Modulo Fisica

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100413 –Física General

FÍSICA MODERNA

GUSTAVO ANTONIO MEJÍA CORTÉS

U N I D A D D E C I E N C I A S B Á S I C A S

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

BOGOTÁ, D. C. JUNIO DE 2010


COMITÉ DIRECTIVO

Jaime Alberto Leal Afanador

Rector

Gloria Herrera

Vicerrectora Académica

Roberto Salazar Ramos

Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas

Maribel Córdoba Guerrero

Secretaria General

MÓDULO

CURSO FÍSICA MODERNA

PRIMERA EDICIÓN

Copyright

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

ISBN

2009

Bogotá, Colombia


ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente módulo fue diseñado por Gustavo Antonio Mejía, Magister y Físico

egresado de la Universidad Rusa de la Amistad de los Pueblos, docente de la UNAD

desde el año 2008. Ha tenido una actualización en el año 2010 por el mismo docente.


INDICE

INTRODUCCIÓN:

UNIDAD I: VIBRACIONES Y ONDAS

CAPITULO 1: OSCILACIONES CON UN GRADO DE LIBERTAD

1. Cinemática del Movimiento Armónico Simple (MAS)

2. Dinámica del M.A.S

3. Sistemas amortiguados.

4. Solución de los sistemas amortiguados

5. Sistemas forzados

6. Solución de los sistemas forzados.

7. Energía

CAPITULO 2: ONDAS

8. Ecuación de Onda en una cuerda


9. Ondas Estacionarias

10. Armónicos y series de Fourier

11. Forma general de una onda.

12. Ondas viajeras

13. Energía.

14. Densidad de energía.

15. Flujo de energía de una onda

Problemas para la autoevaluación

UNIDAD II: TEORIA DE LA RELATIVIDAD

CAPITULO 3: SISTEMAS DE REFERENCIA Y TRANSFORMACIONES

16. Sistemas inerciales de referencia.

17. Postulados de relatividad

18. Transformaciones de Lorentz para la posición y el tiempo

19. Transformaciones de Lorentz para la velocidad.


20. No invariancia de la aceleración.

CAPITULO 4: CONSECUENCIAS DE LA RELATIVIDAD

21. Simultaneidad.

22. Intervalo.

23. Contracción de la longitud

24. Dilatación del tiempo

CAPITULO 5: CANTIDAD DE MOVIMIENTO, ENERGIA Y COMPROBACION

EXPERIMENTAL

25. Cantidad de movimiento relativista

26. Trabajo en relatividad.

27. Energía relativista

28. Energía en reposo.

29. Experimento de Michelson-Morley

30. Partículas con la velocidad de la luz



UNIDAD III: ESTUDIO ESTADISTICO DEL MODELO DEL ATOMO

CAPITULO 6: MODELOS CLASICOS DEL ATOMO Y ESTADISTICA

31. Átomo de Thomson,

32. Teoría cinética.

33. Probabilidad

34. Átomo de Rutherford

CAPITULO 7: ESPECTROS ATOMICOS Y POSTULADO DE PLANCK

35. Espectros atómicos

36. Radiación del cuerpo negro

37. Ley de Stefan Boltzman

38. Ley de Wien

39. Fórmula de Rayleigh-Jeans.

40. La catástrofe Ultravioleta.


41. Fórmula de Planck

CAPITULO 8: APLICACIÓN E INTRODUCCION A LA MECANICA

CUANTICA

42. Efecto fotoeléctrico

43. Conclusiones de Efecto fotoeléctrico.

44. Modelo de Bohr

45. Ecuación de Schrödinguer


FUENTES DOCUMENTALES


INTRODUCCIÓN

El curso de FISICA MODERNA para los estudiantes de Ingeniería de la Universidad

Nacional Abierta y a Distancia (UNAD), está plenamente justificado por los desarrollos

pasados, presentes y futuros en la Ciencia y en la Tecnología; se puede decir que nos

encontramos de forma análoga, como en aquella época cuando se consolidaban los

fundamentos del Electromagnetismo y empezaban a aparecer en cada momento sus

posibles aplicaciones, como por ejemplo los motores eléctricos, los generadores, el

telégrafo, etcétera. Hoy en día, es muy común que se hable de diodos, semiconductores,

chips y en fin, de un sinnúmero de dispositivos, los cuales no se podrían explicar, ni

diseñar y ni realizar sin la ayuda de la Mecánica cuántica. Es tan amplia su aplicación

actualmente, que ha dado origen a lo que se ha bautizado como la nano-ciencia y la

nano-tecnología. Sin ser este curso de Mecánica Cuántica, si es un curso que da las

bases necesarias para abordar los temas de la Mecánica Cuántica, la Física del estado

sólido y la Física de los semiconductores.

Para este curso, los estudiantes están familiarizados con nociones de mecánica,

electricidad y magnetismo, álgebra lineal, cálculo, entre otras asignaturas. Los propósitos

del curso son reforzar, integrar y transformar algunos de los tópicos de la Física Clásica

para que los estudiantes tengan una visión lo más completa posible del fenómeno físico.

El curso está dividido en tres unidades:

Vibraciones y Ondas: Este tema es de vital importancia retomarlo y profundizarlo, ya que a lo largo de todo el curso se utilizaran magnitudes relacionadas al respecto. Se hará un vistazo muy rápido de las vibraciones de los sistemas con un grado de libertad y enseguida pasaremos al caso de los sistemas continuos, para terminar con algunos fenómenos ondulatorios relevantes.


Teoría Especial de la Relatividad: Tenemos que revisar y transformar muchos conceptos que debido a nuestra experiencia diaria y cotidiana, son aparentemente válidos, como es el caso del tiempo como algo absoluto, de la posible infinitud de la velocidad, entre otros. Llegaremos a las transformaciones de Lorentz, a la relación entre la masa y la energía, a la generalización del principio de conservación del impulso, etcétera.

Estudio Estadístico del modelo del átomo: Se comenzará con nociones básicas de probabilidad, para discutir inicialmente sobre algunos efectos y fenómenos que no se podían explicar clásicamente, como es el caso de la catástrofe ultravioleta, efecto fotoeléctrico, espectros discretos del átomo, y demás, que para su explicación teórica necesitarían de una visión cuántica de la radiación. Se termina esta parte con nociones de la mecánica cuántica y el modelo del átomo.

El libro está diseñado para que el lector, en cada parte comience con una pequeña

introducción, después se comenzará propiamente con el contenido, el cual se pretenderá

exponer de una forma lo más sencilla posible con algunos ejemplos. Al finalizar cada

parte, se proponen algunos problemas y bibliografía.

La Educación a distancia, en los últimos tiempos gracias a las Nuevas Tecnologías de

Información y Comunicación (NTIC) ha tenido un gran aporte y es el hecho de contar

también con Ambientes o Entornos Virtuales de Aprendizaje, los cuales han facilitado la

interacción entre los estudiantes, entre el estudiante y el profesor y entre el estudiante y

los contenidos. Quiero para terminar, compartir y recomendar un escrito maravilloso de

NEUS Montserrat Martin (Educadora social diplomada por la Universitat Ramón Llull

(Barcelona)), del libro DIDACTICA UNIVERSITARIA EN ENTORNOS VIRTUALES de

GUILLERMO BAUTISTA y otros, con el fin de motivarlos para esta tarea:

Llegue a la escuela de la que tanto me habían hablado.

Anduve un rato, a pequeños pasos, introduciéndome como novata en el pequeño mundo

en el que había aterrizado. Y entre en clase. Era una clase grande, grande, muy grande.

Eran tales sus dimensiones que los alumnos que pertenecían a ella no tenían por

costumbre mirarse a los ojos, ni tan siquiera la ropa que llevaban puesta. Lo cierto es que

tampoco parecía importarles mucho, porque estaban muy ocupados en aprender. Era tan

grande el aula que cuando los últimos entraban otros ya salían. Unos hacían turno diurno

y otros nocturno, pero ninguno de ellos se sentía extraño al entrar en el recinto. En

realidad, aunque normalmente no podían oír la voz del compañero, ni ver la luz de sus

ojos, con el tiempo podían llegar a conocerse bastante.


Pese a las dimensiones del aula, la voz del profesor era suave; apenas se oían gritos de

silencio!!! ni otras tantas amenazas frustrantes a las que estábamos tan acostumbradas

mis camaradas y yo. Los alumnos trabajaban a su ritmo y el grupo avanzaba

progresivamente. Todos y cada uno de ellos podían solicitar cuantas explicaciones y

matices necesitarán, y el resto de compañeros no sentía que estaba perdiendo el tiempo

(ni al profesor se le alborotaba el grupo por ello).

Cada pupitre había sido decorado desde un gusto y una delicadeza particular, la del

propio alumno. Algunos contaban con una silla cómoda y nueva rodeada de una

apetecible estancia de colores cálidos. Otros habían precisado calefactor y aire

acondicionado, y aún otros se habían reubicado cerca de la cafetera exprés... mil mundos

en una sola aula de aprendizaje. Por un instante me enternecieron tantos rostros en un

solo espacio capaz de converger y divergir en el tiempo.

A lo largo de las sesiones formativas el profesor intentaba ser ecuánime y no se dejaba

influenciar mucho por las caras de cansancio, de agobio, o de impaciencia de sus

alumnos. Era como si no las viera; aunque a veces -al poner atención- sí se daba cuenta.

Sin embargo, lo que más le preocupaba era el silencio, el silencio de algunos de sus

alumnos. Ese silencio al que nos habían casi obligado en mis tiernos años, nada más

entrar en clase. Y ahora era eso lo que el profesor denunciaba: que uno solo de sus

alumnos permaneciera imperturbable en su pupitre...

Me mantuve impertérrita, perpleja, observando el panorama que os describo. Pese a las

dimensiones del proyecto, pese a las ambigüedades del espacio y del tiempo, alumnos y

profesores habían dejado de ser puntos inconexos y antagónicos, y fueron capaces de

armonizar diferentes corrientes en una sola, suave y fluida: la del aprendizaje. Los

alumnos dejaron de ser ``simplemente alumnos''. Muchos de ellos se convirtieron en

estudiantes, cuyas inquietudes propiciaron un nuevo estilo de ser docente. Hay quien dice

que el proceso fue a la inversa, y que fueron algunos profesores los que, vislumbrando

que su trabajo lindaba más allá del profesar contenidos, empezaron a generar espacios

de crecimiento mutuo. Fuera como fuere, lo cierto es que todo aquello no dejaba de ser

una revolucionaria apuesta por rediseñar conceptos como enseñanza y aprendizaje.

Continué observando ávidamente aquellos rostros hasta que la actitud de algunos de ellos

me hizo vacilar. Recapacité, y deduje que a pesar de lo avanzados que se mostraban, no

habrían podido vencer las artimañas decrépitas del espíritu humano, y la copia y el plagio


seguirían siendo protagonistas en la búsqueda de exitosos resultados con lánguidos

esfuerzos. Una sonrisa entre cínica y decepcionada se dibujó en mi rostro.

Y me sumergí en la última investigación de mi periplo. Poco a poco, mis últimas dudas

fueron diluyéndose. Tal y como esperaba, no habían podido dirimir los mecanismos

evaluativos. Sin embargo, su naturaleza era peculiar, diferente; fundamentada más en la

reflexión que en la memorización. Las preguntas esbozaban una lucidez inusual, y

estaban formuladas ingeniosamente. Responderlas precisaba no sólo conocer con

profundidad los contenidos, sino recordarlos sabiendo relacionarlos y contextualizarlos en

la vida real, practicando el espíritu lógico-crítico. La metodología utilizada no se limitaba

exclusivamente al resultado final, sino que contemplaba todo un proceso. Y se había

remplazado el elemento azarístico del examen con múltiples trabajos que conformaban

una evaluación continua, y continuamente inteligente y elaborada.

Nuestra expedición tocaba a su fin. Hubiéramos podido detenernos un poco más en

algunos de los recodos visitados, pero nuestra emocionante aventura ya había cumplido

su objetivo. Habíamos conocido los entornos virtuales de enseñanza y aprendizaje.


UNIDAD I:

Nombre de la Unidad VIBRACIONES Y ONDAS

Introducción Se estudiaran los conceptos más básicos acerca del movimiento armónico y ondulatorio.

Justificación Las vibraciones explican una gran parte de los fenómenos físicos y de ingeniería, es la base de la teoría de los circuitos y de la Mecánica cuántica.

Intencionalidades Formativas

Que el estudiante pueda comprender como se deducen y se resuelven las ecuaciones de las vibraciones, así como tambien el movimiento ondulatorio.

Denominación de capítulos

Capítulo 1. Oscilaciones con un grado de Libertad. Capítulo 2. Ondas

CONTENIDO:


1. Cinemática del Movimiento Armónico Simple (MAS) 2. Dinámica del M.A.S 3. Sistemas amortiguados. 4. Solución de los sistemas amortiguados 5. Sistemas forzados 6. Solución de los sistemas forzados. 7. Energía

CAPITULO 2: ONDAS



10. Armónicos y series de Fourier

11. Forma general de una onda.

12. Ondas viajeras

13. Energía.

14. Densidad de energía.



INTRODUCCION:

Las vibraciones y las ondas se encuentran presentes en muchas áreas de la vida, por

ejemplo el sonido, la luz, los circuitos eléctricos, las guías de onda, las líneas de

transmisión, y así podríamos continuar. Sin embargo, el principal interés de volver a

retomar este tema, como se menciono anteriormente, es el de poder acercarnos mucho

mejor a la Física Moderna, para esto comenzaremos explicando el caso de las

vibraciones de sistemas con un grado de libertad, iniciamos con el caso más sencillo que

es el llamado Movimiento Armónico Simple, para continuar con los sistemas amortiguados

y forzados. Después pasamos a los sistemas continuos, también el caso más sencillo son

las oscilaciones en una cuerda tensa, con este modelo se deduce la ecuación de Onda, la

cual se resuelve para el caso de las condiciones de frontera de extremos fijos (ondas

estacionarias y armónicos), después a las ondas viajeras y se hallaran las constantes de

propagación, para cada caso se calculara el valor de la energía.



1. Cinemática del Movimiento Armónico Simple (MAS)

Se denomina movimiento armónico simple, a aquel movimiento que esta dado de la

siguiente forma:

x(t)=Acos(t+) (1.1)

donde t es el tiempo y A, y son constantes, las cuales se llaman: A amplitud,

frecuencia angular y fase inicial; a todo el argumento que está dentro de la función

coseno se le llamara fase.

La anterior expresión también se puede escribir de las siguientes formas:

x(t)=A'cos(t)+B'sen(t) = Asen(t + )

Donde: A',B' y estan relacionadas con A y .

Ejemplo: Escriba de la forma anterior, el movimiento de un cuerpo que esta dado según:

x(t)=4cos( t - /3) cm.


A partir de la la identidad:

cos( - )=cos()cos() +sen( )sen() donde = t y = /3, y recordando que:

cos(/3)=1/2 y sen(/3)= obtenemos:

de esta manera podemos escribir A'=2cm y B'=2 cm.

Este movimiento se muestra en la figura, la amplitud es el máximo valor que toma x y en

este ejemplo es de 2 cm; la función coseno esta desplazada respecto al cero, lo cual se

explica por el hecho de tener una fase inicial y la función se repite cada 2 segundos, lo

que se llama el periodo T. Dicho valor se halla por la relación que existe entre frecuencia y

periodo que es : o , para este caso particular el periodo es:

, no olvidemos que las unidades de frecuencia angular son rad/s.


Como se puede observar en las siguientes gráficas, el aumento de la amplitud hace que

la función se expanda verticalmente, el aumento de la frecuencia hace que la función

oscile más veces en el mismo tiempo y el aumento de la fase da como resultado que la

gráfica se desplace horizontalmente.


El movimiento armónico simple se puede considerar como la proyección sobre un eje de

un movimiento circular uniforme, esto quiere decir lo siguiente:

Se considera una partícula que gira con una velocidad angular constante siguiendo

una circunferencia de radio A, que parte desde un ángulo inicial , por lo cual el ángulo

esta cambiando de la forma , si queremos hallar las coordenadas x y y de la

posición de esta partícula, entonces multiplicamos el radio de la circunferencia por el

coseno y el seno del ángulo calculado anteriormente, lo cual es:

y


Comparando esto con el M.A.S., encontramos que precisamente la coordenada x de la

posición de la partícula es un M.A.S.

Vectores rotatorios complejos

Otra forma en que se puede representar un M.A.S. es con ayuda de vectores rotatorios

complejos, para esto consideremos la coordenada x de un vector rotatorio, con lo cual nos

da pie para poder imaginarnos un plano, donde un eje sea real (por ejemplo x) y el otro

sea imaginario. Este es el caso de un plano complejo. Un número complejo se puede

representar con vectores en este plano, ya que la suma de números complejos cumple

también con la regla del paralelogramo de los vectores, sin embargo se ha definido el

producto entre números complejos, lo cual hace la diferencia con los vectores en .

El número complejo se puede escribir de varias formas:

z=x+iy o o

donde: A se llama el modulo de Z y es el argumento de Z. Esta última notación se

llama la notación de Euler, la cual es la que se va a utilizar; ya que con esta notación se

entiende mejor la operación de la multiplicación entre números complejos, o sea, si se

multiplican dos números complejos, se multiplican los módulos y se suman los

argumentos:

Si y entonces:


;

designando: A =A1 A2 y = 1 + 2.

Al multiplicar cualquier número por un exponente complejo, el resultado es simplemente

la rotación de este número un ángulo igual al argumento del exponente.

Por todo lo anterior, entonces nos podemos imaginar un movimiento armónico simple

como la parte real de un vector rotatorio complejo:

.


Los vectores complejos y la representación del movimiento armónico simple con estos

vectores complejos, nos servirán para entender la solución de la ecuación de los

movimientos oscilatorios y para poder superponer estos movimientos.

2. Dinámica del M.A.S

Las causas para que se tengan oscilaciones son la elasticidad (o su equivalente) y la

inercia (o su equivalente). La elasticidad hace que el sistema mantenga una posición de

equilibrio y que exista una fuerza restauradora o recuperadora, y la inercia hace que el

cuerpo tienda a mantener la velocidad, por eso hay una fuerza inercial; estos dos

fenómenos se hacen evidentes en los siguientes ejemplos:


SISTEMA MASA-RESORTE

Veamos un resorte atado a un cuerpo en un plano horizontal completamente liso. Cuando

el resorte esta deformado, hay una fuerza elástica en contra de la causa que deforma al

resorte, y ya que el cuerpo tiene masa entonces la fuerza neta es masa por aceleración.

La ecuación de movimiento para este caso es:

Fx=-kx=ma=m , si dividimos entre la masa y designando:

se llega a la siguiente ecuación:

(1.2)

PÉNDULO SIMPLE

El péndulo simple es un cuerpo de masa m atado a una cuerda inextensible de masa

despreciable, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son la tensión y la fuerza de la

gravedad, como el movimiento es un arco de circunferencia es recomendable trabajar con

coordenadas normales y tangenciales, por eso la descomposición de fuerzas la

igualamos a la masa por aceleración normal y a la aceleración tangencial. A nosotros nos

interesara las fuerzas tangenciales, siendo la única fuerza que tenga solamente esta

componente el peso. La aceleración tangencial es la derivada de la rapidez del cuerpo, y

la rapidez esta relacionada con el radio (el cual es la longitud del péndulo) y la velocidad

angular; por eso la aceleración tangencial es igual al producto de la longitud por la

aceleración angular.


La ecuación de movimiento para el ángulo , es:

,

donde s = l ; al simplificar la masa y designando , la ecuación quedará:

esta ecuación no es lineal, sin embargo si los ángulos son muy pequeños, entonces

; y por eso finalmente la ecuación de movimiento para el péndulo es:

CIRCUITO LC

El circuito LC consta de una bobina y de un condensador, si el condensador inicialmente

está cargado y se conecta la bobina en serie, se cierra el circuito, pero la corriente no

puede aumentar de forma abrupta ya que esto lo impide la bobina, porque si fuera así, se

tendría una fem autoinducida muy grande en la bobina, sin embargo la corriente empieza

a aumentar y el condensador se empieza a descargar, cuando el condensador ya esta

descargado, la corriente es máxima y la bobina no permite que la corriente disminuya

bruscamente a cero, y por eso la corriente empieza a disminuir de forma lenta y el

condensador se empieza a cargar con diferente polaridad que tenía inicialmente, si no hay

resistencia este proceso puede durar hasta el infinito.


Para deducir la ecuación para este sistema utilizamos la ecuación de las mallas:

pero como entonces reemplazando en la ecuación

y dividiendo entre L tenemos:

donde:

En todos los casos anteriores siempre tuvimos la misma ecuación para diferentes

variables como eran:

x, y .

Esta ecuación es de la forma:

A esta ecuación se le da el nombre de la ecuación del Movimiento Armónico Simple,

cualquier fenómeno natural que este modelado con una ecuación de esta forma, da como

resultado oscilaciones armónicas con una frecuencia igual a 0.


Para convencernos de lo anterior la vamos a solucionar, sin embargo antes podemos

darnos cuenta que si escribimos x como la parte real de una variable compleja y debido

a que la ecuación es lineal, esta variable compleja también tendrá una ecuación similar es

decir:

Si x =Real { Z } entonces Z debe satisfacer la ecuación (1.2), es decir:

Para hallar la solución de esta ecuación compleja hagamos la sustitución:

siendo C y p constantes complejas. Esta sustitución nos da la siguiente ecuación:

, después de simplificar por la función exponencial y la

constante C tenemos:

-p2=-

2

lo cual se cumple si p= 0.


Al reescribir la función Z con el valor hallado de p y con la constante compleja en la

notación de Euler , obtenemos:

donde A y son constantes que se determinaran a partir de las condiciones iniciales,

para hallar x le sacamos a Z la parte real lo cual nos da por último la ecuación:

x=Acos( 0 t + )

Esto es precisamente un movimiento armónico simple con una frecuencia igual a 0.

A partir de la formula (1.1), podemos hallar la velocidad del cuerpo así como también la

aceleración, derivando una y dos veces respectivamente:

La amplitud y la fase inicial se hallan con las condiciones iniciales conociendo la posición

inicial x0 y la velocidad inicial v0, es decir para las ecuaciones (1.1) y velocidad se

reemplaza t=0, entonces tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:


La forma de solucionar este sistema de ecuaciones trigonométricas, es inicialmente

elevando al cuadrado la primera ecuación y sumándole el cuadrado de la segunda

ecuación dividida por 0, con lo cual eliminamos las funciones seno y coseno y podemos

despejar A obteniendo la ecuación respectiva; después dividimos la segunda ecuación

entre la primera ecuación multiplicada por 0 obteniendo la ecuación:

EJEMPLO: Escriba la ecuación de movimiento, el periodo de oscilación, la solución para

cualquier instante de tiempo y la posición en el tiempo de 2 s; para el caso de un sistema

masa-resorte, el resorte es ideal de constante k=1N/m, y la masa esta sobre una

superficie horizontal lisa de valor m=1kg, y si parte de las siguientes condiciones iniciales

x0=0,05 m y v0=0,1 m/s.

Primero escribimos la segunda ley de Newton para las fuerzas en x, solamente esta

actuando la del resorte: F=-kx, como no hay más fuerzas, esta fuerza la igualamos a la

masa por la aceleración, que es la segunda derivada de x:

y de esta forma dividiendo entre la masa

obtenemos la ecuación (1.2):

Donde 02= k/ m .

Reemplazando los valores dados, hallamos que: 0= 1 y el periodo entonces es: T

= 2/ 0 = 6,28 s.


A partir de las ecuaciones de la amplitud y para la fase se calculan la amplitud y la fase

inicial dando como resultado: A=0,1118 m y tan()= 2, entonces = - 1,1071 rad o =2,0344 rad; al reemplazar estos valores en las ecuaciones de las condiciones iniciales

para cada valor de obtenemos para el primer valor :

x0=Acos()=0,05 m

v0= - A 0 sen( ) = 0,1 m/s

Con lo cual se comprueba que se cumplen estas condiciones para la posición y la

velocidad inicial.

Para el segundo valor de obtenemos:

x0=Acos()= - 0,05 m

v0= - A 0 sen( ) = -0,1 m/s

De esta forma descartamos este valor, encontramos que no se cumplen las condiciones

iniciales ya que resultaron negativas.

La solución de la ecuación es:

x(t)= 0,1118 cos (1(rad/s) t - 1,1071) m


La posición para el tiempo t=2 s, se halla reemplazando este número en la anterior

solución dando:

X (t=2s) = 0,0701 m. La gráfica anterior muestra la solución para dos ciclos completos y

además se muestra la posición para este tiempo.


3. Sistemas amortiguados.

Hasta el momento no se había considerado ninguna fuerza de rozamiento o ninguna

pérdida debida a la resistencia, pero siempre en mayor o menor medida hay perdidas, se

considerara que estas pérdidas son proporcionales a la velocidad y siempre tendrá signo

contrario, lo cual quiere decir que se opone al movimiento, para el caso mecánico estas

pérdidas están relacionadas con una fuerza de rozamiento viscoso del aire y para el

circuito es una caída de tensión debida a una resistencia. Para los anteriores casos

debemos escribir adicionalmente, en la ecuación de movimiento una nueva fuerza o

tensión siendo:

Fv=-bv o Fv=-b y U=iR o U=R .

Para los dos casos las ecuaciones serían:

Donde la primera ecuación es para el caso mecánico y 0 = .

La segunda ecuación es para el circuito RLC, donde y 0 =

4. Solución de los Sistemas amortiguados.

La solución de la ecuación del sistema amortiguado la vamos a buscar de la misma forma

que cuando no estaba amortiguado, es decir, primero hacemos x como la parte real de


una variable compleja Z, escribimos la ecuación para esta variable compleja, realizamos

la misma sustitución y resolvemos la ecuación algebraica que resulta de dicha sustitución.

La ecuación para la variable Z es:

hacemos la sustitución siendo C y p constantes complejas, la ecuación

que resulta después de simplificar por la constante y la función exponencial nos da:

-p2 +jp + 0

2=0

Esta ecuación se llama la ecuación característica y su solución es:

La variable p tiene una parte imaginaria que depende del coeficiente de amortiguamiento

y una parte que es real si ; esta condición se debe cumplir si queremos que

se tengan oscilaciones, si esto no se cumple se habla de un amortiguamiento critico o de

un sobre-amortiguamiento.

Al reemplazar este valor que hallamos en la función Z y llamando obtenemos:


Designando podemos sacar la parte real de Z para hallar la coordenada

x:

Conociendo x podemos derivar para hallar la velocidad, lo cual nos da:

Donde A y son constantes de integración que se hallan a partir de las condiciones

iniciales, es decir posición x0 y velocidad inicial v0.

Al reemplazar t=0, en las ecuaciones para x y v, tenemos el siguiente sistema de

ecuaciones:


La solución de este sistema de ecuaciones es:

Un parámetro adicional que se usa con frecuencia es el factor de calidad que se define

como:

y se considera que entre mayor sea mejor es el oscilador.

EJEMPLO: Considere un resorte ideal de constante k=1N/m que está unido a un cuerpo

de masa m=1kg sobre una superficie horizontal lisa, pero que tiene rozamiento con el aire,

con b=0,1 kg/s además las condiciones iniciales del cuerpo son x0=0,2m y v0=-0,01m/s.

Halle la posición del cuerpo como función del tiempo y grafique.

Calculemos inicialmente:

,


y

.

A partir de las condiciones iniciales y aplicando las formulas que se deducen para estas

condiciones obtenemos los valores de A y de :

A=0,2 m y tan()= 0 = 0 o = .

Al reemplazar nuevamente los valores de encontramos que el primer valor es el

correcto.


La solución estaría dada por:

La gráfica es la anterior figura.

5. Sistemas forzados

Uno de los casos más importantes de los sistemas oscilatorios, es el caso de las

oscilaciones forzadas, es decir cuando sobre el sistema actúa una fuerza externa,

nosotros supondremos que esta fuerza también es armónica, que tiene una amplitud Fo y

una frecuencia impulsora externa , es decir supondremos que la fuerza externa es:

F(t)=Fo cos( t).

La ecuación de movimiento para este caso, es similar al caso del sistema amortiguado,

solamente que incluimos la anterior fuerza externa, con lo cual nos queda:

Al dividir esta ecuación entre la masa y utilizando el valor de la frecuencia propia y del

coeficiente de amortiguamiento, tenemos:


Esta ecuación es lineal de segundo orden no homogénea.

La solución de la ecuación se halla como la suma de dos soluciones, donde una

solución es el caso cuando no está forzado (solución general de la ecuación homogénea)

más una solución particular de esta ecuación no homogénea.

Se llama solución estacionaria a aquella solución que va a perdurar a pesar que

transcurra mucho tiempo, como la solución de la ecuación homogénea tiene una función

exponencial que la amortigua, cuando el tiempo sea muy grande esta solución tenderá a

cero, lo cual significa que la solución estacionaria será la solución particular.

6. Solución de los Sistemas forzados.

Para hallar esta solución utilicemos los vectores complejos y la linealidad de la ecuación,

lo cual quiere decir que si , entonces la ecuación para Z es:

hacemos la sustitución: , la dependencia con el tiempo se simplifica y

nos queda la siguiente ecuación algebraica para la amplitud y la fase:


La solución de esta ecuación nos da:

A estas funciones que dependen de la frecuencia impulsora las llamamos respuesta a la

frecuencia.

Al reemplazar estos valores para Z y después de sacar la parte real tenemos:

EJEMPLO: Haga la gráfica de la amplitud (ver la formula de respuesta a la frecuencia) y

la fase (ver la formula respectiva para la fase) como funciones de la frecuencia, cuando

la fuerza impulsora es F(t) = 1N cos( t) , la masa m= 1 kg, la frecuencia propia 0 = 10

rad/s y los valores del factor de calidad Q= 1, 5 y 10


Como se muestra en la anterior figura, la amplitud y la fase dependen del valor de la

frecuencia impulsora, siendo de interés aquella región donde la frecuencia sea próxima a

la frecuencia propia del sistema. En este caso se observa que la amplitud alcanza valores

máximos muy grandes, y entre mayor sea el factor de calidad más pronunciado es el pico.

Para el caso de la fase, se encuentra que cuando las frecuencias son iguales, el valor de

la fase es de . A este fenómeno se le da el nombre de resonancia, más adelante en el

capítulo de energía se explicará por que puede aparecer dicho pico. Sin embargo, es de

mayor importancia la respuesta a la frecuencia pero de la amplitud de la velocidad, para

esto calculamos la derivada de la ecuación de x, obteniendo:


A partir de esta ecuación se llega a que la amplitud de la velocidad es:

De la misma forma como encontramos en la respuesta a la frecuencia de la posición un

máximo, para la velocidad también se obtendrá otro máximo el cual corresponderá

exactamente al caso cuando la frecuencia impulsora sea igual a la frecuencia propia.

La aceleración también tiene una amplitud a0 que depende de la frecuencia impulsora y

vale:

EJEMPLO: Haga la gráfica de la amplitud de la velocidad (ver la formula para la

velocidad) como función de la frecuencia impulsora, cuando la fuerza impulsora es F(t)=

1N cos( t), la masa m= 1 kg, la frecuencia propia 0 = 10 rad/s y los valores del

factor de calidad Q= 1, 5 y 10


La gráfica es la que se muestra en la siguiente figura:

7. Energía.

Recordemos inicialmente como se deduce la expresión de la energía, para el caso de un

resorte ideal de constante k atado a un cuerpo de masa m sobre una superficie horizontal

lisa teniendo un M.A.S.: La segunda ley de Newton es:


multiplicamos a ambos lados la anterior ecuación por el diferencial dx y recordando

que:dx=vdt se tiene:

Cada lado de esta ecuación se puede escribir como un diferencial, es decir:

y . Al igualar ambos

diferenciales se obtiene:

Al pasar todo a un mismo lado:

El diferencial de una constante es cero, por eso la función que está dentro del diferencial

es una constante:


Esta función constante se llama energía total que es la suma de la energía cinética

( ) y la energía potencial se halla considerando el caso cuando

la energía cinética vale cero y la energía potencial es máxima , donde A

es la amplitud.

De esta forma, la energía total es proporcional al cuadrado de la amplitud

.

Cuando se tiene fuerzas de rozamiento, la energía no se mantiene constante, sino a

medida que pasa el tiempo la energía va disminuyendo y por eso se puede hablar de la

disminución de la energía en la unidad de tiempo llamada potencia disipada Pd, la

cual se calcula de la misma forma para el caso del oscilador amortiguado.

Al multiplicar por dx y transformando la ecuación para obtener los diferenciales se llega a:

Por último, separando los términos que tienen diferenciales:


Dividiendo entre dt se llega a:

La potencia disipada , depende del cuadrado de la velocidad y siempre es

negativa.

Para el caso del oscilador forzado se hace lo mismo, o sea se parte de la ecuación del

movimiento forzado y multiplicamos por dx y transformando los diferenciales llegamos a:

Al agrupar los diferenciales en el lado izquierdo y factorizando por dt en el lado derecho,

obtenemos:

Dividimos por dt y reemplazamos el valor obtenido para la energía y para la potencia

disipada:


Por lo anterior podemos designar a F0 cos( t) v como la potencia de entrada Pe, es

decir el trabajo por unidad de tiempo que hace la fuerza impulsora, la formula finalmente

queda:

La ecuación anterior es general, ya que se aplica tanto al régimen transitorio como al

estacionario; para el transitorio la energía va aumentando o disminuyendo hasta que se

estabiliza alrededor de un valor medio constante, dando lugar al estado estacionario, en

este estado para cada periodo el valor medio de la energía es constante, solamente en

este estado se dice que el valor medio de la potencia disipada y el valor medio de la

potencia de entrada en valor absoluto son iguales.

Recordemos que se define el valor medio <f> de una función f(t) en un periodo como:

A partir de dicha definición se puede comprobar que:


La potencia media de entrada y la disipada en valor absoluto para el estado estacionario

son iguales a:

y reemplazando la expresión para la velocidad según la ecuación de la velocidad nos da:

Aplicando la expresión del valor medio resulta:


\

EJEMPLO: Haga la gráfica de la potencia media de entrada o de la potencia media

disipada en el estado estacionario como función de la frecuencia impulsora, cuando

la fuerza impulsora es

F(t)= 1N cos( t), la masa m= 1 kg, la frecuencia propia 0 = 10 rad/s y los valores del

factor de calidad Q= 1, 5 y 10


Observando la figura, se puede deducir varias conclusiones:

La gráfica es muy simétrica respecto a la frecuencia propia, parte de cero y a frecuencias altas también tiende a cero.

Se obtiene un máximo de potencia media cuando la frecuencia impulsora es igual a la frecuencia propia, nuevamente aparece el fenómeno de resonancia.

El valor máximo de la potencia media es proporcional al factor de calidad, a medida que aumente dicho factor, la potencia alcanza un pico.

A mayor factor de calidad la gráfica se angosta, dejando un ancho de banda cada vez menor, definiendo el ancho de banda, como aquellas frecuencias donde la potencia media de entrada sea mayor que la mitad del valor máximo de la potencia de entrada.


CAPITULO 2: ONDAS


Cuando se tiene un sistema continuo, se puede definir el concepto de un volumen

infinitamente pequeño en el sentido físico, el cual es un volumen muy pequeño desde el

punto de vista macroscópico, de tal forma que se pueda trabajar con las propiedades de

los diferenciales, pero a su vez lo suficiente grande para que no se noten las

discontinuidades del material y pueda tener un número elevado de moléculas. A dicho

volumen lo entenderemos como un "punto material" que tiene masa, energía, velocidad,

deformación, en fin todas las propiedades mecánicas que se le asignan a los cuerpos

macroscópicos. Dichos "puntos materiales" pueden oscilar y de esta forma llegamos a la

definición de una onda, y es el caso cuando cada "punto" tiene una vibración. El ejemplo

más sencillo de un medio continuo es la cuerda. Este medio lo consideramos que se

caracteriza con dos variables y T , siendo respectivamente la densidad lineal de masa

y la tensión de la cuerda. Para hallar la ecuación de movimiento para cada "punto" de la

cuerda, es necesario inicialmente tener un eje que coincida con la posición de equilibrio

de todos los "puntos" de la cuerda, este eje será un eje horizontal despreciando el peso

de la cuerda. Fijamos cada "punto" de la cuerda (entiéndase volumen infinitamente

pequeño en el sentido físico) con una coordenada x, de esta forma solamente el

movimiento de este punto estará en la dirección vertical y la coordenada será y de cada

punto x de la cuerda en cualquier instante de tiempo t. La coordenada y dependerá por

tanto de x y t: y=f(x,t). La ecuación de movimiento por tanto debe involucrar a y.


Si en la figura todas las desviaciones y respecto a la horizontal fueran pequeñas,

entonces los ángulos que forman las tangentes en cada punto de la cuerda son también

pequeñas con lo cual y , siendo la la pendiente de la

curva para cada instante de tiempo, es decir:

El diferencial del ángulo manteniendo constante el tiempo entonces se puede calcular

según la ecuación:


Además, aplicando la anterior aproximación se puede demostrar que la tensión en cada

punto de la cuerda vale lo mismo y no depende de la deformación transversal de la

cuerda, es decir que T no dependerá ni de la posición x ni del tiempo t.

Para deducir la ecuación de onda en una cuerda apliquemos la segunda ley de

Newton a cada punto de la cuerda que tiene una masa y que las

únicas fuerzas que actúan sobre dicho punto es la tensión en cada uno de sus extremos,

la cual es tangente a cada extremo y por consiguiente Td dm ay, adicionalmente la

aceleración transversal en y (ay) es igual a

con lo cual obtenemos:

Reemplacemos el valor d hallado y simplifiquemos por el diferencial dx con lo que

finalmente da:


Designando se llega a la ecuación de onda:

A la variable v se le da el nombre de velocidad de propagación o velocidad de fase, la

cual solamente depende de las características de la cuerda, es decir su densidad y su

tensión.


Para resolver la ecuación de onda se utilizan variados métodos, uno de estos es el

método de separación de variables, este se aplica en especial cuando se tienen

condiciones de frontera, es decir cuando se impone una longitud L a la cuerda de valor

finito. Este método consiste en buscar la solución como si fuera el producto de dos

funciones, las cuales dependen cada una de una sola variable, es decir buscamos la

solución en la forma:

Reemplazamos esta sustitución en la ecuación de onda tenemos:


Al separar las funciones:

A cada lado se tienen expresiones que dependen de diferentes variables por eso se debe

igualar a una constante, la designaremos -k2, obteniendo:

El valor de

todavía no esta definido, los posibles valores se hallaran a partir de las condiciones de

frontera, por el momento consideremos que estas ecuaciones diferenciales ordinarias se

pueden solucionar sin tener los valores específicos de k, dichas soluciones son similares

a la ecuación (1.2).

De esta forma, hallamos y:


Como la ecuación de onda es lineal, entonces podemos sumar las anteriores soluciones

para todos los valores de k lo cual nos da:

La solución es muy general, se puede decir que simplemente se pasa de una

representación x y t a otra representación k y ; como ejemplo hallemos la solución de la

ecuación de onda con las siguientes condiciones de frontera de extremos fijos:

Para las condiciones de frontera dadas por las formulas anteriores es necesario que la

dependencia de la solución respecto a x, las satisfaga, es decir:


Debido a la independencia lineal de las funciones coseno, cada termino que multiplica al

coseno dentro de la suma tiene que valer cero, a saber:

Lo cual nos da: k = 0 y kL= n , donde se despeja

donde n es un número natural que determina el espectro de valores de k y por supuesto

también para ya que a partir de la ecuación: =kv.

La solución de la ecuación de onda con las condiciones de frontera de extremo fijo es:

10. Armónicos y series de Fourier.

A la solución anterior se les da el nombre de superposición de armónicos o de ondas

estacionarias en una cuerda. El valor de n da el número del armónico, de esta forma si

por ejemplo n=1 se dice que es el primer armónico o el modo fundamental de oscilación.

Faltaría calcular las amplitudes An y las fases , las que se hallan a partir de las

condiciones iniciales.


EJEMPLO : Haga la gráfica de los primeros cuatro armónicos de una cuerda de longitud

L=10m y densidad lineal de masa =1g/m y una tensión de T=10 N. Considere que

todos los armónicos tienen la misma amplitud. Calcule la velocidad de propagación, los

valores de k y de la frecuencia para cada armónico.

Se puede calcular inicialmente la velocidad de propagación:

. Calculamos los primeros valores de k:

k1= = 0,3142 m-1

k2= 2 = 0,6283 m-1

k3= 3 = 0,9425 m-1

k4=4 = 1,2562 m-1

y las frecuencias:


1= 31,42 Hz

2= 62,83 Hz

3= 94,25 Hz

4= 125,62 Hz

La figura muestra los cuatro primeros armónicos de la cuerda para diferentes instantes de

tiempo, se pueden observar puntos que no se mueven, como es el caso del punto

intermedio del segundo armónico, a dichos puntos se les da el nombre de nodos.

Además, en la gráfica se observa que a medida que aumenta el número del armónico, la

distancia entre nodo y nodo se hace más pequeña, esta distancia es media longitud de


onda, donde es la longitud de onda, a partir de la gráfica también se observa, que hay

un número de semi-longitudes de onda igual al número del armónico, es decir se cumple:

, es decir se cumple .

Se puede tener el caso en que le impongamos condiciones iniciales, las cuales son la

forma inicial de la cuerda y las velocidades transversales de cada punto de la cuerda:

Si en la ecuación de la superposición de armonicos reemplazamos el tiempo como cero,

se tiene:

donde los coeficientes y se determinan a partir de las funciones f(x) y g(x). Como

un caso particular supongamos que g(x)=0, lo cual significa que la cuerda parte del

reposo; esto se satisface si , que se cumple si . Entonces se puede

escribir:


Cuando una función se descompone con ayuda de las funciones seno o coseno, como

en la formula anterior, se dice que es una serie de Fourier, y los coeficientes de esta serie

An son los coeficientes de Fourier; para calcularlos utilizamos una propiedad que tienen

las funciones seno y coseno que es la ortogonalidad.

Para explicar esta propiedad calculemos las siguientes integrales:

El anterior sistema de ecuaciones se pueden escribir de forma abreviada:


Donde vale cero para todos los y 1 para m=n, a dicho símbolo se le llama

de Kronecker.

La propiedad definida por la formula anterior es la que se denomina ortogonalidad de las

funciones seno y coseno.

Podemos aprovechar esta propiedad para hallar los coeficientes de Fourier ya que, si

multiplicamos la ecuación de la suma de los armonicos por e integramos

respecto a dx desde 0 hasta L , al lado derecho de la ecuación se anulan todos los

términos que cumplan con y solamente queda la integral diferente de cero

cuando n=m, o sea tenemos:

Al lado izquierdo simplemente queda:

Igualando las anteriores expresiones y despejando Am se obtiene:


EJEMPLO: Para la forma inicial de la cuerda mostrada en la anterior figura, donde la

función es: para y para , calcule los

coeficientes de Fourier y haga la gráfica donde se muestre la comparación de la forma de

la cuerda con la superposición de 1, 3, 5 y 7 armónicos.

Para calcular los coeficientes de Fourier, se deben calcular las integrales:


aqui se muestra el resultado de los primeros ocho armónicos utilizando un método

numérico:

A1 = 4,24 10-3 A2 = 5,00 10-3

A3 = 2,55 10-3 A4 = 3,28 10-20

A_5 = -6,06 10-4 A6 = -1,98 10-18

A7 = 2,83 10-3 A8 = 1,40 10-19


11. Forma general de una onda

La ecuación de onda también se puede interpretar de otra manera, en especial cuando

se quiere no separar las variables x y t, sino por el contrario relacionar entre sí, se puede

demostrar que es solución la función dada como la suma de dos funciones que dependen

cada una de solamente una variable x+vt o x-vt, es decir: y(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt) es

solución de la ecuación de onda independiente de la elección de las funciones f y g.

Se puede considerar inicialmente que la función f sea una función senosoidal:

y(x,t)=Asen(k(x-vt)), el valor k es el número de onda. La fase

depende de x y del tiempo t, por eso si dejamos fijo el tiempo, la fase puede cambiar en

cuando la distancia recorrida sea:

Que se llama longitud de onda; y también si se fija la coordenada x la fase

puede cambiar en si el tiempo ha transcurrido .

Se debe destacar que esta función está definida para todos los valores de x, lo que indica

que la cuerda debe ser lo suficiente larga para que pueda oscilar de esta forma.

12. Ondas viajeras

Grafiquemos una onda de amplitud A=1cm, con un valor de onda de k=1m-1, una

velocidad de propagación de v=5m/s en diferentes instantes de tiempo t=0, 0.1, 0.2 y

0.3 s


La figura muestra esta grafica, la onda de color azul es en el tiempo inicial t=0, la verde

es después de s y así sucesivamente. Revisemos solamente estas dos, todas

tienen una longitud de onda =2, al pasar el lapso de tiempo , la onda se ve

desplazada una distancia , la cual se puede calcular como con lo cual si la

velocidad es v=5 cm y el tiempo es s nos da: m. Lo cual se

comprueba, por ejemplo mirando el cero de la onda que parte del origen, pero en la onda

verde, dicho cero se ha desplazado x = 0,5 m y así sucesivamente todos los puntos.

Para los demás tiempos, todo lo dicho se confirma, así es como a esta onda se le da el

nombre de onda "viajera".

13. Energía

Los "puntos" de la cuerda tienen masa y tienen una velocidad transversal

, por lo tanto tienen energía cinética:


, esta energía está distribuida por toda la

cuerda, se puede calcular la densidad de energía cinética como:

.

Además la cuerda al moverse hace que cada "punto" de la cuerda se deforme y como

está actuando la tensión entonces se realiza un trabajo el cual se transforma en energía

almacenada en la cuerda, es decir en cada punto de la cuerda también se tiene energía

potencial.

Para calcular la densidad de energía potencial, escojamos un elemento de cuerda que

tiene una posición x, una masa y a ambos lados

tangencialmente actúa una tensión T. Este "punto" cuando esta sin deformar tiene una

longitud dx y cuando esta oscilando es o aplicando

que obtenemos:

y como entonces

.

La derivada parcial se puede escribir como , entonces:


;

la deformación es la resta de la longitud final menos la inicial: , y el trabajo que

hace la tensión con esta deformación es:

, lo cual nos da:

,

y este trabajo es la energía potencial, la energía potencial por unidad de longitud es la

densidad de energía potencial:

14. Densidad de energía

La densidad de energía total en cada punto es la suma de las dos densidades, a saber:

Conociendo esta densidad podemos hallar la energía que tiene cualquier segmento de la

cuerda o la cuerda total para cualquier instante de tiempo, solamente es necesario

integrar:


como ejemplo, calculemos la energía que tiene la cuerda cuando oscila en una

superposición de armónicos, o sea imaginemos que la cuerda oscila según la fórmula

que sale de la solución de la ecuación de onda, para esto debemos calcular las derivadas

para hallar las densidades:

estas expresiones las elevamos al cuadrado, ya que la densidad de energía es

cuadrática, esto hace que la sumatoria se convierta en una doble sumatoria, por ejemplo

calculemos la energía cinética:


Calculando las integrales y utilizando la propiedad de ortogonalidad de las funciones

seno, obtenemos:

Simplicando por y eliminado una sumatoria:

De igual manera se procede para calcular la energía potencial, dando como resultado:

Como se puede comprobar, lo que se encuentra en las anteriores expresiones sin tener

en cuenta la sumatoria, es la energía de cada modo normal de oscilación o de cada

armónico. Si se suman las anteriores energías y factorizando la sumatoria, el cuadrado de

la función seno y del coseno se simplifican, obteniendo:


Esta es la expresión para la energía total de una cuerda que oscila en una superposición

de armónicos con amplitudes An, la cual significa la suma de las energías de cada

armónico por separado, por esto se puede hablar de la linealidad de la energía, es decir,

la energía de la superposición de los armónicos es la suma de la energía de cada

armónico por separado:

Donde:

El calculo de la energía para una onda viajera se calcula de la misma forma, es decir se

calculan las derivadas parciales respecto a x y a t, y se integra respecto al intervalo donde

se quiere hallar la energía, por ejemplo calculemos la energía por longitud de onda de una

cuerda que se propaga en la dirrección de las x positiva según la forma:

Las densidades de energía entonces son:


Recordando que

Entonces se comprueba que las densidades de energía cinética y potencial de una onda viajera que se desplaza en una dirección son iguales y por lo tanto, la densidad energía total que es:

Se convierte en:

Y la energía para una longitud de onda es:

Dando finalmente como resultado:

o lo que es lo mismo:


Si designamos

Donde es la velocidad máxima transversal con que se mueven los puntos de la

cuerda, finalmente tendríamos:


Revisemos el caso de una onda viajera a lo largo de una cuerda, dicha onda se generá

haciendo oscilar un punto de una cuerda muy larga de forma transversal. Este proceso

involucra un proceso de transferencia de energía del agente que perturba el medio

(cuerda) hacia dicho medio. Esta energía por lo tanto debe ser igual al trabajo que realiza

el agente exterior mientras el punto de la cuerda este en movimiento.

Partimos que el punto de la cuerda que se mueve es en x=0, y la forma de la cuerda esta

dada por:

La fuerza en magnitud es igual a la tensión, pero solamente realiza trabajo la coordenada

de la fuerza en la dirección del movimiento, esta componente la llamaremos , la cual

es igual a:


Donde es el ángulo de la recta tangente de este punto de la cuerda, que como estamos

considerando el punto x=0, se puede calcular con la derivada parcial de y respecto a x: es

decir:

Como estos ángulos son pequeños entonces la función seno es prácticamente la misma

función tangente, calculando la derivada en el punto x=0 nos da la expresión para la

fuerza:

Ahora podemos hallar el trabajo realizado por esta fuerza por ejemplo para un ciclo en

este punto x=0:

Donde:

Por lo tanto obtenemos:


Al transformar la integral se tiene:

Recordando que lo que está en el paréntesis al cuadrado es la amplitud de la velocidad

transversal de dicho punto obtenemos:

Y al integrar:

Recordando que

Y que


Entonces finalmente tendríamos:

Lo que coincide con la expresión

Que es la energía por longitud de onda que adquiere la onda.

Al dividir este trabajo entre el tiempo que es el periodo encontramos la potencia media

que es la misma energía que se le agrega a la cuerda en la unidad de tiempo, lo cual se

llama el valor medio del flujo de energía, este flujo en valor medio entonces es igual a:

Lo cual se puede interpretar como el valor medio de la densidad de energía multiplicada

por la velocidad de la onda.

Problemas para la autoevaluación:

PROBLEMA 1.


Calcule el periodo de oscilación de los sistemas mostrados en la figura {fig:problema11},

cuando al sistema lo sacan de la posición de equilibrio y lo sueltan. El cuerpo tiene una

masa m y los resortes tienen constantes de elasticidad de valores k1 y k2. La superficie

horizontal es totalmente lisa.

PROBLEMA 2.

Una esfera dieléctrica cargada uniformemente con una densidad volumétrica de carga

positiva y de radio R tiene un electrón de masa me que se ubica a una distancia del

centro de la esfera igual a: a) r= R/2, b) r= R/4 y c) r=R. Calcule el periodo de oscilación

del electrón para todos los anteriores casos.


PROBLEMA 3.

A un oscilador de masa m, frecuencia propia y factor de calidad Q se le aplica una

fuerza externa impulsora armónica de la forma F(t)= F0 cos( t). Escriba la expresión

para la energía total del sistema y la energía media en los casos en que = y =

2 .

PROBLEMA 4.

Una cuerda de longitud L y de masa m esta sujeta a los extremos. Si la cuerda en el

tiempo t=0 s, esta en reposo y tiene la forma:

y(x,0)= A x (L - x)

donde A es una constante, L es la longitud de la cuerda y x es la coordenada de la

posición de la partícula de la cuerda.

Calcule la energía de la cuerda, los coeficientes de Fourier y la expresión de la cuerda

para cualquier instante de tiempo.

PROBLEMA 5.

Compruebe con la sustitución directa que la función:


y(x,t) = f(x+vt) + g(x-vt)

donde f y g puede ser cualquier función, v la velocidad de propagación de la onda, x la

coordenada posición y t el tiempo. Es solución de la ecuación de onda:


UNIDAD II:

Nombre de la Unidad TEORIA DE LA RELATIVIDAD

Introducción Se estudiaran los conceptos más básicos acerca de la teoría especial de la relatividad.

Justificación La relatividad es el inicio de los cambios fundamentales de la física clásica, es la base para el entendimiento moderno de la materia, el espacio y el tiempo.


Que el estudiante pueda comprender el cambio significativo que sufrió la Física en relación con la materia, el tiempo y el espacio.


Capítulo 3. Sistemas de Referencia y transformaciones. Capítulo 4. Consecuencias de la relatividad. Capítulo 5. Cantidad de movimiento, energía y comprobación experimental


16. Sistemas inerciales de referencia. 17. Postulados de relatividad 18. Transformaciones de Lorentz para la posición y el tiempo 19. Transformaciones de Lorentz para la velocidad. 20. No invariancia de la aceleración.


21. Simultaneidad.

22. Intervalo.




EXPERIMENTAL


26. Trabajo en relatividad.


28. Energía en reposo.




INTRODUCCION

El estudio de la luz ha interesado desde siempre a la humanidad, pero un problema era

medir la velocidad con que ella se desplaza, se sabía que era muy grande y en ciertas

ocasiones se decía que podía ser infinita. Otro inconveniente se refería a establecer,

entendiendo la luz como una onda, en que medio se propagaba y por eso apareció la

hipótesis del "éter". Experimentalmente, (Michelson-Morley) se comprobó que esta

velocidad no se distinguía de un sistema de referencia a otro y se descartaba la hipótesis

del éter. Sin embargo, el postulado de la constancia de la velocidad (que se estudiará más

adelante) traería bastantes complicaciones y contradicciones con la mecánica clásica. A

la rama que estudia este tema se le da el nombre de la teoría especial de la relatividad.

El capítulo comienza con la definición y explicación de los sistemas inerciales de

referencia, después se deducen las transformaciones de Lorentz de las coordenadas y de

la velocidad para llegar a algunas consecuencias como son: la contracción de los cuerpos

y la dilatación del tiempo, a continuación se trabaja con los conceptos de cantidad de

movimiento relativista y energía relativista, llegando a la formula de Einstein que relaciona

la masa con la energía. Para finalizar se explica el experimento de Michelson Morley.



16. Sistemas inerciales de referencia

El fin de cualquier problema de la mecánica es hallar el movimiento de un cuerpo respecto

a uno u otro sistema de referencia y determinar las causas que originan dicho movimiento.

Se considera un sistema de referencia inercial a aquel sistema donde el cuerpo de

referencia está totalmente aislado o sea sobre el que la interacción resultante con los

demás cuerpos es cero. Si un sistema de referencia se mueve respecto a un sistema de

referencia inercial con velocidad constante (es decir, en un movimiento rectilíneo

uniforme) entonces este sistema de referencia también es inercial. Las leyes de Newton

se cumplen únicamente para los sistemas de referencia inerciales.

17. Postulados de relatividad

Cuando los cuerpos se mueven con velocidades cercanas a la velocidad de la luz, la

mecánica newtoniana ya no es válida, sin embargo la definición de sistema inercial si se

mantiene. El reemplazo de la mecánica newtoniana es la mecánica relativista (creada por

Einstein en 1905) con ayuda de dos postulados:

Principio de Relatividad de Einstein:

Todas las leyes de la naturaleza son equivalentes en todos los sistemas inerciales de

referencia. (Este principio es la generalización del principio de Galileo para la mecánica).

Aquí se incluyen los fenómenos electromagnéticos, los ópticos y demás. Esto quiere

decir, por ejemplo que si se escriben las ecuaciones que expresan las leyes de la

naturaleza en un sistema inercial de referencia, entonces al cambiar a otro sistema de

referencia inercial esta ecuación debe ser de la misma forma en el nuevo sistema de

referencia con relación a la transformación de las coordenadas y el tiempo.

Principio de constancia de la velocidad de la luz:


La velocidad de la luz en el vacio es igual en todos los sistemas inerciales de referencia y

no depende del movimiento de las fuentes y receptores de la luz.

Este último postulado, se podría deducir del primero ya que la ecuación de onda de donde

se desprende la velocidad de propagación de la luz (considerando la luz como una onda

electromagnética), no depende del sistema de referencia sino de las propiedades

electromagnéticas de dicho medio, sin embargo Einstein lo considero tan importante que

lo dejo como un nuevo postulado, ya que este postulado va en contra de la absolutez del

tiempo y por el contrario muestra que el tiempo, así como la simultaneidad de sucesos es

relativo.


Para explicar lo anterior, tomemos dos cuerpos y ' que tienen relojes y son los

orígenes de dos sistemas inerciales de referencia, como muestra la figura. Supongamos

que el cuerpo ' se mueve a velocidad constante dirigida a lo largo de la recta que

une sus centros. Consideremos adicionalmente dos nuevos cuerpos A y B que están a la

misma distancia de ' y que se mueven rígidamente con la misma velocidad de '. Si de

' emitimos un rayo de luz, como la velocidad es c, este rayo de luz llega de forma

simultánea a los cuerpos A y B respecto a '.

La situación cambia para , como los cuerpos A y B se mueven junto con ', entonces

los cuerpos se mueven con la velocidad y la luz también según este postulado se

mueve con la misma velocidad c, por eso la luz alcanzaría primero a A que a B, es decir

t_A<t_B y los sucesos dejan de ser simultáneos. Con lo cual se aprecia, que el tiempo y la

simultaneidad dependen del sistema de referencia.

Este postulado estaría negando la validez de la mecánica newtoniana, en especial por

dos hechos:

El tiempo resulta ser relativo, según Newton el tiempo era absoluto.

Las transformaciones de Galileo, al pasar de un sistema de referencia a otro deben cambiarse, en especial la de la velocidad:

y de hecho si esta no se cumple, la aceleración no sería la misma al pasar de un

sistema de referencia a otro y la segunda ley de Newton escrita de la forma

no sería invariante, es decir escrita de la misma forma respecto a

los dos sistemas de referencia.


18. Transformaciones de Lorentz para la posición y el tiempo

Supongamos dos sistemas de referencia y ’, donde ’ se mueve con velocidad

constante a lo largo del eje de las x, como se muestra en la figura:

El movimiento de ’ respecto a sería: mientras que el movimiento de es

. Las transformaciones de las coordenadas son lineales debido a la

propiedad de homogeneidad del espacio y del tiempo, dicha propiedad establece que

todos los puntos del espacio y los instantes de tiempo son equivalentes.

Supongamos que y=0 debe coincidir con el plano y'=0 y de la misma forma para z=0 y

z'=0; por eso y=y' y z=z'.


Las transformaciones de las otras coordenadas deben ser de la forma:

x=ax'+bt'

t= cx'+dt'

La coordenada del origen en los dos sistemas de referencia es: x=0 y x'=- v_0 t', con lo

cual se obtiene x'+v_0t'=0, y entonces la expresión para x toma la forma:

.

Con los mismos razonamientos para ’ se llega a que

,

donde tiene el mismo valor en los dos sistemas inerciales de referencia, ya que estos

son equivalentes; se pueden escribir estas ecuaciones en la forma:

Emitamos un rayo de luz en la dirección de las x, para los dos sistemas de referencia

tendríamos: x=ct y x'=ct'; al remplazar estos valores en la formula anterior obtenemos:


Si multiplicamos las dos expresiones de la formula {eq:translineales3} obtenemos:

, simplificando por tt' y despejando :

Reemplazando el valor de en la ecuación {eq:translineales2} se tiene la transformación

de Lorentz para la coordenada x:

Para hallar la transformación del tiempo t, reemplazamos en la expresión de x' de la

formula {eq:translineales2} la expresión {eq:transx}, obteniendo:

Dejando a un solo lado el término que contiene t:


Cambiando el signo, despejando el tiempo y factorizando x':

Se comprueba al reemplazar el valor de que

por eso finalmente se obtiene para el tiempo:

Si designamos a

y si en lugar de utilizar las variables t y t' utilizamos ct y ct' las ecuaciones se pueden

escribir como:


A las transformaciones dadas por la formula anterior se les da el nombre de

transformaciones de Lorentz para las coordenadas.

19. Transformaciones de Lorentz para la velocidad

A partir de las anteriores transformaciones, se puede deducir las transformaciones de la

velocidad. Consideremos un cuerpo que se mueve en el eje de las x en el sistema de

referencia y por supuesto en el sistema de referencia ' también en x', con las

respectivas velocidades

y

.

Nos interesa calcular como la velocidad v se halla en términos de v'. Para esto,

comencemos con las ecuaciones {eq:transx} y {eq:transt}, pero calculando los

diferenciales, las variables x, t, x' y t' son independientes, por eso, solamente se

reemplazan dichas variables por sus diferenciales a saber:


Si dividimos las dos relaciones de la formula y simplificando por la raiz del denominador

de cada diferencial, obtenemos:

Dividiendo el numerador y el denominador por dt', llegamos a:

Esta última fórmula se puede escribir como:


EJEMPLO: Considere que en el sistema de referencia ’ se envía un rayo de luz en la

dirección de las x' que tiene una velocidad v'=c. Aplicando la ecuación {eq:transv}

compruebe que la velocidad de este rayo en el sistema también es igual a v=c.

La ecuación para el caso de v'=c queda como:

Simplificando por c se tiene:

Comprobando el hecho que la velocidad de la luz no depende del sistema de referencia.

EJEMPLO: Compruebe que la transformación de Galileo es un caso particular de la

transformación de Lorentz para la velocidad cuando .

La ecuación de la transformación de la velocidad se escribe considerando

como:


Ya que entonces el denominador tiende a 1 debido a que siempre es un valor

finito. El resultado es:

La conocida transformación de Galileo para las velocidades.

20. No invariancia de la aceleración

Una consecuencia de la mecánica clásica es que la aceleración que se determina a partir de la segunda ley de Newton, no varía (es decir es invariante) si se cambia de un sistema inercial de referencia a otro. Sin embargo, esto no se cumple para la relatividad, y se puede explicar de la misma forma como se calculo la transformación de las velocidades. Se comienza con escribir las ecuaciones de los diferenciales de las variables respecto a los dos sistemas:

Escribimos luego la definición de la velocidad y dividimos en :

Y da como resultado:


Si escribimos la definición de la aceleración, para los dos sistemas:

Y

Podemos por analogía concluir que las dos aceleraciones no son iguales, las expresiones

resultan ser más complejas que para las velocidades.

De esta forma, concluimos que:


21. Simultaneidad

Consideremos dos sucesos que en un sistema de referencia ocurren al mismo tiempo

pero en diferentes lugares, es decir que

Pero


Es decir tenemos dos sucesos simultáneos.

A partir de las transformaciones de Lorentz y de los diferenciales de las coordenadas:

Observamos que para los otros sistemas de referencias los dos sucesos no ocurren en el

mismo tiempo, ya que

Con lo cual, se concluye que la simultaneidad es relativa.

22. Intervalo

En el espacio cuatridimensional donde adicional a las coordenadas x, y y z, se involucra

el tiempo, cada punto se le denomina acontecimiento. Un mismo acontecimiento respecto

a dos sistemas de coordenadas diferentes tiene entonces diferentes coordenadas:

Y


Dos acontecimientos cercanos, dejando tendrán entonces la

siguiente relación los diferenciales:

Vamos a definir el intervalo entre los acontecimientos en cada sistema de referencia

como:

Y

La particularidad de esta función es que al reemplazar los valores de los diferentes

diferenciales para hallar en términos de , obtenemos que:

Con lo cual se puede decir que el intervalo es invariante respecto al cambio de un

sistema de referencia a otro. Si por ejemplo, para un sistema el intervalo al cuadrado ess

positivo entonces en todos los demás sistemas de referencias también será positivo.

El intervalo por lo tanto, se puede considerar como la “distancia” entre dos

acontecimientos.



Tenemos como en los casos anteriores, dos sistemas inerciales de referencia uno fijo

y otro movil ’ que se mueve a velocidad constante a lo largo del eje de las x.

Supongamos que tenemos una barra que se mueve junto con el sistema ', respecto a

este sistema de referencia la longitud de la barra es l0=x'2-x'1; donde x'2 y x'1 son las

coordenadas de el punto final y del inicial de la barra, como se muestra en la figura

{fig:sistemasreferencia3}; estas coordenadas no cambian con el tiempo, ya que la barra

respecto al sistema ' se encuentra en reposo. Para medir la longitud l de la barra en el

sistema , es necesario tomar las coordenadas de los extremos de la barra: x2 y x1 en el

mismo tiempo: t2=t1=t.

Las transformaciones de Lorentz calcula las coordenadas del sistema fijo respecto al

movil, pero debemos aplicar las transformaciones inversas, es decir dar las coordenadas

del sistma movil en términos del sistema fijo, a estas las llamaremos las transformaciones

de Lorentz inversas:


Si utilizamos las transformaciones inversas de Lorentz para hallar x'2 y x'1, es decir:

Y calculando l0, restando las dos anteriores ecuaciones:

Así la longitud de la barra en el sistema es:

De esta forma, como:


entonces .

Los cuerpos que se mueven (la barra se mueve respecto a ) tienen una longitud en

dicho sistema de referencia menor que la longitud en el sistema de referencia donde

estuvieran quietos. A este fenómeno se le llama contracción en la dirección del

movimiento de los cuerpos. Cuando entonces , y este fenómeno es

despreciable; pero cuando , la longitud .

La contracción solamente se da en la dirección del movimiento.

EJEMPLO: Una barra mide 1m cuando se encuentra en reposo, calcule la longitud

cuando se mueve con una velocidad en la dirección de la barra con una rapidez de:

a)

b)

c)

Para resolver este ejercicio utilizamos la formula para la contraccion, calculamos en cada

caso el valor de y reemplazamos que l=1m, con lo cual nos da:


a)

b)

c)

EJEMPLO: Qué velocidad deberá tener un cuerpo respecto a un sistema de referencia,

para que la longitud medida en este sistema de referencia sea la mitad de la longitud

cuando está quieto?

Apliquemos la formula de la contracción, pero utilizando el enunciado del problema donde

obtenemos:

Simplificando por l0:


Dando:


Consideremos como anteriormente dos sistemas inerciales de referencia uno fijo y

otro movil ' que se mueve a velocidad constante a lo largo del eje de las x. En el

sistema ' tiene lugar dos acontecimientos de una partícula en el mismo punto x', pero en

un intervalo de tiempo

Estos acontecimientos respecto a , ocurren en diferentes posiciones y y por

supuesto en diferentes tiempos y . Calculemos el intervalo de tiempo transcurrido

en el sistema .

Utilizamos las transformaciones de Lorentz pero para el tiempo en el sistema :

y


Al restar la segunda menos la primera y simplificando los términos que contienen x' como

también por c:

Por lo tanto:

Y como es evidente:

LLamemos a el tiempo propio, ya que es el tiempo que mide la partícula con un reloj

que se mueve con dicha partícula, es decir con reloj donde el cuerpo está quieto

. es el tiempo medido por un reloj respecto a un sistema de referencia

donde la partícula se mueve con una velocidad . Por esto, el reloj en movimiento ( )

es más lento que el quieto.


La formula anterior determina este fenómeno, al que se le da el nombre de "Dilatación

del tiempo".

EJEMPLO: Un reloj se mueve con un objeto, para cada segundo medido con este reloj

calcule el tiempo que marcan los relojes en un sistema de referencia, respecto a los

cuales el objeto se mueve con una velocidad en la dirección del eje de las x con una

rapidez de:

a)

b)

c)

Para resolver este ejercicio utilizamos la formula {eq:dilataciontiempo}, calculamos en

cada caso el valor de y reemplazamos que con lo cual nos da:

a)

dando como resultado:

b) entonces


c) y


EXPERIMENTAL


Si utilizamos la expresión clásica de la cantidad de movimiento donde m, la

masa no depende del movimiento, se encuentra que no se cumple el principio de

conservación de la cantidad de movimiento, al pasar de un sistema de referencia a otro.

Revisemos lo anterior con más detalle:

Consideremos un choque inelástico de dos cuerpos iguales que se mueven uno al

encuentro del otro, con la misma rapidez el resultado es que se quedan quietos, la

velocidad final es cero, ya que se conserva la cantidad de movimiento. Pero cambiemos a

un sistema de referencia que se mueve con una velocidad dejando al primer cuerpo

en reposo. El segundo cuerpo se moverá respecto a este sistema de referencia según la

ecuación:


donde :

Como resultado después del choque, las partículas se moverán con la velocidad ,

con lo cual se puede concluir que o no se cumple el principio de conservación de la

cantidad de movimiento al pasar de un sistema de referencia a otro contradiciendo el

postulado de la relatividad, o que la expresión clásica de la cantidad de movimiento debe

ser cambiada. Es claro, que nos tenemos que ir por esta segunda conclusión.

Se puede demostrar que la cantidad de movimiento relativista se puede escribir como:

donde es invariante y se llama la masa propia del cuerpo, es decir la masa del cuerpo

respecto a un sistema de referencia donde este no se mueve. También la ecuación

{eq:cantidadrelativista} se puede escribir como:


Definiendo:

como la masa relativista.

26. Trabajo en relatividad

La segunda ley de Newton es invariante respecto a las transformaciones de Lorentz si por

la cantidad de movimiento se entiende la ecuación {eq:cantidadrelativista} en la forma:

La segunda Ley de Newton de la forma:

ya no es invariante.

Calculemos el trabajo infinitesimal que realiza dicha fuerza resultante y como en el caso

clásico es igual al diferencial de la energía cinética, a saber:


Reemplacemos el valor de la fuerza resultante y de la cantidad de movimiento :

Simplificando por d t obtenemos:


Esta expresión entonces se puede escribir como:


Recordando que entonces:

Factorizando tenemos:

Simplificando:

Multiplicando y dividiendo el lado derecho entre :


y sustituyendo tenemos:

lo cual nos da:

Introduciendo dentro del diferencial y reemplazando el valor de x:

Obtenemos que la energía cinética vale:

El valor de la constante Cte la hallamos considerando que la energía cinética es cero

cuando la velocidad es cero v=0, con lo cual:


y por eso:

EJEMPLO: Compruebe que la Energía cinética relativista es para el caso particular la

misma energía cinética clásica: .

La ecuación para la energía se escribe considerando como:

Ya que entonces tiende a

con lo cual el resultado es:

la conocida expresión para la energía cinética.


28. Energía en reposo

La Energía total de una partícula es la suma de la energía cinética y la energía de la

partícula en reposo que es igual a dando la famosa ecuación de Einstein, que

relaciona la masa y la energía:

O lo que es lo mismo:


En 1887 Michelson y Morley realizaron un experimento que pretendía comprobar la

existencia del éter, y de paso determinar la velocidad de la luz respecto a dicho medio.

Para esto se utilizo un instrumento óptico muy preciso, llamado interferómetro, el cual

mide la fase o el desfase con que llegan dos ondas coherentes a un mismo punto


produciendo el fenómeno de interferencia de las ondas. Con esto, se puede hacer

variadas mediciones.

La anterior figura muestra un esquema del interferómetro. Un espejo semiplateado divide

el haz incidente de la luz en dos haces que viajan en direcciones perpendiculares y a la

vez son coherentes, tienen el mismo origen de un haz inicial. La onda de luz de cada haz

tiene una diferencia constante de fase con la otra onda del otro haz. Estos dos haces son

reflejados por espejos plateados y luego regresan al observador por el espejo

semiplateado. Si los dos haces recorren trayectorias ópticas iguales llegarán en fase y

producirán interferencia constructiva. Si la trayectoria es incrementada para un haz, estos

llegan cada vez con diferente fase y la intensidad disminuye debido a la interferencia

destructiva. Si un espejo se mueve una distancia de su posición original los dos haces

quedan completamente fuera de fase y la intensidad es cero. Se introduce también una

placa compensadora para que los dos haces recorran el mismo espesor de cristal.


En el experimento se planteaba que si la Tierra se mueve a través del éter, un

observador debería poder detectar una diferencia en la velocidad de la luz en distintas

direcciones. Por eso ellos trataron de observar cambios en la velocidad de la luz a lo largo

de una determinada trayectoria a medida que cambiaban la dirección del interferómetro

haciéndolo girar, una diferencia relativa en la velocidad de la luz sería indicada por

cambios en la brillantez de las franjas de interferencia.


Existen partículas que se mueven con la velocidad de la luz, sin embargo para ellas la

expresión de la energía es:

Si entonces la energía sería infinita, a menos la masa en reposo sea cero.

Así, una partícula que tenga la velocidad de la luz no tiene masa en reposo, es decir si la

partícula se detiene no existiría ya que no tiene masa.

Para hallar la energía, tenemos que desarrollar la indeterminación .

Escribamos la expresión para la cantidad de movimiento:

Elevemos al cuadrado y quitemos el denominador, es decir:


O

Factorizando

Despejemos la velocidad al cuadrado de esta ecuación:

y reemplazándola en la ecuación de la energía:

Simplificando el denominador:

Haciendo la resta en el denominador y simplificando:

hallamos que se cumple la siguiente expresión:


En esta expresión si se puede anular la masa en reposo y se concluye que la energía de

estas partículas es igual al producto de la cantidad de movimiento por la velocidad de la

luz.


PROBLEMA 1.

Como se estudiara en el capítulo 3, un fotón es una partícula de masa en reposo nula

que se mueve con la velocidad de la luz en el vacío y tiene una energía proporcional a la

frecuencia es decir: E=h . Donde h es una constante de proporcionalidad llamada

constante de Planck y es la frecuencia. a) Explique por que la energía de esta partícula

no es cero. b) Calcule la magnitud de la cantidad de movimiento relativista p en función

de la longitud de onda .

PROBLEMA 2.

Compruebe que la energía relativista de cualquier cuerpo de masa en reposo m0 que se

está moviendo con una magnitud de la cantidad de movimiento p está dada por la

expresión:

PROBLEMA 3.


Muestre que la razón de la energía cinética relativista sobre la

expresión aproximada de esta dada por:

donde

PROBLEMA 4.

Muestre que la densidad de masa de un cuerpo en forma de cubo, que se mueve a la

velocidad v en una dirección paralela a uno de los bordes es:

donde V0 es el volumen de reposo y m0 es la masa de reposo.


PROBLEMA 5.

La carga eléctrica es una invariante relativista, es decir que no cambia al pasar de un

sistema de referencia a otro. Pero la densidad de carga si cambia, ya que las dimensiones

en la dirección del movimiento varían. Calcule la densidad de carga lineal que tiene un

alambre respecto a un sistema de referencia que se mueve con una velocidad v en la

dirección del alambre, si respecto a un sistema de referencia donde el alambre esta quieto

vale 0, como se muestra en la figura {fig:sistemasreferencia4}


UNIDAD III:

Nombre de la Unidad ESTUDIO ESTADISTICO DEL MODELO DEL

ATOMO

Introducción Se estudiaran los conceptos más básicos acerca de los cambios de la teoría clásica a la cuántica.

Justificación La interpretación de la estructura de la materia, en esencial la explicación del modelo del átomo ha servido en el desarrollo de la ingeniería y la tecnología.


Que el estudiante pueda comprender el cambio significativo que sufrió la Física en relación con la constitución de la materia y la cuantización de la energía.


Capítulo 6. Modelos clásicos del átomo y estadística. Capítulo 7. Espectros atómicos y postulado de Planck Capítulo 8. Aplicación e introducción a la mecánica cuántica.


31. Átomo de Thomson, 32. Teoría cinética. 33. Probabilidad 34. Átomo de Rutherford





38. Ley de Wien

39. Fórmula de Rayleigh-Jeans.

40.La catástrofe Ultravioleta.


CAPITULO 8: APLICACIÓN E INTRODUCCION A LA MECANICA CUANTICA


43. Conclusiones de Efecto fotoeléctrico.

44. Modelo de Bohr



INTRODUCCION:

El inicio de la Física Cuántica se remonta a un trabajo titulado: "La teoría de la ley de

distribución de energías del espectro normal" de Max Planck en 1900. Fue necesario

introducir cambios en la Física clásica por la contradicción sistemática de las leyes

clásicas con los fenómenos observados, muy similar al caso de la relatividad, pero estas

contradicciones se presentaron con una mayor frecuencia. Aparecieron situaciones con la

luz, donde el carácter de Onda electromagnética no explicaba la situación como es el

caso de la radiación térmica, del efecto fotoeléctrico, etcétera. La física cuántica

representa una generalización de la física clásica pero a las regiones de dimensiones

pequeñas. En un estudio formal de los modelos de los átomos, siempre se llegará al valor

de la constante de Planck h=6,6 10-34 Js y a la forma en que se introdujo dicha

constante. En este capítulo se comenzará con modelos clásicos del átomo, pero se harán

evidentes las mencionadas contradicciones con la luz y tendremos que llegar a modelos

cuánticos y terminaremos con la ecuación fundamental de la mecánica cuántica: la

ecuación de Schrödinguer, dejando el tratamiento de la función de onda para un curso

posterior de Mecánica Cuántica.



31. Átomo de Thomson

Para 1898 Thomson había descubierto el electrón y desde entonces apareció variada

evidencia experimental, que indicaba que los átomos contenian electrones que eran

partículas de masa en reposo muy pequeña de valor me=9,1 10-31 kg y con una carga

elemental igual a e=1,6 10-19 C. Además como los átomos regularmente son neutros,

deberán contener una carga positiva igual en magnitud a la carga negativa de los

electrones. El problema era saber cómo era la distribución dentro del átomo de estas

cargas. Thomson propuso un modelo conocido como "pudín de ciruela”. El átomo como él

lo describía, era un pudín de ciruela positivo en el cual estaban incrustadas uvas pasas de

electrones negativos, de tal forma que las dos cargas se compensarán. En otras palabras,

el modelo era que los electrones cargados negativamente estaban localizados dentro de

una distribución continúa de carga positiva.

Se suponía que la distribución de carga positiva era esférica con un radio de orden de

magnitud de 10-10 m que era el valor admitido para un átomo. Los electrones como se

repelen se deberían distribuir uniformemente en la esfera (como lo muestra la figura

{fig:thomson} ). Los electrones deberían estar fijos en sus posiciones de equilibrio, en el

caso en que el átomo se encuentre en su estado de energía más bajo. Si se excita el

átomo, los electrones deberían oscilar alrededor de dichas posiciones de equilibrio. Ya

que la teoría electromagnética clásica predice que un cuerpo cargado acelerado emite

radiación electromagnética, entonces los electrones oscilando tenían emisión de

radiación. Así de forma cualitativa se explica dicha radiación, sin embargo, existen

diferencias con los espectros observados experimentalmente.


EJEMPLO: Suponga que se tiene un electrón en una esfera de distribución de carga

volumétrica Calcule la frecuencia de oscilación de dicho electrón si el punto de

equilibrio es el centro de la esfera. El radio atómico tiene un valor de

r=1,0 10-10 m.

El valor de la densidad de carga es: el campo eléctrico de una distribución

uniforme de carga es: donde r'<r es la posición donde se encuentra el electrón.

La fuerza vale: esta fuerza es igual a

entonces nos queda:


donde se puede escribir como:

Ecuación de la misma forma que la ecuación del MAS, donde

y la frecuencia lineal

También se puede calcular la longitud de onda:

El hecho de que el átomo de Hidrogeno de Thomson tenga solamente una frecuencia de

radiación característica esta en contraposición con el gran número de frecuencias

diferentes que se observan en el átomo de Hidrogeno.


EJEMPLO: Calcule el radio que debe tener el átomo de hidrogeno, si este emite en la

región visible del espectro una onda con una longitud de onda

.

Se vuelve a utilizar la expresión para calcular la frecuencia:

Y se calcula dando como resultado:

Como además se despeja :

y

entonces se despeja r:


Obteniendo finalmente:

32. Teoría cinética

El anterior resultado en lo que respecta al orden de magnitud se utiliza en la teoría

cinética y aquí radica su importancia.

Se puede trabajar los átomos con este modelo para estudiar por ejemplo el

comportamiento de grandes conjuntos o asociaciones de átomos, como es el caso de un

gas. El estudio de los gases se puede hacer con ayuda de la estadística.

En particular, el problema de la estadística se dedica a encontrar como se distribuye la

energía entre las n partículas que constituyen un sistema físico.

33. Probabilidad

Para esto se utiliza el postulado de la mecánica estadística:

Entre los varios estados de un sistema accesibles a las partículas todas las distribuciones

de estas son igualmente probables.


Estas funciones de distribución nos informan sobre el número promedio de partículas en

un estado cualquiera de energía así como también de la energía promedio, etcétera. Se

utilizan tres diferentes distribuciones, dependiendo de las características que se le

impongan a las partículas, estas son: Distribución de Maxwell-Boltzmann, Estadística

Bose-Einstein y la estadística Fermi-Dirac. Nos interesará por el momento la distribución

de Boltzmann:

El gas está conformado por partículas (átomos) idénticas pero distinguibles y las n

moléculas que cumplen dos principios clásicos de conservación (por esto, se llama

estadística clásica):

El número de partículas es constante, es decir:

donde es el número de partículas en el i-esimo estado de energía.

La conservación de la energía total del sistema:

donde es la energía asociada al i-esimo estado del sistema.

El número de formas estadísticamente independientes en que n partículas distinguibles se

pueden distribuir entre los estados de energía del sistema, excluyendo cualquier posible


degeneración de los estados (que dos o más estados puedan tener la misma energía)

está dada por:

El estado de equilibrio lo determina el requisito de encontrar cual de las distribuciones

posibles tiene la máxima probabilidad de ocurrir. Los valores serán nuestras

variables y se buscara los posibles valores de estos para que la función tenga un máximo

imponiendo como condiciones los principios de conservación, mencionados

anteriormente. Para esto se utilizará el método de los multiplicadores de Lagrange, según

el cual para calcular el máximo o mínimo de una función f sujeta a cierto número de

restricciones, es necesario definir una nueva función f' que incluya la función que se

desea maximizar y tantos multiplicadores indeterminados multiplicando las respectivas

restricciones haya. Se igualan a cero las derivadas parciales de esta función y finalmente

se resuelven estas ecuaciones junto con las ecuaciones de restricción para encontrar las

variables y los multiplicadores indeterminados:

Inicialmente por sencillez calculemos la función f como el logaritmo de

y las restricciones son $, por lo

tanto la función f' será:

donde 1 y 2 son los multiplicadores de Lagrange.

Debemos después tomar todas las derivadas parciales e igualarlas a cero:


para todos los valores . Las derivadas parciales de los dos últimos términos

son distintas de cero solamente si: j=i entonces:

Utilizaremos la formula de Stirling : ln x! ≈ x ln x - x valida para x>>1, esto con el fin de

simplificar la expresión que nos falta derivar con lo cual:

Sustituyendo:

Con lo cual llegamos a:


o lo que es lo mismo:

Despejando :

Reemplazando esta expresión para el número total de partículas tenemos:

La probabilidad de encontrar partículas en el nivel de energía es:

Llamando como la función de partición y designando a

encontramos que:


A esta ecuación se le da el nombre de distribución Maxwell-Boltzmann, donde k=1,38 10-23 J/K es la constante de Boltzmann y T la temperatura en la escala absoluta de Kelvin.

34. Átomo de Rutherford

En 1911, Ernest Rutherford a partir de los experimentos de dispersión de partículas a

través de láminas delgadas comprobó la invalidez del modelo de Thomson, se encontró

que la carga positiva está confinada en una región muy pequeña del átomo, descubriendo

el núcleo atómico. Las partículas son átomos de He doblemente ionizados es decir,

sin dos electrones. La fuente radioactiva se encuentra al frente de las láminas delgadas,

como el haz de partículas está muy centrado, dichas partículas atraviesan la lamina casi

sin pérdida de velocidad, pero si cambian de dirección debido a la interacción de Coulomb

entre las partículas y los átomos de la lamina. De esta forma el haz que era paralelo

será divergente en diferentes direcciones, dependiendo de la cercanía de cada partícula

con el átomo. Se encontró que incluso algunas partículas eran dispersadas ángulos

mayores a , con lo cual Rutherford exclamo: "`Es tan sorprendente como si un artillero

disparara a una hoja de papel y por una u otra razón el proyectil regresará"'.


Rutherford sugirió el modelo planetario (mostrado en la figura {fig:rutherford}), donde el

átomo consiste de un núcleo muy pequeño pero masivo (del orden de 10-14 m) que tiene

una carga positiva Ze, donde Z es el número atómico. Alrededor de esta región central

están localizados los electrones Z del átomo neutro. El diámetro de un átomo es alrededor

de 10-10 m. Los electrones estarán en movimiento ya que si no fuera así, estos caerían al

núcleo, por eso, los electrones se sugiere que tienen orbitas circulares o elípticas.

Estudiemos el átomo más sencillo, que es el de hidrógeno. La figura {fig:rutherford}

muestra el núcleo con un protón y un electrón girando alrededor de el núcleo en una

órbita circular de radio R. Despreciaremos el movimiento del protón, su masa es 1836

veces mayor que la del electrón. La fuerza de interacción es la eléctrica, la gravitacional

es muy pequeña, y es:

donde R es el radio de la trayectoria. Esta fuerza se iguala a la masa por la aceleración

centrípeta dando:

Despejando mv2 para calcular la energía cinética:


Obtenemos:

La energía potencial respecto al infinito es:

Y la energía total resulta:

El signo menos significa que es un sistema cerrado o ligado.

La energía de enlace de un electrón se define como la mínima energía para retirar el

electrón del átomo, el valor experimental para el átomo de hidrógeno es 13,6 eV, donde 1

eV= 1,6 10-19 J. Reemplazando este valor en la expresión de la energía, da como valor

para el radio: R= 0,53 10-10 m, este radio concuerda con los valores obtenidos por

otras técnicas experimentales.

La frecuencia está relacionada con la velocidad según la expresión:


, así despejando la frecuencia tenemos:

y calculando la velocidad:

obtenemos:

Reemplazando el valor de R y los valores aceptados de m y de e, el resultado es: f =7 1015 Hz. Este valor concuerda con los valores obtenidos por otros métodos. Esto sin

embargo no comprueba la validez de este método, ya que de acuerdo con la

electrodinámica clásica, un cuerpo cargado que este acelerado emite continuamente

ondas electromagnéticas con lo cual, el electrón paulatinamente perdería energía y

estaría "`cayendo"' al núcleo, cambiando de orbitas y variando la frecuencia de forma

continua. Ninguno de los anteriores hechos se presenta, con lo cual se invalida este

modelo.



Los átomos emiten y absorben radiación con diferentes valores de longitudes de onda, lo

cual se analiza por medio de espectrómetros mostrando líneas espectrales, a esto se le


da el nombre de espectros atómicos. De forma experimental se conocía que hay dos tipos

de espectros: espectros de rayas que son líneas espectrales aisladas que se presentan

cuando los átomos no interactúan entre sí, y el espectro de bandas es cuando las líneas

espectrales tienen un arreglo regular espaciadas muy estrechamente, este tiene un origen

diferente al de rayas.

El estudio de los espectros de emisión sirvió de llave para la comprensión de la estructura

de los átomos. Las líneas de los espectros atómicos no están en desorden, se organizan

en series, esto se puede observar en el espectro del átomo de hidrogeno que es el más

simple, en la región visible y ultravioleta cercana.

El físico suizo Balmer (1885) descubrió que se puede expresar las longitudes de onda de

esta serie de líneas de hidrógeno exactamente por la formula:

donde 0 es una constante y n es un número entero que toma valores . Si se

pasa la formula {eq:balmer} para las frecuencias se obtiene:

donde R es una constante denominada de Rydberg en honor al espectroscopista sueco.

Esta constante tiene un valor de : R = 2,07 1016 s-1.

La anterior formula se denomina formula de Balmer y la serie correspondiente de las

líneas espectrales, se llama serie de Balmer. Con investigaciones posteriores se

descubrió que existen otras series que se pueden escribir por expresiones análogas estas

son:


Todas las series del espectro del átomo de hidrógeno pueden escribirse como:

donde m toma el valor de 1, para la serie de Lyman, 2 para la de Balmer y así

sucesivamente. Para un valor de m dado, n puede tomar todos los valores enteros

comenzando por m+1. Esta fórmula se llama fórmula generalizada de Balmer.

Al aumentar n, la frecuencia de las líneas en cada zona tiende a un valor límite igual a

, que se denomina umbral de la serie.

EJEMPLO: Calcule los umbrales de las series de Lyman, Balmer y Paschen; así como las

longitudes de onda respectivas.

Para las series mencionadas los valores de m son 1, 2 y 3. Por lo tanto, los umbrales son:


Serie de Lyman:

Correspondiendo una longitud de onda:

Serie de Balmer


Serie de Paschen:




La radiación de ondas electromagnéticas por los cuerpos puede realizarse por diferentes

tipos de energía, la más difundida es la radiación de calor, la cual es provocada por la

energía interna de los cuerpos. La radiación de calor tiene lugar a cualquier temperatura,

pero a bajas temperaturas se emiten solo ondas electromagnéticas largas (infrarrojas). La

radiación de calor es la única que puede encontrarse en equilibrio con los cuerpos

emisores, lo cual significa que si se rodeará al cuerpo emisor con una envoltura reflectora

ideal, solamente puede ocurrir un intercambio de energía entre el cuerpo y la radiación

que llena la envoltura dando como resultado que la distribución de energía entre el cuerpo

y la radiación permanecerá invariable para cada longitud de onda (este estado se llama

de equilibrio). La radiación de calor aumenta su intensidad con el incremento de la

temperatura y disminuye con el enfriamiento de los cuerpos, por eso si el cuerpo emite

más energía que la que absorbe disminuirá su temperatura lo que hace que emita menos

hasta que se iguale la cantidad de energía emitida con la absorbida. Como los principios

termodinámicos se aplican a los procesos y estados de equilibrio, entonces la radiación

de calor deberá obedecer ciertas leyes que surgen de los principios termodinámicos. Para

esto, daremos las siguientes definiciones:

Cuerpo negro: Cuerpo cuyas superficies absorben toda la radiación de térmica que incide sobre ellas.

Radiancia espectral o poder emisivo : es una función de distribución

respecto a la frecuencia lineal , ya que es igual a la energía

emitida en forma de radiación con frecuencias en el intervalo entre y + d de un área unitaria de la superficie a una temperatura absoluta T y por unidad de tiempo.

Radiancia : es la integral de la radiancia espectral para todos los

valores de , es la energía total emitida de un cuerpo negro a temperatura T, por unidad de tiempo y por unidad de área.


Capacidad de absorción del cuerpo : Es la relación entre el flujo de energía

absorbida por el cuerpo en la unidad de superficie y el flujo de energía que

incide en la unidad de superficie .

Es evidente que el cuerpo negro cumple para todas las frecuencias.

Densidad de energía espectral : energía contenida en la unidad de

volumen de la cavidad a temperatura T, en el intervalo de frecuencias entre y

+ d . Para calcular la densidad de energía se debe integrar esta densidad espectral por todos los valores de la frecuencia.

Existe una relación entre el poder emisivo y la capacidad de absorción de los cuerpos,

esta relación se conoce con el nombre de la ley de Kirchhoff y se explica de la siguiente

manera: Supongamos que tenemos varios cuerpos en el interior de una envoltura cerrada

mantenida a una temperatura T. Dentro de dicha envoltura, solamente se tiene un

intercambio de energía por medio de la radiación de calor, es decir por la emisión y

absorción de ondas electromagnéticas. La experiencia nos muestra que dicho sistema

alcanza el estado de equilibrio térmico al cabo de cierto tiempo, teniendo todos los

cuerpos la misma temperatura T. En este estado, el cuerpo que tenga un mayor poder

emisivo, perderá más energía en la unidad de superficie y en la unidad de tiempo, que

aquel que tenga uno menor. Ya que la temperatura no varía, aquel cuerpo que emita más

energía, deberá igualmente absorber más, de esta forma mientras mayor sea el poder

emisivo del cuerpo mayor será su capacidad de absorción.

De aqui resulta la relación:


donde los subindices 1, 2, 3, y demás, se refieren a los diferentes cuerpos.

Por lo anterior, la ley de Kirchhoff puede enunciarse como: La relación entre el poder

emisivo y la capacidad de absorción no depende de la naturaleza del cuerpo, sino que

para todos los cuerpos es una misma función universal de la frecuencia (o longitud de

onda) y de la temperatura:

Si reemplazamos en la ecuación {eq:kirchhoff} la capacidad de absorción del cuerpo

negro, encontramos que esta función universal es el poder emisivo del cuerpo negro. En

la naturaleza no existen cuerpos negros, pero se pueden elaborar dispositivos que se

acerquen al cuerpo negro y de esta forma experimentalmente se puede hallar el poder

emisivo, sin embargo a nivel experimental es mejor no utilizar la frecuencia sino la

longitud de onda.


La radiancia aumenta rápidamente a medida que la temperatura aumenta, la

dependencia de la radiancia con la temperatura se conoce con el nombre de ley de

Stefan y fue enunciada en 1879 de forma empírica como:


donde

es llamada constante de Stefan-Boltzmann.

38. Ley de Wien

La radiancia espectral o poder emisivo tiene un máximo para una determinada frecuencia

, la cual depende a su vez de la temperatura, si la temperatura aumenta dicha

frecuencia también aumenta de tal forma se puede escribir que

, si reemplazamos la frecuencia por medio de la longitud de onda obtenemos:

o lo que es lo mismo

max T=b= constante

La ecuación {eq:wien} se conoce como ley de desplazamiento de Wien, la constante b se

llama constante de Wien y tiene un valor determinado experimentalmente igual a b=2,90

10-3 mK.

La densidad de energía de la radiación en equilibrio uT depende de la temperatura y no

depende de las propiedades de las paredes de la cavidad, lo cual se demuestra por


consideraciones termodinámicas. A su vez esto se extiende a la densidad espectral de

energía .

La densidad de energía de equilibrio de la cavidad y la radiancia están relacionadas por la

expresión , igualdad que debe cumplirse para cada frecuencia obteniendo:

39. Fórmula de Rayleigh-Jeans

A comienzos del siglo pasado, Rayleigh y Jeans, calcularon la densidad de energía de la

radiación por una cavidad (cuerpo negro), que indicaba un serio conflicto entre la física

clásica y los resultados experimentales. Para frecuencias bajas la fórmula que se

deducirá a partir de consideraciones clásicas se acerca a los resultados experimentales,

pero a altas frecuencias, las discrepancias son abismales lo que se llamo la catástrofe

ultravioleta.

Para deducir dicha fórmula, comencemos por indicar que a partir de la teoría

electromagnética clásica la radiación en el interior de una cavidad debe existir en forma

de ondas estacionarias con nodos en las superficies y así procedemos a calcular el

número de ondas estacionarias que pueden estar en un recinto o volumen de lados a, b y

c, es decir V=abc en el intervalo de frecuencias hasta + d; después se utiliza la

teoría cinética para calcular la energía total promedio de estas ondas cuando el sistema

se encuentra en equilibrio térmico y por último al multiplicar el número de ondas

estacionarias por la energía promedio de las ondas y dividido entre el volumen de la

cavidad nos da la energía promedio por unidad de volumen en el intervalo de frecuencias

y +d dando la densidad de energía: y por supuesto y .

Cálculo del número de ondas estacionarias por unidad de volumen en la unidad de frecuencia:


Una onda estacionaria unidimensional en una región desde 0 hasta L, se da según la

ecuación {eq:estacionaria} y teniendo nodos en el extremo el número de onda se calcula

por la ecuación {eq:numeroonda}. Si designamos a=L y aplicando la ecuación

{eq:dispersion}, entonces tenemos que:

y para el caso de la frecuencia:

donde c es la velocidad de la onda, es decir la velocidad de la luz.

Si tenemos dos ondas: y , la diferencia n''-n' es el número de

ondas estacionarias donde los números de onda están en el intervalo

, comparando obtenemos:

y para la frecuencia:


Cuando el caso es en tres dimensiones, la onda estacionaria se escribe como:

donde aparecen tres valores , y , si las ondas están en el volumen

mencionado V=abc entonces estas magnitudes toman los valores:

donde: , y pueden tomar los valores

El vector de onda se define como:

la magnitud de dicho vector es el número de onda k, el cual esta relacionado con la

frecuencia por la expresión {eq:dispersion}.


Para el espacio k, con los ejes k_x, k_y y k_z, a cada onda le correspondería un punto en

el primer octante y a cada punto le correspondería un volumen , dando que el

número de puntos por unidad de volumen es , el número de ondas estacionarias que

tienen proyecciones del vector de onda en el intervalo desde hasta ; desde

hasta y desde hasta es:

El número de ondas estacionarias que tienen un número de onda desde k hasta k + d k es

igual a la cantidad de puntos que se encuentran en el primer octante de un caparazón

esférico de radio k y de grosor dk, por esto obtenemos:

De la misma forma, el número de ondas estacionarias para las frecuencias es:

Esta expresión es proporcional al volumen V, el número de ondas estacionarias por

unidad de volumen sería:


Si se tiene en cuenta que hay dos formas de polarización se obtiene al final de cuentas:

Para la frecuencia lineal se escribiría:

Cálculo de la energía promedio de un sistema en equilibrio térmico:

La energía de una onda puede tener cualquier valor desde cero hasta infinito y su valor es

proporcional al cuadrado de su amplitud, como se vio anteriormente; sin embargo, para un

sistema que contenga un gran número de entes físicos del mismo tipo, que se

encuentran a la misma temperatura T, la mecánica clásica hace una predicción sobre los

valores promedio de la energía de dichos entes, lo cual es aplicable en este caso, esta

predicción se llama ley de equipartición de energía, y dicha ley dice que un sistema tiene

una energía cinética que por cada grado de libertad le corresponde un valor de donde

k=1,38 10-23 JK y se le llama constante de Boltzmann. Una onda estacionaria tiene

una energía que es el doble de la energía cinética, por lo tanto la energía promedio de

una onda estacionaria es:


La ecuación {eq:energiapromedio} se puede deducir a partir de la distribución de

Boltzmann que se puedeescribir según la ecuación {eq:distriboltzmann}, donde la función

de partición se calcula dando como resultado Z=kT y entonces se puede reescribir la

distribución de Boltzmann en la forma:

donde es la probabilidad de encontrar al sistema con una energía en el intervalo

y . El valor medio de la energía se halla por:

Cálculo de la densidad espectral de energía de radiación y del poder

emisivo :

La energía por unidad de volumen en el intervalo de frecuencias y + d del

espectro de cuerpo negro de una cavidad a temperatura T, simplemente se halla

multiplicando la energía promedio de cada onda estacionaria (ecuación

{eq:energiapromedio}) por el número de ondas estacionarias en el intervalo de

frecuencias en la unidad de volumen (formula {eq:numeroondasestacionarias}), dando

como resultado:


Para hallar el poder emisivo utilizamos la formula {eq:densidadespectral} dando como

resultado:

Las expresiones {eq:formularayleigh1} y {eq:formularayleigh2} se denominan fórmula de

Rayleigh-Jeans.

40. La Catástrofe ultravioleta

Al integrar la expresión {eq:formularayleigh1} para hallar la densidad de energía de

equilibrio respecto a todas las frecuencias desde 0 hasta infinito nos da:

Este resultado como se dijo anteriormente fue denominado catástrofe ultravioleta, estando

en contradicción con el experimento, ya que el equilibrio entre la radiación y el cuerpo

emisor se establece para valores finitos de la densidad de energía .



Para resolver la discrepancia entre la teoría y el experimento, Planck consideró que se

podía violar la ley de equipartición de energía, la fórmula de Rayleigh

{eq:formularayleigh1} o {eq:formularayleigh2} es satisfactoria para bajas frecuencias pero

para altas frecuencias la energía promedio debe tener un corte, es decir cuando

el valor de la energía promedio debe tender a cero , lo cual en últimas quiere decir

es que la energía promedio debe ser función de la frecuencia , lo cual contrasta con

la equipartición de energía que le asigna el mismo valor a todas las frecuencias.

Planck se dio cuenta que podía encontrar el corte para le energía promedio si modificaba

el cálculo para calcular la energía promedio o sea la ecuación {eq:calculoequiparticion},

considerando que la energía fuera una variable discreta en lugar de continua. Con lo

cual en lugar de integrales se debe sustituir es por sumas. Planck supuso que la energía

podía tomar ciertos valores discretos distribuidos uniformemente, es decir tomo que:

como el conjunto de valores permitidos para la energía.

El intervalo entre valores sucesivos era: .

Este valor puede determinar el valor promedio de la energía, de tal forma que si

, el resultado obtenido es el clásico es decir si se dierá el caso en

que se halla que .

El primer resultado es para frecuencias pequeñas y el segundo es para frecuencias

grandes, entonces Planck supuso que la relación entre y la frecuencia sea lineal o

proporcional, es decir , escrita esta relación en forma de igualdad nos da:


donde h es la constante de proporcionalidad, llamada por supuesto constante de Planck.

Dicha constante tiene un valor experimental igual a:

h= 6,63 10-34

Js

La energía entonces puede tomar los valores:

donde

La energía media se puede escribir aplicando la ecuación {eq:calculoequiparticion}, pero

en lugar de integrales se utilizan sumas es decir:

Aplicando la ecuación {eq:distriboltzmann} de la distribución de Boltzmann con los

valores permitidos de la energía en la ecuación {eq:calculoequiparticion2} obtenemos:


donde

esta ecuación se transforma en:

La suma se puede hallar como:

transformando la ecuación en:


El resultado que se obtiene para la densidad de energía en el espectro del cuerpo negro,

es:

La fórmula {eq:formulaplanck} es el espectro del cuerpo negro, sin embargo es muy útil

dar dicha expresión en términos de la longitud de onda, recordando que y por lo

tanto: , podemos reemplazar lo anterior en la expresión:

y despejamos

obteniendo:

A partir de la fórmula de Planck se pueden obtener la Ley de Stefan y la Ley de

desplazamiento de Wien, como se puede observar en la figura:


Debe recordarse que Planck no alteró la distribución de Boltzmann, solamente consideró

que la energía de las ondas electromagnéticas estacionarias, oscilando senoidalmente en

el tiempo, es una cantidad discreta en lugar de ser continua. El postulado de Planck se

puede enunciar como:

Cualquier ente físico con un grado de libertad que realiza oscilaciones armónicas simples

sólo puede tener energías $\varepsilon$ que satisfacen la relación

donde es la frecuencia de la oscilación y h es una constante universal.


CAPITULO 8: APLICACIÓN E INTRODUCCION A LA MECANICA CUANTICA


El efecto fotoeléctrico fue accidentalmente descubierto por Hertz en 1887 cuando se

encontraba investigando las ondas electromagnéticas predichas por la Maxwell. Los

trabajos de Philipp Lenard (Aleman discipulo de Hertz) mostraron:

Cuando incide luz de frecuencia sobre un metal se tienen partículas cargadas que viajan hacia el electrodo positivo.

Esta emisión es en un tubo altamente evacuado (sin aire), de manera que los portadores no son iones gaseosos.

Un campo magnético entre el metal y el electrodo positivo muestra que la carga es negativa.

La razón medida de la carga y la masa e/m para los portadores cargados fue 1,76

10-11 C/kg que coincide con el valor encontrado para los electrones.

Se obtuvieron las gráficas de corriente fotoelectrica contra el potencial acelerador o de

frenado. Se encontro que aparecía una corriente de saturación para una intensidad I de la

luz incidente y se da cuando todos los electrones emitidos por el metal llegan al electrodo.

Tambien se encontro que aún si la tensión valía cero, todavía aparecía corriente, lo que

significa que los electrones emitidos en el metal tienen una velocidad, para anular la

corriente era necesario aplicar un potencial de frenado, es decir negativo ( ) de


tal forma que sólo los electrones con máxima energía alcanzarán llegar, donde se debe

cumplir:

siendo como se dijo anteriormente el potencial de frenado o de corte y la

energía cinética máxima de los electrones.

Cuando se aumenta la intensidad de la luz, la corriente de saturación aumenta pero los

electrones tienen la misma energía ya que el potencial de corte es el mismo. El potencial

de frenado es independiente de la intensidad de la luz incidente.

Si se cambia la frecuencia pero dejando constante la intensidad, se observa que el

número de electrones emitidos es igual (la misma corriente de saturación), pero los

electrones son más energéticos al aumentar la frecuencia de la radiación.

Se puede resumir que la corriente de saturación depende de la intensidad pero no de la

frecuencia, mientras que el potencial de frenado o de corte se hace mayor con el

incremento de la frecuencia de la radiación. Estas conclusiones son contrarias a la

explicación clásica.

En 1905, Albert Einstein supuso que la radiación incidente consistía en cuantos de

energía de valor que viajan con la velocidad de la luz. Estos fotones al chocar

con el metal se pueden reflejar o pueden desaparecer cediendo toda su energía para

expulsar a los electrones llegando a la ecuación:


En la ecuación {eq:fotoelectrico} se llama la función de trabajo que es la mínima

energía para extraer un electrón de la superficie del metal y depende del metal usado.

Cuando la energía cinética es cero, se tiene una frecuencia mínima llamada

frecuencia umbral, la cual es la frecuencia mínima desde donde empieza a presentarse

dicho fenómeno y se puede hallar por la formula:

Para una frecuencia ó una longitud de onda , no hay suficiente energía

para remover electrones del metal y no se presenta el fenómeno fotoeléctrico.

También es necesario destacar que la formula {eq:fotoelectrico} nos sirve para medir

experimentalmente el valor de la constante de Planck, dicho experimento lo realizó

Millikan en 1914 y dio el valor de h= 6,625 10-34 J\cdot s.

43. Conclusiones del Efecto fotoeléctrico

Las siguientes son las conclusiones finales del efecto fotoeléctrico:

El número de fotoelectrones es proporcional a la intensidad de la luz incidente.

La energía cinética máxima de los electrones depende de la frecuencia y no de la intensidad de la luz.

La energía cinética máxima esta relacionada linealmente con la frecuencia según la ecuación {eq:fotoelectrico}.

El potencial de frenado V0 depende de la función de trabajo

Existe una frecuencia umbral por debajo de la cual no ocurre el efecto.


El efecto empieza sin retardo cuando aún para luz de poca intensidad.

44. Modelo de Bohr

Para dar una explicación teórica sobre los datos aportados experimentalmente de los

espectros atómicos, y después de la teoría del cuanto por Planck, el físico danés Nils

Bohr en el año 1913 introdujo unas suposiciones o postulados que contradecían algunas

concepciones clásicas, estas se pueden agrupar basicamente en dos postulados:

De todas las posibles órbitas de los electrones solamente se realizan algunas orbitas discretas que cumplen con algunas condiciones cuánticas. El electrón que se encuentre en estas órbitas, a pesar de su movimiento acelerado no emite ondas electromagnéticas.

La radiación se emite o se absorbe en forma de cuanto de luz de energía h, al pasar el electrón de un estado estacionario a otro. La magnitud del cuanto de luz es igual a la diferencia de energía de aquellos estados estacionarios entre los cuales se realiza el salto cuántico del electrón:

La existencia de los niveles energéticos discretos del átomo se confirman con los

experimentos realizados por Frank y Hertz en el año 1914.

A partir del postulado de Planck, Bohr obtuvo para las órbitas estacionarias la regla según

la cual se realizan sólo aquellos estados del oscilador armónico, cuya energía es igual a:


(donde n es un número entero)

Con lo cual estableció que de todas las órbitas posibles, solamente se realizan aquellas

para las cuales el momento angular es igual a un múltiplo entero de la constante de

Planck es decir:

Si aplicamos la segunda ley para el electrón en una órbita circular tendríamos:

Simplificando por r:

multiplicando y dividiendo por la parte derecha de la anterior ecuación tenemos:


nuevamente simplificando por r y sustituyendo :

podemos despejar r dando:

y

La energía del electrón es la suma de la energía cinética y la potencial, la energía cinética

vale:

y la energía potencial respecto al infinito es:


Con lo cual nos da que la energía total del electrón en el átomo de Hidrógeno es:


Reemplazando en la ecuación {eq:bohr} la expresión para r se tiene:

Esta expresión se puede observar mediante un diagrama de niveles de energía, como se

muestra en la figura {fig:bohr1}, donde cada línea es un valor de energía.

La frecuencia de la radiación emitida por el átomo cuando el electrón sufre una

transición del estado cuántico al estado cuántico , se puede calcular según los

postulados de Bohr como:

O escribiendo en forma de la ecuación {eq:seriesespectrales} tenemos:

Donde


es un valor cercano a la constante de Rydberg medida experimentalmente.

El modelo de Bohr pudo explicar satisfactoriamente los espectros atómicos del hidrógeno,

sin embargo no podía explicar los de otros átomos, además conceptualmente este modelo

le falta coherencia, ya que aplica algunos resultados clásicos y obviamente se contradice

con postulados cuánticos. Este modelo solamente tiene significado histórico y es el paso

de la mecánica clásica a la mecánica cuántica del modelo del átomo.


A partir de los fenómenos de la radiación el cuerpo negro y del efecto fotoeléctrico se

llega a que la luz o la radiación electromagnética tiene propiedades ondulatorias pero

también corpusculares, a estos cuantos de luz se les da el nombre de fotones. En 1924,

Louis de Broglie propuso que esta característica no era exclusiva de la luz, sino también

podía aplicarse a cualquier cuerpo, por ejemplo a los electrones o cualquier otra partícula.

En otras palabras, así como el fotón tiene asociada una onda que gobierna su

movimiento, una partícula de materia también tiene asociado una onda que gobierna su

movimiento. Como el universo consiste en general, de radiación y materia, la sugerencia

de de Broglie es una afirmación acerca de una gran simetría de la naturaleza. De acuerdo

con de Broglie, tanto para la materia como para la radiación la energía total E se relaciona

con la frecuencia de su onda asociada por medio de la ecuación:

y el impulso p se relaciona con la longitud de onda por la ecuación:


Los conceptos corpusculares de energía E y de impulso p, se relacionan con los

conceptos ondulatorios de frecuencia y de longitud de onda a través de la constante

de Planck h.

A la siguiente ecuación se le conoce con el nombre de la relación de de Broglie

que predice la longitud de onda de de Broglie de una onda de materia asociada con el

movimiento de una partícula material de impulso p.

Esta hipótesis fue confirmada experimentalmente por Davisson y Germer, haciendo incidir

un haz de electrones, sobre un sólido cristalino, apareciendo un patrón similar al patrón de

difracción de rayos X.

A toda la teoría anterior se le puede denominar teoría cuántica antigua, la cual fue muy

exitosa en ciertos aspectos pero también fue muy débil en otros, en especial en el hecho

de que se tenía la sensación de ser una teoría temporal y que se debía buscar otra más

fundamental, este esfuerzo dio como resultado que en 1925 Erwing Schrödinguer

desarrollará su teoría de la mecánica cuántica. Esta teoría es una generalización de la

teoría de de Broglie siendo muy distinta, por ejemplo, la descripción de la estructura

atómica de electrones con un movimiento en órbitas bien definidas es totalmente distinta

a la solución planteada por la ecuación de Schrödinguer.

Esta teoría especifica la ecuación que controla el comportamiento de la función de onda

como también la conexión en el comportamiento de la función de onda y la partícula.


La ecuación de Schrödinguer establece la forma de la función de onda (x,t) si

conocemos la fuerza que actúa sobre la partícula asociada especificando la energía

potencial que corresponde a dicha fuerza.

Dicha ecuación es una ecuación diferencial en derivadas parciales, para hallarla se

necesitaron cuatro suposiciones:

Debe ser coincidente con los postulados de de Broglie:

y

Debe ser coincidente con la expresión para la energía:

La ecuación deberá ser líneal respecto a la función , para que cumpla el

principio de superposición de las soluciones.

Debe depender de la energía potencial V(x,t)

La ecuación hallada es:


La ecuación {eq:schrodinguer} se llama la ecuación de Schrödinguer dependiente del

tiempo y es la base de la mecánica cuántica. En la gran mayoría de los casos se puede

suponer que la energía potencial no depende del tiempo, como por ejemplo el caso del

oscilador armónico, entonces se puede hacer la siguiente sustitución:

para utilizar el método de separación de variables, con lo que nos da después de dividir

entre :

donde E es una constante.

Resolviendo la ecuación para se obtiene:

Entonces:


y la ecuación para queda como:

Esta ecuación se llama ecuación de Schrödinguer independiente del tiempo.

Para resolver por ejemplo el caso del átomo de hidrógeno se escribe el potencial de

interacción entre el electrón y el núcleo y se generaliza esta ecuación para el caso de tres

dimensiones, lo cual no es el tema de esta asignatura.


PROBLEMA 1.

Compruebe que la fórmula de Planck:


cumple con la ley de Stefan- Boltzmann ( ) y de Wien.

PROBLEMA 2.

Compruebe que para bajas frecuencias, la fórmula de Rayleigh-Jeans se deduce de la

fórmula de Planck

.

PROBLEMA 3.

En un experimento de efecto fotoeléctrico se encontraron que el potencial de frenado era

de 1,85 V para una longitud de onda de = 3,0 10-7 m y de 0,82 V para una

longitud = 4,0 10-7 m .

Determine:

a) El valor de la constante de Planck.

b) La función de trabajo en electrón-volts para este material.

c) La longitud de onda umbral.


PROBLEMA 4.

Según el modelo de Bohr, determine las siguientes magnitudes como función del número

cuántico n:

a) El radio de la órbita.

b) El impulso angular.

c) El impulso lineal.

d) La velocidad angular.

e) La energía cinética.

f) la energía potencial.

g) La energía total.

PROBLEMA 5.

A partir del postulado de Broglie, calcule la longitud de onda para los siguientes casos:

a) Una pelota de masa 2 kg que se mueve con una rapidez de v= 20 m/s


b) Un electrón que tiene una energía cinética de 100 eV, no tenga en cuenta la expresión

relativista de la energía cinética.

Compare los resultados.


FUENTES DOCUMENTALES

DOCUMENTOS IMPRESOS:

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Tomas.

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Tipler, P. Física Moderna, Ed. Reverté.

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