Modellek és algoritmusok

Ha találtok hibát jelezzétek és javítom

A kérdéseket én magam kreáltam, nincs kérdéssor

A jegyzet Weisz Ferenc 2014-2015 őszi féléves előadása alapján készült.

A jegyzet nem teljes, lehetnek benne hibák, felelősséget nem vállalok érte. Az egyes tételekhez,

definíciókhoz gyártott kérdések, nem a zh-n szereplő kérdések.

Észrevételeket ezen a címen várom: gyenesjozsi93@gmail.com

Készítette: Gyenes József

Lektorálta: Vindics Balázs

1

Első ZH anyaga:

1.Kérdés: Mondja ki a globális inverz függvény tételét!

1.Tétel: ( Globális inverz függvény )

Adott I⊂ nyílt intervallum és f: I -> . Tegyük fel, hogy f differenciálható és f’> 0 egész

I-n. Ekkor ∃ és differenciálható is, és ( )’ (y) =

.

2.Kérdés: Mondja ki a lokális inverz függvény tételét!

2.Tétel: ( Lokális inverz függvény )

Adott I⊂ nyílt intervallum és f: I -> . Tegyük fel, hogy ∃ a ∈ I, hogy f folytonosan

differenciálható a-ban és f’(a) > 0. Ekkor ∃ U = K(a) és V = K(f(a)) ,hogy f: U -> V bijekció és

( )’ (y) =

, ahol x ∈ V.

3.Kérdés: Mondja ki az inverz függvény tételét!

3.Tétel: ( általánosított inverz függvény tétel )

Legyen Ω ⊂

és f: Ω ->

. Tegyük fel, hogy:

i, f folytonosan differenciálható Ω-n

ii, ∃ a ∈ Ω, hogy det f’(a) ≠ 0

Ekkor ∃ U ⊂ Ω nyílt, V ⊂

nyílt, hogy a ∈ U, f(a) ∈ V, f: U -> V bijekció és

( )’ (x) = , ahol x ∈ V.

4.Kérdés: Írja le az implicit egyenlet definícióját!

4.Definíció: ( „Implicit egyenlet” )

Legyen f ∈

, és H := {(x,y) : f(x,y) = 0}. Ha ∃ U1, U2 nyílt halmazok, és φ: U1 -> U2,

hogy f (x,( φ (x)) = 0, akkor φ kielégíti az f (x,y) = 0 implicit egyenletet.

5.Kérdés: Mondja ki az implicit függvény tételét az

esetén!

5.Tétel:( Implicit függvény tétele, speciális eset )

Legyen Ω ⊂ nyílt f: Ω -> . Tegyük fel, hogy:

i, f folytonosan differenciálható Ω-n

ii, ∃ (a,b) ∈ Ω, f(a,b) =0 és ∂2 f(a,b) ≠ 0

Ekkor:

a, ∃ U1, U2 ⊂ nyílt, hogy a ∈ U1, b ∈ U2, ∃ φ: U1 -> U2 bijekció, hogy φ a =b , f ,

φ =0, x ∈ U1

b, φ folytonosan differenciálható és φ’ = ,

, , x ∈ U1

2

6.Kérdés: -

6.Definíció: (nem tudok nevet adni)

2 f(a,b) =(

∋ y -> f a,y ’ |y=b ∈

->

1 f(a,b) =(

∋ -> f ,b ’ |x=a ∈

->

7.Kérdés: Mondja ki az implicit függvény tételét !

7.Tétel:( implicit függvény tétele, általános eset )

Ω1 ⊂

, Ω2 ⊂

nyílt halmazok f: Ω1 x Ω2 ->

Tegyük fel, hogy:

i, f folytonosan differenciálható Ω1 x Ω2 – n

ii, ∃a ∈ Ω1 , b ∈ Ω2, f(a,b) =0, det 2 f(a,b) ≠ 0

Ekkor:

a, ∃ U1 ⊂ Ω1 , U2 ⊂ Ω2 nyílt halmazok . ∃ φ: U1 -> U2 bijekció, hogy φ a =b , f ,

φ =0, ∈ U1

b, φ folytonosan differenciálható és φ’ = - f , φ * f , φ , x ∈ U1

8.Kérdés: Definiálja a feltételes szélsőérték fogalmát!

8.Definíció: ( feltételes szélsőérték definíció )

U ⊂

nyílt, f, :U -> i= 1..m. H:= { x ∈

| (x)=0, i=1..m}

Feltételes lokális minimuma (maximuma) van f-nek c ∈ H pontban gi=0 feltételekre nézve, ha

Ǝ K(c), f(x) ≥ f(c) ( f(x) ≤ f(c) ) x ∈ K(c) H.

9.Kérdés: Mondja ki a feltételes szélsőérték létezésére vonatkozó szükséges feltételt

megfogalmazó tételt!

9.Tétel: (szükséges feltétel feltételes lokális szélsőértékhez)

U ⊂

nyílt f, gi: U -> , i= 1, … , m

Tegyük fel, hogy:

i, f, gi folytonosan differenciálhatóak, i=1,…,m

ii, f-nek ∃ feltételes lokális szélsőértéke c ∈ H-ban

iii, g’i (c) vektorok lineárisan függetlenek

Ekkor ∃ λ1,…, λm ∈ , hogy L’ (c) = 0 , ahol L(x) = f(x) + λ1 g1(x) +…+ λm gm(x).

3

10.Kérdés: Mondja ki a feltételes szélsőérték létezésére vonatkozó elégséges feltételt

megfogalmazó tételt!

10.Tétel: ( Elégséges feltétel feltételes lokális szélsőértékre )

Legyen U ⊂

nyílt f, gi: U -> , i= 1, … m, továbbá L(x) = f(x) + λ1 g1(x) +…+ λm gm(x)

ahol λ1,…, λm ∈ .

Tegyük fel, hogy:

i, f, gi folytonosan differenciálhatóak, i=1,…,m

ii, L’(c) = 0, c ∈ H

iii, g’i (c) vektorok lineárisan függetlenek

iv, L”(c) feltételesen pozitív definit, azaz < L”(c) * h, h > > 0 , h ∈

\{0}.

g’(c) * h=0, ahol g= (

m

) .

Ekkor f-nek ∃ feltételes lokális minimuma c-ben.

11.Kérdés: Írja le a szakaszonként folytonos differenciálhatóság definícióját!

11.Definíció: szakaszonként folytonos differenciálhatóság

α,β ⊂ korlátos zárt intervallum, ф: α,β ->

szakaszonként folytonosan

differenciálható, ha ф folytonos és Ǝ α = t0 < t1 < <tn = β , hogy ф i, i folytonosan

differenciálható, i=0, ,n-1.

.Kérdés: Definiálja az összefüggő halmazokat!

.Definíció: összefüggő halmaz

D ⊂

összefüggő halmaz, ha x,y ∈ D-re Ǝ ф: α,β -> D szakaszonként folytonosan

differenciálható függvény, hogy ф α = és ф β = y. α,β ⊂ )

3.Kérdés: Adja meg mikor tartomány a D!

3.Definíció: tartomány

D ⊂

tartomány, ha D nyílt és összefüggő.

14.Kérdés: Definiálja az elsőrendű explicit differenciálegyenlet fogalmát!

14.Definíció: (elsőrendű explicit differenciálegyenlet)

D ⊂

tartomány, f: D->

folytonos ( f:

->

) .

Az ’ t = f t, t egyenletet elsőrendű, e plicit differenciál egyenletnek röviden: DE

nevezzük, ahol : I ->

folytonosan differenciálható, I ⊂ nyílt intervallum, és

(t, x(t)) ∈ D ∈ I.

4

5.Kérdés: Definiálja a kezdeti értékadás problémáját!

5.Definíció: kezdeti érték probléma

D ⊂

tartomány, f: D->

folytonos (τ, ξ ∈ D, τ ∈ , ξ ∈ . Az ’ t = f t, t ,

τ = ξ feladatot kezdeti érték problémának KÉP nevezzük.

6.Kérdés: Mondja ki a Peano egzisztencia tételét!

6.Tétel: (Peano egzisztencia tétel

D ⊂

tartomány, f: D->

folytonos (τ, ξ ∈ D . Az ’ t = f t, t , τ = ξ kezdeti

érték problémának létezik megoldása.

7.Kérdés: Mit jelent az, hogy a kezdeti értékadás probléma globálisan egyértelműen

megoldható?

17. Definíció: KÉP globális megoldhatósága

D ⊂

tartomány, f: D->

folytonos (τ, ξ ∈ D . Az ’ t = f t, t , τ = ξ kezdeti

érték probléma globálisan, egyértelműen oldható meg, ha ф és Ψ is megoldás, ekkor

ф t = Ψ t t ∈ Dф D .

8.Kérdés: Mikor mondjuk, hogy ф̃ teljes megoldása a kezdeti értékadás problémának

8.Definíció: KÉP teljes megoldása

Ha ’ t = f t, t , τ = ξ kezdeti érték probléma globálisan, egyértelműen oldható

meg, akkor legyen ф̃ = ⋃ фф á azaz ф̃ = ⋃ ф és ф̃: = ф t , ф̃ = teljes

megoldás.

9.Kérdés: Mit jelent az, hogy a kezdeti értékadás probléma lokálisan egyértelműen

megoldható?

9.Definíció: KÉP lokálisan egyértelműen megoldható egy pontban

Az ’ t = f t, t , τ = ξ kezdeti érték probléma lokálisan egyértelműen oldható meg

a (τ, ξ ∈ D pontban, ha Ǝ K(τ, ξ ⊂ D környezet, hogy a feladatot illetve az f-et erre

leszűkítve a kezdeti értékadás probléma globálisan egyértelműen oldható meg.

20.Kérdés:A kezdeti értékadás mikor oldható meg globálisan is?

0.Tétel: globálisan egyértelműen megoldható és a lokálisan egyértelműen megoldható

kapcsolata)

Ha ’ t = f t, t , τ = ξ kezdeti érték probléma (τ, ξ ∈ D esetén lokálisan

egyértelműen oldható meg, akkor globálisan egyértelműen is megoldható.

.Kérdés: Mit jelent az, hogy a differenciálegyenlet jobb oldala a második változójában

kielégíti a Lipschitz feltételt?

.Definíció: második változóban kielégíti a Lipschitz feltételt

D ⊂

tartomány, f: D->

folytonos függvény kielégíti a második változójában a

lokális Lipschitz feltételt a (τ, ξ ∈ D pontban, ha Ǝ K(τ, ξ ⊂ D környezet és L > 0, hogy

|| f(t,u) – f(t, ̅) || L*||u- ̅|| (t,u), (t, ̅) ∈ (τ, ξ . (t ∈ ; , ̅ ∈

)

5

.Kérdés: Mondja ki a Picard-Lindelöf tételt!

.Tétel: (Picard-Lindelöf –tétel

Tegyük fel ,hogy D ⊂

tartomány. Az f: D->

folytonos függvény kielégíti a

lokális Lipschitz feltételt a τ, ξ ∈ D, akkor az

’ t = f t, t , τ = ξ kezdeti érték probléma lokálisan egyértelműen oldható meg a

(τ, ξ pontban.

3.Kérdés: Kezdeti értékadás probléma megadása integrál egyenlettel!

3.Tétel: KÉP és integrál egyenlet kapcsolata)

’ t = f t, t , τ = ξ kezdeti érték probléma ekvivalens az t = ε ∫ ,

integrál egyenlettel.

4.Kérdés: -

4.Tétel: (Picard-Lindelöf tétel feltételének teljesülése és globális megoldhatóság

kapcsolata)

Ha a Picard-Lindelöf tétel feltételei (τ, ξ ∈ D pontban teljesülnek, akkor globálisan

egyértelműen is megoldható (τ, ξ ∈ D esetén.

5.Kérdés: Fogalmazza meg folytonosan differenciálhatóság és a Lipschitz feltétel

kapcsolatát!

5.Tétel: folytonos differenciálhatóság kapcsolata a Lipschitz feltétellel

Ha f: D->

folytonosan differenciálható, akkor kielégíti a Lipschitz feltételt

(τ, ξ ∈ D-ben.

6.Kérdés: Mikor nevezünk egy differenciál egyenletet szeparábilisnek?

6.Definíció:

I1, I2 nyílt intervallum f: I1-> , g:I2-> folytonos függvények. Az ’ t =f t *g t

differenciál egyenletet szeparábilis szétválasztható differenciál egyenletnek nevezzük.

7.Kérdés: Mikor egyértelműen megoldható egy szeparábális differenciál egyenlet a

kezdeti értékadás segítségével

7.Tétel:

Ha 0 ∉ , akkor ’ = f* g szeparábilis differenciál egyenlet az τ = ξ kezdeti értékkel

globálisan egyértelműen megoldható.

8.Kérdés: Definiálja a lineáris differenciálegyenlet fogalmát!

8.Definíció: elsőrendű differenciál egyenlet lineáris

I ⊂ R nyílt intervallum f,g: I -> folytonos. Az ’ f = g differenciál egyenletet

elsőrendű lineáris differenciál egyenletnek nevezzük.

6

9.Kérdés: Mondja ki a lineáris differenciál egyenlet kezdeti értékadás problémával való

megoldásának definícióját!

9.Tétel:

Az ’ f* = g lineáris differenciál egyenlet az τ = ξ kezdeti értékadás tulajdonsággal

globálisan egyértelműen megoldható.

30.Kérdés: Mi az homogén-inhomogén megoldások közti kapcsolat?

30.Tétel:

Legyen Ψ0 az inhomogén egy megoldása. Ekkor a Ψ is megoldása Ψ = Ψ 0 + Φ, ahol Φ

megoldása a homogén.

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Második ZH anyaga

3 .Kérdés: Mondja ki a lineáris differenciál egyenlet kezdeti értékadás problémával való

megoldásának definícióját!

3 .Tétel:

Az ’ f = g, τ =ξ kezdeti értékadás probléma globálisan egyértelműen megoldható.

3 .Kérdés: Mi a lineáris differenciál egyenletrendszer definíciója?

3 .Definíció:

I ⊂ R nyílt intervallum. A: I->

korlátos és folytonos, azaz A t = , t , .. és

, , korlátos és folytonos i,j = ..n , továbbá B: I->

korlátos és folytonos. Az

’=A b differenciál egyenletrendszert lineáris differenciál egyenletrendszernek

nevezzük.

33.Kérdés: Mikor homogén és inhomogén a differenciál egyenletrendszer?

33.Definíció:

Az ’=A differenciál egyenletrendszert homogénnak nevezzük,az ’=A b b≠0)

differenciál egyenletrendszert inhomogénnak nevezzük.

34.Kérdés: Mondja ki a lineáris differenciál egyenletrendszer kezdeti értékadás

problémával való megoldásának tételét!

34.Tétel:

Az ’=A b lineáris differenciál egyenletrendszerben az x τ =ξ kezdeti értékkel

globálisan egyértelműen megoldható.

7

35.Kérdés: Mit nevezünk a lineáris differenciál egyenletrendszer teljes megoldásának?

35.Tétel:

Jelölje az ’=A homogén differenciál egyenletrendszer teljes megoldásait. Ekkor:

i, ⊂ ( I,

) = { f: I->

, f ∈ }, altér, dim =n

ii, { ,.., } ∈ lineárisan összefüggőek ∈ I: { ,.., } lineárisan

összefüggő Ǝ ∈ I: { ,.., } lineárisan összefüggő.

36.Kérdés: Mit nevezünk a differenciál egyenletrendszer alaprendszerének?

36.Definíció:

Tekintsük az ’=A differenciál egyenletrendszer. Az egy bázisát a differenciál

egyenletrendszer egy alaprendszerének nevezzük.

37.Kérdés: Mit nevezünk a lineáris differenciál egyenletrendszer alapmátri ának?

37.Definíció:

Tekintsük az ’=A differenciál egyenletrendszert. Ha ,.., egy alaprendszere, akkor

a ф= ,.., mátri ot alapmátri nak nevezzük.

38.Kérdés: Hogyan tudjuk az alapmátri segítségével felírni az összes megoldását a

lineáris differenciál egyenletnek?

38.Tétel:

Legyen ф az ’=A alapmátri a. Ekkor ={ ф*c: c ∈ }, azaz az összes megoldás

felírható ∑

alakban. ( ∈

39.Kérdés: Milyen tételt tanultunk alineáris, magasabbrandű differenciálegyenlet egy

alaprendszerének konkrét alakjáról?

39.Tétel:

Tekintsük az ’=Ax differenciál egyenletrendszert és legyen A állandó mátri . Tegyük

fel, hogy A-nak Ǝ n darab lineárisan független sajátvektora, , a hozzátartozó

sajátértékkel , , . Ekkor * , i= , ,n a differenciál egyenletrendszer

alaprendszerének nevezzük

40.Kérdés:

40.Tétel:

Jelölje az x’=Ax+b egyenlet teljes megoldásának halmazát. Legyen ∈ .

∈ = + ϕ, ahol ϕ ∈ .

4 .Kérdés: Mi az ’=A b differenciál egyenlet összes megoldása?

4 :Tétel:

i, ’=A b differenciál egyenletrendszer összes megoldás

Ψ τ =ϕ(t)* c + ϕ(t)*∫ ф s

b(s) ds

ii, Ha Ψ τ =ξ, ekkor Ψ τ =ϕ(t)* ф τ *ξ +ϕ(t)*∫ ф s

b(s) ds

8

4 .Kérdés: Definiálja az n-ed rendű differenciál egyenletet!

4 .Definíció:

D ⊂

tartomány, h:D -> folytonos. Az = , , , , )

feladatot n-ed rendű differenciál egyenletnek nevezzük.

Jelölése: = , , , ,

43.Kérdés: Mivel ekvivalens az hogy ϕ megoldása az = , , , ,

differenciál egyenletnek?

43.Tétel:

A ϕ megoldása az = , , , , differenciál egyenletnek megoldása

az ’=f (id, differenciál egyenletrendszernek.

44.Kérdés: Mikor nevezzük az = , , , , kifejezést kezdeti értékadás

problémának?

44.Definíció:

= , , , , , y τ)= , y’ τ = , , τ = feladatot kezdeti

értékadás problémának nevezzük.

45.Kérdés: Mondja ki az n-ed rendű lineáris differenciál egyenlet definícióját!

45.Definíció:

Legyen , , , b: I-> folytonos és korlátos függvény.

Ekkor + + = b egyenletet n-ed rendű, lineáris differenciál

egyenletnek nevezzük.

46.Kérdés: Mivel ekvivalens hogy ϕ kielégíti + + = b

lineáris differenciál egyenletet?

46.Tétel:

A ϕ kielégíti az + + = b lineáris differenciál egyenletet

kielégíti az ’=A ̅ lineáris differenciál egyenletrendszert.

47.Kérdés: Mikor homogén és mikor inhomogén egy differenciál egyenlet?

47.Definíció:

Homogén a differenciál egyenlet ha b=0 és inhomogén a differenciál egyenlet ha b≠0.

48.Kérdés:-

48.Tétel:

Legyen ∈ . Ekkor ∈ = + ϕ, ahol ϕ ∈ .

9

49.Kérdés: Mi a karakterisztikus polinomja a + + = 0

differenciál egyenletnek?

49.Definíció:

Az + + = 0 differenciál egyenlet karakterisztikus

polinomján a K z = + + polinomot értjük.

50.Kérdés:

50.Tétel:

Tekintsük az + + =0 differenciál egyenletet. Ekkor:

i, ⊂ ( I, ), altér, dim =n

ii,φ , φ ∈ lineárisan függetlenek

t ∈ I-re det (

) ≠ 0

Ǝ t ∈ I det (

) ≠ 0

5 .Kérdés: Mikor nevezzük a φ t = kifejezést a differenciál egyenlet

alaprendszerének?

5 .Tétel:

φ t = ∈ λ gyöke K-nak. Ha K-nak Ǝ n db különböző gyöke, , , , akkor

φ (t)= , i= , ,n a differenciál egyenlet alaprendszere.

5 .Kérdés: Mikor mondjuk, hogy a { , } a differenciál egyenlet alaprendszere?

5 .Definíció:

Ha {φ , φ } ⊂ lineárisan függetlenek, akkor ezt a differenciál egyenlet

alaprendszerének nevezzük.

53.Kérdés: Mikor alkot alaprendszert valami? vagy A homogén általános megoldása

53.Tétel:

Tegyük fel, hogy K z =

, ahol , , különbözőek és

+ = n. Ekkor φ , (t) = * , j= r i=0 -1, alaprendszert alkot.

54.Kérdés: Mondjak ki az állandók variálása tételt!

54.Tétel:

Ha c t kielégíti a ф t *c’ t = ̅(t) egyenletet, akkor (t)* φ t (t)* φ (t) ∈ .

10

55.Kérdés Mondja ki a próba függvény módszer tételét!

55.Tétel:

Legyen P,Q polinom, α ,β, , ,A,B ∈ . Ha α β*i k-szoros gyöke K-nak ha nem gyöke

akkor k=0 és b t =P t * ,( cos βt + sinβt).

Ekkor φ t = *Q(t)* (A cosβt + B sinβt) ∈ , ahol Q foka < P foka.

56.Kérdés: Mit nevezünk függvénysornak és függvénysorozatnak?

56.Definíció:

A ⊂ , : A -> , n ∈ .

i, Az ( sorozatot függvénysorozatnak nevezzük

ii, A ∑ sort függvénysornak nevezzük, ahol ez alatt a ∑ , n ∈ )

függvénysorozatot értjük.

57.Kérdés: Mi a függvénysorozat és függvénysor konvergencia halmaza?

57.Definíció:

A ⊂ , : A -> , n ∈ .

i, Az ( függvénysorozat konvergencia halmaza:KH( ):={x∈ A: ( (x)) konvergens }

ii, A ∑ függvénysor konvergencia halmaza: KH(∑ ):={x∈ A: ∑ ) konvergens}

58.Kérdés: Mi a függvénysor és függvénysorozat határértéke?

58.Definíció:

A ⊂ , : A -> , n ∈ .

i, Az ( ) pontonkénti limese: lim : KH( )-> , ⊢>lim

ii, A ∑ összeg függvénye : ∑ : KH(∑ )-> , ⊢>∑

59.Kérdés: Mikor nevezzünk egy függvénysorozatot egyenletesen konvergensnek?

59.Definíció:

A ⊂ , : A -> , n ∈ . Az ( függvénysorozat egyenletesen konvergens,

ha ε > 0: Ǝ , n,m , x∈ A: | - < ε.

60.Kérdés:Mondja ki a függvénysorozat egyenletes konvergencia tételét!

60.Tétel:

A ⊂ , : A -> , n ∈ . Az ( függvénysorozat egyenletesen konvergens

Ǝ f: A-> , > 0, Ǝ , n , x∈ A: | - < ε.

6 .Kérdés: Mit nevezünk egyenletes határ függvénynek?

6 .Tétel:

Az f: A-> függvényt ( egyenletes határ függvényének nevezzük. Jel: f.

6 .Kérdés:-

6 .Tétel:

i, f => ->f pontonként A-n,

ii, <≠

11

63.Kérdés: é ü é ó !

63.Tétel:

: A -> . Tegyük fel,hogy:

i, ∈ C(A) , n ∈

ii, ( egyenletesen konvergens

Ekkor f=lim ∈ C(A)

64.Kérdés:Mondja ki Weierstrass tételt!

64Tétel:

: A -> . Tekintsük a ∑ függvénysort és a ∑ számsort. Tegyük fel, hogy:

i, ∈ | , n ∈

ii, ∑ konvergens. Ekkor ∑ egyenlestesen konvergens

65.Kérdés: Mikor egyenletesen konvergens a ∑ ?

65.Definíció:

A ∑ egyenlestesen konvergens, ha ( ) egyenletesen konvergens, ahol =∑

66.Kérdés: Integrál függvénysorozatra

66Tétel:

:[a,b]-> , n ∈ . Tegyük fel, hogy:

i, ∈ R[a,b], n ∈

ii, ( egyenletesen konvergens. Ekkor f:=lim ∈ R a,b és ∫

=lim∫

67.Kérdés: Mondja ki a tételt az integrálható tag függvénysorokról!

67.Tétel:

:[a,b]-> , n ∈ . Tegyük fel, hogy:

i, ∈ R[a,b], n ∈

ii, ∑ egyenletesen konvergens. Ekkor f:=∑ ∈ R[a,b]

és ∫

=∑ ∫

68.Kérdés: Deriválhatóság

68.Tétel:

:(a,b)-> ,n ∈ . Tegyük fel,hogy

i, ∈ D(a,b), n ∈

ii, Ǝ ∈(a,b) : ( ( )) konvergens

iii, egyenletesen konvergens

Ekkor:

a, egyenletesen konvergens

b, f=lim ∈ D(a,b)

c, f ’=lim

12

69.Kérdés: Mondja ki a trigonometrikus sor és polinom definiciója

69.Definíció:

A ∑ cos sin polinomot trigonometrikus polinomnak nevezzük, a

∑ cos sin sort pedig trigonometrikus sornak nevezzük.

70.Kérdés:

70.Definíció:

:= {f: -> , f 2 – szerint periodikus és f∈ R[0,2 ]}

:= {f: -> , f 2 – szerint periodikus és f∈C}

7 .Kérdés: Mikor ortogonális f,g ∈

7 .Definíció:

f,g ∈ ortogonális merőleges), ha <f,g> = ∫

= 0

7 .Kérdés: Mikor ortogonális egy rendszer?

7 .Definíció:

A { φ : n ∈ } rendszer ortogonális, ha

0 : n≠m

<φ , φ >=∫ φ φ

=

≠0 : n=m

73.Kérdés: Mikor ortonormált egy rendszer?

73.Definíció:

A { φ : n ∈ } rendszer ortonormált, ha

0 : n≠m

<φ , φ >=∫ φ φ

=

1 : n=m

74.Kérdés: Mely rendszer ortogonális?

74.Tétel:

Az { ,cos ,sin ,cos ,sin , } rendszer ortogonális.

75.Kérdés: Mely rendszer ortonormált?

75.Tétel:

Az {

√ ,

√ ,

√ ,

√ ,

√ , } rendszer ortonormált.

13

76.Kérdés: Mikor teljes egy trigonometrikus rendszer -ben

76.Tétel:

A trigonometrikus rendszer teljes -ben, azaz ha h∈ és

∫ cos

=∫ sin

=0 k 0-ra akkor h 0

77.Kérdés: ∑ trigonometrikus sor konvergens akkor hogyan

számoljuk az együtthatóit?

77.Tétel:

Ha a ∑ cos sin sor egyenletesen konvergál és

f(x)= ∑ cos sin , akkor

=

∫

=

∫ cos

: k 1

=

∫ sin

: k 1

78.Kérdés: Mit nevezünk Fourier-sornak és együtthatónak?

78.Definíció:

Az f ∈ .

Az =

∫

, =

∫ cos

, =

∫ sin

( k 1)

számokat f Fourier-eggyütthatóinak nevezzük. A ∑ cos sin sort f

Fourier-sorámnak nevezzük.

79.Kérdés: Du-Bois-Reymond,Fejér tétel

79.Tétel:

Ǝ f ∈ , hgy f Fourier-sora egy pontban divergens.

80.Kérdés: Mikor egyezik meg az f a Fourier sor összegfüggvényével?

80.Tétel:

Az f ∈ Fourier-sora a ∑ . Ha a Fourier-sor egyenletesen

konvergens, akkor f(x)= ∑ cos sin .

81.Kérdés: Mikor kétszeresen differenciálható az f?

81.Definíció:

= {f: > , f – szerint periodikus és f ∈ }, azaz f kétszer folytonosan

differenciálható.

82.Kérdés:

82.Tétel:

Ha f ∈ , akkor f Fourier-sora egyenletesen konvergens és

f(x)= ∑ cos sin

14

83.Kérdés: Szakaszonkénti folytonosság definíciója

83.Definíció:

Az f szakaszonként folytonos a 0, ]-n, ha Ǝ 0= < < < = , hogy ,

folytonos, i= , ,n és Ǝ lim = 0 és Ǝ lim = 0 , ∈ 0,

84.Kérdés:

84.Tétel:

Tegyük fel hogy

i, f 2 szerint periodikus

ii, f szakaszonként folytonos a 0, ]-n

iii, egy adott x∈ [0, ]-re Ǝ f ’ 0 := lim

és Ǝ f ’ -0) := lim

Ekkor ∑ cos sin =

85.Kérdés: Bessel azonosság

85.Tétel:

Ha f ∈ , akkor min | ∑ cos sin | =

= | ∑ cos sin |

86.Kérdés: Bessel-egyenletőtlenség

86.Tétel:

Ha f ∈ , akkor

= ∫ ∑

87.Kérdés: Parseval-egynelőség

87.Tétel:

Ha f ∈ , akkor ∑ cos sin = normában, azaz

lim ∑ cos sin = 0.

Továbbá ∫ = ∑

88.Kérdés: Carleson-tétel

88.Tétel:

Ha f ∈ , akkor ∑ cos sin = majdnem minden x-re.

89.Kérdés:

89.Tétel:

Ha =

x ∈[0, ], = . Ekkor

=

∑

egyenletesen.