Modul 4 - Linear Programming, Metode Grafik.pptx

8/19/2019 Modul 4 - Linear Programming, Metode Grafik.pptx

1/24

Tinjauan Umum Modul 4

Secara umum, Modul 4 akan membahas mengenai penentuan alokasi sumber daya yang jumlahnya terbatassecara optimal dengan menggunakan linear programming: metode grafik.

Modul 4 hanya terdiri dari satu kegiatan belajar: Pemecahan Masalah yang masih dalam Bentuk Standar de

ngan Metode Grafik.

Setelah mempelajari Modul 4, diharapkan mampu menerapkan cara alokasi sumber daya yang terbatas secara optimal untuk melaksanakan beberapa kegiatan, dengan asumsiasumsi linier.

Secara khusus, setelah mempelajari Modul 4, diharapkan mampu:

• Membuat formulasi masalah ke dalam persamaanpersamaan dan menyusunnya ke dalam linear program

ming !

• Memecahkan masalah secara sederhana dengan pendekatan grafik!• Menjelaskan dasar pemikiran yang digunakan dalamlinear programming !

• Menafsirkan arti dari hasil pemecahan optimal berdasarkan metode grafik sebagai dasar dalam mengamb

il keputusan.

1


2/24

Programma Linier

Programma linier merupakan suatu cara mengalokasikan sumber daya yang jumlahnya terbatas secaraoptimal untuk melaksanakan beberapa macam akti"itas yang semuanya memerlukan sumber daya tersebut.

#leh karena jumlah sumber daya yang sifatnya terbatas, maka sumber daya tersebut harus dialokasikan

sedemikian rupa agar diperoleh hasil yang optimal. $ang dimaksud denganoptimal adalah sebaikbaiknya

untuk kita:

• Memaksimalkan laba, penerimaan, output, kepuasan, kenikmatan, dan lain sebagainya.

•

Meninimalkan kerugian, biaya, %aktu tunggu, ketidakpuasan, dan lain sebagainya.

&sumsi linieritas digunakan dalam menyusun rencana berbasis programma linier. Maksudnya adalah

asumsi bah%a segala sesuatu yang dimaksudkan dalam model yang akan dibuat bersifat linier, atau ber

hubungan secara linier 'proporsional(. Misalnya laba yang diperoleh dalam penjualan satu buah produk

adalah )p *++, maka apabila menjual ++ buah produk akan mendapatkan laba - )p *+.+++.

Selain itu, ada batasan atau konstrain yang melekat pada model. Misalnya konstrain biaya atau modal

'jumlah modal yang dimiliki terbatas(, konstrain %aktu '%aktu yang dipunyai terbatas(, bahkan konstrain

tanda 'produk yang diproduksi tidak boleh negatif(.

2


3/24

Formulasi Masalah

Sebelum memulai pemograman dengan programma linier, maka kita harus merumuskan kasus atau masalahyang akan diselesaikan, tentu saja dalam persamaanpersamaan linier. &da dua macam model persamaan:

. ungsi tujuan 'objektif(, yang sifatnya menimimalkan atau memaksimalkan.

/. ungsi pembatas 'konstrain(, yang merupakan batasan fungsional terhadap jumlah sumber daya yang t

erbatas.

Simbolsimbol kon"ensional yang dipakai:i : 0omor 'indeks( sumber daya!

j : 0omor 'indeks( akti"itas!

m : Banyaknya macam sumber daya!

n : Banyaknya macam akti"itas!

aij : 1ebutuhan setiap unit akti"itas j akan sumber daya i!

bi : Banyaknya sumber daya i yang tersedia!

c j : Manfaat yang diperoleh untuk setiap unit akti"itas j!

X j : 2kuran 'unit( akti"itas!

Z : 3umlah nilai yang akan dituju 'maksimasi atau minimasi(.

3


4/24

Formulasi Masalah

lustrasi :

4


5/24

Formulasi Masalah

. ungsi 5ujuanungsi ini menunjukkan tujuan yang akan dioptimalkan: maksimasi atau minimasi.

Simbol yang digunakan adalah Z .

Bentuk umum:

X merupakan "ariabel keputusan: apa atau siapa yang akan dioptimalkan. 6ari ilustrasi , yang akan di

optimalkan adalah jumlah produk dan / yang akan diproduksi, maka,n - /.

2ntuk ilustrasi , fungsi tujuannya adalah:

Maksimasi Z - c X 7 c/ X /

Z - 8 X 7 4 X /

5

nn

n

j

j j

X c X c X c Z

X c Z

+++=

=∑=

//


6/24

Formulasi Masalah

/. ungsi Pembatasa. Pembatas ungsional 'Sumber 6aya(

ungsi ini menunjukkan alokasi sumber daya yang tersedia. &pabila setiap unit akti"itas j memerlukan

a unit sumber daya i, maka bentuk umum pertidaksamaan fungsi pembatas fungsional adalah:

2ntuk ilustrasi , fungsi pembatas fungsionalnya a

dalah:

Subject to / X 7 X / 9 .+++

/ X 7 8 X / 9 ;.+++

6

,

,

, b X a

n

j

j j ≤∑=

,,/,/,,, b X a X a X a nn ≤+++

/

,

/ b X an

j

j j ≤∑=

m

n

j

jmj b X a ≤∑=,

/////,/, b X a X a X a nn ≤+++

mnmnmm b X a X a X a ≤+++ //,,


7/24

Formulasi Masalah

/. ungsi Pembatas b. Pembatas 5anda

ungsi ini menunjukkan bah%a "ariabel keputusan ' X j( tidak boleh bernilai tertentu. Biasanya, dalam k

asus programma linier sederhana, "ariabel keputusan tidak boleh bernilai negatif 'lebih besar atau sama

dengan nol(.

Bentuk umum:

2ntuk ilustrasi , fungsi pembatas tandanya adalah:

X < +! X / < +

7

+!!+!+ / ≥≥≥ n X X X


8/24

Formulasi Masalah

ormulasi masalah secara lengkap dari lustrasi adalah:Maksimasi Z - 8 X 7 4 X /

Subject to '( / X 7 X / 9 .+++

'/( / X 7 8 X / 9 ;.+++

'8( X < +! X / < +

Bentuk formulasi masalah di atas merupakan bentuk standar , yang merupakan bentuk paling sederhana dan

bisa langsung dipecahkan dengan mudah.

=iriciri dari bentuk standar untuk fungsi tujuan maksimasi:

. ungsi pembatas fungsional bertanda 9 'kurang dari sama dengan(!

/. ungsi pembatas tanda nonnegatif atau bertanda < 'lebih dari sama dengan(.

8


9/24

Pemecahan Masalah

Pemecahan masalah dari programma linier dapat diselesaikan dengan dua metode: metode "isual 'grafik( dan metode simpleks. Metode grafik akan dibahas dalam Modul 8 sedang metode simpleks pada Modul 4.

1elebihan metode "isual 'grafik( adalah dapat dengan mudah diimplementasikan dan tidak memerlukan pe

rhitungan yang rumit karena mudah untuk dibayangkan secara "isual.

1ekurangannya adalah terbatas untuk dua dan tiga "ariabel keputusan. >al ini dikarenakan secara "isual, h

anya mungkin menggambar grafik dalam dua dan tiga dimensi. Bahkan, ada yang hanya membatasi metode

grafik hanya mungkin dilakukan dalam dua dimensi dikarenakan dibutuhkan bantuan soft%are untuk memp

ermudah menggambar grafik dalam tiga dimensi. 6alam Modul 8 hanya dibahas metode grafik secara dua

dimensi.

Meskipun begitu, metode grafik sangat baik sebagai dasar dalam mempelajari metode pemecahan masalah

dari programma linier sebelum menginjak ke algoritma yang lebih rumit: metode simpleks.

9


10/24

Metode Grafik

. Gambar dua sumbu x dan y. baratkan X sebagai sumbu x dan X / sebagai sumbu y

10

+ x

y

++++++*+++4+++8+++/++++++

+++

*+++

+++

/+++

8+++

4+++


11/24

Metode Grafik

/. Gambar semua pembatas fungsional

11

/ X 7 X / 9 .+++ / X 7 8 X / 9 ;.+++

Pembatas fungsional:

'( / X 7 X / 9 .+++'/( / X 7 8 X / 9 ;.+++


12/24

Metode Grafik

8. Gambar semua pembatas tanda

12

/ X 7 X / 9 .+++ / X 7 8 X / 9 ;.+++ X < +

X / < +

Pembatas tanda:

'8( X < +! X / < +


13/24

Metode Grafik

4. =ari daerah Feasible: ?daerah@ yang mungkin dijadikan calon solusi.

13

/ X 7 X / 9 .+++ / X 7 8 X / 9 ;.+++ X < +

X / < +

6aerah easible


14/24

Metode Grafik

*. =ari calon solusi dengan melihat titiktitik ujung pada daerah feasible.=alon solusi:

#. 5itik '+,+(!

&. 5itik '8+++,+(!

B. 5itik '//*+,*++(!

=. 5itik '+,8+++(.

=ara mencari titik B:

14

/ X 7 X / 9 .+++ / X 7 8 X / 9 ;.+++ X < +

X / < +

6aerah easible

#

=

&

B

/ X 7 X / - .+++

/ X 7 8 X / - ;.+++

/ X / - 8.+++

X / - .*++

/ X 7 X / - .+++

/ X 7 .*++ - .+++

/ X - 4.*++

X - /./*+


15/24

Metode Grafik

. 2ji semua calon solusi dengan memasukkan fungsi tujuan dan cari yang paling optimal.ungsi tujuan: Maksimasi Z - 8 X 7 4 X /

#. 5itik '+,+(!

Z - 8'+( 7 4'+( - +

&. 5itik '8+++,+(!

Z - 8'8+++( 7 4'+( - ;+++

B. 5itik '//*+,*++(!

Z - 8'//*+( 7 4'*++( - /.A*+

=. 5itik '+,8+++(!

Z - 8'+( 7 4'8+++( - /.+++

15

/ X 7 X / 9 .+++ / X 7 8 X / 9 ;.+++ X < +

X / < +

6aerah easible

#

=

&

B

Paling #ptimal

'Paling Maksimal(


16/24

Metode GrafikA. Penyelesaian.

ariabel keputusan yang paling optimal:

X - /./*+!

X / - .*++.

>al ini berarti produk seharusnya diproduksi sebanyak /./*+ dan produk / sebanyak .*++.

Caba yang diperoleh:

Z - 8 X 7 4 X /

Z - 8'//*+( 7 4'*++(

Z - /.A*+.

5ry to "erify this optimal solutionD

16


17/24

“Penyimpangan”. Pembatas fungsional bertanda ?


18/24

“Penyimpangan”/. Pembatas fungsional bertanda ?-@

1etika suatu permasalahan ada pembatas fungsional yang bertanda - 'sama dengan(, maka dalam peng

gambaran di grafik adalah sebagai berikut.

Misal pembatas fungsional adalah / X 7 X / - .+++.

EPerhatikan bah%a bila pembatas bertanda -, maka tidak ada yang darsirD

18


19/24

“Penyimpangan”8. ungsi 5ujuan Minimasi

1etika fungsi tujuan dari programma linier adalah minimasi, maka cara penyelesaiannya sama dengan

apabila fungsi tujuan maksimasi, hanya saja dalam mencari calon solusi, cari nilai Z yang minimal.

=ontoh:

Minimasi Z - 8 X 7 4 X /

Subject to '( / X 7 X / < .+++

'/( / X 7 8 X / - ;.+++

'8( X < +! X / < +

19

ungsi tujuan: Minimasi Z - 8 X , 7 4 X /

&. 5itik '4*++,+(!

Z - 8'4*++( 7 4'+( - 8*++

B. 5itik '//*+,*++(!

Z - 8'//*+( 7 4'*++( - /.A*+

=. 5itik '+,+++(!

Z - 8'+( 7 4'+++( - /4.+++

Paling #ptimal

'Paling Minimal(

X / < +

X < +


20/24

“Penyimpangan”4. Perubahan dalam pembatas tanda

1etika suatu permasalahan pembatas tanda tidak nonnegatif, maka dalam penggambaran di grafik adal

ah sebagai berikut.

Misal pembatas tanda adalah X 9 F *.+++.

EPerhatikan daerah yang diarsirD

20 X 9 F *.+++


21/24

“Penyimpangan”*. Masalah tanpa 6aerah Feasible

&dakah permasalahan yang tidak mempunyai daerah feasible 3a%abannya adalah ada.

>al ini terjadi karena batasan yang ada tidak bisa mengakomodir adanya solusi yang optimal

=ontoh:

Maksimasi Z - 8 X 7 4 X /

Subject to '( / X 7 X / < .+++

'/( / X 7 8 X / 9 ;.+++

'8( 4 X 7 * X / < /+.+++

'4( X < +! X / < +

21

X / < +

X < +


22/24

“Penyimpangan”. Masalah dengan lebih dari satu solusi optimal

&dakah permasalahan yang mempunyai lebih dari satu solusi optimal 3a%abannya adalah ada.

>al ini biasanya terjadi kalau fungsi maksimasi mempunyai slope yang sama 'sejajar( dengan salah sat

u pembatas fungsional.

=ontoh:

Maksimasi Z - / X 7 8 X /

Subject to '( / X 7 X / 9 .+++'/( / X 7 8 X / 9 ;.+++

'8( X < +! X / < +

22

ungsi tujuan: Minimasi Z - / X 7 8 X /

#. 5itik '+,+(!

Z - /'+( 7 8'+( - +

&. 5itik '8+++,+(!

Z - /'8+++( 7 8'+( - +++

B. 5itik '//*+,*++(!

Z - /'//*+( 7 8'*++( - ;+++

=. 5itik '+,8+++(!

Z - +'+( 7 8'8+++( - ;+++

Paling #ptimal

'Paling Maksimal( X / < +

X < +


23/24

“Penyimpangan”A. Masalah tanpa solusi optimal

&da dua kemungkinan suatu permasalahan tidak mempunyai solusi optimal:

•. 5idak memiliki daerah feasible 'sudah dijelaskan pada poin *(!

•. &da akti"itas yang tidak memiliki pembatas fungsional. >al ini berarti akti"itas tersebut tidak mem

punyai batasan, misalnya jumlah uang dianggap tidak menjadi masalah 'tidak terbatas(.

H. >ubungan antara titik sudut feasible 'calon solusi(

23

Maksimasi Z - 8 X 7 4 X /Subject to '( / X 7 X / 9 .+++

'/( / X 7 8 X / 9 ;.+++

'8( X 9 /.+++

'4( X / 9 /.H++

'*( X < +! X / < +

ungsi tujuan: Minimasi Z - 8 X 7 4 X /

#. 5itik '+,+(!

Z - 8'+( 7 4'+( - +

&. 5itik '/H++,+(!

Z - 8'/H++( 7 4'+( - H4++

B. 5itik '/H++,4++(!

Z - 8'/H++( 7 4'4++( - ++++

=. 5itik '//*+,*++(!

Z - 8'//*+( 7 4'*++( - /A*+

6. 5itik '*++,/+++(!

Z - 8'*++( 7 4'/+++( - /*++

I. 5itik '+,/+++(!

Z - 8'+( 7 4'/+++( - H+++


24/24

nalisis !ensiti"itas&nalisis sensiti"itas bertujuan untuk menghitung akibat dari perubahan fungsi pembatas dan fungsi tujuan.

=ontoh:

Maksimasi Z - 8 X 7 4 X /

Subject to '( / X 7 X / 9 .+++

'/( / X 7 8 X / 9 ;.+++

'8( X < +! X / < +

24

Misalkan fungsi pembatas pertama menjadi / X 7 X / 9 .*++

#. 5itik '+,+(!

Z - 8'+( 7 4'+( - +

&. 5itik '8+++,+(!

Z - 8'8+++( 7 4'+( - ;+++

B. 5itik '//*+,*++(!

Z - 8'//*+( 7 4'*++( - /.A*+

=. 5itik '+,8+++(!

Z - 8'+( 7 4'8+++( - /.+++

#. 5itik '+,+(!

Z - 8'+( 7 4'+( - +

&. 5itik '8/*+,+(! Z - 8'8/*+( 7 4'+( - ;A*+

B. 5itik '//*,/*+(!

Z - 8'//*( 7 4'/*+( - /.HA*

=. 5itik '+,8+++(!

Z - 8'+( 7 4'8+++( - /.+++

Documents

Modul 4 - Linear Programming, Metode Grafik.pptx