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Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos
Tema 6: Resolución aproximada de sistemas deecuaciones lineales
Francisco PalaciosEscuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Cataluña
Abril 2009, versión 1.5
Contenido
1. Método iterativo para sistemas lineales
2. Método de Jacobi y de Gauss-Seidel
3. Normas vectoriales y matriciales
4. Convergencia del método iterativo lineal
1 Método iterativo para sistemas lineales
1.1 Notaciones
En este tema, usamos letra negrita para matrices y vectores.
• Sistema de n ecuaciones con n incógnitas.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...
......
...
an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn• Forma matricial.
Ax = b⎛⎜⎜⎜⎝a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
⎞⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎝x1x2...
xn
⎞⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎝b1b2...
bn
⎞⎟⎟⎟⎠• Métodos directos
½Gauss
Cramer=⇒ Despejan x1, x2, . . . , xn.
1
Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales. 2
• Método iterativo =⇒ A partir de una aproximación inicial x(0), genera
una sucesión de vectores que tiende a la solución α del sistema.
x(0) =
⎛⎜⎝ x(0)1...
x(0)n
⎞⎟⎠ ,x(1) =⎛⎜⎝ x
(1)1...
x(1)n
⎞⎟⎠ , . . . ,x(j) =⎛⎜⎝ x
(j)1...
x(j)n
⎞⎟⎠ j→∞−→ α =
⎛⎜⎝ α1...
αn
⎞⎟⎠Nota. Observa que usamos superíndices para indicar el número de iteración
y subíndices para indicar la componente del vector, así x(7)3 es la tercera
componente del vector x(7) obtenido en la fase 7.
Ejemplo 1.1 Método de Jacobi.
Consideramos el sistema de ecuaciones lineales⎧⎨⎩10x1 + x2 + x3 = 12
x1 + 5x2 + x3 = 7
x1 + x2 + 20x3 = 1
Despejamos x1 en la primera ecuación, x2 en la segunda y x3 en la tercera⎧⎨⎩x1 = 1.2− 0.1x2 − 0.1x3x2 = 1.4− 0.2x1 − 0.2x3x3 = 0.05− 0.05x1 − 0.05x2
y establecemos la siguiente fórmula de recurrencia.⎧⎪⎨⎪⎩x(j+1)1 = 1.2− 0.1x(j)2 − 0.1x(j)3x(j+1)2 = 1.4− 0.2x(j)1 − 0.2x(j)3x(j+1)3 = 0.05− 0.05x(j)1 − 0.05x(j)2
Matricialmente, resulta⎛⎜⎝ x(j+1)1
x(j+1)2
x(j+1)3
⎞⎟⎠ =
⎛⎝ 0 −0.1 −0.1−0.2 0 −0.2−0.05 −0.05 0
⎞⎠⎛⎜⎝ x
(j)1
x(j)2
x(j)3
⎞⎟⎠+⎛⎝ 1.2
1.4
0.05
⎞⎠ .Si partimos del vector
x(0) =
⎛⎝ 0
0
0
⎞⎠ ,obtenemos
x(1) =
⎛⎝ 0 −0.1 −0.1−0.2 0 −0.2−0.05 −0.05 0
⎞⎠⎛⎝ 0
0
0
⎞⎠+⎛⎝ 1.2
1.4
0.05
⎞⎠ =
⎛⎝ 1.2
1.4
0.05
⎞⎠ ,
Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales. 3
x(2) =
⎛⎝ 0 −0.1 −0.1−0.2 0 −0.2−0.05 −0.05 0
⎞⎠⎛⎝ 1.2
1.4
0.05
⎞⎠+⎛⎝ 1.2
1.4
0.05
⎞⎠ =
⎛⎝ 1. 055
1. 15
−0.0 8
⎞⎠ ,x(3) =
⎛⎝ 0 −0.1 −0.1−0.2 0 −0.2−0.05 −0.05 0
⎞⎠⎛⎝ 1. 055
1. 15
−0.0 8
⎞⎠+⎛⎝ 1.2
1.4
0.05
⎞⎠ =
⎛⎝ 1. 093
1. 205
−0.0 6025
⎞⎠ ,x(4) =
⎛⎝ 0 −0.1 −0.1−0.2 0 −0.2−0.05 −0.05 0
⎞⎠⎛⎝ 1. 093
1. 205
−0.0 6025
⎞⎠+⎛⎝ 1.2
1.4
0.05
⎞⎠ =
⎛⎝ 1. 08552 5
1. 19345
−0.0 649
⎞⎠ ,x(5) =
⎛⎝ 1. 08714 5
1. 19587 5
−0.0 63948 75
⎞⎠ , x(6) =
⎛⎝ 1. 08680 738
1. 19536 075
−0.0 64151
⎞⎠ ,x(7) =
⎛⎝ 1. 08687 903
1. 19546 872
−0.06 41084 0
⎞⎠ , x(8) =
⎛⎝ 1. 08686 397
1. 19544 587
−0.06 411738
⎞⎠ .Vemos que los sucesivos vectores convergen a un vector que, con 4 decimales,
sería
α =
⎛⎝ 1.0869
1.1954
−0.0641
⎞⎠ .La solución del sistema, con 8 decimales, es
α =
⎛⎝ 1. 08686 66
1. 19544 984
−0.06 41158 2
⎞⎠ .Observa que el método descrito puede escribirse en la forma
x(j+1) =Mx(j) + c,
donde
M =
⎛⎝ 0 −0.1 −0.1−0.2 0 −0.2−0.05 −0.05 0
⎞⎠ , c =
⎛⎝ 1.2
1.4
0.05
⎞⎠ . ¤
1.2 Método iterativo lineal
Objetivo
Partimos de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas
Ax = b
con solución α.
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Queremos obtener una expresión de punto fijo equivalente
x =Mx+ c
para construir una fórmula de recurrencia
x(j+1) =Mx(j) + c
que origine una sucesión convergente a la solución
x(0),x(1), . . . ,x(j), . . .j→∞−→ α.
Construcción del método
1. Tomamos N matriz cuadrada de orden n fácilmente invertible.
2. Expresamos A = N−P.
Entonces, resulta el sistema equivalente
x =Mx+ c,
con ⎧⎨⎩P = N−A,M = N−1P,c = N−1b.
Demostración. Partimos de
Ax = b,
sustituimos A = N−P(N−P)x = b,
resultaNx−Px = b,Nx = Px+ b,
x = N−1 (Px+ b) ,x = N−1P| {z }
M
x+ N−1b| {z } .c
¤
Método iterativo (correspondiente a la matriz N)½x(0) = vector inicial
x(j+1)=Mx(j)+c
donde ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩N matriz que define el método,
P = N−A,M = N−1P,c = N−1b.
Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales. 5
Ejemplo 1.2 Dado el sistema⎧⎨⎩x1 + 2x2 + 30x3 = 1
2x1 + 10x2 + x3 = 2
20x1 + x2 + x3 = 3
(a) Plantea el método iterativo para
N =
⎛⎝ 0 0 30
0 10 0
20 0 0
⎞⎠ .(b) Aproxima la solución con 4 decimales a partir de x(0) = ~0.
Forma matricial del sistema⎛⎝ 1 2 30
2 10 1
20 1 1
⎞⎠| {z }
A
⎛⎝ x1x2x3
⎞⎠ =
⎛⎝ 1
2
3
⎞⎠| {z }
.
b
(a) Planteamiento del método.
Calculamos P.
P = N−A =
⎛⎝ 0 0 30
0 10 0
20 0 0
⎞⎠−⎛⎝ 1 2 30
2 10 1
20 1 1
⎞⎠ =
⎛⎝ −1 −2 0
−2 0 −10 −1 −1
⎞⎠ .CalculamosN−1 usando el método de Gauss-Jordan, empezamos con (N|I3) .⎛⎝ 0 0 30
0 10 0
20 0 0
¯¯ 1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞⎠ Cambio 1a y 3a
=⇒⎛⎝ 20 0 0
0 10 0
0 0 30
¯¯ 0 0 1
0 1 0
1 0 0
⎞⎠dividiendo la primera fila por 20, la segunda por 10 y la tercera por 30,
resulta: ⎛⎝ 1 0 0
0 1 0
0 0 1
¯¯ 0 0 1/20
0 1/10 0
1/30 0 0
⎞⎠ =¡I3|N−1
¢.
Obtenemos
N−1 =
⎛⎝ 0 0 0.0 5
0 0. 1 0
0.033333 0 0
⎞⎠ .
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CalculamosM.
M = N−1P =
⎛⎝ 0 0 0.0 5
0 0. 1 0
0.033333 0 0
⎞⎠⎛⎝ −1 −2 0
−2 0 −10 −1 −1
⎞⎠
M =
⎛⎝ 0 −0.0 5 −0.0 5−0. 2 0 −0. 1
−0.0 33333 −0.0 66666 0
⎞⎠ .Calculamos c.
c = N−1b =
⎛⎝ 0 0 0.0 5
0 0. 1 0
0.033333 0 0
⎞⎠⎛⎝ 1
2
3
⎞⎠ =
⎛⎝ 0. 15
0. 2
0.0 33333
⎞⎠ .Fórmula de recurrencia.⎛⎜⎝ x
(j+1)1
x(j+1)2
x(j+1)3
⎞⎟⎠ =
⎛⎝ 0 −0.0 5 −0.0 5−0. 2 0 −0. 1
−0.0 33333 −0.0 66666 0
⎞⎠⎛⎜⎝ x
(j)1
x(j)2
x(j)3
⎞⎟⎠+⎛⎝ 0. 15
0. 2
0.0 33333
⎞⎠ .(b) Iteraciones.
Partimos del vector
x(0) =
⎛⎝ 0
0
0
⎞⎠ ,obtenemos
x(1) =
⎛⎝ 0. 15
0. 2
0.0 33333
⎞⎠ ,
x(2) =
⎛⎝ 0 −0.0 5 −0.0 5−0. 2 0 −0. 1
−0.0 33333 −0.0 66666 0
⎞⎠⎛⎝ 0. 15
0. 2
0.0 33333
⎞⎠+⎛⎝ 0. 15
0. 2
0.0 33333
⎞⎠=
⎛⎝ 0.13833 3
0.16666 7
0.015000
⎞⎠ ,
x(3) =
⎛⎝ 0 −0.0 5 −0.0 5−0. 2 0 −0. 1
−0.0 33333 −0.0 66666 0
⎞⎠⎛⎝ 0. 13833 3
0. 16666 7
0.015000
⎞⎠+⎛⎝ 0. 15
0. 2
0.0 33333
⎞⎠=
⎛⎝ 0.14091 7
0.17083 3
0.017610
⎞⎠ ,
Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales. 7
x(4) =
⎛⎝ 0 −0.0 5 −0.0 5−0. 2 0 −0. 1
−0.0 33333 −0.0 66666 0
⎞⎠⎛⎝ 0. 14091 7
0. 17083 3
0.017610
⎞⎠+⎛⎝ 0. 15
0. 2
0.0 33333
⎞⎠=
⎛⎝ 0.14057 8
0.17005 6
0.017247
⎞⎠ ,
x(5) =
⎛⎝ 0 −0.0 5 −0.0 5−0. 2 0 −0. 1
−0.0 33333 −0.0 66666 0
⎞⎠⎛⎝ 0. 14057 8
0. 17005 6
0.017247
⎞⎠+⎛⎝ 0. 15
0. 2
0.0 33333
⎞⎠=
⎛⎝ 0.14063 5
0.170160
0.017310
⎞⎠ ,
x(6) =
⎛⎝ 0 −0.0 5 −0.0 5−0. 2 0 −0. 1
−0.0 33333 −0.0 66666 0
⎞⎠⎛⎝ 0.14063 5
0.170160
0.017310
⎞⎠+⎛⎝ 0. 15
0. 2
0.0 33333
⎞⎠=
⎛⎝ 0.14062 7
0.17014 2
0.017301
⎞⎠ .El vector de error estimado en la iteración 6 es
e(6) = x(6) − x(5) =⎛⎝ −0.00000 8−0.0000 18−0.00000 9
⎞⎠ .Tomamos como solución
α =
⎛⎝ 0.1406
0.1701
0.0173
⎞⎠ .La solución del sistema, con 8 decimales, es
α =
⎛⎝ 0.14062 765
0.17014 419
0.0173027 8
⎞⎠ .El vector de error es
e(6) = α− x(6)=⎛⎝ 0.6 5× 10−60. 219× 10−50.178× 10−5
⎞⎠ . ¤
Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales. 8
2 Método de Jacobi y de Gauss-Seidel
Dada una matriz cuadrada A, definimos
• LA matriz con la parte subdiagonal de A (low).
• DA matriz con la parte diagonal de A (diagonal).
• UA matriz con la parte sobrediagonal de A (upper).
Se cumple
A = LA+DA+UA.
Si A es de orden 3,
A =
⎛⎝ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
⎞⎠resulta
LA=
⎛⎝ 0 0 0
a21 0 0
a31 a32 0
⎞⎠ , DA=
⎛⎝ a11 0 0
0 a22 0
0 0 a33
⎞⎠ , UA=
⎛⎝ 0 a12 a130 0 a230 0 0
⎞⎠ .• Método de Jacobi Tomamos N = DA.
• Método de Gauss-Seidel Tomamos N = LA+DA.
Ejemplo 2.1 Consideramos el sistema de ecuaciones lineales⎧⎨⎩10x1 − x2 − x3 = 12−x1 + 10x2 − x3 = 1−x1 − x2 + 10x3 = −61
(a) Formula el método de Jacobi.
(b) Haz 4 iteraciones a partir del vector inicial x(0) = ~0.
(c) Calcula el vector de error estimado e(4)= x(4) − x(3)(d) Calcula la solución del sistema α y el vector de error e(4)= α− x(4).
(a) Construcción del método.
Forma matricial del sistema⎛⎝ 10 −1 −1−1 10 −1−1 −1 10
⎞⎠| {z }
A
⎛⎝ x1x2x3
⎞⎠ =
⎛⎝ 12
1
−61
⎞⎠| {z }
b
.
Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales. 9
Matriz que define el método iterativo
N = DA =
⎛⎝ 10 0 0
0 10 0
0 0 10
⎞⎠ .Matriz P
P = N−A =
⎛⎝ 10 0 0
0 10 0
0 0 10
⎞⎠−⎛⎝ 10 −1 −1−1 10 −1−1 −1 10
⎞⎠ =
⎛⎝ 0 1 1
1 0 1
1 1 0
⎞⎠ .Inversa de N
N−1 =
⎛⎝ 0.1 0 0
0 0.1 0
0 0 0.1
⎞⎠ .Matrices M y c
M = N−1P =
⎛⎝ 0.1 0 0
0 0.1 0
0 0 0.1
⎞⎠⎛⎝ 0 1 1
1 0 1
1 1 0
⎞⎠ =
⎛⎝ 0 0. 1 0.1
0.1 0 0.1
0.1 0.1 0
⎞⎠ ,
c = N−1b =
⎛⎝ 0.1 0 0
0 0.1 0
0 0 0.1
⎞⎠⎛⎝ 12
1
−61
⎞⎠ =
⎛⎝ 1. 2
0. 1
−6. 1
⎞⎠ .Método iterativo.⎛⎜⎝ x
(j+1)1
x(j+1)2
x(j+1)3
⎞⎟⎠ =
⎛⎝ 0 0. 1 0.1
0.1 0 0.1
0.1 0.1 0
⎞⎠⎛⎜⎝ x
(j)1
x(j)2
x(j)3
⎞⎟⎠+⎛⎝ 1. 2
0. 1
−6. 1
⎞⎠ .(b) Cálculo de las iteraciones.
Partimos del vector
x(0) =
⎛⎝ 0
0
0
⎞⎠ ,obtenemos
x(1) =
⎛⎝ 0 0. 1 0.1
0.1 0 0.1
0.1 0.1 0
⎞⎠⎛⎝ 0
0
0
⎞⎠+⎛⎝ 1. 2
0. 1
−6. 1
⎞⎠ =
⎛⎝ 1. 2
0. 1
−6. 1
⎞⎠ ,
x(2) =
⎛⎝ 0 0. 1 0.1
0.1 0 0.1
0.1 0.1 0
⎞⎠⎛⎝ 1. 2
0. 1
−6. 1
⎞⎠+⎛⎝ 1. 2
0. 1
−6. 1
⎞⎠ =
⎛⎝ 0. 6
−0. 39−5. 97
⎞⎠ ,
Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales. 10
x(3) =
⎛⎝ 0 0. 1 0.1
0.1 0 0.1
0.1 0.1 0
⎞⎠⎛⎝ 0. 6
−0. 39−5. 97
⎞⎠+⎛⎝ 1. 2
0. 1
−6. 1
⎞⎠ =
⎛⎝ 0. 564
−0. 437−6. 079
⎞⎠ ,x(4) =
⎛⎝ 0 0. 1 0.1
0.1 0 0.1
0.1 0.1 0
⎞⎠⎛⎝ 0. 564
−0. 437−6. 079
⎞⎠+⎛⎝ 1. 2
0. 1
−6. 1
⎞⎠ =
⎛⎝ 0. 5484
−0. 4515−6. 0873
⎞⎠ .(c) Error estimado.
e(4)= x(4) − x(3) =⎛⎝ 0. 5484
−0. 4515−6. 0873
⎞⎠−⎛⎝ 0. 564
−0. 437−6. 079
⎞⎠ =
⎛⎝ −0.0 156−0.0 145−0.00 83
⎞⎠ .(d) Resolvemos el sistema por Cramer.
∆ =
¯¯ 10 −1 −1−1 10 −1−1 −1 10
¯¯ = 968, ∆1 =
¯¯ 12 −1 −11 10 −1−61 −1 10
¯¯ = 528,
∆2 =
¯¯ 10 12 −1−1 1 −1−1 −61 10
¯¯ = −440, ∆3 =
¯¯ 10 −1 12
−1 10 1
−1 −1 −61
¯¯ = −5896.
La solución del sistema es
α =
⎛⎝ 528/968
−440/968−5896/968
⎞⎠ ,si aproximamos con 6 decimales, obtenemos
α =
⎛⎝ 0. 54545 5
−0. 45454 5−6. 090909
⎞⎠ .El vector de error es
e(4)= α− x(4) =⎛⎝ 0. 54545 5
−0. 45454 5−6. 090909
⎞⎠−⎛⎝ 0. 5484
−0. 4515−6. 0873
⎞⎠ =
⎛⎝ −0.00 2945−0.00 3045−0.00 3609
⎞⎠ . ¤
Ejemplo 2.2 Consideramos el sistema de ecuaciones lineales⎧⎨⎩10x1 − x2 − x3 = 12−x1 + 10x2 − x3 = 1−x1 − x2 + 10x3 = −61
(a) Formula el método de Gauss-Seidel.
(b) Haz 4 iteraciones a partir del vector inicial x(0) = ~0.
(c) Calcula el vector de error estimado e(4)= x(4) − x(3)(d) Calcula el vector de error e(4)= α− x(4).
Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales. 11
(a) Construcción del método.
Matriz que define el método iterativo
N = LA +DA =
⎛⎝ 10 0 0
−1 10 0
−1 −1 10
⎞⎠ .Matriz P
P = N−A =
⎛⎝ 10 0 0
−1 10 0
−1 −1 10
⎞⎠−⎛⎝ 10 −1 −1−1 10 −1−1 −1 10
⎞⎠ =
⎛⎝ 0 1 1
0 0 1
0 0 0
⎞⎠ .Inversa de N
N−1 =
⎛⎝ 110
0 01100
110
0111000
1100
110
⎞⎠ =
⎛⎝ 0. 1 0 0
0.0 1 0. 1 0
0.0 11 0.0 1 0. 1
⎞⎠ .Matrices M y c
M = N−1P =
⎛⎝ 0. 1 0 0
0.0 1 0. 1 0
0.0 11 0.0 1 0. 1
⎞⎠⎛⎝ 0 1 1
0 0 1
0 0 0
⎞⎠ =
⎛⎝ 0 0. 1 0. 1
0 0.0 1 0. 11
0 0.0 11 0.0 21
⎞⎠ ,c = N−1b =
⎛⎝ 0. 1 0 0
0.0 1 0. 1 0
0.0 11 0.0 1 0. 1
⎞⎠⎛⎝ 12
1
−61
⎞⎠ =
⎛⎝ 1. 2
0. 22
−5. 958
⎞⎠ .Método iterativo⎛⎜⎝ x
(j+1)1
x(j+1)2
x(j+1)3
⎞⎟⎠ =
⎛⎝ 0 0. 1 0. 1
0 0.0 1 0. 11
0 0.0 11 0.0 21
⎞⎠⎛⎜⎝ x
(j)1
x(j)2
x(j)3
⎞⎟⎠+⎛⎝ 1. 2
0. 22
−5. 958
⎞⎠ .(b) Cálculo de las iteraciones.
Partimos del vector
x(0) =
⎛⎝ 0
0
0
⎞⎠ ,obtenemos
x(1) =
⎛⎝ 0 0. 1 0. 1
0 0.0 1 0. 11
0 0.0 11 0.0 21
⎞⎠⎛⎝ 0
0
0
⎞⎠+⎛⎝ 1. 2
0. 22
−5. 958
⎞⎠ =
⎛⎝ 1. 2
0. 22
−5. 958
⎞⎠ ,
Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales. 12
x(2) =
⎛⎝ 0 0. 1 0. 1
0 0.0 1 0. 11
0 0.0 11 0.0 21
⎞⎠⎛⎝ 1. 2
0. 22
−5. 958
⎞⎠+⎛⎝ 1. 2
0. 22
−5. 958
⎞⎠ =
⎛⎝ 0. 6262
−0. 43318−6. 0807
⎞⎠ ,x(3) =
⎛⎝ 0 0. 1 0. 1
0 0.0 1 0. 11
0 0.0 11 0.0 21
⎞⎠⎛⎝ 0. 6262
−0. 43318−6. 0807
⎞⎠+⎛⎝ 1. 2
0. 22
−5. 958
⎞⎠ =
⎛⎝ 0. 54861 2
−0. 45320 9−6. 09046
⎞⎠ ,x(4) =
⎛⎝ 0 0. 1 0. 1
0 0.0 1 0. 11
0 0.0 11 0.0 21
⎞⎠⎛⎝ 0. 54861 2
−0. 45320 9−6. 09046
⎞⎠+⎛⎝ 1. 2
0. 22
−5. 958
⎞⎠ =
⎛⎝ 0. 54563 3
−0. 45448 3−6. 09088
⎞⎠ .(c) Error estimado.
e(4)= x(4)−x(3) =⎛⎝ 0. 54563 3
−0. 45448 3−6. 09088
⎞⎠−⎛⎝ 0. 54861 2
−0. 45320 9−6. 09046
⎞⎠ =
⎛⎝ −0.00 2979−0.00 1274−0.000 42
⎞⎠ .(d) El vector de error es
e(4)= α− x(4) =⎛⎝ 0. 54545 5
−0. 45454 5−6. 090909
⎞⎠−⎛⎝ 0. 54563 3
−0. 45448 3−6. 09088
⎞⎠ =
⎛⎝ −0.000 178−0.0000 62−0.0000 29
⎞⎠ . ¤
3 Normas vectoriales y matriciales
3.1 Norma vectorial
Una norma sobre Rn es una aplicación x → kxk que hace corresponder unnúmero real no negativo a cada vector x. Dados x,y ∈ Rn, λ ∈ R, laspropiedades que definen las normas son las siguientes.
1. kxk ≥ 0.2. kxk = 0 si y sólo si x = ~0.3. kλxk = |λ| kxk .4. kx+ yk ≤ kxk+ kyk .
3.2 Algunas normas vectoriales
Sea el vector
x =
⎛⎜⎜⎜⎝x1x2...
xn
⎞⎟⎟⎟⎠ .
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• Norma 1kxk1 = |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn| .
• Norma 2 (norma euclídea)
kxk2 =qx21 + x
22 + · · ·+ x2n.
• Norma de infinitokxk∞ = max
i|xi| .
Podemos entender que cada norma nos proporciona una manera de medir
la longitud de los vectores. Nosotros utilizaremos kxk∞ .
Ejemplo 3.1 Dado el vector
x =
⎛⎜⎜⎝1
0
3
−2
⎞⎟⎟⎠ ,calcula kxk1, kxk2 y kxk∞ .
kxk1 = |1|+ |0|+ |3|+ |−2| = 6,kxk2 =
√1 + 9 + 4 =
√14,
kxk∞ = {|1| , |0| , |3| , |−2|} = 3. ¤
3.3 Sucesión vectorial convergente
Consideremos el sistema de n ecuaciones con n incógnitas
Ax = b
con solución
α =
⎛⎜⎜⎜⎝α1α2...
αn
⎞⎟⎟⎟⎠ ,y sea
¡x(j)
¢una sucesión de vectores
x(0) =
⎛⎜⎝ x(0)1...
x(0)n
⎞⎟⎠ ,x(1) =⎛⎜⎝ x
(1)1...
x(1)n
⎞⎟⎠ , . . . ,x(j) =⎛⎜⎝ x
(j)1...
x(j)n
⎞⎟⎠ .
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La sucesión de errores es
e(0) = α− x(0), e(1) = α− x(1), . . . , e(j) = α− x(j).
Definición La sucesión¡x(j)
¢converge a α si, para alguna norma1, se
cumple
limj→∞
°°α− x(j)°° = 0.Con la norma de infinito, resulta
limj→∞
³maxi
¯αi − x(j)i
¯´= 0.
Ejemplo 3.2 Norma de errores.
Supongamos la solución
α =
⎛⎝ 1
2
3
⎞⎠ .Si la primera aproximación es
x(1) =
⎛⎝ 0.9
2.1
3.2
⎞⎠ ,obtenemos
e(1) = α− x(1) =⎛⎝ 1
2
3
⎞⎠−⎛⎝ 0.9
2.1
3.2
⎞⎠ =
⎛⎝ 0. 1
−0. 1−0. 2
⎞⎠ .°°e(1)°°∞ = max{0.1, 0.1, 0.2} = 0.2.
Supongamos que la segunda aproximación es
x(2) =
⎛⎝ 0.99
2.01
3.02
⎞⎠ ,entonces
e(2) = α− x(2) =⎛⎝ 1
2
3
⎞⎠−⎛⎝ 0.99
2.01
3.02
⎞⎠ =
⎛⎝ 0. 01
−0. 01−0. 02
⎞⎠ ,°°e(2)°°∞ = max{0.01, 0.01, 0.02} = 0.02. ¤
1Puede demostrarse que si se cumple para una norma, entonces se cumple para todas.
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3.4 Norma matricial compatible
3.4.1 Norma de infinito de una matriz
Consideremos una matriz de p filas y n columnas
M =
⎛⎜⎜⎜⎝m11 m12 · · · m1nm21 m22 · · · m2n...
.... . .
...
mp1 mp2 · · · mpn
⎞⎟⎟⎟⎠la norma de infinito de la matriz es
kMk∞ = maxi=1..p
{|mi1|+ |mi2|+ · · ·+ |min|} .
Con mayor claridad, para calcular kMk∞ procedemos como sigue:
1. Calculamos las sumas de valores absolutos de las filas
s1 = |m11|+ |m12|+ · · ·+ |m1n| ,s2 = |m21|+ |m22|+ · · ·+ |m2n| ,... =
......
...
sp = |mp1|+ |mp2|+ · · ·+ |mpn| .
2. Calculamos el máximo de los valores si
kMk∞ = maxi{s1, s2, . . . , sp}.
Ejemplo 3.3 Calcula kMk∞ para la matriz
M =
⎛⎝ 1 −1 2
1 0 2
3 −1 −1
⎞⎠ .
Calculamos las sumas de filas
fila 1 s1 = |1|+ |−1|+ |2| = 4,fila 2 s2 = |1|+ |0|+ |2| = 3,fila 3 s3 = |3|+ |−1|+ |−1| = 5.
Entonces
kMk∞ = max{4, 3, 5} = 5. ¤
Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales. 16
3.4.2 Propiedades de k k∞Sean M y N matrices reales, λ ∈ R y supongamos que, en cada caso, lasmatrices tienen las dimensiones adecuadas para que las operaciones puedan
realizarse. Se cumplen las siguientes propiedades:
1. kMk∞ ≥ 0.2. kMk∞ = 0 si y sólo siM es una matriz nula.
3. kλMk∞ = |λ| kMk∞ .4. kM+Nk∞ ≤ kMk∞ + kNk∞ .5. kMNk∞ ≤ kMk∞ kNk∞ .
Las propiedades 1-4, son las mismas que las de las normas vectoriales. La
propiedad 5, es aplicable cuando x es un vector columna, entonces resulta
kMxk∞ ≤ kMk∞ kxk∞ .
Ejemplo 3.4 Para la matriz M y el vector x
M =
⎛⎝ 1 −1 2
1 0 2
3 −1 −1
⎞⎠ , x =
⎛⎝ 1
1
1
⎞⎠ ,verifica que se cumple la propiedad
kMxk∞ ≤ kMk∞ kxk∞ .
Calculamos kMk∞ y kxk∞kMk∞ = max{4, 3, 5} = 5,kxk∞ = max{1, 1, 1} = 1.
El vectorMx es
Mx =
⎛⎝ 1 −1 2
1 0 2
3 −1 −1
⎞⎠⎛⎝ 1
1
1
⎞⎠ =
⎛⎝ 2
3
1
⎞⎠ ,obtenemos
kMxk∞ =
°°°°°°⎛⎝ 2
3
1
⎞⎠°°°°°°∞
= 3.
Vemos que se cumple
kMxk∞ = 3
kMk∞ kxk∞ = 5
¾⇒ kMxk∞ ≤ kMk∞ kxk∞ . ¤
Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales. 17
4 Convergencia del método iterativo
4.1 Teorema de convergencia
Teorema 4.1 Sea
• Ax = b sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas.
• α =
⎛⎜⎜⎜⎝α1α2...
αn
⎞⎟⎟⎟⎠ solución del sistema.
• N matriz cuadrada de orden n (fácilmente invertible).
• P = N−A.• M = N−1P.
• c = N−1b.• x(j+1)=Mx(j)+c.
Entonces,
1. La solución α cumple
α =Mα+ c.
2. El error e(j) = α− x(j) verifica
e(j+1) =Me(j).
3. La norma del error°°e(j)°°∞ =
°°α− x(j)°°∞, cumple°°e(j+1)°°∞ ≤ kMk∞ °°e(j)°°∞ .4. Si e(0) = α− x(0) es el error inicial, tenemos°°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞ )j °°e(0)°°∞ .5. Si kMk∞ < 1, la sucesión de vectores x(0),x(1), . . . ,x(j), generados
por el método iterativo
x(j+1)=Mx(j)+c
converge a la solución α para cualquier vector inicial x(0).
Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales. 18
Demostración.
(1)
Aα = b
(N−P)α = bNα−Pα = bNα = Pα+ b
α = N−1 (Pα+ b)
α = N−1P| {z }M
α+ N−1b| {z }c
(2)
e(j+1) = α− x(j+1)= (Mα+ c)−
³Mx(j)+c
´= Mα−Mx(j)=M
³α− x(j)
´=Me(j).
(3) Por la propiedad 5 de la norma de infinito°°e(j+1)°°∞ =°°°Me(j)
°°°∞≤ kMk∞
°°e(j)°°∞ .(4) Aplicamos reiteradamente la propiedad (3)°°e(1)°°∞ ≤ kMk∞ °°e(0)°°∞°°e(2)°°∞ ≤ kMk∞ °°e(1)°°∞ ≤ (kMk∞)2 °°e(0)°°∞°°e(3)°°∞ ≤ kMk∞ °°e(2)°°∞ ≤ (kMk∞)3 °°e(0)°°∞y, en general, °°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞ )j °°e(0)°°∞ .(5) Tenemos, °°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞ )j °°e(0)°°∞si kMk∞ < 1, entonces
(kMk∞ )j(j→∞)−→ 0,
por lo tanto°°α− x(j)°°∞ = °°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞ )j °°e(0)°°∞ (j→∞)−→ 0. ¤
Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales. 19
4.2 Cotas prácticas de error
Consideremos el error estimado
e(j) = x(j)−x(j−1),las cotas prácticas de error, nos permiten acotar el error
e(j) = α− x(j)
a partir del error estimado.
Proposición 4.1 El error estimado cumple°°e(j+1)°°∞ ≤ kMk∞ °°e(j)°°∞ .
Demostración.
e(j+1) = x(j+1) − x(j)=
³Mx(j)+c
´−³Mx(j−1)+c
´= Mx(j) −Mx(j−1)=M
³x(j) − x(j−1)
´=Me(j).
Aplicando la Propiedad 5 de las normas matriciales, resulta°°e(j+1)°°∞ =°°°Me(j)
°°°∞≤ kMk∞
°°e(j)°°∞ . ¤
Teorema 4.2 (cota de un paso) Si kMk∞ < 1, se cumple la siguiente
relación entre el error e(j) y el error estimado e(j)
°°e(j)°°∞ ≤ kMk∞1− kMk∞
°°e(j)°°∞ .Demostración.°°e(j)°°∞ =
°°α− x(j)°°∞ =°°α− x(j+1) + x(j+1) − x(j)°°∞
≤°°α− x(j+1)°°∞ + °°x(j+1) − x(j)°°∞ = °°e(j+1)°°∞ + °°e(j+1)°°∞
≤ kMk∞°°e(j)°°∞ + kMk∞ °°e(j)°°∞
obtenemos °°e(j)°°∞ − kMk∞ °°e(j)°°∞ ≤ kMk∞ °°e(j)°°∞(1− kMk∞)
°°e(j)°°∞ ≤ kMk∞ °°e(j)°°∞Si kMk∞ < 1, el factor (1− kMk∞) es positivo, por lo tanto°°e(j)°°∞ ≤ kMk∞
°°e(j)°°∞1− kMk∞
. ¤
Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales. 20
Teorema 4.3 (cota de j pasos) Si kMk∞ < 1, se cumple la siguiente
relación entre el error e(j) y el error estimado inicial e(1) = x(1)−x(0)
°°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞)j1− kMk∞
°°e(1)°°∞Demostración. Según hemos visto en el Teorema 4.1,°°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞)(j−1) °°e(1)°°∞ (1)
si aplicamos la acotación en un paso a°°e(1)°°∞ , resulta°°e(1)°°∞ ≤ kMk∞
1− kMk∞°°e(1)°°∞ . (2)
Combinando (1) y (2), obtenemos
°°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞)j1− kMk∞
°°e(1)°°∞ . ¤
Ejemplo 4.1 Consideramos el sistema de ecuaciones½20x1 − x2 = 18x1 + 20x2 = 41
(a) Formula matricialmente el sistema y calcula la solución exacta.
(b) Formula el método de Jacobi.
(c) Estudia la convergencia.
(d) Haz 4 iteraciones a partir del vector inicial x(0)= ~0, calcula una cota de
error para e(4).
(e) Verifica los resultados del apartado anterior.
(f) Calcula el número de iteraciones necesario para aproximar la solución
con 8 decimales exactos a partir de x(0)= ~0.
(a) µ20 −11 20
¶µx1x2
¶=
µ18
41
¶∆ =
¯20 −11 20
¯= 401, ∆1 =
¯18 −141 20
¯= 401, ∆2 =
¯20 18
1 41
¯= 802
x1 =∆1
∆= 1, x2 =
∆2
∆= 2
Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales. 21
α =
µ1
2
¶.
(b) Matriz del método de Jacobi
N =
µ20 0
0 20
¶.
CalculamosM y c
P = N−A =
µ20 0
0 20
¶−µ20 −11 20
¶=
µ0 1
−1 0
¶,
N−1=µ1/20 0
0 1/20
¶=
µ0.0 5 0
0 0.0 5
¶,
M = N−1P =µ0.0 5 0
0 0.0 5
¶µ0 1
−1 0
¶=
µ0 0.05
−0.05 0
¶,
c = N−1b =µ0.0 5 0
0 0.0 5
¶µ18
41
¶=
µ0. 9
2. 05
¶.
Fórmula de recurrencia.Ãx(j+1)1
x(j+1)2
!=
µ0 0.05
−0.05 0
¶Ãx(j)1
x(j)2
!+
µ0. 9
2. 05
¶
(c) Tenemos
kMk∞ = max{|0.05| , |−0.05|} = 0.05 < 1,
por lo tanto, la sucesión de aproximaciones¡x(j)
¢convergen a α para cual-
quier vector inicial x(0).
(d) Cálculo de las iteraciones
x(0) =
µ0
0
¶,
x(1) =
µ0 0.05
−0.05 0
¶µ0
0
¶+
µ0. 9
2. 05
¶=
µ0. 9
2. 05
¶,
x(2) =
µ0 0.05
−0.05 0
¶µ0. 9
2. 05
¶+
µ0. 9
2. 05
¶=
µ1. 0025
2. 005
¶,
x(3) =
µ0 0.05
−0.05 0
¶µ1. 0025
2. 005
¶+
µ0. 9
2. 05
¶=
µ1. 00025
1. 99987 5
¶,
x(4) =
µ0 0.05
−0.05 0
¶µ1. 00025
1. 99987 5
¶+
µ0. 9
2. 05
¶=
µ0. 99999 375
1. 99998 75
¶.
Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales. 22
Cota de error. Según el Teorema 4.3,°°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞)j1− kMk∞
°°e(1)°°∞ .La norma del error estimado inicial es°°e(1)°°∞ =
°°x(1) − x(0)°°∞ = °°°°µ 0. 9
2. 05
¶°°°°∞= 2.05,
por lo tanto °°e(4)°°∞ ≤ (0.05)4
1− 0.05 2.05 = 0.1 34868 42× 10−4. (3)
Esto es, podemos asegurar 4 decimales exactos en todas las componentes.
(e) El error exacto es°°e(4)°°∞ =°°α− x(4)°°∞ =
°°°°µ 1
2
¶−µ0. 99999 375
1. 99998 75
¶°°°°∞=
°°°°µ 0.06 25× 10−40.125× 10−4
¶°°°°∞°°e(4)°°∞ = 0.125× 10−4.
Vemos que el error real es inferior a la cota de error calculada en (3).
(f) Para acabar, veamos cuantas iteraciones necesitaríamos para obtener 8
decimales exactos en todas las componentes. Partimos de°°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞)j1− kMk∞
°°e(1)°°∞que, en este caso particular, es°°e(j)°°∞ ≤ (0.05)j0.95
2.05.
Exigimos °°e(j)°°∞ ≤ (0.05)j0.952.05 < 0.5× 10−8
y obtenemos
(0.05)j
0.952.05 ≤ 0.5× 10−8,
(0.05)j ≤¡0.5× 10−8¢ (0.95)
2.05,
j ln (0.05) ≤ lná0.5× 10−8¢ (0.95)
2.05
!,
j ≥ln
á0.5× 10−8¢ (0.95)
2.05
!ln (0.05)
= 6. 6371.
Por lo tanto, necesitamos 7 iteraciones. ¤
