Modulo de Fisica Vectorial

MDULO DE FSICA VECTORIAL

PRIMERO GENERAL UNIFICADO CIENCIAS Pgina 1

y (+)

y ( - )

(+)

x

( - )

x

O

O

PRIMER

CUADRANTE SEGUNDO

CUADRANTE

TERCER

CUADRANTE

CUARTO

CUADRANTE

DESTREZAS: 1. Reconocer cuando un punto se encuentra

expresado en coordenadas rectangulares, polares

geogrficas y graficarlos en el plano.

2. Resolver tringulos rectngulos y expresar cualquier lado o ngulo en funcin de cualquier

lado o ngulo del mismo.

CONTENIDOS:

1. Coordenadas Rectangulares 2. Coordenadas Polares 3. Coordenadas Geogrficas. 4. Resolucin de tringulos rectngulos.

UNIDAD 1: SISTEMAS DE COORDENADAS EN

EL PLANO.

1. COORDENADAS RECTANGULARES El Plano Cartesiano es una herramienta muy til en

muchas actividades diarias. Sirve como referencia en

un plano cualquiera; por ejemplo, el plano (o el suelo)

de nuestra cuidad.

Se llama Plano Cartesiano porque lo invent el

filsofo y matemtico Ren Descartes (1596-1650).

Estn formadas por dos ejes numricos

perpendiculares entre s. El punto de interseccin se

considera como el origen de cada uno de los ejes

numricos x e y. Este punto se llama origen de

coordenadas y se designa con la letra O.

El eje horizontal se denomina abscisa o eje de las x.

Es positiva a la derecha del origen, y negativa a la

izquierda.

El eje vertical se denomina ordenada o eje de las y. Es

positiva hacia arriba del origen, y negativa hacia abajo.

Estos ejes numricos perpendiculares dividen al plano

en cuatro cuadrantes ordenados.

La posicin de un punto en el plano queda determinada

por un par de nmeros ordenados (x; y), llamados

coordenadas rectangulares, que corresponden a la

interseccin de una abscisa (x) y una ordenada (y).

TALLER DE COEVALUACIN

1) Representa en el plano los siguientes puntos: A (6, 2); B (-3, 5); C (-4, -6) y D (4, -2)

2) Ubicar los puntos dados en el plano cartesiano. Luego, completar los enunciados que aparecen a

continuacin: A(-5, 7); B(4,6); C (8,3); D(4,-2);

E(5,-3) F(2,7); G(4,0); H(-3,6); I(0,0); J(-3,0); K(0,-

9); L(3,-4).

Nombrar los puntos que tienen:

a) La misma abscisa. b) La misma ordenada. c) Abscisa cero. d) Ordenada cero. e) Abscisa positiva. f) Ordenada negativa.

3) En un plano cartesiano ubica los siguientes puntos: T (3,0); R (0,3); W (-2,1); Q (-7,4); P (-4,0); N (-7,-

4); S (-2,-1); M (0,-3).

a) Escribe el cuadrante en el que se encuentra cada punto.

b) Une los puntos en el orden en que han sido ubicados. qu figura se obtiene?

c) Colorea la figura resultante.

4) Determina las coordenadas de todos los puntos localizados en el siguiente plano cartesiano:

5) Tres vrtices del rectngulo ABCD son A (4,-2); B (4,2); C (-2,2). El cuarto vrtice D es

6) Dibuje un sistema de coordenadas rectangulares y especifique en l los puntos

cuyas coordenadas son (3 , 3) , (0 , 2) , (1 , 0) , (3 , 5)



- y (270 )

(0)

x

(180 )

- x

0

O

y (90)

r

2. COORDENADAS POLARES. Estn formadas por un eje numrico de referencia

x denominado eje polar. En un punto de ste se

halla el origen de coordenadas 0, llamado origen

o polo.

La posicin de un punto en el plano queda

determinada por un par ordenado (r; ) donde r es el radio vector y representa la distancia positiva

del origen al punto; y es el ngulo polar y representa la medida del ngulo desde el eje polar

hasta el radio vector, en sentido anti horario.

Con coordenadas polares sealas un punto

diciendo la distancia y el ngulo que se forma.

Ejemplo: Observa la posicin de los siguientes

puntos en el plano:

A (80K m; 30); B (100 Km; 150); C (60K m;

200) y D (90 Km; 300). Escala: 1cm = 25

Km


1) Representa la posicin de los siguientes puntos en el plano: (en un solo plano)

a) P (20 m; 60) b) D (80 m; 320)

c) E (120 m; 90) d) A (40 m; 150) e) N (10 m; 270) f) M (60 m; 250). Escala: 1cm = 20 m

2) Sin dibujar, Escriba en que cuadrante se encuentran los siguientes puntos:

a) C (20 m; 100) b) E (80 m; 32) c) F (40 m; 325) d) Q (60 m; 29). e) P (20 m; 240) f) D (80 m; 32) g) E (120 m; 150) h) A (40 m; 225) i) N (10 m; 288)

3) Determina que coordenadas polares representan los siguientes puntos:

(r; )

F

G...

H.

I.

J.

E.................................................................................. D. B.. C. A



S

E

O

0

O

N

3. COORDENADAS GEOGRFICAS. Las coordenadas geogrficas son un sistema

de referencia que utiliza las dos coordenadas

angulares, latitud (Norte y Sur) y longitud (Este

y Oeste).

Estn formadas por dos ejes perpendiculares

entre s. El punto de interseccin de los ejes se

considera como el origen de cada uno de ellos.

Estos ejes perpendiculares dividen al plano en

los cuatro puntos cardinales: Norte, Sur; Este y

Oeste.

El eje horizontal representa el Este (E) a la

derecha del origen, y el Oeste (O) a la izquierda

del origen.

El eje vertical representa el Norte (N) hacia arriba

del origen, y el Sur (S) hacia abajo del origen.

La posicin de un punto en el plano queda

determinada por un par ordenado (r; rumbo),

donde r representa la distancia positiva del origen

hasta el punto, y rumbo representa la direccin y

sentido medida a partir del Norte o Sur.

Para representar el rumbo, primero se menciona la

palabra Norte o Sur la que corresponda - , luego el ngulo agudo y finalmente la posicin Este u

Oeste.

Ejemplo para discusin en clase:

A (100 km; N 40 O); B (80 Km; S O);

C (120 Km; N 75 E) y D (60 Km; S 70 E).


1. Conteste las siguientes preguntas: a) Cmo divide al plano las coordenadas

rectangulares?

..

2. Seale con una X la respuesta correcta: - Las coordenadas polares estn formadas por:

Un par ordenado (r; )

Un par ordenado (x; y)

Ninguna respuesta anterior es correcta

- Las coordenadas geogrficas estn formadas por:

Un par ordenado (r; )

Un par ordenado (x; y)

Ninguna respuesta anterior es correcta

- Las coordenadas geogrficas dividen al plano en:

Partes iguales

Segmentos iguales

Cuatro puntos cardinales

3. Indica sin dibujar, en que cuadrantes estn situados los siguientes puntos:

D (30 m; N 70 O) F (30 cm; S E).. H (60 N; S 30 O).. J (20m; N 25 E)

4. Escriba el tipo de coordenada que representa: a) C (20 m; 100) b) E (80 m; 32) c) A(-5, 7) d) F (40 m; 325) e) A (10 m; S 40 O) f) Q (60 m; 29) g) B(4,6) h) D (25 m; N O) i) P (20 m; 240) j) E(5,-3) k) C (15 m; S 20 E) l) D (80 m; 32) m) M (5 m; N 30 E) n) E (120 m; 150) o) D(4,-2) p) I(0,0)

TAREA EXTRACLASE:

Represente la posicin de los siguientes puntos en

el plano: A (10 m; S 40 O); b (5 m; N 30 E); C

(15 m; S 20 E) y D (25 m; N O).



TALLER DE REFUERZO

1) Sin graficar indica en que cuadrante se encuentran los siguientes puntos.

A (-3; 4).. B (-10;-3) C (5; 3). D (6;-7)

2) Representa en el plano los siguientes puntos: M (-4, 2); P (-3, -4); Q (2, 7) y G (6, -2).


a) C (20 m; 10).. b) E (80 m; 320) c) Q (60 m; 290). . d) P (20 m; 40). e) E (120 m; 120). f) A (40 m; 225). g) N (10 m; 265)...


a) P (45 m; 350) b) D (60 m; 30) c) M( 25 m; 255) d) N( 40 m; 139)


a) C (100 m; N 10 E) b) E (180 m; S 320 E). c) M (25 m; S E).. d) N (40 m; S O). e) F (420 m; N 25 O)... f) Q (60 m; S 290 O). g) P (230 m; N E) h) D (80 m; N O).


a) P (45 m; N 50 O) b) D (60 m; S 30 E) c) M( 25 m; S 55 O) d) N( 40 m; N E)

7) Escriba el tipo de coordenada que representa: a) C (20 m; N 70 O).. b) E (8 m; 132).. c) A (-5, -7) m.. d) F (40 m; 325).. e) A (10 m; S O).. f) Q (60 m; S 29 E) g) D (25 m; N O).. h) P (20 m; 240)..

8) Determina que coordenadas geogrficas representan los siguientes puntos:

9) Determina que coordenadas polares representan los siguientes puntos:

A. P.. B. Q.

B.. T P. A.. C



y

x

y

x

r

B

C A

(x; y)

a

cateto

b

cateto

c

hip

ote

nusa

Tringulo Rectngulo Coordenadas Rectangulares

4. RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS.

Se llama tringulo rectngulo, aquel tringulo que

tiene un ngulo recto. El lado que se opone al ngulo

de 90 recibe el nombre de hipotenusa y los lados

reciben el nombre de catetos. La hipotenusa es siempre

mayor que cualquier de los catetos.

Decir resolver un tringulo rectngulo es encontrar o

calcular los elementos que se desconocen, por lo tanto

un tringulo rectngulo puede resolverse si se conocen:

dos lados cualesquiera, o un lado y un ngulo agudo.

En el proceso de resolucin de un tringulo rectngulo,

se debe tener presente las siguientes recomendaciones:

1ro

. Es necesario trazar el tringulo en el que se debe

hacer constar los elementos conocidos y aquellos

que se desea calcular.

2do

. Recordar que la suma de los ngulos agudos es

igual a 90.

3ro

. Seleccionar la funcin trigonomtrica en la que

consten dos elementos conocidos y el tercero que

se desea calcular.

4to. Para calcular la hipotenusa, se debe aplicar el

teorema de Pitgoras, si se conoce nicamente los

dos lados.

1. Teorema de Pitgoras.-

2. Principales funciones trigonomtricas.- En todo tringulo rectngulo las principales

funciones trigonomtricas de un ngulo agudo

son:

FU

NC

IN

TR

IN

GU

LO

RE

CT

N

GU

L

O

F

RM

UL

A

CO

OR

DE

NA

D

AS

RE

CT

AN

GU

L

AR

ES

F

RM

UL

A

Sen

o

Cose

no

Tangen

te

Ejemplo para discusin en clase: Resuelve el

tringulo rectngulo siguiente:

Solucin

Para resolver el tringulo debemos encontrar los

valores de los ngulos y los lados que faltan.

*

En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa, es igual a la suma

de los cuadrados de las medidas de los catetos



VECTORES EN EL PLANO.

A las magnitudes vectoriales se las representa

grficamente por medio de un vector.

VECTOR.

Es un segmento rectilneo que tiene origen, extremo,

mdulo, direccin, sentido y su notacin dada por

cualquier letra mayscula y una flechita en la parte

superior , etc.

El mdulo del vector, se lo representa con la misma

letra, pero sin la flechita: A

ELEMENTOS DE UN VECTOR.

1. Origen del vector.- Llamado tambin punto de

aplicacin, es el lugar donde se empieza el vector.

2. Extremo del vector.- Es el lugar geomtrico donde se termina el vector.

3. Mdulo del vector.- Es la medida o el valor absoluto del vector. Generalmente esta dado

mediante una escala.

4. Sentido.- Es el sitio hacia donde se dirige el vector.

5. Direccin.- Est dado por la lnea donde acta el vector o por todas las lneas rectas paralelas a l.

CLASES DE VECTORES.

1. Vector nulo.- Cuando su origen y extremo coinciden en un mismo punto, cuyo mdulo es cero

y no tiene direccin ni sentido su notacin es .

2. Vectores colineales.- Son aquellos vectores que estn contenidos en una misma lnea de accin.

3. Vectores concurrentes.- Son aquellos vectores

cuyas lneas de accin, se cortan en un solo punto.

4. Vectores coplanares.- Son aquellos vectores que estn contenidos en un mismo plano.

5. Vectores iguales.- Son aquellos vectores que tienen el mismo mdulo, direccin y sentido.

6. Vectores opuestos.- Se llama vector opuesto ( )

de un vector cuando tiene el mismo mdulo, la misma direccin; pero sentido contrario.

7. Vector libre.- Se denomina as cuando el punto de

aplicacin (origen) se traslada a cualquier punto del

espacio, sin alterar el efecto de su accin. Ejemplo:

la velocidad de propagacin de la luz en el vaco.



8. Vector deslizante.- Es aquel en que el punto de aplicacin se traslada a lo largo de su lnea de

accin. Ejemplo: la fuerza aplicada a un slido

rgido.

9. Vector fijo.- Cuando el punto de aplicacin no

tiene movimiento. Ejemplos: El desplazamiento de

un mvil, la intensidad del campo gravitatorio en

un punto dado.

10. Vector resultante.- De un sistema de vectores, es

el vector nico capaz de producir el mismo efecto

que todo el conjunto de vectores dados. Su notacin

es:

11. Vector equilibrante.- De un sistema de vectores, es el vector nico capaz de compensar la accin de

todos los vectores dados actuando

simultneamente. El vector equilibrante es opuesto

al vector resultante. Su notacin es:

12. Vector unitario.- Es aquel cuyo mdulo es igual a la unidad. Se lo obtiene dividiendo el vector para su

respectivo mdulo; el vector unitario tiene la

misma direccin y sentido que el vector y no tiene unidades.

Un vector en funcin de su mdulo y vector

unitario se expresa:

TALLER DE COEVALUACIN.

1. Observe detenidamente los vectores , y conteste las siguientes interrogantes:

a) El vector y el vector tienen el mismo mdulo ( )

b) El vector y el vector tienen la misma direccin ( )

c) El vector y el vector tienen el mismo sentido ( )

d) Se podra decir que el vector y el vector son iguales ( )

e) Por qu afirma o niega el literal (d)?

2. En la figura de este ejercicio, los vectores

representan las velocidades en algunos automviles que se desplazan cerca de un

cruce de calles. Observe detenidamente y responda:

a) Los vectores tienen:

- La misma direccin Si ( ) No ( ) Porqu?.......................................................

- El mismo sentido Si ( ) No ( ) Porqu?.......................................................

b) Los vectores tienen:

- La misma direccin Si ( ) No ( ) Porqu?.......................................................

- El mismo sentido Si ( ) No ( ) Porqu?.......................................................

-

c) Los vectores tienen:

a) La misma direccin Si ( ) No ( ) Porqu?.......................................................

b) El mismo sentido Si ( ) No ( )

Porqu?.......................................................



(Ax; Ay)

y

x 0

COMPONENTES DE UN VECTOR EN

EL PLANO X, Y.

Si se coloca el punto inicial del vector en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces

el vector queda determinado por las coordenadas rectangulares (AX; Ay) del punto final:

En consecuencia, un vector en el plano se define como

un par ordenado ( ), donde Ax y Ay se llaman

componentes de un vector con respecto al sistema de coordenadas dado.

Todo vector se expresa como la suma vectorial de sus

componentes.

De la figura anterior se deduce:

a) Que la magnitud o mdulo de un vector en funcin de sus componentes es:

b) Que la direccin de un vector en funcin de sus componentes, con respecto al semieje x positivo

es:

Cuando el vector est en el primer cuadrante

Cuando el vector est en el segundo cuadrante

Cuando el vector est en el tercer cuadrante

Cuando el vector est en el cuarto cuadrante

c) Para encontrar la direccin y sentido(rumbo) del vector, segn las coordenadas geogrficas,

aplicamos la funcin (tan ) con respecto al norte o al sur el ngulo y la posicin este u oeste,

considerando sus componentes rectangulares con

valores absolutos:

| |

| |

ACTIVIDAD INDIVIDUAL EN CLASE

1) Dado el punto final del vector ( ) determina: a) Las componentes rectangulares del vector. b) El mdulo del vector. c) El ngulo que forma con el eje x positivo. d) Exprsalo en coordenadas polares. e) Exprsalo en coordenadas geogrficas.


3) Dado el punto final del vector

( ) determina: a) Las componentes rectangulares del vector. b) El mdulo del vector. c) El ngulo que forma con el eje x positivo. d) Exprsalo en coordenadas polares. e) Exprsalo en coordenadas geogrficas.


RECUERDA:

Las componentes de un vector son las proyecciones

de dicho vector sobre los ejes de coordenadas.



NGULOS DIRECTORES EN EL PLANO.

Son aquellos que forman el vector con los ejes

positivos x e y del sistema de coordenadas

rectangulares, y varan entre 0 y 180. No existe

convencin para el giro de los ngulos directores.

La relacin entre componentes y el mdulo del

vector, se llama coseno director.


1) Dado el punto final del vector ( ) determina:

a) Las componentes rectangulares del vector.

b) El mdulo del vector. c) Los ngulos directores. d) El vector expresado en coordenadas

polares.

e) El vector expresado en coordenadas geogrficas.

2) Dado el punto final del vector ( ) determina: a) Las componentes rectangulares del vector. b) El mdulo del vector. c) Los ngulos directores. d) El vector expresado en coordenadas

polares.


3) Dado el punto final del vector ( ) determina: a) Las componentes rectangulares del vector. b) El mdulo del vector. c) Los ngulos directores.

d) El vector expresado en coordenadas polares.


4) Dado el punto final del vector ( ) determina:

a) Las componentes rectangulares del vector. b) El mdulo del vector. c) Los ngulos directores. d) El vector expresado en coordenadas

polares.


RECUERDA:

Los ngulos directores en el plano son:

es el que forma el vector con el eje positivo de las x. es el que forma el vector con el eje positivo de las y.



(0, 1)

(1, 0)

0

y

VECTORES BASE O UNITARIOS

NORMALIZADOS.

Son los vectores unitarios rectangulares ( ) del sistema de coordenadas en el plano bidimensional. Al

relacionar con la suma vectorial de las componentes,

tenemos la ecuacin de los vectores base o unitarios

normalizados.

Aplicando la relacin de vector unitario tenemos:

( ) { ( )

( )

Tambin podemos deducir otra expresin matemtica

de vector unitario, aplicando su primera relacin a los vectores unitarios rectangulares.

{

Aplicando las relaciones de cosenos directores

tenemos otra expresin de vector unitario .


1) Un vector est expresado en funcin de sus

vectores base ( ) , determina:

a) Las coordenadas del punto final. b) Las componentes rectangulares del vector. c) El mdulo del vector. d) Los ngulos directores. e) El vector unitario. f) El vector expresado en coordenadas polares. g) El vector expresado en coordenadas

geogrficas.




geogrficas.




geogrficas.



a) Las coordenadas del punto final. b) Las componentes rectangulares del vector. c) El mdulo del vector. d) Los ngulos directores. e) El vector unitario.

f) El vector expresado en coordenadas polares.

g) El vector expresado en coordenadas geogrficas.

x

RECUERDA:

es el vector unitario en la direccin positiva del eje x es el vector unitario en la direccin positiva del eje y



FORMAS DE EXPRESAR UN VECTOR EN EL

PLANO Y SUS RESPECTIVAS

CONVERSIONES.

1. EXPRESADO EN TRMINOS DE COORDENADAS POLARES.

TRANSFORMACIN DE COORDENADAS

POLARES A OTRO TIPO DE EXPRESIN.

Para transformar de un vector expresado en

coordenadas polares a otro tipo de expresin se

sigue el siguiente procedimiento:

1 Se representa el vector en el plano.

2 Se determinan las componentes rectangulares X, y Y, aplicando las respectivas ecuaciones y

se lo expresa en forma de coordenadas

rectangulares.

3 Se lo expresa al vector en forma de coordenadas geogrficas, para ello

primeramente se define el rumbo, calculando el

ngulo agudo que existe entre el vector y el eje Norte o Sur.

( )

| |

| |

4 Conocidas las coordenadas rectangulares (x; y), expresamos el vector en funcin de los

vectores base, agregando los smbolos ( ) respectivamente.

( )

5 Para expresar el vector en funcin de su

mdulo y unitario, primero encontramos el

vector unitario y aplicamos su ecuacin.


1. Dado el vector en coordenadas polares,

exprsalo en las dems formas. ( ).


exprsalo en las dems formas. ( )





( ) ( )

RECUERDA:

Un vector en el plano estar expresado

mediante coordenadas polares , cuando

adquiere la forma del par ordenado:

( ) , donde r representa el mdulo

o medida del vector a una escala

previamente determinada y , nos representa el ngulo medido desde el eje

polar (+ x) hacia el vector en sentido

antihorario. Por ejemplo:



2) EXPRESADO EN TRMINOS DE

COORDENADAS RECTANGULARES.

La cantidad vectorial en el plano tiene por coordenadas el origen del sistema coordenado

rectangular (0, 0) y su punto final determinado

por las coordenadas (Ax; Ay), que son sus

componentes rectangulares, de notacin: ( )

TRANSFORMACIN DE COORDENADAS

RECTANGULARES A OTRO TIPO DE

EXPRESIN.

Para transformar de un vector expresado en

coordenadas rectangulares a otro tipo de expresin

se sigue el siguiente procedimiento:

1 Lo representamos al vector en el plano.

2 Cuando el vector est expresado en funcin de sus coordenadas rectangulares lo expresamos

en funcin de los vectores base, agregando los

smbolos ( ) respectivamente.

( )

3 Conocidas las componentes rectangulares Ax y Ay las transformamos en coordenadas polares,

para ello aplicamos el Teorema de Pitgoras

para determinar el mdulo del vector; y la

funcin tangente para determinar la direccin

del vector respecto al eje polar (+X).( )

4 Lo expresamos en coordenadas geogrficas para ello calculamos el rumbo.

| |

| |

5 Lo expresamos al vector en funcin de su mdulo y unitario, para lo cual calculamos su

vector Unitario.


1. Dado el vector en coordenadas rectangulares,

exprsalo en las dems formas. ( ) .







RECUERDA:

Un vector estar expresado mediante

coordenadas rectangulares, cuando adquiere

la forma: ( )

Por ejemplo: ( ) ( )



S

O E

x

Fy

-Fx

N x

EXPRESADO EN TRMINOS DE

COORDENADAS GEOGRFICAS.

1. TRANSFORMACIN DE COORDENADAS GEOGRFICAS A

OTRO TIPO DE EXPRESIN.

Para transformar de un vector ( ) expresado en coordenadas geogrficas a otro tipo de

expresin se sigue el siguiente procedimiento:

1 Se lo representa al vector en el plano. Esc: 1 cm = 100 Kgf

2 Se lo expresa al vector en coordenadas polares, para ello

se hace el clculo del ngulo con respecto al eje positivo de las x (ngulo polar).

( )

( )

3 Obtenido las coordenadas polares, se procede a determinar las componentes rectangulares.

4 Exprsese el valor en coordenadas rectangulares.

( )

( )

RECUERDA:

Un vector en el plano estar expresado mediante

coordenadas geogrficas , cuando adquiere la

forma: ( ) , donde r representa el

mdulo o medida del vector a una escala

previamente determinada y rumbo, nos representa

la direccin y sentido, medido a partir de los puntos

cardinales norte o sur el ngulo y la posicin este u

oeste. Por ejemplo: ( )



y N

Vx

Vy

S

O E

x

5 De coordenadas rectangulares en trminos de sus

vectores base, agregando los smbolos ( ) respectivamente.

( )

6 Exprsese el vector en funcin de su mdulo y unitario.

( )

( )

ii. EXPRESADO EN TRMINOS DE SU MDULO Y VECTOR UNITARIO.

1. TRANSFORMACIN DE UN VECTOR EXPRESADO EN FUNCIN DE SU

MDULO Y UNITARIO A OTRO TIPO

DE EXPRESIN.

Para transformar de un vector ( ) expresado en funcin de su mdulo y vector unitario a otro tipo de expresin se sigue el siguiente

procedimiento:

1 Se realiza el producto del mdulo del vector por cada elemento de su unitario.

( )

( )

2 La expresin de un vector en funcin de los vectores base, contiene las componentes rectangulares.

Vx = 10,57 m/s

Vy = 22,65 m/s

3 Exprsese el vector en coordenadas rectangulares.

( )

( )

4 Para expresar el vector en coordenadas polares, calculamos el ngulo formado con el eje polar aplicando

la funcin tangente.

( )

( )

5 Graficamos el vector en el plano. Esc: 1 cm = 5 m/s

6 Las coordenadas polares de un vector determinan sus coordenadas geogrficas, para ello primeramente se

define el rumbo, calculando el ngulo agudo que existe entre el vector y el eje Norte o Sur.

( )

| |

| |

( )

iii. EXPRESADO EN TRMINOS DE LOS VECTORES BASE.

RECUERDA:

Un vector en el plano estar expresado en trminos

de su mdulo A y vector unitario , como un

producto de notacin: . Por ejemplo:

( )

RECUERDA:

Cuando un vector en el plano est definido en la

forma: ( ) , est expresado en funcin

de un vector base, donde Ax es la componente

escalar en el eje x; Cy es la componente escalar en el

eje y. Por ejemplo: ( )



Ax

- Ay

x

N y

S

O

E

1. TRANSFORMACIN DE UN VECTOR EXPRESADO EN FUNCIN DE LOS

VECTORES BASE A OTRO TIPO DE

EXPRESIN.

Para transformar de un vector ( ) expresado en funcin de sus vectores base a otro tipo de expresin se

sigue el siguiente procedimiento:

1 Conocidas las componentes escalares Ax y Ay, expresamos el vector en coordenadas rectangulares.

( ) Ax = 6 Kgf

Ay = - 8 Kgf

( )

2 Representamos el vector en el plano. Esc: 1 cm = 2 Kgf

3 Determinamos el mdulo del vector mediante la aplicacin del teorema de Pitgoras; as como tambin el

valor del ngulo que forma el vector con respecto al eje

x positivo.

( ) ( )

4 Lo expresamos al vector en coordenadas polares.

( )

( )

5 Para transformar las coordenadas polares en coordenadas geogrficas calculamos el rumbo.

( )

| |

| |

( ) 6 Para expresar el vector en funcin de su mdulo y

unitario, calculamos el vector unitario.

( )

( )

iv. TALLER DE COEVALUACIN.

1. Dado el vector ( ) , expresarlo en las dems expresiones.

1 Lo representamos al vector en el plano.

2 Cuando el vector est expresado en funcin de sus coordenadas rectangulares lo expresamos en funcin de

los vectores base, agregando los smbolos ( ) respectivamente.

3 Conocidas las componentes rectangulares Ax y Ay las transformamos en coordenadas polares, para ello

aplicamos el Teorema de Pitgoras para determinar el



mdulo del vector; y la funcin tangente para determinar

la direccin del vector respecto al eje polar (+X).

4 Para transformar las coordenadas polares en coordenadas geogrficas primeramente calculamos el rumbo.

5 Lo expresamos al vector en funcin de su mdulo y unitario, para lo cual calculamos su vector Unitario.

2. Dado el vector ( ), expresarlo en las dems expresiones.

1 Se lo representa al vector en el plano.

2 Se lo expresa al vector en coordenadas polares, para ello

se hace el clculo del ngulo con respecto al eje positivo de las x (ngulo polar).

3 Obtenido las coordenadas polares, se procede a determinar las coordenadas rectangulares.

4 Exprsese el valor en coordenadas rectangulares.

5 De coordenadas rectangulares en trminos de sus vectores base, agregando los smbolos ( ) respectivamente.

6 Exprsese el vector en funcin de su mdulo y unitario.



3. Dado el vector ( ) expresarlo en las dems expresiones.

1 Se representa el vector en el plano.

2 Se determinan las componentes rectangulares X, y Y, aplicando las respectivas ecuaciones.

3 Lo expresamos al vector en forma de coordenadas rectangulares.

4 Se lo expresa al vector en forma de coordenadas geogrficas, para ello primeramente se define el rumbo,

calculando el ngulo agudo que existe entre el vector y el eje Norte o Sur.

5 Conocidas las coordenadas rectangulares (x; y), expresamos el vector en funcin de los vectores base,

agregando los smbolos ( ) respectivamente.

6 Para expresar el vector en funcin de su mdulo y unitario, primero encontramos el vector unitario y

aplicamos su ecuacin.

4. Dado el vector ( ) , expresarlo en las dems expresiones.

1 Conocidas las componentes escalares Ax y Ay, expresamos el vector en coordenadas rectangulares.

2 Representamos el vector en el plano.



3 Determinamos el mdulo del vector mediante la aplicacin del teorema de Pitgoras; as como tambin el

valor del ngulo que forma el vector con respecto al eje

x positivo.

4 Lo expresamos al vector en coordenadas polares.

5 Para transformar las coordenadas polares en coordenadas geogrficas calculamos el rumbo.

6 Para expresar el vector en funcin de su mdulo y unitario, calculamos el vector unitario.

5. Dado el vector ( ), expresarlo en las dems expresiones.

1 Se realiza el producto del mdulo del vector por cada elemento de su unitario.

2 La expresin de un vector en funcin de los vectores base, contiene las componentes rectangulares.

3 Exprsese el vector en coordenadas rectangulares.

4 Para expresar el vector en coordenadas polares, calculamos el ngulo formado con el eje polar aplicando

la funcin tangente.

5 Graficamos el vector en el plano.



6 Las coordenadas polares de un vector determinan sus coordenadas geogrficas, para ello primeramente se

define el rumbo, calculando el ngulo agudo que existe entre el vector y el eje Norte o Sur.

v. TALLER DE REFUERZO.

Resolver el taller 3.4

Revisado:..

La casa ms limpia, no es la que ms se barre, sino la que menos se ensucia


UNIDAD N IV

OPERACIONES VECTORIALES

OBJETIVO:

Aplicar los procesos y mtodos adecuados para realizar operaciones con vectores y sus

aplicaciones en el desarrollo de problemas

fsicos.

DESTREZAS:

1. Aplicar los procesos y mtodos adecuados para la adicin y diferencia con vectores.

2. Aplicar los procesos y mtodos adecuados para realizar productos con escalares, con dos o ms

vectores y sus aplicaciones en el desarrollo de

problemas fsicos.

3. Definir la posicin que ocupa una partcula en el movimiento en un tiempo determinado.

CONTENIDOS:

5. Operaciones vectoriales. a. Adicin de vectores.

i. Mtodo grfico. 1. Paralelogramo. 2. Polgono.

ii. Mtodo algebraico. iii. Taller de coevaluacin. iv. Taller de refuerzo. v. Mtodo matemtico.

vi. Taller de coevaluacin. vii. Taller de refuerzo.

b. Diferencia de vectores.

i. Taller de coevaluacin. ii. Taller de refuerzo.

c. Producto de un escalar por un vector (k. ) i. Taller de coevaluacin.

ii. Taller de refuerzo. d. Producto escalar o punto de dos vectores

( ). i. Taller de coevaluacin.

ii. Taller de refuerzo. e. Producto vectorial o cruz de dos vectores.

i. Taller de coevaluacin. ii. Taller de refuerzo.

f. Vector posicin relativa i. Vector posicin.

ii. Vector posicin relativa. iii. Taller de coevaluacin. iv. Taller de refuerzo.

UNIDAD EDUCATIVA MANUELA SENZ


ADICIN DE VECTORES.

Para sumar cantidades vectoriales emplearemos los

principios de la descomposicin vectorial, vectores base y la

conversin de vectores en el plano, a travs de los mtodos:

grfico (paralelogramo y polgono) y algebraico en funcin

de los vectores base y componentes rectangulares; y el

mtodo matemtico.

MTODO GRFICO.

1. PARALELOGRAMO.

El mtodo del paralelogramo permite sumar dos vectores de manera sencilla. Consiste en colocar los

dos vectores, con su magnitud a escala, direccin y

sentido originales, en el origen, de manera que los dos

vectores inicien en el mismo punto.

Los dos vectores forman dos lados adyacentes del

paralelogramo. Los otros lados se construyen trazando

lneas paralelas a los vectores opuestos de igual

longitud.

El vector suma resultante se representa a escala

mediante un segmento de recta dado por la diagonal

del paralelogramo, partiendo del origen en el que se

unen los vectores hasta la interseccin de las paralelas

trazadas.

2. POLGONO.

El polgono es el mtodo grfico ms utilizado para realizar operaciones con vectores, debido a que se

pueden sumar o restar dos o ms vectores a la vez.

El mtodo consiste en colocar en secuencia los

vectores manteniendo su magnitud, a escala, direccin

y sentido; es decir, se coloca un vector a partir de la

punta flecha del anterior. El vector resultante est dado

por el segmento de recta que une el origen o la cola del

primer vector y la punta flecha del ltimo vector.

Ejemplo 1: Encontrar el vector resultante de la suma

de los vectores ( ) ( ) Por el mtodo grfico del paralelogramo y del polgono.


de los vectores ( ) ( ) Por el mtodo grfico del paralelogramo y del polgono.


de los vectores ( ) ( )

( ) Por el mtodo grfico del paralelogramo y del polgono.



250

57,45 150

y

x

250

57,45

150

y

x

a) Mtodo del paralelogramo. Transformamos los vectores en coordenadas polares

(r; ):

( )

( ) ( ) Encontramos el ngulo formado con el eje polar (+X):

( ) ( ) Multiplicamos el mdulo del vector por cada elemento

del vector unitario:

( )

Obtenemos las componentes rectangulares del vector:

Ex = 16,14 m/s

Ey = 25,29 m/s

Aplicamos la funcin tangente para encontrar el

ngulo:

Esc: 1 cm = 20 m/s

El mdulo de es la medida de su longitud: R = 46,35 m/s

La direccin de es la medida del ngulo = 137,19 De donde el vector resultante es:

( )

b) Mtodo del polgono. Transformamos los vectores en coordenadas polares

(r; ):

( )

( ) ( )

Esc: 1 cm = 20 m/s

El mdulo de es la medida de su longitud: R = 46,35 m/s

La direccin de es la medida del ngulo = 137,19 De donde el vector resultante es:

( )

v. MTODO ALGEBRAICO.

Para sumar algebraicamente dos o ms vectores en el plano,

stos deben estar expresados en funcin de los vectores base

o componentes rectangulares.

a) En funcin de sus vectores base.

( ) ( )

b) En funcin de sus componentes rectangulares.

( )

( )

( )

( )

( )



-Rx

Ry

x

y

Ejemplo: Encontrar el vector resultante de la suma de los

vectores ( ) ( ) y

( ) Por el mtodo algebraico en funcin de sus vectores base y de sus componentes

rectangulares.

a) En funcin de sus vectores base. Expresamos los vectores en funcin de sus vectores:

base ( ) :

( )

Encontramos las componentes rectangulares de : Cx = C. cos = 20 m/s x cos 250 Cx = - 6,84 m/s

Cy = C. sen = 20 m/s x sen 250 Cy = -18,79 m/s

Expresamos el vector en funcin de sus vectores base:

( )

( ) Encontramos el ngulo formado con el eje polar (+X)

Encontramos las componentes rectangulares de : Dx = D. cos = 50 m/s x cos 150 Dx = - 43,30 m/s

Dy = D. sen = 50 m/s x sen 150 Dy = 25 m/s

Expresamos el vector en funcin de sus vectores base:

( )

(

Multiplicamos el mdulo del vector por cada elemento del vector unitario

( )

Realizamos la suma algebraica:

( )

( )

( )

( )

Encontramos las componentes rectangulares de : Rx = - 34 m/s

Ry = 31,5 m/s

Encontramos el valor del ngulo :

Expresamos el vector resultante en coordenadas

polares:

( )

Lo representamos en el plano al vector resultante:

Esc: 1 cm = 10 m/s

vi. TALLER DE COEVALUACIN.

1. Encontrar el vector resultante de la suma de los vectores

( ) ( ) por el mtodo grfico y el mtodo algebraico.

a) Mtodo del paralelogramo. Transformamos los vectores en coordenadas polares.

RECUERDA:

Que para sumar dos o ms vectores por el mtodo

algebraico estos deben estar expresados en funcin

de sus vectores base o en funcin de sus

componentes rectangulares, se suma

algebraicamente los vectores base o componentes

rectangulares y se obtiene el vector resultante . Finalmente este vector suma lo expresamos en

trminos de coordenadas polares.



b) Mtodo del polgono. Transformamos los vectores en coordenadas polares.

c) Mtodo algebraico en funcin de sus vectores base. Transformamos los vectores en funcin de los

vectores base.

d) Mtodo algebraico en funcin de sus componentes rectangulares. Transformamos todos los vectores en

funcin de sus componentes rectangulares.

2. En

contrar el vector resultante al sumar los vectores

( ) ( ) y ( ) por el mtodo grfico y algebraico.





c) Mtodo algebraico en funcin de sus vectores base. Transformamos los vectores en funcin de

los vectores base.

d) M

t

o

d

o

a

lgebraico en funcin de sus componentes

rectangulares. Transformamos todos los vectores

en funcin de sus componentes rectangulares.

3. Encontrar el vector resultante al sumar los vectores

( ) ( ) ,

( ) ( ) por el mtodo grfico y algebraico.





c) Mtodo algebraico en funcin de sus vectores base. Transformamos los vectores en funcin de

los vectores base.

d) Mtodo algebraico en funcin de sus componentes rectangulares. Transformamos

todos los vectores en funcin de sus componentes

rectangulares.

vii. TALLER DE REFUERZO.

Realizar el taller 4.1



R

V1

V2

y

x

R

V1

V2

y

x

V1

V2

V1

V2

80 20

MTODO MATEMTICO.

Si queremos sumar matemticamente dos vectores, se debe

tener en cuenta el ngulo que estn formando los vectores

entre s; de tal forma que:

a) Si el ngulo que forman los dos vectores es de 90 para determinar el valor del mdulo del vector resultante, se

debe aplicar el Teorema de Pitgoras; y para

determinar la direccin y sentido, se aplica la funcin

trigonomtrica Tangente.

b) Si el ngulo que forman los dos vectores es mayor o menor a 90 para determinar el valor del mdulo del

vector resultante, se debe aplicar la Ley de los

Cosenos; y para determinar la direccin y sentido, se

debe aplicar la Ley de los Senos.

Ley de senos, el vector resultante de dos vectores es proporcional al seno del ngulo comprendido entre los

vectores, como tambin los vectores V1 y V2 son

proporcionales a los senos de los ngulos apuestos.

Ley de cosenos, el cuadrado del vector resultante de

dos vectores es igual a la suma de los cuadrados de los

mismos, ms el doble producto de stos por el coseno

del ngulo comprendido entre ellos.

Ejemplo: Encontrar el vector resultante de los siguientes

desplazamientos: ( ) y ( ), tanto por el mtodo grafico como matemtico.

a) Mtodo grfico: Primero dibujamos los vectores en el plano a una escala

de 1 cm = 3 Km

Datos:

( )

( )

El mdulo de es la medida de su longitud: R = 17,4 Km

La direccin de es la medida del ngulo = 43 De donde el vector resultante es:

( )

b) Mtodo matemtico: Clculo del mdulo del vector resultante, aplicando la

Ley de los cosenos:

Primero encontramos el valor del ngulo formado por los

dos vectores:

= 80 - 20

= 60

( ) ( ) ( )( )

c) Clculo del ngulo , aplicando la Ley de los senos:

| |

| |

| |

| |



Expresndolo al vector resultante en coordenadas polares

tenemos:

= + 20

= 23,45 + 20

= 43,45

( )


Resuelve:

1. Halla grfica y matemticamente la suma de los siguientes desplazamientos:

( )

( )

a) Mtodo grafico:

b) Mtodo matemtico:

2. Determina la fuerza resultante (suma), de dos fuerzas de 8 Kgf y 6 Kgf, cuando las fuerzas forman un ngulo de:

a) 90; b) 40; c) 120

Caso a):

a) Mtodo grfico:

b) Mtodo matemtico:

Caso b):

a) Mtodo grfico:

b) Mtodo matemtico:

Caso c):

a) Mtodo grfico:

b) Mtodo matemtico:

TALLER DE REFUERZO.

Subraye la respuesta que considere correcta en los

siguientes enunciados:

1. Cuando el ngulo es mayor o menor a 90 debemos utilizar:

El teorema de Pitgoras. La ley de senos y cosenos. El teorema de los residuos.

2. Cuando el ngulo que forman dos vectores es igual a 90 podemos utilizar:

El teorema de Pitgoras. La ley de senos y cosenos. El teorema del paralelismo.

3. La siguiente definicin: El cuadrado del vector resultante de dos vectores es igual a la suma de los

cuadrados de los mismos, ms el doble producto de stos

por el coseno del ngulo comprendido entre ellos. Corresponde a:

El teorema de Pitgoras. La ley de senos. La ley de cosenos.

4. La siguiente definicin: El vector resultante de dos vectores es proporcional al seno del ngulo comprendido

entre los vectores, como tambin los vectores V1 y V2

son proporcionales a los senos de los ngulos apuestos. Corresponde a:

El teorema de Pitgoras. La ley de senos. La ley de cosenos.

Resolver:

1. Encontrar el vector resultante de los siguientes

desplazamientos: ( ) y ( ), tanto por el mtodo grafico y matemtico.

2. Sobre un cuerpo actan fuerzas de 6N y 9N. Dichas fuerzas forman un ngulo de 140. Encontrar en vector

resultante tanto por el mtodo grfico como

matemtico.

3. Un automvil A se dirige a 70 Km/h hacia el norte y otro vehculo B se dirige a 90 Km/h hacia el Este.

Encontrar el vector resultante tanto por el mtodo

grfico como matemtico.



y

x

g. DIFERENCIA DE VECTORES.

La diferencia de vectores es un caso particular de la suma de

vectores. Se define como la suma de un vector con el

negativo del otro:

( )

En consecuencia, todos los mtodos de la suma vectorial son

aplicables a la diferencia vectorial.

La diferencia de vectores no cumple la propiedad

conmutativa:

Ejemplo: Si ( ) y ( ) ,

hallar :

a) Mtodo del paralelogramo: Escribimos los vectores en coordenadas polares.

( ) ( )

Encontramos las componentes rectangulares de Bx = - 3 Km By = - 4 Km

Encontrando el mdulo del vector se tiene:

( ) ( )

Encontrando el ngulo , se tiene:

Expresndolo al vector en coordenadas polares se

tiene: ( )

Esc. 1 cm = 2Kgf

El mdulo del vector resultante es: 7,7 Kgf

La direccin del vector resultante es: = 115



y

x

155

233,13

Y el vector resultante es: ( )

b) Mtodo del polgono: Escribimos los vectores en coordenadas polares.

( ) ( )

El mdulo del vector resultante es: 7,7 Kgf

La direccin del vector resultante es: = 115

Y el vector resultante es: ( )

c) Mtodo algebraico: En funcin de los vectores base:

Expresamos los vectores en funcin de los vectores

base:

( )

( )

Encontrando las componentes rectangulares de se tiene:

Expresando el vector en funcin de sus vectores base

se tiene: ( ) Entonces:

( )

( )

( )

Ahora debemos expresarlo al vector resultante en

coordenadas polares:

Calculamos su mdulo:

( ) ( )

Calculamos el ngulo :

Entonces: ( )

En funcin de sus componentes rectangulares:

Expresamos todos los vectores en coordenadas

rectangulares:

( ) ( )

Encontrando las componentes rectangulares del vector

se tiene:

Expresndolo al vector en coordenadas rectangulares

se tiene: ( )

Encontrando las componentes rectangulares del vector

se tiene: Bx = - 3Kgf

By = - 4Kgf

Expresndolo al vector en coordenadas rectangulares

se tiene: ( )

Entonces:

( )

( )

( ) Ahora debemos expresarlo al vector resultante en

coordenadas polares, para lo cual calculamos el valor

de su mdulo:

( ) ( )

Calculamos el ngulo:

Entonces: ( )

i. TALLER DE COEVALUACIN.

Resolver:

1. Si ( ) y (

), hallar a) Mtodo del paralelogramo:

Expresamos los vectores en coordenadas polares:



b) Mtodo del polgono: Expresamos los vectores en coordenadas polares:

c) Mtodo algebraico:

En funcin de sus vectores base:

Expresamos los vectores en funcin de los vectores

base:

E

n

f

u

n

cin de sus componentes rectangulares:

Expresamos los vectores en coordenadas rectangulares:

2. Si ( ) y ( ), hallar a) Mtodo del paralelogramo:

Expresamos los vectores en coordenadas polares:



b) Mtodo del polgono: Expresamos los vectores en coordenadas polares:

c) Mtodo algebraico:

En funcin de los vectores base:

Expresamos los vectores en funcin de sus vectores

base

En funcin de sus componentes rectangulares:

Expresamos los vectores en coordenadas

rectangulares:



ii. TALLER DE REFUERZO.




30

y N

E

x

h. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN

VECTOR (k. )

El producto de un escalar k por un vector , es otro vector cuyo mdulo es k veces la magnitud del vector A y cuya

direccin y sentido coincide con la de si k > 0; es opuesto

a la de , si k < 0. Si k = 0, la longitud es igual a cero y el vector se convierte en nulo.

K veces

El producto de un escalar k por un vector , se obtiene multiplicando k por las componentes y las coordenadas

polares de un vector tenemos:

( )

( )

( )

Ejemplo: Si k = y ( ) hallar :

( )

Expresamos al vector en coordenadas polares: = 90 - 30

= 60

( )

Realizamos el producto:

( )

Como k =

( )

( )

Esc: 1 cm = 20 Km


Resolver:

1. Si ( )

( ) Demostrar si se cumplen las propiedades del producto de un escalar por un vector:

2. Si ( )

i. TALLER DE REFUERZO.




PRODUCTO ESCALAR O PUNTO DE DOS

VECTORES ( ).

El producto escalar o producto punto de dos vectores, es un

escalar igual al producto de los mdulos de los vectores

dados, por el coseno del menor ngulo que forman entre s:

El producto escalar se representa intercalando un punto (.)

entre los smbolos de los vectores.

El producto escalar de dos vectores en funcin de sus

vectores base es:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Entre las aplicaciones del producto escalar tenemos:

a) Clculo del ngulo formado por dos vectores:

Partimos de la primera expresin:

b) Clculo de la proyeccin de un vector sobre otro:

Ejemplo:

a) Dados el vector ( ) y ( ).

Calcular: a) El producto escalar de .

b) Dados el vector ( ) y ( ).

Calcular: a) El producto escalar de .

c) Dados el vector ( ) y

( ). Calcular: a) El producto escalar de .

Recuerda:

Para la proyeccin de un vector sobre otro, los vectores tienen que expresarse en coordenadas

polares para trazar la grfica y en vectores

base para su producto y proyeccin.

Por definicin el ngulo entre los dos vectores tiene que ser menor o igual a 180; si el valor

del coseno es (+) el ngulo es agudo y si el

valor del coseno es (-) el ngulo es obtuso.



ACTIVIDAD INDIVIDUAL N 1

NOMBRE:........................................................................

.

Dados los vectores encuentra el producto punto y el

ngulo formado por los dos vectores:

1) ( ) ( )

2) ( ) ( )



21,8

60

y

x

d) b) El ngulo formado por ; c) La proyeccin de

; d) La proyeccin de .

Calculamos las componentes del vector : Ax = 20m Ay = 8m

Encontramos el mdulo del vector :

( ) ( ) Realizamos el clculo del ngulo :

Expresamos el vector en coordenadas polares:

( )

Realizamos el clculo del vector unitario del vector :

( )

Realizamos el clculo de las componentes del vector :

Expresamos al vector en funcin de sus vectores base:

( )

Realizamos el clculo del vector unitario del vector :

( )

)

[( )( ) ( )( )]

( )

)

( )( )

)

( )( )( )

( )

Convertimos el vector a coordenadas polares:

( ) ( )

( )

)

( )( )( )

( )

Convertimos el vector a coordenadas polares:

( ) ( )

( )

Esc: 1 cm = 5 m

ii. TALLER DE COEVALUACIN.

Contestar:

1. Qu propiedades cumple el producto escalar de dos vectores?..........................................................................

. . .

2. Cmo definira usted al producto escalar o producto punto de dos vectores?.....................................................

. .



.

3. Cules son las principales aplicaciones del producto punto de dos vectores?.....................................................

. . . .

Resolver:

1. Si: K = 2; ( ) ( ) . Demostrar las propiedades del producto escalar de dos

vectores.

2. Dos vectores ( ) ( ) , encontrar: a) Cul es el producto escalar?; b) Qu

ngulo forman los vectores?; c) Cul es la proyeccin

del vector ; d) Determinar la proyeccin de

?



iii. TALLER DE REFUERZO.


i. PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ DE DOS VECTORES.

El producto vectorial o producto cruz de dos vectores

es otro vector cuyo mdulo se obtiene multiplicando los

mdulos de por el seno del menor ngulo formado entre ellos. Su direccin es perpendicular al plano formado

por los vectores , y su sentido est dado por la regla del sacacorchos, que dice: se hace girar el primer vector de la operacin hacia el segundo, por el camino ms corto, y el

sentido del vector resultante ser el avance radial del

sacacorchos

El producto vectorial se representa intercalando el signo ( ) entre los smbolos de los dos vectores:

Del grfico anterior se deduce:

El mdulo de

La direccin de es perpendicular al plano AB.

El sentido de est dado por la regla del sacacorchos.

Puesto que: sen 0 = sen 180 y sen 90 = 1, de

se concluye que: a) El producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo

( ) b) El producto vectorial es mximo cuando los vectores son

perpendiculares:

| |

| | ( )

| |

c) Aumentando a los ejes x, y un eje z perpendicular a

ellos, y considerando como el vector unitario en dicho eje, el producto vectorial de los vectores unitarios

rectangulares es:

d) En el ciclo , el producto vectorial de dos de ellos equivale al que le sigue en el ciclo:

e) Si se invierte el orden cambia el signo del resultado:

f) El producto vectorial de un vector por s mismo es cero:

| |

| | ( )

| |



g) El producto vectorial de dos vectores en funcin de sus vectores base, nos determina la expresin del producto

vectorial.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

|

| | | ( )

Las propiedades del producto vectorial son:

a) No cumple la propiedad conmutativa: b) Simetra alternada (Anticonmutativa):

c) Distributiva con relacin a la suma de vectores:

( )

( )

d) Asociativa: ( ) ( )

( )

Algunas de las aplicaciones del producto cruz o producto

vectorial son:

a) Clculo del rea de un paralelogramo:

b) Clculo del vector velocidad lineal en el movimiento circular.

c) Clculo del vector aceleracin tangencial en el movimiento circular:

d) Clculo del vector aceleracin centrpeta en el movimiento circular.

Ejemplo 1: Dado el vector ( ) y el

vector ( ), hallar:

a) El producto vectorial de . b) El rea del paralelogramo formado por los dos

vectores.

c) El ngulo comprendido por los dos vectores.

Expresamos los vectores en funcin de sus vectores base:

( )

( )

( )

( )

| |

|

|

El vector de un punto que se mueve

con movimiento

circular, es igual al

producto vectorial

del vector velocidad

angular por el

vector posicin


con movimiento


producto vectorial

del vector

aceleracin angular

por el vector

posicin


con movimiento


producto vectorial

del vector velocidad

angular por el vector velocidad

lineal .



) |

|

|

|

( )

|

|

|

|

( )

) | |

) | |

| |

( )( )

Ejemplo 2: Hallar el rea del tringulo cuyos vrtices son

los puntos: C(4, 4) m, D(-2, -8) m y E(7, -2) m:

[( ) ( ) ] ( )

[( ) ( ) ] ( )

| |

|

| ( )

i. TALLER DE COEVALUACIN.

Responder:

1. Con sus propias palabras de un concepto del producto vectorial. .. .. ..

2. Qu propiedades cumple el producto vectorial?.............. ... .. .. .. ..

3. Indique las aplicaciones del producto vectorial. .. .. .. .. ..

Resolver:

1. Dados los vectores ( ) , ( ),

( ) y , demostrar las propiedades del producto vectorial o cruz.



2. Dado el vector ( ) y el vector

( ), hallar:

)

) El rea del paralelogramo formado por los dos vectores.

) El ngulo formado por los dos vectores.

3. Dados los vectores siguientes: ( )

( ) ( ), hallar:

a) ( )



b) El ngulo comprendido por

c) El rea del paralelogramo formado por

ii. TALLER DE REFUERZO.

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Modulo de Fisica Vectorial