Modul Trigonometrri

UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 1

T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

Cek Kemampuan (Tes Awal)

Kerjakanlah soal-soal berikut ini. Jika anda merasa dapat mengerjakan semua soal berikut

ini, maka anda dapat langsung mengerjakan soal-soal Evaluasi pada BAB III. Atau jika anda

telah merasa dapat mengerjakan sebagian soal-soal pada bagian yang telah anda kuasai

dengan bantuan guru maka mintalah untuk mengerjakan evaluasi pada materi yang anda

kuasai.

1. Hitung nilai dan , jika

2. Sebuah tangga disandarkan tembok vertikal. Sudut yang dibentuk oleh tangga dan lantai

adalah 45 derajat, hitunglah panjang tembok dari alas sampai tangga jika panjang tangga 4

m.

3. Tentukan koordinat kutub dari suatu titik jika koordinat Cartesiusnya (3,4)

4. Tentukan koordinat Cartesius dari titik (5,p )

5. Tuliskan aturan sinus dan aturan cosinus pada suatu segitiga.

6. Hitung dengan menggunakan rumus jumlah atau rumus selisih sin 75

7. Selesaikan

8. Jika A, B, dan C masing-masing sudut suatu segitiga (bukan segitiga sikusiku), buktikan

bahwa: !


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

PEMBELAJARAN

Uraian Materi

Trigonometri sebagai suatu metode dalam perhitungan untuk menyelesaikan masalah yang

berkaitan dengan perbandingan-perbandingan pada bangun geometri, khususnya dalam bangun

yang berbentuk segitiga. Pada prinsipnya trigonometri merupakan salah satu ilmu yang

berhubungan dengan besar sudut, dimana bermanfaat untuk menghitung ketinggian suatu tempat

tanpa mengukur secara langsung sehingga bersifat lebih praktis dan efisien.

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, dimana terdiri dari dua buah kata yaitu trigonom

berarti bangun yang mempunyai tiga sudut dan sisi (segitiga) dan metrom berarti suatu ukuran.

Dari arti dua kata di atas, trigonometri dapat diartikan sebagai cabang ilmu matematika yang

mempelajari tentang perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila ditinjau dari salah satu

sudut yang terdapat pada segitiga tersebut. Dalam mempelajari perbandingan sisi-sisi segitiga

pada trigonometri, maka segitiga itu harus mempunyai tepat satu sudutnya (900) artinya segitiga

itu tidak lain

adalah segitiga siku-siku.

Satuan sudut selain derajat adalah radian, di mana satu radian adalah besarnya sudut yang

menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.

∠ AOB = 1 rad

Hubungan radian dengan derajat

360° = rrπ2

rad

= 2π rad

180° = π rad

pendekatan 1 rad = 57,3°.

Dengan mengingat pengertian radian tersebut, maka bentuk penyelesaian persamaan

trigonometri dapat pula menggunakan satuan radian, sebagai contoh untuk persamaan sin x =

sin A maka penyelesaiannya adalah:

x = A + k. 2π atau x = (π− A) + k. 2π , k ∈ B

di mana x dan A masing-masing satuannya radian

r r

O A

B


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

A B

C

E

G F

D

1) Perbandingan Trigonometri (Sinus, Cosinus dan Tangen)

Perhatikan Segitiga ABC di atas. Pada pelajaran mengenai kesebangunan gambar disamping

dapat dilihat sebagai tiga buah segitiga yang sebangun yaitu:

∆ABC; ∆DEC; dan ∆FGC

(Anda tahu mengapa?)

Karena ketiga segitiga sebangun maka hukum kesebangunan akan berlaku, bahwa sisi-sisi yang

bersesuaian adalah sebanding. Sehingga diperoleh:

Nilai dari perbandingan inilah yang kita sebut sebagai nilai Tangen dari sudut C, misalkan sudut

C adalah θ maka

Sedangkan nilai kesebangunan yang lain yaitu:

disebut sebagai nilai Sinus dari sudut C, sehingga:

dan


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

Disebut sebagai nilai Cosinus dari Sudut C, sehingga:

Selanjutnya perhatikanlah gambar, misalkan sudut B diberi nama β tentukanlah nilai

perbandingan dari: !

Nilai perbandingan tersebut di atas memiliki invers (coba Anda cari tahu apa maksudnya),

masing-masing adalah:

Perbandingan Trigonometri Invers Sebutan

Jadi:


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

Contoh:

Diketahui ∆ABC siku-siku di C, seperti gambar di samping,

jika diketahui panjang tentukanlah nilai

dari:

a.

b.

c. Besarnya sudut α dan β

Jawab:

Tentukan panjang terlebih dahulu:

a)

b)

c) Besarnya sudut dapat dilakukan dengan cara mencari arces perbandingan trigonometri

yang sudah diketahui.

A

B

C

a

b

c

β

α


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

2) Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Perhatikan persegi ABCD dengan sisi-sisi 1 satuan panjang. Sehingga dengan memanfaatkan

aturan Pythagoras diperoleh panjang diagonal AC= . Sekarang perhatikanlah segitiga siku-

siku ABC siku-siku di B. Karena persegi ABCD sama sisi maka besarnya ∠BAC=450. Dengan

menggunakan perbandingan trigonometri yang sudah dibahas maka diperoleh:

Pandang segitiga sama sisi ABC dengan panjang

sisi adalah 2 satuan panjang. Jika dari ∠C ditarik

garis tinggi CT yang tegak lurus pad sisi AB maka

diperoleh AT=BT=1. Perhatikan Segitiga siku-siku

BTC yang siku-siku di T. Dengan menggunakan

aturan Pythagoras diperoleh panjang

(Coba Anda buktikan!).

Dengan cara yang sama mencari perbandingan

trigonometri sebelumnya akan diperoleh:

B

C

1

1

A B

C

2 2

2 1

300

600 T

D

A

450


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

r

Masih dengan segitiga yang sama ∆BTC, sekarang perhatikan untuk ∠B=600 perbandingan

trigonometri akan diperoleh:

Untuk sudut 00 dan 900 perhatikan lingkaran pada sumbu kartesius di bawah yang memiliki jari-

jari 1 satuan panjang. Perhatikan jari-jari yang membantuk sudut terhadap sumbu x.

Jika r membentuk sudut 00 maka r berimpit

dengan sumbu x, sehingga perbandingan

trigonometrinya diperoleh:


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

Had

apan

Pada

Sisi Miring

α

Untuk sudut 900, maka jari-jari r akan berimpit dengan sumbu y, sehingga untuk perbandingan

trigonometrinya diperoleh:

Tabel Nilai Perbandingan Trigonometri susut-sudut Istimewa

Sudut α Sin α Cos α Tan α

00 0 1 0

300

450

1

600

900 1 0 ∼

Untuk mempermudah mengingat perbandingan trigonometri perhatikan baik-baik segitiga siku-

siku berikut:

Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut α

adalah:


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

Hadapan

Miring Sisi =αcsc

Pada

Miring Sisi =αsec

Hadapan

Padacot =α

3) Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran

P adalah sembarang titik di kuadran I dengan

koordinat (x,y). OP adalah garis yang dapat

berputar terhadap titik asal O dalam koordinat

kartesius, sehingga ∠XOP dapat bernilai 0° sampai

dengan 90°. Perlu diketahui bahwa

ry =+= 22xOP dan r > 0

Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat didefinisikan dalam

absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut:

1. ry==

OP panjangP ordinat

α sin 4. yr==

P ordinatOP panjang

αcsc

2. rx==

OP panjangP absis

α cos 5. xr==

P absisOP panjang

α sec

3. xy==

P absisP ordinat

α tan 6. yx==

P ordinatP absis

α cot

y

x X

Y P(x,y)

r

α1

Gb. 2.5

O


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

Dengan memutar garis OP maka ∠ XOP = α dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran III

atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.

Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran:

Kuadran Perbandingan

Trigonometri I II III IV

sin + + - -

cos + - - +

tan + - + -

csc + + - -

sec + - - +

cot + - + -

Gb. 2.6. titik di berbagai kuadran

y

x X

Y P(x,y)

r

α1 O

y

x X

Y P(x,y)

r

α2

O

y

x

X

Y

r

P(x,y)

α3 O

y

x X

Y

r

P(x,y)

α4

O


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

12m

600

C

A

B

Contoh Aplikasi

Sebuah perahu akan menyeberang sungai yang mengalir

(lihat gambar) sehingga arah perahu membentuk sudut 600

dari sisi sungai. Karena arus perahu terbawa arus sejauh 12

m sehingga sampai di sisi seberang sungai. Tentukan lebar

sungai dan jarak yang ditempuh perahu tersebut!

Jawab :

Misalkan titik awal perahu adalah A dan titik akhir nya B, dan panjang yang ditempuh

AC=12 m. Maka lebar sungai adalah CB. Perhatikan segitiga siku-siku ABC yang siku-siku

di C. Perbandingan trigonometri yang kita gunakan untuk menhitung lebar sungai adalah:

sehingga maka . Jadi lebar sungai adalah .

Untuk mencari jarak tempuh perahu kita menggunakan perbandingan trigonometri:

Sehingga diperoleh Jadi jarak tempuh perahu adalah 24 m

4) Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi

Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut α adalah sudut (90° ± α), (180° ± α), (360° ± α),

dan -α°. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku

(komplemen) yaitu untuk sudut α° dengan (90° - α) dan pelurus (suplemen) untuk sudut α°

dengan (180° - α). Contoh: penyiku sudut 50° adalah 40°, pelurus sudut 110° adalah 70°.


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

1. Perbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (90° - α)

Dari gambar 2.7 diketahui

Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)

akibat pencerminan garis y = x, sehingga diperoleh:

a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 90° - α

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:

a. ( ) α===α−° cos90 sin1

1rx

ry

b. ( ) α===α−° sin90 cos1

1ry

rx

c. ( ) α===α−° cot90 tan1

1yx

xy

Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut α dengan (90°

- α) dapat dituliskan sebagai berikut:

a. ( ) α=α−° cos90 sin d. ( ) α=α−° sec90csc

b. ( ) α=α−° sin90 cos e. ( ) α=α−° ec cos90sec

c. ( ) α=α−° cot90 tan f. ( ) α=α−° tan90 cot

y

x

X

Y

P(x,y)

r

α (90-α)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

y = x

Gb. 2.7. sudut yang berelasi

O


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

y

x X

Y

P(x,y) r

α

(180°-α)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O


2. Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (180° - α)

Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari

titik P(x,y) akibat pencerminan

terhadap sumbu y, sehingga

a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 180° - α

b. x1 = −x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

a. ( ) α===α−° sin180 sin1

1ry

ry

b. ( ) α−=−==α−° cos180 cos1

1rx

rx

c. ( ) α−=−

==α−° tan180 tan1

1x

yxy

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

3. Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (180° + α)

Dari gambar 2.9 titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari

titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap garis y = −x,

sehingga

a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 180° + α

b. x1 = −x, y1 = −y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

a. ( ) α−=−==α+° sin180 sin1

1ry

ry

a. ( ) α=α−° sin180 sin d. ( ) α=α−° csc180csc

b. ( ) α−=α−° cos180 cos e. ( ) α−=α−° sec 180sec

c. ( ) α−=α−° tan180 tan f. ( ) α−=α−° cot180 cot

y

x X

Y

P(x,y) r

α

(180°+α)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O



T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

b. ( ) α−=−==α+° cos180 cos1

1rx

rx

c. ( ) α==−−==α+° tan180 tan

1

1xy

xy

xy


4. Perbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (- α)

Dari gambar 2.10 diketahui titik P1(x1,y1) bayangan

dari P(x,y)

akibat pencerminan terhadap sumbu x, sehingga

a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = - α

b. x1 = x, y1 = −y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan

a. ( ) α−=−==α− sin sin1

1ry

ry

b. ( ) α===α− cos cos1

1rx

rx

c. ( ) α−=−==α− tan tan1

1xy

xy


a. ( ) α−=α+° sin180 sin d. ( ) α−=α+° csc 180csc

b. ( ) α−=α+° cos180 cos e. ( ) α−=α+° sec 180sec

c. ( ) α=α+° tan180 tan f. ( ) α=α+° cot180 cot

a. ( ) α−=α− sin sin d. ( ) α−=α− csc csc

b. ( ) α=α− cos cos e. ( ) α=α− sec sec

c. ( ) α−=α− tan tan f. ( ) α−=α− cot cot

y

x

X

Y P(x,y)

r

α

(360°-α1)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O -α



T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

Untuk relasi α dengan (- α) tersebut identik dengan relasi α dengan 360° − α, misalnya sin

(360° − α) = − sin α.

5) Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Dari titik T pada lingkaran O ditarik garis yang menghubungkan titik itu degan pusat O. Pusat O

disebut sebagai kutub. Jarak OT dinyatakan dengan r,

dan r nilainya selalu positif.

Besarnya ∠TOX diukur dari sumbu x ke arah yang

berlawanan dengan arh jarum jam. Letak titik T

ditentukan olah koordinat r dan ∠TOX. Jika ∠TOX

besarnya adalah α, maka koorinat titik T adalah r dan

α, ditulis . Karena besarnya sudut dinyatakan

dengan satuan derajat, maka letak titik T dapat

dituluskan sebagai . Koordinat yang

dinyatakan seperti ini disebut Koordinat Kutub atau

Koordinat Polar.

Pandang titik T jika dinyatakan dalam koordinat kartesius, misalkan , perhatikan gambar

di bawah:

Perhatikan segitiga siku-siku , perbandingan

trigonometri dari sudut α adalah:

sehingga

sehingga

Dengan demikian koordinat titik dapat

dinyatakan sebagai:


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

6) Mengubah Koordinat

Sistem koordinat Polar dan Koordinat kartesius memiliki hubungan seperti telah diuraikan di

atas, sehingga kita dapat melakukan perubahan koordinat

kutub menjadi kartesius atau sebaliknya dari kutub menjadi

kartesius.

Yang harus diperhatikan adalah cara menentukan r dan α

jika sebuah titik diketahui koordinat kartesiusnya.

Perhatikan titik , maka jarak titik tersebut terhadap

titk pusat adalah merupakan r yang akan dicari.

Dengan menggunakan aturan Pythagoras diperoleh hubungan:

Sedangkan untuk menentukan besarnya sudut α, kita dapat menggunakan hubungan bahwa:

Sehingga besarnya sudut α dapat dihitung menggunakan anti tangent (arctan):

Sehingga titik dapat dinyatakan sebagai:


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

Untuk mengubah koordinat kutub menjadi koordinat kartesius dapat memanfaatkan

hubungan:

Sehingga:

7) Identitas Trigonometri

Dari gambar di samping diperoleh rx=αcos

,ry=αsin dan 22 yxr += . Sehingga

2

2

2

222 cossin

r

x

r

y +=α+α

12

2

2

22==+=

r

r

r

yx

8) Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu

sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian.

Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang memenuhi

persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar.

1. Menyelesaikan persamaan sin x = sin α

Dengan mengingat rumus

sin (180° - α) = sin α dan sin (α + k. 360°) = sin α, maka diperoleh:

Jika sin x = sin α maka

x = α + k. 360° atau x = (180° − α) + k. 360° , k ∈ B

y

x X

Y P(x, y)

r

α O

Gb. 2.13. rumus identitas

•

sin2α +cos2α = 1

Jadi


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

2. Menyelesaikan persamaan cos x = cos α


( ) α=α− cos cos dan cos (α + k. 360°) = cos α, diperoleh

3. Menyelesaikan persamaan tan x = tan α


tan (180° + α) = tan α dan tan (α + k. 360°) = tan α, maka diperoleh:

contoh:

Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

b) 21

sin =x c) 3 tan −=x

c) 321

cos =x

Penyelesaian:

a) 21

sin =x → sin x = sin 30°

x = α + k. 360° untuk k = 0 → x = 30°

x = (180° − α) + k.360° untuk k = 0 → x = 180° − 30° = 150°

b) 321

cos =x → cos x = cos 30°

x = α + k. 360° untuk k = 0 → x = 30°

x = − α + k. 360° untuk k = 1 → x = − 30° + 360° = 330°

c) 3 tan −=x → tan x = tan 120°

Jika cos x = cos α maka

x = α + k. 360° atau x = − α + k. 360°, k ∈ B

Jika tan x = tan α maka

x = α + k. 180° , k ∈ B


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

x = α + k. 180° untuk k = 0 → x = 120°

untuk k = 1 → x = 120° + 180° = 300°

9) Aturan Sinus dan Cosinus

Perhatkanlah Segitika sebarang

dengan sudut masing-masing α, β, dan

γ.

Pertama perhatikan terlebih dahulu

segitiga siku-siku yang siku-siku

di T. akan diperoleh bahwa:

Sehingga

Kedua perhatikan segitiga siku-siku BTC yang siku-siku di T. Kita dapat menuliskan bahwa:

Sehingga diperoleh hubungan bahwa:

Atau

Selanjutnya apabila segitiga diletakkan berbeda dari sebelumnya, yaitu menghimpitkan

titik sudut C dengan pusat koordinat, sehigga diperoleh:


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

Perhatikan ∆CTB diperoleh nilai

Sehingga:

Selanjutnya perhatikan ∆ATB akan

diperoleh nilai

Atau

Akibatnya adalah jika dan sehingga diperoleh

Atau

Jadi dari hasil sebelumnya kita dapat menjadikan satu yaitu


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

Hubungan tersebut dikenal sebagai aturan sinus.

Selanjutnya dengan memanfaatkan aturan Pythagoras dari segitiga ABC sebarang yang kita

tarik garis tinggi dari masing-masing sudut kita akan peroleh:

Dari gambar (i)

Lihat ∆AT1C dan ∆BT1C terdapat hubungan bahwa:

Dimana

maka

Sehingga

( )( ) ( )

( )

22 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

1 1

sin cos

sin 2 cos cos

sin cos 2 cos

2 cos

b t AT

a c a

a c ac a

a c ac

a c ac

β β

β β ββ β β

β

= +

= + −

= + − +

= + + −

= + −

(i) (ii)

(iii)


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

10

jadi

Dengan cara analog diterapkan pada gambar (ii) dan (iii) akan diperoleh hubungan bahwa

dan

Ketiga hal yang tersebut di atas dikenal dengan aturan cosinus. Jadi aturan cosinus adalah

Pada segitiga ABC berlaku bahwa:

10) Aplikasi Aturan Sinus dan Cosinus

Aturan sinus digunakan untuk menghitung panjang sisi atau besar sudut sebuah segitiga.

Contoh:

Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AC=10 cm, AB=12 cm dan ∠ACB=600

Tentukan panjang sisi-sisi dan besar sudut-sudut yang

lain!

Jawab:

Pada ∆ABC berlaku aturan sinus:

Sehingga:

0

12

12

10 12

sin sin 60

10 12

sin

10 12sin

5sin

12

β

ββ

β

=

=

× =

=

Sehingga


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

Jadi besar sudut

Panjang sisi a dihitung dengan:

( )

0 512

0

10

sin sin

10

sin 97,37

1210sin 97,37

512

10 0,995

23,76

a

a

a

a

a

α β=

=

= ×

= × ×

=

Contoh:

Diketahui ∆ABC dengan dan AC = , ∠ CAB = 300

Tentukan panjang BC?

Jawab:

Berdasarkan aturan cosinus:

( ) ( )( )

( )( )

2 2 2

24 0

2 cos

2 2 4 2 2 2 4cos30

18 16 2 2 2 4 3

2

24 8 6

8 3 6

8 3 6

a b c bc

a

α= + −

= + −

= + −

= −

= −

= −

Jadi panjang sisi BC =

A B

C

a

4 300


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

11) Rumus Luas Segitiga

Dalam geometri untuk mencari luas segitiga terlebih dahulu kita harus menentukan tinggi

segitiga tersebut dan juga alasnya, kemudian digunakan rumus bahwa

L∆=

Dalam pembahasan kali ini kita akan memanfaatkan aturan sinus dan aturan cosinus untuk

menghitung luas segitiga.

Perhatikan

Luas ∆ABC=

Dengan mengganti nilai t dengan diperoleh

Dan jika t diganti dengan diperoleh

Sedangkan jika kita mengganti posisi garis tinggi segitiga misalnya dari sudut A dan tegak lurus

terhadap BC akan diperoleh rumus luas segitiga yang lain yaitu

Rumus luas segitiga ini dimanfaatkan untuk menghitung luas segitiga yang diketahui besarnya

salah satu sudut dan dua sisi yang mengapit sudut tersebut.

Selanjutnya kita akan memanfatkan aturan cosinus untuk menghitung luas segitiga.

Pandang sebuah aturan cosinus pada sebuah segitiga ABC

Sehingga


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

karena:

2 2sin cos 1α α+ = sehingga 2 2sin 1 cosα α= − atau ( ) ( )2sin 1 cos 1 cosα α α= + − dengan

menggantikan nilai cosα akan diperoleh

( )

( )

( ) ( ){ }( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }

( )( ){ }

2 2 2 2 2 22

22 2 2

22 2 22 2

2 2 2 2

22 2 2 2 2

2 2

22 2 2 22 2

2 2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 22 2

2

sin 1 12 2

12

4

4 4

4

41

24

12 2

41

2 24

1

4

b c a b c a

bc bc

b c a

bc

b c ab c

b c b c

b c b c a

b c

bc b c ab c

bc b c a bc b c ab c

bc b c a bc b c ab c

b

α + − + −= + −

+ −= −

+ −= −

− + −=

= − + −

= + + − − + −

= + + − − − +

= ( )( ) ( )( ){ }( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ){ }

( )( ) ( )( )

2 22 22

2 2

2 2

1

41

4

b c a a b cc

b c a b c a a b c a b cb c

b c a b c a a b c a c bb c

+ − − −

= + + + − + − − −

= + + + − + − + −

Misal s adalah bilangan real yang merupakan setengah Keliling segitiga sehingga

, maka

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c s

b c a s a s a

a c b s b s b

a b c s c s c

+ + =

+ − = − = −

+ − = − = −

+ − = − = −

Jadi

( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

22 2

2 2

1sin

41

2 2 2 24

b c a b c a a b c a c bb c

s s a s c s bb c

α = + + + − + − + −

= − − −


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

dan

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

1sin 2 2 2 2

4

4

2

s s a s c s bb c

s s a s c s bb c

s s a s c s bbc

α = − − −

= − − −

= − − −

Luas segitiga yang dicari adalah

Jadi

Contoh:

Tentukan Luas ∆ABC di samping!

Jawab:

Jadi :

A B

C

18

12

20


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

c. Kesimpulan

Perbandingan trigonometri sudut α pada segitiga siku-siku ABC:

-

-

-

Invers perbandingan trigonometri:

-

-

-

Arces perbandingan trigonometri:

- Jika maka atau

- Jika maka atau

- Jika maka atau

Koordinat Polar

Jika adalah titik di koordinat kartesius dan garis OP

membentuk sudut α terhadap sumbu x, maka dan

dengan .

Jika titik dinyatakan dalam koordinat polar adalah

dengan dan .

Aturan Sinus pada sebuah segitiga ABC:

Aturan Cosinus pada sebuah segitiga ABC:

Luas segitiga ABC:

dengan

B A

C

α

x

y

A B

C


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

d) Tugas 1 dan Kunci

1. Tentukan nilai sin ∠ XOT, cos ∠XOT dan tan ∠XOT, jika koordinat titik T adalah

sebagai berikut:

a) T (3,4) c) T (-5,-10)

b) T (-4,6) d) T (8,-6)

2. Diketahui suatu segitiga siku-siku. Panjang sisi miringnya adalah 2√3 cm. Jika besar

salah satu sudutnya 450, berapakah panjang sisi-sisi yang lain!

3. Tentukan perbandingan-perbandingan nilai sin a dan cos a, serta hitunglah tan a dari

gambar berikut ini:

4. Dari soal no.3 hitunglah luas masing-masing segitiga tersebut!

Kunci:

1. a.

b.

c.

d.

2. Sisi-sisi yang lain besarnya


T

RIG

ON

OM

ET

RI

S

MA

KA

RT

INI

I JA

KA

RT

A

3. a. b. c.

3sin

54

cos53

tan4

a

a

a

=

=

=

15sin

178

cos1715

tan8

a

a

a

=

=

=

4sin

51

cos312

tan5

a

a

a

=

=

=

4. a. 6, b. 60, c. 30

e) Tes Formatif 1

1. Sebuah pohon dalam dua kali pengukuran memberkan hasil yang berbeda, tentag

besarnya sudut jatuh sinar matahari, seperti tampak pada gambar. Jika jarak antara

titik jatuh sinar keduanya adalah 100 m tentukan tinggi pohon tersebut!

2. Sinar matahari membeikan bayangan pada sebuah pohon seperti dilukiskan dalam

gambar

Diketahui sinar matahari membentuk sudut 30o, dan jarak pohon dengan titik

jatuhnya sinar adalah 25 m. Tentukan tinggi pohon tersebut!

45o 30o

100 m

Documents

Modul Trigonometrri