Monografia Triângulos

Alberto Jos Meta Godinho

Impacto do Ambiente de Geometria Dinmica Geogebra na Aprendizagem de

Quadrilteros caso da 11 Classe

Licenciatura em Ensino de Matemtica com Habilitaes no Ensino de Informtica

Universidade Pedaggica

Beira

2015

Alberto Jos Meta Godinho

Impacto do Ambiente de Geometria Dinmica Geogebra na Aprendizagem dos

Quadrilteros caso da 11 Classe

Licenciatura em Ensino de Matemtica com Habilitaes no Ensino de Informtica

Supervisor

Prof. dr. Eliseu Castanheira

Universidade Pedaggica

Beira

2015

Trabalho de Pesquisa a ser entregue ao

Departamento de Cincias Naturais e

Matemtica, Curso de licenciatura em ensino

de Matemtica com Habilitaes em Ensino de

Informtica como requisito para a obteno do

ttulo de Licenciado.

I-3

NDICE

AGRADECIMENTOS ........................................................................................................... I-7

DECLARAO DE HONRA ................................................................................................ I-8

RESUMO ................................................................................................................................ I-9

ABSTRACT .......................................................................................................................... I-10

Captulo I: Introduo ....................................................................................................... I-12

I.1 Justificativa da escolha do tema ............................................................................. I-13

I.2 Problematizao ..................................................................................................... I-13

I.3 Hipteses ................................................................................................................ I-15

I.3.1 Primria ........................................................................................................... I-15

I.3.2 Secundrias ..................................................................................................... I-15

I.4 Objetivos do trabalho ............................................................................................. I-15

I.4.1 Objetivo Geral ................................................................................................. I-15

I.4.2 Objetivos Especficos...................................................................................... I-15

I.5 Procedimentos Metodolgicos ............................................................................... I-15

I.5.1 Mtodo de Abordagem ................................................................................... I-15

I.5.2 Mtodos de Procedimentos ............................................................................. I-16

I.6 Tcnicas de Trabalho ............................................................................................. I-17

I.6.1 Questionrio .................................................................................................... I-17

I.6.2 Pr-teste........................................................................................................... I-17

I.6.3 Intervenes Didcticas .................................................................................. I-17

I.6.4 Ps-teste .......................................................................................................... I-17

I.6.5 Anlise de dados ............................................................................................. I-17

Captulo II: FUNDAMENTAO TERICA ............................................................. II-18

II.1 O que so e como surgiram as TICs?................................................................... II-18

II.1.1 As TICs no PEA ........................................................................................... II-18

I-4

II.1.2 Indicadores relativos s TIC .......................................................................... II-19

II.2 Sobre o Geogebra .................................................................................................. II-20

II.3 Tringulos: Congruncia e Semelhanas .............................................................. II-24

II.3.1 Elementos dos Tringulos .............................................................................. II-24

II.3.2 Classificao dos Tringulos ......................................................................... II-24

II.3.3 Congruncia de Tringulos ............................................................................ II-26

II.3.4 Teorema de Pitgoras ..................................................................................... II-28

II.3.5 Semelhana de Tringulos ............................................................................. II-28

II.4 O Modelo de aprendizagem de geometria do casal Van Hiele ............................. II-31

II.4.1 Nvel 0: Visualizao ou reconhecimento ..................................................... II-31

II.4.2 Nvel 1: Anlise ............................................................................................. II-31

II.4.3 Nvel 2: Deduo informal ou classificao .................................................. II-32

II.4.4 Nvel 3: Deduo formal ................................................................................ II-32

II.4.5 Nvel 4: Rigor ................................................................................................ II-32

Captulo III: Bibliografia..................................................................................................... 38

I-5

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Comandos Novo Ponto, Intersectar duas linhas, Ponto mdio ou centro............. II-21

Figura 2: Recta definida por dois pontos e segment definido por dois pontos .................... II-21

Figura 3: Recta perpendicular e Recta paralela ................................................................... II-21

Figura 4: Circunferncia dados o centro e um ponto, Circunferncia dados o centro e o raio e

Compasso ............................................................................................................................. II-21

Figura 5: Processo de Construo de rectas paralelas em Geometria Dinmica ................. II-22

Figura 6: Processo de construo de um tringulo equiltero usando Geogebra ................ II-23

Figura 7: Elementos do Tringulo ....................................................................................... II-24

Figura 8: Tringulo Escaleno ............................................................................................... II-25

Figura 9: Tringulo Issceles ............................................................................................... II-25

Figura 10: Tringulo Equiltero ........................................................................................... II-25

Figura 11: Tringulo Acutngulo......................................................................................... II-26

Figura 12: Tringulo Rectngulo ......................................................................................... II-26

Figura 13: Tringulo Obtusngulo ....................................................................................... II-26

Figura 14: Tringulo Rectngulo ......................................................................................... II-28

Figura 15:Homotetia de centro O e razo 2 2 ................................................................ II-29

I-7

AGRADECIMENTOS

I-8

DECLARAO DE HONRA

I-9

RESUMO

I-10

ABSTRACT

I-12

CAPTULO I: INTRODUO

I-13

I.1 Justificativa da escolha do tema

A escolha do tema tem como motivao o crescente uso das tecnologias de informao e

comunicao na educao matemtica. Ultimamente tem-se abraado muito o uso de

computador pela parte dos alunos que frequentam o ensino secundrio, e muita das vezes por

no conhecer softwares educativos, eles desviam-se no uso da mquina para fins menos

produtivos.

No decorrer nas Prticas pedaggicas III no curso de Licenciatura em Ensino de

Matemtica no 3 ano, em que o pesquisador observou pouco interesse na rea de

geometria por parte dos alunos, os quais desconheciam as propriedades/figuras

geomtricas bsicas;

O facto de que em Moambique ainda h fraco aproveitamento das TICs no ensino

secundrio geral como material para o processo de ensino e aprendizagem;

A fraca conciliao entre as definies e suas representaes, por parte dos alunos;

Aproveitar as salas de informtica/equipamentos informticos que o governo e

organizaes tm doado as instituies de ensino em Moambique para impulsionar o

processo de ensino e aprendizagem;

Tentar aproximar o til ao agradvel, j que atualmente os alunos tm tido queda para

uso do computador, mas por falta de conhecimentos de softwares produtivos eles

desviam-se quando esto nesse mundo;

As dificuldades existentes em esboar com perfeio figuras geomtricas no quadro, e

a limitao que os materiais rudimentares tm, aliado ao tempo que deve ser bem

aproveito visto que esboar figuras geomtricas trabalhoso.

Sendo assim, pretende-se colocar o aluno como importante decisor no que diz respeito a

implementao de software no processo de ensino e aprendizagem na disciplina de Matemtica

e no caso de Geogebra em particular.

I.2 Problematizao

Com o advento do desenvolvimento veio a necessidade de uma melhor gesto de informao

e desta sugiram mquinas que o fizessem de forma eficiente e eficaz, mas as mquinas no

ficaram por a, elas evoluram para muitos ramos de domnio, um deles a matemtica que, afinal

foi uma das principais contribuintes para criao de tais sistemas. Existe um forte ligao entre

a matemtica e a informtica, uma contribuindo para o desenvolvimento da outra.

I-14

Nota-se ultimamente o medo por parte dos alunos quando se fala de matemtica, sendo a

disciplina menos desejadas pelos mesmos, onde muitos deles quando chegam a 11 Classe ou

a entrada das instituies de ensino optam por cursos que contenham o mnimo de matria no

que diz respeito a matemtica.

So poucas, se no inexistentes, as actividades prticas que a disciplina de matemtica realiza

no ensino secundrio, fazendo com que os alunos se distanciem da matemtica que existe no

dia-a-dia, quando se olha nas estruturas de edifcios que so construdos todos os dias

espalhados pela cidade inteira, quando na sua comunidade os alunos interagem com os mais

velhos que exercem actividades como a carpintaria, o artesanato; os xitiques de forma parcial

ou integral a matemtica, os elementos matemticos esto presentes mas so como fantasmas

aos alunos.

Com a acessibilidade existente actualmente, normal que os alunos mais novos tenham acesso

aos SmartPhones, Tablets, Laptops e Computadores Pessoais (PC), e fazem o uso dos mesmos

para diferentes tipos de actividades que de certa forma no fazem parte de contributo para o

desenvolvimento escolar, no sabendo eles que podem estar a conectados com matemtica a

toda hora e a todo momento.

O poder disponibilizado pelas TICs no pode ser deixado de parte no processo de ensino e

aprendizagem da matemtica em Moambique, ento o autor v nesta, uma oportunidade de

tentar observar as diferenas que podero existir se introduzido o geogebra na aprendizagem

da geometria, analisando posteriormente o impacto do ambiente de geometria dinmica

Geogebra na aprendizagem da geometria, disto surgir a pergunta, ser que o geogebra

trar melhores resultados na aprendizagem da geometria?

Sendo assim teremos o estudante como principal decisor nos resultados da pesquisa, visto que

o seu desempenho manipulando e percebendo as mudanas trazidas fornecer os dados

importantes para a pesquisa.

I-15

I.3 Hipteses

I.3.1 Primria

Se forem apresentadas novas ferramentas inovadoras de ensino, iria facilitar a integrao dos

alunos as novas tecnologias, que poder contribuir para uma forma mais simples de transmisso

de conhecimentos nas activades escolares.

I.3.2 Secundrias

Se os professores passassem a lecionar algumas aulas aproveitando as salas ou

equipamentos informticos, daria a possibilidade dos alunos interagirem com novos

meios de aprendizagens.

I.4 Objetivos do trabalho

I.4.1 Objetivo Geral

Avaliar o Impacto do Ambiente de Geometria Dinmica Geogebra na Aprendizagem

de Semelhana e Congruncia de Tringulos.

I.4.2 Objetivos Especficos

Esboar actividades usando o Geogebra;

Manipular as figuras geomtricas pr-elaboradas usando o Geogebra;

Rever os conceitos de semelhana e congruncia de tringulos usando o Geogebra.

I.5 Procedimentos Metodolgicos

I.5.1 Mtodo de Abordagem

I.5.1.1 Mtodo Indutivo

Induo um processo mental por intermdio do qual, partindo de dados particulares,

suficientemente constatados, infere-se uma verdade geral ou universal, no contida fias partes

examinadas. (MARCONI e LAKATOS 2003)

Tendo como base o uso de meio de ensino, sero analisados aspectos particulares na forma de

compreenso e adaptao a matria e sistemas, que no fim culminar com um estudo para

anlise dos resultados obtidos.

I-16

I.5.2 Mtodos de Procedimentos

I.5.2.1 Consulta Bibliogrfica

Na viso de (GIL 2008), citado por Manual de Elaborao de projectos (2006) aquela que

desenvolvida com base em material j elaborado. Fazem parte deste conjunto de materiais

artigos cientficos, livros, textos retirados da Internet.

A pesquisa bibliogrfica vai consistir na de leitura de diversa literatura desde livros,

dissertaes, teses, artigos virtuais cientficos explicativos que abordem a temtica, elaborao

de resumos, fichas de citaes, fichas de leitura fichas de anlise crtica, instrumentos estes que

vo servir de base para a compilao da fundamentao terica.

I.5.2.2 Observao direta

A observao uma fonte constante de conhecimento em que, no s se observam in loco os

factos e fenmenos, mas tambm se examinam (BARROS e LEHFELD 1986).

Com este mtodo pretende-se fazer assistncia das aulas sobre como tem sido lecionadas, e

perceber o nvel de apreenso dos contedos por parte dos alunos.

I.5.2.3 Mtodo Experimental

O mtodo experimental consiste essencialmente em submeter os objectos de estudo influncia

de certas variveis, em condies controladas e conhecidas pelo investigador, para observar os

resultados que a varivel produz no objecto. (GIL 2008)

Com a actividade pratica e controlada que o autor ir submeter os alunos utilizando o Geogebra,

o mtodo experimental enquadra-se como um procedimento a ser usado par conseguir chegar

aos objectos da pesquisa.

I.5.2.4 Mtodo Comparativo

O mtodo comparativo procede pela investigao de indivduos, classes, fenmenos ou fatos,

com vistas a ressaltar as diferenas e similaridades entre eles. (GIL 2008)

Como base a pesquisa tem como finalidade observar as diferenas no aprendizado dos

quadrilteros de formal tradicional, como feito nas escolas nacionais e com a utilizao do

Geogebra.

I-17

I.6 Tcnicas de Trabalho

I.6.1 Questionrio

Para (MARCONI e LAKATOS 2003),o Questionrio apresenta-se como uma srie de

perguntas que devem ser respondidas por escrito, sem a presena do pesquisador. As questes

apresentadas podem ser abertas, fechadas ou relacionadas.

Essa tcnica ser aplicada mediante perguntas aos alunos e professores da escola a fim de obter

informaes, opinies e sensibilidades sobre a pesquisa.

I.6.2 Pr-teste

O pr-teste permite resolver problemas, identificar omisses, verificar o nvel de compresso

das questes e a adequabilidade da sequncia, aferir o tempo de preenchimento, avaliar a

obteno da informao desejada e verificar em que nvel de aprendizagem de Van-Hiele os

inqueridos se encontram.

O resultado do mesmo, permitir posteriormente fazer uma comparao na assimilao dos

contedos pelos alunos, aps submetidos as sesses de uso de Geogebra.

I.6.3 Intervenes Didcticas

As intervenes didcticas foram introduzidas como forma de apresentar aos alunos a

ferramenta em destaque Geogebra.

Foram preparadas e realizadas 4 intervenes didcticas e aboradadas durante 4 dias com a

durao de 90 minutos cada por dia. O principal objectivo das intervenes era de submeter os

alunos ao ambiente experimental, verificar o nvel de envolvimento dos mesmo com uma nova

forma de aprender geometria.

I.6.4 Ps-teste

O uso do ps-teste foi de grande vantagem como forma de avaliar o nvel de assimilao dos

contedos, verificar a mudana de grau de aprendizagem do casal Van-Hiele no que diz

respeito a aprendizagem da geometria.

Os dados colectados neste teste permitiram fazer uma comparao de assimilao de contedo

pelos alunos aps o uso do Geogebra como ferramenta de ensino dos quadrilteros.

I.6.5 Anlise de dados

II-18

CAPTULO II: FUNDAMENTAO TERICA

Neste captulo iremos abordar sobre as bases que fizeram desta pesquisa um documento

cientfico, isto , os livros e demais documentos que deram vida aos assuntos abordados.

II.1 O que so e como surgiram as TICs?

O conceito de Tecnologias de Informao surge enquanto conjunto de conhecimentos,

reflectidos quer em equipamentos e programas, quer na sua criao e utilizao a nvel pessoal

e empresarial. Das vrias ferramentas, mtodos e tcnicas que coexistem na empresa, no

domnio das Tecnologias de informao, o computador destaca-se, na medida que o elemento

em relao ao qual existe uma maior interao com a componente humana das organizaes.

(SOUSA 2005).

De acordo com (RAMOS 2008), considera-se Tecnologias de Informao e Comunicao

(TIC) aos procedimentos, mtodos e equipamentos para processar informao e comunicar que

surgiram no contexto da Revoluo Informtica, Revoluo Telemtica ou Terceira Revoluo

Industrial, desenvolvidos gradualmente desde a segunda metade da dcada de 1970 e,

principalmente, nos anos 90 do mesmo sculo. Estas tecnologias agilizaram e tornaram menos

palpvel o contedo da comunicao, por meio da digitalizao e da comunicao em redes

para a captao, transmisso e distribuio das informaes, que podem assumir a forma de

texto, imagem esttica, vdeo ou som. Considera-se que o advento destas novas tecnologias e

a forma como foram utilizadas por governos, empresas, indivduos e sectores sociais

possibilitaram o surgimento da Sociedade da Informao.

II.1.1 As TICs no PEA1

(ANTNIO e COUTINHO s.d.) Citando (Costa, 2007) afirma que, O uso de tecnologias na

escola tem uma longa histria, mas, tal como noutras reas cientficas, s no decorrer do sculo

passado viria a constituir um novo campo de estudo e de investigao.

Desta forma nota-se que seria inevitvel, que nos dias presentes houvessem projectos e

pesquisas que introduzissem os sistemas computacionais no PEA, como de acordo com

(ANTNIO e COUTINHO s.d.), de 1998 2002 o projecto denominado Internet para as

escolas foi implementado abrangido cerca de 25 escolas no territrio Moambicano. O mesmo

1 Processo de Ensino e Aprendizagem

II-19

projecto anda nas mos do Ministrio da Educao desde 2002 denominado actualmente

SchoolNet Moambique.

No incio dos anos 50, B. F. Skinner apresentou uma mquina de ensinar que se baseava no

conceito de instruo programada, que consistia em dividir o material a ser ensinado em

pequenos mdulos, de maneira que cada facto ou conceito fosse apresentado ao aluno de forma

sequencial.

Com o advento do computador, tornou-se claro que os mdulos do material de instruo

poderiam passar a ser apresentados com grande flexibilidade. Assim, durante o incio dos anos

sessenta, foram criados diversos programas informticos de instruo programada e comeou

a popularizar-se a expresso ensino assistido por computador ou "computer-aided

instruction".

De acordo com (ANTNIO e COUTINHO s.d.), os primeiros anos do processo de integrao

dos computadores nas escolas ficaram muito marcados pela tentativa da sua utilizao de modo

a melhorar a eficcia do acto de ensinar.

Cabe ao autor com as tentativas existentes, os projectos em andamento e o material disponvel,

implementar o seu estudo a fim de verificar quais proveitos recolher do mesmo.

II.1.2 Indicadores relativos s TIC

As estatsticas disponveis revelam-nos que, apesar dos esforos e dos progressos realizados,

subsistem limitaes no acesso e utilizao das TIC.

Na tabela abaixo, obtida em (ANTNIO e COUTINHO s.d.), apresenta os indicadores de

acesso a TIC e aos servios existente no mesmo.

Tabela 1: Indicadores de Telecomunicaes de Moambique (Fonte: (ANTNIO e COUTINHO s.d.)).

II-20

Apesar de baixos ainda em 2007, os valores mostraram-se crescentes em 2010 em todos os

aspectos apresentados. No tendo uma pesquisa mais recente, visto que data passam 5 (cinco)

anos, provvel que estes nmeros tenham subido de forma exponencial, com os actuais baixo

custo e fontes de computadores, servio de internet e subscries de telemveis. O autor v

desse modo um campo frtil, pedindo para ser cultivado e semeado de conhecimento e novas

tcnicas que acompanham as tendncias actuais.

II.2 Sobre o Geogebra

De acordo com a (Wikipedia 2015), Geogebra uma aplicao interativa de geometria,

lgebra, estatstica e clculo, projetado para o ensino, e aprendizagem de Matemtica e cincias

desde o ensino primrio at ao nvel superior [].

O Geogebra um software simples, intuitivo, didtico e muito simples de usar. Para os leigos2

no apresentaro dificuldades no seu manuseamento, visto que o software pode ser utilizado

apenas com o mouse e todas as ferramentas encontram-se bem visveis e explicitas para melhor

utilizao do mesmo.

O Geogebra simula um plano, para que nele seja possvel fazer construes com rgua e

compasso. Numa comparao distante, o Geogebra assemelha-se ao programa j instalado nos

sistemas operativos da Microsoft, o Microsoft Paint. Sendo que no Paint possvel desenhar

figuras e demais, mas no existe o rigor presente no Geogebra, onde no Geogebra possvel

manter propriedades pr-determinadas atravs de vrios comandos, e construir figuras de

Geometria Dinmica, que so construes que no perdem as suas propriedades mesmo que os

seus pontos sejam manipulados.

No mbito da elaborao dos trabalhos com o programa, utilizei as ferramentas Novo ponto,

Interseco duas linhas, Ponto mdio ou centro, Reta Definida por Dois Pontos, Segmento

Definido por Dois Pontos, Reta Perpendicular, Reta Paralela, Compasso, Exibir/Esconder

Objeto, Desfazer e Refazer e Exibir Rtulo, as quais encontram-se todas presentes no Geogebra

por defeito.

2 Pessoas com pouco domnio de certa matria

II-21

Figura 1: Comandos Novo Ponto, Intersectar duas linhas, Ponto mdio ou centro

Figura 2: Recta definida por dois pontos e segment definido por dois pontos

Figura 3: Recta perpendicular e Recta paralela

Figura 4: Circunferncia dados o centro e um ponto, Circunferncia dados o centro e o raio e Compasso

Como exemplo de uma construo em Geometria Dinmica, isto , uma construo slida,

podemos considerar os seguintes exemplos. Dados dois pontos A e B sendo AB, traamos a

II-22

reta a que passa por A e B, depois traamos uma reta b, perpendicular a a que passe por A, e

traamos tambm uma reta c, perpendicular a a que passe por B. Podemos movimentar os

pontos A ou B, que as retas b e c sempre sero paralelas, independente das suas posies. Esta

uma construo slida. Por outra, dados dois pontos A e B sendo AB, traamos a reta a que

passe por A e B, pelos C e D, pontos fora de a, traamos a reta b que parea visualmente

paralela a a. Neste caso, quando movermos qualquer um dos pontos, as retas tero direes

distintas, a figura no manter o paralelismo.

Em uma segunda construo, dado o segmento de reta com o centro em A e raio AB,

tracemos a circunferncia g. Com o centro em B e raio AB, tracemos a circunferncia h. Na

interseo de g e h, marcamos o ponto C, tracemos os segmentos e . Teremos o tringulo

equiltero ABC. Se movermos os pontos A ou B para qualquer posio, o triangulo ainda

manter as suas propriedades.

Figura 5: Processo de Construo de rectas paralelas em Geometria Dinmica

II-23

Como ilustra a figura a seguir:

A motivao para o uso do Geogebra, a insero das Tecnologias de Informao e

Comunicao (TICs) no ensino e aprendizagem em Moambique, tanto como mostrar as

outras faces do computador aos estudantes que o usam para fins menos produtivos, visto que

manipulando os objectos no geogebra ser maior a interao entre o aluno e a matria, e

consequentemente, o interesse pela matemtica e suas maravilhas.

O programa ser de grande ajuda no que diz respeito a percepo visual de um quadriltero,

onde os alunos podero manipular e conhecer muitos modelos de quadrilteros de maneira fcil

e intuitiva. Sendo um software, o geogebra funciona segundo os comandos emitidos pelo

utilizador, e trabalha dentro de um ambiente limitado as operaes nele existente. Desta,

necessrio planejar os procedimentos de construo das figuras geomtricas para que ela

obedea as propriedades desejadas. Portanto, ser necessrio que o utilizador tenha

conhecimento formal dos quadrilteros notveis para que possam planejar o procedimento da

sua construo.

Figura 6: Processo de construo de um tringulo equiltero usando Geogebra

II-24

II.3 Tringulos: Congruncia e Semelhanas

Dados trs pontos A, B e C no colineares, reunio dos AB, AC e BC chama-se tringulo

ABC. (DOLCE e POMPEO 1997).

No plano, o tringulo a figura geomtrica que ocupa o espao interno limitado por trs

segmentos de reta que concorrem, dois a dois, em trs pontos diferentes formando trs lados e

trs ngulos internos que somam 180. (Wikipedia s.d.)

II.3.1 Elementos dos Tringulos

De acordo com (DOLCE e POMPEO 1997) os elementos do tringulo so: vrtices, lados e

ngulos.

Pelo (FERREIRA 2004) temos que:

Vrtice o ponto comum a duas ou mais retas ou segmentos de retas, ou que pertence a mais

de um lado ou face de uma figura;

Lado qualquer face de um objecto; e

ngulo a medida de afastamento entre duas rectas.

II.3.2 Classificao dos Tringulos

Os tringulos podem ser classificados por dois critrios, quanto ao comprimento dos seus lados

e quanto a amplitude dos seus ngulos.

II.3.2.1 Classificao dos Tringulos quanto ao comprimento dos seus lados

Nesta classificao (NHEZE, JOO e NHABIQUE 2010) eles apresentam trs variantes:

Figura 7: Elementos do Tringulo

II-25

II.3.2.1.1 Escaleno

Quando os trs lados tm comprimentos diferentes:

II.3.2.1.2 Issceles

Quando pelo menos, dois dos seus lados tm o mesmo comprimento.

II.3.2.1.3 Equiltero

Quando os trs aldos tm o mesmo comprimento.

II.3.2.2 Quanto amplitude dos seus ngulos

Nesta classificao (NHEZE, JOO e NHABIQUE 2010) eles apresentam tambm, trs

variantes:

Figura 8: Tringulo Escaleno

Figura 9: Tringulo Issceles

Figura 10: Tringulo Equiltero

II-26

II.3.2.2.1 Acutngulos

Quando todos os seus ngulos internos so agudos:

II.3.2.2.2 Rectngulo

Quando tem um ngulo recto:

II.3.2.2.3 Obtusngulo

Quando tm um ngulo obtuso:

II.3.3 Congruncia de Tringulos

Duas figuras so congruentes ou geometricamente iguais quando tm a mesma forma e

dimenses, isto , quando possvel sobrepor uma na outra. (NHZE, Matemtica 8 Clase

1998).

Figura 11: Tringulo Acutngulo

Figura 12: Tringulo Rectngulo

Figura 13: Tringulo Obtusngulo

II-27

Para verificar a congruncia dos tringulos, so preciso critrios pr determinados, porque

levaria muito tempo para verificar a congruncia elemento a elemento, que vo provar

geometricamente que os mesmos so geometricamente iguais. Baseando-se na mesma fonte,

podemos encontrar trs critrios de congruncia:

1. Critrio lado-lado-lado (l-l-l)

Dois tringulos dizem-se congruentes se tiverem os lados correspondentes congruentes, um a

um.

2. Critrio lado-ngulo-lado (l-a-l)

Dois tringulos dizem-se congruentes se tiverem dois lados e o ngulo por eles formado

respectivamente congruentes.

3. Critrio ngulo-lado-ngulo (a-l-a)

Dois tringulos dizem-se congruentes se tiverem dois ngulos e o lado a eles adjacente


O (NHZE, Matemtica 8 Clase 1998) mais ambicioso deferente de (NHEZE, JOO e

NHABIQUE 2010) e classifica tambm os casos especiais para os tringulos rectngulos,

sendo esses:

4. Critrio cateto-cateto (c-c)

Dois tringulos rectngulos so congruentes se tiverem os dois catetos congruentes, cada um a

cada um.

5. Critrio cateto-ngulo (h-a)

Dois tringulos rectngulos so congruentes se tiverem um cateto e ngulo congruente a ele,

diferente do ngulo recto, respectivamente congruentes.

6. Critrio hipotenusa-ngulo agudo (h-a)

Dois tringulos rectngulos so congruentes se tiverem a hipotenusa e um ngulo agudo,


7. Critrio hipotenusa-cateto (h-c)

II-28

Dois tringulos so congruentes se tiverem a hipotenusa e um cateto, respectivamente

congruentes.

II.3.4 Teorema de Pitgoras

Impossvel falar de tringulos rectngulos sem falar da relao mtrica existente entre os

catetos e a hipotenusa. O teorema de Pitgoras considerado um dos mais famosos teoremas

da matemtica. (NHEZE, JOO e NHABIQUE 2010).

Tomamos a figura que se segue:

No tringulo ABC da figura 14, temos:

O lado AB, que o maior lado de todos, e est oposto ao ngulo recto, denomina-se

hipotenusa;

Os lados AC e BC denominam-se catetos;

O ngulo em C mede 90 sendo, por isso, um ngulo recto.

Das vastas definies, enunciadas por diversos autores, (NHEZE, JOO e NHABIQUE 2010)

dizem o seguinte:

Num tringulo rectngulo, o quadrado da medida da hipotenusa igual soma dos quadrados

das medidas do cateto.

Esta relao representada da seguinte forma + = .

II.3.5 Semelhana de Tringulos

Duas figuras planas dizem-se semelhantes se tiverem os ngulos correspondentes congruentes

e os lados correspondentes proporcionais. A semelhana simbolizada por ~. (NHZE,

JOO e NHABIQUE, Matemticas Para Todos - 9 Classe 2011)

Figura 14: Tringulo Rectngulo

II-29

Diferente da congruncia, a semelhana mantm apenas as medidas dos ngulos das figuras,

sendo a medida dos lados mudadas dependendo da razo aplicada pela proporcionalidade, mas

mantendo uma proporo entre figura original e a sua imagem.

II.3.5.1 Homotetia

Falando de semelhana, invocamos obrigatoriamente o conceito que cria as figuras

proporcionais, tal conceito chama-se Homotetia, e segundo (NHZE e JOO, Matemtica 9

Classe 1999) dados um centro O e uma razo r, temos que homotetia uma aplicao

geomtrica que a cada ponto P do plano faz corresponder um ponto Pde tal modo que =r.

por . e se denota

Figura 15:Homotetia de centro O e razo 2 2

II-30

II.3.5.1.1 Propriedades da Homotetia

O transformado de um segmento de recta atravs de uma homotetia um segmento de

recta paralelo;

Uma homotetia de razo positiva mantm o sentido dos segmentos orientados e a de

razo negativa inerte o sentido dos segmentos orientados;

Numa homotetia, o comprimento do segmento imagem igual ao produto do mdulo

da razo pelo comprimento do segmento objecto;

Existe uma proporcionalidade directa entre os comprimentos dos segmentos de recta e

os comprimentos dos seus transformados atravs da homotetia.

II.3.5.1.2 Classificao das Homotetias

Quanto ao valor absoluto da razo r, a homotetia pode ser:

Uma ampliao se |r| > 1;

Uma isometria se |r| = 1;

Uma reduo se |r| < 1.

Quanto ao sinal da razo, as homotetias podem ser:

Inversas, se k < 0;

Directas, se k > 0.

II.3.5.2 Critrios de semelhana de tringulos

Critrio lado-lado-lado (LLL)

Dois tringulos so semelhantes se tiverem os trs lados proporcionais;

Critrio ngulo-ngulo (AA)

Dois tringulos so semelhantes se tiverem dois ngulos respectivamente congruentes;

Critrio lado-ngulo-lado (LAL)

Dois tringulos so semelhantes se tiverem dois lados respectivamente proporcionais e o

ngulo por eles formado congruente.

Tal como na congruncia, os tringulos retngulos apresentam casos particulares de

semelhana.

Dois tringulos rectngulos com um angulo agudo congruente so semelhantes;

II-31

Dois tringulos rectngulos que tenham dois catetos proporcionais so semelhantes.

II.4 O Modelo de aprendizagem de geometria do casal Van Hiele

Dois professores holandeses de Pierre M. Van Hiele e Dina Van Hiele-Geldof estabeleceram

um modelo de aprendizagem de geometria, como resultado de duas teses de doutorado. Eles

estabeleceram 5 (cinco) nveis de raciocnio na aprendizagem da geometria, na qual segundo

(SILVA e CANDIDO s.d.) segue que:

II.4.1 Nvel 0: Visualizao ou reconhecimento

O aluno tem percepo global das figuras; na observao de um conjunto de figuras cada figura

observada isoladamente de outras figuras de mesma classe e dada ateno a atributos

irrelevantes das figuras.

- Percepo individual: o aluno observa o objeto e o associa figura, sem reconhecer que ela

faz parte de uma classe, a figura observada por suas partes.

- As descries das figuras so feitas atravs de comparaes de objetos com formas

geomtricas.

- O vocabulrio bsico para poder fazer descries das figuras, sem a utilizao de

propriedades das formas geomtricas.

- As descries so feitas pelos aspectos fsicos e posio no espao.

II.4.2 Nvel 1: Anlise

- Os alunos comeam a perceber conceitos geomtricos, fazendo anlise das caractersticas das

figuras. Observam a figura no como um todo, mas identificam suas partes, propriedades

geomtricas e percebem as consequncias das propriedades.

- H utilizao dessas propriedades para resoluo de problemas.

- Demonstraes por meio de exemplos.

- Os alunos no relacionam diferentes propriedades entre figuras diferentes, no entendem

definies.

- Utilizam-se de muita observao e experimentao

II-32

II.4.3 Nvel 2: Deduo informal ou classificao

- Os alunos conseguem fazer inter-relaes entre as propriedades de uma figura e compar-las

com outra figura, por exemplo, um quadrado um retngulo pois, tem todas as propriedades

de um retngulo.

- Podem realizar classificaes inclusivas.

- Definem corretamente conceitos e tipos de figuras.

- Possuem raciocnio dedutivo informal.

- Podem entender uma demonstrao, mas no so capazes de elaborar uma demonstrao

formal completa.

II.4.4 Nvel 3: Deduo formal

- Os alunos conseguem fazer distino entre postulados, teoremas e definies

- Elaboram demonstraes formais sem decor-las.

- So capazes de ter uma viso global das demonstraes.

- Percebem que podem chegar ao mesmo resultado mediante diferentes formas de

demonstrao.

- So capazes de formular enunciados de problemas.

- Utilizam linguagem precisa.

II.4.5 Nvel 4: Rigor

- Os alunos esto aptos a estudar sistemas axiomticos distintos do usual, (geometria

euclidiana).

- So capazes de fazer comparaes entre diferentes sistemas axiomticos.

O quinto nvel no em sido muito explorado pelos pesquisadores. P.M Van Hiele afirma que

se interessava pelos trs primeiros nveis, justamente por ter desenvolvido a teoria no ensino

secundrio.

Apndice

Apndice 1

Questionrio aos Alunos

Nome:_________________________________ --- Cdigo_________---

Data____/____/_______

1.O que endentes por TICs (Tecnologias de Informao e Comunicao)?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________.

2.Tens acesso a um computador?

Sim No

a) Onde?

Pessoal/Casa Escola Amigo Internet Caf

3.Para que finalidade fazes o uso do mesmo?

Trabalhos Jogos Entretenimento Estudos Outro

4.Tens acesso a um Smartphone?

Sim No

a) Qual?

Android Android (Tablet) Iphone Ipad Windows Phone

5.Para que finalidade fezes o uso do mesmo?

Uso comum Pesquisa Jogos

6.J tiveram alguma aula prtica ou expedio relacionada com a disciplina de matemtica?

Sim No

7.Quais so as ferramentas de ensino que o teu professor usa nas aulas de matemtica?

Apagador Quadro Giz Estojo (Rgua, Compasso, etc) Computador

Outro

8.J tiveram alguma aula de matemtica com o uso de computador?

Sim No

9.Como acha que seria uma aula de matemtica utilizando um computador?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________.

10.J ouviu falar de/Conhece o Geogebra?

Sim No

a) Onde?

Escola Amigos Internet Outro

Comente.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________.

Obrigado.

Apndice 2

Questionrio aos docentes

Nome:_________________________________ --- Cdigo_________---

Data____/____/_______

1.O que endentes por TICs (Tecnologias de Informao e Comunicao)?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________.

2.Tens acesso a um computador?

Sim No

a) Onde?

Pessoal/Casa Escola Amigo Internet Caf

3.Para que finalidade fazes o uso do mesmo?

Trabalhos Jogos Entretenimento Estudos Outro

4.J realizou alguma aula prtica ou expedio relacionada com a disciplina de matemtica?

Sim No

5.Quais so as ferramentas de ensino que usa nas aulas de matemtica?

Apagador Quadro Giz Estojo (Rgua, Compasso, etc) Computador

Outro

6.J lecionou alguma aula de matemtica com o uso de computador?

Sim No

7.Como acha que seria uma aula de matemtica utilizando um computador?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________.

10.J ouviu falar de/Conhece o Geogebra?

Sim No

a) Onde?

Escola Amigos Internet Outro

Comente.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________.

Obrigado.

CAPTULO III: BIBLIOGRAFIA

ANTNIO, Gilberto Lus, e Clara Pereira COUTINHO. TIC em Moambique - Recanto do

Saber. Universidade Eduardo Mondlane - Lus Neves Cabral Domingos. s.d.

http://ticeduca.ie.ul.pt/atas/pdf/281.pdf (acedido em 14 de Julho de 2015).

BARROS, Adil Jesus da Silveira, e Neide Aparecida de Sousa LEHFELD. Fundamentos de

metodologia: um guia bsico para a iniciao cientfica. So Paulo: Makron Books,

1986.

DOLCE, Osvaldo, e Jos Nicolau POMPEO. Fundamentos de Matemtica Elementar 9

Geometria Plana. 7. So Paulo: Atual Editora, 1997.

Exame nacional 2015 da Educao para Todos: Moambique. Unesco. Janeiro de 2015.

http://unesdoc.unesco.org/images/0023/002317/231723por.pdf (acedido em 14 de

Julho de 2015).

FERREIRA, Aurlio Buarque de Holanda. Miniaurlio Eletrnico. So Paulo, 2004.

GIL, Antnio Carlos. Mtodos e Tcnicas de Pesquisa Social. 6 Edio. So Paulo: Editora

Atlas, 2008.

MARCONI, Marina de Andrade, e Eva Maria LAKATOS. Fundamentos de Metodologia

Cientfica. 5 Edio. So Paulo: EDITORA ATLAS S.A., 2003.

NHEZE, Ismael C., Rafael JOO, e Fabio F. NHABIQUE. Matemtica para todos 8 Classe.

Maputo: Editora Nacional de Moambique, 2010.

NHZE, Ismael Cassamo. Matemtica 8 Clase. Maputo: Diname, 1998.

NHZE, Ismael Cassamo, e Rafael JOO. Matemtica 9 Classe. 2. Maputo: Diname, 1999.

NHZE, Ismael Cassamo, Rafael JOO, e Fabio F. NHABIQUE. Matemticas Para Todos

- 9 Classe. Maputo: E.N.M, 2011.

PALACIOS, Ester. Desenvolvimento cognitivo na Juventude | Artigos. s.d.

http://www.cipiranga.com.br/index.php?option=com_content&view=article&id=404:

desenvolvimento-cognitivo-na-infancia-e-na-juventude&catid=62:artigos (acedido em

14 de Julho de 2015).

RAMOS, Srgio. Conceitos Bsicos em TIC. Livre - Sistemas e programas livres no Ensino

e Formao. Outubro de 2008.

http://livre.fornece.info/media/download_gallery/recursos/conceitos_basicos/TIC-

Conceitos_Basicos_SR_Out_2008.pdf (acedido em 14 de Julho de 2015).

SILVA, Luciana, e Cludia Cuena CANDIDO. Instituto de Matemtica e Estatsta -

Universidade de So Paulo. s.d.

http://www.ime.usp.br/~cpq/main/arquivos/outros/Luciana%20Silva.pdf (acedido em

16 de Fevereiro de 2015).

SOUSA, Srgio. TECNOLOGIAS de INFORMAO: O que so? Para que servem? 5 Edio.

Lisboa: FCA - Editora de Informtica, 2005.

Wikipedia. GeoGebra - Wikipdia, a enciclopdia livre. 2015.

https://pt.wikipedia.org/wiki/GeoGebra (acedido em 25 de Maro de 2015).

. Tringulo - Wikipedia a Enciclpedia Livre. s.d.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo (acedido em 23 de Julho de 2015).

http://pt.slideshare.net/isamab/pr-teste acessado aos 15 de junho de 2015 pelas 12 horas e 37

minutos

http://www.knoow.net/monografias/cienciaseducacao/integracao_tic_nas_aulas_de_matemati

ca_d.htm , acessado aos 17 de junho de 2015 pelas 11 horas e 31 minutos

http://www.ime.usp.br/~cpq/main/arquivos/outros/Luciana%20Silva.pdf acessado aos 15 de

Abril de 2015

http://gartic.com.br/imgs/mural/ra/radicalpixtar/trapezio.png

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/3/471losangopipa.jpg

http://eiem2013.spiem.pt/wp-content/uploads/2013/05/GD1C3PereiraSerrazina.pdf

http://mat.absolutamente.net/rem_quad.php

https://tube.geogebra.org/material/show/id/55232



Teste Diagnostico

Nome____________________________________________

Na figura 1, abaixo, temos a circunferncia k de centro O. Nela est inscrita um pentgono

regular (polgono de 5 lados iguais). Das propriedades do pentgono regular temos que: cada

ngulo interno mede 108; todos os lados so iguais; a distncia a partir de qualquer vrtice ao

centro a mesma.

Figura 1:

1. De quantas formas pode se classificar os tringulos? Quais so?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

______

2. Identifique na figura 1:

i) Os tringulos issceles: ______________________________________________;

ii) Os tringulos escalenos: ______________________________________________;

iii) Os tringulos acutngulos: ____________________________________________;

iv) Os tringulos obtusngulos: ___________________________________________;

v) Os tringulos equilteros: ____________________________________________;

vi) Os tringulos rectngulos: ____________________________________________.

3. Durante as suas aulas aprendeste a comparar os tringulos pela semelhana e pela

congruncia.

i) Quando consideramos duas figuras congruentes?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

______

ii) Quando consideramos duas figuras semelhantes?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

______

4. Dos critrios de congruncia temos: (l l l : Lado, lado, lado), (l a l : Lado, ngulo,

lado) e (a l a : ngulo, lado, ngulo), dos critrios de semelhana temos: (L L L

: Lado, lado, lado), (L A L : Lado, ngulo, lado) e (A A : ngulo, ngulo). Dos

tringulos abaixo diga se so congruentes ou semelhantes, justificando o critrio.

Tringulos Congruentes/Semelhantes Critrio

i) ABD GHD Semelhantes A-A

ii) EGD CHD Congruentes l-a-l

iii) AED BCD Congruentes l-l-l

iv)

v)

vi)

Nos lugares vazios, preencha a tabela, com outros tringulos cuja semelhana ou congruncia

so notveis, justificando o critrio.

5. Das igualdades que se seguem, qual delas reflecte o teorema de Pitgoras?

a) 100 = 64 + 36 b) 3 = 2 + 1 c) 16 + 4 = 20 d) 225 = 144 + 81

6. Na figura abaixo, AC diagonal do quadrado ABCD. Calcule o valor do lado, usando

os conhecimentos do teorema de Pitgoras.

Fim, Bom Trabalho

X

Ficha de Acompanhamento

Nome: __________________________________

1. Nas figuras apresentadas, todos os trs ngulos do tringulo da direita esto fixadas de modo

que sejam sempre congruente com o seu ngulo correspondente no tringulo do lado esquerdo.

O professor ir manipular qualquer um dos vrtices do tringulo ABC , assim como os

comprimentos laterais e posio do tringulo A'B'C '. (Explorando dois ngulos iguais).

a) Voc pode encontrar uma maneira de fazer os dois tringulos serem diferentes?

Sim No - _________________________________________________________

___________________________________________________________________________

b) Voc percebe alguma relao especial entre os comprimentos laterais dos dois tringulos?

Sim No - _________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2. Nas figuras apresentadas, as medidas dos ngulos em A' e B' so fixadas de modo a que eles

sempre iro coincidir com os ngulos em A e B. Alm disso, o segmento B'C' ir sempre ser

congruente com segmento BC. O professor ir manipular qualquer um dos vrtices do tringulo

ABC, e os comprimentos dos outros lados do tringulo A'B'C'. Voc pode encontrar uma

maneira de fazer os dois tringulos serem diferentes? Explique por que ou por que no.

(Explorando AAL)

Sim No - _________________________________________________________

___________________________________________________________________________

3. Nas figuras apresentadas, o comprimento do segmento A'B' fixado de modo que sempre

coincida com o comprimento de AB. Alm disso, as medidas dos ngulos em A' e B' so fixadas

de modo a que eles sempre coincidam com os ngulos em A e B. o professor ir manipular

qualquer um dos vrtices do tringulo ABC, e os comprimentos dos outros lados no fixos do

tringulo A' B'C'. Voc pode encontrar uma maneira de fazer os dois tringulos serem

diferentes? Explique por que ou por que no. (Explorando ALA)

Sim No - _________________________________________________________

___________________________________________________________________________

4. Nas figuras apresentadas, segmentos A'B' e B'C' so fixos para coincidir com os

comprimentos de seus objetos correspondentes, e o ngulo no ponto C' fixada para ser

congruente com ngulo BCA, o professor ir manipular qualquer outro lado e ngulo.

possvel fazer o segundo tringulo diferente do primeiro, ou eles so sempre congruente? ?

Explique por que ou por que no. (Explorando LLA)

Sim No - _________________________________________________________

___________________________________________________________________________

5. Nas figuras apresentadas, os segmentos A'B' e B'C' so fixos para coincidir com os

comprimentos de seus objetos correspondentes, e o ngulo A'B'C' fixo para ser congruente

com ngulo ABC, o professor ir manipular os outros lados e ngulos. possvel fazer o

segundo tringulo diferente do que o primeiro, ou eles so sempre congruente? Explique por

que ou por que no. (Explorando LAL)

Sim No - _________________________________________________________

___________________________________________________________________________

6. Nas figuras apresentadas, todos os segmentos da imagem so ajustados para ter

comprimentos que so congruentes com o seu objeto correspondente, mas os seus trs ngulos

so manipulveis. O professor ir manipular a figura. possvel fazer o segundo tringulo

diferente do primeiro, ou eles so sempre congruente? Explique por que ou por que no.

(Explorando LLL)

Sim No - _________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Documents

Monografia Triângulos