Mosaicos de Penrose 2

“Mosaico de Penrose”,Sala de Matemáticas, Universum.

Juan Sandoval, EscultorJavier Bracho, Matemático.

Los Mosaicos de Penrose se construyen dos piezas:

papalote daga

con reglas de pegado dadas por los colores de los vértices.

¿Se puede llenar todo el plano?

Infle y

Desinfle:

“Penrose”

¿Realmente se puede llenar todo el plano?

Desinfle:

D(p) “ =’’ 2 p’ + 2( d’/2 )Donde: p’ = p , d’ = d .

D(d) “ =’’ p’ + 2( d’/2 )

El desinfle de un mosaico M:

D(M):

• Desinflar todas sus piezas• Fundir las medias dagas

D(M) tiene tamaño una escala aúrea menor.

Ejemplos

Desinfle cuarto del Sol

Queda claro que podemos hacer mosaicos tan grandes como queramos.Pero esto no es lo mismo que llenar el plano.

A menos que aprendamos a crecer, es decir, a anidar unos en otros.

Sol

D( Sol ) D2( Sol )

D3( Sol ) Sol 4 D4( Sol )

Por lo tanto, sabemos como crecer hasta cubrir todo el plano... … “Sol Infinito”

Una variación de esta idea, nos da una infinidad no numerable de Mosaicos de Penrose.

(series infinitas de 0 y 1 )

•El Sol Infinito tiene simetría caleidoscópica de orden 5.

•Insistamos entonces que un mosaico es periódico si tiene traslaciones en su grupo de simetrías.

•Y entonces podemos demostrar que el conjunto de piezas básicas de Penrose es aperiódico:

El Infle:El proceso de desinfle tiene un inverso.

•Partir en dos todas las dagas.•Borrar aristas chicas bicromáticas.•Juntar nuevas aristas chicas con grandes.

Al inflar las piezas se hacen más y más grandes,

y entoncesrebazan a cualquier translación

Teorema.Los mosaicos de Penrose no tienen traslaciones como simetrías.

Teorema.En un mosaicos de Penrose, la razón entre#(papalotes) y #(dagas) es aúrea.

D(d) = p + dComo

Entonces Dn(p) = F2n+1 p + F2n d

D(p) = 2 p + d

donde …. Fn … es la sucesión de Fibonachi:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...Fn+1

Fn

y

¿Existirá una sola pieza Aperiódica?

Entre otras muchas preguntas, queda abierta: