-
1
Funciones complejas
Sea S un conjunto de nmeros complejos z = x+iy.
Una funcin f definida sobre S es una regla que asigna a
cada z en S un nmero complejo w llamado valor de f en z.
w = f(z) z es una variable compleja.
S es el dominio de definicin de f.
El conjunto de valores de la funcin f se llama rango de f.
Como w es complejo (w = u+i v; con u y v reales) podemos
escribir:
w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y)
Una funcin compleja f(z) es equivalente a un par de funciones
reales u(x,y) y v(x,y), cada una dependiente de dos variables
reales x e y.
-
2
),( yxu
),( yxv
Ejemplos: )(zfw
)2()(
)(
)(
22
2
2
xyiyx
iyx
zzf
),(),( yxviyxuw
Funcin de
variable
compleja
),( yxu ),( yxv
)62()26(
)(6)(2
62)(
yxiyx
yixyixi
zizzf
)(zf
iz 23
i
i
yxiyxzf
614
)2632()2236(
)62()26()(
Cul es el valor de
en ?
Parte real Parte imaginaria
Cules son los
dominios de
definicin de estas
funciones?
-
3
Ejemplos:
Polinomios de grado n:
donde c0, c1...cn son constantes complejas y cn es distinto
de
cero.
Funciones racionales (cocientes de polinomios):
Si en f(z) = u+iv, v = v(x,y) = 0, entonces f es una funcin de
variable compleja con valores reales. P.ej.: f(z)= |z|2 = x2 + y2
.
n
nzczczczczcczP 4
4
3
3
2
210)(
)(
)(
zQ
zP
-
4
-
5
x
)(zfw
2)( zzf y
i1
i2
1
Funciones de variable compleja
Cmo representarlas geomtricamente?
Parte imaginaria
1
Asignacin Parte real
Imagen
Preimagen. Cul es la otra?
1)1()1( 2 f
iiif 2)1()1( 2
-
6
Representacin mediante dos planos: z y w
yixz
iz 13
iz 212 iz 21
viuw
iw 431
iw 432
14 z
14 w
iw 23
x
yPlano z
2)( zzf
u
vPlano w
Cmo transforman ? zf(z)(c) iz, f(z)(b) c, zf(z)(a)
-
7
-
8
Transformaciones mediante funciones lineales
Existen muchas situaciones prcticas donde podemos
simplificar
un problema mediante una transformacin en el plano complejo.
),(),(
),(con)(
21
21
cycxwyxz
cccczzfw
Translacin:
)|,|(),(
)]sin()[cos(||)sin(cos
)sin(cos||con)(
brr
ibrirz
ibbbzzfw
Rotacin alrededor del origen y alargamiento/contraccin:
-
9
Funciones lineales
cbzzfw )( Translacin
Rotacin y alargamiento/contraccin
Ejemplo: )1()( iizzfwEsta funcin transforma el cuadrado A en el
cuadrado B.
-
10
2)( zzf
x
y
u
v
)]2sin()2[cos(22 irzwz
La funcin/transformacin
Es biyectiva la transformacin?
Plano z Plano w
-
11
2)( zzf
x
y
u
v
)]2sin()2[cos(22 irzwz
Cmo puede ser? Si a cada punto de la semicircunferencia del
plano z le corresponde un solo punto del plano w, cmo media
circunferencia se transforma en una entera? No hay el doble
de
puntos en una circunferencia que en media?
Plano z Plano w
-
12
0),( yxF
)()()( tiytxtzz
),(),()( yxivyxuzfw
0),( vu
Curva en el plano z
Transformacin f(z)
Curva en el plano w
Parametrizamos la curva:
)](),([)(
)](),([)(
tytxvtv
tytxutu
Obtenemos la transformacin
de la parametrizacin:
Y de aqu la curva transformada:
En general
-
13
En qu curva se transforma una circunferencia de radio
unidad centrado en el origen a travs de la funcin f(z)=z2?
)2()(
)()(
22
22
xyiyx
iyxzzf
01),( 22 yxyxF
ttyttxiyxz
ttittzz
sin)(,cos)(;
)2,0[,sincos)(
)2sin(sincos2)(
)2cos()(sin)(cos)( 22
ttttv
ttttu
01),( 22 vuvu
La imagen traza una circunferencia de radio unidad centrada en
el
origen dando dos vueltas.
Circunferencia de radio unidad
centrada en el origen:
Parametrizamos.
Todos los puntos de la cincurferencia
pueden expresarse como:
La transformacin es:
xyyxv
yxyxu
2),(
),( 22
En componentes:
Usando la parametrizacin:
Que nos proporciona la curva:
-
14
]1,0[;)1()( 2 zzzf
-
15
Encuentra la imagen de la lnea Re(z) = 1 bajo la
transformacin f(z) = z2.
Re(z) = x = 1,
yxyyxv
yyxyxu
iyxzzf
22) ,(
1) ,(
)()(
222
22
4/1 entonces ,2/ 2vuvy
-
16
)2,(),(
2),(),(
22
22
xyyxyx
xyyxvyxyxu
Observa que puesto
que la transformacin
w = f(z) = z2 es:
Los puntos z sobre la hiprbola x2 y2 = k se transforman en
lineas u = k.
Los puntos z sobre la hiprbola 2xy = k se transforman en lineas
v = k.
-
17
f(z) = z 2
Esquema de color dependiente del valor real
Dominio Rango
http://winnie.fit.edu/~gabdo/function.html
-
18
Lmite de una funcin compleja
Una funcin f(z) se dice que tiene lmite w0 cuando z tiende a z0,
y
se escribe:
u
si f est definida en un entorno de z0 (a excepcin tal vez de z0
mismo) y si:
real > 0, un real > 0: z z0 , y |z - z0| < , entonces
|f(z) - w0| < .
0)(lim0
wzfzz
x
z0
y
z
w0
v
f(z)
En general =(, z0)
Si el lmite existe,
es nico.
Es decir: si dado un entorno de radio alrededor del lmite,
podemos
determinar un entorno de radio (, z0) alrededor de z0.
-
19
Observemos que como en el caso de variable real, la
definicin
de lmite no nos dice cmo encontrarlo.
Demostremos que: iiziz
2)(lim
|||2)(||)(|
||||
)(
0
0
iziizwzf
izzz
izzf
Utilizando la notacin anterior, tenemos en este caso:
||0 iz
||0 iz
Tomando = ,
por ejemplo,
siempre se
cumple.
Ejercicio: Demostrar que si el lmite existe,
es nico. (Nota: Suponer dos valores distintos
para el lmite, aplicar definiciones y demostrar entonces
que ambos valores han de ser, a la fuerza, el mismo).
-
20
Cul es el equivalente a lmite por la derecha y por la
izquierda
de variable real en el caso de variable compleja?
En el plano complejo podemos acercarnos al lmite a travs de
una infinidad de trayectorias. Por ejemplo:
zzf Arg)(
x
y
0z
1C
2CToda vecindad de z0 contiene valores de Arg z en el
segundo
cuadrante arbitrariamente cerca
de , pero tambin del tercer
cuadrante arbitrariamente cerca
de . Acercndonos por C1 y por
C2 obtenemos dos valores distintos
del lmite.
zArg
-
21
Ejemplo
yx
yyi
yx
xxzf
)()(
22
Esta funcin no est definida para z = x+iy = 0, (x = 0, y =
0).
Veamos que no existe el lmite de la funcin cuando z tiende a
0.
(1) Nos aproximamos al origen a lo largo del eje y. Tomando
x=0 en f(z), tenemos:
)1()(
)(2
0
yiy
yyizf x
Que se aproxima a i,
a medida que nos
acercamos al origen.
(2) Tomando y=0 nos aproximamos a lo largo del eje x:
1)(2
0
x
x
xxzf
y
Que tiende a 1.
Como el lmite por ambos
caminos no coincide, el
lmite no existe.
-
22
Ejercicios:
(1) Sean: 000000 y),,(),()( ivuwiyxzyxviyxuzf
Entonces:
0),(),(
0),(),(
0
),(limy),(lim
sii)(lim
0000
0
vyxvuyxu
wzf
yxyxyxyx
zz
Nota: Utilizar la definicin de lmite y la desigualdad:
(2) Demostrar que si
|||)(|lim)(lim 0000
wzfwzfzzzz
|)(||||)(| 00 wzfwzf
-
23
Propiedades de los lmites Sean w0 y w'0 los lmites, cuando z
tiende a z0, de f(z) y g(z) respectivamente. Entonces:
En particular si f(z) = g(z) = z :
y por induccin: Como adems:
Entonces, para un polinomio P(z) = a0+a1z+...+anzn,
tendremos:
0si)(
)(lim
)]()([lim)]()([lim
'
0'
0
0
'
00
'
00
0
00
ww
w
zg
zf
wwzgzfwwzgzf
zz
zzzz
2
0
2
0
lim wzzz
nn
zzwz 0
0
lim
cczz
0
lim
)()(lim 00
zPzPzz
Nota: Es fcil demostrar estas
propiedades a partir de u(x,y) y v(x,y).
-
24
)(lim)(lim00
zfzfzzzz
Ejercicio: Demostrar que
-
25
Punto del infinito
-
26
Punto del infinito El nmero complejo infinito o punto del
infinito,
denotado por , no posee signo ni argumento.
Su mdulo es mayor que |z| para todo z complejo.
Es un punto del plano complejo? No es localizable,
pero s alcanzable a travs de cualquier trayectoria
en la que |z| sea creciente.
Se opera como en los reales. Por ejemlo:
z / = 0, z/0 = , etc.
Cuando el plano complejo incluye al punto del infinito ,
hablamos de plano complejo extendido.
-
27
Ejemplo: Sea 2
1)(
z
zzf
Determina la imagen para z = .
11
1
21
11
lim2
1lim)(lim
z
z
z
zzf
zzz
Cuando z tiende a infinito obtenemos f(z) = 1.
Nota. Una forma alternativa de encontrar el valor en el
infinito
es encontrar la imagen de 1/z para z =0.
121
1lim
21
11
lim1
lim000
z
z
z
z
zf
zzz
-
28
01
1lim)(lim
1lim)(lim
0)(
1lim)(lim
0
00
0
00
zf
zf
wz
fwzf
zfzf
zz
zz
zzzz
Algunas relaciones tiles:
-
29
Sol.: a) 4, b) , c) , d) 0, e) No existe, f) 6i.
Sol.: No existe.
-
30
Funciones complejas continuas
Decimos que f(z) es continua
en una regin si es continua
en todo punto de la regin.
Una funcin f(z) se dice que es continua en z = z0 si f(z0)
est definida en z0 y
)()(lim 00
zfzfzz
Ejercicio:Las sumas, diferencias y productos de funciones
continuas son continuas. El cociente de dos funciones
continuas es continuo salvo en los puntos en que se anula el
denominador. La composicin de funciones continuas es
continua. Sea f(z) = u(x,y) + iv(x,y), entonces u y v sern
continuas en todo punto en el que f(z) lo sea. Y a la
inversa:
f(z) ser continua en todo punto en que u(x,y) y v(x,y) lo
sean.
(Nota: si en el lmite = (, z0)
no depende de z0, la continuidad
es uniforme).
-
31
Ejemplo: Sea:
izi
iziz
zzf
,3
,1
)(
2
Es continua f(z) en z = i? (1) f(i) = 3i est definido.
(2) Calculemos el lmite de la funcin cuando z tiende a i:
iiziz
iziz
iz
z
iziziz2)(lim
))((lim
1lim
2
El lmite existe pero no coincide con el valor de la funcin:
la funcin no es continua.
-
32
Funciones continuas
Ejercicios:
(1) Sea f(z) = u(x,y) + iv(x,y), entonces u y v sern
continuas en todo punto en el que f(z) lo sea.
(2) Y a la inversa: f(z) ser continua en todo punto en que
u(x,y) y v(x,y) lo sean.
Nota: Recuerda que, u(x,y) ser continua en (a,b) sii
lim(x,y)(a,b) u(x,y) = u(a,b).
