modul-1 simplek

5/9/2018 modul-1 simplek - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/modul-1-simplek 1/17

Aljabar simpleks

Saya mempunyai pabrik tepung tapioka, saya ingin mengoptimalkan sumber

daya yang saya punyai, untuk memaksimumkan hasil penjualan / keuntungan.

Kalau tersedia pasokan bahan baku per hari 16 ton jagung, dan jam tenagakerja per hari adalah 30 jam, tentukan berapa harus dibuat tepung tapioka

jenis super, atau jenis premum, dengan keuntungan masing masing per ton

adalah 2 juta dan 3 juta rupiah. Kalau membuat tepung jenis super

diperlukan bahan baku 1 ton dan jenis premium dibutuhkan 2 ton, dan

dibutuhkan waktu masing masing 3 jam dan 2 jam tenaga kerja.

Setelah disselesaikan dengan metode grafis diperoleh

sbbJawaban1.

Jenis produkBahan

baku

Jam tenaga

kerja

Keuntungan

Per ton

Tapioka Super 1 3 2

Tap

ioka Premium 2 2 3

Ketersediaan sumber 16 30

a. Model matematikanya:

Mak Z = 2 S + 3 P ---- Fungsi tujuan

1 S + 2 P ≤ 16 --- Kendala 1

3 S + 2 P ≤ 30 -- Kendala 2

S , P ≥ 0

b. Titik potong dengan sumbu sumbu ( S, P)

S + 2 P = 16Bila S = 0, maka P = 8

P = 0, maka S = 16

3 S + 2 P = 30

Bila S = 0, maka P = 15

P = 0, maka S = 10

Perpotongan persamaan kendala 1 dan 2 B ( 7, 4.5)



S

P

10

15

16

8

B (7, 4.5)

A

C

3 S + 2 P = 30

S + 2 P = 16

Cek optimalitasTitik

kritisS P

Z=

2 s + 3 PKet

A 10 0 20

B 7 4.5 27.5 Mak

C 0 8 24

Cek kendala

1 S + 2 P ≤ 16 ---

Kendala 17 + 2x4.5 = 16 ( tidak dilanggar)

3 S + 2 P ≤ 30 -- Kendala 2

3x7 + 2x4.5 = 30 ( tidak dilanggar )

Jadi agar memperoleh keuntungan maksimum maka harus

dibuat jenis super = 7 ton , dan jenis premium = 4.5 ton, total

keuntungan 27.5 juta.



Bab 2

METODE SIMPLEKS

2.1 Pendahuluan

Permasalahan riset operasional / permasalahan optimisasi / linear

programming, dalam dunia nyata sangat luas, besar dan kompleks.

Penyelesaian dengan metode grafis sangat terbatas ( hanya dua

variabel), sehingga perlu dikembangkan suatu metode lain yang bisa

dipakai menyelesaikan permasalahan yang mempunyai variabel banyak.

Dalam bahasan berikut akan disajikan suatu metode aljabar yang dapat

memecahkan permasalahan linear yang komplek (variabel banyak) yang

dikenal dengan Metode Simplek.

Dalam metode grafik sebelumnya, penyelesaian permasalahan yang

optimum selalu berkaitan dengan titik ekstrim ( perpotongan garis garis

kendala), atau titik sudut pada ruang pemecahan (daerah penyelesaian).

Gagasan ini mengilhami metode simplek. Pada intinya apa yang dilakukan

metode simplek adalah menterjemahkan definisi geografis dari titik

ekstrim menjadi definisi aljabar. Jadi dapat dikatakan bahwa metodesimplek memecahkan permasalahan linear didasarkan atas solusi

persamaan simultan. Solusi akan muncul pada setiap titik ekstrim yaitu

perpotongan persamaan garis kendala, atau perpotongan dengan garis

sumbu. Jadi dalam motode simplek semua batasan harus dalam bentuk

persamaan (=), bukan dalam bentuk pertidaksamaan (≤ atau ≥) seperti

dalam metode grafis.

2.2 Bentuk Standar

Dalam metode simplek suatu prosedur standar dibuat untuk

mentransformasikan pertidaksamaan kendala (≤ atau ≥) menjadi bentuk

persamaan (=). Tranformasi ini diperoleh dengan jalan menambahkan

suatu variabel baru, yang dinamakan variabel pengurang ( slack variabel )

dan variabel penambah ( surplus variabel). Konversi ini akan menghasilkan



sejumlah persamaan yang mana jumlah variabel akan lebih besar dari

jumlah persamaan. Artinya persamaan persamaan tersebut menghasilkan

sejumlah titik yang pemecahan yang lebih banyak.

Titik-titik ekstrim dalam metode grafis dapat diidentifikasikan secaraaljabar sebagai pemecahan dasar ( basic solution). Dari teori aljabar

linear, suatu pemecahan dasar diperoleh dengan menetapkan beberapa

variabel yang sebanyak selisih antara jumlah total variabel dengan jumlah

total persamaan memiliki nilai sama dengan nol. Dan selanjutnya

memecahkan variabel sisanya.

Apa yang dilakukan dalam metode simplek adalah mengidentifikasi suatu

pemecahan dasar awal lalu bergerak secara sistematis ke pemecahan

dasar lainnya yang memiliki potensi untuk memperbaiki nilai fungsi tujuan( maksimum atau minimum). Dan pada akhirnya pemecahan dasar yang

bersesuaian dengan nilai optimum akan teridentifikasi dan proses

perhitungan berakhir.

Pada dasarnya algoritma simplek merupakan prosedur perhitungan yang

berulang (iteratif) dimana setiap pengulangan (iterasi) berkaitan dengan

suatu pemecahan dasar.

Pembahasan sebelumnya bahwa model linear dapat mempunyai kendaladalam bentuk persamaan dan pertidaksamaan (≤, ≥, =).

Pemecahan model linear dengan metode simplek mempunyai beberapa

batasan :

1. Semua fungsi kendala adalah persamaan

2. Semua variabel adalah non-negatip

3. Fungsi tujuan dapat berupa maksimisasi atau minimisasi.

misalnya:

X1 + 2 X2 ≤ 16 menjadi X1 + 2 X2 + X3 = 16

X3 disebut variabel slack

3 X1 + 2 X2 ≥ 30 menjadi 3 X1 + 2 X2 – X3 = 30

X3 disebut variabel slurplus



Contoh 2.1

Model awal diubah menjadi bentuk standar simplek

Bentuk awal

Mak Z = 2 X1 + 3 X2

1 X1 + 2 X2 ≤ 16

3 X1 + 2 X2 ≤ 30

X1 , X2 ≥ 0

Bentuk standar

Mak Z = 2 X1 + 3 X2

1 X1 + 2 X2 + X3 = 16

3 X1 + 2 X2 + X4 = 30

X1 , X2 , X3 , X4 ≥ 0

Mak Z = 2 X1 + 3 X2

1 X1 + 2 X2 + X3 = 16 X1, X2 = Veriabel keputusan

3 X1 + 2 X2 + X4 = 30 X3, X4 = Slack variabel

X1 , X2 , X3 , X4 ≥ 0

Bila X1, X2 = 0 ----- Non Basic Variable (NBV)

Maka:

--- 1 X1 + 2 X2 + X3 = 16

X3 = 16

--- 3 X1 + 2 X2 + X4 = 30 ---- Basic Variable (BV)

X4 = 30

Dan

Z = 2 X1 + 3 X2,

Z = 0

Diinginkan nilai Z maksimum

Mak Z = 2 X1 + 3 X2

Increase X1 ? ----------- Rate Improve in Z = 2

Increase X2 ? ----------- Rate Improve in Z = 3



So Choose X2 To Increase.Sekarang kita sebut X2 Entering Basic Variable pada iterasi 1

Masalahnya berapa besar X2 dinaikkan tanpa melanggar fungsi kendala.

Dimulai dari X1 = 0, dan X2 Dinaikkan, maka:

1 X1 + 2 X2 + X3 = 16 --- X3 = 16 - 2 X2

3 X1 + 2 X2 + X4 = 30 --- X4 = 30 - 2 X2

Cek berapa besar X2 bisa dinaikkan (X3, X4 ≥ 0 / tak boleh negatif):

X3 = 16 -2 X2 ----- 8

X4 = 30 -2 X2 ----- 15

Supaya memenuhi kedua

persamaan maka dipilih 8

Maka akan diperoleh :

X3 = 0 ----------X4 = 14

Lebih dulu mendekati 0 atau –

maka X3 disebut Leaving basic

variable

Naiknya nilai X2 dari 0 menjadi 8 maka X2 berpindah dari Initial Basic

Feasible Solution ke New Basic Feasible Solution

Initial BFS New BFSNon Basic Variable X1 = 0, X2 = 0 X1 = 0 , X3 = 0

Basic Variable X3 = 16, X4 = 30 X2 = 8, X4 = ?

Maka Persamaan diatas ditulis kembali :

(1) 1 X1 + 2 X2 + X3 = 16

(2) 3 X1 + 2 X2 + X4 = 30

X2 = 8 - 0.5 X1 - 0.5 X3 X4 = 30 – 3 X1 -2 ( 8 - 0.5 X1 - 0.5 X3 )

= 30 - 3 X1 - 16 + X1 + X3

= 14 -2 X1 + X3

Z = 2 X1 + 3 X2

Z = 2 X1 + 3 (8 - 0.5 X1 - 0.5 X3 )



= 2 X1 + 24 – 1.5 X1 – 1.5 X3

Z = 24 + 0.5 X1 – 1.5 X3 -------- fokus pada X1

Bila : X1 = 0, X2 = 8, X3 = 0, X4 = 14,

maka Z = 24

Berlanjut pada iterasi ke 2

Optimality tes untuk new basic feasible solution

Z = 24 + 0.5 X1 – 1.5 X3

Iterasi 2

Pilih X1 entering basic variable, dan berapa besar X1 dinaikkan agar kendala

tidak dilanggar, dengan X3 = 0 maka:

X2 = 8 - 0.5 X1 - 0.5 X3

X4 = 14 - 2 X1 + X3

X2 = 8 - 0.5 X1 --------------

16X4= 14 - 2 X1 -------------- 7

Sehingga:

X2 = 8 - 0.5 X1

= 8 – 0.5 x 7 = 4.5

X4 = 14 - 2 X1

= 14 – 2 x 7 = 0

Naiknya X1 dari 0 menjadi X1 = 7, maka X1 mengganti X4 menjadi basic

variable ( X4 disebut leaving Basik Variable)

Initial BFS New BFS

Non Basic Variable X1 = 0, X3 = 0 X3 = 0, X4 = 0

Basic Variable X2 = 8, X4 = 14 X2 = ?, X1 = 7

Kalau non basic variable masih bisa

dinaikkan untuk menaikkan nilai Z

maka belum optimal

Supaya memenuhi

kedua persamaan

maka dipilih nilai

X1 = 7

Lebih dahulu mendekati nol maka X4

disebut leaving basic variable



Maka persamaan diatas ditulis kembali :

(1) X2 = 8-0.5 X1-0.5 X3

(2) X4 = 14 -2 X1 + X3

Karena X4 leaving BV maka X1 diambil dari per (2) shg:

X4 = 14 - 2 X1 + X3

X1 = 7 + 0.5 X3 - 0.5 X4

X2 = 8 - 0.5 X1 – 0.5 X3

= 8 – 0.5 X1 – 0.5 X3

= 8 – 0.5 (7 + 0.5 X3 - 0.5 X4) – 0.5 X3

= 8 – 3.5 - 0.25 X3 + 0.25 X4 – 0.5 X3X2 = 4.5 -0.75 X3 + 0.25 X4

Z = 24 + 0.5 (7 + 0.5 X3 - 0.5 X4) – 1.5 X3

= 24 + 3.5 + 0.25 X3 – 0.25 X4 – 1.5 X3

= 27.5 + 1.75 X3 – 0.25 X4

Bila : X1 = 7, X2 = 4.5, X3 = 0, X4 = 0, maka Z = 27.5

Jadi Z mak = 27.5 dengan X1 = 7, X2 = 4.5

Rangkuman metode Aljabar simplek

Mengubah bentuk baku model LP ke dalam bentuk tabel akan memudahkan proses

perhitungan simplex. Langkah-langkah perhitungan dalam algoritma simplex

adalah :

Dalam persamaan tujuan non basic

variabel bernilai nol maka sudah

tak ada variabel yang bisamenaikkan nilai Z maka optimal



1. Berdasarkan bentuk baku, tentukan solusi awal (initial basic feaseble

solution ) dengan menetapkan m – n variabel non basis sama dengan nol.

2. Pilih sebuah entering variable diantara yang sedang menjadi variabel non

basis, yang jika dinaikkan diatas nol, dapat memperbaiki nilai fungsi

tujuan. Jika tidak ada, berhenti, berarti solusi sudah optimal. Jika tidak,melangkah ke langkah 3.

3. Pilih sebuah leaving variable diantara yang sedang menjadi variabel basis

yang harus menjadi non basis (nilainya menjadi nol) ketika entering

variable menjadi variabel basis.

4. Tentukan solusi yang baru dengan membuat entering variable dan leaving

variable menjadi non basis. Kembali ke langkah 2.

Soal:

1. Selesaikan dengan metode simpleks (wyndor glass co)

Max Z = 3 X1 + 5 X2

ST. X1 ≤ 4

2 X2 ≤ 12

3 X1 + 2 X2 ≤ 18

X1, X2 ≥ 0

2. Selesaikan dengan metode simpleks

Max Z = 4 X1 + 5 X2

ST. X1 + 2 X2 ≤ 40

4 X1 + 3 X2 ≤ 120

X1, X2 ≥ 03. Selesaikan dengan metode simpleks

Max. Z = 5 X1 + 4 X2 + 3 X3

Subject to 2 X1 + 3 X2 + X3 ≤ 5

4 X1 + X2 + 2X3 ≤ 11

3 X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 8

X1, X2, X3 ≥ 0

4. Selesaikan dengan metode simpleks

Max. Z = 2 X1 + 3 X2

Subject to X1 - 2 X2 ≤ 42 X1 + 2 X2 ≤ 18

X2 ≤ 10

X1, X2, ≥ 0



2.3 Metode Simplek Dalam Bentuk Tabel

Metode aljabar simplek cukup rumit bila variabel cukup banyak, dan

kurang efisien dalam perhitungan. Untuk perhitungan yang lebih mudah dan

efisien maka dilakukan suatu tahapan yang mana metode sebelumnyadibuatkan model tabel yang dikenal dengan tabel simplek ( tableau form).

Tabel ini merupakan bentuk lain dari model standar simplek.

Spreadsheet software, seperti Excel merupakan tool yang sangat

populer untuk analisis dan menyelesaikan permasalahan linear programming

yang sederhana. Fitur linear programming termasuk semua parameternya,

sangat mudah dimasukkan dalam spreadshet.

Disamping itu Excel memberikan fasilitas Solver yang sangat mudah untuk

mengaplikasikan metode simplek untuk mencari solusi optimal suatu model.

Sebelum mencoba solver akan dipelajari dulu metode simplek dalam bentuktabel.

Model pabrik tepung tapioka, digunakan kempali sebagai contoh

Bentuk standar

Mak Z = 2 X1 + 3 X2

Kendala:

1 X1 + 2 X2 + 1 X3 =16

3 X1 + 2 X2 + 1 X4 = 30

X1, X2, X3, X4 ≥ 0

Tabel 1 x1 x2 x3 X4 Rhs Rasio

X3 1 2 1 0 16 8

X4 3 2 0 1 30 15

Z 2 3 0 0 0

Pivot baris

Pivot kolom

Nilai Pivot



Tabel 2 x1 x2 x3 X4 Rhs RasioX3 0.5 1 0.5 0 8 16

X4 2 0 -1 1 14 7

Z 0.5 0 -1.5 0 -24

Tabel 3 x1 x2 x3 x4 Rhs RasioX3 0 1 0.75 -0.25 4.5

X4 1 0 -0.5 0.5 7Z 0 0 -1.25 -0.25 -27.5

Maka

X1 = 7 Nilai Z = 7.5

X2 = 4.5

Lihat contoh lain

Penyelesaian dengan solver.

Microsoft Excel 11.0 Answer Report

Worksheet: [tepung.xls]Sheet2

Report Created: 7/4/2008 9:20:21 AM

Target Cell (Max)

Cell Name Original ValueFinalValue

$C$4 Z 0 27.5

Adjustable Cells

Cell Name Original ValueFinalValue

$C$7 x1 0 7

$C$8 x2 0 4.5

Pivot baris

Pivot kolom

http://opt/scribd/conversion/tmp/scratch31465/Tableau%20format%202007%20.xls

http://opt/scribd/conversion/tmp/scratch31465/Tableau%20format%202007%20.xls



Constraints

Cell Name Cell Value Formula Status Slack

$C$10 kon1 16 $C$10<=16 Binding 0$C$11 kon2 30 $C$11<=30 Binding 0

$C$7 x1 7 $C$7>=0NotBinding 7

$C$8 x2 4.5 $C$8>=0NotBinding 4.5

2.4 Metode Simplek Dalam Bentuk Matrik

Metode simplek yang dijelaskan sebelumnya ( aljabar dan tabel), untuk

selanjutnya disebut original simplex methods, yang merupakan prosedur

aljabar. Prosedur ini akan cukup rumit bila variabelnya banyak.

Dalam metode berikutnya akan disajikan suatu perbaikan metode

simplek ( revise simplex method) yang secara eksplisit menggunakan

manipulasi matrik. Jadi permasalahan / model matematik selalu dibuat dalam

bentuk matrik.

Dalam model standar linear programming dalam bentuk matrik sbb:

Optimize z = c1x1 +c2x2 + c3x3 + . . . . + cnxn

Subject to

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn { ≤ , = , ≥ }b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn { ≤ , = , ≥ }b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + . . . + a3nxn { ≤ , = , ≥ }b3

.

.

.

am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn { ≤ , = , ≥ }bm

x1, x2, x3, . . . xn ≥ 0

Biasa ditulis lebih kompak lagi sbb:



Optimize z = j

n

j

j xc∑=1

Subject to

j

n

j

jixa∑

=1

{ ≤ , = , ≥ } b1 , i = 1, 2, 3, . . . , m

x j ≥ 0 , j = 1, 2, 3, . . . , n

Dari ketiga jenis kendala { ≤ , = , ≥ } maka secara umum akan jauh lebih mudah

menyelesaikan persamaan dari pada pertidaksamaan.

Model pertidaksamaa di atas dapat dirubah mejadi persamaan dengan

memasukkan beberapa variabel tambahan (slak dan surplus) kedalamformulasi / persamaan.

Dan untuk lebih memudahkan perhitungan maka sisi kanan dibuat menjadi

nonnegativitas ( yaitu bi ≥ 0), hal ini bisa dilakukan dengan mengalikan dengan

(-1).

Konversi kendala:

Kendala pertidaksamaan ke r,

j

n

j

jr xa∑=1

≤ b r

Masukkan variabel baru sr ≥ 0 yang disebut slack variabel

r r j

n

j

jr b s xa =+∑=1

Atau

j

n

j

jr r r xab s ∑=

−=1

Berikutnya

Kendala pertidaksamaan ke t,

j

n

j jt xa∑

=1

≥ b t

Masukkan variabel baru st ≥ 0 yang disebut surplus variabel

t t j

n

j jt sb xa +=∑

=1



t t j

n

j

jt b s xa =−∑=1

Atau

t j

n

j

jt t b xa s −=∑=1

Fungsi tujuan menjadi:

Optimize z = ∑∑==

+

p

k

k k j

n

j

j sc xc11

Suku pertama dalam persamaan diatas j

n

j

j xc∑=1

adalah fungsi tujuan asli

sedangkan suku kedua ∑=

p

k

k k sc

1

adalah pengaruh dari variabel slak dan surplus.

Dalam beberapa literatur nilai ck diasumsikan nol (Ignizio, LinearProgramming).

Contoh 1.

Konversi linear programming ke bentuk standard

Bila diberikan model sbb:

Min z = 7x1 – 3x2 + 5x3 Kendala

x1 + x2 + x3 ≥ 9

3x1 + 2x2 + x3 ≤ 12

x1, x2, x3 ≥ 0

Bila asumsi biaya surplus adalah 0, dan biaya slak 1,5 perunit maka

Bentuk standar

Max z = -7x1 + 3x2 - 5x3 + 0s1 -1,5s2Kendala

x1 + x2 + x3 – s1 = 9

3x1 + 2x2 + x3 + s2 = 12

x1, x2, x3, s1, s2 ≥ 0

Perlu perhatikan bawha min z = mak – z



Ada beberapa textbook menyeragamkan variabel keputusan ( xj) sehingga

model standar diatas biasa ditulis sbb:

Max z = -7x1 + 3x2 - 5x3 + 0x4 -1,5x5

Kendala

x1 + x2 + x3 – x4 = 9

3x1 + 2x2 + x3 + x5 = 12

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

Sehingga model standar diatas dapat ditulis sbb

Mak z = j

n

j

j xc∑=1

Subject to

j

n

j

jixa∑

=1

= b1 , i = 1, 2, 3, . . . , m

x j ≥ 0 , j = 1, 2, 3, . . . , n

Model diatas juga dapat ditulis dalam bentuk vektor dan matrik

Mak z = cx

Subject to

Ax = b

x ≥ 0

dimana

A = matrik m x n yang merupakan koefisien dari kendala

C = adalah vektor baris

C = [c1, c2, c3, ... , cn]

X, b, dan 0 adalah vektor kolom



=

n x

x

x

x

X

.

3

2

1

,

=

nb

b

b

b

b

.

3

2

1

,

=

n0

.

0

0

0

03

2

1

dan

=

mnm2m1

2n2221

1n1211

a...aa

............

a...aa

a...aa

A = (a1,a2,a3,...,an)

Penyelesaian dengan matrik

Bila bentuk standar sbb

Mak z = cx

Ax = b

x ≥ 0

Langkah I. Partisi matrik A menjadi :

A = [B:N] .................................... (1)

Dengan B = m x m matrik nonsingular ( matrik basis)

N = m x(n-m) matrik kolom non basic

Maka sistem linear Ax = b dapat ditulis menjadi

BxB + NxN = b dan disederhanakan menjadi:

xB + B-1

NxN = B-1

b

dan penyelesaiannya menjadi:

xB = B-1 b - B-1 NxN

Bila xN = 0 , maka:

Contoh

1. Nanti



Documents

modul-1 simplek