Triângulos Triângulos Prof. IlizeteProf. IlizeteTriângulos Triângulos Prof. IlizeteProf. Ilizete

1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença entre os outros dois.

a

b c

b - c a b + c

2) ELEMENTOS

Altura: é o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto, perpendicularmente.

Bissetriz interna: é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos de medidas iguais.

2) ELEMENTOS

Observação: Teorema da Bissetriz Interna.

A bissetriz interna de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados.

A

B CPPC

AC

BP

AB

2) ELEMENTOS

Mediana: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.

Mediatriz: é a reta perpendicular a um lado, que o divide em dois segmentos de mesma medida.

2) ELEMENTOS

Baricentro: é o ponto de interseção das medianas. OBSERVAÇÃO: O baricentro divide cada mediana na razão 2/3 a partir do vértice.

2) ELEMENTOS

Incentro: é o ponto de interseção das bissetrizes.

OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Assim, o incentro é eqüidistante dos lados do triângulo.

2) ELEMENTOS

Circuncentro: é o ponto de interseção das mediatrizes. OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Assim o circuncentro é equidistante dos vértices do triângulo.

2) ELEMENTOS

Ortocentro: é o ponto de interseção das alturas.

2) ELEMENTOS

OBSERVAÇÃO: Os pontos de interseções, baricentro, circuncentro e ortocentro, de uma maneira geral são pontos distintos. Mas em qualquer triângulo, eles estão alinhados (Reta de Euler)Se o triângulo for eqüilátero, os quatro pontos (baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro) são coincidentes.

3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são semelhantes quando possuem lados homólogos* proporcionais e ângulos respectivamente de mesmas medidas. * lados homólogos: são lados opostos a ângulos iguais.

3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

45o 45o 60o 60o 50o 50o

2 cm

3 cm

3 cm

4,5 cm

2 cm

3 cm4 cm

4 cm

8 cm 6 cm

4) RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

A

BCa

b c

m n

h

b2 = a.m c2 = a.n

h2 = m.n

a.h = b.c

a2 = b2 + c2

Questão 1:

(UCSal/adaptada) Na figura abaixo têm-se o triângulo ABC, cujo perímetro é 26cm e o losango ADEF, cujos lados medem 4cm. Se BC mede 8cm e sendo AB paralelo à EF, os outros dois lados do triângulo ABC medem:

a) 5 e 13b) 6 e 12c) 7 e 11d) 8 e 10e) 9 e 9

Questão 2:

(Fuvest) Num triângulo ABC, os ângulos B e C medem 50° e 70°, respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice A forma com a reta BC ângulos proporcionais a:a) 1 e 2b) 2 e 3c) 3 e 4d) 4 e 5e) 5 e 6

Questão 3:

Dois navios partem de um mesmo ponto com velocidades iguais a VA= 15Km/h às 14 horas e VB= 60Km/h às 20 horas, formando entre si dimensões cujo ângulo é de 60°. Qual a distância que separa os navios às 22 horas do mesmo dia?

Questão 4:

(UFRJ) Os pontos médios dos lados de um quadrado de perímetro 2x são vértices de um quadrado de perímetro:

Questão 5:

(Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que, após caminhar 12,3 metros sobre a rampa, está a 1,5 metros de altura em relação ao solo.a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.