mma10_5_recdom

Teste de avaliao 5 (90 min)

1. Indique, justificando, quais das correspondncias no representam funes.

(I) (II)

(III) (IV)

2. Considere a funo g definida pelo diagrama de setas da figura.

2.1. Indique o domnio e o contradomnio da funo g.

2.2. Calcule .

2.3. Indique x, tal que .

3. Considere os pares ordenados , onde a, b . Determine o valor real de a e de b de modo que os pares ordenados sejam iguais.

Ficha de reviso 5

4. Considere a funo de A em B, sendo .

O grfico da funo f . 4.1. Represente a funo f por um diagrama de setas. 4.2. Represente a funo f por um grfico cartesiano.

5. Considere a funo h tal que:

sendo . 5.1. Determine o contradomnio da funo h. 5.2. Represente a funo h por um grfico.

6. Considere, definidas em , as funes afins f , g, h e j, tais que:

6.1. Identifique as funes constantes e as funes lineares.

6.2. Admita que os grficos cartesianos das funes g e j esto representados no mesmo referencial cartesiano. Determine o valor de x tal que e interprete geometricamente o valor obtido.

7. Indique, justificando, o valor lgico de cada uma das proposies.

7.1. p : A funo f definida por uma funo de proporcionalidade direta. 7.2. q : Numa funo, objetos diferentes podem corresponder mesma imagem.

7.3. r : A funo g definida por uma funo de proporcionalidade inversa cuja constante de proporcionalidade .

7.4. , sendo .Ficha de reviso 5

Teste 90 minutosP

Ficha de reviso 5

1. Considere os conjuntos .

1.1. O par ordenado pertence a Justifique.

1.2. Represente em extenso .

1.3. Indique um elemento de e determine o cardinal de .

2. Considere as funes reais de varivel real f e g, definidas por e . Caracterize cada uma das funes.Questo-aula 1

Item de seleo

1. Na figura est representada, num referencial ortonormado, parte do grfico de uma funo g definida em . Em qual das figuras seguintes poder estar parte da representao grfica da funo ?(A) (B)(C) (D)Item de construo2. Considere as funes reais de varivel real, f e g, definidas por:

2.1. Determine o domnio de cada uma das funes f e g. 2.2. Mostre que a funo f injetiva.

2.3. Calcule . Apresente o valor pedido com denominador racional.Miniteste 1 (20 min)

Teste 90 minutosP

Teste de avaliao 1

1. Considere a funo definida, em , por e o respetivo grfico representado num plano munido de um referencial cartesiano. 1.1. Mostre que f uma funo mpar.

1.2. Mostre que os pontos do grfico de f de abcissas respetivamente iguais a e a so simtricos relativamente origem do referencial.

1.3. Seja um ponto do grfico de f . 1.3.1. Indique as coordenadas do ponto Q do grfico de f de abcissa a. 1.3.2. Prove que o ponto mdio do segmento de reta [PQ] o ponto O, origem do referencial.

1.3.3. Admita que .

Determine o valor de .

2. Considere uma funo g definida em . Na figura est representado, num plano munido de um referencial cartesiano, parte do grfico da funo g. Complete o grfico sabendo que g uma funo par.

Miniteste 2 (20 min)

Item de seleo1. Seja f uma funo real de varivel real, tal que:

f uma funo injetiva; ;

a funo inversa de f; f uma funo mpar.

O valor de :

(A) (B) (C) (D)

Item de construo

2. Na figura est representado, num plano munido de um referencial cartesiano, o grfico da funo f definida em onde foram assinalados os pontos A e B pertencentes ao grfico de f.

2.1. Indique o contradomnio da funo f. 2.2. Defina analiticamente o segmento de reta [AB]. 2.3. A funo f tem exatamente dois zeros, um negativo e outro positivo. Indique o zero positivo e determine o zero negativo.

2.4. Considere a funo g tal que, para todo o . 2.4.1. Explique como pode obter o grfico da funo g a partir do grfico da funo f.

2.4.2. Seja o contradomnio da funo g. Determine o valor real de a e de b.

2.5. Considere a funo h, tal que, para todo o . Indique os valores reais de b de modo que a funo h no tenha zeros.Questo-aula 2

Questo-aula 1.7.

SoluesQuesto-aula 2

1. Na figura est representado, num referencial ortonormado, o grfico da funo f. 1.1. Indique o domnio e o contradomnio da funo f. 1.2. Determine, analiticamente, o zero da funo f. 1.3. Indique um intervalo onde a funo f seja injetiva. 1.4. Construa uma tabela de variao para a funo f. 1.5. Estude a funo f quanto monotonia. 1.6. Indique, se existirem, os extremos absolutos, os extremos relativos, os maximizantes e os minimizantes da funo g.

Questo-aula 3

Item de seleo

1. Relativamente a uma funo real de varivel real f, sabe-se que no o mnimo, nem relativo nem absoluto.Qual dos grficos seguintes poder ser o da funo f?(A) (B)(C)(D)Itens de construo

2. Considere a funo real de varivel real, definida em , por . Prove, recorrendo a processos exclusivamente analticos, que a funo f decrescente.

3. Esboce o grfico de uma funo f tal que:

tenha domnio ; o contradomnio seja ;

seja estritamente crescente em .Miniteste 3 (20 min)

Teste 90 minutosP

Teste de avaliao 1

1. Considere a funo f, de domnio , definida por .

1.1. Escreva na forma , onde e . 1.2. Indique: as coordenadas do vrtice da parbola que define o grfico da funo f; uma equao do eixo de simetria do grfico da funo f; o contradomnio da funo f.

1.3. Resolva, em , a condio .Apresente o conjunto-soluo usando a notao de intervalos de nmeros reais. 1.4. Relativamente ao grfico de f sabe-se que A e B so os pontos onde o grfico interseta o eixo das abcissas (a abcissa de A menor que a abcissa de B) e C o ponto de interseo do grfico com o eixo das ordenadas. Determine a rea do tringulo [ABC].

2. Considere a funo g, de domnio , definida por . Considere, ainda, a funo h, tambm de domnio , definida por . Determine o valor real de a e de b de modo que o grfico da funo h e tenha o vrtice na origem do referencial quando representado num plano munido de um referencial cartesiano.

Questo-aula 4

Item de seleo

1. Seja f uma funo quadrtica, definida em , e cujo contradomnio .

Seja g a funo definida em por . Qual o contradomnio da funo g?

(A) (B) (C) (D)

Item de construo

2. Para cada valor de c a expresso define uma funo f. 2.1. Determine para que valores reais de c:

2.1.1. a equao impossvel em ;

2.1.2. o grfico de f passa no ponto de coordenadas . 2.2. Indique, justificando, o valor lgico de cada uma das proposies.

2.2.1. 2.2.2. Se , ento .

2.2.3. Se , o contradomnio de f .Miniteste 4 (20 min)

Teste 90 minutosP

Teste de avaliao 1

1. De uma funo quadrtica f, de domnio , sabe-se que . 1.1. Indique o contradomnio de cada uma das funes.

1.1.1.

1.1.2.

1.2. Determine os valores reais para os quais a funo j, definida por , no tem zeros.

2. Considere a funo f, definida em , por .

2.1. Determine os valores de x para os quais . 2.2. Determine os intervalos em que f positiva e os intervalos em que f no positiva.

Questo-aula 5

Item de seleo

1. Considere a funo g, de domnio , definida por . Qual o contradomnio da funo g?

(A) (B) (C) (D)

Item de construo

2. Considere a funo f, de domnio , definida por .

2.1. Mostre que

2.2. Escreva na forma , onde e . 2.3. Estude a funo f quanto ao sinal.


1. Considere a funo h definida em por 1.1. Esboce o grfico da funo h.

1.2. Calcule o valor exato de .

1.3. Resolva, em , a condio . Apresente o conjunto-soluo usando a notao de intervalos de nmeros reais.

2. Represente sob a forma de intervalos ou unies de intervalos os conjuntos-soluo das condies seguintes:

2.1. 2.2. 2.3.

Questo-aula 6

Item de seleo

1. Considere uma funo f de domnio e contradomnio . Seja h a funo de domnio definida por . Qual o contradomnio da funo h?

(A) (B) (C) (D)

Item de construo

2. Considere a funo g definida em por . 2.1. Defina, analiticamente, a funo g, sem utilizar mdulos.

2.2. Represente sob a forma de intervalos ou unies de intervalos os conjuntos-soluo das seguintes condies em :

2.2.1. 2.2.2. 2.3. Determine, analiticamente, os zeros da funo g. 2.4. Indique o contradomnio da funo g.Miniteste 6 (20 min)

Teste 90 minutosP

Teste de avaliao 1

1. Sejam f e g duas funes definidas em por e .

1.1. Seja h a funo de domnio definida por .

Determine .

1.2. Resolva, em , a condio .

2. Represente sob a forma de intervalos ou unies de intervalos os conjunto-soluo das seguintes condies em .

2.1. 2.2.

Questo-aula 7

Item de seleo

1. Na figura est representada, num plano munido de um referencial ortonormado, parte do grfico da fno f de domnio .

Considere, ainda, a funo h, definida em por . Qual das seguintes equaes tem exatamente trs solues?

(A) (B) (C) (D)

Item de construo

2. Na figura est representada, num plano munido de um referencial ortonormado, parte do grfico de uma funo f de domnio .

Considere, ainda, a funo g, definida em por .

2.1. Mostre que a funo f pode ser definida por .

2.2. Resolva a condio .

2.3. Mostre que .Miniteste 7 (20 min)

1. Considere as funes f e g definidas, respetivamente, por em e em . 1.1. Esboce o grfico das funes f e g. 1.2. Determine os zeros de f.

1.3. Utilizando a calculadora grfica, determine valores aproximados s dcimas das solues da equao .

2. Resolva as seguintes equaes, simplificando tanto quanto possvel as expresses que representam as respetivas solues.

2.1. 2.2. 2.3.

Questo-aula 8

Item de seleo

1. Considere a funo real de varivel real g, definida em por . Qual o contradomnio da funo g?

(A) (B) (C) (D)

Item de construo

2. Considere as funes f e g definidas por . 2.1. Determine o domnio de cada uma das funes f e g.

2.2. Determine o domnio da funo e determine os zeros de h.

2.3. Determine . Apresente o resultado com denominador racional.


1. Considere a funo h de domnio definida por , sendo b uma constante real. 1.1. Justifique que a funo h bijetiva.

1.2. Caracterize a funo , inversa da funo h.

2. Na figura est representada, num referencial ortonormado, parte do grfico de uma funo f.

Seja a funo inversa de f.

2.1. Calcule o valor exato de . Apresente o valor pedido com denominador racional.

2.2. Esboce o grfico da funo .

3. Na figura est representada num plano munido de um referencial cartesiano a funo g definida em .

3.1. Esboce o grfico da funo h definida por .

3.2. Considere a funo f tal que, para todo o , . Indique os valores reais de a e de b, tais que: 3.2.1. a funo f tenha exatamente um zero;

3.2.2. o contradomnio da funo f seja, ; 3.2.3. a funo f seja par.

4. O grfico de uma funo afim f interseta o eixo Ox em e o eixo Oy no ponto de ordenada 4. 4.1. Determine: 4.1.1. a forma cannica de f;

4.1.2. os zeros da funo g definida por ;

4.1.3. a ordenada do ponto de interseo do eixo Oy com o grfico da funo h definida por .

4.2. Esboce o grfico da funo j definida por .

5. Relativamente a uma funo f, de domnio , sabe-se que:

f estritamente crescente em ; f par. 5.1. Faa um esboo de uma funo f compatvel com as informaes dadas. 5.2. Relativamente funo f, qual das seguintes afirmaes verdadeira?

(A) O contradomnio de f .(B) f estritamente crescente em . (C) f injetiva.(D) f no tem zeros.

6. Considere uma funo h definida em , tal que a sua tabela de variao :

51

2

0

4

6.1. Esboce o grfico de uma funo h que seja compatvel com as informaes contidas na tabela. 6.2. Indique o conjunto-soluo de cada uma das condies.

6.2.1. 6.2.2.

7. Represente sob a forma de intervalos ou unies de intervalos os conjuntos-soluo das seguintes condies em :

7.1. 7.2.

7.3. 7.4.

7.5. 7.6. 8. Considere a funo g tal que:

8.1. Defina, analiticamente, a funo g sem utilizar mdulos. 8.2. Indique, justificando, o valor lgico de cada uma das proposies. 8.2.1. A funo g tem dois zeros reais distintos.

8.2.2. O contradomnio da funo g . 8.2.3. A funo g tem trs extremos.

8.3. Resolva a condio . Apresente o conjunto-soluo usando a notao de intervalos de nmeros reais.

9. Na figura est representado um retngulo [ABCD].

Este retngulo o esboo de um azulejo de 30 cm de comprimento por 18 cm de largura eque ser constitudo por uma parte colorida e por uma parte branca.A parte colorida formada por quatro quadrados iguais e um retngulo, tal como a figura sugere.Cada quadrado tem um vrtice num vrtice do retngulo [ABCD].

Seja x o lado de cada um destes quadrados, medido em cm .

9.1. Mostre que a rea, em cm2, da parte colorida do azulejo dada, em funo de x, por:

9.2. Determine o valor de x para o qual a rea da parte colorida do azulejo mnima e calcule essa rea. 9.3. Determine os valores de x para os quais a rea da parte colorida do azulejo inferior rea da parte branca do azulejo.

10. Considere as funes f e g definidas por:

10.1. Determine o domnio de cada uma das funes f e g.

10.2. Determine o domnio da funo e determine os zeros de h.

10.3. Mostre que .

11. Na figuras esto representadas duas funes f e g.

11.1. Indique o domnio e o contradomnio de cada uma das funes.

11.2. Indique o domnio da funo e calcule . 11.3. Defina analiticamente cada uma das funes.

11.4. Indique o domnio de e calcule .

12. Considere a funo real de varivel real f, definida em , por:

( a funo inversa da funo f .)

12.1. Calcule .

12.2. Caracterize a funo .

Ficha de preparao para o teste de avaliao 5

Teste 90 minutosP

Ficha de preparao para o teste de avaliao 5

1. Seja f a funo, de domnio , definida por .

Qual o valor de ( a funo inversa de f )? (A) 18(B) 2 (C) 16(D) 4

2. Seja h a funo, de domnio , definida por . Seja g a funo de domnio definida por . Para um certo nmero real a, tem-se que .Qual o valor de a?

(A) (B) (C) (D)

3. Dado um plano munido de referencial ortogonal, a translao do plano que ao ponto associa o ponto designa-se por:

(A) contrao vertical de coeficiente a se ;

(B) dilatao vertical de coeficiente a se ;

(C) contrao horizontal de coeficiente a se ;

(D) dilatao horizontal de coeficiente a se .

4. Na figura est representado, num plano munido de um referencial cartesiano, o grfico da funo afim f.

Considere a funo h, tal que, para todo , .

O conjunto-soluo da condio :

(A) (B) (C) (D)

5. Considere a funo j definida por:

Qual das seguintes afirmaes verdadeira?

(A) O contradomnio da funo j . (B) A funo j par.

(C) A funo j tem um mnimo absoluto para . (D) A funo j no par nem mpar.


Teste 90 minutosP


6. De uma funo quadrtica f, de domnio , sabe-se que 2 e 6 so os seus zeros. Qual dos seguintes pontos no pode pertencer ao grfico da funo f ?

(A) (B) (C) (D)

7. Na figura est representada, num plano munido de um referencial ortonormado, parte do grfico da funo f de domnio , definida por .

Qual das seguintes afirmaes verdadeira?

(A) (B)

(C) (D)

8. Considere as funes h e j definidas, respetivamente, por em e .

Admita que .

Qual o valor de ?

(A)(B)(C) (D)

9. Considere a funo afim f que, para dados valores reais e b, definida por .Sabe-se, fixado um referencial ortonormado do plano, que:

o ponto pertence ao grfico de f;

o ponto pertence ao grfico de f.

Caracterize a funo , funo inversa de f.

10. Considere a funo f definida em por . Estude a funo f quanto paridade.

11. Na figura est representado, num referencial ortonormado, o grfico da funo g.

11.1. Indique o domnio e o contradomnio da funo g. 11.2. Construa uma tabela de variao para a funo g.

11.3. Considere a funo f definida por . 11.3.1. Esboce o grfico da funo f. 11.3.2. Estude a funo f quanto monotonia.

12. Considere a funo h definida em por . 12.1. Determine o contradomnio da funo h. 12.2. Determine os zeros da funo h.

12.3. Resolva, em , a condio . Apresente o conjunto-soluo usando a notao de intervalos de nmeros reais.

13. Resolva as seguintes equaes, simplificando tanto quanto possvel as expresses que representam as respetivas solues.

13.1. 13.2.

14. Na figura est representada, num referencial ortonormado, parte do grfico da funo polinomial, do terceiro grau, g, definida em .

14.1. Determine o domnio da funo h tal que . 14.2. Prove que a funo g pode ser definida por:

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