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SEPTIEMBRE 2013
AUTOR: Juan Manuel Saborido Bermejo.
Titulación: Ingeniería Industrial.
TUTOR: Gabriel Villa Caro.
Modelos DEA de metafrontera: un análisis temporal usando el
índice de Malmquist.
ANÁLISIS METAFRONTERA
I
Contenido
Índice de Tablas. ................................................................................................................................ IV
Índice de Figuras: ................................................................................................................................ V
Índice de Modelos. ........................................................................................................................... VI
1 Objetivo del proyecto ............................................................................................................... 1
2 Análisis por Envoltura de Datos: DEA ............................................................................... 2
2.1 Introducción. ...................................................................................................................... 2
2.2 Conceptos Necesarios. .................................................................................................... 4
2.3 Modelos Básicos DEA. .................................................................................................. 15
2.3.1 Modelos DEA con Retorno de Escala Constante. ...................................... 15
2.3.2 Modelos DEA con Retorno de Escala Variable .......................................... 22
2.3.3 Comparación entre modelos CCR y BCC. ................................................... 27
2.3.4 Modelo Aditivo. ..................................................................................................... 28
2.4 Fortalezas y limitaciones ............................................................................................. 30
3 Análisis Temporal DEA: Índice Malmquist. .................................................................. 32
4 Concepto de Metafrontera. ................................................................................................. 37
4.1 La Metafrontera:............................................................................................................. 38
4.2 Eficiencia técnica y ratios: .......................................................................................... 40
4.3 Estimación: ....................................................................................................................... 43
5 Aplicaciones de Metafrontera............................................................................................ 46
5.1 Comparación de eficiencias entre diferentes tecnologías de tratamiento
de aguas residuales urbanas. ........................................................................................................... 46
ANÁLISIS METAFRONTERA
II
5.1.1 Caso de estudio: ..................................................................................................... 46
5.1.2 Modelo: ..................................................................................................................... 48
5.1.3 Conclusión: ............................................................................................................. 49
5.2 Análisis del rendimiento de los jugadores profesionales de la Bundesliga
(primera división alemana) ............................................................................................................. 51
5.2.1 Caso de estudio: ..................................................................................................... 51
5.2.2 Modelo ...................................................................................................................... 52
5.2.3 Conclusión: ............................................................................................................. 53
5.3 Análisis de eficiencia entre pequeñas empresas franquicia. ........................ 55
5.3.1 Caso de estudio: ..................................................................................................... 55
5.3.2 Modelo: ..................................................................................................................... 56
5.3.3 Conclusión: ............................................................................................................. 56
6 Metafrontera con análisis temporal: Aplicación a la productividad agrícola.57
6.1 Datos. .................................................................................................................................. 57
6.2 Análisis y discusión de los resultados. ................................................................... 63
7 Resumen y Conclusiones. .................................................................................................... 90
8 Referencias ................................................................................................................................ 92
8.1 Bibliografía: ...................................................................................................................... 92
8.2 Direcciones webs: .......................................................................................................... 92
9 Anexos ......................................................................................................................................... 93
9.1 Año 1986. ......................................................................................................................... 93
9.2 Año 1990. ....................................................................................................................... 100
ANÁLISIS METAFRONTERA
III
9.3 Peers groups ................................................................................................................... 106
9.4 Preparación de la hoja de cálculo para el manejo EMS. .............................. 112
9.4.1 Preparar hoja de cálculo. ................................................................................ 112
9.4.2 Discrecionalidad de las salidas. .................................................................... 112
9.4.3 Preparación de restricciones con pesos. .................................................... 113
9.4.4 Carga de datos y lanzamiento del programa. ......................................... 114
9.4.5 Consejos en la opción de modelado. ........................................................... 115
9.4.6 Interpretación de los resultados ................................................................... 115
ANÁLISIS METAFRONTERA
IV
Índice de Tablas.
TABLA 1: DATOS DEL PROBLEMA ......................................................................................................... 13
TABLA 2: RECOMENDACIONES DEL MODELO. ...................................................................................... 53
TABLA 3: AGRUPACIÓN DE PAÍSES. ...................................................................................................... 57
TABLA 4: PAÍSES Y GRUPOS AL QUE PERTENECEN PARA EL ESTUDIO EXPERIMENTAL. ......................... 60
TABLA 5: EQUIVALENCIA GANADO. ..................................................................................................... 61
TABLA 6: DESCRIPCIÓN SIMPLE DE LAS VARIABLES POR GRUPOS. ....................................................... 63
TABLA 7: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 19. ........................................................................................... 66
TABLA 8: PROMEDIO DE ET Y MTR PARA GRUPO 1 EN CRS Y VRS AÑOS 86 Y 90. ................................. 67
TABLA 9: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 20. ........................................................................................... 68
TABLA 10: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 21 .......................................................................................... 69
TABLA 11: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 22 .......................................................................................... 71
TABLA 12: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 23. ......................................................................................... 72
TABLA 13: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 24. ......................................................................................... 73
TABLA 14: PROMEDIO DE ET Y MTR PARA GRUPO 2 EN CRS Y VRS AÑOS 86 Y 90. ............................... 74
TABLA 15: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 25. ......................................................................................... 75
TABLA 16: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 26. ......................................................................................... 76
TABLA 17: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 27. ......................................................................................... 78
TABLA 18: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG 28. .......................................................................................... 79
TABLA 19: PROMEDIO DE ET Y MTR PARA GRUPO 3 EN CRS Y VRS AÑOS 86 Y 90. ............................... 79
TABLA 20: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 29. ......................................................................................... 81
TABLA 21: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 30. ......................................................................................... 82
TABLA 22: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 31. ......................................................................................... 83
TABLA 23: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 32. ......................................................................................... 84
TABLA 24: PROMEDIO DE ET Y MTR PARA GRUPO 4 EN CRS Y VRS AÑOS 86 Y 90. ............................... 86
TABLA 25: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 33. ......................................................................................... 87
TABLA 26: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 34. ......................................................................................... 88
TABLA 27: ÍNDICE MALMQUIST ENVOLVENTE 86 Y 90 VRS. ................................................................. 88
TABLA 28: ÍNDICE MALMQUIST ENVOLVENTES 86 Y 90 CRS. ................................................................ 89
TABLA 29: ESTIMACIÓN DE EFICIENCIAS TÉCNICAS Y RATIO METATECNOLÓGICO CRS_86. .................. 96
TABLA 30: ESTIMACIÓN DE EFICIENCIAS TÉCNICAS Y RATIO METATECNOLÓGICO VRS_86. .................. 99
TABLA 31: ESTIMACIÓN DE EFICIENCIAS TÉCNICAS Y RATIO METATECNOLÓGICO CRS_90. ................ 102
TABLA 32: ESTIMACIÓN DE EFICIENCIAS TÉCNICAS Y RATIO METATECNOLÓGICO VRS_90. ................ 105
TABLA 33: PEERS GROUPS METAFRONTERA CÓNCAVA AÑO 1986 PARA CRS Y VRS ........................... 108
TABLA 34: PEERS GROUPS METAFRONTERA CÓNCAVA AÑO 1990 PARA CRS Y VRS ........................... 111
ANÁLISIS METAFRONTERA
V
Índice de Figuras:
FIG. 1: FUNCIÓN DISTANCIA ORIENTACIÓN DE ENTRADA Y DE SALIDA .................................................. 8
FIG. 2: TECNOLOGÍA CRS PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA ............................................................ 11
FIG. 3: TECNOLOGÍA VRS PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA ............................................................. 12
FIG. 4: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PROBLEMA ............................................................................. 13
FIG. 5: CCR PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA .................................................................................. 19
FIG. 6: CCR-INPUT PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA ....................................................................... 20
FIG. 7: CCR-OUTPUT PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA .................................................................... 21
FIG. 8: BCC PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA .................................................................................. 24
FIG. 9: BCC-INPUT PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA ....................................................................... 25
FIG. 10: BCC-INPUT CON DMU ADICIONAL ........................................................................................... 25
FIG. 11: BCC-OUTPUT PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA .................................................................. 26
FIG. 12: BCC-OUTPUT CON DMU ADICIONAL ....................................................................................... 27
FIG. 13: ENVOLVENTE BCC-CCR CON ORIENTACIÓN DE SALIDA ............................................................ 27
FIG. 14: MODELO ADITIVO CON VRS PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA. .......................................... 29
FIG. 15: ÍNDICE DE PRODUCTIVIDAD MALMQUIST BAJO CRS. .............................................................. 36
FIG. 16 METAFRONTERA CONVEXA ...................................................................................................... 38
FIG. 17 METAFRONTERA NO-CONVEXA................................................................................................ 39
FIG. 18: METAFRONTERA CONVEXA Y NO-CONVEXA. .......................................................................... 41
FIG. 19: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 1 PARA CRS_86. ................................................................... 65
FIG. 20: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 1 PARA VRS_86. ................................................................... 67
FIG. 21: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 1 PARA CRS_90 .................................................................... 69
FIG. 22: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 1 PARA VRS_90. ................................................................... 70
FIG. 23: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 2 PARA CRS_86. ................................................................... 72
FIG. 24: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 2 PARA VRS_86. ................................................................... 73
FIG. 25: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 2 PARA CRS_90. ................................................................... 75
FIG. 26: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 2 PARA VRS_90. ................................................................... 76
FIG. 27: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 3 PARA CRS_86. ................................................................... 77
FIG. 28: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 3 PARA VRS_86. ................................................................... 78
FIG. 29: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 3 PARA CRS_90. ................................................................... 80
FIG. 30: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 3 PARA VRS_90. ................................................................... 81
FIG. 31: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 4 PARA CRS_86. ................................................................... 83
FIG. 32: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 4 PARA VRS_86. ................................................................... 84
FIG. 33: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 4 PARA CRS_90. ................................................................... 86
FIG. 34: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 4 PARA VRS_90. ................................................................... 87
ANÁLISIS METAFRONTERA
VI
Índice de Modelos. MOD 1: MODELO RATIO. ..................................................................................................................... 15
MOD 2: MODELO CCR-INPUT. .............................................................................................................. 17
MOD 3: FORMA ENVOLVENTE CCR-INPUT ........................................................................................... 17
MOD 4: MODELO CCR-OUTPUT. ........................................................................................................... 20
MOD 5: FORMA ENVOLVENTE CCR-OUTPUT. ....................................................................................... 21
MOD 6: FORMA ENVOLVENTE BCC-INPUT. .......................................................................................... 23
MOD 7: FORMA ENVOLVENTE BCC-OUTPUT. ....................................................................................... 26
MOD 8: MODELO ADITIVO. .................................................................................................................. 28
MOD 9: DMU Y ENVOLVENTE EN EL PERIODO S ................................................................................... 33
MOD 10: DMU DEL PERIODO T EVALUADA BAJO LA ENVOLVENTE S .................................................... 33
MOD 11: DMU DEL PERIODO S EVALUADA BAJO LA ENVOLVENTE EN T ............................................... 34
MOD 12: DMU Y ENVOLVENTE EN EL PERIODO T ................................................................................. 34
MOD 13: MODELO METAFRONTERA ORIENTACIÓN DE SALIDA. .......................................................... 43
MOD 14: MODELO METAFRONTERA APLICACIÓN PARA LAS DEPURADORAS. ..................................... 48
MOD 15: MODELO METAFRONTERA APLICACIÓN PARA LOS JUGADORES. .......................................... 52
MOD 16: MODELO METAFRONTERA APLICADO A LAS FRANQUICIAS. ................................................. 55
ANÁLISIS METAFRONTERA OBJETIVO DEL PROYECTO
1
1 Objetivo del proyecto
La finalidad del proyecto es profundizar en el concepto de Metafrontera a través
del estudio temporal de las envolventes de producción a lo largo de un periodo de
tiempo con una herramienta denominada Índice de Malmquist.
Para ello, vamos utilizar un conjunto de datos facilitado por Organización de las
Naciones Unidas para la Alimentación y la Agricultura (FAO, 2013) y así hacer una
comparación internacional sobre la eficiencia productiva en la agricultura. La misión
del mismos no es generar un análisis exhaustivo sobre la productividad entre las
diversas naciones mundiales, sino ilustrar cómo he aplica el modelos e interpretar los
datos obtenidos.
Somos conscientes de que el juego de datos no es actual, pero reiteramos que
nuestro interés no es otro que el de desmenuzar la metodología propuesta.
En el análisis por envoltura de datos donde no se utilizan los tradicionales
métodos estocásticos sino que se hace mediante métodos no paramétricos
(benchmark), generan muchos inconvenientes a la hora de recopilar información que
aseguren la heterogeneidad de los datos entre sí.
Debida a esta dificultad, nos hemos basado en el artículo publicado por O’Donnell
et al. (2008). A diferencia de lo que propone al artículo, vamos a seleccionar dos
periodos temporales a los que se les aplicará el método de metafrontera, para a
continuación, darle un nuevo enfoque introduciendo el análisis temporal que nos
ilustre los diversos motivos de la evolución en la frontera productiva.
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
2
2 Análisis por Envoltura de Datos: DEA
2.1 Introducción.
En el año 1959, M.J. Farrell publicó en el “Journal of the Royal Statistical Society”
el artículo titulado “The measurement of productive efficiency” (Farrel M.J (1957))
donde se exponía el método de optimización de la programación matemática para
obtener una medida de eficiencia técnica entre una entrada simple y una salida.
Al cabo del tiempo, Edward-Rhodes, tras tener conocimiento de este artículo, tuvo
en mente la extensión de modelo de optimización con múltiples entradas y salidas
para obtener una medida satisfactoria de la eficiencia productiva.
Por aquellos entonces, Rhodes trabajaba en una tesis PhD. en “Carnegie Mellon
University School of Urban and Public Affairs”. Esta tesis estaba muy relacionada con
un trabajo que realizaba una consultora de Boston que había sido elegida por el
Departamento de Salud, Educación y Bienestar de los EEUU para analizar el programa:
“Program Follow Through”. Programa dirigido para la integración educativa de los
niños con desventajas (fundamentalmente negros).
En 1978 Cooper, Charnes y Rhodes, utilizando la programación lineal, publicaron
en el “European Journal of Operational Research” el artículo que oficialmente se
conoce como el origen del DEA (“Data Envelopment Analysis”), el “Measuring the
efficiency of decision making units” (Charnes, A. Cooper, W.W. and Rhodes, E. (1978))
donde se consiguió la medida de eficiencia técnica en el caso de múltiples entradas y
salidas.
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
3
El análisis por envoltura de datos (DEA) es una herramienta de gestión que cuya
popularidad se encuentra en claro momento de expansión.
DEA se usa comúnmente para evaluar la eficiencia de un número de productores.
La aproximación estadística común, está caracterizada por la media, su función de
distribución y a una comparación de productos guiándose por sus valores medios. En
cambio, DEA compara cada producto con el “mejor” de ellos (benchmark).
En la literatura DEA, nos referimos a productos como unidad de fabricación o
DMU(Decision Making Unit). Notar que DEA no es siempre la herramienta más fiable
para abordar la resolución de determinados problemas.
En DEA hay un número determinado de productores. La producción llevada a
cabo por cada “productor” (a partir de ahora DMU) depende de un grupo de agentes
entrantes (entradas o recursos) y de resultados a los que aspiramos (salidas o
productos).
El supuesto del que parte el modelo DEA es el siguiente. Sea la DMU A, capaz de
producir Y(A) con unos recursos X(A). Simultáneamente, B genera Y(B) partiendo de
X(B). Y así sucesivamente.
Las DMU’s se combinan tomando las mismas entradas y obteniendo el mismo
conjunto de salidas. No todos los productores han de existir simultáneamente, a éstos
se les denomina “DMU’s virtuales”.
La base del análisis es encontrar la “mejor” DMU. Ya sea real o virtual. Si la virtual
es capaz de generar los mismos resultados consumiendo menos recursos de entrada, o
aumenta las salidas utilizando los mismos recursos de entrada, decimos de la DMU
real es ineficiente.
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
4
DEA asume que tanto las estradas como salidas están correctamente definidas. No
nos sirve cualquier número de entradas y salidas con respecto a las DMU’s a analizar.
Por una parte si las E/S son mucho más que las DMU’s a comparar, vamos a obtener
un gran número de DMU’s en la frontera eficiente o con eficiencia 1. Por otro lado, si
tenemos un vector pequeño con E/S, las DMU’s tienden a ser comparables entre sí, por
lo que no tendremos diferenciación. En cualquier caso, lo importante es centrarse en
tener unos vectores E/S bien especificados.
En más de 30 años de vida, la literatura DEA cuenta con más de 4600 artículos,
libros, etc. Por más de 4200 autores. El DEA se maneja para gran variedad de
problemas en más de 42 países.
2.2 Conceptos Necesarios.
Antes de plantear los modelos básicos de DEA, explicaremos los conceptos
fundamentales a partir de los cuales se basan estos modelos. Debemos tener presente
que el Análisis por Envoltura de Datos se utiliza para evaluar la eficiencia relativa
entre unidades productivas que fabrican de forma similar. Por tanto, definamos que es
una “unidad productiva”.
Unidad productiva:
Cualquier organización que produzca consumiendo ciertos recursos, con la
capacidad de poder modificar tanto los recursos consumidos (entradas) como la
producción creada (salidas)
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
5
Eficiencia:
¿Cómo ser más eficiente para un nivel de recursos dado?¿Cuánto puedo reducir
el consumo para mantener la producción?¿Qué incremento puedo generar en mis
ingresos manteniendo mi consumo? Estas preguntas se responden comparándose con
otras unidades productivas. Para ello vamos a introducir el concepto de “eficiencia
relativa”.
o Eficiencia relativa:
La expresión que define al concepto es:
donde el subíndice "J" indica la unidad que se estudia, y el subíndice "max" la
unidad de máxima productividad. Se pueden distinguir varios tipos de eficiencias
relativas en función de la unidad de referencia que se utilice:
Eficiencia global: para el cálculo de esta eficiencia, se escoge como unidad
de referencia la de mayor productividad de entre las que están en estudio.
Eficiencia técnica: se utiliza cuando se elige como unidad de referencia la
de mayor productividad de entre las unidades de su tamaño.
o Eficiencia de escala: se define como el cociente entre la eficiencia global y la eficiencia técnica.
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
6
Productividad:
La producción se puede definir como el acto de transformar los recursos en
productos. Por ello, el objetivo de cualquier proceso productivo es la creación de valor
a través de esa transformación. Los dos objetivos complementarios para medir la
eficiencia en el uso de recursos para la producción a nivel de unidades productivas
son, por una parte producir tanto como sea posible, o bien usar la menor cantidad de
recursos posibles para tener un nivel de producción dado.
Esa medición de productividad a nivel de unidades productivas resulta ser una
condición necesaria a la hora de evaluar el funcionamiento de las mismas. Por lo
general, entendemos por productividad la relación que existe entre los productos y los
recursos utilizados. Tal medición nace de la cuantificación de la producción obtenida
y de los recursos utilizados en el proceso productivo
Las razones por las que preocuparse de la productividad sea de gran importancia
pueden ser las siguientes [Villa Caro, G. (2003)]:
Existe una estrecha relación productividad-rentabilidad y productividad-
funcionamiento de la unidad productiva.
Cuantificando la productividad se puede tener una base sólida en la planificación
estratégica, debido a que el seguimiento histórico de tales comportamientos
pueden revelar áreas problemáticas en las unidades de producción, como por
ejemplo cuellos de botella.
Haciendo la medición de la productividad se adquiere un conocimiento de
la dimensión a la hora de compararla con otras unidades.
Para el caso de una de una entrada y una salida, la productividad se define:
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
7
En la medida de la productividad es importante destacar la dificultad de
determinar los factores que son realmente relevantes a la hora de definir las entradas y
salidas de la unidad productiva. En algunos casos los recursos o los productos no son
fácilmente medibles y a veces ni siquiera es sencillo obtener información cuantitativa
sobre ellos.
Para el caso de varias entradas y varias salidas la expresión matemática es:
Queremos medir la producción para unos recursos dados y compararlos con otras
DMU’s.
Se define “Factor de Productividad Total” (Total Factor Productivity) como la
productividad que envuelve a todos los factores de producción.
Asumimos que en la acción de producir transformamos en productos un vector de
entradas.
{( ) }
La función de producción tiene la relación máxima posible para un conjunto de
entradas.
El vector de salida viene generado por un vector de entradas, . Las bases
generadoras de entrada y salida responden a:
( ) { } { ( ) } ( ) { } { ( ) }
y satisfaciendo la condición de conjunto cerrado y convexo.
Estos dos conjuntos nos ayudan a definir la función distancia que es la que
utilizaremos para las medidas de eficiencias:
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
8
( ) { (
) ( )}
Si al conjunto de ( ), entonces ( ) . La condición de igualdad se
cumple si y sólo si a la frontera.
Fig. 1: Función distancia orientación de entrada y de salida
Para el gráfico de orientación de entrada (dcha) el valor de la función distancia e
igual al ratio
( ) . Para la orientación de salida
(izda) el ratio es:
( ).
Por lo tanto, si denotamos como xij a la cantidad de entrada o recurso "i" utilizado
por la unidad "j", y como ykj a la cantidad de salida o resultado "k" que produce la
misma unidad, se obtiene la expresión:
∑
∑
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
9
donde los términos y son respectivamente los pesos correspondientes a cada
entrada y salida, que adimensionalizan las expresiones de entrada y salida virtuales,
"m" el número total de entradas consideradas y "s" el número de salidas de la unidad.
Una vez entendido esto, podemos definir la productividad como:
∑
∑
Pero lo interesante, no es medir la productividad sino tener algún índice que nos
permita comparar unas unidades productivas con otras similares.
Para una mejor compresión de los modelos DEA, se hace necesaria la explicación
de los siguientes conceptos: retornos de escala constante, retornos de escala variable,
orientación de entrada y orientación de salida.
Retornos de escala:
Cuando hablamos de “retorno de escala creciente o decreciente” nos referimos a
que la eficiencia está basada en función del tamaño. Por ejemplo, un manufacturero
alcanza cierta economía de escala produciendo 1000 circuitos al mismo tiempo que
otro produce 1. Producir 1000 unidades puede ser 100 veces más difícil que producir
1. Esto quiere decir que estamos ante un “retorno de escala creciente (IRS: para mayor
tamaño se necesita una mayor entrada de recursos)”.
Por otro lado, un fabricante puede encontrar 1billón de veces más difícil el
producir 1 billón de circuitos debido a un problema de tiempo de producción para
entregar el producto, de límite de capacidad, del suministro de cobre, etc. Este tipo de
producción corresponde a un “retorno de escala decreciente (DRS: para disminuir su
tamaño, necesita reducir su vector de entradas)”
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
10
La combinación de ambos, es lo que conocemos como “retorno de escala variable
(VRS)”. Si el productor puede tener entradas y salidas lineales, sin crecimiento ni
decrecimiento de eficiencia, es “retorno de escala constante (CRS)”.
El uso (CRS) está limitado y hay que fundamentar su aplicación, ya que estamos
suponiendo ante esta consideración que estamos ante unidades productivas
semejantes. Además, los problemas (CRS), por definición consideran menos DMU’s
eficientes que los (VRS).
o Retorno de escala constante (CRS):
Se denomina CRS al hecho de considerar que cualquier unidad puede alcanzar la productividad de las eficientes, independientemente de su tamaño. Por tanto la eficiencia que se calcula será la global, ya que todas las DMU’s tienen como unidades de referencia a las de mayor productividad.
Esto genera el siguiente conjunto:
{( ) }
donde es un vector con tantas componentes como DMU’s tenga el problema.
Por otra parte X e Y son respectivamente las matrices de las entradas y las salidas
observadas en las unidades del problema. Ambas matrices tienen tantas filas como
DMU’s. Para X existen tantas columnas como entradas se consideren en el problema.
De la misma manera, Y tiene tantas columnas como salidas.
Gráficamente se representa el retorno de escala constantes:
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
11
Fig. 2: Tecnología CRS para una entrada y una salida
Donde los puntos son las unidades reales observadas en el problema y el conjunto
es la zona a la derecha de la línea. El conjunto se extiende hasta el infinito. Los
puntos que pertenecen al conjunto se dice que tienen tecnologías admisibles
o Retorno de escala variable (VRS):
Se denomina VRS al hecho de considerar que algunas unidades de tamaño
diferente al de las eficientes pueden no ser capaces de conseguir la productividad de
éstas. Así pues, el estudio se realizará mediante la eficiencia técnica (referir cada DMU
a la de productividad mayor de entre las de su tamaño)
En conjunto generador de la tecnología se define:
{( ) }
La diferencia entre tecnologías VRS y CRS, recae en la condición que impone que
el vector debe sumar 1.
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
12
En la Fig. 3 se representa un ejemplo de VRS:
Fig. 3: Tecnología VRS para una entrada y una salida
La Orientación de Entrada (Input Orientation) se refiere al hecho de que una
unidad alcance la productividad de la unidad de referencia a costa de reducir la
cantidad de recursos que consume.
La Orientación de Salida (Output Orientation) hace referencia al hecho de que la
unidad de producción consiga una mayor producción manteniendo el mismo nivel de
consumo en los recursos.
A continuación, veamos un breve ejemplo que nos ayude a comprender mejor los
aspectos definidos anteriormente. Supongamos 3 bancos: A, B y C. Cada uno de ellos
con una entrada que será el número de empleados que hay en las oficinas bancarias; y
2 salidas que serán por un lado el número de préstamos concedidos y por otro el
número de cheques cobrados.
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
13
Asumimos que el problema es de retorno de escala constante (CRS).
Fig. 4: Representación gráfica del problema
En la Tabla 1 se presentan los datos numéricos del problema de estudio:
Bancos Empleados Cheques Préstamos
A 10 1000 20
B 10 400 50
C 10 200 150
Tabla 1: Datos del problema
Suponemos que la combinación convexa de los bancos es posible, por lo que la
línea 1-C-A-2 muestra las posibles soluciones virtuales que pueden formar esos dos
bancos.
Como el punto B está dentro de la zona admisible, quiere decir que una
combinación entre A y C genera un grupo de productos mayor para la misma cantidad
de recursos de B.
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
14
Esta línea (por tratarse de un problema en dos dimensiones) se conoce como
“frontera eficiente”. Dicha línea define la máxima combinación de productos que se
puede conseguir con un grupo de entradas dado.
Como B no se encuentra en dicha línea eficiente, decimos que es ineficiente. Su
eficiencia se podría determinar comparando B con una unidad virtual calculada a
partir de los bancos A y C.
V, unidad virtual, es aproximadamente el 54% de A y el 46% de C. Estos
porcentajes se determinan a partir de la regla de la palanca:
y
. Para
saber la eficiencia de B, calculamos la longitud del segmento , con lo que
~
63%.
En la Fig. 4 podemos ver cómo A y C son eficientes ya que pertenecen a la frontera
de eficiencia.
El método habitual para evaluar la eficiencia de B es usando la programación
lineal de la formulación DEA.
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
15
2.3 Modelos Básicos DEA.
El DEA es un procedimiento de programación lineal por análisis de frontera de
entradas/salidas. Para la explicación de los diferentes modelos, partiremos del modelo
más básico: el Modelo Ratio.
2.3.1 Modelos DEA con Retorno de Escala Constante.
En los modelos que se exponen en este apartado las unidades toman como DMU’s
de referencia las de mayor productividad de entre las observadas a la hora de calcular
su eficiencia relativa. A continuación se exponen tres de estos modelos: el modelo
RATIO, el modelo CCR-INPUT y el modelo CCR-OUTPUT.
2.3.1.1 Modelo Ratio:
A la hora de calcular la eficiencia de cada unidad, se tiene la libertad de elegir los
pesos que convierten la salida y la entrada agregadas en valores adimensionales. Con
la metodología DEA cada unidad escogerá los valores de los pesos que optimicen su
eficiencia, teniendo en cuenta que, una vez elegidos, serán utilizados por las restantes
unidades. Por tanto cada unidad va a comparar su eficiencia, teniendo en cuenta que
una vez elegidos, serán utilizados por las restantes unidades.
Analíticamente el modelo se expresa:
Max ∑
∑
s.a:
∑
∑
(j=1,2,…,n) (k=1,2,…s) (i=1,2,…m)
Mod 1: Modelo Ratio.
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
16
donde:
j = 1, 2, … , n subíndice para las DMU’s
i = 1, 2, … , m subíndice para las entradas
k = 1, 2, … , s subíndice para las salidas
xij cantidad de entrada i consumida por DMUj
ykj cantidad de salida k producida por DMUj
es una constante estrictamente positiva y cercana a cero.
El problema consistirá entonces en resolver tantos problemas de maximización
como DMU’s haya en el problema, en este caso decimos que contamos con n
problemas.
Habrá una elección por parte de la función objetivo de los pesos ( y ) que
hacen máxima la eficiencia denominada de la DMUJ estudiada en ese momento.
En la primera de las restricciones se hará obligatoria que ninguna DMU pueda
tener eficiencia mayor que uno, algo necesario para que la elección de los pesos sea
eficiente, evitando casos inadmisibles.
Una vez resueltos los n problemas se tendrá un conjunto de unidades que serán
consideradas eficientes, todas ellas con un valor en la función objetivo igual a 1.
Estas unidades productivas cumplirán la primera de las restricciones de este
modelo con signo de igualdad, el resto obtendrán un valor inferior a la unidad.
Como inconveniente a este modelo, se puede decir que su función objetivo es un
cociente y por tanto incurre en una no-linealidad.
Con el objetivo de solucionar esta problema, se realizará una transformación de la
función objetivo que dé como resultado otros modelos, todos ellos lineales, que se van
a ver a continuación.
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
17
2.3.1.2 Modelo CCR-INPUT
Sustituiremos en este caso la función objetivo por una equivalente que convierta
nuestro problema en uno lineal. Para ello, imponemos la restricción que hace que
nuestro denominador sea 1.
∑ =1
Haciendo los cambios pertinentes en el modelo Ratio, la expresión matemática del
nuevo modelo que nos queda es:
Max ∑
s.a: ∑
∑
(j=1,2,…,n)
∑
(k=1,2,…s) (i=1,2,…m)
Mod 2: Modelo CCR-INPUT.
Sin embargo, para el análisis de resultados, es más frecuente el uso en su forma
dual, a la que se le denomina “forma envolvente del modelo”:
Min [∑ ∑
]
s.a: ∑
(i=1,2,…,m)
∑ (k=1,2,…,s)
Mod 3: Forma envolvente CCR-INPUT
Donde las n variables son las correspondientes a las n primeras restricciones
del problema primal, es la variable correspondiente a la restricción restante, y tk, si,
denominadas variables de holgura, son las correspondientes a las m+s cotas existentes.
La resolución de este modelo consta de dos fases:
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
18
FASE I
Min s.a: ∑
(i=1,2,…,m)
∑ (k=1,2,…,s)
Obteniendo en esta fase la solución , que utilizaremos para el cálculo de
holguras.
FASE II
Min [∑ ∑
]
s.a: ∑
(i=1,2,…,m) ∑
(k=1,2,…,s)
En los problemas de CRS se cumple que las funciones objetivos en su forma
primal y dual, coinciden en el óptimo, teniéndose por tanto:
[∑
∑
] ∑
Se puede observar que cualquier unidad podría tener como valores admisibles:
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
19
La función objetivo, por tanto, intenta que tenga un valor menor que la unidad.
La resolución de este problema en su forma dual tiene una interpretación muy
interesante.
Las restricciones forman una combinación lineal entre el punto ( ) y los
restantes puntos estudiados ( ), cuyo resultado es la unidad virtual (
). Esta solución corresponde a considerar que la unidad productiva J, es la
combinación lineal de ella misma. Al minimizarse , son reducidas
proporcionalmente las componentes de las entradas hasta llegar al punto que, con las
mismas salidas, se obtiene la menor entrada admisible.
Esto corresponde a proyectar el punto sobre el hiperplano que pasa por el origen
y por las unidades eficientes del problema, reduciendo de forma radial las entradas. Se
tendrá entonces, que si y
, para algunas entradas y salidas, se
produce una proyección paralela al eje correspondiente a la variable de holgura que
no es nula. En cambio, si y
, no se produce ninguna proyección, y
por tanto la unidad es eficiente al proyectarse sobre sí misma.
Para una mejor compresión de lo anteriormente expuesto, ayudémonos de la Fig.
5. Para una entrada y una salida, y considerando 8 DMU’s:
Fig. 5: CCR para una entrada y una salida
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
20
En este caso la DMU3 es la unidad productiva de mayor eficiencia relativa. La
recta desde el origen que pasa por dicha DMU son todos los posibles puntos que
tendrían mayor eficiencia. Tal y como indican sus iniciales de la metodología DEA, esta
recta envuelve a todas las unidades estudiadas. En los problemas a resolver para cada
unidad J, gráficamente se estarán calculando las proyecciones horizontales de las
unidades estudiadas sobre la frontera eficiente de cada problema.
Fig. 6: CCR-INPUT para una entrada y una salida
2.3.1.3 Modelo CCR-OUTPUT:
Para linealizar el modelo Ratio, también podemos mantener contante el
numerador y minimizar el denominador. De esta manera el modelo genera la
siguiente expresión:
Min ∑
s.a: ∑
∑
(j=1,2,…,n)
∑
(k=1,2,…s) (i=1,2,…m)
Mod 4: Modelo CCR-OUTPUT.
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
21
La función objetivo representa ahora el inverso de la eficiencia relativa de la
unidad J, y por tanto siempre será mayor o igual que uno. Las condiciones de este
modelo son análogas a las que se hicieron en el modelo CCR-INPUT.
Su construcción dual es la siguiente:
Max [∑ ∑
]
s.a: ∑
(i=1,2,…,m)
∑ (k=1,2,…,s)
Mod 5: Forma envolvente CCR-OUTPUT.
La variable , no es más que la ampliación radial que debe producirse en las
salidas del problema para proyectarse en la frontera eficiente. Atendiendo al mismo
ejemplo con una entrada, una salida y 8 DMU’s, gráficamente se obtiene:
Fig. 7: CCR-OUTPUT para una entrada y una salida
Una posible solución admisible de este problema puede ser:
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
22
Tal y como ocurriese en el anterior modelo, estos valores corresponden a los que
toman estas variables en el caso de ser unidades eficientes. Las restricciones establecen
una combinación lineal entre el punto ( ) y los restantes puntos estudiados
( ), dando como resultado la unidad virtual (
). Esta solución
siempre admisible corresponde a considerar que el punto es combinación lineal de sí
mismo. Al maximizar , las componentes de las salidas aumentan hasta llegar al
punto en el que, con las mismas entradas, tiene la mayor salida admisible. Esto se
corresponde con la proyección del punto sobre la frontera eficiente del problema,
aumentado radialmente las entradas.
2.3.2 Modelos DEA con Retorno de Escala Variable
Como se ha visto, los modelos anteriores son aplicables cuando una variación en
las entradas refleja una variación proporcional en las salidas. Esto no ocurre siempre,
por lo que hay que plantear los problemas como problemas de retorno de escala
variable. De esta forma se introducen a continuación los modelos BCC-INPUT y BCC-
OUTPUT, pertenecientes a esta clase de modelos y que se corresponden con las
iniciales de sus autores Banker, Chanes y Cooper. [Villa Caro, G.(2003)]
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
23
2.3.2.1 Modelo BCC-INPUT:
En este tipo de modelos, para que considere los retornos de escala variables se
introducirá, a partir del modelo RATIO linealizado, alguna restricción o alguna variable
que le indique al modelo que cada DMUJ tiene que ser comparada con aquellas de su
tamaño y no con todas las unidades presentes en el problema.
Analizando el problema en su forma dual, que es la que nos interesa (análisis
envolvente), el modelo presenta el siguiente aspecto:
Min [∑ ∑
]
s.a: ∑
(i=1,2,…,m)
∑ (k=1,2,…,s)
∑
Mod 6: Forma envolvente BCC-INPUT.
Se ha introducido una restricción adicional que hace que la suma de las
componentes del vector de λ sea igual a la unidad, obligando así a que la proyección
de las DMU se efectúe sobre el hiperplano que forman las unidades más productivas
de su tamaño. Aparecerán unidades que no eran eficientes en el anterior modelo y que
sin embargo en este modelo con retornos de escala variables sí lo son. La frontera
eficiente en este caso estará formada por más unidades que en los modelos CCR.
Una solución admisible siempre será:
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
24
donde de nuevo la eficiencia relativa de cada unidad viene representada por . Se
puede observar que el problema tiene orientación de entrada porque la reducción
radial sólo está permitida en las entradas.
La forma que adquiere la frontera eficiente para VRS haciendo uso de los mismos
datos del ejemplo en CRS es la siguiente:
Fig. 8: BCC para una entrada y una salida
La frontera eficiente en los modelos BCC será una línea quebrada a trozos que en
este caso pasa por DMU1, DMU3, DMU5 y DMU6, siendo por tanto estas las unidades
eficientes.
A continuación se representan las posibles proyecciones en el gráfico del resto de
DMU’s que no se encuentran en dicha frontera eficiente:
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
25
Fig. 9: BCC-INPUT para una entrada y una salida
Puede ocurrir que una DMU no eficiente con la proyección reduciendo su
entrada no llegue a proyectarse sobre la frontera eficiente. Se propone una nueva
DMU9 tal y como se ve en el siguiente gráfico:
Fig. 10: BCC-INPUT con DMU adicional
La DMU9 con la reducción radial no consigue llegar a la frontera eficiente,
necesitando así una reducción rectangular, En este caso el punto DMU1.
Se denomina "peer group" al conjunto de unidades eficientes que pertenecen a la
frontera de la que determinada unidad es combinación lineal. En este caso serán todas
unas combinaciones lineales de DMU1 y DMU3.
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
26
Se puede hablar entonces que la DMU analizada se debe comparar con su
proyección para alcanzar una eficiencia igual a uno, siendo ésta, una unidad que no
existe en el problema pero cuyo tamaño de escala es el tamaño de las unidades que
forman su "peer group".
2.3.2.2 Modelo BCC-OUTPUT:
Si consideramos la orientación de salida, el modelo correspondiente será:
Max [∑ ∑
]
s.a: ∑
(i=1,2,…,m)
∑ (k=1,2,…,s)
∑
Mod 7: Forma envolvente BCC-OUTPUT.
Resolviendo el modelo de forma gráfica para una entrada y una salida obtenemos
la Fig. 11:
Fig. 11: BCC-OUTPUT para una entrada y una salida
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
27
El óptimo al que aspira la DMU8 es el generado por una combinación lineal del
peer group formado por las DMU5 y DMU6.
Para la orientación de salida, nos podemos encontrar con que no nos sirve con
una simple proyección en la frontera, sino que tenemos que hacer una aproximación
rectangular. Utilizaremos de nuevo la DMU9 para aclarar alguna posible duda:
Fig. 12: BCC-OUTPUT con DMU adicional
2.3.3 Comparación entre modelos CCR y BCC.
Se analizará en este apartado las diferencias dadas por los modelos CCR y BCC.
Superponiendo en un mismo gráfico las envolventes de cada modelo obtenemos:
Fig. 13: Envolvente BCC-CCR con orientación de salida
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
28
Se observa que generalmente la eficiencia calculada con el modelo BCC siempre
será mayor que la calculada con el modelo CCR, ya que las unidades sobre las que se
proyectan las unidades DMUJ analizadas son de menor productividad. Exceptuando el
punto en el que se encuentra la unidad DMU3, donde las eficiencias son iguales a la
unidad.
2.3.4 Modelo Aditivo.
Se trata de un modelo cuya diferencia principal con los modelos BCC y CCR será
que utiliza una métrica rectangular en lugar de la radial utilizada por los citados
modelos. La resolución del modelo sólo va a realizar la segunda fase de las que
constaba los modelos CCR y BCC, mediante la maximización de holguras, siendo
entonces no clasificable en orientación de entrada o salida.
La expresión matemática del modelo en su forma envolvente se presenta a
continuación:
Max ∑ ∑
s.a: ∑
(i=1,2,…,m)
∑ (k=1,2,…,s)
∑
Mod 8: Modelo Aditivo.
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
29
La eficiencia en el modelo aditivo son medidas con las variables de holgura tk y si.
Tendrá idéntica frontera eficiente que con el modelo BCC, sin embargo, cuando una
unidad DMU es ineficiente, su eficiencia puede variar de un modelo a otro.
Para hacer que este modelo se convierta en un modelo de retornos de escala
constante, solo hay que omitir la restricción ∑ .
Fig. 14: Modelo Aditivo con VRS para una entrada y una salida.
ANÁLISIS METAFRONTERA ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS: DEA
30
2.4 Fortalezas y limitaciones
DEA es muy útil para comparar DMU’s entre sí teniendo como referencias a las
unidades eficientes (benchmark). Entre otras aplicaciones de aplicación DEA podemos
destacar las realizadas en el campo sanitario (hospitales, doctores…), educación
(colegios, universidades…), bancos, manufacturas, avaluación de gestión, restaurantes,
etc.
El análisis de datos varía con el tamaño. Algunos analistas trabajan con problemas
de 15 a 20 DMU’s mientras que otros utilizan en torno a 10.000 ud’s.
DEA presenta en ocasiones un problema de adimensionalidad. Podemos
encontrarnos con una gran cantidad de datos para unas pocas unidades productivas.
Por ello se recomienda, para la sostenibilidad del problema, que el número de
unidades productivas sea igual a tres veces la suma de las entradas y las salidas:
( )
De no tener problemas correctamente dimensionados, nos podemos encontrar con
que tenemos gran parte de las DMU’s pertenecientes a la frontera eficiente.
En cuanto a los inconvenientes de la medición de datos y el ruido de los mismos,
los datos observados, ya que estamos ante un modelo no estocástico, pueden llegar a
ser eficientes por la mera influencia del ruido en las observaciones.
Los valores extremos pueden afectar seriamente a la frontera de producción
Es una buena idea examinar relaciones entrada-salida básicos para eliminar los
valores atípicos en los datos.
Los modelos DEA son invariantes en la traslación, si se hace una traslación del
ventor de entradas y salidas originales, resulta un nuevo problema que tiene la misma
solución óptima en la forma envolvente.
ANALISIS METAFRONTERA ANÁLISIS TEMPORAL DEA: ÍNDICE MALMQUIST
32
3 Análisis Temporal DEA: Índice Malmquist.
El Índice Malmquist hace uso de la función distancia para medir los cambios en la
productividad. Puede ser definido tanto en orientación de salida como de entrada.
Esta herramienta fue propuesta por primera vez por Caves, Christensen y Diewert
en 1982. [Caves et. al. (1982)]
Para la envolvente en el periodo t, formulada con orientación de salida, se define:
( )
( )
( )
Para el periodo t+1:
( )
( )
( )
Una vez definido esto, se define el Índice Malmquist como:
( ) [ ( )
( )]
[
( )
( )
( )
( )
]
Hay que remarcar que el Índice Malmquist de productividad depende de la
formulación de cuatro problemas de programación lineal.
En la mayoría de la literatura, se formula como orientación de entrada. Nosotros
vamos a formularlo como orientación de salida y bajo la consideración de retornos de
escala constante. Así lo usaremos más adelante en este proyecto.
ANALISIS METAFRONTERA ANÁLISIS TEMPORAL DEA: ÍNDICE MALMQUIST
33
Cuando queramos utilizar esta herramienta para problemas VRS, impondremos la
condición de que el vector de sume la unidad.
( ) Max
s.a: ∑
(i=1,2,…,m)
∑
(k=1,2,…,s)
Mod 9: DMU y envolvente en el periodo t
El exponente -1 de la función distancia, se corresponde a que al ser de
orientación de salida, tenemos que la eficiencia técnica se corresponde con la inversa
de la solución del modelo.
Aquí medimos la eficiencia técnica que alcanza la DMU en el periodo t para la
envolvente de dicho periodo.
Para una DMU en el periodo t+1 evaluada en la envolvente t, tenemos que
resolver el siguiente problema lineal.
( ) Max
s.a: ∑
(i=1,2,…,m)
∑
(k=1,2,…,s)
Mod 10: DMU del periodo t+1 evaluada bajo la envolvente t
La eficiencia medida para una DMU en el periodo t respecto la envolvente del
periodo t+1, responde a:
ANALISIS METAFRONTERA ANÁLISIS TEMPORAL DEA: ÍNDICE MALMQUIST
34
( ) Max
s.a: ∑
(i=1,2,…,m)
∑
(k=1,2,…,s)
Mod 11: DMU del periodo t evaluada bajo la envolvente en t+1
Y el último problema que nos quedaría por resolver sería:
( ) Max
s.a: ∑
(i=1,2,…,m)
∑
(k=1,2,…,s)
Mod 12: DMU y envolvente en el periodo t+1
Los Mod 9 y Mod 12 solucionan los periodos t y t+1 de manera independiente. El
Mod 10 considera la DMUJ en el periodo t+1 evaluándola bajo las condiciones
tecnológicas de la envolvente en t. Por otra parte, el Mod 11 considera la DMUJ en el
periodo t evaluándola bajo las condiciones tecnológicas de la envolvente en t+1.
Una vez aplicada la definición del índice de Malmquist, podemos obtener:
nos indica que tenemos un retroceso en la productividad. En
nuestro caso, al ser de orientación de salida, la interpretación se
invierte.
experimentamos un aumento de la productividad (viceversa
para output)
ANALISIS METAFRONTERA ANÁLISIS TEMPORAL DEA: ÍNDICE MALMQUIST
35
Para analizar con más detalle la información que nos proporciona esta
herramienta, el índice se puede descomponer en dos términos:
Esto se repite para cada DMU en cada periodo.
La formulación de Malmquist para retornos de escala constantes coincide tanto
para orientación de salida como de entrada.
Si analizamos esto bajo retornos de escala variables, puede no tener una solución
posible. Esto se debe, a parte de las dificultades intrínsecas de las medidas entre la
productividad y los retornos de escala variables, y a las dificultades de cálculo a la
hora de medir distancias en VRS (en los casos en los que necesitemos una
aproximación rectangular Fig. 10 y Fig. 12). De ahí la recomendación de utilizar bajo
CRS.
Para analizar con detenimiento las causas de dicha variación de productividad,
tenemos que diferenciar entre:
Variación en la DMU(cambios en la eficiencia):
o Cociente mayor que 1: la unidad se aleja de la frontera.
o Cociente menor que 1: unidad mayor eficiente.
Variación en la envolvente tecnológica (cambios en la tecnología):
ANALISIS METAFRONTERA ANÁLISIS TEMPORAL DEA: ÍNDICE MALMQUIST
36
o Corchete mayor que 1: retroceso de la envolvente en torno a la
DMU.
o Corchete menor que 1: aumenta la distancia entre DMU y
envolvente.
A continuación vamos a medir los cambios en la eficiencia de la DMU y de la
tecnología con un breve ejemplo ilustrativo:
Fig. 15: Índice de productividad Malmquist bajo CRS.
La medida del cambio de eficiencia viene dado por la expresión:
mientras que el cambio en la tecnología es medido:
[
]
ANALISIS METAFRONTERA CONCEPTO DE METAFRONTERA
37
4 Concepto de Metafrontera.
El análisis por metafrontera es una aproximación que nos permite la comparación
entre diferentes tecnologías. El modelo DEA tradicional analiza unidades de grupos
homogéneos, esto es, supone el uso de una misma tecnología para el grupo de estudio.
Sin embargo, si nos encontramos ante problemas heterogéneos, como por ejemplo
en el argot futbolístico, comparar la eficiencia entre un defensa y el delantero, esto nos
lleva a plantearnos métodos de resolución mediante metafrontera. [O’Donell, Rao y
Battese (2008)].
La metafrontera se puede considerar como un paraguas con todas las posibles
fronteras y objetivos que nos genera la frontera homogénea para todo un conjunto de
empresas heterogéneas [O’Donell, Rao y Battese (2004)].
El modelo nos devuelve el máximo en la salida para un conjunto de entradas
usando la mejor tecnología.
La medida de la eficiencia está profundamente ligada a la teoría de la producción
y al concepto de función de distancia.
Las fronteras de producción se pueden estimar mediante dos aproximaciones:
Modelos estocásticos: un sistema estocástico es aquel que funciona por
azar. Es un algoritmo matemático que trata procesos cuya evolución es
aleatoria y sus resultados se basan en probabilidades que varían en
función del tiempo. Tenemos parámetros junto a las variables en nuestra
función objetivo. Estos parámetros también tienen que ser estimados.
Modelos no-paramétricos: son aquellos en los que no tenemos parámetros
a determinar en la frontera de producción. Hacemos uso de datos
experimentales (benchmarking).
ANALISIS METAFRONTERA CONCEPTO DE METAFRONTERA
38
En los modelos no-paramétricos no existen errores de especificación, ya que se
trabajan con datos experimentales. Esto hace muy atractivo el uso del DEA.
4.1 La Metafrontera:
Para comprender el desarrollo del modelo de metafrontera, veamos un ejemplo de
dos DEA’s por separado en un mismo análisis. En la Fig. 16 se obtiene la
representación gráfica.
Fig. 16 Metafrontera convexa
Todo lo que abarca la metafrontera se obtiene como combinación de los datos
generadores de ambas tecnologías y repitiendo un DEA estándar.
Sin embargo esta nueva frontera eficiente abarca una combinación
entradas/salidas inadmisible para ambas tecnologías. Estos puntos están localizados en
el triángulo nombrado por Salas-Garrido et al. (2011) como “combinación de
entradas/salidas inadmisible”.
Sea la unidad U que opera bajo la tecnología B. Su proyección en la metafrontera
viene determinada por U*. Sin embargo, no existe combinación de datos tales para que
esa unidad productiva alcance dicho nivel de producción, ya sea bajo la tecnología A o
B.
ANALISIS METAFRONTERA CONCEPTO DE METAFRONTERA
39
Para resolver este problema, se propone un método alternativo basado en el
concepto de “metafrontera no-convexa”.
Esta nueva metafrontera sólo envuelve las combinaciones de datos que forman
parte de las envolventes de todas y cada una de las tecnologías por separado.
Como resultado, el área identificada como “inadmisible” no aparece en la Fig. 17:
Fig. 17 Metafrontera no-convexa
La estimación de la metafrontera no-convexa envuelve dos etapas:
La primera referente a la tecnología B, eficiencia relativa a la combinación de
entradas y salidas de su propia tecnología.
La segunda etapa se refiere a la eficiencia de la DMU en relación con la frontera
alternativa A.
Este indicador de eficiencia es determinado por el ratio de distancia .
Si la eficiencia de la tecnología alternativa es inferior que la obtenida por la
tecnología a la que pertenece, nos indica que para un nivel de entradas (recursos)
constante, la unidad evaluada puede ser más productiva bajo la tecnología alternativa.
Esta comparativa nos permite identificar la tecnología que representa la
metafrontera como entrada alrededor de .
ANALISIS METAFRONTERA CONCEPTO DE METAFRONTERA
40
4.2 Eficiencia técnica y ratios:
Cuando definimos el concepto de eficiencia, llegamos a la conclusión de que una
observación es técnicamente eficiente respecto a la frontera si y sólo si ( )
Generalmente, una medida con orientación de salida tiene eficiencia técnica:
( ) ( )
donde D es la distancia con respecto a la metafrontera y ET son las iniciales de
eficiencia técnica.
Por ejemplo, si ( )=0.6, esto indica que el vector de salida es el 60% del
máximo posible para un vector de entrada .
Esto mismo podemos hacerlo con un grupo de tecnologías. El superíndice k indica
que estamos midiendo con respecto la metafrontera de un grupo de tecnologías.
( ) ( )
siendo ( ) ( ) .
También podemos medir la eficiencia técnica con respecto a un grupo de
tecnologías. La eficiencia del subgrupo tecnológico no puede ser superior que al
generado por la metafrontera. En otros términos, la metafrontera envuelve al grupo de
tecnologías.
Se define el ratio metatecnológico de un grupo k como:
( ) ( )
( )
( )
( )
Este ratio se usa para medir la diferencia que existe entre la proyección en la
metafrontera convexa y la no-convexa.
ANALISIS METAFRONTERA CONCEPTO DE METAFRONTERA
41
Haciendo uso de un ejemplo numérico donde la eficiencia técnica respecto a la
metafrontera es ( ) y la referente al grupo de fronteras ( ) , el
ratio metatecnológico resulta ser de 0.75 (0.6/0.8). Esto significa que para un vector de
entradas dado, la máxima salida que puede producir ese grupo de fronteras es del 75%
de la que sería posible alcanzar si nos proyectásemos en la metafrontera.
Reordenando la expresión, conseguimos descomponer la eficiencia como una
combinación de E/S.
( ) ( ) ( )
Esto muestra que la eficiencia medida respecto de la metafrontera, se puede
descomponer en el producto entre la eficiencia técnica del subgrupo fronteras y el
ratio metatecnológico.
Esta descomposición es muy útil ya que permite a los gestores estimar el potencial
de tus diferentes programas a la hora de fijar y conseguir objetivos.
Finalmente, la decisión de asumir la metafrontera convexa o no-convexa tiene
implicaciones para las medidas de la eficiencia y del ratio metatecnológico.
Fig. 18: Metafrontera convexa y no-convexa.
ANALISIS METAFRONTERA CONCEPTO DE METAFRONTERA
42
Ayudémonos de la Fig. 18 para aclarar los conceptos definidos anteriormente.
Sea A una unidad productiva perteneciente al grupo que genera la frontera 2. Vamos a
calcular la medida de eficiencia y el ratio metatecnológico, tanto para la metafrontera
convexa como para la no-convexa.
Para el caso de la metafrontera no-convexa, obtenemos los siguientes resultados:
( )
( )
( ) ( )
( )
Pero si nos proyectamos en la metafrontera convexa:
( )
( )
( ) ( )
( )
Como era de esperar, los resultados obtenidos para la metafrontera no-convexa son
más ajustados que si nos proyectamos en la convexa. Esto es así, ya que en la
metafrontera convexa es la envolvente de la no-convexa.
ANALISIS METAFRONTERA CONCEPTO DE METAFRONTERA
43
4.3 Estimación:
Como ya hemos definido anteriormente, podemos reducir los modelos DEA en dos
tipos, los de orientación de entrada y los de salida. En ambos de busca una variación
proporcional de reducción en el vector de entradas o de incremento en el vector
producto.
En ambos tipos tenemos una eficiencia que, en el caso de CRS coinciden pero
difieren si estamos bajo consideraciones VRS.
La metafrontera convexa se define aplicando un DEA con todas las DMU’s del
conjunto de subfronteras ∑ . La estructura de la metafrontera
particularizando que el vector de entradas X tiene dimensión e .
Para construir una metafrontera convexa aplicando DEA tenemos que considerar
todas las entradas y salidas de cada grupo. Si el grupo de k-fronteras contiene datos de
Lk DMU’s en T periodos, un modelo en VRS con orientación de salida se formularía de
la siguiente manera:
( )
s.a: ∑
(i=1,2,…,m),
∑
(k=1,2,…,s),
∑
Mod 13: Modelo metafrontera orientación de salida.
El valor es la solución del problema lineal que nos da información sobre la
eficiencia técnica de la tecnología i-ésima en el periodo t-ésimo.
En especial, es el incremento proporcional que las salidas pueden
alcanzar. Así,
es la eficiencia técnica en los problemas de orientación de salida.
ANALISIS METAFRONTERA CONCEPTO DE METAFRONTERA
44
El valor , que también es solución de problema lineal, nos informa de los pesos
de la tecnología i-ésima del periodo t-ésimo.
Estos pesos son puntos eficientes y definen el aspecto de la frontera sobre la que se
proyectan las entradas y salidas.
En la práctica, resolver un problema de programación lineal para todas las
tecnologías y todos los periodos es un trabajo tedioso, por lo que se usan software para
su resolución.
Para estimar la metafrontera no-convexa, debemos resolver el problema de
programación lineal separadamente para cada tecnología, obteniendo estimaciones de
las eficiencias por cada frontera tecnológica. Una vez hecho esto, el valor más
ineficiente de todos es el que nos marcará la última frontera con posibilidad de
proyección, luego parte de ésta, será la que pertenezca a la metafrontera no-convexa.
Importante marcar supereficiencia en el software para que encuentre solución
posible a las DMU’s que se encuentren por encima de determinadas fronteras
tecnológicas.
El valor que resuelve el problema no-convexo no es mejor que el obtenido por
la metafrontera convexa. Esto es así, ya que la metafrontera convexa envuelve a la no-
convexa.
ANALISIS METAFRONTERA APLICACIONES DE METAFRONTERA
46
5 Aplicaciones de Metafrontera.
Para ver el potencial del análisis por metafrontera, vamos a comentar tres
aplicaciones publicadas en revistas científicas.
5.1 Comparación de eficiencias entre diferentes tecnologías de tratamiento de
aguas residuales urbanas.
5.1.1 Caso de estudio:
En este estudio, se aplica el modelo de metafrontera DEA para comparar la
eficiencia técnico-económica de cuatro tratamientos distintos para la depuración de
aguas residuales [Salas-Garrido (2011)].
En total son evaluadas 99 plantas de tratamiento de aguas residuales de la
Comunidad Autónoma de Cataluña. Las tecnologías se corresponden al tratamiento
secundario en la depuración de aguas.
Las tecnologías propuestas para este estudio son las siguientes:
1) Fangos activos (AS “activated sludge”): 68 plantas.
2) Laguna de aireado(AL “aerated lagoon”): 12 plantas.
3) Filtro percolador (TF “trickling filter”): 10 plantas.
4) Contactor biológico rotatorio (BC “biological contactor”):9
plantas.
El proceso de fangos activos se lleva a cabo en dos etapas: La oxidación biológica
de la materia orgánica y la separación de los sólidos biológicos producidos.
ANALISIS METAFRONTERA APLICACIONES DE METAFRONTERA
47
La laguna de aireado consiste en la retención de las aguas residuales durante un
tiempo variable en función de la carga de contaminante aplicada y las condiciones
climáticas, de forma que la materia orgánica resulte degradada mediante la actividad
bacteriológica presente en el medio. Está basado en el principio de depuración de lagos
y ríos.
La técnica de filtros percoladores está constituida por un lecho poroso formado
por elementos tales como piedras silíceas, roca volcánica, etc. Con tamaños
comprendidos entre 50 y 100 mm. En la actualidad se han sustituido por materiales
plásticos.
Por último, el contactor biológico rotatorio es un sistema de depuración mediante
el contacto de aguas residuales con un medio biológico con el fin de eliminar
contaminantes en las aguas residuales antes de la devolución de éstas al medio
ambiente. Se compone de una serie de discos estrechamente espaciados y paralelos,
montados sobre un eje giratorio que se apoya justo por encima de la superficie de las
aguas residuales. Los microorganismos crecen en la superficie de los discos, donde se
produce la degradación biológica.
En este estudio, las cuatro tecnologías bajo comparación principalmente difieren
en el tipo de reactor biológico que utilizan para eliminar los nutrientes y la materia
orgánica. Por tanto, se consideran 3 tipos de agentes contaminantes a eliminar, como
resultado del tratamiento del agua residual:
DQO: demanda química de oxígeno, para medir la cantidad de materia
orgánica susceptible de ser oxidada.
Nitrógeno (N).
Fósforo (P).
ANALISIS METAFRONTERA APLICACIONES DE METAFRONTERA
48
Estos tres elementos constituyen las salidas del problema, mientras que la entrada
es única. Se refiere a los costes de operación y mantenimiento.
El volumen de agua residual tratada no se ha tenido en cuenta en la estimación de
la eficiencia ya que se considera que no es un factor de escala que varíe el resultado
del problema.
5.1.2 Modelo:
DEPURADORA Diagrama 1: Entradas y salidas
( )
s.a: ∑
∑
∑
∑
∑
Mod 14: Modelo metafrontera aplicación para las depuradoras.
Costes de operación y mantenimiento (Cost)
[1]DQO
[2]N
[3]P
ANALISIS METAFRONTERA APLICACIONES DE METAFRONTERA
49
5.1.3 Conclusión:
Primero veamos los resultados de eficiencia que obtienen las tecnologías las
DMU’s comparadas con sus propias fronteras. La tecnología que incluye más plantas
depuradoras eficientes es la del contactor biológico, con el 56%, y la que menor
rendimiento aglutina es la tecnología de fangos activos con sólo un 12% de sus plantas
eficientes. La laguna de aireado y los filtros percoladores presentan un rendimiento
intermedio, con un 42 y 47%. Esto nos hace ver que el 88%de las plantas que trabajan
con fangos activos eliminan residuos por debajo de los que deberían teniendo el nivel
de recursos que consumen. Aun así, la media de eficiencia técnica de las plantas de
fangos activos tienen un rendimiento medio del 87.8%, mientras que BD obtiene un
95.7%. Esto indica una cierta uniformidad dentro de cada tratamiento dentro de sus
respectivas tecnologías.
Si proyectamos las plantas depuradoras en la envolvente de la metafrontera,
vemos que el número de DMU’s eficientes baja, pero no en todas las tecnología por
igual. La AS se mantiene constante, con el 12% de sus plantas eficientes, pero el caso
más llamativo es la del BD, que pasa a sólo un 10%. Aunque la bajada en las plantas
con eficiencia 1 se ha reducido en un 82%, la media de eficiencia del BD se mantiene
la más alta, siendo de un 90% del máximo que propone la metafrontera. AL y TF sufren
una bajada de plantas eficientes en un 80 y un 75 % respectivamente.
El rendimiento medio más bajo lo tiene ahora TF con un 87.3% de plantas
eficientes, o lo que es lo mismo, el vector de salidas que ofrece esta tecnología es un
12.7% más bajo que si operase en condiciones de metafrontera.
ANALISIS METAFRONTERA APLICACIONES DE METAFRONTERA
50
Haciendo uso del ratio metatecnológico, el salto más bajo entre metafrontera
convexa y no-convexa lo tiene la tecnología AS, que obtiene el mayor valor y el más
cercano a la unidad (0.999), de hecho, de las 68 plantas estudiadas sólo una tiene un
valor diferente a 1 para este ratio. Esto es, para un vector de entradas, las plantas
eliminan lo máximo posible de contaminantes que puede eliminar. Los valores para las
demás tecnologías son de 88.2 (TF), 92.1 (AL) y 94.7 (BD).
El estudio afirma que AS es la tecnología que mayor rendimiento proporciona,
seguida de BD y AL. TF es la tecnología menos apropiada para con la eficiencia
técnico-económica.
El rendimiento en la eliminación de residuos en AS puede elevarse recirculando
más producto o instalando una purga en el circuito de depuración. Esta herramienta
no afirma que el que más residuos elimina sea esta tecnología, sino que la que es la
que más rendimiento le saca a los recursos con los que cuenta.
ANALISIS METAFRONTERA APLICACIONES DE METAFRONTERA
51
5.2 Análisis del rendimiento de los jugadores profesionales de la Bundesliga
(primera división alemana)
5.2.1 Caso de estudio:
El fútbol es el deporte de equipo número uno en Alemania. En la temporada
2088/09 más de 12 millones de personas siguieron los partidos en los estadios y
muchos más por televisión [Tiedemann et al. (2011)].
Este artículo tiene por objetivo principal relacionar el rendimiento individual de
un jugador y el éxito del equipo. Además, buscar explicar mejoras de rendimiento
individual, dar recomendaciones sobre posiciones óptimas y cuantificar en la medida
de lo posible la variación del rendimiento cuando se cambian las posiciones de juegos
de los diferentes futbolistas.
Se utilizaron datos que corresponden desde la temporada 2002/03 hasta
2008/09.
Para hacer una selección de jugadores se han seguido las siguientes normas:
Si un jugador ha jugado en varias posiciones en una misma temporada, se
le asignará la posición en la cual haya disfrutado de más minutos.
Igualmente si el futbolista en cuestión ha pasado por varios equipos en
una misma temporada, se quedará con el equipo en el cual haya jugado
durante más tiempo.
Como mínimo, los futbolistas que entren en el análisis tienen que haber
jugado un 200 min/temporada y haber jugado los últimos 5 partidos.
ANALISIS METAFRONTERA APLICACIONES DE METAFRONTERA
52
Esto reducen los jugadores de estudio de 350 a 118 de media por temporada, de
los cuales el 21% son delanteros, el 37% defensas y el 42% restante es para los
centrocampistas.
Para estimar la eficiencia de los futbolistas, asume que es un problema de retorno
de escala variable (VRS), El modelos de programación lineal formulado es de
orientación de salida (BCC Output) y tiene que resolverse tantas veces como futbolistas
tenemos.
En el Diagrama 2 podemos identificar cuáles son las entradas y salidas de nuestro
problema.
JUGADOR
Diagrama 2 Entradas y salidas
5.2.2 Modelo
( )
s.a: ∑
∑
∑
∑
∑
∑
Mod 15: Modelo metafrontera aplicación para los jugadores.
Número de minutos por temporada
[1]Nº goles
[2]Nº asistencias
[3]Nº pases culminados
[4]Nº recuperaciones de balón
ANALISIS METAFRONTERA APLICACIONES DE METAFRONTERA
53
5.2.3 Conclusión:
En este artículo, además de valorar qué pesos dentro del funcionamiento de un
equipo de fútbol tienen las diferentes tecnologías, también propone el cambio de
futbolistas de posición dentro del campo, según las habilidades que presenta el
personaje en cuestión.
Por ejemplo la eficiencia de los defensas tiene una fuerte dependencia de la
recuperación de balón, mientras que es indiferente el número de goles.
Atendiendo únicamente al modelo, éste propone una serie de alternativas para
mejorar la eficiencia de los equipos a final de temporada.
Hay cuatro posibles respuestas:
1) Jugador mantiene su posición según recomendaciones.
2) Jugador mantiene su posición contrario a las recomendaciones.
3) El que cambia posición por otra propuesta para mejora.
4) Busca posición nueva contraria a las recomendaciones.
En la se han utilizados jugadores de dos temporadas sucesiva, reduciendo así la
base de datos de los jugadores.
Nº jugadores Evolución
Supuesto 1 858 0.09
Supuesto 2 332 0.45
Supuesto 3 54 3.90
Supuesto 4 75 -2.77
Tabla 2: Recomendaciones del modelo.
ANALISIS METAFRONTERA APLICACIONES DE METAFRONTERA
54
Cambiar la posición de los jugadores según las recomendaciones DEA mejoras
casi en 4 puntos los resultados de eficiencia en el rendimiento.
Sin embargo esta metodología tiene un número limitado de entradas y salidas.
DEA pierde poder de discriminación si incluye muchas variables.
Existen diferencias cualitativas entre las entradas y las salidas. Por ejemplo, no es
representativa la importancia de los goles. Un gol que da el triunfo a un equipo, No
repercute de la misma manera en la clasificación final de un equipo, que otro que lo
que hace es aumentar la ventaja en una goleada.
Para concluir, el modelo no hace diferencia alguna entre jugadores buenos de un
equipo bueno, a jugadores que destacan en un equipo mediocre. Esto es, la eficiencia
goleadora de un jugador es mayor en un equipo que genera muchas ocasiones de gol
que otro que lucha por no bajar. Luego la comparativa entre unidades productivas de
desvirtúa bastante.
ANALISIS METAFRONTERA APLICACIONES DE METAFRONTERA
55
5.3 Análisis de eficiencia entre pequeñas empresas franquicia.
5.3.1 Caso de estudio:
Este análisis tiene su origen debido a que en España hay más de 1000 franquicias,
con más de 65700 establecimientos con un volumen de negocio aproximado de
19167 millones de euros anuales. La gran mayoría de las empresas franquicias son
PIMES (pequeñas y medianas empresas), y son éstas las que promueven el 99% del
empleo en la Europa de los 25 [Medal-Bartual, (2012)].
La Clasificación Nacional de Actividades Económicas (CNAE) diferencia entre 11
sectores económicos distintos. De los cuales 6 de esos sectores están compuestos por
tres o menos empresas. Es por esto pues, que se dejan fuera del estudio. Nos quedamos
con los 5 grupos restantes que son los que representan las tecnologías o sub-fronteras
en el problema:
o G1: Comercio al por mayor, minoristas e intermediarios
comerciales.
o G2: Hostelería.
o G3: Profesionales, científicos y actividades técnicas.
o G4: Sanidad y servicios sociales.
o G5: Otros servicios.
Como datos del problema tenemos cuatro entradas y 2 salidas:
FRANQUICIA
[1] A (total activos)
[2] P (total pasivo)
[3] R (recursos propios)
[4] C (costes laborales)
[1]V (ventas)
[2]Prov (pago a proveedores)
ANALISIS METAFRONTERA APLICACIONES DE METAFRONTERA
56
Una vez eliminadas las empresas sin activos ni recursos propios, quedan 73 de las
cuales 2 de ellas son compañías grandes. Para evitar que los resultados se distorsionen,
se decide eliminar estas dos y analizar a 71 pequeñas y medianas empresas franquicia.
5.3.2 Modelo:
( )
s.a: ∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Mod 16: Modelo metafrontera aplicado a las franquicias.
5.3.3 Conclusión:
Para la compresión del nivel de eficiencia de empresas que operan en cualquier
economía, ésta es una buena herramienta de gestión a la hora de tomar decisiones.
En particular, el análisis técnico-económico del sistema de franquicias en España
mediante la aplicación del modelo de metafrontera basada en la metodología DEA,
hacen comparables las eficiencias de sectores heterogéneos.
ANALISIS METAFRONTERA APLICACIONES DE METAFRONTERA
57
El estudio concluye que el 80% de las empresas que se dedican a la hostelería (G2)
son eficientes si tomamos como referencia a su sector, mientras que menos empresas
eficientes tienen son el G1 y G4 que sólo incluyen al 50 % de las empresas en
condiciones de eficiencia. Esto nos dice que hay un alto nivel de eficiencia de las
empresas dentro de sus respectivos sectores.
Si pasamos análisis bajo régimen de metafrontera, las empresas que forman parte
de la frontera eficiente baja en todos los sectores.
El estudio muestra que el sector de la hostelería y el G1 son los sectores más
interesantes a la hora de invertir, mientras que la sanidad y servicios sociales son los
que recogen obtienen peor eficiencia media.
Esta información podría ser decisiva a la hora de invertir capital en un sector u
otro.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
57
6 Metafrontera con análisis temporal: Aplicación a la productividad agrícola.
6.1 Datos.
En esta sección, ilustraremos cómo aplicar el modelo de metafrontera mediante
un análisis internacional de la producción agrícola. Los datos utilizados para esta
simulación, están recogidos en FAOSTAT de la Organización de las Naciones Unidas
para la Alimentación y la Agricultura (2013).
Se han asumido algunas simplificaciones a la hora de la recogida de datos, pero
en ningún caso, alteraran la esencia de la metodología que vamos a aplicar.
Esta observación incluye a 97 países para el año 1986 y 1990.
Los países seleccionados aglutinan aproximadamente el 99% de la producción
agrícola mundial.
Las naciones se agrupan en 4 grupos distintos según se muestra a continuación en
la Tabla 3, entre paréntesis se muestran el número de países y el código de los grupos
definidos al que pertenecen:
África (27, 1 )
América (21, 2)
Asia-Oceanía (26, 3)
Europa (23, 4)
Tabla 3: Agrupación de Países.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
58
Esta agrupación es la propuesta O’Donnell C. J. et. al (2008) donde considera a algunos países de Oceanía con los del continente asiático formando así un solo grupo. Reseñar que incluye a la antigua URSS como continente europeo y a Turquía en el grupo de los de Asia.
COD_PAÍS NÚMERO PAÍS PAÍS
1 1 Angola
1 2 Argelia
1 3 Burkina Faso
1 4 Burundi
1 5 Camerún
1 6 Chad
1 7 Costa de marfil
1 8 Egipto
1 9 Etiopía RDP
1 10 Ghana
1 11 Guinea
1 12 Kenia
1 13 Madagascar
1 14 Malawi
1 15 Malí
1 16 Marruecos
1 17 Mozambique
1 18 Níger
1 19 Nigeria
1 20 República Democrática del Congo
1 21 Ruanda
1 22 Senegal
1 23 Sudáfrica
1 24 Sudán (ex)
1 25 Túnez
1 26 Uganda
1 27 Zimbabue
2 28 Argentina
2 29 Bolivia (Estado Plurinacional de)
2 30 Brasil
2 31 Canadá
2 32 Chile
2 33 Colombia
2 34 Costa Rica
2 35 Cuba
2 36 Ecuador
2 37 El Salvador
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
59
2 38 Estados Unidos de América
2 39 Guatemala
2 40 Haití
2 41 Honduras
2 42 México
2 43 Nicaragua
2 44 Paraguay
2 45 Perú
2 46 República Dominicana
2 47 Uruguay
2 48 Venezuela (República Bolivariana de)
3 49 Arabia Saudita
3 50 Australia
3 51 Bangladesh
3 52 Camboya
3 53 China, Continental
3 54 Filipinas
3 55 India
3 56 Indonesia
3 57 Irán (República Islámica del)
3 58 Iraq
3 59 Israel
3 60 Japón
3 61 Malasia
3 62 Mongolia
3 63 Myanmar (Birmania)
3 64 Nepal
3 65 Nueva Zelandia
3 66 Pakistán
3 67 Papua Nueva Guinea
3 68 República Árabe Siria
3 69 República de Corea
3 70 República Democrática Popular Lao
3 71 Sri Lanka
3 72 Tailandia
3 73 Turquía
3 74 Vietnam
4 75 Alemania
4 76 Austria
4 77 Bélgica-Luxemburgo
4 78 Bulgaria
4 79 Checoslovaquia
4 80 Dinamarca
4 81 España
4 82 Finlandia
4 83 Francia
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
60
4 84 Grecia
4 85 Hungría
4 86 Irlanda
4 87 Italia
4 88 Noruega
4 89 Países Bajos
4 90 Polonia
4 91 Portugal
4 92 Reino Unido
4 93 Rumania
4 94 Suecia
4 95 Suiza
4 96 URSS
4 97 Yugoslavia RFS
Tabla 4: Países y grupos al que pertenecen para el estudio experimental.
Las variables a utilizar son todas variables discrecionales, es decir, son unidades que se pueden reducir o aumentar. A continuación se hará una breve descripción de cada una de ellas:
Variables de entrada: Tierra (x1it): se mide en miles de hectáreas de tierra arable,
permanentes en cosecha y de pasto. La tierra arable incluye las tierras de cosecha por temporadas y barbecho fuera de las mismas. Los árboles frutales se contemplan como cosecha permanente, no así los que sean para la producción de madera o papel.
Maquinaria (x2it): contabiliza el número total de tractores que se emplean en la producción agrícola. No así los de uso para la jardinería.
Mano de obra (x3it): unidad medida en miles de personas, nos informa de la población activa en la agricultura. Entre ellas se encuentran los empleados y los que están buscando trabajo. No hay distinción entre trabajadores asalariados, por cuenta propia o sin remuneración alguna.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
61
Fertilizantes (x4it): el consumo de éstos es de difícil cuantificación. Esta medida ofrece la suma de nitrógeno (N), fosfatos (P2O2) y óxidos de potasio (K2O) en miles de toneladas, de aquellos químicos comerciales aplicados que los contengan.
Ganado (x5it): esta variable reúne a cinco tipos diferentes de animales. Como éstos no son comparables entre sí, se propone la unidad de oveja equivalente como denominador común. En la Tabla 5 se observan las equivalencias:
UNIDAD EQUIVALENCIA
Búfalos 8 ovejas eq.
Vacuno 8 ovejas eq.
Cabras 1 ovejas eq.
Cerdos 2 ovejas eq.
Oveja 1 ovejas eq.
Tabla 5: Equivalencia ganado.
Se han modificado un par de aspectos para una mejor comprensión. Uno de ellos ha sido sustituir al país de Tanzania por el de la República del Congo, ya que los datos de éste último eran más completos que los de la nación sustituida. El segundo cambio se debe al número de ovejas equivalentes que generan los cerdos en la conversión del ganado en dicha unidad común. Para nosotros, un cerdo tendrá un valor de dos ovejas equivalentes.
Variable de salida:
Producción (y1it): esta variable es una agregación de diferentes productos agrícolas. Está medida en dólares internacionales según el valor de 2004-2006. Es una unidad monetaria hipotética que tiene el mismo poder adquisitivo que el dólar estadounidense tiene en los Estados Unidos en un momento dado en el tiempo. Muestra cuánto vale una unidad de una moneda local dentro de las fronteras del país.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
62
A continuación en la Tabla 6, se presentan los valores medios, desviación estándar (DE), valor mínimo disponible y valor máximo por región de los recursos utilizados para el análisis y la producción de los mismos:
CG Año Media DE Mínimo Máximo
1 1986 Y1 2957488,13 2820398,14 723000,61 12296177,39
X1 30661,89 28807,46 1830,00 115750,00
X2 17002,07 35685,88 85,00 169000,00
X3 4168,26 3465,17 677,00 15665,00
X4 124389,48 246990,05 388,00 1009200,00
X5 55171515,07 64809341,09 5039009,00 280037000,00
1990 Y1 3412958,78 3681347,02 833583,00 16950603,38
X1 31159,26 29704,48 1879,00 122910,00
X2 17030,04 32905,27 90,00 18086,00
X3 4513,44 3797,94 652,00 145000,00
X4 124085,56 238890,28 192,00 958946,00
X5 59482417,74 67421873,21 4935782,00 280198000,00
2 1986 Y1 15622542,89 37304610,10 679007,89 168518801,60
X1 55472,10 103096,06 1387,00 431399,00
X2 326256,43 1030371,45 205,00 4730000,00
X3 2218,62 3510,21 191,00 15368,00
X4 1330919,67 3781546,70 2100,00 17285666,00
X5 180808026,10 314484002,98 9243600,00 1160988088,00
1990 Y1 16789289,89 39560402,77 652987,41 178148454,43
X1 55899,29 102922,20 1410,00 426948,00
X2 330458,86 1003914,40 200,00 4603544,00
X3 2185,48 3285,36 184,00 14062,00
X4 1355828,90 4035883,86 1000,00 18586936,00
X5 184755519,52 325878974,05 9830000,00 1287148300,00
3 1986 Y1 19603986,48 40179880,03 605530,94 185983518,69
X1 63637,04 129245,25 579,00 482953,00
X2 192090,88 407161,99 800,00 1833900,00
X3 32001,08 92376,26 69,00 444009,00
X4 941999,42 1880051,89 0,00 9617600,00
X5 229743570,42 527686232,71 2833366,00 2370600000,00
1990 Y1 22685381,17 48512181,35 710383,28 226252609,14
X1 65414,58 131711,03 579,00 505792,00
X2 226347,19 474339,65 890,00 2142210,00
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
63
X3 34457,31 100134,41 65,00 482507,00
X4 1125092,38 2331594,52 940,00 12018000,00
X5 243867877,15 562236386,79 2797850,00 2450260000,00
4 1986 Y1 18648771,56 30231591,38 1443709,92 146133506,90
X1 33363,43 114809,58 969,00 558425,00
X2 551300,17 683437,76 53947,00 2776000,00
X3 2330,57 5906,04 116,00 28856,00
X4 2557271,43 5430574,16 173200,00 26506000,00
X5 123450985,48 258885149,36 11650000,00 1273178000,00
1990 Y1 18681049,62 30996201,71 1547703,07 150318601,06
X1 33171,04 114364,76 976,00 556220,00
X2 562619,09 672487,24 49400,00 2609000,00
X3 2149,09 5647,66 110,00 27557,00
X4 2083566,22 4444728,84 167900,00 21634000,00
X5 120833028,43 254437270,08 11344000,00 1253516000,00
Tabla 6: Descripción simple de las variables por grupos.
6.2 Análisis y discusión de los resultados.
Para la resolución de los modelos de programación lineal, vamos a utilizar el
software llamado EMS, donde en el anexo 9.4 se explica cómo utilizarlo.
Realizaremos tanto para CRS como para VRS los siguientes cálculos:
1. Un modelo DEA BCC-OUTPUT por cada tecnología (grupo).
2. Calcularemos la Metafrontera no convexa (MFnc) para el
conjunto de los 97 países.
3. Hallaremos la Metafrontera convexa (MF), envolviendo bajo su
frontera a todas las DMU’s del problema. Cuando refiramos el
término de metafrontera, estamos haciendo mención de la
envolvente convexa.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
64
4. Calcularemos el ratio metatecnológico (MTR) entre BCC_O-
MFnc y entre MFcn – MF. Aquí observaremos cuan buena o mala
es la aproximación de metafrontera alrededor de la DMUJ.
5. Calcularemos el índice Malmquist (MJ) entre los años 1986 y
1990, viendo la evolución de la DMUJ y la metafrontera
convexa.
El motivo por el cual hacemos los dos análisis con los retornos de escala, es
porque no podemos asegurar que obtengamos un Índice Malmquist al tratar a las
unidades bajo VRS.
Así que hacemos dos hipótesis:
1) Nuestras DMU’s son unidades que, independientemente de su tamaño,
pueden alcanzar la productividad de eficiencia.
2) Consideramos que, debido a la diferencia entre los países, habrá unidades
que nunca podrán alcanzar la producción de eficiencia.
Procederemos a analizar los resultados por grupos y tomando como criterio el año
de producción. Así, para el año 1986, el grupo 1 nos arroja la siguiente información:
Es el grupo que peor eficiencia media obtiene en tu tecnología para todos los
periodos y retornos de escala estudiados. Su ETbcc_out = 0,345.
En el caso de CRS tiene, para el periodo temporal del año 1986, la productividad
de los países muy alejada de la que propone la metafrontera. Si la comparamos con la
envolvente no convexa, los países producen en promedio un escaso 32% de lo que
potencialmente debería producir. Pero los datos aun empeoran más si nos
proyectamos en la envolvente convexa que no da el modelo, un 27,5%.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
65
En la Fig. 19 se observa que hay muy pocos países que trabajan bajo condiciones
de eficiencia, en concreto Argelia y Nigeria.
Para una mejor compresión y visibilidad del gráfico, se ha atribuido un nuevo
orden a los países que forman los grupos. Así, en lugar del alfabético que se proponía
en la Tabla 4, se ordenan de forma ascendente en la eficiencia técnica para sus propias
tecnologías, es decir, en el resultado que nos proporciona el modelo BCC-OUTPUT.
Fig. 19: Eficiencia Técnica del grupo 1 para CRS_86.
NÚMERO PAÍS NÚMERO PAÍS
1 Níger 15 Burkina Faso
2 Costa de Marfil 16 Marruecos
3 Ghana 17 Malí
4 Camerún 18 Etiopía RDP
5 Uganda 19 Sudán (ex)
6 R.D. Congo 20 Egipto
7 Burundi 21 Zimbabue
8 Kenia 22 Túnez
9 Senegal 23 Mozambique
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
66
10 Ruanda 24 Chad
11 Sudáfrica 25 Angola
12 Guinea 26 Argelia
13 Malawi 27 Nigeria
14 Madagascar
Tabla 7: Orden de países de la Fig. 19.
Por definición, en condiciones de retornos de escala constante, donde suponemos
a todas las DMU’s iguales, el modelo exige a todas que puedan conseguir la mayor
productividad alcanzada por el óptimo, algo que no sucede por la evidente diferencia
de tamaño entre países. Es por esto que solo hay un 7% de países eficientes.
Aún así, si observamos el ratio metatecnológico, se observa que la tecnología del
grupo es muy competitiva, ya que de producir en su frontera, sería como producir al
95% en la MFNC y casi un 91% de eficiencia en régimen de metafrontera a nivel
mundial.
La baja eficiencia media de las naciones de este grupo indica que las condiciones
de producción en esta región son bastante estrictas.
RE CG Año Media DE Mínimo Máximo
CRS 1 1986 ET BCC_OUT 0,345 0,280 0,033 1,000
MFNC 0,315 0,248 0,033 1,000
MF 0,275 0,206 0,025 1,000
MTR BCC_OUT-MFNC 0,958 0,148 0,444 1,000
MFNC-MF 0,908 0,124 0,604 1,000
1 1990 ET BCC_OUT 0,364 0,282 0,029 1,000
MFNC 0,338 0,255 0,029 1,000
MF 0,293 0,206 0,021 1,000
MTR BCC_OUT-MFNC 0,961 0,141 0,461 1,000
MFNC-MF 0,902 0,134 0,563 1,000
VRS 1 1986 ET BCC_OUT 0,544 0,319 0,176 1,000
MFNC 0,482 0,294 0,137 1,000
MF 0,438 0,279 0,121 1,000
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
67
MTR BCC_OUT-MFNC 0,907 0,186 0,433 1,000
MFNC-MF 0,912 0,089 0,703 1,000
1 1990 ET BCC_OUT 0,566 0,307 0,226 1,000
MFNC 0,493 0,279 0,125 1,000
MF 0,455 0,274 0,115 1,000
MTR BCC_OUT-MFNC 0,894 0,206 0,420 1,000
MFNC-MF 0,916 0,080 0,748 1,000
Tabla 8: Promedio de ET y MTR para grupo 1 en CRS Y VRS años 86 y 90.
La producción en CRS para el año 1990 mejora levemente, aunque mantiene su
nivel de eficiencia media, en torno al 90% de la envolvente tecnológica con respecto a
las metafronteras en sus dos versiones de convexidad.
Si los retornos de escala que utilizamos son variables, los resultados mejoran
bastante. Ahora los países eficientes para el año 1986 ocupan el 26% del total. La
eficiencia media para este mismo año sube al 54,4% y con respecto a la metafrontera
asciende al 44%.
Los datos medios de eficiencia en el año 1990 mejoran, y una posible explicación
radica en la mejora tecnológica entre esos 5 años.
Fig. 20: Eficiencia Técnica del grupo 1 para VRS_86.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
68
NÚMERO PAÍS NÚMERO PAÍS
1 Senegal 15 Zimbabue
2 Burundi 16 Kenia
3 Ruanda 17 Marruecos
4 Guinea 18 R.D. Congo
5 Malawi 19 Mozambique
6 Costa de Marfil 20 Angola
7 Camerún 21 Sudáfrica
8 Ghana 22 Etiopía RDP
9 Burkina Faso 23 Sudán (ex)
10 Níger 24 Egipto
11 Uganda 25 Chad
12 Malí 26 Argelia
13 Madagascar 27 Nigeria
14 Túnez
Tabla 9: Orden de países de la Fig. 20.
Los valores con los que estamos trabajando son valores medios. Si observamos la
desviación estándar, podemos apreciar la dispersión que hay entre valores mínimos y
máximos de eficiencia. Esto es, hay una importante brecha productiva entre la mayoría de
países y unos pocos en este continente. En el año 1990, en torno al 80% (CRS) de los países
producían por debajo del 50% de su potencial productividad dentro de su frontera
tecnológica. La bajada de eficiencia se hace más acusada si comparamos bajo el paraguas
de la metafrontera.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
69
Fig. 21: Eficiencia Técnica del grupo 1 para CRS_90
NÚMERO PAÍS NÚMERO PAÍS
1 Níger 15 Malawi
2 Costa de Marfil
16 Marruecos
3 Uganda 17 Burkina Faso
4 Ghana 18 Túnez
5 Camerún 19 Malí
6 R.D. Congo 20 Etiopía RDP
7 Kenia 21 Sudán (ex)
8 Sudáfrica 22 Zimbabue
9 Guinea 23 Mozambique
10 Burundi 24 Chad
11 Ruanda 25 Angola
12 Senegal 26 Argelia
13 Egipto 27 Nigeria
14 Madagascar
Tabla 10: Orden de países de la Fig. 21
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
70
Haciendo un análisis más exhaustivo de lo que nos ofrece la metafrontera,
tratemos el caso de Sudáfrica. Con el retorno de escala variable, esta nación es eficiente
tanto para el año 86 como para el 90.
Si proyectamos esta DMU en la metafrontera convexa, su eficiencia pasa de ser 1
a ser 0,612, esto es, que sólo conseguirá el 62% de productividad si se mantiene en esa
situación.
Tanto para la envolvente convexa como para la que no lo es, el valor de eficiencia
para Sudáfrica coincide. Esto es debido a que ese punto es compartido por ambas
fronteras. Es por eso, que el MTR entre estas envolventes resultan ser la unidad.
Para que Sudáfrica consiga llegar a la eficiencia en la metafrontera, para VRS y
1990, debe producir manteniendo su nivel de consumo de recursos en un 25% a la
DMU50 y un 75% a la DMU57 (ambas unidades eficientes y referentes a la
nomenclatura de la Tabla 4).
Fig. 22: Eficiencia Técnica del grupo 1 para VRS_90.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
71
NÚMERO PAÍS NÚMERO PAÍS
1 Costa de Marfil 15 Zimbabue
2 Ruanda 16 R.D. Congo
3 Guinea 17 Kenia
4 Camerún 18 Marruecos
5 Ghana 19 Mozambique
6 Burundi 20 Sudáfrica
7 Níger 21 Egipto
8 Túnez 22 Etiopía RDP
9 Malawi 23 Sudán (ex)
10 Burkina Faso 24 Chad
11 Uganda 25 Angola
12 Malí 26 Argelia
13 Senegal 27 Nigeria
14 Madagascar
Tabla 11: Orden de países de la Fig. 22
El grupo 2 es bastante más competitivo que el grupo 1, si atendemos a la
eficiencia media que obtienen sus países bajo su tecnología. En el año 1986 y tomando
las DMU como semejantes (CRS), se tiene una eficiencia del 73,6%, siendo esta más
baja en 1990 bajo las mismas condiciones con un 71,9%. Sin embargo, comparte
eficiencia con un 86% ambos periodos cuando son evaluados como retornos de escala
variable.
La Fig. 23 podemos la eficiencia técnica de los países.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
72
Fig. 23: Eficiencia Técnica del grupo 2 para CRS_86.
NÚMERO PAÍS NÚMERO PAÍS
1 Canadá 12 Colombia
2 EEUU 13 Perú
3 República Dominicana 14 El Salvador
4 Ecuador 15 Guatemala
5 Argentina 16 Bolivia
6 México 17 Cuba
7 Costa Rica 18 Haití
8 Chile 19 Nicaragua
9 Brasil 20 Uruguay
10 Paraguay 21 Venezuela
11 Honduras
Tabla 12: Orden de países de la Fig. 23.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
73
Fig. 24: Eficiencia Técnica del grupo 2 para VRS_86.
NÚMERO PAÍS NÚMERO PAÍS
1 Canadá 12 EEUU
2 República Dominicana 13 Brasil
3 Ecuador 14 El Salvador
4 Costa Rica 15 Perú
5 Chile 16 Bolivia
6 Paraguay 17 Cuba
7 Honduras 18 Haití
8 México 19 Nicaragua
9 Guatemala 20 Uruguay
10 Argentina 21 Venezuela
11 El Salvador
Tabla 13: Orden de países de la Fig. 24.
En VRS el porcentaje de eficiencia aumenta alcanzando hasta 86% en el mejor de
los casos, que es el obtenido en el año 1990.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
74
Sin embargo los ratios MTR respecto a la frontera tecnológica que nos da el
modelo BCC_OUTPUT salen bastante bajos. Esto es, la productividad obtenida al
proyectarnos en la envolvente de metafrontera no convexa, nos dice que es 55,4%
para VRS en el año 86 y una brecha aún mayor para el año 90. La productividad baja
más si cabe si nos proyectamos en la metafrontera.
Es fácil ver en las Fig. 24y Fig. 26 que la brecha entre las fronteras eficientes de la
tecnología y las de metafrontera son bastante grandes usando VRS.
RE CG Año
Media DE Mínimo Máximo
CRS 2 1986 ET BCC_OUT 0,736 0,258 0,218 1
MFNC 0,235 0,13 0,07 0,661
MF 0,199 0,091 0,07 0,413
MTR BCC_OUT-MFNC 0,317 0,103 0,123 0,661
MFNC-MF 0,882 0,113 0,624 1
2 1990 ET BCC_OUT 0,719 0,247 0,22 1
MFNC 0,214 0,107 0,07 0,574
MF 0,189 0,079 0,07 0,39
MTR BCC_OUT-MFNC 0,3 0,085 0,169 0,574
MFNC-MF 0,904 0,089 0,68 1
VRS 2 1986 ET BCC_OUT 0,86 0,197 0,431 1
MFNC 0,478 0,235 0,136 0,984
MF 0,399 0,216 0,125 0,885
MTR BCC_OUT-MFNC 0,554 0,231 0,136 0,984
MFNC-MF 0,834 0,15 0,476 1
2 1990 ET BCC_OUT 0,861 0,185 0,437 1
MFNC 0,463 0,237 0,178 1
MF 0,409 0,246 0,138 1
MTR BCC_OUT-MFNC 0,534 0,237 0,278 1
MFNC-MF 0,852 0,141 0,494 1
Tabla 14: Promedio de ET y MTR para grupo 2 en CRS Y VRS años 86 y 90.
Además podemos observar que sólo Nicaragua para VRS y año de estudio el 1990
pertenece a la envolvente de la metafrontera, tal y como nos ilustra la Tabla 14.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
75
Fig. 25: Eficiencia Técnica del grupo 2 para CRS_90.
NÚMERO PAÍS NÚMERO PAÍS
1 EEUU 12 Chile
2 Canadá 13 Guatemala
3 Ecuador 14 Perú
4 México 15 Venezuela
5 Argentina 16 Bolivia
6 Honduras 17 Cuba
7 Costa Rica 18 El Salvador
8 República Dominicana 19 Haití
9 Paraguay 20 Nicaragua
10 Colombia 21 Uruguay
11 Brasil
Tabla 15: Orden de países de la Fig. 25.
Analizando dos naciones económicamente potentes como Argentina y EEUU,
tenemos que bajo condiciones de su tecnología son casi eficientes. Pero la cosa cambia
ante el panorama globalizador de la metafrontera. Sus eficiencias caen por debajo del
70% tras proyectarse en la metafrontera.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
76
La combinación lineal que deberían cumplir para llegar a ser eficientes en el
periodo 1990 y VRS en el caso de Argentina: DMU50 (0,8)+ DMU60 (0,2) y EEUU:
DMU55 (1).
Fig. 26: Eficiencia Técnica del grupo 2 para VRS_90.
NÚMERO PAÍS NÚMERO PAÍS
1 Canadá 12 Colombia
2 Ecuador 13 Brasil
3 Honduras 14 Perú
4 Costa Rica 15 Venezuela
5 República Dominicana 16 Bolivia
6 Chile 17 Cuba
7 Paraguay 18 El Salvador
8 Guatemala 19 Haití
9 México 20 Nicaragua
10 Argentina 21 Uruguay
11 EEUU
Tabla 16: Orden de países de la Fig. 26.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
77
En el grupo 3 hay países de Asia y Oceanía. En la Fig. 27, que corresponde al
periodo 1986 con CRS, observamos la gran diferencia productiva entre países bajo la
misma tecnología. Ese escalón se suaviza muchísimo para el mismo periodo pero bajo
régimen de retorno de escala variable. Aunque siguen existiendo casos característicos
como el de Camboya, que para su tecnología aporta como país eficiente, pero tras su
proyección en la envolvente de metafrontera, su eficiencia baja de manera drástica al
20%.
Fig. 27: Eficiencia Técnica del grupo 3 para CRS_86.
NÚMERO PAÍS NÚMERO PAÍS
1 Iraq 14 Tailandia
2 República Democrática Popular Lao 15 Myanmar
3 Israel 16 Sri Lanka
4 Indonesia 17 India
5 Turquía 18 Bangladesh
6 Nueva Zelandia 19 Vietnam
7 Malasia 20 Arabia Saudita
8 Papua Nueva Guinea 21 Camboya
9 China 22 Irán
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
78
10 República de Corea 23 Japón
11 Filipinas 24 Mongolia
12 Pakistán 25 Nepal
13 Australia 26 Siria
Tabla 17: Orden de países de la Fig. 27.
Fig. 28: Eficiencia Técnica del grupo 3 para VRS_86.
NÚMERO PAÍS NÚMERO PAÍS
1 Iraq 14 Pakistán
2 República Democrática Popular Lao 15 Vietnam
3 Israel 16 Bangladesh
4 Papua Nueva Guinea 17 China
5 Indonesia 18 Australia
6 Filipinas 19 India
7 Nueva Zelandia 20 Arabia Saudita
8 Turquía 21 Camboya
9 Tailandia 22 Irán
10 Malasia 23 Japón
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
79
11 Sri Lanka 24 Mongolia
12 Myanmar 25 Nepal
13 República de Corea 26 Siria
Tabla 18: Orden de países de la Fig. 28.
En la Tabla 19 se observa que las eficiencias técnicas medias de las DMU’s para la
simulación en CRS rondan el 54%, alejándose mucho de lo que podrían producir en
condiciones de metafrontera. Esto genera un MTR del 56% aproximadamente. Es decir,
Si operamos en condiciones de eficiencia tecnológica, aún estamos un 44% por debajo
de la producción óptima, si la proyección se da en la metafrontera no convexa. Peores
resultados obtendríamos en la aproximación convexa.
RE CG Año Media DE Mínimo Máximo
CRS 3 1986 ET BCC_OUT 0,536 0,323 0,052 1 MFNC 0,299 0,304 0,028 1 MF 0,283 0,286 0,028 1 MTR BCC_OUT-MFNC 0,55 0,331 0,199 1 MFNC-MF 0,957 0,069 0,777 1 3 1990 ET BCC_OUT 0,541 0,328 0,042 1 MFNC 0,301 0,301 0,036 1 MF 0,291 0,289 0,036 1 MTR BCC_OUT-MFNC 0,565 0,337 0,207 1 MFNC-MF 0,974 0,04 0,865 1 VRS 3 1986 ET BCC_OUT 0,693 0,314 0,126 1 MFNC 0,625 0,331 0,089 1 MF 0,576 0,335 0,077 1 MTR BCC_OUT-MFNC 0,898 0,226 0,219 1 MFNC-MF 0,906 0,105 0,622 1 3 1990 ET BCC_OUT 0,699 0,315 0,107 1 MFNC 0,625 0,339 0,09 1 MF 0,589 0,334 0,086 1 MTR BCC_OUT-MFNC 0,886 0,241 0,244 1 MFNC-MF 0,939 0,082 0,722 1
Tabla 19: Promedio de ET y MTR para grupo 3 en CRS Y VRS años 86 y 90.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
80
Sin embargo, las eficiencias en VRS constatan que las aproximaciones son más
reales, haciendo la diferencia entre envolventes más pequeña. El MTR BCC_O-MF_86 es del
orden del 80%, y para el periodo del 1990 es del 83%.
Fig. 29: Eficiencia Técnica del grupo 3 para CRS_90.
NÚMERO PAÍS NÚMERO PAÍS
1 Iraq 14 Tailandia
2 Israel 15 India
3 República Democrática Popular Lao 16 Sri Lanka
4 Indonesia 17 Bangladesh
5 Turquía 18 Arabia Saudita
6 Nueva Zelandia 19 Vietnam
7 Malasia 20 Myanmar
8 República de Corea 21 Camboya
9 Papua Nueva Guinea 22 Nepal
10 China 23 Irán
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
81
11 Filipinas 24 Japón
12 Australia 25 Mongolia
13 Pakistán 26 Siria
Tabla 20: Orden de países de la Fig. 29.
Fig. 30: Eficiencia Técnica del grupo 3 para VRS_90.
NÚMERO PAÍS NÚMERO PAÍS
1 Iraq 14 Vietnam
2 Israel 15 Myanmar
3 República Democrática Popular Lao 16 Nepal
4 Papua Nueva Guinea 17 China
5 Nueva Zelandia 18 Australia
6 Indonesia 19 India
7 Filipinas 20 Bangladesh
8 Turquía 21 Arabia Saudita
9 Tailandia 22 Camboya
10 Malasia 23 Irán
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
82
11 República de Corea 24 Japón
12 Sri Lanka 25 Mongolia
13 Pakistán 26 Siria
Tabla 21: Orden de países de la Fig. 30.
China, India o Japón son DMU’s eficientes tanto en su tecnología como en la
metafrontera. Sin embargo, el caso de Israel, que ya es productivamente ineficiente,
para proyectarse en la metafrontera necesitaría de la siguiente combinación lineal:
(0,40)57+(0,6)68. Este Peer group está asociado al periodo temporal de 1990 y VRS.
Para concluir con el análisis de metafrontera por grupos, veamos qué resultados
generan los países del continente europeo. En términos de promedio, es el grupo que
mejor eficiencia técnica consigue en su tecnología para todos los periodos de estudio.
La aproximación en VRS otorga unos ratios MTR más altos que en la
aproximación por CRS, tal y como se puede comprobar en la Tabla 24. Aunque
comparativamente con el resto de grupos, bajo las mismas condiciones de periodo y
retorno de escala, el ratio en algo inferior que la media de los anteriores.
De entre todos los grupos, es Europa el que mayor homogeneidad tiene entre
sus DMU’s. Reflejo de esto es su alta eficiencia técnica dentro de su tecnología.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
83
Fig. 31: Eficiencia Técnica del grupo 4 para CRS_86.
NÚMERO PAÍS NÚMERO PAÍS
1 Italia 13 Polonia
2 Países Bajos 14 Austria
3 Bélgica-Luxemburgo 15 Bulgaria
4 España 16 R. Checa
5 Francia 17 Yugoslavia
6 Dinamarca 18 Finlandia
7 Alemania 19 Irlanda
8 Suiza 20 Noruega
9 Grecia 21 Portugal
10 Suecia 22 Rumania
11 Hungría 23 URSS
12 Reino Unido
Tabla 22: Orden de países de la Fig. 31.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
84
Fig. 32: Eficiencia Técnica del grupo 4 para VRS_86.
NÚMERO PAÍS NÚMERO PAÍS
1 Bélgica-Luxemburgo 13 Reino Unido
2 Países Bajos 14 Austria
3 España 15 Alemania
4 Italia 16 R. Checa
5 Suiza 17 Yugoslavia
6 Dinamarca 18 Finlandia
7 Grecia 19 Irlanda
8 Suecia 20 Noruega
9 Hungría 21 Portugal
10 Polonia 22 Rumania
11 Francia 23 URSS
12 Bulgaria
Tabla 23: Orden de países de la Fig. 32.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
85
Aún y así, la homogeneidad del grupo no hace que muchas de sus unidades
productivas pertenezcan a la envolvente de metafrontera. Es el caso de Finlandia y
Noruega. Éstas son dos DMU’s eficientes en el modelo BCC_OUTPUT, sin embargo
caen fuera de la envolvente convexa. Para el periodo de 1990 sus eficiencias
respectivas para con la metafrontera son del 97%. Dicho esto, la aproximación es casi
eficiente. Bajo régimen de retorno de escala constante, sí entran a formar parte de la
envolvente de metafrontera, tal y como se observa en la Fig. 31.
En este estudio, el papel de España es algo discreto en cuanto a productividad se
refiere. En ningún momento se torna como país eficiente, siendo su mayor eficiencia
del 58% en el periodo de 1986, VRS y bajo las condiciones de su tecnología. Recordar
que la media del grupo bajo esas mismas condiciones era del 82,5%.
Para llegar a niveles de eficiencia en metafrontera, su proyección debería seguir la
siguiente combinación lineal: 57 (0,40) + 60 (0,52) + 96 (0,08). Esta combinación es
para el periodo 1986 y en condiciones de retorno variable.
RE CG Año gr4 Media DE Mínimo Máximo
CRS 4 1986 ET DEA 0,762 0,192 0,447 1
MFNC 0,395 0,299 0,042 1
MFC 0,367 0,28 0,042 1
MTR DEA-MFNC 0,5 0,32 0,088 1
MFNC-MFC 0,944 0,068 0,812 1
4 1990 ET DEA 0,742 0,2 0,451 1
MFNC 0,351 0,308 0,049 1
MFC 0,337 0,291 0,049 1
MTR DEA-MFNC 0,438 0,308 0,101 1
MFNC-MFC 0,975 0,032 0,899 1
VRS 4 1986 ET DEA 0,825 0,168 0,564 1
MFNC 0,659 0,235 0,275 1
MFC 0,594 0,235 0,248 1
MTR DEA-MFNC 0,792 0,198 0,41 1
MFNC-MFC 0,896 0,078 0,641 1
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
86
4 1990 ET DEA 0,803 0,175 0,524 1
MFNC 0,564 0,234 0,296 1
MFC 0,526 0,232 0,269 1
MTR DEA-MFNC 0,69 0,186 0,339 1
MFNC-MFC 0,928 0,051 0,822 1
Tabla 24: Promedio de ET y MTR para grupo 4 en CRS Y VRS años 86 y 90.
Fig. 33: Eficiencia Técnica del grupo 4 para CRS_90.
NÚMERO PAÍS NÚMERO PAÍS
1 Países Bajos 13 Reino Unido
2 Italia 14 Bulgaria
3 España 15 Austria
4 Hungría 16 R. Checa
5 Francia 17 Portugal
6 Bélgica-Luxemburgo 18 Finlandia
7 Dinamarca 19 Irlanda
8 Alemania 20 Noruega
9 Suecia 21 Rumania
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
87
10 Suiza 22 URSS
11 Polonia 23 Yugoslavia
12 Grecia
Tabla 25: Orden de países de la Fig. 33.
Fig. 34: Eficiencia Técnica del grupo 4 para VRS_90.
NÚMERO PAÍS NÚMERO PAÍS
1 Hungría 13 Austria
2 España 14 Reino Unido
3 Países Bajos 15 Alemania
4 Bélgica-Luxemburgo 16 R. Checa
5 Italia 17 Portugal
6 Suecia 18 Finlandia
7 Dinamarca 19 Irlanda
8 Suiza 20 Noruega
9 Grecia 21 Rumania
10 Francia 22 URSS
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
88
11 Bulgaria 23 Yugoslavia
12 Polonia
Tabla 26: Orden de países de la Fig. 34.
Este estudio nos revela en términos de promedios, que los países africanos producen bajo condiciones más estrictas que en otras regiones del planeta.
Una vez analizados los dos periodos con el modelo de metafrontera, vamos a evaluar la evolución de las envolventes en esos periodos y en ambos retornos de escala.
Aplicando los modelos matemáticos que definen el índice de Malmquist, nos genera la siguiente tabla por grupos. Los resultados se presentan en términos de promedio.
GRUPO CAMBIO ET DE CAMBIO TECH DE MJ_VRS DE
1 1,083 0,235 1,021 0,141 1,088 0,179
2 1,051 0,401 1,007 0,157 1,007 0,163
3 1,033 0,122 0,975 0,086 0,997 0,045
4 0,891 0,147 1,122 0,283 0,964 0,067
Tabla 27: Índice Malmquist envolvente 86 y 90 VRS.
Los resultados obtenidos en la Tabla 27, tienen una interpretación inversa a la que se expuso en el Análisis Temporal DEA: Índice Malmquist. Esto es así, porque al estar ante problemas con orientación de salida, los resultados tienen sentido a la inversa.
Una vez aclarado esto, estamos en condiciones de afirmar que para el grupo 1, formado por los países africanos, las DMU’s evolucionan y son más eficientes. El indicador del distanciamiento con la frontera eficiente es prácticamente, por lo que en conjunto, las unidades por término medio son levemente más productivas.
Para los países americanos, el índice me Malmquist permanece constante, luego aproximadamente las fluctuaciones entre eficiencias de las unidades y la distancias con la envolvente se compensan.
El grupo 3, se aproxima a la unidad por el límite inferior, pero podemos decir que también se mantiene constante la productividad ante los cambios experimentados en la frontera productiva y las eficiencias de las unidades.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
89
Es el grupo 4, el integrado por los países europeos, los que bajan su productividad. El Índice marca un 96%. La interpretación es que por cuestiones políticas, climáticas o socio-económicas del continente, no ha sido capaz, ya no sólo de mejorar la productividad con respecto a sus competidores en el mundo, sino que se ha quedado un poco retrasado.
Señalar que el 3,5% de déficit no es alarmante.
Suponiendo las unidades productivas del mismo tamaño, el modelo bajo retorno de escala constante no genera los resultados de la Tabla 28:
MED_ET DE MED_TECH DE MED_MJ DE
1 1,0925 0,1754 1,0280 0,1250 1,1049 0,0960
2 0,9809 0,1772 1,0664 0,1525 1,0227 0,0821
3 1,0613 0,2036 0,9992 0,1451 1,0365 0,0906
4 0,9308 0,2278 1,2672 0,9739 1,0007 0,0624
Tabla 28: Índice Malmquist envolventes 86 y 90 CRS.
Como se puede apreciar, todos los grupos obtienen un índice mayores o iguales a
la unidad. Con esta consideración todos los grupos son más productivos ante el paso
del tiempo.
Durante todo el estudio, hemos visto como los resultados obtenidos con retorno de
escala contante no han sido tan precisos como en VRS. Los ratios metatecnológicos más
bajos (los que más distancia entre envolventes ofrecía), han sido bajo esta
consideración.
Como ya se señaló en el apartado de Objetivo del proyecto, nuestra misión era
construir un análisis de metafrontera para aplicarle un análisis temporal.
ANALISIS METAFRONTERA METAFRONTERA CON ANÁLISIS TEMPORAL: FAO
90
Es evidente que las diferencias entre países es lo suficientemente importante como
para considerar CRS. Esta hipótesis es banal y poco realista, pero al no poder asegurar
que con el retorno de escala variable el Índice Malmquist tuviese solución, se ha
considerado arrastras ambos supuestos para poder así conseguir nuestro propósito
original, presentar la metodología.
ANALISIS METAFRONTERA CONCLUSIONES
90
7 Resumen y Conclusiones.
En este proyecto se desarrolla el concepto de metafrontera y la innovadora
aplicación del análisis temporal de las envolventes generadas en dos periodos
temporales distintos.
Por una parte, con el modelo de metafrontera se busca estudiar diferentes tipos de
eficiencias entre empresas o DMU’s.
La metafrontera se define como el límite para un grupo ilimitado de tecnologías.
Un grupo de empresas que operan con pocos recursos o bajo una alta atmósfera de
producción reglada, pueden sólo tener acceso (pertenecer) a un conjunto limitado de
tecnologías. Así nos referimos al conjunto de grupo de fronteras.
La medida de la proximidad de un grupo de fronteras a la metafrontera, ya sea
usando la aproximación convexa o no, se consigue con la definición del ratio
metatecnológico.
La capacidad de medir ese espacio entre grupo de fronteras y metafrontera es de
especial interés para gestores y políticos, ya que permiten medir el potencial de mejora
en el rendimiento según los ámbitos introducidos en un sistema productivo.
Los gobiernos pueden cambiar el clima productivo invirtiendo en material
educativo, estimulando los mercados inyectando liquidez, optimizando el
aprovisionamiento de hospitales, etc.
Los gestores privados, tienen la capacidad de modificar los sistemas productivos,
deslocalizar operaciones, simplificando la gestión de inventarios, etc.
La programación lineal que se usa en la construcción del DEA-metafrontera nos
muestra la máxima eficiencia para la DMU’s asignándole el valor unidad, mientras
que a las unidades ineficientes las clasifica en un intervalo [0, 1).
ANALISIS METAFRONTERA CONCLUSIONES
91
Por otro lado, la aplicación del análisis temporal orientado hacia los modelos de
metafrontera, se tornan fundamental a la vez que innovador. No nos consta que en
ningún artículo escrito hasta la fecha, haya incluido este tipo de análisis.
Ser capaces de ver la evolución de los planes de actuación que se han puesto en
marcha en los supuestos anteriores para llegar a ser eficientes, hacen de este estudio
una herramienta potente de análisis y predicción. Además siendo posible ver si el
factor desequilibrante radica en la evolución de la unidad productiva o en el
movimiento de la frontera productiva del conjunto.
Este proyecto ofrece la oportunidad de abordar otras líneas de investigación
utilizando, por ejemplo, modelos aditivos como el SBM (Slack Based Measure),
aplicando restricciones en los pesos o utilizar técnicas de análisis temporal como el
Window Analysis.
ANALISIS METAFRONTERA REFERENCIAS
92
8 Referencias
8.1 Bibliografía:
Caves, D.W; Christensen, L.R; Diewert, W.E (1982): The Economic Theory of Index and the
Measurement of Input, Output and Productivity. Econometría Vol 50, No. 6; 1393-1414.
Charnes, A. Cooper, W.W. and Rhodes, E. (1978): Measuring the efficiency of decision making unit,
European Journal of Operations Research, 429-44.
Farrel M.J (1957): The Measurement of Productive Efficiency.Journal of the Royal Statistical Society,
120: Part 3,253-290.
Medal-Bartual, A., García Martín, C.J y Sala-Garrido, R. (2012): Efficiency analysis of small
franchise enterprises through a DEA metafrontier model, The Service Industries Journal, 32:15,
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O’Donnell, C.J. Prasada Rao, D.S, Battese, G.E. (1998): An Introduction to Efficiency and Productivity
Analysis, Nueva York, Springer Science + Business Media, Inc.
O’Donnell, C.J. Prasada Rao, D.S, Battese, G.E. (2004): A Metafrontier production function for
estimation of technical efficiencies and technology gaps for firm operating under different
technologies. Journal of Productivity Analysis, 21, 91-203.
O’Donnell, C.J. Prasada Rao, D.S, Battese, G.E. (2008): Metafrontier framework for the study of
firm-level efficiencies and technology ratios, Empirical Economics, 34:231-255.
Salas-Garrido, R., Molinos-Senante, M, Hernández-Sancho, F. (2011): Compàring the efficiency of
wastewater treatment technologies through a DEA metafrontier model, Chemical Engineering
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Tiedemann, T. Francksen, T. Latacz-Lohmann, U. (2011): Assessing the performance of German
Bundesliga football players: a non-parametric metafrontier approach, Cejor, 19:571-587.
Villa Caro, G (2003): Análisis por Envoltura de Datos (DEA). Nuevos modelos y aplicaciones. Tesis
Doctoral, Universidad de Sevilla.
8.2 Direcciones webs:
Cooper, WW. (2013)<http://deazone.com/en/>
FAOSTAT, Organización de las Naciones Unidas para la Alimentación y la Agricultura (2013)
<http://www.fao.org/statistics/es/>
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
93
9 Anexos
9.1 Año 1986.
Tabla 29: Estimación de eficiencias técnicas y ratio metatecnológico CRS_86.
NÚMERO PAÍS
ET_DEA_CRS
ET_MFNC_CRS
ET_MFC_CRS
MTR_DEA-MFNC
MTR_MFNC-MFC
1 0,885 0,885 0,652 1,000 0,737
2 1,000 0,445 0,399 0,445 0,897
3 0,270 0,270 0,270 1,000 1,000
4 0,167 0,167 0,167 1,000 1,000
5 0,129 0,129 0,129 1,000 1,000
6 0,857 0,857 0,602 1,000 0,702
7 0,070 0,070 0,063 1,000 0,896
8 0,404 0,393 0,288 0,972 0,732
9 0,322 0,322 0,322 1,000 1,000
10 0,113 0,113 0,113 1,000 1,000
11 0,209 0,209 0,195 1,000 0,937
12 0,171 0,171 0,171 1,000 1,000
13 0,237 0,237 0,237 1,000 1,000
14 0,209 0,209 0,209 1,000 1,000
15 0,321 0,321 0,281 1,000 0,875
16 0,312 0,312 0,188 1,000 0,604
17 0,568 0,568 0,483 1,000 0,851
18 0,033 0,033 0,025 1,000 0,754
19 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
20 0,157 0,157 0,157 1,000 1,000
21 0,175 0,175 0,175 1,000 1,000
22 0,174 0,174 0,174 1,000 1,000
23 0,191 0,191 0,191 1,000 1,000
24 0,325 0,325 0,325 1,000 1,000
25 0,464 0,206 0,172 0,444 0,834
26 0,136 0,136 0,136 1,000 1,000
27 0,426 0,426 0,299 1,000 0,702
28 0,484 0,197 0,182 0,407 0,925
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
94
29 1,000 0,317 0,279 0,317 0,881
30 0,738 0,227 0,226 0,307 0,998
31 0,218 0,070 0,070 0,321 1,000
32 0,693 0,224 0,197 0,324 0,881
33 0,785 0,179 0,179 0,228 1,000
34 0,610 0,251 0,197 0,411 0,786
35 1,000 0,381 0,381 0,381 1,000
36 0,472 0,127 0,096 0,270 0,754
37 0,936 0,294 0,215 0,314 0,731
38 0,228 0,073 0,073 0,320 1,000
39 0,946 0,271 0,201 0,286 0,742
40 1,000 0,123 0,123 0,123 1,000
41 0,782 0,178 0,156 0,227 0,875
42 0,530 0,150 0,150 0,283 1,000
43 1,000 0,357 0,293 0,357 0,819
44 0,749 0,268 0,227 0,358 0,847
45 0,846 0,190 0,158 0,224 0,835
46 0,437 0,122 0,102 0,278 0,842
47 1,000 0,661 0,413 0,661 0,624
48 1,000 0,268 0,266 0,268 0,992
49 0,856 0,789 0,758 0,922 0,960
50 0,439 0,223 0,223 0,508 1,000
51 0,685 0,163 0,163 0,238 1,000
52 0,993 0,198 0,198 0,199 1,000
53 0,320 0,087 0,087 0,271 0,999
54 0,343 0,124 0,104 0,361 0,843
55 0,617 0,193 0,193 0,312 1,000
56 0,201 0,061 0,061 0,302 1,000
57 1,000 0,542 0,542 0,542 1,000
58 0,052 0,052 0,048 1,000 0,914
59 0,200 0,200 0,178 1,000 0,893
60 1,000 1,000 0,797 1,000 0,797
61 0,257 0,257 0,257 1,000 1,000
62 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
95
63 0,501 0,115 0,115 0,228 1,000
64 1,000 0,241 0,241 0,241 1,000
65 0,235 0,202 0,202 0,856 1,000
66 0,406 0,187 0,187 0,461 0,997
67 0,296 0,059 0,059 0,200 1,000
68 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
69 0,341 0,341 0,294 1,000 0,861
70 0,131 0,028 0,028 0,213 1,000
71 0,590 0,316 0,246 0,536 0,777
72 0,454 0,125 0,113 0,276 0,904
73 0,208 0,082 0,082 0,393 1,000
74 0,823 0,204 0,190 0,248 0,934
75 0,642 0,080 0,080 0,124 1,000
76 0,786 0,786 0,694 1,000 0,883
77 0,515 0,247 0,227 0,478 0,919
78 0,818 0,384 0,384 0,470 1,000
79 0,941 0,479 0,479 0,509 1,000
80 0,602 0,346 0,319 0,575 0,922
81 0,530 0,339 0,292 0,640 0,863
82 1,000 1,000 0,994 1,000 0,994
83 0,600 0,069 0,069 0,115 1,000
84 0,645 0,309 0,279 0,479 0,903
85 0,757 0,388 0,388 0,513 1,000
86 1,000 0,462 0,444 0,462 0,960
87 0,447 0,042 0,042 0,094 1,000
88 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
89 0,475 0,190 0,178 0,399 0,940
90 0,768 0,067 0,067 0,088 1,000
91 1,000 0,394 0,330 0,394 0,839
92 0,759 0,103 0,103 0,135 1,000
93 1,000 0,277 0,277 0,277 1,000
94 0,654 0,630 0,520 0,964 0,825
95 0,643 0,428 0,348 0,666 0,812
96 1,000 0,108 0,108 0,108 1,000
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
96
97 0,953 0,953 0,809 1,000 0,849
Tabla 29: Estimación de eficiencias técnicas y ratio metatecnológico CRS_86.
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
97
Tabla 30: Estimación de eficiencias técnicas y ratio metatecnológico VRS_86.
NÚMERO PAÍS
ET_DEA_VRS
ET_MFNC_VRS
ET_MFC_VRS
MTR_DEA-MFNC
MTR_MFNC-MFC
1 0,935 0,935 0,767 1,000 0,821
2 1,000 0,491 0,473 0,491 0,962
3 0,283 0,283 0,283 1,000 1,000
4 0,176 0,176 0,175 1,000 0,994
5 0,228 0,228 0,225 1,000 0,985
6 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 0,222 0,222 0,172 1,000 0,772
8 1,000 0,717 0,571 0,717 0,796
9 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
10 0,242 0,242 0,211 1,000 0,873
11 0,215 0,215 0,214 1,000 0,998
12 0,519 0,519 0,472 1,000 0,909
13 0,472 0,472 0,463 1,000 0,982
14 0,221 0,221 0,219 1,000 0,993
15 0,420 0,420 0,363 1,000 0,863
16 0,557 0,387 0,333 0,695 0,860
17 0,646 0,646 0,546 1,000 0,847
18 0,294 0,137 0,121 0,466 0,885
19 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
20 0,558 0,558 0,433 1,000 0,775
21 0,201 0,201 0,198 1,000 0,983
22 0,176 0,176 0,175 1,000 0,996
23 0,947 0,662 0,654 0,699 0,988
24 1,000 1,000 0,892 1,000 0,892
25 0,479 0,207 0,191 0,433 0,921
26 0,402 0,402 0,329 1,000 0,818
27 0,501 0,501 0,352 1,000 0,703
28 0,967 0,539 0,525 0,557 0,974
29 1,000 0,450 0,389 0,450 0,866
30 1,000 0,984 0,885 0,984 0,899
31 0,431 0,419 0,361 0,972 0,861
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
98
32 0,718 0,270 0,260 0,376 0,963
33 1,000 0,520 0,499 0,520 0,959
34 0,612 0,299 0,211 0,488 0,705
35 1,000 0,640 0,556 0,640 0,870
36 0,542 0,222 0,189 0,411 0,850
37 0,996 0,396 0,223 0,397 0,564
38 1,000 0,767 0,767 0,767 1,000
39 0,946 0,381 0,227 0,402 0,596
40 1,000 0,136 0,134 0,136 0,989
41 0,804 0,184 0,157 0,229 0,855
42 0,811 0,670 0,647 0,826 0,965
43 1,000 0,826 0,393 0,826 0,476
44 0,779 0,395 0,357 0,507 0,905
45 1,000 0,395 0,296 0,395 0,749
46 0,456 0,175 0,125 0,384 0,714
47 1,000 0,779 0,602 0,779 0,773
48 1,000 0,595 0,579 0,595 0,974
49 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
50 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
51 0,996 0,996 0,700 1,000 0,703
52 1,000 0,219 0,216 0,219 0,988
53 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
54 0,383 0,383 0,343 1,000 0,894
55 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
56 0,352 0,352 0,321 1,000 0,912
57 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
58 0,126 0,126 0,107 1,000 0,851
59 0,213 0,213 0,191 1,000 0,898
60 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
61 0,549 0,549 0,424 1,000 0,772
62 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
63 0,669 0,575 0,424 0,859 0,738
64 1,000 0,445 0,436 0,445 0,980
65 0,408 0,408 0,374 1,000 0,918
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
99
66 0,782 0,782 0,754 1,000 0,965
67 0,299 0,096 0,090 0,321 0,934
68 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
69 0,673 0,673 0,528 1,000 0,785
70 0,139 0,089 0,077 0,644 0,862
71 0,597 0,514 0,320 0,862 0,622
72 0,525 0,525 0,485 1,000 0,923
73 0,491 0,491 0,446 1,000 0,909
74 0,824 0,824 0,734 1,000 0,891
75 0,941 0,523 0,492 0,556 0,941
76 0,910 0,889 0,815 0,978 0,917
77 0,564 0,373 0,332 0,660 0,890
78 0,835 0,751 0,607 0,899 0,809
79 1,000 1,000 0,856 1,000 0,856
80 0,646 0,558 0,489 0,864 0,876
81 0,580 0,580 0,532 1,000 0,916
82 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
83 0,822 0,454 0,429 0,552 0,944
84 0,659 0,531 0,446 0,806 0,840
85 0,811 0,811 0,694 1,000 0,855
86 1,000 0,696 0,640 0,696 0,920
87 0,589 0,275 0,248 0,467 0,902
88 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
89 0,578 0,430 0,350 0,745 0,814
90 0,821 0,422 0,373 0,514 0,884
91 1,000 0,410 0,379 0,410 0,926
92 0,890 0,579 0,514 0,651 0,888
93 1,000 0,827 0,529 0,827 0,641
94 0,693 0,656 0,591 0,945 0,901
95 0,644 0,441 0,394 0,684 0,895
96 1,000 0,954 0,940 0,954 0,985
97 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
Tabla 30: Estimación de eficiencias técnicas y ratio metatecnológico VRS_86.
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
100
9.2 Año 1990.
Tabla 31: Estimación de eficiencias técnicas y ratio metatecnológico CRS_90.
NÚMERO PAÍS
ET_DEA_CRS ET_MFNC_CRS
ET_MFC_CRS MTR_DEA-MFNC
MTR_MFNC-MFC
1 1,000 1,000 0,698 1,000 0,698
2 1,000 0,461 0,397 0,461 0,860
3 0,313 0,313 0,313 1,000 1,000
4 0,217 0,217 0,217 1,000 1,000
5 0,157 0,157 0,157 1,000 1,000
6 0,855 0,855 0,555 1,000 0,650
7 0,073 0,073 0,067 1,000 0,914
8 0,247 0,247 0,207 1,000 0,840
9 0,387 0,387 0,387 1,000 1,000
10 0,157 0,157 0,157 1,000 1,000
11 0,212 0,212 0,208 1,000 0,979
12 0,202 0,202 0,202 1,000 1,000
13 0,249 0,249 0,249 1,000 1,000
14 0,289 0,289 0,289 1,000 1,000
15 0,331 0,331 0,288 1,000 0,869
16 0,304 0,304 0,171 1,000 0,563
17 0,619 0,619 0,512 1,000 0,828
18 0,029 0,029 0,021 1,000 0,728
19 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
20 0,186 0,186 0,186 1,000 1,000
21 0,224 0,224 0,224 1,000 1,000
22 0,225 0,225 0,225 1,000 1,000
23 0,202 0,202 0,202 1,000 1,000
24 0,430 0,430 0,407 1,000 0,947
25 0,329 0,158 0,124 0,481 0,781
26 0,152 0,152 0,152 1,000 1,000
27 0,441 0,441 0,305 1,000 0,690
28 0,546 0,217 0,204 0,398 0,939
29 1,000 0,318 0,260 0,318 0,818
30 0,693 0,241 0,224 0,348 0,927
31 0,235 0,076 0,076 0,322 1,000
32 0,693 0,182 0,165 0,263 0,907
33 0,679 0,161 0,161 0,238 1,000
34 0,621 0,189 0,164 0,304 0,869
35 1,000 0,294 0,291 0,294 0,988
36 0,413 0,127 0,099 0,308 0,780
37 1,000 0,245 0,214 0,245 0,872
38 0,220 0,070 0,070 0,319 1,000
39 0,805 0,162 0,145 0,202 0,892
40 1,000 0,169 0,169 0,169 1,000
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
101
41 0,596 0,164 0,137 0,275 0,838
42 0,528 0,168 0,168 0,318 1,000
43 1,000 0,296 0,296 0,296 1,000
44 0,664 0,244 0,208 0,367 0,853
45 0,808 0,154 0,122 0,191 0,794
46 0,644 0,160 0,146 0,249 0,908
47 1,000 0,574 0,390 0,574 0,680
48 0,951 0,285 0,262 0,300 0,917
49 0,776 0,776 0,671 1,000 0,865
50 0,396 0,236 0,236 0,596 1,000
51 0,700 0,177 0,177 0,253 1,000
52 0,976 0,225 0,225 0,231 1,000
53 0,312 0,086 0,086 0,276 1,000
54 0,332 0,128 0,118 0,386 0,925
55 0,600 0,199 0,190 0,331 0,956
56 0,192 0,059 0,059 0,309 1,000
57 1,000 0,576 0,576 0,576 1,000
58 0,042 0,042 0,037 1,000 0,885
59 0,151 0,151 0,147 1,000 0,977
60 1,000 1,000 0,915 1,000 0,915
61 0,282 0,282 0,282 1,000 1,000
62 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
63 0,857 0,205 0,205 0,239 1,000
64 0,979 0,203 0,203 0,207 1,000
65 0,208 0,208 0,203 1,000 0,979
66 0,401 0,198 0,198 0,494 1,000
67 0,311 0,075 0,075 0,240 1,000
68 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
69 0,295 0,295 0,281 1,000 0,953
70 0,174 0,036 0,036 0,207 1,000
71 0,652 0,227 0,213 0,348 0,939
72 0,462 0,164 0,154 0,355 0,936
73 0,196 0,082 0,082 0,416 1,000
74 0,781 0,187 0,187 0,239 1,000
75 0,620 0,088 0,088 0,142 1,000
76 0,825 0,779 0,701 0,945 0,899
77 0,565 0,237 0,230 0,419 0,972
78 0,773 0,293 0,293 0,379 1,000
79 0,871 0,334 0,334 0,384 1,000
80 0,603 0,283 0,277 0,470 0,980
81 0,468 0,054 0,054 0,114 1,000
82 1,000 1,000 0,957 1,000 0,957
83 0,547 0,070 0,070 0,128 1,000
84 0,713 0,315 0,304 0,441 0,966
85 0,522 0,188 0,188 0,361 1,000
86 1,000 0,427 0,421 0,427 0,985
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
102
87 0,456 0,049 0,049 0,107 1,000
88 1,000 1,000 0,920 1,000 0,920
89 0,451 0,171 0,164 0,379 0,958
90 0,697 0,070 0,070 0,101 1,000
91 0,945 0,326 0,305 0,345 0,934
92 0,722 0,113 0,113 0,156 1,000
93 1,000 0,279 0,277 0,279 0,994
94 0,633 0,485 0,454 0,766 0,936
95 0,652 0,400 0,368 0,613 0,921
96 1,000 0,113 0,113 0,113 1,000
97 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
Tabla 31: Estimación de eficiencias técnicas y ratio metatecnológico CRS_90.
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
103
Tabla 32: Estimación de eficiencias técnicas y ratio metatecnológico VRS_90.
NÚMERO PAÍS
ET_DEA_CRS ET_MFNC_CRS
ET_MFC_CRS MTR_DEA-MFNC
MTR_MFNC-MFC
1 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 1,000 0,489 0,415 0,489 0,849
3 0,356 0,356 0,340 1,000 0,954
4 0,256 0,256 0,242 1,000 0,946
5 0,246 0,246 0,246 1,000 1,000
6 1,000 1,000 0,793 1,000 0,793
7 0,226 0,226 0,181 1,000 0,801
8 1,000 0,520 0,479 0,520 0,920
9 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
10 0,255 0,255 0,246 1,000 0,967
11 0,244 0,244 0,232 1,000 0,953
12 0,531 0,531 0,494 1,000 0,931
13 0,450 0,450 0,450 1,000 1,000
14 0,347 0,347 0,326 1,000 0,941
15 0,408 0,408 0,365 1,000 0,895
16 0,584 0,369 0,331 0,631 0,896
17 0,655 0,655 0,547 1,000 0,834
18 0,299 0,125 0,115 0,420 0,914
19 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
20 0,529 0,529 0,480 1,000 0,908
21 0,228 0,228 0,227 1,000 0,995
22 0,443 0,443 0,332 1,000 0,749
23 1,000 0,612 0,612 0,612 1,000
24 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
25 0,347 0,159 0,132 0,458 0,831
26 0,404 0,404 0,362 1,000 0,896
27 0,465 0,465 0,348 1,000 0,748
28 0,978 0,556 0,551 0,568 0,991
29 1,000 0,429 0,368 0,429 0,857
30 1,000 0,981 0,890 0,981 0,907
31 0,437 0,437 0,371 1,000 0,849
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
104
32 0,718 0,242 0,235 0,337 0,971
33 1,000 0,526 0,519 0,526 0,986
34 0,627 0,253 0,174 0,404 0,688
35 1,000 0,447 0,419 0,447 0,937
36 0,558 0,235 0,190 0,421 0,806
37 1,000 0,437 0,216 0,437 0,494
38 1,000 0,672 0,672 0,672 1,000
39 0,857 0,260 0,158 0,303 0,610
40 1,000 0,278 0,231 0,278 0,833
41 0,605 0,178 0,138 0,294 0,773
42 0,872 0,681 0,681 0,781 1,000
43 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
44 0,778 0,417 0,357 0,536 0,856
45 1,000 0,292 0,253 0,292 0,865
46 0,658 0,216 0,153 0,328 0,711
47 1,000 0,714 0,539 0,714 0,755
48 1,000 0,469 0,465 0,469 0,992
49 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
50 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
51 1,000 1,000 0,747 1,000 0,747
52 1,000 0,244 0,243 0,244 0,995
53 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
54 0,393 0,393 0,378 1,000 0,963
55 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
56 0,359 0,359 0,328 1,000 0,912
57 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
58 0,107 0,107 0,096 1,000 0,896
59 0,166 0,166 0,163 1,000 0,981
60 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
61 0,590 0,590 0,511 1,000 0,865
62 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
63 0,860 0,860 0,621 1,000 0,722
64 0,985 0,430 0,418 0,437 0,972
65 0,354 0,354 0,344 1,000 0,970
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
105
66 0,736 0,736 0,736 1,000 1,000
67 0,326 0,105 0,103 0,322 0,978
68 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
69 0,606 0,606 0,528 1,000 0,871
70 0,174 0,090 0,086 0,517 0,955
71 0,683 0,375 0,290 0,549 0,771
72 0,576 0,576 0,557 1,000 0,967
73 0,480 0,469 0,422 0,976 0,900
74 0,784 0,784 0,740 1,000 0,945
75 0,928 0,532 0,503 0,574 0,944
76 0,827 0,784 0,704 0,948 0,898
77 0,608 0,296 0,290 0,487 0,977
78 0,782 0,502 0,458 0,641 0,914
79 0,933 0,778 0,652 0,834 0,838
80 0,645 0,458 0,426 0,711 0,930
81 0,534 0,317 0,283 0,593 0,893
82 1,000 1,000 0,973 1,000 0,973
83 0,768 0,426 0,408 0,555 0,958
84 0,716 0,486 0,451 0,679 0,928
85 0,524 0,420 0,356 0,802 0,849
86 1,000 0,557 0,544 0,557 0,976
87 0,627 0,298 0,269 0,475 0,904
88 1,000 1,000 0,970 1,000 0,970
89 0,570 0,310 0,304 0,544 0,981
90 0,816 0,419 0,367 0,513 0,877
91 1,000 0,339 0,324 0,339 0,953
92 0,908 0,578 0,522 0,637 0,903
93 1,000 0,684 0,562 0,684 0,822
94 0,633 0,501 0,476 0,791 0,950
95 0,653 0,409 0,369 0,627 0,902
96 1,000 0,877 0,877 0,877 1,000
97 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
Tabla 32: Estimación de eficiencias técnicas y ratio metatecnológico VRS_90.
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
106
9.3 Peers groups
Tabla 33: Peers groups Metafrontera cóncava año 1986 para CRS y VRS
NÚMERO PAÍS
CRS VRS
1 19 (0,36) 62 (0,50) 88 (0,02) 6 (0,33) 19 (0,26) 62 (0,31) 68 (0,10)
2 19 (0,21) 62 (0,45) 68 (1,82) 88 (0,72)
19 (0,08) 57 (0,49) 60 (0,04) 62 (0,37) 82 (0,01)
3 19 (1,07) 9 (0,02) 19 (0,98)
4 19 (1,06) 19 (1,00) 53 (0,00)
5 19 (2,34) 9 (0,34) 19 (0,63) 57 (0,03)
6 19 (0,30) 62 (0,47) 2
7 19 (3,02) 62 (0,60) 19 (0,91) 50 (0,08) 53 (0,01)
8 19 (1,02) 68 (13,18) 19 (0,75) 57 (0,20) 96 (0,05)
9 19 (4,76) 6
10 19 (2,28) 19 (0,99) 53 (0,01)
11 19 (0,85) 62 (0,09) 6 (0,25) 19 (0,75) 62 (0,00)
12 19 (3,81) 9 (0,50) 19 (0,49) 55 (0,01) 60 (0,00)
13 19 (2,62) 9 (0,30) 19 (0,67) 50 (0,03)
14 19 (1,06) 19 (1,00) 53 (0,00)
15 19 (1,11) 62 (0,28) 19 (0,82) 50 (0,02) 62 (0,16)
16 19 (1,12) 68 (5,51) 19 (0,59) 50 (0,03) 57 (0,36) 96 (0,02)
17 19 (0,87) 62 (0,29) 19 (0,77) 50 (0,01) 62 (0,22)
18 19 (6,98) 62 (6,18) 19 (0,53) 50 (0,45) 53 (0,02)
19 26 23
20 19 (4,30) 19 (0,98) 53 (0,02)
21 19 (1,16) 19 (1,00) 53 (0,00)
22 19 (1,00) 19 (0,99) 68 (0,01)
23 19 (9,05) 9 (0,62) 30 (0,08) 57 (0,28) 60 (0,01)
24 19 (4,56) 19 (0,80) 50 (0,20)
25 19 (0,18) 62 (0,08) 68 (1,96) 88 (0,35)
19 (0,12) 57 (0,39) 62 (0,09) 68 (0,16) 82 (0,25)
26 19 (3,41) 19 (0,99) 53 (0,01)
27 19 (1,05) 68 (1,01) 9 (0,04) 19 (0,67) 57 (0,29)
28 19 (12,47) 88 (8,60) 50 (0,80) 60 (0,20)
29 19 (1,25) 62 (0,30) 19 (0,84) 50 (0,03) 62 (0,13)
30 19 (44,19) 88 (9,50) 50 (0,57) 55 (0,10) 60 (0,13) 96 (0,20)
31 19 (21,75) 9 (0,85) 55 (0,15)
32 19 (0,63) 68 (4,72) 9 (0,03) 50 (0,00) 57 (0,97) 96 (0,00)
33 19 (8,65) 19 (0,69) 50 (0,13) 57 (0,15) 96 (0,03)
34 19 (0,53) 68 (1,20) 19 (0,39) 57 (0,23) 68 (0,38)
35 68 (7,07) 57 (0,99) 96 (0,01)
36 19 (2,59) 68 (0,29) 88 (0,17) 9 (0,37) 19 (0,30) 57 (0,33)
37 19 (0,17) 68 (1,08) 19 (0,15) 57 (0,07) 68 (0,78)
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
107
38 19 (183,69) 55 (1,00)
39 19 (0,41) 68 (2,06) 19 (0,30) 57 (0,44) 68 (0,26)
40 19 (1,11) 19 (1,00) 53 (0,00)
41 19 (1,00) 88 (0,04) 19 (0,99) 82 (0,00) 97 (0,00)
42 19 (24,40) 19 (0,62) 50 (0,18) 55 (0,02) 57 (0,06) 96 (0,11)
43 19 (0,38) 68 (0,55) 19 (0,24) 68 (0,76)
44 19 (1,92) 88 (0,09) 9 (0,23) 19 (0,77) 60 (0,01)
45 19 (2,08) 68 (2,42) 9 (0,34) 19 (0,04) 50 (0,01) 57 (0,61) 96 (0,00)
46 19 (1,09) 68 (1,16) 9 (0,06) 19 (0,61) 57 (0,33)
47 19 (1,68) 88 (0,34) 9 (0,18) 19 (0,79) 60 (0,02)
48 19 (4,13) 88 (0,08) 57 (0,99) 96 (0,01)
49 19 (1,85) 68 (0,28) 0
50 19 (19,04) 2
51 19 (11,04) 9 (0,95) 55 (0,05)
52 19 (1,12) 19 (1,00) 53 (0,00)
53 19 (192,79) 88 (6,31) 6
54 19 (7,21) 68 (7,64) 19 (0,91) 55 (0,09) 96 (0,00)
55 19 (121,59) 8
56 19 (27,99) 9 (0,80) 55 (0,20)
57 19 (2,95) 7
58 19 (1,72) 68 (13,82) 88 (1,04) 30 (0,06) 50 (0,02) 55 (0,00) 57 (0,82) 60 (0,07) 96 (0,02)
59 68 (1,63) 88 (0,52) 57 (0,22) 68 (0,40) 82 (0,38)
60 19 (0,34) 88 (14,87) 2
61 68 (10,41) 57 (0,97) 96 (0,03)
62 0 0
63 19 (7,60) 9 (0,98) 55 (0,02)
64 19 (2,41) 9 (0,32) 19 (0,68) 53 (0,00)
65 19 (7,79) 50 (0,01) 57 (0,89) 60 (0,08) 96 (0,02)
66 19 (18,27) 88 (0,79) 55 (0,08) 57 (0,87) 96 (0,04)
67 19 (1,69) 19 (1,00) 53 (0,00)
68 9 1
69 19 (0,41) 68 (11,51) 19 (0,32) 57 (0,65) 96 (0,04)
70 19 (4,04) 9 (0,37) 19 (0,62) 53 (0,01)
71 19 (0,87) 68 (2,29) 19 (0,64) 57 (0,36) 96 (0,00)
72 19 (13,40) 68 (6,20) 19 (0,88) 53 (0,02) 55 (0,10)
73 19 (27,20) 9 (0,59) 30 (0,41)
74 19 (8,47) 68 (2,35) 19 (0,94) 53 (0,02) 55 (0,05)
75 19 (44,02) 9 (0,66) 55 (0,34)
76 19 (0,05) 88 (3,04) 19 (0,07) 82 (0,68) 97 (0,25)
77 19 (0,25) 68 (5,92) 88 (1,52) 57 (0,89) 60 (0,10) 96 (0,01)
78 68 (8,94) 57 (0,98) 96 (0,02)
79 68 (14,44) 57 (0,96) 96 (0,04)
80 68 (6,95) 88 (1,28) 57 (0,90) 60 (0,09) 96 (0,01)
81 68 (16,78) 88 (9,41) 57 (0,40) 60 (0,52) 96 (0,08)
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
108
82 68 (0,83) 88 (1,31) 4
83 19 (45,48) 9 (0,65) 55 (0,35)
84 68 (7,84) 88 (2,07) 57 (0,85) 60 (0,13) 96 (0,02)
85 68 (14,49) 57 (0,96) 96 (0,04)
86 68 (6,13) 88 (0,45) 57 (0,96) 60 (0,04) 96 (0,01)
87 19 (34,66) 9 (0,74) 55 (0,26)
88 12 0
89 19 (0,92) 68 (12,35) 88 (2,73) 55 (0,02) 57 (0,79) 60 (0,16) 96 (0,03)
90 19 (27,23) 9 (0,81) 55 (0,19)
91 19 (0,12) 68 (1,44) 88 (1,83) 19 (0,05) 57 (0,29) 60 (0,06) 82 (0,59)
92 19 (20,58) 9 (0,71) 30 (0,29)
93 68 (20,35) 57 (0,93) 60 (0,00) 96 (0,07)
94 68 (1,39) 88 (1,86) 57 (0,23) 60 (0,05) 82 (0,71)
95 19 (0,24) 88 (1,95) 19 (0,24) 82 (0,65) 97 (0,11)
96 19 (159,29) 55 (1)
97 19 (0,03) 62 (0,06) 88 (7,65) 2
Tabla 33: Peers groups Metafrontera cóncava año 1986 para CRS y VRS
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
109
Tabla 34: Peers groups Metafrontera cóncava año 1990 para CRS y VRS
NÚMERO PAÍS
CRS VRS
1 19 (0,37) 62 (0,44) 97 (0,00) 2
2 19 (0,35) 62 (0,55) 68 (0,03) 97 (0,20)
19 (0,32) 60 (0,06) 62 (0,54) 97 (0,07)
3 19 (0,94) 19 (0,86) 43 (0,14)
4 19 (0,93) 19 (0,82) 43 (0,18)
5 19 (1,95) 9 (0,31) 19 (0,69)
6 19 (0,32) 62 (0,51) 1 (0,12) 19 (0,14) 43 (0,41) 62 (0,34)
7 19 (3,17) 62 (0,44) 19 (0,92) 50 (0,08) 53 (0,01)
8 19 (1,47) 68 (13,26) 55 (0,04) 57 (0,94) 96 (0,02)
9 19 (4,13) 21
10 19 (1,80) 19 (1,00) 53 (0,00)
11 19 (0,90) 62 (0,03) 1 (0,07) 19 (0,78) 43 (0,15)
12 19 (3,54) 9 (0,67) 19 (0,33) 55 (0,00) 60 (0,00)
13 19 (2,26) 9 (0,22) 19 (0,55) 24 (0,24)
14 19 (0,92) 19 (0,81) 43 (0,19)
15 19 (1,11) 62 (0,25) 19 (0,84) 50 (0,02) 62 (0,14)
16 19 (1,59) 68 (4,62) 19 (0,60) 50 (0,04) 57 (0,34) 96 (0,02)
17 19 (0,80) 62 (0,28) 19 (0,75) 50 (0,00) 62 (0,25)
18 19 (9,21) 62 (7,14) 9 (0,08) 19 (0,37) 50 (0,52) 53 (0,03)
19 83 44
20 19 (4,00) 19 (0,99) 53 (0,01)
21 19 (0,99) 19 (0,98) 43 (0,02)
22 19 (0,81) 19 (0,53) 43 (0,47)
23 19 (8,26) 50 (0,25) 57 (0,80)
24 19 (1,33) 62 (2,56) 1
25 19 (0,34) 62 (0,18) 68 (1,56) 97 (0,08)
19 (0,22) 57 (0,38) 62 (0,19) 68 (0,14) 97 (0,08)
26 19 (3,45) 19 (0,99) 53 (0,01)
27 19 (1,12) 68 (0,30) 97 (0,01) 9 (0,05) 19 (0,82) 57 (0,13) 60 (0,00)
28 19 (10,55) 97 (1,30) 50 (0,80) 60 (0,20)
29 19 (1,16) 62 (0,42) 19 (0,76) 50 (0,03) 62 (0,20)
30 19 (12,50) 68 (49,33) 97 (1,23) 8
31 19 (18,61) 9 (0,71) 30 (0,29)
32 19 (0,64) 68 (5,25) 50 (0,01) 55 (0,00) 57 (0,98) 96 (0,00)
33 19 (8,73) 50 (0,13) 55 (0,02) 57 (0,83) 96 (0,01)
34 19 (0,50) 68 (1,51) 19 (0,34) 57 (0,33) 68 (0,32)
35 19 (0,08) 68 (6,46) 57 (0,99) 96 (0,01)
36 19 (2,67) 97 (0,04) 9 (0,53) 19 (0,31) 57 (0,16) 60 (0,01)
37 19 (0,19) 68 (0,90) 19 (0,17) 57 (0,03) 68 (0,80)
38 19 (159,53) 55 (1,00)
39 19 (0,68) 68 (1,77) 19 (0,56) 55 (0,00) 57 (0,44)
40 19 (0,83) 19 (0,60) 43 (0,40)
41 19 (0,97) 97 (0,01) 19 (0,96) 68 (0,03) 97 (0,01)
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
110
42 19 (20,38) 50 (0,18) 55 (0,12) 57 (0,64) 60 (0,05)
43 19 (0,58) 8
44 19 (2,22) 97 (0,02) 9 (0,38) 19 (0,59) 97 (0,02)
45 19 (2,72) 97 (0,04) 9 (0,31) 19 (0,54) 50 (0,05) 55 (0,00) 57 (0,09)
46 19 (0,69) 68 (1,17) 19 (0,54) 57 (0,29) 68 (0,17)
47 19 (1,57) 97 (0,04) 9 (0,21) 19 (0,75) 97 (0,04)
48 19 (2,61) 68 (1,92) 50 (0,00) 57 (0,99) 96 (0,01)
49 19 (1,80) 62 (0,43) 0
50 19 (17,03) 16
51 19 (9,98) 2
52 19 (1,10) 19 (1,00) 53 (0,00)
53 19 (202,61) 12
54 19 (6,65) 68 (7,55) 19 (0,74) 55 (0,09) 57 (0,17)
55 19 (99,93) 68 (26,39) 24
56 19 (27,04) 9 (0,80) 55 (0,20)
57 19 (2,74) 37
58 19 (2,06) 68 (15,50) 97 (0,01) 50 (0,05) 55 (0,04) 57 (0,85) 60 (0,04) 96 (0,03)
59 68 (2,16) 97 (0,05) 57 (0,40) 68 (0,60)
60 19 (0,20) 68 (0,61) 97 (2,10) 15
61 68 (10,59) 57 (0,97) 96 (0,03)
62 12 6
63 19 (5,56) 19 (0,98) 53 (0,02)
64 19 (2,61) 9 (0,28) 19 (0,71) 53 (0,00)
65 19 (3,76) 97 (0,27) 50 (0,01) 57 (0,92) 60 (0,05) 96 (0,02)
66 19 (18,77) 55 (0,14) 57 (0,84) 60 (0,03)
67 19 (1,50) 19 (1,00) 53 (0,00)
68 37 12
69 19 (0,14) 68 (11,00) 55 (0,00) 57 (0,97) 96 (0,03)
70 19 (3,29) 9 (0,39) 19 (0,61) 53 (0,01)
71 19 (1,25) 68 (1,00) 19 (0,82) 55 (0,01) 57 (0,17)
72 19 (10,24) 68 (8,85) 19 (0,83) 51 (0,05) 55 (0,12)
73 19 (24,04) 9 (0,61) 30 (0,39)
74 19 (9,56) 19 (0,47) 51 (0,51) 53 (0,02) 55 (0,01)
75 19 (33,79) 9 (0,41) 30 (0,59)
76 19 (0,07) 68 (0,15) 97 (0,43) 19 (0,02) 68 (0,57) 97 (0,41)
77 19 (0,41) 68 (4,40) 97 (0,20) 55 (0,00) 57 (0,90) 60 (0,09) 96 (0,00)
78 68 (7,69) 57 (0,98) 96 (0,02)
79 68 (12,82) 57 (0,96) 96 (0,04)
80 68 (7,16) 97 (0,13) 57 (0,92) 60 (0,07) 96 (0,01)
81 19 (24,18) 9 (0,60) 30 (0,40)
82 68 (1,05) 97 (0,17) 57 (0,07) 68 (0,76) 97 (0,17)
83 19 (37,75) 9 (0,33) 30 (0,67)
84 68 (6,82) 97 (0,26) 57 (0,87) 60 (0,12) 96 (0,01)
85 68 (11,88) 57 (0,96) 96 (0,04)
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
111
86 19 (0,11) 68 (5,05) 97 (0,08) 57 (0,95) 60 (0,04) 96 (0,00)
87 19 (26,77) 9 (0,55) 30 (0,45)
88 68 (0,40) 97 (0,13) 68 (0,91) 97 (0,09)
89 19 (1,38) 68 (8,00) 97 (0,53) 55 (0,04) 57 (0,78) 60 (0,18) 96 (0,00)
90 19 (22,45) 9 (0,64) 30 (0,36)
91 19 (0,03) 68 (2,23) 97 (0,27) 57 (0,49) 68 (0,25) 97 (0,26)
92 19 (17,07) 9 (0,74) 30 (0,25) 55 (0,00)
93 19 (0,09) 68 (14,25) 57 (0,95) 96 (0,05)
94 68 (1,70) 97 (0,25) 57 (0,30) 68 (0,45) 97 (0,24)
95 19 (0,15) 68 (0,65) 97 (0,24) 19 (0,14) 57 (0,01) 68 (0,60) 97 (0,24)
96 19 (134,61) 53 (0,08) 55 (0,92)
97 26 12
Tabla 34: Peers groups Metafrontera cóncava año 1990 para CRS y VRS
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
112
9.4 Preparación de la hoja de cálculo para el manejo EMS.
(Efficiency Measurement System)
9.4.1 Preparar hoja de cálculo.
1) La extensión del archivo Excel ha de ser *.xls.
2) No se utilizan formulas, únicamente datos numéricos.
3) El nombre de la hoja es fijo: Data.
4) La primera fila contiene los nombres de los elementos de entrada y de salida,
marcados estos con una {I} {O} según corresponda.
5) La primera columna contiene las unidades productivas: DMU’s.
9.4.2 Discrecionalidad de las salidas.
1) Para entradas/salidas No Discrecionales se denotan {IN}, {ON}. Lo que EMS
hace ante valores no discrecionales es fijar su valor a la hora de proyectar en
la frontera eficiente, esto es, sólo se computa la distancia de las variables
discrecionales.
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
113
9.4.3 Preparación de restricciones con pesos.
Podemos especificar la matriz de pesos como W= (p, q), siendo p el vector de pesos
en las entradas y q el de las salidas.
Suponer que tenemos 3 entradas y 2 salidas, y tenemos la restricción p1≥p2 a la
que le corresponde una fila de pesos [1;-1;0;0;0]. Si además contamos con una
restricción tal que 0.3≤
< 3 ; que se transforman en las siguientes dos restricciones:
q1-0.3 q2 ≥0 y (-q1+3 q2 ), se introducen en la matriz como [0;0;0;1;-0.3] y [0;0;0;-
1;3]. La matriz W de pesos nos queda de la siguiente manera:
W=
31000
3.01000
00011
Para introducir los datos en el programa, generamos otra hoja de cálculo
diferente a data, pero que se llame “weights”. Recordar que no se introducen fórmulas.
1) Primera fila idéntica a la de “Data”.
2) Primera columna, el nombre de cada restricción.
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
114
9.4.4 Carga de datos y lanzamiento del programa.
1) Para subir los datos y la matriz de pesos: ctrl+O && ctrl+W.
2) Antes de lanzar el modelo debemos cerciorarnos de que tenemos un archivo
con extensión “bpmpd.par” en la misma carpeta que el data.
3) Formato: ctrl+F.
Aquí fijamos el número de decimales que queremos en nuestro resultado, opción
de pesos puros (pi, qj) y de las unidades virtuales de entrada/salida (pi xi0, qj yj0).
4) Tecnologías: ctrl+M.
Menu DEA-> Run model (ctrl+M)-> Structure -> returns to Scale.
La interpretación del primal: variación cuantitativa entrada/salida.
La interpretación del dual: diferencia de precio entrada/salida.
5) Distancia radial/ aditiva.
Radial: esta medida indica la necesidad de mejora cuando todos los
factores relevantes han mejorado en el mismo factor equiproporcional.
Orientada a la interpretación “reducción de costes/incremento ingresos”:
Non-oriented: { (( ) ( ) ) }
Input: { ( ) }
Output: { ( ) }
Aditivo: cuantifica la máxima suma en valor absoluto de la mejora. Es
una interpretación de precio entre el actual y óptimo beneficio.
6) Supereficiencia.
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
115
Si seleccionamos una distancia radial permitimos que EMS que para DMU’s
ineficientes, hace coincidir su valor con los resultados estándar. Para el caso de
unidades eficientes calcula su valor maximizando lo que se puede mover sin dejar
de ser eficiente. Estas nuevas definiciones de DMU’s eficientes son las que se
toman como nuevos valores estándares.
Big: resultado que puede aparecer si hemos seleccionado supereficiencia. Esto
implica que la DMU en cuestión permanece eficiente ante variaciones en las
entradas (orientación de entrada) o decrementos en las salidas (orientación de
salida).
Restricción de los pesos:
Si se cargan los datos de las restricciones de los pesos, debo revisar que los ha
cargado correctamente, en caso contrario los ignorará.
9.4.5 Consejos en la opción de modelado.
Si abro el cuadro de dialogo para la puesta en marcha del modelo (ctrl+M) ->
opciones-> modelos avanzados, podemos elegir nuestras DMU’s que queremos que
sean calculadas (evaluación) y cuales queremos que sean las de envoltura
(tecnologías). Esto permite el cálculo de eficiencias programadas. La selección múltiple
de las DMU’s tanto en el apartado de evaluación como de tecnología se realiza con
ctrl+click y shift+clic.
9.4.6 Interpretación de los resultados
Nombre de las DMU’s: {X} implica que la DMU se encuentra fuera del
conjunto que forman las “tecnologías”. Las que no tienen anotación en el apartado
“score” indican que son ϵ al conjunto de variables que forman las tecnologías y no
aparece evaluada como ϵ a grupo de “evaluadas”.
ANALISIS METAFRONTERA ANEXOS
116
Pesos: selecciona en el menú DEA como proyección de precios {W} o
entrada/salida virtual {V}
Medida del rendimiento Benchmarks: (pto. de referencia o estándar de
comparación)
Para DMU’s ineficientes: número de veces que debe contener a
las DMU’s de referencia para que estas se conviertan a su vez en eficientes.
Para las eficientes: número de DMU’s ineficientes que han sido
seleccionadas como estándar de comparación.