Modal Pushover Analysis

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EVALUACION DE LOS RESULTADOS DEL METODO “MODAL PUSHOVER ANALYSIS” EN EDIFICIOS ESTRUCTURADOS CON MUROS

L. Arévalo V.1 , E. Cruz Z.2

RESUMEN El estudio comprende la aplicación y evaluación de los resultados del

método “Modal Pushover Analysis” (MPA), a un conjunto de modelos de edificios estructurados con muros de hormigón armado, frente al análisis “exacto” de la respuesta no-lineal en el tiempo (NL-RHA). La investigación, pretende evaluar la precisión de la demanda sísmica determinada por el Análisis Modal Pushover.

Se estudió un modelo de edificio simétrico, en el que se varió el número de pisos en 10, 15, 20 y 25, y se usaron espesores de muros de acuerdo a la práctica de estructuración chilena. Se consideró un modelo inelástico plano, el cual incluyó modos de fallas por flexión y corte en los muros. A los modelos, se les aplicó el procedimiento MPA incluyendo el efecto Δ−P en todos los modos. Se utilizó un conjunto de registros de aceleraciones del sismo del 3 de Marzo de 1985 ocurrido en la zona central de Chile, los cuales se ajustaron al espectro elástico de diseño de la norma chilena. Además, los registros se escalaron por los multiplicadores de 0.75 y 1.5, para abarcar un rango de intensidades de la acción sísmica y respuestas de los modelos.

Los resultados muestran que el procedimiento MPA tiende a subestimar las respuestas obtenidas por el análisis NL-RHA, pero la descripción cuantitativa del comportamiento de las respuestas globales de los modelos obtenidas con MPA, son buenas aproximaciones. También, se destaca la dispersión de los resultados obtenidos con el procedimiento MPA, lo que significa que la estimación de la demanda sísmica debe ser analizada para un amplio rango de registros de aceleraciones.

Introducción

La metodología “Modal Pushover Analysis” (MPA), fue desarrollada por los investigadores A. K. Chopra y R. K. Goel (Chopra y Goel, 2001), y permite estimar la demanda sísmica y verificar el desempeño de una estructura para sismos severos. Se basa en un análisis estático no-lineal, de tipo “Push Over”, con distribuciones de fuerzas laterales equivalentes

1 Graduate Student, Dept. of Structural and Geotechnical Eng., P. Universidad Católica of Chile, Santiago, Chile 2 Professor, Dept. of Structural and Geotechnical Eng., P. Universidad Católica of Chile, Santiago, Chile

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invariantes en la altura, que incluye las contribuciones de los modos de vibración del comportamiento elástico, y emplea de manera aproximada, la teoría clásica de la dinámica de estructuras. A partir de esto, se determina la capacidad resistente de la estructura e información del comportamiento no-lineal, como por ejemplo, la secuencia en que las secciones van ingresando al rango no-lineal, los desplazamientos laterales en cada incremento de carga, drift de entrepisos, ductilidades, fallas de elementos por flexión y corte, esfuerzos, etc. Del análisis tipo pushover realizado al sistema de varios grados de libertad (MDF), se obtienen las curvas del desplazamiento de techo vs. corte basal hasta un desplazamiento lateral máximo esperado, usando distribuciones de fuerzas laterales proporcionales a las formas modales, y con el supuesto de que éstas no cambian después que la estructura entra en el rango de comportamiento inelástico, para una cantidad suficientes de modos. Cada una de estas curvas por modo, es idealizada como una relación bilineal de fuerza-deformación y trasformada a un sistema inelástico equivalente de un grado de libertad (SDF). Para cada uno de estos sistemas equivalentes SDF, se obtiene el desplazamiento máximo mediante un análisis no-lineal tiempo-historia para un registro de aceleraciones o considerando un espectro de respuesta (o diseño) inelástico. Con estos desplazamientos máximos por modos, se obtiene desde la base de datos del análisis de pushover, cualquier respuesta de interés a nivel modal y, finalmente, la demanda sísmica total se obtiene combinando las respuestas por modo de acuerdo a alguna regla de combinación, por ejemplo, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (SRSS). Para poder estimar la demanda sísmica de un edificio estructurado con muros de hormigón armado, es necesario considerar en el comportamiento inelástico de los muros, la posibilidad de desarrollar modos de fallas tanto flexurales como de corte. A partir de diversos estudios experimentales y analíticos que se han realizado en la Pontificia Universidad Católica de Chile, se ha definido un modelo de histéresis de corte para muros (Hidalgo et al., 2002, 2004), en donde la razón de aspecto del muro ( )wVl/M , influye en la determinación de los parámetros

del modelo de histéresis y, por lo tanto, es una variable más a tomar en cuenta en el análisis, pues cambia en cada incremento de cargas en el análisis de pushover, lo que afecta la determinación de la curva de capacidad. Si bien el análisis no-lineal tiempo-historia (NL-RHA) es un procedimiento riguroso para determinar la demanda sísmica de una estructura, resulta complejo para efectos prácticos y de diseño, y por este motivo, los ingenieros de la práctica emplean un análisis de pushover o procedimiento estático no-lineal (NPS), como por ejemplo el descrito en el documento FEMA 273 (Building Seismic Safety Council, 1997), pues les permite comprender un poco mejor cómo se comportan las estructuras, cuando se ven sometidas a solicitaciones sísmicas que sobrepasan su capacidad elástica.

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En la metodología MPA, el análisis de pushover parece razonable, pues entrega resultados que son idénticos al análisis de la respuesta por superposición modal espectral, para un análisis lineal de un edificio y entrega una estimación de la demanda sísmica total de un sistema inelástico, que otorga una seguridad superior que varias distribuciones de fuerza dadas por el FEMA-273 (Chopra, 2001, 2002, 2003, 2004). Sin embargo, hay que tener presente que aunque el procedimiento MPA puede entregar una estimación adecuada para ser usada en verificar los estados límites de control de daño y sobreviviencia, no se puede esperar que el análisis de pushover entregue estimaciones satisfactorias de la demanda sísmica, para estructuras que se deforman muy lejos en el rango inelástico y, más aún, cuando se degrada significativamente su capacidad resistente lateral; en esos casos, el análisis no-lineal tiempo-historia es lo más adecuado.

Modelo de Edificio Considerado en la Investigación Características Generales y de Estructuración

Se utilizó un modelo de edificio estructurado por muros de hormigón armado en voladizo, es decir, sin vigas de acoplamiento y se incluyeron modos de fallas por flexión y corte. El modelo, presenta simetría en planta en las dos direcciones de análisis X e Y; en la Fig. 1, se muestra la planta típica y elevaciones de sus líneas resistentes, en la cual sólo se muestran los elementos resistentes en una de las direcciones de análisis. El modelo está estructurado por cuatro muros de hormigón armado en los extremos (M1) de 5 m de largo, y tres en el centro (M2) de 4 m de largo, ambos tipos de muros con el mismo espesor. La planta del modelo, tiene un área de 256 m2 y la altura de entrepiso se tomó de 2.6 m. El modelo considera que los elementos resistentes en la dirección ortogonal a la del análisis, no aportan rigidez ni resistencia y, por lo tanto, es adecuado un modelo plano. El modelo propuesto, se analizó para 4 alturas: 10, 15, 20 y 25 pisos, con espesores de muros de 20, 25, 30 y 35 cm, respectivamente. De lo anterior, los modelos en estudio correspondieron a W1020, W1525, W2030 y W2535, en que los dos primeros dígitos corresponden a la altura, y los dos últimos al espesor de los muros. Modelación Bidimensional Inelástica

La modelación del edificio, se realizó con el programa computacional LARZ, que permite efectuar un análisis inelástico de estructuras de hormigón armado. Fue desarrollado por M. Saiidi en la Universidad de Illinois, Urbana, USA, en 1979 (Saiidi, 1979). Posteriormente, se han realizado varias modificaciones al programa, de las cuales destaca la incorporación de un

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modelo de histérisis de corte para muros, realizado por M. Martínez (Martínez, 1999) y modificado por M. Hube (Hube, 2002), y el desarrollo de un modelo pseudo-tridimensional y el cambio de la matriz de amortiguamiento por una tipo Caughey, para tener el mismo amortiguamiento en todos los modos, también realizado por Hube, estos últimos en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Considerando que el modelo en estudio es doblemente simétrico, se realizó una modelación bidimensional no-lineal, de acuerdo a un análisis plano de las líneas resistentes en las direcciones de análisis X e Y, independientemente. Se consideraron masas concentradas a nivel de cada piso y se incluyó el efecto Δ−P . El diseño sísmico de los modelos, se realizó de acuerdo al método de análisis modal espectral de la norma NCh 433 Of. 96 (INN, 1996), y el diseño de los muros se realizó con el código ACI 318-95, adaptado de acuerdo a la experiencia chilena, la cual considera pilares de borde incorporados a la sección rectangular de los muros y una cuantía mínima de borde del orden de un 0.5 a un 1‰. Como el modelo está estructurado por muros, para representar su comportamiento se consideró modelos histeréticos de corte y flexión para cada elemento en el programa LARZ. Los modelos considerados corresponden al SINA, desarrollado por Saiidi y Sozen (Saiidi, 1979). Para el modelo de corte, es necesario determinar una curva primaria, que depende de la razón de aspecto del muro (definida como el momento flector en la base dividido por el producto del esfuerzo de corte y el largo del elemento), la cual se determinó de ecuaciones basadas en resultados experimentales de elementos con diferentes razones de aspecto. Se utilizaron los resultados experimentales de muros estudiados por Hidalgo et al. y los de Bresler y Scordelis (Hube, 2002). Para cada elemento muro de los modelos en estudio, se determinó la razón de aspecto como el valor que es más frecuente obtenido del análisis en el tiempo, luego de varias iteraciones (normalmente dos o tres) hasta obtener convergencia a un valor, utilizando la componente N10E del registro de aceleraciones de Llolleo (con una aceleración máxima de 0.71g) ajustado mediante mínimos cuadrados (factor F), al espectro elástico de diseño de la norma chilena NCh 433 Of. 96 para suelo tipo II. En la Fig. 2, se muestra los espectros elásticos para el registro original y ajustado (por el factor F mostrado en la figura), y el de la norma chilena. En la Fig. 3, se muestra la componente del registro de Llolleo sin ajustar utilizada. Para el amortiguamiento modal se consideró 2%, igual para todos los modos. Como el modelo SINA utilizado en las curvas de comportamiento de flexión y corte de los elementos opera sobre una envolvente trilineal, se presenta amortiguamiento histerético para ciclos de carga y descarga que sin producir fluencia inducen agrietamiento en los elementos estructurales. Este efecto, genera un amortiguamiento histerético del orden de 3% (Hube, 2002), con lo que sumado con el anterior, se obtiene un amortiguamiento total cercano al 5% que coincide con el que se

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acepta como implícito en los espectros definidos por la norma NCh 433 Of. 96.

Registros de Aceleraciones Considerados en la Investigación Se consideró un conjunto de 21 registros de aceleraciones del sismo del 3 de Marzo de 1985, ocurrido en la zona central de Chile. Se tomó en cuenta este evento sísmico, por ser uno de los más recientes e importantes ocurridos en Chile. De los espectros de pseudo-aceleraciones de los registros, se seleccionaron por inspección, aquellos que mejor se ajustaron por mínimos cuadrados al espectro elástico de la NCh 433 Of. 96 para suelo tipo II, con el cual se realizó el diseño de los modelos de edificios. Finalmente, se consideraron 14 registros, los cuales correspondieron a: Almen160, Illapel070, Illapel340, Laligua200, Laligua290, Llolleo010, Llolleo100, Papudo140, Sfelipe080, Sfelipe170, Talca010, Talca280, Utfsm070, Utfsm160 (detalles se encuentran en el trabajo de Arévalo, 2006).

Procedimiento “Modal Pushover Analysis”

Para aplicar la metodología MPA a los modelos, se determinaron las frecuencias naturales nω , períodos de vibración nT y formas modales nφ para un análisis lineal-elástico del

edificio. Posteriormente, se construyeron las curvas de capacidad bnrn Vu − para cada modo. Para

tal efecto, se utilizó la versión estática del programa LARZS-2D. Los modelos se sometieron a un análisis de tipo “pushover”, empleando cargas laterales monotónicamente crecientes, de

acuerdo a las distribuciones de fuerzas n*n ms φ= invariantes en la altura durante el proceso de

carga. Se consideraron incrementos de cargas pequeños y se llegó hasta un desplazamiento de techo antes de producir el colapso de cada modelo. Se consideró el efecto Δ−P para las construcciones de todas las curvas modal pushover. Con las curvas obtenidas de desplazamiento de techo vs. corte basal para cada modo, se procedió a idealizar la curva pushover como una curva bilineal, usando el siguiente procedimiento: 1. Se definió el punto B de la Fig. 4, inicialmente como el desplazamiento de techo justo

antes de producir el colapso del edificio. Posteriormente, y mediante un procedimiento iterativo, el punto B se definió como el desplazamiento de techo esperado del edificio, para el registro de aceleraciones considerado.

2. Se calculó el área real bajo la curva pushover, Apn.

3. Se estimó el corte basal que produce la fluencia, Vibny. Este valor, inicialmente se obtuvo

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observando la curva de capacidad y se eligió como el punto de la curva pushover hasta el cual el comportamiento es lineal. Posteriormente, y mediante un procedimiento iterativo, se recalculó este valor del corte de fluencia considerando que las áreas bajo las curvas de pushover real e idealizada fueran iguales.

4. Se calculó la rigidez inicial de la curva idealizada bilineal, kin, uniendo mediante una

línea recta el origen O y un punto sobre la curva pushover idealizada con corte basal igual a 0.6Vi

bny. Se obtuvo la rigidez inicial secante en un corte basal igual al 60% del corte basal de fluencia.

i. De los datos de la curva pushover, se determinó el desplazamiento de techo, uirn,0.6, en

el corte basal igual a 0.6Vibny.

ii. Se calculó la rigidez, kin = (0.6Vi

bny)/ uirn,0.6 .

5. Se calculó el desplazamiento de fluencia, uirny = Vi

bny/kin, correspondiente al corte basal

de fluencia estimado, Vibny. El punto A de la Fig. 4 se definió con un corte basal igual a

Vibny y un desplazamiento de techo de ui

rny.

6. Se dibujó la curva bilineal OAB, conectando los puntos O, A y B con líneas rectas.

7. Se calculó la pendiente post-fluencia de la curva bilineal, con la siguiente ecuación:

( )( ) 1

1−

−=α i

rnyrno

ibnybnoi

n u/uV/V

(1)

8. Se calculó el área bajo la curva bilineal OAB, Aibn.

9. Se calculó el error entre las áreas real e idealizada de la curva pushover, de acuerdo a la siguiente ecuación:

( )pn

pnibn

AxAA

error100−

= (2)

i. Se procedió a iterar hasta que el error no sobrepasara una cierta tolerancia, que se consideró de 0.010%.

ii. Cuando la tolerancia del error no era cumplida, se recalculó el corte basal de fluencia como:

)A/A(xVV ibnpn

ibny

ibny =+1 (3)

iii. Con este último corte basal, se repitió el procedimiento de los pasos 4) a 8).

Con el procedimiento anterior, se obtuvo la curva pushover bilineal idealizada de

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comportamiento para cada uno de los modos. Luego, se determinó la relación nnsn DL/F − ,

correspondiente al sistema equivalente de un grado de libertad. Se calculó la historia de deformación )t(Dn , para el n-ésimo modo del sistema inelástico equivalente de un grado de

libertad, con masa unitaria y una relación de fuerza-deformación de acuerdo a la Fig. 5. Se

determinó el valor máximo en el tiempo, )t(DmaxD ntno = . Se calculó la deformación máxima

de techo para cada modo del sistema de varios de libertad, usando la siguiente ecuación:

nornnrno Du φΓ= (4)

Con el valor determinado en la ecuación anterior y mediante un procedimiento iterativo hasta obtener convergencia, se determinó el desplazamiento de techo esperado por cada modo del edificio, para el registro de aceleraciones considerado, en que la aproximación con la curva bilineal, cada vez fue mejor en las distintas iteraciones hasta la convergencia (ver paso 1. anterior para el ajuste del punto B de la curva bilineal). Esto último se repitió para varios modos, hasta que los desplazamientos máximos esperados no cambiaron significativamente.

La respuesta total, se obtuvo mediante la combinación de las respuestas máximas

modales, usando la regla de superposición “raíz cuadrada de la suma de los cuadrados” (SRSS).

La ecuación es la siguiente: 21

1

2/N

nnoo rr ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑

=

(5)

en que:

or : Respuesta total máxima del sistema de varios grados de libertad.

nor : Respuesta máxima por modo del sistema de varios grados de libertad.

Del análisis anterior, y considerando el desplazamiento máximo de techo rnou obtenido

para cada modo, se obtuvo desde la base de datos del análisis de pushover los valores de otras respuestas nor , por ejemplo, drift de entrepisos, esfuerzos, etc., también por modo, los que se

combinaron con la ecuación (5). Se definió el número de modos a ser considerados en cada modelo, chequeando que el error del desplazamiento de los pisos y el drift de los entrepisos entre los procedimientos MPA y NL-RHA fueran muy similares, considerando la superposición entre n-1 y n modos.

Aplicación del MPA a los modelos Se aplicó el procedimiento MPA, para estimar las respuestas máximas de los

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desplazamientos laterales y del drift de los entrepisos a los cuatro modelos en investigación, aplicando los 14 registros de aceleraciones ajustados al espectro elástico de la NCh 433 Of. 96. Adicionalmente, se estudió el efecto de la variación del nivel de la solicitación sísmica, por tal motivo, los registros ajustados se multiplicaron por los escalares M=0.75, M=1.0 y M=1.5, de tal manera que en definitiva se aplicó el MPA considerando 42 registros de aceleraciones a cada modelo. La evaluación comparativa, se realizó con el análisis no-lineal de la respuesta en el tiempo, NL-RHA. Se consideraron los tres primeros modos en el modelo de 10 pisos, cuatro modos en los modelos de 15 y 20 pisos y 5 modos en el modelo de 25 pisos. Destaca que para los modos superiores, el comportamiento se mantuvo en el rango lineal (modo 3 en el modelo W1020, modos 3 y 4 en W1525, modo 4 en W2030, y modos 4 y 5 en W2535). A modo de ejemplo, en la Fig. 6 se muestran las curvas modal pushover reales hasta el desplazamiento de techo justo antes del colapso e idealizadas de convergencia (hasta el desplazamiento esperado) del modelo W1020, para el registro de Llolleo N10E ajustado con M=1.0 (notar que los gráficos están realizados a distintas escalas). Además, en la Fig. 7, se muestra graficado el desplazamiento máximo de techo para todos los registros de aceleraciones en las curvas pushover para cada modo del modelo W1020. Es posible observar, la relevancia del primer modo con respecto a los superiores. Como promedio de los resultados obtenidos sobre todos los registros considerados, se obtuvo que para el modelo W1020, la contribución del modo 1 fue del 98% y el modo 2 un 1.7%; en el W1525, el modo 1 un 97%, el modo 2 un 3% y el modo 3 un 0.1%; en el W2030, el modo 1 un 94%, el modo 2 un 5% y el modo 3 un 0.3%; finalmente en el modelo W2535, el modo 1 un 90%, el modo 2 un 9% y el modo 3 un 0.5%. Lo anterior, comprueba que los modos superiores tienden a ser más relevantes a medida que se aumenta el número de pisos.

Evaluación de Resultados del Procedimiento MPA a los Modelos de Edificios De acuerdo a los resultados obtenidos de la aplicación del procedimiento MPA a los 168 casos analizados, se estudió el desplazamiento de techo y de los pisos restantes, drift de los entrepisos, distribución en la altura y la expansión modal del desplazamiento de techo y esfuerzo de corte basal, comparados con el análisis “exacto” NL-RHA.

Análisis Estadístico de los Resultados para los Desplazamientos de Techo

Se realizó un análisis estadístico a los desplazamientos de techo y, para tal efecto, se

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determinó la razón de desplazamiento de techo ( )MPA*ru , definida con la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( ) RHANLrMPArMPA*r uuu −÷= (6)

en que: ( )MPAru : Desplazamiento de techo determinado con el procedimiento MPA.

( ) RHANLru − : Desplazamiento de techo obtenido con el análisis NL-RHA.

Con la razón del desplazamiento de techo para cada uno de los 14 registros de aceleraciones ajustados, y también escalados por los multiplicadores de 0.75, 1.0 y 1.5, se construyeron histogramas de frecuencias, con estimadores estadísticos dados por la distribución log-normal. Se consideraron dos estimadores, la media geométrica y la desviación standard, definidos con las siguientes ecuaciones:

Media: ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=μ∑

=

n

xlnexp

n

ii

1 (7)

Desviación standard: ( )

21

1

2

1

/n

ii

n

lnxln

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

μ−=δ

∑= (8)

en que n corresponde al número de las respuestas consideradas (los 14 registros de

aceleraciones ajustados) y ix , los valores de la razón de desplazamiento de techo ( )MPA*ru para

cada una de ellas. En las Figs. 8 a 11, se muestra los histogramas de la razón del desplazamiento de techo, valores de la media y rangos de estas razones para los cuatro modelos, considerando los tres niveles de la solicitación sísmica. Para analizar los resultados, se consideró la variación de la razón del desplazamiento de techo con respecto a la unidad, subestimando la respuesta si es menor que uno y sobreestimando si es mayor que uno. De los resultados obtenidos para el valor de la media geométrica de la razón del desplazamiento de techo, se obtuvo que el MPA siempre subestimó el desplazamiento de techo en los cuatro modelos y los tres niveles de solicitaciones sísmicas. El MPA entregó un error promedio (en los tres niveles de solicitaciones sísmicas) con respecto al análisis NL-RHA de -39% para el modelo de 10 pisos, -21% para el modelo de 15 pisos, -15% para el modelo de 20 pisos y -4% para el modelo de 25 pisos. En la Fig. 12, se muestra graficada la media, desviación standard y el rango de variación

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de los datos máximos y mínimos para ( )MPA*ru con respecto al número de pisos de los modelos.

De todo lo anterior, se obtuvo que a medida que aumentó el número de pisos, la media de la razón de los desplazamientos de techo se aproximó a uno, entregando el procedimiento MPA valores de los desplazamientos de techo muy cercanos al análisis NL-RHA, sin embargo la dispersión creció y el rango de datos se amplió. También destaca, que a medida que aumentó el número de pisos, se incrementó el número de casos que sobreestimaron el desplazamiento de techo. Además, puede observarse que el valor de la media para los tres niveles de solicitaciones sísmicas no cambia significativamente, lo que sugiere que los errores en los resultados del procedimiento MPA son débilmente dependientes de la variación del nivel del sismo. Análisis del Desplazamiento de los Pisos y el Drift de los Entrepisos Del análisis de los resultados, se obtuvo que la determinación del desplazamiento máximo de techo con el procedimiento MPA, se consiguió con pocos modos. Sin embargo, si se analizan las respuestas de los pisos restantes, especialmente los inferiores, son necesarios más modos para evaluar las respuestas en estos pisos. La explicación de esta situación, radica en el hecho de que en los pisos inferiores la magnitud de las proporciones de las respuestas son menores a las del techo y, por lo tanto, las contribuciones de los modos superiores toman más relevancia. Esto último, fue importante en los modelos W1525, W2030 y especialmente en el modelo W2535. Como ejemplo, en la Fig. 13 se muestra graficado el error para el desplazamiento de los pisos y el drift de los entrepisos del modelo W2535 y el registro Sfelipe080 (M=1.0), donde puede observarse la relevancia de las contribuciones acumuladas de los modos en las respuestas. De manera análoga al análisis de la razón del desplazamiento de techo, se determinó el error o la razón del desplazamiento de cada uno de los pisos y el drift de cada uno de los entrepisos, tomando como referencia el análisis NL-RHA. En las Figs. 14 a 17, se muestra graficada la razón del desplazamiento de los pisos y el drift de los entrepisos, entre los procedimientos MPA y NL-RHA. Además, se muestra la media y la media más y menos una desviación standard de este error para cada piso, para el conjunto de los 14 registros de aceleraciones ajustados y escalados a los tres niveles de solicitaciones sísmicas. De los resultados obtenidos, se obtuvo que el valor de la media geométrica de la razón del desplazamiento de los pisos, se subestimó en todos los casos, con un error promedio (sobre todos los pisos y para los tres niveles de solicitaciones sísmicas) de -33% para el modelo de 10 pisos, -18% para los modelos de 15 y 20 pisos y -8% para el modelo de 25 pisos. En la Fig. 18 se muestra graficado para cada modelo, el promedio aritmético (sobre todos

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los pisos) de la media geométrica y la desviación standard de la razón del desplazamiento de los pisos para cada nivel de solicitación sísmica. Se observa que a medida que aumentó el número de pisos, la media se aproximó a uno, obteniéndose del procedimiento MPA valores del desplazamiento de los pisos muy cercanos al análisis NL-RHA, sin embargo la dispersión de los datos se incrementó levemente. También, a medida que aumentó el nivel de la solicitación sísmica en un mismo modelo, la tendencia de la media de la razón del desplazamiento de los pisos y el drift de los entrepisos fue a entregar un error levemente mayor en el procedimiento MPA (obtenido con los valores extremos). Específicamente, para la razón del desplazamiento de los pisos, al aumentar el nivel de la solicitación sísmica el error aumentó en un 3% para el modelo W1020, un 9% para el W1525, un 18% para el W2030 y un 5% para el W2535. Lo anterior, refleja que los resultados obtenidos con el procedimiento MPA son, en general, débilmente dependiente de la variación del nivel del sismo. Además, a medida que aumentó el número de pisos, el comportamiento en altura de la razón del desplazamiento de los pisos y el drift de los entrepisos fue más errático. Finalmente, para el valor de la media de la razón del desplazamiento de los pisos, se obtuvo ligeramente mejores resultados que para el valor de la media del drift de los entrepisos. Como promedio aritmético, los drift presentaron un error superior a los errores observados en los desplazamientos de un 6% para el modelo W1020, un 10% para el W2030, un 12% para el W2030 y un 14% para el W2535. Distribución en Altura del Desplazamiento de los Pisos y el Drift de los Entrepisos Para comparar la distribución en la altura del desplazamiento de los pisos y el drift de los entrepisos, entre el procedimiento MPA y el análisis NL-RHA, se realizó una normalización considerando un valor unitario en el techo. Con esto, se consiguió igualar el desplazamiento y drift de techo obtenidos entre ambos procedimientos de análisis, y evaluar la forma de la distribución en altura de las respuestas en los pisos restantes. Se analizó el error de la distribución en altura para los mismos registros de aceleraciones en los tres niveles de solicitaciones sísmicas. Los resultados no muestran una tendencia clara, porque en algunos casos el error se mantuvo constante, en otros aumentó y en otros casos disminuyó al cambiar el nivel del sismo. Como ejemplo, en la Fig. 19 se muestra la distribución en altura para el modelo W1020 y el registro de aceleraciones de Laligua200, en los tres niveles de solicitaciones sísmicas. Para el caso particular en que se utilizaron los registros de aceleraciones ajustados con los cuales se obtuvo el mínimo error para el desplazamiento de los pisos entre el procedimiento MPA y el análisis NL-RHA, se observa que el procedimiento MPA aproxima mejor los valores máximos de los desplazamientos, especialmente el de techo, y peor la distribución en altura de

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ellos. Además, a medida que aumentó el nivel de la solicitación sísmica, el error de la distribución en altura del desplazamiento de los pisos y el drift de los entrepisos también aumentó, siendo los errores de estos últimos, mayores a los errores de los desplazamientos en los pisos. Expansión Modal de Desplazamientos y Esfuerzos del Análisis NL-RHA y Comparación con los Resultados del Procedimiento MPA Se realizó la expansión modal de las respuestas del desplazamiento de techo y del esfuerzo de corte basal en el tiempo, de acuerdo al análisis NL-RHA del sistema de varios grados de libertad, y se compararon con las respuestas obtenidas para el sistema equivalente de un grado de libertad del procedimiento MPA. De los gráficos de desplazamientos de techo en el tiempo para cada modo considerado, se obtuvo que las respuestas de los sistemas MDF y SDF son muy similares en los primeros segundos, lo que manifiesta el comportamiento lineal-elástico de los modelos en ese período y que los procedimientos MPA y RHA son equivalentes. Posteriormente, las respuestas difieren en el tiempo. También, se observaron pequeñas deformaciones remanentes en los sistemas MDF y SDF de los modelos en investigación. De los gráficos de comportamiento histerético del desplazamiento de techo en función del corte basal para los modelos, se observó que las amplitudes para los sistemas MDF y SDF no son muy similares, especialmente para los modos superiores, y que las curvas de comportamiento muestran diferentes pendientes. Lo anterior, se puede explicar debido a que las respuestas del sistema MDF, provienen del análisis realizado con el programa LARZD-2D, con curvas de comportamiento histerético de los elementos sobre una curva primaria trilineal, con degradación de rigidez para ciclos repetitivos y que incluye el efecto “pinching”, estos últimos en el comportamiento de corte (modelo SINA). Sin embargo, en el sistema equivalente de un grado de libertad SDF de la metodología MPA, se consideró un modelo inelástico bilineal de comportamiento sin degradación de rigidez ni resistencia. Además, destaca que para el sistema equivalente SDF, los modos superiores (3, 4 y 5) responden en el rango lineal de comportamiento, a diferencia del sistema MDF, que siempre manifestó en la expansión modal un comportamiento en el rango no-lineal para todos los modos. Como ejemplo, en la Fig. 20, se muestra graficado el desplazamiento de techo en el tiempo para el modelo W1020 y el registro de aceleraciones de LaLigua200 (M=1.0). Además, en la Fig. 21 se muestra graficado el comportamiento histerético del desplazamiento de techo vs. el esfuerzo de corte basal para cada modo considerado. Finalmente, en la Fig. 22 se muestra esta última respuesta del sistema MDF del análisis NL-RHA, sin expandir modalmente.

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Conclusiones

Se evaluó y comparó la precisión de los resultados obtenidos usando la metodología “Modal Pushover Analysis” (MPA) y el análisis “exacto” de la respuesta no-lineal en el tiempo (NL-RHA), considerando 4 modelos de edificios estructurados con muros de hormigón armado y un conjunto de 14 registros de aceleraciones, del evento sísmico del 3 de Marzo de 1985 ocurrido en la zona central de Chile, los cuales se escalaron para cubrir un rango de niveles de solicitaciones sísmicas y respuestas de los modelos. Las siguientes conclusiones generales, son obtenidas de la presente investigación:

● Aplicación del procedimiento MPA a los cuatro modelos

a) Se obtuvo que el primer modo es el más importante en la determinación del desplazamiento máximo de techo del procedimiento MPA. La contribución del primer modo varió entre 90% y 98% para los modelos considerados. En general, a medida que aumentó el número de pisos, se incrementó el porcentaje de contribución de los modos superiores, aunque el primer modo siempre fue el más relevante.

b) En general, se obtuvo que para los modos superiores 3, 4 y 5, el desplazamiento máximo de techo esperado se mantuvo dentro del rango lineal de comportamiento de las curvas modal pushover.

● Desplazamiento de techo obtenido con el procedimiento MPA a los cuatro modelos

c) De los resultados obtenidos para el desplazamiento de techo al analizar 168 casos de MPA, comparándolos con el análisis “exacto” NL-RHA, se obtuvo que a medida que aumentó el número de pisos, la media de la razón de los desplazamientos de techo se aproximó a uno, entregando el procedimiento MPA valores de los desplazamientos de techo muy cercanos al análisis NL-RHA, sin embargo la dispersión de los resultados creció y el rango de resultados se amplió. También destacó, que a medida que aumentó el número de pisos, se incrementó el número de casos en que se sobreestimó el desplazamiento de techo. Además, se obtuvo que el valor de la media de la razón de desplazamientos de techo para los tres niveles de solicitaciones sísmicas, no cambió significativamente, lo que sugiere que los errores en los resultados del procedimiento MPA son débilmente dependientes de la variación del nivel del sismo.

d) La explicación del porqué al aumentar el número pisos del modelo el MPA entregó mejores resultados, se debe a que los modelos con mayor número de pisos incursionaron menos en el rango no-lineal de comportamiento, debido al sobredimensionamiento estructural.

14

● Desplazamiento de los pisos y drift de los entrepisos obtenidos con el procedimiento MPA a

los cuatro modelos

e) Se obtuvo que el primer modo fue muy importante en la evaluación del desplazamiento de techo, aunque en los pisos inferiores, las contribuciones de los modos superiores fueron determinantes en la estimación de las respuestas, especialmente en los modelos con mayor número de pisos.

f) A medida que aumentó el número de pisos, la media de la razón del desplazamiento de los pisos se aproximó a uno, entregando el procedimiento MPA valores del desplazamiento de los pisos muy cercanos al análisis NL-RHA, sin embargo la dispersión de los datos se incrementó levemente.

g) A medida que aumentó el nivel de la solicitación sísmica en un mismo modelo, la tendencia de la media de la razón del desplazamiento de los pisos y el drift de los entrepisos fue a entregar un error levemente mayor en el procedimiento MPA (obtenido con los valores extremos). Para la razón del desplazamiento de los pisos, el error promedio (en los cuatro modelos) de la media aumentó un 9%, lo que refleja que el procedimiento MPA es débilmente dependiente de la variación del nivel del sismo.

h) A medida que aumentó el número de pisos, el comportamiento en altura de la razón del desplazamiento de los pisos y el drift de los entrepisos fue más errático, debido a que en los modelos altos los modos superiores toman más relevancia y contribuyen en mayor medida en las respuestas totales, a diferencia de los modelos bajos, en los cuales sus respuestas quedan controladas por el modo fundamental, ocasionando un comportamiento más uniforme en la altura.

i) Para el valor de la media de la razón del desplazamiento de los pisos, se obtuvo ligeramente mejores resultados que para el valor de la media del drift de los entrepisos. Como promedio aritmético (obtenido en los cuatro modelos), los drift presentaron un error superior a los desplazamientos en un 10%.

j) De los resultados obtenidos para los 14 registros de aceleraciones y los tres niveles de solicitaciones sísmicas, se observó la dispersión de los resultados obtenidos con el procedimiento MPA. Por este motivo, la estimación de la demanda sísmica de una estructura determinada con el procedimiento MPA, requiere ser analizada para un amplio rango de registros de aceleraciones o un espectro de respuesta inelástico (o de diseño) compatible.

15

● Distribución en la altura del desplazamiento de los pisos y el drift de los entrepisos en los

cuatro modelos

k) Del análisis del error de la distribución en altura entre los procedimientos MPA y NL-RHA, para los mismos registros de aceleraciones en los tres niveles de solicitaciones sísmicas, se obtuvo que no hubo una tendencia clara al cambiar el nivel del sismo.

l) Para el caso particular, en que se consideraron los registros de aceleraciones ajustados con los cuales se obtuvo el mínimo error para la razón del desplazamiento de los pisos, se observó que el procedimiento MPA aproxima mejor los valores máximos de los desplazamientos, especialmente el de techo, y peor la distribución en altura de ellos. Además, a medida que aumentó el nivel de la solicitación sísmica, el error de la distribución en altura del desplazamiento de los pisos y el drift de los entrepisos también aumentó, siendo los errores de estos últimos, mayores a los errores de los desplazamientos en los pisos.

● Expansión modal de desplazamientos y esfuerzos en los cuatro modelos

m) Al comparar la expansión modal, de la respuesta del desplazamiento de techo en el tiempo y del comportamiento histerético del desplazamiento de techo en función del esfuerzo de corte basal del sistema MDF del análisis NL-RHA, con la del sistema equivalente SDF del MPA para cada modo, se obtuvo que las amplitudes no son muy similares, especialmente para los modos superiores, además que las curvas de comportamiento histerético muestran diferentes pendientes. Lo anterior, se debe a los distintos modelos inelásticos de comportamiento entre LARZ (modelo SINA) y el procedimiento MPA (modelo bilineal).

Referencias

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CHOPRA A. K. y CHINTANAPAKDEE C. (2002). Evaluation of modal pushover analysis using generic frames. Earthquake engineering and structural dynamics, Vol. 32, No3, 417-442.

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16

buildings. Earthquake Spectra, Vol. 20, No1, 225-254.

CHOPRA A. K., GOEL R. K., CHINTANAPAKDEE C. (2003). Statistics of Single-Degree-of-Fredom Estimate of Displacement for Pushover Analysis of Buildings. Journal of Structural Engineering, Vol. 129, No4, 459-469.

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FEDERAL EMERGENGY MANAGEMENT AGENCY – FEMA (1997), NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings, FEMA 273, Washington D.C., EE.UU.

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HIDALGO, P. A., et al (2004). Inelastic seismic response of shear-wall, reinforced concrete buildings. 13th World Conference on Earthquake Engineering, Vancouver, B.C., Canada, 1-6 August 2004, No 281.

HUBE, M. (2002). Modelo Tridimensional para Predecir la Respuesta Sísmica Inelástica de Edificios Estructurados con Muros de Hormigón Armado. Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Escuela de Ingeniería, Pontificia Universidad Católica de Chile.

Instituto Nacional de Normalización (1996). Diseño Sísmico de Edificios. Norma NCh 433 Of. 96. Santiago, Chile.

MARTINEZ, M. (1999). Desarrollo de un Modelo para Predecir la Respuesta Sísmica Inelástica de Edificios Estructurados con Muros de Hormigón Armado. Memoria para optar al titulo de ingeniero civil, Escuela de Ingeniería, Pontificia Universidad Católica de Chile.

SAIIDI, M. (1979). User’s manual for the LARZ family. Structural Research Series N°466, University of Illinois, Urbana, Illinois.

17

GROUND MOTION N10E COMPONENT LLOLLEO RECORD, am áx=0.71g

-800-600-400-200

0200400600800

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Time [s]

Acc

eler

atio

n [c

m/s

2 ]

Pseudo Acceleration Elastic Response Spectra NCh 433 Of. 96 and Llolleo Record, ξ=5%, F=0.566

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

Tn [s]

Sa/g

NCh 433 Of.96 LlolleoxF Llolleo

A B C

Typical story height: 2.6 m Walls thickness: 20, 25, 30, 25 cm Salb thickness: 15 cm

Fig. 1: Planta típica y elevaciones de las líneas resistentes del modelo en estudio

Fig. 2: Espectros de pseudo-aceleración original y ajustado para el registro de Llolleo

Fig. 3: Registro de aceleraciones original para la componente N10E de Llolleo

18

α

First Mode Pushover Curve

0

100

200

300

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Roof Displacement [cm]

Vbas

e [T

]

Second Mode Pushover Curve

0

100

200

300

400

500

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6


Vbas

e [T

]

Third Mode Pushover Curve

0

50

100

150

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05


Vbas

e [T

]

"Modal" Pushover Curves

0

150

300

450

600

750

900

0 5 10 15 20 25 30 35 40


Vbas

e [T

]

M ode 1 M ode 2 M ode 3

α

Fig 4.: Curva pushover idealizada para el n-ésimo modo

Fig. 5: Relación fuerza-deformación para el n-ésimo modo del sistema inelástico SDF

Fig. 6: Curvas modal pushover real (hasta el desplazamiento antes del colapso) e idealizadas por

modos (hasta el desplazamiento esperado), modelo W1020, registro de Lolleo N10E, M=1.0

19

First Mode Pushover CurveRecord AccelerationXF, M=1.0

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 5 10 15 20 25 30 35 40


Vbas

e [T

]


0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 5 10 15 20 25 30 35


Vba

se [T

]


0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 5 10 15 20


Vbas

e [T

]


0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 5 10 15 20 25 30 35 40


Vbas

e [T

]


0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 5 10 15 20 25 30 35


Vba

se [T

]


0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 5 10 15 20


Vbas

e [T

]


0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 5 10 15 20 25 30 35 40


Vbas

e [T

]


0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 5 10 15 20


Vbas

e [T

]


0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 5 10 15 20 25 30 35


Vbas

e [T

]

Fig. 7: Curvas modal pushover con el desplazamiento máximo de techo para los 14 registros de

aceleraciones ajustados y afectados por los multiplicadores M, modelo W1020

20

Histogram of ratio (ur*)MPA W1020, M=0.75

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

(ur*)MPA

No o

f Rec

ords

Med

ian=

0.61

4

Range=0.382-0.844Total Records:14

OVERESTIM ATIONUNDERESTIM ATION


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

(ur*)MPA

No o

f Rec

ords

Med

ian=

0.58

7




0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

(ur*)MDF

No o

f Rec

ords

Med

ian=

0.61

9



Fig. 8: Histogramas de la razón ( )MPA*ru para el modelo W1020

21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

(ur*)MPA

No o

f Rec

ords


Med

ian=

0.80

3



0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

(ur*)MPA

No o

f Rec

ords

Med

ian=

0.77

3Range=0.487-1.282Total Records:14



0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

(ur*)MPA

No o

f Rec

ords

Med

ian=

0.79

4




22


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

(ur*)MPA

No o

f Rec

ords

Med

ian=

0.90

0




0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

(ur*)MPA

No o

f Rec

ords

Med

ian=

0.86

4


OVERESTIM ATIONUNDERESTIM ATON


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

(ur*)MPA

No o

f Rec

ords

Med

ian=

0.77

7




23


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

(ur*)MPA

No o

f Rec

ords

Med

ian=

0.96

9




0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

(ur*)MPA

No o

f Rec

ords

Med

ian=

0.95

5




0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

(ur*)MPA

No o

f Rec

ords

Med

ian=

0.94

9Range=0.739-1.707Total Records:14

OVERESTIM ATIONUNDERESTIM ATON


24

FLOOR DISPLACEMENTS, M=1.0

0

5

10

15

20

25

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

Displacement/H (%)

Stor

y

NL-RHA MPA 1 "Mode" MPA 2 "Modes"

MPA 3 "Modes" MPA 4 "Modes" MPA 5 "Modes"

STORY DRIFT RATIOS, M=1.0

0

5

10

15

20

25

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80

Story Drif t Ratio (%)

Stor

y

NL-RHA MPA 1 "Mode" MPA 2 "Modes"

MPA 3 "Modes" MPA 4 "Modes" MPA 5 "Modes"

FLOOR DISPLACEMENTS

0

5

10

15

20

25

-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30

Error (%)

Stor

y

MPA 1 "Mode" MPA 2 "Modes" MPA 3 "Modes"

MPA 4 "Modes" MPA 5 "Modes" Serie6

STORY DRIFT RATIOS

0

5

10

15

20

25

-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30

Error (%)

Stor

y


MPA 4 "Modes" MPA 5 "Modes" Serie6

Statistics of (ur*)MPA versus Number of Stories

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

5 10 15 20 25 30

No Stories

Stat

istic

s of

(ur*)

MPA

M=0.75 M=1.0 M=1.5

Overest imat ion

Underest imat ion

Median of (ur*)MPA

Value maxima and minimaDispersion of (ur

*)MPA

* * *

Fig.12: Estadística de la razón del desplazamiento de techo, según el número de pisos y niveles

de solicitaciones sísmicas

Fig. 13: Desplazamiento de pisos, drift de entrepisos y error porcentual entre los procedimientos

MPA y NL-RHA, modelo W2535, registro Sfelipe080, M=1.0

25


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(Δu*)MPA

Sto

ry

ALM EN160 ILLAPEL070 ILLAPEL340 LALIGUA200LALIGUA290 LLOLLEO010 LLOLLEO100 PAPUDO140SFELIPE080 SFELIPE170 TALCA010 TALCA280UTFSM 070 UTFSM 160 μ μ + − δ

UNDERESTIM A TION OVERESTIM ATION


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(u*)MPA

Sto

ry


UNDERESTIM A TION OVERESTIM A TION


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(Δu*)MPA

Sto

ry




0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(u*)MPA

Sto

ry


UNDERESTIM ATION OVERESTIM ATION


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(Δu*)MPA

Sto

ry




0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(u*)MPA

Sto

ry



Fig. 14: Razón del desplazamiento de los pisos y el drifts de los entrepisos para los 14 registros

de aceleraciones ajustados y los tres niveles de solicitaciones sísmicas, modelo W1020

26

STORY DRIFT RATIOS. M=0.75

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(Δu*)MPA

Pis

o N

o


UNDERESTIM ATION OVERESTIM A TION


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(u*)MPA

Sto

ry



STORY DRIFT RATIOS. M=1.5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(Δu*)MPA

Sto

ry




0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(u*)MPA

Sto

ry




0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(Δu*)MPA

Sto

ry




0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(u*)MPA

Sto

ry





27


0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(Δu*)MPA

Sto

ry




0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(u*)MPA

Sto

ry




0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(Δu*)MPA

Sto

ry




0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(u*)MPA

Sto

ry




0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(Δu*)MPA

Sto

ry




0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(u*)MPA

Sto

ry





28


0

5

10

15

20

25

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(Δu*)MPA

Sto

ry




0

5

10

15

20

25

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(u*)MPA

Sto

ry




0

5

10

15

20

25

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(Δu*)MPA

Sto

ry




0

5

10

15

20

25

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(u*)MPA

Sto

ry




0

5

10

15

20

25

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(Δu*)MPA

Sto

ry




0

5

10

15

20

25

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(u*)MPA

Sto

ry





29

FLOOR DISPLACEMENTS NORMALIZED TO uroof, M=1.0

0

12

3

4

56

7

89

10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ustory i/uroof

Sto

ry

NL-RHA MPA

STORY DRIFT RATIOS NORMALIZED TO Δuroof, M=1.0

0123456789

10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Δustory i/Δuroof

Sto

ry

NL-RHA MPA

DISPLACEMENTS AND DRIFTS NORMALIZED TO ROOF

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Error (%)

Sto

ry

Displacements Drifts


0

12

3

4

56

7

89

10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ustory i/uroof

Sto

ry

NL-RHA MPA


0123456789

10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Δustory i/Δuroof

Sto

ry

NL-RHA MPA

DISPLACEMENTS AND DRIFTS NORMALIZED TO ROOF

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Error (%)

Sto

ry



0

12

3

4

56

7

89

10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ustory i/uroof

Sto

ry

NL-RHA MPA


0123456789

10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Δustory i/Δuroof

Sto

ry

NL-RHA MPA

DESPLAZAMIENTOS Y DRIFTS NORMALIZADOS A TECHO

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Error (%)

Sto

ry


Statistics of (u*)MPA versus Number of Stories

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

5 10 15 20 25 30

No Stories

Stat

istic

s of

(u*)

MPA

M=0.75 M=1.0 M=1.5

Median of (u*)MPA

Dispersion of (u*)MPA

Overest imat ion

Underest imat ion

Fig. 18: Estadística de la razón del desplazamiento de los pisos, según el número de pisos y niveles de solicitaciones sísmicas

Fig. 19: Desplazamiento de pisos y drift de entrepisos normalizados a un valor unitario en el techo, y error porcentual de la distribución en altura entre las metodologías MPA y NL-RHA,

modelo W1020, registro de Laligua200

30

Modal expansion of the top story displacements NL-RHA and MPA Mode 1

-9-6-30369

0 10 20 30 40 50

t [s]

ur1

[cm

]

MDFSDF


-1.2-0.8-0.40.00.40.81.2

0 10 20 30 40 50

t [s]

u r2

[cm

]

MDFSDF


-0.15-0.10-0.050.000.050.100.15

0 10 20 30 40 50

t [s]

u r3

[cm

]

MDFSDF

Top story displacement - Base shear NL-RHA and MPA Mode 1

-300

-200

-100

0

100

200

300

-9 -6 -3 0 3 6 9

ur1 [cm]

Vo1

[T]

MDFSDF


-600

-400

-200

0

200

400

600

-1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2

ur2 [cm]

Vo2

[T]

MDFSDF


-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15

ur3[cm]

Vo3

[T]

MDFSDF

Fig.20: Expansión modal del desplazamiento de techo del análisis NL-RHA y el procedimiento MPA, W1020, registro de Laligua200, M=1.0

Fig.21: Expansión modal del comportamiento histerético del desplazamiento de techo-corte basal del análisis NL-RHA y el procedimiento MPA, W1020, registro de Laligua200, M=1.0

31

Histeretic behavior top story displacement-base shear NL-RHA

-600

-400

-200

0

200

400

600

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

ur [cm]

Vo

[T]

Fig.22: Comportamiento histerético del desplazamiento de techo-corte basal del análisis NL-RHA, W1020, registro de Laligua200, M=1.0

32

AN APPLICATION OF MODAL PUSHOVER ANALYSIS TO

MEDIUM-RISE SHEAR-WALL REINFORCED CONCRETE BUILDINGS

L. Arévalo2 and E.F. Cruz3

ABSTRACT

The application of the Modal Pushover Analysis (MPA) method to real Chilean

medium rise buildings based on reinforced concrete shear walls is presented. The evaluation of the results obtained is made by comparison with results from time history analysis of the nonlinear response (NLRHA). The precision of the seismic demand determined by the MPA is studied for three buildings (7, 11 and 12 stories) with a percentage of area of walls with respect to the area of the plan of the order of 3%. For the analysis of the building the analytical model considered includes failure modes for the wall in flexure and in shear. For the MPA the P-D effects were considered and for the NLRHA the program LARZ (2D) was used. For the both analyses procedures the earthquake excitation was represented by the actual records of events that in the past affected these buildings and caused some structural damage. The results obtained show that MPA tends to underestimate the response obtained from the NLRHA, but the quantitative description of the overall nonlinear behavior as obtained from the global responses of the buildings using MPA, is found to be quite good.

Introduction

The Modal Pushover Analysis (MPA) methodology allows to estimate the seismic demand and to study the performance of a structure under extreme earthquake loading. It is based on performing a nonlinear static analysis, (“Push Over type” with a special distribution of lateral forces) and also in using, in an approximate manner, the classic theory of structural dynamics, that includes the contributions of the different natural vibration modes for elastic behavior. Based on these assumptions, it allows to determine the resisting capacity of the

2 Graduate Student, Dept. of Structural and Geotechnical Eng., P. Universidad Católica, Santiago, Chile. 3 Professor, Dept. of Structural and Geotechnical Eng., P. Universidad Católica, Santiago, Chile.

33

structure and provides information of the nonlinear behavior of the elements, for example: sequence in which the sections enter into the nonlinear range, the lateral displacements for each increase of load, the drifts of the different stories, the elements ductility and whether they reach failure due to flexure and shear forces, etc. The earthquake loading is considered acting in equivalent single degree of freedom (SDOF), systems that have a nonlinear behavior curve that is based on the “pushover curves” obtained from the analysis of the multiple degrees of freedom (MDOF) system with lateral distributions of force that are proportional to the corresponding elastic vibration mode shapes. The “pushover curves” for each mode shape are assumed to be bilinear, and are then transformed to a force-deformation relationship, different for each mode. Once the behavior curves for each of the modes are obtained, the nonlinear response of the equivalent nonlinear SDOF systems are computed and afterwards their maximum values are used to estimate the overall maximum values for each response quantity of interest, combining the modal responses by means of the standard superposition rule (square root of the sum of the squares). Previous studies (Chopra et al., 2001, 2002, 2003, 2004), have demonstrated that for frame buildings the pushover analysis using several different distributions of forces given by the FEMA-273 procedure significantly underestimate the drifts of the different stories, using as comparison base the response obtained from nonlinear response history analysis (NLRHA). Nevertheless, the MPA procedure provides a better estimation of the seismic response than all the other distributions of lateral forces of the FEMA procedure. It is also demonstrated that with an increase in the number of mode shapes considered, the estimation of story drifts determined with the MPA has a trend over the height that is similar to the one obtained with the NLRHA. In addition, the P-Δ effect due to the gravity loads is not very significant in the MPA results, unless the building goes very far into the inelastic range. In this study the MPA procedure is applied with slight modifications to real buildings consisting basically of reinforced concrete shear walls. The pushover curves for this type of building are somewhat different than the typical pushover curves for frame type buildings. The shape of the curve up to the collapse displacement is closer to a tri-linear approximation than to the typical bilinear approximation, especially for the first mode shape. Due to this, in this study the MPA procedure was carried out using a bi-linear approximation but iterating until convergence was obtained at the level of the maximum inelastic displacement. In addition, because the building main resisting elements are reinforced concrete shear walls where the nonlinear behavior includes both a flexural component and a shear component, the behavior curve for the elements is also dependent on the time history of the ratio between bending moment and shear force at the individual element (aspect ratio). Several experimental

34

and analytical studies carried out at the Pontificia Universidad Católica of Chile have resulted in the definition of a model for the hysteresis loop due to shear behavior in the shear walls (Hidalgo, 2002). Therefore, the aspect ratio of the different walls is another variable to take into account in the analysis, because it changes in time and for each increase of loads in the pushover analysis, which in turn affects the shape of the capacity curves for shear of the walls.

Description of the Buildings used in the Study

General Characteristics

Due to space limitations only one of the buildings considered will be presented in some detail. The full set of results is included in the corresponding research report (Arévalo, 2005). The Ticnamar building is located in the city of Arica, in the northern most end of Chile, and suffered some structural damage in June 2001, caused by an earthquake with epicenter in the South of Peru, about 200 km away. The typical floor plan and some of the elevations of the building are shown in Fig. 1. The building was designed and built in 1980, it has 12 stories, and it is divided into two independent parts, separated by an expansion joint of 5 cm, that is located in the area of the staircases and elevators. The dimensions in plan of each part are 29.2 by 23 m. It consist mostly of uncoupled reinforced concrete shear walls, except in two planes where coupling beams with rather low stiffness exist (axes 13 and 18). The density of walls (ratio of wall area to total plan area) is of 3.2% in the X direction and 2.3% in the Y direction. The typical story height is 2.5 m except for the first story that has a height of 3.0 m. The floor are made up of flat slabs that have 13 cm thickness. The thickness of the walls varies between 15 and 30 cm and the steel reinforcement ratio specified for shear is 0.0020. The concrete strength is 20 MPa and the yield strength for the steel is 420 MPa. The foundations system consist of strip foundation under the walls that are connected with tie beams. The earthquake of June 2001, was recorded in an instrument (accelerograph), located approximately 300 m from the building. The maximum recorded accelerations correspond to 0.33g in the Y direction and 0.27g in X direction. In Fig. 2 the two components of the recorded ground accelerations are shown. The two components of the recorded ground motion are used for the analysis without scaling.

Modeling of the Building The building was studied in the two main directions of the plan as two independent plane models (two dimensional). In each direction, all the walls parallel to the direction of the analysis

35

are considered. The coupling beams (if any) are also included. The building mass was considered to be concentrated at the level of each of the story floors and the P-Δ effect was included. The nonlinear analysis of the models of the building was carried out using the computer program LARZ2D, developed by M. Saiidi at the University of Illinois (Saiidi, 1979), with the modifications to the original version made at the Pontificia Universidad Católica of Chile, that included a model of hysteresis for shear behavior in reinforced concrete walls elements (Hube, 2002). The behavior of the shear wall elements in the model as implemented in the LARZ2D program includes both flexure and shear behavior. The models considered correspond to the “SINA model”, developed by Saiidi and Sozen (Saiidi, 1979). The primary curve for shear, that depends on the aspect ratio of the wall, was determined based on equations obtained from a collection of previous experimental results for elements with different aspect ratios done by (Hube, 2002). For determining the characteristics of the cyclic shear behavior of the walls of the building, the aspect ratio was selected as the value that occurs the largest number of times during the time history of the response. This value was adjusted on a trial and error process that usually required two or three iterations, using the actual earthquake record considered in the analysis. In the building models, the walls were considered fixed to the ground, neglecting any soil structure interaction. The modal damping ratio was considered to be 2% for all modes. Because the SINA model was used for the flexural and shear behavior of the elements, additional damping will appear during loading and unloading cycles due to the tri-linear shape of the primary curve. This effect generates a hysteretic damping of the order of 3%, that when added with the modal damping creates a total damping close to 5% that agrees with the typical values used in codes of seismic design (Hube, 2002).

Modal Pushover Analysis Procedure

In order to apply the MPA procedure to the Ticnamar building the capacity curves corresponding to the elastic behavior vibration modes were computed using the modified static version of the computer program LARZ2D (Hube, 2002). The lateral load distributions used for the pushover analysis were proportional to the product of the mass matrix and the corresponding mode shape. Small load increments were considered and the load was increased until the collapse of the structure occurred. In all cases the P-Δ effects were considered. In Fig. 3 the first three elastic vibration mode shapes and fundamental periods are shown for both, the X and Y direction. With the base shear – top displacement curves obtained from the pushover analysis the idealized bilinear behavior curve for each mode was constructed (see Fig. 4). The procedure used to obtain the approximate bilinear behavior curve is summarized in the following steps:

36

1. Point B of Fig. 4 was defined initially as the top displacement just before collapse. Later, and by means of an iterative procedure, point B was redefined until the expected top story displacement for the building for the corresponding acceleration record was matched.

2. The area under the actual pushover curve was calculated, Apn. 3. The base shear that produces yielding, Vi

bny was estimated. This value was initially obtained studying the shape of the capacity curve. It was chosen as the point of the pushover curve until which the behavior is essentially linear. Later, and by means of an iterative procedure, the “yield base shear” was recomputed considering that the areas under the idealized and the actual pushover curves must be equal.

4. The initial stiffness of the bilinear idealized curve ink was computed as the secant from

the origin to the point of the actual curve with base shear 0.6 ibnyV .

i. From the pushover curve data the top story displacement uirn,0.6 at a base shear value

of 0.6 ibnyV was determined.

ii. The stiffness was computed as i6.0,m

ibny

in uV6.0k =

5. The yield displacement was computed as in

ibny

inyr kVu = , corresponding to the estimated

yield base shear, ibnyV . Point A in Fig. 4 was defined for a base shear i

bnyV and a top

displacement inyru .

6. The bilinear curve OAB was drawn, connecting the already defined points with straight lines.

7. The post yield stiffness was computed from: ( )( ) 1u/u

1V/Virnyrno

ibnybnoi

n −

−=α (1)

8. The area under the bilinear curve OAB was computed, ibnA

9. The error in the approximation was measured as the difference in the areas under the two curves. That is:

( )pn

pnibn

A100AA

error⋅−

= (2)

10. If the error exceeded 0.01% the yield base shear was recomputed as: )A/A(VV i

bnpnibny

1ibny =+ (3)

and steps 5 through 10 were repeated as needed. With this procedure, the idealized bilinear pushover curve was obtained for each of the elastic natural vibration modes. Then, the Fsn/Ln – Dn relation for the equivalent SDOF system was determined. The idealized curves associated with each vibration mode were determined using the expected maximum displacement of the nonlinear behavior to define point B. This required to carry out iterations, but usually two or three iterations were enough to obtain convergence. In Fig. 5 the curves corresponding to the initial iteration are shown for the first

37

three modes (left box), and the final approximate curve, after three iterations is shown for the first mode (right box). From the previous pushover analysis, and considering the top displacement urno obtained for each analysis direction the values of the different response quantities were obtained for each “mode shape”, rno. The total response ro for the corresponding response quantity is obtained using the standard superposition rule, the square root of the sum of squares (SRSS) as:

2/1N

1n

2noo rr ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

=

(4)

For the Ticnamar building, only the first three mode shapes had relevant contributions to the total response. The response computed using more than three mode shapes was essentially identical to that obtained using only the first three the mode shapes.

Comparison of MPA and NLRHA Results The values of lateral displacements and inter-story drifts were computed in all the floors for the two analysis directions and they are compared in Fig. 6 where the percentage difference with respect to the NLRHA results are also shown. Three sets of curves are shown, corresponding to the response computed including the contribution of one, two, and three modes respectively. The results show that the MPA can predict the general trends in the NLRHA results, with a tendency to underestimate them, both for lateral displacements and for inter-story drifts. The error in the top story displacement in the MPA results for direction X is -27% and for direction Y is only -13%. In general, the error in the lateral displacements of all the stories is larger for direction X than for direction Y. The contributions to the lateral displacements response of modes 2 and 3 are small, and the errors with respect to NLRHA are not changed significantly. For the inter-story drifts it is observed that the trend over the height of the MPA results follows that of the NLRHA results for direction X, but it is not so good for direction Y. The errors in the MPA results for inter-story drifts are larger than for lateral displacements. As with the lateral displacements, the MPA results for drifts underestimate the NLRHA results, and the contributions of modes 2 and 3 to the total response are not very significant.

Modal Expansion of Top Story Displacement and Base Shear In order to try to understand the origin the differences observed in the results of the MPA and the NLRHA procedures the contributions of the different mode shapes to the total response

38

as a function of time are analyzed for two response quantities: the top story displacement and the base shear. This is carried out in the two directions of analysis considered. In Fig. 7 the results of the comparison of the top story displacements time history between the individual mode response of the MDOF system (NLRHA, blue line) and the corresponding equivalent nonlinear SDOF system (MPA, red line) are shown. In Fig. 8 the corresponding overall behavior curves (Base Shear as a function of Top Story Displacement) for each of the three modes considered in the MPA procedure are shown. In the curves shown in Fig. 7, although the maximum values of the top story displacement modal responses are seen to be similar, the variation over time of the responses are seen to be rather different. The MPA results do not follow the NLRHA results very closely and they fail to predict the permanent displacements observed in the NLRHA results. From the results in Fig. 8 it can be seen that for the first mode, the behavior of the equivalent SDOF system of the MPA procedure follows the same trend of the results of the MDOF system of the NLRHA procedure, but for the other two modes the differences in the observed behavior are quite large. The differences are both in the “apparent” stiffness (and thus in the vibration frequency) of the equivalent SDOF system and also in the shape of the hysteresis curve. The differences are much larger for the third mode, where the MPA results show essentially elastic behavior, while the NLRHA results are quite complicated, and clearly the behavior curve can not be approximated by a bilinear envelope. From these results it is clear that the errors observed in the results of the MPA procedure are not unexpected, and will not be avoided unless the nonlinear behavior of the MDOF system can in fact be represented as the superposition of the behavior of equivalent SDOF systems.

Summary and Conclusions A comparison of results from NLRHA and MPA analysis for a twelve story reinforced concrete shear wall building was carried out. Based on the difficulties observed in using the bilinear approximation to the behavior curve obtained from the Push Over analysis for the building a modification to the standard MPA procedure was introduced, to allow a better match of the actual behavior with a bi-linear curve. This required an iterative procedure to match the top story maximum displacement obtained from the equivalent nonlinear SDOF system response. After including this modification the MPA procedure was used in the standard manner and the results obtained were compared to those obtained from NLRHA. The results show that for the distribution of lateral displacements over the height and also for the distribution of inter-story drifts over the height the overall tendency of the MPA results follows that of the NLRHA results. In general, the results of the MPA procedure underestimate

39

the NLRHA response results. The contributions to the MPA response of the second and third mode shapes are seen to be very small, at least for the lateral displacements and inter-story drifts. The modal decomposition of the actual NLRHA response for the top story displacement shows that in the MPA procedure, the equivalent SDOF systems for the second and third modes are not able to follow the actual nonlinear response observed in the NLRHA. From the study of the true NLRHA response it is clear that this is not feasible using a bilinear behavior curve.

Acknowledgements The work reported here was started after a suggestion of Prof. Anil Chopra, at the University of California, Berkeley. His contribution to the work through many useful discussions of the different aspects of this problem are gratefully acknowledged.

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Hube, M., 2002 “Manual de uso LARZD3 y modificaciones realizadas al programa LARZD

40

X

W

U

T

R

P

N

IH

G

S

26 25 24 22 2018

17 13 12 9 7

plano.” Research Report, Pontificia Universidad Católica de Chile. Saiidi, M., 1979. “User’s Manual for the LARZ family.” Structural Research Series N°466,

University of Illinois, Urbana, Illinois.

a. Typical floor plan of each part b. Elevations of the main shear walls

Figure 1. Schematic representation of the of the Ticnamar Building characteristics.

41

TICNAMAR DIR X BUILDING

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Modal Shape

Stor

y φ1φ2φ3

T1=0.8706 [s]T2=0.2368 [s]

T3=0.1191 [s]

TICNAMAR DIR Y BUILDING

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Modal Shape

Stor

y φ1φ2φ3

T1=0.8766 [s]

T2=0.2192 [s]

T3=0.1073 [s]

TICNAMAR 2DX BUILDINGModal Pushover Curves

0200400600800

1000120014001600

0 5 10 15 20 25

Roof Displacem ent [cm]

Bas

e Sh

ear [

T]

M ode1M ode2M ode3

TICNAMAR 2DX BUILDINGMode 1 Pushover Curve

0

100

200

300

400

500

600

700

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Roof Displacem ent [cm]

Bas

e Sh

ear [

T]

α

Ground Motion E-O Component Arica Record amáx=0.27g

-350-250-150-5050

150250350

10 20 30 40 50 60 70 80

Time [s]

Acc

eler

atio

n [c

m/s

2 ]

Ground Motion N-S Component Arica Record amáx=0.33g

-350-250-150-5050

150250350

10 20 30 40 50 60 70 80

Time [s]

Acc

eler

atio

n [c

m/s

2 ]

Figure 2. Earthquake acceleration records considered (Event of June 2001). Figure 3. Elastic Behavior Natural Vibration Mode Shapes Figure 4. Idealized Push Over

for each analysis direction, Ticnamar Building. Curve for the nth mode.

Figure 5. Exact and Approximate (Bilinear) Pushover Curves for each vibration mode.

42

TICNAMAR 2DX BUILDINGFLOOR DISPLACEMENTS

0123456789

101112

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

Displacement/H (%)

Sto

ry

NL-RHA MPA 1 "Mode" MPA 2 "Modes" MPA 3 "Modes"

TICNAMAR 2DX BUILDINGSTORY DRIFT RATIOS

0123456789

101112

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60

Story Drift Ratio (%)

Sto

ry


TICNAMAR 2DX BUILDINGFLOOR DISPLACEMENTS

0123456789

101112

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20

Error (%)

Sto

ry


TICNAMAR 2DX BUILDINGSTORY DRIFT RATIOS

0123456789

101112

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20

Error (%)

Sto

ry


TICNAMAR 2DY BUILDINGFLOOR DISPLACEMENTS

0123456789

101112

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

Displacement/H (%)

Sto

ry


TICNAMAR 2DY BUILDINGSTORY DRIFT RATIOS

0123456789

101112

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

Story Drift Ratio (%)

Sto

ry


TICNAMAR 2DY BUILDINGFLOOR DISPLACEMENTS

0123456789

101112

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10

Error (%)

Sto

ry


TICNAMAR 2DY BUILDINGSTORY DRIFT RATIOS

0123456789

101112

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

Error (%)

Sto

ry


Modal expansion of roof displacements NL-RHA Mode 1, TICNAMAR 2DX

-15-10

-505

1015

0 10 20 30 40 50 60 70 80

t [s]

u r1 [

cm]

MDF

SDF


-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5

0 10 20 30 40 50 60 70 80

t [s]

u r2 [

cm]

MDF

SDF


-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0 10 20 30 40 50 60 70 80

t [s]

u r3 [

cm]

MDF

SDF

Modal expansion of roof displacements NL-RHA Mode 3, TICNAMAR 2DY

-0.3-0.2-0.10.00.10.20.3

0 10 20 30 40 50 60 70 80

t [s]

u r3 [

cm]

MDF

SDF


-15-10

-505

1015

0 10 20 30 40 50 60 70 80

t [s]

u r1 [

cm]

MDF

SDF


-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

0 10 20 30 40 50 60 70 80

t [s]

u r2 [

cm]

MDF

SDF

Figure 6. Lateral Displacements and Inter-story Drifts from MPA and NLRHA, Direction X and Direction Y. Actual values and Percentage Error with respect to NLRHA.

Figure 7. Modal expansion of the top story displacements, NLRHA and MPA results.

43

Modal expansion behavior histeretic of the basal shear NL-RHA Mode 1 Ticnamar 2DX Building

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

-15 -10 -5 0 5 10 15

ur1 [cm]

Vo1

[T]

MDF

SDF


-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

ur2 [cm]

Vo2

[T]

MDF

SDF


-250

-150

-50

50

150

250

-0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

ur3[cm]

Vo3

[T]

MDF

SDF

Modal expansion behavior histeretic of the basal shear NL-RHA Mode 1 Ticnamar 2DY Building

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

-15 -10 -5 0 5 10 15

ur1 [cm]

Vo1

[T]

MDF

SDF


-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

ur2 [cm]

Vo2

[T]

MDF

SDF


-250

-150

-50

50

150

250

-0.25 -0.15 -0.05 0.05 0.15 0.25

ur3[cm]

Vo3

[T]

MDF

SDF

Figure 8. Modal expansion of the Hysteretic Behavior for Base Shear as a function of Top Story

Displacement, NLRHA and MPA results.

Documents

Modal Pushover Analysis