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MOQ – 13PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Professor: Rodrigo A. Scarpel
www.mec.ita.br/~rodrigo
Probabilidade e Estatística
Análise exploratória dos dados : obter dos dados a
maior quantidade possivel de informação
Análise confirmatória de dados : inferência estatística
“The Science of collecting and analyzing data for t he
purpose of drawing conclusions and making decisions ”
Métodos analíticos: extrair conhecimento útil para
tomada de decisão a partir de dados.
Objetivo: fazer coleta, redução, análise e modelagem
dos dados buscando:
Dados Informação Conhecimento Inteligência
Per
form
ance
Cor
pora
tiva
Dados
Relatórios
ModelosDescritivos
ModelosPreditivos
Otimização
Cenários & Análises
O O queque iráirá aconteceracontecer ? ?
QualQual o o melhormelhorcenáriocenário ??
PorPor queque aconteceuaconteceu ??
Como Como agiragireficazmenteeficazmente ??
O O queque aconteceuaconteceu ??
DesafioDesafio : : TransformarTransformar dados dados emem inteligênciainteligência
PROBABILIDADE X ESTATÍSTICA:
POPULAÇÃO AMOSTRA
PROBABILIDADE
ESTATÍSTICA
Em probabilidade assume-se que população em estudo é conh ecida
Em estatística, amostras são utilizadas para se chegar a conclusões
Programa do curso:
Regressão linear simples e correlação.Aplicações de modelos de regressão linear.
15 e 16
Prova14
Feriado (4/6)13
Testes não-paramétricos (associação, independência e de aderência).12
Testes de Hipóteses. Inferência baseada em 2 amostras (entre parâmetros de populações distintas).11
Intervalos de confiança (estimação por intervalo). Tamanho da amostra. Princípios de testes de hipóteses.10
Estimador, estimativa e propriedades dos estimadores. Estimação pontual de parâmetros (Métodos dos momentos e da máxima verossimilhança).9
Princípios de estatística. Amostras aleatórias. Distribuições amostrais. Teorema do limite central.8
Prova7
Principais distribuições de probabilidade contínuas (Exponencial negativa e Normal).6
Feriado (2/4)5
Principais distribuições de probabilidade discretas (Bernoulli, Binomial e Poisson).4
Valor esperado e variância. Variáveis aleatórias conjuntas, função distribuição conjunta e marginal. Independência estatística. Covariância e Coeficiente de Correlação.
3
Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Variáveis aleatórias. Distribuições de probabilidade. Funções massa, densidade, e distribuição acumulada. Funções de variáveis aleatórias.
2
Introdução à probabilidade (eventos, espaço amostral, axiomas, propriedades, probabilidade condicional e independência).
1
ConteúdoSemanas
Avaliação:
3 PROVAS: Prova 1, Prova 2 e Exame
Bibliografia:
Devore, J.L. (2000), Probability and Statistics for Engineering and the Sciences, 5th edition. Duxbury – Thomson Learning.
Devore, J.L. (2006), Probabilidade e Estatística para Engenhariae Ciências, Tradução da 6a edição, Thomson.
Walpole, R., Myers, R., Myers, S. e Ye, K. (2009), Probabilidadee Estatística para engenharia e ciências, 8a edição, Pearson.
Sites:
http:// www.mec.ita.br/~rodrigo/
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-05Spring-2005/CourseHome/
MOQ – 13INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Professor: Rodrigo A. Scarpel
www.mec.ita.br/~rodrigo
Programa do curso:
Regressão linear simples e correlação.Aplicações de modelos de regressão linear.
15 e 16
Prova14
Feriado (4/6)13
Testes não-paramétricos (associação, independência e de aderência).12
Testes de Hipóteses. Inferência baseada em 2 amostras (entre parâmetros de populações distintas).11
Intervalos de confiança (estimação por intervalo). Tamanho da amostra. Princípios de testes de hipóteses.10
Estimador, estimativa e propriedades dos estimadores. Estimação pontual de parâmetros (Métodos dos momentos e da máxima verossimilhança).9
Princípios de estatística. Amostras aleatórias. Distribuições amostrais. Teorema do limite central.8
Prova7
Principais distribuições de probabilidade contínuas (Exponencial negativa e Normal).6
Feriado (2/4)5
Principais distribuições de probabilidade discretas (Bernoulli, Binomial e Poisson).4
Valor esperado e variância. Variáveis aleatórias conjuntas, função distribuição conjunta e marginal. Independência estatística. Covariância e Coeficiente de Correlação.
3
Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Variáveis aleatórias. Distribuições de probabilidade. Funções massa, densidade, e distribuição acumulada. Funções de variáveis aleatórias.
2
Introdução à probabilidade (eventos, espaço amostral, axiomas, propriedades, probabilidade condicional e independência).
1
ConteúdoSemanas
Introdução à probabilidade:
O termo probabilidade se refere ao estudo da
aleatoriedade e da incerteza . Elementos básicos:
1. Definições iniciais
2. Eventos
3. Definições de probabilidade
4. Propriedades
5. Probabilidade condicional
6. Independência entre eventos
Definições iniciais:
Experimento : qualquer situação que pode ser reproduzida e
envolva incerteza.
Exs: Observar o preço de fechamento de uma ação.
Uma empresa lança um novo modelo de automóvel.
Espaço amostral (ΩΩΩΩ): conjunto de todos os possíveis resultados do
experimento
Exs: Cada possível preço de fechamento é um ponto do
espaço amostral.
Cada possível número de automóveis vendidos é um
ponto do espaço amostral.
Eventos:
Evento (A ⊆⊆⊆⊆ ΩΩΩΩ): é um sub-conjunto qualquer do espaço amostral.
Exs: O preço da ação fechar dentro de uma faixa de valores .
O número de automóveis vendidos, do novo modelo,
exceder um particular valor.
Evento impossível
Evento intersecção
Evento união
Evento complementar
Eventos mutuamente exclusivos
Definições de probabilidade:
Probabilidade : é uma medida da chance de ocorrência de um
fenômeno de interesse (evento).
Definições:
Clássica:
Frequentista:
Definição axiomática:
P (evento) = número de resultados favoráveisnúmero de resultados possíveis
(N) oexperiment do srealizaçõe de número
evento do observada limevento)(
frequênciaP
N ∞→=
i) Seja A um evento, P(A) ≥≥≥≥ 0
ii) P(ΩΩΩΩ) = 1
iii) Sejam A 1, A2, ... eventos mut. excl.,
P(A1 ∪∪∪∪ A2 ∪∪∪∪ ...) = )(1∑∞
=iiAP
Propriedades (consequências das definições):
i) P(∅∅∅∅) = 0
ii) P(A) + P(Ā) = 1
iii) P(B) = P(B ∩∩∩∩ A) + P(B ∩∩∩∩ Ā)
iv) P(A ∪∪∪∪B) = P(A) + P(B) - P(A ∩∩∩∩ B)
v) P(A∪∪∪∪B∪∪∪∪C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A ∩∩∩∩B)-P(A∩∩∩∩C)-P(B∩∩∩∩C)+P(A∩∩∩∩B∩∩∩∩C)
Probabilidade condicional:
Muitas vezes o fato de ficarmos sabendo que certo evento oc orreu faz
com que se modifique a probabilidade que atribuimos a ou tro evento.
Probabilidade condicional : probabilidade de ocorrência de um evento
quando se dispõe da informação que um outro evento ocorreu .
Partição do espaço amostral
P(A\B) →→→→ Probabilidade do evento A ocorrer sabendo-se que o evento B ocorreu
( ))(
)(\
BP
BAPBAP
∩=
( ) )(.\)( BPBAPBAP =∩Regra do produto:
Indepedência entre eventos:
Dois eventos são independentes quando: ( ) )(\ APBAP =
( ) )(.)( BPAPBAP =∩Pela regra do produto:
Eventos independentes x Eventos mutuamente exclusivos
Eventos complementares x Eventos concorrentes
Proposição: Se A e E são eventos independentes então:
A e Ē
Ā e Ē também são independentes
Ā e Ē
ASSOCIAÇÃO ENTRE EVENTOS
MARCA AB C DE TOTALAntarctica 25 30 17 72Brahma 31 36 22 89Kaiser 25 33 22 80Schincariol 4 15 30 49Skol 47 38 25 110TOTAL 132 152 116 400
Associação positiva entre classes DE e SCHIN
P(SCHIN) = 49/400 = 12,25%
P(SCHIN/DE) = 30/116 = 25,8%
Associação negativa entre classes DE e SKOL
P(SKOL) = 110/400 = 27,5%
P(SKOL/DE) = 21,5%
Exemplo: Mineração de Dados
Teoria da confiabilidade:
Objetivo: estudar as relações entre o funcionamento dos
componentes e do sistemas .
Exemplos de sistema:
1 2
1
2
Sendo: A i o evento “o componente i funciona”
F o evento “o sistema funciona”
A partir de p i a confiabilidade do componente i
Obtém-se P(F) a confiabilidade do sistema