Mocniny a odmocniny

I. Zápis a výpočet mocniny

1.1 Zápis mocniny

1. Zapíš v tvare mocniny:

a) 5 · 5 · 5 =

b) 9 · 9 · 9 · 9 · 9 =

c) 0 · 0 · 0 · 0 =

d) 8 · 7 · 8 · 7 · 8 =

e) 2 · 3 · 5 · 4 · 3 · 5 · 5 · 4 · 2 =

f) 2 · 2 + 7 · 7 =

g) 11 · 11 – 6 · 6 =

h) (– 2) · (– 2) · (– 2) =

i) (– 3) · (– 3) · (– 3) · (– 3) =

j) 4,9 · 4,9 · 4,9 · 4,9 · 4,9 · 4,9 =

k) ½ · ½ · ½ · ½ · ½ · ½ · ½ =

l) a · a · a · a · a · a · a · a =

m) (– p) · (– p) · (– p) · (– p) =

n) (– x) · (– x) · x · x · x · x · (– x) =

2. Zapíš ako súčin rovnakých činiteľov:

a) 22 =

b) 94 =

c) 85 =

d) 32 · 53 =

e) 16 · 61 · 32 =

f) 125 – 76 =

g) (– 2,3)4 =

h) (¼)3 =

i) f7 =

j) (– a)3 =

k) (a + b)4 =

l) (m – n)3 =

3. Zapíš matematicky:

a) tretia mocnina čísla 9

b) štvrtá mocnina čísla – 8

c) ôsma mocnina čísla a

d) piata mocnina čísla – m

e) 18 na druhú

f) 2,7 na siedmu

g) ¾ na desiatu

h) – a na deviatu

i) (k + l) na šiestu

1.2 Výpočet druhej mocniny

1. Vypočítaj spamäti:

a) 42 =

b) 402 =

c) 4002 =

d) 4 0002 =

e) 112 =

f) 1102 =

g) 1 1002

h) 11 0002 =

i) 72 =

j) 7 0002 =

k) 70 0002 =

l) 7 000 0002 =

Pri druhej mocnine sa počet núl .................................................................... .

2. Vypočítaj spamäti:

a) 0,32 =

b) 0,032 =

c) 0,0032 =

d) 0,122 =

e) 0,001 22 =

f) 0,0122 =

g) 1,62 =

h) 1,42 =

i) 0,0192 =

j) 1,82 =

k) 0,000 52 =

l) 0,0172 =

Pri druhej mocnine sa počet desatinných miest .................................................... .

3. Číslo 4,12 je menšie ako 19 a číslo 5,12 je väčšie ako 19. Nájdi číslo s dvoma

desatinnými miestami, ktorého druhá mocnina je čo najbližšie k číslu 19.

4. Zamysli sa, či bude výsledok kladný alebo záporný. Vypočítaj spamäti:

a) (– 2)2 =

b) – 22 =

c) – 12 =

d) (– 1)2 =

e) – 152 =

f) (– 15)2 =

g) (– 1,7)2 =

h) – 1,72 =

112 = 121

122 = 144

132 = 169

142 = 196

152 = 225

162 = 256

172 = 289

182 = 324

192 = 361

202 = 400

5. Vypočítaj:

a) (1

2)

2

=

b) (15

7)

2

=

c) (3

4)

2

=

d) 32

5 =

e) 17

122 =

f) − (−9

2)

2

=

g) −42

3 =

h) (22

7)

2

=

i) (−13

20)

2

=

j) − (33

5)

2

=

6. Odhadni druhú mocninu, potom vypočítaj na kalkulačke. Porovnávaj svoj odhad.

číslo odhad presný

výsledok

číslo odhad

presný

výsledok

12,4 99

36 0,05

-1,9 18,6

55 0,9

7. Usporiadaj kartičky vzostupne:

8. Vypočítaj príklady v ľavom a pravom stĺpci a potom ich porovnaj:

a) (2 · 3)2 =

b) (– 4 · 5)2 =

c) (0,6 · 10)2 =

d) (1/3 · 1/4)2 =

a) 22 · 32 =

b) (– 4)2 · 52 =

c) 0,62 · 102 =

d) (1/3)2 · (1/4)2 =

9. Doplň číslo na mieste ♥ tak, aby platila rovnosť (napíš všetky riešenia):

a) (♥)2 = 169

b) (♥)2 = 0

c) (♥)2 = 25/36

d) (♥)2 = 324

e) (♥)2 = – 144

f) – (♥)2 = – 144

10. Pomocou úpravy na súčin vypočítaj bez kalkulačky: ( a) NÁVOD )

a) 222 = (2 · 11)2 = 22 · 112 = 4 · 121 = 484

b) 362 =

c) (– 140)2 =

d) 402 =

e) 1102 =

f) (– 27)2 =

g) 5,52 =

h) 482 =

i) 2,42 =

j) 3,32 =

k) (– 0,26)2 =

Druhá mocnina SÚČINU dvoch

čísel je súčin druhých mocnín

týchto čísel. (a · b)2 = a2 · b2

11. Pondelok 4.4.2016 bol označený ako mocninový deň, pretože 42 = 16.

a) Kedy bude najbližší mocninový deň?

b) Koľko mocninových dní bude ešte v tomto storočí?

12. Podľa legendy si vraj človek, ktorý vymyslel šachy, vypýtal od kráľa takúto odmenu:

„Na prvé políčko šachovnice dajte jednu mincu. Na každé nasledujúce políčko dajte dvakrát

toľko mincí, ako na políčko pred ním. Keď zaplníte posledné políčko mincami,

tak to bude moja odmena, mince na poslednom políčku.“

a) Koľko mincí dal kráľ na:

1. políčko

2. políčko

3. políčko

4. políčko

.............

.............

.............

.............

.............

10. políčko ?

Zapíš výsledky pomocou mocnín.

b) Ak na 20. políčku bolo

524 288 mincí, koľko ich

bolo na 21. políčku?

c) Koľko mincí získal šachový

výmyselník od kráľa ako

odmenu?

1.3 Výpočet tretej mocniny

1. Vypočítaj spamäti:

a) 33 =

b) 303 =

c) 3003 =

d) 3 0003 =

e) 93 =

f) 9003 =

g) 9 0003 =

h) 90 0003 =

i) 43 =

j) 4 0003 =

k) 40 0003 =

l) 4 000 0003 =

Pri tretej mocnine sa počet núl .................................................................... .

2. Vypočítaj spamäti:

a) 0,23 =

b) 0,023 =

c) 0,0023 =

d) 0,000 23 =

e) 0,83 =

f) 0,0083 =

g) 0,000 083 =

h) 0,083 =

i) 0,13 =

j) 0,000 13 =

k) 0,000 013 =

l) 0,013 =

m) 0,53 =

n) 0,000 63 =

o) 03 =

p) 0,0113 =

Pri tretej mocnine sa počet desatinných miest .................................................... .

13 = 1

23 = 8

33 = 27

43 = 64

53 = 125

63 = 216

73 = 343

83 = 512

93 = 729

103 = 1 000

3. Zamysli sa, či bude výsledok kladný alebo záporný. Vypočítaj spamäti:

a) 23 =

b) (– 2)3 =

c) – 23 =

d) – (– 2)3 =

e) – 13 =

f) (– 1)3 =

g) – (– 1)3 =

h) – 93 =

i) (– 9)3 =

j) – (– 9)3 =

k) (– 8)3 =

l) – 83 =

m) – (– 8)3 =

n) – 0,43 =

o) (– 0,4)3 =

p) – (– 0,4)3 =

4. Porovnaj tretiu a druhú mocninu:

a) 23 ⎕ 32

b) – 23 ⎕ (– 3)2

c) 33 ⎕ 52

d) (– 3)3 ⎕ (– 5)2

e) 13 ⎕ 12

f) – 13 ⎕ – 12

g) 43 ⎕ 92

h) (– 4)3 ⎕ – 92

i) 82 ⎕ 73

j) 03 ⎕ 02

k) (– 1)3 ⎕ (– 1)2

l) (– 8)2 ⎕ 82

5. Doplň číslo na mieste ♥ tak, aby platila rovnosť (napíš všetky riešenia):

a) (♥)3 = 8

b) (♥)3 = 0

c) (♥)3 = 27/64

d) (♥)3 = – 343

e) (♥)3 = – 125

f) – (♥)3 = – 216

g) – ♥ 3 = 8

h) – ♥3 = – 8

6. Zisti:

a) Pre ktoré celé čísla je ich tretia aj druhá mocnina rovnaká?

b) Pre ktoré celé čísla platí, že sa rovnajú svojej druhej mocnine?

c) Pre ktoré celé čísla platí, že sa rovnajú svojej tretej mocnine?

7. Vypočítaj:

a) Súčet tretích mocnín celých čísel od – 3 po 3.

b) Súčin tretích mocnín celých čísel od – 2 po 4.

c) Súčet druhých mocnín celých čísel od – 3 po 3.

8. Vypočítaj:

a) 52 – (23 + 52) =

b) 0,52 – (0,33 + 0,42 – 0,13) – 0,43 =

c) – 3 · 23 + (– 4 · 2)2 + (– 5)2 =

d) – [(– 2) · (– 2)]3 – 13 =

e) ((– 2)2 + (– 2)3)3 =

f) 23/32 + 2/32 – 3/23 – 53/72 =

9. Bez počítania usporiadaj do horného riadku tabuľky hodnoty mocnín vzostupne a pod každú

hodnotu dopíš prislúchajúce písmeno. Dozvieš sa názov najnižšej nížiny Slovenska.

II. Zápis a výpočet druhej a tretej odmocniny

1. Vypočítaj spamäti:

a) √900 =

b) √40 000 =

c) √14 400 =

d) √12 100 =

e) √250 000 =

f) √16 000 000 =

g) √27 000 0003

=

h) √1 0003

=

i) √216 0003

=

j) √1 000 000 3

=

k) √8 0003

=

l) √12 5003

=

Pri druhej odmocnine sa počet núl .................................................................... .

Pri tretej odmocnine sa počet núl .................................................................... .

2. Vypočítaj spamäti:

a) √0,25 =

b) √0,0169 =

c) √2,89 =

d) √0,000 001 =

e) √0,004 9 =

f) √1,96 =

g) √0,0013 =

h) √0,0643 =

i) √0,5123

=

j) √0,000 0083 =

k) √3,433 =

l) √0,000 7293 =

Pri druhej odmocnine sa počet desatinných miest .................................................... .

Pri tretej odmocnine sa počet desatinných miest .................................................... .

3. Odhadni hodnotu odmocniny a usporiadaj kartičky vzostupne:

4. Zamysli sa, či bude výsledok kladný alebo záporný a vypočítaj spamäti:

a) √16 =

b) √−83

=

c) −√−1253

=

d) √(−1)2 =

e) −√3433

=

f) −√144 =

g) √−25 =

h) √0 =

5. Doplň číslo na mieste ♥ tak, aby platila rovnosť:

a) √♥ = 9

b) √♥ = 17

c) √♥ = –1

d) √♥3

= –1

e) √♥4

= –1

f) √♥7

= –1

g) √♥3

= –5

h) √♥3

= 20

i) √♥ = 0,3

j) √♥ = 110

k) – √♥ = –4

l) – √♥3

= –3

m) – √♥3

= 0,5

n) – √♥ = 1,4

o) – √♥3

= 0,1

p) – √♥ = 0

6. Odhadni výsledok a potom vypočítaj:

a) √20 =

b) √303

=

c) √150 =

d) √3503

=

e) √10 =

f) √653

=

g) √99 =

h) √9993

=

i) √0,5 =

j) √1203

=

k) √−120 =

l) √−73

=

7. Vypočítaj dĺžku hrany kocky, ktorej objem je:

a) 8 cm3 b) 125 m3 c) 512 mm3 d) 343 l e) 0,064 m3

√1

16

√10 √50 √17 3 4 (-4)3 (-2)2

8. Vypočítaj stranu štvorca, ktorého obsah je:

a) 144 cm2 b) 0,25 m2 c) 1,69 mm2 d) 100 a e) 0,0 289 m2

9. Vypočítaj príklady v ľavom a pravom stĺpci a porovnaj:

a) √25 ∙ 100 √25 ∙ √100

b) √121 ∙ 16 √121 ∙ √16

c) √100/25 √100/√25

d) √−16/−49 √−16/√−49

e) √8 ∙ 1253

√83

∙ √1253

f) √64 ∙ 5123

√643

∙ √5123

g) √−8 ∙ (−1)3 √−8

3∙ √−1

3

h) √−27 ∙ 83

√83

∙ √−273

10. Vypočítaj príklady v ľavom a pravom stĺpci a porovnaj:

a) √9 + 16 √9 + √16

b) √36 + 64 √36 + √64

c) √25 + 144 √25 + √144

d) √225 + 64 √225 + √64

11. Penzión s maximálnou ubytovacou kapacitou 27 hostí má n – poschodí, na každom poschodí

n – izieb a v každej izbe n postelí. Koľko poschodí má penzión?

12. Plastelínový obdĺžnik s rozmermi 50 cm a 35 cm „preplastelínujeme“ na štvorec. Približne

aká dlhá bude strana štvorca?

13. Porovnaj:

a) √36 √25

b) √22 √233

c) −√35 −√32

d) √(−1)4 √22

e) −√42 √(−4)2

f) √34 √92

g) −√13 √433

h) √49 √3433

i) √72 √(−7)2

14. Vypočítaj:

a) √(5 − 2)33 =

b) √42 − 233 =

c) √42 − 233 =

d) √433+ (√4)

2 =

e) (√233− √32) ∙ (−1)9 =

f) (−32 + 23) ∶ (−1)4 =

g) √1253

− √1 0003

=

h) √−0,0273 ∙ √100 =

i) √42 ∙ 223∶ (−1)7 =

15. Koľko metrov pletiva potrebujeme na oplotenie štvorcovej záhrady, ktorej výmera je:

a) 8 100 m2 b) 6,25 a c) 5 000 m2 – zaokrúhli na 1 desatinné miesto

16. Objem kocky je 300,763 cm3. Aký je jej povrch?

17. Povrch kocky je 110,94 cm2. Aký je jej objem?

18. Obsah štvorca je 30,25 dm2. Aký je jeho obvod?

19. Doplň tabuľku. Počítaj na kalkulačke a zaokrúhľuj na 1 desatinné miesto.

x 15

x2 64 1/121 1 000

√𝒙 3,1

x3 1 000

√𝒙𝟑

0

20. Akú dĺžku má polomer kruhu, ktorého obsah je:

a) 28,26 cm2 b) 3,14 m2 c) 1,538 6 m2 d) 113,04 cm2 e) 78,5 mm2

21. Na natretie 500 rovnakých kociek sa spotreboval jeden liter farby. Približne aký objem v cm3

má natretá kocka, ak vieme, že výdatnosť farby je 5 litrov na 30 m2.

22. Vypočítaj. Podľa výsledku doplň do tabuľky písmeno a doplň Euklidov výrok.

1,52 =

–43 =

130 =

122 =

– √1253

=

1,12 =

√0,09 =

– √64 =

–42 =

√49 =

42 =

(–6)2 =

0,32 =

√25 =

–0,32 =

33 =

23 =

36 1 -0,09 -5 144

„Ak chceš prvý objaviť to, čo nikto nevidí a nevie, ........................................................ .“

23. Dve kocky vymodelované z plastelíny majú jednociferné celočíselné dĺžky hrán s rozdielom

1 cm (napríklad: hrana jednej kocky = 1 cm a hrana druhej kocky = 2 cm). Dá sa z toho

istého množstva plastelíny vymodelovať jedna veľká kocka s celočíselnou dĺžkou hrany?

Nájdi hrany kociek, pre ktoré to platí.

Návod: a1 = 1 cm V1 = 1 cm3 a2 = 2 cm V2 = 8 cm V = V1 + V2 = 9 cm3

Existuje celočíselná √V 3

?

√9 3

=̇ 2,08 – nie je celé číslo.

.................... a tak ďalej hľadaj .......

0,09 27 0,3 -0,09 7

36 8 -8 -64 -16

16 1,21 0,3 2,25 0,09 5

Euklides z Alexandrie

(365 p.n.l. – 300 p.n.l.)

Starogrécky matematik, spresnil chápanie

matematiky, založené na súhrnných princípoch, definíciách – axiómach. Je autorom najznámejšieho

matematického diela: Základy

(Στοιχεῖα, lat. Elementa)

Z histórie

Okolo roku 3 000 p.n.l. sa pri riešení matematických úloh v Mezopotámii používali tabuľky druhých a tretích mocnín a druhých a tretích

odmocnín. Odmocniny sa počítali pomocou metódy regula falsi

(metóda chybného výpočtu). Najskôr urobili odhad výsledku odmocniny a potom pomocou mocniny zisťovali, ako blízko sa dostali k odmocnencovi. Takýmto spôsobom dokázali určiť s presnosťou na 5 desatinných miest

napríklad druhú odmocninu z dvoch: √𝟐 =̇ 1,414 21

III. Číselný výraz s mocninou a odmocninou – cvičenie

Vypočítaj:

1. 72 · 1 + (8 · 2)2 =

2. (4 · 2)2 – 5 · 42 =

3. √12 · ( 31 + 32) =

4. [– (– 3)2 – 42 + (– 5)2 ]3 =

5. – [– (– 0,5 )]3 =

6. √√16 =

7. – 15 · [− 32 + 42 − (− 8)] – 10 =

8.

2223 3 8652

169

9. 25,625

9

2

4.3

10. 22

3125

8

196

11. √√81 =

12.

121

273

13.

3

2

2

2

1

4

8

4

9

14. –(– 2)2 =

15. [(– 3)2]2 =

16. – (– 2 )3 =

17. (– 3)3 =

18. 22322

212532

5

1

5

2

19. √4 . √81 =

20. √643

+ 0,22 =

21. √√44 =

22.

22

222

2523

235

23. √−8 3

– (–2)3 =

24. [(3 – 4) – 5 ]2 =

25. √√1 =

26.

310

516

8

3

432 232

27. – √25 . √0,25 =

28. √( 8,2 + 1,8)3 3 =

29. 7 · √0,0013 – 0,7 =

30. 3·√169 + 33 =

31. – 3 · √−643

=

32. √0,0013 – 0,1 =

33. √−643

+ 5 · 0,13 =

34. [– (– 2)2]2 =

35. – [– ( 3)2]2 =

36. [– (– 2)3 ]2 =

37. – {– [ (– 2)2 ]2 }2 =

38. (– 23 + 44 – 53)2 =

39. – 2 · 33 + (– 5 · 2)2 + (– 6)2 =

40.

24,12,02

3

2:

5

1225

Riešenie:

1. 305

2. –16

3. 12

4. 0

5. – 0,125

6. 2

7. – 235

8. 3/5

9. 4,9

10. 20

11. 3

12. – 3/11

13. 21/8

14. – 4

15. 81

16. 8

17. – 27

18. 112,6

19. 6

20. 4,04

21. 4

22. – 4/9

23. 6

24. 36

25. 1

26. 13

27. – 2,5

28. 10

29. 0

30. 66

31. 12

32. 0

33. – 3,995

34. 16

35. – 81

36. 64

37. – 256

38. 15 129

39. 82

40. 31,8

IV. Zápis čísla typu a · 10n, kde 1 ≤ a < 10, n ∈ N

1. Zapíš číslom a v tvare a · 10n, kde 1 ≤ a < 10, n ∈ N

a) milión

b) miliarda

c) bilión

d) biliarda

e) trilión

f) triliarda

2. Zapíš v tvare a · 10n, kde 1 ≤ a < 10, n ∈ N

a) 2 800 000 000

b) 75 000 000

c) 51 200 000

d) 125 000

e) 18 500 000 000

f) 111 000 000

g) 50 000 000 000

h) 64 200 000 000

3. Zapíš zlomkom, desatinným číslom a v tvare a · 10n, kde 1 ≤ a < 10, n ∈ N

a) 5 tisícin

b) 3 stotiny

c) 14 stotín

d) 8 desaťtisícin

e) 7 desatín

f) 99 bilióntin

g) 2 trilióntiny

h) 45 milióntin

i) 1 milióntina

j) 1 miliardina

k) 1 kvadrilióntina

l) 85 stotisícin

4. Zapíš v tvare a · 10n, kde 1 ≤ a < 10, n ∈ N

a) 0,006

b) 0,000 003

c) 0,000 000 06

d) 0,000 000 39

e) 0,000 013

f) 0,000 054

g) 0,000 000 078

h) 0,000 000 000 8

5. Zapíš rozvinutý zápis čísel podľa vzoru:

Vzor: 2 431,56 = 2 · 103 + 4 · 102 + 3 · 101 + 1 · 100 + 5 · 10-1 + 6 · 10-2

a) 214,37 =

b) 1 560,2 =

c) 28,006 5 =

d) 537,106 =

e) 0,123 45 =

f) 58 200,06 =

g) 47,123 09 =

h) 879,004 =

6. Aké číslo je zapísané rozvinutým zápisom?

a) 3 · 103 + 7 · 102 + 5 · 101 + 2 · 100 + 2 · 10-1 + 7 · 10-2 =

b) 8 · 104 + 5 · 102 + 4 · 101 + 1 · 100 + 3 · 10-2 + 9 · 10-3 =

c) 7 · 105 + 8 · 103 + 2 · 101 + 2 · 10-1 + 9 · 10-2 + 6 · 10-4 =

d) 5 · 10-6 + 7 · 10-8 + 1 · 10-10 =

e) 9 · 107 + 7 · 102 + 1 · 10-1 + 6 · 10-3 =

7. Rýchlosť svetla vo vákuu je približne 300 000 000 m/s.

Zapíš daný údaj v tvare a · 10n, kde 1 ≤ a < 10, n ∈ N.

8. Hnutie Greenpeace, ktoré vzniklo v roku 1971 v kanadskom

meste Vencouver ako odpor proti jadrovým pokusom

pri pobreží Aljašky, združuje dnes 41 štátov a má približne

2 800 000 členov. Napíš počet členov hnutia v tvare

a · 10n, kde 1 ≤ a < 10, n ∈ N.

9. Istá hviezda je od Zeme vzdialená 3,6 · 109 svetelných rokov. Presne v jednej tretine tejto

vzdialenosti sa nachádza hmlovina. Koľko svetelných rokov je hmlovina vzdialená od Zeme?

10. Emil má v hrnci 8,14 · 109 molekúl. Koľko molekúl musí vypustiť, ak chce aby ich v hrnci ostala

presne polovica?

Vedecký zápis čísel

Najmä v prírodných vedách často pracujeme s veľmi veľkými alebo naopak veľmi malými číslami. Jednoduchšie a prehľadnejšie ich vieme zapísať ako súčin dvoch čísel. Jeden z činiteľov je číslo a, ktoré je väčšie alebo sa rovná jednej a menšie ako desať a druhý činiteľ je mocnina čísla 10. Píšeme: a · 10n, kde 1 ≤ a < 10, n ∈ N

Číslo 10

Číslo 10 je základom naj-

používanejšie číselnej sústavy

– desiatkovej. Antický filozof

a matematik Pytagoras po-

važoval číslo 10 za vrchol

dokonalosti. Číslo 10 totiž

vznikne súčtom čísel 1, 2, 3 a 4

ktoré tiež označoval ako

základné – magické čísla.

11. Vypočítaj:

a) 3 · 105 + 8 · 104 – 4 · 102 =

b) 5,1 · 103 + 4,8 · 102 + 9,2 · 100 =

c) 2,8 · 103 – 2,9 · 102 – 2,7 · 101 =

d) 7 · 104 + 7 · 103 – 7 · 102 =

12. Najbližšia hviezda k Zemi je Slnko. Vzdialenosť Zem – Slnko (približne 150 000 000 km) sa

nazýva astronomická jednotka. Vzdialenosť planéty Neptún od Slnka je približne 30

astronomických jednotiek. Zapíš vzdialenosť Neptúna od Slnka vedeckým zápisom

v kilometroch.

13. Druhá najbližšia hviezda k Zemi je Proxima Centauri. Jej vzdialenosť od Slnka je 268 000

astronomických jednotiek. Zapíš jej vzdialenosť vedeckým zápisom v kilometroch.

14. Hmotnosť Zeme je približne 5,97 · 1024 kg. Ak by sme jej hmotnosť zapísali v gramoch, koľko

núl by malo toto číslo?

15. Červené krvinky majú tvar preliačenej piškóty s priemerom asi 7 · 10-6 m. Biele krvinky sú

väčšie, priemer majú približne 1,43 – krát väčší ako červené krvinky.

a) Urči priemer bielej krvinky. Zapíš v tvare a · 10n, kde 1 ≤ a < 10, n ∈ N.

b) V tele dospelej ženy je približne 4,8 milióna červených krviniek, v tele dospelého muža

1,125 – krát viac. Koľko červených krviniek je v tele dospelého muža?

Zapíš v tvare a · 10n, kde 1 ≤ a < 10, n ∈ N.

16. Usporiadaj kartičky vzostupne a písmená vytvoria známy

Archimedov výrok.

Nedotýkajte sa ........................ ........................ !

17. Krížovka – jednotky dĺžky a hmotnosti

1,73 · 102 O

1,37 · 103 H

1,07 · 104 O

7,13 · 101 M

3,71 · 102 J

7,13 · 103 U

3,17 · 103 K

7,31 · 102 C

3,71 · 103 R

7,13 · 102 I

1,03 · 104 H

7,01 · 104 V

V. Mocniny s prirodzeným mocniteľom

5.1 Sčitovanie a odčitovanie mocnín

1. Zjednoduš výrazy:

a) 13x5 + 10x4 – 7x3 + 3x5 – x4 + 6x3 =

b) 3a5 + 6a4 + 4a5 + 10 – 3a4 =

c) 4c3 + 11c – 4c3 – 12c =

d) – 9y4 + (–5y2) – 5y4 + 7y2 + 12 – y =

e) 8a2 – b – (3a2 – b) + 9a2 + 3 =

f) 0,13m4 – 1,4m3 – 0,21m3 – 12m4 =

g) – 5a5 + 7b6 – (– 9a5 + 7a4 – 5b6) =

h) – p + p2 + p – p3 – p2 – p3 + p4 – 1 =

i) ab + 2ab2 – 4a2b + 8ab – 9a2b – 2ab2 =

j) 9kl – 5k2l2 – 7kl2 + 3kl – kl2 – 4k2l2 =

2. Je súčet všetkých deliteľov čísla (12 + 22 + 32 + ........ + 102) prvočíslo?

5.2 Súčin mocnín s rovnakým základom

1. Vynásob:

a) 33 · 32 =

b) a7 · a3 =

c) b · b9 =

d) c · c2 · c3 =

e) ab · a2b3 =

f) – m2n · mn2 =

g) abcde · abcde =

h) m2n3 · o3p5 =

i) – d5ef3 · de7f3 =

j) – qr2 · (– qr3) =

k) (s + r)2 · (s + r)5 =

l) – (d – e)5 · (d – e)5 =

m) a2b3 · a7c8 · b11c =

n) (g + 1) · (g + 1)3 · (g +1)4 =

o) vxyz · v3yz6 · y9z3 · v2x2 =

2. Zapíš v tvare mocniny s rovnakým základom:

a) (–2)2 · (–2)5 =

b) (–3)2 · (–3)6 =

c) 83 · 82 =

d) 12 · 13 · 14 =

e) 125 · 25 =

f) 3 · 9 =

g) 8 · 22 =

h) 64 · 8 =

i) 4 · 6 · 9 =

j) 15 · 9 · 25 =

k) 100 · 25 =

l) 144 · 9 · 8 =

3. Roznásob zátvorky s výrazmi a uprav:

a) (a + 3) · (a + 4) =

b) (x – 4) · (x + 2) =

c) (3b – 5) · (2b + 1) =

d) (7 – 2y) · (8 – y) =

e) (3a + 1) · (3a – 1) =

f) (3 – m) · (m – 3) =

g) (–2 + a) · (a – 2) =

h) (r + s) · (r – s) =

i) (2k + 3) · (k – 2) =

Sčitovať a odčitovať môžeme iba tie mocniny, ktoré majú rovnaký základ aj rovnakého

mocniteľa (exponent).

Mocniny s rovnakým základom násobíme tak, že základ umocníme súčtom mocniteľov.

am · an = am+n m,n – prirodzené čísla

Roznásobenie zátvoriek: (a + 2) · (a – 3) = a2 + 2a – 3a – 6 = a2 – a – 6

4. Dedko Florián hovorí susedovi: „Mám štvorcovú záhradu. Keby každá

jeho strana bola o 2 m dlhšia, plocha záhrady by bola väčšia o 24 m2.“

Aká je šírka dedovej záhrady?

(Nakresli si a pomôž si rovnicou.)

5.3 Podiel mocnín s rovnakým základom

1. Vydeľ:

a) a6 : a4 =

b) x5 : x8 =

c) 3m7 : m3 =

d) d5 : (– d2) =

e) 12b3 : 6b3 =

f) – 5r4 : 2r3 =

g) 5x7 : 10x9 =

h) – 18w8 : 9w6 =

i) z : z7 =

j) – 11a2 : 13a =

k) 7b3 : (–9b5) =

l) 4p8 : 8p9 =

2. Doplň exponent alebo výraz s mocninou:

a) a5 : a♥ = a3

b) (–z5) : z♥ = –z

c) 3y3 : ♥ = 3y

d) ♥ : (–u2) = –u

e) 2x4 : ♥ = 2

f) m♥ : m2 = m7

g) 8k3 : ♥ = 1

h) a♥ : a5 = 1/a2

3. Vypočítaj:

a) 5a3b4c : 5a2b6c =

b) – 7u3v3 : (– 14u2v3) =

c) 35x8y3z : 7x5y3z6 =

d) – 4p3q4r5 : 10p2qr =

e) 9a4b6c2 : (– 3a4b4c4) =

f) 15m6n3 : 20m7n3 =

g) (s + 1)5 : (s + 1)3 =

h) (2h – 6) : (2h – 6)4 =

i) – (9 + a)4 : (9 + a)4 =

5.4 Umocňovanie mocnín

1. Umocni:

a) (5a2)2 =

b) (7x2y3z)2 =

c) (–3k2l4m3)3 =

d) 0,5(4z3)3 =

e) {[(a)2]2}2 =

f) (10x3y4z2)6 =

g) (– 2c6)2 =

h) (2/3 b3c2)4 =

i) (9m4n)2 =

j) (5e5f4g7)3 =

k) (– 2) · (– 2n5)4 =

l) (– 0,1a3n3)3 =

2. Doplň:

a) (a♥)2 = a6

b) (ab2)♥ =a2b4

c) (m♥)3 = m9

d) (x♥ y♥)3 = x6y3

e) (♥c♥ )4 = 16c16

f) (♥x♥ )3 = 27x6

g) (p5)♥ = p15

h) (5a4)♥ = 25a♥

Mocniny s rovnakým základom delíme tak, že základ umocníme rozdielom exponentov.

ak m > n am : an = am-n m,n – prirodzené čísla, a ≠ 0

ak m < n am : an = 1

am-n m,n – prirodzené čísla, a ≠ 0

ak m = n a0 = 1 a ≠ 0

Mocniny umocníme tak, že základ umocníme súčinom mocniteľov.

(am)n = am·n m,n – prirodzené čísla