2008.01.09.

1

Modeliranje digitalnih sistema

Razlozi upotrebe digitalnih modela

• Upotreba računara (obrada)

• Kodovanje signala

– Prenos signala na daljinu bez smetnji

• Vremenski multipleks

2008.01.09.

2

Kvantovanje signala

• Signali se predstavljaju brojnim vrednostima

• Signali se diskretizuju

– Po vremenu

– Po nivou (kvantovanje po nivou)

• Kvantovanje po vremenu vrši odabirač

– Na izlazu se pojavljuje povorka impulsa (odbiraka) u trenucima

odabiranja

– Perioda odabiranja T

• Kvantovanje po nivou vrši A/D konvertor (analogno-digitalni)

– Na izlazu se dobijaju brojne vrednosti

– Broj nivoa (kvantova) zavisi od rezolucije A/D konvertora

• 28, 210, 212, 216

Kvantovanje signala - primer

0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T

t

r(t)

2

4

6

8

10

12

0

...

r* = [ 10 13 17 18 16 12 10 7 6 2 ]

2008.01.09.

3

Odabirač

Kontinualni

signalDiskretni

signal

Odabirač

"Sempler"

r(t) r*(t)

T

,...1,0,0

),()(*

k

kTt

kTtkTrtr

0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T

t

r*(t)

0

*

*

)()()(

,...1,0),()()(

k

kTtkTrtr

kkTtkTrtr

Kolo zadrške nultog reda

• Inherentno sadrži proces odabiranja i zadršku

• Zadrška

Odabirač

r(t) r*(t)G0(s)

Zadrška

nultog reda

p(t)

T

g0(t)

0 T

1

)()()(

11)(

)()()(

*

0

0

0

sRsGsP

s

e

s

e

ssG

Tththtg

sTsT

2008.01.09.

4

Kolo zadrške nultog reda (2)

0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T

t

p(t)

kTs

k

sTkTs

k

sT

k

TskkTs

k

ekTrs

ee

s

ekTrsP

s

e

s

ekTrsP

LTkthkTthkTrtp

00

0

)1(

0

)(11

)()(

)()(

/))1(()()()(

kTs

k

sT

ekTrsR

s

esG

sRsGsP

0

*

0

*

0

)()(

1)(

)()()(

Model zadrške

Kompleksan lik

povorke odbiraka r*(t)

Teorema o odabiranju

• Ako kontinualan signal f(t) ne sadrži harmonike u području

učestanosti 0 rad/s, on se može kompletno okarakterisati

vrednostima signala merenim u trenucima međusobno udaljenim za

vreme T=0.5(2/0).

2008.01.09.

5

Primer odabiranja

• Primer signala odabiranog različitim periodama odabiranja

– Ta=0.5s

– Tb=0.25s

Računar

Program

upravljačkog

algoritma

D/A

konvertor

A/D

konvertor

Aktuator Proces

Senzor

(merenje)

Digitalni

signal

Analogni

signal

Referentni ulaz

(digitalni signal)Odziv-izlaz

(analogni signal)

Analogni

signal

Digitalni

signal

Upravljanje računarom

2008.01.09.

6

Hibridni sistem

• Sistemi sa mešovitim komponentama - "sampled-data systems"

– analognim i

– diskretnim

Digitalni

računar

Digitalno-

analogni

konvertor

Analogno

-digitalni

konvertor

Aktuator

i proces

u(kT) p(t)

r(kT)

Referentni ulazy(t)

Odziv-izlaz

m(t)m(kT)

Z-transformacija

• Povorka vremenski diskretizovanog signala i njegova Laplasova

transformacija

• Smena uvodi novu kompleksnu promenljivu z

• Z-transformacija povorke signala

0

*

0

*

)()(

)()()(

k

kTs

k

ekTrtrL

kTtkTrtr

0

*

)()(

)()()(

k

kzkTrzR

zRtrZtrZ

sTez

2008.01.09.

7

• Odrediti Z-transformaciju jediničnog odskočnog signala.

Primer - Z-transformacije

11

1)(

)()()(

0,1)(0,1)(

1

00

z

z

zzH

zzkThzHthZ

kkThtth

k

k

k

k

>> Pz=[1 0];

>> Qz=[1 -1];

>> y=dimpulse(Pz,Qz)

y =

1

1

1

1

...

Z-transformacija funkcija

• Definicioni integral

• Tablice Z-tranformacija

x(t) X(z) x(t) X(z)

(t) 1 1 - e-at

1 - e-aT z

(z - 1)

z - e-aT

(t-kT) z-k sin(t) z sin(T)

z2 - 2z cos(T) + 1

h(t) zz - 1

cos(t) z

z - cos(T)

z2 - 2z cos(T) + 1

t Tz

(z - 1)2

e-at sin(t) ze-aT sin(T)

z2 - 2z e-aT cos(T) + e-2aT

e-at z

z - e-aT e-at cos(t) z

z - e-aT cos(T)

z2 - 2z e-aT cos(T) + e-2aT

c

pTdp

ez

zpF

jtfZzF

)(

2

1)()( *

Kontura c obuhvata sve polove

funkcije F(p) u kompleksnoj p-ravni

2008.01.09.

8

Osobine Z transformacije

• Linearnost

• Pomeranje u

vremenskom domenu

• Početna i krajnja

vrednost originala

• Konvolucija originala

• Izvod kompleksnog lika

• Pomeranje kompleksnog

lika

)()()()( 2121 zbFzaFtbftafZ

1

1

)()()(

)()(

n

i

in

n

ziTfzFznTtfZ

zFznTtfZ

)()1(lim)(

)(lim)0(

1

1zFzf

zFf

z

z

n

m

mTnTfmTfZzFzF0

2121 )()()()(

dz

zdFTztftZ

)()(

aTat zeFtfeZ )(

Diskretna funkcija prenosa

• Podrazumeva se da je D/A konvertor na ulazu objekta sa funkcijom

prenosa Gp(s)

• Tada je izlaz sistema

• Izlaz posmatramo samo u diskretnim trenucima

• Diskretna funkcija prenosa

r(t)GP(s)

r*(t)

D/Ac(t)

T

T

c*(t)

R(z)G(z)

C(z)

)(1

)( sGs

esG p

sT

)()()( * sRsGsC

)()()(

)()()( ***

zRzGzC

sRsGsC

)(

)()(

zR

zCzG

2008.01.09.

9

Primer – diskretna funkcija prenosa

• Odrediti funkciju prenosa u Z-domenu za periodu odabiranja T=1s i

jedinični impulsni odziv sistema.

• Ponoviti rešenje za T=0.5s.

Odabirač

r(t) r*(t)G0(s)

Zadrška

nultog

reda

p(t)

Proces

)1s(s

1)s(pG

y(t)

T=1

)1(

1

)1(

11)()()(

)(

)(2*

ss

e

sss

esGsGsG

sR

sY sTsT

po

1

111)1()(

2 sssesG sT

))(1(

1

1)1()1()(

2

1

T

TTT

T ezz

TeeTzzze

ez

z

z

z

z

TzzzG

1T

3679.03679.1

2642.03679.0

))(1(

21)(

21

11

zz

z

ezz

ezezG

>> P=1; Q=[1 1 0]; % podrazumevano kolo zadrske na ulazu

>> T=1;

>> [A,B,C,D]=tf2ss(P,Q); [E,F]=c2d(A,B,T); [Pz,Qz]=ss2tf(E,F,C,D)

Pz =

0 0.3679 0.2642

Qz =

1.0000 -1.3679 0.3679

Primer – diskretna funkcija prenosa (2)

2008.01.09.

10

...9685.09145.07675.03679.0)(

)3679.03679.1(:)2642.03679.0()(

4321

2

zzzzzY

zzzzY

)()()()(

1)()()(

zGzRzGzY

zRttr

0

*

)()(

)()()(

k

kzkTyzY

zYtyZtyZ

>> y = dimpulse(Pz,Qz)

y =

0

0.36787944117144

0.76745584206517

0.91445178513125

0.96852857052087

0.98842230811035

0.99574080517758

0.99843312978889

0.99942358066235

0.99978794717618

0.99992199012568

0.99997130177103

0.99998944251156

0.99999611611705

0.99999857119931

0.99999947437360

0.99999980663285

0.99999992886420

0.99999997383060

0.99999999037282

0.99999999645836

Primer – diskretna funkcija prenosa (3)

Primer – diskretna funkcija prenosa (4)

))(1(

1)(

T

TTT

ezz

TeeTzzzezG

6065.06065.1

0902.01065.0)(5.0

3679.03679.1

2642.03679.0)(1

2

2

zz

zzGT

zz

zzGT

>> P=1; Q=[1 1 0]; % podrazumevano kolo zadrske na ulazu

>> [A,B,C,D]=tf2ss(P,Q); [E,F]=c2d(A,B,1); [P1,Q1]=ss2tf(E,F,C,D)

Pz =

0 0.3679 0.2642

Qz =

1.0000 -1.3679 0.3679

>> [A,B,C,D]=tf2ss(P,Q); [E,F]=c2d(A,B,0.5); [P05,Q05]=ss2tf(E,F,C,D)

P05 =

0 0.1065 0.0902

Q05 =

1.0000 -1.6065 0.6065

2008.01.09.

11

Inverzna Z-transformacija

• Kada je poznato:

• Original se može dobiti

– Razvojem u red

– Formiranjem sume percijalnih sabiraka i nalaženjem originala pomoću

tablica Z-transformacije

– Integracijom po konturi

Gde kontura u obuhvara sve polove F(z) u z-ravni

)(

)()(

zQ

zPzF

...)3()2()()0()( 321 zTfzTfzTffzF

dzzzFj

kTf k 1)(2

1)(

Algebra funkcija prenosa

G(s)

r(t)

TH(s)

c(t)m*(t)

T

G(s)r(t)

TH(s)

c(t)m(t)

e*(t)G(s)

c(t)r(t)+

- T

H(s)

)()()()()()()()()()(

)()()(***

*

zRzHzGzCsRsGsHsMsHsC

sRsGsM

)()()()()()()( * zRzGHzCsRsGsHsC

)()()(

)(1

)(

)(

)(

)()()(

)()()()()(*

*

zHzGzGH

zGH

zG

zR

zC

sEsGsC

sEsHsGsRsE

2008.01.09.

12

Diskretna funkcija prenosa sistema sa

zatvorenom povratnom spregom

E(z)G(z)

Y(z)r(t)

R(z) +

-

Y(z)

E(z)G(z)

Y(z)R(z) +

-

)(1

)(

)(

)(

zG

zG

zR

zY

G(z)Y(z)

r(t)R(z) +

-

H(z)

Y(z)

E(z)G(z)

R(z) +

-

H(z)Y(z)

)()(1

)()(

)(

)(

zHzG

zHzG

zR

zY

Diskretna funkcija prenosa sistema sa

zatvorenom povratnom spregom (2)

2008.01.09.

13

e(t) e*(t)G0(s)

Zadrška

nultog redaGp(s)

)1s(s

1

y(t)

T=1

r(t) +

-

3679.03679.1

2642.03679.0

))(1(

21)(

21

11

zz

z

ezz

ezezG

6321.0

2642.03679.0

)(1

)()(

)(

)(2

zz

z

zG

zGzW

zR

zY >> Pz=[0.3679 0.2642];

>> Qz=[1 -1.3679 0.3679];

>> [Pz1,Qz1]=cloop(Pz,Qz)

Pz1 =

0 0.3679 0.2642

Qz1 =

1.0000 -1.0000 0.6321

• Odrediti funkciju prenosa u Z-domenu za periodu odabiranja T=1s i

jedinični odskočni odziv sistema.

Primer odziva sistema

Primer odziva sistema (2)

• Jedinična odskočna pobuda

• Odziv sistema

1)()()(

z

zzRthtr

6321.0

2642.03679.0

1)()()(

2

zz

z

z

zzRzWzY

...147.14.14.13679.0)(

6321.06321.12

2642.03679.0)(

54321

23

2

zzzY

zzz

zzzY

>> y = dstep(Pz1,Qz1)

y =

0

0.36787944117144

1.00000000000000

1.39957640089373

1.39957640089373

1.14699594306608

0.89441548523843

…0 5 10 15 20 25 30 35

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

2008.01.09.

14

Time (sec.)

Am

plit

ude

Step Response

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

From: U(1)

To: Y

(1)

Primer odziva sistema (3)

• Uporedni jedinični odziv kontinulnog i diskretizovanog sistema

Analiza stabilnosti u z-ravni

• Digitalni sistem automatskog upravljanja je stabilan ako svi polovi

funkcije spregnutog prenosa leže unutar jediničnog kruga u Z-ravni.

Tz

zez

eez

T

TjsT

arg

10,

)(

2008.01.09.

15

Diferencna jednačina

• Data je diskretna funkcija prenosa

• U razvijenom obliku

• Na osnovu osobine “Pomeranje u vremenskom domenu”

n

k

k

k

m

k

k

k

zb

za

zQ

zPzHzH

zR

zC

0

0

1)(

)()(),(

)(

)(

)(...)()(...)()()(

)(...)(...)(

1

1

1

10

1

1

1

10

zCzbzCzbzRzazRzazRazC

zCzbzbzRzazaazC

n

n

m

m

n

n

m

m

R(z)G(z)

C(z)

n

i

i

m

i

i

nm

iTkTcbiTkTrakTc

k

nTkTcbTkTcbmTkTraTkTrakTrakTc

10

110

)()()(

,...1,0

)(...)()(...)()()(

Koncept stanja diskretnog sistema

• Tokom jedne periode T ulazi m(t) su konstantni

• Izlazi sistema nas intresuju samo u trenucima odabiranja t=kT

D/A

D/A

)()()(

)()()(

ttt

ttt

DmCxy

BmAxx

m1(t)

mr(t)

u1(t) u1*(t)

...

T

y1(t)

ur(t) ur*(t)

T

yr(t)

...

2008.01.09.

16

Računanje kretanja sistema

• Kako je pobuda konstantna tokom jedne periode

• Intresuje nas vrednost izlaza samo u trenutku odabiranja

• Matrice E(T) i F(T) su

TkTtkTkTdtkTkTtt

t

kT

),()()()()( mBΦxΦx

)()()()()( kTTkTTTkT mFxEx

BΦBΦBΦF

ΦE

ddTdTkTT

TT

TTTkT

kT 00

)()()()(

)()(

Primer - Računanje kretanja sistema

tttt

tttt

ssss

ssss

eeee

eeeesRLt

sR

s

s

sss

sAsIsR

DCBA

22

22

1

21

12

21

11

22

12

22

11

1

1

2

222)()(

)(

21

2

)2)(1(

1

1

23)()(

0500

1

01

23

TT

TT

Tt

Tt

Tt

Tt

T

tt

T

tt

T

TTTT

TTTT

ee

ee

ee

ee

dtee

dtee

BdttTF

eeee

eeeeTTE

2

21

21

2

0

2

21

0

0

2

0

0

2

0

2

0

22

22

)(

)2(

)()(

2

222)()(

2008.01.09.

17

Primer - Računanje kretanja sistema (2)

0

1

01

23BA

TT

TT

TTTT

TTTT

ee

eeTF

eeee

eeeeTE

2

21

21

2

22

22

)(

2

222)(

>> A=[-3 -2; 1 0]; B=[1;0];

>> [E,F]=c2d(A,B,T)

E =

0.1292 -0.4773

0.2387 0.8452

F =

0.2387

0.0774

>> T=0.5;

>> a=exp(-T); b=exp(-2*T);

>> E1=[-a+2*b -2*a+2*b; a-b 2*a-b]

E1 =

0.1292 -0.4773

0.2387 0.8452

>> F1=[a-b; 0.5-a+0.5*b]

F1 =

0.2387

0.0774