STUDENT: SPECIALIZARE: ANUL

2010

MODELE MATEMATICE APLICATE IN BIOLOGIE

MODELE MATEMATICE APLICATE IN BIOLOGIE

Deşi dezvoltarea biologiei nu a fost influenţatǎ în mod esenţial de dezvoltarea matematicii, în ultimele decenii este recunoscută importanţa completării studiului descriptiv al unor fenomene sau mecanisme biologice cu aspecte legate de prelucrearea şi interpretarea datelor obţinute.

Cea mai avansată formă a folosirii matematicii în biologie este biologia matematică. Ea îşi propune modelarea matematică a proceselor biologice şi studiul modelelor folosind metode specifice matematicii.

Pentru construirea şi validarea modelelor matematice se pot folosi cercetări statistice.

In acest referat voi face o scurta prezentare a catorva modele matematice din biologie. Astfel voi formula modele care descriu dinamica uneia sau a doua populatii.

I. Cel mai simplu model de crestere a unei populatii este modelul exponential.Unul dintre primii cercetatori in dinamica populatiei a fost Thomas Malthus (1766-1834), de

numele caruia este legat acest model. Ideea lui, care a dainuit peste 150 de ani, a fost ca rata de crestere este direct proportinala cu

populatia insasi. Pentru a forma acest model tinem seama de faptul ca populatia creste deoarece oamenii (indivizii) au copii. Cu cat sunt mai multi oameni (indivizi), cu atat se nasc mai multi copii. Aceasta inseamna ca numarul de copii este constant in raport cu numarul de oameni (indivizi) prezenti in populatie. Astfel, rata de crestere a populatiei este direct proportionala cu numarul indivizilor populatiei. Trebuie sa tinem cont ca exista si o rata de mortalitate a populatiei.

In aceste conditii rata de crestere a unei populatii (r) reprezinta diferenta dintre rata natalitatii (b) si rata mortalitatii (d), i.e. r = b-d > 0. In acest caz cresterea este nelimitata. Acest model este descris de urmatoarea problema Cauchy

x’ = rx; x(0) = x0; (2.1)

unde x reprezinta numarul de indivizi la un moment dat, r - rata de crestere, iar X0 - numarul initial de indivizi.

Problema (2.1) poate fi scrisa, echivalent, ca

X’ = (b - d)x; x(0) = x0 (2.2)

Pentru unele organisme, pentru care densitatea populatiei este mica, gasirea unuipartener potrivit este problematica. Atunci, o ecuatie mai realista pentru cresterea populatiei este

x’ = rx²; r > 0; x(0) = x0 (2.3)

Observatia 2.1. Modelul (2.3) nu este exponential, desi ca forma matematica pareapropiat de (2.2).

II. Modelul logistic (Verhulst). In modelele (2.2) si (2.3) populatia crestea nelimitat. In realitate, insa, cresterea populatiei

trebuie sa aiba o limita superioara. De aceea, in 1836, Pierre Verhulst a propus urmatorul model mult mai realist

1

MODELE MATEMATICE APLICATE IN BIOLOGIEX’ = rx (1 – x/K) ; x(0) = x0 (2.4)

unde x este numarul de indivizi ai populatiei, r si K sunt constante pozitive, si anume K reprezinta un plafon biologic (o capacitate (de hrana si de alte conditii necesare vietii) a mediului in care traieste acea populatie), numit capacitate portanta. Pentru acest model rata de crestere r(1-x/K) depinde de x, iar x’ este functia logistica. De aceea acest model este cunoscut si sub numele de model de crestere logistica a unei populatii.

Ca variante ale acestui model gasim

X’ = rx² (1 – x/K) ; x(0) = x0; r;K > 0 (2.5)si X’ = rx(1 - x²/K) ; x(0) = x0; r,K > 0 (2.6)

III. Modelul lui Gompertz a fost propus de Gompertz in 1825 pentru a reprezenta datele de actuariat. El este, insa, folosit cu bune rezultate si pentru modelarea cresterii unor organisme, in special vertebrate. Acest model este problema Cauchy x(0) = x0pentru ecuatia

x’ = rx ln(K/x); r > 0 (2.13)

unde x reprezinta numarul de indivizi ai populatiei, r - rata de crestere, iar K > 0 -capacitatea portanta. Pentru x = 0 campul de vectori ce defineste (2.13), i.e. functia din membrul drept al lui (2.13), nu este definita, dar poate fi prelungita pana la o functie contiuna pe x ɛ [0;∞).

IV. Modele de tip Lotka-VolterraUn sistem patratic este de tip Lotka-Volterra daca printr-o transformare afina sistemul poate fi

adus la formaX’ = x(a0 + a1x + a2y);Y’ = y(b0 + b1x + b2y) (2.15)

Parametrii aₒ si bₒ reprezinta coeficientii de crestere a numarului indivizilor din specia respectiva in absenta altor interactiuni. Parametrii aı si b2 masoara efectul populatiei unei specii asupra ratei de crestere a numarului indivizilor din acea specie.

Daca a1 > 0 (b2 > 0), atunci intre indivizii speciei exista cooperare, iar daca aı < 0 (b2 < 0) atunci intre indivizii aceleiasi speciei exista competitie. Parametrii aı si b2 masoara efectul fiecarei specii asupra ratei de crestere a celeilalte specii. Ei se numesc constante de interactiune. Pentru cazul interactiunii dintre cele doua specii, cand a2bı ǂ 0; sunt posibile patru situatii:

- cooperare (simbioza, mutualism) (a2 > 0; bı > 0); - competitie (a2 < 0; bı < 0); - prada-rapitor (daca a2 < 0; bı > 0 atunci specia y este pradatorul si specia x este prada, iar

daca a2 > 0; bı < 0 atunci specia x este pradatorul si specia y este prada).

V. Modelul lui GaussEcuatiile care descriu dinamica a doua populatii si au la baza modelul propus de Gauss se

obtin din ecuatia logistica prin adaugarea unui termen suplimentar liniar care exprima actiunea celei de a doua populatii. De obicei se foloseste o ecuatie de forma x’ = x(a-bx+cy), unde a’ si b, fiind caracteristicile modelului logistic, sunt pozitive, iar c modeleaza actiunea celeilalte populatii. Astfel, c este pozitiv (negativ) daca aceasta actiune este benefica (malefica) pentru prima populatie. Parametrii a si b din modelul lui Gauss pot avea urmatoarele valori, corespunzatoare modelului logistic, a = r, b = r/K, iar c = rp/K.

Forma generala a unui astfel de model este o problema Cauchy pentru s.e.d.o.

2

MODELE MATEMATICE APLICATE IN BIOLOGIE

X’ = x(aı – bıx + cıy);Y’ = y(a2 - b2y + c2x) (2.16)

Se observa ca sistemul (2.16) este de tip Lotka-Volterra. Adaptand notatiile la modelul logistic, modelul lui Gauss are forma

X’ = rıx(1 – x/Kı + pı2y/Kı);Y’ = r2y(1 – y/K2 + p2ıx/K2); (2.17)

unde pı2; p2ı sunt parametri care descriu tipul relatiei ce se stabileste intre doua populatii, si anume: pentru cazul competitiei pı2 si p2ı sunt negative, pentru simbioza pı2 si p2ı sunt pozitive, pentru interactiuni de tip prada-rapitor pı2 este negativ si p2ı este pozitiv, unde x reprezinta populatia prada iar y populatia rapitoare.

Dupa o reparametrizare si o rescalare a timpului si a functiilor necunoscute uı=x/Kı; u2 = y/K2; τ = rıt; ρ= r2/rı; qı2 = pı2K2/Kı; q2ı = p2ıKı/K2; sistemul (2.17) se reduce la un sistem cu trei parametri de forma

u'1 = uı(1 - uı + qı2u2);y’ = u’2 (1 - u2 + q2ıuı) (2.18)

In cazul populatiilor aflate in relatie de competittie, in literatura de specialitate, sistemul (2.16) apare in mai multe forme particulare studiate sau propuse ca aplicatii, e.g.

x’ = x(a - bx - ry);y’ = y(a - by - sx) (2.19)

cu a > 0; s ≥ r > b > 0 ,x’ = x(a - x - ay);y’ = y(b - y - bx); (2.20)

cu a, b > 0, x’ = x(1 - x - ay);y’ = y(1 - y - ax); (2.21)

cu a > 0.

3