiperbólicas 6 cotangent&s hiperbólicas) : restantes en téamims de sec x (Ó ese x, 6 sech x; 6 csch x) asediante la identidad:

tg u u - 1 (6 ctg u - csc'u - 1 , ó tgh u - 1 - sech u.

ó ete u - 1 + esdh u)

Calcular las siguientes integrales

a) J D. sec x

dx ctg x dx

c) tgh x /sech x dx d} ] ctgh*x eseh'x d^

-45-

SoÍKcidn.

a) r 4 . 3 tq x --5-—. CX -y

- - (tg x sec x dx) sec x

¿ i sec x - 1 ,, . . (tg x sec x ax) sec'x

r jí (sec x - sec x) (tg x sec x ttx) ;

si u - sec x, du sec x tg 2-: di: j --2 j[ -4 sec x sec x + C 2 4

í cos x (cos x - 2) -r C 4

/ -i b) ctg x = , - - (ctg x ase x ex)

(CSC X - 1) , ,_ , — (ctg x ese x dx) CSC X

f (csc x - 2 ese x + — ) ctg x ese x as) csc x

4 CSC X - csc x 4- Inícsc xjj * k

c) /secb x dx - f — ^^ — (tgh X sech x dx) i/secr ** ecn x

= ^-í-IL^ÉEi^. (tgn x sech M dx) en x

- sech* x) (-tgh x sech x . :)

3 tA- 1

(2 ch x 3 -h f.

h" R <&: i gt#t*x x -csdh xjtix

r ' ií + ssch y (chp' x esch x

^ {ssd x + 2 csch* x csch^x) í-cbgh x xdx)

^ f i csdh x 4 4 wsh^x 4- + t: 1 3 2 & J

a*? 6

2A50 & gg wt #?steF& per peatt-:'

Se ¿?-crtx3*r3.jaaL a*ac*x dx (6 csa*x dx? zaac&t x dx; <3 cach^x dx) y -al resto cha la,3 secantes (6 oosecant&sr 6 secantes MparbÓlicay 6 oosecan--tea hiperbólicas/ ate tanmsfanna ea tébn.ínos de tg x «3 -Ktg x ó tgh x,

6 tgh 3s) usantb ^

i

Calcular laa aiguiwtaa Integral^

a) ít^^x dx b) /cwe^xdx

c / 3agh*x aach x dx c#eh x ^

aUxtM*

- ^ dx)

. / (ts^ü + x ) (MC*x dx) í t - ts x , dt -

b) x dx - /eae*x(eac*x dx)

- - /(i + etg*x)cae*x dx) ; ai t - ctg x ,

át « - csc*x At

- - (ctg x ^ y etg'x) + C

e) / tgh'x aach'* dx - /tgh*x a - t*&'xR*c'* dx)

. j (tgh*x - tgh'x) (sedh x dx)

. í tgh'x - í tgh'x + C

d) eseh*x - / (etgh'x - M' (eaeh'x dx)

at {ctgh'x - 2 ctgh*x + 1) (- aMA'^ **)

-te-

fl : 2 [y ctQh x - y ctgh x + ctgh + r

m B CRAXJESDZLATOKMA:

sen !mx) 00* (nx) dx, sen (*ax) sen dx, jf coa &ct) oos (ax)dx

sM=snÚRt(jEot) ooshlux)dx , jf sc i&nx) senhtnac)¿tu, jf coshtmx)cosh(nx)dx

Para calcular estas Integré en se sigan laa íánanTáts

samtssx)eos(n*) y - s^n^ + A)x]

b) sen(nx)oe-JH(nx) y [coa^ - n)x - coatm + n)a¿]

c) oos(mx)coa(nat) - y - n)x + ccs^m + n)x]

1

d) *= y [acashím + n)x + aenh - n>x]

o) &<Bnh&ax)aenh(nx) - y ]cosh(m + n)x - ooah&a - n)x)

f) cosh(mx)co shlnx) - y [cosh(m + á)x + oosh(m - n)ac] í^pÁo 44 dftl fiAtiir laa alp)! entes Irntegralea

a) y sen 00a 3x dx b) 00a 3x coa 4x dx

c) ^ senh 3x senh 4x dx d) cosh 4x senh x dx . r

a) J sen coa dx - y [sen(2 - + + 3)x]dx

* j ^íaen 5x - sen x)dx

1 f oos 5x . 1 . . * ? L TE"*** J

b) eos 3x oos 4x dx - y [cos(-x) 4 oas 7x]dY

y [sen X + y sen 7ac] + C

c) yênh 3x senh 4x y ¡oosh 7x - oosh x]dx

- y [ y senh 7x - aaah x] + C

d) y oosh 4x senhx dx - y /¡aMh 5x - senh 3at)da

- y [y cosh 5x - y 00^ x) 4 C

En este ejenplo se he usado les identidades:

aenh(-u) - - sehh u ; sen(-u) - - sen u

coeh(-u) - oosh u : oos(-u) - coa u

1M)L iM intaspcalas.

a) fsen*3x tg 3x dx b) dx ^ J sen x - eos x

c) J ^ Í2x)ccs x

-5&*

c)

! f r a " cos*3x)* .

' {ac - 3 eos 3x + Jx) -

y ^ ^ tx? ¡ - y sen + f - sen*3if) (3 3x dx)

? 1 T - y bsjsec 4 tg 3cs] - y rsn 3x 4 y {¿sen 3x - y + c

- y la!aac ^ tg 3xj - y {^n 3x - 6en*3x 4 n

J #en y 4 íxss 4 .L- . ! <! t) 1 — — as t* i -rr i . - — SX X - -COS 3t

(sec f 3 coa

. i - Intaec 2x+tg2xj-ysen2x + c

f os* * dx / ees x ¿Sx

Bs ia Últdyaa lategzal ae UbSHCva qua no ce adapta A ninguno da los tipos es-tudiaos si). guando aa presentan estos caaos, a veces, es conveniente transíocnar a loa otros casos, es decir a productos de tangentes y aseantes d cotan ent ea y cosecantes. 3Bn nuestro ejenplo, transfoxrntando a tangentes secantes (dividiendo entxe co6 *x* nuaarador ir denetninador) se obtiene:

J - i-i _ j sec**x ^ i f i + ta x i SÍZ3 J tg^x Jlg*^

-31-

4VT ^ * ^

d) J - yooa'íx aan 3xdx - ^ ^ coa ^ ^ 3x<*

- y /(coa 2x sen 3x)dx + y coa lx(cos 2x aan 3x)dx

- y x + sen 5x]dx + ^[ooa 4x aen x coa 4x sen 5x]dx

' T x - y o o s 5 ^ + y ^ [ - a a n 3 x + aaaSx+aanx + a*n

- ^ í - o o a x - y C M 5 x ) ^yíyoosjx-yooaax - coa x ^ coa

EPMwpblA Calcular laa siguientes intégralas

a) Jtgh*2x b) f sech'x dx c) f ^ J CM

d) f gx e) ftg*x aec x dx J cos*3x ^

dx

* ^

Se observa que ninguna de laa integrales ae adaptan a loe caaos estudiados, por lo que es necesario efectuar alpunaa transíocwacicnea

a) dx - /(I - sech*2x)'dx - /ti - 3 ^

x - tgh 2x /(I - ^

-52-

* * * ^

= x - tgh 2x + y ^tî 2x - - tgh^ 2x) + C

= x - í txrh 2x - -í tgh^ 2x + C ^ O b) /sech^x dx = J ^ A - (seah^x dx) , si u = tghx, áu - sechScdx

1 [tgh - tgh'x + arcsen(tch x)j + C

í [tgh x sech x -+ arasen (tgb x)j -r c

sen x / 2 4 ( ? 2 ¡z c) j (3x — j* tg x scc x dx =- j tg *x (1 + ta x) (sec x dxl

j c- .is x

j (t^ x 4 (sec'x dx; = 4 t$*x * tgSt + C

-. f sen ' 3x ,-3..- ^ (3L - oo&^3x)" - jf , s - - - , . . . d) } : - ' -- — áx = i (sec 3x - 2 sec 3x + eos 3x.!

, ——*** " J2 i 1 + tg*3x sac*3x dx - -r in)sec + tg 3x j + — sen 3x

1 g- [t*3 s*3C 3x + In ¡sec + tg 3x¡] -

- y In) sec 3x tg 3x¡ y tíen 3x + C

í tg 3x sec 3x - í ln)sec 3x + tp 3x] 4- í sen 3x + C

f t ' ^ ^ ^ 63) / tg x sec x: dx = í tTsec x - 1 (tg x sec x áx)

^ "5* [s&c x tg x - ln[sec x + tg xj] C

-53-

Cálcül¿=ur la integral . í QX J íx' + 4)*

usando la sustitución x - 2 ta O SoÍMáÓM 03nc> x - 2 tg 3, dx - 2 sn^c¿3P y se tiene:

I 2 sec^ 1 J (4 tg

1 f ¿ec^ dó 1 re + 4r

J= — i cos c ¿&

^ f + eos r * 8 J" 2 " 16 L 2 J 4- r = 16 [ó -4- s R e ej +c

= (arctg 4 C ^ ^ 4 + x^

Paca regresar A la' - original x, ei) vista de que tg 6 se coar-tru ya el tjriír píío, óe* ócíHSe se chtienc que

aen = x ¡X) 3 e =

B J E R C Í C Í O S

Calc:ü<ar las siguiente integrales indefinidas

1. + 2x - 8 dx

R. Í ! íx + 2x - 6 - 9 + 1 -t- + 2x - 4 c

9 dx - R. 3 ln - 2 + - l c + 13] + C 12>: 4 13

-54-

3. — J 4x - 16x + 17

R. y axctg(2x - 4) 4 C

4. r J ir^

dx 2x - e

. - 7 ^ + 2x - 8 + 11 lnfx 1 + 2x - 8] + C

f 3 + 5x 7 9x - 12x +

dx 13

R. - 12x + 13) + C

6. í —

- x)dx x - lOx - 21

lOx - 21 + 7 arcsen (^4*-) + c

7. f ^ ^ + J ^ + 4 sen

3 eos x dx X - eos X

R. 2*4en*x + 4 sen x +*8 - Inisen x + 3 + + 4 sen x + 8[ + c

g ^ (5 senh x + 4 oosh x)dx J oosh x(9 senh x + 6 senh 2x + S)

R. y ln[4 tgh x + 12 tgh x[ - ln + C

^ san*x dx c x _ sen 2x , R. y ^ + C

10. v oosh 5x dx R. y + y senh(lOx) + C

11 . sen" x dx * 3x sen 2x . sen 4x . „ R. — +

55

11. J'coa** dx R. sen x - y sen'x + y san x + C

13. /cos'x san'x dx H. ^SJL ooa*x - 5) + C

dx R. -—L- aec x 4 C 3 oos x

15. âenh^x dx R. y oosh x(<x>sh'x - 3) + C

,, f . . x aen 12x , aan*6x . -16. ^ san (3x)oos 3x dx R. - — — + —sgy- 4 C

17. âenh'x ooch x dx R. y aenh'x + y aenh'x + y senh'x + C

13. ^ tg*x dx R. y tg*x - y t¡?'x - tp x + x + c

R. - y ctg^x + y ctg x + ln[sen x[ + C

20. J tgh"x dx R. x - tgh x - y tgh'x + C

21. dx R. - 2^6tgH + y ^ x + C

22. ^tg'x<&os'x dx R. y soc^x - 4 ssc^x - y <xm?'*x + C

-56-

/tgh*x aech x áx R. y tqh x - Í tgh*x + C

f J cus* x/sen 2x

R. ^ tglc(5 4 tg^x) 4 C

F sen 3x aen 5x dx R. - a ^ J x + c 4 16

26. /eos 2x eos 7x dx R. YJ san 5x 4 sen 9x 4 c

27. /sen^2x eos 2x dx R. y sen*(2x) - sen* (2x) + c ?

28. / sen*x cos'x dx R. -16

oos(2x) + eos' (2x) + C

29 . / . i 4 eos 4x)***dx R. sen 2x - sr sen* 2x 4 c

30 . /ctg*(3x)<Sx R. - í ctg*3x 4 Í c t g 3 x 4 x 4 C

32. /tg'x dx R. ^ J L + in)oos x] 4 c

33. /tg* (3x)sec* (3x)dx R. sec*3x - y sec* (3x) 4 c

34. J sen*

dx R. CSC X - y CSC^X 4 c

-57-

35.

36.

f dx J

r , 7 aan'x ooa

dx ten x coa'x

R. (y coa'x + 3) 4 C

R. 2 tg x + y tg x - ctg x 4 C

R. y tg'x 3 ln)tg x) - ctp'x - y ctg x + C

3$. ^ dx / - * i * x coa x

R. 2*€??+c

39. J

dx R. - ctg x - y ctg'x + C

40. R. 2/aenx - y aen^x + y aen^x + C

41. f aan' J â*

ax R. y [y tg' ("X) + tg'(Wx)] + C

42. ! aen x aen 2x aen 3x dx 24 eos 2x + C

aen 4x coa 9x dx R oos(9x) pos x ^ R. 16 ^ 2 ^

44. âan Rx aen 3x dx ^ aen llx _ aen 5x 22 10

45. ôoah 3x cosh x dx

46. / senh 4x aenh x dx.

R. ^ aenh 4x + aenh 2x + C

R. cosh 5x + y cosh 3x C

68

47 . J^sen* x eos 3x dx 3 3 1 R. ^ eos 2x - eos 4x + gy eos 6x

/ 43. ! cos*x sen*4x dx

c ^ s w 8x , sen 2x sen 6x 32 8 ' 4 8

sen lOx 80 + C

49 / senh^x ooshSx dx senh ?x . aenh 3x senh 5x . m - - i! A <*-, i - — —— + r 28 12 10 ^

50 ' </sen* x eos *x

R. - 2^ct? x + y tg x^tgx + C /

1.&3 nWEGRAOíON P O R SUSTITUaON T R I G O N O ^ E n U C A

Las integrales de la forma + qx + r)dx, donde R es

una funciín racional en las variables x 3? vjpx* + qx t r, se puede sim-plificar por medio de una sustitución trigonométrica adecuada.

El trinomio px^ + qx + ]r, completando cuadrados, puede ser escrita cono:

u^ i- a* <5 u* - a* <5 a* - u* donde a es una constante,

I) Si el trinomio tiene la ferna a' - u^, madiante la sustitución

u = a senO , a > 0

se elimina el radical,pues, a eos 9. También se tiene que

du - a eos d9

Para regresar a la variable original ti,

se emplea el triángulo:

u sen ^ ^

II) Si el trinomio tiene la forma a* + u* ,, mediante la austitucíór u a tg 0 , a > 0

Se el radical, pues, /3a* + ti* = a sec9. Tanbi&n se tiene que

du ** a eec*0 dP

Para regresar a la variable original u, ae emplea el triángulo tg e - ^ A

111) Si el trinoaio tiene la forne u^ - a^, mediante la sustitución

u a , a > 0

se elimina el radical, pues, - a^ a tg 0- También ae tiene que

du * a sec 6) tg 3 de

Para regresar a la variable original u, se enplea el triángulo

E^wpíoÂ Calcular I x dx

e ^ u a

I - / A - 9 san*e 3 co*9 <3

Sust: x * 3 sen 0 J^y cos*e de - y ^(1 + eos

^ p + 9

sen eos 0) c

X ?

60

Y jxt'í*!" + 9 arasen y + C

Calcular I = dx + 9x

f dx , 4 3

sec e de 16

9 16

_ j ^ sec " 16 { ^ j tg

3 f trrm (3 16

eos sen

= - CSC S -r C

3_ 16 3x 4- C - + 9x

16x + C

templo 50 Calcular I X dx / ^ /x - 9

Sust: 3x = 4 tg 6

I = x dx 27 sec'0.3 sec 6 tg e r , ) sec c ^ sec 6 - 9

r - 27 (1 + ge =

27(tg 6 + í tg*3) + C

9 ^ 9 + í (x' - + C

1 3 9 (x + 18) 4 c

Sost: x - 3 sec 6

-61-

Hallar i- f. *'<*

J r x'dx

5 J ¡c 4 1) 4 4

e - sec^ de 2 sec

/(2 tg 9 - l)*sec6 dP

tg*0 sec 6 -12 tg*0 sec 9 4

+ 6 tg O sec O - sec 6)<y

Sust. x + 1 * 2 tg 6

x 4 1

ísec'^ -6 sec 6 tg O +

+ 5 ln)sec O 4 tg 6] - 2 sec e + C

^ (x 4 2x 4 5)^ - (x 4 1 ) ^ 4 2x 4 5 4 5 ln)x 4 1 4

4 *%c* + 2x + 5] - /c 4 x 4 5 + C

-5x-5 ^ + 2x + 5 (— ln)x + 1 + ^ + 2x 4 5] + C

JEftwpb 32. Hallar I dx (1 + x*) A 4 x - x^

dx ^ 6 - tg 6

r. J e - tg e

-62-

i ? r* 'sen 6 - aen*3 ?

eos e je y - (sene -

1 2

3 - ¿ (

1 1 1 ?

y arcsen(2 sen 0 - i) +

1 2 ( - i) + c

Sust: x c tg 8

Ef*3mpío33 ral I - f ^ d x ^ (2x - 1) - 4x - 8)'

^ 12 dx 7 (2x - 1) [(2x - 1)' - $

y/(cacê - l)d&

y !- ctg e - e] + C

2x- + C

- í — * 3 a L . 7

/ /

/

- ^ sec e 27 tg e dP

y aec t dt aec't - i / coa t d^

Calcular I

SoíwcMt

dx

dx x(l - x)

J ^ r n r ^ r dx f - X)dx

x (1 - x)dx

(? aac 0 + (1 3 2

1 2 e tg 0 ^

Itge

- y /(aac'e + 4 + 3 aac

- tg 0 - 1 lnjaec e tg 6 [ -

- y + tg O aac'6 <#

- tg 6 - ln(aec e + tq 0 ) -

1 - y (aec e tg e + ln{aec 0 + tg e[) + c

--^tg3(t + ,ece) - 1 l jaac e + tg 6] + c

-64-

(8 + 2x - 3) - I lñ!3t - 3 ^ I l É l T e + C

^ L f - (5 + 2x) - y )2x - 3 + - 3x+1[ + C

(^sávacfdw. En estes casóse es decir, el integrando presenta una expre ^ * * * . * *

sión de la ictocoa - u 6 + , - a^, a veoe& una sustitu cidn MpaxbClica es atas efectiva.

Paya - u* , la suatitucidn es ü - a tgh t

Para wí + u* ^ ía aua^tupidn es ü - a senh t

Para ^ - a* , la suatituciCn es u - a ooeh t

En el primer caso* Á* - u* * a aec^

ín el aagundo caaó# ^^ + ^ a ooah t y

Bt el teroar oaao ^ - a* * a aash t

gjBmpbJ*. Calcular I J x + 4 dbt

I - x ^ ^ + 4 dx senh*t.2 cúah t.2 cosh t dt

16 aenh*t coah\ dt - 4 f aenh*2t dt - 2 ^ (cosh 4t - l)dt

y aenh 4t - 2t + C 2 senh t cosht(aenh*t + cosh*t) - 2t + C

: x * 2 senh t i ÍJL (x' 2) - 2 aenh*' y + C

As donde: aenh t

} oosh t

X T

4 X

f/empio $7 C&lcular I r * J ^ T í

f x dx J /(X+2)'-

f (3 oosh t - 2) 3 senh t dt . } J * Tlenh t J cosh t - 2)'dt

(9 coah^t - 12 oosh t + 4)dt

^ poah 2t + 1) . M cosh t + 4]dt

oosh 2t - 12 ] ^ senh 2t - 12 aenh t + C

^ aenh t oosh t - 12 senh t + t + C

Suat: x + 2 - 3 coah t da donde:

ooah t x + 2

aenh t - - + 4x - 5

Si la integral tiene la forma i x*)dx 6

^ - a^dx dcx e n es entero inrpar positivo, sar la sustitución.

ea preferible u -

^ a t x* ó x x - a

Epewplp M . Calcuhjr las siguientes integrales

a) p L Í L -J

. r x*áx

b) i

d) f ^ J (3 - *')*

a) x*dx ¿ T i l

f xjxat) J ^ r r

? dz

(z" + 18z* + 9)dx - z + 6z* + 9z + C

i (z** + 30^ + 43) + c

(x* + Ux - 144) + C

Sust: x^ - 9 - z de donde:

x dx z dz y x' - z* + 9

b) f ' d)t - f - í) (x dx) J ^ V Y J

- Q z dz

8)dz

y [z" - lOz* + 40] + C

/

Sust: x* + 3 * z

x dx - z dz

^ L l I íx" - 4x* + 19) + C

c) f ^ . f - i í í ^ J (x* + 9)"* J (x* + 9)

(x Mi

- 9)(: dz)

67

(1 -)dz z

^ + í + C = -(z^ + 9) 4 C z z

! Sust: X + 9 = z

de donde x dx - z dz

^ (x 4 18) + C + 9

x^dx (3 - x )

x (x dx) _ (3-x')"

^ t3 - z) (- ¿ dz)

J

2 ^ í 2 ^ z z z

2 z' z ^

2(3 - x*)* + C

Sust: 3 - x - z

de donde:

x dx 3= - Y dz

E J E R C I C I O S

x^dx ¿Ti**

y x 2 . CX

R. — arcasen x - - -x + C

R. í íx í + + Irax + ^ + -r C 2 L

x^ f '4 - x dx ^ fx' - 2x1 C

dx R. ^ + x + C

< 1

x'dx 4 7

f ^

e. f (4x + 5)dx J (x* - 2x + 2)

9. f (2x - 3)dx J (x + 2x - 3)

10 4x dx

n. f - ^ L J (4 - x* )

- 25) dx

13

14

. r — ^ —

J (x + + 2x

f sen x dx -i - — r 7 /eos x + 4 eos x + 1

A. + C

9x 27x'

R. 9x - 13

R.

^ - 2x +

5x-3

+ C

+ C 4¿t ^ 2x - 3

R. (x* - 4x) ^ C 6x'

R.

R.

20(4 - x^)^

(x* - 25) * 125x*

+ C

R. i arcsen(x + 1) + r. + c ? 2(x + 1)

R. - ln)oos x + 2 + vcos x + 4 eos x + 1¡ + C

f - 4 - 2e *(e* + 2) ^ . 1 , , x / S 15. j —rrrr dx R. y ln)e + 2] - /e * - 4 + 7 2(e + 2 ) ^ - 4

-69-

16, ^ ^ L . ^ t i d x 7 + 2x - x*

17 f ^

18. ^ (x* + 3x)dx J (x - 1) - 2x +

R. atcaen1 x* C

R* x - 1 + C 4/ x' - 2x + 5

10

. ^ - 2x + 10 + 5 In) /c - 2x + 10 + x + 1] + y ln x - 1 4 c

R. . r (e + x^) + c

22. f <*

23. r 2*' + i ^ J + 4)'

dx R + i) + ^ c

R. 12

R. arctg x + C

R. 16 arctgg) - ^ 1 . ^ ^ x' + 4 J + C

24. r <* _ J + 1)^"+ 1

R. arctg ( ) + C + x

25. 3x aresen x dx P. - x

aresen x (1 - x')'*

1 2 4 ln

1 - x X 1 + c

-70-

i t x

- X

r. f ^ * ' dx + c

28 x dx 2)¿t* -4x^ + 5

R. y ln c" - 4x - 1 + C x* - :

29 r x'dx * 12x - 5

2x + 3 ) + - 12x - 5 (3 - 2x)] + C

30. f x'dx J (x' + 4)' R. 2x(4 - x*)1 (4 + x*)' J

31. r J (x'-l)^

32. J (9 - x )'

33. f + l)dx J (x - 3) x - x* -

R. + C 6(x* - 1)'

36(9 - x*)* 216(9 L — ^ C

8

R. 24 arcsentx - 3) + 37 In 1 - w x - x - 8 x - 3 x - 8 C

34. e*dx - + 5)*

R. X e - 5

4*4 * - 2e* + 5 + C

-71-

^ ^ ssmh 2x dx J (2 o o a h \ - ^ senh^x - 2 oosh x ) " '

3 - o o A 2x ^ R. j ooan ^ C - 3 *ahh*x - 2 oosh x

. r 8 sen 2x sen x dx 36. — — . — 3 -

j (20 - 4 sen 2x - 19 sen x) **

R. 4 tg x - 16 ^ 5(tg x - 4)* ^ ^

3 ^ ? x - 8 t g x + " J tg'x - 8 tg x + 20

128 + C 3(tg*x - 8 tg x + 20)

37. r — — — J (x - 1) (x - + 5) ^ - 2x + 5_ + " 1 — — + C 8(x-2x+5)

1.6.4 n V T E G R A a O N D E F U N G O N E S RAaONAIJES

Si P (x) y Q(x) son dos polinomios con coeficientes reales i (x) es función racional si

f (x) - y b^ - {x € !R / Q(x) 0}

1 .4.1 BVTECRACIONDB FRACCIONES SMPLES

Se denominan fracciones simples a las funciones que se presentan bajo una de las formas siguientes:

I) rirr II) " - R ' n 2 , n € N ^ ^ (x - r)"

III) — — , donde px* + qx + ir no tienen raices reales, px + qx + r

osea q* - 4pr < 0

-82-

IV) - - - 5 L L 5 — — , donde n * 2, n t M , q - < O (px + <pt + r)

integrales da eataa Acaoc$ones simples son elaaantalea, pues

) y ^ ? ¿ dx - a ln)x - r) C

ü) / — 5 a + c y ÍX - r)" (1 - n) (X - r)""*

f ax + b J px + qx + r

îii) [ - . " — dx (Ver 1.6.1 caso III)

J (px' + qx + r)" ^ J (px^ qx + r)" ^ J (px* dbt -Kp^r)

A . + - A ^ dx - 1) (px + qx + r ) ^ ^ J (pK + qx + r)^

J

Para calcular la integral J, complétanos cuadrados en el trinaaio/y cbtew

- u* + k* , donde u - x +-2— , k -

luepo J 1 ^ du

Para calcular esta última Integral se puede usar la sustitución trigonamé trica u = X tg 6 6 también la fámula de reducción.

-73-

Para demoetrar aata fCrmüa, aaa

^ du

_ 1 f(u* + k') - u* _ 1 ^ du 1 ^ du " kti (u* + k ' ) " k* J (u' + k ' ) " ^ 2k* J ' (u' + k*)" . <

'n-1

Calculando la última integral de la deracha por el método de integración por :

u * u —* du * du i i

dv - du -+ y - 1 * (u* + k')" " - - („ _ 1) (u* +

i — r ^ L - f <*" i ^ ^ ^

'n-l

^ u ^ ^n-i _ n-1 " 2k*(n - 1) (u* 4 k*)"*^ k* - 1)

39. Usando la fórmula de reducción, calcular I r ^ J (X* + 4)*

r

-74-

esta caso n - 2 y k ** 2, entonces

^ dx ^ x ^ 2(2) - 3 f dx J (x + 4)' 2.2 (2 - l)(x + 4 ) ^ 2^(2 . ^ J (x* + 4)

+ 4)

(arctg y + — ) + C ^ ^ x ^ 4

M B U R A a O N DE FUNaONES RATONALES POR DESCOMPOSKXON EM FRACQONES SBMQPUES

Sea la función racional f (x) - ***** 0(x)

donde I?(x) y Q(x) son polinomios oopr irnos de grados m y n (m,n 6tN),

intpropia. 1? (xt Si f (x) = ijtpropia, por el algoritmo de la división, existen

polinomios (x) 3? R(x) únicos tales que:

P(x) , . R(x) Qlxl C(x) +

donde grado de R(x) es menor que el grado de Q(x), [C(x) y R(x) son, respectivamente, el cociente y el resto de la división de 1? (x) por Q(x)] . Esto significa que "Toda fracción inprcpia puede ser expresado como la su-

P (x) re- cié* un polinarnio de una fracción propia". Por tanto, si j j- es im-propia, dx = J C(x)dx dx la integral C(x)dx es ele mental. En segunda veremos el método de integración para una fracción pro-pia, este método se basa en que '*Toda fracción racional propia puede ser

-85-

desctzpuesta en la suma da fraccionas simples". Bst* hecho se basa en el

conocimiento de dos cremas del Algebra que admitiremos sin demostración.

ZCOWM í Si Q(X) € R[x] es un polinomio da grado n, (n ). 1), entonces

Q(x) se desempeñe en un producto de factores de 1er grado y de

factores de 2do grado, siendo estes irreducibles en R, de 1* siguiente foy-ma:

Q(x) - a(x - r^)^ (x - r,)"* . . . . (x - + p^x +

... (x' + p^x + q^)** M!

+ e +

n-n^ .... + ^ 2m, + .. 2^.

Si el polinomio Q(x) posee la descatposicián (4) y P(x) es

un polinomio de gr*3o menor que A, el cociente se

pone univocamante en fracciones slnples o^no #lgue¡

# ^ e

(x - r^ )^ (x - y j (X - n r

^ B x + B x + C , * + — H + —LS L* + ...

(x - r^)"* (x^ + p^x + q^) {x + p^x + q^)*

B. x + C. . B^ x + a B. x + C . imt . . s s . si a * **"**' < . ¡ — i¡< ^ . #.. * - * — — ^

(X + p^X 4 q X* P,X + q^ (x 4 p^X + ^

B ^ x + C sm sm 4 — 5 (5)

(X* + PgX + q^)^

7$-

Mor lo tanto, siente gue sea pasible d^ûnMem el denominadar Q<x) an factores. a Lo mía Madrátioc*. El proMema de intagyMr w función racional propia queda reducida a integrar fradonee slnples oonaidaradas en (1*6.4.1) Bs reMian, pcdenoe afioar que la integración da una función racional (pro-pia ó inpHopia) aa reduce a integrar a 1c nás, un poHaaato y las fraedo -nes sjnples. Recuerde spae ai el grado del nómerador es mayor o igual que el grade del denominador ae debe dividir (salvo que se enplee otro artificio de integración). Para determinar las cena tantee A , A , ..., etc en (5), tata multiplica am-boa mionhros de Í5) por Q M ^ eliminando de esta manera loe deneminadores y luego ee igualan los coeficientes de las potencias de x en los polinomios re sultantes en los nuanaradores, o tacbién sustituyendo un suficiente número da valares de x para dBteoümr dichas constantes. RA el siguiente ejenplo, sin determinar las constantes, mostráronos ccmo ee deaccnpcne la fración

P (x) _ ?x* - 2x* + x* - ^Tx + w ^ ^ íx l)(x - 4)' (x 9) (x 1)*

ae observa que j^g ee pccpla, por tanto

(x*4l)*

fMoünr J - ! - — 3 ^ - 3x +

Cono el integrando ea una fmceián racional irparopia, dividimos

x' - 3x + 3 + ^ - x - 1 + ' ^ '

por t nto r dx j - j íx - Ddx + j irrinrriy

-77

SoÍMC%H 1 A , B Par el teonma (x - 1) * x - l x 4 2 de donde 1 - A(x + 2) + Bíx - 1)

Para x - 1, ae cttiena: 1 - — ^ ^ * ?

Para x - - 2, ae obtiene 1 * - 3B — ^ B - - y

luego I - - * ? t^ " " § tx + 2) + C

Finalmente

En este ejemplo, para calcular la jjRtegpral I, no es necesario áesaanpcner en fracciones ainplesf pues tanbién se pueáa calcular o npletando cuadradas En loü siguientes eja plos usaremos el método más adecuado.

Hallar I ; 5 í ^ x + 2x +

El integrando es una iracci&t racional inpropiE por tantea díwtdioa G se cbtiene:

^ x^ 2x 4 5 + 2x y J x^ + 3)dx

2x * 5

- x - ^ r ^ ^ ^ d x ^ u f — 3 L — ^ 1.3.D ^ x 2x + 3 J (x + 1)* + 4

f ^ b d í HMlar J j ¿ + 1

{

-78-

Scíucíón. . Bx 4 C

X + 1 (x + 1) (x - X -t- 1) X + 1 X X 4 1

e.l.iminarido d noninadores: 1 = A(x - x 4 1) 4 (Ex 4 C) (x 4 i), de donde:

1 (A 4 4 (B 4 C - A)x 4 (A 4 C)

igualando los coeficientes de las potencias de x de los 2 polinomios se ti

ne: A 4 B = 0 B 4 C - A = 0 , A 4 C - 1 1 1 2 cuya solución es A = y , B = - y , C = y

Antes de continuar con la solución examínenos la fracción simple 23). Pa] ra integrar esta fracción, une de los né todos es expresar:

Rx 4 c _ m(2x - 1) 4 n . x 4 1 x 4 i

donde m y n son constantes (ver 1 1 )

Por esta ray/m, al descomponer una fracción propia, pera facilitar la inte grración se Multiplica al coeficiente ir^ terminado m Txxr la derivada del binador. Par tanto:

x' 4 1 íx 4 1) (x - X 4 1) * + A , m (2x - 1) 4 n — ——....

x' - x 4 1

elsminando deRcminaácares, se obtiene los val cares de los coefjí cientes A, m 1 1 IR. Asi

D ego? A , m - 7- y n - .

dx 4 1

. i r dx i r zx - 1 dx 4 f

Í LJx 4 11 - Í - x 4 1) 4 L . a r c t g í ^ — < ir (

-79-

Calcular Soíuádn

x - 1 - (x - 1) (x + x + 1)

A ^ B(2x + 1) + C x' - 1 ^ ^ x^ + x + 1

Eliminando denaninadoares ae obtiene A - y , B - - y , C - - de

f dx ^ 1 T dx 1 f Ddx 1 f dx

y ln)x - 1] - y ln(x* + X + 1) --i-arctp( 2x4-1 ) + c

^ Hallar r J tx - - 4x + 3)

(x - 2) (x* - 4x + 3) - (x - 2)'(x - 3)(x - 1), por tanto

(x - 2)'(x - 3) (x - 1) B D

(x- 2) i x - 3 x - 1

de donde:

1 " Atx - 2) (x - 3) (x - 1) + B{x - 3) (x - 1) + c(x - l)(x - 21 * +

dando valares: para x = 2

+ D(x - 3) íx - 2)

1 " - B **. B - - 1

para x - 3 1 - 2C T

x - l 1 - - 2D .*. D - -Y

Para el coeficiente A, igualamos los coeficientes de x* en loa 2 polincndo^

-80-

se tiene 0 = A + C + D % * A = 0

Finalmsnte

-

ox 2) (x - 3)(x - 1)

dx (x - 2)

1 f dx 1 r dx 2 J x - 3 * 2 J x - 1

Eyempio 63. Hallar sen eos x dx

__ i ¿sen x _ ! J eos X J 1 - x eos X sen Se

dx

haciendo u = sen x # oos x dx - 2u du, se tiene

^ 1 - u" J (i - u^) (1 + u*) 1

1 - u^ l + tiL* ¡du

2 - arctg u + C

1 ! sen x + lf ^ / ^ = Tr .ln i ¡ - arctg /sen x -i- C ^ x - 1*

En e:-te ejenplo hanas vsado una identidad que es útil tan el proceso de inte-gración. la dantioad es

a - i; a - u a 4 u

/ /

66. Cslcutnr I = ex -i- 1)'

-91-

r - ^ i r $9

llamando u - + 1 du - 69x^dx y

I -

Para datenainar loa valorea da A,B,C y D poáeüoa uaar un artificio u* 4 (1 - u^) ^ " * * I ^ ^ ^ )

uNu - 1) u' (u - 1) u' (u - 1) ^ " ¿ ^ *

por tanto

fj^pío 67 Calcular I Ag x dx So!tK%dA Si t^ - tg x x Arctg t y dx - — e n t o n c e s

1 4

f 2t dt r 2t^dt ^ i + t" ^ (i + + t^) (i - + t^)

pues

* (t* ¿ i - + i

DBsccn niend en inacciones aimplea se tiene:

A(2t + + B ^ C(2t - 4 D _ t^ + 4 i t - v5t 4 i i t

-92-

eliminando dancndnatkHres se tiens

2t* - [X(2t 4 + B¡&* - 5t + l) + [c(2t - + b] [ t ^ ^t + i]

igualando loa coeficientes de las potencias de t en los 2 polincndos se ob-tiene:

2A+2C-0, (B + D ) 4 ^ T ( C - A ) - 2 , ^ ( B - D ) . 0 y resolviendo estas ecuaciones

A - - C . R . I n i

Finalmente

r + .. i r dt r 2t ^

t^. ^ t + 1 Integrando y simplificando

I .J^lnjL-Z-^-i-ij - arctg( 5t + 1) +-ârctg(^t - 1) + C

donde t -

. Calcular I - ¡ ^ sec x dx 3 + 4 tgx + sec*x

I . f xsec'xdx . T x sec'x dx P x sec'x dx 3 + 4tg x + sac x ^ 3 4.tg X + (1 + tg*x) (tg x + 2)

Integrando por partes

u - x du - dx

^ - dx ^ -(tgx+2)' tglT+T

-83-

óe donde x . r dx

t g x + l ^ J tg x + í*

f dx r sec x dx T ... dt =J tg x + 2 " J x 2) (1 + tg'x) J (t + 2) íl + t*)

- — Í2t) + — 1 . . (t-tgx) pei-o — " ^ , ^ (t + 2) (1 + t') ^ I + t

^ = sj T V T "ToJ ^ ^ ?J i + t'

j . ^ ln}tg X ^ 2¡ - ln¡l + tg'xi ^ § arctg(tg x) + C

p&y lo tanto x _ + 1 J"tt9* + + 2* + C tg x + 2 ^ 10 ^ L sac'x J =

E í E R c : c : o s

las siguientes intagmlM indefinidas

f <*' + 6 a, R. + 3)3 C x' + 3x

f ^ 4 - - 4 ^ C

Ttf * 6B

dx i (x + 2x + 5)

R. +JL) í " + 2x 5)

3(x + 1) x + - + — ^ — , arctg

x + x - 1 x* - x^ - X + 1

ex R. - c. 1 2(x — ^ y ln )x - 1 ] - ^ c

x + 1 x* - 2x* + 3x dx ^ Inhcj ln(x - 2x + 3) , 2 x-1

x' + x - í x' + x'

dx s- i + ^ n r ^ + c

X 4 X ¡2 + 5x + 4

dx R. - arctg x + arctg ? + C ^ x^ + 4 ^

- 3x - 3 (x - 1) (x - 2x + 5)

R. ^ - 2x + 5) - ln)x - 1] + arctg^Lr-í) + ^

dx 1 - x R. * x* - 1 ! + c

x dx x^ - lOx* + 9

dx R. I i-;*' - 9 # — r ¡ + C

4x 4 1 x + x^ + 1

dx

R. y + x + 1) -

85^

13 ^ x + x' 4 1

dx 2

R. - L - a r c t g ( — - - C

M. f dx J x + x 4 1

ti 1 T J x - X + 1 R. ? ^ x + x + 1

+ — arctg(——-J + — a r c t g ( — — ) + C

15 r x*dx x^ - 10x* 4 9

R. ^ ^ I* x* - 1

^ 1 4 X

1 + ^fx + x t . ^ 1 - ¿f X + X

-j + arctgt/Tx + 1) — -

17 f — R. ' + ' 5x* 3x X

x - D+C

x + c

13 n -2x^+1 dx

R. ^ ln)x* - 1¡ - ln)x* 4 x - 1] 2x* + 1 -+ 1

4 C

19

2C

r ^ ^ 7(x'+ 1)

+ 1) + C

21 f dx

R, ln)x) - + 1) +- 4 C *i t **

ctg x dx (sen x + I) R. - y ln)sen\ + 1] +

7 (sen x + 1) + C

tg x dx icos Sí + 1) R. -Injcos^x + If - lnjcos x] -

99 (eos x + 1)

x* /sen x + /sen x + (x + l)cos X dx

/sen x + 1 /sen x - 1 arctg (/sen x) + -^-ln

8 x^ + x + 1 x - /5' X + 1

+ -Yarctg(/2 x + 1) --^-ar x - 1) + c dx

x* + 1 - (1 - + 2

- (1 + zf x + 2 , Ao - 2 ^ , ,4x - (1 + /SI + ^ arctg ( ^ r — +

' Ao + 2/5 10

/tgh x dx R. y ln tgh x + 1 tgh x - 1 y arctg x) + C

eos x /sen x + 1 x + 2 dx R. 2/sen x + i - 2 arctg/sen x + C

dx i [eos 5x - 1} 1 sen 5x(l + oos 5x) 4 {oos 5x + lf 2(oos 5x i) + C

2dx /eos x sen x R. In 1 - /eos X

1 + /eos X + 2 arctg (/Sos x) + c

\

-67

T í L dx * R Í ** - l)j + C ^ x' - 1

2. f ^ + R. - In^T?--^parctg (x + 2)* 4(x' + 2) .5

3 3 . s ^^ ** dx (X - l)'(x* + 1)^

R. 3*'. " + ln(^ " ) + arctg x + C (x - 1) (x + 1) x' + 1

[ - ^

J (x - X)(X^ - X + 1)^

„ , ,x-IJ 10 ,2x - 1, 2x - 1 R- l n — - — —arctg(——) : + C ^ ' 3 ^ 3(x* - x + 1)

S 3x + 2 ^ . \ r-dx R. xíx + ir

3 5 . ^ — — ' \ <3x R. ^ ln — ^ - + C xíx + 1)* 2(x + 1)' (x + 1)

1.7 INTEGRACION DE ALGUNAS FUNCIONES IRRACIONALES Baños visto que las funciones racionales poseen integrales que se expre

san cctno oonbinacicnes lineales finitas de funciones elementales. Esto no sucede oon las funciones irracionales salvo en algunos casos particulares. En esta sección y en las siguientes vamos a estudiar algunos tipos de fun -ciones irracionales cuya integral puede ser expresada como una suma finita de funciones elementales, para esto es necesario un adecuado cambio de va -riable de manera que el integrando de la nueva integral sea una función ra-cional. - -

,,- ^ G K A ^ n r o

donde R es un función racional en las vari ¿ib les x,

y n c + dx' ' c + cbr t * * k

-88-

csto significa que los expcnentes de ^ son nümaros racionales

Si

haciendo el cambio da variable -- ^ ib c + ax

setieneque = b - dt" (b - dt^)

Por lo tanto R es una función racional en la variable t

f dx — t - " F ' í^wp^ Calcular J - , —y . ,

SoÍMci<3?t En este caso los eaqponentes fraccionarios son í , , entonces

4 = m.c.m.{2, 4). y el cambio de varixable es x = t** ===s* dx = 4t* dt y

4t - 4 ln]t + 1] + C

4x^ - 4 lnjx^ + 1) + c

JE/fmpio 70.

SoÍMd w.

Hallar ^ - 1 + - 1

Haciendo x - 1 = (6 = m.c.m(2,3}) se tiene

T 6t dt ^ t' + t'

= 2t* - + 6t - 6 ln)t + 1¡ + C

= 2¿x - 1 - + - 6 lnj^T^l 4 l] C

-89-

71. Calcular 1 + x Solución

dz = x se obtiene I * ? ! V 1 + z z 2J V 1 + 2 haciendo el cantbio de variable z

^ esta integral, el criterio estriado nos sugiere reemplazar ^ ajarnos al lector seguir este cîno. ^solvere^s est, Negral usarlo un artificio

i - — i — m 2 i — r 2 i r ' j z /z - i ^ J z/irv^^ -1 -1 J A' - i

= y Iniz í m!z + /z' - 1 - í arcseciz) + C 2

Ey mpío 72. Soiuc n.

calcular I + 2 dx

tg'x + 2 ^ sec x+ 1 ^ X^TTl J +

sec x ^ + ^ ^ Ag'x + 2 J ^g'x + 2

^ = ln¡tg x + A^x + 2] + C

-eos x áx f eos x dx _ ^ arasen (ÉEL2Í) c

ên'x + 2 cos'x J ¿T- sen'x

-90-

-U'JGqO

I - lDjtg x + Ag'x + 2f + + c

L7J2 INTEGRALES D E LA F O R M A dx n<=- M (x - + qx + r

Una sustitución para este t i po de in tegra les es l a ^

x - a = - de donde dx ^

awp/o 73. 1 =

Mciendo la sustitución x

dx

x t x VlT *!]*

r i -

d t

i. Í4 + 1 , = - [ * * ! * —— J /-Y

/i t + t + 4

í(8t + 1) - - dt

t + 4

í í et +1 ^ i r dt s { — i m + Q * -

^ + t + 4 ^ /(2t + í ) ^

* 2 - y ^ t ^ ^ t + 4 4 - — . i n ¡ 2 t 4 í + t 4 4 + C

1 4 4- 4 X 1 2/63* x

8 4 X . + x 4 ¡ , X ! ^ 4x-

¿i.)F/!lpÍ<3 /'i*. Calcular I dx

(X H H W * * * '

+ 3x - 9

la sustitución es x - 2 1 t y

-91

dt

i +1. + + 2) - 9

dt J ^ + 7t + 1

dt /(t + y ^

H ) ! ,

- ln!t y + + 7t + li + C

ln 7x - 12 A<* + 3x - 9 2 (x - 2) x - 2 + C

Ejemplo 73. Calcular J = T (x + 3)dx x ^ ^ + 2x +*1

la sustitución es x = - , entonces

J -i- /3T71 + 1

(1 4 3t)dt + 3t + 3

3 r 2t + 2 J ^^ + 2t

dt dt j /(t + ir + 2

+ 2 ln)t + 14 fí* + 2t + 3] + C

+ C

Bn algunos casos la sustitución recíproca puede facilitar ei procesto de in-tegración, como varemos en el siguiente ejenplo*

7*. Calcular 1 * - x dx

SeRaRá* -haciendo x * 1

dt . 2 1 t d t , (u - t * - Ju = 2t dt )

- í - l ) * ' ' '2t d t

JS/ pío 77. Oslcsüar I r^ dx (x + 1) x^

SoÍMció/L Haciendo x + 1 = í se

I = dt-

t"dt .1 - 1) (1 - t )

( t + 2t * 3 - ^ -r -t- :)dt i - t ( t - t ) ^

Y = -L t + 3t + 4 - t) + r-^-r + C J JL - t

1 1 1 i V ! - ' i — — + — j h — + L-JL.-, + )- c )tX + 1)' (x + l) 2 y -t 1 I x + 1)

1.7-3 INDECRAU?^ R E LA FOMHA? pR^, + iJ7?)dx

En es te caso R es una función racional en las var iab les x / '2

t^x + hx 2*c. Una in t eg ra l de esta forma puede ser calculada usando

de Pulen". Estas sustituciones Ranniten transfonm.r o

granáo en una función racional en una

CASO I , Si c ^ 0, h a c i e r a e l canbio

Se presentan 3 casos:

4** Í3X + C =s tX

-93-

obtenemos, e l e va r l o -al cuadrado, ax* + bx + c = t*x* + 2v€" tx * <3

de donde x [x (a - t^) - t + b ) = 0

Un esta 61t3ma ecuacd.ón/ daspreciarido l a solución x ^ (3, se obtiene

x v? ( t ) que es una función rac iona l de t y ¿lie = <p' ( t ) d t donde f ' ( t ) ea

también una función raci<.âl de t , per l o tartto

^Ríx,Áx^ + bx + c)dx = t<?(t) 4 *6)v'(t)dt

donde e l integrando del segundo mienbro es una función racional en la va -

r i ab l e t .

Calcular J ' ^ x ^ H + 1

obtîemos, elevando al cuspado, 2x* + x %*x* + 2tx

despreciando la solíRRán 36 =* 0, asta tiene:

2 - t^ 2 - t^ 2 - t^ 2 - t'

Luego, reaÎazando estos valores en la integral y simplificando, se tiene)

- - i¡ e

C A S O n. Si a ^ 0, haciendo la sustitución áx + hx + c - ^Tx + t

elevando al cuadrado, cbtenemos = ax^ i- bx + c - ax^ 4- tx + t*

de dande Jbw te - x + t^

" - - e¿.tacj.6n su -it-tier*e que x y x' son funcionen racima) de t. Susti X ít.! y dx Ít/dt en la integral se obtiene:

( ^ s.M., i ax --- b*x + c) dx í j - - j RÍVÍt), -a + ttJát

y el integrando de la del segundo Máar&re es una función racional en la variable t.

dv E^wpio 79 Calcular * ' í-7.

Haciendo y - + x + 1 = x + t

elevando ¿ti cuadrado se obtiene x' + x + 1 as x" + 2tx + t*

por Yo reemplazando estos valores en I y sinp) ií icanóc se tiene

^ t' 1 ^ J-

= in c + x + 1 x . ^

+ X + 1 - X + 1

CL^SO ÍOL Si tal. trinomio ax* + bx + c tiene dos raices reales r y s.

Eh este caso la sustitución es: y a- /ax* + hx + c t(x - ir)

elevando ai ladrado se obtiene ax" + bx + c ^ a(x - r) íx - s) = t^(x - r)^

<

carx lanór;. e l i actor x - r, ( tesienias: atx - s} - t (x - i) <al cual detemuLna que x, x' e y son fuftciones racionales de t y por t¿nde el nuevo integrando.

^wpio^ Caiarlar I ^ ( J /I

dx

3x ^ 2

95

xmo x^ - 3x + 2 ^ - 2) (x - 1),

y - ^x - 3x + 2 = Z(x - 2) (x - 1) = t ( x - 1)

alavanoo al. cuadrado y sirrpli f icando e l f ac to r x - 1, queda

x - 2 = t^ íx - 1)

. 2 - t^ ' 2t dt De aquí se obtiene x r ^ dx = — , y

1 - t (1 - t ) 1 - t

Luego i = t - ^ t +

+ C

^ ^ y - -1) + c

1.7.4 B H B G R A L E S D E LA FORMA: f x*^ ^ bx^^dx

donde m, n y p son números rac ionales . íse entiende que a y b sen

constantes rea les no nulos ) . A una expresión de 1.a forma x"* (a + bx^)P<3x

íse* l e s llama binomio diferencial. 123. destacado matará tico ruso mas eminente

de l siglo XIX: Pafnuly Dvovich ChevysháV (1821 - 1894) demostró qfê la

integral tita los binemios diferenciales, con e q cnentes racionales puede ex -presarse mediante funciones elementales solamente en los casos siguientes, (siempre que a y* 0 y b y* 0),:

)

CASO I : p es un n&nero entero

CASO H : -- ^ es un número entero n

CASO I I I : R - ^ - í + p es un n&nero entero i *

Si ninguno de los números p, - ^ J L t í + p es entero, la integral

no puede ser expresada par funciones elementales. En los 3 casos, mediahte sustituciones adecuadas, la integral del binomio diferencial puede reducirse a la integral de urta función racional.

-96-

I. Si p es un número entero, la sustitución <35: x - z , donde r - nuc .m de ios denanúnadores de las fracciones !

r. v n.

CASO 11. Si —^— es un número entero, la sustitución es; n ^

¿ + bx = z" ¿onde s es el óenanñnador de la fracción p (por ser p un número racional, p - § , r y s son nünerr)s enteros oeprún s)

m 1 CASO III * Si + i> es un número entero, la sustitución es n a + bn" = zSx" 6 -n s + D = Z

donde s es el denominador de la fracción p.

E/cmp/t) Calcular I

Ri la in tegra l , m - y , n - ^ y p = - 2 K y es de l caso 1)

hacanos la sustitución x - z^; 6 = m.c.m. {2,3}

'

r x ^ j d +

dx = f 2' .6z* fl + z

dz = 6 ! íl+z^)^ J

r e z (1+ z*)*

d2

efectuando la división se obtiene:

I - (t" - + 3 - ^ t )dt (1 + t*)

4 t ' + 3

(i + t T dt

Para calcular la última integral usamos la sustitución trigonométrica

T 4t^ + 3 P (4 tgÔ + 3 )sec^d8 T .. ^ ^ = t dt = ] ' ¡ (4 sen B + 3 eos o)<R? J íl + t ) ^ sec"6 ^

97

3 + sen - coa

T aan 7 ,, sen 4 C § sen + ^ t) - y ^ s* n

Y arctg t - ^ , ^ 2M ^ t ) + C

Por lo tanto

X . t' - + IBt 3t 1 + t

í **** - 4 ^ + 13 ST- 21 arctg 1 + ^

calculé + ^

SoínddA . 1 2 1 En este ejemplo m ^ ' P " ?

Oama !L-Li.* 2, la sustitucj.ón es:

4 2! + ' * z de dooáe 47.' dz 6 áx - 6x

6 ¡ x^z^dz " 6 i - - - 2) z áx

6( í l - 4 c - ¿ HO^ + 36) + C 9 5 A-*

í'2 + ) . jí^'-LL (36 + + c

limpio 33- Calcular I dx

x'(65 - x*) M*

SoÍMddn

i - - (65 - xl 'dx , da dcnde m - - n - p - - y

98-

^ 1 ¡..'OnL -t- .- - i <sr 3 , la sustitucíór^ es:

65 - Tf' a 'x * - 6 6 65 x - i a *

de - 6 (55)x" 'dx ^ , l u ^ o dx dz, e n ^ c e s

= - - xl - vh ^ 325x + C

f/empíc Calcular J ^ + 1 dx

Ge tien¿-: = P = Como + p = le E,

^ sustitución es: 1 + x* ^ z V ó x " + 1 = ^ . 2x

d-a donde dx s ^ ^ N ** ri**

' J T X 7. d2

J? 7 3 i) 3 . áz 2 f tsec O sec & t¡.¡ 6

3 J

y j A + ctQ- e ( - c s c ^ ) d t j

99

= í (ctg 6 esc + lri} ctg 3 4- esc 3 ! j + c ^ L- J

LZ - 1 + ln! 1 + z

/z' - 1

- 1) + — ln o

1 + Z z - 1 + C

Sust. z = sec 9

.31..

+ x , 1 . + l + x ^

^ + 1 - x ^ + C

B/cmp o R3. Calcular I = t'l + e x ox

Soí cídn. Haciende x

= j — x ^ — d t ^ J t Í1 +

Ceno m = - 2, n - 4, p = R-i-í + p =r 0 la sustitución

4 4 . 1 + t - z t 6 t + 1 = z

de donde - 4t dt = 4z dz dt = - t^dz y

= = -J\'z"dz = J ^ - I T ^ dz

= (- 1 -z -- l

)dz =

1 -z - y ln z - 1 f 1 + y arctg z + C

M " '

-100-

+ t" 1 , ^ f v ? -1 71 t" + arctg (-- ) + c 2

—

4x x vi + e - e . x /3 + e -*- e

i + arctg +

Calcular 6 dx

sen x^cs^ x + 33*333* 3c

Uv^ídiendo numerador y dananinador por ees x se obtiene

J r 6 dx J í^bos* x * sen x^cos x 4 sen x

i 1 sec x dx .f"

t^j x .1 + tg^x

Haciendo t - tq x , tañemos;

(i + t') dt

ni - - 1, n = 3, p = - í 3 Coto 13) + 1 n 0 <=r ¡3 la sustitución es

1 4 z de donda 3t^dt = 3z^dz ó dt = t"^z^dz luego

^'^z^dz 6t 'z dz = f 6z dz J

= f [" A ^ B(2z + 1) + c] J L?-^ z '^z+l J

dz

exterminando los valores de A, JE! y C se obtiene A = 2!, B = - 1, (2 = 4 Por lo tanto

J + z + 1 r ¿z

-101-

2 ln¡z - 1] - + 2 + 1 } + C ¿T

= 2 lnj(l + t h ^ - 1) - inj(l + t^)^ + (1 + t ^ + 1} +

8 . ,2Vl + t + 1 + arotg(- ) + c ^ donde t - tg x

EJERCICIOS

Calcular las siguientes in tegra les

dx . ^ — ^ ih

fy + fx R. 2/x - + - 6 ^¡1 ^ x'! ) + C

R. - ° + " - 10 are*; (x*?* ' X + X *

* dx R. 2(x + 5) - 20(x + + 2(x + 5) fSTT5

5x + 20x - 24 . ^ % _ ^ ^ ^ ^ +

dx _ 1 _ _. . 1 (2x + 5) /2x - 3 + 8x - 12 ^

R. ir arctgd + /be - 3) + C

8x + 2l/2x - 5 . _ (2 - x - 5) (8*3x - 5 + 1 5 ) h. - — + 4 + /2x - 5 ^

(x -r^ R- 4 tgh"' (íx + + C

^ ! — R . íx - 2} - 9 + 9 3 arctg^áí .: J (x - 2) + 3 /I

/ /

-102-

8 Jl^l áx R. - + 29 ln^*" + 1) + C < ' }

fjdL+1 dx + 1

10. t dx ^ x

11 j

x - 9 dx

12 r 2

13. J^ /sen*x +

- 4 arctgt^ + c

-

R. enrosen x + A - x + C

R. - Infx + 9[ - y árctg(g J g) + C

. 3 ,2 + x.^ ^ 4 ^

sen x dx R. - / sen x - sei x - arasen jji A -sen x + C

¡ :

14. /oos x + eos x dx R. x - oos*x + arcsenA - eos x + C

15 dx (eos it - sen x) bos 2x

17 - sen x sen x - eos x dx

R. / i + H * V 1 - tg x

+ C

R. - In 1 - A - x^ A - x^ + C

R. /3 + sen x /2 - sen Ix + 5 3 + sen x + C

18 . r — dx 2x + 4

-103-

R. /x^ - 2x + 4 - 3x 16x ^

32 (x - 4 + 2 ^ - 2x + 4

+ - 4 + - 2x + 4

x + C

19 r áx X^x 2x - 3

R. + c

20 QX (X - 1) A * - 3x + 2

R < ^ + C

21 x - x dx

x

R. - — + —-in x 4 x x arcsen ( — ) + C

22 ox

íx - 2 ) ^ -4x^-1 R- —arelen ( rd + c

23 1 - ¿1 + x + x* áx xi/3Tl- x + x

R. ln x + 2 2 A + x + x C X

24 y

j dx (1 x) A + x + x^

R. 3n x + A + x * x^ ¡x + 2 A + X + X^

+ C

25 dx x - - 1

x R. y- + ^ - .1 - í ^ C

26 (1 ^ + x + x*) dx y

X /l + X 4- X ^

X

x + A + x + x" - 1 x - /í + X + X^ -t- 1

-i- c

r -f

-Í04-

27 x + x + 1 dx x + 3!.

R. ^ 1 f^lTx + 1 2x - 1 + 2 ^ - x V 1) C ' < ^

' i i 8

28 x + 2 dx (x - 1) <¿t+l

R. ln(x + át* + i) - -- ln /r i r

+ c

29. dx R. ln

30

(eos x + sen x)Vi +

dx

sen 2x tg x - sec x + tg x tg x + 2 + seo x + tg x

+ C

31 y

- 4

dx

1 * R. ir arcaen í^-^) ^ C

(x - 1)* /5x^-8x+4

32

R. - 8x + 4 (4 - 3x) ^ 2<x - i)*

ln x - 8x + 4 *- x x - 1 + C

i -(x dx

- + x - 6

-1

34

35

36

R. - í arasen + — + C 4 4x - 4 5x + 5

J — dx

y * nr dx

r dx

* ^ d + x')^

i (i + ^

R. 2 i/s + 9 ln]x^ + 1) + C x** + 1

R- + 1)^ - 2(x^ + 1)^ + C

R. ^ i n r

+ c

R. 3 arctg x + C

-115-

37

38

39

r x'ó*

r dx )

X)* dx

R. - - X* , 2 (x + 2) + C

R. - + x + C ¿ T U

8 7Í (7^?- 4)(1 + + C

40 r ^ - ^ dx

41 . J" x^ lTx*)' dx 11 i

42 r A + x^ dtx

^(2 + t¿F) dx

44. r — ^ j x' íl + *')

45. P — ^ R. ^ fl X

r x* + 2x* . 46. ) —r—- dx (1 + X* )

R. 2(4 + 3Í50 Í2 - + c

R. 5x 40

R. 2(1 + + C

R. R - Í ^ ( 1 0 x * - 16) + C 15 (1 + x') ,

2x

ln ÍVx' - x 14 + x" + X

4 y arctg( ) + c

x' - + C 3¿ + x

47 dx x"(25 - x')^'

R. - 1 ,25 - x\ 100 ( -) + C

48 . r . e ) dx

- i (1 - ^ ^ ^ . + ^ . ^ c

49 J ooe x ee^k dx

(*en*x + ooe^x + sen" x) + sen x + -ye

sen x

50 dx 1-320 jy

* 128 R. (8x* + 27)*'* - ^ ^ C

-106-

f dx . 1 ,1 + x* t % - J . - < y- R. - ( - r C

D ^ n & G R A a O N D E P U N C t O N E S R A C I O N A L E S n U G C N O M E I M C A S En general, las.funciones que contienan ccmbinaciones de funciones tri

gonomé tricas no son integrables por medio de procedindentos elementales. Ve remos algunos casos en los cuales la expresión a integrarse puede ser racio-nalizado .

<

. i

i

' i

i

M T E G R A L E S D E LA EORMA: R(cos x, sen *)dx

donde R es una función racional en las variables sen x y eos x De las fórmulas.

1 - tg'^ eos X = eos' - sen' - cos (1 - tg^) -

x = 2 s e n $ c c s í - icos* (2 tg - - ^ ^ ^ ^ ^ I l + tg'$ 2

deducimos, por la sustitución z ** tg ( ) (Sustitución trigonométrica uni -2

versal) que x - 2 arctg z y

(6)

Por lo tanto: R(cos x, sen

luego, la integral del segundo miembro os la integral de una función racio-nal en la variable z.

Byemple ¿?7. Calcular J = eos x + 2 sen x + 3

Soliicián.

Usando la sustitución universal 2 dz 1+ z'

1 - z 4z + 3

-107-

z *= tg (y), con til uso de las fórmüjas (3),

, T dz ^ p dz J z + 2z + 2 J (z + 1) + 1

1 + z 1 + z

- arctg(z + 1) + C - arctg[tg(y) + f{ + C * .

Esta "sustitución trigonanétrica universal" ofrece la posbili dad da integrar cualquier función racional de sen x y eos x. Sin em-bargo, en la práctica conduce a menudo a funciones racionales demasiado complicadas. Por esta raaCn, en algunos casca es preferible usar la sustitución.

t - tg x (7)

Con esta sustitución se tiene

dx dt 1 + t

y sen x eos X (8)

+ t

Esta sustitución (7), por lo nenes, debe ser usada cuando la función r^ cicnal trigoncaétrica tiene la forma:

* * *

i) Jl^sen^, cos*x)dx pon k y n números enteros pares

ii) J R(tg x)dx

R^wpbM Calcular J J 3 + oos^

SolncMa Considerando la observación anterior, es decir usando la sustitución auxi -liar z tg x y usando las fórmulas (8).

r <* - f - J * -

J 3 + — i — . J + 4 JLarctgt^) + C

1 + t

108

.-ârctg(^JL) + C ¿3 En esta ejenplo, si hubiéramos considerado la sustitución universal

z = tg (y), usando las f6nnulas (6)

2 dz = í I + z f 2(1 + z )dz J . , A - z \ ¿ J 3^ + 3z + 2 3 + (

1 +z y esta ültln^ integral ofrece mayores dificultades

J 2 + to ; Epanplo . Calcular I - ( — — dx

tg*x So¿i/CÍ¿71. HacieiTdo la sustitución t ^ x y usando las fórmulas (8),

-r - í - t dt - f í ^ t I - t -i = t t )at (2 + t*) (1 + t^) J t^ + 1 t^ + 2

= ln(t + 1) - ln(t + 2) + C

V + 2 . tg x + 2

Calcular I = ] ' eos ^ 4 oos x eos X +

, f 2 + 3 eos X . __ r , 2 5 ^ J eos x(l + 4 eos x) J cos x +4cosx'

= t 2 aac x dx ' ^ ^ 4 eos x

= 2 3n[sec x + tg x] -j^-y-^ dx 4 eos x

Para calcular J úsanos la sustitución universal z - tg — ,

-109-

r i + ^ J 1 ,

10 f <7_di J 5 -

10 ln + c

1 + z

/ í ln ?

Por lo tanto ? + C

1 = 2 ln)sec x + tg x] - ^-ln tg ? + wí

/í tg + c

Calcular I r — ^ 3 - x + 2^ - x

Solución la sustitución trigoncnétrica x = sen 9, entonces

Y t eos e * 3 - sen o + 2 eos 0

6 En esta integral, usemos la sustitución universal z - tg y y

i = 1 - z 2 dz — . , . r 1 + Z 1 + Z f a - 2z*)dz

3 - 2z 2 (1 - 3: + 5) (s" + 1) 1 + z 1 + 3

>

11 ) d* J z' + 1 ^ - H +

^ - á M — ) * , ^ J + 1 ^ + 1 z - 2z + 5 (z - ir + *J

- y ln(z* + 1)

- ^

+ 4 aretg z - - 2z + 5) - 6 srctg

z' + l - 2z 5

) + 4 arctg z -6 Mctg(^) + C

y 5

.) + 2x - 6 aúrctgí 4 C

4 C

110-

EJERCÍCIOS

J 4 3 ,os x — + C

j 2 + senx+3oosx ^

R. ——arcta ( ) + c * + sen x

sen * J 1 +

{ ser/x ^ 1 + cos x

, y -3 + sen x - cas x

agen x + sen x + eos x

11

R. n- + x + C senx l + tg§

dx R. - x + C

íl ^ R. - -L í tg (4x) + arctg ( ) ] + C J aerr4x + tg*4x ^ L ^

^ R. -ârctgt/ytg x) + C

^ ^ dx R. arctg(oos 2x) + C

. ! í ^ ^ dx R. - lnjuoa x - sen x] + C J 1 - tg x ^

. T ^ L , R. í lnjl - 5 ctg x] + C -J' mtm v — <5 tMMi ir tiriti ir 12 ,

sen'x - 5 sen x eos x

3. — ^ ^ ^ l. j.sen x - 5 sen*x - (5 sen x + 5 x - 1 + C

14 , j ^ — R. + C " sei/x + 5 oos*x A5

-111-

15. T - - 3* R. ^ ^ sen x + 3 aen x oos x - eos x vÍ3 ! 2 tg x + 3 + A3

x . x 2 P dx i 7 ? 16. } ^ arctg( í ) +

eos x + 5ooex+6 /T /T ^ *

17. j R. arctg(2 tg x + 1) + C eos x + 2 san x ana x + 2 san x

) + C ¿T

18 f* aen'x - 2 oos'x ^ 3*--9-arctg(^*9* ) + ^ 3 - oos x

C

R. - ln[sec 2x+tg2x]-sen2x+C 19. fsen^x + oos x ^ ' ¡9(311 *X - COS X

Í CCS X ^ ^mlcsc2x-ct^2x! ^ t g x + C

21. f aenxtgx ^ ^ Ílnltg'x-1]+C J sen- x - oos x

E N T R E T E N ! M ! E N T O

dx R. arasen (í) + ^ + C X X

2.

J x V x + l

J X*+ 1

R. ^ x + 1 + ,3) +

^ ^ x* - ^T x + 1 6

+ aretsg(2x - /5) + C 3!. ) (arasen x + — )cbc R. x aresen x + C - y

-112-

dx ^ST- + 4

r dx * J +

i

R. 2 ^ 7 1 + 2** + 4 + ^ t x - 4

R. 3 arctg x + c

e (ctg x 4 ln sen x)dx

8 - f ^ dx

r dx

+ C

1 + tf

R. e*lnj sien x] + C

R. 4(1 - xl - + í - x" ) + C

R. - - - - 6 l le - 1] +c

10 dx R. a arcaen r * - x - wí - c

11. x + aen 2x + ... + eenínx) . x + eos 2x + ... + cos(nx)

R. " n + 1 i"!cos(!L±-íx)] + c

12 3x + 4 R. bs 2^r (4 - 3x*) +

Sog. hacer tg 6

x - 4 ¿T - 4

x - 4 + + c

13. 4 + e d x R. + 2 ln 4 + e" - 2 ^ + e^ +

+ C

14 x dx X + x* + -/(I + x')

R. y ^ + <4 + X ^ C

x* - 7)TIir+—H-in

17 T (x + l)dx ' J ^. . i. r (2x + x*) ¿bt + X*

R. -+ x

4 C

-113-

15

19

dx R. ITT ln 1 + 2] 1 - 2

+ C

dx

R. ^ bil^T^l + 1} + § Ln¡x - - (x - 2)^ + 2)¡

arctg ( ) + C

f j i J L ^ ^ R. x - 5 x + x] -

25 ln - arctg + ^ arctg

+ C

a. e

san(-)dx x R. 1 X

í - aen í + C x x

23 R. - a) + a lJi - a] + C

24. fjÎEIí dx R. -^ - 12x + 8 - í (2x - 3) 4x* - 12x + 8

y Li]2x - 3 + - + a ^ c

r 2x -2x ! e + e * J 2x -2x ^ e - e

25 dx

26 * y

dx oos x

R. y ln[e^ - 1] - x + C

R. y + y] + C

27 aresen ¿Se A - 2x

dx R. (aresen/S) í/1 - 2x) + C

" i J *

< V

i

H<'<

<

y? a'cr í'f / * (

- x -

a. (i 36 ) * arcsen x JX 6x

i *

.... t sen x dx Jl. ! — ^ a + i) cos^x

R. 1 n* ^ ; ta' Xi X . ^ ab

¡ .2a /RjiJL. i <3 x V a + ox iu . < . . t r— in t ^ ^ ^ ^ 7 & H ^ - 2a ^

V u + X

w % - f

X 2 X dx -.4 +1 - i

.

- L /

A * , ^ .

,1

a.. -- ( — ) + tgh í, ;; ) + c

. f V

1

(X 4 .1) + 3x 4 3x x + 3%. + ,

x ! 1 3 + J ^ L +1

-115-

Sug. u 1 + x

y usar binomios

36. ! — J

dx ¿rri? 13 l + c

aec x aac 2x dx *<f ! l - ^Tsen x ' ^

sen x x 4 C

38 4 x 4 2 4 + x + x + 1 dx

R. y (x 4 1)^ 4 í {xA + X* 4 ln(x 4 4 l)j + C

40.

(1 4 e*) - 1 dx

R* 3 arceos j * ) 4 3 ^ - 2x 4 8 4 C

R- ârctg y-S-T^ + c

41 aresen t g x dx R. l n j aresen ( t g x ) [ * C

42. 1 - OOS X eos a - eos X d x , 0 < a < x < "

R. - 2 aresen ir

43 2x

dx a.

) 4 C

% + e* w (2c* - 3) (1 + e*)^ 4 c TC*

44.

(eos x 4 4 sen x - 5 ) c os x

R. l n (? - aen xW^ (1 4 sen x ) " ^ (2 - sen X) 14 6 - 3 sen x + C

45 x dx R. ln]sec -^ (sec"*x +l)' ^

*X 4 l] 4

46 dx coas x/2 4 sen x

a. m i ^ - ^ n r j ^ ^ J ^ ^ t ^ L x ¡ /Í4 sen x

999 (sec*"x*-.l)

4 c

4C

' * (i:?

^ X ^ c: X 3

1 . ¡x ax + , 1 , R. + arctg ^ c 4a x - ^ a ! 2a A a -x

!

. i

4P, un polinomio cuadrátioo P(x) tai que r(0) 1 , p' (0)

de acdo que ¡ es una función racional P(x) - x^ + 1 ^ xNl-x)*

i

50. J tgh(ln x)dx R. x - 2 arctg x 4 c

51. S /I - os x dx R. - 2*1 + eos x + C

r ^ ^ 1 + 1 + x^

53. r aenh* $ dx R. * sen ¡rf' í - ^ ^ a + c ^ a

54. J" tgh"' í dx R, x tgh"* + y ln!a - x^) C

55 1 JE—JBL R. ^ + c a^ (1 ax)

f* ax i xe dx íl + axí*

56. x aioooe 2 dx R. y^ acwos - i (x + 2a*) - x* + C

57. ! x arctg dx R. arctg - - + í- + x') + ( x a . * ^ aroct . . ^

58.j X X

59 . J^rtgh^ ( )dx R. x ctgh* í ) + y Iníx - a^ + C

yarooos^d, ^ , ^ , ^ ^ I T V 60. ! ^ — — R. - 5 arooos - In — — 4 C x a a x

-117-

61 (x + 'dx R. ^ ^ + C, u - x 4

62. f (eos * - <*n x) dx R. I ctgí^íJL^cSsjL) ^c J 5 + sen 2x 2 ^ $

63. f , , <H ^ (x coa a + x san 2a I) **

1 x oos a + sen a . -R+ "" ' "* + —-- * - * - ' ^ ôos*a + x sen 2a

64. sech\ dx

R. ^ sech*x tgh x + y [aadi x tgh x + arcsenítgh x)j + C

! ! & ^ 65. j (tg x + &ec x) sec x dx

66. ^ /(x - 1)' (x + 2)*

+ c

67 f icos 2: oos x

2x - 3)dx ^ - ctg*x

R. - y tg x(2 + tg'x)^- ctg*x + C

^ r / o T v r ^ J

-128-

+ C

6$. j ^ ^ L d K aan*x

SogerwclA: daaar vi * ctg x

70 dx

71 * J v r j v dx COS' X

R. ^ ^ x + 11) + c

- í ^ dx

eos* x/aan 2x R- -^-(tg^x + 5)/tg"x + c

73. f — J 2 C-C6'

serrx dx x f¿en x eos X

' " s '

74 ^ - 1 f Kc - l x - 2 dx

75. f ^ J L l L ^ J (x -

R. + c

i senx, i 2 , '6. ; e (sec'x - ose x + ese x) dx

R. e (tag x + ctg x) + c

77. serth*** (x/l + x ' 1)

(1 + x ) * dx R. x e senh x

(1 + x^)^ --4- C

' L

I N T E G R A L D E F I N I D A

2.1 SUMATORIAS

Sean m y n dos números enteros tales que m 4 n y f una funci&n defi-n

nida para cada i <e 2 con m i n. El sirrbolo H f (i) representa la su i=rn

ma cita los términos f (m), f (m + 1),...., f (n) ? es decir

n f(i) = f M + f(m + 1) + f (m + 2) + .... + f(n) i*=m

La letra griega 2E- (sigma) es llanada símbolo de la surnatnria, i es el indi ce o variable, m es limite inferior y n es el limite superior. Por ejemplo si f (i) * i*, entonces

5 5 H f (i) * II i* - + + + i^2 i-2

Asi mimo, si n > 1 n 5* sen(ix) sen x + sen 2x + ... + sen nx i^l

n CMMervaádn í En la exparesidn f (i), existen (n - m + 1) amando* y

Í3=m estos sen: f(m),f(m+l) y f(m+(n-m)). Bnpar-

n ticular si m * 1 y n 1, en f (i) existen n stmandos.

i=l

-120-

R O P m D A D E S D E L A S U M A T O m A

n ^ * = (n m + i) C, C es cortan te

n n n I I [fíi) i i I I ^ ^ (Pí^p. Distributiva)

n [f(i) - t(i D ] = f (n) " f (m - 1) (Prcp. Telescópica)

n 4. ZI 1) - f(A - 1)1) fin + 1) * f M - t'M - f i )

i'-xm (Prcp. Telescópica)

¿jA d^rt^tracián de est^s propiedades sni- áejn corno ejercido al Rector.

400 í. CM^Jular el v^lor de. 1EI - A - 1 4)

400

En, la primera sunatoria del segundo aplicando la propiedad 3, paia f (i) sr na * 5 y n 400 ae obt ne

400 I H (/f- /f*I*l) - f (400í- f (4) - -^00 - 18

la segunda aumatoria del segundo miembro par la propiedad 1 se tiene 400 ZJ 4 - (400 - 5 + 1)4 - 1584

400 Por tanto. H ^T^l + 4) - 18 + 1584 - 1602

nuestro interés estudiar las suma toar ias can m * 1 y n 1, por le que las propiedades nencionadas tienen ia forma:

1'. f" e - nc. c atante 3'- í ' ^ * * ' ^ ^ nc, c instante i-1

2' ¿ [f {i) i g(i)D - ¿ f (i) i ¿ g(i) i^l 1=1 1*1

-121-

¿[(f(i 4 1) - f(i - I)] = + 1) + ^ - ííD -

calcular una fOrmula para S Z [(i + 1) - (i - D*1 4

Si f(l) entonces f(i + 1) = (i + 1) y f (i - 1)' - (i - 1)'. tanto, por la propiedad telescópica 4' se tiene

¿ [(i + - (i - 1)*] * (n + D * + n* - 1* - - 2n + 2n i-1

Ó ¿ I [(i + D' - (i * D ^ - 2n(n 4 1) i-1

Si simplificamos la expresión que está dentro del corchete se cbtiene

(i 4 1) * - (i - 1) * = 4i es decir la fórmula obtenida se transforma en

n " 4i 2n(n 4 1)

De esta parte se deduce una fórmula muy oDnocida ^ i^l

Ejemplo 3. Usando las propiedades de la sunatoria, prdaar que:

a) ± i = "t"+ H b) ^ ^ ^ i=l ^ i*l ' n , . < * i n _ < * * :

c) z i ^ - ^ d) xí r - ^ ^ ^ ^ i-1 ^ i-1 30

Sotmcidn a) ver ejemplo 2. b) Consideramos f (i) ^ i* y usando la propiedad (4') se tiene

¿ [(i 1) - (i - 1)^ - (n + 1)' + n* - l' - 0* i-l

simplificando en amibos lados n H 4 2) - 2n* 4 + 3n i-1 n n ^

4 2 4 4 3n i-l i-l

-122-

n n 6 ^ + + 3n - y* 2 i=l i=l n

6 J i = 2n* + 3n + 3n - 2n i-1

dedcnde ¿ i'."<"+yt2n+JL)

c) Ejercicio para el lector. Sug. Ccnsiderar f (i) -= i* y usar prop. (4') d) Ejercicio.

n , 4 Si a > 0, hallar una fórmula para EI a i*=l

Por la propiedad 3', se tiene H (a - a ) = a - 1 i=l

^ (a---)*sa-l F )a = a - 1 i^l ^ i=l ^

de denle Zá* - "¡f-l^

n JE;<REwpjk? 3 Determinar una fórmula para sen kx

Para calcular esta fórmula se considera como f (i) la cofunción de la fun -4

ción que aparece en la sumateria y se aplica la propiedad telescópica (4'). En este caso f (k) eos kx y

n (oos (k + l)x - oosík - 1)x) * eos (ti + l)x + oos nx - oos x - 1

n t- 2 sen x sen kx) eos (n + l)x + eos nx - oos x - 1

k=l n

- 2 sen x ZI sen kx * eos (n + l)x + oos nx - oos x - 1 k^l

de&mde ¿ sen kx . - <**<" + Dx + oos nx - eos x - 1 2 sen x

n E;<nnpio 6. Hallar uoa fámula para k kí

k^l

Considero f (k) - (k + 1): par la propiedad (3')

n [(k + l)t - ktj = (n + 1): - 1

k=l n

Î[k:(k + 1) - k:] - (n + 1): - 1 k=l n

kl (k + 1 - 1) " (n + 1): - 1

n

de donde 21 k kí = (n + 1): - 1

7. Determinar una fórmula para ¿L* &?ÍMddHL n , * n k-1 ^ ^ ^ ** k-1

Trabajando de manera similar al realizado en el ejemplo para f(k) cosh 19 kx, par la propiedad (4*),

n U [cosh 19(k + l)x - cosh 190c - 1)^ - cosh 19(n + l)x + k-1

+ cosh 19 nx - cosh 19 x - 1 n

2 senh 19 x H aenh 19 kx - cosh 19(n + Dx + cosh 19 nx - cosh 19x-l

de doM3e ¿ senh 19 kx ^(n + Dx + cosh 19 nx - cosh 19 x - 1 ^ 2 senh 19 x

" k JE¡pmpio& Hallar una fámula para b seníx + ky) k^l

Se tiene ¿J [b*san(x + ky) - b^sMiíx + (k-l)y)] - b"sen(x+ny)-**n x )c-l

-124-

c !L, b sen(x + ky) - r ZI b sen(x + ky - y) ^ 6

1 k ^ - rr ZI b [sen(x 4 ky)oos y - sen y oos(x + ky)l = a k-1

(1 - - X ) P + ¿ b*oos(x + ky) . a (1)

Para determinar (6)

[b*oosíx + ky) - b ' ccs(x + (k - l)y)1 - b cos(x + ry) - eos x k-1 J ^ 1 " k

¿ - g ÜEZ b ¡oos(x + ky)oos y + sen(x + ky)sen y] = b"oos(x + ny) - eos x k^l de donde:

S&oos(x + ky) y Zbseníx + + ¿-r y cos(x + nyhcos (2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene:

¿ b sen(x + ky) - b(b -oos y) , Tn ^ y) - sen y -k=l b - oos y + sen y

- b sen y oos(x + ny) + sen y oos x] . b - oos v J

n E;emp4o 9. Determinar una idnnala para XI Iník + 1)

k-1

n Y " ln(k + 1) -= ln 2 + In 3 + + ln n + ln(n + 1) k-1

- m[2.3 n. (!S + l)j - ln(n + 1):

E j E R C I C Í O S

Determiy^ una fórmula para cada una de las siguientes surnatarias

n H (Ai + 1 - Ai - 1) R. ¿2n + 1 - 1

4.

i l 100 k 2 é l ^ ^ ^^loitio^

R A * 3. n J R. ^ ^ (4k - 3) (4k + 1 4n + i

4 Sug. Desccnponer en fracciones parciales a: (4h - j¡) (4k + jf)

^ 2*2.3" 2"

5. ¿ ^ . t ^ ^ ^ R. 1 -

^ + k) " 2n ^

+ 2 . e ^ " - 1

2

3 1 - e^" ^

7. ¿ - r ^ — R. 3 - ^ ^ ^ 2 k*-l n(n+l)

a. y * + i - T ^ *h + 1 - i

9. y * !E . + 3n + 3

10. ¿ 1

^ n(2x + n + 3) 2(n + x + 1) (n + x + 2) (x + 2) x + 1)

11 ^[(1 + l/k)*(l + k) ^ R- l i k-1 In k [lA(k 1)^ 2 ln i ' (n + l)ln(n + 1)

126-

n ^ ^ * ^

2k + 1 (k + 1)

n 13. 2-.cos(3kx)

R. nín + 2) (n + i) *

R. - sen 3x 3x

n 25 M. n v-r

k-1 n

* t c/ 10ÍT

15. s r -k=l 2k + 6k + 4

999 ' ^

R. K 4(n + 2)

100

k-1 R. tg* (2x) U -

17. ^

n

- n 19. Z I - x)

k-=l R. [(5 - eos 5) (5

R. 16 16(5^) 5

R. nx"^ - (n + l)x" + i <x - 1)

(5n - x) + 5(5"<X3S 4(13-5 eos 5) - POS x¡]

n 20. 16

k-"l ctg*kx secbcx 6n + ^&ení2n + l)x + sen^2nx) - sen * — —

[sen 4 tn + l)x + sen 4x

sen(4nx) - sen <*L n k

21. sen a eos 3T"

R. - ssn 2aQsen a eos áen(2a) - 2

a)"-J

127

23. ¿ k 2* R. (n- 1)2^+ 2

24. Í Z cos 3x R. ctg*3x[l - oos (3x)j

n

^ & B

R ^TTxf(3 + x ) ^ - J + X - 1

2JÍ CALCULO DEL AREA DE UNA REGION PLANA POR SUMATORIAS

Z Z l P A R n O í O N D E U N I N T E R V A L O C E R R A D O

De/wHddw J. Sea [a,b] un intervalo cerrado, una partición del intervalo (a,b] es toda colección P de puntos x„, x^,

(se denota P - x^)), talas que a * x. < x < x^ < ,.. < x^ = b

O^íTvaadw i. * *

i) Toda partición P de [a,b], divide en n subintervalos al intervalo M -

ii) La longitud de cada svbintervalo para i 1,2,.., n, n

con A^x x. - x. i. Se verifica ^ A .x b - a i i ^^ i iii) Se llama norma o diámetro de la partición P al número

!ÍPtt=mac{A^x/i*l,2, . . . ,n)

iv) fimnA? el intervalo [á,b] se divide en n subintsrvalos que tienen la misma longitud, la longitud de cada subintervalo es Ax - " * . En esta caso, los extraños da cada st&intervalo son n

rrf*

128-

x. = a, x = a + Ax, x^ = a + 2Ax,..., x^ a + i¿x,..., x^ Tairbién se t iene MPH = Ax

2.2.2 APROXIMACION DEL AREA DE UNA REGION POR AREAS DE RECTANGULOS.

Sea f = [a,bl —+ tR una función continua y no negativa (f (x) 0) en ¡a,b¡ * fea la región plana R limitada par las gráficas de y = f (x), las rec-

= b y el eje X (llamada región bajo la tas x 3= <i, x b ) (fig. 2.1).

de f de a hasta

' n .

Fig. 2.1

áY

r *' Ir-*- 1 x. x o X

Fig. 2.2

Como f es una función continua en ]a,b], podemos elegir una oolec -ción de puntos u ,u ,..., u. en ^ r i n los n subintervalos de 3?, tales que

f (u ) es el valar minino de f en

i*.**! es el valar jninino de f en

f (u ) es el valor minüno de f en n

AY

T * . ) * A * + **** *' *1r ; y-*;:* / *

* * : * * W - * * é<* *t *

*

X XjVXg

Fig. 2.3 t t

129

construímos n rectángulos cuyas bases son les subintervalcs de p y cuyas res nectivas alturas son f(u h f(u,),..., f(u ). Las áreas de estos rectáñanlos t ^ n son: .... respectivamente.

Estos n rectángulos considerados forman en conjunto, un polígono llamado "polígono rectangular inscrito en R (Fig. 2.3!). El área che este polígono lo denotamos con I(P), es decir

n I(P) = > f(u.)A.x

i l * * 1)6* nanera similar elegimos v^ , . . . en los n subintervalos <3*3 r, tales

que f (v ) es el valor máximo de f en íx., x 1 i t-' f (v ) es el valor máximo de JE en fx 1 i' t- i' i-;

n rráximo de i en í^n-l^n]

y construir n rectángulos cuyas bases sen los subojiteivalos de 1? y cuyas al turas respectivas son f ív ), f (v ) ..., f (v ). í ¿ n El polígono re< tangulai formado par es nos n rectár gulos está circunscritc-a la región R (Fig. 2.3) y su área denotada por c(P) está dada por:

n C(P) = (v, i r i j. i-l

Dadas dos particiones P y P^, considerando que I (P^) es el ájnea del

polígono inscrito y C (P^) es el área (3el polígono circunscrito^ se veriíi

ca:

I(P ) C(P^) para toda partici6^ P y P^ de [a,b! (I)

Sea i, el conjunto óe todas áreas de polígonos rectangulares inscrito a R

L = (l(P) / P es í^rtición de *

3? 13 al conjunto de todas las áreas de polígonos rectangulares circunscri -

tos a R

U = \C(P) / P es tytrticion de ¡a.ig )

Como cada número ¿el conjunto L es mencx <3 igual a ojgalquier námero

-130-

del conjunto U (por JE), entonces L es acotado superiqnnente y (3 es acotado in feriormente por ¡Lo tanto existen

A. sup(L) y A^ inf (U) í s por definición <3*3 ínfimo y che supremo se

I (P) 4 A. < A < C(P), de donde A, 4 A i s i s

Por lo tanto,el área de la región R (fig. 2.1), si existe debe encontrarse entre A^ y A^ , es decir si A es el área de la región R debe cunplir

A. < A4 A i s Se demuestra mís adelante que A. A , por lo tanto se puede definir el á -i N rea A de la región R cano

A * A * A i s

También se danvestra que si t. t t son pantos elegidos en los n subintervaícs, es decir, i " n entonces

n A - lim (Hfít.)A.x) .... (II)

MPH-+0 i-1 ^ *

O ^ a w á d w 2. Considerando la parte (iv) de la cbservación 1, si cada t. es considerado cosb' los extremos derechos de cada subintervalo (t - a + iAx, i - 1 , 2 , n ) y teniendo en cuanta que HPÜ-+0 <3==s* n -+ (IT) puede ser escrito como:

n n A - lím (IZ f(tj&x) ó A - (lím I Z f(t.)])u ... (III)

donde Ax * , t, * a + i Ax, i 1, ...., n n i (Recuerde que esta fórmula es un caso particular)

+

ii) Si cada t es considerado cano el extremo istpdazdo de cada sutRntexw lq, erntances t * a + (i - l)&x , i * 1,..., *

-131-

JSytmtpio 10 Por rectángulos inscritos, calcular el área de la región R, li mitada por las gráficas de y - x + 1 , x - 0, x - 3 y el eje X.

SolMcidn. Eh este caso, f (x) * x + 1, a 0, b - 3. Como f es creciente en ¡0,3¡, f pre senta mínimo en el extraño iaquier do de cada subintervalo, es decir

t^ a + (i-l)Ax, i - 1 , . . n

3 - 0 3 como Ax as a. - , entonces n n

t^ = 0 + (i 1) n n n Fig. 2.4

X

y f(t¿ + l = n

Por tanto, A = lim ( r H - i + (1 - ^ n-w n i=l

)

^ " L i i i + (1 ^ i=l J

lím { t

3 í¿ n(n + n [ñ 2

1) + (1 )

Mm Í3¡^ (1 + í) + (1 tu- ^ "

) (Ver ejemplo 3, sec 2!. 1)

or rectángulos circunscritos, calcular ItmitadB por las gráficas de

área de la región

y x^ # x " 3 y el eje X.

/

-132-

El g r á f i c o de la región R ae nuestra la f ig . 2.5. Del gráfico se dedu-

ce a * C, a= 3. 3 y por tanto Ax * — .

Ctro f es creciente en jj0,3], el valor máximo de f en cada subinterva 1(3 ae encuentra en el extraño dere -óho de cada subintervalo así

t, - a + iAx d t, - î i i n Fig. 2.5

por lo que f(t^) 9 n

asi: n

A - llm ( n 9

i-1 n i')

- lím ( 27 n** n

n i*) -

i-1 lím ( 27 n(n + 1) (2n + 1) )

n

.t a + j ) (2 + n 9u

En los ejemplos que siguen, no tendremos en cuenta íos rectángulos inscritos ni los rectángulos circunscritos y los puntos t serán considerados como el extremo derecho de cada subintervalo. E/$mplo J2. Calcular el área de la región R, limitadas por las gráficas de y * 3 + x + x*, x * - 1, x * 2 SoÍMcMn y el eje X

a * - 1, b - 2, f(x) 3

- 3 + x + x

n —* n n Fig.

-133-

A 13&n L" i l ^ n' n' J

lím . n ^

lím

1 fn + JLR- - i?- + 1) (2n + 1) 27 n' (n+i) —* 1 *i TT ' . ' A _ * " '"""-i ¡n + — * <" <r-' - L ^ L ^ " n* ^ n* ^

1 + 6(1 + n 9 2 (l + í)(2 + í) + n n 4 n J í

iJ Qdcular el área de la región R limitada par las gráficas de

y - e , x - O, x - 1 y el eje X

Se tiene Ax n

f(t^) - y í i n

A ** lím

lím e l/nf7 1/n ) e ^ - 1

limíl ^ - a i LP e^" - 1 -

Fig. 2.7 (e - l u (**)

Ver ejanplo 4 sec 2.1 para a = e 1/n

Pasando a la variable real x, x * (Aplicar la regla de L' Hospital)

1 n Mm - A - r — x e lím

x+o e^ - 1

E fwpío J4 Chlcular el área de la regiCn bajo la gráfica de f(x) - sen en [0, 3

-134-

SolMCÍdn La gráfica de la regi&i en la fig. 2.8 ¡se tiene

Ax = 57 h t. = -—i , i 2n

f (t.) i

lím Tt+*

Í J L ¿

1 +

(

sen x

Pig. 2.8

- oos(n - cos(n + 1)¿)]

2 sen(^-) i] "

lim rr*«°

1 + OOS(-^) - e o s - c o s ( l + i ) I

L 2(1) - o -

(*) ver ejemplo 5 sec 2!. 1 para x = n 2n

jE/<?Mtjp/o Calcular ej

SoÍMC dn. La región IR se muestra en la fig 2.9. Se tiene

A 1 1 . Ax = — , t. = - i , n ' a. n

f (t .) = senh (i i) y

área de la región bajo la curva v = senh

A = lím n-w

senh(

* * *

A

Fig. 2.9

-135-

cosh(n + 1) í) + oosh(n í) n n I

cosh r ü 2 aenh( - n

cosh(l + + cosh 1 -Um ' ^ I aenh( )

ñ

J6 Calcular al Area de la región limitada por las gráficas &

y - 2áT, eje X , 0 , x * 9 Solución Por concdidad, en esta ca&j) tómanos como variable irxSependlenta ble y es decir f (y) " < Pero la regi&n astá limitado ant

vas f (y) xí 4 g(y) * 9 y las rectas y - 0, y * 6 (fig **,10)

A g(y) - ^

f(y)

yig. 2.10

El Area del .1-ásino. rectángulo está dado por ** f por tanto, el área de la región está dada por

lím r ^ (g(^) -

-136-

áon3e Ay = - ' - = í y z. = O 4 i ¿y = í i n n í n

Cono g ( z . ) - f ( z . ) = S se n

Hm Tí Z T =36u Ln ^ J

E ^ E R C I C Í O S

En, cada une de l o s e j e r c i c i o s siguientes, encontrar e l área de l a región ca-

da, que est3 l imitada po r :

1. y = (x - i r , x = 3, x = a, y e l e j e X

y = x* , x - 0 , x = ¡y e l e j e X R 8 2 T U

3. y 4 - x* , e l e j e y. R. 2

%. y - 4 - } y ) e l e j e x - -- 4, x - 4 R. 8u'

2 y st 2 e j e X , x = 0 . x = 4

¿5.. 37 = x , x - - 1, x = 1, e j e X

7. y 12 - x - x , e j e x - - 2

^ 1 2 R. y U

, 305 2

y - 2 - [xi , e j e X, x - - 2, x ^ 2

9. y = x ^ y - 4 - 3x 2.

jLj. y — j- 2x - 1, e j e X, x - 1, x - 4

12. y - 3x - 3x 2 4 3 x , -eje X, x 0 , x = 1

13. y ^ oosh x , x - 0, x =- 1, e j e X,

71 ir 14. y - eos x , x - - 2* ' x = -5-, e j e X

R.

19,. y - mi;, m > C, e j e X, x = a, x - b, con 0 < a < b R.

4u 2

3

m{b - a* ) 2

R. ( 2

4) u"

R. ^ .u '

R. senh ( l )u^

R. 2u

-137-

15. 4y = (x - 4)^, y (y + 4)*; 4y = - (x - 4)^? 4y - (4 + x)^

^ 64 3 R. "t*

16. y = 3x^ , y = - 1 - x = O, x = 3 R. 57 u^

2J SUMASSUPEMORES YSUMAS WFEMORES

En esta sección y en las siguientes, hasta la sección 2.10, las funcio-nes considerados son definidas en un intervalo I *= ¡a,b] con a < b+

D^nicydM 2. Si P^ 3? P^ son dos particiones de I, se dice que P^ es un

refinamiento de P , cuando 3? cr I? . Sita conprueba f&cilroen-

te que, si P es un refinamiento da P , entonces M P ]! < HP !i ^ ^ i

D^ntcidfr. J. Sea f: 1 GR una función agotada sobre I - y

p = {x., x ,... ? x^) una partición de Con denota

utos al j-6sínic subintearvalo de I, es decir - x J), j = 1,.. ^ ^

Cano f es acotada en I existen m^ y tales que

m. infíf (x) / x ^ I.} ; M = s^píf íx) / x ^ I )

se cunple: m. f (x) 4 M , V x I., i = ..^n. Defíruims: 3 3 **

6rJ ¿g sMMs áa jf para P, que se designa por S(f, ]?), se define cono n n

S(f^P) - x. J = iSZ m.A.x

SKmn 3z¿pe?*¿í2r á? j*' pariz R, que se denota por S (f ,P), se defir e co-

rno. n - Z I x . J 3

i7. Sea i(xl - ^ función oonstsn.í defNjrddd en - {a,b¡

La gráfica, da la función ^ Mue^trá en fig- 2-11. Se tiene

-138-

n n S(f,P) = H L k A.x = k y i A.x

= k(b - a)

(k = infíf (x) / x ci^.})

S(f,P) n n

= k A .x = k 3 A .x

= k(b - a)

(k st^ íf (x) / x F i g . 2.11

E/emp/o Si f (x) = x, x I = []a,b] se tiene n

S(f,P) x - ¿ .x

( x ^ - inf(f(x) / x <sri J,

j = 1,..., n) n

S (f,P) = X I x. ¿.x j=l ^

(x = supíf (x) / X ^ Ij),

j = 1,..-, n) Fig, 2.12

f;emp¿p 19. Consideremos "la función de Dirichlet"

f ( x ) = 1 , si x es racional

+

0 , si x es irracional x6T I = [a,b]

Para cualquier partición p se verifica que

m. - 0 y M. = 1 , j = 1,2,..., n 3 3 . n - n

lueao S(f,P) - X I .x = 0 y S(f,P) X Z = 1 j =1

-139-

2J.1 N C N I H C A D O G E O M E T R I C O D E L A S S U M A S S U P E M O R E S E M F E M O R E S

tinp e las sumas superior <6 inferior poaaen una interpretación geométrica En primer lugar analicemos el significado del producto h A^x don-

de h es d M^ y A^x es la mplitud del subintervalo -si h > 0, hj A^x numéricamente es igual al área del rectángulo de baae

y altura h^. Si h - 0, h A^x - 0 y si hj 0* Mnárica -mente es igual al opuesto del área del rectángulo de baae y altura - hj. Por esta razón al número h^ A^x lo denominaremos área algebraica del rectán guio cuya baae es y altura es jh ], es decir el área algebraica es posi-tivo si el rectángulo está sobre el eje X y negativa si está debajo del eje X- En la sección 2.2.2 (figs 2.2 y 2.3) vimos que cuando f es no negativa en I, S(í,P) y S(f,P) (que denotamos por I(P) y C(P)) son respectivamente, las áreas del polígono rectángular inscrito en la región R y del pergeño rectangular circunscrito a R, donde R es la regidn limitada par las gráficas de f, las rectas x * a, x b y del'eje X.

las figuras 2.13 y 2.14 se nuestran y respectivamente, pa-ra una fuiciCn que no necesariamente es no negativa.

Mg. 2.13 Fig. 2.14

Hay dos detalles que merecen un comentario. la condición que f está aaotada sobre I - [a,bt es esencial para que existan los valores m^ y Mj. Cbsér

-140-

vese tanbién goe f t a necesario d e f i n i r l os números m y M^ ccmo ínfimos y

suprcxnos, en vez de mínimos y máximos, (como se hizo en l a sección 2 .2 .2 ) ,

ya que no se &: ig i6 que f fuese continua.

2 3 2 P R O P I E D A D E S D E L A S S U M A S S U P E R I O R E S E

H W E R I O R E S

Cero f es acotada sobre I , existen y M ta l es que

ir. = l n f í f ( x ) / x^T T ) y K = sup í f (x ) / I I

P^^posicfQH .1 Si f es una función acotada sobre I = ja^bj y IT' {Xof x es uim par't iciá^ de I , entonces se t i e

ne m(b - a) ^ 4 S ( f , P ) 4 M(b - a) (1)

Para l e s nún^ros m, ni., K. y M se t i ene las desigualdades:

m m . $ M ^ M ^ 3

innltipLícîdo todos l e s mianbros por A .x > 0 y suam-ióo l a s re lac iones cbte

riáas para j - 1 y 2 , , . . , n, tenemos

n n n n xt ¿ .x 3 n . ¿i .x M. ó .x ^ ¿L- M A .x 6

n

m H I ^ S(f,P) 4 S(í,P) .< M

n ccR¿3 JL- ¿ .x - b - e. se. t iene e l resultado (1 ) .

Z f es 3imción acóLaa^ 1 y P ,P ¿es .p^rticôn-:

y. tul eje I'* e^ urt refij íami-nn. bo de . ? ), ertcn-x i *

-141-

S(f,p ) - S(f, P ) < r(M - m)ÜP i! *** ^ i í i

^ S(f, P^) - P j 4 r(M - m)ÜPJi

Díôs&gción. (Se deja txim? ejercicio para el lector).

ProposzcfdM J. Sea f una función acotado en I, P 3? P^ dos particiones ar

bitrarias de .1, entonces se tiene

Síf, P ) P j

Sea P - P U . Ceno P cr P y P^c P^ por la proposición

anterior se tiene

S(f, P ) Sífr P ) y S(f, P) < SÜf, P ) — X — ,2

Bor la proposición (1) se tiene S (í,P) 4 S (i,P)

luego S(f,P ) < P ) .

2.4 INTEGRALES IN1FERIORES Y SUPERIORES

Denotemos conD 'el conjunto de todas las particiones posibles tita JE. Si f es acotada en I, la desigualdad (1) es verdadera para todo 3? € 2) y a-segura que el conjunto numérico {S(f,P) / P 6 D ) es acotado superiormente y

que el conjunto (S(f,P) / P € j)} es acotada inferiormente.

D ^ M i d d n 4. S i f es una función acotada en I , e l náuero stpíSCf^P) / .

P €![)} se denoenina integral inferior de f en I y se indica ccn o

a El número ínf{s (t, I?) / 3? se denornina integral superior de í en I y se indica coma:

r b J - ^ f M d x - ihfiS(f,P} / P-cC;

-142-

2L4 i PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES SUPERIORES E INFERIORES

1. Si i es función acotada en I, entonces

rb 7*b J 4 J ó j f<x)dx4 i f(x)dx (3)

2. Si f es función acotada en I, entonces

m(b - a) 4 J J 4 M(b - a) (4)

donde m =- ínf{f (x) / x e 11 y M =- stpíf íx) / x

3. Si f es acotada en I, existen puntos c y c^ cr I, tales quert

j-f(c^)(b-a) y J = f(c^)íb-aj (5)

de modo que m % f (c ) g f (c ) 4 11

4. Si f es acotada en I y c < a, b 1> , se

b ?"b f(x)dx- t f(x)dx+ ^ f(x)dx

J ^ f (x)dx * ^ ^ + j f (x) dx

M INTEGRAL DE RIEMANN

DefiMicidní Se dice que una función f: I -+ !R es integrable Riemann

en I cuando f es acotada y b r ^ f(x)dx=S f(x)dx

a â

Al valar catán de las integrales inferior y superior se da el ncnbre de In-tegral de Riemann de f sctpre I, y se denota cono

rb r h r b J } f (x)dx = j f íx)dx = t f(x)dx

A *** A 3

-143-

Por simplicidad se llama in tegra l de f sobre I 6 I n t e g ra l de f in ida de f so

bre I 6 in t eg ra l de f de a basta b , para as í d i s t ingu i r de l a in t eg ra l in-

de f in ida .

En J^f (x )cx , e l s í m b o l o ^ es Hamaco sínbolo de integración (este símbolo gutí

que es una S alargada, fue intj*o&^.aido p;jr Leilunitz para, representar 1.3 "su.

") ? c l a función f (:-:) l e dS i l ruTrbre de integrando? a f (xtáx e l f ^ . ^ t o

de integración f el námaxo ^ es l í i f . t e i n f e r i o r da .integración y b es e l

l ím i t e superior de integracián. Ir? var iable x goe an } f (x)dx no e

t iene s i gn i f i cado espacial . Asir " ^b ^b ^ b

] f (x)dx - J í ( z ) d z - J f ( t ) d t = ' f (y)dy - \ f (u}du; e t c . a a a

20. Sea f (x) - 3: la función constante. e l c j c ^ l o 16, para

I = [a,bl se t i ene 3 ( f , P ) == S ( f , P ) = k (b - a)

luego J = J — k (b - a)

osea f es integrable â

( función que no es in teg rab l e ) . La función de D i r i ch l e t

IR definida por

0, s i x es i r rac iona l f (x) = ;

1, s i x es racional

Por e l ejemplo IB, para cualquier part ic ión P de I 3= [(), l ] se t i ene

S ( f , H - 0 y S ( f , P ) = 1

luego J - 0 y J = 1 , por tanto f no es integrable <311 JE.

-144-

.f [a, ).

Del significado geométrico de las sjmas superiores e inferiores (secc 2.3.1) deducimos, que si R es la región plana limitadla por las gráfi -cas de f, las rectas x = a, x = b, y tal. eje X y A(R) numéricamente es el área cita la región R (es- decir, si el área de la región II es i gual a 8u , AíR) - 8), entonces:

b i) si f (x) 0 , V x [a,b¡, A(R) f (x)dx

ü ) si f (x) < 0 , V x ¡a,b], - A(R] f (x)dx

r' iii) si al nárnero J^ f (x) dx J6 llamamos, de manera similar para les

rectángulas, área algebraica; entonces para una función arbitraria pb

f continua tari [a,b] , ! f (x)dx tas la suma da las áreas algebraicas

<3*3 las regiones determinadas por las gráficas de f, de las rectas x =* a, ir -s b, y del eje X.

fgorawt 1. CC lTFRJí? Di* PF AÍFMTVÂ Si f es una función a-

cotada tari I, una condición necesaria y suficiente para que f sea integrable en I tas; que, dado s > 0 arbitrario, exista una partición P cha I tal que

§(f,Pf - S(f,P) < c (6)

DenMMáraciJn.

a^ condición necesaria (=> ). por hipótesis f es integrable en I. Siendo

J - sqp{S(f, P) / P dado ^ > 0, existe una partición P de I tal

^ J - S(f, P ) Ó J - S(f, P ) < ^ (7) — 2 — t - — ! 2

Por otro lado, siendo J = ínf{S(f, P) / P D), temando el mismo t > 0

existe una partición P^, tal que

-145-

S(f, P^) J + ^ s(f, P^) - J < y (8)

suciando mianhro a mieccihro las desigualdades (17) y (8) y considerando que J = J , obtenemos

S(f, P^) - S(f,P ) < c

Considerando P U P^ * P que es un afinamiento de P y p^, teñamos

S(f, P) - S(í, P) < S(f, P^) - S(f, P^) < c

b) candiel^ suficiente (<s=s*). Supongamos que, dado s > 0, existe una partición i? de I tal gue (7) es verdadero. Oyó

se cbtiene 04 ? - J4 - S(f,P) < c

cano es arbitrarlo se obtiene J - J^- 0 0 osea, f es integrable en I.

Hasta ahora, S f (x)dx se ha definido tan sólo si a < b. Por convenien-

cia, damos las siguientes definiciones:

DepnicMn 6. Si a < b, s^ define (x)dx - -^^f (x)dx.

siotpre que (x) dx exista.

7. Si f es una función definida en a ae define J^f (x)dx - 0

Si f es una función continua en I [a,^ , entonces f es in-tegrable en I.

la prueba ae deja como ejercicio al lector.

-146-

2L5.I P M PÍEDADES DE LA WTEGRAL DEHMDA

1. Si f es integrable en I, entonces es integrable en cualquier subinter-valo [c,d¡ c I.

2!. Si f es una función integrable en I, entonces para toda constante real

k, kf es integrable en I y se tiene: b F-b k f (x)dx = k ¡ f (x)dx (9)

3. Si f y g son funciones integrables en JE, entonces f + g es integrable en I y se tiene:

b ^ b (10) J^]f(x) i g(x)]dx f(x)dx ij g(x)dx

4. Si f es integrable en los intervalos [a,c) y [c,b], entonces f es inte grable en I = ja,b} y se tiene

b ^ c ^-b f (x)dx - ¡ f (x)dx + f íx)dx (11)

(Propiedad de aditividad respecto al intervalo de integración)

Esta propiedad tas válida para 3 números arbitrarios a, b,c sienpre que las 3 integrales existen.

5. Si f es integrable en I - [a,b] y f (x) 0, V x c I, entonces b f(x)cbt3-0 (12)

6. Si f y g son funciones integrables en I y f (x) 4 g(x), V x enton -p b b

oes ¡ f(x)dx4¡ g(x)dx (13) ' a

7. Si f es integrable en I " [a,b] y que m 4 f (x) 4 M, V x € I,

- " t í " entonces m(b - a) 4! f (x)dx 4 M(b - a) (14)

6. Si f es integrable en I, entonces

pt> [f(x)(dx (15)

M-2 TEOREMA DEL VALOR HÊRMEJMO PARA INTEGRALES

Si f es una función continua en I - [a ,b), entonces, exista un núê-reo c I tal que ^

f (x)dx = f(c)(b - a)

Dpnnos&ccidTy. JRnrbes de dar la áefucstraciósi recordantiy el teorema del valor intexmedio de una función continua^ (Ver TOPICOS DE CHLCnjü

VOL. I CAP. 7 ) . Kste teccr^ta ditne "Si. f es continua en ¡a,b¡ y s i

f (a) f (b ) , e n r i c e s para cualquier ^ entre- f (a) y f , e x i s t e un nCsossi

g entra a y b, tal que f (c) a*.

Por MpótasiR, i es integrable en I, pues f es continua en 1 . 4) luego par (14) se tiene

o

b - a) ^ M(b - a)

a donde ni y 3* en este caso sen, respertivamxryte, el mínimo y náximo absolutas d<e f en I (estos valores existen puss f es oaitínua).

bsego m = f (x ) y con x^ y x^ a I, y.

(xMx

4 : "4 f(xj b - a

&3i e l teorema d e l valer ^nteaDeîo para fuDcianes cont^nu&s, exista c etütyn x y x íc H tal que rn ^

b

f (c) c — , es decir ! f (x)dx i^c) (b - 3) con c €* I, b - a J^

r

2.6 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO

Si í as uta función continua en 2 = ¡a,b¡ y % e s la función definida por

7*(x) i" f(t)dt, x , entonces se tiene ^ a ^ x

f'(X) d fít)dt) = f (x), V x € 1 J ja

.DtíMO íT-addn. Por definición: para x e (a,bj, fijo ^ x-t-h ^ x

y (x) - lím — — ^ — l i m — r— R Y . . R ii x . x+h ^x f (t)dt. 4- ! f (tjdt --} f (t)dt

a - 'x a - lint r por {11) hô ^ x+h

L f(t)dt x lím ^

Por el teoroyta del valor intermedio para integrales, para el par de números x, x + h [a,b¡, existe <3 entre ir y x. + h tal que

f (t)dt f (c) {x + h - x), esto significa que x

lím , C entre x y x + h

3* íx) *= lint f (c) , c entre x y x + h hô

Jr íx) -s f (x) , V x 6= i . % Jr es una anidar i -ada da f en 1.

Este tearensa un arilace entr-c! los conceptos de inte g-ral definida e indefinida - E3.1o prueba qt. una futx:ión continua en 1

-149-

admita una primitiva daáa par la integral =4 f (t) dt, pues ^ a

3** (x) = f (x), V x JE. Este e& un teorema de existencia porque prora _ — — *

continua ÍF f(t)dt tal q m %(x) = í(x). Cano =0, es la antiderivada

JF (a) = o, es decir pasa por el punto (a, 0).

TTeonang J ^FGKFm FíW^F^Mn BEL CALOVÍO

Si f es una función continua an I = (a,b1 y IT es una antiderivada de f

tari I este es F* (x) - f (x), V x er I , ei^tonoes se tiene -b . r-

f (x)dx F(b) - F(a) = ¡F(x) (16) a ^ "'a

Dôs&g^K!. Caco F es una antiderivaáa de f en 2 y por el primer í ^ x

r r)darnantal definida por (x) - ! í (t) c!t es tigahién tma

antiderivada ¿a f eít I, entoiTces existe una constante C tal

F(x) = ^(X) + c , V-xer T

Se tiene b Fíb) = ^(b) + C = T f(t)dt + C Ua

F(a) = + C = ¡ f (t)dt + c

a. Ctno ¡ f(t)dt-0 a

se tiene que F(b) - F(a) = ( f (t)dt + C) - (C) r de donáe ^ a

b " f (t)dt = F(b) - F(a) a

como la variable t no tiene significado especial, se concluye b f(x)dx = F(b) - F(a)

-150-

! ilx) L.

b es una notación para F(b) - F(a)

a

A lúa tórmuJ a dada en (16) ¡3*2 conoce ccn el nombre de "Fórmula <3*3 New ton - Leibfíitz", debido a que estos dos matará ticos establecieron, indepeMj.ente uno del otro, la relación íntima entre los conceptos de la derivada y de la integral. El nembre que se le dá a estas f3¡r muías es convencional T,*a que ni Newton (1642 - 1727) ni Leibnitz (1646 - 1716) dieron exactamente esta fór?nula.

Üi) Obsérvese que la diferencia 1? (b) -- P (a) no depende cha la elección che; la antiderivada I?, puesto que bodas las antiderivadas se diferen-cian tari una constante, la que desaparece al efectuar la diferencia. Por lo que no tsas necesario considerar la constante al hallar la anti derivada.

x íx) = t — L

^ i + t Sea la función F(x) = j — dt. Calcular

a) F' tx), b) F"(x) , c) F' (1)

a) Siendo JE (t) ** — - — una función continua, por el primer teorema funda 1 + t*

mental, se tiesie:

1 1 f (x) . x ^ 0 ' (es necesario notar que F' (x) r 1 4 x^ 1 + x

es válido para todo x <er 3R), se cbearva que F tx) > 0, V- x, entonces 1? es una íunción estrictamente creciente.

2x b) F" tx) , 3MB cbserva que IT presenta punto de inflexión

1 1 c) F' (1) - y . Para terminar cbseiva:*^ que, al ser F' (x) ^

^ - 1 + x^

entonces F (x) =* arctg x + C para algunas oor stante € ccmo F (0) ** 0,

(por la observación 3 - ;Lü).

-151-

(3 - arctg (0) + c ====> C = 0 es decir F (x) = a&ctg x.

fêwpb 23 Calcular el valar ^ cada una de las integrales

j bj ¡ sen x dx c) e dx d} i xdx -'-l 1 + x -4) - O Jb

a)

a) iJna antiderivada de f(x) — - — en 1 pl^ Ü es F (x) = arctg x, 1 + X

dx r K it luego ¡ ^ arctg x - arctg (1) - arctg (-1) - y - í- -) = -4-11 + x* L J-^ ^ i ¿

V 2 j- „ b) i sen x dx *= - ¡oes x[ = - (eos y - eos 9) a= 1 - jecs xj

H ! - -c) ! e^dx = !e") = e' - e^ -= e- 1

d) J^ s¡ehh x dx joosh xj " oosh(l) - 1

(brnpsre las respuestas obtenidas as (b), (c) y id) con las cbteni -das en los ejemplos (13), (14) y (15), de este capitulo.

i) Sea C(x) f (t)dt, donde i: 1 - [a,b] a es una función continua * y u - u(x) es una función derivable (u: I), entonces probar

G' (x) - f(u).u' dende u' — y (u(x))

ii) Sea H(x) f (t)dt donde f y u " u(x) tienen las condicicoes dadas

en (i), entonces probar:

H' (x) = - *(u)+u' donde u' - (u(x))

SoÍMcMtt

i) Si F(x) Ktitdt y u - u(x) entonces

-ru-

ar o u) tx) - F(u(x)) - r

f (t)dt - 6tx) . Por la regla de la cadena

C íx) = F' (u(x)) .u' (x) - P' (u) .u' ^ f <U) .u' pues y (x) f <x)

'

ü ) Híx f ít)dt - f f (t)dt

por (i), H'(x) = - (f(u).u') - f(u).,u'

25. Sea C (x)

H(x)

= ^ ¿ ^ 1 + 9 sen t

= r — i — -y t + 9 sen t +

- dt 15

hallar a) G' (x) y b) H' (x)

SolMádn. 4

a) Usando el ejenplo 23 parte íi), considerando gue f(tY * se tiene; 1 + 9 aen t

C (x) 1 + 9 seo^(x')

. 4x ! 4x 1 + 9

b) Usando el ejenplo 23, parte (ü), considerando f (t) = t + 9 sen t + 15

H' (x) =-x' + 9 sen(x^) + 15

. 3x 3x x + 9 sen(x^) + 15

E/tmpio 26. Si C (x) -x*

^ Vf + y' dy, hallar C (x)

cono f (y) % + y' es continua en R

-163-

G(x) Ví + / dy S4 + y'dy SÍ + /

de Ande (x) - Si + x* . 2x + ^ + x^ . 3at

Caioüw al valor de J i-i i + ^

dx

1 + * , ai x 0

Si f (x) -—Lî— ^ entonces i(x) 1 + x'

por lo tanto 1 4 x

^ ai x < 0

y f (x)dx f (x)dx f (x)dx

-Ll 1 + x -'o 1 + * dx

1 2

la 2.

Calcular J -4

x - 6ldx

La veurioq CSn de signos da x^ + x - 6 (x + 3) (x - 2)

-3 i

peer tanto y + x - 6j ^ + x - 6 , aA x C < - -3) U [2, + <° >

-(a^ + x - 6) , ai x o«S*3,2>

por tanto

f; + X 6(dx (y + x - 6)dx - íx + x - 6)dx -+ /t -4

+ ^ (x + x - 6)dx

-í J-3

-¡4

17_ , 125. 38 109 6 ^ ^ 6 3 3

E/^p^? 2P. Sabiendo que x > 9, resolver la ecuación*.

r 16 dt _ ¿f *** 3 ^ (16 - t^)

, 2 + 5/F - 10

3 + - 2 arctg --ln 5 (a)

Bn primer lugar calculante la integral r 16 dt (16 - t^)

f ^ ^ f _ J 2 J (16 - t^) ^ u(16 - u")

u du _ ] - ^ ^ J

32 16 - u

du du + ^ 4+u 2

Sust. t = ti

dt - 2udu

+ ^ arctg( $ ) + C u - 2

In 2 - 2

/¡r + 2 arctg(-y-) + C

p<or tanto x

16 dt 9 /t (16 - t^)

ln vt + 2 yf - 2

2 arctg (—r-) x

l^tJ^Í-i) + 2 arctg ^ /x - 2 ^

5, ¡ 4- 2 aictg

135

reemplazando ( e n (a) .513 tiene . V

fx + 2 - 10

) + 2 arctg - 2 arete 4 ^ + l n ( — ) - 2 ? —-- 10

de donde 2 arctg ^ 2 ^ arct,^) = í

= . Luego x = 12

E]ÍER€ICÍOS

i. En cada uno de líos; siguientes ejercicios, ca3cular la derivada de las siguientes funciones:

2x a) F(x) = IMt

b) F M = — - et arasen t

F' (x) = 2 cosr^Cx" + 1)

a ry

c) F(x) ( 1 8 1 t^ + san t

R. F' (x) 8 1 + t^ + sen^t

- dt

x dt

1 + sen t d) F(x) + 4)dy

a

e) F(x) - sen^j" sen*t dt)3^

- arasen (eos x) 2- Si F(x^ 3 í (sen t) dt - x

4- sen x

- sen x a (x) /g (t) dt " A - ees x

i

fd) Íipllr* a' (x), si H(x) = — - R- "" "3

t x gíx) (i - xl

SÍ i 't)dt - -r" *" ^

(L -ÍL. R. a - 2 6 1 detennínar los valares de a. de mcdo que f (y) =

6

4. Si F(x) = t — L — dt . Calcular F' (x) 1 + t

j-X+X* 5. Si Gtn) = ( calcular a) G' íx) , b) G' (1)

'+1 ^X

6. Si F(x) = í x(t^ + l)dt , calcular F' íx)

J 7. Sea G(x) -= ) f (t)dt . dorê f: I !R es una fuiición continua

(x)

y y . : j + I son funciones derivables. Probar que ** i a

G' (x) f (sP íx) (x) - f (x)f j (x)

8, En cada caso calcular f (2) si f es continua y verifica la fórmala da da, V x & 0.

a) Tf(t)dt = x*(l + x) R. 16 Jo i *) , H /IT*

b) ¡ f (t)dt - x' (1 + x) R. 5 J o

íx) - —-c) 'i t dt - x^(l + x) R. J o

,-x CL^} s 1 d) ¡ f(t)dt=x ir

5

9. Demostrar gua si f es continua, entonces x ^ u

f (u) (x - u)du (j" f (t)dt)du 0 -'o

Sug. Considerar F(x) = ! f (u) (x - u)ch entonces F' (x) 11 f (u)du Jo -'o

luego hallar su primitiva y calcular F (0) para la constante de la primitiva.

10. Aplicar el ejercicio (8) para demostrar que

- u)*du = ^ ^ ^ f(t)dt)dz)du X ^ u ^z

f (u) (X 0

11. Hallar f(x) si f"'(x) ^ , V x ^ 0 X+señ*x

12. Calcular til. valor de las siguientes integrales

a) x*dx b) (x + l)^dx

r-1/2 ^ 2 c) ^ dx d) ! — — dx

1 x

^ fí-nirr^ f) f ' ) - ^ ^ — Yl Í2 - x) (x + 1) R. 1.336685 ....

g) í ¡eos x]dx *h)J^sen^í3x)dx

i) y Y ^ r ^ ^ J J * " ^ ^

-158-

>7 í ^ M E R O D E V A R L ^ S I J B E N U N A I N T E G R A L D E H N I D A

Teorema 4. Si f es una función continua en I - [a,b] y si se reotplaa&a la variable de la integral x por g(t), [es decir x g(t)J, don

de g: I tiene derivada continua en [a,6) con g(ot) - a y

g(3) - b, entonces

ff(x)dx-f f(g(t))g'(t)dt (17)

fY D^mtMA-addw. Sea F(y) f(x)dx, por el primar teorema fundamental

a

del Cálculo Integral, se tiene F' (y) = f (y) , V y c I

Por la regla de la cadena 6 derivada de una función compuesta tañamos:

¡F(g(t))]' -F'(g(t)).g'(t) - f(?(t)).g'(t)

por tanto, F(g(t)) es una antiderivada de i(g(t)).g' (t). Por el segundo teorema fundamental del cálculo,

e 6 ¡ f(gtt)).g'(t)dt*}F(9(t))lS

^ - . y(b) - Fía) .. b

- ! - f(x)dx a i

i) Si la Unción g: Q I es tal que * & y g(a) b

la iánnula (17) es sustituida por f tT ** j - í f(g(tí).g'(t)dt A

f 11 Si se efectúa un cambio de variáble en una integral definida aplicando ia f t-mula (17), no regresa¡mox); a 1& vajriab original.

gawpbm Calcutar J - ! — B -dx RpiucMn

f - ^ í -

Haciendo t 1 + se tiene gue x - g(t) , g' (t) ^ 3 V(t-i)

g(9) - 2 y g(28) - g y g' son continuar en [?, 23] (*)

3 luego J = at

26 +-* 1 f l 703 t dt - y } -

^ t- 127,008

(*) En la práctica, no es necesario dar la función g (t) e^plícitF^rste; con-siderando que el lector está habituado a canbiar de variable en una ints gral indefinida, sólo ncs queda decir que para cambiar los limites bas-ta reenplazar la variable original x por los limites de integración en la correspondiente sustitución (en este caso, en t *=* 1 4- ) y obtener los nuevos límites de integración (que son los valares de la nueva varia ble) . En nuestro ejemplo procederíamos asi:

Ceno la sustitución es t * 1 + x*

para x - 2 "xas* t - P - <* ; para x. * 3 t * 28 - 3

por tanto r x'dx ^ 1 r^ ^ 1 r^di

-1 (x + 1)

137,009

^l^jular el valer de J

Antes de efectuar el cánido de variable, dividimos HMmerBK&ar y dBnominaá^^

por (x* > 0 , pues x [ y , lj), entonces

-160-

J = (x^ - l ) dx

/2 íx 1) + 1

(1 - ^ )dx X

X

d t

5 t ^ r ? y

arcsec( J ) J ^

(arcsec (/2) - a r c s e c ( ) )

— ^ - a r c s e c ( - )

Demostrar que:

i ) S i f es continua en fp ,a ] , entonces ! f (x) dx í Jo

f (a - x)dx

i i ) S i f es función par y continua en }j- a , g^J, entonces

a ^ a

f (x)dx - 2 f (x)dx

í í í ) Si f es futicián impar y continua en , entonces

f (x)dx = 0 -a

i v ) Si f es función par y continua, pruebe que

J x JE (eos x )dx = ir ¡ f (eos x)dx 0

7! v ) Si f es continua, pruebe que t x f (sen x)dx f ( s en x)dx

i ) En la i n t ^ r a l 1 i (a - x)dx reenplazamos a - x = z

para x - 0 z - a y para x - a a - 0 , entonces

-161-

a o f (a - x)dx - ! f (z)d^

O ^ â = ! f (z)dz, como la variable at no tiene signiíi

f (x)dx a 0 "

ii) J" f íx)dx f (x)dx f (x)dx —a **a

—

En la integral J reoip lazarnos x - - y , entonces 0 f (x)dx = f (-y)dy

¡ f(y)dy . (Poar ser f par f(-y) - f(y)

f(x)dx (6)

reemplazando (P) en (?)

f(x)dx-¡ f(x)dx+! f(x)dx=*2 f(x)dx -a

/

iü) Si reerrplazanos x r t

f (x)dx - - 1 f (-t)dt = - f (t)dt (por ser f inpar, f (-t)=-f (t) -a ^

luego J f (x)dx -j f(x)dx ^-a -¿-a

de donde 2 f f (x)dx 0 6 f f (x)dx 0

s iv) Ejercicio (Sog. hacer; x = * - y) v) Ejercicio (Sug. hacer: x = * - y)

/

162

Calcular J 1 + x'

SofuCíÓM. Re€irplazamos x = t g 3' entonces

j J ^ L í Z L d x ^ ^ ^ ^ ^ secê d ^ de^nde 0 1 + x sec 8

ir/4 J =\ l n ( l + t g

- - ¡

= j I n í l + t g ( I - e)Jd9 (ver e j e r p l o (32- i )

= JLn 2 d3 - ! í n ( l + t g C)d5 Por tanto, 2.J = S In 2 d3 = ln 2 , luego J = In 2

r 4 ^ — ^ 8

dx Calcular J

0 x sen x <±

-Jft 1 + cos^x

^ f ' x s e n x gx

-^0 1 + cos^x 2 - sen*x

puesto que e l integrando es óe ¡Lia íorna. x f (sen x) donde

f (sen x) = — — - J L - ^ usando e l e jenpio 32-v, tenenos 2 - sen x

-Jo 2 - sen^x 2 - sen x

-163-

^ ^ ^ ^ dx = - ^ L c t g ( c o s * ) -'O 1 cos^x

n

^ - ^ k r c t g ( . 1! - a r c t g ( l ) ] = - ^ E. . E . ] = ^

JêmpíoJi Calcular J = t (x *cos x + Vtg x l- san x * + cos^x) dx

-17/4

! a y — . COS X ! ¿ J = ! (x eos x + /tg x + sen x e )dx +1 eos x dx

-71/4 -ir/4

ü/4 í -?r/4

, ^ j t 1 + eos 2x -- t eos x dx = j — " 2 ctx

1 i , sen 2x ^ x + — = ^ ! ^

- V 4 4

Para calcular J^ , puede usarse e l e j enp lo 31 - i i , porque f (x) - cos^x es

función par, es dec ir

El integrando de J es f (x) = x*cos x 4- % g x + sen x es i

y es una función impar, pues

f í - x ) = ( - x ) ^coc(-x) + ^ í - x ) sen í - x ) e ^

9 7/r cos^x = - x eos x - vtg x - sen x e

= - f ( x )

luego por e l ejemplo 31 - ( i ) se s igue que

J = ¡ f (x)dx = 0

ir + 2 ?r + 2

cos^x

por l o tanto , J - 0 +

-164-

3.8 XNTEGRACXON POR PARTES EN UNA ÍNTBGRAL &B33NÍDA

lf<20?i?y?xa 5. Si u = u(x) y v - v (x) son funciones con derivadas continuas

en I = ^ aitonces

dv v du (18) a

D^wo^^^dn De la fórroula de diferencial de un producto se deduce

ij dv = <3 (uv) ir du

ri) ^b ^-b r^b p b l^go S u.dv ) [d(uv) - v du] ; j u d v ^ j d(uv) -j v du

^ u dv = juvj v du

(Todas estas integrales existen, pues u, v, u', v' son continuas) 3

E/emplo 36. Calcular J ^ i x'ln x dx

Haciendo u = ln x du "i — dx

dv x^dx =3* V = ^ 3 se tiene

= 9 la 3 - í (27 - 1) - 9 lji 3 -

Calcular el valor de J = } arctgX^- 1 dx

Haciendo K = arctg/^T- 1 sec^ x = sec"x y

dx = 4 tg z dx . x 1 * 2 ** 0 <

para ^ 16 * z

165

-'o 4 sec z tg z dz

integrará por partas esta Ultima integral,

u - a <3u = dz

3 di/ = 4 sec 2 *sec z tg z dz v == sec z

J -i ?r /3 r^/3

z sec z sec z az

7T ^ ( } 06) - r

0

x/3 (1 + cis.

0

16x f , z i ^ J o 3

2-9 INTEGRACION DE -FUNCIONES DKSCÓNWUAg

D^MíCídM 6., Sea f: J = )a,b) BR una fusión acotada v sea

3? = {xc x^,..x^) una partición de I. Sean c . -.? c^ puntos <365 I,

tales que c . ^ = ¡x^, x J] , j = n.

n la suma S(f,P) f(c.)A.x

se denomina ^Mna ¿&> jf gmann de f con respecto a la partición 3?.

Siendo m, - inf{f(x) / x ^ I.} y M. - s ^ F(x) / x ^ I}, entonces

, j - 1 ^ 2 , n , y mas

S(f, P) 4 S(f, Pj 4 S(f, P) ,

aCn

La suma de Riemann, es un tipo de s<xras que no es neoesariaji nte mía swta inferior o una stnrta. superior, pero que está ciorTpxendida an.tre ella?.

-166-

Dt^nycidr: 7, Se d ice que S(.f, P) t i ene l ím i t e J e r a cuando ÜPÍ! 0

y se escribe lim 13 (f, P) = J !iPÜ-t>

Cuando, dado 6 > 0, ( a rb i t r a r i o ) , ex is te <6 > 0, t a i que para toda par-

t i c i ón P con 0 < ÜPt! < 6 y para cualquier c^, se t i ene

!tS(f, P) - Jü < c

T#or<?mg 6. fDF . Si í es ,una función acotada en I , una condi -

c ión necesaria y su f i c i ente para que f sea integrable en 11 es

que exista J IR, tal

lAn S(f, P) = J ; (J = ¡ f (x)dx) ÜPi!

T&or%?KK: 7. Sean í, g: I = [a,b] * tR, (Seas; funciones tales que

f (x) = g (x) , V x € JE, excepto para un número finito de puntos Si g es integrable en I, entonces f es integrable en I 3? se tiene

b ^ b j f ( x ) d x = j g íx )dx (19) a ^ a

b Deynos^yaczdn. si g es integrable en I y j g (x)dx = J, por tal teorema de

Dajrboux, dado c > (), existe ^ > <3 tal que, para todo P

con 0 < ÜPi) , V c ^ se tiene: ¡S(g, p) - j( < i

De otro lado, si A - {x <6? I / f (x) g (x)) posee r puntos (ir finito)

L = sup{} JE íx) - g tx) ] / x C I), para toda partición 3? con MU! < -r-r- se ¿Tí) tiene

S(f,P) - Síg, P)j H íf(c.) - gtcjlA.xj ^ r U!Pi! < í-Cj*eA*- I* ^ ^ ¿ri, ¿

Por tanto, si 6 =s miní^ , ^ } se

-167-

S(f, P) - J) 4 P) - P)) + )9tg,P)

En resumen, poya toda particl6h P cca M < í y V e ^ c i , ce nerMAca ]s(f, P) - Jt < t

Por tanto, por el teorema da Dartxxxx, f es integraaê en I y b r-b r-^ o

rgcatRnc8. Sí í es contigua en I ^ [a,b¡, excepto en los punt^ a ó b,

en 1<M cuales existen fía^) =- llrn fíx) y f (b**) - líA^ f W ,

(fiAitos), entonces f es integrable en I y existe una fuaclán con

y' (x) f (x), V < a, b > tal pus

f (x)dx - y<b) - ? ta) a

DtEMKlffracidn. Fêrrtcto pama <at I<?<3&29*J

(yuncíón seccionalMFínte oontÍMoa en I S6 á&ce

que f: I * tPt es seccicsialine-yYte contímita en I; cuecfáo i as continua pata todo x <ar I, excepto paxe un nütoero f i n i t o de pMr.tas c r j ** 1,1, t.., ixi, para los (guales existe

- iim f(x) y ^ ^ i ** 1 ^

bl ^ a Ó b áE3be e x i s t i r , 6 respe^ti-ân^^t^.

intsaratJ. en I

Sea la función í (x) -

--2 , - 4 x < - t K** , si - 1 x 4 1

, si i < x % a se pida:

168

a) Esbozar la Lea c3ía f

b) f es integrable en p-2,?, justificar la respuesta

c) Calcular ) f (x) dx

y d) Calcular F(x) f(t)dt, x^[-2,2}

¿.o

e) Esbozar la gráfica da 3? (x) í) Deteniniriar el conjunto ¿onda F es deriY^le y hallar P' (x)

SoÍMCiáft a) la gráxic<= de f sa muí.'Stra en la fig. 2*15

b) f es integrable en jj-2,2j, partiua f <335 seccionalrnente continua en f-2,2].

c} r -1 rl

- i- f (x) dx + t í (x) dx -"'-D --A.1

+ f(x)dx 1

-i .1 (-2)dx + n -1

2 + 0 + 2 = 0

^dx + T 2dx -A

Y

i y /

i-

1

-2

Fig. 2.15

2x - 4

Si x F(x) x

(t)dt -1 x (-2)dt + ! t'dt

Si x ^ [1,2)

x 4

9 4

F(x) f(t)dt==y^ í-2)dt+j" t dt 2 dt

169

= (-2) + O + 2^tj - 2 + 0 + 2 x - 2 = 2 x - 4

por tanto F (x)

- 2x - 4 si - 2 x < í (x" - 9) , s i - 1 ^ x ^ i

2x - 4 , s i 1 < x ^ 2

e ) La g r á f i c a de F se muestra en l a f i g . 2.16

f ) F ' (x) ^ x 2 f

si - 2 4! x < 1

si - 1 < X < 1 si 1 < x 2

de donde

F es der ivab le en ( -2 , ¿1,

excepto en l os puntos

- 1

F i g . 2.16

jE/empío 39. Trazar l a g r á f i c a de 1? (x) 2te^ dt, x ^ R.

i ) D(F) = tR

i i ) Intersecciones con e l e j e X . x - 0 i

F(0) = 0

i i i ) F ' (x) = 2xe - x punto

Signo de F ' (x) + + + + + +

0

decrec iente

< - " * , 0 > . 0 es un punto de míniiro y e l mínimo r e l a t i v o es F (0 )=0.

170-

i v ) F" (x ) = 2 e " * (1 - 2x^)

las ra íces de F" íx) son

x = i

Signo de F " ( x )

4- + + + + 4

2 2

ÁY

v - 1

Por tantcy F e s cóncava hacia abajo

en < - +

y cóncava hacia arr iba con < ,

los ountos de inflexión de F.

F i g . 2.17

— y - = - son abscisas de

v ) l a g r á f i c a de F se muestra en la f i g . 2.17. Integrando se (A t i ene que

x F ( x ) = 1 - e por l o que y = 1 es asíntota hor i zonta l .

I . Calcular

E ^ E R C I C Í O S

i. o

dx

4x + 8x + 8

3, dx

0 tí-

t senh x Jo

R* 16

P. 1T

2. dx

x*" - 4x - 5

râ -x } x e dx

n/3 sen x dx R+ r senh 6. ¡ ^ x dx

-7!/3

R.

R

- ln 2 6

2 5_ 3 " 3e

R. 0

Jl ^ x* (65 - Y*)*

11.^ x" (1 -

12

x J p d + X ) '

O X X

n/3

n/4

18. f ^ ^ /ta x +

20. J ) sen x - ees xjáx R.

t ^ sen x -1) 1 + cos^x

12300

0 10. t x*(l-x*)*^dx R.

R. ^ ^ 256

R -

13. ¡ - -- dx R.

14. 1 — ^ L - — dx R. " ^ ?

15. ¡ ln/2 - xdx R. In 2 - y

16. í /r dx R. w T

17. ctg x (ln sen x)dx R- y Jyl -

^ ^ (Stg. u - y - X) ^ / b g x + ?€tgx

/4 19. ¡ )ty^)dx R. 2

21. í — dx R. ^^

-172-

-2 22. ! MM-Hdx R. 5 + 5 ln g-

II

R. - (Sug. u = y - x ) x + *4ssc x

. S i ! ^ dx = ca lco lar e l v a l o r de l a in t eg ra l (x + 2 ) '

í sen x eos x ^ función de A. R. + r r y ' ^ C x + l 2 2 ^ + 2

_ ^ í oos x dx [ eos x . ^ ! eos x dx . ^ Sug. íâresar S — = i r dx + ¡ —, luego

(x + 2 ) ' -ô ^ + 2 ) ' (x + 2 )*

calcular cada una de las dos in tegra les usando integración por partes 3/

f inalmente haoer e l cambio de va r iab l e x = 2u.

J x + 1 I I I ) Si k = ) ^ ^ ^ dx. Expresar los va lores de las s iguientes integra

0 l e s en función de k.

r e-* J x - a -1. i ^ — d x R. - ke"^ (Sug. u = a - x - 1 a-1

! dx R. ^ k ! X 3 4 * ' + i

-í) (X + 1)^

. J" e^lnd +

2

dx R. k + 1 - ^

4. 1 e l n ( l + x ) R. e ln 2 - k

173

IV) Ejercicios Diversos

1. Calcular f (()) sabiendo que JE f" ? - 2 y su v e z . 77 jf (x) + f"(x)jsen x dx = 5 R. 3

2. Probar g^: f f ^ o o s ^ x a b J 2 a -'ti x

3. Si f(x) f12x - 12 , s i x < 1

r2x ; ?ÍX) = i f ( t ) d t , x € ÍR

6 x ^ - 6 , s i x > 1 ¿ - i

, * -i 3637

Calcular el valar de f ^ ^ — R. - y -

4. Si ii es cualquier número natural, calcular el valor ¿o Ti sen (n ^ x

- - dx . R. sen( y )

5. Calcular el valor de las integrales:

1/2 . a) ¡ ¡eos(sen x)ln¿-í-^) + 3x + 4¡dx R. 4 1 i ** x

2

R. 2

R. 0

iv/4

d) ! [x^**sen(x^ + 6¡dx R. 3?r

R, 12

174

Sea f : (R (R una función continua. Sabiendo que

f ( t ) d t = 6 calcular j f ( 2x - 2)dx 1C -4

Sea í (x) = , si 0 4 x < 2

-1 , si 2 x 3 x - 3 , si 3 < x 4

Se pide:

a) Esbozar la gráfica de f b) Calcular } f (x)dx 0

el Calcular F(x? = } fít)dtr x^T

d) Trazar la g rá f i ca de F.

e ) Detacrdnar en que puntos F es der ivable

8. Sea

"o Fíx ) = ( — d t . Se p ide :

-A 1 + t^

¿i) Probar que F es función impar

b) Probar que F (x ) ^ x y + <*>

V 3 9. Calcular el valor de t - — _ ^

*cos x 71/6

10. La ecuación paramétrica de una curva tas::

(-ir/3 . . ; veos x

J sen x" +

t , eos z

^ = t dz A

t 1

sen z dz

Calcular ^ dx

.11, l a s funciones í su inversa f ^ son ajntínuas y f (0) - 1)

Pruebe que

175

5 J- f (5) f tx)dx + j f " ^ ( t ) d t = 5 f (5)

O

f ^ ^ 12. Calcular e l va lo r de * i *

13. Calcular e l va lor de í (2x + 1) A* + 1

x' - 4 ix^ - 25

dx

x^ - 4 14. Calcular e l v a l o r de ] jx - 16 ¡

dx

15. f es una función continua, tal que f (x) < 0 en ¡%í) -

Si f (1) - - 2, f (4)

de t f *"(x)dx

4 6 y

-'l f (x)dx - - 10. ca lcular e l v a l o r

16. Si f (x) =

R. 12

X SI 2 si X

s i s i

x < 2

2 x < 0

x ^ 0

Calcular í ( f (x) - x )dx -3

7. (h icular ! ( ¡sen x ] 0

-t- x )dx

18. Calcular S [4 - 2 íníx 4-

19. Calcular ¡x* - 4x]dx

R. - 3)

20, CalcularJ dx K. 15?r + 44 96

-176-

21 * Calcular íím *+l

22. Calcular

s en ( t - l ) d t

( 1 - x)* R. .-

p V 2

Jo i + dx R

/2

1 3

71 ?

Sugerencia: Hacer ^ = y - x

2.10 C A L C U L O A P R O X t M A D O D E L A S D V T E G R A L E S D E H N Í D A S Para e l cá lculo de las integrales def inidas por la fórmula' de Newton-

I eibnitz, es necesario encontrar una antiderivada de l integrando; pero en

el capítulo 1, hemos mencionado que no toda función continua tiene una ajiti

derivada expresada meái3:ite funciones elementales, por lo que se usan los

métodos aproximados para e l cálculo de las integra les de f in idas . Por ejem-

p l o algunas calculadoras determinan e l va lor aproximado de una integra l de-

f i n i d a usando e l método de Simpson. En esta sección tenemos en cuenta que,

por e l teorema (3*3 Darboux,

n f (x)dx = lim Z T f ( t . ) A . x

ÜPHô i=l ^ ^

donde P = {x.^ x x } es una par t i c ión de ta,bl t n

2.10.1 APROXIMACION POR R E C T A N G U L O S

Sea f : [a,b]

continua,.

tR, una función

Consideramos una part ic ión P de

j[a,b] , P = {Xo - a, x ,. x^

x^ = b), F i g . 2.18

177-

de tal manera que el intervalo [a,b] quede dividido en n partes iguales *

la longitud de cada uno de los subintervalos es:

Sea y. * f (x.), y " f (xj, y^ = f (x^),..., y^ - f(x^).

Cada una de las sutás:

yÂx + y Ax + yÂx + + y^Âx

yAx + yAx + yAx-+ + y Ax

p b expresa aprox.ínadacnente la integral ) f (x)dx, luego:

f (x)dx Ax(y. + y + y^ + + y ^ ) ... (19)

a f (x)dx Ax(y + y , + y + + y^) ... (20)

Teniendo en cuenta que yÂx es el área algebraica del rectángulo de base Ax y "altura" y^, en la figura 2.18 se muestra el polígono rectangular cu

ya área algebraica es la apraxlnHtción al valar de^" f (x)dx usando la fór-mula 19. *

El error que se comete al calcular el valor de la integral pee la fórmula de los rectángulos (19) ó (20) es menor cuanto mayar es el número n.

2.10.2 A P R O X Í M A a O N P O R T R A P E O O S

En este caso, se usan trapecios rectangulares, en lugar de los rec tángulos considerados en el item anterior. Sean los puntos:

donde x., X ,

han sido definidos en itera anterior. Consideramos los n trapecios rectAt guiares T , T^,..., T^, que están limitados por las cuerdals P ^ r .,., p P , respectivamente. Oyro las áreas algebraicas es toa tr.*n*<:t n-1 ii son respectivamente iguales a:

! ¡n

178

A

* * ^ * -i* .+ **

Fig. 2.19

y. + y . Y, + Y^ Yn-l Yn — fgc, Ax,...., —- =—î-Ax, entonces

^ Y. + Yt f (x) dx — ^ Ax 4 y + y i Ax +

V , + V ^n-1 ^n Ax

V + V / I , - * o j — , f (x)dx Ax( n + y + y + y , (21)

Igual que en el caso anterior, cuanto mayor es el número n, es mayor la a proximaci6n al valor de la integral.

Z10-3 APROXIMACION POR TRAPECIOS (FORMULA DE SÍMPSON)

ProposfcfoM. Sea g(x) = Ax^ + Bx + C donde x [a,b] , y. = g(a)

y = y^ = g(b) , entonces

(Ax" + RK + C)dx = -[y^ + 4y + y 1 , donde Ax = b - a (22)

DerMOS&a<xdn. Por el segundo teorema fundamental del calculo

179-

ÍAx + Bx + C)dx A

^ (b' - aN + § (b - a") + C(b - a)

= ^ g f + Bb + C) + [A(b^ + 2ab + a^) + 2B(a + b) -í- + + (Aa + Ba + C) }

= - ^ - [ g ( b ) + + 4 3 ( ^ ) + 4C + g ( a ) ]

Ax 3 ¡ g ( b ) + + b ) + g(a)

Fig. 2.20

. f . Considerando esta proposición^ dada una parábola de la foxsaa

3? s= Ax* 4- Bx + <1! que pase par los puntos

Pja, yj, P (5-í-^ , y ) , í ^ t y^), el área algebraica bajo la

b

por (22). :ión continua en [a,bl, para

por

180-

bolas. Para esto dividimos el intervalo [a*b) en n partes iguales, donde n es par. Sea {x., x^, x^,..., x^) los extremos de 'los subintervalos y

y. = f (x.), y = f (x ), y^ = f (Xg),...y^ = f (x ). El área algebraica ba

jo la parábola que pasa por los puntos (x.,y.) y (x , y^)^ está

Ax dado por -y- (y. + 4y + y^), el área algebraica bajo la parábola que pasa Ax por los puntos (x , y^), está dado por + +

y así sucesivamente el área algebraica bajo la puntos ^ L y J, (x, y ) n-i n—i n n

que pasa por los dado por

Ax 3 ^n-2 + * Yn-1 " Yn^

n o

AY

a-x !

Fig. 2.21 Por tanto

b f (x)dx 3 ^ - ( Y . ^ 4y, + y , , + ^ íy + + y j + . +

f (x)dx ^ j (y. + y^ + 2(y + y^ + ... + y ^ ) +

+ + Y + - - - + Y^-i) (23)

-181-

fórmula es lla aada fórmula de SIMPSOH. ri

/j.;e?np¿o 40. ?. Calcular por aproximación, el valor de 4dx ^ 0 1 + x*

, para n - 10

si n = 1Q. entonces Ax = ^ - 0-1

X. 1 + X

1 = 0 x = 0 .1

i x = 0.2

x = 0.3

x = 0.4

x = 0.5 L ' ^ J

y . = 4 ,o

y ^ 3.96039604

y ^ 3,84615334

y - 3.66972477

y - 3.44827586

^ 3.2 - 5

X * 1 f(x.) í

X = 6 0.6 y^ - 2.94117647 X = 0.7 y - 2.63456375 X = a 0.8 y = 2.43902439 x = 9 0.9 y = 2.20994475 9 X = * 0 1 y - 2.0

!

or la fórrnula (19) (aproximación por rectángulos).

T ---r dx 0 , 1 ^ ^ y + y + ... + y 1 3.2 39925989

la fórmula (20) (aproximación por rectányüos) 1

1 + x dx + y + + y^ + y^í = 3.039925939

ôr la fórmula (21) (aproximación por trapecios) 1

dx ^ 0 1 + x

0.1 ^ + y + y^ + ... + y j = 3. 139925939

Por la fórmula (22) '(aproximación por parábolas o ínétodo de Sinpson)

J o 4 dx ^

1 + x o.i r irjy y + 4 ( y + y + y + y + y ) +

+ 2 (y + v + y + y ) = 3. 141592614

183*

Comparentxs los resultados obtenidos con el valor real de 1

dx_ ? r ^ 4 < 4 i +

El valor exacto de la integral } - es w = 3.14159265 1 x*

que es exacta hasta la octava cifra decimal.

E ? E R c : c : o s

Calcular los valares aproximadas de las siguientes integrales.

J por la fónmla de los trapecios y la de Sinpson (n = 2)

^ R. 1.6182 y 16098 respectivamente

(-2 2 . 1 — por la fórmula de los trapecios y la de Sinpson (n = 10)

i ^ R. 0.69 377 , 0.69315 re^pect.

3. 1 A - x dx por la fórmila de los trapecios (n = 6). R. 0.8109

4. j ^ r jr por la fórnula de Sinpson (n = 4)

* R. 0.8111

4

I N T E G R A L E S I M P R O P I A S

r ' En la d e f i n i c i ón de la in tegra l de f in ida t f (x) dx, filaron iirpuestas

las dos r es t r i c c i ones s iguientes: m EL i i i t e rva lo I - [a^b] es acotado y

2 f <=?.s acceda <211 I

Ahora -tratarerros de li}x?rarrx3s da astas dos r es t r i c c i ones hacienda c i e r -

tas extensiones d e l concepto de inLegra 1 de f in ida . Estas extensiones son:

b ^ + (Ó ¿i = -

^ es acotado y f ( b l ^ U j ^ f (x) ^ (6 f (a"**) = f (x) -x x+a

En consecuencia ^ se t iene las s iguientes in tegra l es que son. l lar^das integra

l e s inpropi-as. * *

TIPO i. INTEGRALES IMPROPIAS CON UMHBS ENHÑ1TOS

f (x)dx 2- í f ( x ) d x T f ( x ) d x

TIPO IL INTEGRALES IMPROPIAS CON IJOMn^ BENITOS

4. ! f ( x ) d x , ( f ( b " ) = " ) 5 J " f ( x ) d x íf(a^") a

164-

3.1 INTEGRALES IMPROPIAS CON UMTTES INFINITOS

D^nicídn L . Sea f: I (donde I = [a, + " > ) una función integrable en [a,t) para todo t <S I. Consideramos la función continua.

F(t)=í f(x)dx, t ^ I A

Se dice que la integral impropia j f (x) dx es convergente cusundo existe a

y es finito lím F(t). Cuando el límite no existe o es infinito, se dice

que la integral imprcpia es divergente. Se escribe: + * pt f (x)dx = lim j f (x)dx (1)

a t-^â

r ' ObservccMw í. Cano vimos en el capitulo anterior, si f (x) 0, [ f (x)dx

representa el área de la región plana limitada por las gráf: cas de f, eje X j y las rectas x - a y x - t. Luego, cuando la integral : pi-r ia es convergente, significa que ese número a la cual converge la inte

, es el área de la región plana infinita conprendida entre el gráfico < el ejeX y la recta x - a. (Fig. 3^1).

AY

^ y = f íx)

AY

Fig. 3.1 Fig. 3.2

-133-

DgftnicidHZ Sea f: I R tdcnde i - < - bj) una funcido integrable

¿m [t,b] para todo teri, ocnsideremoe la función continua G (t) f (x)dx b

áe dice que la integral irprcp-iaj f (x)dx es ccnvergente cuando existe y es finito lim G (t), caso contrario ¡Bis dice que tas divergente. Se escribe:

b ^ b j f íx) lím f(x)d?: (2)

Si f (x) & 0, la integral iitpropia j f (x)dx representa, si es oonvetgente,

¿.a de la región infinita ccnprendida entre el gráfico de f, el ele X y x - b, (Fig. 3.2).

¡D^wáídn 3. Si c <e BR, arbitrario^ y aan ccnvergentas las integrales impro

âsj f(x)dx yj^f(x)dx, sedefinej f(x)dx--j f(x)dx+j^ f(x)dx (3) / <

fBsta definición no depeaáe del nánezo <3 considerado). f

Retnpío j. Calcular ] —si—* dx , si - L - l + x '

RoÍMcMx Pigra c Ts 0, se ti

4 <r y* ¡0 - CP

' 1 X^ ^ 1 + Jr, 1 X

Peaco: ^ te

dx = lím ^ x

lím - ¡arctg

" lía arctg t

186-

b) f ^ L . . = lím r f - ^ - 1 ^ lím [arctg

f dx Jn 1 + x

+ cr " a Uêgo J — —

S dx Por lo tantc,la integral impropia ! es convergente y converge a * I + x

En la fig. 3.3 se muestra la gráfica de f (x) = — L — 1 + x

f/fmp^ 2 Mostrar qos la integral ¡ ccnverge si p > 1 y di ver xr

ge si p ^ 1

. , r dx f ^ r . i i

Para P ^ , atiene

luego, , , , f ^ - . ^ - ^ - r ^ ] - ^ r

y la integral considerada es convergente

SS +

y la integral considerada es divergente. Finalmente t

c ) s i p - l , f = f lím [ln t] + -

y asi la integral dada es divergente. En resunen.

^ L es convergente si p > 1 y divergente si p 1

-133-

INTEGRALES IMPROPIAS CON MMTIES UNTÍOS

Sea f: I + R (donde I - [a^b> ) una función integré

en ja,t), para todo I, t

consideramos la función

H(t) f(x)dx

Se dice que la integral inprcpia i f (x) dx A

ea finito lím H(t). Se escribe

b t

es convergente cuando exista y

f (x)dx - lím_ i f (x)dx a t+b^-a

(4)

La definición dada en (4) es equivalente a:

r * " f(x)dx - lím+ j f(x)dx

Si f (x) 0 en [a,bj, la integral ixprcpiá j f (x)dx representa, si es a

convergente, el área de la región infinita comprendida entre el gráfico de f, el eje X y las recta x - a y x - b. (Fig. 3.4).

Fig. 3.4 Fig. 3.5

188-

5. sea f : i m (donde I = < a,3b]) es una función integra-

b l e en ¡ t , t [ ] , para todo 1 I y consideremos la función con t í

rúa: b

F í t ) = ¡ f ( x ) d x

b

Se d i ce que la in t eg ra l iirprcpia J*" f (x) dx es convergente cuando ex i s t e y a

es f i n i t o l fn^ F ( t ) y se de f ine : t+a

T f í x ) d x - l Í K ^ f f ( x ) d x (5)

a ^ ^

La definición dada en (5) es equivalente a:

f ( x ) d x = lírn+ ¡ f (x)dx

Si es convergente la in t eg ra l inpropia S f (x)dx donde f ( x ) ^ 0, dicha a

integral, representa e l área de l a región i n f i n i t a contendida entre e l g

f i c o de f , e l e j e X y l a s rectas x - a y x = i) {F ig . 3 .5 ) .

Dírfinicid'M (5. S i la función f es f i n i t a en los puntos a y la, y para

cualquier c <= < a ,b > son convergentes las integra les c b

f (x)dx y j f (x) dx, se de f ine a c b - c . ^ b

(6) ¡ f ( x ) d x = ¡ f ( x ) d x + f ( x ) d x -â -â -^c

S i la función f , de f in ida en b > , (a puede ser - °°

y b puede ser + <*>), t i ene dentro de l in terva lo < a, b > un número

f i n i t o de puntos de discontinuidad: c^, c ^ , . . . , c^, l a in t eg ra l cha la

función f tari < a ,b > se de f ine de l a manera siguiente b c c . c^

(7)

c c^ c^

f ( x )dx== j^ f ( x ) d x - t j " f ( x ) d x + - - f ( x ) dx .

139-

sienpre que, cada una de las in tegra les inpropias del eegun3o mie^ro soi

convergentes. Si par lo menos una de las integrales diverge, entonces r " t f (x)dx tanbién diverge, -â ?

2 <E/<?mp&? J. Determinar, si existe, al valar de

i

r ^

la función f (x) = "F==r es continua en <1,2¡ y f (1*) = + <** - 1

Por definición

-i ^ - 1 t- i ^ r ^ T tî L Jt

= lím. ¡2 - 2*47- 1¡ = 2 t- 1 -*

por lo tapto, la integral impropia I es convergente y converge a 2.

4.' Mostrar gue la integral j converge si 0 < p < 1 y di-verge si p ^ 1 ^

a) Si 0 < p < 1

xP t*o+A + b - - p 1-íd 1 -t*o p

y- la integral considerada es convergente.

h. Si p = 1, f lím, f^ lím . (- ln t) = + -. tô-^ ^ b+o

3? la integral es divergente

O s i p > i , j n m ! 13. F ^ = 1 1 =

190-

y la integral es divergente.

R/amplo 5 Calcular si existe, la integral j ctg 0 ^

Solución.

Se (±>serva que f (9) - ctg 6 no está definida en (3 - 0. Por la definición

í ctg 0 d9 =t ctg 6 d9 + ! ctg 0 ¿P J o

siempre que las integrales del segundo miembro sean convergentes.

ctg e <33 = lím. f ctg e ^ = lim, jln)sen 6¡1

/4 Eô L J -if/4

= lím^ jln(e) - In -^j = - (es divergente) ir/4

par lo } ctg 9 es divergente

Qewyíoó. Calcular í — - — dx (si existe)

r . m f . ^ - í ^ ^ ^ 6+o+L ^ j-l

r í

(Por L* Hospital Íj

191-

7. Calcular si existe, el valor de T -x (x — 2)

So/Mctd Por definición

^ -1 f r* ^ i 2

+ ! r dx J 2 X(x - 2) J3 x(x - 2)

r ° t Perdía integral J - - lim f — ^

x

Íes divergente)

e n ^ l a ^ t e g r a l j es divergente

Eyempío A Deterndjiar el valor de n para ei cual la integral inpr^pia

^ n 3x x + i r " ^ ^ sea convergente- Calcular la integral

para dicho valor de n.

r ^ — ^ = íim T (-B 3tx

lim

192-

t + 1)" i- (t + 1)" Pero: iim L—- . lím

6 * 6 y este límite existe cuando n = o n < ^

t ^ L (2t + n) * (2 + n)" J ** ^ ^

b) Si n < Í , lirr. íln " "If^l = '

Por tanto,el valor de n es y y el valor de la integral es:

3 , 7 3 , ,, - m ^ - y 2

E J E R C I C I O S

Examinar si las siguientes integrales sen convergentes o divergentes. Si es convergente, calcular su valor.

R, Diverg. dx R. 2

R. 1 4.\ [xle^dx R. 1

2 5 3*

0 (x - 2)

I ^ dx R. 6. S R. 2

2 ^

r +

R. ^ l O . f R- ^ 2 X

n j ^ R. o 12I dx

"7 y ^ . J. ^ eos x -Í2 VST+ 1 0

R. Diverg

.193

i r ^ 'Je X-' dx

-V2 15 4 i

ax sen x

17 dx —d i X n - 2x + 2

R. Divercr.

R. Dii erg.

R. n*

^ -1 e eos bx dx R.

dx 1-01

16 x "dx Í1 + x'

(a > 0)

R. 100

.. Oivara

¡Le. t e sen bx d>: R. ^ 0 2 2 a +b

, (a>0)

20 dx 7T R. ^ } arcto x -L -r-cx ^ ^ i + ^ R. a

22 ] dx Jo x + l R.

2/5* 23! dx X - 3X R. Diverg

-J+ O i

28 0 dx

-2 Mí + 1

30 1

(1 -

dx 2 x (1 + x*)

- 1

R. 2

R. Diverg

R. 3

dx R, Diverg

R- Diverg

-dx R,

25, { t-í + x""' dx R. 2(2/2 - j.)

27 - 1 - 2x 0 3x^ (x - 1) 2

29 dx - X -oo e + o

31. ) x y ^ ^ JL

dx —c X

33. f +00

dx

35 dx

dx R. Diverg.

R í R. y

R. 0

R. Diverg-

. r (a + b^) ib' + x^)

-133-

^ d x R. 1 -'O /i

39. r ' ^ ^ - R. 2 ^ J o -'— T -ô vi + eos e . - x .4

40 !LÉE— R. 4 41. r - - ^ L - R- "

0 5 X dx R - í .43. f ^ ^ r R. f * H + t

„ . ^ 5VT r ' ^ K .

J 1 7 + xh ^ iS J o (x - 1) - 8x + 15) 1 (1 + x^)

46.t ^ R. ^ 4 7 . ^ 1 e - ^ R. ¡ x'dx A

T — R. Diverg. 49 . T xê* x' - 4

x áx R.

50. Sabiendo que J*^ ^ dx hallar el valor, si existe, áe =

f E L Í ¿x R-^ .

51. Si ^ T ' ^ ^ G(0),GH),G(2) (1 + x ) (1 + x ) y y ?

r ^ 2 52. Sabierdog^Jj, = el valor ^ - á x

*n A*

-133-

p x 53. RshoMr la gráfica de la función F(x) = ! f (t)dt en los siguientes

a) f (t) )t[ , si )t) 1

b) f (t) 0 , si )t] > 1

1 y si t4 1

^ , si [t] > i

m x* , si ]x] 3 54. Sea f(x)

, si ¡x[ > 3

Determinar m de modo que f (x)dx = 1 R. m ^ 18

r â íb - x)

55. Mostrar que t converge si 0 < p < 1 y diverge si

p ^ 1.

3 J INTEGRALES IMPROPIAS CON INTEGRANDOS NO NEGATIVOS

j&i las siguientes preposiciones consideramos ó b ^ + 6 b € R y

f (b ) s* + También son válidos las proposiciones análogas para

a = - ** Ó a ^ R y f (a*) = + <°

PwpOMCÍdwl. Sea f una función no negativa en ja,b > (esto es f (x). . 0),

integrable en [a,t] para todo t e [a,b > . Si la función pt ^b

F(t) = S f (x)dx es acotada en [a,b> , entonces ! f (x)dx converge. Ja

D^Mo^fraadn. Por ser f (x) 0 en [a,b > , F(t) = ¡ f (x)dx es crecien-

te en [a,b > ; par hipótesis F(t) es acotada, por tanto

F(t) es creciente y-acotada en [a,b > , luego F(t) admite límite finito

cuando t b^ es decir! f (x)óx es convergente.

-133-

(Criterio de Comparación)

Sean f y g funciones tales que 0 f (x) < g(x), para tocb x [a,b> e

integrables en [a,t] , V t ^ [a,b > . Se tiene:

a) Si J g(x)dx converge, entonces J f (x)dx converge

A ^

b) Si t í(x)dx diverge, entonces ) g(x)dx diverge.

DewoxíracidK. Se sigtB irmediataipente de la proposición 1 y de la desigual]

f f (x)dx^T g(x)dx , V t ¡a,b>

E^mpío 9. Verificar si ¡ ^ es convergente o divergente 3 x' ¿ + x'

Cerno 0 < - < y

es convergente (Ver ejenplo 2, p = 6) f 3x

dx se concluye que } tas: convergente 3 x**f7l?

dx E/empío j 0. Examinar el canpartamiento de la integral

Cono 0< _ < --L / Vx<S<0,l} y 2x

i dx es convergente (ver ejenplo p " ? )

0 ^ ^

-197-

1 se concluye que } ^ ^

-3 êwpôn. Verificar si dx si - es convergente o divergente

^ + 3x + 2

X" /r ^ y ) -^-diverge + 3x + 2 X

r3 enccnseajenciaj - es divergente

^^ + 3x + 2

Se dice gue la integral inpropia T f(x)dx es absolutamente L - ' a

emergente cuando ¡f(x)¡dx es convergente.

' S* l a ^ a l J ^ f M d , es a b s o l u t a s c c ^ e r g e n t e , e n -A tonces es convergente-

^

O ^ o í ^ o c ^ Cent) )f(x)[ - f(x) ¿ ^ .. w [ r tx; ^¡f(x)}, se sigue por la proposición anterior que ff(x)f - f (x) es convergente. Luego:

^ f ^ r ^ f(x)dxj^ j f ( x){dx -J [)f(x))-fM]dx converge

J2L Analizar si ! oos(x^) . - ^ J 1 I dx es convergente o divergente

' 3 integral dada es absolutamente convergente.

'cosíx^) x' ^ ^ , v x ^ y la integral [

x J^ ^^

-133-

es convergente, luego por la preposición anterior J ^ - dx

(Criterio del Limite)

Sean f y g funciones positivas integrables en ¡a,t], V t e [a,b*> y su -pongamos que

lím = r se tiene: x+b" 9 W

a) Si 0 < r < + entonces las integrales inpropias

F =j f (x dx y G =J g (x)dx a a

son ambas convergentes (3 ambas divergentes.

b) Si ir - 0 y G converge, entonces i? converge

c) Si ir = i <* y (3 diverge, entonces 3? diverge

Z^wosâcfdn. (Ejercicio para el lector). i

COROLj4R/OJf.Sea f una función integrable en ¡a,t), V t <s [a, + °°>.

5\Jpcân ios q u e : l í m x ? f (x) = ir < + °° x-m*

Se tiene: ^

a) Si p > 1, entonces ^ f (x)dx converge A

b) Si ir y* 1) y 0 < p < 1, entonces ¡ f (x) dx diverge

COROLARÍO 2.Sea f una función integrable en [a,t¡, V t [a,b> ) (bcr tR)

y SL^cngac ro s q u e lím_ (b - x ) ^ f (x) = ir < + <*

x- b se tiene . b a) Si 0 < i? <' 1, entonces t f (x) dx converge

a

b) Si r 0 y p 1, entonces ] f (x)dx diverge

.199

^ J o Analizar si } ^ converge c diverge .So¿Mci¿n. x ^ + x - 1

Considerando que

lim x^í' - ^ ^ í , 11 3 /TV" 3 r X /4X + X - 1

= y . (en este caso p = — > 1), por el

corolario 1, la integral ( Sí x' x^ + x - 1

converge

^ ^ ^ Verificar si — - convele o diverge

áo/Kc/dn. Teniendo en cuenta que

lím^ (x - 2)'^. ^ _ ^ ^ ^ ^ ^ ^ este caso p = ¿ > 1, la

integral es divergente (usar corolario análoja a corol. 2, remplazando (b-x)^por (x-a)^.)

0 JJ Analizar si ÍJÉ*

^ + 8x - 10

La integrad converge? pues

lím I

converge o diverge

= ( p = 2 > 1)

-133-

E J E R C ! C ! O S

Analizar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impro

r -J 2 + dx 2x - 3

f (x + l)dx Ji u i r r *

f - J * — + x'

r x* + 1 * J2 r dx

¿c' - 1

11. L e"^ dx

13. dx

15

4 x/25 - x

J ^ x sen*(i

3R. ccnverg. --1

2. ! — R. converg -¿e X + 3X + 4

R. converg. r x + 3 dx R. converg

R. convetg. r 6. ¡ : - R- oonverg x' Me + 4

R. diverg 8 i — ^ ^ + x + 1

- R. diverg.

9. t R. converg. 10. i e sen (x -A. x^ + 3x + 5 Jo

)dx R. converg

R. converg. 12 r ^ * Jl x* (1 + e")

R. converg

R. converg r* x' + 1 14. ] dx R. converg. A

( )dx R. converg

^ ^ sen tx: ) 17.! -- dx R. converg. 0 /x

dx R. ccnverg.

i6. f - — ^

18. dx

. f ^ ^ X** + 5x + x^ + X + 1

R. converg

R. converg

20

R* converg.

A P L I C A C I O N E S

D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A

En este capitulo abordaremos algunas aplicaciones de la integral deíini lia a los problemas

kl ANEA DE REGIONES PLANAS

'ASO í Sea f: I —+ GR, I " [a^b], vma función contínm y f (36) & 0 ,

X, Re define como:

el x a

A(R)

de la región R limitada pozr la gráfica de f, el 3? x 3* b (Fig. 4.1), aquí denotamos por A(R),

b f(x)dx)u^ (1) a

CASO DL Si f y g son dos^ funciones continuas en [a,b] y g (x) -g f (x),

V x B [a*b] * el Anea de la región R limitada por las rectas

a A x " b y las gráficas de f y g, (Fig. 4.2), está dada par:

A (3) / f * N [f (x) - g(x)]dx)u (2)

La definición dada en (1) es muy natural, pues sis deduce de la interpreta -ción geométrica de la función f en el intervalo [a,b] .

Para demostrar la fórmula dada en (2), consideremos el núnraro real k tal que k g (x) V x € [a,b].

-133-

f(x)

* ; * * *

X

J fia. 4.i Fía- 4..2

Ei rf-. ndc ijna traslación da eje?, cuyo erigen sea 0' (0,k), las nuevar ecua-: ion* s> jas curvas y - f (x),

- f {x/ Y = 9 (x) Y de .las rectas y = a y :: =* b,

- c (x) - k X = ,3 x = b [t'or las f6iLTul&í> As trasíución y = y - k A x - ir). Por lo tanto en

al nueve sis&snta cartesiano X, 0' i? se verifican: i . i

0 4 g(x) - f(x) - k , V x € [a,b]

Daago teniendo tan cu*9nta la fórmala (1) se tiene:

A(Q) - r , ^ ¿t .b

f (x) k)dx - J (g(x) - k)dx

¡'o) == f b

í [f(x) -g(x)]dx a

O^^-n/acíd/! í Si la región R está

ljunu^da p)r la.s gráficas de: x =: f (y), x - g (y), las rectas

y - a A y - b, (Pig. 4.3), donde

f y g son funciones continuas en Fiq. 4.3

203

y g(y) -í* f (y), V y € [ a , b j , e l área de la reg ión R está dada í xjr

A(R) = ( í [f Íy) - g(y)]dy)u ^ o

/ rnpío 1. Calcular el área de la región limitada por las curvas n y = sen x, x = 0, x = y = 0

A(R) - j sen x dx = [j-cos xj 1) 0

r ^ . = eos - + 0]

= 1 u

La gráfica de R se muestra en la Fig 4.4

Fig. 4.4

iyemp/<?2. Calcular el área de la región S limitada por la gráfica de

y = 2)* 1 + x

, el eje X' y las rectas x - - y x = 1

SelMCidn.

La gráfica de la región S se mues-tra en la fig. <4,5 y

A(S) = 2]x[

-2 1 + 3C dx

1 + x^ dx +

,1 f dx

Fig. 4.5

A

204-

= - [ln(x* + + []ji(x* + 1)] * = ln 5 + ln 2 = (ln 10)u^

R^mpíc 3. (Acular el área de la región limitada por la parábola

y =2 x + 4x , eje X. y las rectas x = - 2, x = 2.

C& servandc la gráíica de la región (Fig. 4.6) se tiene que para

f 0?) - x* + 4x 3# ngyple:

f íx) < 0 en y

i (x) ^ 0 en [0,2]

por tanto el área pedida puede ser descompuesta en las áreas óe R y R,* y ne: Fig. 4.6

AÍR) = A(R^) + A(RJ

as - j ^ + 4x)dx + -2

^ . , - 16 32 + 4x)dx ss -y + —

^ 16 u^

f^mpío 4. Hallar el área de la región F limitada por las gráficas de

y * x* , y * x ' , x ^ - 1 , x * 2

SoÍMCMbt

Trazando la gráfica de la.región F, (Fig. 4.7), se observa que

x'^ x^ . V x € [-1,1] y x*^ x' , V x € [1,2}

Luego:

A(F) - X* )dx + x^)dx 12 12 12 ^

-133-

Fig. 4.7 Fig. 4.8

E/emplo y Hallar el área de la región limitada par las

y = arcsen x, y = arooos x , y 0

Solución la gráfica de la región 0 se muestra en la fig. 4.8 mo variable independiente se tiene que:

sen y eos y , V y € j ir/4

luego A(B) jf (eos y - sen y)dy = (/F - l)u*

de:

a x oo-

A1 resolver este ejemplo, usando a x como variable independiente tenemos 1

A(H) = J arcsen x dx + / arcoos x dx (¿Parqué?)

Es evidente que, en este caso la respuesta no es tan fácil de obtener, por lo que recomendamos al lector escoger la rá antes de aplicar -la fórmula.

que se usa -

JE/twipio <5. Hallar el área de la región R, limitada por las gráficas de:

y - 4 - x\ y = ln(2x - 3), y - 1.

206-

La g r á f i c a de l a región R, se muestra tari la f i g . 4.9. Por comodidad conside ramos a como var iab le independiente. luego:

1 A(R) = ^ ( ^ y ^ * " ^ y ) ^ = [ y + 3y + ^ (4 - y ) ' ^ ^ =

F i g . 4.9 F ig . 4.10

E/'gynpío 7. Hallar e l área de la región R, l imitada por las g rá f i cas de:

y = ¡x^ - + x + 6} , 3y + x^ = 0, x = 0 , x = 4

SoÍMc/dn. La g r á f i c a de l a región R se muestra en l a f i g . 4.10 y

4 A(R) = [ fx^ - 4x^ + x + 6] - ( - y ) ] dx

0 4 ^4

= / ¡ ^ . - ^ . — . ' ^ 4x" +x + 6)dx + j dx

Para ha l l a r la in t eg ra l de l va lor absoluto, tenonos en cuenta gue

¡x* - 4x^ + x + 6] = I (x + 1) íx - 2) (x - 3) I

y signo de (x + Ir) (x - 2) íx - 3) es : - y + + 0 + + + + - - + + 4 + + + 2 3

207-

luego

r ' J - + x + 6¡dx

(X

= / (x* - 4x^ + y + 6)dx -

4x" + x + 6)dx + ^ (x - 4x^ x + 6)dx

22 7 47 ^ 71 3 12 12 6

Por tanto A(R) 71 ^ 64

-6 + r 341 ^ x

0 - 64) - 3--,!

Hallar el área (iba la región. (2, que se encuentr*a en el priir¡ar cua drante y está limitada jetear las curvas:

xy = 1, xy = 3, x - xy = 1, x - xy = 3

M hallar las intersecciones se obtienen los puntos

Da. gráfica de la región se muestra sai la fig. 4*11

j F i g . 4.11 Fíg. 4.12

-133-

A<R; A (3 ) i A(H ) Í g - ti -

(2 - ln 4) + (6 ln - 2) - u* 256

; Rncor.i rar el área de la región F, ubicado en el ler cuadrante y i ^ limitado por las gráficas de y - x , x - 4y x ^ y = 6

Tr=.¿ando la r-rlfica áe la región F (Fig. 4 12) se observa ^je se p<3eda des -

ocürpcner en lis regiones

A'.F)

y y F^ , liKrgc

AÍF 4 AÍF ) (x 0

+ 4 (6 - x 2

- — )dx 4 * -i

2 i y (20^* - 68) 1

- 62)u

í La región F Irúaitada por lia curva y *= lOx - 5x y el eje x, es dividido afi dos partes iguales por una recta crue pasa por el o-riggn. Hallar 3a ecuación de dicíta recta.

Sea m la perwaíesite cha la recta, eíitonces m = 10a - 5a = 10 - 5a

luego la ecuación de la recta L es y == (10 - 5a) x.

Fig. 4.13

-133-

Por otro lado, el área de la región F es A(F) = j (10x-5x^)dx = — u^ '0 ^

Considerando que F = F U F^ con A(F^ = A(F^) se tiene que:

AÍF ) (a)

Pero tanbiái A(F^) = j [lOx - 5x^ - (10 - 5a)x]dx = g-a^ .... (3)

De (a) y (P) obtenenos g- a = , de dcmde a =

Por lo tanto ,1a ecuación de la recta es y = (10 - 5 %)x .

Una parábola de eje vertical corta ¡a la curva y = x + 2 en

los puntos (-1,1) y (1,3). Sabiendo que las curvas menciono das ene ierran una región de área 2u . Hallar la ecuación ele la parábola.

Este problema tiene dos soluciones: Primer caso: Si la parábola esta debajo de la parábola semicábica

y = x + 2

Segundo caso: Si la parábola esta encima de la parábola semicábica

y = x* + 2

Primer caso: Sea F¡ la región encerrada (Fig. <4.14)

Considerando que, la ecuación general de una parábola del eje

vertical es: y = Ax'' + Bx + C

y que los puntos (-1,1) y (1,3) pertenecen a dicha parábola se tiene:

1 = A - B + C (a)

3 = A + B + C (3) 1 -

Caía: A(F ) = ] (x + 2 - Ax^ - Bx - C)dx - 2

Se obtiene ' 3 = A + 3C (Y)

-133-

Resol viendo y (Y) se obtiene B = l , A = y , C = ^

Luego, la ecuación de la parábola es 2y = 3x + 2x + 1

Segundo Caso: Sea F^ la región encerrada (Fig. 4.15)

Cono A(F ) = (Ax + Rx + C - x - 2)dy = 2

se tiene A + 3C 9 (X) . Resolviendo (a), (B) y (X) se obti que la ecuación de la parábola es: 2y = 7 + 2x - 3x^.

U,3)

y=xS+2

(-1,1)

y=x^+2

(-1,1)

v=Ax^+Bx+C X

Fig. 4.14 Fig. 4.15

Í2. 7. Calcular el área, si existe, (3(2 la región infinita ccnprendida entre la curva (2a - x)y^ - y su asíntota vertical; (a > 0)

So/acidn. . : ) t

la asíntota vertical de la curva es: x - 2a. En la fig. 4.16, se nuestra ¡ ?

la gráfica de la región infinita 3. Luego ' 2a, .t

A(^) 0 2a . dx = 2 lím

t- 2a - f í 2a"-x- x dx

2 lím a^jl ) -t-+2a"* L ^ 2a^

(x - 5a) ¿t(2a JO

2 lím t-+2a

. arcsen(Lj-É) - - 5a)ví(2a - t) + 2 a a ^ J

-133-

Fig. 4.16 Fig. 4.17

f;empío 13. Dada la región infinita n, limitada superioanrente por xy - i,

inferiormente por yx + y - x = 0 y a la izquierda por x - J, calcular su área^ si existe.

El gráfico de la región 0 se muestra en la figura <4.17 y su área (si e x i s t e

está dada por:

A(Q) = r X 2 ' 1 * -)dx lím

+ 1 X )dx

x + 1

= lím ln x

^ it ^ lím i r, t^ ln--

^ L t + i

(ln /2)u

t r ^

-133-

E y E R C I C Í O S

I) En fiada uno de los siguientes ejercicios, graficar la región 3 y hallar su área. 0 está limitada por las gráficas de:

1. y y *r n R.

2 y - .x + 2x - 3, x - 2, x 0, y ** o

3. y *= 9 - x , y = x + 1

4. y = ? ^ ^ , y = 0, x - 1, x = 2 1 + x

R. ^ u ^

R. ^-u^

R. (i + - arctg 2 + í ln 4; 2 . 5 5. y = 3x - x* , y x* - x

6. x = 0, y tg x , y = eos x

y = x + x,. x 0, y = 2, y = 0

R.

R. & -

R. Su'

8. y = ln(x*), y ln 4, x - e

e?, x as (3, y =* 0, y = ln 4

R. (4 - e ln 4)u

R. 3 n

10. y = arctg x, y arceos 3x 2 , y 0 R. (y - í ln

11. y arcsen x, y ** árcaos x, x = 1 R. !íy-

12, y = -3x^ + 2x+2, y - - 4x + 2 B 2 12"

13. R es la región de mayor área encerrada par las curvas x* - 2y* = 0,

x - 8y = y = 3 R. 5"?)u*

14. y 4 - ln(x + 1) ^ y = ln(x +1), x 0 R. 2(e*-3)u*

15. 13 es la región de menor área, encerrada par las curvas X* + y^ - 20,

213-

yi = 2x' R, (20 arasen e , 2 5 ^

i.; 6 * 3 es la región encerrada por la elipse b V - a V a^b^ R. âb

3 es la y la elipse eje menor

regiî ches mayor área encerrada por las gráficas de 5x - 4y =0 cuyos focos son los puntos ((), + 6) y cuya longitud de su 6.

1 R. - arcsen—-- $

18. y - x = 0, y - x Ô, x + y 2

2 = 0

4x - x ^ si x ^ 0 f x^ + 8x - 48

19. y = x

R. 17u

, {SIL X < Ó y =

16 -, si x > - <4

. - 3x - 16 y si x 4 - 4

20. y(x + 4) 4(2 - x), y = x = 0 R. (y - In 4)u'

¿1. y = x^ + x - 4, y = x ^ y IB - x X y = e , y = e , x = 1 R. ^ - ir u^

23. y = 2x + 2, x = y + 1, x = 0, y = 0, x = 2 R. (15 + y u

24. y = ]x - 2] , y + x^ = 0, x = 1, x = 3 R. ^ ^ 6

23. y = ^ - 3 , y = )x - 1} , y = 0 R. (^ ln 3 1, 2

26. y " [senx] oon x € 2"] , y + x = 0, x - 2^ = 0

R. (4 +

27. y=2L-T-í-, , x = 3 , y = 0 x - 16

28. y = x, y x. x - 0 R- (2 -

29. y = x, y - árcaos x, y = 0 R. (7? - l)u

-214-

30. y + x = 0, y = / x f(t)dt donde f(t)=

31. y = tg^x, y = 0 , * = , x = 0

3t\ si t < 2 1 , t > 2

7? 23/1?

R. ^ p J L . ^

32. x^y -2, x + y = 4, x^=l, x==2

33. i/ = x , y = 8x s 34. y - x - x , y = sen (*<x)

R .

R.

35. y = x ^ 3x^ + 2, y x + 6x^ - 25 R. 108 u

36. y = x^ , y 8 - x^ , y = 4x 12 R. 64 u

37. x = 4y - y , x + 2y = 5 R.

38. y = sec^x , y = tg^x , x - (3 Tr ? R.

39. y = x^, 2y = x^ , y = 2x R. 4u

40. y - — L — , = 1 + X*

R.

41. x^ + = R. ( I x a ^ u *

2 42. x = 4ay , y 8a x' + 4a'

R. Í 2a^ -

43- y = ¡20x + x^ - x j , y = 0 ^ 2321 2 R. -Y2-u

44. x = y* - 2y^ - 5y + 6, x - -i- 5y - y - <5 R. u^

45. y - arcsen 2x , x - 1 R- ( y - ^ ) u

46. y = x e , y = x ^ ,e* - 9L. 2 R* (—= ) u

47. y = e x + 4

y 0, x = 0, x - 4

48. y = xê^"^ , y = 4x a ,e - 731 i R- ( -

215-

49. y = [x - l[ , y = x^ - 2x, x = O, x = 2 R. I u^

3 ,

3

50. y = ^x + 1 - - 1 , x = - 1, x = 1 R. 3 ^Tu^

51. (x + y)^ = 16x, 5x + y == 8 R. 18u

52. y = jx - 2] - [x - 6), x - y = 4 R. 8 u

53. y = jx - 5] - [x * 3] , x + y - 2 = 0 R. 34u^

2

2

54. y = sen x + [eos x l , x = - 7 r , x = ?r, y = 0 R. 4

55. y == ^—ir , x = 0, x 1, y = 0 R. (í- - E. (4 - x )*' ^

56. y = 60(x - x*" + x^)^ y ^ - 2x , x = 1 R. 52 u 2

y 2 — tT 2

57. 3? - x + sen x , y - x, x = 0, x = I!. — ^ ti

58. 8x = + y^ - 2y , 8x = y , y^ -+ y - 2 = 0 R. u^

59. x + y - y = 0, x - y + y^ =^0 R. -^"U^ x x 60. y = <2 sen (—) ln (sen —) , x = 0, x = acr R. 2ac (i - ln 2)u a a 2

61. y'(x - 2) = 1, y = 0, x = 1, x = 10 R. 9u 2

2 ^ ^2 2 62. y(x + 4) = 8, 3x - 4y - 8 0 R. 2(?r + 2)u

63. Q es un arco <3*3 la cicloide cuya ecuación par amé trica es:

x - a (t - sen t), y = a (1 - eos t) R.

Sug. A(Q) = ! y dx

64. 0 es la región limitada por el astroide x = a cos t, y - a sen** t ^ 3 , ? R. ira

65. Q es la figura oonprendida entre la hipérbola x^ - y^ - 9, ol e << - x y el diámetro ¿ha la hipérbola que pasa par (5,4). R. 9 ln 3

y . , .

-133-

66. R es la región l imitada por la g rá f i ca de f (x) = . ^ i ^ í — , e l e j e X y 1 + x^

y l as dos rectas v e r t i c a l e s correspondientes a las abscisas de los pun-

tos máximos absolutos. ^ . . a R. ( ln 4)u

67. Q es la región l imitada por la g rá f i ca de f (x) = 2x** - x^ , e l e j e X,

y l as dos rectas v e r t i c a l e s que pasan par l os puntos mínimos r e l a t i v o s .

7 2 120"

68. Q es la regida encerrada por y^ = x^ - x** R. u^ j 69. Ü está limitada por un lazo de la curva a^y** == x** (a^ - x^)

R. - § - u o

70. & está encerrada picar un lazo de l a curva 16a y = b x (a - 2ax)

30 "

71. & está encerrada por e l lazo che l a curva (x^ + y^) ^ =

R. O

72. n está encerrada pcxr l a l amisca ta (x + y ) = a (x - y )

R. (a^)u^

73. M está acotada per y (4 + x = 5 y e l semi-círculo superior cié:

x^ + y^ - 2y = 0 R. 2 - 5 a r c t g ( í ) + ^

74. K está encerrada por la e l i pse (de e j e obl icuo)

(y - x + 3f = 4 - x^ R.

75. y = 9 - x^ , y = ln (x - 2 ) , y = 2

.217

En cada uno che los siguientes ejercicios, graficar la región ilimitada & y bailar su área (si existe). ^ está c emprendida entre las gráficas

y 2

= secit x , y su asíntota R. y 'ur

^^ , y su asíntota R. 16x + 16

(4 - ir*)y* - x* y sus asíntotas verticales R. 2?

y - arctg x, 2y = % , x = 0 R. Me existe

y - sech x y su asíntota \is*rtical R. y u*

2)x¡ ^ y 4¡x] 1 ^ x' ' 1 + x'

R.

' j X. Determinar m, de manera que la región que asta por encima de . = mx y

debajo de la parábola y = 2x - y? tenga área igual a 36u^. R. m = - 4

<A'. El área de la región aprendida entre la parábola y = 12x - y el eje X es dividido en dos partes iguales por una recta que pasa por el cr-rigen. Hallar la ecuación de dicha recta.

R. y = 6(2 - y*4)x

7. La hipérbola equilátera x* - y^ *= 8 divide en 3 regiones a la circunfe-^ A rencia x + y ** 16. áallar tal área de cada una de las regiones.

VOLUMEN DE UN SOUDOEN FUNáON DE LAS AREAS DE LAS SECaONES TRANSVERSALES

Sea S un sólido limitado del espacio. Bajo ciertas condiciones es posi calcular el volumen V (S) de esta sólido . Denotemos con I! la sección

o plana del sólido 5 d*etermirado al trazar un plano perpendicular a un eje, por ejemplo al eje x en tal punto x. (Fig. .18). Sqpcngantos que existe un uiteivaio [a,b3 tal que S (J ^x y que V x € . la sec-

x í tiene área conocida A (S ), de manera que la función

-218-

x ^ fa,5] A(S ) , sea continua . luego

Fig. 4.18

¿ygmpa? La base de un sólido es la región limitada por la elipse

b* x? + a y = a b^. Hallar el volumen del sólido S suponiendo que las secciones transversales perpendiculares al eje x son: a) Triángulos rectángulos isósceles, cada uno con hipotenusa sobre el plano

XY b) Cuadrados c) Triángulos de altu

a) El esbozo de la gráfica del sólido está tari la figura 4.19. El solido queda descrito cono la unión de los S , x € [-aâj, don-

(362 S^ es un triángulo rectángu-lo isósceles de área:

A(S^) (a' - xi) Fig. 4.34

-219-

luego: V ^ -4 ^

x=")dx = íya b*)u3

cuadrados descrito <330313 la unión de los S , x € [-a,á], 3C

(Rig. 4-20) , e l s ó l i do queda

t a l que S es un cuadrado

de lado 2v - x^

luego A(Sx) - 4 — - ^ ) , de donde

V = (a' - x " ) d x = ( ^ a b ' ) u '

-a Si las secciones transvers a les son triángulos de a l tura 2 (Fig. <4.21), e l

só l ido es l a unión de los S , x e []- a,a] , t a l que S es un tr iángulo de X X 2b base 2y . - - x^ y a l tura 2,

& tanto A(S_.) = JítL - x x

4b a

luego,- V 4b - x^ dx = (Trab)u^

-a

Fig. 420 F ig . 4.21

JEjKMMpio 15. Una recta se mueve paralelamente al plano YOZ cortando a las dos e l i p s e s : b^x* + = a^b^ ^ c^x^ + a^ z^ = a*c* , qLMt

,. * * ' . -

se encuentran en los planos XOY y XOZ, reêctivamante. Calcular el vo

-220-

lüMñ del cuerpo asi

SolMddn Eh este sólido, la

un zambo cuyas

S es x son:

2y A 2z, luego:

A(SJ - 2?y, x €

Cono y - ^ ^ ' -

4.

x^)dx = (y abc)^ í

Fig. 4.22 -a

E j E R c : c : o s

la base de un sólido isas lint circuló de radio ir. Todas las secciones transversales del sólido, perpendiculares a un diámetro fijo cha la base' son cuadrados. Determinar el volumen del sólido.

R. ^

Un sólido tiene por base un círculo de radio 1 y sus intersecciones con planos perpendiculares a un diámetro fijo de la base son triáix?ulos rectángulos isósceles cuyas hipotenusas san las respectivas cuerdas de loe circuios. Determinar el volumen del sólido.

Encontrar el volumen del sólido S que es la parte ocmón a dos cilindros . . .

circulares rectos de radio r, suponiendo que sus ejes se cortan perpen-dicularmente. R.

la base de un sólido es una elipse cuyos ejes miden 20 y 10 unidades. La intersección de ese sólido con un plano perpendicular al eje mayor de la elipse es un cuadrado. Calcular el volumen del sólido.

R. 4,000

221-

Hallar el volumen de un sólido S, cuya base es un circulo, che radio 3 y cuyas secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo son tri&ngu los equiláteros. R. 36/5*

La tese de un sólido es la región entre las parábolas x ** y* y

x = 3 - 2y* * Hallar el volumen del sólido si las secciones transversa les perpendiculares al eje X son cuadrados.

R. 6u* La tase de un sólido es la región entre las parábolas

y = x* , y - 3 - . Hallar el volupen del sólido si las reacio --

nes transversales perpendiculares al eje Y son triángulos rectángulos i sósoeles, cada uno de ellos con la hipotenusa sobre el plano XY*

R.

El punto de intersección de las diagonales de un cuadrado (de lado va -riable) se desplaza a lo largo del diámetro (fijo) de una circuníeren -

L <3*a radio 3; el plano del cuadrado permanece sienpre perpendicular plano de la circunferencia, mientras que dos vértices opuestos del ¡drado se desplazan por la circunferencia. Hallar el volumen del

cuerpo asi engendrado. -- 3 R* /<¿ U

Un cilindro circular recto de radio r es cortado por un plano que pasa por un diámetro de la base bajo un ángulo <* respecto al plano de la be se. Hallar el volimen de la parte separada.

R. (yr*tg*)u'

El triángulo cuyos vértices son: 0(0,0), A(a,b) y B(0,b) gira alrede dar del eje Y. Hallar el volumen del oono obtenido.

R. ( y w ^ b ) ^

IA base de un sólido es un circulo de radio 3. Todo plano perpendicu-lar a un diámetro dado intersecta al sólido en un cuadrado que tiene

*

un lado en la base del sólido. Calcular el voltmen del sólido R. 144

base de un sólido es la región limitada par y 1 - x*, y - l - x ' t secciones transversales del sólido determinadas por planos perpmrxli

al ele X son cuadrados. Bxxmtrar el volumen del sólido.

222-

13. perpendiculares al eje = y Y son círculos cuyos diámetros $e extienden entre la curva x

la recta x - y. Calcular su volunten. R.

120

base de un sólido es el círculo limitado por x? + y = 25, y las :ciones transversales perpendiculares al eje Y aon triángulos equilá ros. Calcular su volumen.

15. Un cilindro recto cuya base es una elipse está cortado por un plano in-clinado que pasa por eje menor de la elipse. Calcular el volumen del cuerpo engendrado, sabiendo que la longitud del eje menor de la elipse es 13 y la longitud del semi-eje mayor tas; 10.

4.3 VOLUMEN DE UN SOUDO DE REVOLUCION

De/iniCMfnl. Un sólido de revolución, es un sólido obtenido al rotar una región plana ¿alrededor de una recta fija contenida en el pía

no de la región. la recta fija se llama eje de revolución.

4.3.1 METODO DEL DISCO CIRCULAR Y DEL ANILLO CIRCULAR

Sea f: [a,ij tR una función continua y sea S el sólido de revolu-ción obtenido par la rotación en torno al eje X, de la región plana R limita-da por la curva y = f (x), eje X y las rectas x - a - y x - b , (Fig. 4.23). Coro la sección transversal S , (Fig. 4.24), obtenida par la inter .X

O

y=f(x)

Fig. 4.23 F i g . 4.24

223-

sección de S con el plano perpendicular al eje X, que pasa por x € fa,bj) , e* un círculo de radio ' ! y¡ * ! f (x) i , (Disco Circuir), teñamos:

A(S ) = v[f(x)]\ x € [a,3

bJego, por el método che las secciones transversales, el volumen de S es

V = {v^ íf(xH'dx)u*

)&sgrpgCidw2. Sea S el sólido de revolución c&tenido por la Rotación en

torno a l e j e Y, de la regidn plana

R limitada por la c.^rva x = g íy), (g continua en e l in terva lo [ c ,d¡¡ ) ,

ai e j e Y, y l as rectas l'ioriBontales

y - c, y = d (Fi?- 4.25)

.^toncas el volumen del sólido S

f 4 3

es:

-y...: * / ^ * ^

*

n * * t * * *

, . * — ^ < s * ^

r * * * * * * * * * <

t * * . . * * * '

X

x?=g (y)

Fig. 4.25

O&s^geidn 3. Sean f, g: fa,b) tR funciones continuas cuyas gráficas se encuentran a un mismo lado del eje X, y además

) g (x)] < ¡ f (x)j , V x . Sea S el sólido de revolución que se ob -tiene por 3a rotación en tomo al eje X, de la región 0 acotada por las curvas y f (x), y = g (x) y las rectas verticales x *= a, x b, en la fig. solamente se muestra el caso 0 < g(x) < f (x). Gimo la sección transversal S , obtejnda por la intersección de S con e í p) no perpendicular al eje X que pasa por x <6 [ja,h) , es un anillo cir<u (Fig. 4.27), tenemos:

A(S ) w{[Jf(x)y- Lg(xH j , x e

U)ego (wf I[f(x)l' -Gg(x)]')dx)u

-224

Fig. 4.26 Fig. 27

Una regla práctica, para recordar esta fórmala es:

V *(P* - r*)dx

donde R = radio mayar del anillo circular r radio menear del anillo circular (Ver fig. 4.26)

Si r = 0, la fórmula es la que se obtiene.por el método del disco.

ObssrwMMÍnl. Sean f, g: T a ^ IR, funciones continuas, cuyas gráficas ' s *

se encuentran a tan mismo lado de la recta y <3 y

¡g(x) - cj <}f{x) - c[,

V x Ca,3 . Sea S el sólido de revolución que se obtiene por la rotación en tomo de la recta y =* c, de la región H limitada por las gráficas de:

y = i íx), y g íx), x = a, x b

(Fig. 4.23). Entonces, el volu&en del sólido 3 es:

Fig. 4.28)

y-f(x)

y=g(x)

225-

V = ( J \ [ f (x) - <3 - &<*) - ) dx)u^

bsínrpactdn 5. Si la región

' tjmitada por las gráficas de i - f(y), x = g(y) y por ts rectas horizontales y=c, - d, gira alrededor tita la

i ítcta vertical x = k, fFig. 4.29), donde las gráfi as de f, g están a un mismo ¡ tdo del eje <3*3 rotación y

( y ) - k ) < ] f ( y ) - k [ ,

^ y Epyd], Entonces el vo-' Limen del sólido de revolu -ión obtenido es: Fig. 4.29

V = (wj t[f(y) - k] - [g(y) -

J6. . Calcular por la rotación limitada

x e . x 0, x 1, y = 0.

SóiMcídn. . la gráfica de la región se nuestra

la figura 4.30. Aplicando el método del disco (R e^)

^ f e^dx = (e* - l)u

Fig. 4.30

-133-

jfr/enrpio 17. La región limitada por las gráficas cié* 3? - arasen x, y - 0,

x - -- 1, gira alrededor del eje Y. Calcular el volumen del só lido engendrado. SoÍKCidn. Como el ej e de rotación es el eje Y, consideramos a como variable independiente. La gráfica cíes la región se muestra en ¡Lia. Fig. 4.31.

Cono R = 1 y r = — sen y

0 V = (1 3 sen y) dy — y- u

x=-l

* * * * * . *

?r/2

Fig. 4.31

E/empío La región limitada por las gráficas de y = x*, y = \¿SE¡¡ x = 2,

gira alrededor del eje X. Calcular el volumen del sólido. SoJMcídn.

La gráfica de la región se muestra en la figura 4.32, se tiene

V = ?r - +

V = % ) ÍX - x^ ) ¿ x + 7T! ( x * - x ) d x

3n* . 47 - 3

Fig. 4.32

-227-

i9. la región limitada par la circunferencia (x + 2) + (y - 2) = 1

gira alrededor de la recta x = 3. Calcule el volumen del sóli-do (taro de revolución) generado.

i < gráfico de la región se muestra * la fig. <4.33.

'i. f (y) tí - 2 - - (y - 2)

gíy) = - 2 + - (y - 2) T

ntor*ces

- 3 f (y) - 5 + i/L - íy - 2)

= 3 - g(y) = 5 - (y - 2)'

^^go Fig. 4.33

(I? - = 7T f 20/71 (y - = (10r*)u'

t ?enrplo 20. la región limitada por la elipse b* x* + a*y* = a* b* con

0 < 13 < a, gira alrededor de su eje mayor. Calcule el volumen iel sólido generado.

lomo la elipse es simétrica respec-¡ o al eje mayar, podemos conside -ar que el sólido es generado por 3 rotación de la región sombreada ; :i la Fig. 4.34. Lutsgo

V )dx

Fig. 4.34

228-

21 La región infinita comprendida y ana asíntota vertical, gira

Calcular, si existe, el volumen del sólido

la curva x + xy* - y = 0 áe su asíntota vertical

Cerno x = y 1 + y*

, y la asíntota

vertical de esta curva es el eje Y 6 X = 0 (pues, si y i OO x Considerando la simetría <3*3 la curva

V - j dy

4

luego V = 3 -y-U Fig. 4.35

E/empio 2Z Determinar el volumen del sólido de revolución generado al ha -car rotar alrededor del eje X, la región infinita contendida

entre la curva y = 0, y - — ^ — . x 1.

SoÍMcián.

La gráfica (3*3 la región se muestra en la Fig. 4.36 .

V Ji L x ^ J

dx

V = r ) x"^ dx A

V = (3?r)u

Fig. 4.36

229-

4J.2 M E T O D O D E L A C O R T E Z A C B U N D M C A

Se recuerda que el área (lateral) che un cilindro circular recto de radio r y altura h (Fig. 4.37) está dado por-

A = 2*r h. Sea f: Ea,i3 —^ a > 0,

una función continua y no negativa y S el sólido de revolución obteni do por la rotación en tomo al eje Y de la región 0 limitada por las gráficas de:

y = f (x), y = 0, x a,

x = b (Fig. 4.38)

r

i h

¡ 4

Fig. 4.37

Ar

i.*.:*:":?.:!:://;;.:.;;;

Fig. 4.38 Fig. 4.39

El sólido S (Fig. 4.39) puede ser considerado cano la unión de los cilin -dros c , x e , es decir X

S - U Cx

230-

(bmo el área (lateral) de cada cilindro c está dado por

A(C ) 2rxf (x); x €

se deduce que el volumen del sólido S está dado por

r* V ^ 2w j x f tx)dx

6 Sean f, g: b] R funciones continuas tales que

g(x) < f (x) , V x € [a,5) . S es el sólido de revolución obtenido al

hacer rotar alrededor de la recta x = c, con c < a, la región K li mitada par las curvas.

y = f íx), y = g(x) y las rectas x - a y x - b (Fig. 4.40) enton

ees, el volumen del sólido s es

A Y f

Fig, <4.40 Fig. 4.41

.231

)&5crvactdn7. sean f, g: Ca,í3 !R funciones continuas tales que

g (x) f (x), v x <= [<a,153 . S tal sólido de revolución obtenido al ha car girar alrededor de la recta x = c, con c > b, la región <f¿ licita da por las gráficas de: x = a, x = b, y = f(x), y - g(x) (Fi<j. 4.41). El volumen del sólido S es:

V p b

= 27T ] (c - x)[f(x) - g(x)jdx

i*. l&sewactdn #. Sean SI , la región limitada por las gráficas de^

x = f(y), x = g(y), y = a, y = b (Fig. 4.42) donde f, g coitínuas

enCa,g y g(y)<f(y), V y€Ía,*3 y Sel de revolución

que se obtiene al hacer rotar la región & alrededor de la recta y=c, con c < a. El volumen de S es

v = J (y - c)[f(y) - g(yf)^

x=g (v)

yc=c

* - : . - - . ' . . . . . . * + *. * w ** ** - . ' J

* * . i * *

/ * -i ^ < * - * * *

. ^. *+.

v=c Y

****** * * **. * a

x^g(y). . :?=f (v)

Fig. 4.42 Fig. 4.43

Ü&SáfMCidn <?. Sean fl la regió** liitütada por las gráficas de:

x -= g (y), x <= f (y), y *= a, y b (Fig. <4.43), donde f, g continuas en [a,^ y g(y) < f (y) ^ V y € [a,b¡, y S el sólido Je re-

232-

volución que se obtiene a l iiacer rotar la región alrededor de l a recta

v = c con Ib ^ c . E l volumen del só l ido S es

( c - y ) [ f ( y ) - g ( y í j d y

E/e'mpAo 23. Encontrar e l volumen del so l ido engendrado a l g i r a r sdhre e l e-

j e Y, la región limitada por la curva y - (x - 2) ^ , e l e j e X

y l a recta, x = 3.

So KCidn.

La reg ión se muestra en la F i g .

4.44* Aplicando e l método de la

cor teza , tenemos 3

f ( x ) = (x-2)3

V xf (x)dx

(x - 2)^dx

= - + 12x* - 8x)dx

14"* 3 u 10 . F ig . 4*44

Hal lar e l volumen del só l ido generado per l a rotación de la re

g ión l imitada por las g rá f i cas de

x -t y^ 4- 3y - 6 0

x + v - 3 - 0, alrededor de la

recta 37 = 3. ^ * * * * Soluc/dn.

La g r á f i c a de la región se muestra

en l a f i g . 4.-4*5. El volumen del

só l ido e s : .1

V = (3 - y ) [ ( 6 - ^ ' 3y - y ' ) -- 3 x=3-y

233-

2*f ^(y' - y' - 9y + 9)dy -^3

2567T 3

r Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar alrededor de la recta x - 1, la región limitada

i las gráficas de:

x ' - 2 x - 3 ) , y + 1 = 0, x - 1 = 0, x - 4 ^ 0

,) gráfica de la región se mues-it en la fig. <1.46 y se tiene

(x-l)j]ix -*2x-3[+l]dx

jj" (x-l)[(3+2x-x* )+l]dx

(x-l)[(x^-2x-3)+^dx 1!

^ ] (-4+2x+3x^ -x^) dx

íx^ - 3x + 2)dx

- T o " 1 ** *l* *t*+ 1 * - y * y-i

X=1

Fig. 4.46

X

Calcular el volumen del sólido que se cbtiene al rotar alrededor de la recta v = 3, la reaión

1 gráfico de la región fl se nuestra en la Fig. 4 47. O está limitjMtí* i * w = cosh y, x = 0, y - y ^ 2.

v (3-y) (oosh y)dy

V = 2y^senh(2) + oosh(2)-lj^

Pig. 4.47

JE¡v**pio 27. la región infinita ccnprendida entre la gráfica de

xy2 = (3a - x) * (a > 0), y su asíntota, gira alrededor del eje Y. Calcular el volumen del sólido generado. SoÍMc;<fn.

El gráfico de la región se nuestra en la figura 4!. 48. Bar el volumen V es tal que

3a

de donde v =* 4 a^ n tu* 9 ?

Fig. 4*48

VT* ir ir? T¡3 'r <f*3 -"1- g*+ ^ ^ ¿í R jí &

i ios siguientes ejercicios, calcular el volumen del sólido generado pot

rotación ¿he la región Í4 alrededor -che la recta L dónde:

6

L : e j e X ? ^ y - x " , y = 4x R.

(Entiéndase í* limitado por los gráficos de: y = x* y - 4x)

L: y = 0, y = (x - x = -1, x = y = 0 R ^

í. L: y = 0 ? y = + y = 0 ^ ^

4. L: y = 0 ; Ce x^ + (y - 3) = 1 R. ^ L: eje X? : - 2by + - c^=0, (b > c > 0)

R. (^bc^)u^

. L : e j e X ; U : y = — = = R- ln(

L: eje X y : y = e^sen(e^), x = 0, x = ln( ) R. (eos 1 - )

8, L: y = 4, O : y^ = 4(2 - x), x = 0 R.

L: eje X? H : y - sen x, y = 0, x - 0 , x = y R. jp-u*

10. L: x = 4; O : + y^ = 1 R.

11. L : x = - 2 ? & : y i = x , y = x* R-

12. L: y = - 1; íc : y = árcaos x, 3? = arcsen x, x = 1

13. L: x - 0; : y = + 10 , x = 3, x = 4

R. (26^56 - 19^Í9) y 14. L: x = 0 ; R : y = oas x, y = 0, x = 0, x *= y

.5. L= y = 0 ? 0 : y - (s/T- - — ) , x = 1, x = 4, y - 0 R, fin 4 i -s/óT

-236-

16. L : y = 0; : y = O, y 2, x = O , x = + 4

R. i6?r ( ^ )

17. L : y = - 1; O : y == arasen x , y = O, x = ^

18 . L: y - - 1, ^ : y - - 3, y - x - 1 , y - O

19. L : x = O ? Q : y ; x = O, x = f y - O R. *

20. í : x - O ; Q : y = x^ + x , x ^ 1, x = O R.

21. L: x = 1; 0 : y = ¡x^ - 2x - 3]? y + 1 = O, x = 2, x = 4

22. L : y = O ; n ; y = x -h 2, y^ - 3y = 2x R.

23. L: e j e y ; O : y = [sen x ] , 2x = T, 2x = 3?7, y = O

24. L: y - 0; O: y = /l - x^' , y = x = O, x = R. 2ií/T

25. L: y - O ; Q: x + y = 1? ^y = 1 R. *ig-Tr

26. L: x - - 1 ? Q : x = O, y = 2 , y = /5T

x^ ^ si X ^ 1 27. L: y = O ^ O : y = -{ , y = o , x - 2

X* , s i X > 1

28. L : x - O, K : y - 2 + sen x, y = x , x - O , ^ "

233 29. L: x = O? 0 : y x \ x = - 1, x = - 2, y = - 1 R.

30. L : x = 0; 0 : a ^ - b V = a V , ]x] = a

- 4?ra^b(^ - 1) R-" 3

31. L= x = 4? 0 : y = (x - y == x + 1

32. L: y = O; Q : (x^ + y? )^ 4(x^ - y^) R. I n í l + /2 ) - ^ J

33. L: x - O, 3 : y = 3x^ , y = 4 - 6x* R.

-237-

L: x = 0 : x^ + y = 1 , x^ + y^ = 4 (Q ; corona) R. ^

35, L: x = O, O , - y', x = 8 - y^ R.

35. L : y = - 4 , Q : 2x + 3y = O , 4x^ + 9y^ = 36

3?. L: y = (1, íi: x " y** = 4x R. 16ir

18. L : x = - 2, Sh - = x + 1 O , x - 2

39. L : x 5, H : y ( i + x^) = 2 , y = x

40. L: y = 4; ^ : y ( l + x^) = 2 , y = x

41. í: eje X ; Q ; a^ b'

= 1 R. y nab^

O, y = O

L: e j e y ; R : ^ = 1 a' b'

4 3 R. y â b

43. L: y H ; : y = a rc tg x , x = O, x ^ , y - o

44. L? x -+ 1 o ; ^ : y = arctg x^ x ^ O , 4x = ir ^ y - o

45 L: y = 2 ; Q ^ y - l n x , y - O, x ^ C , y " 2

46. L: x e^ ? : y = In x , y = O, x = O, y = 2

47. L : x = - 2 ; O : y = O , y = 4 - x ^ 128 R. —=— Tt

48. L: y = 2 ; ^ : y - O, x = 4, y = R. 4 Oír

49. L: y = - 2 ; y = /x - x - 1 , y - O

R. ?r(ln 4 +

50. L: y ^ T7 - 2 ; R : x = y sen V; x - O, y = D

51. L: e j e X? n : y = , Y ^ O, x = a. t'sen x 4 '

^ oos a + - 1) - l n ( c s c a - c tg a f j

52. , L: y = 0 ; y = (x + x = 0, x = 1 , y = 0

-133-

53. L: x Oy O ! y - e , y - 0 , x - 0, x - 1 R. n(e - 1)

2x L? x 7 ; O ? y - x e ^ x = x y " 0

55. L: y - 1 ? n? y ln x, y 0, x " e R- *e

56. L: aje X , n : + 16y 16 , x - 0 , y - 0, x - 4 R. ir*

57. L: eje X., 3: TTiár gulo equilátero oon vértices (0,()), (a ,0),

R. s L

58. L: x " - 0: y ^ x' + 8 , y " (x* - 2)*, x - 0

59. L: eje y ; R es la región y cerrada par el lazo da la curva ti** - * - ** v la nb' s y - D ) * a x R. * —

60. L: eje x, 0 es la región encerrada par el lazo de la curva

i,* <* *x(x - 3a) „ -3. n n Me n y x - 4a—, a o R. —-— tpj; - 16 ln 2)

61. L: x 4; 0 : x^y^ + 16y^ 16, x " 0, y " 0, x - 4

R. 32ir[l - ^ + ln(17/5)]

62. L: eje X; 0 es la región, Mi el porimar cuadrante, acotada peor: <

y - 0 R.

63. L: ejeX; ^ y - As(e*"^) , x - I n A , x - ln(-) TT IT

R. g- - -

64. L: x - 1 ? 0 : x* - 4 y , y = - 3x R. 6 65. L: eje y; n es la región <3116! se encuentra al lado derecho del eje y

limitada por x - 0, (4 + x*)y* 4 - x^ R. 4ir(n - 2)

-133-

6. A la curva t'Sy - 2x + 3y - <6 - O , en el punto (3,3) se ha trazadC' una

recta tangente y normal. Calcular el volumen óel salido generado por la rotación alrededor de la recta y = - 3, de la región limitada por la tangente, la normal trazada y til. eje 3?.

- 102227T ^ 49

¿7. A la parábola y = 12x, en el punto cuya abscisa es 6 se ha trazado una tangente. Calcular el volumen del sólido generado al girar alrede-dor del eje X, la región limitada por la tangente trazada el eje X y la parábola. R. ?2n

68. L: eje X, 0: y = xe* , y = 0 , x = 1 R. ^ (e' - 1)

69. L: eje X, 0 es la región limitada por un arco de la cicloide x = a(t - sen t), y = a(l - eos t), y = 0. R.

70. L: eje y, 0 es la regi&i del problema 69 R. 6n*a*

71. L: x ? air ? Q es la región del problema 69 R. (9^ - 16)

72. L: y = 2a, 0 es la región del problema 69 R. 7ir*a*

73. L: eje X, 0 es la región limitada por x *= a oos? t, y = a sen t, 74. Sea f: ¡O, + <*>-+ ]R una función continua tal que f (x) >0, V x > 1.

Para todo a > 1, el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las gráficas de y = f (x), x = 1, x = a y el eje X, alrededor del eje X es :

a* 7 V = (y- + 2a' - y )u*. Determinar f (x)

R. í(x) = — . + 4x /¡T

75. Sea f: + !R una función continua. Para todo a > 0, el volumen del sólido generado por la rotación en tomo al eje X de la t w gión que se encuentra entre la gráfica de y = f (x) y el eje X, dawdw x - 0, hasta x * a, con a (), es V ** a* + a. Determinar f (x)

. . ......

1

- 1 3 3 -

06 siguientes Qjercicica, n es una región infinita.

La curva y* (2a - x) * x* gira alrededor de su asíntota vertical. Hallar el volumen del sólido generado - - 2 ) 3%+ ¿TY & 8 es la región infinita conprendida entre loe gráficos de y =* — , x

, y que se encuentra ¿a la derecha de la recta x ** 1 y ^ ^ el eje de rotación es el eje X. Calcular el volumen del

sólido geaacaáo.

R es la región conprendida entre la curva y * — y ana asíntota y el eje de rotación es el eje x. Calcular el volumen del sólido gene

i r

& es la región conprendidas ea tre la curva

!

rado . ^ w

^ x . j " H dt (x <== OR) y su asíntota y el eje de rotación es su

asíntota, R. ^g^*

Q ea la región. ccatprendida entre M curva xy* = 4a (2a - x) y su a-síntota, y tal eje de revolución es su asíntota* SSallar el volurneii <9*31

sólido geêraáo. ^ 4ir*a*

x*

¡3 as la re^Ón a3rnp2rendida entra la curva y* ^ y ai.' asíntota

3t 2a y el <&je da r&wlución es x 33* 2a. Calcular el volumen del

& *3S La región o ofprendida entre la curva , ai x > 0 X '

#

0 , si x - 0 y su asíntota, y el eje de revolución es el eje X. Calcular el volu -msn asi aoiMo

L ^

-133-

'í! .4 LONGITUD DE ARCO

Sea f: [a,h] tR una función con derivada continua tari Ca ,t3 .

p == (x., x , ..., x^ ) una partición cita Cía,ij . Esta partición define na poligonal constituida por los segmentos rectilíneos desde

f (x.)) para i = 1,2,..., n (Fig. 4.49)

Q^(b,f(b))

n-b

Fig. 4.49 iego la longitud de la poligonal definida por la partición P es:

n L(P) =

i=l î-1 i', i=l

J. número L = lím L(P), si existe, se le dá el nombre de longitud de arco

Hp))-+o

' - la gráfica = f (x) desde el punto (a, f (a)) hasta el punto (b, f (b)).

- mostraremos que en este caso, el número L siempre existe.

Ccmo f es derivable y continua en x j , i = 1 , 2 , . . . , n, por el

ôrema de Lagrange o del valor medio^ 3 t. ^ < x. , x. >, tal que

' ( x ) - f (x. .) = f' (t,) (x. - x. -), i = 1 , 2 , . . . , n haciendo J- Í***JL 1 í JL ¡íx Xj, - x ^ , i 1,2,..., n,

-133-

n / p -ITT -

i= l í i i) / — F

i=i ^ ^

L = lím y + f ( t . ) ¿ .x = f + ] f ' (x) ] ^dx

O&saiPaECZífn JfO. l a longitud <3í5 la curva x = g (y) ocnprendida entre las

rectas y " c, y - d , donde g es una función con der i va -

da continua en te,<3 , está dada por-—d ^ d ^

L = ] + fg- (ya 'áy =} c c

0&s<arpacidH íí. Si la ecuación de l a curva v iene dada en forma pararé -

t r i c a , Mediante un par de funciones con derivadas continuas, es to es,

f x = x(t)

y = ytt)

entr^ces la longitud de l a curva es L = Í V C x ' t t 3 ^ + Ly' ( t ) ] ^dt

/' pfo Hallar la longitud de la curva

y , - - sec x

aplicando las reg las cié: der ivación se t i ene ; ^ - tg x sec^ x + 1

— ^

Diego L 1 + ^ + tg^xísec^x + D ^ d x

r ^ r = t (1 + tg^x)dx = t g x (s/3 - l ) u A / 4 L J ?r/4

29. Encontrar la longitud de la curva cuya ecuación es

24^

1 ^ y * — desda x - - 2 hasta x * - 1

2x* ^

^ L ^ n i T ^ d x y d x . f l — dx

4x" ^

30. Calcular la longitud total de la curva cuya ecuación es

y = j /eos t dt ; - I 4 x y

Si i(x) =J /STt dt, Bom(f) - ^ y , y j

Cerno f' (x) * /eos x, se tiene

"j /I + eos x'dx = j L

Hallar el perímetro del triángulo curvilíneo limttudp par el eje de las abscisas y por las curvas cuyas ecuaciones sen:

y * ln(oos x), x - it/2, > A y = ln(sen x), x € < o, >

1-1

. -1 + ctg x dx - lnh/f+ l)u * /A

-133-

Luego P = 2 + 2 + lju

Fig. 4.50

JEyemrp%o 32. Calrrular l a longitud áe l a parábola senucODica ^

prendida dentro de la circunferencia x^ + y^ - 2(3

a ^ como var iab le indepen-

diente y derivando inplícitaaiente

para cbtener

dv

dx

se tiene

ccnt-

x

luego 1 + ^ = 1 + ^ qy 4 2

^ 2 M g . 4.51

respecto

= 2 f / f T l -^0

tenemos

1 + .y dy =^-(/l00?-l)U

-133-

5¿empZ<? JJ. la posici^ de una partícula en el instante t es

x(t) " 1 - oos t , yít) = t - sen t

Hallar el recorrido total entre t * 0 y t * 1

El recorrido total de la partícula será:

L - /(x' (t))* + (y' (t))* dt w4en*t + (1 - eos t)^dt

/2(1 - oos tídt /4 sen' y dt ¡2 sen y )dt

1 2 sen y dt - 4(1 - oos í )u

E J E R C ! C ! O S

I. En cada uno de los ejercicios siguientes, determinar la longitud del arco de curva descrito par:

1. f(x) = a ln(* + "Y ) - Va* - x* ^ x € ^ , R. (a ln 3)u

2. f(x) = , x ^ [ 1 ^ R. u

3. f(x) - - y x ^ , x € (0, 1) R. y

4. f (x) - /e^* - 1 - arcsec(e^) - 1 , x € [0,4] R. e" - 1

5. xe[2,5] R.

6. f (x) - ln(-x), x C ¡ /B, - /s) R.

7. í (x) - aresen x - y /l - x* , x € , -^Lj R. R. I S ^ ^

393 20

3. f (x) ** x - 1 - Lts(x + ^ - 1), xt= (3,$) R- M

- 1 3 3 -

10. y = (9 - , x [1, 2] R. 1)

11. y = í x /3 - x* + y arcsen^y x), x G [0,l) R,

12. y = l-m(cosx), ^ H. + l)

13. y = arcsen(e"^) , xer [0,l] R. ln(e + /e^ - 1)

14. y = a oosh , x ¡0,b¡ R. a senh( ) b

15. x = , y ^ R.

a

ei + 1

16. f (x) = ln(ctgh , xtE ¡a,b], a > 0 R. ^ + a - b o^^ - 1

17. f(x) rL , x ^ [1,2] R. 59 3 ' 4x ' ^ — 24

18. x - (a^ - y ^ ) ^ , y <=r R. 3a 1 19. x = t - 1, y = y t^ , t R. [l " + ln(l + /2)j

20. x = e sen t, y = e eos t, t [b^í] R. - 1)

21. x dt , y ==J dt , desde el origen de coordenadas

hasta el punto más próximo donde la tangente es vertical. R. ln( )

22. x = a(aos t + t sen t), y = a(sen t - t oos t), t ^ [0, q)

n 1 2 R. Y R

11. En los siguientes problemas, hallar lia longitud de arco de las curvas que se indican:

1. la longitud total de la circunferencia x* + y^ = a^ R. 2na

-133-

r

O

Ü.

JLa longitud total del astroide x = a eos? t, y - a sen* ti. R, 6a La longitud del arco de la rama derecha de la tractriz:

x /**2 2 j, i /S + /a^ - y^ = - + a ln ( J-—)

desde y = a hasta y = b con (3 < 1) < a R. a ln (j)

La longitud ele* la curva (g) + (X) = 1 en el primer cuadrante

- a^+ab + b^ R. ^ + b

La longitud total de la curva cuya ecuación

4(x^ + y^) - a^ - 3 a ^ y ^ R. 6a

La longitud total de la curva = x^ - x** R. : -7. La loigitud de la corva 9y^ = 3x^ + x^ desde x = -3 hasta x = 0. R. 4¿f

La longitud del arco de la parábola semi cúbica = x* cccpcrendida

dentro de la circuíerencia x^ + y^ = 6 R.

Calcular el perímetro de la región de mercar área limitada por las grá

ficas de y^ - y x^ + y^ = 20

10. La longitud de la curva - ln/x* , desde x = ¡2 hasta x = 3

11. La longitud de la curva y = /x - x + R. 2

12. la longitud total cíe: la curva dada por (y - aresen x) = 1 - x^

R. S 2 13. La longitud del arco <3*3 la cuna y^ - y (x - 1) corprendida dentro de 2 - x la parábola y^ = y R- (§ 1)

14. La longitud de arco de la curva dada pcn* x = (t* - 2)sen t + 2t eos ti, y = = t^)cos ti + 2t sen t, desde t = (3 hasta Ib = ir

R iL R. y-15. la longitud de arco de la curva y = ln(l - x*) desde x = 0 hasta

x = í R. - í + ín 3

-348-

m . 1. Bu el tienpo t, una partícula se encuentra en el punto

P(cos t + t sen t, sen t - t eos t)

Encontrar la distancia recorrida desde el tienpo t = 1 hasta el po t * ir.

2. En el Instante t, la posición de una partícula es

arctg

Ha liar el recorrido des te

ln/1 ?

el instante t =° 0 hasta t * 1 R. ln(l +

AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUC!ON . *

Sea f: [a,b} + R una función no negativa, con derivada continua e ¡a,b], haciendo girar la gráfica de f desde x = a hasta x = 1), alrededor del eje X¡, se obtiene una superficie *de revolución (Fig. 4.52!). El área de esta superficie está dada por la fórmula:

A(S) ^ b

277 ¡ f (xh/4- + [f' (x) J dx

Fig . 4.52

-133-

O&scryacídníZ Si, la gráfica de la función no negativa viene dada en for-

ma paramétr ica, mediante un par de en ¡ja , 6) esto es:

con derivadas continuas en

x = x(t) , y = y(t) , t € [o, g

El área dita la superficie generada al hacer girar la gráfica de la cur-va alrededor del eje X viene dada por:

6

A(S) = 27! j y ( t ) j/¡x' t t ) ] * + [y' ( t ) ] * ' d t

O^cyvac^íJ. Seaf: [a,b] ER una función con derivada continua en

¡a,b] ta l que su grá f i ca está a un mismo lado de la recta y - c . Ha r

ciendo g i r a r la g rá f i ca de f desde x = a hasta x = b alrededor de l a

recta y - c, se obtiene una super f i c i e de revolución ( F ^ . 4.54) cu-

ya área está dada por , A(S) = 2-rr) ¡ f ( x ) - c ) / l + [ f ' í x ^ d x

F i g . 4,53

Si la ecuación de l arco de una curva ^ está dada por

x = g (y ) , V y <sr [a,b] , donde g es una función con derivada con t í -

nua en ¡a ,b ) y s i S es la super f i c i e de revolución que se obtierw.^ .¡1

hacer ro tar la curva ^ alrededor de la recta x - c , (Fuj). 4. , üJ

- 1 3 3 -

área áe la superficie S está dada por

A(S) = 2ij ]g(y) - C[t4 + (y)j^ dy ...

si la ecuación de ^ está dada en forma paramétrica por

x = x(t), y = yít) , V t <= [a ,8}

donde las funciones x = x (t), y = (t) son funciones con derivada continuas en [ ct , pj entonces la fórmula (*) se transforma en:

f-6 A(S) = 2ir¡ íx(t) - c]/[x'ít)y + [y'(t)3 dt

x==g(y)

x=c

í/eTHp&y 34. Fig. 4.54

Hallar el área de la superficie generada haciendo girar la grá-fica de:

f(x) = /24 - 4x , x ^

alrededor del eje X. SoÍHcM*?. Se tiene f' (x) = - 2

/24 - 4x

luego: A(S) = 2 ^ f (x)A + [f (xfp dx

-133-

/24 - 4x' Á + ? , -^dx 24 - 4x

2ir; /28 - 4x dx =

/ 56 2

áY

(L) A+sehh^ A dy s a

cosht^)

33. Hallar el área de la superficie engendrada por la revolución al-redede r del eje Y del aroo de la curva y - a cosh ( — ) des & ***

a hasta X"*aooah(l).

Considerando que la curva gira alie < M o r del eje "Y, el área de la su -; -3rficie generada es:

Ais) = f (y)A + ¡f'

donde f (y) = a cosh( ) a

Luego:

A(S) = 2ir ( a cosh a ooshll)

Pig, 4.56

1 a oosh^(^)dy = (2 + senh 2)u

36 . Hallar el área <3*3 la superficie cuando la curva

2x = y ^ - 14 ln]y - ^ ^ " 1¡ í Y , gira alrededor

-f*

del eje X. Sofreíd?!. La curva puede ser representada paran^ tri camsnte, haciendo

x(t) = í [t/t' - 1 + ln¡t - - 1¡]

y(t) - t [2,5]

de donde x' (t) = A " - 1 , y' (t) = 1

5 ^ luego: A(S) ==f yít)/^' + (t)J^ dt

A(S) 1) + 1 dt = 78ir u

Hallar el área de la superficie generada por la revolución, en-torno al eje IT, del arco de la curva = í ( x i - 2 1 n x ] , x 6 = ¡1,4]-

SoEnáón. Representando par an*étri cántente la curva se tiene:

x(t) = t

y(t) = í[ti + 21nt] , t [1,4]

de donde x' (t) = 1 , y' ít) = ¿ (t - í )

Luego A(S) ^

= 2ri x(t)/^' (t)^ + (t)ji' dt ^

= 271J^ t A + ¿ (t - í )^'dt

2?i! ÍL (t + í )dt = 24701* 1

JE/FwpZoJg. Calcular el área de la superficie de revolución que se obtiene

-133-

al hacer girar el de la

de la curva y = 2 - e , desde x * O hasta x - 2, y = 2

SolMCMht

A(S) f-3 .

(2 - f (x)A + [f' (x)]dx

(e ) dx

+ e* - +

i + /r

Fig. 4.57

Efempío 3$. Hallar el área del elipsoide de resolución que se obtiene al 2 i

hacer girar la elipse ^ + -^g - 1, alrededor de:

a) su eje mayor Ib) su eje menor

a) Cuando la elipse gira alrededor de su eje mayor es suficiente considerar la curva ^ , Fig. 4.58, descrita por:

f (x) = /25 - x* , x € ^5,5]

luego, el área del elipsoide ge-

A(s) /25-x . /l + ^ dx 25(25-x^) Fig. 4.58

= 2i?(16 + arcsen

b) Cuando la elipse <ytxa alrededor de su eje mancar, es suficiente considerar la curya , Fig. 4.59, descrita pcact

x - ^ / M l ! ? , y € ^ 4 ]

luego, el área del elipsoide ge-

Fig. 4.59 A(S) - T 6

-4 16(16 - y^) dy

- (50w + -ln 4)u*

B ) [ E R C ! C I O S

1. En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el área de la superíi cié de revolución aue se obtiene al airar alrededor del eje X, las cur

:

1. í(x) ÍX* , x e (p,^

1. f(x) * eos X , X € ¡r á

R. + ln(l /2)ju

3. On la o de la. curva ^ x R- Y 4

4. 6a*xy x** + 3a" desde x a _ hasta x " 2h

5. f(x) - , *<? ¡0,2]

y^ + 4x " 2 ln y desde y 1 hasta y * 2

Í6

R. y [1^4 -

R.

7. x = a eos* Ic, y - a sen* t R.

1b t 3. x <3 sen t, y = ta eos t t = 0

y = e , x ^ 0

t = TT

H. - 2) R. + ln(l + /2)J

fO. x = a (eos t + ln(tg y ), y - a sen t

IT y = tg x desde (0,0) hasta (g-., 1) R. irpT- /2 +

J 2!. El lazo de la curva 9ay* - x (3a - x) R.

1.3. x^ + (y - b)^ = a^ , 0 < a <b, (toro de revolvcidn) R, diâb

14. y = + r , x€r [1,3] 4¿X R. 208^

15. y = 2y , xer ¡0,2] R.

' 6. y* - 4ax desde x = 0 hasta x = 3a

L7. y = x^ , x ^ [1,83

II . Hallar el área de la superficie generada por la rotación, entorno al eje Y, de cada lilis* de las siguientes curvas:

1. x = yS , y <= ¡0,3} R. ^ ¡1730)^ - 3

6a^xy = x** + 3a", desde x = a , hasta x - 3a

2y = xA^ -"í + ln(x - ^ - 1), x [2,5]

R, (20 + ln 3)?ra R. 78iT

x* + 4yi = 16 5. y = x* , x [1,2] y = , x ^ [1,8]

111. Hallar el área de la superficie de revolución formada cuando la cuKvat indicada gira alrededor del eje dado.

1. y - x*/3, x <6= [1,8); alrededor de y 1

256-

2. y - 4x x€= [l,2j ; alrededor de y = 1

4.

5.

y - x" , x [1/2] ? alrededor de y - - 1

y - ln(x - 1), x<= (2, e^ + l) y alrededor de x - 1

y = 4 + e^ , x (0,f] , alrededor de y = 4

y - 23c , x ( 0 , 2 } , alrededor de y = - 1 R. 12/? TT

Es conveniente considerar la partícula localizada en un plano de coordenadas y determinar el mo mentó de la partícula respecto a un eje de coordenadas (o a una recta paralela ¿i un eje cha coorde nadas). En este caso se usan las distancias dirigidas, así el ino -mentó será positivo, negativo o cero, según la ubicación de la par partícula; par ejemplo si la par-tícula de masa m está en el punto

m

4.6 MOMENTOS Y CENTROS DE MASA (o CEÑIROS DE GRAVEDAD)

El memento de masa de una partícula respecto a una recta L se define cerno el producto ce su masa y su distancia a la recta L, así si m e^ la: masa de la partícula y d ec su distancia a la recta L, Fig. 4.60, entonces el memento da la partícula respecto a la recta L está dado por:

M — nd 1*

Fig. 4.60

YA

x y *--tm

O x X

Fig. 4.61

257-

, F ig . 4.61, entonces sus momentos M^ y M^ respecto a l o s e j

e Y, respectivamente, sen: = my , M^ - mx .

i un sistesna ¿Le n part ículas de masas m , ni , * . * , , m están situados i 2 n 13 puntos (x , y ) , (x , y ) ^ re^pectivainet^te, l os men^nto

y M oe í sistana de n pa r t í cu l as , se def inen ccmo: y

n n M - m y , M = - m x (I) ^ i-i ^ y

51 centro de nasa o centro de gravedad, de un sistema de par t ícu las -as

n punto p f x , y ) t a l que, supuesto que lia masa t o t a l ia de l sistema esta

encentrada en e l punto P, l os periantos de P y de l sistema coinciden,

jrHsideremos nuevanêr^te tal sistema de n par t ícu las de masas m , m , . . , m 1 2 n Picados en l o s puntos (x ,y ), (x .,y ) , , . . . . , (x ,y ) respecM.vaMea^te, s í 1 1 2 2 fi H

" 'x 'Y).. el. centro de otavedad de l sistenia, considerando que la masa

o t a l de l sistema es n r

os ntrnentos M y de I? están dados por: x y ^

M = W , M - m x x y

luego, teniendo en cuenta (I), se verifica. :

n . . ^ Tty = y m.y. y = m.x. de donde

i-1 ^ ' i=l ^ n_ n

Z. ^ H i y i y y = m - - ^

Kn resumen, si M y M son los mementos de un sistema de partículas res

pecto a los ejes X ta Y respectivamente y 2? (x,y) es el centro de grave ;lad <3 centro de masa del sistema, entonces:

153^

M m

donde m es lúa nasa del sistema

. . . (II)

40. Cuatro partícula* están en los puntos P (-1, -2), P (i, 3),

P (0,5) y P (2,1) y sus masas son m - 2, $ * i m * 3, m - 3, m * 4, respectivamente, determinar : í ^

sistom formado por estas cuatro partículas

6e tiew: M - + 3(3) + 3(5) + 4(1) - 24 x ^ - 2(-l) + 3(1) + 3 (0) + 4(2) - 9

- 2 + 3 + 3 + 4 - 1 2

*y 9 *x 24

t . i 1

<

par tantc, el centro de gravedad está ubicaóo en el ponto P í^ 2).

& & 1 C E N T R O b E G R A V E D A D D E UNA R E G M 3 N P L A N A o LAMINA)

Rn primer ltsgar, es necesario tañer en cuenta las s iguientes cansidg^

raciones; -A) lamina es llamada bcmogénea si dos pcorciones de igual área tieno el

mi^nc peso. b) .íja dertîdad p cié 'jna lámina es l a masa <3*e urna. cuadrada ¿5a látidna.

Si una lîrír-a es ?*<:r^énea, entonces su densidad (de área) ¡3 es constante y si A <??. csl áre;-'. de dicha entonces su usasa tas; m * pA..

c ) El centro de n^ck-. de una lánu.na hcMog^nea, puade p u j a r s e cottTo e l punto

de balance che la lámina; si esta lámina t iene un. oeaitro gecmátrioo^ este

será ta)*nbii$n e l centro de masa 6 oer^tro de grüfye-ldd. Por ejerrplo e l cen

t ro de masa che lámina c i rcular homogénea es e l centro de l circulo; e l centro ¿Le nasa de una l&itiria íectaj igul^r honogénea es e l centro del

rectángulo ( intersección cié: las d iagona les ) . Se de f ine el incmento de una

lándLna de masa m, respecto a ur^ recta el ncxoento de una partícula de taasa m sitiado en el centro de masa de la lámina.

-133-

d) Si una lámina se corta en trozos, el memento de la lámina es la suma de los momentos de sus partes.

JE/empíolO. Encontrar el centro de masa de una lámina homogénea de densidad p, que tiene la forma prepuesta en la Fig. 4.62, (las medidas

están en cm)

La lámina está formada por 3 rectán gulos y el área total che la lámina es igual ¡a 93 cm^. Si colocamos los ejes de coordenadas tal como se indica en la figura, los centros de masa de los rectángulos

R , R y R son: * 2 3

, 6) y (8,

R¿g. 4.62

Luego M^ = (21p) ( ) + (60p) (C; + (12p) (y) = ^ - - p

M = (21p)(^) + (60p)(S) + (12p)(8) = ^ - p y *

Por tanto, el centro de masa (x,y) de la lámina está dado par M SS^p

^ = Y = - ^ .5.2096774:9 m 93p

M m

1197 - i r ^ 93p

6.4354S387L

Sea y una lámina honogénea cuya densidad es constante e igual a p. S mos que F es la región limitada par las gráficas de:

y - f (x) , y = g(x), x - a y x ^ b

donde f y g sai funciones continuas en [a,b] y f (x) g(x)^ V x C [a,b) (Fig. 4.63).

-260-

Sea P = {x., x^ x^) una partición de [a,b] y C . el punto medio de

de xj] ? entonces se tiene que:

m. = p(f (c ) - g(c )] ¿ x +-* L 3*?2; + * + n

es la nasa del i-esino rectángulo s< tbreaáo <511 la figura 4. <511

YA

0

. * . — ^ - . ^

y-f(x)

y=g(x)

X

fig 4.63 El centro de gravedad del i-ésirno rectángulo se encuentra en el punto

(c. , + g(c^)

) sustituyendo cada de cada rectángulo

rectángulo par un punto material y localizando la nasa sn su centro de gravedad se obtiene que los mementos de

nasa de los n rectángulos, determinados por la partición, respecto a los e jes X e Y son

n n M = x i = l

m.y. 3T1 p f f ( c . ) - g ( c i=l ^ ^

n n M = y 3 " IR .X. = P^ícJ - g(c.f]c A X i-1 ^ 1 1 1

Daego, el centro de gravedad (x, y) estará aproximadamente de gravedad cíe los rectángulos determinados por la partición

-261

n M P í í "i* " 9

x % r — ^ m n P & (c ) - g A^x

Pasando al ¡Limita otando ilPt) 0, se obtiene que las coordenadas (x,y) del centro de gravedad de la lámina F están dadas por:

fx[f (x) - g(x)jdx x

(f (x) - g(xQdx b

^ [f (X) - g(xf}dx a

(Uno se observa, las coordenadas del centro de masa de la lámina homogénea no dependen de su densidad p, sólo depende de su forma. Usuabnente al can tro de masa de una lámina se le denomina Caxtro de prava o Centren^, re servando el término Centre, de maáa para un sólido.

OÍHefMKHdn J5. a) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta x ** x., en-

tonces x = x<, \

b) Si la región plana F es simétrica ccn respecto a la recta y * y. , entonces y = y,.

OAícwaddn, J6. si la región plana F esta limitado par las gráficas do *

x s= f {y), x = g(y), y = c, y = d

donde f y g son funciones continuas en [c,d] 3? f (y) > g (y),

V y 6 [c,d] , Fig. 4.64, el centro de gravedad (x,y) está dada %*!:'!) *

262

l c.

' -^(yQ - &íy)j My A V X "

^ g(y) - g(y)Hdy -c

y = j y&(y) - g(y)j<3y

O

x=g(y) x-f(y)

X

- Fig. 4.64 4J. Encontrar el centroide de la región acotada por las curvas

y = x , y - 4x en el primer cuadrante Solución. Se tiene

A(R) .Jn

x^)dx = 4 0 2

x (4x - x^) dx = 64 15

"x= - )dx 1 2 (16x -2

Fig. 4.65

i uegoy m 4 ^ Jí = 256/21 m 4

Por tanto, el centroide es ? )

263-

Hallai. centro de gravedad de la región limitada por las cu?; <

vas x - 8v = 0, x^ + 16y = 24.

la región IT, Fig. 4.66 es insétrica respecto al eje Y, teñe * x = 0. - tiene

16 8 -)dx 4/2*

(24 -x^ ^ ^ 16 ^ dx

16/2* Fiq. 4.66

or tanto, el centro de gravedad es (0, g- ), porque M x A

t wpfo 43. Encontrar el centroide de la región limitada por las curvas x = 2y - y^ , x = 0

.'¿KCláft (Ymo la región^ Fig. 4.67, es simé ' rica con respecto a la recta

entonces y - 1.

aplicando las fórmulas dadas n la observación 16.

x =

(2y - y')'^

(2y - y-)dy 8/15 2 4/3 5

uego, el centroj.de es

x=2y -y^

Fie?. 4.67

264-

fWiaáy 'i í. t rminar el centroide de la región plana lindtada por las curvas : y f íx) y - x^, x = - x = 2, donde

1 - x, si x < 0 f íx)

+ 1, si x > 0

ScÍMCidn. la región se ilustra en la fig 4.68. Dividiendo la región en dos partes, entonces:

A (1 - x + -1

x^)dx+j" (x*+i*x*)dx

y=l-x

11 , 21 53 6 3 * 6

[(1 - x)^ - x^dx +

[(x + 1)' - x^]dx 16 . 11 15 3

71 15

Fig. 4.68

M, x(l - x +'x*)dx x(x^ + 1 + x*)dx = -

- 107/12 - 73/15 . ^ . n Luego x ^ Y = # de donde el

JE;e?wpio 45. Hallar el centro de

gravedad de la región infinita, en el pripnr cuadrante, ccnpren dida entre la curva y = 3* e y el eje X.

SoÍKCidn la región se ilustra en la Fig 4.69.

^,107 142 .

-x

265-

A (-4*° - -it

= ! xe"^ - lím - X e"*^ - e ) t++ <* t- JO

M ^0

f (x)dx xê dx 0

M 0

M iüego x = 1

8 Poir tanto, el centro de gravedad de la región es

/ orema. (Teorsna de Pappus para voll5men5s) i un sólido S es obtenido al hacer rotar una región plana F en tomo de una acta del mismo plano, que no sea secante a la región entonces el volunten i e S es igual al área de la región F multiplicado por 2nr, siendo r el radio le la circunfenrancia descrito por el centro (le oravedad che la ración 3?, esto

V = 2nr.A

: Y)nde A es el área de F

Fig. 4.70

E;í3Hp¿o46. Calcular el volunten del solido S generado por la rotación du y la recta la r*3gion F limitada por la parábola 2 y = x

y = x - 2 en tomo a es tu tiltiira-

^teîdnonoc el centro de gravedad de ia región F (Fig. 4.71).

, 2 9 A j (x 2 - x^ldx = i

^ --! xíx + - x*)dx 9

yj [(X - X*Qdx ' 1 $

Bar tanto M JL A

1 ? y -"x e A $ Btp. 4.71

x - y + 2 A + i

9/y 20

iMe^D^ por el teorema de Pappua, el volumen del sólido 8 es

i. .. t '

' *

P(X, y) -Pí^ .

Calculando la distancia r del punto P a la recta y * x + 2 se tiene

¿¿templo la regi&i Ubnitada por las gráficas de y * x* , y - 5 tyira alrededor de una recta oblicua que pasa por el punto

A(1,0) - Halla? la ecuación de dicha recta, si el wltmen del sólido genera do es igual a 40/5" u'.

SoüKMn la gráfica de la región se ilustra en la fig. 4.72. En primer lugar determl narewoe el centroide de la región F. Oyno el eje Y es eje de sinetria de la yssgión F, x - 0.

otro lado.

-133-

* r * (25 - x')<Sx

luego, el centro de gravedad ea (x, y) * (0,3). considerando que el área de la re

gián P es A 20/5*

V - 40/5* ir - 2irr(-29¿L), de

donde r - 3.

Finalmente, si m es la pendiente de la recta I? (eje de rotación), su coaci&i está dada par:

2o/y

rig. 4.72

y - 0 = m(x - 1) ó mx - y - m - 0,

Caro, r ** distancia de (x, y) a la recta L, entcnoes

)nc¡t - y L m]

^ + 1 ^ + 1

9(m* 1) - 9 + 6 m + m* m(4m - 3) 13

m 3 T

Ojmo la recta L es oblicua, m - T Por tanto, la ecuación da la recta I, en - 4y - 3 0

-268-

E j E R C S C X O S

i. Br) cada uno de loe ejercicios, encuentre el centroide de la lámina mogénea de densidad 6 que tiene la forma mostradas en la figura.

Yt

8

, *

.i * . 4 10 R. ( 11 , 5)

R. (- 48 36 25n - 12 ' 25ir - 12

10

Y 4 12cm.

8c n. - . . .

R. (0, )

4 < * * * *

* * * . *

t * * t - . * . * w. - * * # < - *

* * < * * . 4 # .

10

AY

la ecuación de la elipse es

16x* + 25y* 400

II) En los siguientes ejercicios, encontrar el centro de gravedad de una de las regiones limitadas por las siguientes curvas.

1. x' - 4 2x R.

-133-

x^ 7 y = O R. <0,

y == 3x, y = x^ , y = 1, y - 2 (en el primer cuadrante) -

R. ( 67

18(8/2*- 7) 2(72/2 - 53)

15(8/2*- 7)

y = x* , y = x - x* R. ( í ^ )

y = ln x, y = 4, y = 4 - 4x* (en el primer cuadrante)

R. (14.61, 3.15) 6. y = x* + 1 , x = 0, x = 1

y x, y x, y = 0 x = 0 hasta x *=

R. í y - + ^T))

8 y = 4 - 2x , el eje y, y ** 3

x = 4y - y^ , y - x R. ( 12 5 ' 2 )

10. /ST+ y ^ 0 , x = 0 R*

11. y = + 1 , x ^ - 1 , x = 2, y - 0

12. x + ^ - 2 = 0 , x - y

13. y* = 20x , x^ = 20y R. (9,9)

14. y - - x, y X , si X < 1

X? , si X > 1 x = 2

15. X"2y-4-8sx0 , x + 3y + 5 = 0 , x - - 2, x 4 /

R. ( 88 39

50 39 )

y 3 -+ 2x - x^, y los ejes coordenados encierran minan el centroide de la As

17. + 4a^) " 8a y el eje X (región infinita) R- (0, i a)

-133-

13. I¿! región limitada par el lazo de y^ =r 3c (x - 4) R. (-y , 0)

19 . La región limitada par el laza de y^ - x" (3 - x) R. (2,0)

20. y = arcsen x, y = 0, x = 1

21. y^ = - x^, y - 0, en el primer cuadrante R. (^y , 5. )

22. y = x^ - 2x - 3, y = 6x - x^ - 3 R. (2,1)

23. y 3= 3t? _ 3y ^ y - sobre tal lado derecho del eje Y

R. f ^ ;

25. la región encerrada por — + -I- - 1, en el primer cuadrante a* i)'

' 3F 26. La región está limitada por los ejes de coordenadas y

27 - La región es un sector circular de radio r y ángulo -central 2 & .

R* En el eje de simetría, a la distancia -5- r ^ ^ ** del vértice del j a

sector.

28. y = senx(0<x<ir) , y = 0 R.

29. y - cosh x, y - <3, x = - 1, x = 1

3!). y - arccos x, y = ir, x = 1 III. 1. El centro de gravedad de la región acotada por las curvas x^ = 4y,

y - mx es un punto de abscisa igual a 2. Determine e l va l o r cha m.

R. m = 1

2. A (0 ,0) , B(a, 0) y C(0, ^ ) con a > 0, son los vértices de un trign

guio. Calcular el volumen del sólido obtenido por la rotación en tor-no de la recta y = x - a, de la región limitada por el triángulo .M3C. R.

271-

Sea R la región del plano limitado por la parábola y - x^ - 1 y la recta y - x - 1. Determinar el volumen del sólido obtenido por la re tación de la región R alrededor cié la recta y - x - 1-

/3*

60

la región limitada por las gráficas (3*3 y^ = 20x , x* = 20y gira ai rededor de la recta 3x + 4y + 12 - 0. Calcular el volumen del sóli^

R. 4000T-.

la región limitada por las gráficas de y = x^ , y = 5 gira alrededor ¿Se? una recta oblicua <3136! pasa por el punto (-1,0). Hallar la ecuación de la recta si el volumen del solido generado es igual a (40/5*ir)iF .

R. 3x + 4y + 3 = 0

El centro cíes gravedad (x,y) del arco che una curva (homogénea), cuya ecuación tas::

y - f (x) con x fa,bj

donde f es una función con derivada continua en {a./bj / está dado por

x = x/1 + [f' (xf) dx

- — & ^ ^

J A + [f* (xf) dx y = a

F

/ ^ (x)/l + [f' íx)] dx

usando estas fórnTülas, determinar el centro de gravedad de las curvas cuyas ecuaciones son:

= / ^ - ^ x R. (0, )

y =i a cosh R. (0, a(e" + - 1) - 1)

x - a (t - sen t), y - a (1 - eos t.), t ¡0, 2ií] R. (na, )

x = a , y a , ^ [p V^) R , 2a ¿a

-133-

4.7 APHCAOONES DE LA INTEGRAL EN LA AOMINISTRACI Y LA ECONOMÍA

4.7J EXCEDEME DEL CONSUMIDOR

Consideresmos la función da p f

de un détentdAado artículo, donde y q ** cantidad. La

gráfica de esta función es la 3Mn*3 ác dcMa^da. Por la íey & la damcptda "a mayar precio menor denwda y a menor precio mayor demanda", la función de denanda 1 o

Si el precio en el marcado del articulo en men -

Fig. 4.73

catán es p , y la correspondiente demanda tas q., entonces los conswddores qua eatwiesen en condiciones de pagar por el artículo un precio mayor que Pe y ganan, por el sduple hecho de qje el precio es menar. Baje ciertas hi pótesi* econánicas la ganancia total del oonsumidor se reporesenta por el á-rea de la región comprendida entre los ejes de coordenadas, la curva de der-m-wsda y 1& recta p = p. (Fig. 4.73) - A esta Area ae le denamiM tc (BC). Luego.

EC - f(q)dq - p.q ó también

BC g(p)dp y p f(0)

4.7 Jí EXCEDEMB DEL PRODUCFOR

Considarew^ la función de oferta p =- f (q) de un deteocinaáD artí-culo, donde p = precio y q = cantidad, La gráfica de esta fuaeiÓa es la

ím:*M3 de ojferta. Por la íey & la o/arta.

a mayar precio mayor damand^ y a nanear precio manar daaamâ

-133-

H función de ofertar es creciente, si el precio en el mareado del ar-ticulo en nanción es p. y la cío -^ respondiente demanda es q. ? en-h^nces los productores que estu -viesen en condiciones de vender i :1 artículo a un precio menor, < nan, peor el simple hecho de que el pareció es mayor. Bajo ciertas hipótesis económicas la ganancia total del productor se representa par el área che la re-gión comprendida entre les ejes de coordenadas, la curva de oferta v la recta

Fig. 4.74 A esta

derxmina eacedente che t productor (EP). Luego

- Kqíjdq = p.q f 9* - f(q)dq

ó tanbién g(q)dg Pt

4& Si la función de demanda es p =* 9 - q* y p. =* 5. Hallar el excedente del consumidor.

Fig. 4.76

274-

E C = J [{9 - q') -

Si ija función de oferta es p - 4 + y <q. = 2 el excedente del prodoctor.

Calcular i

EP [16 - (4 + (Fig. 4.76) 0

= 16

JE/tHTipio 33. Las íorxdcnes de demanda y de oferta, en situación de conpeten-1 cia pura son, p 227 - rr q^ y p ^ 2 + respectivamente

Determinar el corres productor.

excedente del consumido! y el excedente

&?¿ncMn El precio en el mercado 3? la correspondiente cantidad está minado por el p^nto de eqttílihrio E (Fig. 4.77). El pjnto de equilibrio nó es la intersección de las curvas de oferta y de desmanda.

227 - - q* = 2 + 2q* ***** q* w 100 q. = 10 donde

L-ngo E: ^227 - q^ - 202 500 EP (2+2q^) d3 = 4000

P=227^

(10^202)

1-2

P"2+2q*

Fig. 4.77 rig. 4.78

275-

i mplc 3Jf. xa cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de monopolio, se deteiminan por la función de demanda

- g. (io - q) * y el costo total es C = + 5q (¿ha tal manera (3116! se ma

unice la utilidad. Determinar el correspondiente excedente del censurador *

í 3 utilidad es U = I - C, JE = ingreso y C =* costo total

U' = 0 — I ' - C' " 0 IM ^ CM 9 9 maxüniza si el ingreso marginal (I' IM ) es igual

. .-O: marginal (C CMg)".

donde o se precio de venta v o ** cantidad vendida

I - í (10 - q)^q ^ = 25 - lOq 4 I q' 9

f jjago IM = (H 25 - lOq + q^ = q^ + 5 9 9 ^ 4

^ q = 2!, la utilidad es máxima parque U" (2) = - 10 -2

Par tanto: EC ^ (10 - q)^ - líjdq (Fig. 4.78)

4.7 J OTRAS APLICACIONES

32. ActuaLrente el kilo de huevo cuesta S/. 4.6. los esüj#ios in-dican que dentro de x semanas, el precio estará cambiando a u-

tasa de 0.09 + 0.0006x^ soles por setnana. ¿Cuánto costará el kilo de huevos dentro de 10 semanas. (En este ejemplo y en los siguientes se ha considerado el sol nuevo, es decir 1 sol nuevo - 1,000 soles antiguos).

RaÍMCMfn 10

C3KO -gK- 0.09 + 0.0006x3 =9*1 (0.09 + 0,0006x*)dx es el aumento

ció dentro de 10 sesitanas; juego, dentro de 10 semanas

pío p <= 4.6 + ! <0.09 -t- 0.0006x*)dx - 4.6 + 1.1 - 5.7

-133-

E1 kilo de huevos, dentro de 10 semanas, costará S/. 5.7 soles.

E/empío 53. Hallar la cantidad producida que maximiza la utilidad y la co-rrespondiente utilidad total (suponiendo competencia perfecta)

si B ^ = 24 - 6q - q* y CM^ = 4 - 2q - q*.

La utilidad se mazimiza (suponiendo occpetancia perfecta) cuando el ingre-so marginal (EM ) es igual al costo marginal (CM ), luego

9 9 24 - 6q - q i = 4 - 2q - q* q = 5

oDtto U' = UM = IM - (K = 20 - 4q v U"(5) < 0 g g g - ' la u cilidad se maximiza cuando q - 5 y la utilidad máxima es

r' (20 4q)dq = 50

isa t e x t i l ha comprado una máquina cuya pro

ganancias en un t ienpo t dadas por G = 27 don

de G está ^n unidades de G/. 3,000 y t e^tá en años. El costo de repara-ción y imntenj jrder:to en el tienpo t está dado por R(t) = y ^ + 2t, donde

R está en uni.dades de S/- 3,000 y t está en años. SupcKüendo que la náquina pueda retirarse sin costo alguno en cualquier tiecrgao, ¿Cuántos años se debe mantener la máquina para maximizar la utilidad neta .

Las ganancias sen iguales al costo de reparación y mantenimiento (Fig. <3.6 ) cuando

27 - 2t* + 2t t 3

<' < ¡ i < !

11 'h

r: ')

' f'

. j

Por tanto, la máquina debe retirarse después de 3 anos, La utilidad neta después de 3 años son;

UN =f ¡G(t) - R(t)jdt = f* (27 - 2t - I t^)dt = 51

Luego la utilidad neta, después de 3 años es de 153,000 soles*

JS/ mpA? 55 El valor de reventa de cierta máquina industrial disminuye duran te un periodo de 10 años a una tasa que cambia con el tiempo.

277-

anáo la máquina tiene x años, la tasa a la ctxtl está cambiando su aioi ¿ de 220(x - 10) so les per año- ¿En qué cantidad se deprecia la máquiiTa j cumplir dos años y cual es ¡su prec io de reventa en un t ienpo si su eos i ué de S/. 12,000.

XiÍMCMht dv

Si V es el valar de la máquina, — * 220(x - 10)

iuego, V(x ) =J 220 (x - 10)dx V(x ) 110x^ - 2200x + C

Tcnc V(0) ^ 12,000 c = 12,000 y V (x ) - 110x^ - 2200x + 12000

por tantc, V(2) = 8040.

í precio de reventa es de S/. 8,040. Y la máquina lia sufrido una depreci-a ción de S/. 3,960.

¡Otro método para reso lver es te problema. El va l o r de depr<3ci3ción es

¡ 220(x - 10)dx - - 3960.

esto s i gn i f i c a que la máquina, en dos años se deprecia en S/. 3,960, en ese

ti€npo e l va lor de reventa es 12,000 - 3960 = 8040.

E ] E R C ! C ! O S

1. Si l<a función de demanda es p = 25 - ci*, hallar el excedente del oonr sumidor si la cantidad demandada en el mercado es q, = 3.

R. 18 2. Si la función che: oferta es =* 3 ln (<3 + 2!), hallar el excedente del

productor si el precio de venta en el mercado es p„ - 3.

3. las funciones de demanda 3? oferta en situación ¿he l i b r e canpeteíícia son

p — (9 - q)^ y p - (1 + 3q) , respectivamente. Calcular e l exr*

dente o^risumidor y e l excedente de l productor.

<4. La cantidad vendida el correspondiente precio, en situación de m wt< lio, determinan par la fuiTCión de demanda 3? = 45 - q* y el or .

+ + 7 total C =* 6q + + 7 de manera que se maximice la utilidad. On! < u

8

9.

el cüPiest^ytátente excedente dcü consumldtor. R. 16/T

MI valor áa venta de cierta Equina industrial 'üsminuye a una tasa c je cambia rr-n el tianpo. Giardo la máqu:'.na tiene t años, la tasa a

cual está cambiando su valor es - 960 e t/5 soles por año. Si el c^sto :3o la Máquina fug de S/. 5,000, ¿Cu&l seria su valor 10 años más tarda?. R. S/. 849.63. !Jr* fabricante calcula que sus ingresos m¿Ltgina l- s son de 10¡ ÍX3T uiddad su prcd-.icción ec áe q ^ ijaóes- Sa iia erjccntr do qu) su ooatr majrgJn l es da 4 c soles por anidad. Cuan* óc ru ni ve) de oáucción tas de 16 unidades su utilidad es de S/ 520. ¿Coál es su utilidad cuarto su ni^l de cdv^^ción es <3*3 25 unidades?

R. 536. 20

"Un fabricante ha eiwntraAj qoe su oostc* HKaxpinal es áe + I soles peí iRiidad cuando se han prottacido q sriidadeíi. El cc;sto total de la primera miidad as de S/. 130.

a)

C';

¿Cu&l es oostc d% producción de las 10 primeras unidades? ¿Ojál es el costo <3*9 prod<.ic.ri6n de la décima u iidad.? ¿Cuál es costo fijo?

R. (A) 8/. 436 ib) S/. 53 (c) S/. 126

t&sa nrecimiento de la población de cierta ciulad cambia cotn el tiempo. Los eat JicMos indican que dentro ¿lia x mases la tasa de crecí -apdgTíto de la población será de 4 + perdonas ixnr mes. la pobla -ci6n actual ea de 10,000 habitantes, ¿üjál será la pcblación dentro de 6 y 10,125 personas

Bl precá<o d^l pollo es actuaJü cnte da 15/'. 4.5 por kilo. Cor la terr.'í-bl*9

inflación nos agobia, íse agiera que dentro de x s^ânas el precio estira a una tas^ cha 0.03 + soles por senrtana. ¿ Ciento

costará <3.1 Jki lo de pello der^ro da S â^saa?.

R, 3/. 5.02 el kilo.

10.. BallAí* la cantidad que Ynaxi.m3.Ka la utilidad y la correspondente utili-dad máxima si el ingreso xargiAml es DS ^ 20 - 2q y el costo n^rgli^l 9

-133-

es CM = 4 + (q - 4)* g

f - Las funciones de oferta y de demanda son, respectivamente,

p = 1 + ln(q +1) y p = 5 - ln(q + 1), Hallar el excedente del consumidor y el excedente del productor.

R. EC = EP = e* - 3

, 2. Una expresa ha comprado una máquina cuya cantidad producida representa ganancias en un tiendo t dadas por G(t) = 20 - 3t^, donde t está en a ños y G está en unidades de S/. 10,000. El costo de reparación y man-tenimiento en el tietrpo t está dado por R(t) = 2t*, donde R está en unidades de S/. 10,000 y t está en años. Suponiendo que la máquina se puede retirar sin costo alguno tari cualquier tienpo t, ¿Cuántos años se debe mantener la máquina para maxirnizar las ganancias netas totales?'

R. Dentro de 2 años y U.N= S/. 266,666-66

13. Una ccnpañla está considerando la adición de personal parL. opaganda. El costo de la adición de este personal está dado por C(x) - í x, don

* ****

de C está tari unidades de S/. 600 y x es el número de personas agrega das. El ingreso obtenido con el personal adicional es I (x) - 2/x¡, donde I está en unidades de S/. 600 y x tas el n&nero de personas a-gregadas. Qué número che personas para propagandas deben agregarse par-ra maximizar la utilidad, cuál <3*3 el ingreso neto adicional (suponer que las funciones son continuas).

14. los pronotores de una feria de una ciudad calculan gue t horas después ¿te; gue se abran las puertas (9 a.m.) los visitantes estarán entrando

*

a la feria a una tasa de 54 (t + 2)* - 4(t + 2) personas por hora. ¿Cuántas personas entrarán a la feria entre las 10 a.m. y el medio día?

15. la utilidad marginal de cierta acnpañía es de 100 - 2x soles por unidad cuando se producen x unidades. Si la utilidad de la conpañía es de S/.

*

700 cuando se producen 10 unidades ¿Cuál es la utilidad máxima posible de la txnpañia. ^ s/. 2,300.

-133-

K"! YJC^ irarginal de un fabricante es de 3(q - 4)* soles por unidad ¡sil nivel che producción es de q unidades

a) Egrese al costo total de producción del fabricante en términos de sus gastos generales (costo fijo) y el número de unidades produci -das.

3b) ¿Cuál es el cesto <3*3 la producción che 14 unidades si el costo fijo es de S/. 436?

17. las funcicnes de demanda y de oferta, en situación de oampetenda pura son respectivamente, p *= 30 - q^ y p = + 3, hallar el exceden-te del productor.

18. Si la Ruci&i de demanda es p = - q y la cantidad den^ndada es

tlt, - 4, IiRi lar el excedente ó al consumidor. 19. Hallar la cantidad prodsxrida que mayimice la utilidad (suponiencb conpe

tencia pura) y determinar la utilidad total en dicho punto si las fun -cienes de ingreso ntarginal y de costo total están dadas par

- 24 - 5q -CMg - 11 - 3q - q^

C O O R D E N A D A S P O L A R E S

1 SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

La posición de un punto P en un plano se puede indicar usando las coor tenadas polares. Para ello se considera una semirecta orien-tadas 5R llamada <?<7<g po íir, que u--'ualmente se considera en forma horj. contal y que se extiertda hacia la de recha (Fig. 5.1); al origen del eje ¡pclLggr 0 1363 43entjnina PcZ-o M or¿¿7en.

A cada punto P del plano se a-signa el par (ir,6) donde r tas la longitud del segmento OP y 6 es la medida en radianes del ángulo csjyo lado inicial es el eje polar y el lado terminal contiená a OP. Fig. 5.1 Al par ir, 6) ¡5*3 denomina coordenadas poZares de 3? y se denota P(r,6); ir es llamado rcáT-p vectcr y e el ¿ÍTigrMZo poZar o áTtgrMlc ^gctortaí. La figura 5.1 nos indica que r ^ 0 y 0 < 6 2ir , pero éstas no san condiciones generales. Para asociar las coordenadas polares a un punto es necesario te r!er las siguientes consideraciones:

1. Si el ángulo .POP se desplaza a partir de C& tari sentido antihoraríQ f) es positivo y negativo en caso contrario.

A La semirecta QA' que forma con el eje polar un ángulo ¿ha medir ha 0 -;-<: denomina eje (3. El radio vector r os positivo si P está situólo <t:-n <-R

eje 6, y tas: negativo si P está en la prolongación del eje t). El polo 0 está unívocamente determinado por r ** 0, es decir al tur p*jede asignar el par (C, 6) donde e es cualq\ü.er n&wro rtKSl.

-133-

nün^ros polares en e l plano.

/Z/cmpAo J. Local izar l os puntos (dados en coordenadas polares) :

AÍ3, B(-4,

,'bic¿ar este-'; wntos con ía-cilidad us oretic-s la (Fig.

S-.l). dr nde- ca¿& tieíê un valor constante de ^ y Ceida s€3:¡j.rec

ta valor constante de 6.

Fig . 5.2

i. istablecer la correspondencia

coordenadas ro lares .se debe <

r 0 0 e < 2i (1)

b) Ojeando no se considera la r es t r i cc ión (1) ocurre que para un punto

dado exist f ' un náiEro inde f in ido de pares de coordenadas polares

(ir, 6). Si las cooidenadas polares de P son (r,0 ) , también, son coor

denadas ix3la:res de J? los p¿ires: -

n ((-1) r, e + nr)., n Z ( 2 )

HMMM

-283-

'denadas

t-2,27T), (2, 3ir), (-2, -ir), (2, 5ir), (-2, 671),

.2 RELACIONES ENTRE LAS COORDENADAS POLARES Y LAS COORDENADAS RECTANGULARES

Consideremos e l sistema (3*3 coordenadas rectangulares

'ônde 5X tas e l e j e polar (F ig . 5 .3 ) .

Sí p es un punto del plano cuyas coor leñadas rectangulares polares son (x, y ) ( r , 0) respectivamente. El cambio de coordenadas rectangulares para coordenadas polares se e fectúa considerando las re laciones;

XOY oon< CX = OÁ,

x ss r eos (3

y = r sen 6 (3)

Inversamente, el cambio de coordena -das cartesianas para coordenadas pola res se efectúa a través de las reía -

ílg. 5.3

* ' * 6 r = i A* + y* x* + y

tge Jí 6 = arctg (4)

a) Hallar las coordenadas rectangulares del punto I? (4, ) b) Hallar las coordenadas polares del punto P(- 3*, -1)

Soíuádn.

a) r " 4, e 7f 6

X = eos 6 ' 4 sen -r* 7Í 6 P(2/?, 2)

b) x := - /T , y - 1 r = i 2

tg 9 j-1 -3 (3er cuadrante) 6 " 7ir

ájbwpá? á En (a) y (b) se dá la ecuación cartesiana de una curva, hallar

-133-

la ecuación polar (3 ecuación en coordenadas po lares de dicha curva. En (c)

y ^d) se dá l a ecuación polar de una curva, ha l l a r l a ecuación cartesiana

de la curva. a) x ' -i- y^ - a^ , a > 0. (Circunferencia)

y- (x^ + y^)^ = a^ (x y , a > 0 (lenxiiscata de Bcrnoulll)

c) 1 = 4 sen 8 ( circunferencia)

d) r =

Solt/cídn. 2 - eos (3 ( e l ipse )

a) x^ + y 2 r' = a* r = + a

"La ecuación polar de una c i rcunferencia pon centro en el origen y ra -

d io a (a > 0) es ir = a

b) (x' + y')' - - y=)

r = - a !!

=3* r " = a** (ir^ cos^G - r^sen ^6)

r^ = aôos

c ) r - 4 sen 9 r r? = 4y X y^ = 4y

X^ + 'V - 2) 1 = 4 (Circunferencia de centro en (0,2) y radio 2)

d) r = 2 - eos 6 r = 1 = 2 - 2r - x ,t

2r - x 4r^ = (2 + x ) 4(x^ + y^) = (2 + x )

3x^ + 4y^ - 4x - 4 = 0 . ( e l i pse )

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN COORDENADAS POLARES

La distancia en t re los puntos

A(r ,6 ) y B(r ,6 ) está dada por 1 ^ 2 2

r^ + r^ - r ^^s (6 9 )

la dernoatraci ón es trivial usando la ley de los cosenos en el triángu -lo (Fio. 5.4) Fio* 5.4

Rje wlar

-285-

5-ar ejenplo, la distancia entre los puntos A (-3, -yy ) y

B(5, -r ) es 25 4 30 eos r = ?

,4 ECUACION POLAR DE UNA RECTA I ) Se-3 L una recta que rv:* pasa per e3 or igen. Si N (p,;.;)) es eJ

ncipal d^ coordencdas polares de l pi^ de la perr^jxücul^- t -rara-Jk del pe n la i 'ect i L, /Y í.-y./' de la jrectx^ os

j . - (j) - p

- figura 5 ? 0) ^n la rect?! entonas (IIP es ríixr^'ûiio) -

\ \

Fig. 5.5 J

! í

Si 1 a rect¿í L por origen (r^q. J1..6), su ecu^íc-ion pol^jL

a .

. r . ! , " I . . * * ^ - k * . ' r ' *i * ^ ^ ^ **. ** < ** ! — . '

-133-

i.í) la reet^ es paralela al eje polar y ecuación (5) se transforma en:

a p unidades del polo, la

r sen e * + p , p > 0 (7)

El sigilo de p es positivo si la recta está sobre el eje polar, y es ne gativo si está debajo del eje polar.

li) La ecuación polar r eos (e - u) - p es equivalente a la ecuación normal (cartesiana)

x oos u + y sen w p

iv) una ecuación en coordenadas polares de la recta que pasa por dos puntos A(r ) y B(r^,e,) es:

r r sen (6 - 6) + r r i t ^ (0 - 6 ) - r r 1 Y A (6 - 6 ) Y * (8)

¿yemplo 4. a) Hallar la ecuación de la recta perpendicular al eje polar y que pasa por

el punto A(6,

b) Hallar la ecxacián de la recta paralela al eje polar y que pasa por el punto B(2/T , I ) 4

c ) Hal lar la ecuación polar cha la recta cuya ecuación cartesiana es

3/?x + 3 y + 1 4 - 0

d) Hallar una ecuación en coordenadas polares de la recta que pasa por loa puntos A(4, -^L ) y B(2/I , y ).

S Iníici ¿i) En l a f i gura 5. 7 se observa

P 2n * 6 coi (- 1 3= - 3

A(6, 2?/3) 1'

mego la ecuación polar de la recta

L es r eos e a* 3

b) p = 2/3* oos ( -I ) 2, luego

la ecuación polar de la recta paralela al eje polar que pasa

i

\6 \

1 O

Hg. 5

287

por el punto &(2/2*, ) es r sen 6 = 2.

/ Para hallar la ecuación polar de la recta, considerando la equivalencia de la ecuación polar y la ecuación normal, es necesario transformar la cuación dada en su forma normal. Por la geometría analítica (plana) se

sabe que, s i la ecuación cartesiana de una recta es de la forma

Ax+By + c = 0 , C 5¿ 0 La ecuación normal se obtiene div idiendo ( * ) entre i /p^ + B? donde

e l signo de l radical es opuesto a l signo de C. En nuestro caso

A - 3/3" , 1$ = 3 y C - + 3.4, per tan tro divitli ¡tos entre

- / (3/3) ' + = - <5 y la ecuación normal de l a rec ta e s :

/3 1 7 ^ x - - y ^

luego eos uj = -

sen tu 3= - 1 2

o está en el 3er cuadrante y m = 7-rr

J O - r 7

3

7x La ecuación polar de la recta es ir eos (6 —-r o ) = ODOTdenadas

A(4, 2n ir ) y B(2/2, ), usando la fórmula (8 ) , es tá dada

2-4r sen ( -^ - - 6) + 2/^fr sen(0 ir * - 5ir - j - ) = 8/2 sen

5.5 ECUACION POLAR DE UNA CmCUNFERENCIA La ecuación polar de una circun

ferencia con centro en C(p, cr) y

radio a, 3- 0 es:* i* ig. 5.8

P(r,6).

? + ^ 2rp eos ( t - = a' (9) ji la f i g - 5.13 se observa gue s i

-*(ir,6) es de la circuníe--nsneia, aplicando la ley de les ce 0

- 1 3 3 -

senos en el triángulo OOP se obtiene la ecuación (9). 0&S%MMK3dw3.

i) Si la circunferencia pasa por el polo y su centro está en el eje po lar (o su prolongación), la ecuación (9) se reduce a:

r = 2p eos 0 (10)

El centro de esta circunferencia es C(p,0) y el radio es ]p¡.

ü ) Si la circunferencia pasa par el polo y su centro está en el eje ^

(o su prolongación), la ecuación (9) se reduce a:

r = 2p sen 6 (11)

151. centro de esta circunferencia es C(p, ^ ) 3? e l radio ]p [ .

i i i . ) S i a l centro es e l polo 'p - 0 ) , l a ecuación (9) se reduce

r = ± a (12)

E/enrpA?J. Hallar la ecuación polar de l as circunferencias s iguientes:

a) Centro es e l polo y radio es 4 <2) Centro: C(-5, ^ ) y radio es 5

b) Centre C(3,0) y radio es 3 ^ ^^^ ^ ^ ^ ^ g

Usando convenientemente las fórmulas dadas en (9 ) , (10), (11) 6 (12) se

t i ene : -

a) La ecuación de la circunferencia es: r - 4 * ó r = - 4 b) l a ecuación de la circunferencia es : r = 6 eos 6

c ) La ecuación de l a circunferencia es : ir - - 10 sen (3

d) ta ecuación de l a circunferencia es :

r^ - 6r cas(8 - ^ ) = 55

5-6 DISCUSION Y GRAFICA DE UNA ECUACION POLAR Para trazar la g rá f i c a de una ecuación en coordenadas pialares

B ( r , 3) = 0 es conveniente r ea l i za r l o s sigs.úentes pasos:

I) INTERSECCION a) <3?77 i?¿t? ' : Se hace 0 - m?, n <6 2&

-133-

b) (bu gj^ ^r/2: Se batOe 6 = n € S

c) pcZ.<?: Se hace r = 0

SIMETRIAS

^ je poZítr.- Se reemplaza ( r , 6 ) por ,

n 6* Z3L Si la ecuación no var ia para algún va lo r <3*5 n, la </urvd

presenta siRietría; s i l a ecuación var ía paru todo n <= 3* l a cur^ta i*o es sint5 tr i c a ( * )

y ^

aZ rr/3.- ^ reenplaza ( r , 6 ) por ( - ( -1) r ? -(-M-nir)

n € S . . Si l a ecur)-2?.3n no var ía para 5l;;rán v a l e r de n, l a curva ¿i:

senta sime tria,- s i l f e^jaciári varí¿ pera -todo n V. l a trjrva r."..-

er- s íRÉtrlca.

Se rc^Trplaxa ( r , 0) por ( - l ) * r_ , 0 + n , } .

n ? la ecuaciór: no 'arí para al.gün âlcxr de n, la.

señta sá j^ t r í a ; í.i l a -ecuación vnxr-ís, para todo n 6- í?, l a ourva no

es <

EXTENSION - Se de'-ermina la de r y 8

TA3JLRCI0M. - Se d t n Lnar los ^¿alores de ir ^ l o s ^ - -

l o t es asignados a

'fRAZAPC DE LA URafl CA En un sist^.ia ch coc^îadcL.-. poârtre íes

rib'te la roseta nola^r) se loca l i zan ios? pur^ôs -c'btenidos ^ e e tsu

?;a 1?? curva.

Si C) t 'j plinto de i:-' .ûrva cuya poja:, es

-1'.. i 0 ) C c 'l p rríií) S. - iir tri da crv) respecto ^ e j ? yo lar , (ir, - 3) (F ig . 5.9)

* * ^ .

Per lír. fárnuU.a (2). l a observación 1/ ta¿Tbié:i son crjcrder^Kl^rí rJí

5 l os ( ( - 3 r , - f. ; . r X ? luego, s i S perbcjiatr*-: ).

cuivá ( i r , - -i -i f.i*) taxhbdárt sat is face l a ecua^ón pén. -? aL/: " <

loar rji*' ]*¡, er- dec:r la ûacAón no var ía . Ibr o t ro lado * s i ( ( - 1) :,

- 6 4- yin) no satisfacía l a ecuación la curva, para todo n tú 2K, ^ n <

-133-

fir/s ¿ na pertenece a la curva,,

es dec i r la curva no ea simétrica

r s'pecto aje polar. De manera Kí .Alar ae deduce las condiciones rjgjra qua una curva sea simétrica con respecto a l e j e ir/2 y ai po-lo,

6. Fig. 5.9

Determinar, s í son simétricas ¡a no respecto a l e j e po lar ,

e j e ?/2 y a l polo, l a curvas c iyas ecuaciones son?

a l

a) r * 4 eos e + 2 ^ i (¡er acc 1 j b) ^ 9[een( + l]

c) r = 3(1 + oos 9) (Cardioide)

Solución a) t i ) A spec t o a l e j e polar

(Tf - 6) se obtier^ O/es

as 4 eos (.- 6) + 2 x- - 4 (ros p + 2

Es s imétr ica.

( i i ) Respecto eenplazar n

n se t i ene : - ( -1 ) r = 4 eos ( - 9 + nn) + 2

Si ;i as ar

impar

- r = 4, eos 6 + 2 tvari^.)

* r = 2

luego la curva no es simétrica ya que la

4 oos R (var ía) <

a<3.iac3 6n va r í a para todo

íiii) reesrplazar n^)

se t i ene : - ( - 1 ) Y ^ ^ í n?r) + 3

s í n es par y ^ 4 eos e 4- 2 (var ía }

si n es impar r " 2 - 4 eos e (varía)

*. No existe simetría.

-291-

La gráfica del caracol r ** 4 coa 6 + 2 se muestra en la figura 5,10

b) (i) Respecto al eje polar; Para n * 2, es decir, reenplazanóo (r,6)

por (r, 2n - 0) se tiene:

9[sen( 2? - $ " - i 9[sen( ) 4 l]

Es sinétrica

(ii) Respecto al eje w/2 Para n - 2, es decir, reenplazandó

(r,e) par (-r, 2^-0) e r* - 9 [sen + l]

*. Es simétrica

(iii) Respecto al polo. Para n =* 0, osea, reemplazando (r, 9) por

(- r, 0) se tí

r* - 9[sen ( y ) + l] . . Es si

La gráfica de r* = 9[sen( ) + l] se muestra en la Fig. 5.11

i) El cardioide r = 3(1 + eos 0) es simétrica con respecto al eje polar. No eje 7T/2 ni al polo (Vérificar). r = 3Í1 + eos 9) se muestra en la Fig. 5.12.

es simétrica respecto al la gráfica del cardioide

r=4 eos P+2 íî. 5.10 Fig. 5.11

-133-

r=t3(l+ccs 6)

Fig. 5.12 Fig. 5.13

Ejwwpio 7. Discutir y graficar la ecuación r * <4 cacas 6 + 2 (caracol) SoÍMádyt Por la periodicidad del coseno es suficiente considerar e [0,2n]

I) INTERSECCIONES

a) Can el eje polar, (6 - mr)

r = 4 cos(mr) + 2, luego, si n es par ir tí

si n es inpar r - - 2 (6,0), h e z

b) Ctm el eje w/2 , (6 " y + n?r)

r - 4 ( y + nit) + 2

Luego, si n es par

si n es inpar

c) con el polo (r = 0)

r = 2

e ^ v e , ^

(2, 7T/2)

(2, 3ir/2)

0 " 4 eos 6 + 2 * * 4*n

eos 8 " - -x-1 2

II. SIMETRIAS. En el ejemplo 6, hamos visto que este caraool es simétrico solamente al eje polar.

III. EXTENSION. 6 t R A -

-293-

!V. TABULACION

e ] ^ [ 7T/6 } it/4 ) 7!/3 ] n/21 2ir/3 ¡ 3n/4 5n/6 ] r

r ¡ 6 ] 5.5 4.8 4 2 { 0 -0 .8 - 1.5 -2

V. TRAZADO DE LA GRAFICA. La gráfica se muestra en la figura 5.10.

& Discutir y graficar la ecuación

SolMcMw. I. INTERSECCIONES.-

a) COR el eje polar: <9 = nir r* * 9[sen(^y-) + l)

si n - 0 -=> (3,0) y (-3,0) ^

si n - 1 (4.2, ü) y (-4.2, v)

si n * - 1 (o, -i

*

b) con el eje V2: 6 ir/2 rnr r^ - 9[sen(^ ^ * ) + l)

si n = 0 =3* (3.9, n/2) y (-3.9, n/2)

si n - 2 (1.6, 5^/2) y (-1.6, 5n/2)

c) ccn el polo ir * 0 ===a* e - 3n , <9 = 7ir

II. SIMETRIAS. La curva es simétrica con respecto al eje polar, al eje 7i/2 y al origen (ver ejemplo 6).

III. EXTENSION.. e ^ R y - 3 / ? * < r < 3 / y

IV . TABULACION. (Ejercicio para el lector. Considerar el período de la función: 4w)

VI. TRAZADO DE LA GRAFICA . la gráfica se nuestra en la Fig. 5.11.

Trazar la' gráfica de r - l - ( & a e n 2 3 [ ) , e ^ [ & , if)

Solución Si 6 t= [p, j y > — o 0 < 2 aen 20 < y — > Í2 aen 2g) - 0 — ^ r - 1

Si 6 € , > — 1 < 2 sen 26 < 2 — ^ Í2 2$] - 1 — r - 0

-133-

e -r 4

e <

2 sen 26 ** 2 Í2 aan 2g) - 2 r - - 1 *n 5*n 1 y T?J i < 2 29 < 2 C2 nen 2$B - 1. r O

Si

Si 9 < V2,

S* 3 12 ' ^ ^

0 < 2 sen 29 < 1 12 sen 2$¡¡ - O

Si 6 rutf ^ ^

- i < 2 sen 29< O

- 2 < 2 s e n 2 6 < - l

-1 < 2 sen 26 < O

23) r-2 )

Si 6 ^ -n 2 sen 26 - C [R sen 2$) = O

12 sen 29) - - 2 r-3

E2 sen 2g) = - 1

r * 1

la gráfica se npjastra en la fig. 5.13

5.7 WTERSFCOÍON DE CURVAS EN COORDENADAS P O L A R N

En vürtud che (2 ) , (dbsesrvación 1 de es te cap í tu lo ) , se cbtiene l a s i -

guiente proposición.

Si r - f ( 6 ) es la ecuación de una curva en coordenadas po la -

res, entonces n (-1) r f O + nn) , n € 2 (13)

es también la ecuación ¿he di día curva.

Considerando esta proposición, para hallar la intersección de dos curvas Gu-ayas ecuaciones tari coordenadas polares son:

r = fíe) y r = gíe)

Se siguen los siguientes pasos:

1. Se obtienen tedas las ecuaciones distintas de las dos curvas aplicando (13) a cada una de ellas.

r = f(6) ; r = f (6) ; r = f (6), .... i 2 r = g(&> ; r = g^(0) ; r = g^(0),

Se resuelven, para ir y para 6 , las ecuaciones simultáneas

- 1 3 3 -

f (6) !r - í (6) r - í (6)

g(6) ]r = r =

Se verifica si el polo es un punto de intersección haciendo r * 0 en cada ecuación para determinar si existe solución para 6 (no necesaria-mente la misma). Para tener una idea respecto a la cantidad de puntos de intersección ó* dos curvas, se sugiere trazar sus gr&ficas previamente para simplificar el trabajo.

'jFTupio JO. Hallar las diferentes ecuaciones de las curvas,

a) r = 2 + eos 26 b) r * 2 + sen 6

ü ? plisando (13), las ecuaciones de r = 2 + eos 20 están dadas por

(-l)"r " 2 + eos 2(6 + n?r), n *:Z

Si n es par, se tiene r = 2 + eos 26

Si n es inpar, tenemos: - r 2 -+ eos 26

luego, las diferentes ecuaciones de la curva, son:

r = 2 + eos 20 y r = - 2 - eos 26

ij) De manera similar, las ecuaciones che ir *= 2 + aan 6 por

hl)"r ^ 2 + sen(6 + nir) , n 3¡

Si n es par, ae tiene r = 2 + j en 6

Si n es inpar, se tiene - r = 2 + sen (6 + ir)

luego, las diferentes ecuaciones de la curva, son:

r * 2 + sen 6 y r * - 2 + sen e

!JT Hallar los puntos de intersección de las curvas cuyas ecuacio-nes en coo<rdenadas polAres son:

- 3 y r* * - 9 ees 26

-296-

l a s g rá f i cas de estas curvas se

muestra en la f i g . 5.14. Cbnsi

derando las simetrías de estas

curvas (respecto a l e j e po lar ,

a l e j e "/2, y a l po lo ) es su-

f i c i e n t e ha l la r un punto.

A l r eso l ve r simultáneamente sus

ecuaciones se obt iene

y = - 9 eos 26 eos 26=- y

26 = 2ir 3 =

Luego l o s puntos áe intersecc ión

son:

/2 ^ !7í )

1 ^ 3

F i g . 5.14

y D( 5- ) /2

, E/tmp¿o ^ Hal lar l o s puntos cus intersección áe lias; curvas

2 cns 9 2 sen 9

La g rá f i c as de estas curvas, ( c i r

cuníerencias ) , se muestra en la

F i g . 5.15. Es evidente que e l po

l o es un ptmto de la intersecc ión

(en r = 2 eos para 6 = 7</2

r =- 0 ; en r = 2 sen 6 ,

para c - 0 r = 0)

no es rtece.Scurio t a l l a r las d i f e -

ren Lías ecuaciones de l a s dos crúor -

ya que a l simultánea-

mente sus clones se obtiene Fig. 5.15

2 ees 6 = 2 sen 6 tg ^ = 1 e = 4

297-

Luego los puntos de intersección son P(/2 , ) y el polo

13. Hallar los puntos -cié* intersección de las curvas

r = 4(1 + sen 6) y r(l - sen 6) = 3 .

Las gráficas de r - 4 (1 + sen 6);

ícardioide) y r = _ ^ (pará

bola) se muestran en la fig. 5.16.

El polo no pertenece a la intersec-ción ¿porgué?. No es necesario hallar las otras ecuaciones de estas curvasjpues al resolver simultáneamente sus ecua-ciones se obtienen los cuatro pun-tos que se-- observan en el gráfico. En efecto

Fig. 16

4 (1 + sen e ) = 1 - sen 6 4 ees* 6

eos e i IT 6 e = ir , e = 5n 6"? e 7ir lllT

luego ;los puntos de j son:

A(6, ¡r ), B(6, 31-), C(2, y D(2,

5.8 DERIVADAS Y RECTAS TANGENTES EN COORDENADAS POLARES Sea r = f (0) la ecuación de una curva. Por las fánnulas x = r eos <0,

y = r sen 6, se obtienen

x - f (6 )oos e

y f (o)aen 6 que aon las ecuaciones paramé tricas con parámetro e, de donde

-298-

3 L áx ÉX de 3x de

esto es:

e + f (e)oos e e - f(e)sen e ^ # # (14)

Como sabemos, esta derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (x,y), es decir:

tg a (15) ''t

siendo a el ángulo de inclinación de la recta tangente a la Si P (r,6) es el punto de tangencia 3? p es el ángulo que fo: vector CP y la recta tangente, examinaremos les siguientes

a)

p(r, e)

b)

En el caso (a): o= 6 + 0

En el caso (b)

tlyi. 5.17

e = a- - e

6 a - 6

6 n + (<x - 6); de donde:

tg 6 tg^ + (a-e)2*tg(9-e)

lo que significa que en ambas situaciones:

tg 6 * tg(&- e) , es decir

ta 6 e + tg atg e (16)

-133-

CEnsiderando (14) y (15), ae obtiene:

tg p (O)sen 6 + f(8)cos 9 .„ .

F'(é)cos ^-'f(e!sen é" ^ ^ . , f'[5)sen 8 * .

Simplificando sata obtiene: tg 0 Í18L

tg 8 - dr de y ctg p (17)

"La derivada del radio vector (ir) respecto al ángulcf polar 6 es igual al pro ducto de la longitud del prijmero par la cotangente del ángulo forjado par el radio vector y la tangente a la curva en el punto dado".

Hallar los valores de ¡ 3 , a y las ecuaciones cartesiana y po-lar de la recta tangente a la curva r = a(l - cr 9) en

6 = ir/6, (a > 0)

La gráfica de r = a (1 - eos 6) car dioide, se muestra en la Fig. 5.18

= a sen 8, de donde:

tg 6 = ' 8) a sen 8

2 sen 2 e e 2 sen y 2

e Esto es, tg 8 = tg y de

P e 2 $ = 1T 12 Fgi. 5.18

(El mismo resultado se obtiene al evaluar tg 8 * 1 - eos 8 8 e.l) De a* 8 + P ^ ° = 6 + 12 a = — y la pendiente de la recta tangen

te es n\p 1.

Otra faena de obtener la pendiente es usando la faenóla (14)

-133-

óy^ f {9)sen e f{e)oos e ^ f (e)cos e - í(e)sen e

dorada dr dO a sen 6

L^îpi^ânáo e n 1 en esta expresión se dbtíene

dx ^ i

las coordenadas rectangulares (x,y) del punto de tangencia son:

^ r eos e - y — (1 - -y), y^ = r sen e A ^ —ÜÜ );

. h

luego, la

ecuación cartesiana de la recta tangente es y -- y„ Itx - x„), es decir

5 - 3/3* x - y — a 0 y la ecuación polar de esta recta e$:

r cos(e - 7?r ) SB 3/T- 5 4/y

1

Hallar las ecuaciones te a la curva ir* - 9

Cono r^ ^ 9 eos 26, derivando ínt-plicitamente se obtiene:

dy r'sen 9 + r eos e dx r'oos 9 - r sen 6

cartesianas y polar de la recta tangen-2$ en el punto ^ )

r s 3/2 2 , e H y y 3/í

Las ooordKiadas cartesianas (x,y) de P son x = ecuación cartesiana de la recta tangente es: y

IA ecuación polar de esta recta es: r sen e

JTig. 5.19 3^*

, y 3/2 4

^ ^ , luego la

3/y 4

-301-

la fig. 5.19 se muestra la gráfica de r* = 9 eos 20 (lenmiscata de i toullí). 5.9 ANGULO ENTRE DOS CURVAS EN COORDENADAS

POLARES entre dos curvas ^ y Como sabemos, si el punto P es la

y, ? y T' son, respectivamente, las tangentes a las curvas en el punte el ángulo entre estas dos curvas en el punto P, es el ángulo formado por

las tangentes T y T'. Si las ecuaciones <3*3 estas curvas están dadas tan coor denadas polares y, 6 y 6' son, respectivamente, los ángulos que forman el e j e polar y las tangentes T y TE" (Fig. 5.20), entonces:

4 TPT' = H CPT' - CPT,

es decir ^ = 6' - & Fig. 5.20

de donde

tg 6' tg B

tg P' y tg' 6 se calculan cando (17) en el punto de sección (3ha las curvas.

(18)

Oôvacídn 4. Gano discusión del ángulo puede presentar dificultades, se calcula el ángulo agudo entre las tangentes a las curvas, conside -rando ¡tg ^[. En todo caso, la interpretación gráfica del problema simplifican los cálculos.

16. Hallar el ángulo de intersección entre las curvas 4r coa 6 - 3 y ir s: 3 eos (3.

Soiiicidn. Graficando (Fig. 5.21) las curvas resulta: t - 6' - p . Puntos de Ínter

sección 3 eos 6 - . ¿r eos 0 - i-. 4 COS o 4 IT Slt 6 - — V e * los puntos de intersección sen: 6 $

-302-

; Muíante Iml laiiemos til ángulo entre .';! rsn .los en el punto P(se deja cf ato ejercicio al lector el ángulo frn punto Q). De

dr 3 sen e r - 4 eos e de 4 eos* 6

tg = ctg 6

De r = 3 eos 6 dr de

- - 3 sen 9

=3 eos e

y tg 6 = - 3 ctg 3

Par la direcci&i de les ángulos aplicando (18) se tiene:

^ . te 6 - tg 8'

4r eos 6 - 3

para 6 ?! 6 luego

tg 4-

2?r 3

Fig. 5.21

ctg 6 - ctg e 1 - ctg*e

B J E R C ! C Í O S I. Expresar en coordenadas polares los siguientes puntos dados en coarde!

1) P( y , - § )

4)

2) P(l,-

5) P(-6,8)

3^ (- /r, i)

6) (4, 4/3)

Expresar en coordenadas rectangulares los siguientes puntos

1) P(3,

4) P(-2,

2) 3) P(4, -

5) P(- 2 ' 4 ) 6) P(3,2)

III. Hallar las ecuaciones polares de

1) y - 5 - 0

2. x* - x*y* - y* = 0

3. x^ + y^ - 4x + 2y - 0

R . r sen e - 5

R. r - 2(2 coa a-seneí

-303-

s.

6xy

x* 2a

R. 3r^sen 2 6 = 5

R, 2 a tg 6 sen 6 - r

i : x + y - 2y = 0 R. y - 2 9ea e

7. 3(x - 2)* + 4y* = 16

8. y* - 4x - 4 0

3x* + 4y* - 6x - 9 10. 2xy = a*

11. 2x* - y* = a^

R. r (2 - 0)

R. r(l - oos e)

R. rM3 + sen*0) = 3(2r eos 6 - 3)

R. r^sen 26 = a*

IR. r*sen 20 = a*

W . Hallar las ecuaciones rectangulares de:

i

r - a sen 6 - b eos 0

r* = a' 23

r(l --eos 6) = 4

R. x* + y* + bx - ay = 0

R. tx* + y^)^ - aNx^ - y^) f R. y^ = 8 (x + 2)

r(2 - eos R. 3x* + 4 y * - 6 x - 9 = 0

.í.

7.

12

r(l - 2 eos 0) = 4

r = a(l -

rôos 26 = 3 e)

8. r 2 2e

9. r sen 26 4

10. r - a sec 6 + b

11. r sen* 6 * 4 eos (9

sen 26

R. 3x* - y* + 16x + 16 = 0

R. (x + y* - ax) = a* (x + y*)

R. x* - y* * 3

R. (x* ^ l(x* - yM

R.

R. (x - a)^íx* + y^) - b'x'

R. y* - 4x

R. (x* + y*)' - 4x*y*

V. 1. el área del triángulo de vértices (r ), (r ,0 ),

* * * * tr ,e ) a !

Hallar la longitud de loe lados y el área del triángulo de vértices

a) (1, V3), (2, ir/6) y (3, - w/6)

R. A - 2/5" , /T , /lO , í (3/3 - 2)

b) (2, u/8),(4, jL) y (-1,

!

Demostrar que el ángulo entre las rectas:

r eos (6 - (*)) - p y ir eos (9 - u") - p' es u - to' i Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(r , 6 ) 3?

B(r ), (Sug. Considerar un ptmto P(r, 6 ) cualquiera de las rectas

las áreas de los triángulos O.AB, CHP y OPA)

1

sen(6 - 6 ) sen(Q - 6¡) sen(6 - 6 ) R 3 i i ^ 0

Hallar la ecuación (3*3 la recta que pasa por el punto (r , 6 ) y perpendicular a la recta ir oos (6 - m) - p

R. r (6 - M) " r sen (6 - M) i i

Si C(c, d san las coordenadas polares del centro de una circunf de radio a, demostrar que 1* ** 2a oos (6 - o) es lia ecuación de lia

que pasa por el polo.

p es un punto cualquiera de la circunferencia 1

r* - 2rc eos (6 - d) + c* - a* ** 0. Si <3 es el polo y (3 un punto sobx$ CP che manera que:

i) gp (C ii) CP.B = d

Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por 0, en cada caéo

-305-

1 i* 3

R. i) - 2 ckr cos(0 - a) + c^ - a ^ 0

ii) (c* - - 2cd'r oos(6 - a) + d' = 0

Sí el foco de una cónica (parábola, elipse o Mpérbola) aatá en el polo 3' la directriz de la cónica es una recta perpendicular al eje polar que está a una distancia de 2p, p > C, la ecuación de la cónica está dada par:

e es la excentricidad de la cónica (19) 1 + e eos e *

!la cónica es u m elipse si 0 < e < 1 , una parábola si e - 1 y una t >.ipértxjla si í? > 1). Si la di rectriz está a ia i ycuierda polo al signe da (19) es -; si .lía directriz está a 1? derecha d?l polo el signo de (19) es +. Si el foco se nantiene en ol polo y Ja directriz es paralela al eja po lar, la ecuación de la cóni -a está dada por:

y — — — (20) ^ l i e ^ '

iz está debajo sobre el ele o

ai la di

a) Hallar la ecuación de la elipse con foco en el polo, excentricidad

e ** y directriz perpendicular al eje polar en el punto (-4,0}

R 2 - coa e

b) Hallar la ecuación de la parábola con foco en el polo y directriz per pendicular al eje polar en el punto (-3,0).

3 R. r 1 - coa $ c) Describir y graficar la curva cuya ecuación es r = 5 MÍ"?

R. elipse.

Discutir y trazar la gráfica de cada una de las ecuaciones siguientes r - 5 sen í 4 4 eos 6 2. r sen 3 * 4

3. r oos * * 6 4, r*aen 26 16

r - 16 aen 26 6. r(2 - eos e ) - 4

-306-

+ sen 0) = 8

r oos** 6 a sen (3 8. r(l - 2 oos 6) = hipérbola

10. r - 2 a tg 6 sen 6 , li- r = a 2 e

2 12. r = a sen

ae

3 e

13. r - a 13, espiral de Arquímedes 14. r = e , espiral logarítmica

15. r = a(l + aos 0), cardioide 17. r^ = a^sen 26 , lemniscata

19. r = 4 eos 39, rosa de 3 pétalos

16. ir - a(l - eos 6), 18. r a^cos 20 , lecniscata

2C. r = a sen 36, rofa de 3 pétalos 21. r = a sen 26, resa de 4 pétalos

22. r = a eos 20 , rosa de 4 pétalos 23. r = a sen 46, rosa de 8 pétalos

24, r = a eos <46 , rosa de 8 pétalos 25. v = a sen 5$, rosa de 5 pétalos 26, r - a eos 59 ¿ rosa de 5 páralos

27, r = a (2 4- eos 6), caracol de Pascal

28, r - a(l - 2 eos 6), caracol de Pascal.

29. r = Í2 + 3 sen 2é]¡

31. jr] = 3 eos 26 , 6 <sr [0,

32. }r I = - 3 eos 29 , eer {p,irj

30. r - 4r + 3 + 2 oos 6 = 0

VII. 1. Determinar la condición para que una curva sea simétrica respecto al e-

je n/4. 1. Je terminar la condición pora que una recta sea simétrica respecto al

eje n/3. VIH. Hallar los pontos de intersección de los siguientes pares de curvas 1. r sí ín e = 2a , r oos(6 - )

2. r 2 ese 6 , r - 4 sen 8

3. y a , r = 2a eos 29

4. r = a(l - oos 6),r - a eos 9 R.

5- 3r = 4 oos 6 , r(l + oos 6) = 1

R. (2a, it/2) R. (2/2,1)? (2/T, 35.)

f I ) ( -2

R. ( $ , i I )

, - y ) y el polo

r ^ 4 tg 6 sen 8 , r ^ 4 eos 9 7. r*sen 26 - 8 , y ctx:

r - l + oose,2r = 3 9. r " y sec^ y , r <* 2

3r - 4 eos 6 ^ r cos^ y - y r - 1 + oos 6 ^ 2r(l - eos t )" í

12. r oos 6 - 4, y - 10 sen 0 13. r * a(l + aén 6), r - a(1-sen 0)

14. r - 3 + eos 46 , r - 2 - oos 49 15. r - 2 + oos 26 , r - 2 + sen 0

IX. Hallar el ángulo 8, c el valor de la pendiente de la tangente para 3as siguientes corvas en los puntos dados. Trazar la gráfica de la curva.

í. r = 4(1 + sen 6) ; P(4,0) R. 6 " T ^ 0-32-4 4

3. r(l + ae-n 6) = 4 ; P Í2, i , P (4,7?) i : r 4 sen 36 ? P{4, jr )

5. ir - a sen 6 ; <3 = g- , -g-

r = a sen 26 ; P (-^Lí , I. ) , P (0, I ) : 2 6 i 2

r = a(l - sen 6) , P(a, 8. r = a secê , P(2a, y )

X. Hallar el ángulo de intersección entre las curvas siguientes, en los puntos que se indican,

/r* r = a eos 6 . r = a seti 6 ? en I ) R. y- , y ; n. y

2. r - 4 eos 6 , r - 4 cos^6 - 3; en R. I

3. r = a , r = 2 a s e n a ? e n P(a, y )

4. r - - a sen 6 ir eos 6? en el polo

XI. Hallar los ángulos de intersección de las curvas siguientes

1. 2r * 3 , r - l + cose

2. 3r <* 10 , r(2 - sen 6) " 5 R. y

-30B-

i r - 1 - sen O , r * 1 + sen tt

R. O" enei ^ o , y en (1^); -y en (1,0).

4. r * eos P , ir - sen 20

R. IT 7t 0' en (0, ) ; en ( y ^ ^ y en (- y , 79^6' aprox

5 r^ sen 26 - 4 , r* - 16 sen 126)

r(l - eos 6) - 4 , r(2 oos 6) * 20

R. y

8

3(1 - oos 6) , 3 oos f

a oos e , y - - a sen 26

R. En el- polo, 0* ; en los otros puntos, arctg 3/Ü

i f .í;

sec 6 , r sen 2& R. La curvas no se cortan

XII. Qi los ejercicios 1 al 4, danostrar, gue la3 siguientes curvas se cor tan en ángulo recto.

ir (1 + eos (3) = a , ir (JL - oos {)} - b

2. r =* a(i + oos Q)

3.

4. 5.

2a eos 9

, r = ¿a (1 - eos (3)

, r 2 b sen 6 7T 4 eos(6 - y ) ^ r* - 6r eos 6 + 6 - 0

Hallar la condición para que las circunferencias r* - 2 cr oos (6 - a) + c - a* =* 0 y

+ 2 c'r cos(6 - a') + c'* - 0 se cortan artot/onalriente

R. c + c'^ - 2 cc'cos(o - o') =* a* + a'^

Dcroostrar que:

ir cci3 (C - u) * a + <2 eos (a - tu) es tanaente

r" - 2cr aos(9 - a ) + c' - a* * 0

circunferencia

cunferencias coordenadas polares de los centros ¡y los radios <3

^ ) y r * - 2 r c o s 6 - 2 - 0 . <4 eos (e **

Probar además, gue las circunferencias aa cortan ortogcnalmente. (Dos

circunferencias se caer tan orüugonaiy^nts- .ta suma de t-os ' radios es ioual al cuadrado de la distancia entr^ sus centrosÜ.

" f

5.10 AREAS EN COORDENADAS POLARES

Ahora vanos a obtener una f6rmula para el área de un sector ? K¡¡ 5.22), dado en coordenadas poâr^s por

F - i(r,6) € ^ / 0 < 8 , 0 < r < f (6))

donde f: [a,8¡ función oontínua

es decir F es el sector oooipreí dido entre las gráficos de?

r f (0), eje o , eje 8 ^ con a <

Ae

Fig. 5.22 Fig. 5.23

Sea € y sea A(6.) el área del sector limitado por la curva r " f(3) y por las rectas 6 " o y 6=9.. Sea 4 ¿B ¡&,B¡ con ¿0 > 0

m -- min f (13) M máx f(6)

El área + A6) - A(6.) está ccHptendida entre las áreas de los w i circulares de radios m y M (Fig. 5.23)? luego, A6 > 0 se ti-ane-

r "

-310-

de acnae, y- ** " —g-g— y - -y-

Oomo ^ es continua en {[e. 6. + Ag , por el teorema de loe valoreg

intermedios, existe 0 € [e.. C . + ¿ {Q tal que

f (0) ^ Aí^ + -A9

por la continuidad de -c- en se sigue que

lím A

A( c. + Ae) - A(e.) . fNej * 2 —

Procediendo de modo análogo, para ¿ 6 < 0 , se tiene j.

A( ae)

Peer tanto, A (9) - , V e <= [^g

AÍ6J ÍBJ

COnn el área AÍF) A(6) - A( a) , de (*) resulta

Sean f, g: [u , %[} <R funciones continuas en []a ,0] tales que y sea F el sector do potr las gráficas de: r g( e ), r f ( 6 ) y las rectas 6 = a

dado por^

í

'-311'

y^f (P) /

!

X

Fig. 5..2 4 Fig. 5.2 5

C -m ío 1?. Calcular el área óal sector llntitaáo par la cuarta

r - 2 + eos 0 y las rectas (ejes) y # =

"1 gx-áíioo del sector 3? se muestra en ííljg, 5 *2 5.

6 7? 2

5$ tii:--.!

.1 ,JT/2

2 0 (2 + eos

7f/2 Í4 + 4 oos 6 ^ L l - c o s ^ ^

+ 64 3 e u

r' fwp M. Calcular el región limitada por la lamiscata

r = a eos 2$.

la lemniscata es una curva simétrica respecto al eje polar es suficiente calcular 4 veces el área de la región R (Fig. 5.20. Luego:

3V4

Fig. 5.26

-312-

1 j"/4

Îcular ol áraa de ía

3 3n limitada las curvas; r(l - oos 6Í - 4 ? r (l+cos Q) - 4

4 ta parábola ir * ^ ^ ^ ^ es simé-

trica cor. respecto al eje y de la i

4 i-cos e

.m'ábolA r 1 + oos 9 (Al

re^rpl^zar 6 par ^ - 0 en

14COS $

f ,')

1 + f-6 se obtiene Fig. 5.2*7

i r). Estas parábolas sen simétricas con respecto al eje polar ^s de intersección sen los puntos A(4, 7i/3) y -y ) . Cen-ias simetrías, para hallar el área de la región entre estas pará-; S. 27), es suficiente multiplicar cor 4 el área de la reaión R i

se tiene: r r 4 4 ) 16 de

P ^ (1 + oos 0) y de , (i + eos e 2 eos =—)

16 [tg e . i . a el L ^ ? ^ ?J 64 g

/empáp O. Calcular el área ¿te la región que es interior ¿A la curva r - 2a oos 39 y exterior al círcu-lo r - a, a > 0.

la región se muestra en la Fig. 5.28. (parte sombreada. Para ha -llar el área total tas: suficiente ¡Multiplicar por 6 el área de la re gión R, entcsices. Fig. 5.28

MF. / u/9

[í-j (4 a^cosê - a'ide] - 3a*[ e + sen 6ej - + 3¿3)u*

JE?fwr'i2jí. Calcular el drea de la región interior a las curvas :

-313-

^ír - 3 y r* - - 9 oos 26 MCtdH región es la parte sombreada que

t muestra en la Fig. 5.29. Por si tuet

A(F) (-9 oos 26)d6 4

*/2

V 3

^ (6 + ir - r^—9 eos 26

Fig. 5.29 Hallar el área de la región que es interior a la curva r * 3a oos 20 y exterior a la curva ir = a (1 + oos , a > 0

La región es la parte sombreada que ae ilustra en la fig. 5.30 Por simetría se tiene:

A(F)

A(R )

4¡A(R ) + A(RJ], dorde

cos^26 -

- + oos 20)*]de

+ 4 eos 46 - 2 oos 26)d 6 Fig. 5.30

i r*/* i [?a'cos*2e + (a/ ooc 2a- - a

a 2 + 4 oos 4 6 - 2 oos - 3n)

mego, A(F) = a* + 3/4 /l5 - 6 o )u* = (9.95 a')u*

-314-

511 í ONGnUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES

Sea i* LO , B] !R funci&r oon derivada continua y

r - f (e), e € [a ,6]

la ecuación de una curva en coordenadas polares. Al pasar de coordenadas polares a cartesianas se obtiene:

x - f (6)003 6 y - f (6)aen 6 , e e [o , g

que puedan ser consideradas ocrt; las ecuaciones paramé tricas de la curva con parámetro 6. Orno:

f 1

d e f ( 6 )cos 6 - "(6)sen € y de - f' (6)sen 6 + f (6)oos 6 ,

entonces: de de ¡f(6)y + ÍO)]

Luego, aplicando la fórmula de longitud de arco de una curva dada en ecua cienes par amé tricas (Pág. 242), se tiene que, la longitud de arco de r = f (6) desde 0 =* a hasta 6=6, está dada por:

,-B ,

a

JEy*mpio23. Hallar la longitud de arco de la curva r = a sen' , a > O

la gráfica de la curva ae muestra en la fig. 5.31. La curva queda descri-

ta si [0, 3^. (Es simétrica respecto al eje *rr/2)

6 6 — 4 0 e = e Ctmo [f (6)] + [f' (6)] - a'sen' y + a — ^ — ^

Inego:

-i ^ § d €

37T a

3^ (1 26 )de

Fig. 5.31 Fig. 5.3 2

Hallar la longitud de aroo de la parte de la parábola

ir *= a sec* y , cortada por la recta perpendicular que pasa por polo.

SofiicMa. La gráfica se muestra en la fig. 5.32. Tañemos:

" a sec'^ tg y

L * /{f(e)3 {f'(e)j de = ai secP - V 2 ^ Tí/2 ^

e e + ln sec + tg ? ,y/2 -w/2

2a[/?+ ln(/T+ l)ju

Hallar la longitud de la curva r = 2b tg 9 sen b > 0 desde 0 = 0 hasta a - I e - T¡-

^^ gráfica de la curva se muestra en la fig. 5.33. Tenemos

—1= r' - 2b sen 6(secê 15 ; luego

316-

/T j / P I T ^ d e = 2b

1 ^ eêcê + 3 de

Haciendo u = + 3,

M u - 2 sec O t$ ed e

u du

tg e de

- 3

y cambiando los limites de integra ción se tiene:

2b f ^2 u* - 3

2b i (1 + 2 u*-3

)du

- 2b ju + -L -ln 2 u -u + ^

/7* Fig. 5.33

= [2b(/f- 2) + /S*b Ir. ^ ^ ^ /y

5.12 VOLUMEN DE UN SOLÍDO DE REVOLUCION EN COORDENADAS POLARES En esta sección, hacemos una aplicación de la fórmula del volumen de

un sólido obtenido por el método del disco circular ( seóción 4.3.1) calculando el volumen del solido (Fig. 5.35), obtenido por la rotación aire

Fig. 5.34 Pig. 3 33

-317-

dedor del eje X, del sector circular del plano XDif ccnprendido entre los án gulos 6 y e (Fig. 5.34). ^ 2 El sector circular puede ser descrito del siguiente moda.

0 < x < r oes # y f (x) < y < f (x) 3

r eos < x < ir eos 6 3? f (x) < y < g (x)

donde

sector entre e y 3 1 ^

f (x) = x tg e ? f (x) = x tg 0 ; gíx) = ¿r* - x* j * UJBgO

reos 6. rcoi;6, rcos6. V = r [f (x)1 dx + } (x)] di: - irr [f (x)] -3x

^ " rcose^ "0 ^ reese, ^rcose.

- Tf S dn + 1 ! - x^) dx - ir 0 rcosO ú

2

Haciendo los cSloJ os se obtiene

v (oos e - eos e ) (21)

Ahora, nuestio prc osito es csJ.cular el volunen V del &61ido obtenido per-la rotación en tomo al eje polar de la región plana.

F =' { ir,6) / 0 < f (0), a O < 6)

dcmde ir = f (6) es la ecuación de una curva en coordenadas polares y f es continua en [Ja , 6¡. (F es lia región limitada por las gráficas de la curva r = f (0) y las rectas e = a y 0 = 3. Fig. S.36)

Sean 13. y + A tí dos puntos de ¡Te, f¡¡} con ¿! 6 > 0 y

m = mín f(9) " y M = máx í(6) 0 e.êge. + e

El volumen obtenido por rotación del sector de I? ccJKpcendido tan+rre 8. y e. + A6 (Fig. 5.37) es, segGn la fórmala (21)

-328-

Fig. 5.3 6 Fig. 5.37

^ & * e. - (e + ^ <¡ v( e. + ¿ e) - v(e.) <

!í

dividiendo por Ae > 0, *t ti Me

2?!n? fbos -T e

coa e. - eos Ze

(e. + A ejj

O0KD f* es continua en [e., + M], por el teorema de loe valores inter-medios, existe 6 *P„,6. + A e), tal que

+ Áe - V(6.) 2?rf oos e - (e. + ¿efj r ?

Toma! b límite cuando A 6 -+ debidb a la continuidad de f en 6, ae tíe ne

sen

Dal aüjsao woAo se hace para Ae < 0. Por tanto

319-

V* (6) --^-f^ (6)sen e

6 de donáe V = V(6) - V(ct) " ^ y j f (6)sen 9 dO

Calcular el volumen del s61ido obtenido al hacer girar al car-dioide r * a (1 + oos 6), a > 0 alrededor del eje X.

SohicMw. En la figura 5.38, se observa que, para obtener el referido volumen, basta girar en tomo al eje X la parte del cardioide que está en el semipleno su-

V a* (14cos 0)^sen 6 de

i* R i + oos a T

8ira'

Fig. 5.3 8

E ) E R c : c : o s

i. Bi cada uno de los siguientes ejercicios, calcular el área de la re gi6n limitada por las curvas (dadas en coordenadas polares) que se dican y bosquejar el gráfico de la región.

r = a

2. r - a(l - oos Q

r 4 eos 26

r a sen 26

R. (0.37a')u*

R. ( -a')

R. 4n

R. na' 5 . 36 R. 12

-320-

6, r s? a eos 56 R. na* 4 7.

a. r = a(i + 2 ser 'O , y e = -

r = ]4 ae: Y 2P[ R. 87T 10.

11, r - a eos 46 R. wa' 2

12. r* * aleó-! 86

13. la región es interior a las curvas r

7. r^ ^ a^ sen 40 R. a^

*6 R. +

R. y (2b^ + a*)

R. a 2

* 3 + oos 40 y r = 2 - oos 4 6 R. 37TT/6

14. La región es interior a r *= 3 + eos 46 y exterior a r = 2 - eos 46 15. la región es interior a r 2 - oos 46 y exterior a r = 3 + oos 40 16. La región es interior a r ** 2 + oos 26 y exterior a r - 2 + sen e

R, 51/3/16 17. la reglón es interior a las curvas r = 2 + eos 26 y ir = 2 + sen (3 15. La región es interior i* /¡T ir - 3 y exterior a r* - - 9 eos 2 (2

R. 3-n - 9 + ^ /I

19. La región es interior a las curvas r - 3a eos 26 y r - a{í + oos 26), a > 0.

20. La región está ccnprendlda entre la parte externa e interna de r - a sen' § . R. a' ^ ^

21. La región está ccmprendida entre las curvas:

a) r = 1 - oos 26 , r - 2(1 - eos 20) , 0 6 ?r R. 9n/4 b) r = 2a eos 6 , r = 2a sen 6 R. a* c). ir - sen e , ir a (1 + eos 6) R. a*

2

d) r = 2 aen 26 , r - 2 eos 26 R. í - 1 2

? II. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcular la longitud del ar

oo de la curva (en coordenadas polares) que se indica. Bosquejar el . < . <

gráfico de la curva. *

1- r = sen 6 , 6 € ¡O, 2í] . R. (-n)u

2. r ** 28 , 6 € [b, 2i?) R. {2-írA + 4??* + ln(2-rr + /l + 4 ir*)] 3. r - a(l + eos 6) , a > 0 R. 8a

4. e = y (r + p ) desde r - 1 hasta r = 3 R. í (4 + ln 3)

5. El arco cha la espiral logarítmica r - ae"* , m > 0, que se encuentra dentro del circulo ir *= a R* a 2

R E C T A S Y P L A N O S

E N E L E S P A C I O T R D D M E N S i O N A L

6.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDHMENSmNAL

con ve<rtores El objetivo de esta sección, es recordar las y sus propiedades con la finalidad de hacer uso de ellas en la siguiente sección, razón por la cual no se demostrará las propiedades.

6.1.1 ELESPACK) tR' El espacio tR\ es el conjunto:

N* =í(x,y,x) /x,y,2€B3)

Cada elemento de B? es llarrado vector (del espacio 3?) y se representa por

a , b , etc.

1) IGUALDAD DE VECTORES

sí

Dos vectores a ** (a ,a ,a ) y b

a - b , a = b y a * b i ! : :

(b , b , b ) sen iguales si y sólo i 3 3

11) SUMA DE VECTORES

a * (a, a , a ) y b ** (b , b , b ) dos ; 2 ! r : s vectores, la suma de estos vectores se define cano:

a +b * (a + b ^ a + b , a + b ) í t 3 2 t * tCXOM DE UN VECTOR POR UN NUMERO REAL .

Si r € R y a (a a ^ a ) 1 2 ^ B? , se define

r a - (ra , ra ra ) * 2 $

-322-

6.1.1.1 PROPIEDADES vectores

guientes propiedades.

1. a + 3 € R?

2. a + b = b + a (Prcp. Conmutativa)

3. a + (b + c) = (a + b) + c (Prcp. asociativa)

Existe un único vector cero 0 - (0,0,0) tal que a + 3 = a, V a € BE?

5. Para cada vector a = (a ,a , a ), existe un único vector (opuesto <5(3 1 2 3 ^ a), - si = (--a , - a , - a ) tal

1 2 3

6. raetF? *T

a + (- a )

r(a + b) = ra + rb

8. (ir + s) a = ra + sa ir (sa) - (rs)a

10. 1.a = a r a € C^

Cualquier sistena mataiático en el que estas prcpiedades son válidas, recibe nonbre de neetorM!^ raa^. De este nxx3o Rr* es un espacio vectorial rea3-.

DIFERENCIA DE VECTORES

Sean a = (a ,a ,a ) y 6 = (b ,b , b ) dos vectores, la diferencia : 2 3 1 2 3

de estos vectores se define como

a b = a + ( -b). es decir a - h = (a - b , a - b , a -- b ) 1 1 2 2 3 3

6.1J2 REPRESENTACION GEOMETRICA DE UN VECTOR EN !R

Un vector a = (x, y, z) se representa por un segmento dirigido (fie cha) + Si el erigen del vector es el origen de coordenadas y su extreno es el punto del espacio P (x z) como se puede ver en la figura <5.1, a estos vectores se les llama vector posición. Si su origen <335 cualquier punto p<. del espacio y su fixtremo es el punto H del espacio (Fig* 6.¡2), a estos vec tores se les llama vectores libres.

-323-

M g . 6.1 Fig. 6.2 una correspondencia biunívoca entre el vector posición de a -

y el punto del espacio P(x,y,z).

Rn la figura 6.3 ae representa gecnétricarpente las operaciones entre dos a y S.

a - b b - a

Fig. 6.3

C&senMzáói í. Si el erigen del vector es el punto P.(x<nYo,zJ y su

rro es el punto P (x ,y , z ), entonces

= (x. - x^ , y - y. , z - 2.) = P_ - P.

6.1 J PARALEHSMO DE VECTORES EN )R' )

i.'

Se dice que dos vectores a,b € BR? son paralelas si existe ir 6 tR M]

que a = r b ó b ir a. Se denota a // b 'j, i,'

Si a y b son diferentes del vector cero y r > 0, se dice que a y S tienen el mismo sentido; si ir < 0, se dice que tienen sentidos opuestos'! (Fig. 6.4). )

'ti .¡'i

a ¡a tienen tal. mismo sentido a y I) tienen sentidos opuestos . t <

Fig. 6.4

iSfdmpyio 1. i) Si a = (1,3, -4) , b = (2, -1,2), entxxces a + 6 = (3,2,-2)

a + (1,3,-4) + (6,-3,6) = (7,0,-2)

ii) Si a = (-1,2,-3) , 5 = (5,-10,15), c = (-2,4,-6) y 3 = (0,1,3)

entonces a // i) y tienen sentidos apuestos (]b = - 5a)

a // c y tienen el mismo sentida (c - 2a)

; ¡ i ''¡i < , (

* ^

X 2 a y d no son

MODULO O LONGITUD DE UN VECTOR EN

La lcarígitud o rtanna de un vector a - ÍX/ y, z) e. ¡^ , se denota con ;

MaM i' se define cono !íai! = /x + y^ + z

325-

Por ejenplo sí

a = (1,2,-2) ¡¡3.' = 3

a) La rx3rma -cha un vector es la Ion gitud del segmento que la repre senta (Fig. <6.5) +

b) Todo vector de longitud igual, a 1, se llanta t^csoy

c) El vector

u. = Fig- 6.5

tas; unitarict es Uanado vector unitario da a

6.1A3 PROPCEDADJ^S

^ = 3

2. ¡¡ra!! = }r}!i3i , V-

4.

€ m, V a eiR'

!)¿ + ^ ü3i + Mi

Íf3] = i!-ai!

V a , ÍE> € H3? . (X)asi.gualdad triangular)

6.13 PRODUCTO ÍNTERNO O F^CALAR DE VECTORES EN )R

Caaos des vectores a (a^ a ^ ^ ) y b - (b , b^, b^) € ÍK? se

fine el producto escalar de a y 15 como:

3 - a b + a b + a b : i 2 2 3 3 (se lee "a punto b")

Por ejenplo si a = (5,4,-1) y b - (2,-1,3) a.b = 10 - 4 - 3 3

PROPIEDADES 1. a.S - b.a , V a , 6 € 3? (Prop. Conmutativa) 2. (ra). (6) = r (S.6) r V a,6 € C^ , V r €

3. a. (b * c) = a.b + a.c , V a, b, c € R' (Prcp. Distributiva)

-326-

4. a.a = Ha)!' a.a = O = 5 "ü

5. Ha + b!¡2 = !!a!¡ + übT + 2a.b , V a, b en?

6, Ha - = Ma^ + - 2 a.6 , V a , S €B?

7. ¡jg + gj!' + i!a - Siii = 2¡¡a); + (ley del paralelograno)

6.L6 ORTOGONALBDAD O PERPENDi(^JI^JMDAD DE VECTORES EÑH

Dos vectores a , b € CR son perpendiculares (se escribe sí y s6ío sí Ha 4- Si] = ita - Si (Fig. 6.6)

6.1.6.1 PROPIEDADES^

1. a i b

2. a -L b <

a.S - 0

!¡a + Si' -

= + Mbir (T^êma cha Pitágoras)

3. a i b ¡ia - Sil =

- ifaiP + !bt! Fig. 6.6

2. Encuentre los vectores ortogonales a;

a = (1,1,1) y b - (0,0,2)

Sea c = (x,y,z) ortogonal a los vectores a y b , entonces

a.c = 0

b.c = 0

x + y + 2 0 (1)

(2)

ai 8), ' ' ' .

't

Reenplazando (2) en (1) se tiene x = - y

A ego c = (-y, y, 0) - y( -1, 1,0). Por tanto, c - r (-1,1,0), V r 6 !R,

327-

7 RELACION ENTRE EL PRODUCTO ESCALAR Y EL ANGULO ENTRE DOS VECTORES

3an a y b dos vectores de-CR* con / 3 y b / 3 y Bel ángulo :;rmado por ellos,

^ ^ 6 180" (Fig. 6.7). aplicando la ley de los

triángulo determinado actores a , E y b - a 'V

los se

rbtiene:

a.S " !¡3)))&! oos 6 Fig. 6.7

Luego la fánnula para calcular el ángulo entre dos vectores a y b rentes del vector cero, es:

eos e * a .b MáMiR!

3. Sean a y b dos vectores que forman entre si un ángulo de 45

!ia¡t = 3 . Hallar t!bi! de modo que (a - b) i a .

ía - b) i a a . a s= a . b

Tjuego üai! = !!ai!Mb!i. oos 45",

de donde, 9 = 3!¡3t

6.1J8 EL PRODUCTO WCTORIAL

El producto vectorial che dos vectores a - (a , a ,a t, y ] : 3 b - (b ,b b ) < , se defi.? como: i 2 )

a x b (a b - a b , a b - a b , a b - a b ) e ¡R' 3 2 3 1 : 3 1 i i i

i) Los vectores unitarios que siguen el sentido positivo cha los ejes coordenados i = (1,0,0), (0, 1, 0), 3c- (0,0,1)

'V

lñ áa ¡R* y tienen la siguiente prtîedad:

"Tttiio a - (x,y,st) 6 33' acc^Lo vma ccp-hinación iineal, Única, (3*)

la forma + s H *

ii) La definición dada tan (*) se puede expresar como:

i a x 6 * a a a

b b b x $

Por ejemplo, si a - (1,2,1),

B x a - (-5,1^3).

8 í PROPIEDADES

Sean a. 6, C € Z?

r € entonces:

(a b - a b - (a b n ! ! ^ ^ ! a b +

4 (a b - a b )k

1. A x b - (b x a) (Prop. antl conmutativa)

2. d x (b i c) " (a x b) i (a x cj

3. (a x b) .a - (a x 6) " 0,

4.

(El vector a x b es culai' a los vectores a y b,

6-8)

a x a

A x b - (5, -1,-3) y

a x b

6 x a

y rig. 6.8

5. Si a // b a x 6 %

9.

x bf - - ía.D)

7. Ha x bt! =* ¡iaüüáisen 0 es el ángulo entre a y b

Si a i b y a l e * /y r ** a y b a c?

329-

6,1.9 APLICACIONES DE LOS VECTORES

6.19.1 AREADBíiNPARALELOGRAMO

Sean a y Ib do? vectores de tH? diferentes del vector caro. El á -rea del paralelogramo determinado por ios vectores a y b (Fig. 6.9) tá dadD por:

Ha x b¡!

- ^ sen r . * * * * * * * if

* - + *

e + - * # *

= tía X U! t!a x 3)

Fig. 6.9 Fig. 6.10

6.1.9.2 AREA DE UN TRIANGULO

tor €.10)

Sean a y b dos vectores de , no paralelos El área del triángulo deternunacb por los

7 diferentes del veo vectores a y 5 (Fig

es tí dado por: !ia x &

6.1^ J VOLUMEN DE UN PARALELEPIPEDO

vector 6.11) está dado por:

Sean a, .b y c tres vectores de B? no explanares y diferantas de) El volumen del paralelepípedo determinado por a , b c (Fig.

V ^ ]a . b x c

-330-

Vîa.b x c a

^[a.2 x c

Fig. 6.11 Fig. 6.12

6.1,9.4 VOLUMEN DE UN TETRAEDRO

Sean a, b y c tres vectores de , no explanares y diferentes del vector cero. El volumen del tetraedro determinado por a, í y c . (Fig. 6.12) está dado por:

V - - [a.b x c[ 6

* *

61.9.5 DISTAN<nA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre los puntos P (x ,y ,z ) y P (x ,z ) está i l l i 2 2 2 2 dada por

d = ]P? ] /(x - x V + (y - y )' + (z - z (Fig. 6.13) 2 i - 2 ^ z ^ _ _ ! :

Fig. 6.13 Fig. 6.14

-331-

Í & DrVíS!ON DE UN SEGMENTO SEGUN UNA RAZON D A D A

Si P(x,y,z) es un punto que divide al segmento P I? (Fie?. <5.1*!),

:de P (x , y , z ) y I* tx , y ,z ), según la razón dada ! ! : s 3 2 2 :

t = , r ?< - 1 a

x + r x y + ry z + y = ! v ^ — L — í X =1 —! 3- ( ^ 1 4 r ' y 1 4 r ^ 1 4 y

0&s<wa<3dw 4 Si M(x,y, z) es el punto medio del segmento cuyos extremos son lee puntos P (x , y , : ) y P (x ,y , z ), entonces ! * ! t : a i :

x x y + y X = - J — - 1 , y . ! ?

E^mpio* Dedos los puntos P (5,7,9) y, P (3, - 5 , - 7 ) hallar los puntos 3 3

de trisección ele pl* . ! 2 SoÍMCM&t

i) Para encontrar las coordenadas de A(x,y,z), la razón es:

^ I T T " " ' y . - 3 , — — 2 * 2

A/^ i ^ t # 3, —y )

ti) Para encontrar las coordenadas de B(x,y,z), la razCn es:

p"3 x = ig^— 2. Usando la fórmula (a) se obtiene , - 1, - )

2

-332-

E f E R c : c : o s

Expr >áar ai vector a cono la istmia de !jm vector paralelo al vector b

uii vector ortogonia! a b , si ¡a = (2,1, -1) y b 1= (1,4 ,-2).

Hallar el ángulo entre los vectores a = (3,1,2) y b = {1^1,2).

Si el ángulo que forman los vectores a y b es de 45^ y MaM - 3, hallar el módulo de b para que a + 6 forme oon a un ángulo de 30°.

R. +

Sean a y b dos vectores unitarios de R*. Demostrar que a + 5 es un vector unitario <—s* el ángulo formado por ellos tas: de 120*.

'11

¡í

Dado el paralelogramo ABCD

2 JE está a y de la distancia

de B a 1) y F es punto medio de 3%. Hallar r y s de mo do que

.H

' t

, IT r AB + s AC 1 ^ 1 R. r = - r- , s ^

Sean ¡a , b y <2 tres vectores -cha mSdUlos ir, s 3? t, respectivamente.

Sea ct el ángulo entre S y c, 8 el ángulo entre a y c y y el ángulo

entre a y b. Probar que el m6dulo S de la suma de los tres vectora! está dado par la fámula.

S* = r* + ** + t* + 2st eos a+ 2rt eos 2rs oos y

Sia-= (1,3,2) y ¡5= (1,-1,3) y c = (2,3,-4) i) Hallar el área del paralelogramo detenrminado por a y b ii) Hallar el área del triángulo determinado por a y c

* < 4 iii) Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por a, ¡3 y c

los vértices de un triángulo, son los puntos A(l,2,3), 13(0,2,1) y C(-l,-2,-4). Hallar el área y el perímetro del triángulo.

i

Los vértices de un puntos

-333-

Calcular til volumen del tetraedro (i En el triángulo dé vértices A(3,0,0), B(0,4,0) y CÍO,0,5), hallar

i) Las longitudes de cada mediana ii) Las longitudes de cada altura iii) El centro de gravedad del triángulo

M. Sean P(3,1 ,-1) y 0(4,-1,2). Hallar las coordenadas del punto R que se encuentra en la prolongación de y extendiendo 3 veces su longitud

&2 RECTAS EN EL ESPAC!0

6.2.1 ANGULOS , COSENOS Y N U M E R O S D M E C T O R E S D E U N A RECTA

D<%i?HC;dnL Sea L una recta en el espacio R?. Se llama conjunto de ¿3-grMZoá Jiy^ctorcs de la recta L al conjunto ordenado { a, 6,

y), donde c t , s o n les ángulos formados por los rayos positivos de los ejes de coordenadas X, Y, Z, respectivamente, cota la recta L (Fig. 6.^)

os ángulos directores toman valo-es entre 0** y 180^, es

0" &, Y < 180

Ji^s^vaddn 5. El ángulo entre das

: que nc se intersectan, se de

fine oemo el ángtilo fornado por rec

que se intersectan 3? que, al

tianpo paralelas a las rectas Fig. 6,15

SI una recta no está orientada (con respecto al sentido que debe temar) tie ne dos conjuntos de ángulos directores que son:

{a, 6, 7 } y { 18C* - <* 180" - 8 , 180* - y }

En lo que sigue las rectas serán consideradas sin orientación.

Loe cosenos de los ángulos directores de una recta se llaman cpaiwa directores de la recta.

Una recta tiene dos conjuntos de cosenos directores

-334

( eos a, eos 6, oos ir ) y { - oos a , - oos - oos 6)

tienen

3. un conjunto [a,b,c] es llamado mwrca tKy^ct^r^c si eod ) te una constante k y* 0 tal que

a ** h eos o , b ^ k eos 9 , c * k oos y

EXPRESION DE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA QUE PASÁ POR DOS PUNTOS

recta que pasa par los puntos P (x , y^

P (x , y , z ). 2 : i :

d [P? [ y a, B, Y los ángu-

los directores de L.

Entonces se tiene:

oos a

oos 6

X - X d

y - y

z - z OOS Y

(1)

i'

t

'k'

. 1 t

Pig. 6.16 X - X

También el conjunto { , y - y z - z - * es un can

junto de cosenos directores de I*. 'i

$.1.1.2 RELACION ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA Bi virtud dz (1) se tiene:

eos* a + oos*6 + oos^y - 1 (2)

Eptwpb 3 i i) Hallar loa cosenos directores de una recta determinada por loe ptz*í

, i i

-335-

tos P^(1,0,2) y P^(3,2,3) y dirigido de P^ a P^

ii) { 45°, 60°, Tí) es un conjunto ele- ángulos directores de una Calcular los posibles valares del otro ángulo.

¿MCidA

i) d = )P P I = .4 + 4 + 1 3, ) 2 3 - 2 1 COS a ^ - y - ^ y ,

ii) De cos*45* + cos*60° + cos^y = 1 se

, cos Y -

1 y

COS^f 1 4

por tanto 60° Ó y * 120

6 JL2 E C U A O O N E S D E U N A RECTA

a (a* , a , a ) un 1 2 ! *ecta que pasa por el punto P.(x,, y<,,z<,) y 6.17). El vector a se llama uecibci* dtrec(?i¿?7i -ea P (x,y, z) un punto cualquiera <jte la recta L? luego Pj?

vector cero. L una

es paralelo al vector a (Fig. tSta la recta t.

'.X aralelo al vector a , entonces naciste t € tR tal que:

Pl? = t a de donde

P - P^ = t a

P P. + t a, t í R

es decir Fig. 6.17

L^=^{P(x,y,z) / P - P . + t a , t€[R) .... (*)

Sn lugar ele; {*) escribiremos:

(3)

A la egresión (3) se le llama-, ccn^ct^n ugdtortdl de la recta L. Esta ecua-ción también puede ser esorito cano:

336-

(x,y,z) = (x.,y^,2.) + tía^ t€[R 6

(x,y,z) = (x. + t a , y, + t a , z. + t a t € [R 1 2 3 Por la igualdad de vectores, se tiene:

x = Xo + t a y = y. + t a z = z. + t a

t € (R (4)

Esta expresión es conocida como t?t7K<2<2¿¿n parum^tríca de la recta L y t es llamado pardmatrc. Si los tres números a , a y a son diferentes che i 2 3 cero, eliminando til parámetro t se obtiene.

x - x y - yo — 3

z - z (5)

Esta expresión es llamada /ormc s¿n?¿tr¿(?a de la ecuación <3e la recta L O^scwocídn 7.

Si uno de los números a , a ó a es igual a cero, por ejenplo 1 2 3

a = 0, la ecuación de la recta en su forma simétrica se escribirá 3

03H3: X - X Ye R- = a " A Z = Z

1 ii) Si dos de los números a , a (5 a son nulos, por ejemplo

i 2 3

a = a =0, la ecuación de la recta en su forma simétrica i 3 cribirá corno:

X = X. A Z = Z

O&sgnrccM&iá Si a - (a ,a ,a ) es el vector dirección de la recta L, i 2 3 ^ las componentes del vector unitario de a: = forman

un conjunto de cosenos directores de la recta L y las componentes <3(31 vec tor a f ornan un conjunto de números directores de la recta L, osea:

1 a Hai! !ta!!

tas; un conjunto ¿leí cosenos directores

a , a , a^ es un ccnjwto de números directores

JEytmpbá

i) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos

A(-l,2,3) y B(2,l,4)

ü ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3,1,2) y cu 4 yos números directores sen [2,0,3] .

i) Considerando a = 58 = (3,-1,1)

La ecuación vectorial de la recta L es:

p = (-1,2,3) + t(3,-l,D, 11 R

La ecuación param&trica de la recta L es:

x = - 1 + 3t y = 2 - t , t * tR z ss 3 + t

La ecuación da la recta L en su forma simétrica es:

x + l . y - 3 -1 x - 3

ii) 0 = (3,1,2) + s(2,0,l), s t R (Ecuación vectorial)

x * 3 + 2s y * 1 , ¿ € R (Ecuación paramé trica) z - 2 + 3a

x - 3 _ z - 3 A y * 1 (Forma simétrica)

6 ^ 3 RECTAS PARALELAS

Considerando las observaciones (6) y (8) de este capitulo, dos

L : P = P^ + t a , tí!R y L : 0 * P + sb , s € : : i

H P -

r-! ^malrlas^ ai sus vectores diruccl&i a y b son paial^l^s. lo e^ sto Be pu^de saoMr algtviasconclusionas

i) r<ara tjrjdo punto P de C? y toda recta L: P * P. + t a, t € &t, existe -arta única recta L que pasa por el punto P y es paralela a la re-cta L. Si y son dos rectas parale tas, entonces * L, (5 L f) L Si las rectas L y L no son para lelas, entonces: L ft - <f (las rectas e<p cruzan) L 0 L, consiste cita un solo punto

6JL4 A N G U L O ENTRE D O S RECTAS RECTAS PERPENDICULARES

En virtud cha la definición de ángulo entre dos rectas, (obs, 5), y las observaciones (6) y (8) de este capitulo^ dos rectas de-terminan dos ángulos: 6 y iT - e (Fig. <6.13). Luego es suficiente deusrmjjiar uno de los ángulos, en este caso el ángulo que forman sus vectores dirección. luego, si

L : i a: P + t a , t € [R

L : Q = P + tb, t€!R 2 2

son Fig 1

las acabaciones vectoriales de dos rectas, la e) presión para calcular el ángu lo entre las rectas L y L í 2

Por tajito, se dedace que la recta L es ; a la recta L si ^ i ^ 1 b ó a.b C¡ 0.

-339-

6 ^ 5 DISTANCÍA D E U N P U N T O A U N A RECTA

Sea A(x , y . z ) un punto del : i i vectorial es:

P * P. + t a , t € [R.

Si d es la distancia del punto A a la recta L (Fig. 6.19), entonces

d = Mvtisen 6

espacio y L la recta cuya ecuación

donde 6 es el ángulo que forman

los vectores a y v

Una de las propiedades del pro-ducto vectorial Fig. 6.19

!!a x v !! - üaMHvHsen e de donde sa deduce

E/e pío 7. Calcular la distancia del punto A(3,2,-l) a la recta

L: P = (1,3,2) + t(-l,2,3), t€ m

SoíucMn.

En este caso a = (-1,2,3) y v P.Á = (2,-1,-3), entonces

a x v ^ (j-3 3, -3). luego d = /9 + 9 4 9 ^ + 4 + 1

JEpempiog. Sean las rectas:

i P = (-2,1,0) t(-2,l,-l), t € R

Q (3,7,1) + s(-l,2,3), s € !R

L : 3

x = 2 + 4t, y - 1 - 2t , z = 2 2t

-340-

i, : R - (3,4,0) + r (4,-2,2), y € !R 5 Determinar si son c no paralelos cada uno de los siguientes pares deteys¿ínR¿ sus inte* *

a) L y L i : d) L y L

b) L y L : a e) L y L

! )

c) L y L ! 6 í) L y L 4 3

a) Orno los vectoras e - (-2,1, -1) y S - (-1,2,3) no son paralelos,

las rectas t y L no son paralelas

Sôngwce que A(x,y,x) € L Q L , ! &

ra t y 3 para l^c cuales:

entonces existan valores Únicos pa

A - (-2,1,0) + - (3,7,1) + 8(-l,2,3)

Por la igualdad de vecto&as, at* tiene: . ^

2 - 2t s 1 + t ** 7 + 23 - t ** ¿

(1) (2)

(3) ¡

' ' < <

^ ! . t

Resolviendo Í23 y (3) se obtiene y - - y t - , i

no satísfaoan (1). Luego no existo punto de Intara&ceián entre las rea-

pearo estos valar*)

tcj! t y L es decir L y L ae crotan.

Oi í, L A 3L ** L i ; ; $

J) t L A L fl L (coincldentes) ! S ! 3 d) L ^ L A I, n L - A(5.3,-5)

e) L ^ L A í A L se crunan.

í^ll^r la ecuación ¿e la recta que pasa por #1 punto P,(3,1,5):

y es paralelo a la reot^ : - 2 1 - y ^ "

-343-

e obtiene: 1 ? t - 2

/(t -2)^ + 1 + 1 6 t . 2 t

1(1 i , 3,3) pego las soluciones al problema acp

L

L': Q' - (1,2,-1) + X(-

4), r € R

1,4), A € R

implo 13. Hallar un punto que equidista d

L^: Eje X

Lg: Q * (1,7,0) + s(0,0,l),

SohicMht

R-^ (0,0,0) + t(1,0,0),

t€BR (EjeX)

Sea A € L, el punto que equidista de las rectas L y L . A(2 + 2t, 11 + 4t, 14 + 5t) y

recta L: P - (2,11,14) +t(2,4,3),

Fig. 6.23

- V d 4 + + (11+ (1)

díA, L ) - ' d + ^ 4 + 4t. 14 + St) x (O.O.IM

^ 4 + 4t) + (1 + 2t)^ .... (2)

De (1) y (2): i/ (14 + 5t)^ + (11 + 4t)* - V (4 + 4t)* + (1 + 2t)* J, ^solviendo, se obtiene t - - 2 V t - 50/7

laa wn't-sxilfwüüg A {-2,3,4) y A ( 6$ U 3 152 7 )

E j E R C : c : o s

nâtyAâe ^ distancia dal punte a la recta que pasa poor

3.

4.

6

punto* P.tly?, y P^ (-3,-6,-3)

Sean: t,: P - (1,0,-1) + t(l,l,0), € <R

(0,0,1) 4- a(1,0,0!, ' i

Hallar la cocción 6a la racta L que perpendicular a L y y lai

Determinar la ecaad&t de la recta que intearaecta a las reatas:

A P - (1,-1,1) + t (1,0,-1), t e *

L : Q - (1,0,0) + a(-i,l,l), s

í ' ^

en lea puntos A y reqpectivKoante, tal manera que la longitud aegíaento ES aea mÍR&oa. Una recta posa pac el punto A(l,i,l) y forma ángulns de 60" y 30" los ejea X e S respectivamente. Hallar la coac.^^ vectorial de dicha

R. L: P * (1,1,1) + til, i SU

Hallar la ecuación de iRsa recta que pasa pox el punto &(19,0,0) y

<

T i

ta a las rectas. 1 1

L,: F (5,0,-1) + t(l,l,l), t 6 CR

Ü - + s(-2,1,0), s € ^

P - (2 recta

perpendicular c intarseeta € ¿R. Hallar la ecuación in

i

6.3 PLANOS

&3.1 ECUACIONES D E U N PLANO : V E C F O M A L Y PARAMETRJCA

Sea IT un. plano que pasa por el punto P.(x,,y„,z.) y es paralelo a

los vectores a = y b = con b.

Bn lugar de? esta <Bq2resi6n, escribiremos

: P = P. + ra + ^ , r^s (6)

expresión es llanada del plano L. la ecuación (6), se í^^de escribir ocno,

íx,y^z) = (x^^y.,^) -r ^ ) -i s(b ,b ,b r, R 1 ^ ^ i 2 3 y por la igualdad de vectores se obtiene

y = ^ r a^ + s b^ , r,s 6 & z =' z. 4- r a 4- s b^ 3 -

^sta egresión ^^MQpara^^s? del pl.JTc ir 3? s se dencri nan pordw trps,

74. Hallar las ecuacionos vectcrá^l y parsn^tricá plano -Je w -3a los? r P^ (3,1,, {1,-1,y P^ &

-346-

a - - (-2,-2,0)

b - P ? - (- 1,-1,1)

luego, una ecuación vectorial es: !?: P - (3,1,2) + r(-2,-2,0) + a(-l,-l,l), í, s € !R y una ecuaciÓA trica del plano es

n: x - 3 - - H y - 1 - 2r - a z - : +

, y, a € R

O&sgrvaádn ÍO. i) De la ecuación vectorial se obtiene que 3 - a x S es un vector pajtj

pendicular al plano. En general, todo vector no nulo pexpen al plano es llamado naonal del plano.

ü ) Si N ea una normal del plano K: P - P . + r a + s ^ , r , s€

y P y P aon doa puntoa d d plano entonces N i P^^.

üi) Si N es una normal del plano ü: P - P, + ra + aS, r, s € K y

P?, i Ü P^ € H

nozxral del plano

n

1: P - P^ + ra + , € ¡R, enton; . i

(P(x,y,z) / N. P^ 0) y es el único plano que pasa poac p„ con normal N.

M J 2 E C U A C I O N GENERAL D E U N P L A N O Sea n un plano que pasa par el punto P.(x.,y.,z.) y cuyo vector

mal es S i (A,B,C).

Sea P(x,y,z) un punto cualquiera del plano H, carstonces P^? 1 & ,

Luego: 8 . (P?) - 0 Ó

W . (P - p.) - 0

ÁM

P P -

347-

^ Atx - x.) + B(y - y^) 4- C(z - 2.) = O

Por lo tanto, la ecuación general del plano es de la áEbrma

(7)

la ecuación (7) tarnbien tas; llamada gCMScrxIn del plano.

m. lo que sigue, por ecuación del plano se entenderá a la ecuación cartesia Tía. Eyfrmpío J S.. i*) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto

P. 3 ,-5) y es ortogonal al segmento donde P(3,--2,l) y 00,3,0).

b) Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos P y (3. dados en (a).

.Soitícit&t.

Sea K - 0? - (2,- 5,1) y P. (2,3,-5), entonces la ecuación del plano es

2(x - 2) - - 3) + l(x 5) = 0

2x - 5)- -r z + 16 - 0

(b) HLi la Hg.

b = PJ? (3., —5,

^ N a x b (25, 11, 5) L

'IUmando ulano Fig. 6,26

25(x - 2) U.(y - 3) + 5(2 + 5) c 25x + lly + 5? - 5S = 0

O&sewaczdH Jf I. sea H un plano cuya nortül 12a K 3? L tna réctx.' cuyo v^c -tor dirección es <a., entonces:

i) L/^ r , -i* t! i & SJ' 0 :rig. 6.27)

ü ) L i n (Fie:.

349-

Si L ÍI

iv) L C n

v} si L n

M i í y P. c L

L ñ H es un ptmto P. € J? (Fig. 6.29)

(Fig. 6.30!

L Ñ A

Fig. 6.27 Fig. 6.28 í

Fig. 6.29 Fig. 6.30

i.'

'. t)

JE?fmpto Hallar la ecuación del playeo que contiene a la recta L: P - + t(0,3,l), t TRy al punto 3.(2,-3,8)

Sea $ la nonoal del plano, entonces S 1 a - (0,3,1) y Si (l,-$,6)

Luego H a x P^S. - (23,1,3) Tomando 3 - (23,1,3) ae obtiene la ecuación del plano:

23x + y + 3: - 67 - 0

, , l ! 1

. 1 i

'i-

- ' ^

; ¡ ¡ i

34*^

M J P t J M ^ P A R A L E L O S B B W E R S E C a W M P M ^ ^

Se dios que dos planos son paraialo* si zúa normales son paralela*.

i) Si y son das planos paralelos, entonces * ó

ii) Si y B^ son doa planos no paralelos, entonces R, ñ es ene recta. Si las ecuaciones ds los planos no pMmlelna son! A^x + B,y + c^z + - 0 y \ x + B,y + C,z + D, - 0 , a la recta da intersección lo denotaremos con:

f A;X + B,y + C,z + 0 , - 0 L: Ó

[ J x + B,y + C^z + D - 0

L: J x + B y + C^z + D - 0 ; A,x + B^y + C^z + D, - 0

iü) Dadoa dos planos no paralelos cuyas ecuaciones sen: j^x + B,y + C^z + D, - 0 y + B ^ + C,z + D, - 0 la ecuación da la familia ds planos que pasan peor la intersección da satoa planos está dada por: A x + By + C z + D + h(A x + B y + C z + D ) - 0 (S) donas k es al parámetro da la familia

O&Mmaddn 3. Es necesario conocer las ecuaciones de los planoe coonáena-A*^ y da ice nszalelos a estos. i) z * 0, es la ecuación del plano coordenado XY ii) x - 0, ea la ecuación del plano coordenado YZ iü) y * 0, es la ecuación del plano cooccdpnado XZ iv) z - k, es la ecuación del plano paralelo al plano XY, que pasa por

el punto (0,0,h) v) x * X, es la ecuación del plano qua pasa por el punto 0t,0,0) y es

paralelo al plano YZ vi) y - k, es la ecuación del plano que pasa por el punto (0,k,0) y es

paralelo al plano XZ.

a) Hallar la ecuación del plano qua contiene al punto P.(2,6,-1) y ea para-! lelo al plano 4 x - 2 y + z - l - 0

b) Hallar la distancia del punto 0.(2,-1,3) a la recta L : 2 x - y + z - 3 - 0 ; x + 2y-z + l - 0 .

a) Sea H la namal del plano buscado, antorcez 5 (4,-2,1) toaar o N * (4,-2,1), la ecuación del plano husoado es:

4(x - 2) - 2(y - 6) + l(z + 1) - 0 ó

(Cuando dos planea sen paralelo?, se puede considerar una nornel catán pe-i ,

i

ta loa dos planea) b) L es la Intersección de loa planos 2 x - y + z - 3 * 0 y

3í+2y-z + l-0. Para hallar la distancia, as naoasario euadón da la recta, para esto aa resuelve ainultánaamante laa nes de loa dos planos.

tener la a -

(1) + (2)

2x-y + z - 3 * 0

3x + y - 2 * 0

(2)

y M 2 - 3x reemplazando (3) an (1) ae tiene z * 5 - Sx Para y * t, t € !R se obtiene x * t

y - 2 - 3t z - 5 5t

Luego L: P - (0,2,5) + t(l,-3,-5), t € <R <

Hv x aíM *+ por tanto, d - -X * L. . ¿¡onde a * (1,-3,-5) y a

v - (2,-1,3) - (0,2,5) - (2,-3,-2)

(3) M)

i i 1; '

t . r

. < ¡

. ^

) 1 f

351-

templo Hallar la ecuación del plano que pasa pee la recta de interaec -ción de loe planoe x-y+2z + 4- 0, 2x + y + 3z-9-0

y es paralelo a la recta cuyos nAweros directores son [l,3,-lj.

ta ecuación de la familia de planos que pasan por la intersección de loa pl¿ «i*as dados es:

x - y + 2 z + 4 + k(2x + y + 3z - 9) - 0 — (1 + 2k)x + (k - l)y + (2 + 3h)z + 4 - 9k - 0

-¡negó N - (1 + 2k, k - 1, 2 + 3k) es el vector de la familia. Como el plano es paralelo al vector a * (1,3,-1), entonces

N . a - 0 l + 2 k + 3 k - 3 - 2 - 3 k - 0 — > k - 2 t¡x3fr tanto, el plano buscado e s : 5 x + y + e z - 1 4 * 0 E cmpíoi9. , Dadas las rectas L,: P - (1/2,-1) + t(l,3,l), t € (R y

Q * (5,- ,-2) + s(2,-1,2), s € QR. Hallar las ecuaciones de dos planos paralelos y ü de nodo que C y C . StliMCMht

Sea S la normal oonün de los planoe y n, — > ü 1 a - (1,3,id y

N i S - (2,-1,2)

N I x b - (7,0,-7) Tomamos N - (1,0,-1). las ecuacio nes de los planos son:

Kx -1) + 0(y -.2) - l(z + 1) =0

6 x - t - 2 * 0 Fig. 6.31 fi: l(x - 5) + 0(y + 1) - Kz + 2) =- 0 Ó x - : - 7 - 0 f^pío20 En cada uno de los siguientes ejercicios, L es una recta y n

es un plano. Determinar si L es paralela o nó al plano H y

3S2-

Mlltr LH n.

e! L: P - 4 t{3,-l,3), y H: x + S y + z + 1 - 0 b) L: P - (2,0,1) ^ t(l,2,-l) ,t*R y ü: c) L: P - (3,-1.0) + t(2,l,-l), t€ y T: 4x^2y-2z^2-0 d) Lt P - (1,-1,1) + t(l,2,-l), t€R y H: - y - z + 5 -0 SoisiíMt Si a as el vector dirección de le recta L y % ee le normal del pleno ü, ee

a) a - (2,-1,3) y N - (1,5,1) — ^ e.M - 0 — ^ L K . Para verificar si L H H --4 6 L c n, oohsideramoe un pwto P. € L y ooqprobanos si P. € n Ó P. Si P. € n — ^ L C n? si P„ 4 K ==*33> L <1 ü * # . Para determinar si un punto pertenece a un plano es suficiente verificar si satisface o no la ecuación del plano. Sea P. (1,-1,2) € L, reemplazando en le ecuación del plano se tiene 1 + 5 (-1) + 2 + 1 y* 0 (I?. no satisface la ecuación del plano), luego

p. ¿ n. .*. Líin - t

M L C R 6 LÍSH-L c ) L l n y L ^ R . 1(1,-2,1) d) a - (1,2,-1) y N - (3,-1,-1) — a . N - 3 - 2 + ly^0

L y n — L n II - I (un punto) I € L A I € n

I € L — ^ 1(1 + t, -1 + 2t, 1 - t) I € H — 3 ( 1 4 t) - ^ 2t) - (1 - t) + 5 * 0 — ^ t - - 4

r. i(-3, -9, 5) í smpío 21. Por el punto A{1,0,1) se traza una perpendicular al plano

IR; 2x i- y - z - 7 * 0. Si B es til. pie de dicha perpendicular determinar tm punto C en la recta L: P =s (-1,1,0) + t (0,1,5), t € !R ¿te ntxSo qt*? tal volumen del tetraedro cuyos vértices son A,B, C y D tas igual a 4u*. D es el punto de intersecci&i de la recta L con el plano li.

priHMr lugar, da*6zmiiMMaac6 t/MRltO B.

Q - A + ¿S, a € ta recta que pasa por A y es Acular al plano H)

el

** B € y B € !t

B(1 + 2a, a, 1 - a) y

/a 4 2a) 4 a - (1 - a)

ü ? , - ^ # 1 B(3,l,-2).

n 5 seguida detenninaremoa el punto D. Fig. 6.32

D - n D € L ^ D € n

2{-l) 4 (1 4 t^) - 3t. - 7

t. - - 2 D(-l,-1,-10).

tMr otro lado, ai C e I* C(-l, 1 4 t, $t), aea

a - B? - (-4, t, St + 2), S - SB - (-4,-2,-8) y í - - (-2,-1,3) ^ V (tetraedro) - y )a . b x c

1 T * * 4 - y [a.b x c) , pero a.b x e -4 5t+2

-4 -2 -6 -2 -1

- M 4 32t

24 [56 + 33t[ - i ó t - - ^

Luego, el problema tiene dos soluciones:

C,(-l, 0,-5) Ó C;(-l, - 23 2 ' )

A{3,2,1) y B(-5,l,2) son dos puntos del espacio, hallar un pun-to C en el plano x - y 4 2 z - 4 - 0 de modo que + (9 sea

mÍA^wo.

-354-

Para que Sí + 3 aea mínimo, nace-sari^nente A, B y C díáaen estar en un plano perpendicular al plano K. Ri la fig. 6.32 se nsueetra al plano H de caMto. Si B' es el punto si-métrico de B respecto al plano n (*), entonces O? - 55* - dt . ge d, + d, es mínimo si C es L terseoción de con el plano

Fig. 6.32a

)S 8 y B son a-¿m tn!<?9a ycsp^ctc n ^ si Ü es perpendi seomento BB^ en el punto medio M (de *

< < < ^

Ba primer lugar deteeminaremos M. Sea

P - B + til,-1,2), t € CR

la recta que pasa por B y es perpendicular al plano 11, entonces M 6 y

M € T! — ^ M(-5 + t, 1 - t, 2 + 2t) y (-5 + t) - (1 - t) + 2 (2+2t) -4 -t 0

t - 1 M(-4,0,4).

Como M es punto medio entre B y B', por la fórmula de punto medio

B'(-3,-1,6) la ec\^ci6n de la recta que pasa por A 3? B' es

L: Q - (3,2,1) +r(-6, -3,5), r€íFí

: '

c = L n n C € L y C € n , , s

C(3 - 6r, ^ - 3r, 1 5r) y (3 - 6r) - (2 - 3r) 2(1 -4- 5r} - 4 0 ^ ^ 1 C( 15 11 12 -s y

/ )

6-3.4 DISTANOA DE UN PUNTO A UN PLANO 1

Sea íf Un plano cuya ecuación es Ax+-By+Cz + D = 0 y Si á es la distancia dal panto (3 al

plano I! j i la longitud del segmento perpe^<diculai trazado de Q ¡a 11, Fig, 6.33), er roxvres

} ij¡n punto del espacie.

i - !! P^M)cos e) ^ e a (a)

6 es el ángulo entre y ty! noawaal y es - i punto del plano 11 . Cent) r ^ n + By. + Cz. + D - 0

^ D * - - - Cz (P)

i < &r otro lado:

coa 6 trp )!

(Y)

-râ^lazando (Y) en (a): A(x, - x.) + B(y - y.) + C(t; - z.)

A' + B* + c*

t tüetrplaa ndo (0) en (1) se obtiene

(M

^¿ncyMcidwí4 Si el punto Q(x,, y,, z^) n donde n es un plano cv-ya ecuación es Ax + B^ + Cz + D, = 0 (JI, (9) se transfooaa en:

t o - o j

A ' + B'^ c*

!?), entonces la fórmula

iSsto significa que: Si las ecuaciones da dos planos paralelos son

HK + B y + t X + D - O y Ax + By + Cz + C\ la distancia entre dichos planos está dado por la fórmula

d A* + B* + c*

(10)

-3M-

Calcular la diatancia del pmto 0(1,2,3) plano t!; P - (2,1,-1) 4 r(l,l,l) 4 a(-l,l,0), r,a € tR

sea M - b x a - (-1,1,0) x (1,1,1) - (1.1,-2)

luegq la ecuación del plano ü es l(x - 2) + l(y - 1) - 2(z + 1) * 0 ó

— * K: x + y - 2z - 5 - 0

por tanto: A + 1 + 4 ^

< '

iiii! ^ ,

¡ . ¡

fprmpíe 24. Encuentre la distancia entre loe planos paralelos .

H^: x - 2y + 2z - 5 - 0 y f! : 3x - 6y + 6x - 7 -= 0

SolMCídtt Para aplicar la fámula dt)) es necesario que los dos planos paralelos ten *; gan la misma normal; para esto dividimos la ecuación del plano í entre 3 y obtenemos las ecuaciones:

. i

- s

11;: x - 2y + 3z - 5 * 0 y n^: x - 2y + ^ = 0

I I , < I ' <

r ' ;

f&nrula (10) s + 7 ) 'i!

y < s Q - —-A + 4 + 4 ^

La distancia del punto P(l,3,2) a un plano es 1. Si el plano i i *

pasa par la intersección de loe planos 4 x - 2 y - z + 3 = 0 , ¡

2x - y + z - 2 n 0, hallar la ecuación del plano. ' i

' i t

. i '

SoÍMCtdn. a la ecuación de la familia da planos que pasan por la intersección de los pía nos dados es: ;

4x - 2y - z + 3 + k(2x - y + z - 2 ) " = 0 6

(4 + 2k)x - (2 + k)y (k - l)z * 3 - 2k - 0

Par la r lición del problema.

, ¡ (4 + 2k) + 2(k - 1) + 3 - 2kl {2k + 5] 1 * * * n t u ¡ i _ - — - — — — . — — - . . - M S ^ < ¡ : < ¡ < — < 4 *

+ + (2 + k) + (k - 1) * ^ + 18k - 21

-357-

Cc* 4 lMt 4 21 - + 20k + 25 2k* - 2k - 4 - O — * * - - 1 6 h - 2

Luego, el problema tiene dos solucionas II,: 2x - y - 2z 5 - 0

Ctx - 4y 4 s - 1 - 0

Se tiene el punto P(-3,2,-l) y la recta L: x * 2y - z. Hallar las ecuaciones de dea planea paralelos sabiendo que urto de ellos

contiena a P y el otro contiene a L* la distancia entre dichos planos es ¿r

Se tiene Le P - (0,0,0) + t(2,l,2), t € tR. * * . !

3ea M - (A*B,C), la normal oemún a les dos planas paralelos y ü,: A(x + 3y + B(y - 2) + C(z + 1) 0 (H es el plano que contie-

na a P). H,i Ax+By + Cz-Oconla condición (A,B,C). (2,1,2) - 0 (n es el plano que contiena a la recta L)

De (A,B,Q. (2,1,2) - 0 — ^ B - - 2A - 2C (a) De la condición del problema (distancia entre plenas paralelos):

2(A* + B + C^) - (3A - 2B + (0)

(a) en (6)

10A* 4- 10C + 16AC - 49A + + 70*C 13A=* + 1BAC + 5C* - 0 (13A + 5Q (A + C) - 0 A - - C Ó A - C

Si A - - C — > B - 0 — o - (-C, 0, O - - C(l,0,-1)

Considerando N, (1,0,-1) se obtiene las soluciones

-358-

j^: x - z + 2 = O

: x - z = O 2 ¡ i {

t

' 1 Para C = - 13 se obtiene IsL, = (5,16, -13) y en este caso las solucione! jon:

n^: 5x + 16y - 13z - 30 = 0

5x + 16y - 13z = 0 'j 27. Hallar la ecuación óe un plano que contiene ¿i la recta

L: x - 2y == 3z - 1, sabiendo que dicho plano esaS a ima dist#t 2 * -):' cia de y unidades del origen cié coordenadas. <

Sofucídn. La recta L puede ser considerada cono la intersección de los planos x = 2y x = 3z - 1. La farnilia de planos que pasan por la intersección estos planos es:

^ -2y + k(x - 3z + 1) =0 (1 + k)x - 2 y - 3 k z + k - C "i;

Por la condición del problema

7

. 1 ) ?

i )

ih ' ) '

+ k) + 4 +

40 k^ + 8k + 20 49k^

k 2 6 k=--i9-

Por tanto, el problema tiene dos soluciones

: 3 x - 2 y - 6 z + 2 - 0 (para k - 2)

: x + 18y - 30z + 10 = 0 (para k = - )

-359-

A N G U L O ENIRE D O S PLANOS

Dos planos no paralelos f y forman dos ángulos (diedros): y 160" - 6 (Fig. 6.34), luego es suficiente conocer uno de los ángulos, de estos ángulos es igual al ángulo que fornen sus normales. Si 6 es guio,

ees 6 *

6

Une án

^ - a MN,!t!!N,t!

donde R; y 8, son, respectivamente, las normales de y

Fig. $.34

Ey*?Hp4o2& Hallar el ángulo obtuso que f ornan los planee - 4

SohicMn

N, - (2,-1,1) y H, - (1,1,2)

y ü : x + y + 2x

eos e - ^ ^

- 5 - 0

e e - 60

Luego, el ángulo obtuso entre loe planos ez a * 180* - 60* - 120*

tpwupiolP Miar la ecuación del plano perpendicular al plano YZ y el plano mina un ángulo 6 arcoos(y) radianes

K,: 2x*- Y + 2z - 3 - 0

-360-

Sea M ^ (A,8,C) la normal del plano bascado.

- (1-0,0) es la normal del plano YZ, (x = 0) ¡$ *= (2,-1,2) es la noarm&l del plano

De las oondlcícnes del problema ae tiene i <

N . N, * 0 — ^ A - 0 (1)

2 3-R, y oos e - Y " r r ^ — (2)

reemplazando (1) en (2) ae cbtiene y ^ —

!

de donde 4(B* + C*) - 4C^ - 4BC + B^

3B^ + 4BC = B(3B + 4C) = 0

B - O d B - y C

'i! i

!

?

<

L B " 0 =*> M - (0,0,C) - C(0,0,1)

para C 1, N - (0,0,1) y el plano buscado es H: z - 1

Si B *= - y C S (0, - y C, C)

i ! ¡ ) i ' s I I ' '

H:

C " - 3 N - (0,4,-3) y el plano buscado es K': 4y - 3z - 1=0 (El problema tiene dos soluciones).

*

6J.6 PROYECCÍON O R T O G O N A L D E U N A RECTA SOBRE U N P L A N O

Sea P un punto del espacio y n un plano. Se dice que el punto P' € K es la proyección (ortogonal) del punto P sobare el plano f!, si K^ i f (Fig. 6.35). Sea 1. una recta y II un plano. A la recta contenida en H, que se

+

proyectando los puntos de la recta L se denomina ¡recta prcyeccti&i de L sobre; el plano H. A esta recta lo denotaremos con L^ ÍFig. 6.36). Si L es per-pendicular al plano II, la proyección de L sobre f! se reduce a un punto

*

i = r.

361

P

3

*p'

Fig. 6.35 Fig. 6.36

30 En loa siguientes ejercicios, L es une recta y H es qp p b W Eetenainar la proyección de L sobra n.

&) L: P - (2,-1,4) + t(2,l,l) ,t€!R, H: 2x4y + s - 2 5 - 0 b) L: P - (1,2,1) + t(l,-l,2), t € R, x - y - z - 4 - 0 c) L: P - (2,1,-1) + t(2,-l,l), teat, n: x43¡y-z + 16-0 ^MC^WL a) a . (2,1,1) y N - (2,1,1) L i D, antonoas la ptoyeocióh de L sobre

n se reduoa al punto I - L ft n (Fig. 6.37 - a). Oliendo L/1 H tiene I(a,2,7)

b) a - (1,-1,2) y 3 - (1,-1,-1) a.M - 0 L ^ H. Por aer

L n será suficiente proyectar un psmto de L y considerar el vector a ocmo el vector dirección de L^ (Fig. 6.37 - b). Sea P. (1,2,1) € L y la recta que pasa por P. en la dirección de 3

0 - (1,2 1) + s (1,-1,-1). Si H es la proyección da P. sobre n p; - n n p:(3,o,-i)

Por lo tanto, L : R - (3,0,-1) + 1(1,-1,2), 1 € tR

-362-

c) a - y y - (1,3,-1) L no es paralela ni perpendicular ¡lg. 6.3? - c? g>ara hallar la recta será suficiente h J H H y proyectar el plinto P, (2,1,-1) echare el plano H. " L H K, se obtiene 1(24,-10,10). Al proyectar el punto adtace el ulano H ae dbtiane PL tú.-5.11.

lüego L es la recta que pasa por los puntos

B - (24,-10,10) 4 1(24,-5,9)

a ) tanto:

ANGULO EN!KE RECTA Y PLANO

Sea L una recta cuyo vector direcciát* es a y J! un plano cuyo vector noxEel es N. El ángulo entre la recta L y el pía no ü se defi^ cono el ángulo que forma L con L , donde L es la pro Tf IT —* yeoción de L sobre M (Fig. 6.36). Si & es uno de los ángulos que for-ma L con n {el otro ángulo ea 180* - ot), entonces 0 + a *= 1)0*, 0

al ángulo que forman el vector 8 y el

t

-363-

pero eos 6 6

MMMitt Por lo tanto,

MNMÜa!!

JEjMBwjpíc) Ji Hallar el ángulo agudo que forman el plano R: 2x + y + z - 5 *= 0 con la recta L: P (2,3,5) + t(l,-l,2)y t t R

En este caso, a (1,-1,2) y N - (2,1,1), si a es el ángulo que fanna

la recta L con el plano II sen a a.M üailüN!!

1 2

Luego, el ángulo agudo que forman L y !I es de 30".

Sea L': P - (1^0,0) + t(0,l,l), t € m una recta y ü: x-vO

un piare. Si L' isas la proyección de I*' sobre R, hallar la e-cuación de la recta que pasa por L' H n, forma un ángulo de 45" con I.' y está contenida en el plano n.

Sea L la recta SuMcadn (Fig. 6.39) Como I - n

otro ledo

1(1,1,1). Par

r : 0 - (lfl.1) + e(l,2,l),

Si e - (a,,a,,e,) es el vector di-rección (Se L? de lee oandicionez del parcblatna ee tiene:

e.N * 0 - e^ (pues L C !M ^ #

rtg. 6.39

(1)

45..

Teecplazando (1) en (3) «e obtiene:

(2)

* + Ba a - 3 a*

-364-

Para a. ** 1

8 a, $ A4 a^ + 8a^ i 3-! L . (. 4 i 3/Z)a

a - (1, -4 i , 1). Mego, la recta buscada es

U R = (1.1,1) + 1 (1, -4 i 3/¡T , 1), 1 6 R (Dos soluciones)

JJ Sea H: x - y - 1 ^ 0 un plano. Hallar la ecuación de la ta L que pasa por A(0,-1,0) de modo que:

L : P - (0,-1,0) + t(0,0,l), t€ R it Sea la proyección de L sobre J!. Se sabe que el ángulo entre L y es de

Se observa que el punto A pertenece a la el

L + ir Si a - (a,b,c) dirección de L, de las

condiciones del problema se tiene

45^ - ^ - t O ^ l BaÜ

(1)

sen 45- = r (2)

Fig. 6.40 Se ha obtenido (1), usando la fámula de ángulo e¡ nido (2), usando la fórmula de ángulo entre recta

se ha cbte-* De (1) y (2) te

Si a - - b

+ b* - - 2 a b

2a'

a 4 b - 0 a - b

i *Ta Para nes).

a * 1, se obtiene a - (1,-1, * la ecuación de la recta buscada es:

(El probl ema tiene dos aolucip

R* (0,-1,0) + 1(1,-1, i , 1

-365-

6.3.9 ÓJSTANOA MCVÍMA EMTRE RECTAS

Sean tas. Solamente existen dos posibilidades

i) L^ ^ L,

ii) L

^ b

e % b

i) Si IT, i, , la distancia entre ^ i estas rectas está daña por

d L.), distartoia Q

a le. lecta 6

d - (1 , distóacia de 3 a la recta

L. rig. 6.41

i i) Si X , la distancia (mí-nima) d es la longitud del seg-Tnnnto perpendj.cular coniGn a am-bas rectas (tlg. 6.42).

Si X , existen dos pía -nos paralelos í* y II talc=

L, C n y L c n .

<3 es la distancia entre ios pía nos n, 3? ÍI . ^ 2 Sea y 8 el árigti

lo N y ^ - entonces Fig. 6.42

di - !!c!i I tros 6 j , pei o eos 6! -C.N íiáiMRi

, ltx*go

{

13 (i) Si // L , d(L , L,) - O (ii) Si L, % L; , d(L,, Lg) - O

J4. Hallar la distancia míniaa entre las rectas # ^ -

L ? P - (1,1,4) + t(0,l,-3), t € R y

L * 1

L^? x - 4 + t, y - 5, z - 3 + 2t

Se tiene P.(1,1,4) € ^ y Q.(4,5,-3) € ^ a " (0,1,-3) es el vector dirección de L

i

b * (1,0,2) es el vector dirección de L <

í x b - (2,-3,-1) y c - - (3¡4,-7)

.tt' < i i

i

t

d - te. I x 6] [6-12+ 7], . Ha x &! ^ + 9 +*l

6.4 EJEMPLOS, EJEMPLOS Y MAS EJEMPLOS

Una esfera metálica es soltada en el punto A(l,2,10) y ticalmente) hasta el plano H: 2x + y + z - 12-0? Luego

la peor él hasta chocar con el plano X3f. Hallar la distancia total por la esfera.

d - [XS] + d(B, L )

B es la intersección de la recta H P * (1,2,10) +t(0,0,l), t€!R con el plano H y es la recta de intersección de los planos ü y

. r

XY. B(l,2,8)

f 2 x ^ y + L = 4 ^ L z - 0

z - 12 * 0 Pig. 6.43

367-

L^: P - (0,12,0) + A (1,-2,0), X€tR

d(B^) - s / í

36 Par la recta L: P - (4,2,-3) + t(1,0,1) pasa un plano cuyas Intersecciones con los planoe coordenados XY e YZ faenan

un ángulo de $0*. Hallar la ecuación del plano.

Sea N - (A,B,C) la normal del plano buscado ÍI. Se tiene: P.(4,2,-3) € H y (A,B,C). (1,0,1) - 0 A - C ... (a)

Ax + By + C z + D - 0 }Ax + By + Cz + D - 0 Sean L,:<] Y ^

z - 0 [ x 0

donde Ax+By + Cz + D * 0 es la ecuación del plano H. Si a y b son loe vectores dirección de y L^, respectivamente, entonces

a ^ (A,B,C) x (0,0,1) = (B,-A,0) y *b = (A,B,C) x (1,0,0) = (0,C,-3)

luego, eos 60" - , de donde ¡táiüR!

... (8) á* + AVC^ + B

Heanplazando (a) en (6) se obtiene

1 - — * L - ^ B' - A' B - i A ^ B* + A*

(El problema tiene dos soluciones)

Si B - A — ^ N (A, A,-A). Para A " 1, - (1,1,-1)

Si B *< - A =t> " (A, -A,-A). Para A - 1, ^ (1,-1,-i) Luego, los planos que satisfacen las condiciones del problema so*.

n : l(x - 4) + i(y - 2) - l(z + 3) " 0 6 x + y - z - 9 - 0 n : Kx - 4) - l(y - 2) - 1(3 - 3) ** 0 ó x - y - z + 1 - 0

-368-

37 Sean P, Q, R y S loa vértioaa oor#acutivoa da un coadrado con-tenido an el plano n! 4 - H - 10 - 0. Si P(2,9,12) y

IR(-2,11,8) aon loa axtrwoa da una da laa di^gonalaa del cuadrado, hallar laa coordenada* da loa vtrtioaa O v S. Sofreíd*. En la figura 6.44 aa tiene

M(0,10,10). DîD^ y

D,' (x,y,a) - (0.10,10) +

Como Q € D^ !3í) - 3

efectuando loa cálculos ae dbtie na:

0(1,3,8) y S(-l,12,12) Mg. 6.44

j tmpio 3& IA9 intersecciones de w a recta L con los XY e YZ están en el primer octante. Si

nos dichas Ínter-

i secciones se tra¡zan perpendiculares a lee ejes coordenados, quedan determi-nados los cuadrados C ir C^ respectivamente. El área de C, es el cuádruple del área da C^. Ha 1 lar la ecuación vectorial de la recta L si se sabe que su distancia al origen es 18.

SoiMcfdnL De las condiciones del problema

a 1b a - 2b ^ (2b,b,-i.) (2,l,-l)b

L: P - (0,b,b) + X(2,l,-1), X € tR. .

c ^ - <2,1,-1)!!. ,

de denej Be obtiene b * 9/2 /

i!

I

! i

Fig. 6.43

369-

Luego L: P " (0, 9^, 9*5) + (2,1,-1), € !R. Una recta L pasa par el punto 3(2,2,2) y es paralela al plat*.

x + 2y + 4z - 4 0. Hallar la ecuación wc del triángulo AOB es igual a A? u^. 0 es

imrfdMWdus y B es la intersección de L con el plano cootcdena-

n/cw o 39 cuya ecuación

borial de la recta L si el el origen de do YZ. Sohiddn Sea a - BA - (2,2-a,2-b) el vector dirección de L

a " 7 - 2b a.(1,2,4) (a)

)! (2,2,2) x (0,a,b)ü

de donde 7 - b* + a* + tb (3)

reenplazan o (a) en (6) se cbtie

B(0,a,b)

ne

Si b Si b

b - 2 V b - 3 B(0,3,2) y L,: P B'(0,1,3) y L,:

Fig. 6.46

(2,2,2) + t(2,-l,0) € R P - (2,2,2) + t(2,l,-l) € ÍR

El problema tiene dos soluciones) Rttmpiolá plano pasa por el punto E(2,0,0) y es paralelo a la recta

L: P - (5,6,1) + t(0,l,-l), t € Dicho plano intersecta los ejes z e Y en los puntos F y G respectiwanente. Hallar la ecuación < plano sabiendo que el área del triángulo EPG es igual 3/2 (dos solucione SOÍMCMK

Sea H el plano buscado y N su normal

a - (-2,b,0)

b * ES - (-2,0,c) S - a x 6 - (be, 2c, 2b)

-370-

CUTO r L —+N. (0,1,-1) - 0

(a)

Del Area del triangulo *e obtiene

(bc) 4 4 c + 4 b' 9 ..(6)

Remplazando (a) en (0) se obtiene C - i 1 - S i C - 1 , b - 1 y tl,t x + 2 y + 2 z + 2 - 0

- Si C - - 1, b - - 1 y

x - 2 y - 2 z - 2 - 0

C(0,0,o)

F(0,b,0)

E(2,0,0)

Fig. 6.47

x - 2y + z

SoíuCMhi

Sean las rectas Eje z, x 3 ; z - 4. Hallar la lw gitod del manar segmento que es paralelo al plano - 2 * 0 v une a laa rectas L. v L .

L ^ P - (0,0,t), t € R

Q * (3,0,4) + s(0,l,0), S € tR

3t €[R/A(0,0,t) 3 s € CR / B(3,s,4)

Si A€ L Si B € L

Ü5 i N t - 7 - 2a

AB

fMs)

+ s + (2s - 3) - 6 + 5s

Á B - 12z + 5s^

f(s)

f (a) " 0

Fig. 6.48

5

Para a a* - , existe mínimo para f, luego A(0,0, y BÍ3, y. , 4)

y 1 % 1 . gitud de AB es 3/ y 3/í^ 3. 286

-371

Bailar la de la recta L que pasa por el pwto a la recta L,: Q - (1,3, 2) + t(4,3,2).

€ m y es perpendicular a la recta h ' 2 , 1 - 5

B € L 3 t€ tR / B(1 + 4t, 3 + + 3t, -2 + 2t)

Si a - A& - (4t - 2, 3t - 1, 2t 4 3)

a. (2,3,0) - 0 17

w L: P - (3,4,-5) 4 K-6,4,65), 1 € CU

Hg. 6.49

E¡ftmplo4I. Hallar la ecuación del plano que pasa par P. (5,0,-2) y hace un ángulo de 30 con el eje Z. (dos soluciones)

SoiiicM?t Sea N * (A,B,C) la notmal del plano í! que pasa por (5,0 ,--3!). V(0,0,z.) n: A(x - 5) + By + C(z + 2) El ángulo entre n y el eje t es de 30*

)(A,B,C). (0,0,1)] 2 / - "

+ B^ + C^

3 C* - A* + B* ... (a)

Por otro lado Si V(0,0 ,z.) es un Fig. 6.50 punto del plano ü P ^ y el eje Z foonan un ángulo de 30*,

2 30 P.V. (0,0,1) MP^M

efectuando operaciones se cbtiene ^ - 2 i ^5 (6)

372-

Cene el plano pas^ por V(0,0,z„) V satisface {*), decir

- 5A + + 2) 0 ¡ i

Considerando Í¡E) se dbtiey^ A = ± /T C (y) i

^xiplazando (y! tm (a) se deduce 3 =* 0 j i I

Por tantn. N - (i ^ C, 0, C) = y?, 0,1) ' i r: 5/3* = 0

i

44. Un raô luminoso P = (1,4,3) + t (1,2,-1), t€ Ct incide i i ,

er: el espejo plano K? 3x - y -r 4z - 2 - (3 y se refleja? ha* llar la ¿el rayo reflejado.

373-

EJERCICIOS Hallar la ecuaci3n de la recta que nasa por (1,3,2), es paralelo 3.1 plano n. P = (1,4,0) + r(1,1,1) + s(0,l,2), r,s IR y forma m árîl

de 60° c--, tl,-2,.l) + t (0 , l , 0 ) , t€tR.

R. L: P = (1,3,-2) -!- t(3 ^ 2/2, 2 i j), t 6 ÍR

Hallar la ecuación áel pl^no gue pasa por (3,1,-2) y forna . .igulos igv les con lr s rectas L : P ^ - t(1,1,1), t € ¡R

L : Eje OX , Eje O?

R. (x - 3) + (y - 1) + (¿3 - 2) (z 4 2) = 0

Sean las rectas:

P - + t(1,-1,1), t € ^

JL. = Q - (2,9,1) s(1,3,-1) ^ € R 1 ij'L y-/...- -le Thr ¿i i--, y L .. y di v. <¿e :'

par tes i guales -1 lo¡i!.?itüd r.ie une a di r- -1.1 jr.j---. ^ .

cjscián i x + - 0,. encontrar r, y m y u -nul dos 'mentores A -- J- " — j v B = nj + est^. l-sr ¿ti daác 1

" 2 J. * , 2

L : P - (1,2,-3) + t(l,-l,5), t ÍR

L^ 0 (0,1,4) + s € ÍR

! .. ¿so inteisectan? en caso bailar el y ja ecuación, del pl?..no que les contiene.

.Sn contr^Lrio hall*¿r la MÍnrúna aptre L y L . Hallar ecuación plano paralelo al. plano 2x y + 2?. + 4 o hiendo giie el punto (3,2, --1) equidista ce amlTos planos.

R. 2x - y -+ 2z - 8 - 0

L.: P - (1,-1,1) + t(0,l,l), t^CR

0 = (0,1.0) + s (1,0,-1), s € tR

Hp.llar las ecuaciones de dos planos p:U: aleles a. y II de ntr o r.*. *

-374-

C ¡í, y ^ üg. Cuál as la distancia antea y 8. ÎLas* M del plano perpendicular a). plano x - 2, que corntenge

pMUto (2,2,^ y que hsge un íne o 60 con al plano

x y - 2(1 4 ) - Ü Badea laa reetae

y - (1,2,-1) + t(2,-2,-3), te

C " (2,3,1) a(1,2,-1), a * R R- (3,1 -1) r(l,l,l)., r

—#

Hallar, ai exiate, la ecuacÉdn del plano H que contiena a y a au veat al plano paralelo A lea rectaa y

R. no exiate 10. Mal lar la eaueeidn certeaiane del pleno que paaa pcar (2,6,1) y contiene

la recta y - y , y - - 5 A. - 13y 33: - 6 5 - 0

<U. Ea areeía L pata pee* í-1,1,6) y ae paralela a lea planea x + y - 0, i 2x - * * 6. Le recta ee la proyección de L ecbre el plano XX.

Hallar laa ecuericnea de laa rectea L y

12. Hallar la ecuecMn de la recta que condene al Menor aeynento horizen 4 tal (paralelo al plano XY) que sme laa rectaa L,: P - (0,0,0) + t, (1,2,0), t € *

O - (1,3,0) t, (0,1,4) € ^

R, P - (1,2,0) ^ t(0,3,0), t C¡R (la long. del segmento es 3) 13. Hallar la ecuación cartesiana del plano que pesa por P. (1,0,0), ea <

blando que la recta L: P - (5,1,-5) + t (1,0,-1), 11 (R, está a una distancia de 1 unidad de di<&3 plano (L // n)

14. Hallar la ecuación oarteaiana del pleno, sabiendo que es paralelo al . i

plano. 2x + 2y - a + 7-0, y que el punto (5,2 ,-3) equidista de ea)j boa planoe.

S ta: 2x+2y-:-41**0

-375-

L5. L: P - (1,1,3) + t(20,l), , H: 2 x - y + z - 1 5 - 0 son, respectivamente, ur a y un pleno. Si A * ^ 1 ecuación Ja j^cta pasa por el punió A y es a la recta L La ecta í está ccntíaüd' en e2 pl sno H.

TT !

r^das las rectas.

P ^ 3,4,5} + t (0,1,-2), t € ^ L : P - (4, .2,1) + t (1,2,3) , t, € 5R

p, - (0,0,0) * t, (2,1,0). ^ € m

Hallar la ecuación cartesiana de un plañe que corta a estas rectas en las íABtos A, B y Q.ras&^tivamesTte da t^l modo AS = §C, se sabe a ^ á s que estos puntos están alineados y que el plano soHcitado es pufpleio a la recta: x * y = z

R. 1 9 x - 2 C y + 2 - 8 1 i * 0

17. Dea rectas L y tienen vectores direcciorALRs (4,9,3) y (-3, /ti-, 4), re^^ctivsHente, y se intersecten en (3,2,1). ¿Cuál es la ecuación d*a

31 17 la recta L que pasa p^f , -y ) y determina con y i un triángulo de ájase 6u*.

- A * ^ Hallar le ecuación de una reeta que pasa poc el punto (3,4, -3) y es pa-ralelo a los planos: x + 2y - z ** 4, 3x - y + 2z * - 6

P. H (3,4,-1) t(-3,5,7), t€R. 19. Hallar la ecLsación del plano que pasa por la interjección de

L^ P - (9,5,4) + t(l,l,2), t C R y 0 - (1,2,3) + e(2,l,l), s € R

siendo distancia del plano al origen igual a # 34 unidades R. 11 (x - 11) + 7(x - 7) + 8(x - 8) - 0

20- Hallar lA ecuación cartesiana del plano que pasa par (3,4,1) y es pendiculer a los plenos x y - 4 , x + B - 6

R* x + y - ^ - 6 - 0

<31!

^ *

Hal^^ La de ree^- L tal tyie t Mía smátric^ ^ le recta

4 ¿I* íá'l'tH + t í l , t € O M respecto Al plano 2x-y-*-S - 0

KHa¿4RS Ir?: 3 xe^¿as:

L : P - (2,2,C) t (1,-1,1), t K CR # T! Z X

Hallar ln ecuisción du lana recRg* que c&rt& # estas tr^s rectas ,

y en M, W y ^ respeutivan^nt^ de tal xwêra SE ^ .

R. P - (0,-1,2) + t(2,2,-l), t € CR

23. Sean las rectas ^ " í(1,^,0) + r (1,1,1) / r € BR)

- {(7,4,3) + s(3,4,2) / s€ m)

Hallar ice vértices de vi triángulo equilátero de lado 2^7 tal que un vértice per tañaos a y el lado cpuesto en .

R. (4,0,1), (2 i ^ T , l i i / T , 2 * y / í )

24* Dadas las rectas no ooplanares concurrentes en 0(1,-2,3) x - 1 y + 2 z - 3 — 2 —

y - - '

T . ^ - 1 - Y + 2 _ z - 3 * 2 1 2

M e c u a c i ó n de un pífano que pasa por el punto A(-4,2,6) y far ma ángulos Iguales con estas rectas.

R. 3 x - y - z + 2 C * 0

Codo el piano x - 2y + 3z * B, y la recta L: — ^ — y Hallar la ecuación da la recta que pasa por (0,2,-1), paralelo al pía no dado y corta & la recta 1*

B, X^; P - (0,2,-1) + t*4,-l,-2), t@CR

-377

Badas las rectas L^: * - -3-I-&.

que se cruzan. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A i* (-Í,-2,0) que sea perpendicular a (en al espacio) y corte a I*, *

R. P - (-1,-2,0) + t(-l,6,4), t € R

nodos los planos 2x+2y-2z+2 - 0 y ; x - 2 y - z - l y e l

punto A 36 {2,1,4). Hallar la ecuación ¿te una recta que pasa por A qine esa paralelo ¡a y que haga un ángulo de 30* con

R. L - {(2,1,41 + t(H i 2 i 3^?, 7) / t € & )

Hallar la ecuae.t&s de una recta que pasa par (3,1,2) y corta a las reo -tas L : P^ * ( 2 , 4 , -1 ) + t(0,l,2) /t€QA) A

R. 0*- (3,1,2) + s(-l, 10,11), s € M

Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto Q(3, -5,2) y es perpendicular a cada uno de los planos 2 x + 3 y - z - 5 * 0 , x - 2 y + 2 z - 3 - 0

R. 4x - 5y - 7z - 23 - 0

Bncontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos (-2,5,3) y (4,8,-*3), es perpendicular al plano xa.

R. llx + 6z + 4 <* 0

Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular al planb 2x + 3y - 5z * 0, contiene al origen, y es paralelo a la recta que pasa por los puntos (1,-1,3) y (2,1,-2).

R. 5x - Sy - z <* 0

Encontrar la ecuación del plano que pasa por la interse-ociCn de Ros pía nos 2x - y - 5x = 4 y 3x + y - z 0 y paralelo al plano

l. x - y - 17z * 4. ^ ^ ^ r L A - y - *

-386-

33. BncoMSrMr la ecMeei^ áal plano qus pesa par loa puntea (1,0,-1) y P^ (-1,2,1}, y es paralelo a la recta 6a intersección de lo* planee. 3x + y - 2* * S , 4x - y + - 0

R. 5x-3y4az43-0

Knocntrar le ecuación da un plano que pesa por A(l,-2,1) y ea pezpendi-^lar al vector OÍ, siendo O el earigsn.

A. x - 2y + z * 6 35. Bneentrar la ecuación de un plano que pesa por loe puntos P, (1,2,3) y

P, 2,1), perpendicular al plano 4x - y + 2z - 7. R. x 4 6y + z * 16

36. Encontrar la distancia daeda el origen a la recta:

f x - 2z - 3 - 0 37. La recta tt j , intersecta pl no x + 3y - z+4 0

[y - * 0 E ocnti-Tjr el punto de lí tersaoción P, y ncc ntrar la ecuación de la rec M en sRte plaro que paâ por P y es perpendicular a L.

' , I t 1 38. sJaalf ía r la aaíninta di a tancia de la recta que pasa por el o-

sriân y el pur¿to (1,1,1), a la recta que pasa por (1,2,-2) y es para-lelo al vector ¿f - 3 + ^

R. y

3$. iíallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por (3,4,1) y es orto-gonal a lee páanoa P: x - 3? ** 4 ? (2: x + z * 6

x y - z - 6 0 1 j

40. Hallar tartas* planos equidistantes, que pasan pee los p^mtos (1,4,0), (2,-5,1) y (3,0,-2) respectivamente, da tal manara que sean a su vez pa-Al&la^ a recta L*" ((1,4,0) 4 / t €<R) (dar la íes -puesta en forma cartesiana).

11 - 2v - 7y - 21 *s 1)

(x^-y^RJ m *

41. Hallc r la Icr gitud del wxncx- 3ey.<!a*a.f:. h^'izontal fpa'ralelo -T) que la^ re -tar L, {(1,2,0) / € ¿R}

- 1(0,0,0) + t^ (1,1,1) / t. R, íu

Nallir la áel pl&no que a través de Ja recta

P ^ (1,3,1) + t (1,-3,1) / t ^ ÍR, y ce 60'' pie

R. y; ^ y ^

llx v - 23 0

Encontrar eciacíÓn p*ara .la xecta que pasa por {3,-1,6; y ¿ ¿gabos piaros 3* - 2y -*- z * 2 y 2% * y - 3% ** 5

R. x - 3 ** + 1 - ¿ !4. 8nconta*ar 3a ecuación del plat-o pasa pt¿ la int&cseocior?. de l' s píj

neje 2:1 - y - = 4 y + y - x 0 y paralelo al plaiTO y - 14 ^ ^ - y - 1 7 ^ - 6

Encentrar la acHaciári da los pl^-^s que bichan el los pla-2x y ^ 2 4 y *7x - y - 2

R. x - 4y - + 10 0

13x + - 0 46. la smicn consecutiva de los pwtos A,B,C y D es un paraleloyceno. Si

las coordenadas de los tres primeros puntos sen: A(1.2,3)? B(0,-l,4): C(-l,2,6) Hallar la ecuación de la recta qus pasa per loe puntos C y D

A. L- {(0,5,5) t(-l, -3.1) / t

-380-

47. Hallan la ecuación del plano que pasa por la intersección cié* los planos x - y + z - <4, 2x 4- y - ¿x = ó, y por el origen.

R. x + 5y - 7z = 0

48. Hallar la ecuación cartesiana de un plano que pasa per (1,2,-3), y por

lcL ii'tjersección del plañe x - y + 2z 4 con el plano XY

R 3x - - 5z - 12 - 0

49. Las rectas L, - ((5,11,-2) + t (0,8,-1) / t e L - {(8,-23,3) + t (3,-10,-4) / t € R } , (3,-2,-5)/t.€R) ¿ í 2 3 3 " Sen les lados del triángulo ¿ ABC-

H3llar- la distancia crue has*' desde el centro de aravedad de óiciio * * * — '

tiri rciilí al. plano 5x + 12z 14 - C 3?. 5u. 50. Dados los puntos no oolinea.les A(0,0,0), ES(0,1,6), C{5,2,-1) y

13 (3, / ,--17); determinar la ecuación de les piaixx? paralelos que pasan

por dichos puntos y que además las distancias que los separan san las

51- Un hamhre que se eixruentra en 0 (0,0,0) lanza una flecha desde A(0,0,16) ¡, i j

hacia un blanco en R (50,12,16) que se encuentra sobre el plañe ; ¡ 25x - 6y - 1178 - 0, haciendo inpacto a 0.1 unidades del blanco. ¡ Si la flecha fue lanzada con tirita trayectoria paralela al plano XY. Ha ¡I llar tal ángulo que debió girar el hombre para no fallar. R. 3*62°

. ^ 11 ' i'

-381-

32.

w.

Sugerencia:

0.3.¡IB¡ A(0,0,16) B(50,12,16)

x. - 50.95 y. - 15.9$

X

(x.,y.,16) Y

,0,0)

coa a - 0.998 a 3.$2*

Se tienen dos túneles que parten de la superficie (Sqpaner que la super ficie es lisa y es el pleno XY) deede los P^(0, y , 0) y P^(5,2,0) y llega^ respectivamente a los ptzTtce

-1,-7) y ?2g(-5,3,-5). Hallar le mínima distancia que debe m túnel que debe quedar a nivel (paralele al plano XY) y a para interconectar a los tún^lM A y B.

P. d * 2 Sugerencia El tSnal Je debe intaraectar a los dos tCheles dê ser

paralelo al plano XY pera que quede a nivel, luego igualar les coordenadas 2 de los puntos que se tace sobre cada t&-

53. Un niño patea una bola que se mueve con una velocidad constante (en li nea recta v - (2,2,2)*, desda el ponto P. * (8, -10 , 12). Si se di rige hacia una ventana ¿Qu6 tieepo tardará en alcanzar al vidrio si la ventana está en el plano 2x + 8z - - 4? ^ yy

¡Mí. Encentrar la longitud míniiaa del cordel que se necesitará para llegar desde el punto P.(8,6,-5) hasta una vare recta de madera que pe&a por los puntos Q (3,5, 3) y Q^ (8,3,1).

A. d - 5.65 u. . Hallar la ecuación cartesiana ds un plano que ocntenga a la recta

L- {(1,2,-3) + ta,-4,2) / t €R) 8 y se encuentre a una distancia de unidades del punto (2,-4,-5) A l

-382-

R. 6x + ^ + z - 7 - C, y, 30x + 2y - llz - 67 = O

56. Un rayo che luz parte del punto (1,4,2), se refleja en el espejo plano YZ, esta rayo reflejado, se refleja nuevamente én el espejo plano XZ , y este último rayo reflejado pasa per (5,1,4), Hallar la ecuaoián de esta último rayo reflejado*

R. L = 0, + t(6,5,2) / t €K}

57. Un rayo de luz parte del punto (2,1,6), se refleja en el espejo plano XZ, este rayo reflejado se refleja nuevamente tari el espejo YZ , y este último rayo reflejado pasa por (3,8,2). Hallar la ecuación cié este 133. timo rayo reflejado.

R. L = {(0, + t(5,9,-4) / t € R }

58. Si tienen dos planos paralelos P^: 4x - By - 2 + 9 = 0

P^: 4 x - 2 y - z - 6 - 0 , y dos puntos Q^ y Q^ correspondientes a

los dos planos P. y P^ respectivamente. Hallar el volumen del cilin -

dro diagonal mide 99.79327532 unidades. R. V - 4148.37? u.

59. Una puerta rotatoria che* un centro comercial consta cha dos planos * p^: 5 x + 3 y - z - 9 = 0 y P^: 3x-2y + 5 z - 6 - 0 . Se quiere au-mentar r¡n plano nás a la puerta, tal que pase par la recta de intersec ción ce ambos planos y que sea paralelo este plano a la columna que describe la ecuación de la recta L, - {(3,1,6) + (1,1 0) / t € C ).

+

Hallar la ecuación de dicho piano. IR. 19x - 19y + 41z - 39 = (3 60. un barco perteneciente a la ccnpañía peruana de vapores se encuentra #

en el punto 3?(2,3,0) y tiene un riovimiento rectilíneo con una velocidad constante v^ = (1,5,0). En este tnismo instante un avión comercial em — pieza a caer desde el punto (5,4,6) con una velocidad constante Vg = (2,11,-6) en línea recta. Ctn estos elementos de juicio se pre — gunata: a) Se producirá un cheque entre el barco y el avión.

b) Si no es así cuál será la menor distancia entre ellos. Bpta: a) No se produce el choque

b) 2.5 u. -

a

3

3ea B(x,ypz) * 0 una ecuación en las variables x, y, sa? la jpñdf/tacr <&? j 5a a?* <*í rspacíc gR*), es el conjunto <3e todos

cuyas oooxdenadaR satisfacen la ecuación dada- A esta grá-^ fa se le da el ncwbre de avp ftete. Uh ejeqplo d^ ss períicies es el pía x o (Qg). tí).

O&zsrvacidy! i. Bdstan ecuaciones tales oawo:

a) x^ (y - 2)* + + 8 - 0 b) (x + 1) + 4(y - 2) + 3(z - 5) - 0 que no representan a una superficie. Para la ecuación (a), no existen nümeroe reales x,y,z que satisfagan dií±a ecuación? en este caso s^ di ce que: (a) representa al conjunto vado (+}. Para la ecuaciCn (b)

los únicos náneros reales que satisfacen dicha ecuación sen x*-l y 3* 2, z t* 5, luego (b) representa al pwsto P (-1,2,5). En cabos casos diratos que estarnas frente a una euperf et* d*F*y*M'aáa.

fTJMSLáCrav Di Ce f anera similar a la traslación de a -jsas dEkX plano cartee . ano se efectúa la tra* lación de <*j<&3 el espacio tridimensional. Sea €KYZ el sistema de coordenadas cartîaxâs y 0' !x<, . * } 'Ni punt^ t3e este g^bama En 3' se construye al nuevo ístetra P* X' Y' X' da woóo que los rayos positivo? de loe nuevos ejea

paraleles y tengan el misma sentido a l-c;*s áal sistema OK^tnal ÍHg. 7.1).

. J

t

'Jh r tíe por

can. sífs . 3MA igirml y tari m ^ 'Li ¿'.anta í )

4 - U)

Z * + X y

! } !

? - -

Fig. 7.1

7-í E S F E R A

. Una. gafare es el junto áe aodos los p u n t d e l espacio

equidistmi de wi punto fijo Hisnado al centro se 1 lama radio.

Sea P '¡x .y,*} cualquier punto de la esfes. <* (3*? ("tantico C fx .y. y ra

la distancia che cualquier punM

dio r > ( : ^ f -A-

d- (P,Cí - r^

x^) (y-y.)

Esta ecuación es llamada fornu ]Tort<3 de la ecuación de la esfera. Sí el centro es tal. origen de coacde nadas, la ecuación (2) tiene la fcaana

^ y^ + z" Fig. 7.2

Si la ecuación (2) se desarrolla, se detiene un A ecuación de la forma

(3)

'í'* i

ll l]

qce as La armacá&i ds la asteara tei M /cw? ys^M^Í.

C Aalquí r ecuación de la fooca (3), Desplatando cuadrados, se p a&c axp*eaar aa la foxsaa.

(x - h)' + (y - - {z - f)^ - t

Si t > 0, {4) s^ representa a una esfera da centro ü(h,k,t) y radío /f Si t - (4) representa al punto C{h,k,¿) 1

f ÜH&g aaradas de la etáeza t < 0, (4) y&presenta <aJL cr unte vaolo J¡

a) Hallar la ecuación de la esfera de centro y radio r 3. b) Hallar la uaeiótn la esf€¡ra ai uno de sus di&aet co es el aegs& nto

de extraña A(3,l,4) y e) tetsxsaínar si laa* ai^^tes ^ ^ i o r ^ r pse& stan a a

puníto o al conjunto v^cío. i) + +

a) (x - + (y 4 1)* + - 9 6 x* + y* + ** * lat + - 4 - 0

b) El etro es el punto medio ds es decir C(4,0,3) y r Xusgo, la ecuación dé la esfera es: (x - 4) * + y' + (s - 3) * - 3 Ó x* + y* + x* - 8x - 6z + 23 - 0

c) (i) (x - 1)* + (y + 2)* + (s - 3)* - 13. Esteza de eaátBO $(1,-2,3) y xadAo r * !<Í3. (ü) íx - + (y 1)* + (z - D' Un pwto C$3,-1,1) (l&i? Represe?^ al corijunaso vacío

E^wô^r la óe esíeioA es tangesy e & plausos 31 : x 3y + s - 4 0 y ^ * - y + 2z - 5 -* 0 , y Y **

tiene su centro ea el ejna 3E. (Dos 30luci< 2s)

-394-

c - 3

SI c * jf la de Aa esfeMt

x* + y* {z - - T 6

+ 2y* + 2z* - 4z - 1 - 3 , Ri c 3, la acuación A& la esfera es: a

^ y* + (z - 3f - 6 6x* + $y* + 6z* - 3*z + 53 - O l;¡¡¡

-r 3. El plano ü pasa por el punte P<, (1,-1,0) centiens a la * 1 x - 1 - z + 1. Hallar la

alera cqye centro

tangente al piano

¿Cuál as el punto de contacto?

MwcM*

la ecuación del plano n es: i'

31 sacRo es r " d^C, íi) 3 ^T?

H* ! . i

i.''

la aN.sacián d^ la esfera es Fig, 7.4

(y 2 +Í3 - li . a ^ i Jp I*?***

/

El pr^to Mjtêto 3f ** ft JI , denda €3 la ^wta

i j i . /' j

) i '' ij

. t )

-387-

'

^ ^ ^ ^ 4. plano H itiîe a la recta L: * ^ * - e

ta a la eaferat x^ + y* + ^ + 2x - 4y - 10a 5 en una

^cunfereneia ¿k radio 3. Hallar la ecuación cartesiana da dicho plano * i solueicK es).

la F&1;. .'.5 <*a muestra la cafara y al plano en el corte tran^/^rsal,

P - (0,0,0) t t(l,3,-2), t t R. L¿t enuacdán del pLvio H es de la ¡t rma 4

Ax + ^ + CY 0

jonde M " (A,B,0 ea su vectoar ñor-iie como

f

L c n (1,3,-2) - 0

A- 2C - 3a (a) Pi?. 7.5

5 t ! !

otro lado, la ecuación de la esfera es:

(x + 1)* + (y - 2)* + (s - 5) 25 C(-l,2,5) y r - 5

Por tantos d(C,H) 4 (usando teorema de Pitágoras)

¡-A 4 2B 4 5C) (M

desplazando (a) en (¿) se obtienen las normales de las dos aoluc&onaa

388-

E J E R C I C I O S

Encontrar la ecuación cf' la g^fera que es tangente al plano x - 8y v 4z i- 7 - 0 y es cotioéntrica a la esfera y* z'' -

- l^x - 4v - 33 0 R. y^ + - 12x - 4y - 6z + 48 = 0

Hallar ¡a ecuación de la esfera cuyo centro está en el eje X y pasa por los puntos (0,5,0) y P (-2.1,0)

x^ ^ + z^ - lüx -- 2 5 - 0 <

Bnaonüiar ecuación de la esfera cuyo centro está en el plaño coordenado XX y ¿as tangente a 1 plano 2x - y + z-4^0 en el punto P{1r5,7).

R. x^ + v^ + - 22x - +1X5=0

Hc-JLlar la ecuación ce la esfera que pasa por la circonferencia de inter sección óe laa -esferas -

x^ y^ + - 2x + 2y - + 2 C

+ y^ + z^ - %x - - 6z + 10 = 0

y t mtii i por el punte P. ,())

M. -r y" - - - 212! 70 0

SugExenrn at Si 9, - !' y 0 cn. las ec^'-cinnes de dos esferas

entcnoes S + k S - 0 para k - 1 representa la -¿Ze ea/cr^s pasan par la intersacxdon de las esfe-

ras dadas, oon *La excepción de la esfera S^ == 0.

ta Oblación (3*3 la esfera <gue pasa por la che i-fiterse'x;i6:i de las esferas:

x* + -t + - - &/ 4- 6z -i- 12 - 0

x^ ^ y2 + - 4x + 4y- - 6z - 12 =s 0

y es tam^nts al pla.no x 4- 2y - 2x - 3 - 0

R. S^: + y"' + - - ¿y + 4z + 8 - 0

S r x^ -!- ^ - ^x - 24y + 44 0

I)'

h¡

- s e s -

íí. Una recta L pasa por el punto &(3,-4 ,(5), irtersecta a la recta

L : P = (6,-10,1.2} + tíl,0,0) y a la esfera

(x + ^ (y - 1) 2 4 (z - 2) = según una cuerda 3a longitud

3 unidades. Hal lar la ecuación vectorial de L. (Dos soluciones).

7. Hallar la ecuación <3*31 plano K que contiene a la recta

H P - (1,2,2!) + t (1,-1,0), 1b € !R de modo que dicho plano sea tangente

a la superficie x* + y^ + z^ - 1 = 0 (Dos soluciones)

Sugerencia. Usar la oondición d(C, I!) = 1 dcnde C(0,0,0)

R. n^: 2 x + 2 y - x - 3 - 0 , 4x + 4y - 7z4 9 = 0

7 j : DISCUSION Y GRAFICA DE LA ECUACION DE UNA SUPERFICIE Da ronera sillar a la discusión que se efectúa antes de trazar la cprá- -

fica de una curva plana, cari tal caso de las superficies es tathbién ventajoso 'discutir previamente su ecuación antas de oonstruirla. Ktra discutir la e -cuación B(x,y,z) - <0 de una superficie se siguen los siguientes pasos: J) coy LOS R7E5 C^PJHMPR?: Son las intersecciones de la

stperfi<rie con cada uno de los ejes coordenados*

i) Con el eje X. Se leoiplaza y - z = 0 en la ecuación d& la superficie y se analiza, la ecuación resultante*

ii) Con el eje Y- Se. reenplaza x = z = 0 en la ecuación de la superficie y se analiza la ecuación resultante.

üi) Con el eje Z. Se reenplaza x - y = 0 en la ecuación de la supeificie y se anal iza la ecuación resultante.

rj; TR42/5 FORH? Lí S La traza de una superficie sobi^ un plano coordenado es la intersección de la superficie y el plano cocar denado

i) Con el plano XY. Se reemplaza z - 0 en la ecuación de la siiperficie. ii) Con el plano YZ. Se reenplaza x - 0 en la ecuación de la superficie. iii) Con el plano XZ. Se reenplaza y = 0 en la ecuación de la stperfi^.

rriJ SFfcraMKs f N ^ y x ^ í z s o SFCCT^WES pâMSMs 4 M S PJMJVÚ? maMBMDos'.

Son la* inbsraaccicnes da la superficie con planea paralelos a loe pía nos coordenados. i) A plano XX. Se remplaza z - k en la atMación de la superficie, ii) AL plano XX. Ss resn aza y - k en la ecuación ds la superficie iü) Al plano YY. Se rsavplaza x * k en la ecuación de la superficie.

jy; FJf^^íW ^ M syíwjcjy. Se entiende per extensión ds la superficie a loe valares reales que tocen las variables x, y, z en la ecuación. El paso anterior facilita la.determinación de la extensión? por ejaqplo, si al estudiar las secciones paralelas al plano XY se determina que hay intersección con los plasx* z - k cuando k € [-3,3). Está indica que en la superficie z varia entre -3 y 3, es decir z € [-3,3] *

yj cay RESPECTO 4 I6P PLW3S CpCMyWjMW, 4 my COONMOMMS y ORTCEy. Previacwte, se dice qua dos puntos P y Q son *va4ti*íaoe ccn yespsctt? o Mn p eno si el plano es perpendicular al seyKHtto que loe w e en su punto medio. Por otro ledo, se dios que una superficie es simétrica ccn respecto el pleno n, si el simétrico de cada punto de la superficie, respecto el plano n, es también un punto de la superficie. Si P (x,y, z) es un punto del espacio, entonces: a) El simétrico ds P con respecto al plano XY es Q(x,y,-z) b) El simétrico ds P con respecto al plano XZ es 0 íx, -y, z) c) El slm6trico de P con respecto al plano Y? es Q(-x,y,z) Considerando que el lector está familiarizado a las simetrías ccn res-pecto a una recta y a un punto se sigua: d) El simétrico ds P con respecto al eje X es Q(x,-y,-z)

*

e) El simétrico de P con respecto al eje Y es Q(-*,y,-x) f) El simétrico de P con respecto al eje Z es 0 (*-x, -3? ,z) g) El simétrico ds P con respecto al origen es 0(-x, -y, -z)

Se dice que una superficie es simétrica can respecto a una recta L si el simétrico ds cada punto, respecto a la recta I* es también un punto da la superficie*

-391-

Se dice que una superficie es aimétrico con respecto a un punto ztmátrico da cada'punto, respecto al punto C, ea también un punto

iperficie.

Da la* consideraciones anteriores, se deduce fácilmente la siguiente * Jthla!

t

r H la ecuación da la atperficie no altera cuando se reemplaza! *

la sêrficie es simátrie* oon respecto al

x por y

- X - y

z por - z i

z per - z A y x por - x A z por x par x por -

x A y x, y por

- y

- z - y

- y A z - s

plano YZ plano XX plano XY eje X eje Y eje : origen

aMST^KHW DE JH SUHMRHH* í6KAfiá4J. axi la ayuda da los pasos teriores se construye la gráfica de una superficie.

¿*M!pio 3. Discutir y graficar la ecuación 9x* + 4y* - 12z

tr. jnvy^cccjoAT^ ccw ¿os * - - .

i) Con el eje X, Haciendo y * z - 0 en la ecuación se 9x* * o x - 0. la superficie intersecta al ej< gan da coordenadas, AL estudiar las otras intersecciones ka que el origen es el dnioo pwto de intersección.

rjr; y^/z^ ÔFR? M S pawcs COQRPRVAMS i) Sotre el plano XSf. Haciendo z « 0 se obtiene + 4y

ta ecuación, an el plano XY, representa al origen da ii) Schre el plano XX. Se haca y - 0 y ae dbtiene -

*

ta ecuación, Tan el plano XZ, representa a una parábola

X en el ood-

- 0. B*-

i) Sobre el plano YZ. Haciendo x 0 se tiene la parábola 4y* -+

i) AL plano XSf. Haciwdo z k en la ecuación de la superficie ea ob -tiene + - 12k

-392-

Se observa que hay inwseoción toLsMwntw cuando h 0 (ai k * 0 aa un punto, si k > 0 es una elipse)

ii) Al plano XZ. Rawp lazando y * h *n la ecuación de ¡La superficie t obtiene - 12. - C

Esta ecuación representa ts una parábola, V h € R. iii) M plaM> YI. RHwplazsnáb x k en la ecuación se tiene

- 12. + - 0

Esta ecuacián representa a una parábola, V k € !R. jrv. jFjyyyjvFío

De III (iii) se obtiene: x € De III (idL) De m (i)

se cbtiene: y € CR se obtiene: z € fO, + ** >

y. JA&YATAS. La superficie es simétrica con respecto al plano YB, al pij no XZ y al eje Z. CRAFJTG4. La gráfica de esta ecuación se vuestra en la Fig. (1.6) y M llama

Fig. 7.6 Fig. 7.7

-393-

A Discutir y graíicar la superficie cuya ecuación es y^ - 4y + 2z - O

f; CW LOS

i) ODn el eje X: y * 2 - 0 0-0, esto significa que todo pwto del eje aatia^ce la ecuación de la superficie es dacir, la ción de la superficie con el eje X es el eje X

ü ) Con el eje Y: x - t - C — ^ y^ - 4y - 0 — o y - 0 v y - 4. Xas intersecciones sen los puntos P (0,0,0) y P (0,4,0).

iü) Ccn el eje Z: x * y - 0 — ^ 2z " 0. la intersección es el ari -gen de coordenadas.

i) Sobre el pleno XY. las trazas son les rectas, y ** 0 je X) A y * 4 (paralelo al eje X.)

ii) Sobre el plano XZ. la traza es la recta : * 0 (eje X). iü) Schre el plano YZ. la traza es la parábola y* - 4y + 2x - 0

fü.- ^ PLMras c^PíWAZW

i) M plano XY: z - k — . y^ - 4y + 2k 0 — ^ y - 3 * /4 - 2k Bdaten intersección para k 4 2 (Para k - 2 es una recta, para k < 2 aon dos rectas paralelas)

ü) Al plano XZ; y - k — 2 z - 4k - k*, es una recta, V k € R iü) A plano YZ. x - k y^ - 4y 2z - 0, es una parábola,

V k €

JV. RCTMMCW.

x € SR (Da III - iü) ? y € !R (De III - ii) * C < - 2] (Da III - i)

y, Mata siete tría con respecto al plano YZ. Vi. CAMVG4. la gráfica de la superficie ae nuestra en la Fig. 7.7 y ee

llama cilindro parábolico.

-3M

En cada .wsc de ejsírcici a diacutir y trazar Q?áfica de 1* <sáya agRaa53.&$ sat dí.

1. 4 y^ - 4 Ûpaoida) 2. x*^ y^ - - 0 ( O w circular)

x* ^ - 4y - 9 {Para^loida da revolución o circular)

4. y^ - ^ ^

5 - X ÍRáparbcloida eircola: da doa hajaa)

6. elíptico de una hoja)

7. y* - x* a* - ÍParab&ôida hipsKbálico)

e. x* + y* + z* - 4 â&faca)

9. y* - x*y - Q M . $ - }y¡

7J CELSNRROS

Uh pt t'iárp es una largo de una csarva plana dada, ja que na está en el plano de di-cha cucva. Xa xwcta que sa mueva ae llama generatriz dal cilináxo y la curva plana se llanta dtr*<?tr%* del ciliMro,

Si la EMjr&tríx da tm cilin-dro es perpendicular al plañe da la directriz, el cilindra es lla-mado cilindro muyáp y en caao con

que siempre avalala a

M; BMBWB a lo una recta ii

Si la directriz es una recta, el cilindxia es simplemente un pía

Fig. 7-9 En lo qpa sigue, se considefa que la directriz es una curva contenida

en uno da ios planas ocordanadcs. i^^poâmoa qte. la diiectríx está en el plano XY (3Fi<3. 7.8) luego, su

< ^

ecuación es da la foo!^ E ta, y^ ^ z " Si P íx,y, z! es un punto del

-403-

cilindro cuya generatriz tiene por vector dirección al vector a - (a , y Ai P. (x", y',0) es el punto de irtersección de la dire*rtrís la

generatriz que pasa por P, entonces. P<, satisface la ecuación de La curva,es decir.

E(x' ,yl = 0, z' = 0 (a)

la ecuación de la rêta

x - x' y

poor P y P.

^ - z'

de (a) y (3) elinuLnando laz 'variables x', y' y z' se obtiene la ecuación del cilindro. g;empic / Hallar la ecuación del cilindro cuya directriz es la curva

y* ^ 4x A z i* o y a as (1 ,-1,1) <33 el vector dirección ¿Se la generatriz

SOÍMCidEL

Sea P (x,y,x) un punto <3*31 cilindro

y P. (x' ,y' ,z') la Ijtersecció! de la directriz casan la generatriz que pasa por P, entorces la ecuación de dicha generatriz es

x -1

3 (a)

Ocmo P. es tm punto de la directriz,

' * =* 4x' A se' * 0 (P) Reanplazanáo z' ** 0 en (a) se obtiene

Fig 7.9

- v' z A y - y ' = - z De donde x' x t- z /t y ! 2 {y + x)

y ^ 4x x' (x - Z) A 4x = (y ^ z)^

Por tanto: Luego superficie es

y z 2yz - + 4z 0

-396-

Este cilindro se llama En la Fig. 7.9 se muestra su gráfica (pa a z 0)

& Hallar la ecuación del cilindro recto cuya Jirectriz es la cur

va z = A y = 0 1+x^

Sqpongamcs gue la generatriz que pasa par un punto cualquiera P(x,y,z) (Fig. 7.10) de la super ficie corta a la directriz en el punto Pp (x' ,y',z'), entonces la ecuación (simétrica) de esta gene ratríz es x - x' A z - z' (a)

CEmo P<> pertenece a la curva, en-tonces

z- = ^l^'L ^ y' = 0 (6) 1 + x'i

Reenpla^ ¿ha (a) en (P) se obtiene z = —¡—t—

1 + x^ Se observa qv e esta ecuación es similar a la ecuaciónóe la generatriz.

JE. En el espacio tridimensional, la gráfica che una ecuación en des de las tres variables x,y,z es un cilindro cuya direc-

triz es una curva citas; se encuentra en el plano asociado con las dos varia -bles que aparecen en la ecuación y cuyas generatrices son paralelas al eje coordenado asociado con la variable faltante, es decir:

1) E(x,y) - 0 representa (en el espacio) a un cilindro Directriz: E(x,y) = 0 A z -= 0

i

Generatriz: Eje 25 (variable que falta en la ecuación) i

2. E (x, z) = (3 representa a un cil Indro Directriz: B(x, z) - 0 A y = 0

1

Generatriz: Eje Y 31 B(y,z) - 1) representa a un cilindro

Fig. 7.10

2 x

-397-

Directríz: E{y,z) = O x = O Generatriz: Eje X.

E^wpío 9. Trazar la gráfica de cada una de las superficies

a) x^ + y* - 4y = 0

c) z^ - y^ = 0

SoáicMn.

b) z - e = 0

d) x^ = (y + l)y

X A

z = e

Fig. 7.11 Fig. 7.12

z* = y'

Fig. 7.13 Fig. 7.14

406

E j B R C I C I O S

I, En cada uno ¿ha Las siguientes ejercicios hallar la ecuación del cilindra S dan las ecuaciones de la directriz, y el vector dirección de la

1. x^ + 4y A z = 0 , a = (1,1,3)

R. 9x* + z* - 6xz - 36y + 12z

2. y^ - = 1 A x = 0 , a = (-1,1,2)

3. , a = (2,1,0)

II. En r^r^ uno de los ejercicios trazar la gráfica de las superficies que ... ^ . *

1. y^ - 2y + 4 = z 2. y = eos x, x e [0, 421]

3. y^ - x* 4. x* - y* = 1

5. 4x^ + y^ = 4 6. y = In x

y = 8, y2 = 4z X* + 1

X K n z = xe 10. y * = t g z , z € < - y , ^ >

/

-399-7.4 SUPERHOES DE REVOLUOON

La s paarf icia gánsrada por la rotación de una curva plana alrededor de una xwcta fija que está en el plano de la curva ae ll*Mt etgur/tet* & ravo iMctáM, La recta fija ae llama & voíuci^^ y la curva plana a* lla-ma curva generada. Si par un pinto cualquiera da P(x,y,z) ae haca putar w plano peor pendiculAr al eje da rwolución, la ínteraeccidn de la superficie con dicho plano ea una circunfarancia (Kg. 7.15) Sea C al psmto da inten^ccdán da esta plano con la recta L y 0 el F^nto da interseccidn con la curva ^ântcnoaa aa verifica.

[ d(P,C) d(Q,Q [ (5) Hg. 7.15 A la ecuación que ae cbtiana da (5) aa la dananina ecuadAi da la superficie da revoluddn.

lo que sigue, ae oonsidara que la curva generadora está contenida an w plano ooacdanado o an un plano paralelo a un plano coordenado. O^MMacM?! Si la supaarficie da revolución ha sido generada por una cur

va que ae encuentra \*t plano oooacdaMdo y cuyo eje da rwwlucidn aa uno da loa ajea coordenados, su ccuacidp pueda determinarse muy fácilmente. Se tiene la siguiente tabla.

Ecuación da la curva ganar adora

Eje da xwvolucidn

Ecuación da 1* ssparficia da xawolucidn

x * f (y), x - 0 eje Y x - f ly) , t - 0 eje Y X* + s - [f (y)] z * f (x), y - 0 eje X y * f (x), : - 0 eja X y* + z* - [f tx)]* y - f (z)x * 0 eja :

j x * f (z), y - 0 eja 2

¿ÓU13AÍ2'. la taL'la. Si la ecua c.íón de la curva generadora es:

z = f (y), x = 0

y el eje de rotación es el eje Y. Si P(x,y,z) es un punto arbitrario de la superficie de revolución y a su vez, 0 y C (Fig. 7.16) son los puntos de intersección del pía no, que pasa par P y es perpendicu lar al eje Y, coi la curva y con el eje Y, respectivamente, en-

? z=f (y), x=0

Fig. 7.16

C(0,y,0) y Q(0,y,f(y))

luego, 3(P,0 = díQ,C) 6 + z^ = [f (y) [ de donde se obtiene

x' + z^ demostración

[f(Y)]

O&seirvmnón 5 Mediante una traslación de ejes, L ^ oficies de revolución tienen las siguientes

i) íx - x.)^ + (z - z.) [f(y-yj]

ii) (Y - y.)* + (Z - z.)' = [f (x - x.)]i iii) íx - + (y - y j ' = [f ÍZ - z.)]3

íyamplo 10. En cada uno ele* los siguientes ejercicios se <3& la ecuación de la curva generadora y el eje cié; revolución L, determinar la ecua

ción de la superficie de revolución y esbozar su gráfico.

= 0 ? L: eje Y a) z - x =

b) : z = e^, x = 0 ? L: eje Z c) : x - 4y* = 1, x = L: eje Y d) : z = iíd. ? y = 0 ;

1+x^ L: eje X

-401-

x y * x*, z 0 ; eje X

f) x*, z * 4); L: ej<e Y

a) : z = e^, x * 0, L: eje Y, entonces la ecuación de la superficie de

revolución es x^ -

La gráfica se muestra en la Fig. 7.1?

b} : y * ln z, x L: eje z, antonces la ecuación de la superficie

de revolución es x^ + ¡y* * ln*z. la gráfica se muestra en la Fig. 7.

c) En este caco puede pensarse que la superficie ha sido generado por la

curva z ^ + x y L: eje Y^ entonces la ecuación de su-perficie de revolución es

x* + z* ** 1 + 4y* IA gráfica se nuestra en la FÍ3. 7.1^ 4asta superficie se llatma Mpcrbí?-í tdc & rcwtu^í^ o ctranlar de una o^cj

d) la ecuación de la superficie es y* + 2* =*

nuestra en la Fig. 7.20 (1 x^)^

. la gráfica se

e) la ecuación de superficie de revolución os: y* * 3* f x**. H gráfi ea se nuestra en la Flg^ 7*21.

f) w taciÓn de la superficie de revolución es : x* + z* ** y la gráfica se nuestra en la Fig. 7.22.

-402-

L.

Fig. 7.17 Fig, 7.18

Fig. 7.19 Fig. 7.20

Fig. 7:21 Fig. 7.22

-403-

EjRMpio n. - .da uno de los siguientes ejercicios se 35 la cuaciáf ^ curva generadora f y el eje de giro L? hallar la t

de la superficie de rsnolucián. a) : z *= f (y), x - a; L: z <* b, x b) ^ : z - - 3, x - 5? L: z * - 1, x - 5 c) : 4 (x + 2) * - (y - 1M - 1, z - 3; n el eje inMginario de la h ^ r

bola % d) : 4 ^ + 2) - (y - 1)* * 1, z - 3; el eje transverso de la M p ^

bola. #

a) E^ la Fig. 7.23 se muestra la c rva ^ y la recta L en el pía no x a &

Por tanto, la ecaaclCh la perf&c&e <3*3 xewluctán es

3 ^ - aí + (z - b)* - [f (y)- j

Fig. 7.33 t3cí3ién puede cbtenersa esta ecuacláa, tí^sladando previamente el oaríQea al pmto 0' .

b) íx - 5) * + (z + 1) 2y - 2)^ (oanc de r¿w.K3c3áai

c) íx 2) (a - - 4 (hip^rbo) oide ef.rrT.ü.ar (o de rev<>luci.lA) áa uaa boj^)

d) íy + t) ^ - 3^ ^ 4(x ó

4(x + 2) (y + 1) - (z - 3! * = 1 (Mperboioiúe ciictxíar d? ho 3^)

^cwpíc En âda w¡o .los slîît^s ejerûic^, da la ciRXdC t una síêrficíe. Si de rewoltMiíla, te^.nsr el eje

Lanián y una

4 04

^ * y* * 1

- i , 2¡g3= s ? , K * 3 v - <tz - 4 * 0

^^ i- y - ^ 4 ^

x^ y" 5 (hipetbolcide circular de una hoja)

í) JErje de oci^n, <as L- x U, y 0 (taja Z)

Ojarvs âradora, e^ ^ : x y - z^ 6 y ^

33c<* es de yevolu^lón de las secciones tre^^wir lea a los pía -nos coordenada es una circunfeíeneia).

c) (x + (z - i) ** 9 - (elipsoide de revolucióri o eafaroi-2 de}

i) Eje <3** revolución, as Li x - z a* 1 / L8 (x - 2) ti) Oirva generadora es 6: i x " - ¡2, 3 3. ^ s/ — g —

(elipse)

d) (x 1) + (z - 1) - (psuraboX-aíde dicular)

1) Ej<a da revolución, es t: as - 1, 3 * 1 ii) Cuxva ganeradota, es & : ai ? 1 + (parábola)

y.s S U P - E M C Í E S C U A D m C A S

Ur . ^ siRplanrente dídrí- í es la gr¡Sfioa de una e^ cMacidn. de . ra o las -vsuriableaí :%,y,

^Jg^naa gsvpsrfici s cllirárlca^ superficies da revolución ejetáplo de e^üMri'^. .En te afección se dax'á algunas fonoas stándar de las s;uperfi ** c. .s cuMrica? coyx^ ecuaciones está*!* áu. fo.; ; mjís iaple.

O nsidíürando que el lector está -en candicicres de discutir la aaciát de uym superficie, joos jjrnitact os a describid* algunas prqpiudades de estas su

-405-

7-H BUPSOKDE x* v* a* Su ecuación ta dt la fooaa: — + — - i , a* b* e'

donde a, b y c ton M&MWoa pcaitivoa.

y ^

a €

ai a* * b* - c* , es una aa/aM

ai a**- b*(6 b ^ c^ , 6 a ^ c') es un aZtpactde da uc^án o es/g yetdg. Un esferoide cuyo tercer n6-Tnero es mayor que les dos números i-guales, se llama a lacado. Ra elipse que la genera gira alrede-dor de su ej,e mayarl Si el tercer Fig. 7.24 número es yencar que los dos náneros iguales, se llama ac/Mtgda {la* elipse que la genera gira a].rededor de su eje menor).

Las secciones transversales a les planos coordenados ¡sisen elipses <3 circunde-rancias. (En los^planos x = ± a, y *= dt b, z = i c, se reduce a un punto,). Esta superficie es simétrica con respecto a uno de loa planos coordenados, sinétarica con respecto a cada uno de los ejes coccrdanadoa y simétrica coa respecto al origen. La gr&fica del elipsoide ae muestra en la Fig. 7.24. El origen es el centro del elipsoide. Si el centro del elipsoide isas el pun to C(x.,y., z.), su ecuación es da la feonaa

( x - X . ) ' ^ (y - y . ) ' ^ - ' . ^

a' b' c^

7JÜJ! HIPERBOLOIDE EUPTICO ( O O R C U L A R ) D E UNA Ht%A

Su ecuación es de la forma:

a* b* c' b' e* a* b* e' dEHÚe, a,b,e son n&mx* pt¡*iÜvos.

-414

M Plg. ae amatra la gráfi de

* A continuación j: ^^ b* c , - -- - - -

- ' ' ; ae t^sîbe algwMss pr¿piedades áe

y < - % - bj U [b, + > ** ' ' . . ^ % - & '

*

si a b' es sêrficie r^

Fig. 7.25 \'OlugíÓ3i fhtp^riâptáe c^rexlar ¿te t*

sí ar* es & t?2<x , las secciones sales al pl^no 3X3? áen elipses o circunferencias; según si

trasver

a* ^ b a

X. s secciane^ transvêrsal^ AÍ X2 o el pl ,-. son hipéxbolas. (En loe planea y *= 2?, x <a son dos racta^ que sa? cortan) . Esta mêrficie tas con r^sp^cto: a los e jes cccorî^cs, a los plar&s eccrdîadoB. y aJ. oxigati. R1 centro ¿ha eata sugerí ici.e es el eligen ¿ka coordenadas. Si al centro es € 'Yo?*.) ? &M ecuación <ga de la ícaana.

(x i a b c

H 3 P E K B O L O ! D E E U Q M Y C C (O CBRCULAR) D E D O S H O ^ A S

Su írgyüació'f': tas; de la forma

J b

^ ^ i (o J L 0 x' b' a b'

donde a^ b y c son nüwcs positivos

Bn la Fig, 7.26 se muestra la gráfica áe - — ^ 1 a' b' <?*

gue, aa describe algunas por (piedades da esta sigxaKÍicie.

c ía 1)

En lo gue si

/

X € < - eo, oe >

y € < - +

Si a* * c*, es una superficie de revolución fhtper&cletáe ctrcMÍ n* d^ dbg Aojaa).

Si a* y¿ b*, <EKS el ^lípttoo de dos hojas)

Las secciones transversales al pía no XZ son circunferencias o elSp -aes según si a* *= c* 6 a* y* c*.

(En el plano y - b, es un punto). Esta superficie es simétrica oon respecto a los ejes coordenados, a los pla-nos coordenados y al origen. El centro de esta superficie es el origen de coordenadas. Si el centro es

C(x.,y.,z.), su ecuación es de la fcorma:

Fig. 7.26

(x-x.)' +

O&asnpacMw. 6. Las tres superficies cuádricas (elipsoide, hiperboloide ^ una hoja y hiperboloide de dos hojas) también se dencminan contraías. BU general cualquier ecuación de la fonaa:

i ^ - ^ i (y-Yt*' ± J L I ^ A ' - 1, doê a,b y . s ^ a* b* e*

positivos representa a una csiádrica central ocn centro en C(x. ,y.,a^)

si lisas tres signos son positivos: elipsoide si dos signos son positivos 3? uno es negativo: hiperboloide de una ho-ja. si das signos san negativos y uno es positivo: hiperboloide de dos ho -

si loe tres signos son negativos: el conjunto vacio

-416-

7.5.4 PARABOMMDB EÜPHCO (O ORCULAR)

3u ecuación ea da la fonna

- - c: (o + — - cy, o ' b* a' b' a 2

- C X )

donde a y b aon númaroa pceitivoa y c 0 En la Fig. 7.27 ae HMestra la gráfica de

c < 0 el paraboloide ae extiende hacia la propiedades áe esta mêrficie son:

+ - cz, con c > 0, (ai

parte negativa del eje Z). las

X € < - + ** >

y € + Z € - >

(si c < 0, z € < - q]

Si a* * b*, es una as perficie de revolución (payuiwlctá* ctrculítrJ Si ^ b*, es el paraboloide ^tMp-

las secciones transversales al pía no XY son circunferencias o elipses según si a'-b* 6 a*y*b*. Fig. 7.27 (Di el plano z - 0, la traza es un punto). Esta superficie es simétrica con respecto al eje Z, al plano XZ y al plano

El vértice de esta superficie es el origen de coordenadas. Si el vértice es V(x<,,y.,z.), su ecuación ea da la forma

+ <Y-f.t? - c(z - a.) a' b^

Di los otros casos, la ecuación es de la fooaa.

(X - X.)' + (Z - z.)* a' b'

c(y - y.) ó (Y-y.)' ^ - -b

-409-

7*53 P A R A B O L O t D B M P E R B O L K X ) So ecuación ta de i* forma t

X- . cy, O a* b'

v* x' z' -I- - =L - ex (o — b' a' b^ a

)

donde a y b #on n( neros poeitivoe y c 0

Hn la figura 7.28 se nuestra la gráfica de b'

ÍM propiedad** de superficie M m

es, pon o > 0

X € < - 4

y € < - % >

^ >

las seccicnes transversales al plano XY eon hipérbolas (En el plano x * 0 son doe rectas que se cortan). 1** secciones transversales al plano XZ y al plano Z san parábolas .

Esta superficie es simétrica oon rea pecto al eje Z, al plano XZ ¡y al pía no YZ. Fig. 7.29

El' origen <3*? coordenadas es el pMftáo *tZ 2c id? montarJ de esta Si el pMito silla es Slx.,y.,z.), su ecuación es de la íonn*.

b * - - * - c(z - )

En lea otro* casos, la ecuación es da la fcasaa:

b b* ^

r i"'

-410-

7.5.6 C O M O EüFnCO (O CIRCULAR)

Su ecuación as de la fcona.

x a

(o - + JL. * JL. , 6 b ' b' c*

)

donde &, b, c son náneros positivos. En la figura 7.29, se muestra la gráfica

Esta superficie tiene las siguientes propiedades

x € <R f

y € * 6 R

Si ** b^, es una superficie de revoluciCn (cono circular)

Si a^ b^ es el cono elíptico las secciones transversales al plano XY son circunferencias o elipses se gCn si a* - b^, 6 a* y* b*. (En el plano z " 0 la traza es el origen de coordenadas). las seccicnes trans -versales al plabo X% y al plano YZ son hipérbolas (En los planas 3? (3 y x <3 son dos rectas que se cortan). Esta superficie ts simétrica con respecto: a los ejes cooidanadc-a, a los planos ccord-süadcs y ahí. origen. El origen da cccuñert.^^ es el vértice ¿ha esta superficie. Si el vértice

la ecuación es de la forma

a' b' c'

En los otros casos, la ecuación es de la forma

Fig. 7.29

(x - x.)^ . (z - zj a

{SR f o ^ - i-)' y - yJL' A

411-

Discutid? y gx;?ficar la ecuación - + ^ - c

I) Interseori^m los ejes cocrá^naoo?: El origen de coordenada.

JLJ i Trazas sobre les planos coordenados

i) Sobre el plano XY: la parábo

la + y - 0

i.i) Sabré el plano Y?; ln p-arábo

la -+ - 0 - * v

Sctúre al plano el

'de í-oordcnadas

11.1) Ceccic^^r r nralel s Xj' - porfíelas

Al 'j pro y'Z; íí'ir.jti.s, (p nra y ^ C!-

L.. IV) .x e y €. - o;,

V) Le rnr'íf-.ca d ; esta se la Fjg. 7.3C (paraLx

G.J. C* GÍ'-X.

^ B o s q a e j ar la. de A r ri

.2 b) {L 4 Y 3 í

.2 b) {L 4

l í 9 -i

a) y^ - 9x) Z - 0 - 0 ó z = 0

La gráfica de est^ T ecuación representa a un p:.urabc-loi- '- e2fpti.ee y

plano z - 0 ( yíg, . 7.31)

b) Si z < 0 + — Í6 9

^ 1 \eJ!ipooide)

Si ^ > 0 9

, y * a ^ 9

1 (hií)ertsoloidc de ui?: hoj^l

gráfica de €K?ta ecuación se nuestra en la Fig. 7.32.

-412-

Fig. 7.31 Mg. 7.32 7.6 COORDENADAS CIÍJNDMCAS Y COORDENADAS

ESFEMCAS L&s coordenadas de uso frecuentes en el espacio tridimensional, a-

136! de las rectangulares son las coordenadas cilindricas y las coordenadas

7.&1 COORDENADAS CKJNDMCAS

Si P es un punto del espacio tîdimensdofâl y ,z) son sus coordenadas rsotarûlaies, se defi-ne l^s oôrdenadas ci3í/fricas de de P la temo {r,e,z); (r, 9) sai i as coc^deiTadas polares dk3 la prq/ôci^ orcogonal de P so-bre el plano XY. ^Fig. 7.33)

FÍQ. 7.33

7.6.1.3 R E L A J O N EWYRE LAS COORDENADAS CAJRTESiANAS Y CMJM3MCAS

Si (x,v, z) (r, 9, z) son, respectivamente las coordenadas cart piaruís y ka.lindricas de un punto p € tpr*, entonces.

x = r coa 6 ' - r sen 6 *t J: gy 2- t**

-413-

MKMdn tg $ , r' - ^ y*

i - x

OtMemoádn 7. a) las coordpnadas cilindricas principales son: r > 0, (3 <6 6 < 2n b) Las ooordonadas cilindricas del origen son (0,6,z), para cualquier 6 c) la ecuación de un cilindro circular recto de radio a en aoardanadea

cartesianas es x^ + y^ - a*

transformando a coordenadas cilindricas ae obtiene r * a

i) Encontrar las ccordawwla* cartesianas del punto que tiene las coordenadas cilindricas dadas

a) (3, */2, 5) b) f7, 21, - g) c) (1,0,1)

ü ) Ricontrar un ocnjunto de coordenadas cilindricas del punte r^yas coarde nadas cartesianas sen:

a) (4,4,-2) b) (-3*<T, 3,6) , c) (1,1,1)

SolateMaL i) a) (0,3,5) b) (- 1 , , - 4) c) (1,0,1)

ii) a) (4*^ 1 , - 2 ) b) (6, *) ' c) ( ^ ^ , 1)

Hallar la acuaddn en conrdaMdas cilindricas de las sssmrficics

a) 2x + y - s - 0 b) x' + y' - 4s c) x^ - y' - 4s* - 4 - 0

a) 2 r coa 6 + r sen 6 - s - 0 b) r* - 4s

c) r'oos 20 4 4z* - 4 - 0

-414-

BSFEMCAS

w^cde^^^s esféricas de un punto P € tR*, se define como la ter nn (p, denda p representa Hs distancia del punto 3? al origen, (p gas madida del ángulo que faena

segmento con el rayo poaiti w êl eje Z, (al ángulo ^ se llame

de P, al ángulo ^ - ^

í:e llama latitud de P), y 6 es la r&dida del ángulo que forma el rayo positivo del eje* X y tal segmento 0$ donde Q es la proyección (ortogonal) de P sobre el plano XY (Fig. 7.34)

Fig. 7.34 7.&&1 RE-Ü^CION ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANAS Y ESFERICAS

Si (x,y,z) y (p,6,<&) son, rcspectivacoante, las coordenadas car-tesianas y esféricas de un punto P € R*, -entonces se tiera:

z " p oos % x <* p sen ? eos 0 y - p sen ? sen 0

a) Si se incluye los puntos del eje Z, las restricciones

p > & , 0 < 0 < 2 n ,

determinan una correspondencia biunívoca entre los puntes del espacio 3? las coordenadas esféricas (p, 6

b) Las coordenadas esféricas del origen sen (0,6,4)) donde 0, sen arbitra rios.

c) La ecuación cartesiana de la esfera con centro en el origen y radio a

x* + y* + z* - a*

t

-415-

al transfonrar a ooordpnñdas esféricas se reduce a p * a

i) Encontrar las coczderMáas esféricas de les puntee cuyas coordenadas rectangulares sen a) (2,2,2) y b) (0,0,-3)

ii) Encontrar las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordana das esféricas sen a) (3, n/2, w/4) y b) (2,- ir/3, */6)

SafMCtÓML

i) a) (2/T , I , arceos ii) a) (0, , 4 ^ 2 2

b) (3, 0, ir) b) ( y , - , í)

E ^ E R C I C ! O S

1. Encentrar coordenadas esféricas para les siguientes puntes especifica -dos por sus coordenadas rectangulares:

a) (4,2,-4) b) (l,-t^,4) c) (1,1,1) d) (¿,0,2) *

Hallar las coordenadas cilindricas para los puntos del ejercicio 1; 3. Hallar las coordenadas rectangulares paxa los pantos cuyas coordenadas

cilindricas sen:

a) (2, arccos , 0) b) (10, - y , 4) c) (1, , 2)

d) ( - 1 , - 1 , 1 )

4. Hallar las coordenadas* rectangulares para los puntos siguientes especi-ficado* en coordenadas esféricas.

*

a) (2, I , I ) b) (3, § , - I-) c) (1, < )

5. Hallar las coordenadas cilindricas para las siguientes superficies, da das en coordenadas rectangulares.

v* V*

a) (x 4 y)* = z - 5 b) x*z* - 25 - y*z* c ) — +JL-- l

d) ax + by + cz = x* + y* + z* 6. Las siguientes superficies están descritas es coordenada esféricas.

-424-

a) ctg <p * sen á + oos 6 b) p*cos - a* c) p - a sen 4) sen 0

d) p^sen sen 2e * a* 7. Hallar una ecuación en ooordMvwlAS esféricas, para la esfera de radio

3 centrada en (0,1,0) 8 Hallar una ecuación en coordenadas cilindricas para la esfera del ejer-

cido 7. En lea siguientes ejercicios, encentrar una ecuación en a) coordenadas cilindricas y b) una ecuad&i en coordenadas esféricas para la superfi-cie dada.

i) El p&rabola&de x* + y* *-4x ii) El hiperboloide xy - z

#

10. Describir la stperiicie z 2r (coordenadas cilindricas), y obtener una ecuación de la misma en coordenadas rectangulares.

11. HM lar una ecuación tan coordenadas rectangulares de la superficie

- 1 - (r - 2)*

7.7 A P M C A a O N B S

Calcular el volumen del sólido limitado por la superficie

z * x* + y* y el plano z * 4 SoittcMH,

z * x* + y* es un paraboloide circu lar y sus secciones transversales al plano XY son círculos Fig- 7.35 El área tita cada sección paralela

A(z) " 7TZ, z € [0,4]

4 r 4 V(S) A(z)dz - TTzdz

o ' 0

** 8n.u*

^ O

RLQ. 7.35

-417-

Detai?Rínar si la superficie ción, en caso afirnativo.

x + y^ el

- e 2z c es .1? rf Atli'

oarprendióa entre los planos 2! = 0 y Z <3C che la curva generadora.

1, y cal de dicha sq^íjci^

leular la longitud de ar

x^ + y^ 2z s e es una superficie de

revolución. El eje che revolución CMS el eje 3!, (x O, y *= <)) y una curva generadora es

A i

z e ^ 0.

para determinar el Area de la super ficie de revolución corprendida en-tre los planos z * 0 y z <= 1, (Fig. 7.36), basta considerar el arco de la curva y = e^, 2 e [0,1] en Fig. 7.36 el plano x=0 y hacerla girar alrededor del eje Z. (Fig. 7.37)

Luego, el á r e a de ésta superficie de revolución es

r

*(a SE dz 1 * / ^ 2z . ^ + e dz

La longitud de arco dé la curva ge-es:

Z

Fig. 7.37)

L 2z . e dz

arctg (e) (ese 0 + tg e sec 9)d0 (Sust. tg 9 e*)

n/1

[ln ( " ^ ) - ln(/y- 1) + -

-41B-

E;*mpf<? 20. Otü.cn3ax el velamen del sólido limitado por las superficies - - 36x - 82 + 4 = 0 , y - 1, y 4.

la superficie: - 9y' +

¡5*3 puade escribir cono:

8r + 4 - C

9

(Es un hipejdboioirw etTJjptico de una hoja cuyo centro es C(2 ,-1,0)).

La gráfica del aftí ido se muestra en la Fig.7.38.las aecdcnes transver-salas al plano-XX, da éste sólido sen las elipses. Fig. 7.36

4t " i donde ^ + y

luego las áreas de estas elipses, están dadas por

A(y) - (3/E) , - , y € [Ll,4]

luego, el vobanen dáL adiido es:

VÍS) -1

+ y*)dy 1237Í ^

E^wpío Calcular el volunen del sólido limitado par la superficie y* * z* - 2 sen*x - i! sen x - cos*x =* 0 y los planos x **

-w Y X - y .

la superficie y* ^ x* - 2 aen*x - 2 sen x - cos^x 0 ó

y * - (sen x + 1)

es una suqperficie de revolución. la secci.6n transvwMl al plano YZ del sólido son loa círculos

-419-

y* + z' = (san x + 1)^, x € (O, */2]

El área de la secciái transversal es: - n (sen x + 1)^. luego, el volumen del sólido

ir/2 v(p) T? (sen x + l)*dx

4

E;e?npio 22 Calcular til volunten del sólido limitado ¡picor las superficies

2z 4 ^ t * y 4

2z (paraboloide elíptico) 4 9

9 3* s:* (cara elíptico)

Hallay^ la intersección, se obtiene

z - 2x z ** 0 A z = 2

Las secciones transversales, al pla-no XY del sólido son anillos elípti-cos Fig. 7.33 cuyas áreas están da -das peor:

A(z) = 127TZ - 6TTZ x € [o,2] Fig. 7.39

Luego, el volumen del sólido es: 2

V(S) = J (127TS b 87TU*

- 6nz^dz

?npio 23. Un sólido está limitado por las superficies

S^: p = í ctg ese (en coordenadas esféricas )

Sí: z = 3 (en coordenadas cilindricas) Bosquejar el gráfico y calcular el voltxnen del sólido.

-430-

gOÍUCMhi UíMsndo laR fórmalas de transfoonacidn de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas: z *- p coa y - p sen % sen 6), x 3* p sen eos 13 se tiene

^ yí sen*9

De ta ocuacidn -che S se tiene 3p oos

3p* sen*# T p coa f

+ y*) (es la ecuación cartesiana de S - Paraboloide

circular). Por otro lado, la ecuación cartesiana de S^ es

IRS seccicnes transversales del s61i do, paralelas al plano XY sen círcu j

: z 3 (plano)

los de Sjrea*

Tt_S 3

Luego, el wl'jnBn del sólido 3 irz V(S) cu

0 3JL ^ 2

la gráfica se nuestra en la (Fig. 7.40) Fig. 7.40

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (0,-2,4) y es tangente al cilindro 2y ** x*. El Angulo que forma dicha

recta con el plano XY es de 30* (4 soluciones)

SolíicMt -421-

"i

A(x,y)

*x (0,-2)

y i g . 7 . 4 1

el punto de tangencia (Fig. 7.41 izquierda) desde arriba hacia abalo! Fin 741

En la vista hori-pen -

recta tangente y + ^

También m dx - x X

(a)

(6)

(Y) Por otro lado, A(x,y,2) pertenece al cilindro, entcncés 2y " x^

de (y) y (6) se obtiene y - 2, x i 2.

(Si se reemplaza m = i 2 en n se cbtiene las ecuaciones de los planee tan-gentes i^: y + 2 " 2x y it : y + 2 - - 2x)

1. Considerando el plano tangente 2x - y - 2 - 0

L € ?

P. € S PjP. (2,-1,0) - 0

2b a* 2a - b - 2

Ds estas dos ecuaciones se cbtiene a * 2 y b - 2 Po¡r la condición del problema, se tiene:

sen 30" - (0,0,1)) wp3h!

430-

5 * te y pero & - 2 y b + (b + 2)' + (c - 4)^

1

+ (c -

Uo^go, las eouacioMM! da las rectas tangentes son:

P - (0,-2,4) t t a

í. : O - (0,-2,4) - ), X € íR

2) Considerando el plano tcnigante : 2x + y + 3 <c 0, ce dbtiencai las so liciones:

A 5

P iC,-2,4) t(-l,2, 2.) , t €CR

Q (0,-2,4) + X €CR

(Loo puntos da tangencia.scc : (-2,2,4 i

B y B R C I C í O S

I En cada uno de los siguientes ejercicios, discutir y graficar la ecua ciAi dada.

a) x* + 4y3 + - 36 b) x' 4y* + 4s . o

c) x^ - y* + 4z^ * 4 d) x^ - y^ - 4:* - 4

e) + 8y + z - 0 f) x' + - z*

g) 25y^ - x* - 9z* - 0 h) x^ + - 4z* - 4z + 1

i) x* - y* - 4z* * 4 j) x' y^ - 1 + z

k) 16x^ - 9y - z^ - 144 - 0 y' + 16*' - 64 - 4z'

-423-

t s . cada uno de los; ejercicios calcular el volumen del sólido limitado par las superficies.

x^ v^ z 4 a' b' c^ ^

2) 8z = x^ + 4y^ , z = 1 R.

2 2 3) -y- - z^ = 1 , z - - 1, 3 = 2 R. 3671

4) z = x^ + , x^ + 2y^ + z = 6 (dos soluciones)

y^ v^ z x^ v^ x^ 5) 4- - T- - 1 , — + -=5- -i- — = 1 (tres soluciones) j 4 6 4 9

6) (z - 2)' = , z = 0 R. j ^ 3

7) Z l - ^ M ^ 1 , - T ^ 299 ' ^ o i ¿r -*- Z - R. - g 16 '" ^ " 3 R. — - rr

.IH. Hallan* la ecuación de la recta L que pasa por p^ ((), --7,3) es tan -gente a la superficie cilindrica y = 5 - (x - 4) . La recta L corta

a la recta P = (1,1,1) + t(0,2,-3), t ÍR. (dos soluciones)

L': 0 - (0,-7,3) + t(l,12,-8), t e =R

L": (0,-7,3) + X (1,4,4), X € ÍR

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