MODEL MATEMATIKA (NONLINIER) POPULASI ANJING RABIES

DENGAN VAKSINASI

KOMPETENSI MATEMATIKA TERAPAN

SKRIPSI

AHMAD FITRI

1008405071

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANA

BUKIT JIMBARAN

2015

LEMBAR PERSEMBAHAN

Jangan menunggu waktu yang tepat untuk melakukan

sesuatu, karena waktu tidak akan pernah tepat bagi

mereka yang menunggu

(IWAN FALS)

Tulisan ini saya persembahkan kepada:

Allah SWT

Atas kehendaknya, skripsi ini dapat terselesaikan

Bapak (Alm), Ibu (Alm), Kakak-kakak tercinta, Keluarga, dan Orang terdekat

Dukungan, doa, dan cinta kasih dari kalian selalu menyertai dan

menyemangati penulis

ii

MODEL MATEMATIKA (NONLINIER) POPULASI ANJING RABIES

DENGAN VAKSINASI

KOMPETENSI TERAPAN

[SKRIPSI]

Sebagai syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains bidang Matematika

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Udayana

Tulisan ini merupakan hasil penelitian yang belum pernah dipublikasikan

AHMAD FITRI

1008405071

iii

LEMBAR PENGESAHAN TUGAS AKHIR

Judul : Model Matematika (Nonlinier) Populasi Anjing Rabies

dengan Vaksinasi

Kompetensi : Matematika Terapan

Nama : Ahmad Fitri

NIM : 1008405071

Tanggal Seminar : 22 Mei 2015

Disetujui oleh:

iv

Judul : Model Matematika (Nonlinier) Populasi Anjing Rabies dengan

Vaksinasi

Nama : Ahmad Fitri (NIM: 1008405071)

Pembimbing : 1. Ir. Tjokorda Bagus Oka, Ph.D.

2. Drs. I Nyoman Widana, M.Si.

ABSTRAK

Virus rabies adalah virus mematikan yang bersifat menular dan dapat

menyerang ke semua spesies mamalia terutama anjing. Proses penularan terjadi

jika ada interaksi antara anjing yang sehat dengan anjing yang terinfeksi rabies.

Rabies di Bali pertama kali muncul pada akhir tahun 2008. Salah satu cara yang

dilakukan pemerintah untuk menanggulangi masalah tersebut adalah dengan

memberikan vaksin terhadap anjing sehat sehingga tidak mudah tertular rabies.

Untuk itu diperlukan suatu model matematika untuk menganalisis

perkembangan populasi anjing di Bali. Melalui analisis titik tetap dan

kestabilan pada model maka didapatkan tidak hanya nilai persentase pemberian

vaksin yang berpengaruh terhadap jumlah populasi anjing rabies, melainkan

laju kelahiran dari populasi anjing yang sehat juga berpengaruh. Pada bagian

akhir dilakukan simulasi numerik menggunakan metode deret Taylor orde satu

untuk mengilustrasikan dan memperkuat hasil analisis.

Kata Kunci: Rabies, Vaksinasi, Sistem Persamaan Differensial Nonlinier

v

Judul : Model Matematika (Nonlinier) Populasi Anjing Rabies dengan

Vaksinasi

Nama : Ahmad Fitri (NIM: 1008405071)

Pembimbing : 1. Ir. Tjokorda Bagus Oka, Ph.D.

2. Drs. I Nyoman Widana, M.Si.

ABSTRACT

Rabies is an infectious fatal virus that can attack all mammals

especially dogs. Infection happens when there is interaction between healthy

dogs and rabies-infected dogs. In Bali, rabies was first found in late 2008. One

of the solutions done by government to the problem is by giving vaccine to

healtly dogs, so that they are not easily infected by the virus. Thus, a

mathematical model is needed to analyze the development of dogs population

in Bali. By using analysis of fixed point and stability on the model, the

population of rabies-infected dog population was affected by not only the

percentage of vaccination but also the number of healthy dogs birth. Lastly, a

numeric simulation by using Taylor’s series st1 order was conducted to

illustrate and to strengthen the result of the analysis.

Keyword: Rabies, Vaccination, Nonlinear Systems of Differential Equations

vi

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa

karena atas berkat, kasih karunia, dan bimbingan-Nya sehingga penulisan

Tugas Akhir ini dapat terselesaikan dengan judul “Model Matematika

(Nonlinier) Populasi Anjing Rabies dengan Vaksinasi”.

Penulisan Tugas Akhir ini tidak lepas dari bantuan, saran, bimbingan

dan arahan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis

menyampaikan rasa terima kasih kepada:

1. Ir. Anak Agung Gede Raka Dalem, M.Sc., selaku Dekan Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Udayana.

2. Ir. Komang Dharmawan, M.Math., Ph.D., selaku Ketua Jurusan

Matematika FMIPA Universitas Udayana.

3. Ir. I Putu Eka Nila Kencana, M.T., selaku Pembimbing Akademik (PA)

yang telah banyak memberikan motivasi, saran dan bimbingan selama

penulis menimba ilmu di Jurusan Matematika FMIPA

Universitas Udayana.

4. Ir. Tjokorda Bagus Oka, Ph.D., selaku Pembimbing I yang telah banyak

memberikan bimbingan selama proses penulisan Tugas Akhir ini.

5. Drs. I Nyoman Widana, M.Si., selaku Pembimbing II yang senantiasa

membantu penulis selama proses penulisan Tugas Akhir ini.

6. Made Eka Dwipayana, M.Si., yang ikut serta membimbing penulis,

memberikan arahan, saran dan literature selama penulisan Tugas Akhir ini.

vii

7. Luh Putu Ida Harini, S.Si., M.Sc., Made Susilawati, S.Si., M.Si., dan

Ni Ketut Tari Tastrawati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji yang telah

membantu, memberikan kritik dan saran yang membangun penulis dalam

penyelesaian Tugas Akhir ini.

8. Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika serta pegawai Fakultas MIPA

Universitas Udayana yang telah memberikan dukungan, saran dan bekal

ilmu selama penulis menjadi mahasiswa.

9. Kepala Dinas Peternakan dan Kesehatan Hewan Provinsi Bali, yang telah

memberikan izin penulis dalam pengumpulan data selama proses penulisan

Tugas Akhir ini.

10. Orang tua dan keluarga penulis : Murahwi (Alm), Herna (Alm) dan semua

keluarga penulis yang telah memberikan dukungan, doa, dan kasih sayang

kepada penulis.

11. Spesial buat Ni Putu Deviyanti yang selalu menyemangati penulis dan

memberikan doa selama penulis menjadi Mahasiswa di Jurusan

Matematika FMIPA Universitas Udayana.

12. My brother Agus Fachrur Rozy yang selalu menemani, memberikan

dukungan dan doa selama penulisan Tuga Akhir ini.

13. Teman-teman seperjuangan Jurusan Matematika angkatan 2010 yang

secara bersama terus memberikan semangat selama proses penulisan

Tugas Akhir ini.

14. Semua pihak yang telah memberikan dukungan dalam penyelesaian Tugas

Akhir ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

viii

Besar harapan penulis, Tugas Akhir ini dapat berguna bagi para

pembaca di Universitas Udayana terutama di Jurusan Matematika. Penulis

menyadari penulisan Tugas Akhir ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh

karena itu saran dan kritik yang membangun dari berbagai pihak sangat

diharapkan dalam penyempurnaann Tugas Akhir ini.

Bukit Jimbaran, Agustus 2015

Penulis

ix

BIODATA ALUMNI

Nama Lengkap : Ahmad Fitri

NIM : 1008405071

Jenis Kelamin : Laki-laki

Tempat, Tanggal Lahir : Situbondo, 15 Mei 1988

Alamat : Jln. Kembar Kampus, Gg. Bambu, No. 4,

Jimbaran

Agama : Islam

Tanggal Lulus : 22 Mei 2015

Tanggal Wisuda : 25 September 2015

Kompetensi : Matematika Terapan

IP Kumulatif :

Predikat Kelulusan : Sangat Memuaskan

Nilai TOEFL Lokal : 587

Email : farrel_ahmed@yahoo.com

Nomor Handphone : 085236940400

Nama Ayah : Murahwi (Alm)

Nama Ibu : Herna (Alm)

Alamat Ayah/Ibu : Dsn. Semekan Selatan, RT/RW 01/02,

Desa. Klata kan, Kec Kendit,

Kabupaten. Situbondo, Jawa Timur.

x

DAFTAR ISI

LEMBAR JUDUL ............................................................................................... i

LEMBAR PERSEMBAHAN ............................................................................. ii

LEMBAR PERNYATAAN ............................................................................... iii

LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................... iv

ABSTRAK ........................................................................................................... v

ABSTRACT ....................................................................................................... vi

KATA PENGANTAR ...................................................................................... vii

BIODATA ALUMNI ........................................................................................... x

DAFTAR ISI ...................................................................................................... xi

DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xiv

DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... xv

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1

1.1. Latar Belakang Masalah ...................................................................... 1

1.2. Rumusan Masalah ............................................................................... 3

1.3. Batasan Masalah .................................................................................. 3

1.4. Tujuan Penelitian ................................................................................. 4

1.5. Manfaat Penelitian ............................................................................... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA .......................................................................... 5

2.1 Persamaan Diferensial Biasa ............................................................... 5

2.1.1 Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Linier ............................. 6

2.1.2 Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Nonlinier ........................ 6

2.2 Sistem Persamaan Diferensial ............................................................. 7

2.2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linier ....................................... 7

2.2.2 Sistem Persamaan Diferensial Nonlinier ................................ 8

2.3 Titik Kesetimbangan ........................................................................... 9

2.4 Kestabilan Pada Titik Kesetimbangan ................................................. 9

2.4.1 Titik Kesetimbangan Stabil ................................................... 10

2.4.2 Titik Kesetimbangan Stabil Asimtotik .................................. 10

xi

2.5 Pelinieran ........................................................................................... 10

2.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ............................................................ 12

2.7 Jenis Kestabilan ................................................................................. 14

2.7.1 Nilai Eigen Berupa Bilangan Riil dan Berbeda ..................... 14

2.7.2 Nilai Eigen Berupa Bilangan Riil dan Sama ......................... 16

2.7.3 Nilai Eigen Berupa Bilangan Kompleks Konjugat ................ 18

2.7.4 Nilai Eigen Berupa Bilangan Kompleks Murni ..................... 19

2.8 Anjing ................................................................................................ 20

2.8.1 Rabies .................................................................................... 21

2.8.2 Anjing Rabies ........................................................................ 21

2.9 Vaksinasi ........................................................................................... 21

2.10 Metode Numerik ................................................................................ 21

2.10.1 Metode Deret Taylor .............................................................. 22

BAB III METODOLOGI PENELITIAN........................................................... 24

3.1 Sumber Data ...................................................................................... 24

3.2 Jenis Penelitian .................................................................................. 24

3.3 Kontruksi Model ................................................................................ 24

3.3.1 Asumsi Dalam Pemodelan ..................................................... 25

3.3.2 Langkah Perancangan Model ................................................ 25

3.3.3 Model ..................................................................................... 26

3.4 Analisis Data ..................................................................................... 27

3.5 Simulasi Model .................................................................................. 27

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ........................................................... 28

4.1 Kontruksi Model ................................................................................ 28

4.1.1 Perumusan Model Nyata ........................................................ 28

4.1.2 Asumsi Model ........................................................................ 29

4.1.3 Perumusan Model Matematika .............................................. 30

4.2 Pemeriksaan Keberadaan Solusi ........................................................ 31

4.3 Analisis Stabilitas .............................................................................. 32

4.3.1 Titik Kesetimbangan Model .................................................. 33

xii

4.3.2 Pelinieran ............................................................................... 34

4.3.3 Kestabilan Pada Titik Kesetimbangan .................................. 37

4.4 Nilai Parameter dan Simulasi Numerik ............................................. 40

BAB V PENUTUP ............................................................................................. 48

5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 48

5.2 Saran .................................................................................................. 48

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 49

LAMPIRAN

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

2.1 Simpul stabil asimtotik untuk ……..…………………….. 15

2.2 Titik sadel dan tidak stabil ………..……………………… 16

2.3 Node stabil asimtotik untuk …………..…………………... 17

2.4 Node stabil asimtotik untuk terhadap

semua kemunkinan kemiringan ………………………………….. 17

2.5 Fokus stabil asimtotik untuk …………………………….. 18

2.6 Center stabil untuk …………………………………………. 19

4.1 Hasil simulasi persamaan (4.1) dengan nilai parameter ( ) ( ) dan ……….……………………. 42

4.2 Hasil simulasi persamaan (4.1) dengan menggunakan nilai ... 43

4.3 Hasil simulasi persamaan (4.1) dengan nilai parameter ( ) ( ) dan ……………………………... 44

4.4 Hasil simulasi persamaan (4.1) dengan menggunakan nilai .... 45

4.5 Hasil simulasi persamaan (4.1) dengan menggunakan nilai

pada bagian (a) dan pada bagian (b) ………………………….. 46

xiv

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran

1. Listing Program (Syntax Matlap).

xv