Modelo dinmico 2R-P

Resolver el modelo cinemtico de posicin, velocidad y aceleracin del

manipulador de la Figura 1. Haciendo iguales sus parmetros y a cero se

obtiene un manipulador con la arquitectura mostrada en la Figura 2. Cuyos

parmetros de Denavit y Hartenverg se presentan en la tabla 1. Para este nuevo

manipulador, aplicar la formulacin de Newton-Euler y obtenga las ecuaciones que

describen el comportamiento de sus fuerzas generalizadas , y . Las masas

de los eslabones 1, 2 y 3 son , y , se localizan en los puntos , y

respectivamente, los cuales estn definidos con respecto a los marcos unidos a

los mismos eslabones mediante los siguientes vectores de posicin:

Figura 1. Robot 2R-P

Los tensores de inercia de los eslabones 1, 2 y 3 con respecto a sus

propios marcos son, respectivamente:

,

Una vez determinadas las ecuaciones de las fuerzas generalizadas del

robot, aplquelas en un programa de MATLAB para determinar las curvas de

comportamiento de las magnitudes de dichas fuerzas que se requieren para que el

punto del rgano terminal describa una ruta circular a partir del punto . Esta

ruta yace en un plano paralelo al plano - . El centro del crculo tiene

coordenadas , y , el radio del crculo es de 0.5m, la

coordenada en con respecto al marco 0 de todos los puntos del crculo

deseado es constante e igual a , mientras que las coordenadas y

estn determinadas por el ngulo

Las magnitudes de los parmetros inerciales del manipulador son:

Donde las unidades de los momentos de inercia y productos de inercia son

. Determine la capacidad mnima de par que debern tener los actuadores

de las articulaciones 1y 2 para poder recorrer la ruta deseada sin exceder sus

capacidades, cuando la ruta recorre a y .

1 0 0 0 2 90 0 0 3 90 0 0

Tabla 1. Parmetros geomtricos del robot

Figura 2. Robot 2R-P y ruta deseada

Con base en las matrices elementales, podemos sustituir los valores de la

tabla de parmetros geomtricos y obtener los valores de las matrices elementales

del robot.

Despus definimos la matriz de la herramienta y de emplazamiento

conforme a un propuesta, dichas matrices no tienen suma relevancia ya que la

tarea planificada para el robot est representada conforme al marco del eslabn 0

y la herramienta no tiene ningn desplazamiento.

Desarrollo

A continuacin se procede a resolver el modelo directo de posicin del

robot. Multiplicando las matrices elementales del robot.

Para obtener el modelo directo de posicin realizamos

Lo que es equivalente a:

Por lo que definimos que el modelo directo de posicin se compone por:

Cuando se tiene el modelo directo de posicin se procede a resolver el

modelo inverso de posicin, por lo que definimos .

Igualamos la componente con

Despejando y sustituyendo en la igualacin de con

obtenemos:

Como es de la forma:

Se resuelve de la forma:

Donde

Ahora sustituyendo r3 en la igualacin de con obtenemos:

Como es de la forma:

Se resuelve de la forma:

Donde

En la igualacin de con despejamos y obtenemos:

Con esto se encuentra el modelo inverso de velocidad y a continuacin se

procede a obtener la matriz para el robot 2R-P. Para obtener la matriz

Jacobiana bsica el primero paso es usar las matrices que describan

.

Para poder resolver la frmula.

A continuacin se describen los elementos que componen la matriz

Jacobiana bsica.

Una vez encontrados todos los elementos de la matriz Jacobiana bsica es

posible completarla.

Conviene comentar que se deriv a los componentes

y

se llego al mismo resultado, cuando se trate de un robot de 3 grados de libertad

resulta ms conveniente realizar la derivada de estos tres componentes que por el

mtodo numrico, sin embargo para robots de muchos grados de libertad la

derivada se complica demasiado y para estos casos es conveniente realizar el

procedimiento analtico.

Para conseguir el modelo directo de velocidad se deriva y se obtiene

Sabemos que:

Introduciendo esas ecuaciones en MATLAB se obtienen las velocidades

articulares. Que son a su vez el modelo inverso de velocidad.

Ahora lo que procede es obtener , en este trabajo se obtiene derivando a la

matriz Jacobiana bsica, en este caso porque la Jacobiana bsica es igual a la

Jacobiana analtica.

+

Cuando se tiene la derivada de la Jacobiana se pueden calcular el modelo

inverso de aceleracin, con la siguiente ecuacin:

De esta forma se obtienen las aceleraciones de las variables articulares. Y

ya una vez obtenido todo el modelo cinemtico se realiza la iteracin en el mtodo

Newton-Euler para encontrar el modelo en la tabla 2.

+

x

Tabla 2. Ecuaciones recursivas formulacin Newton Euler

La obtencin del modelo dinmico se realiza en MATLAB en un archivo .m

MD2RP, las ecuaciones quedan del modo siguiente:

tau3(i+1)=m3*(r3pp + e3*t2p^2 - r3*t2p^2 + e3*t1p^2*sin(t2)^2 -

r3*t1p^2*sin(t2)^2);

tau2(i+1)=Iy3*t2pp + Iz2*t2pp - e3*m3*(r3*t2pp - e3*t2pp + 2*r3p*t2p +

e3*t1p^2*cos(t2)*sin(t2) - r3*t1p^2*cos(t2)*sin(t2)) + m3*r3*(r3*t2pp -

e3*t2pp + 2*r3p*t2p + e3*t1p^2*cos(t2)*sin(t2) -

r3*t1p^2*cos(t2)*sin(t2)) + e2*m2*(- e2*cos(t2)*sin(t2)*t1p^2 + e2*t2pp)

- Ix2*t1p^2*cos(t2)*sin(t2) - Ix3*t1p^2*cos(t2)*sin(t2) +

Iy2*t1p^2*cos(t2)*sin(t2) + Iz3*t1p^2*cos(t2)*sin(t2);

tau1(i+1)=Iz1*t1pp + cos(t2)*(Iy2*(t1pp*cos(t2) - t1p*t2p*sin(t2)) +

Iz3*(t1pp*cos(t2) - t1p*t2p*sin(t2)) + Ix2*t1p*t2p*sin(t2) +

Ix3*t1p*t2p*sin(t2) - Iy3*t1p*t2p*sin(t2) - Iz2*t1p*t2p*sin(t2)) +

sin(t2)*(Ix2*(t1pp*sin(t2) + t1p*t2p*cos(t2)) + Ix3*(t1pp*sin(t2) +

t1p*t2p*cos(t2)) + e2*m2*(e2*(t1pp*sin(t2) + t1p*t2p*cos(t2)) +

e2*t1p*t2p*cos(t2)) - e3*m3*(r3*(t1pp*sin(t2) + t1p*t2p*cos(t2)) -

e3*(t1pp*sin(t2) + t1p*t2p*cos(t2)) + 2*r3p*t1p*sin(t2) -

e3*t1p*t2p*cos(t2) + r3*t1p*t2p*cos(t2)) + m3*r3*(r3*(t1pp*sin(t2) +

t1p*t2p*cos(t2)) - e3*(t1pp*sin(t2) + t1p*t2p*cos(t2)) +

2*r3p*t1p*sin(t2) - e3*t1p*t2p*cos(t2) + r3*t1p*t2p*cos(t2)) -

Iy2*t1p*t2p*cos(t2) + Iy3*t1p*t2p*cos(t2) + Iz2*t1p*t2p*cos(t2) -

Iz3*t1p*t2p*cos(t2));

Una vez encontradas las ecuaciones de las fuerzas generalizadas podemos

ver el comportamiento del manipulador para los dos casos de y

.

Para

La Figura 3. Muestra la trayectoria de la animacin realizada en MATLAB.

Figura 3. Imagen de la animacin de la trayectoria del robot

Figura 4. Posiciones articulares de los eslabones del robot T=5

La Figura 4. Muestra las posiciones articulares de los eslabones del robot,

la Figura 5. Las velocidades articulares y la Figura 6. Las aceleraciones.

Figura 5. Velocidades articulares de los eslabones del robot T=5

Figura 6. Aceleraciones de los eslabones del robot T=5

Figura 7. Grfica del comportamiento de las fuerzas generalizadas del

manipulador T=5

La fuerza generalizada del eslabn 1 est en un rango en el que su valor

mximo son 21Nm y su valor mnimo -10Nm. La fuerza generalizada del eslabn 2

est en un rango en el que su valor mximo son 18Nm y su valor mnimo -30Nm.

La fuerza generalizada del eslabn 3 est en un rango en el que su valor mximo

son 7N y su valor mnimo -7N. Por estos rangos est determinada la capacidad

mnima de par que deben tener las articulaciones.

Para

La Figura 8. Muestra la trayectoria de la animacin realizada en MATLAB.

Figura 8. Imagen de la animacin de la trayectoria del robot T=2

Figura 9. Posiciones articulares de los eslabones del robot T=2

La Figura 9. Muestra las posiciones articulares de los eslabones del robot,

la Figura 10. Las velocidades articulares y la Figura 11. Las aceleraciones.

Figura 10. Velocidades articulares de los eslabones del robot T=2

Figura 11. Aceleraciones de los eslabones del robot T=2

Figura 12. Grfica del comportamiento de las fuerzas generalizadas del

manipulador T=2

La fuerza generalizada del eslabn 1 est en un rango en el que su valor

mximo son 130Nm y su valor mnimo -62Nm. La fuerza generalizada del eslabn

2 est en un rango en el que su valor mximo son 109Nm y su valor mnimo -

126Nm. La fuerza generalizada del eslabn 3 est en un rango en el que su valor

mximo son 44N y su valor mnimo -43N. Por estos rangos est determinada la

capacidad mnima de par que deben tener las articulaciones. Como se muestra en

la Tabla 3.

Eslabn Capacidad mnima T=5 Capacidad mnima T=2

1 21Nm 130Nm

2 18Nm 126Nm

3 7N 44N

Tabla 3. Capacidad mnima de par de las articulaciones

Conclusin

Se ha alcanzado el objetivo principal de este trabajo que es obtencin de

las ecuaciones de fuerza generalizada del manipulador y para una tarea en

especfico determinar sus capacidades mnimas de par del manipulador 2RP, para

hacer el desarrollo de este trabajo se tuvo que aplicar todas las habilidades

adquiridas previamente en el curso, por lo que resulto muy interesante plasmar en

este documento los resultados de este desarrollo.

Con las ecuaciones de la formulacin de Newton-Euler se pudo presentar el

anlisis de par para una ruta deseada en una tarea que est condicionada por su

tiempo de ejecucin.

El proceso de construccin del modelo por Newton-Euler es fcil de

implementar por software, tal cual como se hizo en este documento, adems de

que es relativamente sencillo checar la inspeccin de los vectores y matrices que

se utilizan. Para robots es sencillos es posible construir de manera analtica su

modelo dinmico pero hacerlo de manera rpida o manipuladores muy complejos

se vuelve una tarea imprctica.