Modelli di Programmazione Lineare

PRTLC - Modelli

Schema delle esercitazioni

◮ Come ricavare la soluzione ottima◮ Modelli◮ Solver

◮ Come ricavare una stima dell’ottimo◮ Rilassamento continuo - generazione di colonne◮ Rilassamento Lagrangiano e surrogato

◮ Come ricavare una soluzione ammissibile◮ Euristiche greedy◮ Euristiche di ricerca locale

Flusso massimo: descrizione

Dati

◮ Un grafo orientato G = (N ,A).

◮ La capacita uij di ogni arco.

◮ Una coppia di nodi sorgente e destinazione, s, t.

Problema

Inviare la massima quantita di flusso dalla sorgente alla destinazionesenza violare le capacita degli archi

Struttura del modello matematico

◮ I dati −→ i parametri

◮ Le decisioni (quanto flusso passa su ogni arco) −→ le variabili:◮ xij ≥ 0: flusso su ogni arco◮ v ≥ 0: flusso totale da s a t

◮ L’obiettivo (inviare il massimo flusso) −→ funzione obiettivo

◮ I requisiti che una soluzione deve soddisfare (non violare la capacita)−→ i vincoli che le variabili devono soddisfare

Programmazione Lineare

Funzione obiettivo e vincoli sono funzioni lineari

Modello

Dati

◮ Insieme dei nodi

◮ insieme degli archi

◮ capacita sugli archi

Funzione obiettivo

max v

Vincolo di capacita

xij ≤ uij ∀(i , j) ∈ A

Modello

Vincolo di bilanciamento

∑

k|(i ,k)∈A

xik −∑

j|(j,i)∈A

xji =

v i = s ,

−v i = t,

0 altrimenti.

∀i ∈ N

Dominio delle variabili

xij ≥ 0 ∀(i , j) ∈ A

v ≥ 0

Flusso di costo minimo: descrizione

Dati

◮ Un grafo orientato G = (N ,A).

◮ La capacita uij , il costo cij , e il flusso minimo lij di ogni arco.

◮ Il bilancio associato ad ogni nodo i ∈ N , bi◮ bi > 0 il nodo offre del flusso alla rete (nodo sorgente)◮ bi < 0 il nodo richiede flusso dalla rete (nodo pozzo)◮ bi = 0 il nodo non richiede ne’ offre flusso (nodo di transito).

Problema

Inviare il flusso dalle sorgenti alle destinazioni a costo minimo, senzaviolare le capacita degli archi e soddisfacendo i flussi minimi su ogni arco.

Modello

Variabili e dominio

xij ≥ 0 ∀(i , j) ∈ A : flusso sull’arco (i , j) ∈ A

Funzione obiettivo

min∑

(i ,j)∈A

cijxij

Modello

Vincoli

◮ bilanciamento ai nodi:

∑

(i ,j)∈A

xij −∑

(j,i)∈A

xji = bi , ∀i ∈ N

◮ capacita degli archi:

xij ≤ uij , ∀(i , j) ∈ A

◮ limite inferiore di flusso sugli archi:

xij ≥ lij , ∀(i , j) ∈ A

Variante

Vincolo modificato

Viene modificato il vincolo sul flusso inferiore richiedendo che se l’arco(i , j) viene usato il flusso instradato sia almeno pari a lij . A differenza chenel caso precedente, pero, viene lasciata la possibilita di non usare l’arco.

Modello

Variabili e dominio

yij = 1 se sull’arco (i , j) ∈ A passa un flusso non nullo, cioe se l’arco eusato

yij ∈ {0, 1} ∀(i , j) ∈ A

Vincoli

xij ≤ uijyij , ∀(i , j) ∈ A

xij ≥ lijyij , ∀(i , j) ∈ A

Cammino minimo

Problema

Trovare, dato un grafo G = (N ,A), con costi cij sugli archi, un nodosorgente s e un nodo destinazione t, il percorso di costo minimo tra s e t.

Modello

Variabili

xij = 1 se il cammino passa per arco (i , j)

xij ∈ {0, 1} ∀(i , j) ∈ A

Funzione obiettivo

min∑

(i ,j)∈A

cijxij

Modello

Vincoli

bilanciamento ai nodi:

∑

(i ,j)∈A

xij −∑

(j,i)∈A

xji =

1 se i = s

−1 se i = t

0 altrimenti (i 6= s, t)

∀i ∈ N

Osservazione

Dominio

E necessario imporre xij ∈ {0, 1} o e sufficiente imporre xij ≥ 0?

Albero dei cammino minimi

Problema

Trovare, dato un grafo G = (N ,A), con costi cij sugli archi, e un nodosorgente s, il percorso di costo minimo tra s e tutti gli altri nodi.

Modello

Variabili

xij ≥ 0 ∀(i , j) ∈ A : numero di cammini che usano l’arco (flussosull’arco)

Funzione obiettivo

min∑

(i ,j)∈A

cijxij

Modello

Vincoli

bilanciamento ai nodi:

∑

(i ,j)∈A

xij −∑

(j,i)∈A

xji =

{

|N | − 1 se i = s

−1 altrimenti∀i ∈ N

Sottografo connesso

Problema

Dato un grafo non orientato G = (N ,E ), con costi we sui lati, trovarel’insieme dei lati che connette tutti i nodi del grafo a costo minimo.

Modello

Variabili

◮ xe ∈ {0, 1} ∀e ∈ E : xe = 1 se il lato appartiene all’albero

Funzione obiettivo

min∑

e∈E

wexe

Modello

Vincoli

connettivita:∑

e∈δ(S)

xe ≥ 1 ∀S ⊂ N : 1 ≤ |S | ≤ |N | − 1

S sottoinsieme dei nodi del grafoδ(S) insieme dei lati che hanno un estremo in S e l’altro fuori da S .

Osservazioni

Osservazioni

◮ Se we ≥ 0 ∀ e ∈ E?

◮ non ci sono cicli nella soluzione◮ la soluzione contiene |N| − 1 lati

=⇒ la soluzione e un albero

◮ Se we puo anche essere negativo e vogliamo un albero?◮ aggiungiamo il vincolo

∑

e∈E

xe = |N| − 1