Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Preddiplomski studij matematike

Monika Jovic

Skalarni produktZavrsni rad

Osijek, 2012.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Preddiplomski studij matematike

Monika Jovic

Skalarni produktZavrsni rad

Voditelj: doc. dr. sc. Darija Markovic

Osijek, 2012.

Sazetak. U ovom radu definiran je skalarni produkt, te su pruzene definicije osnovnih

pojmova potrebni za shvacanje skalarnog produkta. Takoder, definiran je pojam ortogonal-

nost. Konstruiran je skalarni produkt na prostorima L2 i l2, te je objasnjena ortogonalnost

funkcija.

Kljucne rijeci: vektorski prostor, norma, skalarni produkt, ortogonalnost, familije ortogo-

nalnih funkcija

Abstract. (Scalar product) This paper defines the scalar product, and provides defini-

tions of the basic concepts necessary to understand the scalar product. The scalar product

on spaces L2 and l2 is constructed and orthogonality of functions is explained.

Keywords: vector space, norm, scalar product, orthogonality, families of ortogonal functi-

ons

Sadrzaj

1 Uvod 1

1.1 Pojam vektorskog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Baza vektorskog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Skalarni produkt 5

3 Ortogonalnost 10

3.1 Ortogonalna projekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Prostori L2 i l2 15

4.1 Prostor L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Prostor l2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Familije ortogonalnih funkcija 17

5.1 Ortogonalni polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.2 Trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1

1 Uvod

1.1 Pojam vektorskog prostora

Definicija 1.1. Neka je G neprazan skup s binarnom operacijom +, tj. preslikavanje G ×G→ G, (a, b) 7→ a+ b. Uredeni par (G,+) zovemo grupa ako vrijedi sljedece:

(1) asocijativnost

∀a, b, c ∈ G (a+ b) + c = a+ (b+ c)

(2) postojanje neutralnog elementa

∃e ∈ G t.d. a+ e = e+ a = a ∀a ∈ G

(3) postojanje inverznog elementa

∀a ∈ G ∃b ∈ G t.d. a+ b = e = b+ a

Inverzni element od a obicno se oznacava s −a

Grupa (G,+) naziva se Abelova grupa ako vrijedi i svojstvo

(4) komutativnost

a+ b = b+ a ∀a, b ∈ G

Primjer 1.1. (Z,+),(R,+), (R∗ = R\{0}, ·) jesu grupe, i to Abelove, dok (R, ·) nije grupa

Definicija 1.2. Polje je skup K s barem dva elementa na kome su zadane dvije komutativne

i asocijativne binarne operacije, zbrajanje

+: K×K→ K, (α, β) 7→ α + β

i mnozenje

· : K×K→ K, (α, β) 7→ αβ

tako da vrijedi [4]:

1. (K,+) je Abelova grupa s neutralnim elementom 0

2. (K\{0}, ·) je Abelova grupa s neutralnim elementom 1

3. mnozenje je distributivno u odnosu na zbrajanje

∀α, β, γ ∈ K α(β + γ) = αβ + αγ

Primjer 1.2. (Q,+, ·) je polje racionalnih brojeva, (R,+, ·) je polje realnih brojeva, (C,+, ·)je polje kompleksnih brojeva, dok (Z,+, ·) nije polje.

2

Definicija 1.3. Neka je X neprazan skup i K polje, te neka su zadane operacija +: X×X →X (a, b ∈ X, (a, b) 7→ a+b) i operacija · : K×X → X (λ ∈ K, a ∈ X, (λ, a) 7→ λa). Uredena

trojka (X,+, ·) naziva se vektorski prostor nad poljem K ako vrijedi [1]:

(a) (X,+) je Abelova grupa

(b) distributivnost obzirom na zbrajanje u X

∀λ ∈ K ∀a, b ∈ X λ(a+ b) = λa+ λb

(c) distributivnost obzirom na zbrajanje u K

∀λ, µ ∈ K ∀a ∈ X (λ+ µ) · a = λa+ µa

(d) kvaziasocijativnost

∀λ, µ ∈ K ∀a ∈ X (λ · µ) · a = λ(µa)

(e) ako je 1 ∈ K neutralni element za mnozenje u K , tada vrijedi

1 · a = a za sve a ∈ X

Elemente iz vektorskog prostora X zovemo vektorima i oznacavamo ih malim latinskim

slovima.

Elemente iz K nazivamo skalarima, te elemente polja oznacavamo malim grckim slovima.

K moze biti bilo koje polje, no najcesce biti polje realnih (K = R) ili kompleksnih (K = C)

brojeva. Ako je X vektorski prostor nad poljem realnih, odnosno kompleksnih, brojeva, X

se naziva realni, odnosno kompleksni, vektorski prostor.

Potprostor vektorskog prostora (X,+, ·) je svaki podskup od X koji je i sam vektorski

prostor obzirom na iste operacije.

Neka su v1,v2, . . . ,vn vektori iz (X,+, ·). Linearna kombinacija vektora v1,v2, . . . ,vn iz

(X,+, ·) je svaki vektor v oblika

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn =n∑j=1

αjvj

gdje su α1, α2, . . . , αn skalari iz K.

Najmanji vektorski potprostor koji sadrzi sve vektore v1,v2, . . . ,vn je potprostor [S] ko-

jemu su elementi linearne kombinacije skupa {v1,v2, . . . ,vn}. Osim oznake [S] koristi se jos

i span{v1, v2, . . . , vn}.[S] se zove potprostor generiran skupom S ili potprostor razapet skupom S. Ako je

W = [S] kazemo da skup S razapinje potprostor W .

3

1.2 Baza vektorskog prostora

Kazemo da je skup vektora v1,v2, . . . ,vn ∈ X linearno nezavisan ako njihova proizvoljna

linearna kombinacija iscezava jedino na trivijalan nacin [2]:

λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn = 0 =⇒ λ1 = · · · = λn = 0

U suprotnom kazemo da je skup vektora linearno zavisan, tj. postoji barem jedna njihova

linearna kombinacija koja iscezava na netrivijalan nacin [2]:

λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn = 0 pri cemu ∃λi 6= 0

Definicija 1.4. Neka je X vektorski prostor. Uredeni skup vektora B iz X zove se baza

vektorskog prostora X ako zadovoljava [4]:

(i) B je linearno nezavisan skup

(ii) [B] = X

Teorem 1.1. Neka je X vektorski prostor nad poljem K, te neka je B = {b1, b2, . . . , bn} baza

za X. Tada za svaki x ∈ X postoje jedinstveno odredeni skalari α1, α2, . . . , αn ∈ K takvi da

vrijedi

x =n∑j=1

αjbj

Dokaz. Za neki x ∈ X vrijedi x =∑n

j=1 αjbj.

Pretpostavimo da se vektor x moze zapisati na sljedeci nacin x =∑n

j=1 βjbj Oduzimanjem

dobijemo∑n

j=1(αj − βj)bj = 0. Buduci da je B linearno nezavisan skup, slijedi αj − βj =

0, ∀i = 1, 2, . . . , n.

Primjer 1.3. (a) U prostoru Rn promatramo vektore

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1).

i-ta komponenta vektora ei iznosi 1 za i = 1, 2, . . . , n, dok su ostale komponente jednake

0. Skup {e1, e2, . . . , en} je baza prostora Rn

(b) Neka je Pn, n ∈ N skup svih polinama s koeficijentima iz polja K stupnja manjeg

ili jednakog n. S definiranim operacijama zbrajanja polinoman∑i=0

aiti +

n∑i=0

biti =

n∑i=0

(ai + bi)ti i mnozenja polinoma skalarima α

n∑i=0

aiti =

n∑i=0

αaiti, te s nulpolinom,

skup Pn postaje vektorski prostor.

{1, t, t2, . . . , tn} je baza prostora polinoma PnBaze u navedenim primjerima zovu se standardne ili kanonske baze.

4

1.3 Norma

Definicija 1.5. U vektorskom prostoru se definira duljina vektora ili norma kao funkcija

‖ · ‖ : X → K za koju vrijede sljedeca svojstva:

(a) ‖x‖ ≥ 0, za svaki x ∈ X

(b) ‖x‖ = 0⇔ x = 0

(c) ‖αx‖ = |α|‖x‖, za sve α ∈ K, x ∈ X

(d) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, za sve x, y ∈ X

Vektorski prostor na kojem je definirana norma zove se normirani vektorski prostor.

Funkcija ‖ · ‖ : X → K koja zadovoljava svojstva (a)-(c) zove se polunorma ili seminorma.

Primjeri vektorskih normi [3]

• p-norma za 1 ≤ p <∞: ‖x‖p =(∑n

j=1 |xj|p)1/p

• Euklidova norma ili 2-norma: ‖x‖2 =√∑n

j=1 |xj|2

• Manhattan norma ili 1-norma: ‖x‖1 =∑n

j=1 |xj|

• Cebisevljeva norma ili ∞-norma: ‖x‖∞ = maxj=1,...,n |xj|

Definicija 1.6. Za vektor x ∈ X kazemo da je normiran ako je ‖x‖ = 1.

Dakle, normirani vektori su vektori jedinicne duljine, te se stoga nazivaju jos i jedinicni

vektori. Primjetimo da za svaki x 6= 0, vektor 1‖x‖x je normiran.

5

2 Skalarni produkt

Potrebu za uvodenjem pojma skalarni produkt pronalazimo u fizici. Fizikalna definicija rada

sile ~F na putu ~s je skalarni produkt vektora ~F i ~s. Ukoliko su vektori istog smjera, odnosno

ako rad obavlja sila ~F koja djeluje u smjeru puta ~s, onda je rad zadan s

W = ‖~F‖ · ‖~s‖ = Fs

Medutim, ako sila ~F ne djeluje u smjeru puta ~s, onda rad obavlja samo komponenta ~Fs sile

u smjeru puta ~s, tocnije:~F = ~Fs + ~Fn

W = ‖~Fs‖ · ‖~s‖ = (F cosϕ)s = Fs cosϕ

Slika 1: Rad sile ~F na putu ~s.

Primjetimo da je sila ~Fs ortogonalna projekcija sile ~F u smjeru vektora puta ~s. Opcenito

cemo projekciju vektora a na pravac odreden vektorom b oznaciti s ab.

‖ab‖ = ‖a‖ cosϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π

Broj a cosϕ moze biti pozitivan (ϕ < π2) ili negativan (ϕ > π

2).

Euklidski skalarni produkt je funkcija koja vektorima a i b pridruzuje skalar na sljedeci

nacin

〈a, b〉 =

{0, ako je a = 0 ili b = 0

‖a‖‖b‖ cosϕ, ako je a, b 6= 0, 0 ≤ ϕ ≤ π

gdje je ϕ kut izmedu vektora a i b. Koristeci pojam projekcije vektora, skalarni produkt

moze se zapisati

〈a, b〉 = ‖a‖‖b‖ cosϕ =

{‖a‖(‖b‖ cosϕ) = ‖a‖‖ba‖ ili‖b‖(‖a‖ cosϕ) = ‖b‖‖ab‖

6

Slika 2: Projekcija vekotra ~a u smjeru vektora ~b.

Definicija 2.1. Skalarni produkt ili umnozak je preslikavanje 〈·, ·〉 : X×X → K s svojstvima

[3]:

(i) 〈x, x〉 ≥ 0, za sve x ∈ X

(ii) 〈x, x〉 = 0 ako i samo ako x = 0

(iii) 〈x, y〉 = 〈y, x〉, za sve x, y ∈ X

(iv) 〈x, αy〉 = α〈x, y〉, za sve x, y ∈ X i svaki α ∈ K

(v) 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉, za sve x, y, z ∈ X

Vektorski prostor na kojem je definiran skalarni produkt naziva se unitarni prostor.

Oznake skalarnog produkta dva vektora su: x • y ili 〈x|y〉 ili 〈x, y〉

Standardni skalarni umnozak na Cn dan je s

〈x, y〉 =n∑j=1

xjyj = x∗y ∀x, y ∈ Cn

Uvjeti (iv) i (v) ukazuju da je skalarni umnozak 〈·, ·〉 linearna funkcija u drugoj kompo-

nenti.

Ovako definiran skalarni produkt anti-linearan je obzirom na prvu komponentu.

〈x+ y, z〉 = 〈z, x+ y〉 = 〈z, x〉+ 〈z, y〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉 za sve x, y, z ∈ Cn

〈αx, y〉 = α〈x, y〉 za sve α ∈ C, x, y ∈ Cn

7

Analogno se moze definirati linearnost obzirom na prvu komponentu. Tada je skalarni

produkt anti-linearan po drugoj komponenti i na Cn dan je s

〈x, y〉 =n∑j=1

xjyj ∀x, y ∈ Cn

Ukoliko je zadan realan prostor, kompleksno konjugiranje nema ucinka, stoga skalarni

produkt bilo koja dva vektora je realan. Svojstvo (iii) se tada naziva simetricnost i glasi

〈x, y〉 = 〈y, x〉

Ako vektore x, y ∈ X prikazemo kao vektor-stupce n× 1 matricama, skalarni produkt se

moze pisati kao

〈x, y〉 =[x1 x2 . . . xn

]y1y2...yn

=[x]T [

y]

= xTy

gdje je[x]T

vektor-redak, tocnije xT je transponirana matrica matrice[x]

[2].

Primjer 2.1. Neka je Pn vektorski prostor polinoma stupnja ≤ n, s kompleksnim koefcijen-

tima. Ako je p =∑n

j=0 ajxj i q =

∑nj=0 bjx

j, dokazimo da je

〈p, q〉 =n∑j=0

ajbj

skalarni porodukt na prostoru Pn

Rjesenje: Kako bismo dokazali navedenu tvrdnju, potrebno je provjeriti aksiome iz defi-

nicije skalarnog produkta. Vrijedi

〈p, p〉 =n∑j=0

ajaj =n∑j=0

|aj|2 ≥ 0

Buduci da je apsolutna vrijednost uvijek nenegativna, slijedi da je 〈p, p〉 = 0 ako i samo ako

je a1 = a2 = . . . = an = 0. Dakle, p = 0 iz cega slijedi pozitivnost.

Zbog svojstva operacije konjugiranja imamo

〈p, q〉 =n∑j=0

ajbj =n∑j=0

bjaj = 〈q, p〉

8

iz cega vrijedi konjugirana simetricnost.

Neka je cp =∑n

j=0 cajxj. Sljedece svojstvo koje treba dokazati je svojstvo homogenosti.

〈cp, q〉 =n∑j=0

cajbj = c

n∑j=0

ajbj = c〈p, q〉

Ako je r =∑n

j=0 cjxj, imamo

〈p, q + r〉 =n∑j=0

aj(bj + cj) =n∑j=0

ajbj +n∑j=0

ajcj = 〈p, q〉+ 〈p, r〉

time smo dokazali svojstvo aditivnosti. Buduci da svojstva vrijede, tvrdnja je dokazana. ♦

Skalarni produkt iz predhodnog primjera moze se identificirati sa standarnim skalarnim

produktom u Cn+1 gdje tocku (a0, a1, . . . , an) identificiramo s polinomom p =∑n

j=0 ajxj.

Teorem 2.1 (Cauchy-Schwartzova nejednakost). Neka je X unitaran prostor. Tada je

|〈x, y〉|2 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉 (1)

za sve x, y ∈ X. Jednakost vrijedi ako i samo ako su vektori x i y linearno zavisni [3].

Dokaz. Pretpostavimo da x, y 6= 0 tj. da su netrivijalni vektori, te λ bilo koji skalar. Vrijedi

0 ≤ 〈x− λy, x− λy〉 = 〈x, x〉 − λ〈x, y〉 − λ〈y, x〉+ λλ〈y, y〉

Uvrstimo λ = 〈y,x〉〈y,y〉 , sto mozemo napraviti jer y 6= 0⇒ 〈y, y〉 6= 0.

0 ≤ 〈x, x〉 − 〈y, x〉〈y, y〉

〈x, y〉 − 〈x, y〉〈y, y〉

〈y, x〉+〈y, x〉〈y, y〉

〈x, y〉〈y, y〉

〈y, y〉

Zadnja dva clana se ponistavaju. Pomnozimo nejednakost s 〈y, y〉:

0 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉 − 〈y, x〉〈x, y〉

|〈x, y〉|2 = 〈x, y〉〈y, x〉 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉

Ako je y = αx, za neki skalar α, ocito se dobije jednakost.

Lema 2.2. Neka je 〈·, ·〉 : X×X → K skalarni produkt. Tada je preslikavanje ‖ · ‖ : X → K

definirano sa

‖x‖ =√〈x, x〉

vektorska norma.

9

Posljedica ove leme je da se izraz (1) moze zapisati na sljedeci nacin

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖

Dokaz. Trebamo provjeriti zadovoljava li preslikavanje ‖ · ‖ : X → K uvjete (a)-(d) def.

(a) Vrijedi 〈x, x〉 ≥ 0 za sve x ∈ X. Dakle√〈x, x〉 je dobro definirano i nenegativno.

(b) ‖x‖ = 0 ⇐⇒ 〈x, x〉 = 0 ⇐⇒ x = 0

(c) Neka su α ∈ K i x ∈ X. Imamo

‖αx‖ =√〈αx, αx〉 =

√αα〈x, x〉 = |α|‖x‖

(d) U dokazu ovog svojstva cemo koristiti Cauchy-Schwarz nejednakost

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖‖ ∀x, y ∈ X

Slijedi

‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉= 〈x, x〉+ 〈x, y〉+ 〈y, x〉+ 〈y, y〉≤ ‖x‖2 + 2|〈x, y〉|+ ‖y‖2

≤ ‖x‖2 + 2‖x‖‖y‖+ ‖y‖2

= (‖x‖+ ‖y‖)2 ∀x, y ∈ X

Dokazali smo da je definirano preslikavanje vektorska norma.

Zadatak 2.1. Za vektore a = (−1, 1, 0)T , b = (1,−2, 2)T i c = (4, 3, 1)T odredite

a) 〈a, b〉, 〈a, b+ c〉

b) kut izmedu vektora a i b

gdje je 〈·, ·〉 : V × V → R Euklidski skalarni produkt.

Rjesenje:

a) 〈a, b〉 = −1 · 1 + 1 · (−2) + 0 · 2 = −1− 2 = −3

〈a, b+ c〉 = 〈a, b〉+ 〈a, c〉 = −3− 1 = −4

b) 〈a, b〉 = ‖a‖‖b‖ cosϕ ⇒ cosϕ =〈a, b〉‖a‖‖b‖

‖a‖ =√

(−1)2 + 12 + 02 =√

2

‖b‖ =√

12 + (−2)2 + 22 =√

9 = 3

cosϕ =〈a, b〉‖a‖‖b‖

=−3

3√

2=−√

2

2=⇒ ϕ =

3π

4♦

10

3 Ortogonalnost

Definicija 3.1. Neka je X unitarni prostor.

• Za vektore x i y kazemo da su ortogonalni ako je 〈x, y〉 = 0

• Za familiju vektora ei, i = 1, 2, . . . , n kazemo da je ortonormirana ako svaki vektor ei

ima jedinicnu duljinu, tj. ‖ei‖ = 1 te ako su svaka dva razlicita vektora iz te familije

ortogonalna.

• Potprostori X1 i X2 prostora X su ortogonalni ako je bilo koji vektor iz prostora X1

ortogonalan na bilo koji vektor iz prostora X2.

Ortonormirana baza unitarnog prostora X je baza koja se sastoji od vektora koji cine

ortonormiranu familiju.

Zadatak 3.1. Dokazimo da su pravci y = x i y = −x medusobno okomiti.

Rjesenje: Pravac y = x je odreden vektorom (1, 1), dok je pravac y = −x odreden vektorom

(1,−1), stoga vrijedi

(1, 1) · (1,−1) = 1− 1 = 0 ♦

Teorem 3.1. Neka je X0 potprostor unitarnog prostora X te neka je {e1, e2, . . . , en} orto-

normirana baza potprostora X0. Ako je x ∈ X0, onda je

x =n∑j=1

〈x, ej〉ej.

Dokaz. Pogledaj u [6] Fourierova analiza, skripta, str. 13, URL http://www.fer.unizg.

hr/_download/repository/skripta_fourierova_analiza.pdf

3.1 Ortogonalna projekcija

Neka je X0 ⊆ X, gdje je X unitarni prostor, te neka je x ∈ X vektor koji ne pripada

potprostoru X0. Zanima nas kako odrediti vektor x0 ∈ X0 koji je najblizi vektoru x. Odgovor

nam donosi sljedeca definicija.

Definicija 3.2. Neka je X0 konacnodimenzionalni potprostor unitarnog prostora X. Orto-

gonalna projekcija vektora x ∈ X na potprostor X0 je jedinstveni vektor x0 ∈ X0 koji je

najblizi vektoru x, odnosno

‖x− x0‖ = miny∈X0

‖x− y‖

11

Slika 3: Projekcija vektora na potprostor.

Vektor x0, koji je najblizi vektoru x mora biti odabran tako da vektor x−x0 bude okomit

na potprostor X0.

Teorem 3.2. Neka je X0 konacnodimenzionalni potprostor unitarnog prostora X te neka je

x ∈ X. Vektor x0 je ortogonalna projekcija vektora x na potprostor X0 ako i samo ako je

vektor x− x0 ortogonalan na bilo koji vektor u potprostoru X0.

Dokaz. ⇒ Pretpostavimo da je vektor x0 najblizi vektoru x. Pokazimo da je tada vektor

x− x0 ortogonalan na bilo koji vektor y ∈ X0.

Zanima nas kvadrat udaljenosti izmedu vektora x0 + ty ∈ X0 i x, tj. funkcija f(t) =

‖x0 + ty − x‖2. Buduci da je vektor x0 najblizi vektoru x u potprostoru X0, funkcija f

poprima minimalnu vrijednost za t = 0. Stoga derivacija funkcije f u toj tocki mora biti

jednaka nuli

f(t) = 〈x0 − x+ ty, x0 − x+ ty〉 = ‖x0 − x‖2 + 2t〈x0 − x, y〉+ t2‖y‖2

f ′(t) = 2〈x0 − x, y〉+ 2t‖y‖2

0 = f ′(0) = 2〈x0 − x, y〉 (2)

Dakle, vektori x0 − x i y su ortogonalni.

⇐ Pretpostavimo da su vektori x0 − x i y ortogonalni, vektor y je bilo koji vektor iz

potprostora X0. Iz (2) slijedi da je f ′(0) = 0. S druge strane, kako je f(t) kvadratna funkcija

koja poprima nenegativne vrijednosti, njezina stacionarna tocka t = 0 mora odgovarati tocki

minimuma. Drugim rijecima, funkcija ‖x0 + ty − x‖ poprima minimum za t = 0. Kako je y

bilo koji vektor iz potprostora X0, zakljucujemo da je x0 ∈ X0 najblizi vektoru x.

Teorem 3.3. Neka je X unitarni prostor i X0 n-dimenzionalni potprostor s ortonormiranom

bazom {e1, e2, . . . , en}. Ortogonalna projekcija vektora x ∈ X na potprostor X0 dana je

izrazom

x0 =n∑j=1

αjej, gdje je αj = 〈x, ej〉.

12

Dokaz. Pogledaj u [6] Fourierova analiza, skripta, str. 14, URL http://www.fer.unizg.

hr/_download/repository/skripta_fourierova_analiza.pdf

3.2 Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacije

Neka je zadan skup linearno nezavisnih vektora x1,x2, . . . ,xn ∈ Cm , m ≥ n. Gramm-

Schmidtovim postupkom se konstruira ortonormirani skup vektora q1,q2, . . . ,qn ∈ Cm koji

razapinju isti potprostor u Cm na sljedeci nacin

q1 =x1‖x1‖

,

q2 =x′2‖x′2‖

, x′2 = x2 − (q1 · x1)q1,

q3 =x′3‖x′3‖

, x′3 = x3 − (q1 · x3)q1 − (q2 · x3)q2,

. . .

qn =x′n‖x′n‖

, x′n = xn −n−1∑i=1

(qi · xn)qi.

Postupak pocinje normiranjem prvog vektora. U i-tom koraku od vektora xi oduzima se

njegova projekcija na prvih i − 1 vektora: q1, . . . , qi−1. Time qi postaje ortogonalan na sve

prethodne vektore.

Teorem 3.4. Gramm-Schmidtov postupak primjenjen na linearno nezavisan skup vektora

{x1, x2, . . . , xn} ⊂ Cm daje ortonormiran skup vektora {q1, q2, . . . , qn} za koji je

[{q1, q2, . . . , qi}] = [{x1, x2, . . . , xi}]

za svaki i = 1, 2, . . . , n [1].

Dokaz. Konstrukciju skupa {q1, q2, . . . , qn} provodimo induktivno. U bazi indukcije defini-

ramo

q1 =1

‖x1‖x1, x1 6= 0

Ocito su q1 i x1 kolinearni pa razapinju isti potprostor. Pretpostavimo da je naden ortonor-

malni skup {q1, q2, . . . , qj} takav da je

[{q1, q2, . . . , qj}] = [{x1, x2, . . . , xj}]

te konstruiramo qj+1. Uvodimo pomocni vektor

pj+1 = xj+1 −j∑i=1

〈xj+1, qi〉qi

13

Iz definicije okomitosti vidi se da je pj+1⊥ qi, ∀i = 1, . . . , j.

Da bismo pokazali da vrijedi

[{q1, q2, . . . , qj, pj+1}] = [{x1, x2, . . . , xj, xj+1}] (3)

dovoljno je utvrditi da generatori s jedne strane jednakosti pripadaju potprostoru s druge

strane jednakosti, i obratno. Sada je

q1, . . . , qj ∈ [{x1, . . . , xj, xj+1}]

po pretpostavci indukcije, a pj+1 ∈ [{x1, . . . , xj, xj+1}] po definiciji vektora pj+1. Obratno je

takoder jasno. Uocimo

xj+1 = pj+1 +

j∑i=1

〈xj+1, qi〉qi

Jasno je da skup {q1, q2, . . . , qj, pj+1} zadovoljava sva trazena svojstva, jedino ne znamo

kolika je norma vektora pj+1. Umjesto vektora fj+1 uzmimo vektor λfj+1, za svaki skalar

λ 6= 0.

〈fj+1, ei〉 = 0 =⇒ 〈λfj+1, ei〉 = 0, ∀i = 1, . . . , j

Iz jednakosti (3) dobivamo

[{q1, q2, . . . , qj, λpj+1}] = [{x1, x2, . . . , xj, xj+1}]

Uzmimo λ = ‖pj+1‖−1, te definirajmo

qj+1 =1

‖pj+1‖pj+1

Problem moze nastati ako je pj+1 = 0 jer je tada ‖pj+1‖ = 0. No, to nije moguce.

Kada bi fj+1 = 0 imali bi

xj+1 =

j∑i=1

〈xj+1, qi〉qi ∈ [{q1, . . . , qj}] = [{x1, . . . , xj}]

sto se kosi s nezavisnoscu polaznog skupa {x1, . . . , xk} [1].

Napomenimo da je Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije zapravo ime dokaza, od-

nosno konstrukcije, a ne tvrdnja teorema.

Zadatak 3.2. Zadani su vektori a = (5, 0, 0)T , b = (2,−1, 4)T , c = (1, 0, 5)T .

a) Dokazite da a, b, c cine bazu.

b) Ortonormirajte bazu {a, b, c} Gramm-Schmidtovim postupkom ortogonalizacije.

14

c) Vektor d = (4,−3,−4)T prikazite u ortonormalnoj bazi {q1, q2, q3}.

Rjesenje:

a) Kako bismo pokazali da vektori a, b, c cine bazu treba provjeriti jesu li linearno neza-

visni, tj.

αa+ βb+ γc = 0 ⇒ α = β = γ = 0.

Uvrstimo li vektore a, b, c dobivamo

α(0, 5, 0)T + β(2,−1, 4)T + γ(1, 0, 5)T = 0

⇒ 2β + γ = 0

5α− β = 0

4β + 5γ = 0

Rjesavajuci ove tri jednadzbe s tri nepoznanice dobijemo ⇒ α = β = γ = 0.

b)

• q1 =a

‖a‖=

(0, 5, 0)T

5= (0, 1, 0)T

• b′ = b− 〈b, q1〉q1 = (2, 0, 4)T , q2 =b′

‖b′‖=

(√5

5, 0,

2√

5

5

)T

• c′ = c− 〈c, q1〉q1 − 〈c, q2〉q2 =

(−6

5, 0,

3

5

)T, q3 =

c′

‖c′‖=

(2√

5

5, 0,

√5

5

)Tc) d = αq1 + βq2 + γq3

Ovu jednadzbu mnozimo skalarno redom s q1, q2 i q3.

α = 〈d, q1〉 ⇒ α = 3

β = 〈d, q2〉 ⇒ β = −4√

5

5

γ = 〈d, q3〉 ⇒ γ = −12√

5

5♦

15

4 Prostori L2 i l2

4.1 Prostor L2

Promatramo funkcije f(t) gdje t prolazi intervalom a ≤ t ≤ b, pri cemu moze biti a = −∞ i

b = +∞.

Definicija 4.1. Prostor L2([a, b]) je skup svih kvadratno integrabilnih funkcija na intervalu

[a, b] [6]. Drugim rijecima,

L2([a, b]) =

{f : [a, b]→ C;

∫ b

a

|f(t)|2 dt <∞}

Primjetimo kako funkcije s konacnim brojem prekida takoder mogu pripadati prostoru

L2. Prostor L2([a, b]) je beskonacno dimenzionalan. No, ako je a = 0 i b = 1, tada je skup

funkcija {1, t, t2, t3, . . .} linearno nezavisan i pripada prostoru L2([0, 1])

Skalarni produkt na L2 Kako bismo konstruirali skalarni produkt na L2 prvo cemo

”diskretizirati” interval [a, b]. Stoga cemo pretpostaviti da su a = 0 i b = 1. Neka je N

dovoljno velik prirodan broj, te neka je tj = jN

, 0 ≤ j ≤ N . Ukoliko je f neprekinuta,

mozemo njezine vrijednosti na intervalu [tj−1, tj) aproksimirati s f(tj). Stoga, funkciju f

mozemo aproksimirati vektorom

fN = (f(t1), f(t2), . . . , f(tN)) ∈ CN

Bolju aproksimaciju funkcije f dobivamo za veci N .

Ako su f i g dvije funkcije u L2([0, 1]), onda ih mozemo diskretizirati na opisani nacin, kao

vektore fN i gN . Kako bismo definirali skalarni produkt 〈f, g〉L2 promotrimo standardni

skalarni produkt vektora fN i gN na prostoru CN , kada broj N raste:

〈fN , gN〉CN =N∑j=1

f(tj)g(tj) =N∑j=1

f

(j

n

)g

(j

n

)Medutim, problem u ovakvom pristupu je kada N tezi u beskonacnost, stoga suma na desnoj

strani jednakosti tezi k beskonacnosti. Rjesenje je srednja vrijednost predhodnog skalarnog

produkta

1

N〈fN , gN〉CN =

N∑j=1

f

(j

n

)g

(j

n

)1

N

Kako se vektori fN i gN priblizavaju funkcijama f i g kada N raste, razumljivo je da za

definiciju skalarnog produkta 〈f, g〉L2 uzmemo granicnu vrijednost prethodne srednje vrijed-

nosti skalarnog produkta, kada N tezi u beskonacnost.

16

Prethodnu relaciju mozemo zapisati u obliku

1

N〈fN , gN〉CN =

N∑j=1

f(tj)g(tj)∆t, gdje je ∆t =1

N

Ova suma predstavlja integralnu sumu za integral∫ 1

0f(tj)g(tj) dt s obzirom na razdiobu

[0, t1, t2, . . . , tN ] segmenta [0, 1]. Dakle, skalarni produkt na L2([0, 1]) definiramo 〈f, g〉 =∫ 1

0f(t)g(t) dt.

Definicija 4.2. Skalarni produkt na L2([a, b]) definiran je relacijom [6]

〈f, g〉L2 =

∫ b

a

f(t)g(t) dt, f, g ∈ L2([a, b])

Ovako definiran skalarni produkt naziva se i L2 skalarni produkt.

4.2 Prostor l2

Prostor l2 sastoji se od diskretnog skupa brojeva, tj. niza X = . . . , x−1, x0, x1, . . ., pri cemu

je svaki xj numericka vrijednost u intervalu [tj, tj+1]. Dakle, taj niz moze biti beskonacan.

Definicija 4.3. Vektorski prostor l2 je skup svih nizova X = . . . , x−1, x0, x1, . . . ∈ C takvih

da je∑∞

n=−∞ |xn|2 <∞ [6]. Skalarni produkt na tom prostoru definira se kao

〈X, Y 〉l2 =∞∑

n=−∞

xnyn

gdje je X = . . . , x−1, x0, x1, . . . i Y = . . . , y−1, y0, y1, . . ..

17

5 Familije ortogonalnih funkcija

Za dvije funkcije kazemo da su ortogonalne, ako je njihov skalarni produkt jednak 0. Ako

za neprekidnu ili diskretnu mjeru dλ, te funkcije u i v koje imaju konacnu normu mozemo

definirati skalarni produkt kao ∫Ru(x)v(x) dλ

Postoji mnogo familija ortogonalnih funkcija, neke od njih su [3]:

• ortogonalni polinomi

• trigonometrijski polinomi

5.1 Ortogonalni polinomi

Definiramo neprekidni ili kontinuirani skalarni produkt

〈u, v〉 =

∫ b

a

w(x)u(x)v(x)dx

gdje su u, v polinomi, w ≥ 0 tezinska funkcija na [a, b]. Pripadna familija ortogonalnih

polinoma oznacava se s {pn(x)|n ≥ 0}. Stupanj polinoma pn je n, za svaki n ≥ 0 [3].

Takoder definiramo diskretan skalarni produkt

〈u, v〉 =n∑i=0

wiu(xi)v(xi)

generiran medusobno razlicitim cvorovima x0, . . . , xn, te tezinama w1, . . . , wn ≥ 0. Pripadni

unitarni prostor ”funkcija” na zadanoj mrezi cvorova sadrzi sve polinome stupnja manjeg

ili jednakog n, pa sigurno postoji pripadna baza ortogonalnih polinoma koju oznacavamo s

{pk(x)|0 ≥ k ≥ n}. Stupanj polinoma pk je jednak k, gdje je k ∈ {0, . . . , n}.

5.2 Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije

{1, cosx, cos 2x, cos 3x, . . . , sinx, sin 2x, sin 3x, . . .}

cine ortogonalnu familiju funkcija na intervalu [0, 2π] uz mjeru

dλ =

{dx , na [0, 2π]

0 , inace

18

Moze se pokazati da vrijedi sljedece (pogledaj [3] Z. Drmac, V. Hari, M. Marusic, Numericka

analiza, str. 418)∫ 2π

0

sin kx · sin lx dx =

{0, k 6= lπ, k = l

k, l = 1, 2, . . .

∫ 2π

0

cos kx · cos lx dx =

0, k 6= l

2π, k = l = 0π, k = l > 0

k, l = 0, 1, . . .

∫ 2π

0

sin kx · cos lx dx = 0, k = 1, 2, . . . , l = 0, 1, . . .

Fourierov red Za aproksimaciju periodickih funkcija najcesce koristimo Fourierove re-

dove. Neka je funkcija f periodicna na [−π, π]. Tada je mozemo aproskimirati sumom

reda

F(x) :=a02

+∞∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx) (4)

Red (4) nazivamo Fourierov red, a brojeve a0, a1, b1, . . . Fourierovi koeficijenti funkcije f ,

gdje su

ak =1

π

∫ π

−πf(x) cos kx dx, bk =

1

π

∫ π

−πf(x) sin kx dx

Cebisevljevi polinomi U aproksimaciji funkcija takoder se koristi sustav ortogonalnih

polinoma na [−1, 1] s tezinskom funkcijom w(x) = 1√1−x2 tzv. Cebisevljevi polinomi. Njihova

eksplicitna formula glasi [5]:

Tn(x) = cos(n arccosx), n = 0, 1, . . .

Vrijedi

• T0(x) = cos(0) = 1

• za n = 1, T1(x) = x

• za n = 2, T2(x) = cos(2 arccosx) = 2 cos2(arccosx)− 1 = 2x2 − 1

Dakle, opcenito vrijedi

cosnρ = 2 cos ρ cos(n− 1)ρ− cos(n− 2)ρ (5)

gdje je ρ = arccosx

Iz relacije (5) slijedi rekurzivna formula za Cebisevljeve polinome

Tn(x) = 2xTn−1(x)− Tn−2(x)

19

Cebisevljevi polinomi, zbog definicije preko kosinus funkcije, imaju n + 1 ekstremnu

vrijednost naizmjenicno pozitivnu i negativnu na intervalu [−1, 1]

xk = coskπ

n, k = 0, 1, 2, . . . , n

te n razlicitih nultocaka na [−1, 1] definiranih formulom

ξk = cos

((2k − 1)π

2n

), k = 1, 2, . . . , n

20

Literatura

[1] D. Bakic, Linearna algebra, Skolska knjiga, Zagreb, 2008.

[2] D. Butkovic, Predavanja iz linearne algebre, Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku,

Odjel za matematiku, Osijek, 2010.

[3] Z. Drmac, V. Hari, M. Marusic, Numericka analiza, Sveuciliste u Zagrebu, PMF -

matematicki odjel, Zagreb, 2003.

[4] H. Kraljevic, Vektorski prostori, Predavanja na Odjelu za matematiku Sveucilista

J. J. Strossmayera u Osijeku, Osijek, 2008.

[5] R. Scitovski, Numericka matematika, Odjel za matematiku Sveucilista u Osijeku, Osi-

jek, 2004.

[6] Fourierova analiza

http://www.fer.unizg.hr/_download/repository/skripta_fourierova_analiza.

pdf