Modelado de Bioprocesos: Relaciones Matemáticas entre el ...bdigital.unal.edu.co/63099/1/78760552.2017.pdf · Modelos matemáticos para la transferencia de calor 61 2.3 Coeficientes

Modelado de Bioprocesos: Relaciones

Matemáticas entre el Medioambiente

y el Material Biológico

Bioprocess modeling: Mathematical Relations between the

Environment and the Biological Material

FABIÁN ALBERTO ORTEGA QUINTANA

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Minas, Departamento de Procesos y Energía,

Doctorado en Ingeniería: Sistemas energéticos

Medellín, Colombia

2017

Modelado de Bioprocesos: Relaciones Matemáticas entre el Medioambiente y el Material Biológico

Modelado de Bioprocesos:

Relaciones Matemáticas entre el

Medioambiente y el Material

Biológico

FABIÁN ALBERTO ORTEGA QUINTANA

Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:

Doctor en Ingeniería

Director:

Ph.D., M.Sc. I.Q. Hernán Darío Álvarez Zapata

Codirector (a):

Ph.D., M.Sc., Esp. I.E. Héctor Antonio Botero Castro

Línea de Investigación:

Modelación, Optimización y Simulación de Procesos Fisicoquímicos

Grupo de Investigación:

Grupo de Investigación en Procesos Dinámicos-KALMAN

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Minas, Departamento de Procesos y Energía, Doctorado en

Ingeniería: Sistemas energéticos

Medellín, Colombia

2017


Dedicatoria

A Dios por iluminar y guiar mi camino.

A mi esposa Amalfi por su confianza en

que este sueño se hiciera realidad. Eres mi

inspiración.

A mis hijos Laura e Isaac, son dos

lucecitas que Dios colocó para recordarme lo

buena que es la vida. Perdónenme por los días

que no estuve a su lado, así es la vida en el

doctorado.

A mi madre Rosmira, iniciadora de mis

sueños.


Agradecimientos

A mi director y codirector de este trabajo, fueron personas muy valiosas

que Dios colocó a mi lado para llevar a cabo este sueño. Estas líneas no

expresan todo el agradecimiento y aprecio que siento por ustedes. Dios

continúe bendiciendo sus vidas.

A COLCIENCIAS por el financiamiento de este sueño convertido en

realidad a través de la Convocatoria 528.

A la Universidad Nacional de Colombia por acogerme durante estos

años, eres lo mejor de Colombia.

Al personal del Instituto de Investigaciones Biomédicas de la

Universidad Nacional Autónoma de México, especialmente a los

investigadores Mauricio Trujillo y Adriana Valdez. Gracias por hacer

realidad mi pasantía de investigación.

A los ingenieros Abel Blancas y Ramsés García. Gracias por enseñarme

el lado excelente de la gente mexicana.

A mis compañeros de sala de posgrado de la Universidad Nacional:

Christian Zuluaga, Andrés Obando, Laura Lema, Jhon Henry Castro,

Yeison Tangarife, Luis Carlos López, Keidy Morales, Jenny Díaz y

Esteban López. Fue una etapa maravillosa al lado de ustedes. Éxitos en

sus vidas. Christian: ¡Gracias por tu gran ayuda!

A los integrantes del Grupo de Investigación en Procesos Dinámicos-

KALMAN, en especial a la profesora Lina Gómez quien fue la primera

que creyó en mí en esta etapa.

A aquellas personas que por motivos de espacio en este documento no

puedo escribir sus nombres, pero que en mis recuerdos estarán por

siempre como esa sonrisa amable, como esa mano amiga y como ese

paisa colaborador. Gracias porque por ustedes sobreviví fuera de casa.

Espero algún día devolverles el favor.


1

Resumen

En esta tesis se presenta una propuesta para el modelado de bioprocesos

utilizando modelos Semifísicos de Base Fenomenológica (MSBF). Para llegar a

esta propuesta se realizó una revisión de literatura sobre las diferentes

metodologías de modelado de procesos químicos y de bioprocesos existentes y

las características que estos últimos presentan. Además, se explican las

debilidades de estas metodologías cuando se aplican al modelado de

bioprocesos. Se encuentra que el principal inconveniente de estas metodologías

es que no consideran explícitamente la interacción existente entre el

medioambiente y el material biológico, al menos de forma descriptiva desde la

fenomenología. Posteriormente, se plantean funciones matemáticas para

describir la relación entre el medioambiente y el metabolismo celular basada en

los fenómenos de transporte de masa, calor y cantidad de movimiento y

analogías de proceso. Como consecuencia de lo anterior se modifica la

metodología de modelado de procesos propuesta por Alvarez et al. (2014), que

se prueba modelando un bioproceso con la bacteria Escherichia coli utilizando

las herramientas propuestas (funciones matemáticas y metodología de

modelado). El modelo resultante se valida con datos experimentales obtenidos

de Jahan et al. (2016). Se concluye que con los resultados de esta investigación

se tienen nuevas herramientas matemáticas descriptivas de la interacción

célula-medioambiente en los bioprocesos, lo cual ayudará a mejorar actividades

como el escalado, el diseño, la optimización y el control automático de los

mismos.

Palabras clave: bioproceso, modelado, célula, modelo semifísico.


2

Abstract:

This thesis presents a proposal for bioprocesses modeling using

Phenomenological Based Semiphysical Models (PBSM). To formulate this

proposal, a literature review is realized about different existing methodologies

for modeling of chemical processes and bioprocesses and their characteristic. In

addition, the weaknesses of these methods when they are applied to bioprocess

modeling are explained. The main obstacle of these methodologies is that they

do not consider explicitly the interaction between the environment and the

biological material, at least in a descriptive way from phenomenology. Later,

mathematical functions are proposed for the relationship between the

environment and cellular metabolism based on transport phenomena (mass,

heat and momentum) and process analogies. As a result of the above, the

methodology for the modeling of bioprocesses proposed by Alvarez et al. (2014)

is modified. Finally, a bioprocess, using the Escherichia coli bacteria, is

modelled through proposed tools (mathematical functions and modeling

methodology) and the resulting model is validated with experimental data

obtained from Jahan et al. (2016). It is concluded that with the results of this

research new descriptive tools about that interaction in bioprocesses are

available, which will help to improve engineering activities such as scaling,

design, optimization and processes control.

Keywords: bioprocess, modeling, cell, semiphysical model.


3

ÍNDICE GENERAL

_______________________________________________________________

Pág.

Resumen 1

Abstract 2

Índice general 3

Índice de Tablas 5

Índice de Figuras 6

Introducción 8

1. Capítulo 1. Modelado de Procesos 12

1.1. Modelado en Ingeniería 12

1.1.1. Importancia del modelado en ingeniería 13

1.1.2. Tipos de Modelos utilizados en ingeniería 13

1.1.3. Metodologías de modelado de base fenomenológica 15

1.2. El Modelado de los Bioprocesos 18

1.2.1. Particularidades de los Bioprocesos 19

1.2.2. Dificultades en la obtención de modelos para bioprocesos 21

1.2.3. Modelos matemáticos de bioprocesos 23

1.2.4. Tendencias del Modelado en Bioprocesos 29

1.2. 5.Estrategias para mejorar el modelado de bioprocesos 31

1.3. Resumen del Capítulo 35

2. Capítulo 2. La Membrana celular y la interacción entre la

célula y el medioambiente

36

2.1. Membrana Celular 36

2.1.1. Transporte de nutrientes, productos y desechos a través de

la membrana celular

37

2.1.2. Caso de estudio: Transferencia de materia en la membrana

celular de la bacteria Gram-negativa Escherichia coli

39


4

2.2. Modelos matemáticos propuestos en esta tesis para la relación

entre el Medioambiente y el interior celular

46

2.2.1. Modelos matemáticos para la transferencia de masa 46

2.2.2. Modelos matemáticos para la transferencia de calor 61

2.3 Coeficientes locales englobantes en el sistema (Interior celular-

Bulto de líquido) y Curva de Distribución de Equilibrio (CDE)

63

2.3.1 Fluxes molares a través de la membrana celular 63

2.3.2. Construcción de la Curva de Distribución de Equilibrio

(CDE)

71

2.4. Capa límite: hidrodinámica, térmica y de concentración 81

2.4.1. Capa límite hidrodinámica, 82

2.4.2. Capa límite térmica, 83

2.4.3. Capa límite de concentración, 84

2.4.4. Flux molar a través de la capa límite de concentración 86

2.4.5. Volumen de la capa límite, 89

2.4.6. Velocidad de bulto del fluido, 91

2.5 Resumen del capítulo 92

3. Capítulo 3. Metodología propuesta para el modelo de

bioprocesos

93

3.1. Explicación de la Metodología 93

3.2. Aplicación de la metodología de modelado de bioprocesos al caso

de estudio

103

3.3. Resumen del capítulo 122

4. Conclusiones y trabajos futuros 123

4.1. Conclusiones 123

4.2. Trabajos futuros 125

Nomenclatura 126

Referencias bibliográficas 133

Anexos 147


5

ÍNDICE DE TABLAS

_______________________________________________________________

Pág.

Tabla 1-1: Comparación de autores que proponen metodologías de

modelado de procesos

16

Tabla 1-2: Modelos empíricos de velocidad de crecimiento específica 25

Tabla 2-1: Taxonomía de mecanismos de transporte de material a través de

la membrana celular

40

Tabla 2-2: Mecanismos de transporte en la membrana celular de la

Escherichia coli

46

Tabla 2-3: Resumen de modelos matemáticos de mecanismos de transporte

y reacción en la membrana celular de la Escherichia coli

62

Tabla 2-4: Subgrupos presentes en los aminoácidos de cadena lineal 75

Tabla 2-5: Subgrupos de los componentes de la fase citoplasma 76

Tabla 2-6: Valores de 78

Tabla 2-7: Parámetros de interacción UNIFAC 78

Tabla 2-8: Parámetros 79

Tabla 2-9: Valores de 79

Tabla 2-10: Coeficiente de actividad y concentraciones molares de

equilibrio

81

Tabla 3-1: Parámetros del modelo planteado 118

Tabla 3-2: Errores medios absolutos de Modelo de Jahan et al. (2016) y el

modelo propuesto en ests tesis.

119

Tabla A-1: Ecuaciones de Nusselt para cilindros

157


6

ÍNDICE DE FIGURAS

_______________________________________________________________

Pág.

Figura 1-1: Esquema de los supuestos sitios activos de una célula 32

Figura 1-2: Esquema de la regulación de la glucosa en el cuerpo

humano

33

Figura 1-3: Compartimentos supuestos para eliminar etanol 34

Figura 1-4: Válvula de proceso y membrana celular 35

Figura 2-1: Modelo de mosaico fluido de la membrana celular. 37

Figura 2-2: Permeabilidad relativa de una bicapa fosfolípida pura para

varias moléculas e iones

38

Figura 2-3: La bacteria Escherichia coli 41

Figura 2-4: Proteínas transportadoras de membrana 43

Figura 2-5: Esquema del sistema PTS-glucosa en Escherichia coli 44

Figura 2-6: Partes de la membrana celular de Escherichia coli y capa

límite

47

Figura 2-7: Complejo Pared celular + Periplasma de la Escherichia coli 52

Figura 2-8: Membrana interna de la Escherichia coli. 54

Figura 2-9: Sistema ficticio citoplasma de Escherichia coli y bulto de

líquido

64

Figura 2-10: Ejemplo de CDE del sistema interior celular-bulto de

líquido

66

Figura 2-11: Membrana celular de la Escherichia coli 70

Figura 2-12: Aminoácido equivalente 74

Figura 2-13: Proteína equivalente 74

Figura 2-14: Curva de distribución de equilibrio del sistema

citoplasma/medioambiente en términos de acetato de sodio 81

Figura 2-15: Distribución de velocidad en la capa límite 82

Figura 2-16: Distribución de temperatura en la capa límite 84


7

Figura 2-17: Distribución de concentración en la capa límite 85

Figura 2-18: Capa límite de concentración 87

Figura 2-19: Dimensiones de la Escherichia coli para calcular el

volumen de la capa límite 89

Figura 3-1: Niveles de estudio de los procesos multiescala 94

Figura 3-2: Ejemplo de declaración de SdeP en un bioproceso 95

Figura 3-3: Diagrama de flujo de la metodología de modelado de un

bioproceso 102

Figura 3-4: Diagrama de flujo de proceso 103

Figura 3-5: Diagrama de bloques mostrando los Sistemas de Proceso

definidos 105

Figura 3-6: Diagrama de bloques mostrando los Sistemas de Proceso por

escalas 106

Figura 3-7: Concentración de biomasa del modelo propuesto y modelo de

Jahan et al. (2016) versus datos experimentales.

120

Figura 3-8: Concentración de glucosa externa del modelo propuesto y

modelo de Jahan et al. (2016) versus datos experimentales.

121

Figura 3-9: Concentración de acetato externo del modelo propuesto y

modelo de Jahan et al. (2016) versus datos experimentales.

121

Figura A-1: Mapa de la red metabólica de la Escherichia coli 151

Figura A-2: Dimensiones de biorreactor para etapa experimental 152


8

Introducción

Los bioprocesos son una parte esencial de muchas industrias de alimentos,

químicas y farmacéuticas. Los mismos hacen uso de células (microbianas,

animales y vegetales) y componentes de células, tales como las enzimas, para

manufacturar nuevos productos, destruir desechos peligrosos, entre otras

labores. El uso de microorganismos para transformar materiales biológicos

para la producción de alimentos fermentados tiene su origen en la antigüedad,

ya los hombres de las cavernas producían bebidas alcohólicas obtenidas a partir

de frutas y granos, diferentes civilizaciones fabricaban queso y yogur a partir

de leche y alrededor del año 4000 A.C. se coció pan por primera vez (Atkinson,

1986). Desde entonces, los bioprocesos han sido desarrollados para enorme

variedad de productos comerciales, desde materiales relativamente baratos

como el alcohol industrial, las levaduras y los solventes orgánicos, hasta

sustancias muy costosas como los antibióticos, las proteínas terapéuticas, las

enzimas y las vacunas (Doran, 2013; Dutta, 2008).

Debido a la importancia de los bioprocesos en el mundo contemporáneo, los

investigadores se plantean la necesidad de mejorarlos, para lo cual se requieren

modelos más elaborados que describan con mayor cercanía la realidad, lo que

ocurre por la interacción de las células con el medioambiente. Este esfuerzo se

evidencia en el planteamiento de modelos estructurados que involucran a la

célula como un ente con estructura interna; modelos segregados que consideran

la diversidad de la población celular; modelos cibernéticos que consideran la

presencia de múltiples sustratos en el medio y modelos que utilizan

inteligencia artificial para el ajuste de parámetros cinéticos, entre otros

(Almquist et al., 2014; Gao et al., 2013; López-Rosales et al., 2013; Díaz, 2012;

Dodic’ et al., 2012; Setoodeh et al., 2012; Gueguim et al., 2012; Peres et al.,

2008; Ccopa et al., 2006; Chang et al., 2006; Dutta et al., 2005; Chen y

Woodley, 2002; Horiuchi, 2002; Varner y Ramkrishna, 1999). Adicionalmente,

se tienen modelos dinámicos del metabolismo de varios microorganismos,

algunos casi completos y otros que están en construcción. Un ejemplo es el caso

de la Escherichia coli cuyo metabolismo ha sido estudiado y conocido

ampliamente (Jahan et al., 2016; Luo et al., 2014; Peskov et al., 2012). En este

sentido, la genómica, la transcriptómica y la proteómica han hecho un gran

aporte a la ingeniería metabólica para el conocimiento de los mecanismos

participantes del anabolismo y catabolismo celular, que permiten la alteración

específica de las rutas metabólicas (Smolke, 2009).

A pesar de estos avances, los bioprocesos siguen siendo difíciles de modelar

debido a las múltiples interacciones entre las células y el medioambiente, y a la


9

gran cantidad de reacciones bioquímicas que intervienen en la actividad celular

(Schügerl y Bellgardt, 2000; Heinzle et al., 2006). Inclusive, hasta ahora no

existe una metodología de modelado aplicada a procesos biológicos que

considere explícitamente en una expresión matemática, al menos de forma

descriptiva, la interacción existente entre el medioambiente y el material

celular, con lo cual dicha interacción natural no ha sido completamente descrita

y mucho menos explotada para el diseño, optimización y control de los

bioprocesos. Adicionalmente, todos los modelos de bioprocesos encontrados en

la literatura durante la revisión del estado del arte se dedican a modelar, ya

sea el medioambiente o el material celular, dejando luego el modelado de la

parte restante a modelos empíricos.

En ese sentido, surgió la idea de formular esta tesis doctoral con el siguiente

objetivo general:

Proponer formulaciones matemáticas descriptivas, que interrelacionen el

medioambiente y el material biológico a través de sus variables, con el fin de

mejorar las estrategias de modelado de procesos químicos existentes cuando se

apliquen al modelado de bioprocesos.

El cual fue disgregado en los siguientes objetivos específicos:

Describir las principales metodologías de modelado de procesos químicos y

modelado de bioprocesos existentes, con el fin de determinar qué aspectos o

elementos pueden contribuir a una metodología única.

Describir las principales limitaciones de las metodologías de modelado de

procesos químicos y modelado de bioprocesos existentes, cuando se aplican en

bioprocesos.

Definir los tipos de variables de los bioprocesos relacionadas con el

medioambiente y con el interior celular.

Determinar los tipos de relaciones matemáticas que permiten unir las variables

relacionadas con el medioambiente y con el interior celular.

Proponer modificaciones a una metodología de modelado, de modo que

involucre de manera explícita relaciones matemáticas descriptivas entre

variables del medioambiente y del interior de la célula.

Evaluar las capacidades de modelado de la metodología propuesta frente a

datos experimentales de un bioproceso reportado en la literatura, contando

eventualmente con la realización de algunas corridas experimentales en caso de

requerirse información extra.

Como resultado del trabajo realizado y el cumplimiento de los objetivos

anteriores, se logró mejorar una metodología de modelado, tal que puede ser


10

aplicada en los bioprocesos reales, ya que se propusieron estrategias para

relacionar la interacción de la célula con el medioambiente, mediante

herramientas descriptivas y explicativas que dan cuenta de los fenómenos más

importantes involucrados en dicha interacción. Los resultados obtenidos

pueden ser utilizados en labores de ingeniería como el escalado, el diseño, la

optimización, el diseño de sensores virtuales y el control automático de los

bioprocesos.

En el transcurso del cumplimiento de los objetivos se obtuvo la siguiente

producción académica:

Artículos de revista:

i) Ortega-Quintana, F., Alvarez, H. y Botero, H. 2017. Enfrentando el modelado

de bioprocesos: una revision de las metodologías de modelado. Revista ION, 30

(1): 73-90p.

ii) Ortega-Quintana, F., Pérez, O. y López, E. 2016. Modelo Semifísico de Base

Fenomenológica del Proceso Continuo de Fermentación Alcohólica. Revista

Chilena Información Tecnológica, 27(1): 21-32p.

iii) Ortega-Quintana, F., Pérez, O. y López E. 2015. Comparación del

Desempeño de Estimadores de Estado no Lineales para Determinar la

Concentración de Biomasa y Sustrato en un Bioproceso. Revista Chilena

Información Tecnológica, 26(5):35-44p.

iv) Rodríguez-Núñez, J., Castillo, O., Herrera-Méndez, C., Neria-González, I.,

Aguilar-López, R., Ortega-Quintana, F., Balagurusamy, N. y Peña-Caballero,

V. Estimate of the kinetic growth of Desulfovibrio alaskensis 6SR and modeling

of the Sulfate-Reducing Process Using Unstructured Kinetic Models.

Sometido en Julio de 2016 a evaluación en revista

Biotechnology and Bioprocess Engineering.

Ponencias en congresos:

i) Castillo-Baltazar, O., Ortega, F.A., Botero Castro, H.A., Rodríguez-Núñez,

J.R., Herrera-Méndez, C.H., Puebla Núñez, H.F., López-Pérez, P.A., Aguilar-

López, R. y Peña-Caballero, V. 2015. Synthesis of nonlinear software sensors

for biofuel production: a brief mathematical description in the synthesis of

algorithms. Congreso Internacional de Energía. Ciudad de México, septiembre

11-17 de 2015.

ii) Rodríguez-Núñez, J., Castillo-Baltazar, O., Peña-Caballero, V., Ortega-

Quintana, F. y Botero Castro, H. 2015. Software sensors design for monitoring

of variables in reactors: A biological processes application. 2nd Colombian

http://ieeexplore.ieee.org/search/searchresult.jsp?searchWithin=%22Authors%22:.QT.Vicente%20Pe%C3%B1a-Caballero.QT.&newsearch=true

http://ieeexplore.ieee.org/search/searchresult.jsp?searchWithin=%22Authors%22:.QT.Fabi%C3%A1n%20A.%20Ortega%20Quintana.QT.&newsearch=true

http://ieeexplore.ieee.org/search/searchresult.jsp?searchWithin=%22Authors%22:.QT.Fabi%C3%A1n%20A.%20Ortega%20Quintana.QT.&newsearch=true

http://ieeexplore.ieee.org/search/searchresult.jsp?searchWithin=%22Authors%22:.QT.H%C3%A9ctor%20Botero%20Castro.QT.&newsearch=true


11

Conference on Automatic Control (CCAC) 2015 IEEE. Manizales, octubre 14-16

de 2015.

iii) Ortega-Quintana, F., Botero Castro, H. y Peña Caballero, V. Nonlinear

state estimation applied in a model of tequila production. 2nd Colombian

Conference on Automatic Control (CCAC) 2015 IEEE. Manizales, octubre 14-16

de 2015.

iv) Ortega-Quintana, F., Álvarez, H. y Botero Castro, H. 2017. Modelado de

Bioprocesos: Relaciones Matemáticas entre el Medioambiente y la célula. V

Simposio Internacional Agroalimentario. Barranquilla, octubre 4-6 de 2017.

La organización de este documento es la siguiente: en el Capítulo 1 se discute

sobre el modelado de procesos y las metodologías de modelado más

referenciadas en la literatura científica. En el Capítulo 2 se presentan los

mecanismos de transporte utilizados por las células y se plantean funciones

matemáticas, basadas en fenómenos de transporte y analogías de proceso, para

la interacción entre el medioambiente y el interior celular. En el Capítulo 3 se

propone la modificación de una metodología de modelado de bioprocesos

incluyendo funciones matemáticas en la relación entre el medioambiente y el

interior celular y se aplica la metodología propuesta a un caso de estudio de un

bioproceso que usa la bacteria Escherichia coli. Finalmente, se exponen las

Conclusiones de esta investigación, así como los trabajos futuros que ayudarán

a completar la tarea de comprensión de la comunicación de la célula y el

medioambiente en un bioproceso.


12

1. Capítulo 1. Modelado de procesos

En este capítulo se describen las clases de modelos de procesos y las

metodologías de modelado que más se referencian en la literatura. Además, se

realiza un análisis de estas metodologías llegándose a la conclusión de que aún

no está incluida la fenomenología para intentar al menos describir la

interacción de la célula con su medioambiente. A continuación, se describen las

particularidades de los bioprocesos, las diferencias con los procesos químicos y

las dificultades que se presentan para obtener sus modelos. Luego, se hace un

análisis de los diferentes tipos de modelos propuestos para los bioprocesos,

encontrándose que el empirismo ha sido dominante en el planteamiento de

estos modelos. Finalmente, se enuncian algunas estrategias para mejorar el

modelado de los bioprocesos a través de analogías para incluir la relación entre

el medioambiente y el material biológico.

1.1. Modelado en Ingeniería

En esta sección se discutirá sobre los tipos de modelos utilizados en ingeniería

y sobre las metodologías de modelado de base fenomenológica. Para ello es

necesario retomar las siguientes definiciones que se usarán de manera

persistente en este documento:

Abstracción: “La abstracción es la extracción de características relevantes de

un fenómeno, de modo que se pueda describir mediante una analogía aplicable,

bien porque se conoce cómo funciona el fenómeno estudiado, o porque sin saberlo

detalladamente, se puede aplicar una analogía para describirlo” (Álvarez et al.,

2014).

Analogía: “Es una comparación de estructuras y/o funciones entre dos

dominios: un dominio conocido y un dominio nuevo o parcialmente nuevo.

Comprende: (a) una determinada cuestión desconocida o no familiar (objetivo,

objeto), (b) una cuestión conocida (análogo, base) que resulta familiar para el

sujeto que intenta aprender y (c) un conjunto de relaciones que se establecen

entre (a) y (b) o serie de procesos de correspondencia entre los componentes de

ambos. Además, existen atributos no compartidos que constituyen las

limitaciones de la analogía” (Raviolo, 2009).

Hipótesis de modelado: “Las hipótesis de modelado son consideraciones que

no fijan variables. Se basan en una o más abstracciones de los fenómenos que

ocurren realmente, como si fueran fenómenos pre-establecidos y conocidos,

fácilmente vinculados a los reales, pero más simples que los reales. Esa

abstracción sugiere crear una imagen mental conformada por suficientes

fenómenos pre-establecidos que permitan cubrir las características interesantes


13

del proceso que se modela y escribir una descripción del comportamiento de ese

proceso real usando las abstracciones dadas. De este modo, la representación

final (modelo) se ve como los fenómenos reales, pero brindando la oportunidad

de describir el comportamiento del proceso real a través de comportamientos

pre-establecidos (analogías). La hipótesis es todo aquello que se supone está

pasando en el proceso y debe ser creíble, aunque no necesariamente es la

explicación de lo que realmente está pasando” (Álvarez et al., 2014).

Sistema de Proceso (SdeP): “Es una abstracción del Proceso a la manera de

un Sistema, con lo cual se pueden aplicar al proceso todas las herramientas de

representación y análisis de sistemas matemáticos existentes” (Hangos y

Cameron, 2001).

1.1.1. Importancia del modelado en ingeniería.

En la industria de procesos hay un incremento en la demanda de modelos,

porque su uso es muy importante en el diseño, control, optimización,

estimación de estados, detección de fallas e inclusive en la formación o

instrucción del personal de una planta. Los modelos constituyen una

herramienta muy valiosa cuando se quiere observar el comportamiento de un

sistema, pero no se quiere o no se puede experimentar con él. La disponibilidad

de modelos útiles hace que las distintas actividades realizadas en la práctica

industrial sean mejor evaluadas. Desafortunadamente, hay carencia de

conocimiento de todos los fenómenos involucrados en un bioproceso lo cual hace

que la mayoría de los modelos sean empíricos y por lo tanto muy imprecisos e

inexactos (Álvarez et al., 2009; Bequette, 2003).

1.1.2. Tipos de Modelos utilizados en ingeniería.

Álvarez et al. (2009) definen un modelo como el conjunto de elementos de

representación de información que puestos juntos, replican una o más

características de interés de un proceso. Basmadjian (1999) define modelo como

conjunto de ecuaciones que describen e interrelacionan las variables y

parámetros de un sistema físico o proceso. Si se consideran los modelos como

sistemas, se puede decir que poseen estructura y términos. Los términos están

formados por constantes, parámetros y variables, mientras que la estructura

hace referencia a la relación entre los diferentes términos del modelo, dicha

relación hace referencia a la posición de los parámetros y las variables en los

diferentes términos y a los coeficientes que gradan el efecto de tales términos

en el modelo global (Álvarez, 2011; Álvarez et al, 2009).

Los modelos se pueden clasificar, de acuerdo al contenido de conocimiento sobre

el proceso, en tres tipos:


14

i) Modelos fenomenológicos: También llamados de caja blanca, puesto que están

basados en fundamentos teóricos que permiten explicar perfectamente el

comportamiento de los procesos. Todo en dichos modelos proviene de leyes o

principios básicos de la química, la física y la biología. Sus principios de

formulación son la ley de conservación y la ley de causalidad (ley de gradiente),

(Álvarez, 2012; Álvarez, 2011; Rodrigues y Minceva, 2005). Algunas

formulaciones para cantidades no conservativas, mediante términos

adicionales, se convierten en ecuaciones conservativas, tales como ecuaciones

de entropía y de cantidad de movimiento (Rodrigues y Minceva, 2005).

ii) Modelos empíricos: También llamados de caja negra, se construyen sólo a

partir de datos experimentales para ajustar parámetros en una estructura

matemática dada. Para su construcción se apoyan en las herramientas de la

estadística y el tratamiento de señales. Su baja complejidad computacional los

hace atractivos para sus usos en línea en las tareas de optimización y control

de procesos (Álvarez, 2012; Álvarez, 2011). Sin embargo, estos modelos son

altamente dependientes de los datos: si algo cambia en la operación del proceso

modelado, debe obtenerse un nuevo conjunto de datos y un nuevo modelo.

iii) Modelos obtenidos de la combinación de fenomenológicos y empíricos:

También llamados de caja gris, que pueden ser semifísicos (estructura

fenomenológica) o semiempíricos (estructura empírica). Los modelos semifísicos

de base fenomenológica (MSBF) se llaman así porque la universalidad del

principio de conservación le da a la estructura del modelo un fundamento

fenomenológico fuerte y el carácter semifísico se da porque adiciona a la

estructura dada por el fenómeno formulaciones empíricas para varios de sus

parámetros (Álvarez, 2012; Ribas et al., 2011; Álvarez et al., 2009).

Adicional a la anterior clasificación, los modelos también se pueden agrupar de

acuerdo con la cantidad de información adicional que brindan sobre el

fenómeno así: (Gómez et al., 2004; Concari, 2001):

i) Modelos Explicativos: El contenido de información en el modelo es el mayor

posible, puesto que explican todos y cada uno de los fenómenos presentes en el

sistema. Normalmente se basan en leyes y principios. En la investigación

científica responden a la pregunta ¿Por qué y de qué forma ocurren

determinados fenómenos en un proceso? La explicación usa todos los rasgos del

proceso para construir el modelo. Nada se supone o se toma por analogía.

ii) Modelos descriptivos: Son aquellos que, sin explicar los fenómenos, sí

realizan una definición de las características, componentes y condiciones en

que se presentan y las distintas maneras en que puede manifestarse el

fenómeno. La descripción completa los rasgos más relevantes del proceso con

rasgos supuestos, para construir una hipótesis de operación creíble, desde la

que se obtiene el modelo. En el diseño de ingeniería responden a la pregunta

¿Qué es preciso conocer del sistema para el fin de diseño?


15

iii) Modelos puramente predictivos: Estos se limitan a realizar una

representación que permite calcular los efectos de las relaciones entre las

variables de interés del sistema, sin brindar ninguna descripción de los

fenómenos involucrados. En el diseño de ingeniería responden a la pregunta

¿Cómo será el comportamiento del sistema modelado en circunstancias

diferentes?

Para construir un modelo de cualquiera de los tipos descritos anteriormente se

han planteado diferentes metodologías, las cuales han evolucionado a través

del tiempo. A continuación se muestra una comparación de las metodologías de

modelado más referenciadas en la literatura de los procesos químicos. Todas

estas metodologías intentan construir la estructura del modelo (relación entre

sus términos), desde la fenomenología del proceso que se modela.

1.1.3. Metodologías de modelado de base fenomenológica

Existen varias propuestas de metodologías de modelado de procesos usando

una base fenomenológica, las cuales difieren básicamente en el número de

pasos a ejecutar, en la secuencia de ejecución de los pasos y en la forma de

ejecución de cada paso. La Tabla 1-1 muestra una comparación de los

principales autores que proponen las metodologías de modelado de procesos de

mayor citación en la literatura científica. Esta comparación se basa en los

siguientes pasos metodológicos que generalmente se siguen para el modelado

(Álvarez et al., 2009):

1. Elaborar una descripción verbal y un Diagrama de Flujo de Proceso (DFP)

que se complementen.

2. Fijar un nivel de detalle para el modelo y postular una hipótesis de

modelado. Plantear la pregunta que responderá el modelo.

3. Definir tantos Sistemas de Proceso (SdeP) sobre el proceso que se modelará

como lo exija el nivel de detalle, y representar la relación de todos los SdeP en

un Diagrama de Flujo en Bloque (DFB).

4. Aplicar el principio de conservación sobre cada uno de los SdeP y en ellos

sobre todas las propiedades de interés, siempre en forma diferencial.

5. Seleccionar entre las Ecuaciones Dinámicas de Balance aquellas con

información valiosa para cumplir con el objetivo del modelo.

6. Definir para las Ecuaciones Dinámicas de Balance esenciales los parámetros,

las variables y las constantes conocidas en cada SdeP.

7. Hallar ecuaciones constitutivas que permitan calcular el mayor número de

parámetros en cada SdeP.

8. Verificar los grados de libertad del modelo.


16

9. Obtener el modelo computacional o solución del modelo matemático.

10. Validar el modelo para diferentes condiciones de operación del proceso y

evaluar su desempeño.

Tabla 1-1: Comparación de Autores que proponen metodologías de modelado

de procesos.

Referencia

Paso metodológico

(la x indica que el paso se utiliza)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Murthy y Rodin (1987) - - x x - - - - x x

Bastin y Dochain (1990) - - - - - - - - - -

Marlin (1995) x - - x - - - - x x

Haefner (1996) x - - x - - - - x x

Woods y Lawrence (1997) x - - x - - - - x x

Luyben (1997) x - - x - - - - x x

Basmadjian (1999) - - - x - - - - x -

Hangos y Cameron (2001) x - - x x x x - x x

Tijskens et al. (2001) - - - x - - - - x x

Bequette (2003) - - - x - - - - - -

McKellar y Lu (2004) - - - - - - - - x -

Heinzle et al. (2006) x - - x - - - - x x

Sablani et al. (2006) x - - x - - - - x x

Ҫengel (2007) x - - x - - - - x x

Ingham et al. (2007) x - - x - - - - x x

Dobre y Sánchez (2007) x - - x - - - - x x

Gómez et al. (2008) x x x x - x x x - -

Álvarez et al. (2009) x x x x x x x x x x

Ribas et al. (2011) x x x x - x - x x x

Álvarez (2012) x x x x x x x x x x

Álvarez (2014) x x x x x x x x x x

En la tarea de modelado a través de estas metodologías, el ingeniero se

encuentra con una serie de obstáculos que podrían llevarlo al abandono o


17

ralentización de dicha tarea. Las principales limitaciones de estas metodologías

se describen a continuación:

i) Se necesita tener suficiente experticia sobre el proceso, la cual no está al

alcance de los que recién incursionan en esta tarea. Por ejemplo, en algunas

referencias se habla de “identificación de los factores o mecanismos

controlantes” (Sablani et al., 2006; Hangos y Cameron, 2001; Woods y

Lawrence, 1997; Marlin, 1995), lo cual necesita ser ampliado o mejorado,

debido a que identificar esos factores o mecanismos controlantes implica una

experiencia y conocimiento amplio de la realidad que se pretende modelar. Al

respecto, Epstein (2008) menciona 16 razones diferentes a la predicción que

justifican la obtención de modelos. Varias de tales razones indican el uso del

modelado como aporte a la comprensión y aprendizaje de un fenómeno.

ii) En algunos casos no hay un orden lógico de pasos. Por ejemplo, algunos

autores sugieren el “uso de las leyes fundamentales para desarrollar modelos

físicos (Balances, ecuaciones constitutivas, chequear grados de libertad y

formas adimensionales)” (Dobre y Sánchez, 2007; Ingham et al., 2007; Heinzle

et al., 2006; Sablani et al., 2006; Luyben, 1999; Woods y Lawrence, 1997;

Marlin, 1995), con lo cual se deja al ingeniero en un punto muy amplio que

llevaría a confundir el orden de las actividades.

iii) En algunas referencias no se deja claro de manera explícita la forma de

desarrollar un modelo. Por ejemplo, referencias como Bastin y Dochain (1990)

plantean un modelo general de base fenomenológica para los bioprocesos y

Bequette (2003) ejemplifica muchos modelos de procesos afianzados en la

industria, pero ninguna de las dos referencias explica de manera explícita el

método utilizado para desarrollar un modelo. Dicha forma o método debe dejar

claramente definidos todos los conceptos, componentes y herramientas

involucrados en el desarrollo del modelo.

iv) Algunos textos dedican su aporte a la explicación de las leyes de

conservación (materia, energía) pero luego se dedican a obtener modelos

empíricos y a presentar su resolución matemática, perdiendo de vista la

metodología para el planteamiento general de modelos semifísicos en los

procesos referenciados (Murthy y Rodin, 1987; Basmadjian, 1999; Tijskens et

al., 2001; McKellar y Lu, 2004; Ҫengel, 2007).

Si bien existen limitaciones, también se han venido realizando mejoras en el

planteamiento metodológico. Por ejemplo, Ribas et al. (2011) plantean “Fijar el

nivel de detalle”, lo cual hace referencia a la descripción de todos los supuestos

en que se basa el modelo con el objetivo de reducirlo para que describa

únicamente los fenómenos relevantes. Gómez et al. (2008) plantean un paso de

“Definición de Sistemas de procesos”.

En este sentido, la metodología para obtener modelos semifísicos de base

fenomenológica mejor detallada hasta el momento ha sido propuesta por


18

Álvarez et al. (2009) y adicionada en varias ocasiones con el fin de

perfeccionarla y hacerla más sencilla para el usuario (Álvarez, 2012; Álvarez et

al., 2014). Esta metodología plantea, además de “Fijar el Nivel de detalle” y

“Definir Sistemas de Procesos”, que el elemento clave para lograr la sencillez

en la propuesta metodológica es el uso de una o más abstracciones

macroscópicas como base para la obtención del modelo. Las limitaciones i) y ii),

descritas anteriormente, se pueden superar con esta metodología como se

propone a continuación:

Para la limitación i), “identificación de los factores o mecanismos controlantes”,

se pueden seguir los siguientes pasos, que buscan llegar al mismo resultado,

pero a través de tareas más sencillas y evidentes para un modelador no tan

experto en el tema:

a) Escoger el nivel de detalle que se quiere del modelo y postular una hipótesis

de modelado.

b) Definir el número de sistemas de procesos (SdeP) de acuerdo al nivel de

detalle.

c) Aplicar el principio de conservación sobre todos los SdeP.

Para la limitación ii), “uso de las leyes fundamentales para desarrollar modelos

físicos (balances, ecuaciones constitutivas, chequear grados de libertad y

formas adimensionales)”, se pueden seguir los siguientes pasos, luego de

obtener los balances dinámicos de materia y energía:

a) Seleccionar entre las ecuaciones dinámicas de balance aquellas con

información valiosa para cumplir con el objetivo del modelo.

b) Definir para las Ecuaciones Dinámicas de Balance esenciales, los

parámetros, las variables y las constantes conocidas en cada SdeP.

c) Hallar ecuaciones constitutivas que permitan calcular el mayor número de

parámetros en cada SdeP.

A pesar de todo lo descrito arriba, las metodologías citadas son incompletas

cuando se tratan de obtener modelos de bioprocesos, ya que en ninguno de los

pasos se considera la interacción de la célula con su medioambiente. Estas

ideas se ampliarán a continuación.

1.2. El Modelado de los Bioprocesos

De acuerdo con lo planteado en la sección anterior, los modelos fenomenológicos

y explicativos serían los requeridos para tener la capacidad de entender en su

máxima expresión la naturaleza de los procesos. A pesar de ello, en el caso de

los bioprocesos enzimáticos es donde más se tienen modelos de estas

características, mientras que en los que intervienen microorganismos apenas se

han logrado plantear modelos combinados (fenomenológico y empíricos) de tipo


19

descriptivos. Esto último se debe a que las metodologías de modelado son

incompletas al aplicarla a bioprocesos y a la complejidad de los

microorganismos y su relación con el entorno. Desafortunadamente, hay

carencia de conocimiento de varios de los fenómenos involucrados en un

bioproceso, lo cual hace que la mayoría de los modelos de bioprocesos sean

empíricos y por lo tanto restringidos al espacio de los datos experimentales

disponibles.

1.2.1. Particularidades de los bioprocesos

Cuando se abordan los bioprocesos, desde el punto de vista científico, se

encuentra que son más complejos si se comparan con los procesos químicos

(Heinzle et al., 2006; Atkinson, 1986). Desde luego, ambos poseen tratamientos

ingenieriles comunes, pero existen diferencias muy marcadas entre ellos como:

i) La alta complejidad de la mezcla reaccionante: para los procesos donde

se utilizan microorganismos, el medio de cultivo debe tener los requisitos

mínimos nutricionales para que exista crecimiento celular y producción de

metabolitos primarios y secundarios. Para cumplir con estos requisitos, el

medio normalmente se compone de múltiples sustratos (fuentes de carbono y

nitrógeno), sales orgánicas e inorgánicas, reguladores de pH, antiespumantes,

oxígeno disuelto, y como producto del metabolismo aparecen alcoholes, ácidos,

lípidos, proteínas, etc. Esta composición es la responsable de la complejidad del

medio, lo cual modifica la hidrodinámica del sistema, afectando el metabolismo

celular.

Por ejemplo, en los biorreactores tipo columnas de burbujeo, se presenta un

mejoramiento de la transferencia de masa por el efecto turbulento de las

burbujas de aire en el medio, pero simultáneamente se están produciendo

sustancias (polímeros, proteínas, ácidos grasos, etc.) que disminuyen la

transferencia de masa. Así mismo, en las plantas de tratamiento de aguas

residuales, un problema frecuente es la variabilidad que presenta el coeficiente

de transferencia de masa para el oxígeno, al pasar del aire burbujeado al agua,

lo cual altera la velocidad de crecimiento de las células que degradan el

material orgánico. Dicha variabilidad, es causada entre otras cosas por el

aumento de la tensión superficial entre el agua y las burbujas de aire por efecto

de los ácidos grasos y proteínas provenientes de los desechos (Heinzle et al.,

2006; Atkinson, 1986).

ii) El incremento en la masa de microorganismos paralelo a la realización

de la transformación bioquímica: en muchos bioprocesos, se presentan

simultáneamente el crecimiento microbiano y la producción de metabolitos de

interés industrial. Esto afecta el rendimiento de producción debido a que

parte de los reactivos (nutrientes) es transformado en material biológico,


20

crecimiento que no es deseado en muchos bioprocesos. Paralelo a los eventos

de crecimiento microbiano y producción de metabolitos, se libera calor de

reacción, el cual debe ser retirado por un fluido de servicio. Si el bioproceso se

lleva a cabo en tanques agitados o en columnas de burbujeo, la agitación

ayuda a aumentar los coeficientes de transferencia de calor y, por lo tanto,

mejora el retiro del calor de la reacción. No obstante, la agitación debe

respetar ciertos principios biológicos e hidrodinámicos, debido a que

velocidades altas de agitación producen estrés hidrodinámico en algunos

microrganismos. Este estrés es responsable de los daños letales o sub-letales

en las células, produciendo la muerte del microorganismo o alteraciones

metabólicas en el cultivo (Trujillo y Valdez, 2006).

iii) La capacidad de los microorganismos de sintetizar sus propios

catalizadores (enzimas): este hecho es una ventaja frente a los procesos

químicos, ya que al tener fuentes in situ del catalizador se reducen los costos

de producción. Adicionalmente, estos catalizadores poseen alta especificidad

sobre algunos sustratos, lo cual disminuye el riesgo de tener reacciones

parásitas que reducen la productividad y que inducen a la aparición de

productos no deseados. Por ejemplo, esto ocurre en la producción de α-

amilasas por Aspergillus oryzae en un proceso de fermentación sumergida

(Sundar et al., 2012).

iv) Los comportamientos suaves y exigentes en regulación precisa de

temperatura y pH para el óptimo funcionamiento de las enzimas y del

crecimiento de los microorganismos: los componentes que forman los seres

vivos y las enzimas son muy sensibles a los cambios de temperatura y de pH.

Por ejemplo, las proteínas poseen un rango óptimo de estabilidad respecto a

estas variables, y su sensibilidad es tal que cuando ocurren pequeños cambios

en el proceso, se modifica la configuración espacial de la proteína y pierden su

actividad, afectando así al metabolismo celular responsable del crecimiento y

a la actividad de las enzimas por cambios en el sitio activo (Lok et al., 2015).

v) La dificultad del mantenimiento de la transformación bioquímica

requerida (estabilidad de producción): como resultado de la producción de

metabolitos y de las perturbaciones que pueden afectar a un bioproceso,

ocurren inhibiciones del crecimiento de los microorganismos, reacciones

secundarias entre productos y sustratos e inclusive cambios inesperados en el

metabolismo celular que afectan el rendimiento del bioproceso. Por ejemplo, el

crecimiento de levaduras es inhibido por el etanol producido por el

microorganismo (Hoppe y Hansford, 1982).

vi) Las concentraciones relativamente bajas de sustrato y productos: los

microorganismos son muy sensibles a las altas concentraciones de algunos

compuestos que pueden causar aumento de la presión osmótica, teniéndose

como consecuencia la turgencia y/o lisis de la célula. Conocer este hecho,


21

implica que en la mayoría de bioprocesos se utilicen concentraciones bajas de

sustratos mientras se vigila que no se alcancen ciertas concentraciones límites

de producto, todo con el fin de evitar inhibiciones por bloqueos en las

reacciones metabólicas. Adicionalmente, con estas concentraciones bajas de

sustrato los coeficientes de transferencia de masa son muy pequeños al igual

que las velocidades de reacción, lo cual influye negativamente en el

rendimiento de los bioprocesos. Por ejemplo, Arroyo-López et al. (2009)

reportaron que la velocidad de crecimiento de la levadura Saccharomyces

cerevisiae disminuye cuando el medio tiene concentración de azúcar entre 200

y 300 g/L.

Para superar la dificultad mencionada en el punto i), se utilizan diferentes

diseños de aireación (mecánicos, difusión e híbridos) y se adicionan agentes

químicos para evitar grandes variaciones en la tensión superficial. Todas estas

mejoras hacen más complejos los modelos matemáticos. Para superar la

dificultad mencionada en el punto ii), la ingeniería genética ha realizado

modificaciones en microorganismos de gran interés industrial. Estas

modificaciones pueden ralentizar el crecimiento de microorganismos mientras

se enfoca el metabolismo a la producción o pueden dotar al microorganismo de

características genotípicas de resistencia ante las adversidades del medio.

Estas modificaciones repercuten en los modelos obtenidos por la ingeniería

metabólica, que por tanto deben ser corregidos. Con relación a las dificultades

mencionadas en los puntos iii), iv) y v), se busca tener modelos que sean muy

confiables debido a la alta exigencia del control de los bioprocesos. En este

sentido, una de las estrategias con alta probabilidad de éxito es el control

predictivo basado en modelo (MPC), el cual exige un buen modelo guía. Por

último, y no menos importante, para sobreponerse a la dificultad mencionada

en el punto vi), se utilizan combinaciones de reactores dispuestos en paralelo y

en serie para aumentar la productividad a pesar de las bajas concentraciones

utilizadas, lo cual hace que los modelos matemáticos sean aún más complejos.

En conclusión, mejorar las dificultades arriba mencionadas a través de las

diversas estrategias existentes implica más complejidad en los modelos de

bioprocesos.

Uno de los objetivos que se plantean los investigadores de modelado en los

bioprocesos es que los modelos sean de naturaleza descriptiva, y ojalá

explicativa. Pero las anteriores diferencias de los bioprocesos típicos con los

procesos químicos hacen que la tarea de modelado sea difícil, a pesar de que se

han hecho avances al respecto. A continuación, se discutirá sobre las

dificultades que se presentan en el modelado de los bioprocesos.

1.2.2. Dificultades en la obtención de modelos para bioprocesos.

Varios modelos conceptuales y matemáticos se han formulado con el objeto de

explicar y replicar el comportamiento que muestran los procesos biológicos (Gao


22

et al., 2013; Dodic’ et al., 2012; Heinzle et al., 2006; Sablani et al., 2006;

Schügerl y Bellgardt, 2000; Haefner, 1996; Bastin y Dochain, 1990). Estos

modelos se han clasificado según las consideraciones asumidas respecto de la

estructura de las células o de la distribución de la población celular,

consideraciones ya mencionadas como características de los modelos de los

bioprocesos.

A pesar de estos avances, los bioprocesos siguen siendo difíciles de modelar y

esto se debe en primer lugar a la complejidad del comportamiento de los

microorganismos. A diferencia de reactores con productos químicos sin vida, los

microorganismos tienen características asociadas con el tipo de célula:

procariota (sin membrana nuclear), eucariota (con membrana que define al

núcleo), o células con membranas de alta complejidad estructural. Además, los

microorganismos tienen la posibilidad de formar partes filamentosas, esporas o

cápsulas, con gran cantidad de reacciones bioquímicas que intervienen en la

actividad celular en sí misma.

El segundo aspecto que dificulta el modelado de bioprocesos es la falta de una

relación matemática explícita que al menos describa la interacción de las

variables ambientales y las variables internas o propias del material celular, ya

que hasta ahora la forma de unir estos dos mundos ha sido a través del

empirismo (Schügerl y Bellgardt, 2000; Heinzle et al., 2006). Para ilustrar la

problemática presentada en la modelación de bioprocesos basta con analizar la

siguiente situación: en Schügerl y Bellgardt (2000) se describe el modelado del

proceso de obtención de Penicilina por Bajpai y Reuẞ (1980) y por otra parte se

explica el modelo de biosíntesis de la Penicilina obtenido por Jørgensen et al,

(1995). Una situación semejante sucede con el proceso de obtención de etanol a

partir de fermentación de glucosa con Saccharomices cerevisiae, en el cual se

conoce su ruta metabólica (Kosaric y Vardar-Sukan, 2001; Teusink et al., 2000)

y se tienen modelos para el medioambiente (Ortega et al., 2016; Gómez et al.,

2008).

Sin embargo, del análisis de estas investigaciones surge la pregunta ¿Por qué

no existe una relación matemática explícita, al menos descriptiva, entre las

variables medioambientales y las variables de la célula en la producción de

penicilina y etanol, si ya se conoce toda la explicación de sus rutas metabólicas

y además se sabe modelar el medioambiente? Es ahí donde existe una línea de

trabajo abierta, que busca matematizar desde las analogías físico-químicas una

descripción de los mecanismos por los cuales la célula establece comunicación

con el medio en el que vive. Tal formulación matemática de esos fenómenos

dará mayor interpretabilidad a los modelos semifísicos de base fenomenológica

aplicados a bioprocesos, puesto que ya no se tendrán que representar las

cinéticas propias del microorganismo con términos empíricos como Monod.


23

1.2.3. Modelos matemáticos de bioprocesos

La historia de los modelos en bioprocesos comienza en 1905, con la ecuación

propuesta por Frederick Blackman para la velocidad específica de crecimiento

(Blackman, 1905). En 1913, Leonor Michaelis y Maud Menten desarrollaron la

teoría del complejo enzima-sustrato (cuyo concepto había sido introducido en

1894 por Emil Fisher) y propusieron una ecuación de velocidad que explica el

comportamiento cinético de las enzimas (Michaleis y Menten, 1913). En 1942,

basándose en los trabajos de Michaelis y Menten, Jacques Monod desarrolla

una ecuación cinética para el crecimiento que relaciona la concentración de

sustrato con la velocidad de crecimiento del microorganismo (Monod, 1942).

Para este mismo año, Georges Teissier también publica su modelo exponencial

de velocidad de crecimiento (Teissier, 1942). Posteriormente, se han

desarrollado una gran cantidad de modelos para la velocidad de crecimiento,

aplicables a una gran variedad de procesos biotecnológicos los cuales en su

mayoría tienen como base a los tres modelos precursores ya mencionados

(Dutta, 2008; Bastin y Dochian, 1990; Bailey y Ollis, 1986).

Los modelos en bioprocesos planteados en la actualidad tienen dos

características destacables. Primero, un modelo puede ser estructurado o no

estructurado dependiendo de si se describen las características internas de la

célula o sus partes (reacciones metabólicas, procesos celulares, etc.) o si

considera la célula como una entidad sin estructura interna. Segundo, un

modelo puede ser segregado o no segregado en función de si se considera o no la

heterogeneidad de la población celular, por ejemplo, la posición en el ciclo

celular que las diferencia entre células jóvenes, células en reproducción y

células en fase de senescencia. La elección entre las opciones que brindan estas

características depende del objetivo del modelo (Díaz, 2012; Schügerl y

Bellgardt, 2000).

El modelado de los procesos biológicos tiene numerosas vertientes, cada una

buscando la manera más provechosa de explicar o describir los procesos de

acuerdo al interés de estudio que se tenga. Dentro de las características que se

destacan en las diferentes investigaciones llevadas a cabo por estas vertientes

se tienen: i) modelado del metabolismo celular por la ingeniería metabólica, ii)

obtención de modelos de caja gris de todo el bioproceso, iii) modelado de caja

gris con reducción para escalado de bioprocesos, y iv) modelado para estimar

los valores de los parámetros cinéticos (Almquist et al., 2014; Gao et al., 2013;

López-Rosales et al., 2013; Dodic’, 2012; Setoodeh et al, 2012; Gueguim et al,

2012; Tijskens et al., 2011; Sun et al., 2011a; Sun et al., 2011b; Roman et al.,

2010; Roman et al., 2010a; Roman et al., 2010b; Roman et al., 2010c; Arroyo-

López, 2009; Peres et al., 2008; Ccopa et al., 2006; Chang et al., 2006; Dutta et

al., 2005; Chen y Woodley, 2002; Horiuchi, 2002; Varner y Ramkrishna, 1999; ).


24

A continuación, se describe el desarrollo que han tenido los modelos de

bioprocesos teniendo en cuenta la clasificación de acuerdo al conocimiento

previo sobre el proceso.

i) El empirismo en el modelado de bioprocesos: Dochain (2008) enuncia

claramente la principal característica existente en el modelado de bioprocesos:

“El modelado de procesos bioquímicos es un ejercicio delicado. Contrario a la

física, donde hay leyes que han sido conocidas por el hombre durante siglos (la

ley de Ohm, la ley de los gases ideales, la segunda ley de Newton, los principios

de la termodinámica, etc.) la mayoría de los modelos en biología dependen

de leyes empíricas. Como no es posible basarlos sólo en el conocimiento

disponible (y validado), es muy importante ser capaz de caracterizar la

confiabilidad de las leyes utilizadas en la construcción del modelo”.

En la literatura científica abunda la utilización de modelos empíricos para

resolver los problemas presentados en los bioprocesos, problemas que están

relacionados con la obtención de una expresión que relacione a la célula con su

medioambiente. La Tabla 1-2 muestra la bibliografía de referencia de los

principales modelos empíricos planteados en bioprocesos para la velocidad

específica de crecimiento del microorganismo. La gran mayoría de estos

modelos empíricos se basan en plantear una ecuación que permita predecir los

valores de la velocidad de crecimiento específica de los microorganismos y su

dependencia con respecto a algunas variables de proceso, tales como

concentración de sustrato, concentración de biomasa, concentración de

producto, concentración de oxígeno disuelto, pH, temperatura e intensidad de

luz.

Adicional a los modelos enunciados por la Tabla 1-2, también se encuentran

modelos que predicen la cinética de formación de producto (Luedeking y Piret,

1959; Moser, 1958). Todos estos modelos tratan de aproximar, aunque de

manera empírica y puramente predictiva, la relación matemática entre el

medioambiente y el material celular.

Si bien las ecuaciones constitutivas en bioprocesos para calcular la velocidad

específica de crecimiento (µ) son empíricas, éstas han hecho que la utilización

de los modelos matemáticos obtenidos haya mejorado las actividades de

escalado, optimización, diseño de estimadores y control de procesos. Sin

embargo, esto no ha sido suficiente puesto que dichas formulaciones

matemáticas empíricas para la velocidad específica de crecimiento no son ni

siquiera descriptivas de lo que está sucediendo. Inclusive, existen modelos

totalmente empíricos que por su uso generalizado han sido confundidos y

referenciados como modelos fenomenológicos, lo cual fue advertido por Grady et

al. (1999). Tal es el caso de la ya mencionada ecuación de Monod para la

velocidad de crecimiento, tratada por Button (1998), la cual sigue siendo


25

empírica, a pesar de varios esfuerzos por darle base fenomenológica (Konak,

1974).

Tabla 1-2: Modelos empíricos de velocidad de crecimiento específica.

Dependencia de la velocidad de

crecimiento específica con

respecto a :

Referencia bibliográfica

1. Concentración de sustrato

Moser (1958); Powell (1967); el modelo de Haldane es

referenciado en Andrews (1968); Shehata y Marr

(1971); Jost et al. (1973); Konak (1974); Wayman y

Tseng (1976); Aborhey y Williamson (1977); Kargi y

Schuler (1979); Sokol y Howell (1981); Hoppe y

Hansford (1982); Takamatsu et al. (1983); Axelsson et

al. (1984); Mattiason et al. (1984); Ming et al. (1988).

2. Concentración de biomasa Hinshelwood (1946); Kono y Asai (1969).

3. Concentración de sustrato y

concentración de biomasa

Contois (1959); Nihtilä y Virkkunnen (1977); Kishimoto

et al. (1983); Staniskis y Levisaukas (1984).

4. Concentración de producto

Holzberg (1967); Aiba et al. (1968); Jerusaliwski y

Engambervediev (1969); La Motta (1976); Ghose y

Tyagi (1979); Levenspiel (1980); Hägglund (1983).


concentración de producto

Aiba et al. (1968); Aborhey y Williamson (1977); Bazua

y Wilke (1977); Moulin et al. (1982); Jin et al. (1981);

Sevely et al. (1981); Dourado y Calvet (1983).


concentración de oxígeno disuelto Peringer et al. (1972); Olsson (1976).

7. Concentración de sustrato,

concentración de oxígeno disuelto y

concentración de producto

Williams et al. (1984)


concentración de metabolito

inhibitorio

Kishimoto et al. (1983)

9. pH Andreyeva y Biryukov (1973)

10. Temperatura y pH Cheruy y Durand (1979)

11. Concentración de sustrato y pH Andreyeva y Biryukov (1973); Jackson y Edwards

(1975).

12. Temperatura Topiwala y Sinclair (1971); Hashimoto (1982).

13. Temperatura y concentración de

biomasa Constantinides et al. (1970).

14. Intensidad de luz y concentración

de biomasa Tamiya et al. (1953)


26

ii) La fenomenología en el modelado de bioprocesos: A lo largo de la historia del

modelado de los bioprocesos, los investigadores realizaron intentos para

demostrar las bases fenomenológicas de algunas ecuaciones empíricas muy

utilizadas. A continuación, se describen algunas investigaciones al respecto.

Konak (1974) intentó demostrar que las ecuaciones de Monod y de Teissier

tenían una base fenomenológica, pero a pesar de obtener un modelo general

para predecir la velocidad de crecimiento específica, el modelo resultó ser de

naturaleza empírica debido a que en su demostración matemática fue asumida

la ley de potencia para la función de la fuerza impulsora (μmax - μ). Merchuk y

Asenjo (1994) intentaron interpretar el significado de las variaciones

extremadamente grandes de los valores de la constante de Monod sobre la base

de la transferencia de masa. El modelo obtenido está en función de variables

conocidas, pero el modelo se transforma en empírico debido a las suposiciones

para el cálculo del coeficiente convectivo de transferencia de masa (hs), el cual

se halla de forma empírica. Se pierde el rasgo explicativo cuando se calcula hs

basado en la suposición de que éste puede ser considerado proporcional a la

raíz cuadrada de la difusividad del sustrato y esta difusividad fue tomada del

trabajo de Schwartzemberg y Chao (1982), transformándose en un intento

interpretativo de la constante Ks de Monod.

Button (1998) planteó que la relación entre la velocidad de consumo de sustrato

a una concentración particular y la afinidad específica puede ser modelada a

partir de la tasa de colisión entre dos partículas. En ese trabajo se mostró que

la afinidad específica es una buena medida de la habilidad de la célula para

escoger el sustrato y que las constantes de saturación pequeñas son

usualmente asociadas con afinidades grandes. Pese a que representa un buen

intento por explicar la afinidad de la célula por el sustrato, la demostración

matemática realizada para tal fin está basada en la ecuación de Monod.

Liu (2006) planteó un modelo general para el crecimiento microbiano apoyado

en la termodinámica, basado en el supuesto analógico del sitio activo de las

enzimas aplicado a la pared celular (Button, 1998). Se plantea que las células

tienen sólo un número limitado de sitios de toma de sustrato. Este modelo

general muestra indirectamente y bajo ciertas suposiciones, que la constante de

Monod (Ks) tiene características de la termodinámica del no equilibrio, además

afirma que Ks por sí sola no describe la muy referenciada constante de afinidad

del par sustrato-célula, ya que la magnitud de n (constante del modelo general

de Liu) también determina la velocidad de reacción del sustrato y

subsecuentemente la afinidad del sustrato por la célula. El modelo de Liu

parece ofrecer una base teórica del modelo empírico de Moser y explica que Kn

es un índice gobernado por los cambios en la energía libre de Gibbs generados

por el proceso de crecimiento microbiano. Ese crecimiento está estrechamente

relacionado con el par especie bacteriana-sustrato presente en un cultivo

bacteriano, por lo tanto, cualquier factor que influya sobre la interacción entre


27

bacteria y sustrato también alterará el valor de Kn. Finalmente, Liu (2006)

concluye que el modelo de Monod es estrictamente empírico.

Por otro lado, los procesos donde intervienen enzimas son una parte de los

bioprocesos que poseen gran contenido fenomenológico dentro de sus modelos.

Los métodos de modelado modernos ahora pueden dar comprensión única

detallada de las reacciones catalizadas por enzimas, incluyendo el análisis de

los mecanismos y la identificación de los determinantes de la especificidad y de

la eficiencia catalítica. Como ejemplo se tienen los trabajos de Lok et al. (2015),

Gofferjé et al. (2014), Vega y Zuniga (2014), Mulholland (2005).

A pesar de los intentos por explicar los fenómenos que intervienen en los

bioprocesos, previamente mencionados, aún hay situaciones por resolver que

impiden la obtención de un modelo riguroso. Desde luego, estas dificultades

han hecho que el modelado se aborde con una aproximación que mezcla el

empirismo con la fenomenología a través de los modelos semifísicos de base

fenomenológica, tratados a continuación.

iii) Los modelos semifísicos de base fenomenológica (MSBF) en el modelado de

bioprocesos: La utilización de modelos semifísicos de base fenomenológica

(MSBF) con características de parámetros concentrados, los cuales relacionan

las variables más significativas del medioambiente del proceso (estados), ha

sido una constante en las últimas décadas de investigación en los bioprocesos.

Algunas investigaciones que plantean este tipo de modelo son: Melgarejo et al.

(2015), Geng et al. (2014), Kythreotou et al. (2014), Akpa (2012), Roeva et al.

(2007), Atehortúa (2004), Lokshina et al. (2001), Bajpai y Reuẞ (1980). Es

importante anotar que estos modelos han hecho posible la mejora en las tareas

de optimización y control de los bioprocesos respectivos. Bastin y Dochain

(1990) plantearon un modelo dinámico general en el espacio de estado para la

descripción de procesos biotecnológicos en biorreactores de tanque agitado,

modelo que escrito en forma matricial es:

(1.1)

Donde: es la tasa de dilución; es el vector de los flujos másicos de entrada

en el biorreactor de los componentes; : es el vector de concentración de los

componentes en el biorreactor; es el vector de velocidades de reacción;

es la matriz de coeficientes de rendimiento, compuesta por elementos kij (i

reacciones y j compuestos) estrictamente constantes positivas de coeficientes de

rendimientos, sin dimensiones, y con signo menos (-) cuando es un reactante

y signo más (+) cuando es un producto de la reacción; : es el vector de los


28

flujos másicos de salida de los componentes en forma gaseosa desde el

biorreactor.

La Ecuación (1.1) expresa en una sola forma matemática compacta los dos

fenómenos físicos principales (las cinéticas y las dinámicas de transporte) que

ocurren y están en interacción íntima en un biorreactor. El término describe las cinéticas de las reacciones bioquímicas y microbiológicas

involucradas en el proceso, y los términos y describen las dinámicas

de transporte de los componentes a través del biorreactor. Sin embargo, este

modelo genérico deja en libertad al usuario para que la matriz de los

coeficientes de rendimiento K se modele como mejor resulte. Obviamente, y

ante la ausencia de una forma descriptiva de las relaciones entre el

medioambiente y material biológico, dichos submodelos para los términos de K

serán empíricos y por lo tanto el modelo general será un modelo semifísico de

base fenomenológica. Por ejemplo, el modelo más utilizado para el coeficiente

de rendimiento, más conocido como la velocidad de crecimiento específico del

microorganismo, es el modelo de Monod:

(1.2)

Donde: es la velocidad de crecimiento máximo; es la constante de

saturación; es la concentración de sustrato.

En caso de existir inhibición por sustrato es utilizada la “ley de Haldane”,

también empírica:

(1.3)

Donde: es el parámetro de inhibición, y

( √

) (1.4)

Si la inhibición de sustrato es despreciable, la ley de Haldane se reduce a la ley

de Monod (Bastin y Dochain, 1990).

Como se observa, la deficiencia que persiste en los MSBF aplicados a

bioprocesos es que la relación célula-medioambiente es empírica, lo que ni


29

siquiera permite una descripción que vincule a la fisiología de la célula con las

transferencias de materia y energías que ocurren. Sin embargo, los MSBF han

sido una herramienta fuerte en el modelado de bioprocesos, situación que

puede mejorar si se plantean buenas hipótesis de modelado. Una hipótesis de

modelado se basa en una o más abstracciones de los fenómenos que ocurren

realmente, como si fueran fenómenos preestablecidos y conocidos, fácilmente

vinculados a los reales, pero más simples que los reales. Tal aproximación

desde las abstracciones debería conducir con éxito a una descripción

matemática de la relación célula-medioambiente que evite la aproximación

empírica a los coeficientes asociados con los procesos celulares.

1.2.4. Tendencias del Modelado en Bioprocesos

A través de la historia, los ingenieros de procesos se han enfrentado a diversos

paradigmas. El primero de ellos es la mirada que se tiene de los procesos como

sistemas análogos que comparten unidades de transformación similares o

conjunto de operaciones unitarias. En dichas operaciones, suceden fenómenos

cuyo comportamiento general es independiente de la naturaleza específica de

las sustancias en proceso. El segundo paradigma es la búsqueda de la

explicación a escala molecular para los fenómenos macroscópicos observados en

las operaciones unitarias. El tercer paradigma es la explicación de la relación

entre el comportamiento molecular, las interacciones moleculares, los

fenómenos a nivel de la microescala que se dan en el fluido, y el

comportamiento macroscópico de las operaciones unitarias. En la actualidad,

los ingenieros de bioprocesos han planteado un cuarto paradigma: cada unidad

de biorreacción o de bioseparación, para efectos de su análisis, modelación y

diseño, se puede ver como una población de micro-unidades de transformación

(células, microorganismos) confinadas en un macro-equipo mecánico. La

premisa del cuarto paradigma conduce al estudio de la interrelación entre el

medioambiente y la célula (Aguirre, 2004; Lagowski, 1998). En tal sentido, las

áreas de investigación actuales en el modelado de bioprocesos buscan:

i) La integración de los modelos metabólicos con los modelos del entorno o

medioambiente en que viven los microorganismos. Esta aportaría el puente

necesario entre la ingeniería metabólica y la ingeniería de procesos, con lo cual

se avanzaría hacía una ingeniería global de los bioprocesos.

ii) La comprensión básica de la fisiología celular y de su regulación, que

constituye la base de la ingeniería metabólica a través de la obtención de

mapas y modelos metabólicos completos. Por ejemplo, la ruta para la

producción de curcumina en Escherichia coli fue primero modelada in silico e

insertada en la reconstrucción cinética disponible del metabolismo central de

carbono de la Escherichia coli propuesto por Chassagnole et al. (2002). Usuda

et al. (2010), usando un modelo de metabolismo central del carbono disponible,

modelaron los procesos metabólico y regulatorio envueltos en la producción de


30

glutamato en Escherichia coli. Machado et al. (2014) diseñaron y optimizaron

una ruta para la producción de curcumina en Escherichia coli.

iii) La descripción y explicación de bioprocesos a través de los modelos

semifísicos de base fenomenológica con facilidad de implementar en el escalado

y el control automático: Atehortúa et al. (2007) plantearon un modelo cinético

para el crecimiento del Bacillus thuringiensis, el cual fue mejorado por

Amicarelli et al. (2016), y Gómez et al. (2008) construyeron un modelo

semifísico de base fenomenológica para un proceso de fermentación. Con ambos

modelos se pueden implementar fácilmente estrategias de control y escalado

del bioproceso. Aunque estos dos modelos describen bien los bioprocesos

involucrados, no dejan explícitamente indicada la relación célula

medioambiente.

iv) La obtención de modelos a través de la aplicación de elementos análogos

entre lo conocido y los bioprocesos: Umulis et al. (2005) construyeron un modelo

fisiológico para predecir las concentraciones de etanol y de acetaldehído en la

sangre del cuerpo humano. El modelo asume que el conjunto de órganos que

forman el sistema regulador de etanol en la sangre del cuerpo humano

funcionan como reactores de tanque agitado y reactores de flujo pistón. El

trabajo de Roche et al. (2009) formula un modelo global del músculo cardíaco

basado en la idealización de la célula cardiaca como un sistema de dos tanques

interconectados completamente agitados. Dicho modelo puede ser utilizado

para analizar el efecto de fármacos y tratamientos de patologías cardíacas.

v) La utilización de la micro-fluídica para la obtención de modelos: con esta

visión se avanza en la biología molecular en las áreas de análisis de ADN,

análisis enzimáticos y la proteómica (Huang et al., 2010; Shah et al., 2011). Por

ejemplo, Leclerc et al. (2008) modelaron, con aplicación de CFD (Computational

Fluids Dynamic), el comportamiento dinámico de cultivos de fibroblastos de

ratón y células vivas hepatocarcinomas en un microchip. Los resultados

arrojaron que la CFD es una herramienta poderosa para la optimización del

diseño de microchips para cultivos celulares.

En definitiva, en los bioprocesos interaccionan dos mundos: la célula y su

medioambiente. En la actualidad existen áreas que están trabajando

arduamente para obtener modelos matemáticos que representen lo mejor de

cada lado. La ingeniería metabólica modela el metabolismo celular recibiendo

aportes importantes por las ciencias “ómicas” (transcriptómica, genómica,

metabolómica, proteómica) y la Ingeniería de Procesos (transferencia de calor,

mecánica de fluidos y reología, transferencia de masa, cinética de reacciones,

operaciones unitarias y termodinámica) modela el medioambiente. A pesar de

los esfuerzos planteados por cada una de estas áreas, no existe una

comunicación mediante formulaciones matemáticas que permita relacionar

estos dos mundos de manera descriptiva.


31

1.2.5. Estrategias para mejorar el modelado de bioprocesos.

En la investigación para mejorar los modelos matemáticos surgen

herramientas que permiten, por lo menos, describir la relación medioambiente-

célula que ocurre en un bioproceso. Una aproximación que puede ser útil y que

ha sido aprovechada en ciertas ramas del conocimiento (como la transferencia

de masa, calor y el electromagnetismo) son las analogías fenomenológicas o de

procesos, las cuales establecen relaciones entre objetos reales, permitiendo el

paso de lo conocido a lo desconocido. El mecanismo de formación de las

analogías es muy parecido al de la abstracción, despreciando las diferencias

accidentales entre dos fenómenos y que algunas veces esconden todo lo que

tienen de comparable, el investigador es capaz de encontrar un nuevo modelo o

esquema aplicable a uno y otro objeto (Galagovsky y Adúriz, 2001).

La analogía puede usarse en un doble sentido. Inicialmente, para ayudar a

comprender algo (un fenómeno, un hecho, un principio, una ley) que se hace

abstracto, tal es el caso de las analogías de transferencia de masa y

transferencia de calor (Astolfi et al., 2012). Luego, para compartir la

comprensión que se tiene de algo, por ejemplo, se tiene la explicación del

funcionamiento de las redes neuronales artificiales a partir del funcionamiento

de las neuronas cerebrales (Kuriscak et al., 2015). En cualquiera de los dos

casos la analogía permite acercarnos a lo desconocido, mediante la comparación

con algo que se conoce parcialmente o con lo que mejor se conoce (Galagovsky y

Adúriz, 2001).

En el marco de los bioprocesos, se tiene seguridad de que se pueden establecer

algunas analogías posibles entre los comportamientos de una célula y algunos

sistemas conocidos (Santoso, 2003; Roche et al., 2009). En este sentido, varios

autores han afirmado que estas analogías permitirán en un futuro muy cercano

describir y explicar la relación medioambiente-célula y abrirán paso a la

solución de uno de los ideales de los últimos años en los bioprocesos: que las

células y los mecanismos subcelulares se conviertan en partes integrales de los

sistemas de ingeniería (Albertos y Mareels, 2010).

A continuación, se muestran algunos ejemplos de analogías aplicadas a algunos

procesos. Para esto se describen tres partes principales que se sustraen de cada

referencia bibliográfica: el comportamiento evidente, la analogía y/o hipótesis

que se sostiene en la investigación y, por último, los modelos matemáticos

obtenidos.

Ejemplo 1: (Liu, 2006).

i) Comportamiento evidente: Absorción de nutrientes de una célula.

ii) Analogía: Se realiza una analogía entre el sitio activo de una enzima y los

sitios de toma de nutrientes de la célula utilizando la Teoría de colisiones.


32

iii) Hipótesis: Se cree que las células tienen sólo un número limitado de sitios

en su pared celular de toma de sustrato. Cuando todos los sitios de toma están

llenos por el sustrato, la velocidad de absorción alcanzará su máximo valor y la

velocidad de crecimiento específica también será igual a la velocidad de

crecimiento específica máxima. La Figura 1-1 muestra los supuestos sitios de

toma de sustrato y el sustrato.

De acuerdo con la teoría de la frecuencia de colisiones para crecimiento

microbiano, es razonable considerar que, si la concentración de sustrato en el

medio aumenta, el crecimiento microbiano debe ser más favorable, es decir, el

cambio en la energía libre de Gibbs efectiva disminuiría con el aumento de la

concentración de sustrato.

Figura 1-1: Esquema de los supuestos sitios activos de una célula. (Tomado de

https://www.lifeder.com/fagocitosis/, 2016).

iv) Modelo matemático:

[ ]

[ ] (1.6)

(1.7)

Donde: es el cambio de la energía de Gibbs estándar, es la velocidad

de crecimiento específica máxima, es la concentración de sustrato, T es la

temperatura absoluta del medio, R es la constante universal de los gases, es

el cambio promedio de la energía de Gibbs del proceso de crecimiento

microbiano y es la constante de la ecuación.

Ejemplo 2: (Albertos y Mareels, 2010).

i) Comportamiento evidente: Regulación de glucosa en el interior del cuerpo

humano.


33

ii) Analogía: El sistema de regulación de glucosa en la sangre y en la célula es

considerada como una planta de procesos integrada por sensores, tanques

reactores y válvulas de control.

iii) Hipótesis: El principal objetivo es regular el nivel de glucosa dentro de las

células Gc, y este nivel depende de la carga de trabajo de las mismas. El cerebro

y el sistema nervioso simpático actúan como el controlador central, el cual

recibe la demanda de las células y la información sobre el nivel de glucosa en el

torrente sanguíneo, Gb.

Este nivel de glucosa es también medido por el páncreas para determinar la

producción de insulina o glucagón. Además, el riñón tiene un sensor rústico de

nivel de glucosa (por ósmosis) para extraer la glucosa en exceso.

Bajo condiciones de operación normal, cada vez que se procesa un alimento,

aumenta el nivel de glucosa, el páncreas genera insulina y la glucosa comienza

a ser almacenada como glucógeno tanto en el hígado como en los músculos.

Este glucógeno será usado para generar glucosa en períodos sin ingestión de

alimentos, o cuando se requiera energía extra.

La membrana celular puede ser considerada como una válvula de una vía. La

insulina actúa para abrir la válvula permitiendo el paso de glucosa en la célula.

La Figura 1-2 ilustra esta descripción.

iv) Modelo matemático: Ver Albertos y Mareels (2010).

Figura 1-2: Esquema de la regulación de la glucosa en el cuerpo humano

(Tomado de Alberto y Mareels, 2010).

Ejemplo 3: (Umulis et al., 2005).

i) Comportamiento evidente: Eliminación de etanol en el cuerpo humano.


34

ii) Analogía: El conjunto de órganos que forman el sistema regulador de etanol

en la sangre del cuerpo humano se asume que funcionan como reactores de

tanque agitado y de flujo tubular.

iii) Hipótesis: El sistema regulador de etanol en el cuerpo humano es

representado por cinco compartimentos. Estos compartimentos son

considerados CSTR, excepto el hígado. El hígado es considerado un reactor de

flujo tubular. En estos compartimentos ocurren reacciones catalizadas por

enzimas, que son las responsables de la regulación del etanol en el cuerpo. La

Figura 1-3 ilustra esta hipótesis.

iv) Modelo matemático: (Ver Umulis et al., 2005).

Figura 1-3: Compartimentos supuestos para eliminar etanol (Tomado de

Umulis et al., 2005).

Ejemplo 4: (Albertos y Mareels, 2010).

i) Comportamiento evidente: Entrada de nutrientes y salida de producto.

ii) Analogía: Analogía con la entrada y salida de un fluido a través de una

válvula. Las proteínas transportadoras ubicadas en membrana de la célula

pueden ser consideradas como una válvula de una vía (ver Figura 1-4). Esta

analogía es la que se utiliza en el próximo capítulo para describir el paso de

una sustancia a través de proteínas de transporte.

iii) Hipótesis: Las proteínas transportadoras de la membrana celular regulan el

paso de sustancias hacia y desde el interior como lo hace el actuador de una

válvula. Esta comparación con los diferentes tipos de actuadores dependerá de

la especificidad y afinidad de la sustancia con las proteínas transportadoras.


35

iv) Modelo matemático:

Ecuación del flujo de una válvula:

√

(1.16)

Donde: es el flujo de líquido, es el coeficiente de flujo de la válvula, es la

caída de presión P1-P2, Gf es la gravedad específica del líquido a la temperatura

que fluye.

El coeficiente de flujo de la válvula puede expresarse, de acuerdo al tipo de

válvula, así:

Para válvula lineal:

(1.17)

Para válvula de apertura rápida:

(1.18)

Donde: es la fracción de apertura de la válvula y es un parámetro de

ajuste de la válvula.

Figura 1-4: Válvula de proceso y membrana celular (Lodish et al., 2016;

http://www.codisin.com/productos/instrumentacion/valvulas-de-proceso.html).

1.3 Resumen del Capítulo.

En este capítulo se definieron los diferentes tipos de modelos matemáticos

utilizados en ingeniería y en los bioprocesos, además se describieron las

dificultades que se presentan en el modelado de los bioprocesos.

Adicionalmente, se ilustró mediante ejemplos la importancia y el uso de las

analogías de proceso, las cuales, junto con la fenomenología, son la base de las

demostraciones del próximo capítulo, en el que se formularán las funciones

matemáticas que relacionan el medioambiente y el interior celular, tomando

como ejemplo el modelo de la bacteria Escherichia coli.


36

2. Capítulo 2. La Membrana Celular y la interacción

entre la Célula y el Medioambiente

En este capítulo se explicarán los principales mecanismos que se presentan en

cualquier membrana celular. A continuación, se describen los mecanismos que

se presentan específicamente en la Escherichia coli y finalmente, teniendo en

cuenta la información detallada de estos mecanismos, se proponen modelos

matemáticos que describen la relación entre la célula y el medioambiente,

constituyéndose en el principal aporte de esta tesis. Las siguientes definiciones

serán utilizadas reiterativamente en este capítulo:

Medioambiente: “Es el conjunto de las condiciones externas en las cuales un

organismo vive, incluidos los factores físicos, químicos y biológicos tales como la

temperatura, la luz, la disponibilidad de alimentos y el agua” (Daintith y

Tootill, 1983).

Interior celular o citoplasma de procariotas: “Comprende la sustancia

compuesta por agua, proteínas, lípidos, carbohidratos e iones, que se encuentra

en el espacio interior de la célula limitado o rodeado por la membrana celular”

(Tortora et al., 2007).

2.1. Membrana Celular

El contenido de cada una de las células vivas está rodeado por una membrana

delgada llamada membrana plasmática o celular, que marca el límite entre el

contenido celular y el medio externo. La membrana plasmática es una película

continua formada por moléculas de lípidos y proteínas. El espesor de esta

película está entre 8 y 10 nm, y actúa como barrera selectiva reguladora de la

composición química de la célula. Casi todas las células bacterianas y vegetales

están además encapsuladas en una pared celular gruesa y sólida compuesta de

polisacáridos (que en las plantas superiores es casi siempre celulosa). La pared

celular, que es externa a la membrana plasmática, mantiene la forma de la

célula y la protege de daños mecánicos, pero también limita el movimiento

celular y la entrada y salida de materiales (Stein y Litman, 2015).

La Figura 2-1 muestra el modelo más utilizado para describir la membrana

celular, la cual está formada de lípidos, proteínas y glúcidos en proporciones

aproximadas de 40%, 50% y 10%, respectivamente. Los lípidos forman una

doble capa y las proteínas se disponen de forma irregular y asimétrica entre

ellas. Estos componentes presentan movilidad, lo que confiere a la membrana


37

un elevado grado de fluidez. Por el aspecto y comportamiento, la descripción de

la membrana se denomina “modelo de mosaico fluido”.

Debido al interior hidrofóbico de la membrana, la bicapa lipídica es una barrera

altamente impermeable a la mayoría de las moléculas polares. Esta función de

barrera tiene gran importancia, ya que le permite a la célula mantener en su

citoplasma a ciertos solutos a concentraciones diferentes a las que están en el

fluido extracelular. El mismo hecho se evidencia en cada compartimiento

intracelular envuelto por una membrana. Sin embargo, para poder utilizar esta

barrera, las células han tenido que desarrollar sistemas para transportar

específicamente moléculas hidrosolubles a través de sus membranas y así

poder captar los nutrientes esenciales, excretar productos del metabolismo y

regular la concentración intracelular de iones.

Figura 2-1: Modelo de mosaico fluido de la membrana celular. (Fuente: www.mediateca.cl)

2.1.1. Transporte de nutrientes, productos y desechos a través de la

membrana celular

Para prevenir el movimiento libre de moléculas e iones hacia dentro y fuera de

la célula, la membrana plasmática mantiene diferencias entre la composición

del fluido extracelular y la del citoplasma. Solo unos pocos gases pequeños y sin

carga, y moléculas pequeñas solubles en agua pueden difundir con facilidad a

través de la membrana celular. La gran mayoría de sustancias entran a la

célula a través de las llamadas proteínas de transporte de membrana, que son

sistemas transportadores especiales con afinidades específicas. Estas proteínas

que atraviesan la membrana actúan como lanzaderas, canales o bombas de

moléculas o iones y, además, pueden transportar las sustancias en contra o a

favor del gradiente de concentración, requiriendo o no energía para realizar el


38

proceso (Lodish et al., 2016). En la Figura 2-2 se ilustra de forma resumida la

permeabilidad relativa de una membrana modelo para varias moléculas e iones

muy comunes en los bioprocesos, algunas de estas sustancias entran

libremente, otras entran con cierta dificultad y algunas no pueden entrar, a

menos que haya un mediador.

Figura 2-2: Permeabilidad relativa de una bicapa fosfolípida pura para varias

moléculas e iones (Lodish et al., 2016).

Por otro lado, en los organismos más avanzados como las células animales,

existen mecanismos que involucran a la membrana celular de tal manera que

esta se pliega para rodear líquidos o sólidos de gran tamaño y transportarlos al

interior o exterior de la célula a través de las llamadas vesículas.

Basado en lo anterior, existen tres tipos de transporte a través de la membrana

celular que son:

i) Pasivo, el cual ocurre desde un lugar de mayor concentración hacia el de

menor concentración,

ii) Activo, en el cual se requiere energía para transportar moléculas en

contra del potencial químico, y

iii) Mediante vesículas, las cuales se forman con la misma membrana y en

su interior se sitúan los solutos para su desplazamiento.


39

En la Tabla 2-1 se muestra la taxonomía de estos mecanismos de transporte de

sustancias a través de la membrana celular y las semejanzas y diferencias

existentes entre estos. De esta tabla se resalta que el mecanismo de transporte

más lento es la difusión. Por otro lado, la fuente de carbono al igual que las

fuentes de nitrógeno entra a la célula a través de mediadores, ya sea por

transporte pasivo o por transporte activo. Particularmente, la bacteria

Escherichia coli, para transportar moléculas a su interior, utiliza el mecanismo

pasivo, a través de la difusión y del transporte facilitado, y el mecanismo

activo, a través del transporte primario y el secundario.

A continuación, se realiza el enfoque específico de transporte de materia hacia

el interior de la célula Escherichia coli, debido a que en esta tesis se tomó a

esta bacteria como el microorganismo de estudio.

2.1.2. Caso de estudio: Transferencia de materia en la membrana

celular de la bacteria Gram-negativa Escherichia coli.

La bacteria Escherichia coli es una bacteria Gram negativa que pertenece al

Reino Eubacteria y a la Familia enterobacteriaceae (Figura 2-3) y normalmente

se encuentra en el tracto intestinal de humanos y animales de sangre caliente.

A pesar de que muchas cepas de esta bacteria son infecciosas, existen cepas que

son ampliamente usadas para producir materiales que son útiles en la

industria y han sido estudiadas extensamente como microbios modelo, tanto así

que los científicos consideran que es el organismo más estudiado del planeta y

que se sabe más de ella que del cuerpo humano (Jahan et al., 2016). Los

beneficios que se obtienen con la utilización de esta bacteria son: producción de

genes de proteínas específicas, producción de insulina, producción de vacunas y

antibióticos, producción de alcohol butílico, entre otros.

La Escherichia coli tiene forma cilíndrica, cuya longitud es de 2 µm y diámetro

o ancho promedio de 0,8 µm. El peso seco de una célula está entre 2x10-13 y

3x10-13 g. Además, se reproduce por fisión binaria aproximadamente cada 30

minutos. La Escherichia coli es capaz de utilizar un gran número de sustratos.

Su transporte a través de la membrana citoplasmática es catalizado por una

gran variedad de sistemas de transporte específicos (Sundarajaj et al., 2004;

Nanninga, 1998). Como muchas otras bacterias, la Escherichia coli es capaz de

adaptarse a los cambios de su ambiente con el fin de competir con otros

organismos por los nutrientes limitantes.


40

Tabla 2-1: Taxonomía de mecanismos de transporte de material a través de la membrana celular.

PROPIEDAD

TRANSPORTE DE IONES Y MOLÉCULAS PEQUEÑAS TRANSPORTE DE MOLÉCULAS GRANDES Y

PARTÍCULAS

TRANSPORTE PASIVO TRANSPORTE ACTIVO TRANSPORTE MEDIANTE VESÍCULAS

Difusión Transporte

facilitado Primario

Secundario

(Co-transporte) Endocitosis Exocitosis Transcitosis

Requiere ayuda de

proteínas específica No Sí Sí Sí Sí Sí Sí

Soluto transportado

contra su gradiente No No Sí Sí - - -

Necesidad de ATP o

acoplado a hidrólisis de

ATP

No No Sí No

(Indirectamente) Sí Sí Sí

Impulsado por el

movimiento de un ion

co-transportado en

dirección del gradiente

No No No Sí No No No

Ejemplo de moléculas o

material transportados

O2, CO2, NH3,

etanol, úrea,

agua, hormonas

esteroides,

muchas drogas.

Por uniporte:

glucosa y

aminoácidos.

Por canales:

iones, úrea,

CO2, NH3 y

agua

Iones,

moléculas

hidrofílicas

pequeñas,

lípidos (Por

bombas de

ATP).

Por simporte:

glucosa y

aminoácidos.

Por antiporte:

varios iones y

sacarosa.

Bacterias,

virus,

proteínas,

azúcares,

polisacáridos,

moléculas de

alto peso

molecular.

Bacterias,

virus,

proteínas,

azúcares,

polisacáridos,

moléculas de

alto peso

molecular.

Bacterias, virus,

proteínas,

azúcares,

polisacáridos,

moléculas de

alto peso

molecular.

Flujo de iones o

moléculas

<<102

moléculas/s

-Si es por

canales:

107-108

iones/s

-Si es por

uniporte:

102-104

moléculas/s

100-103

iones/s

102-104

moléculas/s

>>104

moléculas/s

>>104

moléculas/s

>>104

moléculas/s

Presencia en Escherichia

coli Sí Sí Sí Sí No No No


41

Figura 2-3: La bacteria Escherichia coli. A. La bacteria en tinción negativa. B.

Componentes internos de la célula E. coli. C. Esquema de una Escherichia coli

en proceso de división celular. D. Detalle de la estructura interna de una

Escherichia coli. (Fuente: www.manualmoderno.com)

Esta bacteria contiene los siguientes componentes supramoleculares:

i) Membrana celular: Esta membrana está compuesta por dos partes, la

membrana externa y la membrana interna, que se unen a través de sitios de

contacto llamados uniones de Bayer. La membrana celular externa (OM) tiene

una estructura que consiste de una bicapa lipídica que tiene un ancho entre 10-

15 nm. Esta bicapa tiene la capa más externa compuesta de lipopolisacáridos,

también llamada LPS, y la capa más interna que está compuesta de

fosfolípidos. La LPS está constituida por el lípido A, proteínas (cerca de 60.000

porinas), azúcares ramificados (heptosa y ácido ceto-deoxioctanoico) y antígeno

O. Por su parte, la membrana celular interna (IM) está compuesta por una

bicapa lipídica cerca de 8 nm de espesor. En esta membrana se encuentran los

sistemas transportadores de azúcares por medio de fosforilación llamados PTS

(sistema fosfotransferasa).

ii) Pared celular: Se encuentra justo debajo de la membrana externa y está

compuesta de peptidoglicano (Mureína o Lipoproteína de Braun). Tiene un

ancho de 1,3 nm y su función es la de prevenir la lisis osmótica y dar forma a la

célula. Además, está unida covalentemente a la membrana celular más

externa.


42

iii) Periplasma: Es el espacio entre la membrana celular interna y la

membrana celular externa. Tiene 10 nm de espesor y ocupa entre el 10-20% del

volumen de una Escherichia coli. Contiene aproximadamente 80.000 proteínas

y se cree que ayuda en la regulación osmótica.

iv) Capa S cristalina: Esta capa está formada por proteínas que se auto-

ensamblan, las cuales forman complejos rígidos en forma de redes y pueden ser

importantes para la protección celular y la adherencia.

v) Flagelo: Es un apéndice rígido de forma atornillada que posee rotación y está

anclado en la superficie de la membrana celular externa. Tiene entre 10 y 20

micrones de longitud y 25 nm de diámetro. Una bacteria típica tiene entre 5 y

20 flagelos.

vi) Fimbrias o pili: Son apéndices delgados distribuidos por toda la superficie

celular. Tienen 6,5 nm de diámetro y entre 200-2000 nm de longitud. Son más

pequeños que los flagelos y son usados por la bacteria para adherirse a otras

células o superficies. La Escherichia coli tiene entre 100 y 200 fimbrias.

vii) Citoplasma: Es donde residen los mayores componentes de una Escherichia

coli. Contiene el ADN cromosomal, el ARN (t, m y r), los ribosomas o

poliribosomas, cuerpos de inclusión, iones esenciales, moléculas orgánicas

pequeñas y cerca de 2,1 millones de proteínas. La región donde está el

cromosoma es llamada nucleoide.

En cuanto a los sistemas de transporte de nutrientes, productos y desechos de

tamaño pequeño a través de la membrana celular de la Escherichia coli, las

formas más comunes se muestran en la Figura 2-4. En esta figura se observan

los canales (1), que permiten el transporte en favor del potencial químico; los

transportadores (uniporter, symporter y antiporter) (2), que transportan una

molécula en favor del gradiente o varias en favor y/o en contra del gradiente;

por último, las bombas de ATP (3), que utilizan la energía generada en la

hidrólisis de ATP para mover iones y moléculas.

La afinidad de los sistemas de transportes depende de las proteínas de unión

presentes en el periplasma. Tres factores contribuyen a la alta afinidad de

estos sistemas: i) las proteínas de unión tienen sitios de unión de alta afinidad.

ii) algunos de estos sistemas permiten lograr muy bajas concentraciones de

sustrato en el periplasma debido a la presencia de las proteínas de alta

afinidad en este compartimento; estas concentraciones bajas de sustrato en el

periplasma permiten lograr flujos rápidos en los sistemas de transporte de

azúcares. iii) en bacterias Gram-negativas, los sistemas de transporte con

mayor afinidad dependientes de la proteína de unión necesitan energía

proveniente de hidrólisis de ATP. En cambio, los sistemas de transporte de baja

afinidad tienden a ser sistemas de transporte secundarios acoplados a


43

gradientes de protones o Sodio, cuya magnitud es limitada por el estado

energizado de la membrana. Existen sistemas transportadores de azúcares de

afinidad intermedia que dependen de PEP (Fosfoenolpiruvato). Estos sistemas

son los PTS (Sistemas Fosfotransferasas de azúcares) y su baja en la

especificidad se atribuye a los componentes EII fosfotransferasa (Lodish et al.,

2016; Ferenci, 1996).

Figura 2-4: Proteínas transportadoras de membrana. (Los gradientes son

indicados por triángulos cuya punta indica menor concentración o menor

potencial eléctrico, o ambos). (Fuente: Lodish et al., 2016, modificado por el Autor).

En muchas bacterias, el sistema PTS-glucosa junto con fosfoenolpiruvato (PEP)

está involucrado en el consumo y fosforilación concomitante de una variedad de

carbohidratos. La PTS es una vía de transferencia de grupo; un grupo fosforil

derivado desde el fosfoenolpiruvato es transferido secuencialmente a lo largo de

una serie de proteínas hasta la molécula de carbohidrato. La secuencia de

fosfotransferasas es desde el PEP hasta las proteínas PTS citoplasmáticas

generales, la enzima I (EI) y HPr y, para el caso de glucosa, se adicionan IIAGlc

(que es proteína citoplasmática específica de carbohidratos) y la proteína de

membrana IICBGlc (que es la glucosa permeasa). Para otros carbohidratos,

existen enzimas específicas II (con los dominios A, B, y C presente ya sea como

un polipéptido único o como múltiples proteínas, dependiendo del carbohidrato

que transporta), que aceptan el grupo fosforilo de la HPr (Rohwer et al., 2000).

La Figura 2-5 muestra el esquema PTS-glucosa descrito anteriormente.

El sistema PTS-glucosa funciona de la siguiente forma:

i. La glucosa se une a la enzima específica transmebrana II C (EIIC).

ii. La EI cataliza, en presencia de Mg+2, la transferencia del fosfato de alta

energía del PEP a la HPr.

iii. La HPr fosforilada (HPr-P) transfiere el fosfato a la enzima EIIAGlc.

iv. La EIIA-P rápidamente y en presencia de Mg+2, transfiere el fosfato a la

enzima específica con la que se asocia, EIIBGlc, que a su vez fosforila la glucosa


44

convirtiéndola en glucosa-6-fosfato. En este momento la EIIC pierde su

afinidad por la glucosa modificada, que de esta forma entra en el citoplasma,

preparada para actuar como sustrato de la primera reacción del catabolismo de

este azúcar (Görke y Stülke, 2008).

Figura 2-5: Esquema del sistema PTS-glucosa en Escherichia coli (Tomado de

Kremling et al., 2015).

Los sistemas de transportes de la membrana externa (OM) de la Escherichia

coli se dividen en cuatro categorías:

i) Porinas específicas y generales: El poro es llenado con agua y permite la

difusión de nutrientes generales tales como, azúcares, hierro y aminoácidos. A

través de las porinas, que son los canales más simples, pueden ser

transportados pequeños solutos, ya sea por difusión simple o por difusión

facilitada, cuyo tamaño no sobrepase los 600 Dalton, aproximadamente. La

mayor parte del tiempo los canales de porina permanecen abiertos. Las porinas

generales que tiene la Escherichia coli son OmpC, OmpF y PhoE. Las porinas

OmpF y OmpC prefieren transportar cationes, aunque la OmpF permite

difusión de moléculas un poco más grandes que las OmpC. Debido al poro de

mayor tamaño que tienen las OmpF, tiene entre 0,7 y 1,1 nm en su punto más

estrecho, estas porinas tienen producción más regulada que las OmpC cuando

la bacteria está estresada por presión osmótica, pH ácido, y/o químicos tóxicos.

La porina PhoE prefiere transportar iones y es expresada sólo bajo inanición de

fosfatos. Las porinas específicas LamB y ScrY usan difusión facilitada para

transportar un rango estrecho de sustratos deseables. Se cree que LamB

transporta maltosa y oligosacáridos de alto peso molecular de la serie de la

maltosa y además se cree que puede transportar glucosa, lactosa, arabinosa y

aún glicerol.


45

Adicional a las anteriores porinas, en la Escherichia coli existen muchas otras

porinas como la BglH que está relacionada con degradación de aril-beta-

glucósidos, la RafY relacionada con la degradación de rafinosa, la OmpG

relacionada con la absorción de oligosacáridos cuando la LamB es

interrumpida, la OmpA y la OmpW que están relacionadas con la protección de

la célula ante ambientes de estrés, también existen las OmpX (implicada en

adhesión), PagP (aciltransferasa), OmpT (proteasa) y OmpLA (fosfolipasa),

(Yamashita y Buchanan, 2010).

ii) Transportadores específicos: Se dividen en dos familias, los Tsx para

transportes de nucleósidos y los FadL para transporte de ácidos grasos. A pesar

de que estos transportadores son más pequeños que las porinas, trabajan

mecánicamente de forma similar a ellas, ya que el transporte de sustrato no

requiere una fuente de energía.

iii) Transportadores TonB específicos: Como el proceso de difusión facilitada no

puede satisfacer los requerimientos de la célula tales como el contenido de

hierro, las bacterias han desarrollado sistemas de transporte activo llamados

TonB, los cuales están involucrados en el trasporte activo de alta afinidad de

quelatos de hierro y vitamina B12.

iv) Canales exportadores: Las bacterias Gram negativas tienen muchos

sistemas transportadores eficientes para solutos desconocidos. Uno de estos

transportadores es el transportador TolC, el cual cuando se une a

transportadores AcrA y AcrB produce un complejo que transporta fuera de la

célula gran variedad de compuestos tales como detergentes, solventes orgánicos

y antibióticos.

En la membrana celular interna (IM) de la Escherichia coli también existen

proteínas que pueden mediar el transporte de sustancias desde o hacia el

interior de la célula. A continuación, se detallan los principales tipos de estos

transportadores:

i) Transportadores de NH3 /NH4+: El amoníaco disuelto está presente como

NH3 neutro y como NH4+ cargado. La difusión directa a través de la membrana

de NH4+es despreciable. El NH3 es transportado a través de la membrana

celular por difusión y por las proteínas de canal Mep/Amt, ubicadas en la

membrana interna (Thornton et al., 2006; Thomas et al., 2000).

ii) Las acuaporinas: Estas proteínas transportan agua al interior celular.

Cuando la Escherichia coli crece en medios de alta osmolaridad la síntesis de

los canales de acuaporinas es reprimida. Esto puede ayudar a proteger la célula

de la tensión osmótica baja en caso de una disminución aguda en la

osmolaridad del medio externo (Yamashita y Buchanan, 2010).


46

2.2. Modelos matemáticos propuestos en esta tesis para la relación

entre el Medioambiente y el interior celular.

En la sección anterior se realizó una descripción general, desde la fisiología

celular, de los mecanismos de entrada y salida de masa en la Escherichia coli,

lo cual es clave para realizar propuestas de modelos matemáticos y así

establecer relaciones entre el interior celular y el medioambiente que la rodea.

Con base en el conocimiento previo descrito hasta el momento, en esta sección

se proponen los modelos matemáticos para relacionar el medioambiente con el

interior celular, basado principalmente en la aplicación de los modelos que

explican los mecanismos de transferencia de masa y en analogías de procesos.

2.2.1. Modelos matemáticos para la transferencia de masa.

En la Tabla 2-2 se muestra un resumen de los mecanismos de transporte

participantes en cada parte de la membrana celular para las diferentes

sustancias que entran o salen de la célula de Escherichia coli.

Tabla 2-2: Mecanismos de transporte en la membrana celular de la

Escherichia coli.

Sustancia Mecanismos de entrada o salida de material

Membrana externa Periplasma Membrana interna

Glucosa Difusión facilitada

por OmpC y OmpF Difusión

Difusión facilitada y

transformada por la PTS

a glucosa 6-fosfato

Agua Difusión Difusión Difusión facilitada por

Acuaporinas y Difusión

NH3/NH4+ Difusión Difusión

Difusión y difusión

facilitada por proteínas

Mep/Amt

Etanol Difusión Difusión Difusión

O2 Difusión Difusión Difusión

CO2 Difusión Difusión Difusión

H2 Difusión Difusión Difusión

Ácidos

orgánicos Difusión facilitada Difusión Difusión facilitada

Iones Transporte Activo


47

En general, cada microorganismo tiene los mecanismos específicos para

ingresar sustancias a su interior o evacuar sustancias al medioambiente, es por

eso que al plantear modelos de transferencia de masa en la célula es obligatorio

conocer la estructura y fisiología de la membrana celular, sólo así se logran

proponer analogías que permiten describir y explicar matemáticamente los

mecanismos de transferencia de masa. Para ayudar en esto, en la Figura 2-6

se muestra la membrana celular con sus divisiones y la capa límite que rodea a

la célula. Los números que aparecen en esta figura indican los límites de cada

división donde se plantean los modelos matemáticos para cada uno de los

mecanismos descritos anteriormente en la Tabla 2-2.

Figura 2-6: Partes de la membrana celular de Escherichia coli y capa límite.

A continuación, se describen una a una las ecuaciones matemáticas para las

divisiones planteadas en la Figura 2-6, excepto la parte correspondiente a la

capa límite que se explicará en la Sección 2.4.

i) Membrana externa (OM):

Para materiales que pasan a través de porinas o proteínas facilitadoras:

La glucosa entra a la membrana celular externa de la Escherichia coli a través

de las porinas OmpC y OmpF. Estas porinas trabajan como un tornillo sinfín

específico para esta fuente de carbono. El flujo molar de glucosa que entra a la

membrana celular externa se puede expresar a través de la siguiente ecuación,

la cual es tomada por analogía a la ecuación de un tornillo sinfín (Green y

Perry, 2007). La ecuación entrega directamente el flujo (no el flux que es flujo


48

por metro cuadrado), puesto que el área de paso es justamente la variable que

regula la resistencia de la porina.

(2.1)

En esta ecuación va incluido el efecto que tiene la porina que corresponda

cuando está abierta o cerrada. Adicionalmente, esta ecuación implica que

cuando la diferencia de concentración de glucosa es alta, el flujo de glucosa a la

célula podría alcanzar un valor máximo, y cuando la diferencia es cero, no

existe flujo entrante. Finalmente, es un parámetro del modelo a

identificar y depende del número de porinas, del microorganismo, de las

condiciones ambientales, entre otros. Si bien la ecuación (2.1) es expresada

para glucosa, cualquier tipo de sustrato que entre a la célula a través de

porinas podría estimarse el valor del flujo molar por esta expresión. Para cada

canal y tipo de sustrato i existirán valores específicos del parámetro .

Existirán sustratos que tengan primero que ser transformados por reacción

enzimática para entrar a la membrana celular. Para este caso se debe plantear

el respectivo modelo del consumo del sustrato original en la capa límite y/o en

el bulto del medio y luego plantear el modelo de entrada del producto de este

sustrato que dependerá si difunde libremente o necesita de una porina para su

ingreso. Para este último mecanismo, se puede emplear la ecuación (2.1). Para

ilustrar lo anterior, se toma como ejemplo un biorreactor en donde crece la

levadura Saccharomyces cerevisiae en un medio rico en sacarosa como fuente de

carbono. La levadura produce la enzima sacarasa o invertasa que es secretada

al medioambiente para hidrolizar a la sacarosa y obtener glucosa más fructosa.

Estas moléculas ingresarán a la célula por transporte facilitado para ser la

fuente de carbono del metabolismo celular (Shankar et al., 2013).

Se aclara que el planteamiento que se realiza aquí es para el paso de glucosa

por la membrana externa, sin embargo cualquier sustancia que pase la

membrana mediante porinas se interpretaría de la misma forma, es decir, se

podría modelar matemáticamente como se explicó.

Para los materiales que sólo pasan la membrana externa por difusión:

A continuación, se plantean las ecuaciones para la sustancia entrante o

saliente de la membrana externa por el mecanismo de la difusión explicado por

la Ley de Fick. Para obtener la ecuación matemática que representa la

transferencia de masa en la membrana externa se supone que dicha

transferencia se da a través de las áreas lateral, superior e inferior de la

bacteria, aunque sólo se considera que el flujo es unidimensional por cada una

de estas áreas. En ese sentido, el flux molar del componente por el área

lateral (flujo radial) se expresa así:


49

(2.2)

Donde es el flux molar del componente A, es el flux molar del

componente B, es la concentración molar total, es la difusividad molar

del componente A en B en la membrana externa y es la fracción molar del

componente A.

Considerando que existe contradifusión equimolar, es decir, , lo

cual significa que la membrana externa es un material B que deja pasar la

sustancia A, pero conforme el flux molar de la sustancia A ( ) va

transportándose por la membrana esta última desplaza un flux molar ( )

igual en dirección contraria, por lo tanto, la ecuación anterior se reduce a:

(2.3)

Suponiendo que y son constantes y si se multiplica por el área de

transferencia , se puede calcular (flujo molar) como:

(2.4)

Donde es la longitud de la bacteria Escherichia coli y es la concentración

molar del componente A. La anterior ecuación se puede expresar en variables

separadas a cada lado, así:

( ) (2.5)

Esta ecuación se resuelve teniendo las condiciones límites siguientes:

Para , y para ,

Donde: es el radio que limita la membrana externa de la capa límite, es decir

el radio de la célula, es el radio que limita a la membrana externa del

complejo Pared celular + Periplasma, es la concentración molar de A en la

membrana externa y es la concentración molar de A en el complejo pared

celular periplasma (ver Figura 2-6).

La solución de la ecuación (2.5) es:

[ (

⁄ )

]

(2.6)


50

Por otro lado, el flux molar del componente por el área superior o inferior

(flujo axial) se expresa así:

(2.7)

Recordando que no existe flujo global, es decir, , por lo tanto la

ecuación anterior se reduce a:

(2.8)

Como y son constantes y si se multiplica por el área de

transferencia , se puede calcular (flujo molar) obteniéndose:

(2.9)

La anterior ecuación se puede expresar en variables separadas a cada lado, así:

( ) (2.10)


para , y para ,

La solución de esta ecuación es:

(

) (2.11)

Como el espesor tiene el mismo valor que , entonces:

(

) (2.12)

Para las áreas superior e inferior de la bacteria, el flujo molar queda:

(

) (2.13)

Entonces, el flujo molar total para toda la membrana externa es igual a la

suma de los flujos molares en las áreas lateral, superior e inferior:


51

( ) {

* (

⁄ )

+

(

)} (2.14)

La anterior ecuación se puede reducir suponiendo que la transferencia de masa

se realiza en la dirección radial, para esto se utiliza una nueva altura de la

bacteria la cual llamaremos . Esta suposición está soportada en

que la resistencia a la transferencia de masa debido a las áreas superior e

inferior es menor al 20% de la resistencia a la transferencia de masa debido al

área lateral. Para realizar este cálculo se tomaron los valores de los radios

reportados en la literatura y que se plantean al inicio de este capítulo, los

cuales son: =0,4 µm; =0,3999875 µm; =0,3886875 µm y =0,3806875 µm.

Además, el valor de se puede obtener sumando las áreas lateral,

superior e inferior, cuyo valor es 6,027x10-12 m2, y luego se realiza el cálculo

de la siguiente ecuación:

(2.15)

El valor del es de 2,4 µm, lo cual resulta ser un 20% del valor real

reportado, , que es 2,0 µm.

Finalmente, la ecuación de flujo molar del componente en la membrana

externa es:

* (

⁄ )

+

(2.16)

ii) Complejo Pared celular + Periplasma (PP):

Las siguientes ecuaciones se plantean teniendo en cuenta que la pared celular

junto con el Periplasma hace una sola resistencia a la difusión, la cual se llama

en este trabajo “complejo Pared celular + Periplasma” (ver Figura 2-7). En este

compartimento sólo existe difusión de la sustancia que atraviesa el complejo

Pared celular + Periplasma. Debido a la porosidad de la pared celular las

ecuaciones de difusión de materia están expresadas en términos de la

difusividad molar efectiva.

Para obtener la ecuación matemática que representa la transferencia de masa

en el complejo Pared celular + Periplasma se supone que dicha transferencia se

da a través de las áreas lateral, superior e inferior de la bacteria, aunque sólo

se considera que el flujo es unidimensional por cada una de estas áreas.


52

Figura 2-7: Complejo Pared celular + Periplasma de la Escherichia coli.

El flux molar del componente por el área lateral (flujo radial) se expresa así:

(2.17)

Donde es la difusividad efectiva molar del componente A en B en el

complejo Pared celular + Periplasma.

Suponiendo que en el complejo Pared celular + Periplasma no existe flujo

global, es decir, , la ecuación anterior se reduce a:

(2.18)


transferencia , se puede calcular (flujo molar) así:

(2.19)

La anterior ecuación se puede expresar en variables separadas a cada lado así:

( ) (2.20)


53


Para , y para , , donde es el radio que limita al

complejo Pared celular + Periplasma con la membrana interna y es la

concentración molar de A en la membrana interna.

La solución a esta ecuación es:

[ (

⁄ )

]

(2.21)



(2.22)

Recordando que el complejo Pared celular + Periplasma no existe flujo global o

, por lo tanto la ecuación anterior se reduce a:

(2.23)



(2.24)

La anterior ecuación se puede expresar en variables separadas a cada lado así

( ) (2.25)


para , y para ,


(

) (2.26)

Como el espesor tiene el mismo valor que , entonces


54

(

) (2.27)

Para las áreas superior e inferior de la bacteria, el flujo molar es:

(

) (2.28)

Luego, el flujo molar total para todo el complejo Pared celular + Periplasma

(PP) es igual a la suma de los flujos molares en las áreas lateral, superior e

inferior:

( ) {

* (

⁄ )

+

(

)} (2.29)

Finalmente, realizando la reducción semejante a como fue hecho en la

membrana externa, se obtiene:

* (

⁄ )

+

(2.30)

iii) Membrana interna:

En la Figura 2-8 se indica este compartimento de la membrana celular de la

Escherichia coli.

Figura 2-8: Membrana interna de la Escherichia coli.


55

En la membrana interna puede existir reacción enzimática de sustancias,

difusión de sustancias y transporte facilitado de sustancias. A continuación, se

describen uno a uno los modelos matemáticos de transferencia de masa

planteados para este trabajo.

Reacción enzimática de sustancias:

Las reacciones enzimáticas en la membrana interna pueden ocurrir con

cualquier sustrato que sea capaz de llegar hasta ese compartimento, solo basta

que la bacteria produzca la enzima que transforme ese sustrato. Si se conoce el

mecanismo de la reacción enzimática será posible plantear el modelo

matemático para dicha reacción. Por ejemplo, si el sustrato es glucosa, el

sistema PTS en la membrana interna la convierte en glucosa 6-fosfato. Bajo el

supuesto de que el mecanismo controlante no es la transferencia de masa sino

la reacción química que ocurre, el flujo molar de glucosa 6-fosfato que entra al

citoplasma debido a la transformación de la glucosa se puede expresar como:

(2.31)

Donde es el radio que limita la membrana interna con el citoplasma y

es el volumen del citoplasma celular.

La velocidad de consumo de glucosa ( ) es expresada por (Chassagnole et al.,

2002) en:

(

)(

)

(2.32)

Donde: es la concentración molar de glucosa en la membrana interna,

es la concentración molar de fosfoenolpiruvato en el citoplasma, es la

concentración molar de piruvato en el citoplasma, es la velocidad de

reacción máxima del sistema PTS, y , , , y

son parámetros del modelo que se encuentran reportados en

Chassagnole et al. (2002).

Para los materiales que sólo pasan la membrana interna por difusión:


saliente de la membrana interna por el mecanismo de la difusión explicado por

la Ley de Fick. Para obtener la ecuación matemática que representa la


56

transferencia de masa en la membrana interna se supone que dicha

transferencia se da a través de las áreas lateral, superior e inferior de la

bacteria, aunque sólo se considera que el flujo es unidimensional por cada una

de estas áreas. El flux molar del componente por el área lateral (flujo radial)

se expresa así:

(2.33)

Donde: es la difusividad molar del componente A en B en la membrana

interna. Considerando que existe contradifusión equimolar, es decir,

, lo cual significa que la membrana interna es un material B que deja

pasar la sustancia A, pero conforme el flux molar de la sustancia A ( ) va

transportándose por la membrana esta última desplaza un flux molar ( )

igual en dirección contraria, por lo tanto, la ecuación anterior se reduce a:

(2.34)



(2.35)


( ) (2.36)


Para , y para , , donde es la concentración molar

de A en el citoplasma.


[ (

⁄ )

]

(2.37)



(2.38)


57

Recordando que en la membrana interna , por lo tanto, la

ecuación (2.38) se reduce a:

(2.39)



(2.40)


( ) (2.41)


Para , y para ,


(

) (2.42)

Como el espesor tiene el mismo valor que , entonces

(

) (2.43)

Considerando que las áreas superior e inferior de la bacteria son iguales, el

flujo molar queda:

(

) (2.44)

Luego, el flujo molar total para toda la membrana interna (IM) es igual a la

suma de los flujos molares en las áreas lateral, superior e inferior:

( ) {

* (

⁄ )

+

(

)} (2.45)


58

Finalmente, realizando la reducción semejante a como fue hecho en la

membrana externa, se obtiene

* (

⁄ )

+

(2.46)

Para materiales que pasan la membrana interna a través de porinas o proteínas

facilitadoras:

El planteamiento que se realiza aquí es para el flujo de cualquier sustancia que

pase la membrana interna de la Escherichia coli mediada por porinas. Estas

porinas trabajan de forma análoga a un tornillo sinfín específico para cada

sustancia entrante o saliente. El flujo molar de sustancia se puede expresar a

través de la siguiente ecuación, la cual es tomada por analogía a la ecuación de

un tornillo sinfín, con la misma claridad hecha arriba sobre el área:

(2.47)

Esta ecuación implica que cuando la diferencia de concentración de la sustancia

es alta, el flujo de sustancia a la célula podría alcanzar un valor máximo, y

cuando la diferencia es cero, no existe flujo entrante. Finalmente, es

un parámetro del modelo a identificar y depende del número de porinas

presentes en la membrana, del tipo de microorganismo y de las condiciones

ambientales.

-Transporte de agua:

El agua tiene la particularidad, por su tamaño pequeño, de atravesar toda la

membrana celular por difusión, pero también existen las proteínas

Acuaporinas que aceleran el flujo de agua a través del transporte mediado o

difusión facilitada. Como ambos eventos transcurren simultáneamente y la

acuaporina está ubicada en la membrana interna, se realiza un análisis de la

transferencia de masa del agua por secciones.

Entrada de agua desde la membrana externa hasta la membrana interna (ver

la anterior Figura 2-8): Entre la membrana externa y el complejo Pared celular

+ Periplasma el agua entra por difusión, además como existe porosidad en este

complejo debido a la presencia de la pared celular, las ecuaciones se expresan

con la difusividad efectiva. Aplicando los mismos criterios realizados para la

demostración de las ecuaciones en la membrana externa, se llega a la siguiente

expresión matemática para el flujo molar de agua:


59

{

[ (

⁄ )

]

}

(2.48)

Donde: es la concentración molar de agua en la membrana externa,

es la concentración molar de agua en la membrana interna,

es la difusividad efectiva molar del agua en el material compuesto por

membrana externa y complejo Pared celular + Periplasma.

Entrada de agua desde la membrana interna hasta el citoplasma: En la

membrana interna el agua entra por difusión, pero también entra por

mediación de las Acuaporinas. Para demostrar la ecuación correspondiente a la

difusión se procede de igual manera como se hizo con la membrana externa y

para plantear la ecuación de las Acuaporinas se realiza de nuevo la analogía

del tornillo sinfín, como se realizó en la entrada de glucosa. Como estos flujos

molares de agua están ocurriendo en paralelo, se obtiene la siguiente expresión

matemática:

+

* (

⁄ )

+

(2.49)

Donde: es la concentración molar de agua en la membrana interna,

es la concentración molar de agua en el citoplasma, es la

difusividad efectiva molar del agua en la membrana interna y es

un parámetro del modelo a identificar.

-Transporte de NH3:

El transporte de NH3 tiene similitud con el transporte de agua, es decir, la

molécula de NH3 atraviesa toda la membrana celular por difusión, pero

también existen las proteínas AmtB que facilitan el flujo de NH3 a través del

transporte mediado. Como ambos eventos transcurren simultáneamente y la

AmtB está ubicada en la membrana interna, se realiza un análisis de la

transferencia de masa del NH3 por secciones.

Entrada de NH3 desde la membrana externa hasta la membrana interna (ver

la anterior Figura 2-8): Entre la membrana externa y el complejo Pared celular

+ Periplasma el NH3 entra por difusión, además como existe porosidad en este


60

complejo debido a la presencia de la pared celular las ecuaciones se expresan

con la difusividad efectiva. Aplicando los mismos criterios realizados para la

demostración de las ecuaciones en la membrana externa, se llega a la siguiente

expresión matemática para el flujo molar de amoníaco:

{

[ (

⁄ )

]

}

(2.50)

Donde es la concentración molar de NH3 en la membrana externa,

es la concentración molar de NH3 en la membrana interna, es la

difusividad efectiva molar del NH3 en el material compuesto por membrana

externa y complejo Pared celular + Periplasma.

Entrada de NH3 desde la membrana interna hasta el citoplasma: En la

membrana interna el NH3 entra por difusión, pero también entra por

mediación de las AmtB. Para demostrar la ecuación correspondiente a la

difusión se procede de igual manera como se hizo con la membrana externa y

para plantear la ecuación de las AmtB se realiza de nuevo la analogía del

tornillo sinfín, como se realizó en la entrada de glucosa y de agua. Como estos

flujos molares de NH3 están ocurriendo en paralelo, se obtiene la siguiente

expresión matemática:

+

* (

⁄ )

+

(2.51)

Donde: es la concentración molar de NH3 en la membrana interna,

es la concentración molar de NH3 en el citoplasma, es la difusividad

efectiva molar del NH3 en la membrana interna y es un parámetro

del modelo a identificar.

Finalmente, en la Tabla 2-3 se realiza un resumen de los modelos matemáticos

propuestos en esta tesis para cada división de la membrana celular de la

bacteria Escherichia coli. Esta tabla facilita el trabajo para proponer

ecuaciones que expresen la transferencia de masa. Por ejemplo, si se quiere

expresar de forma global la transferencia de un sustrato A entre la membrana

externa y el citoplasma, conociendo que el mecanismo de la difusión es el único

mecanismo que sucede entre estos dos límites, se toman las expresiones de la


61

difusión en cada sección de la membrana, se consideran que son resistencias en

serie de la transferencia de materia y se reduce la expresión a:

[ (

⁄ )

(

⁄ )

(

⁄ )

] (2.52)

Para el caso donde existen más de un mecanismo, la tabla ofrece igual ayuda,

sólo que se necesita de mayor manejo matemático para reducir la expresión.

Por ejemplo, para una sustancia que entre por difusión hasta el complejo pared

celular y periplasma y luego pase por la membrana interna por difusión

facilitada, en el estado estacionario la expresión del flujo molar es:

[ (

⁄ )

]

[ (

⁄ )

]

(2.53)

Si la ecuación se quiere expresar desde la membrana externa hasta el

citoplasma, sería:

* (

⁄ )

(

⁄ )

+

(2.54)

2.2.2. Modelos matemáticos para la transferencia de calor

La transferencia de calor en el estado estacionario se realiza suponiendo que la

bacteria disipa o absorbe energía en forma de calor por el área lateral, en forma

cilíndrica, y las áreas superior e inferior, en forma de placa plana. Por lo tanto,

el flujo de calor ( será la suma de los flujos de calor disipados o absorbidos por

las áreas mencionadas. Para deducir una expresión que describa este calor se

supone que únicamente se manifiesta el calor por conducción. Las ecuaciones

demostradas por Bird et al. (2006) para conducción estacionaria en capas

cilíndricas y en placas planas se presentan a continuación:

Para la capa cilíndrica:

* (

⁄ )

(

⁄ )

(

⁄ )

+

(2.55)


62

Tabla 2-3: Resumen de modelos matemáticos de mecanismos de transporte y reacción en la membrana celular de la

Escherichia coli.

Mecanismo Membrana externa

Periplasma

+

pared celular

Membrana interna

Difusión

[ (

⁄ )

]

[ (

⁄ )

]

[ (

⁄ )

]

Difusión

facilitada

( )

( )

( )

Transporte

activo

En esta tesis no se trabajó con este mecanismo, ya que en la experimentación no se midió ningún

componente cuyo transporte sea por este mecanismo.

Reacción

enzimática Michaelis-Menten o modificada Michaelis-Menten o modificada

Michaelis-Menten o modificada

Para el caso de la PTS de la E. coli

se tiene que

( )

Donde se expresa como la

ecuación (2.32)


63

Donde: es la conductividad térmica de la membrana interna, es la

conductividad térmica del complejo pared celular + periplasma, es la

conductividad térmica de la membrana interna, y son las temperaturas en

los radios y , respectivamente.

Para la placa plana:

(

)

(

) (2.56)

Por lo tanto,

(2.57)

Es decir,

[

( (

⁄ )

(

⁄ )

(

⁄ )

)

(

)

(

)] (2.58)

El flujo de calor absorbido o disipado por la bacteria está relacionado con su

metabolismo, es decir, por la energía producida o consumida en cada reacción

de la cadena metabólica y por la energía involucrada en el transporte activo.

Por lo tanto, la ecuación (2.58) debe relacionarse con el calor liberado o

absorbido por las reacciones metabólicas ocurridas en el interior celular. A

través de estas relaciones matemáticas se explican los cambios ocurridos en el

metabolismo cuando cambia la temperatura del medioambiente de la célula.

En el Anexo 2 se proponen las ecuaciones utilizadas para complementar la

transferencia de calor entre el citoplasma y el medioambiente.

2.3 Coeficientes locales englobantes en el sistema (Interior celular-

Bulto de líquido) y Curva de Distribución de Equilibrio (CDE).

Las ecuaciones obtenidas en la Sección 2.2 son la base de lo que en esta sección

se demostrará. Para ello, se utilizará el concepto de coeficientes locales

englobantes con el fin de obtener expresiones que comprenden las demostradas

en la sección anterior más los coeficientes locales de transferencia de masa.

2.3.1 Fluxes molares a través de la membrana celular

Para realizar la CDE de solutos que se transfieren en el sistema interior

celular-bulto del líquido, o medioambiente, se parte de la hipótesis de que el

proceso de transferencia de masa de cualquier componente ocurre por la


64

diferencia de potencial químico entre el interior celular (citoplasma) y el bulto.

Es decir, que la CDE del sistema es inalterable desde la termodinámica, no

obstante, desde el punto de vista de fenómenos de transporte quien se altera

por la presencia de la membrana celular es la velocidad de transferencia de

materia medida como flux molar (NA). Esto se da porque la membrana tiene

proteínas reguladoras de flujo o de transporte para muchos componentes

químicos. Estas proteínas transportadoras pueden cerrarse o abrirse no sólo

por el potencial químico, sino a conveniencia de la célula. Es decir, en la

fenomenología del transporte para calcular los fluxes de materia de un

componente químico, además de tener en cuenta las resistencias a la

transferencia de masa definidas por los inversos de los coeficientes locales de

cada fase (fase del líquido bulto y fase citoplasma), se deben adicionar

resistencias definidas por las proteínas transportadoras. Quizás estas

resistencias sean más importantes que las de las fases individuales, ya que a

pesar de que exista un gradiente alto de concentración de un componente entre

el bulto y el citoplasma, es posible que el flujo de tal componente sea casi nulo o

no exista, inclusive el flux puede ser contrario al gradiente de concentración,

trayendo como consecuencia un gasto energético celular.

Para deducir las ecuaciones que permitan calcular el flux molar de un

componente, se parte del planteamiento de un sistema ficticio compuesto solo

de citoplasma rodeado por un bulto de un líquido, como se muestra en la Figura

2-9. Se dice ficticio porque no se incluye el efecto de la pared celular, ni de las

membranas celulares interna y externa, ni del periplasma. Cuando se resuelva

matemáticamente este sistema ficticio se adicionan los efectos excluidos.

Figura 2-9: Sistema ficticio citoplasma de Escherichia coli y bulto de líquido.

Expresando el flux molar de transferencia de masa usando coeficientes tipo k’

para cada fase (debido a que la transferencia de masa es baja, en

contradifusión equimolar y a bajas concentraciones de soluto), se tiene:

; con datos de concentraciones en el citoplasma (2.59)

; con datos de concentraciones en el líquido del bulto (2.60)


65

Para el estado estacionario se tiene que:

Entonces,

( )

Es decir:

( )

( )

(2.61)

Donde: y son las fracciones molares del componente A en el bulto del

líquido y en el citoplasma, respectivamente; y son las fracciones molares

del componente A en la interfase del lado del bulto del líquido y del lado del

citoplasma, respectivamente; y son los coeficientes locales de

transferencia de masa con concentraciones en el bulto del líquido y en el

citoplasma, respectivamente.

La ecuación (2.61) es la pendiente de la línea de la Fuerza impulsora para la

transferencia de masa, que se interpreta directamente como la pendiente de

una línea recta que conecta al punto de concentraciones en el bulto con un

punto correspondiente de concentraciones en la interfase (equilibrio).

Ya con los coeficientes locales se puedo cuantificar en cada fase la transferencia

de masa. Sin embargo, con la determinación del coeficiente en una fase no se

puede apreciar lo que pasa cuando aparecen dos fases. Es ahí donde se requiere

un coeficiente que engloble esos efectos individuales de fase para cuantificar la

transferencia de masa interfacial. Generalmente, la imposibilidad técnica para

la medición de las concentraciones en la interfase hace que la ecuación (2.61)

sea modificada. Para resolver el anterior problema se utilizan los coeficientes

locales englobantes de las fases (coeficientes tipo K’) para la cuantificación de la

transferencia de masa interfacial. Aunque desde la denominación misma de

estos coficientes (locales englobantes), parece un contrasentido que sean

englobantes y locales a la vez, bien vale la pena aclarar que el uso de las dos

palabras (locales y englobantes), es correcto en este contexto. Son coeficiente

locales porque son función de los coeficientes tipo k’ y son englobantes porque

utilizan una expresión para la fuerza impulsora que considera la concentración

del soluto A en el bulto de cada fase y la concentración de A que estaría en

equilibrio en cada fase. En esta tesis se utilizan coeficientes tipo K’ y no tipo F’,

ya que el flux de transferencia de masa en el bioproceso con Escherichia coli es

bajo, al igual que las concentraciones manejadas. Además, se supone

contradifusión equimolar, lo cual fue justificado en la demostración de las

ecuaciones de transferencia en cada parte de la célula (Sección 2.2).


66

Por lo tanto, las expresiones para el flux molar de transferencia de masa son:

; con datos de concentraciones en el citoplasma (2.62)

; con datos de concentraciones en el bulto del líquido (2.63)

El superíndice (*) indica el valor de la concentración de equilibrio en esa fase

que a las condiciones de Temperatura, Presión y concentración del bulto en una

fase tendría A con la otra fase a su concentración en bulto. Las concentraciones

y

se denominan concentraciones ficticias, de lectura directa en una curva

de distribución de equilibrio de una sustancia A (glucosa, acetato, etc.) en un

sistema de dos fases en contacto, que para el caso específico en estudio son la

fase bulto de líquido y la fase interior celular, como se aprecia en la Figura 2-

10. Los puntos y

, correspondientes a un punto de operación P, se obtienen

extendiendo una línea horizontal y una línea vertical paralelas a los ejes desde

el punto P, que intersecte la curva de distribución de equilibrio, luego los

valores respectivos se leen en los ejes x e y de la figura.

Figura 2-10: Ejemplo de CDE de una sustancia A en el sistema interior

celular-bulto de líquido.

Por medio de un manejo geométrico que involucra los tramos que forman los

triángulos PMZ, CMZ y DMP, como se ilustra en la figura, se obtienen las

expresiones siguientes:

(2.64)


67

(2.65)

Los valores de y corresponden a las pendientes de los segmentos que

unen los puntos CM y DM, respectivamente. En las ecuaciones (2.64) y (2.65) se

muestran los coeficientes locales englobantes en cada fase K’, en términos de

los coeficientes locales tipo k’. Basado en estas ecuaciones (2.64) y (2.65), las

expresiones (2.62) y (2.63) se pueden expresar como se muestra a continuación:

Con datos del citoplasma:

( ) (

)

( ) (2.66)

Con datos del bulto del líquido:

(

)

(2.67)

Las ecuaciones (2.66) y (2.67) permiten calcular el flux molar de un componente

A, en el sistema descrito arriba en la Figura 2-9, para componentes que entran

al citoplasma o productos que salen del mismo. Por lo tanto, para obtener una

expresión que describa lo que sucede en realidad, se utiliza la analogía de

circuito térmico de la transferencia de calor planteando resistencias. Para el

caso de la Escherichia coli se adicionan las tres resistencias que se definen por

las tres divisiones ya planteadas (Membrana externa, complejo Periplasma +

Pared celular y Membrana interna), por lo que las ecuaciones (2.66) y (2.67),

expresadas en flujos molares se amplían así:

(

)

( ) (2.68)

(

)

( ) (2.69)

Donde es la resistencia a la transferencia de masa ejercida por la

membrana externa, es la resistencia a la transferencia de masa ejercida

por el complejo Periplasma + Pared celular y es la resistencia a la

transferencia de masa ejercida por la membrana interna. Se recuerda que estas

resistencias ya tienen incluida el área de transferencia, mientras que los otros


68

dos términos la incluyen explícitamente como el área interior y el área

exterior

Estas resistencias existen bien por efecto de la difusión o bien por el efecto de la

restricción que ejercen las proteínas transportadoras en la transferencia de

masa, las cuales, por analogía, ya se han supuesto que actúan como un tornillo

sinfín. Por lo tanto, dependiendo del compuesto que esté transfiriéndose entre

el bulto del líquido y el citoplasma celular, así serán las ecuaciones para cada

resistencia.

Para el caso de componentes difundiendo por cualquier parte de la membrana,

el flujo molar se expresa teniendo en cuenta la ecuación (2.6), y generalizando

para cualquier volumen limitado en el intervalo entre dos radios [ ]:

[ (

⁄ )

]

(2.70)

Donde es la difusividad molar del componente A en B en la división de la

membrana.

Basado en la ecuación (2.70), se observa que el término * (

⁄ )

+ es

la representación matemática de la resistencia a la transferencia de masa en el

volumen limitado por los radios y .

Para el caso de sustancias que difunden en las tres partes de la membrana, las

resistencias quedan expresadas como:

[ (

⁄ )

] (2.71)

[ (

⁄ )

] (2.72)

[ (

⁄ )

] (2.73)


69

Por lo tanto, las ecuaciones (2.68) y (2.69), expresadas en flujos, quedan:

{

[

(

⁄ )

]

[ (

⁄ )

] [ (

⁄ )

]

}

( ) (2.74)

{

[ (

⁄ )

]

[ (

⁄ )

] [ (

⁄ )

]}

( ) (2.75)

Para el caso de sustancias que difunden en dos de las partes de la membrana y

en la parte restante el transporte es regulado por proteínas, las ecuaciones

(2.68) y (2.69), expresadas en flujos, quedan:

i) Cuando la proteína transportadora está en la membrana externa y el

resto es por difusión:

{

[ (

⁄ )

] [ (

⁄ )

]}

( ) (2.76)

{

[ (

⁄ )

] [ (

⁄ )

]}

( ) (2.77)

ii) Cuando la proteína transportadora está en la membrana interna y el

resto es por difusión las ecuaciones (2.68) y (2.69), expresadas en

flujos, quedan:

{

[ (

⁄ )

] [ (

⁄ )

]}

( ) (2.78)


70

{

[ (

⁄ )

] [ (

⁄ )

]}

( ) (2.79)

Para el caso de la glucosa, la cual reacciona con el sistema PTS de la

membrana celular interior de la Escherichia coli para producir glucosa-6-

fosfato que entra al citoplasma, como lo muestra la Figura 2-11, el modelo

matemático que relaciona el medioambiente con el citoplasma es:

(2.80)

Teniendo en cuenta la analogía de las resistencias en transferencia de calor, la

ecuación (2.80), expresada en flujos, queda como:

(

)

(

)

(2.81)

Como en la membrana interna no hay glucosa, es cero, entonces:

(

)

(

)

(2.82)

La ecuación (2.82) se relaciona con la ecuación (2.32) cuando se resuelve el

modelo matemático general.

Figura 2-11: Membrana celular de la Escherichia coli.


71

2.3.2. Construcción de la Curva de Distribución de Equilibrio (CDE)

En el sistema célula-medioambiente existen dos fases, la fase citoplasma y la

fase compuesta por el medioambiente, que están separadas por la pared

celular, el periplasma y las membranas interna y externa que regulan el paso

de sustancias. La hipótesis sobre la que se modela es que el equilibrio

termodinámico de estas dos fases no es influenciado o alterado por la presencia

de la membrana celular. En tal sentido, a la membrana solo se le adjudica el

papel de alterar la velocidad de transferencia de masa. Esto porque el

equilibrio de fases es propio de las sustancias que forman las soluciones y no de

los elementos físicos (en este caso la membrana) que intervienen en el proceso

de transferencia de masa. Para calcular la velocidad de transferencia de masa

desde el paradigma tradicional, es necesario disponer de valores de

concentraciones en el equilibrio entre estas dos fases, es decir, es necesario

conocer la curva de distribución de equilibrio o CDE.

Para construir la CDE se debe conocer la composición de cada una de las fases

involucradas, además de la temperatura y presión del sistema. Para el caso de

la fase medioambiente, la composición química del medio de cultivo se conoce al

inicio del bioproceso, sabiendo que ese medioambiente en su mayoría está

compuesto por agua. Para el caso de la fase citoplasma se tiene una

aproximación de su composición, en la que también el agua es el mayor

componente. Aunque cada célula tiene su composición particular, esta

composición particular puede ser manejada como una composición promedio de

todas las células de la misma especie.

En esta tesis se supone que la CDE se construye para una mezcla binaria del

lado del medioambiente, es decir, una mezcla compuesta por agua más la

sustancia de interés en la transferencia de masa, y para una mezcla ternaria

del lado del citoplasma, es decir, una mezcla compuesta por agua, una proteína

equivalente y la sustancia de interés en la transferencia de masa. No se

tendrán en cuenta los demás componentes del citoplasma ya que estos están en

menor proporción que el agua y la proteína. Como ambos sistemas,

medioambiente y citoplasma, son fases líquidas, todos los cálculos se realizan

para un equilibrio líquido-líquido (ELL).

La estimación del ELL se hace en función de la temperatura (T), la presión (P)

y de la fugacidad de cada especie química en cada fase. Por lo tanto, el criterio

para determinar el equilibrio de un sistema líquido-líquido de n-componentes

con T y P especificadas, es la igualdad de la fugacidad de cada componente ( ) en cada fase ( , ), es decir:

(2.83)


72

La ecuación (2.83) se puede expresar en términos del coeficiente de actividad

( ) y las fracciones molares de la sustancia i en cada fase ( ) como:

( ) (2.84)

Considerando que todas las especies existen como líquidos puros a la

temperatura del sistema, y definiendo los coeficientes de actividad con respecto

al estado de Lewis-Randall (Smith et al., 2003), se tiene:

( ) (2.85)

Entonces, la ecuación (2.84) puede escribirse como:

( ) (2.86)

La ecuación (2.86) se conoce como la ecuación general del ELL para la

sustancia i en las fases .

Los coeficientes de actividad y

se derivan de la función energía de Gibbs

de exceso adimensional, / , donde es definida como la energía de Gibbs

de exceso, T es la temperatura de la fase y R la constante universal de los

gases. Recordando que una propiedad termodinámica en exceso es la diferencia

entre el valor molar de una propiedad en una solución y el valor de la

propiedad que tendría la solución, de la misma composición y a las mismas T y

P, si fuese ideal.

La expresión general del coeficiente de actividad en términos de la energía en

exceso de Gibbs es:

*

⁄

+

(2.87)

Es decir, que para un sistema líquido-líquido con n especies químicas, el

coeficiente de fugacidad es una función que depende de la composición química,

de la temperatura y presión de la fase:

(2.88)

(2.89)


73

Existen varios modelos empíricos o semiteóricos para calcular el valor del

coeficiente de actividad para soluciones binarias definida por las ecuaciones

(2.88) y (2.89). Como ejemplos están las ecuaciones de Margules, la de van

Laar, la de Wilson, el modelo NRTL, el modelo UNIQUAC y el modelo UNIFAC

(Seader et al., 2016). Teniendo las funciones para calcular los valores de y

se puede construir la curva de distribución de equilibrio a partir de la

ecuación (2.86), puesto que ahí se relacionan las concentraciones en fracción

molar de la especie transferida en ambas fases.

Debido a que el sistema que se considera en esta tesis no cuenta con datos

disponibles del equilibrio químico de los componentes de la solución, la curva de

distribución de equilibrio (CDE) se obtendrá a partir del modelo UNIFAC

(UNIQUAC Functional-group Activity Coefficients), basado en la ecuación

UNIQUAC desarrollada por Abrams y Prauznitz (1975). Este modelo se basa

en el concepto de que una fase homogénea multicomponente debe considerarse

como una solución de unidades estructurales a partir de las cuales se han

formado las moléculas, más que una solución de las propias moléculas. Esas

unidades estructurales se llaman subgrupos (Gmehling et al, 1982).

El procedimiento para evaluar los coeficientes de actividad en una mezcla no

ideal por el método de UNIFAC se resume en los siguientes pasos (Smith et al.

2003):

1. Para un sistema de dos fases homogéneas determinado, se descompone

cada especie química presente en las fases en sus respectivos grupos

funcionales.

2. Se determinan los parámetros de área y volumen (Rk y Qk) y los

parámetros de interacción energética de todos los grupos funcionales

para cada especie en cada fase.

3. Se determina la frecuencia de cada uno de estos parámetros.

4. Se aplican una serie de fórmulas de mezclado que relacionan los

parámetros individuales para establecer relaciones entre las especies

presentes.

5. Se evalúa la parte combinatoria y la residual para obtener los valores de

los coeficientes de actividad.

Ilustración del método UNIFAC:

Esta ilustración se hará con el sistema de dos fases formado por el medio de

cultivo en el biorreactor y el citoplasma de la célula. El compuesto al cual se le

hallará su curva de distribución de equilibrio (CDE) será el Acetato de Sodio. El

medio de cultivo se considerará como una solución líquida de agua y acetato,

considerando que las otras especies químicas disueltas en el medio están en

muy baja concentración. Para el citoplasma, en cambio, se considerará formado


74

por tres compuestos: agua, proteína y acetato. Para esta fase líquida se

considera que un componente llamado proteína equivalente es la

representación química de todas las proteínas presentes en él. Para llegar a la

representación de la proteína equivalente se tiene en cuenta lo siguiente:

1. Se obtiene el peso molecular promedio de la proteína equivalente

basándonos en la composición de proteínas del citoplasma de Escherichia

coli presentado por Ridgway et al. (2008). El peso molecular promedio

calculado para esas proteínas es de 174.823 kDa=174823 g/mol.

2. Sólo existen 20 aminoácidos que pueden estar en la composición de todas

las proteínas biológicas, de los cuales sólo cinco son de cadena cíclica o

aromática: Histidina, Fenilalanina, Prolina, Triptófano y Tirosina. El resto

de los 15 aminoácidos tiene una cadena principal lineal en la que algunos

de ellos tienen grupos secundarios (NH2, COOH, SH, CH3 y OH) anexados a

la cadena lineal. La Tabla 2-4 hace un resumen de los grupos secundarios

que tiene cada uno de estos 15 aminoácidos.

3. Con base en lo anterior, se puede inferir que la proteína equivalente estará

formada por una unidad de aminoácido que tiene tres carbonos en la

cadena lineal más el grupo amino y el grupo carboxilo. Además, el átomo

que domina en los grupos secundarios es el Oxígeno, por lo tanto, el

aminoácido equivalente supuesto es el ilustrado en la Figura 2-12.

Figura 2-12: Aminoácido equivalente.

Cuando este aminoácido se enlaza por medio de enlaces peptídicos para formar

la proteína equivalente se tiene la estructura mostrada en la Figura 2-13.

Figura 2-13: Proteína equivalente.


75

Tabla 2-4: Subgrupos presentes en los aminoácidos de cadena lineal.

Aminoácido N° de

carbonos de

la cadena

lineal

NH2

adicional a

la cadena

lineal

COOH

adicional a

la cadena

lineal

Otros

subgrupos

Ala 1

Arg 3 -NH-C=NH

|

NH2

Asn 2 1 =O

Asp 2 1

Cys 1 -SH

Glu 3 1

Gln 3 1 =O

Gly 0

Ile 3 -CH3

Leu 3

Lys 4 1 -CH3

Met 2 -S-CH3

Ser 1 -OH

Thr 2 -OH

Val 2 -CH3

4. El valor de “n” unidades de aminoácidos de la proteína equivalente se

obtiene dividiendo el peso molecular de la proteína equivalente (restando el

peso molecular de sus extremos) entre el peso molecular de cada unidad de

aminoácido:

n= (174823-114-130)/113=1545

Con lo cual se tiene una proteína equivalente formada por 1547 unidades

de aminoácido equivalente unidas por enlaces peptídicos.


76

Teniendo la estructura química de la proteína equivalente se procede a

desarrollar el modelo UNIFAC para calcular la CDE del sistema propuesto.

Para esto se debe aplicar el método de forma paralela a las dos fases líquidas,

medioambiente y citoplasma, teniendo en cuenta que debe cumplirse la

ecuación (2.86), lo cual se convierte en un procedimiento iterativo para cada

concentración de acetato. Puesto que el procedimiento es similar para las dos

fases, solo se explicará la aplicación del método del lado de la fase citoplasma,

que es la más compleja por tener tres componentes: agua, proteína equivalente

y acetato.

Paso 1: identificar los subgrupos de cada especie química dentro de la fase

líquida, además se adicionan sus números de identificación, los valores de los

parámetros Rk y Qk y el número de cada tipo de subgrupos en cada molécula

( ). La Tabla 2-5 muestra estos valores.

Tabla 2-5: Subgrupos de los componentes de la fase citoplasma.

COMPONENTE SUBGRUPOS k Rk * Qk *

PROTEÍNA

EQUIVALENTE

(1)

CHO 21 0,9980 0,948 3092 0 0

CH2 2 0,6744 0,540 3094 0 0

COOH 43 1,3013 1,224 1 0 0

CHNH 34 0,9795 0,624 1545 0 0

CH 3 0,4469 0,228 1 0 0

AGUA (2) H2O 17 0,92 1,4 0 1 0

ACETATO DE

SODIO (3)

CH3COO 22 1,9031 1,728 0 0 1

*Valores obtenidos de Gmehling et al. (1982).

Paso 2: se realiza el cálculo de los por la ecuación (2.90):

∑ (2.90)

Donde el subíndice indica el número de componentes químicos en la fase. Por

lo tanto, para la proteína equivalente, tomada como el compuesto 1, se tiene:

De igual forma se obtiene y para el agua y el acetato:

Paso 3: realizar el cálculo de los por la ecuación (2.91):

∑ (2.91)


77

Entonces, para los tres compuestos se obtiene:

Paso 4: se obtienen los valores por la ecuación (2.92):

∑ (2.92)

El subíndice identifica a las especies, y es un índice ficticio que se ocupa en

todas las especies.

Como se observa en la ecuación (2.92), los valores de dependen de cada

composición , por lo tanto, de aquí en adelante no se realizarán cálculos sino

que sólo se realizará la descripción del método. Para el caso particular de

calcular , sería de la siguiente manera:

Paso 5: obtener los valores de por la ecuación (2.93):

∑ (2.93)

El subíndice identifica a las especies, y es un índice ficticio que se ocupa en

todas las especies.

Para el caso particular de calcular , sería de la siguiente manera:

Paso 6: calcular los valores de para cada subgrupo dentro de cada

componente, usando la ecuación (2.94). Los resultados se muestran en la Tabla

2-6.

(2.94)


78

Tabla 2-6: Valores de

Paso 7: hallar los valores de para cada subgrupo, por medio de la ecuación

(2.95):

∑ (2.95)

Por ejemplo, para el caso de obtener el valor de para el subgrupo (subgrupo CHO), se tiene que la ecuación (2.95) queda:

El mismo procedimiento se realiza para los subgrupos 2, 3, 17, 22, 34 y 43.

Paso 8: obtener los parámetros de interacción UNIFAC, , que se leen

directamente de Gmehling et al. (1982), los cuales son mostrados en la Tabla

2-7 para los subgrupos de los compuestos de la fase citoplasma.

Tabla 2-7: Parámetros de interacción UNIFAC.

Subgrupo 21 2 43 34 3 17 22

21 0 505,7 0 0 505,7 232,7 0

2 677 0 663,5 255,7 0 1318 232,1

43 0 315,3 0 0 315,3 -66,17 -256,3

34 0 65,33 0 0 65,33 -448,2 136

3 677 0 663,5 255,7 0 1318 232,1

17 -257,3 300 -14,09 168 1318 0 14,42

22 0 232,1 660,2 -73,5 232,2 10000 0

k

i=1 i=2 i=3

21 2931,216 0 0

2 1670,76 0 0

43 1,224 0 0

34 964,08 0 0

3 0,228 0 0

17 0 1,4 0

22 0 0 1,728


79

Paso 9: calcular los valores de a la temperatura (T) del sistema, por medio

de la ecuación (2.96), los cuales se muestran en la Tabla 2-8.

(2.96)

Tabla 2-8: Parámetros .

Subgrupo 21 2 43 34 3 17 22

21 1 0,19583 1 1 0,19583 0,47223 1

2 0,11272 1 0,11773 0,43848 1 0,01427 0,47314

43 1 0,36182 1 1 0,36182 1,23781 2,28501

34 1 0,81006 1 1 0,81006 4,24230 0,64500

3 0,11272 1 0,11773 0,43848 1 0,01427 0,47314

17 2,29239 0,38011 1,04647 0,58177 0,01427 1 0,95457

22 1 0,47314 0,11899 1,26741 0,47299 9,94E-15 1

Paso 10: hallar los valores de por medio de la ecuación (2.97), los cuales se

muestran en la Tabla 2-9:

∑ (2.97)

Tabla 2-9: Valores de .

k

i=1 i=2 i=3

21 4084,8801 3,2093577 1,728

2 3026,423 0,532165 0,8175993

43 4093,26 1,4650683 0,2056288

34 4629,2158 0,8144835 2,1900991

3 3026,423 0,0199788 0,8173357

17 5499,5021 1,4 1,717E-14

22 4346,4733 1,3363989 1,728

Paso 11: calcular los valores de para cada subgrupo, por medio de la

ecuación (2.98):

∑ (2.98)


80

Para obtener el valor de del subgrupo , la ecuación (2.98) queda:

El mismo procedimiento se realiza para los subgrupos 2, 3, 17, 22, 34 y 43.

Paso 12: calcular los coeficientes de actividad usando la ecuación (2.99):

(2.99)

Donde y

son el coeficiente de actividad originario de la energía de Gibbs

combinatoria debida a la forma y tamaño molecular y el coeficiente de actividad

originario de la energía de Gibbs residual ocasionada por las interacciones

moleculares. Estos coeficientes de actividad son calculados usando las

ecuaciones (2.100) y (2.101):

(

) (2.100)

∑ (

) (2.101)

Como se mencionó arriba, este mismo procedimiento se aplica del lado de la

fase líquida del medioambiente. Con los valores encontrados de y

, se

procede a obtener los valores de la concentración de acetato en equilibrio del

lado del citoplasma utilizando la ecuación general del equilibrio líquido-líquido

(

, ( )) o ecuación (2.86) para cada valor conocido de la

concentración de acetato en el medioambiente. Finalmente, los coeficientes de

actividad y concentraciones de equilibrio obtenidos son reportados en la

Tabla 2-10.

En la Figura 2-14 se muestra la CDE obtenida para el sistema estudiado, a una

temperatura de 37°C y presión atmosférica estándar. Cabe resaltar que el

rango de fracción molar de acetato utilizado para calcular la CDE está entre 0 y

0,014, que corresponde aproximadamente al rango de valores experimentales

de las concentraciones de acetato en el medioambiente.

La ecuación de la CDE del sistema citoplasma-medioambiente es:

xacetato_medioambiente = 0,5688xacetato_citoplasma, con valor del coeficiente de

determinación, R², igual a 1.


81

Tabla 2-10: Coeficiente de actividad y fracciones molares de equilibrio. xacetato

(citoplasma)

(citoplasma)

Producto

xacetato

(citoplasma)

xacetato

(medio-

ambiente)

(medio-

ambiente)

Producto

xacetato *

(medioambiente)

0,0137 9,3365 0,127909 0,00779 16,41890 0,127903

0,0115 9,4124 0,108242 0,00655 16,54130 0,108263

0,0092 9,4891 0,087300 0,00524 16,67147 0,087275

0,00466 9,6451 0,044946 0,002655 16,93202 0,044955

0,0024 9,7244 0,023339 0,00137 17,06410 0,023339

0,000128 9,8045 0,001255 0,000073 17,19847 0,001255

0,0000147 9,8085 0,000144 0,00000838 17,20521 0,000144

Figura 2-14: Curva de distribución de equilibrio del sistema

citoplasma/medioambiente en términos de acetato de sodio.

2.4. Capa límite: hidrodinámica, térmica y de concentración.

La capa límite fue un concepto introducido por Ludwing Prandtl en 1904 para

explicar los fenómenos ocurridos muy cerca de la superficie de un sólido cuando

es rodeado por un fluido en movimiento. Prandtl mostró que los efectos viscosos

del fluido son considerables únicamente en la región delgada adyacente a la

frontera sólida, la cual denominó capa límite. La teoría de la capa límite explica

que existe un espesor de capa determinado para cada fenómeno de transporte,

es decir, transporte de masa, transporte de calor y transporte de cantidad de

xacetato_medioambiente = 0,5688xacetato_citoplasma

R² = 1

0

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

0,008

0,009

0 0,005 0,01 0,015

xa

ce

tato

(me

dio

am

bie

nte

)

xacetato

(citoplasma)


82

movimiento y que en cada espesor se producen gradiente de concentración,

gradiente de temperatura y gradiente de velocidad, los cuales permiten

calcular los flujos respectivos de cantidad de movimiento, de masa y de calor a

través de dicha capa límite.

En los bioprocesos, el estudio de la capa límite es importante, ya que esa capa

es la comunicación entre el bulto del fluido y la célula. Pese a que la célula está

sumergida en una gran cantidad de medio, ésta solo es capaz de reconocer lo

que pasa en su entorno más inmediato, que corresponde a la capa límite.

En las secciones siguientes se describen las ecuaciones utilizadas para calcular

los valores de la capa límite (de transferencia de masa, de calor y de cantidad

de movimiento), que más adelante serán utilizados para calcular los flujos de

materia, cantidad de movimiento y calor ocurridos en esta región. Para este

cálculo se ha propuesto como aproximación que la bacteria es una placa plana,

es decir, se desprecia el efecto que tienen las fimbrias sobre el movimiento del

fluido y, además, que esta placa está rodeada por un fluido en movimiento, el

que forma la capa límite. Esta suposición se basa en que la capa límite es

demasiado pequeña comparada con el diámetro de la bacteria y que además el

fluido recorre a la bacteria de forma axial y no radial.

2.4.1. Capa límite hidrodinámica, .

El valor del espesor de la capa límite hidrodinámica y la distribución de

velocidad se estima con la ecuación propuesta por Bird et al. (2006), la cual

parte de las ecuaciones diferenciales que describen el campo de flujo

bidimensional en estado estacionario en una placa plana como se muestra en la

Figura 2-15.

(Ecuación de continuidad, 2.102)

(

) (Ecuación de cantidad de movimiento, 2.103)

Figura 2-15: Distribución de velocidad en la capa límite.


83

Las ecuaciones anteriores se reducen realizando la suposición de que el término

es pequeño en comparación con

, además se considera como condición

límite que para . El resultado de esto es:

(∫

)

(2-104)

Con esta ecuación se determina y teniendo en cuenta las

condiciones límites:

1. para

2. para

3. para

Finamente el resultado aproximado para es:

√

(2.105)

Donde es el espesor de la capa límite de velocidad, es la viscosidad

cinemática, es la distancia desde el borde de ataque y es la velocidad del

bulto del fluido.

2.4.2. Capa límite térmica, .

El valor del espesor de la capa límite térmica y la distribución de temperatura

se estima con la ecuación propuesta por Bird et al. (2006), la cual parte de las

ecuaciones diferenciales que describen el campo de flujo bidimensional en

estado estacionario en una placa plana como se muestra en la Figura 2-16.


(Ecuación de cantidad de movimiento, 2.107)

(Ecuación de energía, 2.108)

Donde es la viscosidad cinemática, es la difusividad térmica, es la

distancia desde el borde de ataque, es la distancia vertical desde la placa,

es la temperatura del fluido, es la velocidad del fluido en la dirección del eje

y es la velocidad del fluido en la dirección del eje .


84

Figura 2-16: Distribución de temperatura en la capa límite.

Las dos primeras ecuaciones se discutieron en la sección anterior de la capa

límite hidrodinámica. La tercera ecuación se ha descrito sin el término de

disipación viscosa, ya que al área de contacto entre el fluido y la bacteria es

muy pequeña.

Para resolver estas ecuaciones se realizan las siguientes consideraciones:

1. Fuera de la capa límite

y

2. En la pared

y

3. Se admite que y guardan entre sí una relación constante, es

decir , donde es una constante.

Como resultado de estas ecuaciones se tiene que el espesor aproximado de la

capa límite térmica, para (ya que se presenta para fluidos metálicos)

es:

(

)√

(2.109)

Donde es el espesor de la capa límite térmica y es el número

adimensional de Prandtl.

2.4.3. Capa límite de concentración, .

El valor del espesor de la capa límite de concentración y la distribución de

concentración se estima con la ecuación propuesta por Bird et al. (2006), la cual

se obtiene de las ecuaciones diferenciales que describen el campo de flujo

bidimensional en estado estacionario en una placa plana, como se muestra en

la Figura 2-17.



85

(Ecuación de cantidad de movimiento, 2.111)

(Ecuación de continuidad de A, 2.112)

Donde: es la viscosidad cinemática, es la difusividad másica de A en B,

es la distancia desde el borde de ataque, es la distancia vertical desde la

placa, es la concentración molar de A, es la velocidad del fluido en la

dirección del eje y es la velocidad del fluido en la dirección del eje .

Figura 2-17: Distribución de concentración en la capa límite.

Las dos primeras ecuaciones se discutieron en la sección anterior de la capa

límite hidrodinámica. Para resolver estas ecuaciones se realizan las siguientes

consideraciones:

1. 0 para . Esta situación es válida cuando las velocidades de

transferencia de materia son bajas.

2. Fuera de la capa límite y

3. En la pared y

4. Se admite que y guardan entre sí una relación constante, es

decir , donde es una constante.

Como resultado de estas ecuaciones se tiene que el espesor aproximado de la

capa límite de concentración, para (ya que se presenta para fluidos

metálicos), es:

(

) √

(2.113)

Donde: es el espesor de la capa límite de concentración, es el número

adimensional de Schmidt (

), es la viscosidad cinemática, es la

distancia desde el borde de ataque y es la velocidad del bulto del fluido.


86

2.4.4. Flux molar a través de la capa límite de concentración.

Para obtener la ecuación matemática que representa la transferencia de masa

en la capa límite se supone que dicha transferencia se da a través del área

lateral con una longitud de la bacteria , aunque sólo se considera

que el flujo es unidimensional por esta área a lo largo del eje radial.


saliente de la capa límite de concentración (CLC) por el mecanismo de la

difusión explicado por la Ley de Fick.

El flux molar del componente por el área lateral (flujo radial) se expresa así

(Bird et al., 2006):

(2.114)

Donde es la difusividad molar de A en B en la capa límite de

concentración.

Suponiendo flujo en contradifusión equimolar, es decir, , la

ecuación anterior se reduce a:

(2.115)


transferencia de masa, , se puede calcular (flujo molar).

(2.116)

es función de , como se muestra en la Figura 2-18. La expresión de

cálculo de es:

(2.117)

Además, de la ecuación (2.113) se tiene que (

) √

, por lo

tanto:

(

)√

(2.118)

donde (

)√

.


87

De acuerdo a la ecuación (2.118),

(2.119)

Figura 2-18: Capa límite de concentración.

Reemplazando las ecuaciones (2.117)-(2.119) en la ecuación (2.116) y separando

variables, se tiene:

[

( √ )( )] (

) (2.120)

La solución analítica de la integración de la parte entre corchetes del lado

izquierdo de la ecuación (2.120) es:

∫

( √ )( )

(

( √ )

( )

( √ √

) (√ √

)

( √ )

(√

√

)

√ (√ √ )

√

(√ √ )

√

(√ )

(√

√ ) )

(

(

))


88

Que como se observa, es una expresión muy complicada para lo que se pretende

en este trabajo, por lo tanto, se utilizó el concepto del valor medio para obtener

una expresión más simple. Para esto, se supone que la capa límite tiene un

espesor constante, es decir:

(2.121)

donde es el radio de valor constante o radio promedio de la capa límite con

respecto al eje central de la Escherichia coli. Aplicando el Teorema del Valor

Medio del cálculo integral para obtener el espesor medio de la capa límite, se

obtiene:

∫

∫ [(

)√

]

(2.122)

La solución a esta ecuación es:

(

)√

⁄ (2.123)

Reemplazando la ecuación (2.123) en la ecuación (2.121) se obtiene el valor de

como:

(

)√

⁄ (2.124)

Teniendo en cuenta que el valor exterior de la capa límite es constante e igual a

, la ecuación (2.116) se expresa así:

(2.125)

en la que:

(2.126)

Reemplazando la ecuación (2.126) en la ecuación (2.125) y separando variables

se obtiene:

(2.127)

con las condiciones límites: para y

La solución de la ecuación (2.127) es:


89

( ) {

[ (

⁄ )

]

} (2.128)

Como se observa, la ecuación (2.128) es una ecuación más simple que la

solución de la ecuación (2.120).

2.4.5. Volumen de la capa límite, .

El volumen de la capa límite que rodea a la bacteria (considerada como un

cilindro con altura equivalente, ) es el volumen resultante de la

diferencia entre el volumen definido por la revolución con respecto al eje x de la

función y el volumen de la bacteria en términos de . La

Figura 2-19 muestra las dimensiones de la E. coli que permiten calcular dicho

volumen de capa límite. Cabe aclarar que el fluido en movimiento recorre a la

bacteria en todas las direcciones, no obstante, como ya se explicó

anteriormente, se supone que el fluido recorre a la bacteria a lo largo del eje

axial o eje x, como se muestra en la Figura 2-19. Esta suposición se realiza con

el fin de obtener un modelo simplificado de la capa límite alrededor de la

bacteria.

Figura 2-19: Dimensiones de la Escherichia coli para calcular el volumen de la

capa límite.

La diferencia entre los dos volúmenes mencionados arriba produce la integral

definida siguiente:

∫ [ ]

(2.129)

Reduciendo la ecuación (2.129) se obtiene:


90

∫ [ ]

(2.130)

En la ecuación (2.130), para calcular el volumen de la capa límite hay que

utilizar el espesor ( ) de esta capa, recordando que esta capa límite puede ser

hidrodinámica, térmica o de concentración, dependiendo del gradiente que se

esté evaluando. Basado en los resultados obtenidos por las ecuaciones (2.105),

(2.109) y (2.113), se observa que se puede expresar como √

⁄ ,

donde es una constante igual a √

para la capa límite hidrodinámica,

(

)√

para la capa límite térmica y (

)√

para la capa límite

de concentración.

Por lo tanto, la ecuación (2.130) se expresa así:

∫ *(

⁄ )+

(2.131)

La solución a la integral definida (2.131) es:

(2.132)

Finalmente, el volumen para cada tipo de capa límite es como sigue:

Para la capa límite hidrodinámica:

√

(2.133)

Para la capa límite térmica:

(

√

)

(

√

)

(2.134)

Para la capa límite de concentración:

(

√

)

(

√

)

(2.135)


91

2.4.6. Velocidad de bulto del fluido, .

Como se evidenció en los apartados previos, para calcular los espesores y

volúmenes de las tres capas límites es necesario disponer del valor de la

velocidad de bulto del fluido, . Calcular esta velocidad depende del tipo de

recipiente en el cual se lleva a cabo el bioproceso, es decir, si el biorreactor es de

tanque agitado, si es una columna de burbujeo, si es un matraz o cualquier otro

tipo de biorreactor. Para el caso de un biorreactor de tanque agitado con

impulsor, el cálculo de esta velocidad se pensaría que fuera la velocidad en el

extremo del impulsor, pero esta velocidad no es representativa debido al

deslizamiento que se presenta entre el impulsor y el fluido, ocasionando que el

fluido se mueva a menor velocidad que el impulsor. Por lo tanto, una propuesta

para calcular esta velocidad es suponer, además de la homogeneidad del fluido,

que el tanque agitado tiene un comportamiento análogo a lo que sucede en el

fluido al interior de una bomba centrífuga (Gates y Henley, 1975). Esta

aproximación se usa en el análisis de sistemas de agitación, a través del

número de bombeo, que se define como:

(2.136)

donde es el número de bombeo, es la capacidad volumétrica de “bombeo”

del agitador (como si fuera una bomba) [m3/s], es la velocidad del giro del

agitador [rev/s] y es el diámetro del agitador [m].

Este número de bombeo depende del tipo de agitador, la razón entre el

diámetro del agitador y el diámetro del tanque, D/T, y el número de Reynolds

del impeler o agitador. Por lo tanto, existen gráficas y correlaciones

matemáticas que relacionan las variables mencionadas, las cuales permiten

calcular el número de bombeo bajo ciertas condiciones de agitación (Gates y

Henley, 1975). Conociendo el número de bombeo, , se obtiene y,

finalmente, el cálculo de la velocidad de bulto del tanque agitado queda como:

(2.137)

donde es la velocidad de bulto del líquido agitado y es el área del tanque

equivalente que conteniendo el mismo volumen, cumple que su diámetro es

igual a su altura o nivel de líquido. se calcula así:

(2.138)

donde es el diámetro del tanque equivalente, definido por:


92

(

)

(2.139)

donde es el volumen de líquido en el biorreactor [m3].

2.5 Resumen del capítulo.

En este capítulo se describieron los principales mecanismos de transporte de

nutrientes, productos y desechos que se presentan en cualquier membrana

celular. Como caso de estudio se realizó un análisis de estos mecanismos en la

Escherichia coli. Con la información detallada de estos mecanismos, se

propusieron modelos matemáticos simples, basados en la fenomenología del

transporte de masa y las analogías de procesos, que permiten describir la

relación entre la célula y el medioambiente.

Para aplicar los modelos obtenidos es necesario conocer la Curva de

Distribución de Equilibrio de los componentes que se transfieren entre el

medioambiente y el material celular. Uno de los métodos para construir esta

curva se basa en el método UNIFAC, el cual fue aplicado para el caso de

estudio planteado en esta tesis. Se describió el cálculo del espesor y el volumen

de la capa límite, necesarios en el balance de masa, y finalmente, se realizó una

analogía entre el tanque agitado y una bomba centrífuga para obtener la

velocidad en bulto del fluido, necesaria para los cálculos de espesor y volumen

de la capa límite, potencia de agitación y los coeficientes de transferencia de

masa, calor y cantidad de movimiento.

Todo lo anterior, constituye el núcleo de este trabajo, y se considera que junto

con la metodología que se explicará a continuación representan el aporte

principal de esta tesis. Por lo tanto, en el capítulo siguiente se detallará una

metodología de modelado de bioprocesos que cubre las necesidades de los

procesos reales.


93

3. Capítulo 3. Metodología propuesta para el

modelado de bioprocesos

En el Capítulo 1 se realizó una comparación entre las principales propuestas

metodológicas de modelado de procesos químicos y de bioprocesos y se concluyó

que la metodología propuesta por Álvarez et al. (2014) es la más completa de

todas. Por tal motivo, la metodología de modelado que se propone en este

capítulo se basa en la modificación de los pasos 4 y 7 de dicho trabajo,

incluyendo el aporte de esta tesis que son las funciones matemáticas en la

relación medioambiente-material celular. En la primera parte se explican los

pasos que se deben seguir para obtener el modelo y en la segunda se aplican

dichos pasos en el caso de estudio seleccionado.

3.1. Explicación de la Metodología.

A continuación, se describen los pasos de la metodología de modelado y las

adiciones que se proponen en esta tesis para los bioprocesos.

Paso 1. Elaborar una descripción verbal y un diagrama de flujo de

proceso.

En este paso se busca describir todas las características del bioproceso a

modelar. Esto implica realizar una descripción minuciosa y significativa de las

características más importantes del bioproceso teniendo en cuenta el objetivo

del modelo. Esta descripción debe ser un texto comprensible al lector de tal

forma que entienda sin complicación el proceso descrito. De igual forma, con

todos los elementos descritos del proceso se debe construir un Diagrama de

Flujo de Proceso que posea los rasgos necesarios para el modelo que se

pretende elaborar. Esta construcción puede dar pista para mejorar el texto de

la descripción del bioproceso.

Paso 2. Fijar un nivel de detalle para el modelo, de acuerdo con su

utilización, y definir la hipótesis de modelado.

El nivel de detalle plantea el alcance que tendrá el modelo de acuerdo a las

inquietudes que se plantee el modelador y a las características del objeto de

estudio. El modelo debe responder a una o más preguntas que el modelador

plantea. En el objetivo del modelo se deben mencionar las variables que son

relevantes para la formulación del modelo. Así mismo, en este nivel de detalle

se deben especificar las escalas del proceso que se usarán en el modelo. Estos

niveles o escalas pueden ser definidos dependiendo del tamaño de los sistemas.


94

Según Hernández (2008), las escalas o niveles de estudio pueden clasificarse

en: macroscópica, mesoscópica, microscópica, coloidal, macromolecular,

molecular y atomística tal como se ilustra en la Figura 3-1. El nivel

macroscópico es el nivel de descripción de objetos vistos a simple vista y

comprende tamaños mayores a 1mm; el nivel mesoscópico tiene tamaños

comprendidos en el intervalo 1mm-100µm; el nivel microscópico tiene tamaños

del orden de 1 a 100µm; el nivel coloidal tiene tamaños del orden entre 10 nm y

1 µm; el nivel macromolecular comprende tamaños entre 1 y 10 nm y los

niveles moleculares y atomísticos comprenden tamaños menores a 1 nm.

Figura 3-1: Niveles de estudio de los procesos multiescala (Tomado de

Hernández, 2008)

Finalmente, en este paso se hace uso de las abstracciones de proceso y de las

analogías de procesos para construir la hipótesis de modelado, tal y como se

indicó en el Capítulo 1.

Paso 3. Definir los Sistemas de Proceso (SdeP).

Como se definió en el Capítulo 1, un Sistema de Proceso (SdeP) es una porción

del proceso que se toma como un sistema para facilitar su análisis (Álvarez et

al., 2009). Por lo tanto, las fronteras de cada SdeP deben estar claramente

definidas, así el Principio de Conservación puede ser aplicado a cada SdeP y se

pueden visualizar mejor las interacciones entre cada uno de los subsistemas.

Los SdeP se deben representar como cajas o bloques que se conectan a través

de flechas para mostrar las interacciones de materia y/o energía que existan. Se

recomienda usar flechas de forma continua y delgada para representar flujos de

materia y flechas continuas y gruesas para representar flujos de energía. A esa


95

representación total de los SdeP se le llama diagrama de bloques de los

sistemas de proceso.

Para definir los SdeP se pueden tener en cuenta las siguientes

recomendaciones:

i) Detectar si existen varias fases en el proceso, con lo cual cada fase puede

definirse como un SdeP.

ii) Detectar límites o separaciones físicas, de modo que cada lado de la

separación podría ser un SdeP.

iii) Escoger límites arbitrarios, que pueden usarse en algunos casos cuando

existe heterogeneidad en el sistema de estudio.

En un proceso biológico se pueden utilizar estas tres recomendaciones como se

explica a continuación. En la Figura 3-2 se ilustra un bioproceso que consiste

de un tanque enchaquetado, cuyo contenido está agitado mecánicamente y con

entrada de aire a través de un difusor. Dentro del tanque crece un

microorganismo para producir un metabolito de interés. En el biorreactor se

pueden detectar fases de sustancias, por ejemplo, la fase de gas y vapor

formada en la parte superior del tanque, la fase líquida que comprende al

medio de cultivo del microorganismo y la fase formada por las burbujas de aire

en el seno del líquido. Se detectan separaciones físicas, por ejemplo, el metal

que separa el medio de cultivo del fluido de servicio que va por la chaqueta.

Adicionalmente, se pueden asumir límites arbitrarios de interés para el

estudio, por ejemplo, alrededor de las células se puede asumir una capa límite

que la rodea y que comprende a la región donde el microorganismo y el medio

ejercen mutuamente sus influencias. Todas estas divisiones enunciadas

anteriormente pueden ser tomadas como Sistemas de Proceso para el modelado

del bioproceso, obviamente, todo dependiendo del objetivo que se quiere del

modelo.

Figura 3-2: Ejemplo de declaración de SdeP en un bioproceso.


96

Paso 4. Aplicar el principio de Conservación sobre cada uno de los


Este paso es el que encuentra la estructura del modelo dinámico, es decir, la

manera en que las variables, parámetros y constantes del modelo están

relacionadas. Esta estructura se obtiene por el planteamiento de balances

dinámicos (Ecuaciones Dinámicas de Balance: de materia, de energía y de

cantidad de movimiento) sobre cada SdeP. Es de anotar que en los procesos

biológicos estos balances pueden ser de masa total (que al final puede

reescribirse en términos de nivel de líquido o sólido o como presión de un gas o

vapor), de componentes (aplicable si en el bioproceso cambia la cantidad de una

o más sustancia de interés) y de energía general (que puede ser aplicado desde

cualquiera de los dos sistemas de proceso involucrados en la transferencia).

Respecto de la comunicación entre los diferentes niveles o escalas usadas para

definir los Sistemas de Proceso (SdeP) no se debe olvidar que al aplicar el

Principio de Conservación debe existir una relación de dimensionalidad entre

los niveles de detalle usados para definir los SdePs, puesto que eso permitirá la

existencia de una solución correcta del modelo. Estas relaciones de

dimensionalidad pueden ser factores numéricos o funciones matemáticas que

relacionan variables entre cada nivel. Esa diferencia de dimensionalidad

aparece cuando hay fases dispersas (burbujas, gotas, partículas, etc.) o se

consideran microorganismos o incluso moléculas o átomos como constituyente

de un SdeP que los integra. En tales casos, siempre el SdeP integrado es de

tamaño diferente al tamaño de los elementos que lo constituyen.

Por ejemplo, en el estudio de la variación de la concentración de un sustrato en

un proceso continuo de fermentación realizado en un tanque enchaquetado con

agitación mecánica, se definen las escalas macro y micro. Para solucionar el

problema de la variación de la concentración del sustrato en el medio de

cultivo, se aplica el principio de conservación en cada SdeP de ambas escalas.

Un factor numérico, que puede relacionar a los dos niveles definidos en la

obtención de la solución del modelo planteado por los balances de materia, es el

número de bacterias o la biomasa presentes en el tanque en cada instante.

También puede ser una función obtenida de los balances poblacionales del

microorganismo que realiza la fermentación. La elección del factor numérico o

de la función dependerá de lo que el modelo pretenda responder.

Paso 5. Seleccionar de las Ecuaciones Dinámicas de Balance aquellas

con información valiosa para cumplir con el objetivo del modelo.

Este paso es de depuración de las Ecuaciones Dinámicas de Balance planteadas en el Paso 4. Aquí se busca tener en cuenta las Ecuaciones

Dinámicas de Balance que aporten información a la solución del objetivo del


97

modelo. Lo que finalmente busca este paso es tener una estructura completa

sin información redundante y que sea una fiel representante de todos los

fenómenos que ocurren en los SdeP planteados.

Paso 6. Definir para las Ecuaciones Dinámicas de Balance esenciales,

los parámetros, las variables y las constantes conocidas en cada SdeP.

La estructura de un modelo semifísico de base fenomenológica se encuentra

compuesta por términos, los cuales están separados por operadores lineales

(+, -, =, <, >). Los términos están compuestos por relaciones no lineales

(multiplicación, división, potencia, logaritmo, raíz enésima, entre otras

funciones) de variables, parámetros y constantes. Una variable es aquella que

el modelo resolverá cuando se solucione en la simulación y una constante es un

valor conocido y fijo en el modelo (constantes de inhibición, constante de Monod

y constante de mantenimiento celular). En cuanto a los parámetros, estos

pueden clasificarse en parámetros relacionados con el equipo (parámetros de

diseño en optimización), parámetros pertenecientes a la materia que se procesa

en el equipo (propiedades físicas, propiedades relacionadas con cinética de

reacciones y relacionadas con cinéticas de crecimiento, tales como velocidades

específicas de crecimiento máxima, velocidades de consumo de Oxígeno y

velocidades de producción de CO2) y propiedades relacionadas con el equipo y la

materia que se procesa (coeficientes convectivos de transferencia de calor y

coeficientes de transferencia de materia, como el coeficiente difusivo de

transferencia de materia de cualquier sustancia que entra o sale de la célula y

coeficiente de transferencia de masa volumétrico de oxígeno).

Paso 7. Hallar ecuaciones constitutivas que permitan calcular el

mayor número de parámetros en cada Sistema de Proceso.

Este paso pretende que, con la mayor cantidad de conocimiento, se puedan

encontrar expresiones matemáticas para los parámetros de la estructura del

modelo. Primero, el modelador debe recurrir a todo el conocimiento

fenomenológico existente (cinética de reacciones químicas y enzimáticas,

fenómenos de transporte, equilibrio de fases, leyes del electromagnetismo,

entropía, metabolismo microbiano, entre otras). Segundo, cuando este

conocimiento fenomenológico se agote, el modelo se complementa con

ecuaciones de ajuste de tipo empírico desde los datos de operación disponible

del proceso. En el caso de los bioprocesos, este paso es crítico para la relación

entre el material celular y el medioambiente, tal y como se expone a

continuación.


98

7.1 Planteamiento de funciones matemáticas que relacionan al

medioambiente y el material celular y obtención de la curva de

distribución de equilibrio-CDE.

Para los bioprocesos, en el Paso 7 se deben plantear las funciones matemáticas

que relacionan al medioambiente y el material celular. Estas funciones pueden

ser relacionadas con: la entrada de nutrientes, la salida de metabolitos, la

transferencia de calor, el crecimiento o multiplicación celular y la complejidad

de la membrana. La aplicación de los modelos de los fenómenos de transporte

en la membrana celular permite obtener ecuaciones matemáticas descriptivas y

explicativas que relacionan a las variables del medioambiente con las variables

del interior celular utilizadas en los modelos metabólicos. Estas ecuaciones

permiten calcular los flujos molares de la sustancia que se transporta a través

de la membrana.

Para obtener los flujos molares de cualquier sustancia entre el medioambiente

y el citoplasma celular se necesitan los valores de las concentraciones de

equilibrio de la sustancia en ambos lados. El reporte de estos datos

experimentales no se encuentra en la literatura científica con facilidad. Eso

implica el desarrollo de nuevas mediciones en los bioprocesos, que permiten

encontrar dichos valores. Otra opción es el uso de otras herramientas que

permiten la construcción de la Curva de Distribución de Equilibrio, tal y como

se presentó en la Sección 2.3.2.

Por otro lado, a partir del planteamiento de buenas analogías de proceso e

hipótesis de modelado, se pueden obtener otras funciones matemáticas que

relacionen al medioambiente y al material celular. Ejemplos de analogías que

pueden funcionar en los bioprocesos son las siguientes. La membrana celular

de algunas bacterias tiene similitud al funcionamiento de un tornillo sinfín

cuando alimenta material sólido a un proceso. Así como un tornillo sinfín tiene

ecuaciones matemáticas que relacionan el flujo con un gradiente de presión, la

membrana similarmente deja pasar los nutrientes regulando su paso

dependiendo de algunos diferenciales como el de pH, de concentración de

sustrato, de temperatura, de voltaje, etc.

7.2 Planteamiento de funciones matemáticas en la capa límite y para

la velocidad de bulto del fluido del medioambiente.

Como se enunció anteriormente, la capa límite es la comunicación entre el

bulto del fluido con la célula, es decir, es la zona del medio de cultivo que la

célula es capaz de detectar como próxima. La capa límite es importante en los

fenómenos de transporte, ya que es la zona del fluido externo a la célula donde

se producen los gradientes de temperatura, concentración y velocidad. Estos

gradientes, junto con el área de transferencia para calor, masa o cantidad de


99

movimiento y las propiedades físicas del fluido, permiten calcular el flujo de

transferencia (calor, masa o cantidad de movimiento), el cual es uno de los

objetivos del modelador. Para calcular los flujos de transferencia es necesario

conocer el espesor de la capa límite, lo cual depende de la transferencia que sea

de interés en el modelo. Este espesor de la capa límite se obtiene resolviendo

las ecuaciones diferenciales de continuidad, de cantidad de movimiento y de

energía respectivas a la geometría, régimen de flujo del sistema y a la

transferencia que se quiera modelar. Finalmente, para conocer la variación de

la concentración en la capa límite, vista como un balance de materia aplicado al

sistema de proceso capa límite, es necesario conocer el volumen de la capa

límite. Este volumen se obtiene resolviendo una integral de revolución

alrededor de la bacteria. La función que realiza la revolución alrededor del

microorganismo está relacionada con la función que define al espesor de la capa

límite.

Por otro lado, para el cálculo del espesor de la capa límite se debe conocer la

velocidad de bulto del fluido. Esta velocidad de bulto depende del sistema, el

cual puede ser un biorreactor de tanque agitado cuya agitación se puede

realizar por muchos tipos de impulsores, una columna de burbujeo, un

biorreactor tipo airlift o un matraz. Para el caso de un biorreactor de tanque

agitado con impulsor, se puede utilizar una analogía con una bomba centrífuga,

la misma usada en los procedimientos de diseños de agitadores. Para esto se

hace uso del número de bombeo

), el cual depende del tipo de agitador,

de las dimensiones del sistema tanque/agitador y del número de Reynolds.

Cuando se tiene este número de bombeo se calcula el caudal impulsado por el

agitador y, por lo tanto, se calcula a la velocidad de bulto del líquido, como lo

ilustra la ecuación (2.137).

Paso 8. Verificar los Grados de Libertad del modelo.

Los grados de libertad se calculan como la diferencia entre el número de

ecuaciones y el número de incógnitas del modelo planteado. Cuando se verifica

que los grados de libertad tienen valor de cero el modelo es resoluble y está

completo para su simulación, porque el número de incógnitas es igual al

número de ecuaciones.

En caso de que la verificación no presente un modelo resoluble, es decir, se

tengan grados de libertad diferente de cero, se deberá realizar un chequeo

minucioso de todo el modelo. En la mayoría de los casos, hay más incógnitas

que ecuaciones, por lo tanto, se procede a eliminar incógnitas para hacer

explícitos algunos parámetros. Para esto se identifican parámetros desde datos

experimentales o se agregan ecuaciones constitutivas para los parámetros

desconocidos hasta hacer cero los grados de libertad.


100

Paso 9. Obtener el modelo computacional o solución del modelo

matemático.

Debido a las no linealidades que generalmente presentan las ecuaciones

diferenciales de los modelos obtenidos, los modelos se deben resolver de forma

numérica. Existen muchos métodos numéricos para resolver ecuaciones

diferenciales como Euler o Runge-Kutta y la programación de cada método

produce lo que se conoce como modelo computacional. Cada método de

resolución de ecuaciones diferenciales tiene unas características determinadas

que podrían afectar negativamente la solución, generando errores en caso de

que no se seleccionen adecuadamente. Por ejemplo, el tamaño del paso en

algunos métodos es fijo, por lo tanto, el error y la estabilidad del método está

ligado a este tamaño. Tanto puede afectar este tamaño que, con algunos

valores, el modelo puede fluctuar periódica o caóticamente y con otros valores el

modelo puede presentar escapes en tiempo finito (Chapra, 2012).

Paso 10. Validar el modelo para diferentes condiciones y evaluar su

desempeño.

En este paso se analiza el desempeño del modelo matemático. Para realizar

este análisis, se debe validar el modelo. El alcance del modelo planteado

dependerá de las condiciones que se tomen en la validación del mismo y del

grado de inclusión de la fenomenología en el planteamiento de la estructura. La

validación de un modelo puede ser cualitativa o cuantitativa. A continuación se

explican estos dos conceptos:

i) En la validación cualitativa con conocimiento previo del proceso, el modelo

matemático obtenido es analizado con respecto al comportamiento esperado.

Este comportamiento es evaluado observando la respuesta de las variables de

estado o salidas del modelo cuando se introducen cambios en las variables de

entradas del mismo y se comparan las tendencias de los resultados que arroja

el modelo con las tendencias de los datos reales, obteniéndose un error

cualitativo.

ii) En la validación cuantitativa, se contrastan los resultados que arroja la

solución del modelo computacional con los datos experimentales, ya sea

disponibles en la literatura o bien tomados directamente del proceso. Para este

tipo de validación se pueden utilizar índices de error que permiten calcular un

valor numérico útil para analizar el desempeño del modelo. Existen varios

índices de error, cada uno con características diferentes y su valor resultante

tiene interpretación distinta, por lo que el modelador debe tener claridad en la

escogencia del índice adecuado para su modelo (Duarte y Prieto, 2004).


101

Existen índices de error que dependen de la escala y se utilizan cuando se

validan diferentes modelos con el mismo conjunto de datos y se quiere

seleccionar el mejor modelo. Ejemplos de estos índices son: error medio

absoluto, error medio, error cuadrático medio, raíz del error cuadrático medio.

También, existen índices de error que no dependen de la escala, algunos de

ellos se definen en porcentajes de fácil interpretación. Son ejemplo de estos

índices: error medio absoluto porcentual, suma normalizada de errores

cuadráticos modificada, error medio absoluto, suma normalizada de errores

cuadráticos.

Finalmente, existen otros índices que no entran en la anterior clasificación,

como por ejemplo el índice de mejor ajuste, el cual compara los datos medidos y

estimados con respecto al promedio de los datos medidos (Camarillo-

Peñaranda, 2013).

Resumen de la metodología

Para ilustrar los pasos descritos, en la Figura 3-3 se muestra un diagrama de

flujo con la metodología completa y las principales decisiones que se pueden

tomar en caso de no cumplir algunas condiciones. Se resalta en rojo el paso

donde se adicionó con los aportes de esta tesis.

Si bien los diez pasos de la Figura 3-3 fueron descritos de forma consecutiva, no

implica que el proceso se realice siempre de esa forma. En la aplicación de los

pasos existe la posibilidad de que el modelador tenga que tomar decisiones que

lo obliguen a revisar algunos aspectos de pasos ya realizados. Por ejemplo, si la

validación arroja que el desarrollo del modelo no es apropiado para el objetivo

de modelado, entonces se debe regresar al Paso 2 o al 3, ya sea para modificar

la hipótesis de modelado y/o declarar de nuevo los SdePs.

En caso de que en el Paso 8 se obtenga un valor de los grados de libertad

diferente de cero, se debe regresar al Paso 6 para revisar si se tienen las

variables, parámetros y constantes bien caracterizadas y valoradas y/o al Paso

7 para revisar si falta alguna ecuación constitutiva por declarar.

Si en el Paso 9 se observan incoherencias en la solución del modelo

computacional, se deben revisar las ecuaciones de conservación planteadas en

el Paso 4 y las ecuaciones constitutivas planteadas en el Paso 7. Inclusive, se

debe revisar los SdePs que se proponen en el Paso 3.


102

Iniciar

PASO 1

Elaborar una descripción verbal y un diagrama de

flujo de proceso

PASO 2

Fijar un nivel de detalle para el modelo y elaborar la

hipótesis de modelado

PASO 3

Definir los Sistemas de Proceso (SdeP)

PASO 4

Aplicar el Principio de Conservación sobre cada uno

de los SdeP

Comunicar los niveles de detalle

PASO 5

Seleccionar de las EDB aquellas con información

valiosa para cumplir con el objetivo del modelo

PASO 6

Definir para las EDB esenciales, los parámetros, las

variables y las constantes conocidas en cada SdeP

PASO 7

Hallar ecuaciones constitutivas que permitan calcular

el mayor número de parámetros en cada SdeP.

Plantear funciones matemáticas que relacionen al

medioambiente con el material celular, y la CDE.

Plantear funciones matemáticas de la capa límite y de

la velocidad de bulto del fluido

PASO 8

Verificar los Grados de Libertad (GL) del modelo

PASO 9

Obtener el modelo computacional o solución del

modelo matemático

PASO 10

Validar el modelo para diferentes

condiciones y evaluar su desempeño

¿GL=0?

¿La solución es coherente?

A

A

La validación ¿es

satisfactoria?

Terminar

Sí

Sí

No

No

No

Sí

Figura 3-3: Diagrama de flujo de la metodología de modelado de un

bioproceso.


103

3.2. Aplicación de la metodología de modelado de bioprocesos al caso

de estudio.

En esta sección se presenta la aplicación de la metodología de modelado de

bioprocesos, descrita en la sección anterior, para obtener un modelo semifísico

de base fenomenológica de un bioproceso con Escherichia coli. A continuación,

se describe cada uno de los diez (10) pasos empleados para la obtención del

modelo matemático.

Paso 1. Elaborar una descripción verbal y un diagrama de flujo de

proceso.

La transformación de glucosa en metabolitos de interés es llevada a cabo en un

biorreactor cilíndrico de acero inoxidable provisto de tapa y manta lateral de

calentamiento, como se muestra en la Figura 3-4 y en la Figura A-2 del anexo.

El proceso es por lotes, cargado con jarabe glucosado. El jarabe es

complementado con fosfatos, sales de potasio y sodio, y sales de amonio como

fuente de nitrógeno, para luego ser metabolizado por Escherichia coli,

obteniéndose acetato como producto de la transformación de la glucosa.

El biorreactor tiene una corriente de salida gaseosa compuesta

esencialmente por gases y vapor de agua. El equipo está dotado de un sistema

de dos unidades de agitación tipo turbina Rushton que produce flujos axiales y

radiales que garantizan la mezcla perfecta en el medio de cultivo.

Adicionalmente, hay un difusor de aire ubicado en la parte inferior del

agitador. El equipo cuenta con dosificador de soluciones ácidas y básicas para

regular el pH y un sistema de regulación de temperatura.

Figura 3-4: Diagrama de flujo de proceso.


104

Paso 2. Fijar un nivel de detalle para el modelo, de acuerdo con su

utilización.

El modelo contestará la pregunta: ¿Cómo cambia en el tiempo la concentración

de acetato, la concentración de glucosa y la concentración celular?

Objetivo del modelo. Predecir el comportamiento dinámico de la concentración

de glucosa, la concentración de biomasa y la concentración de acetato.

Hipótesis del modelo. El proceso se realiza por la metabolización de la glucosa

por la bacteria Escherichia coli para producir acetato como producto principal.

La velocidad de crecimiento de la bacteria se representa por un modelo

matemático derivado del modelo metabólico central de carbono. La velocidad de

formación de acetato se asocia al crecimiento celular y puede ser expresada por

una ecuación derivada del metabolismo central del carbono (Jahan et al., 2016).

Durante el metabolismo de la bacteria se genera calor que pasa al

medioambiente y además se controla la temperatura del biorreactor con una

manta de calentamiento.

Supuestos del modelo:

El medio de cultivo posee sólo glucosa como fuente de carbono.

Se garantiza mezcla perfecta dentro del tanque.

Las células y el medio de cultivo se consideran como dos fases.

Los parámetros asociados con propiedades de los fluidos (densidad,

viscosidad absoluta y calor específico) son constantes.

La masa de gas y vapor retenida en el líquido es muy pequeña

comparada con la masa del líquido.

El equilibrio térmico entre las fases es rápido, es decir, no existe

gradiente de temperatura entre las fases dentro del biorreactor.

En cada sistema de proceso se supone homogeneidad de la concentración

y temperatura.

La conversión de potencia del agitador a calor es despreciable.

Ni los productos ni el crecimiento de la biomasa alteran apreciablemente

el volumen del líquido.

Debido a que el tamaño de una bacteria Escherichia coli es menor de 10

micrómetros, no se considera muerte por estrés hidrodinámico (Trujillo y

Valdez, 2006). Sin embargo, esto último no implica que no existan efectos

de transferencia de cantidad de movimiento alrededor de la célula.

Paso 3. Definir los Sistemas de Proceso (SdeP).

Como el modelo será de carácter macroscópico y microscópico, se pueden tomar

cinco sistemas de proceso: I. Líquido dentro del reactor; II. Aire contenido en

las burbujas; III. Líquido contenido en la capa límite alrededor de la célula;

IV. Sistema de membranas celulares y V. Citoplasma. Estos sistemas de


105

proceso se observan en la Figura 3-5. Allí la interacción entre los sistemas I y II

es másica y energética debido a la transferencia de masa de oxígeno y a la

transferencia de calor entre las burbujas de aire y el medio de cultivo. La

interacción entre los sistemas I y III es másica y energética debido a la

transferencia de masa de compuestos nutrientes y productos, y a la

transferencia de calor entre el bulto del medio de cultivo y el medio de cultivo

contenido en la capa límite alrededor de la célula. La interacción entre los

sistemas III y IV es másica y energética debido a la transferencia de masa de

compuestos nutrientes y productos, y a la transferencia de calor entre medio de

cultivo de la capa límite alrededor de la célula y el sistema de membranas

celulares. La interacción entre los sistemas IV y V es másica y energética

debido a la transferencia de masa de compuestos nutrientes y productos, y a la

transferencia de calor entre el sistema de membranas de la célula y el

citoplasma.

La Figura 3-5 muestra los sistemas de proceso para aplicar el principio de

conservación. Adicionalmente, la Figura 3-6 muestra los sistemas de proceso

agrupados por escala, lo cual permite ubicar los puntos donde es necesario

aplicar los factores de escala.

Líquido dentro del fermentador

Burbujas de Aire

Volumen de la Capa límite

alrededor de la célula

Complejo de Membrana

celularCitoplasma

Salida de gases y vapores

Salida de aire

Entrada de aire

QIntercambio II

QIntercambio I

QIntercambio III QIntercambio IV QIntercambio V

Oxígeno

SdeP I

SdeP II

SdeP III

SdeP IV SdeP V

dW/dt

ṁ1

ṁ2

ṁ3

ṁ4

ṁ5

ṁ6

ṁ7

ṁ8

ṁ9

ṁ10

Figura 3-5: Diagrama de bloques mostrando los Sistemas de Proceso definidos.


106

Figura 3-6: Diagrama de bloques mostrando los Sistemas de Proceso por

escalas.

Paso 4. Aplicar el principio de Conservación sobre cada uno de los


En este paso se aplica el principio de conservación de la materia y el principio

de conservación de la energía. En esta tesis sólo se validará el principio de

conservación de la masa, debido a la disponibilidad del modelo metabólico en la

literatura científica. Para el principio de conservación de la energía se

plantearán las ecuaciones en cada sistema de proceso, pero no se validará, ya

que no se cuenta con un modelo energético del metabolismo y además, la

temperatura en el biorreactor se mantuvo controlada en un valor constante.

Estas ecuaciones del balance de energía térmico se muestran en el Anexo 2. En

la actualidad hay una tesis de maestría de Ingeniería Química de la

Universidad Nacional de Colombia elaborando el modelo de intercambio de

energía entre la célula y el medioambiente.

Por el supuesto de mezcla perfecta en el biorreactor, las propiedades y

concentraciones de cualquier componente del medio de cultivo son iguales en

cualquier punto dentro del equipo, incluyendo la salida del mismo. Se considera

que la densidad y el calor específico tanto del medio de cultivo como del fluido

térmico son constantes. Esta consideración se aproxima muy bien a la realidad


107

debido a que los procesos de fermentación industriales trabajan dentro de

rangos de temperatura de operación pequeños.

Teniendo en cuenta los supuestos anteriores se escriben los balances de masa

para los cinco sistemas de proceso. Los balances de masa por componentes se

plantean principalmente para glucosa y acetato debido a la disponibilidad de

datos experimentales. No obstante, la misma metodología se aplica para

cualquier otra sustancia que se produzca y que resulte de interés:

Sistema de Proceso I (Líquido dentro del fermentador-L):

Balance Total de Masa:

Como es constante:

llegando a la expresión final:

[ ] (3.1)

Balance por componente- sustrato: glucosa (gluc):

Debido a que en la corriente 6 la glucosa no es devuelta por el volumen de capa

límite alrededor de la célula, entonces la expresión anterior se reduce a:

Debido a que se asume que por la corriente 5 sólo se transporta la glucosa, la

fracción másica ( ) es igual a 1. Ahora, expresando la masa de la glucosa

acumulada como la concentración por el volumen de L, se obtiene:

Expandiendo el diferencial queda:


108

llegando a la expresión final para este balance por componente:

*

+ (3.2)

Balance por componente- O2:

Aunque en este trabajo no se evalúa la variación del oxígeno, se plantean las

ecuaciones respectivas en los sistemas de procesos I y II. El oxígeno molecular

se considera que es alimentado a la fase líquida a través de la transferencia de

materia desde el aire de las burbujas por la corriente 2.

y además, el oxígeno no se transporta por las corrientes 5 y 6, por lo tanto, la

expresión anterior se reduce a:

Ahora, expresando la masa del oxígeno acumulado como la concentración por el

volumen de L, se obtiene:



*

+ (3.3)

Balance por componente Producto-Acetato


109

Considerando que el acetato no es devuelto por la corriente 5 al volumen de la

capa límite alrededor de la célula y que no hay pérdidas de acetato por

evaporación en la corriente 1, la expresión anterior queda:

Debido a que se asume que por la corriente 6 sólo se transporta el acetato, la

fracción másica es igual a 1. Ahora, expresando la masa del acetato acumulado

como la concentración por el volumen de L, se obtiene:

Expandiendo el diferencial se tiene:


*

+ (3.4)

Sistema de Proceso II (Aire contenido en las burbujas-aire):


[ ]

(3.5)

Balance de Masa por componente-O2:



*

+ (3.6)


110

Sistema de Proceso III (Volumen de la capa límite alrededor de la

célula-CL):


Como es constante:

llegando a la expresión final para este balance:

[ ] (3.7)

Balance por componente - sustrato: glucosa (gluc):

Debido a que en las corrientes 6 y 8 ningún sustrato es devuelto al líquido del

bulto ni por el complejo de membrana celular al volumen de capa límite,

entonces la expresión anterior se reduce a:

Debido a que se asume que por 5 y 7 sólo se transporta la glucosa, las

fracciones másicas son iguales a 1. Ahora, expresando la masa de glucosa

acumulada como la concentración por el volumen de CL, se obtiene:




111

*

+ (3.8)

Balance por componente- Acetato

Debido a que en la corriente 5 el acetato no es devuelto desde el volumen del

líquido al volumen de la capa límite, ni en la corriente 7 el acetato es devuelto

al volumen del complejo de membrana celular, entonces la expresión anterior

se reduce a:

Debido a que se asume que por 6 y 8 sólo se transporta el acetato, las fracciones

másicas son iguales a 1. Ahora, expresando la masa del acetato acumulada

como la concentración por el volumen de CL, se obtiene:



*

+ (3.9)

Sistema de Proceso IV (Sistema de membranas de la célula-MC):

A diferencia de los otros sistemas de proceso, en este se considera que todas las

sustancias pueden salir o entrar de la membrana.


Como es constante, la expresión final para este balance es:


112

[ ] (3.10)

Balance por componente- sustrato: glucosa (gluc):

Debido a que en las corrientes 8 y 10 la glucosa no es devuelta al complejo de

membrana celular por el citoplasma ni por el complejo de membrana celular al

volumen de capa límite, entonces la expresión anterior se reduce a:

Debido a que se asume que por 7 y 9 sólo se transporta la glucosa, las

fracciones másicas son iguales a 1. Ahora, expresando la masa del acetato

acumulada como la concentración por el volumen de MC, se obtiene:



*

+ (3.11)

Balance por componente-Producto-Acetato

Debido a que en la corriente 7 el acetato no es devuelto al complejo de

membrana celular ni en la corriente 9 el acetato es devuelto al citoplasma,

entonces la expresión anterior se reduce a:


113

Debido a que se asume que por 8 y 10 sólo se transporta acetato, las fracciones

másicas son iguales a 1. Ahora, expresando la masa del acetato acumulada

como la concentración por el volumen de MC, se obtiene:



*

+ (3.12)

Sistema de Proceso V (Citoplasma de la célula-CP):

Las ecuaciones del SdeP V (citoplasma de la célula) se encuentran planteadas

en el artículo de Jahan et al. (2016) que corresponden al modelo matemático del

metabolismo central de carbono. En el Anexo A-1 de esta tesis se encuentra

una breve explicación de los apartados más importantes de este modelo.

Cabe resaltar que las ecuaciones diferenciales (2), (3) y (12) del modelo

metabólico de Jahan et al. (2016) presentan términos expresados en función de

la concentración de glucosa exterior y concentración de acetato exterior. En

esta tesis no se utilizan estas ecuaciones con estas variables debido a que el

aporte doctoral está enmarcado en mejorar las expresiones que relacionan el

medioambiente con el material biológico, por lo tanto, estos términos han sido

cambiados con el equivalente de las concentraciones de glucosa y acetato

calculados por los métodos propuestos en esta tesis.

Comunicación entre el nivel macro y el nivel micro:

Para comunicar los modelos que hacen parte del nivel macro con el nivel micro

se utilizan los factores de conversión de escala, para el caso de estudio se define

como el número de células (Ncel) en un instante t en el biorreactor, es decir, la

concentración de biomasa en un instante t se multiplica por el volumen del

líquido del biorreactor y este resultado es dividido por la masa de una célula de

Escherichia coli (bajo el supuesto de que todas las células tienen la misma

masa.


114

Paso 5. Seleccionar de las Ecuaciones Dinámicas de Balance aquellas

con información valiosa para cumplir con el objetivo del modelo.

Las Ecuaciones Dinámicas de Balance (3.2), (3.4), (3.8), (3.9), (3.11), (3.12) y las

51 ecuaciones diferenciales planteadas en el artículo de Jahan et al. (2016),

mostradas en el Anexo 1 de esta tesis, son importantes y brindan toda la

información sobre la dinámica de las variables de interés del bioproceso, que en

este caso son la concentración de glucosa, concentración de acetato y

concentración de biomasa. Las otras ecuaciones no consideradas pertenecen a

sustancias que no son de interés para dar respuestas a la pregunta del modelo

que se planteó en esta tesis.

Paso 6. Definir para las Ecuaciones Dinámicas de Balance esenciales,

los parámetros, las variables y las constantes conocidas en cada SdeP.

Parámetros: Los parámetros que requieren ecuaciones constitutivas para su

cálculo están ligados a la cinética del metabolismo celular y al flujo de materia

intercambiados entre los diferentes SdeP. El modelo del medio ambiente y la

interrelación con el metabolismo tiene los parámetros siguientes: , , ,

, , , , . Adicionalmente, el modelo metabólico descrito por Jahan

et al. (2016) define 322 parámetros.

Estados: , , , , , , .

Variables de entrada (acciones de control o perturbaciones):

Constantes:

La densidad y el calor específico de los fluidos. El volumen de líquido en el

biorreactor.

Paso 7. Hallar ecuaciones constitutivas que permitan calcular el

mayor número de parámetros en cada Sistema de Proceso.

i) Para la potencia de agitación:

Para el cálculo de la potencia de agitación sin aireación en caldos de cultivos

newtonianos se utiliza la ecuación (3.13), la cual está definida para valores de

mayores a 10000. Se considera que una fracción de esta potencia se

transforma en flujo de calor, el cual es llamado (Gómez et al., 2008):

(3.13)

Como son dos agitadores, la anterior ecuación se multiplica por dos.

(3.14)


115

El valor de para turbina Rushton con las dimensiones utilizadas en el

experimento es de 5.9, bajo el supuesto de turbulencia completa, es decir,

>10000 (Doran, 2013).

Debido a la aireación se debe corregir esta potencia, para lo cual se utiliza la

correlación (3.15) reportada por Doran (2013):

(

)

(

⁄)

(3.15)

donde es la velocidad de flujo volumétrico del gas a la temperatura y presión

promedio del líquido en el tanque (m3/s). Luego, el cálculo de la transformación

de la potencia de agitación en flujo de calor es:

(3.16)

Donde es la fracción de conversión de trabajo mecánico en calor que es

medida experimentalmente.

ii) Para la transferencia de masa:

Transferencia de oxígeno desde las burbujas de aire hacia el líquido del

fermentador:

(3.17)

La solubilidad del oxígeno en agua pura entre 0-36°C se puede estimar por:

(3.18)

donde es la temperatura del agua pura, dada en °C y en mg/l.

El coeficiente de transferencia de oxígeno se estima de la ecuación propuesta

por Doran (2013) para el tipo de sistema que se trabajó en esta tesis:

(

)

(3.19)

Donde es la velocidad superficial del aire (m/s) que se expresa como:

[(

)

(

)

] (3.20)


116

Coeficientes locales de transferencia de masa de glucosa y acetato en el bulto del

líquido:

Se utilizó la ecuación propuesta por Treybal (1988, 78p) para la transferencia

de masa en figuras cilíndricas. Debido a que la Escherichia coli posee pilis y

flagelos, esta ecuación es modificada por un coeficiente ( ) que se debe

identificar desde datos:

( (

)

(

)

) (3.21)

Transferencia de sustratos y productos entre los SdeP:

El flux molar de cualquier sustancia que atraviesa la membrana celular se

calcula con las expresiones demostradas en la Sección 2.3.1, en términos de los

coeficientes locales englobantes y la concentración ficticia acompañada del

cálculo de la CDE.

iii) Velocidad de bulto del fluido, :

Para el caso del montaje experimental utilizado por Jahan et al. (2016), el cual

es el modelo tomado para desarrollar esta tesis, la velocidad de bulto del fluido

se calcula aplicando las ecuaciones (2.136)-(2.139) así:

Como el volumen de líquido en el biorreactor es 1,2 litros o , el valor

de es:

(

)

El valor de es

Suponiendo que la viscosidad y densidad del medio es semejante a la del agua,

se puede suponer que el régimen de flujo es completamente turbulento, es

decir, >10000. Adicional a esto, el rodete es una turbina Rushton que para

régimen turbulento tiene un valor de (Doran, 2013), girando a 100

rpm y con diámetro del agitador de 0,06 m, entonces es:


117

Finalmente, la velocidad en bulto del fluido será:

Paso 8. Verificar los Grados de Libertad del modelo.

(GL = #Ecuaciones - # Incógnitas).

El MSBF final está constituido por las ecuaciones diferenciales (3.2), (3.4),

(3.8), (3.9), (3.11), (3.12) y 48 ecuaciones diferenciales planteadas en el artículo

de Jahan et al. (2016), mostradas en el Anexo A-1, sin considerar las ecuaciones

(2), (3) y (12) de ese trabajo. Las ecuaciones constitutivas están conformadas

por las ecuaciones algebraicas (2.76), (2.82), (2.135), (2.137), (3.21), (3.22), la

ecuación lineal ajustada que representa a la curva CDE mostrada en la Figura

2-14 y las 149 ecuaciones algebraicas del modelo de Jahan et al. (2016). El

resumen de ecuaciones del modelo matemático se muestra en el Anexo 3.

En conclusión, el modelo contiene 209 incógnitas y 209 ecuaciones, es decir, el

modelo es resoluble puesto que tiene GL=0.

Paso 9. Obtener el modelo computacional o solución del modelo

matemático.

El modelo computacional se muestra en el Anexo A-4. El modelo se resolvió

utilizando Matlab 2015a y para esto se utilizó el comando ode15s con paso de

integración numérica de 0,01h.

Paso 10. Validar el modelo para diferentes condiciones y evaluar su

desempeño.

La Tabla 3-1 muestra los diez parámetros de las ecuaciones de transferencia de

masa propuestas en esta tesis para relacionar el medioambiente con el

metabolismo de la Escherichia coli. De estos diez parámetros, cuatro fueron

estimados de la literatura (Bird et al., 2006; Treybal, 1988) y seis fueron

obtenidos por identificación paramétrica. Se observa que los valores de las

difusividades del acetato en agua, ya sea en el complejo periplasma+pared

celular o en la membrana interna, son mayores y menores, respectivamente,

que la difusividad del acetato en agua pura. Esto se debe a que la célula puede

alterar estas difusividades en su interior para transportar la cantidad de

sustancia necesaria desde o hacia el citoplasma. Igual comportamiento sucede

con la glucosa en el complejo periplasma+pared celular. Se resalta que estas

difusividades están en el orden de magnitud esperado para dicha propiedad.


118

Por otro lado, el coeficiente local de transferencia de masa identificado para el

acetato es dos órdenes de magnitud mayor en el interior celular que en el

líquido del biorreactor, lo cual corrobora el supuesto de homogeneidad en el

citoplasma del acetato.

Durante el proceso de identificación se ajustó un modelo empírico de la

difusividad de la glucosa en el complejo periplasma+pared celular versus la

concentración de biomasa, con un buen coeficiente de determinación

(r2=0.9999), mostrado a continuación:

(3.22)

La relación entre el parámetro y la variable fue escogida

debido a que durante el crecimiento celular esta difusividad cambia como

respuesta a la división celular y síntesis proteica.

La ecuación (3.22) se obtuvo relacionando los valores de crecimiento celular

( desde la simulación con el modelo de Jahan et al. (2016) versus los

valores de estimados de las ecuaciones de flujo propuestas para

la relación de la célula–medioabiente de la Sección 2.3.1, cuando se igualan a

los flujos metabólicos de glucosa obtenidos desde la simulación con el modelo de

Jahan et al. (2016).

Tabla 3-1: Parámetros del modelo planteado.

PARÁMETRO VALOR UNIDADES FUENTE

Acetato

Rporina, acetato, MO 2.5x1012 s/m3 Identificación

acetato, agua 9.6 x10-10 m2/s Bird et al. (2006)

e, acetato, agua, PP 7 x10-4 m2/s Identificación

acetato, agua, MI 9.6 x10-11 m2/s Identificación

ky, acetato 99.7 m/s Identificación

kx, acetato 0.2585 m/s Treybal (1988)

Glucosa

glucosa, agua 6.8 x10-10 m2/s Bird et al. (2006)

glucosa, agua, MO 6.8 x10-10 m2/s Identificación

e, glucosa, agua, PP * m2/s Identificación

kx, glucosa 0.1955 m/s Treybal (1988)

* Este valor no es constante, corresponde a los valores obtenidos por la ecuación 3.22,

los cuales están en el orden de magnitud de 10-10.

Jahan et al. (2016) comparan su modelo metabólico con el modelo de Matsuoka

y Shimizu (2013) y con el modelo de Kotte, Zaugg y Heinemann (2010). Los

resultados de la concentración de biomasa, de glucosa y de acetato es más


119

precisa con el modelo de Jahan que los otros modelos, por tal razón en esta

tesis se toma al modelo de Jahan et al. (2016) para realizar la comparación del

modelo propuesto.

Para validar cuantitativamente el modelo propuesto y comparar con otros

modelos se utilizó el error medio absoluto para cada variable evaluada

experimentalmente, en este caso, concentración de biomasa, concentración de

glucosa externa y concentración de acetato externo. La Tabla 3-2 muestra los

valores del error medio absoluto de la concentración de biomasa, concentración

de glucosa externa y concentración de acetato externo para el modelo propuesto

en esta tesis y para el modelo de Jahan et al. (2016) frente a los datos reales del

cultivo que los mismos autores tomaron. Los resultados indican que el modelo

propuesto es más preciso que el modelo de Jahan et al. (2016) y por

consiguiente mejor que los modelos de Matsuoka y Shimizu (2013) y de Kotte,

Zaugg y Heinemann (2010). Es de anotar que no existe contradicción en lo que

indica el valor del error medio absoluto de la concentración de glucosa obtenido

por el modelo de Jahan et al. (2016) y lo que muestra la Figura 3-8. Este valor

del error medio absoluto, mayor en Jahan et al. (2016) que en el modelo

propuesto en esta tesis, se debe a que los valores estimados por Jahan et al.

(2016) en los tiempos de 7 y 8 horas están muy distantes de los valores

experimentales con respecto a los valores estimados por el modelo propuesto en

esta tesis.

Tabla 3-2: Errores medios absolutos de modelo de Jahan et al. (2016) y el

modelo propuesto en esta tesis.

VARIABLE

MEDIDA

ERROR MEDIO ABSOLUTO

Modelo de Jahan et al.

(2016)

Modelo propuesto en

esta tesis

Concentración de biomasa 0.2000 0.1828

Concentración de glucosa

externa 0.5139 0.3226

Concentración de acetato

externo 1.7615 1.4980

En las Figuras 3-7 a 3-9 se observa que la curva de concentración de glucosa

cae abruptamente en el modelo de Jahan et al. (2016), mientras que en el

modelo propuesto cae suavemente, como es el comportamiento natural. Esto

último indica que la célula para consumir el sustrato necesita ingresarlo a su

sistema, lo cual está descrito por la comunicación entre la célula y el

medioambiente propuesta en esta tesis, logrando con esto una mejor

descripción de lo que ocurre en la realidad. Por oto lado, la curva de acetato en

el modelo de Jahan et al. (2016) cambia de pendiente súbitamente, mientras


120

que en el modelo propuesto el cambio es más suave, describiendo que existe un

consumo de acetato cuando se acaba la glucosa, pero este fenómeno no es

instantáneo, sino que debe realizarse conforme a la limitación de la

transferencia de masa y del paso del acetato por todo el complejo de membrana

y pared celular. En consecuencia, el comportamiento representado está más

cerca de la realidad usando la descripción de la comunicación célula-

medioambiente planteada en esta tesis.

El modelo propuesto tiene discrepancia con respecto a los datos experimentales,

aunque menor que el modelo de Jahan et al. (2016). Esta diferencia puede estar

heredada del modelo de Jahan puesto que toda la parte del comportamiento

interno del microorganismo se toma de ese modelo. En Jahan et al. (2016) se

realizan las siguientes simplificaciones: i) las dinámicas de las coenzimas, tales

como ATP, NADH y NADPH, no son consideradas. Estas coenzimas alteran la

energía y el estado redox; ii) La concentración de oxígeno disuelto no es

incorporada, lo cual impacta directamente la producción de ATP; iii) la

información matemática que representa a la interacción entre el metabolismo

central de carbono y las subredes periféricas tales como aminoácidos, lípidos y

síntesis de nucleótidos no es descrita; por último, iv) algunas redes regulatorias

quedan por revelar, es decir, no están incorporadas en el modelo.

Figura 3-7: Concentración de biomasa del modelo propuesto y modelo de

Jahan et al. (2016) versus datos experimentales.


121

Figura 3-8: Concentración de glucosa externa del modelo propuesto y modelo

de Jahan et al. (2016) versus datos experimentales.

Figura 3-9: Concentración de acetato externo del modelo propuesto y modelo

de Jahan et al. (2016) versus datos experimentales.

Adicional a lo anterior, en esta tesis no se propuso mejorar el modelo de Jahan

et al. (2016), por lo tanto, la mejora que se observa en las Figuras 3-7 a 3-9 se

debe a que el modelo planteado tiene una visión global del bioproceso, ya que

incluye al modelo metabólico la comunicación que tiene la célula con el

medioambiente a través de los modelos de los fenómenos involucrados. Es

decir, que la mejora sólo se ve reflejada en los aspectos nuevos que el modelo


122

adicione, pero no mejora al modelo de Jahan et al. (2016). De allí que el modelo

propuesto estime mejor las concentraciones de la glucosa y acetato y no a la

concentración de biomasa o crecimiento celular que depende del modelo

metabólico.

Con todo lo anterior, se observa que el modelo propuesto en esta tesis es más

completo en cuanto a que incorpora la información sobre el medioambiente que

rodea a la célula y la comunicación entre dicho medioambiente y la célula, lo

cual hasta ahora no se había realizado ni descriptiva ni explicativamente.

3.3 Resumen del Capítulo.

En este capítulo se retomó una metodología de modelado y se propusieron

pasos adicionales para que pueda ser aplicada en el modelado de bioprocesos

tal que sea posible relacionar el medioambiente y el material celular. Esta

metodología se aplicó al caso de estudio de un bioproceso con la bacteria

Escherichia coli, obteniéndose mejor ajuste con relación a los datos

experimentales, del modelo propuesto, que incluye relaciones entre el medio

ambiente y el material celular, que el modelo de Jahan et al. (2016). Con estos

resultados se evidencia que se pueden conectar explícitamente de manera

descriptiva y/o explicativa el medioambiente y el material celular con

expresiones matemáticas explícitas obtenidas de analogías de procesos, tales

como las proteínas transportadoras con el tornillo sinfín, y de la transferencia

de masa utilizando las ecuaciones fenomenológicas de transporte interfacial de

materia, adicional a los fundamentos termodinámicos de equilibrio de fases

para construir las curvas de distribución de equilibrio y de analogías derivadas

de sistemas de fluidos tales como la agitación y una bomba centrífuga para

obtener expresiones de la velocidad de bulto del fluido en el biorreactor. Esto

implica que la metodología propuesta de modelado de bioprocesos es

recomendada para plantear modelos matemáticos más precisos de naturaleza

descriptiva y explicativa, puesto que la adición de la descripción matemática de

la relación medioambiente-célula aporta información valiosa al modelo y al

conocimiento total de los fenómenos que participan en los bioprocesos.


123

4. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

4.1 Conclusiones

Como resultado de este trabajo doctoral y con base en el cumplimiento de los

objetivos propuestos se concluye lo siguiente:

Respecto a la revisión de la literatura

Se presentó una revisión detallada de las particularidades de los bioprocesos y

su dificultad para modelarlos, lo cual se debe en primer lugar a la complejidad

de los microorganismos y la complejidad de su metabolismo, y en segundo lugar

a la falta de una relación matemática explícita que al menos describa la

interacción de las variables ambientales y las variables del interior del

material celular.

Se realizó un análisis de la literatura científica más referenciada sobre

metodologías de modelado en procesos y se encontró que, al aplicarlas a los

bioprocesos, todas fallan en la integración entre la ingeniería metabólica y la

ingeniería de procesos. Esto porque ninguna metodología considera

explícitamente la interacción existente entre el medioambiente y el material

celular, al menos de forma descriptiva. Dicha relación afecta directamente

todas las cinéticas, las que hasta ahora han sido formuladas a través de

relaciones empíricas. A pesar de los avances en el modelado de bioprocesos, el

empirismo sigue estando presente en la mayoría de los modelos que se realizan

en la industria con fines de control y optimización.

Por otro lado, la disponibilidad de modelos metabólicos completos de un

microorganismo es escasa debido a: la dificultad de medir analitos en el

citoplasma, a la variación que ocurre en el metabolismo celular debido a una

variable externa (tal como la temperatura y pH), a la incertidumbre de las

rutas metabólicas y a la información incompleta o inexistente de modelos

matemáticos de la regulación genética del microorganismo. Todo lo anterior

había sido impedimento para plantear modelos matemáticos que integraran el

medioambiente y el interior celular, y de esta manera mirar a los modelos como

objetos de estudio para mejorar las metodologías de modelado.

Respecto a las formulaciones matemáticas descriptivas propuestas

Se propusieron y evaluaron funciones matemáticas descriptivas y explicativas

para la interacción entre el medioambiente y la célula. Estas funciones


124

surgieron del planteamiento de ecuaciones de transferencia de masa y de

analogías de procesos entre la membrana celular y algunos equipos que se

utilizan en los procesos. Por los resultados obtenidos de la simulación del

modelo propuesto, las analogías que se usaron tales como tornillo sinfín, bomba

centrífuga y proteína equivalente, describieron los fenómenos presentes

adecuadamente. Aunque es el primer intento de describir estos fenoménos se

espera que en un futuro se puedan modelar de mejor manera, ya que los

adelantos científicos permitirán abordar de manera más precisa cuestiones

como la composición exacta de las proteínas del citoplasma y membrana celular

de la Escherichia coli, lo que permitirá calcular la curva de distribución de

equilibrio de los componentes que son transferidos con mucha más precisión.

Respecto a las modificaciones de una metodología de modelado

Una metodología de modelado fue modificada y acondicionada para aplicarla a

los bioprocesos. Para esto se agregó al Paso 4 de la metodología de Alvarez et

al. (2014) “comunicar los niveles de detalle” y se gregó al Paso 7 “plantear

funciones matemáticas que relacionen al medioambiente con el material celular

y la CDE” junto con “Plantear funciones matemáticas de la capa límite y de la

velocidad de bulto del fluido”. Con estas adiciones y la evidencia de los

resultados obtenidos del modelo propuesto, en esta tesis se tiene una

metodología para obtener mejores modelos de los bioprocesos y así mejorar el

control de procesos, la optimización, la estimación de estado, entre otros.

Respecto a la aplicación de los resultados en un caso real

Por último, la validación cuantitativa de un modelo semifísico de base

fenomenológica propuesto para un bioproceso de fermentación de glucosa

realizada por el microorganismo Escherichia coli K12 cepa BW25113, indicó

que el modelo planteado a través de la metodología propuesta tuvo mejor

predicción que los modelos planteados en la literatura (Jahan et al., 2016;

Matsuoka y Shimizu, 2013; Kotte, Zaugg y Heinemann, 2010), que utilizan

funciones empíricas en la relación medioambiente-célula. Por lo tanto, vincular

modelos matemáticos descriptivos y explicativos de transferencia de masa para

la interacción medioambiente-material celular en el modelado de bioprocesos,

mejora la capacidad de predicción del modelo. Esto indica que se pueden

conectar explícitamente de manera descriptiva y/o explicativa el

medioambiente y el material celular con expresiones matemáticas explícitas

obtenidas de analogías de procesos, de la transferencia de masa, de los


125

fundamentos termodinámicos de equilibrio de fases y de analogías derivadas de

sistemas de fluidos, lo cual aporta información valiosa al modelo y al

conocimiento total de los fenómenos que participan en los bioprocesos,

necesaria para entender el funcionamiento integral de un biorreactor y así

mejorar el diseño, la optimización, el control automático y la estimación de

estado de los mismos.

4.2. Trabajos Futuros

En esta tesis se realizaron propuestas de formulaciones matemáticas de

transferencia de masa que modelan la interacción medioambiente-célula y que

fueron evaluadas para una célula procariota particular. Debido a que quedaron

tópicos sin explorar y que no son objetivos de esta tesis, pero que es el

complemento de la interacción célula-medioambiente, desde el punto de vista

de la energía, se recomiendan algunos trabajos futuros que van a permitir

ampliar el número de dichas formulaciones matemáticas y mejorar la

metodología de modelado de los bioprocesos:

1. Aplicar la metodología propuesta de modelado para bioprocesos con otras

células procariotas.

2. Aplicar la metodología propuesta en bioprocesos con células eucarióticas,

obteniendo formulaciones matemáticas de la transferencia de masa en la

membrana celular para cada organelo celular que interviene en el

metabolismo. Ya existen estudios del metabolismo central del carbono para

algunas cepas de levaduras, lo cual es insumo para lograr este objetivo.

3. Obtener funciones matemáticas para la transferencia de calor que relacione

el medioambiente y el material celular para bioprocesos con células eucariotas.

En este sentido, actualmente, el Ingeniero Biológico Santiago Benavides está

realizando una tesis de maestría que plantea formulaciones matemáticas para

la transferencia de calor titulada “Modelo matemático para la autorregulación

térmica de Escherichia coli”.


126

Nomenclatura

A continuación, se presentan los símbolos utilizados para identificar variables,

parámetros y constantes en esta tesis.

Símbolo Nombre Unidades

Área lateral total de una célula de E. coli [m2]

Área de transferencia de masa radial de una

célula de E. coli

[m2]

Área de transferencia de masa axial de una

célula de E. coli

[m2]

Concentración molar total [mol/m3]

Calor específico a volumen constante del

líquido dentro del fermentador

[J/kg°C]


aire

[J/kg°C]


volumen de capa límite alrededor de la

célula

[J/kg°C]


complejo de membrana celular

[J/kg°C]

Calor específico a volumen constante de la

corriente j (con j: 3,…,10)

[J/kg°C]


componente i de la corriente j (con j: 3,…,10)

[J/kg°C]

Calor específico a presión constante del

líquido dentro del fermentador

[J/kg°C]


volumen de capa límite alrededor de la

célula

[J/kg°C]


complejo de membrana celular

[J/kg°C]

Calor específico a presión constante de la

corriente j (con j: 3,…,10)

[J/kg°C]


componente i de la corriente j (con j: 3,…,10)

[J/kg°C]

Concentración molar de glucosa en la región

i (con i: 1,…,5)

[mol/m3]

Solubilidad del oxígeno en agua [mg/L]

Concentración de oxígeno en el medio de

cultivo

[mg/L]

Concentración de oxígeno en la corriente [mg/L]

Concentración de la glucosa en el bulto [mol/m3]


127

Concentración de acetato en el bulto [mol/m3]

Concentración de la glucosa en la capa

límite

[mol/m3]

Concentración de acetato en la capa límite [mol/m3]

Concentración de la glucosa en la

membrana celular

[mol/L]

Concentración de acetato en la membrana

celular

[mol/m3]

Difusividad molar del componente A en el

componente B, en la membrana celular

externa

[m2/s]

Difusividad efectiva molar del componente

A en B en el complejo Pared celular +

Periplasma

[m2/s]

Difusividad molar del componente A en B en

la membrana interna

[m2/s]

Diámetro de burbuja de aire [m]

Diámetro de la capa límite que rodea a la

bacteria

[m]

Diámetro externo de la E. coli [m]

Diámetro interno de la E. coli [m]

Diámetro del agitador [m]

Diámetro interno del biorreactor [m]

Potencia de agitación [J/s]

Factor de conversión de trabajo de agitación

a calor

g Aceleración de la gravedad [m/s2]

Entalpía de la corriente i [J/kg]

Longitud de la bacteria Escherichia coli [m]

Longitud equivalente de la bacteria

Escherichia coli

[m]

Altura del líquido en el biorreactor [m]

Altura de la capa límite [m]

Coeficiente convectivo de transferencia de

calor del lado del biorreactor

[J/(s m2 °C)]


calor del lado del líquido en influencia con la

burbuja de aire

[J/(s m2 °C)]


calor del lado del líquido en influencia con la

capa límite

[J/(s m2 °C)]

Coeficiente convectivo de transferencia de [J/(s m2 °C)]


128

calor del lado de la capa límite


calor del lado de la burbuja de aire

[J/(s m2 °C)]

Coeficiente combinado de transferencia de

masa de oxígeno.

[1/s]

Coeficiente local de transferencia de masa

con concentraciones en el bulto del líquido.

[m/s]

Coeficiente local de transferencia de masa

con concentraciones en el citoplasma.

[m/s]

Coeficiente local englobante de

transferencia de masa con concentraciones

en el bulto del líquido.

[m/s]

Coeficiente local englobante de

transferencia de masa con concentraciones

en el citoplasma.

[m/s]

Conductividad térmica del líquido en el

biorreactor.

[J/(s m °C)]

Conductividad térmica del metal del

biorreactor

[J/(s m °C)]

Conductividad térmica de la membrana

interna

[J/(s m °C)]

Conductividad térmica del complejo Pared

celular + Periplasma

[J/(s m °C)]

Conductividad térmica de la membrana

externa

[J/(s m °C)]

Conductividad térmica del líquido en la

chaqueta

[J/(s m °C)]

Conductividad térmica del complejo

membrana celular

[J/(s m °C)]

Longitud de la capa límite que rodea a la

bacteria

[m]

Flujo másico de salida de gases y vapores

del líquido dentro del fermentador

[kg/s]

Flujo másico de oxígeno transferido desde

las burbujas de aire hasta el líquido dentro

del fermentador

[kg/s]

Flujo másico de salida de aire del SdeP

volumen de burbujas de aire

[kg/s]

Flujo másico de entrada de aire al

fermentador

[kg/s]

Flujo másico de entrada de sustratos al

SdeP volumen de capa límite alrededor de la

célula

[kg/s]

Flujo másico de salida de productos del [kg/s]


129


célula


SdeP complejo de membrana celular

[kg/s]

Flujo másico de salida de productos del

SdeP complejo de membrana celular

[kg/s]


SdeP citoplasma celular

[kg/s]

Flujo másico de salida de productos del

SdeP citoplasma celular

[kg/s]

Masa de líquido dentro del fermentador [kg]

Masa de las burbujas de aire dentro del

fermentador

[kg]

Masa de SdeP volumen de capa límite


[kg]

Masa de SdeP complejo de membrana

celular

[kg]

Masa de la sustancia en el SdeP [kg]

Ncel Número de células en un instante t en el

líquido del biorreactor

Revoluciones del agitador [rev/s]

Número de potencia

Flujo molar respecto al área lateral del

cilindro del componente i en la región

comprendida entre los radios j e j+1

[mol/s]

Flujo molar respecto al área total del

cilindro del componente A en la región

comprendida entre los radios j e j+1

[mol/s]

Flujo molar de glucosa 6-fosfato que entra al

citoplasma debido a la transformación de la

glucosa

[mol/s]

Flux molar del componente por el área

lateral (flujo radial)

[mol/s.m2]


superior o inferior (flujo axial) de la célula

[mol/s.m2]


lateral (flujo radial)

[mol/s.m2]


superior o inferior (flujo axial) de la célula

[mol/s.m2]

Potencia de agitación sin aireación [J/s]

Potencia de agitación con aireación [J/s]

Velocidad de transferencia de calor entre el

medioambiente externo que rodea al

[J/s]


130

biorreactor y el líquido dentro del

biorreactor

Velocidad de transferencia de calor entre las

burbujas de aire y el líquido dentro del

biorreactor

[J/s]



célula y el líquido dentro del biorreactor

[J/s]



célula y el SdeP complejo de membrana

celular

[J/s]



célula y el SdeP citoplasma celular

[J/s]

Potencia de agitación convertida en calor de

agitación

[J/s]

Velocidad de calor generado por la E. coli [J/s]

Consumo de oxígeno en el líquido del tanque [kg/s]

Radio que limita la membrana externa de la

capa límite

[m]

Radio que limita a la membrana externa del

complejo Pared celular + Periplasma

[m]

Radio que limita al complejo Pared celular +

Periplasma de la membrana interna

[m]

Radio que limita a la membrana interna del

citoplasma celular

[m]

Resistencia a la transferencia de masa de

glucosa de la porina

[s/m3]

Resistencia a la transferencia de masa del

componente i de la porina que transporta el

componente i

[s/m3]

Número de Reynolds

Temperatura del SdeP líquido dentro del

fermentador

[°C]

Temperatura del SdeP volumen de capa

límite alrededor de la célula

[°C]

Temperatura del SdeP complejo de

membrana celular

[°C]

Temperatura del SdeP citoplasma celular [°C] Temperatura del SdeP volumen de burbujas

de aire

[°C]

Temperatura de referencia [°C]


131

Coeficiente global de transferencia de calor [J/(s m2 °C)]

Energía interna del líquido dentro del

fermentador

[J/kg]

Energía interna de las burbujas de aire

dentro del fermentador

[J/kg]

Energía interna del volumen de capa límite


[J/kg]

Energía interna del volumen de complejo de

membrana celular

[J/kg]

Volumen de líquido dentro del fermentador [m3]

Volumen de aire dentro del fermentador [m3]

Volumen de capa límite alrededor de la

célula

[m3]

Volumen de complejo de membrana celular [m3]

Volumen del citoplasma celular [m3]

Velocidad superficial del gas [m/s]

Alto del agitador o turbina [m]

Fracción en peso del componente i en la

corriente j

Concentración de biomasa [g/L]

Fracción molar del componente

Fracción molar del componente en el

líquido.

Fracción molar del componente en la

interfase del lado del bulto del líquido.

Fracción molar ficticia del componente del

lado del bulto del líquido.

Fracción molar del componente en el

citoplasma.

Fracción molar del componente en la

interfase del lado del citoplasma.

Fracción molar ficticia del componente del

lado del citoplasma.

Letras griegas

Densidad de líquido dentro del fermentador [kg/m3]

Densidad del aire dentro del fermentador [kg/m3]

Densidad del aire en la corriente 4 [kg/m3]

Densidad de la capa límite alrededor de la

célula

[kg/m3]

Densidad del complejo de membrana celular [kg/m3]

Viscosidad absoluta del líquido en el

biorreactor

[Kg/(m s)]


132

Viscosidad absoluta del líquido en la

chaqueta

[Kg/(m s)]

Viscosidad absoluta del líquido en el

biorreactor evaluada a la temperatura de

pared

[Kg/(m s)]

Viscosidad absoluta del líquido en la

chaqueta evaluada a la temperatura de

pared

[Kg/(m s)]


133

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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147

ANEXO 1

MODELO DINÁMICO DEL INTERIOR CELULAR DE LA BACTERIA

Escherichia coli.

El modelo utilizado en esta tesis para representar el interior celular de la

Escherichia coli es tomado de la investigación realizada por Jahan et al. (2016).

Las ecuaciones diferenciales de ese modelo son mostradas abajo. En ese

trabajo, los autores presentan un modelo cinético detallado para el

metabolismo central del carbono de Escherichia coli “wild-type” en un cultivo

por lotes, el cual incluye la vía glicolítica, el ciclo del ácido tricarboxílico, la vía

pentosa-fosfato, la vía Entner-Doudoroff, la vía anaplerótica, la derivación de

glyoxilato, fosforilación oxidativa, sistema fosfotransferasa (PTS), no PTS y

regulaciones de genes metabólicos por cuatro factores de transcripción de

proteínas: receptor cAMP, catabolito represor/activador, represor complejo de

piruvato deshidrogenasa y regulador de isocitrato liasa.

Este modelo fue escogido en esta investigación por incluir varias rutas

implicadas en el metabolismo y crecimiento así como la regulación genética, lo

cual lo hace un modelo que describe y explica con más detalle lo que sucede en

el interior celular. En la Figura A-1 se muestra un mapa de la red metabólica

de la Escherichia coli considerada por Jahan et al. (2016). En este mapa se

muestran las vías mencionadas con los factores de activación y represión. Cabe

mencionar que la parte inicial del mapa en donde se muestra la relación de la

glucosa del medioambiente (GLCex) y la glucosa de la membrana celular (GLC)

no es considerada en el modelo de esta investigación, ya que exactamente en

esta relación es donde está fundamentado el aporte de esta tesis, es decir, que

las ecuaciones diferenciales (2), (3) y (12) de Jahan et al. (2016) son

reemplazadas por los modelos propuestos en este trabajo.

1) [ ]

2) [ ]

3) [ ]

4) [ ]

5) [ ]

6) [ ]


148

7) [ ]

8) [ ]

9) [ ]

10) [ ]

11) [ ]

12) [ ]

13) [ ]

14) [ ]

15) [ ]

16) [ ]

17) [ ]

18) [ ]

19) [ ]

20) [ ]

21) [ ]

22) [ ]

23) [ ]

24) [ ]


149

25) [ ]

26) [ ]

27) [ ]

28) [ ]

29) [ ]

30) [ ]

31) [ ]

32) [ ]

33) [ ]

34) [ ]

35) [ ]

36) [ ]

37) [ ]

38) [ ]

39) [ ]

40) [ ]

41) [ ]

42) [ ]


150

43) [ ]

44) [ ]

45) [ ]

46) [ ]

47) [ ]

48) [ ]

49) [ ]

50) [ ]

51) [ ]


151

Figura A-1: Mapa de la red metabólica de la Escherichia coli. La línea sólida

indica activación, la línea punteada indica represión (Jahan et al., 2016).


152

Figura A-2: Dimensiones de biorreactor para etapa experimental

(Fotografía cortesía del Grupo de Investigación del Doctor Nusrat Jahan,

comunicación personal, Octubre de 2016).

6 cm

1 cm

1.5 cm

4 cm

1.5 cm


153

ANEXO 2

ECUACIONES DEL BALANCE DE ENERGÍA Y ECUACIONES

CONSTITUTIVAS DE LOS SdePs PROPUESTOS.

A continuación se muestran los balances de energía y sus ecuaciones

constitutivas. Estas ecuaciones se muestran en esta sección y no en el texto

principal debido a que no se utilizan en la validación y por no ser el objetivo de

esta tesis. Es de recordar que la tesis de maestría “Modelo matemático para la

autorregulación térmica de Escherichia coli”, que actualmente realiza el

ingeniero Santiago Benavides presentará estas relaciones de energía entre la

célula y el medioambiente con más detalle.

1. BALANCE DE ENERGÍA

Sistema de Proceso I (Líquido dentro del fermentador-L):

Balance general de energía:

Bajo el supuesto de que y son constantes e iguales por estar trabajando

con un líquido, además resolviendo la entalpía de la corriente i evaluada desde

una temperatura de referencia , ∫

, el balance general de

energía queda:

[

( ) ( ) ( )

]

Resolviendo el diferencial, queda

[

( ) ( ) ( )

]

llegando a la expresión final de este balance:

[

( ) ( ) ( )

] (A.1)


154

Donde se puede evaluar con las composiciones de gases y sustancias

vaporizadas que van en esa corriente. Si se toma justamente como la

temperatura de referencia ( ), entonces se hace cero.

Sistema de Proceso II (Aire contenido en las burbujas-aire)


Bajo el supuesto de que es constante y resolviendo la entalpía de la

corriente i evaluada desde una temperatura de referencia , ∫

,

entonces el balance general de energía queda:

*

( ) ( )

( )

+


*

( ) ( )

( )

+


[

( ) ( )

( )

] (A.2)

Sistema de Proceso III (Volumen de la capa límite alrededor de la

célula-CL):


[

]

Bajo el supuesto de que y son constantes e iguales por estar

trabajando con un líquido, que un porcentaje del trabajo de agitación se

convierte en calor y resolviendo la entalpía de la corriente i evaluada desde una


155

temperatura de referencia , ∫

, entonces el balance general de

energía queda:

[

( ) ( )

( ) ( )

]


[

( ) ( )

( ) ( )

]


[

( ) ( )

( ) ( )

] (A.3)

Sistema de Proceso IV (Sistema de membranas de la célula-MC):


Bajo el supuesto de que y son constantes e iguales puesto que se

asume a la membrana como un gel, y resolviendo la entalpía de la corriente i

evaluada desde una temperatura de referencia , ∫

, y no hay

cambios de fase, entonces el balance general de energía queda:

[ ( ) ( )

( )

( )

]


[ ( ) ( )

( )

( )

]


156


[

( ) ( )

( )

( )

]

(A.4)

2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS

La velocidad de transferencia de calor entre el líquido del biorreactor y las

burbujas de aire es:

(A.5)

Donde

(A.6)

Considerando que las burbujas de aire tienen forma de una esfera perfecta,

para calcular el flujo de calor sobre éstas Whitaker recomienda la correlación:

(

) { [

(

)

(

)

⁄] (

)

(

)

} (A.7)

la cual es válida para 3.5 <Re< 80 000 y 0.7 < Pr <380. En este caso, las

propiedades del fluido se evalúan a la temperatura de la corriente libre T∞ excepto para , la cual se evalúa a la temperatura de la superficie de la

burbuja Ts.

La velocidad de transferencia de calor entre el líquido del biorreactor y el

volumen de la capa límite alrededor de la célula es:

(A.8)

Donde:

(considerando a la bacteria como un cilindro perfecto)


157

(A.9)

Para calcular los valores de y se utilizan las correlaciones planteadas en

la Tabla A-1.

Tabla A-1: Ecuaciones de Nusselt para cilindros (Ҫengel, 2007)

Sección

transversal del

cilindro

Fluido Rango de Re Número de Nusselt

Círculo

Gas o

líquido

0.4-4

4-40

40-4000

4000-40000

40000-400000

La velocidad de transferencia de calor entre el volumen de la capa límite

alrededor de la célula y el complejo de la membrana celular es:

(A.10)

(

)

(A.11)

La velocidad de transferencia de calor entre el complejo de la membrana

celular y el citoplasma celular es:

(A.12)

Finalmente, el resto de las ecuaciones constitutivas se completan con las

ecuaciones presentadas en la sección 2.2.2 y en la sección 2.4.2.


158

ANEXO 3

RESUMEN DEL MODELO MATEMÁTICO PROPUESTO

Ecuaciones

Med

ioa

mb

ien

te

1)

[ ]

2)

*

+

3)

*

+

4)

[ ]

5)

*

+

6)

*

+

7)

[ ]

8)

*

+

9)

*

+

10)

( (

)

(

)

)

11)

( (

)

(

)

)


159

Mem

bra

na

y p

ared

celu

lares 1)

{

* ( ⁄ )

+ *

( ⁄ )

+}

( )

2)

(

)

(

)

3) xacetato_medioambiente = 0,5688xacetato_citoplasma

4) (

√

)

(

√

)

5) (

)

Meta

bo

lism

o

celu

lar

Está compuesto por 48 ecuaciones diferenciales (mostradas en el Anexo

1, excepto las ecuaciones 2, 3 y 12) y 149 ecuaciones constitutivas

propuestas por Jahan et al. (2016).


160

ANEXO 4

MODELO COMPUTACIONAL

El modelo computacional presentado en esta sección es tomado de los

complementos publicados por Jahan et al. (2016) y es modificado por las

formulaciones matemáticas propuestas en esta tesis.

JahanModelo_ODE.m

Este archivo .m es tomado de los complementos publicados por Jahan et al.

(2016).

function dydt = JahanModel_ODE(t,y,param)

global m5_traj m6_traj x_acet_fict_traj

x=[y(52) y(2)*0.180 y(53) y(12)*0.06]'; Flux = JahanModel_Flux(t,y);

vD_GLCfeed = Flux(68); vD_GLCex = Flux(69); vPts4_medium = Flux(4); vNonpts_medium = Flux(6);

vE_Ack_medium = Flux(18); vE_Acs_medium = Flux(20); vD_ACEex = Flux(79);

vgrowth = Flux(1); vPts1 = Flux(2); vPts4 = Flux(3); vNonpts = Flux(5); vE_Glk = Flux(7); vE_Pgi = Flux(8); vE_Pfk = Flux(9); vE_Fbp = Flux(10); vE_Fba = Flux(11); vE_Gapdh = Flux(12); vE_Pyk = Flux(13); vE_Pps = Flux(14); vE_Pdh = Flux(15); vE_Pta = Flux(16); vE_Ack = Flux(17); vE_Acs = Flux(19); vE_Cs = Flux(21); vE_Icdh = Flux(22); vE_akgdh = Flux(23); vE_Sdh = Flux(24); vE_Fum = Flux(25); vE_Mdh = Flux(26); vE_Mez = Flux(27);


161

vE_Pck = Flux(28); vE_Ppc = Flux(29); vE_Icl = Flux(30); vE_Ms = Flux(31); vE_AceKki = Flux(32); vE_AceKph = Flux(33); vE_G6pdh = Flux(34); vE_Pgl = Flux(35); vE_Edd = Flux(36); vE_Eda = Flux(37); vE_6Pgdh = Flux(38); vE_R5pi = Flux(39); vE_Ru5p = Flux(40); vE_TktA = Flux(41); vE_TktB = Flux(42); vE_Tal = Flux(43); vE_Cya = Flux(44); vE_cAMPdegr = Flux(45); vG_glk = Flux(46); vG_pfkA = Flux(47); vG_fbp = Flux(48); vG_fbaA = Flux(49); vG_gapA = Flux(50); vG_pykF = Flux(51); vG_ppsA = Flux(52); vG_pdh = Flux(53); vG_acs = Flux(54); vG_gltA = Flux(55); vG_icdA = Flux(56); vG_sucAB = Flux(57); vG_sdhCDAB = Flux(58); vG_fumABC = Flux(59); vG_mdh = Flux(60); vG_maeB = Flux(61); vG_pckA = Flux(62); vG_ppc = Flux(63); vG_aceA = Flux(64); vG_aceB = Flux(65); vG_aceK = Flux(66); vD_X = Flux(67); vD_GLC = Flux(70); vD_G6P = Flux(71); vD_F6P = Flux(72); vD_FBP = Flux(73); vD_GAP = Flux(74); vD_PEP = Flux(75); vD_PYR = Flux(76); vD_AcCoA = Flux(77); vD_AcP = Flux(78); vD_ICIT = Flux(80); vD_aKG = Flux(81); vD_SUC = Flux(82); vD_FUM = Flux(83); vD_MAL = Flux(84); vD_OAA = Flux(85); vD_GOX = Flux(86); vD_6PGL = Flux(87);


162

vD_6PG = Flux(88); vD_KDPG = Flux(89); vD_RU5P = Flux(90); vD_R5P = Flux(91); vD_X5P = Flux(92); vD_S7P = Flux(93); vD_E4P = Flux(94); vD_cAMP = Flux(95); vD_Glk = Flux(96); vD_Pfk = Flux(97); vD_Fbp = Flux(98); vD_Fba = Flux(99); vD_Gapdh = Flux(100); vD_Pyk = Flux(101); vD_Pps = Flux(102); vD_Pdh = Flux(103); vD_Acs = Flux(104); vD_Cs = Flux(105); vD_Icdh = Flux(106); vD_IcdhP = Flux(107); vD_akgdh = Flux(108); vD_Sdh = Flux(109); vD_Fum = Flux(110); vD_Mdh = Flux(111); vD_Mez = Flux(112); vD_Pck = Flux(113); vD_Ppc = Flux(114); vD_Icl = Flux(115); vD_Ms = Flux(116); vD_AceK = Flux(117); vBM_G6P = Flux(118); vBM_F6P = Flux(119); vBM_GAP = Flux(120); vBM_PEP = Flux(121); vBM_PYR = Flux(122); vBM_AcCoA = Flux(123); vBM_aKG = Flux(124); vBM_SUC = Flux(125); vBM_FUM = Flux(126); vBM_OAA = Flux(127); vBM_R5P = Flux(128); vBM_E4P = Flux(129);

[xdot,m5,m6,x_acetato_ficticio]=medio_ambiente(t,x,y(1), y(11),param);

%****************En este punto se conecta el modelo metabólico de Jahan

et al. con el modelo del medio ambiente a través del cambio de variable

siguiente: GLCex_dot = -m5/(1.2*0.180); %x(2) ACEex_dot = m6/(1.2*0.060); %x(4)

% ESTADOS X_dot = vgrowth - vD_X; GLC_dot = vNonpts - vE_Glk - vD_GLC; G6P_dot = vPts4 + vE_Glk - vE_Pgi - vE_G6pdh - vD_G6P - vBM_G6P;


163

F6P_dot = vE_Pgi + vE_TktB + vE_Tal + vE_Fbp - vE_Pfk - vD_F6P -

vBM_F6P; FBP_dot = vE_Pfk - vE_Fba - vE_Fbp - vD_FBP; GAP_dot = 2*vE_Fba + vE_TktA + vE_TktB + vE_Eda - vE_Tal - vE_Gapdh -

vD_GAP - vBM_GAP; PEP_dot = vE_Gapdh + vE_Pck + vE_Pps - vE_Pyk - vPts1 - vE_Ppc -

vD_PEP - vBM_PEP; PYR_dot = vE_Pyk + vPts1 + vE_Mez + vE_Eda - vE_Pdh - vE_Pps - vD_PYR

- vBM_PYR; AcCoA_dot = vE_Pdh + vE_Acs - vE_Cs - vE_Ms - vE_Pta - vD_AcCoA -

vBM_AcCoA; AcP_dot = vE_Pta - vE_Ack - vD_AcP; ICIT_dot = vE_Cs - vE_Icdh - vE_Icl - vD_ICIT; aKG_dot = vE_Icdh - vE_akgdh - vD_aKG - vBM_aKG; SUC_dot = vE_akgdh + vE_Icl - vE_Sdh - vD_SUC - vBM_SUC; FUM_dot = vE_Sdh - vE_Fum - vD_FUM - vBM_FUM; MAL_dot = vE_Fum + vE_Ms - vE_Mdh - vE_Mez - vD_MAL; OAA_dot = vE_Mdh + vE_Ppc - vE_Pck - vE_Cs - vD_OAA - vBM_OAA; GOX_dot = vE_Icl - vE_Ms - vD_GOX; sixPGL_dot = vE_G6pdh - vE_Pgl - vD_6PGL; sixPG_dot = vE_Pgl - vE_6Pgdh - vE_Edd - vD_6PG; KDPG_dot = vE_Edd - vE_Eda - vD_KDPG; RU5P_dot = vE_6Pgdh - vE_Ru5p - vE_R5pi - vD_RU5P; R5P_dot = vE_R5pi - vE_TktA - vD_R5P - vBM_R5P; X5P_dot = vE_Ru5p - vE_TktA - vE_TktB - vD_X5P; S7P_dot = vE_TktA - vE_Tal - vD_S7P; E4P_dot = vE_Tal - vE_TktB - vD_E4P - vBM_E4P; cAMP_dot = vE_Cya - vE_cAMPdegr - vD_cAMP; EIIAP_dot = vPts1 - vPts4; Glk_dot = vG_glk - vD_Glk; Pfk_dot = vG_pfkA - vD_Pfk; Fbp_dot = vG_fbp - vD_Fbp; Fba_dot = vG_fbaA - vD_Fba; GAPDH_dot = vG_gapA - vD_Gapdh; Pyk_dot = vG_pykF - vD_Pyk; Pps_dot = vG_ppsA - vD_Pps; PDH_dot = vG_pdh - vD_Pdh; Acs_dot = vG_acs - vD_Acs; CS_dot = vG_gltA - vD_Cs; ICDH_dot = vG_icdA + vE_AceKph - vE_AceKki - vD_Icdh; ICDHP_dot = vE_AceKki - vE_AceKph - vD_IcdhP; aKGDH_dot = vG_sucAB - vD_akgdh; SDH_dot = vG_sdhCDAB - vD_Sdh; Fum_dot = vG_fumABC - vD_Fum; MDH_dot = vG_mdh - vD_Mdh; Mez_dot = vG_maeB - vD_Mez; Pck_dot = vG_pckA - vD_Pck; Ppc_dot = vG_ppc - vD_Ppc; Icl_dot = vG_aceA - vD_Icl; MS_dot = vG_aceB - vD_Ms; AceK_dot = vG_aceK - vD_AceK;

if t < 0 X_dot = 0; GLCex_dot = 0; ACEex_dot = 0; xdot=zeros(size(xdot));


164

end

xdot(2)=[]; xdot(3)=[]; m5_traj=[m5_traj;t m5]; m6_traj=[m6_traj;t m6]; x_acet_fict_traj=[x_acet_fict_traj;t x_acetato_ficticio];

dydt = [ X_dot; GLCex_dot; GLC_dot; G6P_dot; F6P_dot; % 5 FBP_dot; GAP_dot; PEP_dot; PYR_dot; AcCoA_dot; % 10 AcP_dot; ACEex_dot; ICIT_dot; aKG_dot; SUC_dot; % 15 FUM_dot; MAL_dot; OAA_dot; GOX_dot; sixPGL_dot; % 20 sixPG_dot; KDPG_dot; RU5P_dot; R5P_dot; X5P_dot; % 25 S7P_dot; E4P_dot; cAMP_dot; EIIAP_dot; Glk_dot; % 30 Pfk_dot; Fbp_dot; Fba_dot; GAPDH_dot; Pyk_dot; % 35 Pps_dot; PDH_dot; Acs_dot; CS_dot; ICDH_dot; % 40 ICDHP_dot; aKGDH_dot; SDH_dot; Fum_dot; MDH_dot; % 45 Mez_dot; Pck_dot; Ppc_dot; Icl_dot; MS_dot; % 50 AceK_dot; xdot]; % 51

JahanModel_Flux.m


(2016).

function Flux = JahanModel_Flux(t,y)

global strain_no continuous_flg ;

X = y(1); GLCex = y(2); GLC = y(3); G6P = y(4); F6P = y(5); FBP = y(6); GAP = y(7); PEP = y(8); PYR = y(9); AcCoA = y(10); AcP = y(11); ACEex = y(12); ICIT = y(13); aKG = y(14); SUC = y(15); FUM = y(16); MAL = y(17); OAA = y(18); GOX = y(19); sixPGL = y(20); sixPG = y(21); KDPG = y(22); RU5P = y(23); R5P = y(24); X5P = y(25);


165

S7P = y(26); E4P = y(27); cAMP = y(28); EIIAP = y(29); Glk = y(30); Pfk = y(31); Fbp = y(32); Fba = y(33); Gapdh = y(34); Pyk = y(35); Pps = y(36); Pdh = y(37); Acs = y(38); Cs = y(39); Icdh = y(40); IcdhP = y(41); akgdh = y(42); Sdh = y(43); Fum = y(44); Mdh = y(45); Mez = y(46); Pck = y(47); Ppc = y(48); Icl = y(49); Ms = y(50); AceK = y(51);

%********** MODEL PARAMETERS % constant component GLCfeed = 2.22E+01 ; ATP = 9.60E+00 ; ADP = 5.60E-01 ; AMP = 2.80E-01 ; NAD = 2.60E+00 ; NADH = 8.30E-02 ; NADP = 2.10E-03 ; NADPH = 1.20E-01 ; CoA = 1.40E+00 ; Pi = 1.00E+01 ; EIIAtotal = 7.69E-02 ; Crptotal = 1.15E-02 ; Cratotal = 3.00E-04 ; PdhRtotal = 6.66E-05 ; IclRtotal = 8.30E-05 ; pH = 7.50E+00 ; aceBAK_DNA = 5.15E-07 ; % Kinetic parameter for PTS1 & PTS4 kPts1 = 5.60E+04 ; kmPts1 = 2.77E+04 ; vPts4_max = 3.94E+03 ; KPts_EIIA = 2.11E-03 ; KPts_GLC = 4.90E-03 ; % Kinetic parameter for Non-PTS vNonpts_max = 4.00E+03 ; KNonpts_S = 1.55E+00 ; KNonpts_I = 1.00E-02 ;


166

kGlk_cat = 2.01E+06 ; KGlk_GLC_m = 1.54E-01 ; KGlk_ATP_m = 7.12E-01 ; KGlk_G6P_i = 1.50E+01 ; % Kinetic parameter for Pgi vPgi_max = 3.56E+06 ; KPgi_eq = 1.44E+00 ; KPgi_G6P = 2.46E+00 ; KPgi_F6P = 3.42E-01 ; KPgi_F6P_6pginh = 1.99E-01 ; KPgi_G6P_6pginh = 1.81E-01 ; % Kinetic parameter for Pfk kPfk_cat = 2.49E+10 ; KPfk_PEP = 1.74E+00 ; KPfk_ADP_b = 2.56E-01 ; KPfk_AMP_b = 2.55E-02 ; KPfk_ADP_a = 2.77E+02 ; KPfk_AMP_a = 1.01E+01 ; KPfk_ATP_s = 1.61E-01 ; KPfk_ADP_c = 4.48E-01 ; KPfk_F6P_s = 2.11E-02 ; LPfk = 1.77E+06 ; nPfk = 4.00E+00 ; % Kinetic parameter for Fbp kFbp_cat = 7.86E+06 ; KFbp_FBP = 8.92E-03 ; KFbp_PEP = 4.88E-01 ; LFbp = 4.41E+06 ; nFbp = 4.00E+00 ; % Kinetic parameter for Fba kFba_cat = 6.95E+06 ; KFba_eq = 3.72E-01 ; KFba_FBP = 8.39E-02 ; KFba_GAP = 1.54E-01 ; KFba_DHAP = 8.80E-02 ; VFba_blf = 1.54E+00 ; KFba_GAP_inh = 6.00E-01 ; % Kinetic parameter for Gapdh kGapdh_cat = 5.05E+07 ; KGapdh_eq = 3.00E-01 ; KGapdh_GAP = 1.52E-01 ; KGapdh_PGP = 1.34E-01 ; KGapdh_NAD = 4.50E-01 ; KGapdh_NADH = 2.08E-02 ; % Kinetic parameter for Pyk kPyk_cat = 8.16E+04 ; KPyk_PEP = 3.10E-01 ; KPyk_FBP = 2.53E-01 ; KPyk_AMP = 2.55E-01 ; KPyk_ADP = 2.10E-01 ; KPyk_ATP = 2.02E+01 ; LPyk = 9.97E+02 ; nPyk = 4.00E+00 ; % Kinetic parameter for Pps kPps_cat = 2.49E+03 ; KPps_PYR = 7.13E-04 ; KPps_PEP = 2.16E-04 ;


167

LPps = 1.04E-79 ; nPps = 2.00E+00 ; % Kinetic parameter for Pdh kPdh_cat = 4.83E+07 ; KPdh_i = 6.83E+01 ; KPdh_PYR_m = 1.00E+00 ; KPdh_NAD_m = 4.01E-01 ; KPdh_NADH_m = 4.71E-02 ; KPdh_CoA_m = 4.82E-03 ; KPdh_AcCoA_m = 8.00E-03 ; % Kinetic parameter for Pta vPta_max = 5.36E+03 ; KPta_eq = 2.84E-02 ; KPta_AcCoA_i = 2.01E-01 ; KPta_CoA_i = 8.10E-02 ; KPta_Pi_m = 6.87E-01 ; KPta_Pi_i = 2.11E+00 ; KPta_AcP_m = 2.29E-01 ; KPta_AcP_i = 3.20E-01 ; % Kinetic parameter for Ack vAck_max = 1.95E+05 ; KAck_eq = 2.34E+02 ; KAck_ADP_m = 1.77E-01 ; KAck_AcP_m = 4.63E-02 ; KAck_ACE_m = 6.10E+00 ; KAck_ATP_m = 8.86E-02 ; % Kinetic parameter for Acs kAcs_cat = 1.29E+05 ; KAcs_ACE = 2.40E-02 ; % Kinetic parameter for Cs kCs_cat = 5.43E+05 ; KCs_aKG = 1.87E-01 ; KCs_OAA_AcCoA = 8.86E-03 ; KCs_AcCoA = 2.98E-02 ; KCs_OAA = 1.76E-02 ; % Kinetic parameter for Icdh kIcdh_cat = 8.58E+04 ; KIcdh_ICIT = 2.01E-04 ; KIcdh_PEP = 5.48E-02 ; LIcdh = 9.26E+01 ; nIcdh = 2.00E+00 ; % Kinetic parameter for alphakgdh kakgdh_cat = 7.02E+08 ; Kakgdh_NAD_m = 5.52E-02 ; Kakgdh_CoA_m = 3.10E-03 ; Kakgdh_aKG_m = 2.37E-01 ; Kakgdh_Z = 4.17E+00 ; Kakgdh_SUC_I = 2.07E+00 ; Kakgdh_NADH_I = 1.79E-02 ; Kakgdh_aKG_I = 1.00E+00 ; % Kinetic parameter for Sdh kSdh1_cat = 1.96E+04 ; kSdh2_cat = 1.96E+04 ; KSdh_eq = 2.97E+01 ; KSdh_SUC_m = 1.69E-01 ; % Kinetic parameter for FUM kFum1_cat = 3.82E+05 ;


168

kFum2_cat = 3.82E+05 ; KFum_eq = 1.29E+01 ; KFum_FUM_m = 9.65E-02 ; % Kinetic parameter for Mdh kMdh1_cat = 4.60E+05 ; kMdh2_cat = 4.60E+05 ; KMdh_eq = 7.50E-01 ; KMdh_NAD_m = 5.22E-02 ; KMdh_NAD_I = 1.14E-01 ; KMdh_NAD_II = 9.45E-01 ; KMdh_MAL_m = 1.77E+00 ; KMdh_MAL_I = 3.46E+00 ; KMdh_OAA_m = 2.08E-01 ; KMdh_OAA_I = 3.44E-01 ; KMdh_OAA_II = 7.32E-02 ; KMdh_NADH_m = 3.13E-02 ; KMdh_NADH_I = 2.48E-02 ; % Kinetic parameter for Mez kMez_cat = 3.68E+05 ; KMez_MAL = 1.46E-03 ; KMez_AcCoA = 1.82E+00 ; KMez_cAMP = 4.55E+00 ; LMez = 2.39E+05 ; nMez = 1.99E+00 ; % Kinetic parameter for Pck kPck_cat = 3.45E+06 ; KPck_OAA = 5.78E-01 ; KPck_ATP_i = 4.01E-02 ; KPck_ADP_i = 1.98E-02 ; KPck_PEP = 7.01E-02 ; KPck_PEP_i = 6.00E-02 ; KPck_OAA_I = 3.47E-01 ; KPck_ATP_I = 3.98E-02 ; % Kinetic parameter for Ppc kPpc_cat = 5.39E+06 ; KPpc_PEP = 2.72E-02 ; KPpc_FBP = 1.89E-01 ; LPpc = 5.65E+06 ; nPpc = 3.00E+00 ; % Kinetic parameter for Icl kIcl_cat = 9.42E+05 ; KIcl_ICIT = 1.51E-02 ; KIcl_PEP = 1.63E-02 ; KIcl_3PG = 5.22E-01 ; KIcl_aKG = 8.34E-01 ; LIcl = 1.91E+05 ; nIcl = 4.00E+00 ; % Kinetic parameter for Ms kMs_cat = 1.70E+04 ; KMs_GOX_AcCoA = 3.96E-01 ; KMs_AcCoA = 4.62E-01 ; KMs_GOX = 1.11E+00 ; % Kinetic parameter for AceK-ki & AceK-ph kAceKki_cat = 5.27E+15 ; kAceKph_cat = 1.82E+12 ; KAceK_Icdh = 1.97E-01 ; KAceK_IcdhP = 7.26E+00 ;


169

KAceK_ICIT = 8.70E-02 ; KAceK_GOX = 5.03E-01 ; KAceK_OAA = 7.23E-02 ; KAceK_aKG = 4.25E-01 ; KAceK_PEP = 3.61E-01 ; KAceK_3PG = 4.23E-01 ; KAceK_PYR = 3.45E-02 ; LAceK = 2.83E+08 ; nAceK = 2.00E+00 ; % Kinetic parameter for G6Pdh vG6pdh_max = 1.66E+04 ; KG6pdh_G6P = 7.12E-02 ; KG6pdh_NADPH_g6pinh = 1.93E-01 ; KG6pdh_NADP = 3.82E-03 ; KG6pdh_NADPH_nadpinh = 8.15E-02 ; % Kinetic parameter for Pgl vPgl_max = 2.28E+04 ; KPgl_eq = 4.27E+01 ; KPgl_6PGL_m = 2.30E-02 ; KPgl_6PG_m = 1.00E+01 ; KPgl_h1 = 4.37E-03 ; KPgl_h2 = 9.70E-06 ; % Kinetic parameter for Edd vEdd_max = 5.15E+02 ; KEdd_eq = 1.00E+03 ; KEdd_6PG_m = 1.18E-01 ; KEdd_KDPG_m = 2.02E+00 ; pH_Edd_m = 7.53E+00 ; pK_Edd = 8.74E+00 ; % Kinetic parameter for Eda vEda_max = 6.67E+02 ; KEda_eq = 5.02E-01 ; KEda_PYR_m = 7.70E+00 ; KEda_KDPG_m = 1.50E-01 ; KEda_GAP_m = 1.18E+00 ; pH_Eda_m = 1.04E+01 ; pK_Eda = 3.70E+01 ; % Kinetic parameter for 6PGDH v6Pgdh_max = 2.48E+05 ; K6Pgdh_6PG = 1.01E-01 ; K6Pgdh_NADP = 2.08E-02 ; K6Pgdh_NADPH_inh = 4.21E-02 ; K6Pgdh_ATP_inh = 3.01E+00 ; % Kinetic parameter for R5PI vR5pi_max = 3.21E+04 ; KR5pi_eq = 4.77E-01 ; % Kinetic parameter for Ru5P vRu5p_max = 1.27E+04 ; KRu5p_eq = 1.41E+00 ; % Kinetic parameter for TktA vTktA_max = 8.87E+03 ; KTktA_eq = 1.20E+00 ; % Kinetic parameter for TktB vTktB_max = 3.80E+05 ; KTktB_eq = 9.97E+00 ; % Kinetic parameter for Tal vTal_max = 7.17E+04 ;


170

KTal_eq = 1.05E+00 ; % Kinetic parameter for Cya vCya_max = 9.45E+00 ; KCya_EIIAP = 2.08E-03 ; % Kinetic parameter for cAMPdegr vcAMPdegr_max = 9.21E+00 ; KcAMPdegr_cAMP = 4.83E-02 ; % Kinetic parameter for Glk Kglk_Cra = 1.22E-08 ; vglk_Cra_unbound = 2.06E-01 ; vglk_Cra_bound = 1.56E-03 ; % Kinetic parameter for pfkA KpfkA_Cra = 9.87E-09 ; vpfkA_Cra_unbound = 5.14E-02 ; vpfkA_Cra_bound = 1.43E-03 ; % Kinetic parameter for fbp Kfbp_Cra = 3.75E-05 ; vfbp_Cra_unbound = 0.00E+00 ; vfbp_Cra_bound = 1.42E-03 ; % Kinetic parameter for fbaA KfbaA_Cra = 3.26E-03 ; vfbaA_Cra_unbound = 2.52E-02 ; vfbaA_Cra_bound = 0.00E+00 ; KfbaA_Crp = 9.48E-03 ; vfbaA_Crp_unbound = 0.00E+00 ; vfbaA_Crp_bound = 1.56E-02 ; % Kinetic parameter for gapA KgapA_Cra = 1.61E-02 ; vgapA_Cra_unbound = 2.20E-02 ; vgapA_Cra_bound = 0.00E+00 ; KgapA_Crp = 4.75E-02 ; vgapA_Crp_unbound = 0.00E+00 ; vgapA_Crp_bound = 3.00E-02 ; % Kinetic parameter for pykF KpykF_Cra = 7.26E-05 ; vpykF_Cra_unbound = 1.13E-02 ; vpykF_Cra_bound = 4.30E-05 ; % Kinetic parameter for ppsA KppsA_Cra = 4.88E-04 ; vppsA_Cra_unbound = 0.00E+00 ; vppsA_Cra_bound = 5.32E-02 ; % Kinetic parameter for pdh Kpdh_PdhR = 2.46E-05 ; vpdh_PdhR_unbound = 1.28E-03 ; vpdh_PdhR_bound = 7.50E-06 ; % Kinetic parameter for acs Kacs_Crp = 1.36E-03 ; vacs_Crp_unbound = 0.00E+00 ; vacs_Crp_bound = 3.62E-04 ; nacs = 2.31E+00 ; % Kinetic parameter for gltA KgltA_Crp = 5.65E-02 ; vgltA_Crp_unbound = 0.00E+00 ; vgltA_Crp_bound = 2.83E-02 ; ngltA = 1.07E+00 ; % Kinetic parameter for icdA KicdA_Cra = 2.92E-05 ;


171

vicdA_Cra_unbound = 7.07E-03 ; vicdA_Cra_bound = 1.96E-02 ; % Kinetic parameter for sucAB KsucAB_Crp = 3.09E-01 ; vsucAB_Crp_unbound = 0.00E+00 ; vsucAB_Crp_bound = 2.39E-02 ; nsucAB = 7.40E-01 ; % Kinetic parameter for sdhCDAB KsdhCDAB_Crp = 8.56E-02 ; vsdhCDAB_Crp_unbound = 0.00E+00 ; vsdhCDAB_Crp_bound = 2.44E-01 ; nsdhCDAB = 7.40E-01 ; % Kinetic parameter for fumABC KfumABC_Crp = 1.49E-01 ; vfumABC_Crp_unbound = 0.00E+00 ; vfumABC_Crp_bound = 5.18E-02 ; nfumABC = 7.40E-01 ; % Kinetic parameter for mdh Kmdh_Crp = 2.14E-01 ; vmdh_Crp_unbound = 0.00E+00 ; vmdh_Crp_bound = 1.01E-01 ; % Kinetic parameter for maeB SS_Mez_GLC = 5.00E-03 ; SS_Mez_ACE = 1.47E-02 ; % Kinetic parameter for pckA = 0.00E+00 ; KpckA_Cra = 1.52E-04 ; vpckA_Cra_unbound = 0.00E+00 ; vpckA_Cra_bound = 1.37E-02 ; % Kinetic parameter for ppc SS_Ppc_GLC = 4.93E-03 ; SS_Ppc_ACE = 1.47E-03 ; % Kinetic parameter for aceA KaceBAK_Cra = 5.40E-04 ; vaceBAK_Cra_unbound = 1.76E-04 ; vaceBAK_Cra_bound = 5.10E-02 ; KaceBAK_Crp = 5.26E-01 ; vaceBAK_Crp_unbound = 3.46E-03 ; vaceBAK_Crp_bound = 2.18E-05 ; KaceBAK_DNA = 9.51E-07 ; KaceBAK_PYR = 2.01E+00 ; KaceBAK_PYRprime = 2.72E-03 ; KaceBAK_GOX = 2.25E-03 ; kaceBAK_cat_IclR = 4.41E+00 ; LaceBAK = 4.12E+02 ; % Kinetic parameter for aceB Factor_aceB = 3.09E-01 ; % Kinetic parameter for aceK = 0.00E+00 ; Factor_aceK = 1.72E-02 ; % kexpr = 7.26E+00 ; kdegr = 3.30E-01 ; % Kinetic parameter for Biomass kBM_GLC_G6P = 4.89E+01 ; kBM_ACE_G6P = 4.56E+02 ; kBM_GLC_F6P = 1.27E+03 ; kBM_ACE_F6P = 3.69E+02 ; kBM_GLC_GAP = 1.02E+02 ;


172

kBM_ACE_GAP = 4.21E+02 ; kBM_GLC_PEP = 9.57E+02 ; kBM_ACE_PEP = 2.53E+02 ; kBM_GLC_PYR = 8.51E+02 ; kBM_ACE_PYR = 1.24E+04 ; kBM_GLC_AcCoA = 2.37E+03 ; kBM_ACE_AcCoA = 7.63E+02 ; kBM_GLC_aKG = 3.00E+03 ; kBM_ACE_aKG = 3.24E+02 ; kBM_GLC_SUC = 1.90E+03 ; kBM_ACE_SUC = 2.27E+02 ; kBM_GLC_FUM = 3.47E+03 ; kBM_ACE_FUM = 2.89E+02 ; kBM_GLC_OAA = 2.31E+04 ; kBM_ACE_OAA = 1.31E+04 ; kBM_GLC_R5P = 3.08E+02 ; kBM_ACE_R5P = 5.00E+02 ; kBM_GLC_E4P = 1.51E+03 ; kBM_ACE_E4P = 2.90E+02 ; % Kinetic parameter for Crp-cAMP KCrpcAMP = 4.20E-01 ; nCrpcAMP = 1.00E+00 ; % Kinetic parameter for Cra-FBP KCraFBP = 2.94E-02 ; nCraFBP = 2.00E+00 ; % Kinetic parameter for PdhR-PYR KPdhRPYR = 4.34E-02 ; nPdhRPYR = 1.00E+00 ; % POratio = 3.48E+00 ; POratio_prime = 1.49E+00 ; kATP = 1.32E-05 ; rho = 5.64E+02 ; D = 0.00E+00 ;

%% % DeltaPyk if strain_no == 2 vpykF_Cra_unbound = 0; vpykF_Cra_bound = 0; end

% DeltaPgi if strain_no == 3 vPgi_max = 0; end

% DeltaPpc if strain_no == 4 SS_Ppc_GLC = 0; SS_Ppc_ACE = 0; end

% DeltaGlk if strain_no == 5 vglk_Cra_unbound = 0;


173

vglk_Cra_bound = 0; end

% DeltaPfk if strain_no == 6 vpfkA_Cra_unbound = 0; vpfkA_Cra_bound = 0; end

% DeltaFbp if strain_no == 7 vfbp_Cra_unbound = 0; vfbp_Cra_bound = 0; end

% DeltaFba if strain_no == 8 vfbaA_Cra_unbound = 0; vfbaA_Cra_bound = 0; vfbaA_Crp_unbound = 0; vfbaA_Crp_bound = 0; end

% DeltaGapdh if strain_no == 9 vgapA_Cra_unbound = 0; vgapA_Cra_bound = 0; vgapA_Crp_unbound = 0; vgapA_Crp_bound = 0; end

% DeltaPps if strain_no == 10 vppsA_Cra_unbound = 0; vppsA_Cra_bound = 0; end

% DeltaG6Pdh if strain_no == 11 vG6pdh_max = 0; end

% DeltaPgl if strain_no == 12 vPgl_max = 0; end

% Delta6PGDH if strain_no == 13 v6Pgdh_max = 0; end

% DeltaRu5P if strain_no == 14 vRu5p_max = 0;


174

end

% DeltaR5PI if strain_no == 15 vR5pi_max = 0; end

% DeltaTktA if strain_no == 16 vTktA_max = 0; end

% DeltaTktB if strain_no == 17 vTktB_max = 0; end % DeltaTal if strain_no == 18 vTal_max = 0; end

%% Batch culture if continuous_flg == 0 GLCfeed = 0; D = 0; end

%% Continuous culture if continuous_flg ~= 0 GLCfeed = 22.2; end if continuous_flg == 1 D = 0.2; end if continuous_flg == 2 D = 0.1; end if continuous_flg == 3 D = 0.4; end if continuous_flg == 4 D = 0.5; end if continuous_flg == 5 D = 0.7; end

%% %********** MODEL VARIABLES (v-independent) alphaGLC = GLCex/(GLCex+KPts_GLC); alphaACE = ACEex/(ACEex+KAcs_ACE)*(1-alphaGLC); H = power(10,-pH)*1e+3; EIIA = EIIAtotal - EIIAP; CrpcAMP =

Crptotal*power(cAMP,nCrpcAMP)/(power(cAMP,nCrpcAMP)+power(KCrpcAMP,nCrpcA

MP));


175

Crp = Crptotal - CrpcAMP; CraFBP =

Cratotal*power(FBP,nCraFBP)/(power(FBP,nCraFBP)+power(KCraFBP,nCraFBP)); Cra = Cratotal - CraFBP; PdhRPYR =

PdhRtotal*power(PYR,nPdhRPYR)/(power(PYR,nPdhRPYR)+power(KPdhRPYR,nPdhRPY

R)); PdhR = PdhRtotal - PdhRPYR;

%********** MODEL REACTIONS (mu-independent) vPts1 = kPts1*PEP*EIIA - kmPts1*PYR*EIIAP;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Expresiones modificadas por el modelo del

medioambiente %%%%%%%%%%%%%%%% vPts4 =

vPts4_max*EIIAP*GLCex/((KPts_EIIA+EIIAP)*(KPts_GLC+GLCex)); vPts4_medium = vPts4*X/rho; vNonpts = vNonpts_max*GLCex/(KNonpts_S+(1+EIIA/KNonpts_I)*GLCex); vNonpts_medium = vNonpts*X/rho; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

vE_Glk =

Glk*kGlk_cat*(GLC/KGlk_GLC_m)*(ATP/(KGlk_ATP_m*(1+G6P/KGlk_G6P_i)))/(1+GL

C/KGlk_GLC_m+ATP/(KGlk_ATP_m*(1+G6P/KGlk_G6P_i))+GLC*ATP/(KGlk_GLC_m*KGlk

_ATP_m*(1+G6P/KGlk_G6P_i))+G6P/KGlk_G6P_i); vE_Pgi = vPgi_max*(G6P-

F6P/KPgi_eq)/(KPgi_G6P*(1+F6P/(KPgi_F6P*(1+sixPG/KPgi_F6P_6pginh))+sixPG/

KPgi_G6P_6pginh)+G6P); A = 1 + PEP/KPfk_PEP + ADP/KPfk_ADP_b + AMP/KPfk_AMP_b; B = 1 + ADP/KPfk_ADP_a + AMP/KPfk_AMP_a; vE_Pfk =

Pfk*kPfk_cat*ATP*F6P/((ATP+KPfk_ATP_s*(1+ADP/KPfk_ADP_c))*(F6P+KPfk_F6P_s

*A/B)*(1+LPfk/power(1+F6P*B/(KPfk_F6P_s*A),nPfk))); vE_Fbp = Fbp*kFbp_cat*FBP/KFbp_FBP*power(1+FBP/KFbp_FBP,nFbp-

1)/(power(1+FBP/KFbp_FBP,nFbp)+LFbp/power(1+PEP/KFbp_PEP,nFbp)); vE_Fba = Fba*kFba_cat*(FBP-

power(GAP,2)/KFba_eq)/(KFba_FBP+FBP+KFba_GAP*GAP/(KFba_eq*VFba_blf)+KFba_

DHAP*GAP/(KFba_eq*VFba_blf)+FBP*GAP/KFba_GAP_inh+power(GAP,2)/(KFba_eq*VF

ba_blf)); vE_Gapdh = Gapdh*kGapdh_cat*(GAP*NAD-

PEP*NADH/KGapdh_eq)/((KGapdh_GAP*(1+PEP/KGapdh_PGP)+GAP)*(KGapdh_NAD*(1+N

ADH/KGapdh_NADH)+NAD)); vE_Pyk = Pyk*kPyk_cat*PEP*power(PEP/KPyk_PEP+1,nPyk-

1)*ADP/(KPyk_PEP*(LPyk*power((1+ATP/KPyk_ATP)/(FBP/KPyk_FBP+AMP/KPyk_AMP+

1),nPyk)+power(PEP/KPyk_PEP+1,nPyk))*(ADP+KPyk_ADP)); vE_Pps = Pps*kPps_cat*PYR/KPps_PYR*power(1+PYR/KPps_PYR,nPps-

1)/(power(1+PYR/KPps_PYR,nPps)+LPps*power(1+PEP/KPps_PEP,nPps)); vE_Pdh =

Pdh*kPdh_cat*(1/(1+KPdh_i*NADH/NAD))*(PYR/KPdh_PYR_m)*(NAD/KPdh_NAD_m)*(C

oA/KPdh_CoA_m)/((1+PYR/KPdh_PYR_m)*(1+NAD/KPdh_NAD_m+NADH/KPdh_NADH_m)*(1

+CoA/KPdh_CoA_m+AcCoA/KPdh_AcCoA_m)); vE_Pta = vPta_max*(1/(KPta_AcCoA_i*KPta_Pi_m))*(AcCoA*Pi-

AcP*CoA/KPta_eq)/(1+AcCoA/KPta_AcCoA_i+Pi/KPta_Pi_i+AcP/KPta_AcP_i+CoA/KP

ta_CoA_i+AcCoA*Pi/(KPta_AcCoA_i*KPta_Pi_m)+AcP*CoA/(KPta_AcP_m*KPta_CoA_i

));


176

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% vE_Ack = vAck_max*(1/(KAck_ADP_m*KAck_AcP_m))*(AcP*ADP-

ACEex*ATP/KAck_eq)/((1+AcP/KAck_AcP_m+ACEex/KAck_ACE_m)*(1+ADP/KAck_ADP_m

+ATP/KAck_ATP_m)); vE_Ack_medium = vE_Ack*X/rho; vE_Acs = Acs*kAcs_cat*ACEex/(ACEex+KAcs_ACE); vE_Acs_medium = vE_Acs*X/rho; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

vE_Cs =

Cs*kCs_cat*OAA*AcCoA/((1+aKG/KCs_aKG)*KCs_OAA_AcCoA*KCs_AcCoA+KCs_AcCoA*O

AA+(1+aKG/KCs_aKG)*KCs_OAA*AcCoA+OAA*AcCoA); vE_Icdh =

Icdh*kIcdh_cat*ICIT/KIcdh_ICIT*power(1+ICIT/KIcdh_ICIT,nIcdh-

1)/(power(1+ICIT/KIcdh_ICIT,nIcdh)+LIcdh*power(1+PEP/KIcdh_PEP,nIcdh)); vE_akgdh =

akgdh*kakgdh_cat*aKG*CoA*NAD/(Kakgdh_NAD_m*aKG*CoA+Kakgdh_CoA_m*aKG*NAD+K

akgdh_aKG_m*CoA*NAD+aKG*CoA*NAD+Kakgdh_aKG_m*Kakgdh_Z*SUC*NADH/Kakgdh_SUC

_I+Kakgdh_NAD_m*aKG*CoA*NADH/Kakgdh_NADH_I+Kakgdh_CoA_m*aKG*NAD*SUC/Kakgd

h_SUC_I+Kakgdh_aKG_m*Kakgdh_Z*aKG*SUC*NADH/(Kakgdh_aKG_I*Kakgdh_SUC_I)); vSdh1_max = Sdh*kSdh1_cat; vSdh2_max = Sdh*kSdh2_cat; vE_Sdh = vSdh1_max*vSdh2_max*(SUC-

FUM/KSdh_eq)/(KSdh_SUC_m*vSdh2_max+vSdh2_max*SUC+vSdh1_max*FUM/KSdh_eq); vFum1_max = Fum*kFum1_cat; vFum2_max = Fum*kFum2_cat; vE_Fum = vFum1_max*vFum2_max*(FUM-

MAL/KFum_eq)/(KFum_FUM_m*vFum2_max+vFum2_max*FUM+vFum1_max*MAL/KFum_eq); vMdh1_max = Mdh*kMdh1_cat; vMdh2_max = Mdh*kMdh2_cat; vE_Mdh = vMdh1_max*vMdh2_max*(NAD*MAL-

NADH*OAA/KMdh_eq)/(KMdh_NAD_I*KMdh_MAL_m*vMdh2_max+KMdh_MAL_m*vMdh2_max*N

AD+KMdh_NAD_m*vMdh2_max*MAL+

vMdh2_max*NAD*MAL+KMdh_OAA_m*vMdh1_max*NADH/KMdh_eq+KMdh_NADH_m*vMdh1_max

*OAA/KMdh_eq+

vMdh1_max*NADH*OAA/KMdh_eq+vMdh1_max*KMdh_OAA_m*NAD*NADH/(KMdh_eq*KMdh_NA

D_I)+vMdh2_max*KMdh_NAD_m*MAL*OAA/KMdh_OAA_I+

vMdh2_max*NAD*MAL*NADH/KMdh_NADH_I+vMdh1_max*MAL*NADH*OAA/(KMdh_eq*KMdh_M

AL_I)+vMdh2_max*NAD*MAL*OAA/KMdh_OAA_II+

vMdh1_max*NAD*NADH*OAA/(KMdh_NAD_II*KMdh_eq)+KMdh_NAD_I*vMdh2_max*NAD*MAL

*NADH*OAA/(KMdh_NAD_II*KMdh_OAA_m*KMdh_NADH_I)); vE_Mez = Mez*kMez_cat*MAL/KMez_MAL*power(1+MAL/KMez_MAL,nMez-

1)/(power(1+MAL/KMez_MAL,nMez)+LMez*power(1+AcCoA/KMez_AcCoA+cAMP/KMez_cA

MP,nMez)); vE_Pck =

Pck*kPck_cat*OAA*ATP/ADP/(KPck_OAA*ATP/ADP+OAA*ATP/ADP+KPck_ATP_i*KPck_OA

A/KPck_ADP_i+KPck_ATP_i*KPck_OAA/(KPck_PEP*KPck_ADP_i)*PEP+KPck_ATP_i*KPc

k_OAA/(KPck_PEP_i*KPck_ATP_I)*ATP/ADP*PEP+KPck_ATP_i*KPck_OAA/(KPck_ADP_i

*KPck_OAA_I)*OAA); vE_Ppc = Ppc*kPpc_cat*PEP/KPpc_PEP*power(1+PEP/KPpc_PEP,nPpc-

1)/(power(1+PEP/KPpc_PEP,nPpc)+LPpc/power(1+FBP/KPpc_FBP,nPpc)); vE_Icl = Icl*kIcl_cat*ICIT/KIcl_ICIT*power(1+ICIT/KIcl_ICIT,nIcl-

1)/(power(1+ICIT/KIcl_ICIT,nIcl)+LIcl*power(1+PEP/KIcl_PEP+GAP/KIcl_3PG+a

KG/KIcl_aKG,nIcl)); vE_Ms =

Ms*kMs_cat*GOX*AcCoA/(KMs_GOX_AcCoA*KMs_AcCoA+KMs_AcCoA*GOX+KMs_GOX*AcCoA

+GOX*AcCoA);


177

vE_AceKki =

AceK*kAceKki_cat*Icdh/KAceK_Icdh*power(1+Icdh/KAceK_Icdh,nAceK-

1)/(power(1+Icdh/KAceK_Icdh,nAceK)+LAceK*power(1+ICIT/KAceK_ICIT+GOX/KAce

K_GOX+OAA/KAceK_OAA+aKG/KAceK_aKG+PEP/KAceK_PEP+GAP/KAceK_3PG+PYR/KAceK_P

YR,nAceK)); vE_AceKph =

AceK*kAceKph_cat*IcdhP/KAceK_IcdhP*power(1+IcdhP/KAceK_IcdhP,nAceK-

1)/(power(1+IcdhP/KAceK_IcdhP,nAceK)+LAceK/power(1+OAA/KAceK_OAA+aKG/KAce

K_aKG+PEP/KAceK_PEP+GAP/KAceK_3PG+PYR/KAceK_PYR,nAceK)); vE_G6pdh =

vG6pdh_max*G6P*NADP/((G6P+KG6pdh_G6P)*(1+NADPH/KG6pdh_NADPH_g6pinh)*(KG6p

dh_NADP*(1+NADPH/KG6pdh_NADPH_nadpinh)+NADP)); vE_Pgl = vPgl_max*(sixPGL-

sixPG/KPgl_eq)/((1+H/KPgl_h1+KPgl_h2/H)*(KPgl_6PGL_m+sixPGL+KPgl_6PGL_m/K

Pgl_6PG_m*sixPG)); QEdd_pH = 1+2*power(10,pH_Edd_m-pK_Edd)/(1+power(10,pH-

pK_Edd)+power(10,2*pH_Edd_m-pH-pK_Edd)); vE_Edd = vEdd_max*QEdd_pH*(sixPG-

KDPG/KEdd_eq)/(KEdd_6PG_m+sixPG+KEdd_6PG_m*KDPG/KEdd_KDPG_m); QEda_pH = 1+2*power(10,pH_Eda_m-pK_Eda)/(1+power(10,pH-

pK_Eda)+power(10,2*pH_Eda_m-pH-pK_Eda)); vE_Eda = vEda_max*QEda_pH*(KDPG-

GAP*PYR/KEda_eq)/(KEda_KDPG_m+KDPG+KEda_KDPG_m*(PYR/KEda_PYR_m+GAP/KEda_G

AP_m+PYR*GAP/(KEda_PYR_m*KEda_GAP_m))); vE_6Pgdh =

v6Pgdh_max*sixPG*NADP/((sixPG+K6Pgdh_6PG)*(NADP+K6Pgdh_NADP*(1+NADPH/K6Pg

dh_NADPH_inh)*(1+ATP/K6Pgdh_ATP_inh))); vE_R5pi = vR5pi_max*(RU5P-R5P/KR5pi_eq); vE_Ru5p = vRu5p_max*(RU5P-X5P/KRu5p_eq); vE_TktA = vTktA_max*(R5P*X5P-S7P*GAP/KTktA_eq); vE_TktB = vTktB_max*(X5P*E4P-F6P*GAP/KTktB_eq); vE_Tal = vTal_max*(GAP*S7P-E4P*F6P/KTal_eq); vE_Cya = vCya_max*EIIAP/(EIIAP+KCya_EIIAP); vE_cAMPdegr = vcAMPdegr_max*cAMP/(cAMP+KcAMPdegr_cAMP);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %********** MODEL VARIABLES (v-dependent) OP_NADH = (vE_Gapdh+vE_Pdh+vE_akgdh+vE_Mdh)*POratio; OP_FADH2 = vE_Sdh*POratio_prime; vATP = OP_NADH + OP_FADH2 - vE_Glk - vE_Pfk + vE_Gapdh + vE_Pyk -

vE_Pps + vE_Ack - vE_Acs + vE_akgdh - vE_Pck - vE_AceKki - vE_Cya; mu = kATP*vATP; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%********** MODEL REACTIONS (mu-dependent) vgrowth = mu*X; vG_glk = mu*kexpr*((1-

Cra/(Cra+Kglk_Cra))*vglk_Cra_unbound+Cra/(Cra+Kglk_Cra)*vglk_Cra_bound); vG_pfkA = mu*kexpr*((1-

Cra/(Cra+KpfkA_Cra))*vpfkA_Cra_unbound+Cra/(Cra+KpfkA_Cra)*vpfkA_Cra_boun

d); vG_fbp = mu*kexpr*((1-

Cra/(Cra+Kfbp_Cra))*vfbp_Cra_unbound+Cra/(Cra+Kfbp_Cra)*vfbp_Cra_bound);


178

vG_fbaA = mu*kexpr*((1-

Cra/(Cra+KfbaA_Cra))*vfbaA_Cra_unbound+Cra/(Cra+KfbaA_Cra)*vfbaA_Cra_boun

d+(1-

CrpcAMP/(CrpcAMP+KfbaA_Crp))*vfbaA_Crp_unbound+CrpcAMP/(CrpcAMP+KfbaA_Crp

)*vfbaA_Crp_bound); vG_gapA = mu*kexpr*((1-

Cra/(Cra+KgapA_Cra))*vgapA_Cra_unbound+Cra/(Cra+KgapA_Cra)*vgapA_Cra_boun

d+(1-

CrpcAMP/(CrpcAMP+KgapA_Crp))*vgapA_Crp_unbound+CrpcAMP/(CrpcAMP+KgapA_Crp

)*vgapA_Crp_bound); vG_pykF = mu*kexpr*((1-

Cra/(Cra+KpykF_Cra))*vpykF_Cra_unbound+Cra/(Cra+KpykF_Cra)*vpykF_Cra_boun

d); vG_ppsA = mu*kexpr*((1-

Cra/(Cra+KppsA_Cra))*vppsA_Cra_unbound+Cra/(Cra+KppsA_Cra)*vppsA_Cra_boun

d); vG_pdh = mu*kexpr*((1-

PdhR/(PdhR+Kpdh_PdhR))*vpdh_PdhR_unbound+PdhR/(PdhR+Kpdh_PdhR)*vpdh_PdhR_

bound); vG_acs = mu*kexpr*((1-

power(CrpcAMP,nacs)/(power(CrpcAMP,nacs)+power(Kacs_Crp,nacs)))*vacs_Crp_

unbound+power(CrpcAMP,nacs)/(power(CrpcAMP,nacs)+power(Kacs_Crp,nacs))*va

cs_Crp_bound); vG_gltA = mu*kexpr*((1-

power(CrpcAMP,ngltA)/(power(CrpcAMP,ngltA)+power(KgltA_Crp,ngltA)))*vgltA

_Crp_unbound+power(CrpcAMP,ngltA)/(power(CrpcAMP,ngltA)+power(KgltA_Crp,n

gltA))*vgltA_Crp_bound); vG_icdA = mu*kexpr*((1-

Cra/(Cra+KicdA_Cra))*vicdA_Cra_unbound+Cra/(Cra+KicdA_Cra)*vicdA_Cra_boun

d); vG_sucAB = mu*kexpr*((1-

power(CrpcAMP,nsucAB)/(power(CrpcAMP,nsucAB)+power(KsucAB_Crp,nsucAB)))*v

sucAB_Crp_unbound+power(CrpcAMP,nsucAB)/(power(CrpcAMP,nsucAB)+power(Ksuc

AB_Crp,nsucAB))*vsucAB_Crp_bound); vG_sdhCDAB = mu*kexpr*((1-

power(CrpcAMP,nsdhCDAB)/(power(CrpcAMP,nsdhCDAB)+power(KsdhCDAB_Crp,nsdhC

DAB)))*vsdhCDAB_Crp_unbound+power(CrpcAMP,nsdhCDAB)/(power(CrpcAMP,nsdhCD

AB)+power(KsdhCDAB_Crp,nsdhCDAB))*vsdhCDAB_Crp_bound); vG_fumABC = mu*kexpr*((1-

power(CrpcAMP,nfumABC)/(power(CrpcAMP,nfumABC)+power(KfumABC_Crp,nfumABC)

))*vfumABC_Crp_unbound+power(CrpcAMP,nfumABC)/(power(CrpcAMP,nfumABC)+pow

er(KfumABC_Crp,nfumABC))*vfumABC_Crp_bound); vG_mdh = mu*kexpr*((1-

CrpcAMP/(CrpcAMP+Kmdh_Crp))*vmdh_Crp_unbound+CrpcAMP/(CrpcAMP+Kmdh_Crp)*v

mdh_Crp_bound); SS_Mez = alphaGLC*SS_Mez_GLC + alphaACE*SS_Mez_ACE; vG_maeB = (mu+kdegr)*SS_Mez; vG_pckA = mu*kexpr*((1-

Cra/(Cra+KpckA_Cra))*vpckA_Cra_unbound+Cra/(Cra+KpckA_Cra)*vpckA_Cra_boun

d); SS_Ppc = alphaGLC*SS_Ppc_GLC + alphaACE*SS_Ppc_ACE; vG_ppc = (mu+kdegr)*SS_Ppc; vG_aceA = mu*kexpr*( (1-Cra/(Cra+KaceBAK_Cra))*vaceBAK_Cra_unbound +

Cra/(Cra+KaceBAK_Cra)*vaceBAK_Cra_bound + (1-

CrpcAMP/(CrpcAMP+KaceBAK_Crp))*vaceBAK_Crp_unbound +

CrpcAMP/(CrpcAMP+KaceBAK_Crp)*vaceBAK_Crp_bound + ( 1-

aceBAK_DNA/KaceBAK_DNA*(1+PYR/KaceBAK_PYRprime)/(1+1/LaceBAK*(GOX/KaceBAK


179

_GOX)*(1+GOX/KaceBAK_GOX)+aceBAK_DNA/KaceBAK_DNA+PYR/KaceBAK_PYR+aceBAK_D

NA/KaceBAK_DNA*PYR/KaceBAK_PYRprime) )*kaceBAK_cat_IclR*IclRtotal ); vG_aceB = Factor_aceB*vG_aceA; vG_aceK = Factor_aceK*vG_aceA; vD_X = D*X; vD_GLCfeed = D*GLCfeed; vD_GLCex = D*GLCex; vD_GLC = mu*GLC; vD_G6P = mu*G6P; vD_F6P = mu*F6P; vD_FBP = mu*FBP; vD_GAP = mu*GAP; vD_PEP = mu*PEP; vD_PYR = mu*PYR; vD_AcCoA = mu*AcCoA; vD_AcP = mu*AcP; vD_ACEex = D*ACEex; vD_ICIT = mu*ICIT; vD_aKG = mu*aKG; vD_SUC = mu*SUC; vD_FUM = mu*FUM; vD_MAL = mu*MAL; vD_OAA = mu*OAA; vD_GOX = mu*GOX; vD_6PGL = mu*sixPGL; vD_6PG = mu*sixPG; vD_KDPG = mu*KDPG; vD_RU5P = mu*RU5P; vD_R5P = mu*R5P; vD_X5P = mu*X5P; vD_S7P = mu*S7P; vD_E4P = mu*E4P; vD_cAMP = mu*cAMP; vD_Glk = (mu+kdegr)*Glk; vD_Pfk = (mu+kdegr)*Pfk; vD_Fbp = (mu+kdegr)*Fbp; vD_Fba = (mu+kdegr)*Fba; vD_Gapdh = (mu+kdegr)*Gapdh; vD_Pyk = (mu+kdegr)*Pyk; vD_Pps = (mu+kdegr)*Pps; vD_Pdh = (mu+kdegr)*Pdh; vD_Acs = (mu+kdegr)*Acs; vD_Cs = (mu+kdegr)*Cs; vD_Icdh = (mu+kdegr)*Icdh; vD_IcdhP = (mu+kdegr)*IcdhP; vD_akgdh = (mu+kdegr)*akgdh; vD_Sdh = (mu+kdegr)*Sdh; vD_Fum = (mu+kdegr)*Fum; vD_Mdh = (mu+kdegr)*Mdh; vD_Mez = (mu+kdegr)*Mez; vD_Pck = (mu+kdegr)*Pck; vD_Ppc = (mu+kdegr)*Ppc; vD_Icl = (mu+kdegr)*Icl; vD_Ms = (mu+kdegr)*Ms; vD_AceK = (mu+kdegr)*AceK; vBM_G6P = (alphaGLC*kBM_GLC_G6P+alphaACE*kBM_ACE_G6P)*G6P; vBM_F6P = (alphaGLC*kBM_GLC_F6P+alphaACE*kBM_ACE_F6P)*F6P;


180

vBM_GAP = (alphaGLC*kBM_GLC_GAP+alphaACE*kBM_ACE_GAP)*GAP; vBM_PEP = (alphaGLC*kBM_GLC_PEP+alphaACE*kBM_ACE_PEP)*PEP; vBM_PYR = (alphaGLC*kBM_GLC_PYR+alphaACE*kBM_ACE_PYR)*PYR; vBM_AcCoA = (alphaGLC*kBM_GLC_AcCoA+alphaACE*kBM_ACE_AcCoA)*AcCoA; vBM_aKG = (alphaGLC*kBM_GLC_aKG+alphaACE*kBM_ACE_aKG)*aKG; vBM_SUC = (alphaGLC*kBM_GLC_SUC+alphaACE*kBM_ACE_SUC)*SUC; vBM_FUM = (alphaGLC*kBM_GLC_FUM+alphaACE*kBM_ACE_FUM)*FUM; vBM_OAA = (alphaGLC*kBM_GLC_OAA+alphaACE*kBM_ACE_OAA)*OAA; vBM_R5P = (alphaGLC*kBM_GLC_R5P+alphaACE*kBM_ACE_R5P)*R5P; vBM_E4P = (alphaGLC*kBM_GLC_E4P+alphaACE*kBM_ACE_E4P)*E4P;

Flux = [ vgrowth vPts1 vPts4 vPts4_medium vNonpts ... % 5 vNonpts_medium vE_Glk vE_Pgi vE_Pfk vE_Fbp ... % 10 vE_Fba vE_Gapdh vE_Pyk vE_Pps vE_Pdh ... % 15 vE_Pta vE_Ack vE_Ack_medium vE_Acs vE_Acs_medium ... % 20 vE_Cs vE_Icdh vE_akgdh vE_Sdh vE_Fum ... % 25 vE_Mdh vE_Mez vE_Pck vE_Ppc vE_Icl ... % 30 vE_Ms vE_AceKki vE_AceKph vE_G6pdh vE_Pgl ... % 35 vE_Edd vE_Eda vE_6Pgdh vE_R5pi vE_Ru5p ... % 40 vE_TktA vE_TktB vE_Tal vE_Cya vE_cAMPdegr ... % 45 vG_glk vG_pfkA vG_fbp vG_fbaA vG_gapA ... % 50 vG_pykF vG_ppsA vG_pdh vG_acs vG_gltA ... % 55 vG_icdA vG_sucAB vG_sdhCDAB vG_fumABC vG_mdh ... % 60 vG_maeB vG_pckA vG_ppc vG_aceA vG_aceB ... % 65 vG_aceK vD_X vD_GLCfeed vD_GLCex vD_GLC ... % 70 vD_G6P vD_F6P vD_FBP vD_GAP vD_PEP ... % 75 vD_PYR vD_AcCoA vD_AcP vD_ACEex vD_ICIT ... % 80 vD_aKG vD_SUC vD_FUM vD_MAL vD_OAA ... % 85 vD_GOX vD_6PGL vD_6PG vD_KDPG vD_RU5P ... % 90 vD_R5P vD_X5P vD_S7P vD_E4P vD_cAMP ... % 95 vD_Glk vD_Pfk vD_Fbp vD_Fba vD_Gapdh ... % 100 vD_Pyk vD_Pps vD_Pdh vD_Acs vD_Cs ... % 105 vD_Icdh vD_IcdhP vD_akgdh vD_Sdh vD_Fum ... % 110 vD_Mdh vD_Mez vD_Pck vD_Ppc vD_Icl ... % 115 vD_Ms vD_AceK vBM_G6P vBM_F6P vBM_GAP ... % 120 vBM_PEP vBM_PYR vBM_AcCoA vBM_aKG vBM_SUC ... % 125 vBM_FUM vBM_OAA vBM_R5P vBM_E4P alphaGLC ... % 130 alphaACE H EIIA CrpcAMP Crp ... % 135 CraFBP Cra PdhRPYR PdhR OP_NADH ... % 140 OP_FADH2 vATP mu A B ... % 145 vSdh1_max vSdh2_max vFum1_max vFum2_max vMdh1_max ... % 150 vMdh2_max QEdd_pH QEda_pH SS_Mez SS_Ppc ]; % 155

medio_ambiente.m

Este archivo .m es agregado por el autor para relacionar el modelo metabólico

de Jahan et al. (2016) con el modelo del medioambiente.

function

[xdot,m5,m6,x_acetato_ficticio]=medio_ambiente(t,x,X_cell,AcP,param) %% Comunicación con modelo Jahan et al.2016 N_cell=X_cell*x(1)/(0.98e-13);


181

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PARÁMETROS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% Propiedades del líquido en el fermentador rho_L=1000; %densidad del líquido en el fermentador [kg/m3] miu_L=1e-3; %viscosidad absoluta del líquido en el biorreactor [kg/(m.s)]

%% Dimensiones de la bacteria Escherichia coli r2=0.4e-6; %radio externo de la Escherichia coli [m] r3=0.3999875e-6; %radio hasta inicios de la membrana externa [m] r4=0.3886875e-6; %radio hasta inicios del complejo membrana celular

y periplasma de la Escherichia coli [m] r5=0.3806875e-6; %radio que delimita el citoplasma[m] %hcoli=2e-6; %longitud de la Escherichia coli [m] hcoli_equivalente=2.4e-6; %longitud equivalente de la

Escherichia coli [m] A_tm_ext=2*pi*hcoli_equivalente*r2; %Area superficial externa de la

célula [m2] A_tm_cito=2*pi*hcoli_equivalente*r5; %Area superficial interna

(citoplasma) [m2]

%% Datos de diseño del tanque

V_L=0.0012; %Volumen del líquido en el biorreactor [m^3] D_TE=(4*V_L/pi)^(1/3); %Diámeto interno del tanque [m] Da=0.06; %Diámetro del agitador [m] %H_L=D_TE; %Altura de líquido en el tanque [m]

N_agitador=100/60; %Número de revoluciones por segundo [1/s] NQ=0.72; %Número de bombeo Q=NQ*N_agitador*Da^3; %Caudal de bombeo de bombeo A_TE=(pi/4)*D_TE^2; %Área transversal del tanque de lote cuadrado

V_infinito=Q/A_TE; %Velocidad en bulto de agitador [m/s]

%% Datos para identificar R_porina_acetato_MO=param.R_porina_acetato_MO; %Resistencia a la

transferencia de masa de acetato de la Porina De_acetato_agua_PP=param.De_acetato_agua_PP; %Difusividad efectiva del

acetato en agua en el complejo periplasma-pared celular [m^2/s k_y_acetato=param.k_y_acetato; %Coeficiente local de transferencia de

masa de acetato en el citoplasma

De_glucosa_agua_PP=1.87e-11*(5.5785*X_cell^3-

7.5896*X_cell^2+4.2988*X_cell+2.135); D_glucosa_agua_MO=param.D_glucosa_agua_MO; %Difusividad de la glucosa en

agua en la membrana externa [m^2/s]

%% Datos para transferencia de masa D_acetato_agua=0.96e-9; %Difusividad del acetato en agua en la membrana

interna [m^2/s] D_acetato_agua_MI=0.96e-10;%Difusividad del acetato en agua en la

membrana interna [m^2/s] D_glucosa_agua=6.8e-10;

%m_prima=0.5688; %Pendiente m' de la línea de acetato


182

m_dos_prima=40*0.5688; %Pendiente m" de la línea de acetato

PM_cito=1e-3*20.0910; %Valor obtenido del peso molecular de

CH_1.77O_0.49N_0.24

http://bionumbers.hms.harvard.edu/bionumber.aspx?id=101800&ver=14# %PM_cito=0.7*18+0.3*24.97 (El 24.97 se obtiene de sacar el PM a la fómula

empírica) rho_cito=1880; %Valor obtenido de dividir Chassagnole entre 0.3 (fracción

de sólidos secos) x_acetato_liq=0.5688*(40*AcP/rho_cito)*PM_cito; %Obtenido de la Curva de

Distribución de Equilibrio (CDE)

PM_liq=1e-3*18; %Supuesto de que todo es agua x_acetato_ficticio=(x_acetato_liq/PM_liq*rho_L)*0.060; %Fracción molar de

acetato a kg/m^3 acetato %Para calcular el coeficiente local de ACETATO y GLUCOSA de utiliza la

ecuación de Treybal (1988, 78p) k_x_acetato=100*(D_acetato_agua/r2)*(0.43+0.532*(V_infinito*2*r2*rho_L/mi

u_L)^0.5*(miu_L/(rho_L*D_acetato_agua))^0.31);%Coeficiente local de

transferencia de masa de acetato en el medioambiente [m/s] k_x_glucosa=100*(D_glucosa_agua/r2)*(0.43+0.532*(V_infinito*2*r2*rho_L/mi

u_L)^0.5*(miu_L/(rho_L*D_glucosa_agua))^0.31);%Coeficiente local de

transferencia de masa de acetato en el medioambiente [m/s]

%%%%%%%%%%%%%%%% ECUACIONES CONSTITUTIVAS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Fluxes Líquidos Glucosa Rtot_gluc=(1/(k_x_glucosa*A_tm_ext))+(log(r2/r3)/(2*pi*hcoli_equivalente*

D_glucosa_agua_MO))... +(log(r3/r4)/(2*pi*hcoli_equivalente*De_glucosa_agua_PP)); m5=N_cell*(3600)*(1/Rtot_gluc)*x(2);%Flujo total[kg/h] Este es mi aporte

doctoral

%% Fluxes Líquidos Acetato Rtot_acet=(1/(k_x_acetato*A_tm_ext))+(1/(m_dos_prima*k_y_acetato*A_tm_cit

o))+R_porina_acetato_MO+...

(log(r2/r3)/(2*pi*hcoli_equivalente*D_acetato_agua_MI))+(log(r3/r4)/(2*pi

*hcoli_equivalente*De_acetato_agua_PP));

%Rtot_acet=param.Rtot_acet; m6=N_cell*(3600)*(1/Rtot_acet)*(x_acetato_ficticio-x(4));%Flujo

total[kg/h] Este es mi aporte doctoral

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ECUACIONES DIFERENCIALES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% xdot(1)= 0; %x(1)=VL xdot(2)= (1/x(1))*(-m5-x(2)*xdot(1)); %x(2)=C_gluc_L xdot(4)=(1/x(1))*(m6-x(4)*xdot(1)); %x(4)=C_acet_L xdot=xdot'; end

getInitialCondition.m


(2016).


183

function y0 = getInitialCondition()

y0(1) = 1.200e-02 ; % X y0(2) = 2.250e+01 ; % GLCex y0(3) = 2.845e+00 ; % GLC y0(4) = 3.479e+00 ; % G6P y0(5) = 5.684e-01 ; % F6P y0(6) = 1.503e+01 ; % FBP y0(7) = 2.182e-01 ; % GAP y0(8) = 4.028e-01 ; % PEP y0(9) = 1.765e+00 ; % PYR y0(10) = 6.117e-01 ; % AcCoA y0(11) = 1.103e+00 ; % AcP %y0(11) = 00e+00 ; % AcP y0(12) = 0.000e+00 ; % ACEex y0(13) = 1.099e-01 ; % ICIT y0(14) = 4.418e-01 ; % aKG y0(15) = 5.734e-01 ; % SUC y0(16) = 1.199e-01 ; % FUM y0(17) = 1.432e+00 ; % MAL y0(18) = 6.507e-01 ; % OAA y0(19) = 8.051e-02 ; % GOX y0(20) = 1.607e+00 ; % sixPGL y0(21) = 3.457e+00 ; % sixPG y0(22) = 1.041e+00 ; % KDPG y0(23) = 1.586e-01 ; % RU5P y0(24) = 3.979e-01 ; % R5P y0(25) = 1.878e-01 ; % X5P y0(26) = 6.627e-02 ; % S7P y0(27) = 9.702e-02 ; % E4P y0(28) = 1.963e-02 ; % cAMP y0(29) = 1.445e-02 ; % EIIAP y0(30) = 3.066e-03 ; % Glk y0(31) = 1.432e-03 ; % Pfk y0(32) = 2.966e-04 ; % Fbp y0(33) = 2.342e-02 ; % Fba y0(34) = 4.028e-02 ; % Gapdh y0(35) = 2.879e-03 ; % Pyk y0(36) = 3.863e-03 ; % Pps y0(37) = 5.300e-04 ; % Pdh y0(38) = 1.689e-04 ; % Acs y0(39) = 2.777e-03 ; % Cs y0(40) = 1.721e-01 ; % Icdh y0(41) = 1.195e-01 ; % IcdhP y0(42) = 2.612e-03 ; % akgdh y0(43) = 5.954e-02 ; % Sdh y0(44) = 2.105e-03 ; % Fum y0(45) = 7.350e-03 ; % Mdh y0(46) = 1.869e-04 ; % Mez y0(47) = 6.727e-04 ; % Pck y0(48) = 3.417e-06 ; % Ppc y0(49) = 1.204e-02 ; % Icl y0(50) = 3.618e-03 ; % Ms y0(51) = 2.865e-05 ; % AceK

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Modelado de Bioprocesos: Relaciones Matemáticas entre el ...bdigital.unal.edu.co/63099/1/78760552.2017.pdf · Modelos matemáticos para la transferencia de calor 61 2.3 Coeficientes