MODELI SISTEMA U FREKVENTNOM DOMENU

• Frekventna karakteristika je odziv sistema na sinusnu funkciju zavisno o frekvenciji u stacionarnom stanju.

• Frekventna karakteristika se snima tako da se na generatoru funkcija namesti odgovarajuca amplituda (Xm) sinusoide i menja se frekvencija ulaznog signala.

• Za svaku namestenu ulaznu frekvenciju osciloskopom se snima izlazni signal, meri se amplituda (Ym) i fazni pomak (φ) izlaznog signala.

• Ako sinusoida na ulazu ima oblik

Izlazni signal ce biti oblika:

Sinusoidni ulazni i izlazni signal Vidimo da izlazna velicina ima oblik sinusoide iste frekvencije i talasastog oblika, ali razlicite amplitude i s faznim pomakom

Sistemi se ispituju samo za frekvencije koje su za njih važne. Npr. za elektromotore nisu važne visoke frekvencije, jer ih prigusuju namotaji (RL –clan),

u elektroakustici su važne samo frekvencije koje čuje čovek (16 Hz do 20 kHz).

Frekventne karakteristike se mogu odrediti: – Analitički – na osnovu poznavanja funkcije

prenosa – Eksperimentalno – na osnovu merenja: • Posmatra se stacionarno stanje • Pobuda je prostoperiodičan signal promenljive

učestanosti • Snime se promene izlaznog signala.

• Ulazne i izlazne velicine su napisane u obliku kompleksnih brojeva i dobijaju izgled:

Na osnovu toga možemo definisati frekventnu prenosnu funkciju koja predstavlja odnos ulazne i

izlazne kompleksne veličine:

– argument frekventne prenosne funkcije.

• Modul pokazuje zavisnost odnosa amplituda izlaznog i ulaznog periodičnog signala od frekvencije, na osnovu čega se dobija amplitudno- frekventna karakteristika.

• Argument daje frekventnu zavisnost pomeraja

faze, koji nastaje pri prolasku periodičnog signala kroz dinamički sistem na osnovu čega se dobija fazno-frekventna karakteristika.

Od frekventnih karakteristika razlikujemo sledeće tipove:

• amplitudno-frekventna karakteristika (promena amplitude u zavisnosti od frekvencije)

• fazno-frekventna karakteristika (fazni pomeraj u zavisnosti od frekvencije)

• amplitudno-fazno-frekventna karakteristika.

Amplitudna i fazna karakteristika odredjuju svojstva dinamičkog sistema u području frekvencije od

. Znači određuje zavisnost veličine izlaznog i ulaznog signala o frekvenciji

Fazno-frekventna karakteristika odredjuje zavisnost faznog pomaka izlaznog i ulaznog

signala o frekvenciji

Graficko prikazivanje frekventnih karakteristika dinamickog

sistema

•

Prikazivanje dinamickog sistema se prikazuju graficki zbog preglednosti i to vrlo jednostavno, dok su analiticki izrazi cesto vrlo slozeni. Zato graficke metode imaju veliku primenu.

• Prva mogućnost je da se frekventna karakteristika prikaze u obliku:

Gde su:

realni

imaginarni deo frekventne prenosene funkcije

Mogu se izračunati za svaku vrednost kružne frekvencije. Parovi vrednosti U i V za svaku pojedinačnu vrednost odredjuju po jednu tačku u kompleksnoj ravni.

Kada se te tačke spoje, dobija se kriva koja se zove hodograf vektora

Amplitudno-fazna frekventna karakteristika

Mana je sto je konstruisanje hodografa obiman posao, zahteva puno vremena, pa se cesto frekventne karakteristike sistema

prikazuju odvojenim dijagramima amplitudne i fazne frekventne karakteristike.

Logaritamska frekventna karakteristika

sistema

• Dosta izračunavanja zahteva konstruisanje dijagrama amplitudne i fazne karakteristike kao što su vrednosti U (ω) , V(ω) ili A(ω)-amplitudno frekventna karakteristika za niz vrednosti kružne frekvencije

• Iz tog razloga se frekventne karakteristike najčešće prikazuju u logaritamskom obliku gde se dobijaju logaritamske frekventne karakteristike. Definisana je sa:

Realni deo, odnosno [db] je logaritamsko-amplitudna frekventna karakteristika (označava se ) i imaginarni deo je fazno-frekventna karakteristika . 20 ( ) log eϕ ω

( ) 20 log ( )L Aω ω= ⋅

Vrednosti logaritamske amplitudno frekventne karakteristike se mere decibelima [db]. Decibel nije merna jedinica već logaritamski odnos

amplituda. (Npr. ako je odnos izlazne i ulazne amplitude 1000, znači 60 dB

Decibel je mera pojačanja i slabljenja i najčešće se

koristi u oblasti telekomunikacija. Koristi se i kao mera jačine zvuka u aukustici, dok se u automatici ta mera odnosi na amplitude ulazne i izlazne velicine

A 0,01 0,1 0,2 1 2 5 10 100 1000

L -40 -20 -14 0 6 14 20 40 60

Logaritamska amplitudno-frekventna karakteristika se grafički prikazuje da se na apscisnu osu nanosi veličina log( kao i na ordinate, ali sa vrednostima modula

Bodeov prikaz frekvencijskih karakteristika

Bodeov prikaz se sastoji od dva dijagrama: -amplitudno frekventne karakteristike -fazno frekventne karakteristike.

)ω

• Amplitudno-frekvencijska karakteristika daje dijagram amplitude u zavisnosti o frekvenciji. Amplituda se obično daje u decibelima dB, faza u stepenima, a frekventna osa je u logaritmskoj razmeri radi prikaza širokog opsega frekvencija

Logaritamske karakteristike

• Kod obe karakteristike na apscisu se nanosi frekvencija (ω) u logaritamskom obliku zbog preglednosti dijagrama, jer se često prikazuje široko frekvencijsko područje. Na Bodeovoj amplitudnoj karakteristici crta se zavisnost amplitude o frekvenciji, pa se na ordinatu nanosi logaritamski odnos izlazne i ulazne amplitude.

• Za Bodeova fazno-frekvencijska karakteristiku se na apscisu nanosi frekvencija u logaritamskom merilu a na apscisu faza-argument (u stepenima ili radijanima) u linearnom merilu. Zbog brzine i jednostavnosti, obično se Bodeovi dijagrami crtaju približno, bez računanja ili merenja tačku po tačku, a sastoji se od izlomljenih pravaca.

Frekventne karakteristike osnovnih elemenata sistema

Proporcionalni element

• Karakteristika proporcionalnog elementa je da mu je odziv na sinusoidni signal kome menjamo frekvenciju takodje sinusoidni signal bez faznog pomaka. Osim toga, izlazna amplituda Ym je konstantnog iznosa, tako da je prenosna funkcija:

( )( ) 0

A Kωϕ ω

= = °

• Pošto nema faznog pomaka (φ=0), fazna karakteristika će biti u obliku pravca koji se poklapa s apscisnom osom. Logaritamska amplitudno- frekventna karakteristika je data u obliku horizontalne prave za K, dok se logaritamska fazno- frekventna karakteristika poklapa sa faznom osom jer je φ=0.

Frekventne karakteristike proporcionalnog elementa: a) hodograf, b) logaritamske karakteristike proporcionalnog elementa , amplitudno-

frekventna i fazno-frekventna karakteristika

0K

( )jY ω

( )X ω

20lgK

0°

0dB

( )( )ϕ ω °

( )(dB)L ω

ω

ω

( ) 20lg( ) 0

L Kωϕ ω

= = °

Aperiodični elemenat

• Dinamička karakteristika, koju smo već upoznali kroz vremenske karakteristike, može biti opisana i metodom ispitivanja sinusnim signalima-prostoperiodičnim funkcijama. Prema tome, frekventna prenosna funkcija ovog elementa je:

Modul je:

Faza je:

• Realni U i imaginarni V( deo frekventne prenosne funkcije su:

Logaritamska amplitudna karakteristika proizilazi iz jednačine:

Za K=1 je:

1( )1

G jj T

ωω

=+

2 2

1( )1

( ) arctg

ATT

ωω

ϕ ω ω

= + = −

2 2 2 2

1( ) ( ) ( )1 1

TG j j X jYT T

ωω ω ωω ω

= − = ++ +

• Logaritamske karakteristike aperiodskog elementa su date izrazima:

2 2

2 2

1( ) 20lg 20lg 11

( ) arctg

L TT

T

ω ωω

ϕ ω ω

= = − + + = −

010.5

( )jY ω

( )X ω

ω = ∞

ω

( )ϕ ω( )A ω

0ω =2 21

TT

ωω+

2 2

11 Tω+

Frekventne karakteristike aperiodičnog elementa hodograf, i logaritamske karakteristike aperiodičnog elementa, amplitudno- frekventna karakteristika, i fazno- frekventna karakteristika

G=tf(1,[5 1]); w = logspace(-2,2); bode(G,w)

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Oscilatorni element

• Prenosna funkcija oscilatornog elementa je: 2 2

( ) 1( ) 0 1( ) 2 1

C sG sR s T s Ts

ζζ

= = < <+ +

Ako se zameni s sa dobije se:

2 2

1( )(1 ) 2

G jT j T

ωω ζ ω

=− +

Odgovarajuća logaritamsko- frekventna I fazno-frekventna karakteristika oscilatornog elementa je:

2 2 2 2

0 ( 1 )( ) 20log (1 ) (2 ) 20log(2 )

40 log( )

n

n

n

TL T T

T

ω ωω ω ξ ω ζ ω ω

ω ω ω

>

12 2

2( ) ( )1

TtgT

ζ ωφ ωω

−=−

Hodograf oscilatornog elementa izgleda kao na slici:

• Logaritamske amplitudno frekventne i logaritamsko fazne frekventne karakteristike su date na slici:

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Integralni element

• Prenosna funkcija integralnog elementa data je prenosnom funkcijom:

1( )G ss

=

Na osnovu oblika prenosne funkcije integralnog elementa dobije se njegova odgovarajuća frekventna prenosna funkcija:

21 1( )j

G j ej

π

ωω ω

−= =

Odgovarajuće amplitudno frekventne i logaritamsko amplitudna i fazne karakteristike su:

( ) 1( ) 90

A ω ωϕ ω

= = − °

( ) 20lg( ) 90

L ω ωϕ ω

= − = − °

Na slici su nacrtani hodograf i logaritamske amplitudno frekventne i logaritamsko fazne frekventne karakteristike :

0

( )jY ω

( )X ω

ω = ∞

ω

-20dB/dec

−90°

0dB1

0°( )( )ϕ ω °

( )(dB)L ω

ω

ω

G=tf(5,[1 0]); w = logspace(-1,1); bode(G,w)

-10

0

10

20

30

40

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

-91

-90.5

-90

-89.5

-89

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Diferencijalni element

• Prenosne funkcije diferencijalnih elemenata data je prenosnim funkcijama:

2

ln( ) 1 ln

2 1 ln

s osnovni diferencija i elementG s Ts diferencija i element prvog reda

Ts Ts diferencija i element drugog redaζ

= + + +

Hodografi datih diferencijalnih elemenata dati su na slici:

Frekventne karakteristike idealnog diferencijalnog elementa su:

( )20log ( ) 20log

arg ( )2

G j jG j G

G j

ω ωω ω

πω

= ⇒

=

=

Na slici je data logaritamska amplitudno-frekventna i logaritamsko fazno-frekventna karakteristika idealnog diferencijalnog elementa:

Logaritamska amplitudno-frekventna i logaritamsko fazno-frekventna

karakteristika diferencijalnog elementa prvog reda:

Logaritamska amplitudno-frekventna i logaritamsko fazno-frekventna karakteristika diferencijalnog elementa drugog reda:

Element čistog kašnjanja

• Prenosna funkcija elementa čistog kašnjenja je:

( )( )( )

C s sG s eR s

τ−= =

Frekventna prenosna funkcija elementa čistog kašnjenja na osnovu njegove prenosne funkcije je:

( ) 1 ( ) 0( )

( ) ( )j G j LG j e

G jωτ ω ωω

φ ω ω ωτ− = → == ⇒

= ∠ = −

Hodograf i frekventne karakteristike ovog elementa date su na slici :

0

1

( )jY ω

( )X ω0ω =ω

ω

ω0°

0

( )( )ϕ ω °

( ) 0L ω =( )(dB)L ω

Zadatak Data je prenosna funkcija otvorenog kola:

• Nacrtati logaritamsku amplitudno-frekventnu karakteristiku datog sistema:

• U funkciji prenosa otvorenog kola Ws(s) zamenjujemo s sa : s = jω

W(j) =

Dijagram slabljenja (amplitudna karakteristika):

k=[128]; z=[]; p=[0 -4 -16]'; [n,d] = zp2tf(z,p,k); bode(n,d);grid

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Data je funkcija prenosa otvorenog kola:

U prenosnoj funkciji otvorenog kola zamenimo vrednost konstante K=1 s=. prenosna funkcija tada postaje:

k=[56]; z=[-1.43]; p=[0 -20 -4 0]'; [n,d] = zp2tf(z,p,k); bode(n,d);grid

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

k=[62.5]; z=[-0.8]; p=[0 -0.1 -2 -25]'; [n,d] = zp2tf(z,p,k); bode(n,d);grid

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

k=[31.6]; z=[-1 -5]; p=[0 -2 -10 -1/3]'; [n,d] = zp2tf(z,p,k); bode(n,d);grid

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

k=[20]; z=[-10]; p=[0 -2 -50 -20]'; [n,d] = zp2tf(z,p,k); bode(n,d);grid

-200

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

s=tf('s'); G=4*(1+0.5*s)/(s*(1+2*s)*(1+0.05*s+(0.125*s)^2)); w=logspace(-1,2); bode(G,w) grid

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

g1=tf(4,1); g2=tf([0.5 1],1); g3=tf(1,[1 0]); g4=tf(1,[2 1]); g5=tf(1,[0.125^2 0.05 1]); bode(g1,'b',g2,'b',g3,'b',g4,'b',g5,'b',G,'r') grid

-100

-50

0

50

100M

agni

tude

(dB)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

0

90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

g1=tf(20,1); g2=tf([0.1 1],1); g3=tf(1,[1 0]); g4=tf(1,[0.5 1]); g5=tf(1,[0.02 1]); g6=tf(1,[0.05 1]); bode(g1,'b',g2,'b',g3,'b',g4,'b',g5,'b',g6,'b',G,'r') grid

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-180

-90

0

90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

k=[20]; z=[-10]; p=[0 -2 -50 -20]'; [n,d] = zp2tf(z,p,k); bode(n,d);grid

-200

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

• Zadatak • Konstruisati asimptotske logaritamske dijagrame amplitude i faze

sistema čije je prenosna funkcija sistema:

( 2)( ) 10

( 0.5)( 4)sW s

s s s+

= ⋅+ +

Rešenje Normalizovana prenosna funkcija u frekventnom domenu je:

( 1)2( ) 10

( 1)( 1)0.5 4

jW s

j j j

ω

ω ωω

+=

+ +

Prelomne učestanosti su: ω1=0.5rad/sec; ω2=2rad/sec ω3=4rad /sec. Asimptotski amplitudni dijagram se sastoji iz četiri pravolinijska

segmenta

• I segment: 0 ≤ ω ≤ 0.5rad / sec . Analitički izraz za amplitudu je: W j db ( ω) = 20log10 10 − 20log10 ω W( j0.1) db =A=20*log10(10)-20*log10(0.1) A = 40 db W j db ( 0.3) =A1=20*log10(10)-20*log10(0.3) A1 = 30.4576 W( j0.5) db =B=20*log10(10)-20*log10(0.5) B = 26.0206 db

• II segment: 0.5rad / sec ≤ ω ≤ 2rad / sec . Analitički izraz za amplitudu je: . W( j0.5) db =B=20*log10(10)-20*log10(0.5)-20*log10(0.5/0.5) B = • 26.0206 db W( j0.8) db =B1=20*log10(10)-20*log10(0.8)-20*log10(0.8/0.5) B1 = • 17.8558 W j db ( ) 1 =B2=20*log10(10)-20*log10(1)-20*log10(1/0.5) B2 = • 13.9794 W( j2) db =C=20*log10(10)-20*log10(2)-20*log10(2/0.5) C = • 1.9382 db •

• III segment: 2rad / sec ≤ ω ≤ 4rad / sec . Analitički izraz za amplitudu je:

W j db ( 2) =C=20*log10(10)-20*log10(2)-20*log10(2/0.5)+20*log10(2/2) C = • 1.9382 db W j db ( 4) =D=20*log10(10)-20*log10(4)-20*log10(4/0.5)+20*log10(4/2) D = • -4.0824 db

• IV segment: ω ≤ 4rad / sec . Analitički izraz za amplitudu je:

W j db ( 4) =D=20*log10(10)-20*log10(4)-20*log10(4/0.5)+20*log10(4/2)- 20*log10(4/4) D = • -4.0824 db W( j6) db =D1=20*log10(10)-20*log10(6)-20*log10(6/0.5)+20*log10(6/2)- 20*log10(6/4) D1 = • -11.1261 W( j8) db =D2=20*log10(10)-20*log10(8)-20*log10(8/0.5)+20*log10(8/2)- 20*log10(8/4) D2 = • -16.1236 W db(10) =E=20*log10(10)-20*log10(10)-20*log10(10/0.5)+20*log10(10/2) 20*log10(10/4) E = • -20 db as_amplituda=[A A1 B B1 B2 C D D1 D2 E];

• A=20*log10(10)-20*log10(0.1); • A1=20*log10(10)-20*log10(0.3); • B=20*log10(10)-20*log10(0.5); • B1=20*log10(10)-20*log10(0.8)-20*log10(0.8/0.5); • B2=20*log10(10)-20*log10(1)-20*log10(1/0.5); • C=20*log10(10)-20*log10(2)-20*log10(2/0.5); • D=20*log10(10)-20*log10(4)-20*log10(4/0.5)+20*log10(4/2); • D1=20*log10(10)-20*log10(6)-20*log10(6/0.5)+20*log10(6/2)-20*log10(6/4); • D2=20*log10(10)-20*log10(8)-20*log10(8/0.5)+20*log10(8/2)-20*log10(8/4); • E=20*log10(10)-20*log10(10)-20*log10(10/0.5)+20*log10(10/2)-20*log10(10/4); • as_amplituda=[A A1 B B1 B2 C D D1 D2 E]; • omega=[0.1 0.3 0.5 0.8 1 2 4 6 8 10]; • amplituda=20*log10(10)-20*log10(omega)-

20*log10(sqrt((omega/0.5).^2+1))+20*log10(sqrt((omega/2).^2+1))-20*log10(sqrt((omega/4).^2+1));

• faza=-90+(-atan(omega/0.5)+atan(omega/2)-atan(omega/4))*180/pi; • Kv=20*log10(10)-20*log10(omega); %Kv- je prava koja sece osu |W(jw)|db=0 u

frekvenciji w=Kv (odredjuje brzinsku konstantu) • subplot(2,1,1), semilogx(omega,amplituda); • grid; subplot(2,1,2), • semilogx(omega,faza,'b-');grid; • x=solve('20*log10(10)-20*log10(x)-20*log10(x/0.5)+20*log10(x/2)=0','x'); • disp('Presecna ucestanost pojacanja='); disp(x); • pretek_faze=(3.14/2-atan(x/0.5)+atan(x/2)-atan(x/4))*180/3.14

• >> Untitled • frekvencija amplitudaasimptota faza • 0.1000 39.8378 40.0000 -99.8796 • 0.3000 29.1945 30.4576 -116.7221 • 0.5000 23.2063 26.0206 -128.0888 • 0.8000 16.8979 17.8558 -137.5031 • 1.0000 13.7161 13.9794 -140.9061 • 2.0000 3.7161 1.9382 -147.5288 • 4.0000 -6.1909 -4.0824 -154.4400 • 6.0000 -12.2955 -11.1261 -159.9812 • 8.0000 -16.8463 -16.1236 -163.8949 • 10.0000 -20.4851 -20.0000 -166.6461

10-1

100

101

-20

0

20

40

w(rad/sec)

|W(jw

)| [d

b]

10-1

100

101

-200

-150

-100

-50

w (rad/sec)

Arg

W(jw

)[°]

Impulsni odziv sistema u zavisnosti od prirode resenja karakteristicne jednacine.

• Na slici su prikazani vremenski dijagrami impulsnog odziva sistema automatskog upravljanja za pojedine slucajeve korena karakteristicne jednacine.

• Impulsni odziv (slika a) odgovara negativnim realnim korenima, dok je na

• slici b impulsni odziv sistema sa parom konjugovano kompleksnih korena i negativnim realnim delom.

• Impulsni odziv na slici c odgovara sistemu koji osim negativnih realnih korena ima i jedan

• na slici d odziv sa parom cisto imaginarnih korena. • U oba slucaja (c i d) sistem je na granici stabilnosti. • Na slici e je prelazni proces u sistemu sa realnim

pozitivnim korenima, • na slici f je slobodan prelazni proces u sistemu sa parom

konjugovano kompleksnih korena sa pozitivnim realnim delom. U ova dva slucaja sistem je nestabilan.

• Prema tome, ispitivanje stabilnosti linearnih SAU svodi se na matematicki utvrdjivanje znaka realnog dela korena karakteristicne jednacine, a geometrijski na odredjivanje polozaja korena karakteristicne jednacine u kompleksnoj ravni u odnosu na imaginarnu osu.

Stabilnost sistema na osnovu korena karakteristične jednačine

• Na osnovu prethodno navedenog zaključuje se da će sistem biti stabilan ako poseduje sve polove u levoj poluravni kompleksne s-ravni.

• Ako poseduje bar jedan pol u koordinatnom početku i/ili par polova na imaginarnoj osi, dok se svi ostali polovi nalaze u levoj poluravno kompleksne s-ravni sistem je granično stabilan.

• Ako sistem poseduje bar jedan pol (ili par konjugovano kompleksnih polova) u desnoj poluravni kompleksne s-ravni, bez obzira na broj polova u levoj poluravni, koordinatnom početku ili imaginarnoj osi, sistem je nestabilan.

KRITERIJUMI STABILNOSTI

Za istrazivanje stabilnosti vazno je da li se vrednosti korena karakteristicne jednacine tacke nalaze na levoj ili desnoj strani poluprave s-ravni.

Za analizu stabilnosti sistema automatskog upravljanja kriterijumi mogu biti:

• algebarski (numericki) • graficki (grafoanaliticki) Algebarski kriterijumi primjenljivi su i za kvalificiranje

stabilnosti opstih linearnih sistema, ne samo sistema automatskog upravljanja.

Algebarski kriterijum stabilnosti

Algebarski kriterijum stabilnosti polaze od karakteristicne jednacine analiziranog sistema upravljanja

• Hurwitz-ov kriterijum stabilnosti Ovaj kriterijum polazi od karakteristicne jednacine sistema

zatvorenog regulacionog kruga:

• Potreban i dovoljan uslov da svi koreni karakteristicne jednacine imaju negativne realne delove, odnosno da je sistem apsolutno stabilan, jeste da svi koeficijenti karakteristicne jednacine budu veci od nule i da sve Hurwitzove determinante budu vece od nule.

• Prednosti ovog kriterijuma su te da nije potrebno poznavati resenje diferencijalne jednacine da bi se ustanovila apsolutna stabilnost, vec samo koeficijente karakteristicne jednacine.

• Nedostaci koje ovaj kriterijum ima su da mora biti poznata diferencijalna jednacina, ne moze da se odredi uticaj pojedinih elemenata na stabilnost sistema, odredjuje se samo apsolutna stabilnost, nema informacija o relativnoj stabilnosti.

• Hurwitzov kriterijum stabilnosti ekvivalentan je Routhovom kriterijumu stabilnosti.

Grafo-analiticki kriterijumi stabilnosti • Nedostatak algebarskih kriterijuma stabilnosti otklanja se

drugim metodama poput Mihajlovog i Najkvistovog kriterijuma.

• Mihajlov kriterijum stabilnosti Ovaj kriterijum polazi od karakteristicne

jednacine sistema:

Kada se u toj jednacini s zameni sa

Mozemo ga zapisati i kao karakteristican kompleksan broj koji se naziva vektor Mihajlova:

• Potreban i dovoljan uslov da sistem sa karakterističnim polinomom D (s) bude stabilan, jeste da hodograf Mihajlova, polazeći sa realne ose prođe kroz n kvadranata, naizmenično presecajući realnu i imaginarnu osu.

• Ovako formulisani stav je vrlo pogodan za

ispitivanje stabilnosti sistema u čijem karakterističnom polinomu figuriše parametar.

Da bi sistem bio stabilan potrebno je i dovoljno da se vekor Mihajlova , ne poprimajuci vrednost nula, pri promeni od nula do beskonacno obrne oko koordinatnog pocetka u svojoj ravni za ugao u pozitivnom smeru ( n je stepen karakteristicne jednacine sistema).

Hodograf vektora Mihajlova: a) stabilan sistem, b) nestabilan sistem, c) sistem na granici stabilnosti

Nyquistov kriterijum stabilnosti To je grafoanalitički kriterijum pomoću kojeg se zaključuje na apsolutnu i relativnu stabilnost zatvorenih regulacijskih sistema na temelju amplitudno-fazne frekvencijske karakteristike prenosne funkcije otvorenog regulacijskog kruga. Zasniva se na analizi frekventnog odziva.

BODEOV KRITERIJUM STABILNOSTI

MODELI SISTEMA U FREKVENTNOM DOMENUSlide Number 2Slide Number 3Slide Number 4Sistemi se ispituju samo za frekvencije koje su za njih važne. Npr. za elektromotore nisu važne visoke frekvencije, jer ih prigusuju namotaji (RL –clan), ��u elektroakustici su važne samo frekvencije koje čuje čovek (16 Hz do 20 kHz).Slide Number 6Slide Number 7Na osnovu toga možemo definisati frekventnu prenosnu funkciju koja predstavlja odnos ulazne i izlazne kompleksne veličine: Slide Number 9Slide Number 10Amplitudna i fazna karakteristika odredjuju svojstva dinamičkog sistema u području frekvencije od . �Znači određuje zavisnost veličine izlaznog i ulaznog signala o frekvenciji Fazno-frekventna karakteristika odredjuje zavisnost faznog pomaka izlaznog i ulaznog signala o frekvenciji   Graficko prikazivanje frekventnih karakteristika dinamickog sistema�Prikazivanje dinamickog sistema se prikazuju graficki zbog preglednosti i to vrlo jednostavno, dok su analiticki izrazi cesto vrlo slozeni. Zato graficke metode imaju veliku primenu. Slide Number 15Slide Number 16Mana je sto je konstruisanje hodografa obiman posao, zahteva puno vremena, pa se cesto frekventne karakteristike sistema prikazuju odvojenim dijagramima amplitudne i fazne frekventne karakteristike. Logaritamska frekventna karakteristika �sistemaSlide Number 19Slide Number 20Vrednosti logaritamske amplitudno frekventne karakteristike se mere decibelima [db]. Logaritamska amplitudno-frekventna karakteristika se grafički prikazuje da se na apscisnu osu nanosi veličina log( kao i na ordinate, ali sa vrednostima modula Slide Number 23Slide Number 24Slide Number 25Slide Number 26Slide Number 27Proporcionalni elementSlide Number 29Frekventne karakteristike proporcionalnog elementa: a) hodograf, b) logaritamske karakteristike proporcionalnog elementa , amplitudno- frekventna i fazno-frekventna karakteristikaAperiodični elemenat�Slide Number 32Slide Number 33Slide Number 34Oscilatorni element �Hodograf oscilatornog elementa izgleda kao na slici: �Slide Number 37Integralni element�Na slici su nacrtani hodograf i logaritamske amplitudno frekventne i logaritamsko fazne frekventne karakteristike :�Slide Number 40Diferencijalni element�Frekventne karakteristike idealnog diferencijalnog elementa su:��Logaritamska amplitudno-frekventna i logaritamsko fazno-frekventna karakteristika diferencijalnog elementa prvog reda:�Element čistog kašnjanja�Zadatak�Data je prenosna funkcija otvorenog kola: Slide Number 46Data je funkcija prenosa otvorenog kola:�Slide Number 48Slide Number 49Slide Number 50Slide Number 51Slide Number 52Slide Number 53Slide Number 54Slide Number 55Slide Number 56Slide Number 57Slide Number 58Slide Number 59Slide Number 60Slide Number 61Slide Number 62Slide Number 63Slide Number 64Slide Number 65Slide Number 66Slide Number 67Slide Number 68Slide Number 69Slide Number 70Slide Number 71Slide Number 72Slide Number 73Impulsni odziv sistema u zavisnosti od prirode resenja karakteristicne jednacine. Slide Number 75Slide Number 76Stabilnost sistema na osnovu korena karakteristične jednačineSlide Number 78Slide Number 79Slide Number 80Slide Number 81Slide Number 82Slide Number 83Slide Number 84Slide Number 85Slide Number 86Slide Number 87Slide Number 88Slide Number 89KRITERIJUMI STABILNOSTISlide Number 91Algebarski kriterijum stabilnosti� �Algebarski kriterijum stabilnosti polaze od karakteristicne jednacine analiziranog sistema upravljanja �Slide Number 93Slide Number 94Slide Number 95Slide Number 96Slide Number 97Nyquistov kriterijum stabilnosti� �To je grafoanalitički kriterijum pomoću kojeg se zaključuje na apsolutnu i relativnu stabilnost zatvorenih regulacijskih sistema na temelju amplitudno-fazne frekvencijske karakteristike prenosne funkcije otvorenog regulacijskog kruga. Zasniva se na analizi frekventnog odziva.Slide Number 99Slide Number 100Slide Number 101BODEOV KRITERIJUM STABILNOSTISlide Number 103