UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 1
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
Cek Kemampuan (Tes Awal)
Kerjakanlah soal-soal berikut ini. Jika anda merasa dapat mengerjakan semua soal berikut
ini, maka anda dapat langsung mengerjakan soal-soal Evaluasi pada BAB III. Atau jika anda
telah merasa dapat mengerjakan sebagian soal-soal pada bagian yang telah anda kuasai
dengan bantuan guru maka mintalah untuk mengerjakan evaluasi pada materi yang anda
kuasai.
1. Hitung nilai dan , jika
2. Sebuah tangga disandarkan tembok vertikal. Sudut yang dibentuk oleh tangga dan lantai
adalah 45 derajat, hitunglah panjang tembok dari alas sampai tangga jika panjang tangga 4
m.
3. Tentukan koordinat kutub dari suatu titik jika koordinat Cartesiusnya (3,4)
4. Tentukan koordinat Cartesius dari titik (5,p )
5. Tuliskan aturan sinus dan aturan cosinus pada suatu segitiga.
6. Hitung dengan menggunakan rumus jumlah atau rumus selisih sin 75
7. Selesaikan
8. Jika A, B, dan C masing-masing sudut suatu segitiga (bukan segitiga sikusiku), buktikan
bahwa: !
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 2
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
PEMBELAJARAN
Uraian Materi
Trigonometri sebagai suatu metode dalam perhitungan untuk menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan perbandingan-perbandingan pada bangun geometri, khususnya dalam bangun
yang berbentuk segitiga. Pada prinsipnya trigonometri merupakan salah satu ilmu yang
berhubungan dengan besar sudut, dimana bermanfaat untuk menghitung ketinggian suatu tempat
tanpa mengukur secara langsung sehingga bersifat lebih praktis dan efisien.
Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, dimana terdiri dari dua buah kata yaitu trigonom
berarti bangun yang mempunyai tiga sudut dan sisi (segitiga) dan metrom berarti suatu ukuran.
Dari arti dua kata di atas, trigonometri dapat diartikan sebagai cabang ilmu matematika yang
mempelajari tentang perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila ditinjau dari salah satu
sudut yang terdapat pada segitiga tersebut. Dalam mempelajari perbandingan sisi-sisi segitiga
pada trigonometri, maka segitiga itu harus mempunyai tepat satu sudutnya (900) artinya segitiga
itu tidak lain
adalah segitiga siku-siku.
Satuan sudut selain derajat adalah radian, di mana satu radian adalah besarnya sudut yang
menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.
∠ AOB = 1 rad
Hubungan radian dengan derajat
360° = rrπ2
rad
= 2π rad
180° = π rad
pendekatan 1 rad = 57,3°.
Dengan mengingat pengertian radian tersebut, maka bentuk penyelesaian persamaan
trigonometri dapat pula menggunakan satuan radian, sebagai contoh untuk persamaan sin x =
sin A maka penyelesaiannya adalah:
x = A + k. 2π atau x = (π− A) + k. 2π , k ∈ B
di mana x dan A masing-masing satuannya radian
r r
O A
B
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 3
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
A B
C
E
G F
D
1) Perbandingan Trigonometri (Sinus, Cosinus dan Tangen)
Perhatikan Segitiga ABC di atas. Pada pelajaran mengenai kesebangunan gambar disamping
dapat dilihat sebagai tiga buah segitiga yang sebangun yaitu:
∆ABC; ∆DEC; dan ∆FGC
(Anda tahu mengapa?)
Karena ketiga segitiga sebangun maka hukum kesebangunan akan berlaku, bahwa sisi-sisi yang
bersesuaian adalah sebanding. Sehingga diperoleh:
Nilai dari perbandingan inilah yang kita sebut sebagai nilai Tangen dari sudut C, misalkan sudut
C adalah θ maka
Sedangkan nilai kesebangunan yang lain yaitu:
disebut sebagai nilai Sinus dari sudut C, sehingga:
dan
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 4
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
Disebut sebagai nilai Cosinus dari Sudut C, sehingga:
Selanjutnya perhatikanlah gambar, misalkan sudut B diberi nama β tentukanlah nilai
perbandingan dari: !
Nilai perbandingan tersebut di atas memiliki invers (coba Anda cari tahu apa maksudnya),
masing-masing adalah:
Perbandingan Trigonometri Invers Sebutan
Jadi:
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 5
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
Contoh:
Diketahui ∆ABC siku-siku di C, seperti gambar di samping,
jika diketahui panjang tentukanlah nilai
dari:
a.
b.
c. Besarnya sudut α dan β
Jawab:
Tentukan panjang terlebih dahulu:
a)
b)
c) Besarnya sudut dapat dilakukan dengan cara mencari arces perbandingan trigonometri
yang sudah diketahui.
A
B
C
a
b
c
β
α
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 6
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
2) Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
Perhatikan persegi ABCD dengan sisi-sisi 1 satuan panjang. Sehingga dengan memanfaatkan
aturan Pythagoras diperoleh panjang diagonal AC= . Sekarang perhatikanlah segitiga siku-
siku ABC siku-siku di B. Karena persegi ABCD sama sisi maka besarnya ∠BAC=450. Dengan
menggunakan perbandingan trigonometri yang sudah dibahas maka diperoleh:
Pandang segitiga sama sisi ABC dengan panjang
sisi adalah 2 satuan panjang. Jika dari ∠C ditarik
garis tinggi CT yang tegak lurus pad sisi AB maka
diperoleh AT=BT=1. Perhatikan Segitiga siku-siku
BTC yang siku-siku di T. Dengan menggunakan
aturan Pythagoras diperoleh panjang
(Coba Anda buktikan!).
Dengan cara yang sama mencari perbandingan
trigonometri sebelumnya akan diperoleh:
B
C
1
1
A B
C
2 2
2 1
300
600 T
D
A
450
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 7
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
r
Masih dengan segitiga yang sama ∆BTC, sekarang perhatikan untuk ∠B=600 perbandingan
trigonometri akan diperoleh:
Untuk sudut 00 dan 900 perhatikan lingkaran pada sumbu kartesius di bawah yang memiliki jari-
jari 1 satuan panjang. Perhatikan jari-jari yang membantuk sudut terhadap sumbu x.
Jika r membentuk sudut 00 maka r berimpit
dengan sumbu x, sehingga perbandingan
trigonometrinya diperoleh:
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 8
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
Had
apan
Pada
Sisi Miring
α
Untuk sudut 900, maka jari-jari r akan berimpit dengan sumbu y, sehingga untuk perbandingan
trigonometrinya diperoleh:
Tabel Nilai Perbandingan Trigonometri susut-sudut Istimewa
Sudut α Sin α Cos α Tan α
00 0 1 0
300
450
1
600
900 1 0 ∼
Untuk mempermudah mengingat perbandingan trigonometri perhatikan baik-baik segitiga siku-
siku berikut:
Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut α
adalah:
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 9
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
Hadapan
Miring Sisi =αcsc
Pada
Miring Sisi =αsec
Hadapan
Padacot =α
3) Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran
P adalah sembarang titik di kuadran I dengan
koordinat (x,y). OP adalah garis yang dapat
berputar terhadap titik asal O dalam koordinat
kartesius, sehingga ∠XOP dapat bernilai 0° sampai
dengan 90°. Perlu diketahui bahwa
ry =+= 22xOP dan r > 0
Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat didefinisikan dalam
absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut:
1. ry==
OP panjangP ordinat
α sin 4. yr==
P ordinatOP panjang
αcsc
2. rx==
OP panjangP absis
α cos 5. xr==
P absisOP panjang
α sec
3. xy==
P absisP ordinat
α tan 6. yx==
P ordinatP absis
α cot
y
x X
Y P(x,y)
r
α1
Gb. 2.5
O
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 10
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
Dengan memutar garis OP maka ∠ XOP = α dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran III
atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.
Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran:
Kuadran Perbandingan
Trigonometri I II III IV
sin + + - -
cos + - - +
tan + - + -
csc + + - -
sec + - - +
cot + - + -
Gb. 2.6. titik di berbagai kuadran
y
x X
Y P(x,y)
r
α1 O
y
x X
Y P(x,y)
r
α2
O
y
x
X
Y
r
P(x,y)
α3 O
y
x X
Y
r
P(x,y)
α4
O
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 11
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
12m
600
C
A
B
Contoh Aplikasi
Sebuah perahu akan menyeberang sungai yang mengalir
(lihat gambar) sehingga arah perahu membentuk sudut 600
dari sisi sungai. Karena arus perahu terbawa arus sejauh 12
m sehingga sampai di sisi seberang sungai. Tentukan lebar
sungai dan jarak yang ditempuh perahu tersebut!
Jawab :
Misalkan titik awal perahu adalah A dan titik akhir nya B, dan panjang yang ditempuh
AC=12 m. Maka lebar sungai adalah CB. Perhatikan segitiga siku-siku ABC yang siku-siku
di C. Perbandingan trigonometri yang kita gunakan untuk menhitung lebar sungai adalah:
sehingga maka . Jadi lebar sungai adalah .
Untuk mencari jarak tempuh perahu kita menggunakan perbandingan trigonometri:
Sehingga diperoleh Jadi jarak tempuh perahu adalah 24 m
4) Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi
Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut α adalah sudut (90° ± α), (180° ± α), (360° ± α),
dan -α°. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku
(komplemen) yaitu untuk sudut α° dengan (90° - α) dan pelurus (suplemen) untuk sudut α°
dengan (180° - α). Contoh: penyiku sudut 50° adalah 40°, pelurus sudut 110° adalah 70°.
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 12
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
1. Perbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (90° - α)
Dari gambar 2.7 diketahui
Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)
akibat pencerminan garis y = x, sehingga diperoleh:
a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 90° - α
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:
a. ( ) α===α−° cos90 sin1
1rx
ry
b. ( ) α===α−° sin90 cos1
1ry
rx
c. ( ) α===α−° cot90 tan1
1yx
xy
Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut α dengan (90°
- α) dapat dituliskan sebagai berikut:
a. ( ) α=α−° cos90 sin d. ( ) α=α−° sec90csc
b. ( ) α=α−° sin90 cos e. ( ) α=α−° ec cos90sec
c. ( ) α=α−° cot90 tan f. ( ) α=α−° tan90 cot
y
x
X
Y
P(x,y)
r
α (90-α)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
y = x
Gb. 2.7. sudut yang berelasi
O
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 13
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
y
x X
Y
P(x,y) r
α
(180°-α)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
O
Gb. 2.8. sudut yang berelasi
2. Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (180° - α)
Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari
titik P(x,y) akibat pencerminan
terhadap sumbu y, sehingga
a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 180° - α
b. x1 = −x, y1 = y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan:
a. ( ) α===α−° sin180 sin1
1ry
ry
b. ( ) α−=−==α−° cos180 cos1
1rx
rx
c. ( ) α−=−
==α−° tan180 tan1
1x
yxy
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
3. Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (180° + α)
Dari gambar 2.9 titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari
titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap garis y = −x,
sehingga
a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 180° + α
b. x1 = −x, y1 = −y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan:
a. ( ) α−=−==α+° sin180 sin1
1ry
ry
a. ( ) α=α−° sin180 sin d. ( ) α=α−° csc180csc
b. ( ) α−=α−° cos180 cos e. ( ) α−=α−° sec 180sec
c. ( ) α−=α−° tan180 tan f. ( ) α−=α−° cot180 cot
y
x X
Y
P(x,y) r
α
(180°+α)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
O
Gb. 2.9. sudut yang berelasi
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 14
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
b. ( ) α−=−==α+° cos180 cos1
1rx
rx
c. ( ) α==−−==α+° tan180 tan
1
1xy
xy
xy
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
4. Perbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (- α)
Dari gambar 2.10 diketahui titik P1(x1,y1) bayangan
dari P(x,y)
akibat pencerminan terhadap sumbu x, sehingga
a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = - α
b. x1 = x, y1 = −y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan
a. ( ) α−=−==α− sin sin1
1ry
ry
b. ( ) α===α− cos cos1
1rx
rx
c. ( ) α−=−==α− tan tan1
1xy
xy
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
a. ( ) α−=α+° sin180 sin d. ( ) α−=α+° csc 180csc
b. ( ) α−=α+° cos180 cos e. ( ) α−=α+° sec 180sec
c. ( ) α=α+° tan180 tan f. ( ) α=α+° cot180 cot
a. ( ) α−=α− sin sin d. ( ) α−=α− csc csc
b. ( ) α=α− cos cos e. ( ) α=α− sec sec
c. ( ) α−=α− tan tan f. ( ) α−=α− cot cot
y
x
X
Y P(x,y)
r
α
(360°-α1)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
O -α
Gb. 2.10. sudut yang berelasi
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 15
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
Untuk relasi α dengan (- α) tersebut identik dengan relasi α dengan 360° − α, misalnya sin
(360° − α) = − sin α.
5) Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub
Dari titik T pada lingkaran O ditarik garis yang menghubungkan titik itu degan pusat O. Pusat O
disebut sebagai kutub. Jarak OT dinyatakan dengan r,
dan r nilainya selalu positif.
Besarnya ∠TOX diukur dari sumbu x ke arah yang
berlawanan dengan arh jarum jam. Letak titik T
ditentukan olah koordinat r dan ∠TOX. Jika ∠TOX
besarnya adalah α, maka koorinat titik T adalah r dan
α, ditulis . Karena besarnya sudut dinyatakan
dengan satuan derajat, maka letak titik T dapat
dituluskan sebagai . Koordinat yang
dinyatakan seperti ini disebut Koordinat Kutub atau
Koordinat Polar.
Pandang titik T jika dinyatakan dalam koordinat kartesius, misalkan , perhatikan gambar
di bawah:
Perhatikan segitiga siku-siku , perbandingan
trigonometri dari sudut α adalah:
sehingga
sehingga
Dengan demikian koordinat titik dapat
dinyatakan sebagai:
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 16
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
6) Mengubah Koordinat
Sistem koordinat Polar dan Koordinat kartesius memiliki hubungan seperti telah diuraikan di
atas, sehingga kita dapat melakukan perubahan koordinat
kutub menjadi kartesius atau sebaliknya dari kutub menjadi
kartesius.
Yang harus diperhatikan adalah cara menentukan r dan α
jika sebuah titik diketahui koordinat kartesiusnya.
Perhatikan titik , maka jarak titik tersebut terhadap
titk pusat adalah merupakan r yang akan dicari.
Dengan menggunakan aturan Pythagoras diperoleh hubungan:
Sedangkan untuk menentukan besarnya sudut α, kita dapat menggunakan hubungan bahwa:
Sehingga besarnya sudut α dapat dihitung menggunakan anti tangent (arctan):
Sehingga titik dapat dinyatakan sebagai:
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 17
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
Untuk mengubah koordinat kutub menjadi koordinat kartesius dapat memanfaatkan
hubungan:
Sehingga:
7) Identitas Trigonometri
Dari gambar di samping diperoleh rx=αcos
,ry=αsin dan 22 yxr += . Sehingga
2
2
2
222 cossin
r
x
r
y +=α+α
12
2
2
22==+=
r
r
r
yx
8) Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu
sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian.
Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang memenuhi
persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar.
1. Menyelesaikan persamaan sin x = sin α
Dengan mengingat rumus
sin (180° - α) = sin α dan sin (α + k. 360°) = sin α, maka diperoleh:
Jika sin x = sin α maka
x = α + k. 360° atau x = (180° − α) + k. 360° , k ∈ B
y
x X
Y P(x, y)
r
α O
Gb. 2.13. rumus identitas
•
sin2α +cos2α = 1
Jadi
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 18
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
2. Menyelesaikan persamaan cos x = cos α
Dengan mengingat rumus
( ) α=α− cos cos dan cos (α + k. 360°) = cos α, diperoleh
3. Menyelesaikan persamaan tan x = tan α
Dengan mengingat rumus
tan (180° + α) = tan α dan tan (α + k. 360°) = tan α, maka diperoleh:
contoh:
Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini untuk 0° ≤ x ≤ 360°.
b) 21
sin =x c) 3 tan −=x
c) 321
cos =x
Penyelesaian:
a) 21
sin =x → sin x = sin 30°
x = α + k. 360° untuk k = 0 → x = 30°
x = (180° − α) + k.360° untuk k = 0 → x = 180° − 30° = 150°
b) 321
cos =x → cos x = cos 30°
x = α + k. 360° untuk k = 0 → x = 30°
x = − α + k. 360° untuk k = 1 → x = − 30° + 360° = 330°
c) 3 tan −=x → tan x = tan 120°
Jika cos x = cos α maka
x = α + k. 360° atau x = − α + k. 360°, k ∈ B
Jika tan x = tan α maka
x = α + k. 180° , k ∈ B
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 19
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
x = α + k. 180° untuk k = 0 → x = 120°
untuk k = 1 → x = 120° + 180° = 300°
9) Aturan Sinus dan Cosinus
Perhatkanlah Segitika sebarang
dengan sudut masing-masing α, β, dan
γ.
Pertama perhatikan terlebih dahulu
segitiga siku-siku yang siku-siku
di T. akan diperoleh bahwa:
Sehingga
Kedua perhatikan segitiga siku-siku BTC yang siku-siku di T. Kita dapat menuliskan bahwa:
Sehingga diperoleh hubungan bahwa:
Atau
Selanjutnya apabila segitiga diletakkan berbeda dari sebelumnya, yaitu menghimpitkan
titik sudut C dengan pusat koordinat, sehigga diperoleh:
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 20
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
Perhatikan ∆CTB diperoleh nilai
Sehingga:
Selanjutnya perhatikan ∆ATB akan
diperoleh nilai
Atau
Akibatnya adalah jika dan sehingga diperoleh
Atau
Jadi dari hasil sebelumnya kita dapat menjadikan satu yaitu
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 21
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
Hubungan tersebut dikenal sebagai aturan sinus.
Selanjutnya dengan memanfaatkan aturan Pythagoras dari segitiga ABC sebarang yang kita
tarik garis tinggi dari masing-masing sudut kita akan peroleh:
Dari gambar (i)
Lihat ∆AT1C dan ∆BT1C terdapat hubungan bahwa:
Dimana
maka
Sehingga
( )( ) ( )
( )
22 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1
sin cos
sin 2 cos cos
sin cos 2 cos
2 cos
b t AT
a c a
a c ac a
a c ac
a c ac
β β
β β ββ β β
β
= +
= + −
= + − +
= + + −
= + −
(i) (ii)
(iii)
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 22
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
10
jadi
Dengan cara analog diterapkan pada gambar (ii) dan (iii) akan diperoleh hubungan bahwa
dan
Ketiga hal yang tersebut di atas dikenal dengan aturan cosinus. Jadi aturan cosinus adalah
Pada segitiga ABC berlaku bahwa:
10) Aplikasi Aturan Sinus dan Cosinus
Aturan sinus digunakan untuk menghitung panjang sisi atau besar sudut sebuah segitiga.
Contoh:
Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AC=10 cm, AB=12 cm dan ∠ACB=600
Tentukan panjang sisi-sisi dan besar sudut-sudut yang
lain!
Jawab:
Pada ∆ABC berlaku aturan sinus:
Sehingga:
0
12
12
10 12
sin sin 60
10 12
sin
10 12sin
5sin
12
β
ββ
β
=
=
× =
=
Sehingga
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 23
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
Jadi besar sudut
Panjang sisi a dihitung dengan:
( )
0 512
0
10
sin sin
10
sin 97,37
1210sin 97,37
512
10 0,995
23,76
a
a
a
a
a
α β=
=
= ×
= × ×
=
Contoh:
Diketahui ∆ABC dengan dan AC = , ∠ CAB = 300
Tentukan panjang BC?
Jawab:
Berdasarkan aturan cosinus:
( ) ( )( )
( )( )
2 2 2
24 0
2 cos
2 2 4 2 2 2 4cos30
18 16 2 2 2 4 3
2
24 8 6
8 3 6
8 3 6
a b c bc
a
α= + −
= + −
= + −
= −
= −
= −
Jadi panjang sisi BC =
A B
C
a
4 300
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 24
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
11) Rumus Luas Segitiga
Dalam geometri untuk mencari luas segitiga terlebih dahulu kita harus menentukan tinggi
segitiga tersebut dan juga alasnya, kemudian digunakan rumus bahwa
L∆=
Dalam pembahasan kali ini kita akan memanfaatkan aturan sinus dan aturan cosinus untuk
menghitung luas segitiga.
Perhatikan
Luas ∆ABC=
Dengan mengganti nilai t dengan diperoleh
Dan jika t diganti dengan diperoleh
Sedangkan jika kita mengganti posisi garis tinggi segitiga misalnya dari sudut A dan tegak lurus
terhadap BC akan diperoleh rumus luas segitiga yang lain yaitu
Rumus luas segitiga ini dimanfaatkan untuk menghitung luas segitiga yang diketahui besarnya
salah satu sudut dan dua sisi yang mengapit sudut tersebut.
Selanjutnya kita akan memanfatkan aturan cosinus untuk menghitung luas segitiga.
Pandang sebuah aturan cosinus pada sebuah segitiga ABC
Sehingga
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 25
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
karena:
2 2sin cos 1α α+ = sehingga 2 2sin 1 cosα α= − atau ( ) ( )2sin 1 cos 1 cosα α α= + − dengan
menggantikan nilai cosα akan diperoleh
( )
( )
( ) ( ){ }( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }
( )( ){ }
2 2 2 2 2 22
22 2 2
22 2 22 2
2 2 2 2
22 2 2 2 2
2 2
22 2 2 22 2
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 22 2
2
sin 1 12 2
12
4
4 4
4
41
24
12 2
41
2 24
1
4
b c a b c a
bc bc
b c a
bc
b c ab c
b c b c
b c b c a
b c
bc b c ab c
bc b c a bc b c ab c
bc b c a bc b c ab c
b
α + − + −= + −
+ −= −
+ −= −
− + −=
= − + −
= + + − − + −
= + + − − − +
= ( )( ) ( )( ){ }( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ){ }
( )( ) ( )( )
2 22 22
2 2
2 2
1
41
4
b c a a b cc
b c a b c a a b c a b cb c
b c a b c a a b c a c bb c
+ − − −
= + + + − + − − −
= + + + − + − + −
Misal s adalah bilangan real yang merupakan setengah Keliling segitiga sehingga
, maka
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c s
b c a s a s a
a c b s b s b
a b c s c s c
+ + =
+ − = − = −
+ − = − = −
+ − = − = −
Jadi
( )( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
22 2
2 2
1sin
41
2 2 2 24
b c a b c a a b c a c bb c
s s a s c s bb c
α = + + + − + − + −
= − − −
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 26
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
dan
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2
1sin 2 2 2 2
4
4
2
s s a s c s bb c
s s a s c s bb c
s s a s c s bbc
α = − − −
= − − −
= − − −
Luas segitiga yang dicari adalah
Jadi
Contoh:
Tentukan Luas ∆ABC di samping!
Jawab:
Jadi :
A B
C
18
12
20
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 27
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
c. Kesimpulan
Perbandingan trigonometri sudut α pada segitiga siku-siku ABC:
-
-
-
Invers perbandingan trigonometri:
-
-
-
Arces perbandingan trigonometri:
- Jika maka atau
- Jika maka atau
- Jika maka atau
Koordinat Polar
Jika adalah titik di koordinat kartesius dan garis OP
membentuk sudut α terhadap sumbu x, maka dan
dengan .
Jika titik dinyatakan dalam koordinat polar adalah
dengan dan .
Aturan Sinus pada sebuah segitiga ABC:
Aturan Cosinus pada sebuah segitiga ABC:
Luas segitiga ABC:
dengan
B A
C
α
x
y
A B
C
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 28
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
d) Tugas 1 dan Kunci
1. Tentukan nilai sin ∠ XOT, cos ∠XOT dan tan ∠XOT, jika koordinat titik T adalah
sebagai berikut:
a) T (3,4) c) T (-5,-10)
b) T (-4,6) d) T (8,-6)
2. Diketahui suatu segitiga siku-siku. Panjang sisi miringnya adalah 2√3 cm. Jika besar
salah satu sudutnya 450, berapakah panjang sisi-sisi yang lain!
3. Tentukan perbandingan-perbandingan nilai sin a dan cos a, serta hitunglah tan a dari
gambar berikut ini:
4. Dari soal no.3 hitunglah luas masing-masing segitiga tersebut!
Kunci:
1. a.
b.
c.
d.
2. Sisi-sisi yang lain besarnya
UNTUK KALANGAN SENDIRI SMA KARTINI I 29
T
RIG
ON
OM
ET
RI
S
MA
KA
RT
INI
I JA
KA
RT
A
3. a. b. c.
3sin
54
cos53
tan4
a
a
a
=
=
=
15sin
178
cos1715
tan8
a
a
a
=
=
=
4sin
51
cos312
tan5
a
a
a
=
=
=
4. a. 6, b. 60, c. 30
e) Tes Formatif 1
1. Sebuah pohon dalam dua kali pengukuran memberkan hasil yang berbeda, tentag
besarnya sudut jatuh sinar matahari, seperti tampak pada gambar. Jika jarak antara
titik jatuh sinar keduanya adalah 100 m tentukan tinggi pohon tersebut!
2. Sinar matahari membeikan bayangan pada sebuah pohon seperti dilukiskan dalam
gambar
Diketahui sinar matahari membentuk sudut 30o, dan jarak pohon dengan titik
jatuhnya sinar adalah 25 m. Tentukan tinggi pohon tersebut!
45o 30o
100 m