Modul 1 Deret Takhingga

Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I

MODUL 1 DERET TAKHINGGASatuan Acara Perkuliahan Modul 1 (Deret Takhingga) sebagai berikut. Petemuan ke1 Pokok/Sub PokokBahasan Deret Takhingga Barisan TujuanPembelajaran Mahasiswa diharapkan mampu: memahami barisan, baik secara formal maupun intuitif, menentukan rumus rekursif dari barisan, memeriksa konvergensi suatu barisan dan menentukan limitnya, mengenal dan menyelesaikan masalah dengan barisan sebagai model matematikanya. memahami arti deret takhingga dan membedakannya dari penjumlahan biasa, memahami konvergensi deret dan kaitannya dengan konvergensi barisan, menyusun dan menulis deret dengan menggunakan notasi , mengenal beberapa deret khusus dan konvergensinya, seperti deret geometri, deret harmonik, dan deret-p. memeriksa konvergensi deret sederhana dengan definisi memeriksa konvergensi deret positif dan menghitung jumlahnya bila konvergen dengan menggunakan uji integral,

Deret takhingga (Deret khusus dan konvergensinya)

Uji Konvergensi Deret Positif

2

Deret Takhingga Uji Konvergensi Deret Positif (lanjutan)

Mahasiswa diharapkan mampu: memeriksa konvergensi deret positif dan menghitung jumlahnya bila konvergen dengan menggunakan uji perbandingan dan uji limit perbandingan memeriksa konvergensi deret positif dan menghitung jumlahnya bila konvergen dengan menggunakan uji rasio memeriksa konvergensi deret positif dan memilihkan uji yang tepat, mengenal kekuatan dan kekurangan tiap uji serta menggunakannya untuk menentukan strategi penentuan konvergensi. mengenal deret yang lebih umum yaitu deret berganti tanda, memahami perbedaan deret berganti tanda dengan deret positif, memahami konsep kedivergenan, konsep konvergensi mutlak, dan konvergensi bersyarat.

Deret Berganti Tanda; Konvergensi Mutlak dan Konvergensi Bersyarat

AipSaripudin

Modul 1 DeretTakhingga - 1


menguji kekovergenan deret berganti tanda dengan menggunakan (memilih dengan tepat) uji deret berganti tanda, uji konvergensi mutlak, uji rasio mutlak, serta mengenal kelebihan dan kekurangan tiap uji konvergensi. Deret Pangkat memahami pengertian deret pangkat sebagai deret, menentukan jari-jari konvergensi suatu deret pangkat dan interval konvergensinya. memahami fungsi yang dibangkitkan oleh sebuah deret pangkat dengan domain sama dengan interval konvergensinya.

3

Deret Takhingga Operasi Deret Pangkat

Mahasiswa diharapkan mampu: memahami representasi/penyajian berbagai fungsi dalam bentuk deret dan batasan domain penyajiannya. menentukan representasi/penyajian fungsi dalam bentuk deret dengan menggunakan teknik membangun deret pangkat yang baru berdasarkan yang telah ada, dengan operasi turunan, integral, operasi aljabar, subsitusi dan lainnya. menentukan penyajian fungsi dalam bentuk deret pangkat deret Taylor dan deret Maclaurin. menghargai pentingnya deret Taylor untuk menghampiri nilai fungsi serta manfaatnya dalam perhitungan matematika yang digunakan dalam berbagai bidang. mengenal beberapa deret Maclaurin yang penting.

Deret Taylor dan Maclaurin

AipSaripudin



1.1 BarisanTakhinggaBarisan adalah susunan bilangan-bilangan riil secara berurutan. Perhatikancontohberikut. (a) 2, 4, 8, 16, (b)1 2 1 , 1 , 1 , 16 ,... 4 8

(c) 1, 4, 7, 10, 13, Secaraumum, barisandapatditulis

{an }n 1

a1 , a2 , a3 ,...

dengan an memenuhi persamaan tertentu. Pada contoh di atas, masing-masing dapat ditulis dalam rumus sebagai berikut. (a) an (b) an (c) an

2n ( 1 )n 2

{an }n 1 {an }n 1

2,4,8,16,...1 2 1 , 1 , 1 , 16 ,... 4 8

3n 2

{an }n 1 1,4,7,10,13

Konvergensi Barisan Barisan {an} dikatakan konvergen menuju L (bilangan berhingga) jika memenuhi

lim{an } Ln

Jika syarat di atas tidak dipenuhi, barisan dikatakan divergen.

Sifat-sifat Limit Barisan Misalnya {an} dan {bn} adalah barisan konvergen dan k adalah konstanta. (1) lim kn

k k lim ann

(2) lim kann

(3) lim(ann n

bn ) lim an lim bnn n

(4) lim(an bn ) (5) limn

lim an lim bnn n

an bn

lim ann

lim bnn

CONTOH 1 Penyelesaian

Cari limn

n2 . 4n 2 5

AipSaripudin



Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat terbesar dari n (dalam hal ini, n 2) maka diperoleh

limn

n2 4n 2 5

limn

1 4 5 / n2

1 4 0

1 . 4

CONTOH 2

Diketahui sebuah barisan sebagai berikut.1 2 4 , 2 , 3 , 5 ,... 3 4

(a) Nyatakan barisan tersebut dalam rumus eksplisit. (b) Apakah barisan di atas konvergen? Penyelesaian (a) Pada barisan di atas, penyebut selalu lebih besar 1 daripada pembilang. Jika pembilang diberi simbol n, penyebut menjadi n + 1. Dengan demikian, rumus eksplisit barisan di atas adalah

an(b) Ujikonvergensi

n n 1

.

lim ann

limn

n n 1

limn

1 1 1/ n

1 1 0

1

Karena lim ann

1 (bilangan berhingga), maka {an} konvergen menuju 1.e 2n konvergen? n 2 3n 1


Apakah {a n } dengan an

Untuk menguji konvergensi barisan di atas, cari limit anuntuk n . Jika kita masukkan n = pada soal ini, akan diperoleh bentuk taktentu / . Kita gunakandalilLHopital:

lim ann

limn

e 2n 2e 2 n lim n 2 3n 1 n 2n 3

limn

4e 2 n 2

Karena lim ann

(takhingga), maka {an} divergen menuju .

LATIHAN 1.1Untuk Soal 1 5, tuliskan lima suku pertama barisan berikut. Tentukanapakahbarisantersebutkonvergenat audivergen. 1. 4. 5.

anan

ln n ne n sin n

an

n 1 3n 2

2.

anan

3n 2 2 2n 1( 1)n

UntukSoal 6 10, carirumuseksplisitanuntuksetiapbarisanberik ut.Tentukanapakahbarisantersebutkonvergen ataudivergen.

3.

n n 2

6.

1 2 3 4 , , , ,... 2 2 23 2 4 25

AipSaripudin



7. 8.

1,1 4

1 11 2

,

1 12 3

,

1 13 4

,...9. 10.1 1, 1 , 1 , 12 ,... 2 61 3 4 ,9, 9 16 27 81

1 1 1 , 16 , 81 , 256 ,...

, ,...

1.2 Deret Takhingga: Deret Khusus dan KonvergensinyaSecara umum, deret takhingga ditulis sebagai berikut.

ann 1

a1 a2

a3 ...

KonvergensiDeretDerettakhinggan 1

a n dikatakankonvergendanmemilikijumlahSjikabarisanjumlahparsialke-n{Sn}

konvergenmenujuS. Jika {Sn} divergen, derettersebutdivergen. Deret divergen tidak memiliki jumlah.

CONTOH 1

Tentukan konvergensi jumlah deret berikut.4 3 4 9 4 27 4 81

...

Penyelesaian Jumlahparsialke-nderettersebutadalah

S1 S2 S3

4 3 4 3 4 3 4 9 4 9 16 9 4 27 52 27

SnMaka

4 3

4 9

4 27

...

4 3n

2

2 3n

lim S nn

lim 2n

2 3n

2

Dengan demikian, jumlah deret

4 3

4 9

4 27

4 81

... konvergen menuju 2.

AipSaripudin



Deret GeometriDeret geometri memiliki bentuk

ar n 1n 1

a ar ar 2

ar 3 ...

dengana 0, r

an 1 . an

Deretgeometrikonvergenuntuk -1 1. Untukderetgeometrikonvergen, jumlahnyamemenuhi

Sn

lim S nn

a 1 r

dengan S nk 1

ar k

1

a ar ar 2

ar 3 ... ar n 1

CONTOH 2

Tentukanjumlahderetberikut.1 2 1 4 1 8 1 16

...

Penyelesaian Rasio deret r1 4 1 2 1 2

dan a

1 2

maka jumlahnya adalah

S

a 1 r 1

1 2 1 2

1

Deret HarmonikDeret harmonik memiliki bentuk sebagai berikut.

1 1 1 2 n 1 n

1 3

1 ... 4

Deret harmonik merupakan deret divergen. Buktinya sebagai berikut.

Sn

11

1 21 2

1 31 3

1 41 4

1 1 ... 5 n1 5 1 6 1 7 1 8 1 1 ... 9 16 ... 1 n

1 1

1 2 1 2

2 4 1 2n

4 8 1 ... 8 16 n 1 2 1 1 ... 2 nsehingga deret harmonik divergen menuju takhingga.

Jelas bahwa lim S n

AipSaripudin



Deret-pDeret-pmemilikibentuksebagaiberikut.

n 1

1 np

1

1 2p

1 3p

1 4p

...

dengan p konstanta. Deret-p konvergen jika p > 1 dan divergen jika p 1 {Bukti konvergensi ini ditunda dulu hingga Anda selesai mempelajari beberapa metode uji konvergensi).

UjiSukuke-n untukKonvergensi: UjiPendahuluanJika lim ann

0 atau tidak ada, deret tersebut divergen. Jika lim ann

0 , deretn 1

a n perlu diuji

lagi dengan metode lain apakah ia konvergen atau divergen.

CONTOH 4

Tunjukkan bahwan 1

n2 divergen. 2n 2 n

Penyelesaian

lim ann

limn

n2 2n 2 n

limn

1 2 1 n

1 2 0

1 . 2

Dengan demikian, sesuai dengan uji suku ke-n, deret tersebut divergen.

LATIHAN 1.2Untuk Soal 1 6, tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen. Jika konvergen, cari jumlahnya. Petunjuk: untuk memudahkan, tulis beberapa suku awal deret tersebut. 1.n 1 1 n 5

Untuk Soal 7 10, gunakan uji pendahuluan (uji suku ke-n) untuk menyatakan bahwa deret tersebut divergen atau perlu uji lanjutan. Ingat, uji pendahuluan tidak dapat digunakan untuk menyimpulkan bahwa deret konvergen. 7. 8.n 1

2.k 1

2 k2 k (k 2) k 5 k 21 4k 2

1 2

4 5

9 10

16 17

25 26

36 37

...

n 3 n 2 10n

3.k 1

9.

n! n 1 ( n 1)!( 1) n n 2 ( n 1) 2

5.k 1

10.

6.k 1

AipSaripudin



1.3 UjiKonvergensiDeretPositif1.3.1 Uji IntegralMisalnyafmerupakanfungsikontinu, positif, dantidaknaikpada interval [1, ) dananggap an f (n) untuksemuabilanganpositifn. Derettakhingga

a n konvergen jika dan hanya jika integral improper f (n)dn konvergen.n 1

1


Gunakan uji integral untuk menentukan apakahn 1

1 n 1

konvergen atau divergen.

t

limt 1

1 n 1

dn

lim ln( n 1) 1t

t

lim ln( t 1) ln 2t

Dengandemikian,n 1

1 divergen. n 1


Tunjukanbahwaderet-p(a)konvergenjika p > 1 dan (b) divergenjika p

1.

Sepertitelahdituliskanpadasubbab 1.2, deret-pberbentuk

n 1

1 np

1

1 2p

1 3p

1 4p

...

dengan p konstanta. Untuk p > 0, fungsi f (n)t

1 kontinu, positif, dan tidak naik pada [1, ). npt

(a) Untuk p> 1,1

1 dn npp

t

n dn1

p

n1 p 1 p

1

t1 p 1 1 p1 konvergen untuk p > 1. npt

Selanjutnya, lim t 1t

0 . Dengan demikiann 1t

(b) Untuk p = 1:

1

1 dn npmaka

t

n 1 dn1

ln n 1

ln t

Selanjutnya, lim ln tt

n 1

1 divergen. np

t

Untuk 0 0 sehingga an makan 1

1 np

n

p

n u . Dengan uji

pendahuluan (uji suku ke-n): lim nun

1 divergen. np 1 divergen untuk p 1. np

Dari ketiga kondisi di atas diperoleh simpulan bahwan 1

1.3.2 UjiPerbandinganMisalnya (1) (2) dan dan dan . Untuk n N,

bn konvergen maka

an konvergen.

bn divergen maka

an divergen.

Untuk uji perbandingan, kita dapat melakukan perbandingan suatu deret dengan deret yang konvergensi atau divergensinya sudah kita ketahui. Dalam hal ini, telah diketahui konvergensi atau divergensi beberapa deret sebagai berikut. (1) DeretGeometri

ar n konvergenjika 1 1.n 1

(2) Deret-p

n 1

1 konvergen jika p > 1 dan divergen jika p 1. np

(3) DeretHarmonik

1 divergen. n 1 n


Apakahn 1

n 3n2

1

konvergen atau divergen?

Untuk n besar, suku ke-n deret tersebut menyerupai dengan sebagai berikut

1 . Kita coba pilih 3n

dan bandingkan

n 3n2

1

n 3n 2

1 1 3 n

an

bn

AipSaripudin



Karena divergen.

dann 1

bnn

1 n divergen (sepertiga kali deret harmonik) maka 2 1 n 1 3n 1 3n


Tentukan konvergensi

3n 1 . 3 2 n 1 3n

Untuk n besar, suku ke-nderet di atas menyerupai

1 . Pilih n2

. Selanjutnya,

3n 1 3n 3 2Karena konvergen. dann 1

1 n2

an

bn

bnn 1

1 3n 1 konvergen (deret-p dengan p = 2 > 1) maka 2 3 2 n n 1 3n

1.3.3 UjiLimit PerbandinganMisalnya an

0 , bn

0 , dan limn

an bn

L.

(1) 0 < L< (2) L = 0 dan

a n dan bn divergen

bn sama-sama konvergen atau sama-sama divergen. a n konvergen.


Tentukan apakah1

n

2

n konvergen atau divergen. 2n 3

Untuk n besar, suku ke-n deret tersebut menyerupai 1/n. Oleh karena itu, pilih

bn

1 maka nlimn

an bn

limn

n2

n 2n 3

1 n

limn

n22

n2 1 2n 3

Karena1

bn1

1 divergen (deret harmonik), maka n

1

n

n divergen. 2n 3

AipSaripudin




Tentukan apakah1

2n 1 konvergen atau divergen. n 3 2n 2 5

Untuk n besar, suku ke-n deret tersebut mirip 1/n2. Oleh karena itu, pilih bn

1 maka n2

limn

an bn

limn

2n 1 3 n 2n 2 5

1 n2

limn

2n 3 n 2 1 n 3 2n 2 5

Karena1

bn1

1 konvergen (deret-p dengan p = 2 > 1), maka n2

1

2n 1 konvergen. n 2n 2 53


Tentukan konvergensi

ln n . n 1 n

Mirip bentuk rumus eksplisit suku ke-n seperti apakah membandingkannya dengan

1 . Karena itu, pilih bn nlimn

ln n ? Kita coba dengan n 1 maka nlim ln nn

an bn

limn

ln n n

1 n

Ternyata uji di atas gagal karena tidak sesuai dengan syarat uji limitperbandingan. Kita cobalagidenganmemilih b

1 n

maka

limn

an bn

limn

ln n n

1 n

limn

ln n n

limn

1/ n 1/ 2 n

limn

2 n

0

{Limit di atas diperoleh dengan dalil LHopital}

1 divergen (deret-p dengan p = < 1) maka, sesuai syarat uji 1/ 2 n n1n n 1 ln n limitperbandingan, konvergen. n 1 nKarena

1

1.3.4 UjiRasioMisalnya

a n merupakanderetsuku-sukupositifdan limn

an 1 an

.

(1) Jika < 1, derettersebutkonvergen. (2) Jika > 1 atau = , derettersebutdivergen. (3) Jika = 1, gunakan uji konvergensi lain.

AipSaripudin



CONTOH 8

Uji konvergensi deret berikut.

1Penyelesaian Deret tersebut memiliki suku ke-n: an

1 1 1 1 ... ... 2! 3! 4! n! 1 dan suku ke-(n+1): an 1 n!1 (n 1)! n! 1 limn

1 (n 1)!

maka

limn

an 1 an

limn

n! 1 lim n (n 1)! n 1

0.

Karena < 1 maka deret tersebut konvergen. Catatan:

n! (n 1)!CONTOH 9

n(n 1)(n 2)3 2 1 (n 1)(n)(n 1)(n 2)3 2 1

1 n 1

.

Uji konvergensi deret berikut.

n 1

2n . n2

Penyelesaian Suku ke-n dan ke-(n+1) deret tersebut masing-masing a n uji rasio,

2n dan a n n22 (11 2 n

2n 1 maka, dengan (n 1) 2

limn

an 1 an

limn

2n 1 (n 1) 2

2n n2

limn

2n 2 (n 1) 2

limn

)

2 (1 0) 2

2.

= 2 > 1 maka deret tersebut divergen.

LATIHAN 1.3Untuk Soal 1 4, gunakan uji perbandingan atau perbandingan limit untuk menentukan konvergensi deret. 1.n 1

4.n 1

2n 2 1 n3

1 n n 1Gunakan uji integral untuk menentukan konvergensi deret pada Soal 5 8 berikut. 5.n 1

2.

ln n 2 n 1 n 1 2n

1 n ln nn2 n3 1

3.n 1

6.n 1

AipSaripudin



7.

nn 1 (n 2

13.

1 22

2 32 1 2 2

3 42 1 3 3

4 52 1 4 4

... ...

1)n3

2

14. 1 15.n 1

8.n 1

n e

2

Gunakan uji rasio untuk menentukan konvergensi deret pada Soal 8 12 berikut. 9.n 1

n 1 n2 1nn (2n)!

4n n!e n22nn

16.n 1

17.n 1

ln n n n n 1 3n2 1 3n

10.n 1

18.n

11.n

3 3n 0 2en n!19.

12.n 1

n 1

20.n 1

3n 1 n3 4

Tentukan konvergensi deret pada Soal 13 20 berikut. Tuliskanuji yang digunakan.

1.4 Deret Berganti Tanda; Konvergensi Mutlak dan Konvergensi BersyaratDeret berganti tanda memiliki bentuk umum sebagai berikut.

( 1) n 1 ann 1

a1 a2

a3 a4 ...

dengan an

an 1

0.

Uji Deret Berganti Tanda: Jika lim ann

0 , deret tersebut konvergen.


Tunjukkan bahwan 1

( 1) n

1

1 konvergen. n

limn

1 n

0

Jelas bahwa deret tersebut konvergen.

AipSaripudin



KonvergensiMutlakJika

| an | konvergen,

a n konvergen. Uji konvergensi mutlak (uji rasio mutlak) sebagai| an 1 | | an |

berikut. Misalnya

limn

(1) Jika < 1, deret tersebut konvergen mutlak. (2) Jika > 1 atau = , derettersebutdivergen. (3) Jika = 1, gunakan uji konvergensi lain.

CONTOH 2

Tentukankonvergensin 1

( 1) n

1

2n . n2

Penyelesaian

limn

an 1 an

limn

2n 1 (n 1) 2

2n n2

limn

2n 2 (n 1) 2

limn

2 (11 2 n

)

2 (1 0) 2

2

> 1 maka, sesuai uji konvergensi mutlak, deret tersebut divergen.

Konvergensi BersyaratDeret

a n disebut konvergen bersyarat jika

a n konvergen tetapi

| an | divergen.


Tunjukkan bahwan 1

( 1) n

1

1 konvergen bersyarat. n

Pada CONTOH 1 telah dibuktikan bahwa deret tersebut konvergen. Akan tetapi,

n 1

1 divergen (deret harmonik). Jadi, jelas bahwa n

( 1) nn 1

1

1 konvergen bersyarat n

LATIHAN 1.4Tunjukkan bahwa deret pada Soal 1 4 berikut konvergen mutlak. 1.n 1

3.n 1

( 1) n( 1) nn 1

1

2n n!n2 en

( 1)

n

1 n n 14.1

2.n 1

3 n 4

AipSaripudin



TentukanapakahderetpadaSoal 6 berikutkonvergenmutlak, konvergenbersyarat, ataudivergen. 6.n 1

10

8.n 1

( 1) n

1

1 n2 1

( 1) n ( 1)n 1

1

1 3n n 5n 1

9.n 1

( 1) n( 1) nn 1

sin n n n1

7.

n 1

10.

n4 2n

1.5 DeretPangkat;HimpunanKonvergensiDeret pangkat memiliki bentuk sebagai berikut.

an x nn 0

a0

a1 x a2 x 2

a3 x 3 ...

Konvergensi deret pangkat bergantung pada nilai x yang dipilih. Uji konvergensi yang digunakan adalah uji rasio mutlak. Himpunan konvergensi deret pangkat selalu berada dalam interval dari salah satu kemungkinan berikut. (1) Titiktunggalx = 0. (2) Interval (-R, R), ditambah salah satu atau kedua titik ujung. (3) Semuabilanganriil. Ketiga kemungkinan interval di atas disebut radius konvergensi. CONTOH 1 Penyelesaian Uji rasio mutlak, Tentukan x sehinggan 0

xn konvergen. n!

a lim n 1 n anKarena

xn 1 xn lim n (n 1)! n!

n

lim

| x| 0. n 1

= 0 < 1, deret tersebut konvergen untuk semua x.


Tentukan himpunan konvergensin

( x) n . 2n 0

Uji rasio mutlak,

limn

an 1 an

limn

( x) n 2n 1

1

( x) n 2n

limn

x 2

| x| . 2

AipSaripudin



Deret tersebut konvergen untuk < 1, yakni,

| x| 1 atau | x | 2 dan, sebaliknya, divergen pada 2

| x | 2 . Selanjutnya, cek titik-titik ujung, yakni x = 2 dan x = 2.Pada x = 2

an

(2) n 2n

1 dan lim ann

1

sehingga sesuai dengan uji pendahuluan (uji suku ke-n),n 0

1 divergen.

Pada x = 2

an

( 2) n 2n

( 1) n dan lim an tidak adan

sehingga sesuai denganteorema uji deret berganti tanda,n 0

( 1) n divergen.

Dengan demikian, deret di atas konvergen pada interval: 2

Documents

Modul 1 Deret Takhingga